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UNIVERSIDAD DE NARIÑO
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Y ESTADÍSTICA
XII COLOQUIO REGIONAL DE MATEMÁTICAS y II SIMPOSIO DE ESTADÍSTICA
Enseñar Matemáticas Con Tic Y Algo De Historia, No Es Tan Difícil .
Juan Ramón Cadena Villota1, [email protected], [email protected], Universidad Central
Del Ecuador
Resumen. Este trabajo pretende aportar a la enseñanza de la matemática en estos tiempos en que atravesamos por
profundas transformaciones, no solo en la forma didáctica, si no en su verdadera esencia, preparar al aprendiz para
enfrentar los problemas de lo cotidiano con la arquitectura mental que le brinda el proceso de aprendizaje en esta
ciencia, inmersa en la vorágine de las Nuevas Tecnologías que, tendrá sentido verdadero solamente en la medida en
que el aprendizaje de la Matemática se contextualice en la historia, se descontextualice en lo abstracto y se vuelva a
contextualizar en la realidad de nuestra contemporaneidad latinoamericana.
Es muy importante el tema de la inserción del tema de la Historia de la Matemática en cualquier currículo. Desde el
punto de vista de la construcción del conocimiento, la aproximación a una certeza histórica no exenta de misterio y
mito, desde la perspectiva de la génesis del conocimiento por la relación del ser humano y su entorno, desde el punto
de vista epistemológico, lingüístico, semiótico y semántico. Todos son contextos significativos para hacer un alto en
la clase de matemática y adornarle con un cuento, o una historia a manera de cuento, instante en el cual los alumnos
perciben a la Matemática como una torre construida pilar a pilar, con las características humanas que la han forjado.
Palabras Clave: Matemáticas, enseñanza, TIC, historia, didáctica
1. Introducción.
Enseñar Matemáticas en la actualidad se ha constituido como uno de los factores más importantes
en que la relación medio – individuo adquiere una connotación especial, la llamada era de la
información trae consigo una cantidad de meta lenguajes y expresividades semióticas que, a pesar
de que su naturaleza comunicadora implica una especie de sumergimiento en ese mismo lenguaje
electrónico e informático, los requerimientos de entrada para poder entender y descifrar estos
nuevos esquemas siguen, como siempre asociados a la natural idea de la dupla de
discernimiento: cualificar y cuantificar. Y es ahí donde precisamente la Matemática entra en
juego.
Encaja aquí, además el tema de la Etnomatemática, como una alternativa no occidental y de
cosmovisión particular de la matemática en América Latina.
Puesto que existe una contradicción entre el ethos andino y las formas de enseñanza aprendizaje
impuestas desde la matriz colonial que estarían generando barreras en los procesos de enseñanza1
Profesor de Matemáticas y Nuevas Tecnologías en la Formación de Docentes, Universidad Central del
Ecuador. Licence en Matemátiques, Université Jean Monnet, Francia. Máster en Nuevas Tecnologías
Aplicadas a la Educación, Universidad Autónoma de Barcelona. Candidato a Doctorado en Investigación
Educativa en la Universidad de Alicante. Ha asistido como ponente a varios Congresos y Cursos. Participa
en varios proyectos de Investigación en Docencia y en Etnomatemática.
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aprendizaje de las ciencias en general y de la matemática en particular. A este problema tributa,
en el caso de la Matemática, el uso persistente de una metodología escolástica, memorística,
mecanicista y centrada en la repetición de algoritmos; limitando la posibilidad del aprendizaje de
la matemática como una herramienta capaz de desarrollar el razonamiento abstracto de modo
creativo.
¿Nuestros pueblos ancestrales hicieron matemática? Por supuesto que sí, las pruebas evidentes
están plasmadas en su cosmovisión no lineal del tiempo, en los Quipus Incas, en el maravilloso
Sol de los Pastos, en el calendario Maya, etc.
La tensión presente entre la racionalidad occidental europea, centrada y reducida a razón
instrumental frente a la naturaleza e individualizadora con relación al ser humano, al cual tiende
a construirlo como “racional” y por tanto alejado de pasiones y sentimientos y auto-centrada, en
el sentido de negar la validez de lo otro, lo que llamamos: alteridad.
De su parte la racionalidad andina reconoce la alteridad (diferencia), como algo esencial que
admite y se enriquece entre otras formas de sensibilidad en la comprensión del mundo, la simetría
(reciprocidad, que se refleja en una cisión dualista de la realidad) y la no arbitrariedad
(complementariedad, como concepto matemático). En este contexto, el hombre andino construye
en relación al ser humano una identidad colectiva.
El no procesar de manera cociente estas diferencias al construir las mallas curriculares a partir de
nociones vinculadas principalmente con la racionalidad occidental, estaría empobreciendo el
contenido del currículo y creando barreras culturales en el proceso de aprendizaje - enseñanza de
la matemática.
Pero, y es necesario mencionarlo, la cosmovisión de la Etnomatemática no significa establecer
una dicotomía con la Matemática Occidental, a pesar de su carga de conquista e imposición, así
por ejemplo: ¿Cómo no hablar de los babilonios y su aritmética?, del misterioso Papiro de
Ahmes, del epitafio en la tumba de Diofanto, de Hipatia de Alejandría y su valerosa defensa del
conocimiento, de la matemática árabe – hindú y la iniciación del álgebra y el subsiguiente retraso
europeo subsanado por la aparición en el Renacimiento de la trilogía Tartaglia, Cardano y
Fibonacci. La disputa histórica entre Newton y Leibniz por los infinitésimos. La era de la
Ilustración francesa, con Monge, Cauchy, Descartes, Pascal, Lagrange, Laplace, Fermat, el aporte
de Euler, la conmovedora historia de Galois y Abel. Cantor y los conjuntos, Russell y la lógica,
Hilbert y la unificación, la teoría de la Medida de Kolmogorov , entre otras, que, sin embargo,
desde el punto de vista epistemológico, no dejan de ser per se un conjunto de miradas en el
mismo contexto de la Etnomatemática
2. Desarrollo.
A propósito de la nuevas tecnologías
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Un escenario futurista: el 2030 en uno de nuestros países en “vías de desarrollo”.
Pedro, un joven de 15 años de edad se levanta como todos los días, ahuyentando la pereza gracias
a su despertador digital programado con su canción preferida. Su padre, un ingeniero de sistemas,
sale del baño, equipado con un televisor de plasma 3D que ocupa la mitad del cuarto. Desayunan
los cereales de caja y huevos genéticamente mejorados. Camino a la escuela, Pedro oye música
en su Ipod, de 30000 canciones, televisión, internet y teléfono incluido, ¡ah!, también guarda ahí
sus tareas escolares.
En su colegio, que aún tiene aulas físicas, pero equipadas con los elementos tecnológicos
indispensables, computadoras en cada pupitre, ahora están provistas de un software de
hologramas que le permite tocar virtualmente la información de su máquina, pantallas de
televisión por todos lados, pizarrón electrónico, etc.
El profesor de Matemáticas, guardián de una ciencia que, a pesar de los avances tecnológicos aún
mantiene el Principia de Newton, o Los Elementos de Euclides como motivo de estudio
indispensable.
El maestro se acuerda del método de resolución de problemas de Polya (un húngaro de finales del
siglo XX que proponía enseñar matemáticas basándose en la mayéutica socrática), y propone a la
clase el estudio de un modelo matemático basado en probabilidades, que pronostica las
calamidades del cambio climático en el planeta. Los estudiantes ponen cifras a la base de datos
del programa: niveles de CO2, temperatura promedio de los mares, descenso de los glaciares,
etc., el programa genera inmediatamente una serie de imágenes holográficas con desastres,
sequías, hambruna y todo lo inimaginable, el profesor llama a la reflexión y comenta: después de
todo son los países industrializados los que provocan más del 90 % de la contaminación mundial,
pero, les dice, es nuestra obligación tratar de no contaminar el ambiente. La clase piensa,
reflexiona, pero al salir al recreo el 90 % de los alumnos bota la basura en el patio, algunos
inclusive han arrojado discos duros que ya no les sirven.
Acaba la clase y entra el profesor de Ciencias Sociales, el tema de hoy: una teleconferencia que
se enlaza con Ginebra, el Premio Nobel de la Paz se dirige a la comunidad educativa para advertir
sobre los peligros de la inminente guerra entre las potencias mundiales, guardianas de la más alta
tecnología, con las naciones pobres en industrialización, pero poseedoras del agua. Los jóvenes
tienen la posibilidad de hacer una pregunta al líder, sin embargo, no hay propuestas.
Así, la mañana de Pedro transcurre en información y más información, muy poco conocimiento
ha retenido en el día. El profesor más antiguo del colegio comenta con sus colegas, ¿qué pasó con
aquella premisa en que el conocimiento era un acto de gozo, de alegría? hoy el conocimiento es
un acto de supervivencia.
Por supuesto hay ahora mayor flexibilidad en la comunicación, las redes sociales se han vuelto
indispensables, hay quien huye de la soledad navegando todo el día en el new new facebook,
conoce miles de gentes, sin rostros, sin piel. Pero la tecnología le permite explorar el mundo sin
detenerse en su propio yo.
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Se generan nuevos conocimientos en la ciencia, la tecnología avanza y avanza, alguien se
pregunta, ¿no será que cada vez que adquirimos un aparatejo nuevo, a lo mejor es una estrategia
de mercado para crearnos necesidades ficticias y consumir, consumir y consumir?, pero nadie le
hace caso, no hace falta, todos están conectados a Internet.
Pedro acaba su día en su casa cómodamente, ha terminado sus tareas escolares y las ha enviado al
profesor por correo electrónico, no está seguro si es el profesor quien corrige su tarea o es la
misma máquina, en fin no importa. Lo indispensable es cumplir con las obligaciones escolares
para algún día tener la empresa de papá, para mejorarla y ganar más dinero.
A unos 500 kilómetros de su ciudad, Pedro tiene un coetáneo, se llama Uwi, pertenece a una de
las pocas comunidades aborígenes que aún no han sido penetradas en su totalidad por la vorágine
tecnológica. Hoy, su profesor bilingüe, ha dibujado un triángulo rectángulo en la arena y ha
construido un cuadrado en cada lado, le explica que unos griegos muy antiguos dicen que el
cuadrado construido sobre la línea más larga es igual a la suma de los cuadrados construidos
sobre las líneas más pequeñas, creo que se llama el teorema de Protágoras o algo así.
Y la vida transcurre para Uwi, no tiene idea del Internet, ni los Ipods, ni la televisión en tres
dimensiones, sin embargo tiene aún mucha agua limpia para beber.
Reflexionando: y es que las tecnologías no son buenas ni malas per se, como en todo proceso,
están sujetas a la mirada y la ejecución de quién lo hace y de qué intenciones subyacen en ello.
Vamos a considerar algunas actividades de enseñanza de la matemática en las cuales intervienen
diversas facetas, tomando en cuenta la génesis de ciertos conceptos, el contexto histórico y la
incorporación de nuevas tecnologías, pero en primer lugar: esa ineludible confianza en el hecho
simple de que la capacidad de los aprendices es la generadora del conocimiento.
1. COMPRENDER O PROFUNDIZAR UN CONCEPTO
Actividad.- Vamos a aplicar los conocimientos de los muchachos relativos a la proporciones a un
ejemplo concreto, que seguramente puede ser planteado también como un problema de física, sin
embargo, su contenido tiene una profunda significación matemática.
Objetivo.- Desestabilizar los procedimientos que hacen que la solución de problemas sea
completamente intuitiva.
Grupo de Llegada.- Estudiantes de entre 12 a 15 años
Propuesta:
Esta actividad tiene que ver con el concepto de proporcionalidad directa. Se trata de una carrera
de 100 metros en la que participan 2 muchachos: Carlos y Elena.
Elena es muy rápida y en la primera carrera le gana a Carlos con 5 metros de distancia, es decir,
llega a la meta de los 100 metros en el instante en que Carlos completa 95. Esta muchacha
además es muy justa y le propone a Carlos repetir la carrera una segunda vez, en esta ocasión, le
dice a su compañero: “como yo te aventajé con 5 metros en la primera carrera, ahora voy a salir
5 metros antes de la línea de partida, para equilibrar la competencia, ¿qué te parece?”, Carlos
acepta gustoso y corren otra vez.
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Bajo esas premisas es lógico preguntar: ¿Si en la segunda carrera corren con las mismas
velocidades que tuvieron en la primera, quién ganará esta vez?
Los estudiantes se ponen a reflexionar en el problema. José levanta la mano luego de meditar un
instante y le dice al profesor: “es lógico que: si en la primera carrera Elena le aventajó a Carlos
con 5 metros, en la segunda carrera, al “devolverle” esa ventaja, lo más natural es que lleguen
iguales”.
El maestro pide opiniones, ¿está correcto el razonamiento de José?, la mayoría de la clase asiente,
¡claro, es lógico!
Sin embargo, María, caracterizada por su actitud siempre crítica y cuestionadora se atreve a
opinar: “…pero, si Elena ganó en la primera carrera, es lógico que corrió con mayor velocidad
que Carlos, es decir utilizó menor tiempo para recorrer la misma distancia. En la segunda carrera,
María recorrerá 5 metros más que Carlos, pero es más veloz que él. En todo caso, vale
preguntarse si hace menor o mayor tiempo que Carlos en la segunda carrera”.
El maestro sonríe y propone seguir el razonamiento de María. Les pide a los alumnos reflexionar
sobre la relación entre las dos velocidades, que son constantes en las dos carreras:
𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝐸𝑙𝑒𝑛𝑎
𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝐶𝑎𝑟𝑙𝑜𝑠
=
100
95
. Esta proporción se mantiene constante. ¿Cómo la podremos utilizar para
comparar los tiempos en la segunda carrera?, si sabemos que en ésta, las distancias están en una
relación de 105 a 95 y…bla, bla...
Tareas para el maestro:
1) Tu tarea es analizar las respuestas de José y de María: ¿qué implicaciones deductivas,
algorítmicas e intuitivas están en su razonamiento?
2) María rompe la visión intuitiva del problema, ¿de qué manera se puede utilizar esta situación
en el momento didáctico?
3) Completa el razonamiento del profesor, es decir transforma los bla, bla en palabras que
conduzcan a la clase a encontrar la solución del problema y cuéntanos ¿cómo te fue?
2. EJERCITACIÓN EN UNA TÉCNICA:
Actividad.- Esta es una actividad que parte de un hecho histórico, genera expectativas en cuanto a
la solución de un problema de cálculo numérico aparentemente complejo y propone a través de la
inducción generalizar cierto tipo de resultados.
Objetivo.- Provocar el cálculo mental por medio de algoritmos alternativos con la meta de
generalizar resultados a partir de una inducción “natural”.
Grupo de Llegada.- Estudiantes de entre 12 a 15 años
Propuesta: En esta actividad vamos a retroceder un poco en la historia. Nuestro maestro se anima
a contar una leyenda muy famosa en el mundillo matemático:
“…Hacia finales del 1700, en una escuela en la ciudad alemana de Brunswick, el profesor estaba
dando una clase de matemáticas, cuando de pronto tuvo que salir del aula por unos momentos
para atender una gestión. Antes de salir, y para mantener ocupados a los traviesos muchachos se
le ocurrió dejarles una tarea que, según su opinión, les dejaría ocupados durante un buen
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momento. La tarea era: sumar todos los número del 1 al 100, de uno en uno. Cuando el salía el
profesor, satisfecho de su original idea, un alumno de 12 años levantó la mano y le dijo: ya tengo
la respuesta, la suma es _____.
Ese alumno era Johann Carl Friedrich Gauss, uno de los matemáticos más productivos de la
historia, conocido posteriormente como “El Príncipe de las Matemáticas”.
Esta historia, que más que eso se ha convertido en un mito, que ha sido utilizada por generaciones
de profesores de matemáticas en el mundo, que algunas investigaciones cuestionan su veracidad,
(consulta aquí: http://francis.naukas.com/2010/04/15/iii-carnaval-de-matematicas-toda-la-verdadsobre-la-anecdota-de-gauss-el-nino-prodigio-su-profesor-y-la-suma-de-1-a-100/)
Y que más de uno, como en el presente caso considera que sea cierto o no, se ha convertido en
una maravillosa metáfora didáctica de la enseñanza de la matemática, la utilizamos sin temor, aún
distorsionando un poco (no mucho) su contenido para dar un toque de magia y de misterio a
nuestro cotidiano bregar en el camino de la enseñanza.
Volviendo a la realidad, nuestro profesor actual propone a la clase encontrar la respuesta y la
manera en que Gauss la descubrió y dispone que se trabaje durante unos 10 minutos en forma
individual, sin ayuda, simplemente probando, sumando, conjeturando, equivocándose.
Luego del tiempo transcurrido, el profesor pide a la clase que se pronuncie, que intente dar
alguna solución, les explica que no importan por el momento los resultados, que lo que vale es el
atrevimiento a plantear un método, un camino de solución, les anima diciendo que están a punto
de modelizar un problema matemático.
Y es Juanito el primero que se lanza, explica que ha sumado los 10 primeros números y la suma
es 55, razona que al haber diez decenas entre 0 y 100, entonces simplemente basta multiplicar 55
por 10 y la respuesta es: 550. Se oye un aplauso por ahí y unos murmullos por allá. El profe
felicita a Juanito por su modelo, sin embargo pregunta a la clase si les parece correcto su
planteamiento. Y levanta la mano, ¿quién creen?, pues claro, María, nuestra cuestionadora innata,
dice: la solución de Juanito carece de validez, dice, porque para efectuar la multiplicación
propuesta se entiende que la suma en todas las decenas debe ser igual a 55, y yo he calculado la
suma entre 11 y 20 y resulta 155, la suma del 21 al 30 es 255, de lo cual deduzco que cada suma
se incrementa en 100, luego al sumar las sumas de las 10 decenas, obtenemos: 55 + 155 + 255 +
355 +.455 + 555 + 655 + 755 + 855+955 = 5050, ¡ voilà!
Hasta aquí la situación propuesta, ahora toca ir a la:
Tarea para el maestro:
a) Analiza la solución de Juanito, ¿por qué se atreve a plantear su algoritmo?, ¿qué causalidades
previas conducen a hacerlo? ¿cómo reaccionarías tú frente a tu propio Juanito?
b) La solución de María, analízala, ¿cuán correcta es su frase:”… de lo cual deduzco que…”?,
¿cómo explicarías a la clase el sentido de conjeturar algo? ¿qué significaría una demostración
formal de la aseveración de María? ¿qué pasaría si en lugar de sumar del 1 al 100, se pediría
sumar del 1 al 1000000, o del 345 al 5467? ¿cómo encajaría en este caso el modelo de nuestra
querida María?
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c) Tienes ahora la libertad de continuar la clase, ¿cómo lo harías? ¿les explicarías directamente el
método de Gauss: sumar entre extremos las 50 sumas: 1 + 100, 99 + 2, 98 + 3, …..todas
estas sumas resultan 101, y al multiplicarlas nos da efectivamente 5050? O ¿les mandarías de
tarea en el caso de que nadie pudiera hacerlo? ¿Tomarías otra alternativa, cuál?
d) Cuán conveniente sería “inducir” la fórmula:𝟏 + 𝟐 + 𝟑 + 𝟒 + ⋯ . + 𝒏 = ½ ∗ 𝒏(𝒏 + 𝟏).
¿Tendrá sentido demostrar esta fórmula por inducción? ¿Qué elementos previos necesitas para
hacerlo? ¿cómo generalizar a sumas de pares o impares?, ¿cómo sumar entre dos de enteros,
234 y 456, por ejemplo?
e) Se te sugiere complementar la clase con un razonamiento geométrico, construyendo rectángulos
de lados 𝒏 𝒙 (𝒏 + 𝟏), y calculando su área, deduciendo que la suma buscada es la mitad de la
superficie del rectángulo. En este caso, ¿Qué utilidad didáctica tendría hacerlo? ¿los alumnos se
confundirían o mejorarían su comprensión?
f) Uff, tantas preguntas, pero es que el tema se presta para hacerlas y muchas otras, propón una
más, ánimo.
3. ACTIVIDADES SOBRE PROCESOS DE DEFINIR
Las definiciones en matemáticas son elementos que provocan no pocas confusiones en los
alumnos. Dada la estructura axiomática y jerárquica de la matemática, las definiciones, sin
embargo son elementos ineludibles en cualquier enfoque de su enseñanza.
Cuando he preguntado a una clase si ¿el cuadrado es un rectángulo?, la mayoría me ha dicho que
NO, que son dos 2 “definiciones” distintas, pero cuando les inquirí sobre la definición de
rectángulo me han salido con la cantaleta: “es la figura geométrica plana que tiene los 2 lados
opuestos iguales y paralelos, 4 vértices, 4 ángulos rectos, etc. ¿Y el cuadrado?, es la figura
geométrica plana que tiene los 4 lados iguales,….. Pero, les he preguntado ¿no encaja esta
definición con la del rectángulo?, como respuesta: ah, es verdad profesor. Luego dicen, lo que
nos han enseñado está mal. Les digo que a lo mejor no, solamente que no les indicaron la
relación entre las dos definiciones, que una le “incluye” a la otra.
Para realizar actividades al respecto, se propone las siguientes:
a) Combinación de operaciones:
Con estudiantes entre 12 y 14 años, estamos estudiando las operaciones entre enteros. Se sugiere
hacer una combinación y nos inventamos (perdón, definimos) una nueva operación: 𝚿, definida
sobre los enteros por, digamos:
𝐚𝚿𝐛 = 𝐚 + 𝐛 − 𝐚𝐛
Donde 𝒂 y 𝒃 son números enteros.
Se pide, en primera instancia hacer varios ejercicios numéricos, por ejemplo:
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𝟑𝚿𝟓 = 𝟑 + 𝟓 − 𝟑 ∗ 𝟓 = −𝟕
(−𝟐)𝚿(−𝟒) = (−𝟐) + (−𝟒) − (−𝟐) ∗ (−𝟒) = −𝟏𝟒
Sin problema, los muchachos podrán hacer varios ejemplos numéricos. Pero, aquí viene la parte
interesante. Se les pregunta: ¿Será esta operación conmutativa?, ¿será asociativa?, ¿existirá un
elemento neutro? ¿Un elemento opuesto para cada entero? En este sentido, la manipulación de
definiciones nuevas tendrá que ser consistente con las definiciones ya existentes.
Obviamente se les pedirá definir operaciones que tengan estas cuatro propiedades.
Una variación sería la siguiente:
b) Un mini grupo abeliano:
Dado el conjunto {𝟎, 𝟏}, se pide “definir” una operación en este conjunto, de tal manera que se
genere un grupo conmutativo o abeliano.
En este caso, se les puede dar una pista con la siguiente tabla, siendo 𝜻 la operación buscada.
𝜻
0
1
0
0
1
1
1
0
Donde los muchachos deberán encontrar que el elemento neutro es el 0, el opuesto del 1 es el 1, y
el opuesto del 0 es el 0. Y podrán verificar la conmutatividad, asociatividad, modulativa y del
opuesto.
c) Un caso histórico:
Esto viene más bien a manera de anécdota. Es conocido en el mundo matemático el nombre del
investigador húngaro Paul Erdös, famoso por sus trabajos sobre la Teoría del Número, en
especial por sus trabajos en números primos, gracias a él sabemos por ejemplo, que entre dos
números enteros de la forma 𝒏 y 𝟐𝒏 existe por lo menos un número primo, entre otros teoremas.
Pero ¿a qué viene a colación la historia?, pues precisamente porque la comunidad matemática,
tomando en cuenta la cantidad de trabajos científicos publicados por Erdös y a su espíritu
colaboracionista y viajero ha definido los famosos números de Erdös. De tal manera que,
asignando el 0 al propio Erdös, el número 1 lo posee quien ha publicado un trabajo con Erdös, el
matemático que ha publicado un trabajo sin colaborar directamente con Erdös, recibe el número
2, quien ha publicado un trabajo con quien ha publicado con alguien que ha publicado con Erdös
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recibe el 3, y así sucesivamente. Imagínate la telaraña de números de Erdös que se ha formado
hasta la actualidad.
De esta manera, a pesar de que no hay una actividad implícita, es necesario recrear un poco la
visión de las definiciones en matemáticas, como para decirles:
¿Te animas en el futuro a ser un número de Erdös?
d) Un ejemplo de verificación de la definición:
Esta situación es sugestiva para jugar con la idea de no definición, o la búsqueda de ejemplos que
contradigan a la definición propuesta, de esta manera los estudiantes consiguen identificar la
esencia de lo planteado.
Digamos que estamos estudiando las propiedades de ciertos conjuntos de números, se ha definido
la “cerradura” o “clausura”, como la propiedad que mantiene encerrados los resultados de ciertas
operaciones en un determinado conjunto.
Los números naturales, por ejemplo, son cerrados respecto a la suma, es decir, si sumamos dos
números naturales, el resultado será con toda seguridad otro natural, en este momento, vale
preguntarles a los muchachos, Y que tal si ¿restamos dos naturales cualesquiera?, ¿encajará esta
operación en la definición de cerradura?
Bien se puede extender esta intención a los enteros, por medio de la división en este caso y que
verifiquen si la operación es cerrada o no en este conjunto.
Buscamos en este caso afianzar las nociones sobre las características de determinados conjuntos y
a la vez, desestabilizar las mismas nociones cuando se cambia la perspectiva en otro tipo de
conjuntos, que a su vez generará una construcción natural de los mismos dentro del contexto de
sus peculiaridades específicas.
4. PROGRAMA GUÍA DE ACTIVIDADES
Tema del aporte: Descubrir un número que relaciona proporciones
Herramientas informáticas: sitos de Internet (especificados), programas matemáticos utilitarios y
formativos, procesadores de texto y entornos de presentaciones
Descripción:
Partiendo del hecho didáctico de relacionar el aprendizaje con las experiencias y manipulación de
elementos didácticos que conduzcan a interiorizar la aprehensión por medio del discernimiento,
la actitud crítica y una coordinación dialéctica entre los saberes previos y los saberes por
aprender, esta guía se desarrollará con el objetivo de descubrir ciertas propiedades de las
proporciones. Para ello se realizarán algunas actividades que tienen que ver con la interpretación
cuantitativa de los fenómenos naturales. El objetivo es el descubrir relaciones que se repiten en
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procesos y fenómenos y comprobar estas relaciones por medio de algoritmos algebraicos y
aritméticos.
Fundamentación teórica:
El encontrar el número en cuestión tiene dos perspectivas
a) Desde un punto de vista geométrico
Vamos a dividir un segmento en dos partes:
A la primera le denotaremos con 𝒙 y la segunda es un segmento con valor 𝟏. Lo segmentamos
de tal manera que: al dividir la longitud de todo el segmento (𝒙 + 𝟏) para el segmento de
longitud 𝒙 , nos dé el mismo valor que al dividir el segmento de longitud 𝒙 para el segmento de
longitud 𝟏 .
b) Algebraicamente (gracias a los árabes) nos da como resultado la ecuación cuadrática: 𝒙𝟐 −
𝒙−𝟏 =𝟎
La solución positiva de esta ecuación es el número que buscamos.
El matemático italiano Leonardo de Pisa, más conocido como Fibonacci (1170 -1250), fue quien
logró introducir la numeración árabe – hindú en Europa. A Fibonacci también se le atribuye la
famosa sucesión que lleva su nombre: 𝟏, 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟓, 𝟖, 𝟏𝟑, 𝟐𝟏, ….
Esta sucesión tiene muchas aplicaciones en la vida real. Pero hay una propiedad que nos interesa
mucho: si dividimos cada número para su anterior a partir del tercer elemento, es decir: 𝟑/𝟐 =
𝟏. 𝟓, 𝟓/𝟑 = 𝟏. 𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔 … , 𝟖/𝟓 = 𝟏. 𝟔, 𝟐𝟏/𝟏𝟑 = 𝟏. 𝟔𝟏𝟓𝟑𝟖…
Tomemos unos más grandes: 𝟔𝟕𝟐𝟓/𝟒𝟏𝟖𝟏 = 𝟏. 𝟔𝟎𝟖𝟒𝟔𝟔 …
Como puedes observar, mientras más grandes sean los números, la división entre dos elementos
consecutivos (el más grande para el más pequeño) de la sucesión de Fibonacci, se acerca al
misterioso número que buscamos.
Veamos ahora algunas curiosas apariciones de este número en la naturaleza, asombrosamente,
este número aparece en diferentes facetas de la vida real:
En las ramas de los árboles, en los girasoles, en las espirales de los caracoles, en las telarañas, en
las galaxias, en las tarjetas de crédito, en los copos de nieve. En manifestaciones artísticas como
las pinturas de Leonardo Da Vinci, de Dalí, de Velásquez, etc.
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Esta introducción teórica ha sido deliberadamente sintética, con el fin de prepararte para que tú
mismo descubras este número mágico, oculto por ahí, de tal manera que, cuando lo encuentres
entiendas que la naturaleza utiliza un lenguaje para comunicarse con nosotros y ese lenguaje lo
podemos descifrar gracias a …por supuesto, gracias a la matemática.
Recursos y materiales: El principal recurso es tu imaginación y tu disposición a descubrir
conocimientos nuevos, lo demás viene por añadidura.
Si te da pereza resolver manualmente la ecuación: 𝒙𝟐 – 𝒙 – 𝟏 = 𝟎 , puedes descargar el
siguiente programa libre WxMaxima en este sitio: http://maxima.sourceforge.net/
y aprende a resolver ecuaciones y muchas aplicaciones más. También es muy bueno el programa
Geogebra, que lo puedes descargar gratuitamente de:
http://www.geogebra.org/cms/es/download/
Bueno, también vamos a utilizar la herramienta que nos proporciona información: el Internet.
Hay un montón de sitios donde se puede encontrar información sobre este dichoso número, te
doy algunos:
http://www.omerique.net/calcumat/arteoro.htm, http://www.youtube.com/watch?v=j9e0auhmxnc
http://aureo.webgarden.es/menu/naturaleza
Un sitio para generar números de la sucesión de Fibonacci:
http://dl.dropbox.com/u/871321/Blog/fibonacci.html#
Consignas
Primero, vamos a dividir la clase en grupos de 4 estudiantes cada uno. Se hará en forma aleatoria.
Importante: Cada grupo se pondrá un nombre de combate (digamos científico), como Fibonacci,
Phi, Gauss, Galois, Inca en la ciencia, Los Pastos, Los Quitus, etc.
Se nombrará un capitán de grupo, quien se encargará de la organización, disposición de tareas,
presentaciones, etc.
I.- Actividades de cálculo e investigación:
Cada grupo responderá las siguientes preguntas por separado:
A ese número (raíz positiva) se le llama con la letra griega: ______
Se le puso esta letra en honor a: ______
Este número pertenece al conjunto de los números______
¿Qué es la divina proporción? (explica brevemente)
¿Por qué se le llamará a este número: el número áureo?
¿Qué es la sección áurea?
¿Quién mismo era el tal Fibonacci? (una biografía corta)
¿Cuál es la mecánica para encontrar los números de la sucesión de Fibonacci? Encuentra los 12
primeros términos (manualmente, sin calculadora)
¿Puedes encontrar el término 100 de la sucesión de Fibonacci?
Esta tarea se la realizará en una hoja de texto por grupo y se la enviará al correo electrónico del
profesor, a la dirección [email protected]. Al archivo se le nombrará así: Nombre del
grupo_Actividad I. pdf. Por ejemplo:
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Fibonacci_AI.pdf
II.- Actividades de aplicación:
Cada grupo escogerá un elemento concreto de cada uno de las siguientes categorías para explicar
la aparición de este número en la vida cotidiana.
Las categorías son:
En la naturaleza (frutas, flores, árboles, animales, etc.)
En el Arte (pinturas, esculturas, dibujos, etc.)
En la vida moderna (tarjetas de crédito, billetes, carnés, etc.)
Cada grupo presentará su ponencia en el aula. Disponen de 15 minutos para hacerlo. Cada grupo
utilizará la herramienta que juzgue conveniente para la exposición. Habrá preguntas del resto de
la clase
III.- Actividades de comunicación:
Para culminar con nuestro proceso de búsqueda e información, es necesario que compartamos los
conocimientos adquiridos. Para lo cual se abrirá un foro, que está en la plataforma virtual del
curso, en el que debes participar independientemente de tu grupo. Es decir, esta es una tarea
individual.
La consigna principal del foro es: ¿hay matemáticas en la naturaleza?
De esta consigna se desprenden los siguientes hilos conductores:
¿Para qué sirven las matemáticas?
¿Por qué las matemáticas se hacen difíciles?
¿Los animales utilizan las matemáticas?
Vas a participar en los tres hilos conductores con 2 intervenciones como mínimo.
Por último, se propone un par de tareas extras que tendrán una evaluación adicional. Por supuesto
son voluntarias:
a. Averiguar ¿qué es un blog? Crear una blog áureo sobre el número en cuestión e invitar a todos
los amigos, a quienes les interese las matemáticas a aportar en el sitio. Se te sugiere el sitio:
https://www.blogger.com
b. Entrar a la Plataforma Descartes, ir a este enlace:
http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/razon_aurea/aureo2.htm y
conocer más sobre este misterioso número. Suerte y a divertirse aprendiendo.
5. FOROS MATEMÁTICOS
Un método muy interesante y utilizado mucho en matemáticas es aquel de la resolución de
problemas, cuya génesis se le atribuye al matemático húngaro George Pólya (como Erdös, ¿qué
tienen estos húngaros, que son tan productivos en matemática?), su planteamiento de cualidades
cuestionadoras, de búsquedas de caminos que conduzcan a la resolución de interrogantes en que
los estudiantes se apoyan en todo su armamento pre cognitivo, que transforman lo conflictivo en
significativo, se reviste hoy de una cualidad complementaria, la incorporación del diálogo, de la
mayéutica socrática, de ese puente dialéctico entre el profesor y el aprendiz y entre ellos. Pues,
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veo en esto una ineludible conexión con los foros, insertos en la llamada Web 2.0 como
mecanismos de puesta en marcha de la dialoguicidad, del enfrentamiento de ideas, de la defensa
coherente de los principios y de la luz esclarecedora al final del túnel.
Los foros sobre definiciones, deberán tener las características propias de un encuentro guiado por
el maestro o tutor en la medida en que se vayan generando posiciones respecto a argumentos
sólidos.
En un foro “geométrico”, por ejemplo, las consignas estarían dirigidas a conminar a los
estudiantes a generar definiciones. Se pediría a los estudiantes que busquen la definición por
medio de comparaciones, de patrones similares y de identificación de características peculiares.
En el foro se irían acumulando las diversas posiciones, se irían esclareciendo los conceptos, el
tutor intervendrá para puntualizar definiciones convencionales y para comentar las intervenciones
y guiarlas.
En un foro “aritmético”, cuando se definen operaciones, lo ideal sería dejar la libertad para
promover situaciones de creatividad, que la consigna se convierta en un enlace entre las
propiedades numéricas formales y la búsqueda de pequeños modelos que las afirmen o nieguen,
según el caso. El tutor seguirá siendo la guía de la discusión y las propuestas.
A propósito de foros, si bien éstos son indispensables en un entorno virtual de aprendizaje a
distancia, también pueden ser utilizados en la modalidad presencial, veamos un ejemplo:
Título de foro: ¿Quién es Evariste Galois?
La actividad es un foro que está dirigido a estudiantes, quienes han recibido varios cursos de
matemáticas, entonces, tienen una noción básica sobre el tema a tratarse.
Se busca generar participación crítica sobre el tema, es decir, a partir del enunciado, el estudiante
tendrá que exponer sus opiniones personales guiadas por sus propias convicciones y cosmovisión
del asunto presentado.
Propiciar creatividad en sus respuestas mediante la participación sin esquemas preconcebidos,
proponiendo situaciones libres, pero que a la vez describan un razonamiento coherente y
consistente.
Se propone confrontar al participante a un tema que reviste dos características principales: una
visión histórica y una perspectiva matemática, de tal manera que el alumno conciba la
matemática desde su génesis y su proyección como ciencia.
Aclaración:
Previo al desarrollo del debate, es necesario conocer una historia, por cierto muy conocida en el
mundo de la matemática, pero lastimosamente desconocida totalmente en otros medios. Se trata
de la vida de un matemático francés llamado Evariste Galois. Es un tanto difícil resumir en pocas
líneas la vida de una persona, y en este caso de un matemático que aportó tanto a la ciencia.
Bueno, Galois nace el 25 de octubre de 1811 en Bourg-la-Reine, Francia. Su infancia se
desarrolla como la de cualquier niño, pero desde ya se manifiesta un carácter rebelde e indómito,
era incapaz de seguir las normas de la escuela y protestaba contra todo. Igualmente en el colegio,
su temperamento tenaz le provoca varios problemas con los profesores, uno de ellos opina: “"Hay
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algo oculto en su carácter. Afecta ambición y originalidad. Odia perder el tiempo en redactar los
deberes literarios”. Otro profesor, Vernier, quien le tenía simpatía opina: "La locura matemática
domina a este alumno, sus padres debían dejarle estudiar Matemática. Aquí pierde el tiempo, y
todo lo que hace es atormentar a sus profesores y atormentarse a sí mismo”
Y claro, Evariste se había encontrado con la matemática, a la edad de trece años ya había leído
documentos matemáticos muy avanzados para la época.
Al terminar el colegio, Galois intenta ingresar a la Escuela Politécnica de París, pero es negada su
admisión por una discusión con el examinador, se dice que al considerar una pregunta demasiada
obvia, Galois le increpó al profesor, éste a la vez le recrimina su impertinencia y Galois le lanza
el borrador a la cabeza, total, negada su entrada a la Politécnica.
Al final entra a la Escuela Normal de París, pero su vida, y quizás sea el hecho más
predominante, está impregnada de acontecimientos determinados por sus convicciones políticas
en un período de revoluciones, de luchas filosóficas, de mejoramientos económicos, de adelantos
científicos y de ansias de libertad en un marco de traiciones a los ideales de la Revolución
Francesa.
Es encarcelado varias veces y desde el rincón de su celda produce matemática, de esta manera
toman forma definitiva la teoría de funciones algebraicas y sus integrales, y los conceptos de
grupo, subgrupo e invariante, transitividad e primitividad que más tarde servirían a Klein para
sistematizar las geometrías.
Su muerte, a la edad de 20 años, está acompañada de misterio. Se bate en un duelo por
cuestiones políticas o sentimentales, lo cierto es que muere a esta corta edad y sus escritos,
enviados a la Academia de Ciencias de París, recién fueron descubiertos luego de 50 años de su
muerte. Nace ahí el mito de Galois y el motivo de este debate.
A lo largo de la historia se ha abierto una discusión en el medio matemático:
Por un lado están quienes reprochan a Galois su vida tumultuosa y apasionada, dicen, si no
hubiera sido por su carácter rebelde, sus compromisos políticos, su excesiva pasión
revolucionaria y sus enredos sentimentales, su obra matemática habría sido más fructífera, con
seguridad habría alcanzado la trascendencia de Newton o Euler y la matemática habría avanzado
con mayor rapidez.
Por otro lado está el grupo de los matemáticos que defienden abiertamente la vida de Galois en su
sentido más amplio, más enriquecedor. Dicen que, precisamente por su carácter comprometido
con los ideales de justicia e igualdad, acompañados por su intensa pasión en la matemática, su
temperamento rebelde y cuestionador, su vida trasciende como un ejemplo de consecuencia y
creatividad genial
Hasta aquí esta breve historia, ahora viene la:
Consigna
Leer más sobre la vida de Galois en cualquier artículo de Internet, se recomienda el sitio:
http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/Biografias/05-2-b-galois.html
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Responder la pregunta: ¿con cuál de los dos grupos a) o b) te identificas? Se pide argumentar la
posición con sustentos lógicos y creativos.
Según tu criterio, si Galois habría nacido en esta época, ¿cómo habría sido su historia?
Indicaciones: Responder a las dos preguntas en un mismo posteo, en una primera instancia y en
la primera ronda obligatoria de participaciones.
Para la segunda ronda, se pide comentar la posición de un compañero contrario a tu postura y
abrir un debate.
Las participaciones tienen plazo de dos semanas, es decir, cada ronda una semana.
Se evaluará la participación crítica, libre, creativa, rompedora de esquemas tradicionales y sus
respectivos sustentos lógicos
Así que, se invita a todos a sumergirse en el maravilloso mundo de la historia de la matemática,
sin temor a naufragar, pues por ahí habrá alguna balsa, como la vida de Galois, que nos llevará a
tierra firme…
6. UNA CAZA DEL TESORO
Ahora, un famoso teorema. Vamos a realizar una actividad de búsqueda de información por
medio de una herramienta muy interesante, llamada: CAZA DEL TESORO, gestada en un enlace
que te permitirá crear la tuya propia: http://webquest.carm.es/majwq/inicio, donde además
encontrarás recursos didácticos como las WebQuest. La Caza de Tesoro es una página web
educativa que propone un reto al estudiante mediante un proceso de inducción a un tema
determinado, a manera de búsqueda de información, lo cual suscita una pequeña investigación en
la Web o bibliográfica, consta de varias partes: Introducción, preguntas, recursos, la Gran
Pregunta y la evaluación.
La presente Caza está dedicada a un personaje muy singular en la historia de la Matemática:
Introducción.Un hecho muy conocido en la historia de la matemática es el referente a un famoso teorema, cuya
demostración estuvo desconocida por varios siglos, vamos a descubrir varios datos acerca de tal
teorema, su autor, su entorno histórico y por fin a quién demostró el teorema en el siglo pasado.
Pues bien, este personaje vivió en el siglo XVII, en Francia, perteneció a una familia acaudalada,
era muy aficionado a las matemáticas, incursionó en muchos campos de ella, como la geometría
analítica, el cálculo de probabilidades, la teoría de números, etc. muchos le llaman "el príncipe de
los matemáticos aficionados”. Era muy amigo de Descartes y Pascal, realizó innumerables
aportaciones a la matemática, pero la más conocida es la formulación de un famoso teorema que
lleva su nombre, pero curiosamente nunca nos dejó una demostración del mismo, vamos entonces
a averiguar sobre este tema, para lo cual tienes que contestar a las siguientes
Preguntas:
1.- ¿Cómo se llamaba nuestro matemático aficionado, qué profesión tenía?
2.- ¿Cuál fue la famosa frase que dejó escrita en un margen al enunciar su teorema?
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3.- Este personaje se inclinó por la matemática al leer las obras de un gran matemático de la
antigüedad, llamado Diofanto, quién tiene inscrita en su tumba un acertijo, descubre la respuesta
del acertijo.
4.- ¿Cuál es el enunciado del famoso teorema?
5.- En 1993 un matemático inglés sorprendió a la comunidad científica al anunciar la
demostración de tan afamado teorema, que lastimosamente no tuvo éxito, ¿cuál es su nombre?
6.- En 1995 este mismo matemático inglés intenta otra demostración basada en la conjetura de un
japonés llamado...., esta vez sí lo logra.
7.- Además, este matemático inglés se basa en un aporte de otro matemático, un gringo, que dio
un contraejemplo a la conjetura de Euler, ¿en qué universidad trabaja este matemático gringo?
Recursos:
https://vimeo.com
http://thuban.ac.hmc.edu
http://www.mates.byethost4.com
http://en.wikipedia.org
Bueno hasta aquí las preguntas previas y los recursos donde puedes investigar, luego de habernos
empapado de algunos datos, vamos por:
La gran pregunta:
De acuerdo a la pregunta 7, este matemático gringo, quien dio un contraejemplo a la conjetura de
Euler, escribió un correo al respecto en un día que es festivo en países como Finlandia, Francia,
etc.
¿Qué se celebra ese día?
Por cierto, puedes encontrar la Caza completa, con videos y todo en la dirección:
http://webquest.carm.es/majwq/wq/vercaza/3041
7. UNA PARADOJA
Para terminar con este recorrido, vamos por algo de Teoría de Conjuntos en una paradoja
producto de una definición:
Volvamos nuevamente a echar un vistazo histórico y analicemos la famosa Paradoja de Russell,
propuesta por el gran matemático, filósofo y escritor inglés Bertrand Russell (ganó un premio
Nobel de Literatura). Se recomienda leer más sobre su vida y la paradoja, por ejemplo en:
http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/Biografias/17-1-b-RUSSELL.html
Esperando que se haya revisado el enlace, nuestra actividad se centrará sobre la definición de un
conjunto de Russell.
Repasemos: “Un conjunto de Russell es aquel que no se contiene a sí mismo como elemento”. A
partir de esta definición y luego de darles un par de ejemplos de conjuntos de Russell y de
conjuntos que no son de Russell, tales como:
Conjunto de Russell: “el conjunto formado por todas las cucharillas de té que hay en el mundo
(tan típico de los ingleses)”, evidentemente es un conjunto de Russell, puesto que no se contiene
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a sí mismo.: el conjunto de todas las cucharillas de té en el mundo no es una cucharilla, por lo
tanto no se pertenece a sí mismo.
Conjunto que no es de Russell: “el conjunto de todas las ideas abstractas”, que efectivamente se
contiene a sí mismo como elemento, puesto que el conjunto de todas las ideas abstractas es una
idea abstracta. Se pedirán, claro, más ejemplos de las dos clases.
Luego se procederá a “definir” nuevamente otro conjunto: “que tiene por elementos a todos los
conjuntos de Russell”, llamémosle ℜ. Es decir, “ℜ está formado por todos los conjuntos que no
se contienen a sí mismos como elementos”
Y ahí va la pregunta terrible: ¿Será ℜ un conjunto de Russell?, en nuestro caso, ¿encajará este
conjunto en la definición de conjunto de Russell?
Bueno a trabajar con los alumnos. Solo puede haber dos aseveraciones:
Si la respuesta es afirmativa: ℜ es un conjunto de Russell: por lo tanto ℜ no se contiene a sí
mismo como elemento, luego ℜ tiene derecho a pertenecer a ℜ , pero si pertenece a ℜ, tendremos
el caso de un conjunto que pertenece a sí mismo, luego no es de Russell, entonces, resumiendo: si
ℜ es de Russell entonces ℜ no es de Russell ¿qué pasa?
Si la respuesta es negativa, es decir ℜ no es un conjunto de Russell, es decir ℜ se contiene a sí
mismo como elemento, es decir ℜ pertenece a ℜ, pero para eso ℜ debe ser de Russell, entonces,
nuevamente: si ℜ no es de Russell entonces ℜ es de Russell ¿otra vez, qué pasa?
Luego de tanta confusión de que sí pertenece o no pertenece, los alumnos, un poco aturdidos
deberán digerir esta situación, lo más aconsejable es hacer algunos ejemplos y pedir que los
estudiantes los propongan.
En todo caso, la actividad conlleva a muchas implicaciones al respecto, la idea del conjunto
universo, la idea del infinito, la necesidad de que las definiciones matemáticas sean coherentes y
consistentes, etc.
3. Conclusiones.
Es seguro que estas actividades serían inútiles en la medida en que se deje de aprovechar la
participación efectiva y continua de los alumnos. Son ellos quienes construyen su propio
conocimiento al considerar las definiciones como categorías matemáticas y humanas,
susceptibles de será analizadas, cuestionadas, interpretadas y al fin asimiladas en el contexto de
nuestra querida matemática, una ciencia formal y consistente.
Definitivamente, Las TIC no son la panacea que pueda resolver los problemas de la enseñanza de
la Matemática, sin embargo han llegado y están aquí para quedarse y evolucionar con todo el
entorno tecnológico, negarlas sería de necios, pero nuestro trabajo como educadores consiste
precisamente en sacar el mayor partido de ellas, la innovación institucional a través de TIC,
promueve el crecimiento académico de los alumnos a través de un acceso libre, flexible y
dinámico de la información, se crean nuevos espacios sociales de cultura y conocimiento.
Permite la constante actualización de los maestros por medio de documentos, artículos, que
hablan sobre nuevas formas de enseñanza que se manejan a nivel global, propugna la constante
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renovación de las técnicas de aprendizaje, el estudiante se convierte en actor activo de la creación
de conocimiento, es un ente de investigación participativo y ya no solo un alumno que solo se
dedica a memorizar la clase. Promueve la inserción del centro educativo en campos académicos
competitivos internos y externos, utiliza la comunicación en sentido dinámico y renovador,
permite la construcción de saberes en forma significativa y sistemática, acorde con la realidad,
induce a la participación efectiva de los entes involucrados en el centro en la toma de decisiones.
Es una oportunidad para recrear nuevas pedagogías, innovadoras didácticas y reformas que
curriculares.
4. Referencias Bibliográficas
Beltrán, J. A. (2001). Educación de calidad en la sociedad del conocimiento.
Madrid: Bruño
Cobo, Cristóbal R. (2007). Aprendizaje colaborativo. Nuevos modelos para usos
educativos. Planeta Web 2.0
Khvilon, Evgueni (2004). Las tecnologías de la información y la comunicación en la
formación docente. Unesco
Dunham, William (1996). El Universo de las Matemáticas. Madrid, Pirámide
San Juan, Luis J. (2008). Ecuaciones y Matemáticos. Cuba, Editorial Pueblo y
Educación
Planas, Núria, (2009).Educación matemática y buenas prácticas. BARCELONA,
Editorial Graó.
Polya, G. (1989). Cómo plantear y resolver problemas. México, EditorialTrillas
EN LA WEB:
GeometriaDinamica.org, http://genmagic.ning.com/?xg_source=msg_mes_network,
eduteka - tecnologías de información y comunicaciones para la enseñanza básica y
media
http://www.educar.org/articulos/educacionvirtual.