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UN IVERSIDAD DE ACONCAGUA
GUIA 7
ECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICA
2)
3)
APLICACIONES
Ejemplo:
Crecimiento exponencial: Una cantidad
Q(t )
que crece de acuerdo a una ley de la
k t
forma Q(t )  Qo e , donde Q0 y k son constantes positivas, se dice que
experimenta un crecimiento exponencial.
Los biólogos han determinado que, bajo condiciones ideales, el número de
bacterias en un cultivo crece exponencialmente. Suponga que inicialmente están
presentes en un cierto cultivo 2.000 bacterias y en 20 minutos después están
presentes 6.000. ¿Cuántas estarán presentes al final de una hora?
Solución: Sea Q(t ) el número de bacterias presentes pasados t minutos. Como el
número de bacterias crece exponencialmente, y puesto que inicialmente estaban
presentes 2.000 bacterias, se sabe que
Q
es una función de la forma:
Q(t )  2.000ek t como pasados 20 minutos hay presentes 6.000 bacterias, se
20k
20k
 3 si ahora aplicamos logaritmo
sigue que: 6.000  2.000e
o e
20k
 ln 3 por propiedades tenemos 20k  ln 3 o
natural tenemos: ln e
k
ln 3
 0,05 .
20
Para hallar el número de bacterias presentes pasada una hora, calcule
usando la ley de potencias para exponente como sigue:
Q(60)
Q(60)  2.000 e 60k  2.000 e 600,05  40.171 bacterias pasada una hora.
Ejercicios:
1. Está previsto que dentro de
P(t )  50 e
t
años, la población de un cierto país será de
0, 02t
millones.
a) ¿Cuál es la población inicial del país?
b) ¿Cuál será la población dentro de 30 años?
2. Se estima que la población de un cierto país crece exponencialmente. Si la
población era de 60 millones en 1974 y de 90 millones en 1979, ¿Cuál será
la población en 1989?.
3. Los siguientes datos fueron reunidos por un estudiante de medicina durante
los primeros 10 minutos de un experimento destinado a estudiar el
crecimiento de bacterias.
Número de minutos
0
10
Número de bacterias
5.000
8.000
4. La densidad de la población a
x millas del centro de una cierta ciudad es de
D( x)  12e0,07x miles de personas por milla cuadrada.
a) ¿Cuál es la densidad de la población en el centro de la ciudad?
b) ¿Cuál es la densidad de la población a 10 millas del centro de la
ciudad?
5. La cantidad que queda de una muestra de una sustancia radiactiva después
de años viene dada por la función de la forma Q(t )  Q0 e
. Al
final de 5.000 años quedan 2.000 gramos de la sustancia. ¿Cuántos gramos
había inicialmente?
0, 0001t
t
6. Una bebida fría se saca del refrigerador en un cálido día de verano y se
coloca en una habitación cuya temperatura es de 30º Celsius. De acuerdo
con la ley física, la temperatura de la bebida t minutos después viene dada
 k t
por la función de la forma
. Si la temperatura
de la bebida era de 10º Celsius cuando dejó el refrigerador y de 15º Celsius
después de 20 minutos, ¿cuál será la temperatura de la bebida después de
40 minutos?
f (t )  30  A  e
7. Se estima que dentro de t años, la población de un cierto país
será de
P(t ) 
80
8  12  e  0,06t
millones.
a) ¿Cuál será la población actual?
b) ¿Cuál será la población dentro de 50 años?
c) ¿Qué le sucederá a la población a la larga?
8. Un accidente de tráfico fue presenciado por
1
de los residentes de un pequeño pueblo. El
10
número de residentes que habían oído hablar sobre
el accidente t horas después viene dado por la
función de la forma
f (t ) 
B
, donde B
1 C  e  k  t
1
de los residentes habían oído hablar sobre
4
1
el accidente después de 2 horas, ¿cuánto tiempo hizo falta para que de
2
los residentes oyeran la noticia?
es la población del pueblo. Si
9. Un estudio estadístico indica que la fracción de los tostadores eléctricos
fabricados por cierta compañía que están aún en condiciones de trabajo
0, 2  t
después de t años de uso es aproximadamente de
.
a) ¿Qué fracción de tostadores puede esperarse que trabajen al cabo
de tres años?
b) ¿Qué fracción de tostadores puede esperarse que se estropeen
durante el tercer año de uso?
c) ¿Qué fracción de tostadores puede esperarse que se estropeen
antes de un año de uso?
10. Una epidemia se propaga a través de una comunidad de forma que t
semanas después de su brote, el número de personas que han sido
f (t )  e
infectadas vine dado por una función de la forma
f (t ) 
B
1  C  e k t
´
donde B es el número de residentes en la comunidad que son susceptibles
1
para la enfermedad. Si
de los residentes susceptibles estaban infectados
5
1
inicialmente y
habían sido infectados al final de la cuarta semana, ¿qué
2
fracción de los residentes susceptibles habían sido infectados al final de la
octava semana?
17) Si en un tiempo dado hay A0 mg de carbono 14 en una sustancia no viviente, después
de t años tendrá
A  A0 (0,5)
t
5600
mg
Los restos de una antigua hoguera fueron encontrados en una cueva cerca del sitio donde se
encontró el hombre de CRO - MAGNON en Francia. El carbón de esta hoguera fue
estudiado para investigar su contenido de carbono 14. Estimar la edad de la hoguera, si se
encontró que el 10% de la cantidad original estaba aún presente.
18) Un modelo matemático de crecimiento de la población mundial, para períodos
P  P0 e rt , donde
cortos de tiempo, está dado por
P0 es la población
cuando t = 0, r es la tasa de crecimiento en % anual, t es el tiempo en años, P es
la
población en el tiempo t. Si actualmente la población de Chile es de
15.000.000 de habitantes y la tasa de
crecimiento, de acuerdo al periodo
intercensal 1982 a 1992, es igual a 1,6% anual. ¿Cuanto tiempo tardará en
duplicarse la población, de acuerdo a este modelo?
19) Se sabe que mientras una animal o planta esté vivo mantiene en sus tejidos una
concentración constante de carbono 14(radiactivo). Al morir, los tejidos dejan de
absorber carbono con lo cual comienza a disminuir su presencia por desintegración
radiactiva según el modelo matemático,
C (t )  Ci e 0,000124t
donde C(t) es la cantidad restante de carbono 14 después de t años, Ci es la
cantidad inicial y t es el tiempo en años.
I.- Graficar la función determinando dominio y recorrido
II.- Determinar en cuantos años la cantidad inicial de carbono 14 baja a la mitad
III.- Calcular la antigüedad de un cráneo descubierto en un sitio arqueológico, si
aún está presente el 10% de la cantidad original de carbono 14.
20) En los ejercicios siguientes suponga que una población o sustancia crece a
una razón continua r por unidad de tiempo. Si A0 corresponde a la cantidad
inicial, entonces la cantidad A presente después de t unidades de tiempo está
dada por:
A  A0ert , r  0
a) De acuerdo con el almanaque mundial, la población mundial en 1986 se
estimaba en 4,7 miles de millones de personas. Suponiendo que la población
mundial crece a razón de 1,8% al año. Estime la población mundial en al año
2010. En qué año la población mundial será de 10 mil millones?
b) Suponga que una colonia de bacterias, crece aproximadamente de 600 a 4500
en 12 horas. Determine un modelo de crecimiento exponencial para estas
bacterias.
c) Una cierta raza de conejos fué introducida en una pequeña isla hace 8 años. Se
estima que la población actual es de 4100, con una tasa relativa de crecimiento
del 55% anual.¿Cuál fue el tamaño inicial de la población?, Estime la población
dentro de 12 años, a partir de ahora.