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Probabilidades
Teorema de Bayes.
Sea A1, A2, …, An un sistema completo de sucesos tales que la
probabilidad de cada uno de ellos es distinto de cero, y sea B un suceso
cualquiera para el que se conocen las probabilidades de P(B/Ai). el
TEOREMA DE BAYES establece que las probabilidades P(Ai) vienen
dadas por la siguiente expresión:
P(Ai/B)=
P(A i ) • P(B/A i )
P(A1) • P(B/A1) + P(A2) • P(B/A2) + ... + P(A n) ⋅ P(B/A n)
Actividad propuesta
La probabilidad de que en clase haya un chico es de 0.2 y una chica 80/100. Si en los chicos
la probabilidad de llevar gafas es del 5% y en las chicas el 25%.
(a) ¿Cuál es la probabilidad de que no lleve gafas, sabiendo que es un chico?
(b) ¿Cuál es la probabilidad de llevar gafas, sabiendo que es una chica?
(c) Si tomamos un alumno al azar, y lleva gafas, ¿cuál es la probabilidad de que sea chico?
RESOLUCIÓN:
O: Suceso “ser chico"
G: Suceso “llevar Gafas"
P (O) =
0.20
P (A) =
0.80
;
;
A: Suceso “ser chica"
G : Suceso “No llevar Gafas"
P (G/O) =
0.05
P (O ∩ G) = P(O) · P(G/O) =
= 0.2 · 0.05 = 0.01
P ( G /O) =
0.95
P (G/A) =
0.25
P (O ∩ G ) = P(O) · P( G /O)
= 0.2 · 0.95 = 0.19
P (A ∩ G) = P(A) · P(G/A)
= 0.8 · 0.25 = 0.2
P ( G /A) =
0.75
P (A ∩ G ) = P(A) · P( G /A)
= 0.8 · 0.75 = 0.6
NOTA IMPORTANTE: La muestra estudiada tiene un tamaño indeterminado por lo que la consideramos
como un conjunto con un número infinito de elementos:
(a) ¿Cuál es la probabilidad de que no lleve gafas, sabiendo que es un chico?
P ( G /O)
Observamos el cuadro
= 0.95
(b) ¿Cuál es la probabilidad de llevar gafas, sabiendo que es una chica?
P (G/A) =
Observamos el cuadro
= 0.25
(c) Si tomamos un alumno al azar, y lleva gafas, ¿cuál es la probabilidad de que sea chico?
Para resolver este apartado, cuando la pregunta es "EN SENTIDO CONTRARIO" de lo que
conocemos, resulta de gran ayuda el TEOREMA DE BAYES:
P (O/G) =
Aplicamos el Teorema de Bayes
=
P (O) ⋅ P(G / O)
=
P ( G)
=
0.2 ⋅ 0.05
=
0.21
0.0476
 Abel Martín & Marta Martín Sierra - www.aulamatematica.com