1. Educación

Cuadernos de Matemática
de la Escuela Politécnica Nacional
5
C ÁLCULO
EN UNA VARIABLE
R ESUMEN
Y EJERCICIOS
RESUELTOS
Evelyn Cueva, Andrés Merino y Juan Carlos Trujillo
C UADERNOS DE M ATEMÁTICA
DE LA E SCUELA P OLITÉCNICA N ACIONAL
A. M ERINO - E. C UEVA - J. C. T RUJILLO
C ÁLCULO EN UNA VARIABLE
Resumen y ejercicios resueltos
Cuaderno de Matemática No. 5
C ÁLCULO EN UNA VARIABLE : R ESUMEN Y EJERCICIOS RESUELTOS
A NDRÉS M ERINO - E VELYN C UEVA - J UAN C ARLOS T RUJILLO
Responsable de la Edición: Juan Carlos Trujillo
Asistentes: Andrés Merino
Registro de derecho autoral No.
ISBN:
Publicado por la Unidad de Publicaciones de la Facultad de Ciencias de la Escuela Politécnica
Nacional, Ladrón de Guevara E11-253, Quito, Ecuador.
Segunda edición: 2012
Primera impresión: 2012
c Escuela Politécnica Nacional 2012
AGRADECIMIENTOS
Agradecemos a todos los estudiantes de las carrera de Matemática, Ingeniaría Matemática
y Física que han colaborado en la resolución de varios ejercicios presentados en esta publicación, entre ellos a Carolina Grados, Yandira Cuvero, Alejandro Coloma, Zuly Salinas,
Sintya Serrano, Sofía Jijón y Diego Morales.
Los Autores.
Tabla de Contenidos
1
Límites y continuidad
1.1 Definiciones y Teoremas . . . . . .
1.2 Tabla de límites básicos . . . . . . .
1.3 Enunciados de ejercicios resueltos
1.4 Soluciones . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Ejercicios Propuestos . . . . . . . .
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1
1
10
12
13
32
2 La Derivada
2.1 Derivadas . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Tabla de derivadas . . . . . . . . .
2.3 Enunciados de ejercicios resueltos
2.4 Soluciones . . . . . . . . . . . . . .
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35
35
40
41
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Capítulo 1
Límites y continuidad
1.1 Definiciones y Teoremas
L1. Definición de límite. Sean:
(a) a y L dos números reales;
(b) I un intervalo abierto que contiene el número a; y
(c) f una función real definida en I, salvo, tal vez, en a; es decir, I ⊂ Dom( f ) ∪ { a}.
Se dice que L es el límite de f cuando x tiende a a, y se escribe
L = l´ım f ( x ),
x→a
si y solo si para todo ǫ > 0, existe un δ > 0 tal que si:
0 < | x − a| < δ,
entonces:
| f ( x ) − L| < ǫ.
Simbólicamente:
l´ım f ( x ) = L ⇐⇒ (∀ǫ > 0)(∃δ > 0) [0 < | x − a| < δ ⇒ | f ( x ) − L| < ǫ] .
x→a
Para demostrar que un número L es el límite de f cuando x tiende al número a, se
procede de la siguiente manera:
(a) Se toma un ǫ > 0 arbitrario pero fijo.
(b) Se busca un número δ > 0 que satisfaga la implicación siguiente:
0 < | x − a| < δ ⇒ | f ( x ) − L| < ǫ.
L2. Sean I, J dos intervalos abiertos, f y g dos funciones definidas en I y J, respectivamente, salvo, tal vez, en a y que satisfacen las siguientes condiciones:
(a) f ( x ) = g( x ) para todo x ∈ I ∩ J y x = a; y
2
Límites y continuidad
(b) existe L tal que:
L = l´ım g( x ).
x→a
Entonces f también tiene límite en a y:
L = l´ım f ( x ).
x→a
L3. Sea f : A → R, donde A ⊆ R. Entonces:
L = l´ım f ( x )
x→a
⇐⇒
0 = l´ım ( f ( x ) − L)
0 = l´ım | f ( x ) − L|.
⇐⇒
x→a
x→a
L4. Definición de función continua en un punto. Una función real f : A → R, donde I ⊆ A
es un intervalo abierto, es continua en a si y solo si:
(a) a ∈ I;
(b) existe l´ım f ( x ); y
x→a
(c) f ( a) = l´ım f ( x ).
x→a
En otras palabras, una función es continua en a si y solo a está en el dominio de f y la
función evaluada en a es igual al límite de la función f cuando x tiende a a.
L5. Definición de función continua en un intervalo. Una función es continua en el intervalo
abierto I si y solo si es continua en cada uno de los elementos de I.
L6. Sean I un intervalo abierto, f : I → R y a ∈ I. Entonces f es continua en a si y solo si
para todo ǫ > 0, existe un número δ > 0 tal que
| f ( x ) − f ( a)| < ǫ
siempre que | x − a| < δ y x ∈ I.
L7. Unicidad del límite. Si l´ım f ( x ) = L, entonces el número L es el único número que
satisface esta igualdad.
x→a
L8. Si L = l´ım f ( x ), existe un intervalo abierto I centrado en a tal que f está acotada en
x→a
I − { a}; es decir, existen M > 0 y r > 0 tales que | f ( x )| < M para todo x tal que
0 < | x − a| < r.
L9. Propiedades algebraicas de los límites. Si existen l´ım f ( x ) y l´ım g( x ), entonces:
x→a
x→a
(a) Límite de la suma: existe el límite de f ( x ) + g( x ) y
l´ım ( f ( x ) + g( x )) = l´ım f ( x ) + l´ım g( x ).
x→a
x→a
x→a
(b) Límite del producto: existe el límite de f ( x ) · g( x ) y
l´ım ( f ( x ) · g( x )) = l´ım f ( x ) · l´ım g( x ).
x→a
x→a
x→a
1.1 Definiciones y Teoremas
3
(c) Límite del inverso multiplicativo: si l´ım g( x ) = 0, existe el límite de
x→a
l´ım
x→a
1
y
g( x )
1
1
=
.
g( x )
l´ım g( x )
x→a
L10. Sean α ∈ R, β ∈ R. Si existen l´ım f ( x ) y l´ım g( x ), entonces:
x→a
x→a
(a) Límite del producto de un escalar por una función: existe el límite de α f ( x ) y
l´ım α f ( x ) = α l´ım f ( x ).
x→a
x→a
(b) Límite de la resta: existe el límite de f ( x ) − g( x ) y
l´ım ( f ( x ) − g( x )) = l´ım f ( x ) − l´ım g( x ).
x→a
x→a
x→a
(c) Límite de una combinación lineal: existe el límite de α f ( x ) + βg( x ) y
l´ım (α f ( x ) + βg( x )) = α l´ım f ( x ) + β l´ım g( x ).
x→a
x→a
(d) Límite del cociente: existe el límite de
l´ım
x→a
x→a
f (x)
siempre que l´ım g( x ) = 0 y
x→a
g( x )
l´ım f ( x )
f (x)
= x→a
.
g( x )
l´ım g( x )
x→a
L11. Propiedades algebraicas de la continuidad. Si f : A → R y g : B → R son continuas
en a. Entonces la suma ( f + g), la resta ( f − g), el producto ( f · g) y el cociente ( f /g)
(siempre que g( a) = 0) son funciones continuas en a.
L12. Generalización de las propiedades algebraicas. Sean n ∈ N, f 1 , f 2 , . . . , f n tales que
existe el límite l´ım f i ( x ) para todo i tal que 1 ≤ i ≤ n. Entonces:
(a) l´ım
n
x→a
n
∑ f i (x ) = ∑ xl´ı→ma f i (x ).
x→a
i =1
n
i =1
n
i =1
i =1
(b) l´ım ∏ f i ( x ) = ∏ l´ım f i ( x )
x→a
x→a
(c) Si f i es continua en a para todo i tal que 1 ≤ i ≤ n, entonces
continuas en a.
n
n
i =1
i =1
∑ f i y ∏ f i son
L13. Límite de un polinomio y una función racional. Si P y Q son dos polinomios, entonces:
(a) l´ım P( x ) = P( a).
x→a
(b) l´ım
x→a
P( x )
P( a)
=
siempre que Q( a) = 0.
Q( x )
Q( a)
De aquí se tiene que todo polinomio es una función continua en R y toda función
racional es continua en R excepto en aquellos números en los que el denominador es
igual a cero.
4
Límites y continuidad
L14. Límite de una composición. Si existe el límite l´ım g( x ) = b y f es continua en b, enx→a
tonces existe l´ım f ( g( x )) y:
x→a
l´ım f ( g( x )) = f l´ım g( x ) = f (b).
x→a
x→a
L15. Cambio de variable para límites. Sean f y g dos funciones reales. Si:
(a) existe b = l´ım g( x ); y
x→a
(b) se satisfacen una de las dos siguientes condiciones:
i. La función f es continua en b.
ii. Existe l´ım f (y) y existe un intervalo ( a − r, a + r ) tal que
y→b
g( x ) = b
para todo x ∈ ( a − r, a + r ).
Entonces:
l´ım f ( g( x )) = l´ım f (y).
x→a
y→b
Para calcular el límite de una composición como la siguiente
l´ım f ( g( x )),
x→a
se puede usar el cambio de variable
y = g( x )
siempre que se cumplan las condiciones de teorema anterior. Esta manera de calcular
el límite de f ( g( x )) es denominado método del cambio de variable.
L16. Teorema del sandwich. Sean a ∈ R, f : A → R, g : B → R y h : C → R tres funciones
tales que sus dominios contienen un intervalo abierto I centrado en a, excepto, quizás,
el punto a. Supongamos que para todo x ∈ I, se verifican las desigualdades:
f ( x ) ≤ g( x ) ≤ h( x ), para todo x ∈ I
y las igualdades:
L = l´ım f ( x ) = l´ım h( x ).
Entonces
x→a
x→a
L = l´ım g( x ).
x→a
L17. Definición de límites unilaterales. Sean:
(a) a y L dos números reales;
(b) I un intervalo abierto que contiene el número a; y
(c) f una función real definida en I, salvo, tal vez, en a; es decir, I ⊂ Dom( f ) ∪ { a}.
Entonces:
L = l´ım f ( x ),
x → a+
1.1 Definiciones y Teoremas
5
(se lee: L es el límite de f ( x ) cuando x se aproxima a a por la derecha) si y solo si para
todo ǫ > 0, existe δ > 0 tal que
| f ( x ) − L| < ǫ,
siempre que 0 < x − a < δ (es decir, siempre que x > a y x − a < δ).
Análogamente:
L = l´ım f ( x ),
x → a−
(se lee: L es el límite de f ( x ) cuando x se aproxima a a por la izquierda) si y solo si para
todo ǫ > 0, existe δ > 0 tal que
| f ( x ) − L| < ǫ,
siempre que 0 < a − x < δ (es decir, siempre que x < a y a − x < δ).
Simbólicamente:
l´ım f ( x ) = L
⇐⇒
(∀ǫ > 0)(∃δ > 0)[0 < x − a < δ ⇒ | f ( x ) − L| < ǫ].
l´ım f ( x ) = L
⇐⇒
(∀ǫ > 0)(∃δ > 0)[0 < a − x < δ ⇒ | f ( x ) − L| < ǫ].
x → a+
x → a−
L18. L es el límite de f ( x ) cuando x se aproxima al número a si y solo si existen los dos
límites unilaterales y son iguales a L. Es decir, l´ım f ( x ) = L si y solo si
x→a
l´ım f ( x ) = L
x → a+
y
l´ım f ( x ) = L.
x → a−
L19. Propiedades de los límites unilaterales. Los límites unilaterales verifican las mismas
propiedades que satisfacen los límites y que fueron enunciadas anteriormente.
L20. Función continua por derecha en un punto. Una función f : A → R, donde I ⊆ A es
un intervalo abierto, es continua por la derecha en a si y solo si:
(a) a ∈ I;
(b) existe l´ım f ( x ); y
x → a+
(c) f ( a) = l´ım f ( x ).
x → a+
L21. Función continua por izquierda en un punto. Una función f : A → R, donde I ⊆ A es
un intervalo abierto, es continua por la izquierda en a si y solo si:
(a) a ∈ I;
(b) existe l´ım f ( x ); y
x → a−
(c) f ( a) = l´ım f ( x ).
x → a−
L22. Una función es continua en a si y solo si es continua en a por la derecha y es continua
en a por la izquierda.
L23. Límites infinitos. Sean:
(a) a un número real;
6
Límites y continuidad
(b) I un intervalo abierto que contiene el número a; y
(c) f una función real definida en I, salvo, tal vez, en a; es decir, I ⊂ Dom( f ) ∪ { a}.
Se dice que f tiende a infinito cuando x tiende al número a, y se escribe l´ım f ( x ) = +∞,
si y solo si para todo R > 0, existe δ > 0 tal que
x→a
f ( x ) > R,
siempre que x ∈ Dom( f ) y
0 < | x − a| < δ.
Análogamente, se dice que f tiende a menos infinito cuando x tiende al número a, y se
escribe l´ım f ( x ) = −∞, si y solo si para todo R < 0, existe δ > 0 tal que
x→a
f ( x ) < R,
siempre que x ∈ Dom( f ) y
0 < | x − a| < δ.
Simbólicamente:
x→a
l´ım f ( x ) = +∞
⇐⇒
(∀ R > 0)(∃δ > 0)[0 < | x − a| < δ ⇒ f ( x ) > R].
l´ım f ( x ) = −∞
⇐⇒
(∀ R < 0)(∃δ > 0)[0 < | x − a| < δ ⇒ f ( x ) < R].
x→a
L24. Si l´ım f ( x ) = +∞, existe δ > 0 tal que f ( x ) > 0 para todo x ∈ ( a − δ, a + δ) − { a}.
x→a
L25. Si l´ım f ( x ) = −∞, existe δ > 0 tal que f ( x ) < 0 para todo x ∈ ( a − δ, a + δ) − { a}.
x→a
L26. Ampliación de límites laterales. Con el mismo significado para f , L y a de la definición
de límite, se dice que:
(a) f ( x ) tiende a L por la derecha cuando x tiende al número a, y se escribe
l´ım f ( x ) = L+ ,
x→a
si y solo si L = l´ım f ( x ) y existe r > 0 tal que f ( x ) > L siempre que x ∈ ( a −
r, a + r ).
x→a
(b) f ( x ) tiende a L por la izquierda cuando x tiende al número a, y se escribe
l´ım f ( x ) = L− ,
x→a
si y solo si L = l´ım f ( x ) y existe r > 0 tal que f ( x ) < L siempre que x ∈ ( a −
r, a + r ).
x→a
L27. Sean I un intervalo abierto, a ∈ I y f una función real tal que I ⊂ Dom( f ) ∪ { a}.
Entonces:
(a) l´ım f ( x ) = 0+ si y solo si l´ım
x→a
x→a
1
= +∞.
f (x)
1.1 Definiciones y Teoremas
7
1
= −∞.
f (x)
(b) l´ım f ( x ) = 0− si y solo si l´ım
x→a
x→a
L28. Si l´ım f ( x ) = +∞, entonces f no está acotada superiormente en ningún intervalo
x→a
centrado en a.
L29. Si l´ım f ( x ) = −∞, entonces f no está acotada inferiormente en ningún intervalo cenx→a
trado en a.
L30. Propiedades de límites infinitos positivos. Sean f y g dos funciones reales. Entonces:
(a) Si l´ım f ( x ) = +∞ y l´ım g( x ) = +∞, entonces:
x→a
x→a
l´ım [ f ( x ) + g( x )] = +∞
x→a
y
l´ım [ f ( x ) g( x )] = +∞.
x→a
(b) Si l´ım f ( x ) = +∞ y β > 0, entonces: l´ım [ β f ( x )] = +∞.
x→a
x→a
x→a
x→a
(c) Si l´ım f ( x ) = +∞ y β < 0, entonces: l´ım [ β f ( x )] = −∞.
(d) Si l´ım f ( x ) = +∞ y existe l´ım g( x ) o g está acotada inferiormente en un intervalo
x→a
alrededor de a, entonces:
x→a
l´ım [ f ( x ) + g( x )] = +∞.
x→a
(e) Si l´ım f ( x ) = +∞ y existe l´ım g( x ) > 0 o g está acotada inferiormente por un
x→a
x→a
número positivo en un intervalo alrededor de a, entonces:
l´ım [ f ( x ) g( x )] = +∞.
x→a
(f) Si existe l´ım f ( x ) > 0 o f está acotada por números positivos en un intervalo
x→a
alrededor de a y l´ım g( x ) = 0+ , entonces:
x→a
l´ım
x→a
f (x)
= +∞.
g( x )
(g) Si existe l´ım f ( x ) o f está acotada en un intervalo alrededor de a y l´ım g( x ) =
x→a
x→a
+∞, entonces:
f (x)
l´ım
= 0.
x → a g( x )
L31. Propiedades de límites infinitos negativos. Sean f y g dos funciones reales. Entonces:
(a) Si l´ım f ( x ) = −∞ y l´ım g( x ) = −∞, entonces:
x→a
x→a
l´ım [ f ( x ) + g( x )] = −∞
x→a
y
l´ım [ f ( x ) g( x )] = +∞.
x→a
(b) Si l´ım f ( x ) = −∞ y β > 0, entonces: l´ım [ β f ( x )] = −∞.
x→a
x→a
x→a
x→a
(c) Si l´ım f ( x ) = −∞ y β < 0, entonces: l´ım [ β f ( x )] = +∞.
8
Límites y continuidad
(d) Si l´ım f ( x ) = −∞ y existe l´ım g( x ) o g está acotada superiormente en un interx→a
x→a
valo alrededor de a, entonces:
l´ım [ f ( x ) + g( x )] = −∞
x→a
(e) Si l´ım f ( x ) = −∞ y existe l´ım g( x ) > 0 o g está acotada inferiormente por un
x→a
x→a
número positivo en un intervalo alrededor de a, entonces:
l´ım [ f ( x ) g( x )] = −∞.
x→a
(f) Si existe l´ım f ( x ) > 0 o f está acotada por números positivos en un intervalo
x→a
alrededor de a y l´ım g( x ) = 0− , entonces:
x→a
l´ım
x→a
f (x)
= −∞.
g( x )
(g) Si existe l´ım f ( x ) o f está acotada en un intervalo alrededor de a y l´ım g( x ) =
x→a
x→a
−∞, entonces:
f (x)
l´ım
= 0.
x → a g( x )
L32. Propiedades de límites infinitos mixtos. Sean f y g dos funciones reales. Entonces:
(a) Si l´ım f ( x ) = +∞ y l´ım g( x ) = −∞, entonces:
x→a
x→a
l´ım [ f ( x ) g( x )] = −∞.
x→a
(b) Si l´ım f ( x ) = +∞ y existe l´ım g( x ) < 0 o g está acotada superiormente por un
x→a
x→a
número negativo en un intervalo alrededor de a, entonces:
l´ım [ f ( x ) g( x )] = −∞.
x→a
(c) Si existe l´ım f ( x ) < 0 o f está acotada por números negativos en un intervalo
x→a
alrededor de a y l´ım g( x ) = 0+ , entonces:
x→a
l´ım
x→a
f (x)
= −∞.
g( x )
(d) Si l´ım f ( x ) = −∞ y existe l´ım g( x ) < 0 o g está acotada superiormente por un
x→a
x→a
número negativo en un intervalo alrededor de a, entonces:
l´ım [ f ( x ) g( x )] = +∞.
x→a
(e) Si existe l´ım f ( x ) < 0 o f está acotada por números negativos en un intervalo
x→a
alrededor de a y l´ım g( x ) = 0− , entonces:
x→a
l´ım
x→a
f (x)
= +∞.
g( x )
1.1 Definiciones y Teoremas
9
L33. Formas indeterminadas. No hay reglas fijas para los límites de diferencias o cocientes
de funciones que ambas tienden a ±∞, productos de funciones donde una de ellas
tiende 0 y la otra a ±∞, o cocientes de funciones donde ambas tienden a 0, pues, para
algunas funciones toman un valor, para otras, un valor distinto; y en algunos casos, ni
siquiera existen. A estos límites se los denomina formas indeterminadas.
L34. Definición de límites al infinito. Sean:
(a) L un número real;
(b) I un intervalo abierto del tipo ( a, +∞); y
(c) f una función real definida en I; es decir, I ⊂ Dom( f ).
Se dice que L es el límite de f cuando x tiende a +∞, y se escribe
L = l´ım f ( x ),
x →+ ∞
si y solo si para todo ǫ > 0, existe R > 0 tal que
| f ( x ) − L| < ǫ
siempre que x ∈ Dom( f ) y x > R.
Análogamente, si
(a) L un número real;
(b) I un intervalo abierto del tipo (−∞, a); y
(c) f una función real definida en I; es decir, I ⊂ Dom( f ),
se dice que L es el límite de f cuando x tiende a −∞, y se escribe
L = l´ım f ( x )
x →− ∞
si y solo si para todo ǫ > 0, existe R < 0 tal que
| f ( x ) − L| < ǫ
siempre que x ∈ Dom( f ) y x < R.
Simbólicamente:
l´ım f ( x ) = L
⇐⇒
(∀ǫ > 0)(∃ R > 0)[ R < x ⇒ | f ( x ) − L| < ǫ].
l´ım f ( x ) = L
⇐⇒
(∀ǫ < 0)(∃ R > 0)[ x < R ⇒ | f ( x ) − L| < ǫ].
x →+ ∞
x →− ∞
L35. Propiedades de límites al infinitos. Sean f y g dos funciones reales. Entonces:
(a) Si l´ım f ( x ) = L > 0, entonces
x →+ ∞
l´ım
x →+ ∞
f (x) =
√
L.
10
Límites y continuidad
(b) Si existe l´ım f ( x ) > 0 o f está acotada por números positivos en un intervalo
x →+ ∞
del tipo ] a, +∞[, con a ∈ R, y l´ım g( x ) = 0+ , entonces
x →+ ∞
l´ım
x →+ ∞
f (x)
= +∞.
g( x )
(c) Si existe l´ım f ( x ) < 0 o f está acotada por números negativos en un intervalo
x →+ ∞
del tipo ] a, +∞[, con a ∈ R, y l´ım g( x ) = 0+ , entonces
x →+ ∞
l´ım
x →+ ∞
f (x)
= −∞.
g( x )
(d) Si existe l´ım f ( x ) > 0 o f está acotada por números positivos en un intervalo
x →+ ∞
del tipo ] a, +∞[, con a ∈ R, y l´ım g( x ) = 0− , entonces
x →+ ∞
l´ım
x →+ ∞
f (x)
= −∞.
g( x )
(e) Si existe l´ım f ( x ) < 0 o f está acotada por números negativos en un intervalo
x →+ ∞
del tipo ] a, +∞[, con a ∈ R, y l´ım g( x ) = 0− , entonces
x →+ ∞
l´ım
x →+ ∞
f (x)
= +∞.
g( x )
(f) Si f está acotada y l´ım g( x ) = +∞, entonces
x →+ ∞
l´ım
x →+ ∞
f (x)
= 0.
g( x )
1.2 Tabla de límites básicos
Sea a ∈ R. A menos que se diga lo contrario, se supondrá que a es una constante; es decir,
que no depende de x.
T1. l´ım k = k donde k ∈ R no depende de x.
x→a
T2. l´ım x = a.
x→a
T3. l´ım sen x = sen a.
x→a
T4. l´ım cos x = cos a.
x→a
T5. l´ım x n = an ,
x→a
si n ∈ N.
T6. l´ım
√
n
x=
√
n
a,
T7. l´ım
√
n
x=
√
n
si n ∈ N es impar.
a,
si n ∈ N es par y a > 0.
x→a
x→a
1.2 Tabla de límites básicos
T8. l´ım b x = b a ,
si b > 0 no depende de x.
x→a
T9.
T10.
l´ım b x =
x →+ ∞
l´ım b x =
x →− ∞
11
0
si 0 < b < 1,
+∞ si 1 < b.
+∞ si 0 < b < 1,
0
si 1 < b.
T11. l´ım ln x = ln a ,
si a > 0.
x→a
T12. l´ım ln x = −∞.
x →0+
T13.
1
= 0+ .
x →+ ∞ x
l´ım
l´ım
1
= 0− .
x
T15. l´ım
1
= +∞.
x
T16. l´ım
1
= −∞.
x
T14.
x →− ∞
x →0+
x →0−
T17. l´ım
1
= +∞ ⇐⇒ l´ım f ( x ) = 0+ .
x→a
f (x)
T18. l´ım
1
= −∞ ⇐⇒ l´ım f ( x ) = 0− .
x→a
f (x)
T19. l´ım
sen x
= 1.
x
T20. l´ım
1 − cos x
= 0.
x
x→a
x→a
x →0
x →0
T21. l´ım [ f ( x )]g( x ) = l´ım f ( x )
x→a
T22. l´ım
x →∞
x→a
1+
T23. l´ım 1 +
x→a
1
x
l´ım g( x )
x→a
si existen L = l´ım f ( x ) y l´ım g( x ), y L > 0.
x→a
x
k
f (x)
= e.
f (x)
= ek ,
si l´ım f ( x ) = +∞.
x→a
x→a
12
Límites y continuidad
1.3 Enunciados de ejercicios resueltos
Siempre que escribamos l´ım f ( x ), salvo que se diga lo contrario, se entenderá que f es la
x→a
función que toma valores reales y cuyo dominio es el conjunto más grande de números
reales para los que f ( x ) existe o está definida.
1. Demostrar que l´ım (8x − 15) = 9.
x →3
2. Demostrar que l´ım
x →8
√
3
√
x2 + 2 3 x + 4 = 12.
2x2 − 8
= −8.
x →−2 x + 2
3. Demostrar que l´ım
2x2 − 7x + 5
= −3.
x−1
x →1
4. Demostrar que l´ım
2x2 + x − 3
= −5.
x →1 x 2 − 3x + 2
5. Demostrar que l´ım
(5 − x )(2x − 1)
= +∞.
x →2 | − 5x 2 + 7x + 6|
6. Demostrar que l´ım
sin x
= 0.
x →− ∞ x
√
3− 5+x
√
8. Calcule l´ım
.
x →4 1 − 5 − x
√
√
1+x− 1−x
9. Calcule l´ım
.
x →0
x
√
x
10. Calcule l´ım
√ .
x →+ ∞
x+ x+ x
7. Demostrar que
l´ım
x 2 − ( a + 1) x + a
.
x→a
x 3 − a3
11. Calcule l´ım
( x + h )3 − x 3
.
h
h →0
12. Calcule l´ım
13. Calcule l´ım
x→a
14. Calcule l´ım
x→a
sen( x − a)
.
x−a
sin x − sin a
.
x−a
15. Calcule l´ım
arctan x
.
x
16. Calcule l´ım
arctan 2x
.
sin 3x
x →0
x →0
cos πx
√2 .
x →1 1 − x
17. Calcule l´ım
1.4 Soluciones
13
18. Calcule l´ım
x →0
1−
√
cos x
.
x2
19. Calcule l´ımπ
sin x − cos x
.
1 − tan x
20. Calcule l´ım
x2 − 2x + 3
x2 − 3x + 2
x→ 4
x →0
sen x
x
.
21. Calcule l´ımπ (tan x )tan 2x .
x→ 4
22. Calcule l´ım
x →0
√
x
1 − 2x.
1.4 Soluciones
Para demostrar que l´ım f ( x ) = L, se suele proceder de la siguiente manera.
x→a
Se toma ǫ > 0. Nuestro objetivo es encontrar un δ > 0 tal que si 0 < | x − a| < δ, se
verifique la desigualdad
| f ( x ) − L| < ǫ.
(1.1)
Para ello, debemos trabajar con el lado izquierdo de la desigualdad (1.1) hasta obtener,
si fuera posible, una desigualdad del siguiente tipo:
| f ( x ) − L| ≤ | x − a| g ( x )
(1.2)
para todo x ∈ Dm ( f ) − { a}.
Si la expresión g( x ) fuera una constante, independiente de x, por ejemplo M, tendríamos:
| f ( x ) − L| ≤ | x − a| M
(1.3)
para todo x ∈ Dm ( f ) − { a}. Entonces, para que la desigualdad (1.1) se verifique, es suficiente que
| x − a| M < ǫ
para x ∈ Dm ( f ) − { a}; es decir, es suficiente que
| x − a| <
ǫ
M
para x ∈ Dm ( f ) − { a}. Por lo tanto, si definiéramos
δ=
ǫ
,
M
tendríamos que, si 0 < | x − a| < δ, se verificaría
| f ( x ) − L| = | x − a| M < δM =
ǫ
M = ǫ.
M
El caso de que g( x ) no fuera una función constante, lo que se suele hacer es encontrar
un δ′ > 0 tal que ( a − δ′ , a + δ′ ) ⊆ Dm ( f ) ∪ { a} y
| g( x )| ≤ M,
(1.4)
14
Límites y continuidad
para todo x ∈ ( a − δ′ , a + δ′ ). Entonces, es suficiente tomar δ así:
δ = m´ın
ǫ ′
,δ .
M
1. Demostrar que l´ım (8x − 15) = 9.
x →3
Demostración. En este caso, f ( x ) = 8x − 15 y Dm ( f ) = R. Sea ǫ > 0. Debemos hallar
un δ > 0 tal que si 0 < | x − 3| < δ, se verifique la desigualdad
|(8x − 15) − 9| < ǫ.
(1.5)
Para hallar el número δ, observemos que:
|(8x − 15) − 9| = |8x − 24|
= |8( x − 3)|
= 8| x − 3|
para todo x ∈ Dm ( f ). Entonces, para que la desigualdad (1.5) se verifique, es suficiente que
8| x − 3| < ǫ,
que equivale a
ǫ
| x − 3| < .
8
Por lo tanto, si definimos
δ=
ǫ
,
8
tenemos que, si 0 < | x − 3| < δ, se verificaría
|(8x − 15) − 9| = 8| x − 3| < 8(δ) = 8
√
3
2. Demostrar que l´ım
x →8
ǫ
8
= ǫ.
√
x2 + 2 3 x + 4 = 12.
√
√
3
Demostración. En este caso, f ( x ) = x2 + 2 3 x + 4 y Dm ( f ) = R. Sea ǫ > 0. Debemos
hallar un δ > 0 tal que, si 0 < | x − 8| < δ, se verifique la desigualdad
√
3
√
x2 + 2 3 x + 4 − 12 < ǫ.
(1.6)
Observemos que:
√
3
√
√
√
3
x2 + 2 3 x + 4 − 12 =
x2 + 2 3 x − 8
√
√
= 3 x−2 3 x+4
√
√
= 3 x−2 3 x+4 ;
por lo tanto
√
3
para todo x ∈ Dm ( f ).
√
√
√
x2 + 2 3 x + 4 − 12 = 3 x − 2 3 x + 4
(1.7)
1.4 Soluciones
15
Queremos expresar el lado derecho de esta igualdad como el producto | x − 8| g( x ).
Para ello, utilicemos la siguiente identidad (verdadera para todo x ∈ Dm ( f )):
x−8 =
De ésta, obtenemos
√
3
√
3
√
3
x−2
x−2 = √
3
x2
√
x2 + 2 3 x + 4 .
x−8
,
√
+2 3 x+4
√
√
3
para todo x tal que x2 + 2 3 x + 4 = 0.
Ahora bien, puesto que el cálculo del límite de f ( x ) es cuando x tiende a 8, podemos suponer que x ∈ (8 − δ′ , 8 + δ′ ) con δ′ = 1. Esto significa que x > 0, con lo que
nos aseguramos
√
√
3
x2 + 2 3 x + 4 > 4 > 0
para todo x ∈ (7, 9), de donde la igualdad (1.7) puede ser re-escrita de la siguiente
manera:
√
√
√
| x − 8| 3 x + 4
3
3
2
x + 2 x + 4 − 12 = √
(1.8)
√
3 2
x +2 3 x+4
para todo x ∈ (7, 9).
Ya hemos logrado expresar el lado derecho de la igualdad (1.7) como el producto
| x − 8| g( x ), donde
√
3
x+4
g( x ) = √
.
√
3 2
x +23 x+4
para todo x ∈ (7, 9).
Ahora tratemos de acotar superiormente g( x ) en (7, 9) o en un subconjunto de este
intervalo. En primer lugar, tenemos que
x ∈ (8 − 1, 8 + 1) ⇐⇒ 7 < x < 9
⇐⇒ −1 < x − 8 < 1
⇐⇒ | x − 8| < 1.
(1.9)
(1.10)
A continuación, de (1.9), vamos a “construir” g( x ). Como la raíz cúbica es una función
creciente, se tiene:
√
√
√
3
3
7 < x < 9 ⇐⇒ 7 < 3 x < 9
√
√
√
3
3
⇐⇒ 0 < 7 + 4 < 3 x + 4 < 9 + 4
√
√
√
3
3
=⇒ −
9+4 < 3 x+4 < 9+4
√
√
3
⇐⇒ 3 x + 4 < 9 + 4;
es decir, se tiene que:
7 < x < 9 =⇒
√
3
x+4 <
√
3
9 + 4.
(1.11)
16
Límites y continuidad
Por otro lado:
√
√
√
3
3
7 < x < 9 ⇐⇒ 2 7 < 2 3 x < 2 9
y 7 < x < 9 ⇐⇒
√
3
72 <
√
3
x2 <
√
3
92 ,
de donde, 7 < x < 9 implica
√
3
√
√
√
√
√
3
3
3
3
72 + 2 7 < x2 + 2 3 x < 92 + 2 9,
y se sigue que
7 < x < 9 ⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
=⇒
⇐⇒
√
3
√
√
√
√
√
3
3
3
3
72 + 2 7 < x 2 + 2 3 x < 92 + 2 9
√
√
√
√
√
√
3
3
3
3
3
72 + 2 7 + 4 < x 2 + 2 3 x + 4 < 92 + 2 9 + 4
1
1
1
√
< √
< √
√
√
√
3 2
3 2
3 2
3
3
9 +2 9+4
x +2 x+4
7 +2 3 7+4
−1
1
1
√
< √
< √
√
√
√
3 2
3 2
3 2
3
3
7 +2 7+4
x +2 x+4
7 +2 3 7+4
1
1
< √
;
√
√
√
3 2
3 2
7 +23 7+4
x +2 3 x+4
es decir:
7 < x < 9 =⇒
√
3
1
√
3
x2 + 2 x + 4
< √
3
1
72
.
√
+2 3 7+4
(1.12)
Finalmente, es fácil verificar que1
√
3
√
3
72
9+4
< 1.
√
+2 3 7+4
Por tanto, de (1.11) y (1.12), obtenemos
√
| x − 8| 3 x + 4
< | x − 8|
√
√
3 2
x +23 x+4
siempre que | x − 8| < 1. De esta última desigualdad y de (1.8), tenemos que si | x −
8| < 1, se cumple:
√
√
3
x2 + 2 3 x + 4 − 12 < | x − 8|.
(1.13)
Entonces, para que se verifiquen las desigualdades (1.6) y (1.13), es necesario que
| x − 8| < 1 y | x − 8| < ǫ.
De modo que, si definimos
δ = m´ın {1, ǫ} ,
√
√
√
3
verificar esta desigualdad,
procederíamos a verificar que 3 9 + 4 < 72 + 2 3 7 + 4, para lo cual debería√
√
3 2
3
mos verificar, a su vez, que 9 < 7 , lo cual es verdadero, pues la función raíz cúbica es una función creciente y
9 < 72 .
1 Para
1.4 Soluciones
17
obtenemos que 0 < | x − 8| < δ implica
√
3
3. Demostrar que
√
x2 + 2 3 x + 4 − 12 < ǫ.
2x2 − 8
= −8.
x →−2 x + 2
l´ım
2x2 − 8
y Dm ( f ) = R − {−2}. Sea ǫ > 0. Debex+2
mos hallar un δ > 0 tal que si 0 < | x − (−2)| < δ, se verifique la desigualdad
Demostración. En este caso, f ( x ) =
2x2 − 8
− (−8) < ǫ.
x+2
(1.14)
Observemos que:
2x2 − 8
( x + 2)2
− (−8) = 2
x+2
x+2
para todo x = −2. Además, si suponemos que x toma valores tales que 0 < | x + 2|, la
expresión anterior queda en:
2x2 − 8
− (−8) = 2 |x + 2| .
x+2
Entonces, para que la desigualdad (1.14) se verifique, es suficiente que
2| x + 2| < ǫ,
lo que equivale a
ǫ
| x + 2| < .
2
Por lo tanto, si definimos
δ=
ǫ
,
2
tenemos que si 0 < | x + 2| < δ, se verificaría que
2x2 − 8
− (−8) < ǫ.
x+2
2x2 − 7x + 5
= −3.
x−1
x →1
4. Demostrar que l´ım
2x2 − 7x + 5
y Dm ( f ) = R − {−1}. Sea ǫ > 0.
x−1
Debemos hallar un δ > 0 tal que si 0 < | x − 1| < δ, se verifique la desigualdad
Demostración. En este caso, f ( x ) =
2x2 − 7x + 5
− (−3) < ǫ.
x−1
18
Límites y continuidad
Observemos que:
2x2 − 7x + 5
( x − 1)2
− (−3) = 2
x−1
x−1
ǫ
si x = 1. Por lo tanto, el δ buscado es .
2
2x2 + x − 3
= −5.
x →1 x 2 − 3x + 2
5. Demostrar que l´ım
2x2 + x − 3
y Dm ( f ) = R − {1, 2}. Sea ǫ > 0.
x2 − 3x + 2
Debemos hallar un δ > 0 tal que si 0 < | x − 1| < δ y x = 2, se verifique la desigualdad
Demostración. En este caso, f ( x ) =
2x2 + x − 3
− (−5) < ǫ.
x2 − 3x + 2
(1.15)
Podemos observar que:
2x2 + x − 3
( x − 1)2
− (−5) = 7
2
( x − 2)( x − 1)
x − 3x + 2
7
=
| x − 1|
| x − 2|
para todo x ∈ Dm ( f ). Para acotar superiormente el factor
x ∈ (1 − δ′ , 1 + δ′ ) para δ′ =
12
2 ;
que equivale a suponer que
es decir, supongamos que
1
3
<x< ,
2
2
(1.16)
1
| x − 1| < .
2
(1.17)
Ahora, a partir de (1.17) y (1.16), construimos el factor
| x − 1| <
2 No
es difícil mostrar que las hipérbolas
se tomó un valor menor que 1.
1
, supongamos que
| x − 2|
1
:
x−2
1
1
3
=⇒ < x <
2
2
2
3
1
=⇒ − < x − 2 < −
2
2
1
=⇒
<2
| x − 2|
1
=⇒
| x − 1 | < 2 | x − 1 |.
| x − 2|
1
| x −2 |
no están acotadas superiormente para valores de δ′ ≥ 1. Por ello,
1.4 Soluciones
19
Por tanto, si 0 < | x − 1| <
1
y x = 2, entonces
2
2x2 + x − 3
7
− (−5) =
| x − 1|
| x − 2|
x2 − 3x + 2
< 14| x − 1|;
1
y x = 2, tenemos
2
es decir, si 0 < | x − 1| <
2x2 + x − 3
− (−5) < 14| x − 1|.
x2 − 3x + 2
(1.18)
Entonces, para que las desigualdades (1.18) y (1.15) se cumplan, es necesario que:
| x − 1| <
1
2
y
Por lo tanto, si definimos
δ = m´ın
| x − 1| <
1 ǫ
,
2 14
ǫ
.
14
,
tenemos que si 0 < | x − 1| < δ y x ∈ Dm ( f ), se verificaría que
2x2 + x − 3
− (−5) < ǫ.
x2 − 3x + 2
6. Demostrar que: l´ım
x →2
(5 − x )(2x − 1)
= +∞.
| − 5x2 + 7x + 6|
(5 − x )(2x − 1)
y Dm ( f ) = R − {2, − 35 }. Sea
| − 5x2 + 7x + 6|
R > 0. Debemos hallar un δ > 0 tal que si 0 < | x − 2| < δ, se verifique la desigualdad
Demostración. En este caso, f ( x ) =
Observemos que:
(5 − x )(2x − 1)
> R.
| − 5x2 + 7x + 6|
(1.19)
(5 − x )(2x − 1)
(5 − x )(2x − 1)
=
| x − 2||5x + 3|
| − 5x2 + 7x + 6|
(1.20)
Acabamos de obtener una expresión de la forma
g( x ) =
g( x )
, con
| x − 2|
(5 − x )(2x − 1)
,
|5x + 3|
donde Dm ( g) = R − {− 35 }.
Ahora procedamos a acotar inferiormente g( x ). Para esto, supongamos que x toma
valores cercanos a 2; es decir, supongamos que x ∈ (2 − 1, 2 + 1). Entonces obtenemos:
1<x<3
(1.21)
20
Límites y continuidad
que equivale a:
| x − 2| < 1.
De (1.21) se obtiene que:
2 < 5−x < 4
por lo tanto:
,
1 < 2x − 1
(1.22)
1
1
<
18
|5x + 3|
y
(5 − x )(2x − 1)
1
> ,
|5x + 3|
9
de donde:
(5 − x )(2x − 1)
1
>
.
| x − 2||5x + 3|
9| x − 2|
Entonces, para que la desigualdad (1.19) se verifique es necesario que:
| x − 2| < 1 y
1
> R,
9| x − 2|
lo que equivale a
| x − 2| < 1 y | x − 2| <
Por lo tanto, si definimos
δ = m´ın 1,
1
9R
1
.
9R
,
tenemos que si 0 < | x − 2| < δ, se verificaría que
(5 − x )(2x − 1)
> R.
| − 5x2 + 7x + 6|
7. Demostrar que
l´ım
x →− ∞
sen x
= 0.
x
sen x
y Dm ( f ) = R − {0}. Sea ǫ > 0. Debemos
x
hallar un R < 0 tal que si x < R, se verifique la desigualdad
Demostración. En este caso f ( x ) =
sen x
− 0 < ǫ.
x
(1.23)
Sabemos que para todo x ∈ R − {0}, se tiene | sen x | ≤ 1; por lo tanto, se verifica
1
sen x
≤
para todo x = 0.
x
|x|
1
Ahora bien, para que la desigualdad (1.23) se verifique, es suficiente que
< ǫ,
|x|
1
lo que equivale a < | x |; por lo tanto, para que (1.23) se verifique, es suficiente que
ǫ
x>
Podemos, entonces, definir
1
ǫ
o
1
x<− .
ǫ
1
R=− ,
ǫ
1.4 Soluciones
21
de donde, x < R implica
sen x
− 0 < ǫ que es lo que queríamos demostrar.
x
√
3− 5+x
√
8. Calcule l´ım
.
x →4 1 − 5 − x
Solución. Sea h : [−5, 5] − {4} −→ R la función definida por
√
3− 5+x
√
h( x ) =
.
1− 5−x
Dado que h es una función que puede ser vista como el cociente de dos funciones,
la primera acción que llevaríamos a cabo para calcular l´ım h( x ), sería utilizar el teox →4
rema del límite de un cociente, L10. Para ello, deberemos averiguar, en primer lugar,
si el límite del denominador de la función h cuando x tiende a 4 es distinto de 0. Sin
embargo, por los teoremas de: álgebra de límites, L9, límite de una composición, L14;
y los límites de una constante, T1, y límite de la identidad, T2, se tiene:
l´ım 1 −
x →4
√
5−x = 1−
5 − l´ım x = 1 −
x →4
√
5 − 4 = 1 − 1 = 0.
De manera que no es posible aplicar teorema referido.
Por lo tanto, para poder calcular este límite seguiremos otra estrategia3. Observemos que, para todo x ∈ [−5, 5] y x = 4, se tiene:
√
3− 5+x
√
=
1− 5−x
√
3− 5+x
√
1− 5−x
√
1+ 5−x
√
1+ 5−x
√
9 − (5 + x ) 1 + 5 − x
√
=
1 − (5 − x ) 3 + 5 + x
√
4−x 1+ 5−x
√
=−
;
4−x 3+ 5+x
√
3+ 5+x
√
3+ 5+x
es decir, tenemos que
√
√
1+ 5−x
3− 5+x
√
√
=−
1− 5−x
3+ 5+x
para todo x ∈ [−5, 5] y x = 4.
Ahora bien, si definimos para todo x ∈ [−5, 5] y x = 4,
√
1+ 5−x
√
g( x ) = −
,
3+ 5+x
obtenemos que h( x ) = g( x ) para todo x ∈ [−5, 5] y x = 4, y podemos, por lo tanto,
aplicar L2, siempre que exista l´ım g( x ). Entonces, procedamos a verificar la existencia
de éste último límite.
x →4
√
no es la única forma de calcular este límite. Por ejemplo, si consideramos las funciones g( x ) = 5 + x y
3− x
√
f (x) =
para todo x ∈ [−5, 5] y x = 4, obtenemos que h( x ) = f ( g( x )) para todo x ∈ [−5, 5] − {4}, y,
1− 10− x2
una vez verificadas las hipótesis del teorema de cambio de variable, L15, podemos aplicarlo para calcular el límite
requerido.
3 Ésta
22
Límites y continuidad
En este caso sí es posible aplicar el teorema del límite de un cociente, pues al ser el
numerador y denominador funciones continuas, obtenemos:
l´ım − 3 +
x →4
√
5 + x = −2
y
l´ım 1 +
x →4
√
5 − x = 6,
de donde al ser el límite del denominador distinto de 0, el teorema del límite de un
cociente, L10, nos permite proceder de la manera siguiente:
√
1+ 5−x
√
l´ım g( x ) = l´ım −
x →4
x →4 3 + 5 + x
√
l´ım − 3 + 5 + x
= x →4
√
l´ım 1 + 5 − x
x →4
−2
1
=
=− .
6
3
De modo que, por el teorema L2, se tiene que
9. Calcule l´ım
√
x →0
1+x−
x
√
1
l´ım h( x ) = l´ım g( x ) = − .
3
x →4
x →4
1−x
.
Solución. Sea f : (−1, 1) − {0} −→ R definida por:
f (x) =
√
1+x−
x
√
1−x
.
Es claro que no podemos aplicar el teorema del límite de un cociente directamente,
sino después de “racionalizar” f ( x ):
√
1+x−
x
√
1−x
√
√
√
√
1+x− 1−x 1+x+ 1−x
√
=
.√
x
1+x+ 1−x
1 + x − (1 − x )
√
= √
x ( 1 + x + 1 − x)
2
√
= √
.
1+x+ 1−x
Ahora, por el teorema L2, tenemos que
l´ım f ( x ) = l´ım
x →0
10. Calcule
√
l´ım
x →+ ∞
x+
x →0
x
x+
√
1+x−
x
√ .
x
√
1−x
= √
2
√
= 1.
1+0+ 1−0
1.4 Soluciones
23
Solución. Sea f : (0, +∞] −→ R definida por:
√
f (x) =
x+
x
√ .
x
x+
Para calcular l´ım f ( x ), es necesario, antes, manipular f ( x ) algebraicamente4.
x →+ ∞
√
x+
x
x+
√
√x
x
√ =
x
x+
√
√
√
x+ x
x
1
=
x
x2
1+
+
√
x
x2
1
=
1
x
1+
+
1
3
x2
Observemos que nuestro problema se reduce a calcular:
1
l´ım
x →+ ∞
.
1
x
1+
+
1
3
x2
1
1
= 0 y l´ım 3 = 0 por T13, el límite del denominador es distinto
x →+ ∞ x
x →+ ∞ x 2
de cero y podemos aplicar el teorema de límite de un cociente, L9. De donde:
Puesto que, l´ım
√
l´ım
x →+ ∞
x+
l´ım 1
x
√ =
x+ x
x →+ ∞
l´ım
x →+ ∞
1+
= 1.
1
1
+ 3
x
x2
x 2 − ( a + 1) x + a
.
x→a
x 3 − a3
11. Calcule l´ım
Solución. Sea f : R − { a} −→ R definida por:
f (x) =
Dado que:
4 Nótese
x 2 − ( a + 1) x + a
.
x 3 − a3
(1.24)
x3 − a3 = ( x − a)( x2 + ax + a2 ),
que, si f ( x ) = ϕ( x ) /ψ( x ), l´ım ψ( x ) = 0, y existe l´ım f ( x ) = L, entonces, necesariamente l´ım ϕ = 0,
x→ a
x→ a
x→ a
pues l´ım ϕ( x ) = l´ım ( f ( x ) · ψ( x )) = L · 0. Por lo tanto se tiene una condición necesaria para la existencia del límite
x→ a
x→ a
de f ( x ), aunque en la mayoría de casos esta condición también es suficiente, por lo tanto, debemos manipular
algebraicamente la expresión f ( x ) para encontrar su límite.
24
Límites y continuidad
obtenemos de (1.24) que f ( x ) = g( x ) para todo x = a, con g : R −→ R definida5 por:
g( x ) =
x2
x−1
.
+ ax + a2
Por lo tanto, por el teorema L2, tenemos que
l´ım f ( x ) = l´ım g( x ) =
x→a
x→a
a−1
.
3a2
( x + h )3 − x 3
.
h
h →0
12. Calcule l´ım
Solución. Sean x ∈ R y f : R − {0} −→ R definida por:
f (h) =
( x + h )3 − x 3
.
h
Para calcular el límite de ésta función, desarrollemos f (h) como sigue:
( x + h )3 − x 3
x3 + 3x2 h + 3xh2 + h3 − x3
=
h
h
2
h(3x + 3xh + h2 )
=
h
= 3x2 + 3xh − h2 .
Por lo tanto,
( x + h )3 − x 3
= l´ım 3x2 + 3xh − h2
h
h →0
h →0
= 3x2 .
l´ım
13. Calcule l´ım
x→a
sen( x − a)
.
x−a
Solución. Sea f : R − { a} −→ R definida por:
f (x) =
sen( x − a)
.
x−a
Sean g : R − {0} −→ R y h : R −→ R las funciones definidas por g( x ) =
h( x ) = x − a. Entonces:
l´ım
x→a
sen x
y
x
sen ( x − a)
= l´ım g(h( x )).
x→a
( x − a)
Verifiquemos si las funciones g y h satisfacen las condiciones del teorema de cambio
de variable, L15.
Puesto que:
l´ım h( x ) = l´ım ( x − a) = 0,
x→a
x→a
5 Nótese que x 2 + ax + a2 es distinto de 0 para todo x ∈ R, pues el discriminante del polinomio de segundo
grado es negativo.
1.4 Soluciones
25
en L15, b = 0.
Ahora, debemos determinar si g es continua en 0 o si existen l´ım g(y) y un intery →0
valo centrado en a en el cual h( x ) es diferente de 0 (salvo, tal vez, en a).
Como g no es continua en 0, pero existe
l´ım g(y) = l´ım
y →0
y →0
sen y
= 1,
y
por T19, debemos hallar un r > 0 tal que h( x ) = 0 para todo x ∈ ( a − r, a + r ). Entonces, puesto que h( x ) = x − a se anula únicamente en a, podemos tomar cualquier
r > 0, por ejemplo r = 1.
Ahora, todas las condiciones del teorema de cambio de variable, L15, son satisfechas,por lo tanto tenemos:
l´ım g(h( x )) = l´ım g(y)
x→a
y →0
= l´ım
y →0
es decir:
l´ım
x→a
14. Calcule l´ım
x→a
sen x − sen a
.
x−a
sen y
= 1,
y
sen( x − a)
= 1.
x−a
Solución. Sea f : R − { a} −→ R definida por
f (x) =
sen x − sen a
.
x−a
Debemos encontrar
l´ım f ( x ).
x→a
En primer lugar, no podemos aplicar el teorema del límite de un cociente. Por
ello, vamos a operar con el numerador de f ( x ) de tal manera que podamos utilizar la
fórmula T19; para ello, utilicemos la identidad trigonométrica
sen α − sen β = 2 cos
α+β
2
· sen
α−β
2
.
Para todo x = a, obtenemos:
sen x − sen a
f (x) =
=
x−a
cos
x+a
2
x−a
es decir:
f ( x ) = cos
para todo x = a.
x+a
2
· 2 sen
x−a
2
x−a
2 sen
·
x−a
2
;
26
Límites y continuidad
Vamos a utilizar el teorema del límite del producto de funciones, L9. Para ello,
vamos a calcular antes los límites
l´ım cos
x→a
x−a
2
x−a
2 sen
x+a
2
y
l´ım
x→a
.
(a) Puesto que la función coseno es continua, por el límite de una composición, L14,
tenemos que:
x+a
2
l´ım cos
x→a
x+a
2
a+a
.
2
= cos l´ım
x→a
= cos
Por lo tanto:
l´ım cos
x→a
x+a
2
= cos a.
(1.25)
(b) Por L2 y el teorema de cambio de variable L15, mediante un procedimiento parecido al ejercicio anterior, tenemos que
x−a
2
x−a
sen
2 sen
l´ım
x→a
pues
l´ım
x→a
= l´ım
x→a
x−a
2
x−a
2
= 1,
(1.26)
x−a
= 0.
2
Finalmente, de (1.25) y (1.26),
l´ım f ( x ) = cos a · 1 = cos a.
x→a
15. Calcule l´ım
x →0
arctan x
.
x
Solución. Sea f : R − {0} −→ R la función definida por:
f (x) =
arctan x
.
x
Realicemos el cambio de variable considerando la función g : R −→
definida por:
π π
− ,
2 2
g( x ) = arctan x.
Al ser esta una función biyectiva, es inversible, y se tiene que:
f ( x ) = f g−1 ( g( x ))
para todo x ∈ R − {0}; por tanto, podemos aplicar el teorema de cambio de variable
L15 a las funciones f ◦ g−1 y g. En efecto:
1.4 Soluciones
27
• b = l´ım arctan x = 0, puesto que g es una función continua;
x →0
• por L9 y T19
l´ım f g−1 (t) = l´ım
t →0
t →0
= l´ım
t →0
t
tan t
cos t
sen t
t
= 1;
• g( x ) = 0 solo cuando x = 0.
Por tanto, por el teorema de cambio de variable obtenemos que:
l´ım f g−1 ( g( x )) = l´ım f g−1 (t) = 1;
x →0
t →0
de donde:
16. Calcule l´ım
x →0
l´ım f ( x ) = 1.6
x →0
arctan 2x
.
sen 3x
Solución. Sea f : R − {0} −→ R la función definida por:
f (x) =
arctan 2x
.
sen 3x
Para todo x = 0, podemos expresar f ( x ) de la siguiente manera:
arctan 2x
2 arctan 2x
1
.
=
·
sen
3x
sen 3x
3
2x
3x
Entonces, f es el producto de dos funciones y, por L9, se tiene:
l´ım f ( x ) =
x →0
2
arctan 2x
1
l´ım
· l´ım
,
3 x →0
2x
x →0 sen 3x
3x
ya que cada límite del lado derecho de la igualdad existe. En efecto:
arctan 2x
, se calcula mediante el cambio de variable t = arctan 2x,
2x
de donde 2x = tan t. Como x → 0, por la continuidad de la función arcotangente,
t → 0; por lo tanto, se tiene:
• el límite l´ım
x →0
arctan 2x
t
= l´ım
= 1;
2x
tan
t
x →0
t →0
l´ım
6 Podemos generalizar esta forma de calcular
límites de la siguiente manera: si necesitáramos calcular l´ım f ( x ), y
x→ a
definiríamos u = g( x ) donde g es una función biyectiva, tenemos que l´ım f ( x ) = l´ım f g−1 ( u ) con b = l´ım g( x ).
x→ a
u→b
x→ a
Cuando utilicemos de esta manera el teorema del cambio de variable, escribiremos u → b cuando x → a (u tiende
a b cuando x tiende a a). Nótese que el requisito de la biyectividad de la función g es suficiente para satisfacer los
requisitos del teorema de cambio de variable.
28
Límites y continuidad
sen 3x
= 1 = 0, tenemos:
x →0 3x
• Por L9 y l´ım
l´ım
x →0
l´ım 1
1
1
x →0
=
= = 1.
sen 3x
sen 3x
1
l´ım
3x
x →0 3x
Por lo tanto,
l´ım f ( x ) =
x →0
2
2
·1·1 = .
3
3
cos πx
√2 .
x →1 1 − x
17. Calcule l´ım
Solución. Sea f : [0, +∞) − {1} −→ R la función definida por:
f (x) =
cos πx
√2 .
1− x
Sea u = x − 1, entonces u → 0 si x → 1; por lo tanto:
π
cos
(1 + u)
cos πx
2
2√
√ = l´ım
,
l´ım
u →0
x →1 1 − x
1− 1+u
(1.27)
si el límite del lado derecho existiera. Por lo tanto, intentemos calcular este último.
Utilizando la identidad trigonométrica:
cos(α + β) = cos α · cos β − sen α · sen β,
se tiene que,
cos
π
π
u
(1 + u) = cos
+
2
2
2
πu
π
π
· cos
− sen
= cos
2
2
2
πu
= − sen
.
2
· sen
πu
2
De modo que, el límite del lado derecho de la igualdad (1.27), se reduce a:
πu
− sen
√ 2 .
l´ım
u →0 1 − 1 + u
Pero:
πu
πu
− sen
sen
2
2
√
=−
πu
1− 1+u
2
Ahora bien, por un lado, tenemos:
l´ım
u →0
sen
πu
2
πu
2
= l´ım
t →0
(1.28)
πu
√2
·
.
1− 1+u
sen t
= 1,
t
(1.29)
1.4 Soluciones
29
πu
.
2
Por otro lado, se tiene que:
donde t =


πu
πu
√
1 + 1 + u

√2
√2
√
l´ım
= l´ım 
·

u →0 1 − 1 + u
u →0
1− 1+u 1+ 1+u
√
π
(1 + 1 + u)
u →0 2
= −π,
= − l´ım
de donde, junto con (1.29), se tiene que:
πu
− sen
√ 2 = −1 · (−π ) = π.
l´ım
u →0 1 − 1 + u
Entonces, por (1.27) y (1.28):
cos πx
√2 = π.
x →1 1 − x
l´ım
√
1−
18. Calcule l´ım
x →0
cos x
x2
.
Solución. Sea f : (− π2 , π2 ) − {0} −→ R7 la función definida por:
f (x) =
1−
√
cos x
.
x2
Si multiplicamos al numerador y al denominador por
(1 +
√
cos x )(1 + cos x ),
y utilizamos T19 junto con el teorema de producto de límites, L9, obtenemos:
l´ım
x →0
1−
19. Calcule l´ımπ
x→ 4
√
cos x
x2
sen x
x
= l´ım
x →0
2
· l´ım
x →0
(1 +
√
1
1
= .
4
cos x )(1 + cos x )
sen x − cos x
.
1 − tan x
Solución. Sea g : R − { π2 } −→ R, la función definida por:
g( x ) =
sen x − cos x
.
1 − tan x
Observemos que:
7 En
este caso, Dm ( f ) =
sen x − cos x
cos x (sen x − cos x )
=
1 − tan x
cos x − sen x
cos x (sen x − cos x )
=−
= − cos x,
sen x − cos x
k ∈Z { x
∈ R : 2kπ −
es suficiente tomar un subconjunto de éste.
π
2
≤ x ≤ (2k + 1) π −
π
2}−
{0}, pero para el cálculo de l´ım f ( x ),
x →0
30
Límites y continuidad
pues sen x − cos x = 0 para x =
l´ımπ
x→ 4
20. Calcule l´ım
x →0
π
4
+ k π2 , con k ∈ Z. Entonces:
sen x − cos x
1
= l´ımπ − cos x = − √ .
1 − tan x
x→ 4
2
x2 − 2x + 3
x2 − 3x + 2
sen x
x
.
Solución. Sea f : R − {1, 2, 0} −→ R definida por:
f (x) =
sen x
x
x2 − 2x + 3
x2 − 3x + 2
.
Para poder utilizar T21, debemos probar la existencia de los límites del exponente y
de la base.
3
x2 − 2x + 3
= , por L9, puesto que el límite del denominador es distinto
(a) l´ım 2
2
x →0 x − 3x + 2
de 0.
sen x
(b) l´ım
= 1, por T19.
x →0 x
Puesto que el límite de la base es mayor que 0, concluimos que:
l´ım
x →0
sen x
x
x2 − 2x + 3
x2 − 3x + 2
3
2
=
1
3
= .
2
21. Calcule l´ımπ (tan x )tan 2x .
x→ 4
Solución. Sea f : (− π2 , π2 ) −→ R, la función definida por:
f ( x ) = (tan x )tan 2x .
Si analizamos los límites de la base y del exponente, se tiene que
l´ımπ tan x = tan
x→ 4
π
= 1,
4
ya que la función tangente es continua; y l´ımπ tan 2x no existe, puesto que
x→ 4
l´ım tan 2x = −∞
x → π4 +
y
l´ım tan 2x = +∞,
x → π4 −
entonces, no podemos aplicar el límite sobre potencias de funciones, T21, directamente. Sin embargo, sí lo podemos utilizar realizando previamente una manipulación algebraica, obteniendo:
(tan x )tan 2x = (1 + (tan x − 1))tan 2x
tan x −1
= (1 + (tan x − 1)) tan x−1 tan 2x
1
= (1 + (tan x − 1)) tan x−1
(tan x −1) tan2x
;
1.4 Soluciones
31
es decir:
(tan x −1) tan2x
1
(tan x )tan 2x = (1 + (tan x − 1)) tan x−1
.
Ahora, por T23, tenemos que
1
l´ımπ [1 + (tan x − 1)] tan x−1 = e,
(1.30)
x→ 4
ya que (tan x − 1) → 0 cuando x →
Además, como
π
4.
2 tan x
1 − tan2 x
2 tan x
= (tan x − 1)
,
(1 − tan x )(1 + tan x )
(tan x − 1) tan 2x = (tan x − 1)
y si tomamos x =
π
4
+ k π2 , con k ∈ Z, tenemos que:
(tan x − 1) tan 2x = −2
tan x
;
1 + tan x
por lo tanto:
tan x
1 + tan x
l´ım (tan x − 1) tan 2x = l´ımπ −2
x → π4
x→ 4
= −2
1
;
1+1
es decir:
l´ım (tan x − 1) tan 2x = −1.
(1.31)
x → π4
Ahora ya podemos aplicar T21, pues el límite de la base y es igual a e, que es mayor
que 0, y el límite del exponente también existe. Entonces:
1
(tan x −1) tan2x
1
x → π4
l´ımπ (tan x )tan 2x = l´ımπ (1 + (tan x − 1)) tan x−1
x→ 4
x→ 4
= l´ımπ (1 + (tan x − 1)) tan x−1
x→ 4
l´ım (tan x −1) tan2x
= e −1 .
Por lo tanto:
l´ımπ (tan x )tan 2x =
22. Calcule l´ım
x →0
√
x
x→ 4
1
.
e
1 − 2x.
√
Solución. En este caso, f ( x ) = x 1 − 2x y Dm ( f ) = (−∞, 12 ] − {0}. Los límites de la
base y del exponente son, respectivamente, los siguientes:
l´ım (1 − 2x ) = 1 y
x →0
1
= +∞
x →0 x
l´ım
32
Límites y continuidad
Como el límite del exponente no existe, no podemos aplicar el límite de potencia de
funciones, T21. Pero puesto que:
√
x
1
1 − 2x = (1 − 2x ) x
1
= (1 − 2x ) −2x
para todo x ≤
1
2
−2
y x = 0, y por T23, conocemos que:
1
l´ım (1 + (−2x )) −2x = e,
x →0
podemos concluir que:
1
l´ım (1 − 2x ) −2x
x →0
−2
= e −2 .
1.5 Ejercicios Propuestos
1. Calcule
2. Calcule
1000x
.
x →+ ∞ x 2 − 1
l´ım
l´ım
x →+ ∞
Respuesta 0.
2x + 3
√ .
x+ 3 x
Respuesta 2.
1
3
−
.
x →1 1 − x
1 − x3
√
√
3 2
x −23 x+1
4. Calcule l´ım
.
x →1
( x − 1)2
3. Calcule l´ım
5. Calcule
6. Calcule
l´ım
x ( x + a) − x .
x →+ ∞
l´ım
x →+ ∞
7. Calcule l´ım
x →0
√
x+a−
sen 5x
.
sen 2x
tan πx
.
x →−2 x + 2
x →0
10. Calcule
11. Calcule
l´ım
x sen
l´ım
1
x2
x →+ ∞
Respuesta
a
.
2
Respuesta 0.
2x
x +1
1
x →0
1
5
.
2
Respuesta 1.
π
.
x
12. Calcule l´ım (cos x ) x .
13. Calcule l´ım (cos x ) x2 .
x →0
1
.
9
Respuesta π.
arc sen x
.
x
x →+ ∞
x .
Respuesta
Respuesta
8. Calcule l´ım
9. Calcule l´ım
√
Respuesta −1.
.
Respuesta π.
Respuesta 0.
Respuesta 1.
1
Respuesta e− 2 .
1.5 Ejercicios Propuestos
14. Calcule
l´ım
x →+ ∞
33
x−1
x+1
x
Respuesta e−2 .
.
1
15. Calcule l´ım (1 + x ) x .
Respuesta e.
x →0
1
Respuesta ek .
16. Calcule l´ım (1 + k · f ( x )) f ( x) , si l´ım f ( x ) = 0.
x→a
x→a
17. Calcule l´ım [ f ( x )]g( x ) , si existe l´ım f ( x ) > 1 y l´ım g( x ) = +∞.
Respuesta +∞.
18. Calcule l´ım [ f ( x )]g( x ) , si existe l´ım f ( x ) > 1 y l´ım g( x ) = −∞.
Respuesta 0.
19. Calcule l´ım [ f ( x )]g( x ) , si 0 < l´ım f ( x ) < 1 y l´ım g( x ) = +∞.
Respuesta 0.
20. Calcule l´ım [ f ( x )]g( x ) , si 0 < l´ım f ( x ) < 1 y l´ım g( x ) = −∞.
Respuesta +∞.
x→a
x→a
x→a
x→a
x→a
x→a
x→a
x→a
x→a
x→a
x→a
x→a
34
Límites y continuidad
Capítulo 2
La Derivada
2.1 Derivadas
D1. Derivada de una función. Sea f : Dm( f ) → R y a ∈ Dm( f ). Si existe el límite
l´ım
x→a
f ( x ) − f ( a)
x−a
se dice que f es derivable en a. Este límite se representa por f ′ ( a) o por
denominado derivada de f en a. La función
df
dx ( a ),
y es
f ′ : Dm( f ′ ) → R
x −→ f ′ ( x )
donde Dm( f ′ ) es el subconjunto de Dm( f ) donde f ′ existe, es denominada la derivada
de f .
D2. Si f es derivable en a, entonces f es continua en a.
D3. Propiedades algebraicas I. Sean f y g dos funciones reales derivables en a ∈ R y
λ ∈ R. Entonces:
(a) Suma: f + g es derivable en a y
( f + g ) ′ ( a ) = f ′ ( a ) + g ′ ( a ).
(b) Producto: f g es derivable en a y
( f g ) ′ ( a ) = f ′ ( a ) g ( a ) + f ( a ) g ′ ( a ).
(c) Inverso multiplicativo: Si g( a) = 0,
1
g
1
g
es derivable en a y
′
( a) = −
g′ ( a)
.
g2 ( a )
D4. Propiedades algebraicas II. Sean f y g dos funciones reales derivables en a ∈ R y
λ ∈ R. Entonces:
36
La Derivada
(a) Escalar por función: λ f es derivable en a y
( λ f ) ′ ( a ) = λ f ′ ( a ).
(b) Resta: ( f − g) es derivable en a y
( f − g ) ′ ( a ) = f ′ ( a ) − g ′ ( a ).
(c) Cociente: si g( a) = 0,
f
g
es derivable en a y
f
g
′
( a) =
f ′ ( a) g( a) − f ( a) g′ ( a)
.
g2 ( a )
D5. Regla de la cadena o derivada de la función compuesta. Sean f y g dos funciones
reales tales que existe f ◦ g, y a ∈ Dm ( f ◦ g). Supongamos que:
(a) g es derivable en a; y
(b) f es derivable en g( a).
Entonces la compuesta f ◦ g es derivable en a. Además:
( f ◦ g)′ ( a) = f ′ ( g( a)) ◦ g′ ( a).
D6. Derivada de la función inversa. Sean f : D ⊆ R → R una función inyectiva y f −1 :
Im ( f ) → D su inversa, se tiene que
( f −1 ) ′ ( y ) =
1
,
f ′ ( f −1 (y))
siempre que y ∈ Im ( f ) y que el denominador sea diferente de cero.
D7. Derivadas de segundo orden. Sea a ∈ D ( f ′ ) para el cual existe la derivada de f ′ ; es
decir, existe ( f ′ )′ ( a). Este número es denominado segunda derivada de f en a y es representado por:
d2
f ′′ ( a) o
f ( a ).
dx2
Es decir:
d2
d
d
f ′′ ( a) = 2 f ( a) =
f ( a ) = ( f ′ ) ′ ( a ).
dx dx
dx
D8. Derivada de orden n. Sea f : Dm( f ) → R. Para cada n ∈ N, se define:
(a) f (0) = f .
(b) f (n+1) = ( f (n) )′ , para n ≥ 0.
Si existe f (n) ( a), este número es denominado la n-ésima derivada de f en a y suele ser
representado de la siguiente manera:
f (n) ( a) =
dn
f ( a ).
dx n
2.1 Derivadas
37
D9. Conjunto acotado por arriba y por abajo. Un conjunto no vacío A ⊂ R es acotado por
abajo (arriba) si existe c ∈ R tal que x ≥ c (x ≤ c) para todo x ∈ A. A c se le llama cota
inferior (inferior) de A.
D10. Ínfimo, supremo, mínimo y máximo. Sea A ⊂ R. Entonces, se define
(a) Ínfimo de A (´ınf A) como la más grande de las cotas inferiores de A si A es acotado por abajo, o −∞ si no.
(b) Supremo de A (sup A) como la más pequeña de las cotas superiores de A si A es
acotado por arriba, o +∞ si no.
(c) Mínimo de A (m´ın A) como el ´ınf A si ´ınf A ∈ A e ´ınf A > −∞;
(d) Máximo de A (m´ax A) como el sup A si sup A ∈ A y sup A < +∞;
D11. Conjunto acotado. Un conjunto A ⊂ R es acotado si y solo si A es acotado por arriba
y por abajo.
D12. Función acotada. Sean Ω = ∅ y f : Ω → R. Entonces, la función f es:
(a) acotada por abajo (arriba) si y solo si el conjunto Img( f ) es acotado por abajo
(arriba).
(b) acotada si y solo si el conjunto Img( f ) es acotado.
D13. Caracterización función acotada. Sean Ω = ∅ y f : Ω → R. Entonces, la función f es:
(a) acotada por abajo si y solo si el conjunto existe c1 ∈ R tal que
f ( x ) ≥ c1 ,
(b) acotada por arriba si y solo si el conjunto existe c2 ∈ R tal que
f ( x ) ≤ c2 ,
(c) acotada si y solo si el conjunto existen c1 ∈ R y c2 ∈ R tales que
c1 ≤ f ( x ) ≤ c2 ,
(d) acotada si y solo si el conjunto existe R > 0 tal que
| f ( x )| < R,
para todo x ∈ Ω.
D14. Sean Ω = ∅ y f : Ω → R. Definimos:
(a) ´ınf f ( x ) = ´ınf Img( f ).
x ∈Ω
(b) sup f ( x ) = sup Img( f ).
x ∈Ω
(c) m´ın f ( x ) = m´ın Img( f ).
x ∈Ω
(d) m´ax f ( x ) = m´ax Img( f ).
x ∈Ω
38
La Derivada
D15. Existencia de los extremos globales para funciones continuas. Sean a y b en R tales
que a < b y f : [ a, b] → R, una función continua en [ a, b]. Entonces existen xm y x M en
[ a, b] tales que
f ( xm ) = m´ın f ( x )
x ∈[ a,b]
y
f ( x M ) = m´ax f ( x ).
x ∈[ a,b]
Además, se tiene que Img( f ) ⊆ [ f ( xm ), f ( x M )]; es decir:
f ( xm ) ≤ f ( x ) ≤ f ( x M )
para todo x ∈ [ a, b].
D16. Extremos locales. Sean I un intervalo y f : I → R. Sean x y x dos elementos de I.
Entonces:
(a) la función f alcanza un mínimo local o relativo en x si y solo si existe r > 0 tal que
f (x) ≤ f (x)
para todo x ∈ I ∩ ] x − r, x + r [.
(b) la función f alcanza un máximo local o relativo en x si y solo si existe r > 0 tal que
f (x) ≥ f (x)
para todo x ∈ I ∩ ] x − r, x + r [.
D17. Interior de un intervalo. Sea I un intervalo abierto. El interior de I es el intervalo
abierto más grande que está contenido en I, se lo nota por I ◦ .
D18. Punto crítico. Dada una función real f , continua en un intervalo I de extremos a y b
(a < b), y derivable en el interior de I, a un número c del interior de I se lo llama punto
crítico de f si y solo si f ′ (c) = 0 o si no existe f ′ (c), es decir, si f no es derivable en c.
D19. Extremos locales. Sean I un intervalo, f : I → R y c ∈ I ◦ . Si f alcanza un extremo
local en c, entonces c es un valor crítico de f .
D20. Funciones creciente y decreciente. Sean I un intervalo y f : I → R. Entonces la función
f es
(a) creciente en I si y solo si f ( x1 ) < f ( x2 )
(b) no decreciente en I si y solo si f ( x1 ) ≤ f ( x2 )
(c) decreciente en I si y solo si f ( x1 ) > f ( x2 )
(d) no creciente en I si y solo si f ( x1 ) ≥ f ( x2 )
(e) monótona si y solo si es creciente o decreciente
para todo x1 y x2 en I tales que x1 < x2 .
D21. Sean I un intervalo de extremos a < b, f : I → R continua en I y además, f derivable
en ] a, b[, entonces:
2.1 Derivadas
39
(a) si f ′ ( x ) > 0 para todo x ∈ ] a, b[, entonces f es creciente en I; y
(b) si f ′ ( x ) < 0 para todo x ∈ ] a, b[, entonces f es decreciente en I.
D22. Extremos locales. Sean I un intervalo abierto, c ∈ I y f : I → R una función continua
en I y derivable en I − {c}. Si c es un punto crítico de f y f ′ ( x ) cambia de signo en c,
entonces f alcanza un extremo local en c. De manera más precisa: si x ∈ I y
(a) si f ′ ( x ) < 0 para todo x < c; y
(b) si f ′ ( x ) > 0 para todo x > c,
entonces f alcanza un mínimo local en c; y
(a) si f ′ ( x ) > 0 para todo x < c; y
(b) si f ′ ( x ) < 0 para todo x > c,
entonces f alcanza un máximo local en c.
D23. Teorema del valor intermedio o de los incrementos finitos. Si f es continua en el intervalo [ a, b] y derivable en ( a, b), entonces existe un número c ∈ ( a, b) tal que:
f ′ (c) =
o también:
f ( b) − f ( a )
,
b−a
f (b) − f ( a) = f ′ (c)(b − a).
D24. Si f está definida en un intervalo [ a, b], y es derivable en el abierto tal que su derivada
es igual a 0 para todo punto de éste, entonces f es constante en [ a, b].
D25. Teorema general del valor intermedio. Sean f : R → R y g : R → R dos funciones
continuas en el intervalo [ a, b] y derivables en ( a, b). Supongamos que g′ ( x ) = 0 para
todo x ∈ ( a, b) y que g( a) = g(b). Entonces existe c ∈ ( a, b) tal que:
f ( b) − f ( a )
f ′ (c)
= ′ .
g ( b) − g ( a )
g (c)
D26. Funciones convexa y cóncava. Sean I ⊂ R un intervalo y f : I → R una función
definida en I. La función f es convexa (respectivamente cóncava) en I si para cualquier
para x0 ∈ I, x1 ∈ I tales que x0 < x1 , el gráfico de f correspondiente al intervalo
( x0 , x1 ); es decir, el conjunto de R2
{( x, f ( x )) : x ∈ ( x0 , x1 )}
(2.1)
queda por debajo (respectivamente por encima) del segmento de recta [ P0 , P1 ], con
P0 ( x0 , y0 ) y P1 ( x1 , y1 ), donde y0 = f ( x0 ) y y1 = f ( x1 ).
D27. Criterio de la derivada para la convexidad. Sea f : [ a, b] → R continua en [ a, b] y
derivable en ( a, b). Si f ′ es creciente (respectivamente decreciente) en ( a, b), entonces
f es convexa (respectivamente cóncava) en [ a, b].
D28. Si f es continua en [ a, b] y existe f ′′ y es positiva (respectivamente negativa) en ( a, b),
entonces f es convexa (respectivamente cóncava) en [ a, b].
40
La Derivada
D29. Punto de inflexión. Sean f : [ a, b] → R y x0 ∈ ( a, b). Si f es convexa en [ a, x0 ] y cóncava
en [ x0 , b], o viceversa, se dice que el punto de coordenadas ( x0 , f ( x0 )) es un punto de
inflexión del gráfico de f .
D30. Si existe f ′′ ( x0 ) y si P0 ( x0 , f ( x0 )) es un punto de inflexión de la gráfica de f , entonces
f ′′ ( x0 ) = 0.
D31. Sean I un intervalo y x un punto de su interior tal que f alcanza un extremo local en
x. Entonces x es un punto crítico de f ; es decir, f ′ ( x) = 0 o no existe la derivada de f
en x.
D32. Sean I =] a, b[ y f : I → R una función continua en I. Entonces:
(a) Si f es creciente en I, entonces Img( f ) =
l´ım f ( x ), l´ım f ( x ) .
x → a+
(b) Si f es decreciente en I, entonces Img( f ) =
x →b−
l´ım f ( x ), l´ım f ( x ) .
x →b−
x → a+
(c) Resultados análogos a los anteriores son verdaderos si I es uno de los siguientes
intervalos: ] − ∞, b[, ] a, +∞[ y ] − ∞, ∞[.
D33. Regla de L’Hôpital. Sea a ∈ R. Si l´ımx → a
l´ım
x→a
f (x)
g( x )
es una indeterminación y si
f ′ (x)
= L ∈ R ∪ {−∞, ∞},
g′ ( x )
entonces
l´ım
x→a
f ′ (x)
f (x)
= l´ım ′
.
x→a g (x)
g( x )
2.2 Tabla de derivadas
T24. y = k
y′ = 0.
T25. y = x
y′ = 1.
T26. y = sen u
y′ = u′ cos u.
T27. y = cos u
y′ = −u′ sen u.
T28. y = tan u
y′ = u′ sec u.
T29. y = arc sen u
y′ =
′
√u
.
1 − u2
T30. y = arc cos u
y′ =
′
√−u .
1 − u2
T31. y = arctan u
y′ =
u′
.
1 + u2
T32. y = um
y′ = m um−1 u′ , para todo m ∈ R.
T33. y = eu
y ′ = u′ eu .
T34. y = ln u
y′ =
u′
u.
2.3 Enunciados de ejercicios resueltos
41
2.3 Enunciados de ejercicios resueltos
1. Derivar, utilizando la definición, f ( x ) = arctan( x ).
2. Derivar utilizando la definición f ( x ) = ⌊ x ⌋ si x ∈ Z.
3. Hallar la derivada de la función f ( x ) = ⌊ x ⌋ si x ∈ Z.
4. Derive f ( x ) = arctan x.
5. Derive f ( x ) = e x (tan−1 x + 3x2 ).
6. Derive g(t) = cos(t3 − 7t + et ).
7. Derive u(t) = ln(sin t + arc cos t).
8. Derive f ( x ) = ln | x + e x |.
9. Derive h( x ) =
cos x
.
sen x + 3
′ ( x ) y f ′ ( x ) para f ( x ) =
10. Halle, si existen, f +
0
− 0
| x − 2|, x0 = 2.
′ ( x ) y f ′ ( x ) para
11. Halle, si existen, f +
0
− 0
f (x) =
√
x−1
x2
si x ≥ 1,
− 3x + 2 si x < 1,
x0 = 1.
12. Demuestre que para f : R −→ R y x0 ∈ R, existe f ′ ( x0 ) si y solo si:
′ ( x ) y f ′ ( x ); y
(a) Existen f −
0
+ 0
′ ( x ) = f ′ ( x ).
(b) f −
0
+ 0
Además, en el caso de que exista f ′ ( x0 ), siempre se verificará que
′
f ′ ( x0 ) = f −
( x0 ) = f +′ ( x0 ).
13. Halle los valores de α y β en R para que
f (x) =
( x + α)e− βx si x < 0,
αx2 + βx + 1 si x ≥ 0,
sea derivable en R.
14. Halle los valores de α y β en R para que
f (x) =
sea derivable en R.
αx + β
si x < 0,
α cos x + β sen x
si x ≥ 0,
42
La Derivada
15. Halle el valor de α elemento de R de modo que la función
f (x) =
| x |α sen 1x
0
si x = 0,
si x = 0,
sea continua en 0 y derivable en 0.
16. Halle los valores de α y β en R de modo que la función
f (x) =
| x |α sen | x1| β
0
si x = 0,
si x = 0,
sea continua en 0 y derivable en 0.
17. ¿Para qué valores de x ∈ R, f ( x ) = | sen x | es derivable en x?
18. ¿Para qué valores de x ∈ R, f ( x ) = x | x | es derivable en x?
19. Un avión que está a 500 kilómetros al norte de Quito viene hacia la capital a 400 kilómetros por hora, mientras que otro, que está a 600 kilómetros al este, lo hace a una
velocidad de 300 kilómetros por hora. ¿A qué velocidad se acercan el uno al otro?
20. Un radar que está a 12 kilómetros de una base militar detecta que un avión sobrevuela
la base a 9 000 metros de altura y que se dirige hacia el radar, manteniendo su altitud
y velocidad. Si la rapidez con que decrece la distancia entre el avión y el radar es de
500 kilómetros por hora, ¿a qué velocidad vuela el avión?
21. Un buque se acerca a un faro de 50 metros de altura. Se sabe que el ángulo entre la
horizontal y la recta que une el buque con la punta del faro varía a una razón constante
de α◦ por minuto, cuando el buque está a dos kilómetros del faro. ¿Cuál es la velocidad
del buque? ¿Cuál sería un valor razonable para α?
22. El agua escapa del reservorio cónico, mostrado en la figura, a una razón de 20 litros
por minuto: ¿Con qué velocidad disminuye el nivel de agua cuando su altura h desde
el fondo es de 5 metros? ¿Cuál es la razón de cambio de radio r del espejo del agua en
ese instante?
8m
r
h
8m
2.3 Enunciados de ejercicios resueltos
43
23. Un faro ubicado en un islote situado a 3 kilómetros de la playa emite un haz de luz que
gira dando una vuelta entera cada minuto (figura). ¿Con qué velocidad se “mueve” el
punto P de la playa iluminado por el haz de luz FP emitido por el faro cuando P está
situado a 2 kilómetros del punto Q, que es el punto de la playa más cercano al faro?
Playa
P
Q
3 km
F
24. Un rectángulo mide 10 metros de altura por 20 metros de base. Si la base aumenta a
razón constante de un metro por minuto y la altura disminuye a una razón constante
de dos metros por minuto, ¿con qué velocidad varía el área del rectángulo? El área,
¿aumenta o disminuye?
25. Si de un recipiente, que tiene la forma de una pirámide truncada invertida de base
cuadrada, de 10 metros de altura, de 10 metros el lado del cuadrado más grande y de
5 metros el lado del cuadrado más pequeño, y que está lleno de agua a media altura,
se extrae el líquido a una razón constante de un metro cúbico por minuto:
(a) ¿Con qué rapidez baja el nivel del agua?
(b) Si, por otro lado, el nivel del agua sube un metro por hora al bombear agua en
el reservorio cuando está lleno hasta la mitad, ¿cuál es el caudal de agua que se
introduce?
26. ¿Con qué rapidez varía el área de la corona que queda entre dos circunferencias concéntricas de radios 10 metros y 20 metros respectivamente, si el diámetro de la más
pequeña aumenta un metro por hora y el diámetro de la más grande disminuye dos
metros por hora? ¿Y si los diámetros aumentan un metro por hora? Si el diámetro
menor crece dos metros, ¿cómo debe variar el otro para que el área de la corona no
cambie?
27. Una partícula se mueve en una trayectoria elíptica cuya forma está dada por la ecuación
x 2
y 2
+
= 1.
3
2
Supongamos que las longitudes están expresadas en metros. Si se sabe que en punto
de la abscisa 1, ésta se incrementa a una razón de dos metros por segundo, ¿qué sucede
con la ordenada del punto con la abscisa dada? Considere los casos que se derivan
según los cuadrantes en los que se halla la ordenada.
44
La Derivada
28. Dos calles de diez metros de ancho se intersecan. Se desea transportar horizontalmente una varilla larga y delgada, pero, en la intersección, se requiere virar a la derecha.
¿Cuál es el largo máximo de la varilla que se puede transportar si el grosor de la varilla
es despreciable?
29. Un joven puede remar a razón de dos kilómetros por hora y correr a seis kilómetros
por hora. Si está en el punto A de la playa y desea llegar lo antes posible al punto
B, situado en la isla de enfrente, que está a dos kilómetros del punto C en la playa,
¿hasta qué punto P de la playa debe correr para luego remar desde P hasta B? ¿En
qué tiempo llegará?
Isla
B
2 km
A
P
Playa
C
4 km
2.4 Soluciones
1. Derivar, utilizando la definición, f : R −→ − π2 , π2 , definida por f ( x ) = arctan( x ).
Solución. Para todo x ∈ − π2 ,
π
2
, se tiene que:
f ( x + h) − f ( x )
h
h →0
arctan ( x + h) − arctan ( x )
= l´ım
.
h
h →0
f ′ ( x ) = l´ım
Definamos
u = arctan ( x + h) − arctan ( x ).
Entonces:
tan (u) = tan(arctan ( x + h) − arctan ( x )),
de donde, gracias a la identidad trigonométrica
tan( x − y) =
se tiene:
tan u =
tan( x ) − tan(y)
,
1 + tan( x ) tan(y)
x+h−x
h
=
,
1 + ( x + h) x
1 + x ( x + h)
de donde, se concluye que:
u = arctan
h
.
1 + x ( x + h)
(2.2)
2.4 Soluciones
45
Al reemplazar esta expresión para u en (2.2), se sigue que
h
1 + x ( x + h)
f ′ ( x ) = l´ım
h
h →0
h
arctan
1 + x ( x + h)
= l´ım
h
h →0
1 + x ( x + h)
arctan
es decir:
h
1 + x ( x + h)
h
1 + x ( x + h)
·
1
;
1 + x ( x + h)
·
1
.
1 + x ( x + h)
arctan
f ′ ( x ) = l´ım
h →0
(2.3)
Por otro lado, puesto que
l´ım
h →0
h
=0
1 + x ( x + h)
y
l´ım
t →0
arctan t
= 1,
t
si se hace el cambio de variable
t=
h
,
1 + x ( x + h)
de (2.3) se sigue:
h
1
1 + x ( x + h)
f ′ ( x ) = l´ım
· l´ım
h
h →0
h →0 1 + x ( x + h )
1 + x ( x + h)
arctan t
1
= l´ım
· l´ım
t →0
t
h →0 1 + x ( x + h )
1
= 1·
.
1 + x2
arctan
Por lo tanto:
f ′ (x) =
1
.
1 + x2
2. Derivar, utilizando la definición, la función f : Z −→ R, definida por f ( x ) = ⌊ x ⌋.
Solución. La parte entera de un número real x se define como el número entero ⌊ x ⌋ tal
que
⌊x ⌋ ≤ x < ⌊x ⌋ + 1.
Su existencia está garantizada por el principio del buen orden y la propiedad arquimediana. Entonces, si x0 ∈ Z, f ( x0 ) = ⌊ x0 ⌋ = x0 .
Para calcular f ′ ( x0 ), calculemos las dos derivadas laterales.
′ ( x ) = l´ım
• Cálculo de f +
0
h →0+
f ( x0 + h ) − f ( x0 )
. Como h → 0+ , se puede considerar
h
46
La Derivada
0 < h < 1. Luego
x0 < x0 + h < x0 + 1,
de donde, por la definición de parte entera, tenemos que
f ( x0 + h ) = ⌊ x0 + h ⌋ = x0 .
(Véase la figura 2.1). Entonces:
′
f+
( x0 ) = l´ım
h →0+
x0 − x0
= 0.
h
f ( x0 + h ) − f ( x0 )
. En este caso h → 0− , se puede
h
considerar −1 < h < 0, de donde
′ ( x ) = l´ım
• Cálculo de f −
0
h →0−
x0 − 1 < x0 + h < x0
por lo que
f ( x0 + h) = x0 − 1.
(Véase la figura 2.1). Por lo tanto:
′
f−
( x0 ) = l´ım
h →0−
x0 − 1 − x0
−1
= l´ım
= +∞.
h
h →0− h
f (x)
x0 + 1
x0
x0 − 1
x0 − 1 x0 + h
x0
x0 + k x0 + 1
x
Figura 2.1: Gráfica de la función parte entera para x0 ∈ Z.
′ ( x ), con lo cual, no existe tampoco f ′ ( x ). ConsecuentePor lo tanto, no existe f −
0
0
mente la función parte entera no es derivable para x0 ∈ Z.
3. Derivar, utilizando la definición, la función f : R − Z −→ R, definida por f ( x ) = ⌊ x ⌋.
Solución. Sea x ∈ R tal que x ∈ Z, se tiene que
⌊x ⌋ < x < ⌊x ⌋ + 1.
(2.4)
2.4 Soluciones
47
Definamos la función
g : R − {0} −→ R
h
−→ ⌊ x +hh⌋−⌊ x ⌋ ,
debemos calcular l´ım g(h), pues
h →0
f ′ ( x ) = g ′ ( x ).
La figura 2.2 ilustra la función parte entera.
f (x)
⌊x ⌋
x
⌊x ⌋
x + h ⌊x ⌋ + 1
x
Figura 2.2: Gráfica de la función parte entera para x ∈
/ Z.
Si x + h ∈ ⌊ x ⌋, ⌊ x ⌋ + 1 , se tiene que ⌊ x + h⌋ = ⌊ x ⌋ y, por lo tanto, g(h) = 0.
Por otro lado, como
x + h ∈ ⌊ x ⌋, ⌊ x ⌋ + 1 ⇐⇒ h ∈ ⌊ x ⌋ − x, ⌊ x ⌋ + 1 − x ,
de donde g(h) = 0 para todo
h ∈ ⌊ x ⌋ − x, ⌊ x ⌋ + 1 − x − {0}.
Y como por (2.4), se tiene que el intervalo ⌊ x ⌋ − x, ⌊ x ⌋ + 1 − x contiene al 0, se deduce
que
l´ım g(h) = l´ım 0 = 0,
de donde
f ′ (x)
= 0.
h →0
h →0
4. Derive la función f : (− π2 , π2 ) −→ R, definida por f ( x ) = arctan x, sin utilizar la
definición de derivada.
Solución. Dada la función g : (− π2 , π2 ) −→ R, se tiene, por el teorema de la derivada
de la función inversa D6 y por T28, que:
1
tan′ (arctan x )
1
=
.
sec2 (arctan x )
(arctan x )′ =
Por otro lado, sabemos que
sec2 x = 1 + tan2 x,
48
La Derivada
de donde,
1
1 + (tan(arctan x ))2
1
=
.
1 + x2
(arctan x )′ =
5. Derive la función f : (− π2 , π2 ) −→ R, definida por f ( x ) = e x (tan−1 x + 3x2 ).
Solución. Podemos ver a f como un producto de funciones, por lo tanto, de las propiedades algebraicas de la derivada D3 y D4, tenemos que
f ′ ( x ) = (e x )′ (arctan x + 3x2 ) + (e x )(arctan x + 3x2 )′
= (e x )′ (arctan x + 3x2 ) + (e x )((arctan x )′ + 3( x2 )′ ).
Y gracias a T33, T32 y el ejercicio anterior, tenemos que:
• (ex )′ = ex ,
• (arctan x )′ =
1
,
1 + x2
• ( x2 )′ = (2x ).
Por lo tanto,
f ′ ( x ) = e x (arctan x + 3x2 ) + e x
1
+ 6x .
1 + x2
6. Derive la función g : R −→ R, definida por g(t) = cos(t3 − 7t + et ).
Solución. Se tiene que g(t) = ( f ◦ h)(t), donde f (t) = cos t y h(t) = t3 − 7t + et , las
cuales son funciones derivables en todo t ∈ R; entonces, por la regla de la cadena D5,
se tiene
g′ (t) = f ′ (h(t))(h(t))
= (cos′ (t3 − 7t + et ))(t3 − 7t + et )′
= (3t2 − 7 + et ) sen(t3 − 7t + et ).
7. Derive la función u : D −→ R, definida por u(t) = ln(sin t + arc cos t), con D ⊆ R tal
que para todo t ∈ D, se pueda calcular ln(sin t + arc cos t).
Solución. Sea t ∈ D. Por T30, T34 y las propiedades algebraicas de la derivada D3, se
tiene:
(sen t + arc cos t)′
(sen t + arc cos t)
1
cos t − √
1 − t2
=
.
sen t + arc cos t
u′ ( t) =
8. Derive la función f : R −→ R, definida por f ( x ) = ln | x + e x |.
Solución. Puesto que f se puede expresar como la composición de las funciones g y h,
tales que:
h( x ) = ln| x | y g( x ) = x + e x ,
2.4 Soluciones
49
se tiene, por la regla de la cadena D5, que:
f ′ ( x ) = (ln | x + e x |)′ ( x + e x )′
1
=
(1 + e x ).
x + ex
9. Derive la función h : R −→ R, definida por h( x ) =
cos x
.
sen x + 3
Solución. Sea x ∈ R. Por las propiedades algebraicas de la derivada D3, se tiene
(cos x )′ (sen x + 3) − (cos x )(sen x + 3)′
(sen x + 3)2
− sen x (sen x + 3) − cos x (cos x )
=
(sen x + 3)2
−1 − 3 sen x
=
.
(sen x + 3)2
h′ ( x ) =
′ ( x ) y f ′ ( x ) para la función f : R −→ R, con f ( x ) =
10. Halle, si existen, f +
0
− 0
x0 = 2.
√
Solución. Tomando en cuenta que para x > 2, f ( x ) = x − 2, se tiene que
′
f+
(2)
=
=
=
=
f ( x ) − f (2)
x−2
√
√
x−2− 2−2
l´ım
x−2
x →2+
1
l´ım √
x →2+
x−2
+∞.
l´ım
x →2+
Es decir, no existe la derivada por la derecha
√ de f en el punto x0 = 2.
Ahora, para x < 2, se tiene que f ( x ) = 2 − x; de este modo
′
f−
(2)
=
=
=
=
=
f ( x ) − f (2)
x−2
√
√
2−x− 2−2
l´ım
x−2
x →2−
√
2−x
− l´ım
−
2
−x
x →2
1
− l´ım √
x →2−
2−x
−∞.
l´ım
x →2−
Entonces, no existe la derivada por la izquierda de f en el punto x0 = 2.
′ ( x ) y f ′ ( x ) para la función f definida por
11. Halle, si existen, f +
0
− 0
f (x) =
√
x−1
x2
si x ≥ 1,
− 3x + 2 si x < 1,
| x − 2 |,
50
La Derivada
x0 = 1.
Solución. Tomando en cuenta que, para x > 1, f ( x ) =
′
f+
(1)
√
x − 1, se tiene
f ( x ) − f (1)
x−1
√
√
x−1− 1−1
l´ım
x−1
x →1+
1
l´ım √
x →1+
x−1
+∞.
l´ım
=
x →1+
=
=
=
Es decir, no existe la derivada por la derecha de f en el punto x0 = 1.
Por otro lado, para x < 1, f ( x ) = x2 − 3x + 2, por lo tanto
f ( x ) − f (1)
x−1
2
x − 3x + 2
= l´ım
x−1
x →1−
( x − 2)( x − 1)
= l´ım
x−1
x →1−
= l´ım ( x − 2) = −1.
′
f−
(1) = l´ım
x →1−
x →1−
′ (1) = −1.
Entonces, f −
12. Demuestre que para f : R −→ R y x0 ∈ R, existe f ′ ( x0 ) si y solo si:
′ ( x ) y f ′ ( x ); y
(a) Existen f −
0
+ 0
′ ( x ) = f ′ ( x ).
(b) f −
0
+ 0
Además, en el caso de que exista f ′ ( x0 ), siempre se verificará que
′
f ′ ( x0 ) = f −
( x0 ) = f +′ ( x0 ).
Demostración. Se tiene que f ′ ( x0 ) existe si y solo si el siguiente límite existe
l´ım
x → x0
f ( x ) − f ( x0 )
.
x − x0
Por el teorema L18, este límite existe si y solo si se cumplen las siguientes dos condiciones
f ( x ) − f ( x0 )
f ( x ) − f ( x0 )
(a) Existen l´ım
y l´ım
;y
x − x0
x − x0
x → x0+
x → x0−
(b) l´ım
x → x0+
f ( x ) − f ( x0 )
f ( x ) − f ( x0 )
= l´ım
,
x − x0
x − x0
x → x0−
lo cual, por la definición de derivadas laterales, que exista la derivada de f en x0 es
equivalente a:
′ ( x ) y f ′ ( x ); y
(a) Existen f −
0
+ 0
2.4 Soluciones
51
′ ( x ) = f ′ ( x ).
(b) f −
0
+ 0
Además, si f ′ ( x0 ) existe, también existe el límite
l´ım
x → x0
f ( x ) − f ( x0 )
,
x − x0
y por lo tanto
l´ım
x → x0
f ( x ) − f ( x0 )
f ( x ) − f ( x0 )
f ( x ) − f ( x0 )
= l´ım
= l´ım
,
x − x0
x − x0
x − x0
x → x0+
x → x0−
lo que implica que
′
f ′ ( x0 ) = f −
( x0 ) = f +′ ( x0 ).
13. Halle los valores de α y β en R para que
f (x) =
( x + α)e− βx si x < 0,
αx2 + βx + 1 si x ≥ 0,
sea derivable en R.
Solución. La función f es derivable en R − {0} para todo α, β ∈ R, pues, en el intervalo
(−∞, 0), la función es el producto de una función polinomial con una exponencial y,
en (0, +∞), es una función polinomial. Se sabe que estas funciones son derivables en
todo R y, por lo tanto, su producto es derivable.
Nos resta, entonces, saber qué sucede respecto a la derivabilidad en x = 0. Para
que f sea derivable, debe ser continua, por lo tanto, analicemos la continuidad en 0.
Para esto, calculemos los límites laterales de f en 0:
l´ım f ( x ) = l´ım ( x + α)e− βx = α,
x →0−
x →0
y
l´ım f ( x ) = l´ım (αx2 + βx + 1) = 1.
x →0
x →0+
Obtenemos que, si f es continua en 0, entonces α = 1. Es fácil ver que el recíproco es
verdadero.
Ahora, si f fuera derivable en cero, deberían existir sus derivadas direccionales.
Estas serían:
′
f−
(0) = ( x + α)e− βx
′
x =0
= e− βx (1 + ( x + α)(− β))
= 1 + (− β)α
= 1−β
′
f+
(0) =
αx2 + βx + 1
= [2αx + β]| x =0
=β
con lo cual β =
1
.
2
′
x =0
x =0
52
La Derivada
Finalmente, es fácil ver que para α = 1 y β = 1/2, f es derivable en 0.
14. Halle los valores de α y β en R para que la función f definida por
f (x) =
αx + β
si x < 0,
α cos x + β sen x
si x ≥ 0,
sea derivable en R.
Solución. Por un razonamiento similar al del ejercicio anterior, basta analizar la derivabilidad en cero.
Si f fuera continua en cero,
l´ım f ( x ) = l´ım (αx + β) = β = l´ım f ( x ) = l´ım (α cos x + β sen x ) = α,
x →0−
x →0
x →0
x →0+
de donde α = β.
Si f fuera derivable en cero:
′
f−
(0) = α = f +′ (0) = −α sen(0) + β cos(0) = β
con lo cual se concluye que α = β.
Es fácil verificar que si α = β, f es diferenciable en 0.
15. Halle el valor de α elemento de R de modo que la función f definida por
| x |α sen x1
0
f (x) =
si x = 0,
si x = 0,
sea continua en 0 y derivable en 0.
Solución. En primer lugar, calculemos los límites unilaterales. En primer lugar, calculemos
1
l´ım f ( x ) = l´ım x α sen .
+
+
x
x →0
x →0
En primer lugar, tenemos que
−1 < sen
1
< 1.
x
Si x > 0, se verifica que
− x < x sen
1
< x;
x
luego, por el teorema del sandwich L16:
l´ım x sen
x →0+
1
= 0,
x
con lo que podemos concluir que
l´ım f ( x ) = l´ım x α−1 · l´ım x sen
x →0+
siempre y cuando α − 1 > 0.
x →0+
x →0+
1
= 0 · 0 = 0,
x
2.4 Soluciones
53
De manera similar, se puede encontrar que
l´ım f ( x ) = 0,
x →0−
siempre y cuando α − 1 > 0. Por lo tanto f será continua en 0 si α > 1.
Ahora, calculemos las derivadas direccionales de f en 0.
′
f+
(0) = x α sen
1
x
′
x =0
−1
1
1
cos
= αx
sen + x α
x
x x =0
x2
1
1
= αx α−1 sen − x α−2 cos
= 0,
x
x x =0
α −1
si y cuando α > 2, pues las funciones sen y cos están acotadas ∀ x ∈ R.
′ (0) = 0, cuando α > 2.
De manera similar, se tiene que f +
Finalmente, para α > 2, las derivadas direccionales de f existen y son iguales.
Luego f es derivable para α > 2.
16. Halle los valores de α y β en R de modo que la función f definida por
| x |α sen | x1| β
f (x) =
0
si x = 0,
si x = 0,
sea continua en 0 y derivable en 0.
Solución. Calculemos los límites unilaterales; empecemos por
l´ım f ( x ) = l´ım x α sen
x →0+
x →0+
1
.
xβ
Si x > 0 entonces x β > 0 para todo β = 0 y
− x β < x β sen
1
< xβ.
xβ
Luego, por el teorema del sánduche, si β = 0, entonces:
l´ım f ( x ) = l´ım x α− β l´ım x β sen
x →0+
x →0+
x →0+
1
= 0 × 0 = 0,
xβ
siempre y cuando β = 0 y α − β > 0.
De manera similar se puede demostrar que l´ım f ( x ) = 0, siempre y cuando β = 0
x →0−
y α − β > 0.
Por lo tanto, si f es continua en 0, entonces β = 0 y α − β > 0.
Ahora, calculemos las derivadas direccionales de f en 0:
′
f+
(0) = l´ım
h →0+
f ( h ) − f (0)
h
54
La Derivada
= l´ım
hα sen
1
hβ
h
h →0+
= l´ım hα−1 sen
h →0+
1
hβ
=0
si α > 1, pues la función sen es acotada.
′ (0) = 0, cuando α > 1. Por lo tanto f es derivaDe manera similar, se tiene que f +
ble si α > 1.
17. ¿Para qué valores de x ∈ R, la función f definida por f ( x ) = | sen x | es derivable en
x?
Solución. Primeramente, por la definición de valor absoluto se tiene:
f (x) =
sen x
si sen x ≥ 0,
− sen x si sen x < 0.
Entonces, la derivada de f está dada por:
f ′ (x) =
cos x
si sen x > 0,
− cos x si sen x < 0.
Ahora, puesto que
sen x = 0 ⇐⇒ x = nπ,
n ∈ N,
calculemos las derivadas laterales en x = nπ para n ∈ N. Si n ∈ N:
′
f−
(nπ ) = − cos(nπ ) = −(−1)n = (−1)n+1,
′
(nπ ) = cos(nπ ) = (−1)n .
f+
Por lo tanto, se concluye que
′
f−
(nπ ) = f +′ (nπ ),
lo que implica f es derivable en R − {nπ : n ∈ N }.
18. ¿Para qué valores de x ∈ R, la función f , definida por f ( x ) = x | x |, es derivable en x?
Solución. De las definiciones de valor absoluto y de la función f se tiene:
f (x) =
x2
−x2
si x ≥ 0,
si x < 0.
Para todo x = 0, la función f es derivable. Veamos qué si también lo es en x = 0.
Calculemos las derivadas unidireccionales de f en 0:
′
f−
( 0 ) = − 02 = 0
′
f+
(0) = 02 = 0.
Puesto que las derivadas por derecha e izquierda en el punto 0 coinciden, f es diferenciable en 0 también.
2.4 Soluciones
55
19. Un avión que está a 500 kilómetros al norte de Quito viene hacia la capital a 400 kilómetros por hora, mientras que otro, que está a 600 kilómetros al este, lo hace a una
velocidad de 300 kilómetros por hora. ¿A qué velocidad se acercan el uno al otro en
ese momento?
Solución. Sean
x (t) : la distancia (en km) entre Quito y el avión que se encuentra en el este en el
momento t,
y(t) : la distancia (en km) entre Quito y el avión que se encuentra al norte en el
momento t,
z(t) : la distancia (en km) entre ambos aviones en el momento t.
Por la posición de lo aviones, tenemos la siguiente relación
z2 = x 2 + y 2 ,
de la cual, derivándola respecto al tiempo (t), y aplicando la regla de la cadena, se
obtiene que
dz
dx
dy
2z
= 2x + 2y .
dt
dt
dt
Luego de despejar
dz
dt ,
obtenemos que
dz
=
dt
Puesto que
dx
dt
y
dy
dt
x
dx
+
x2 + y2 dt
y
dy
x2 + y2 dt
son las velocidades (en km/h) con las que los aviones se acercan a
Quito, respectivamente, se tiene que dx
dt = 300 y
en el que x (t) = 600 y y(t) = 500, se obtiene
dy
dt
= 400. Entonces, en el momento t
dz
600
500
= √
· 300 + √
· 400
2
2
dt
600 + 500
6002 + 5002
≈ 486,54.
Por lo tanto, la velocidad en la que se acercan los aviones entre sí cuando están a una
distancia de 600 y 500 kilómetros de Quito, respectivamente, es aproximadamente
486,54 km/h.
20. Un radar que está a 12 kilómetros de una base militar detecta que un avión sobrevuela
la base a 9 000 metros de altura y que se dirige hacia el radar, manteniendo su altitud
y velocidad. Si la rapidez con que decrece la distancia entre el avión y el radar es de
500 kilómetros por hora, ¿a qué velocidad vuela el avión?
Solución. Definamos:
x (t) : distancia horizontal (en km) entre el radar y el avión en el momento t,
z(t) : distancia total (en km) entre entre el radar y el avión en el momento t.
Puesto que el avión conserva una altitud constante de 9 km/h, se tiene la siguiente
relación:
z = x 2 + 92 ,
56
La Derivada
de donde, derivando con respecto al tiempo, obtenemos
dz
x
dx
= √
;
2
dt
x + 81 dt
por lo tanto:
dx
=
dt
√
x2 + 81 dz
.
x
dt
Por otro lado, se tiene que y dz
dt es la velocidad con la que se acerca el avión al radar,
dz
por lo tanto dt = 500.
Ahora calculemos dx
dt , que es la velocidad del avión, cuando x = 12, porque a esa
distancia está la base del radar, y el avión está sobre la base:
dx
=
dt
√
122 + 81
· 500
12
= 625.
Por lo tanto, la velocidad en la que vuela el avión es 625 km/h cuando sobre vuela la
base.
21. Un buque se acerca a un faro de 50 metros de altura. Se sabe que el ángulo entre la
horizontal y la recta que une el buque con la punta del faro varía a una razón constante
de α◦ por minuto, cuando el buque está a dos kilómetros del faro. ¿Cuál es la velocidad
del buque? ¿Cuál sería un valor razonable para α?
Solución. Notando por F al punto en el cual se encuentra el faro y B a aquel en el que
se encuentra el buque, podemos realizar el siguiente gráfico que ilustra la situación:
F
θ
0,05 km
θ
B
2 km
Si nombramos con x la distancia del bote a la base del faro, tenemos que:
tan θ =
0,05
;
x
por lo tanto
0,05
.
tan θ
Ahora, si derivamos con respecto al tiempo, obtenemos que
x=
dx
sec2 θ dθ
= −0,05 ·
·
dt
tan2 θ dt
2.4 Soluciones
57
= −0,05 ·
Por otro lado se tiene que
x = 2. Luego, como
dθ
dt
1
dθ
· .
2
sen θ dt
= α y θ = arctan 0,05
2 ≈ 0,025 en el momento en que
sen θ ≈ θ ≈ 0,025,
obtenemos que
dx
≈ −80α.
dt
P or lo tanto la velocidad a la que se acerca el buque a la orilla es de aproximadamente 80 αkm/h. Puesto que la velocidad promedio de un buque es 20 km/h, un valor
razonable para α sería 0,25.
22. El agua escapa del reservorio cónico, mostrado en la figura 2.3, a una razón de 20
litros por minuto. ¿Con qué velocidad disminuye el nivel de agua cuando su altura
h, medida desde el fondo, es de 5 metros? ¿Cuál es la razón de cambio de radio r del
espejo del agua en ese instante?
8m
r
8m
h
Figura 2.3
Solución. Sea V el volumen de agua, medido en metros cúbicos, que hay en el recipiente cónico cuando el radio del espejo del agua, medido en metros, es r. Si h es la
altura del cono de agua, medido en metros, entonces se tiene la siguiente relación
V=
1 2
πr h.
3
(2.5)
Conocemos que el agua escapa del reservorio a una razón de 20 litros por minuto; es
decir,
dV
= −20.
dt
Derivamos la ecuación (2.5) respecto al tiempo, por lo tanto se tiene:
dV
1
dr
dh
= π 2r h + r2
.
dt
3
dt
dt
Por otra parte, de la figura 2.4 podemos observar que la relación entre r y h está dada
58
La Derivada
por:
h
8
= = 2,
r
4
de donde, 2r = h y derivando respecto al tiempo:
tan θ =
2
dr
dh
=
.
dt
dt
h
θ
r
Figura 2.4
Reemplazando en la ecuación (2.5) se tiene
dV
1
dr
dr
= π 2r h + 2r2
.
dt
3
dt
dt
Ahora, si h = 5 y r = 2,5, tenemos que
−20 =
1
dr
dr
π 2 · 2,5 5 + 2 · 2,52
,
3
dt
dt
luego,
dr
16
=−
≈ −1,019.
dt
5π
Es decir, el radio r del espejo del agua disminuye aproximadamente a 1.019 metros
por minuto cuando la altura del agua es de 5 metros.
23. Un faro ubicado en un islote situado a 3 kilómetros de la playa emite un haz de luz
que gira dando una vuelta entera cada minuto (figura 2.5). ¿Con qué velocidad se
“mueve” el punto P de la playa iluminado por el haz de luz FP emitido por el faro
cuando P está situado a 2 kilómetros del punto Q, que es el punto de la playa más
cercano al faro?
Solución. Sean θ el ángulo entre las rectas PF y QF, y x la distancia medida en metros
desde Q hasta P, se tiene la relación
tan θ =
x
.
3
(2.6)
Como el faro emite un haz de luz que gira dando una vuelta cada minuto, entonces
dθ
= 2π.
dt
(2.7)
Las magnitudes θ y x están relacionadas entre sí mediante (2.6) las mismas que a
2.4 Soluciones
59
Playa
P
Q
F
3 km
Figura 2.5
su vez dependen del tiempo t, por lo tanto, para encontrar la razón de cambio
derivamos respecto a t ambos lados de la ecuación (2.6); es decir,
sec2 θ
con lo cual,
dx
dt
dθ
1 dx
=
,
dt
3 dt
dx
dθ
= 3 sec2 θ .
dt
dt
Para el caso en que x = 2,
sec2 θ = 1 + tan2 θ = 1 +
2
3
2
5
= ,
9
y considerando la ecuación (2.7), se tiene finalmente
dx
5
10π
= 3 × (2π ) =
≈ 10,47.
dt
9
3
Es decir, el punto P se “mueve” a una velocidad de aproximadamente 10.47 kilómetros
por minuto.
24. Un rectángulo mide 10 metros de altura por 20 metros de base. Si la base aumenta a
razón constante de un metro por minuto y la altura disminuye a una razón constante
de dos metros por minuto, ¿con qué velocidad varía el área del rectángulo? El área,
¿aumenta o disminuye?
Solución. Sean A el área del rectángulo medida en metros cuadrados, x la base del
rectángulo medido en metros y y la altura del rectángulo medido en metros. Entonces
se tiene la relación
A = xy.
(2.8)
Dado que la base aumenta a razón de un metro por minuto y la altura disminuye a
60
La Derivada
razón de 2 metros por minuto, se tiene:
dx
=1
dt
dy
= −2.
dt
Derivando la ecuación (2.8) respecto al tiempo se tiene que
dA
d
dx
dy
= ( xy) =
y+x .
dt
dt
dt
dt
Por lo tanto, cuando x = 20 y y = 10, se obtiene
dA
= 1 · 10 + 20 · (−2) = −30.
dt
Es decir, el área del rectángulo disminuye 30 metros cuadrados cada minuto.
25. De un recipiente, que tiene la forma de una pirámide truncada invertida de base cuadrada, de 10 metros de altura, de 10 metros el lado del cuadrado más grande y de 5
metros el lado del cuadrado más pequeño, y que está lleno de agua a media altura, se
extrae el líquido a una razón constante de un metro cúbico por minuto.
(a) ¿Con qué rapidez baja el nivel del agua?
(b) Si, por otro lado, el nivel del agua sube un metro por hora al bombear agua en
el reservorio cuando está lleno hasta la mitad, ¿cuál es el caudal de agua que se
introduce?
Solución. (a) Sean h la altura del nivel del agua medida en metros, V el volumen del
agua medida en metros cúbicos y 2r la longitud medida en metros del lado del
cuadrado de la base superior de la pirámide de agua. Entonces el área medida en
metros cuadrados de las superficie de la base inferior Sb de la pirámide de agua
es
Sb = 52 = 25
y el área medida en metros cuadrados de la base superior SB es
SB (r ) = (2r )2 .
Luego V está dado por
V=
h (r )
3
S B ( r ) + Sb +
Sb S B ( r ) .
(2.9)
Derivando respecto a t ambos lados de la ecuación (2.9), se tiene
dV
dt
=
1 dh
S B ( r ) + Sb +
3 dt
=
1 dh
4r2 + 25 +
3 dt
=
1 dh
h (r )
4r2 + 25 + 10r +
3 dt
3
25 × 4r2
dS (r )
B
Sb dt
dSB
+
dt
2 Sb S B ( r )


d (4r 2)
2
25
h(r )  d(4r )

+
+ √ dt
3
dt
2 25 × 4r2
Sb S B +
h (r )
3
8r
dr
dr
+ 10
dt
dt
(2.10)
2.4 Soluciones
61
10 m
10 m
2r
h
5m
Figura 2.6
5
r = 3,75
10
h=5
2.5
10
Figura 2.7
Ahora consideremos el gráfico de un corte vertical de la pirámide, por simples
relaciones entre triángulos tenemos que:
h + 10
20
=
r
5
1
r = (h + 10),
4
(2.11)
62
La Derivada
derivando a ambos lados de (2.11) respecto al tiempo se tiene que
dr
1 dh
=
.
dt
4 dt
(2.12)
De esta manera, con (2.10) y (2.12), se obtiene que
dV
dt
=
=
1
dr
h dr
×4
4r2 + 25 + 10r + (8r + 10)
3
dt
3 dt
4 2
h dr
(4r + 10r + 25) + (8r + 10)
3
3 dt
(2.13)
Se extrae el líquido a una razón constante de un metro cúbico por minuto, por lo
tanto:
dV
= −1,
dt
entonces, cuando h = 5, de (2.11) se tiene que r = 3,75, esto, con (2.13), implica
dr
4
5
= (−1) (4 × (3,75)2 + 10 × 3,75 + 25) + (8 × 3,75 + 10)
dt
3
3
−1
≈ −0,0044
Es decir, el radio del espejo de agua se reduce aproximadamente 0,004 metros por
minuto.
(b) En este caso, tenemos que
dh
= 1,
dt
con lo cual, la ecuación (2.12) queda
1
dr
= .
dt
4
Reemplazando esto en la ecuación (2.13), cuando h = 5 y r = 3,75, se tiene
dV
=
dt
4
5
(4 × 3,752 + 10 × 3,75 + 25) + (8 × 3,75 + 10)
3
3
1
= 56,2.
4
Es decir, el volumen del reservorio aumenta 56.2 metros cúbicos cada hora.
26. ¿Con qué rapidez varía el área de la corona que queda entre dos circunferencias concéntricas de radios 10 metros y 20 metros respectivamente, si el diámetro de la más
pequeña aumenta un metro por hora y el diámetro de la más grande disminuye dos
metros por hora? ¿Y si los diámetros aumentan un metro por hora? Si el diámetro
menor crece dos metros, ¿cómo debe variar el otro para que el área de la corona no
cambie?
Solución. Sean x el diámetro de la circunferencia pequeña, y el diámetro de la circunferencia más grande, ambas medidas en metros. Entonces, conocemos que
dx
= −2
dt
y
dy
= 1.
dt
2.4 Soluciones
63
Ahora, puesto que el área de una corona circular está dada por
A = π ( R2 − r 2 ) ,
donde, R es el radio de la circunferencia más grande y r de la más pequeña, entonces
para este caso:
y2
x2
A=π
−
,
4
4
luego
π 2
( y − x 2 ).
4
Derivando esta última expresión con respecto al tiempo se obtiene que la razón de
cambio del área con respecto al tiempo estará dada por
A=
dA
π
=
dt
2
y
dy
dx
−x
dt
dt
.
(2.14)
Entonces, cuando el diámetro de la más pequeña aumenta un metro por hora y el
diámetro de la más grande disminuye dos metros por hora, en (2.14) se tiene:
dA
π
= (40(−2) − 20(1)) = −50π,
dt
2
es decir, el área de la corona determinada por las dos circunferencias disminuye a una
razón de 50π metros por hora.
Por otro lado, cuando los diámetros aumentan un metro por hora, entonces por
(2.14) se tiene:
π
dA
= (40(1) − 20(1)) = 10π,
dt
2
por lo cual, el área de la corona aumenta a razón de 10π metros por hora.
27. Una partícula se mueve en una trayectoria elíptica cuya forma está dada por la ecuación
x 2
y 2
+
= 1.
3
2
Supongamos que las longitudes están expresadas en metros. Si se sabe que en punto
de la abscisa 1, ésta se incrementa a una razón de dos metros por segundo, ¿qué sucede
con la ordenada del punto con la abscisa dada? Considere los casos que se derivan
según los cuadrantes en los que se halla la ordenada.
Solución. Se tienen dos casos: el movimiento de la partícula es en sentido horario y el
movimiento de la partícula es en sentido antihorario.
Cuando el movimiento es en sentido horario, se tiene que la partícula debe estar
en el primer cuadrante, puesto que la abscisa se incrementa.
Partiendo de la ecuación de la elipse, se encuentra que la relación entre x y y está
dada por
x 2
y = 2 1−
.
(2.15)
3
64
La Derivada
y
movimiento
2
•
3
x=1
x
Figura 2.8
Derivando (2.15) respecto al tiempo tenemos que
dy
1
= 2×
dt
2
Ahora, para x = 1 y
1
1−
x 2
3
x
3
−2
1 dx
.
3 dt
dx
= 1, se tiene
dt
dy
=−
dt
2
1−
1
3
√
1
2
×1 = −
≈ −0,236.
29
6
Es decir, cuando la partícula está viajando en sentido horario en la abscisa 1 del primer
cuadrante, su ordenada decrece aproximadamente 0.236 metros por segundo.
Cuando el movimiento es en sentido antihorario, se tiene que la partícula debe estar en el cuarto cuadrante, puesto que la abscisa se incrementa. Partiendo de la ecuay
2
x=1
3
x
•
movimiento
Figura 2.9
ción de la elipse, se encuentra que la relación entre x y y está dada por
y = −2
1−
x
3
2
.
(2.16)
2.4 Soluciones
65
Derivando (2.16) respecto al tiempo tenemos que
dy
1
= −2 ×
dt
2
Ahora, para x = 1 y
1
1−
x 2
3
−2
1 dx
.
3 dt
x
3
dx
= 1, se tiene
dt
2
dy
=
dt
1−
1
3
2
9
×1 =
√
2
≈ 0,236.
6
Es decir, cuando la partícula está viajando en sentido antihorario en la abscisa 1 del
cuarto cuadrante, su ordenada crece aproximadamente 0.236 metros por segundo.
28. Dos calles de diez metros de ancho se intersecan. Se desea transportar horizontalmente una varilla larga y delgada, pero, en la intersección, se requiere virar a la derecha.
¿Cuál es el largo máximo de la varilla que se puede transportar si el grosor de la varilla
es despreciable?
Solución. Es evidente que si se desea que la varilla transportada tenga una longitud
máxima, ésta debe rozar una de las esquinas, llamemos a esta esquina el punto A.
La longitud de la varilla no podrá exceder ninguna de las longitudes de las rectas BC
mostradas en el gráfico, la inclinación de estas rectas se caracteriza mediante el ángulo
θ y su longitud por l, que es una función dependiente de θ cuyo dominio es [0, π/2].
Del gráfico podemos ver que la longitud l puede ser escrita como l1 + l2 , donde
l1 ( θ ) =
10
,
cos θ
De este modo
l (θ ) = 10
l2 ( θ ) =
1
1
+
cos θ
sin θ
10
.
sen θ
.
El problema consiste en hallar los extremos de l, para ello derivamos
l ′ (θ ) =
10 sen θ
10 cos θ
−
.
2
cos θ
sin2 θ
La longitud de la varilla será aquella para la cual l alcanza su mínimo, digamos que
66
La Derivada
se alcanza en θ, entonces
10 sen θ
cos2 θ
−
tan3 θ = 1
10 cos θ
sin2 θ
⇒
= 0,
θ = π/4.
Para verificar que se trata de un mínimo analicemos la monotonía de l antes y después
de π/4.
Si 0 < θ < π/4, la función seno es creciente y la función coseno es decreciente,
considerando esto, es fácil obtener que
sen θ <
√
2
,
2
1
< 2,
cos2 θ
cos θ < 1,
−
1
< −2
sen2 θ
y de estas desigualdades:
√
10 sen θ
2
<10 ×
×2
2
2
cos θ
10 cos θ
<10 × (−2)
−
sen2 θ
finalmente se obtiene que
√
l ′ (θ ) < 10( 2 − 2) < 0,
para 0 < θ < π/4.
Es decir, la función l es decreciente para 0 < θ < π/4.
Si π/4 < θ < π/2, la función seno es creciente y la función coseno es decreciente,
considerando esto, es fácil obtener que
√
2
sen θ >
,
2
− cos θ > −
√
2
,
2
1
> 2,
cos2 θ
1
>1
sen2 θ
y de estas desigualdades:
√
2
10 sen θ
>10 ×
×2
2
cos2 θ
√
10 cos θ
2
−
>
10
×
−
2
sen2 θ
finalmente se obtiene que
√
1
l ′ (θ ) > 10( 2 − ) > 0,
2
para π/4 < θ < π/2.
Es decir, la función l es creciente para π/4 < θ < π/2.
Con esto, podemos asegurar que la función l alcanza un mínimo en θ = π/4 y que
la longitud de la varilla deber ser
L = l (θ ) = 10
1
1
+
cos(π/4) sin(π/4)
√
= 20 2.
2.4 Soluciones
67
29. Un joven puede remar a razón de dos kilómetros por hora y correr a seis kilómetros
por hora. Si está en el punto A de la playa y desea llegar lo antes posible al punto
B, situado en la isla de enfrente, que está a dos kilómetros del punto C en la playa,
¿hasta qué punto P de la playa debe correr para luego remar desde P hasta B? ¿En
qué tiempo llegará?
Isla
B
2 km
A
P
Playa
C
4 km
Solución. Sea x la distancia en kilómetros medida desde el punto A al punto P. El
camino que el joven caminará es AP( x ) y el camino que remará es PB( x ). Del gráfico
obtenemos que
AP( x ) = x,
PB( x ) =
22 + ( 4 − x ) 2 .
Suponiendo que en el tramo AP se tiene una velocidad constante medida en kilómetros por hora: v AP = 6, el tiempo en correrlo es
t AP ( x ) =
x
AP( x )
= ,
v AP
6
y si en el tramo PB se tiene una velocidad constante medida en kilómetros por hora:
v PB = 2, el tiempo en navegarlo es
PB( x )
=
v PB
t PB ( x ) =
4 − (4 − x )2
.
2
El tiempo que se busca minimizar es
t( x ) = t AP ( x ) + t PB ( x ) =
Derivando
′
t (x) =
x
+
6
√
4 − (4 − x )2
x+3
=
2
4 − (4 − x )2
.
6
− x2 + 8x − 12 − 3( x − 4)
√
6 − x2 + 8x − 12
para hallar su mínimo encontramos los xm tales que t′ ( xm ) = 0,
t′ ( xm ) =
− x2m + 8xm − 12 − 3( xm − 4)
=0
6 − x2m + 8xm − 12
resolviendo para xm se obtiene
xm =
√
10 + 20
.
5
68
La Derivada
El tiempo de viaje mínimo se logrará cuando la distancia recorrida a pie sea de
kilómetros. Y el tiempo medido en horas, que se tardará es
√
t( xm ) =
10+20
5
+3 4− 4−
6
√
10+20
5
2
=
√
10 + 2
.
3
√
10+20
5