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Números enteros
Números naturales y cardinales
Los elementos del conjunto N = {1, 2, 3, · · · } se denominan “números naturales”. Si a este conjunto le unimos
el conjunto formado por el cero, obtenemos N0 = {0, 1, 2, · · · } llamado “conjunto de los números cardinales”.
El conjunto de los números naturales es cerrado para la suma (+) y la multiplicación (·), es decir, si a y b
son números naturales entonces a + b es un número natural y a · b también lo es.
Definición (Antecesor y Sucesor)
Sea a ∈ N, entonces
1. Al número a + 1 ∈ N lo llamaremos sucesor de a.
2. Al número b ∈ N tal que a sea sucesor de b lo llamaremos antecesor de a.
Con las definiciones anteriores es fácil observar que:
El sucesor de 1 es 2 , el sucesor de 2 es 3. El proceso de calcular “el sucesor del sucesor” se puede
repetir un “sin fin de veces”, esta idea intuitiva nos brinda una noción de una propiedad fundamental
de los números naturales: el conjunto de los números naturales es infinito.
Dado cualquier número natural, éste siempre será menor que su sucesor, luego los naturales son
ordenados.
Dado que cada número natural distinto de 1 tiene un antecesor, se puede decir que el 1 es el primer
elemento de los números naturales.
Números enteros
El conjunto de los números enteros, simbolizado por Z es: Z = {· · · , −3, −2, −1, 0, 1, 2, · · · }
En Z se puede observar que:
a) Los conceptos de sucesor y antecesor de los números naturales son extendibles a los números enteros.
b) Z no tiene un primer elemento ya que todo elemento del conjunto tiene antecesor.
c) El conjunto de los naturales esta contenido en el conjunto de los números enteros, es decir, todo número
natural también es entero.
d) Z al igual que los números naturales es un conjunto ordenado
e) El conjunto de lo números enteros también es un conjunto cerrado para la suma y el producto.
Algunos subconjuntos de Z son:
Z+ = {1, 2, 3, · · · } enteros positivos
Z = {0, 1, 2, · · · } enteros no negativos
Z− = {−1, −2, −3, · · · } enteros negativos
Z = {0, −1, −2, −3, · · · } enteros no positivos
Z = Z− ∪ {0} ∪ Z+
Diremos que:
1. Son cuadrados perfectos los enteros:
1, 4, 9, 16, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, · · ·
2. Son cubos perfectos los enteros:1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, · · ·
y también: −1, −8, −27, −64, −125, −216, −343, · · ·
Divisibilidad
Sean a, b ∈ Z con a 6= 0, diremos que a divide a b, si existe un único k ∈ Z tal que b = ak. Se denota por
a | b.
En el caso que a | b se dice que a es un divisor de b o que b es un múltiplo de a.
Ejemplos.
1) −3 divide a −12, pues −12 = −3 · 4 y 4 ∈ Z
2) 57 es un múltiplo de 3, pues 57 = 3 · 19 con 19 ∈ Z
Un número a puede tener más de un divisor y también más de un múltiplo, por lo cual, podemos hablar del
conjunto de divisores, D(a), y del conjunto de múltiplos de un número, M (a).
Ejemplos.
1) El conjunto de divisores de 36 es:
D(36) = {±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±9, ±12, ±18, ±36}
2) El conjunto de múltiplos de 15 es:
M (15) = {0, ±15, ±30, ±45, . . .}
Propiedades. Sean a, b, c ∈ Z, entonces:
a) Todo número entero no nulo es divisor de si mismo.
b) ±1 son divisores de todos los números enteros.
c) Ningún número tiene por divisor al cero.
d) Si a | b y a | c, entonces a | (b + c).
e) Si a | b y b | c, entonces a | c.
f) Si a | b, entonces a | (bx) con x ∈ N.
Demostración. d). Notemos que:
Si a | b entonces b = n · a con n ∈ Z
Si a | c entonces c = m · a con m ∈ Z
Luego (b + c) = n · a + m · a = a(n + m) donde (n + m) ∈ Z. Por lo cual a | (b + c).
Reglas de divisibilidad
Un número entero es divisible:
Por
2
3
4
5
6
8
9
10
Cuando
Termina en cifra par.
Las sumas de sus cifras es múltiplo de 3.
Las dos últimas cifras forman un número múltiplo de cuatro o bien son ceros.
La última cifra es cero o cinco.
Es divisible por dos y por tres a la vez.
Las tres últimas cifras forman un número múltiplo de ocho o bien son ceros.
La suma de sus cifras es múltiplo de nueve.
Termina en cero.
Números pares, impares, primos, compuestos y descomposición en factores
Números pares
Son aquellos divisibles por 2, es decir, si a es par tendrá la forma a = 2k, con k ∈ Z.
Números impares
Son quellos que no son divisibles por 2, es decir, si a es impar tendrá la forma a = 2k + 1 o a = 2k − 1 con
k ∈ Z.
Números primos
Son aquellos enteros positivos que tienen sólo dos divisores positivos distintos. Los primeros números primos
son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, ...
Números compuestos
Son todos los enteros positivos mayores que uno que no son primos. Los primeros números compuestos son:
4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, ...
Teorema: Todo número compuesto puede ser escrito de manera única, como producto de números primos,
salvo orden de escritura.
Mı́nimo común múltiplo (m.c.m.) y Máximo común divisor (M.C.D)
Sean a, b ∈ Z distintos de cero. Entonces
1. El mayor entero que divide tanto a a como a b se llama el Máximo Común Divisor de a y b. Lo
denotamos por m.c.d. (a, b).
2. En menor entero positivo que es múltiplo de a y de b se llama Mı́nimo Común Múltiplo de a y b. Lo
denotamos por M.C.M. (a, b).
Cálculo del m.c.m. y M.C.D mediante descomposición en factores primos
Se descomponen los números en factores primos:
1. El m.c.m. se obtiene como producto de todos los factores primos. En el caso de existir factores primos
comunes se considera aquel que posea el exponente mayor.
2. El M.C.D. se obtiene como producto de los factores primos comunes considerando aquel que posea el
exponente menor.
Ejemplos.
Calculemos el m.c.m y el M.C.D. entre los números 24, 36. Calculando los divisores de ambos números
tenemos
D(24) = {±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±8, ±12, ±24} y D(36) = {±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±9, ±12, ±18, ±36}
por lo cual el mayor divisor en común es 12. Ahora calculando los múltiplos de ambos números,
M (24) = {0, ±24, ±48, ±72, ±96, . . .} y M (36) = {0, ±36, ±72, ±108, . . .}
por lo cual el menor múltiplo positivo en común es 72.
Valor absoluto
Es la distancia que existe entre un numero y el 0
Definición
|n| =
n,
si n ≥ 0
−n, si n < 0
Operatoria en Z
Adición
1. Al sumar números de igual signo, se suman los valores absolutos de ellos, conservando el signo común.
2. Al sumar dos números de distinto signo, al de mayor valor absoluto se le resta el de menor valor
absoluto y al resultado se le agrega el signo del mayor valor absoluto.
Multiplicación
1. Si se multiplican dos números de igual signo, el resultado es siempre positivo.
2. Si se multiplican dos números de distinto signo el resultado es siempre negativo.
Observación: La división cumple con las reglas de signos de la multiplicación.
Algoritmo de la División
Para todo a, b ∈ Z+ , existen q, r ∈ Z+ , únicos, tales que a = b · q + r, con 0 ≤ r < b. El número q se llama
cuociente y r es el resto de la división entre a y b.
Ejemplo:
Si a = 47 y b = 7, se tiene que el cuociente es q = 6, el resto es r = 5 y claramente:
47 = 7 · 6 + 5
Prioridad de las operaciones
Al realizar distintas operaciones a la vez, se debe respetar el siguiente orden:
1. Resolver los paréntesis.
2. Realizar las potencias.
3. Realizar multiplicaciones y/o divisiones de izquierda a derecha.
4. Realizar adiciones y/o sustracciones de izquierda a derecha.
Relación de orden en Z
Si a y b son números enteros, entonces diremos que:
1. a < b si y sólo si (b − a) es un entero positivo.
2. a > b si y sólo si (b − a) es un entero negativo.
3. a ≥ b si y sólo si (a > b) o (a = b); (no ambos a la vez).
4. a ≤ b si y sólo si (a < b) o (a = b); (no ambos a la vez).
Teorema
Sean a, b, c, d ∈ Z, entonces,
1. Dados a y b se verifica sólo una de las alternativas a < b,
b=a
o
b < a.
2. a < b y b < c ⇒ a < c.
3. a < b ⇒ a + c < b + c.
4. a < b y c < d ⇒ a + c < b + d.
5. a < b y c > 0 ⇒ ac < bc.
6. a < b y c < 0 ⇒ ac > ac.
7. 0 < a < b y 0 < c < d ⇒ ac < bd.
8. a > 0 y b < 0 ⇒ ab < 0.
9. a 6= 0 ⇒ a2 > 0.
10. a > 0 ⇒ a−1 > 0.
11. 0 < a < b ⇒ b−1 < a−1 .
12. a · b > 0 ⇒ (a > 0 ∧ b > 0) ∨ (a < 0 ∧ b < 0) .
13. a · b < 0 ⇒ (a > 0 ∧ b < 0) ∨ (a < 0 ∧ b > 0) .
Ejercicios
1. Si al entero (−1) le restamos el entero (−3), resulta:
a) −2
b) 2
c) 4
d ) −4
e) Otro valor
2. Si a es un número de dos dı́gitos, en que el dı́gito de las decenas es m y el de las unidades es n, entonces
a+1=
a) m + n + 1
b) 10m + n + 1
c) 100m + n + 1
d ) 100m + 10n + 1
e) 10(m + 1) + n
3. Si n = 2 y m = −3, ¿cuál es el valor de −nm − (n + m)?
a) −11
b) −5
c) 5
d) 7
e) −7
4. En una fiesta de cumpleaños hay 237 golosinas para repartir entre 31 niños invitados. ¿Cuál es el
número mı́nimo de golosinas que se necesita agregar para que cada niño invitado reciba la misma
cantidad de golosinas, sin que sobre ninguna?
a) 11
b) 20
c) 21
d) 0
e) 7
5. Si se divide el m.c.m por el M.C.D de los números 30, 54, 18 y 12 se obtiene:
a) 5
b) 15
c) 30
d ) 45
e) 90
6. Para completar la tabla adjunta se debe seguir la siguiente regla: el último número de cada fila es la
suma de los tres números anteriores y el último número de cada columna es la suma de los tres números
anteriores. ¿Cuál es el valor de x?
a) 5
b) 7
c) 8
d) 9
x
4
8
24
4
9
20
13
16 55
e) 16
7. Con los cı́rculos se ha armado la siguiente secuencia de figuras:
¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I) La décima figura de la secuencia está formada por 21 cı́rculos
II) De acuerdo a la formación de la secuencia cualquier figura tendrá un número impar de cı́rculos
III) La diferencia positiva en cuanto a la cantidad de cı́rculos entre dos figuras consecutivas es 2
a) Sólo I
b) Sólo I y II
c) Sólo I y III
d) Sólo II y III
e) I, II y III
8. En un monedero hay doce monedas de $5 y nueve de $10. Estas 21 monedas representan un cuarto del
total de dinero que hay en su interior. Si en el resto de dinero se tiene igual cantidad de monedas de
$50 y de $100, ¿cuál(es) de la(s) siguiente(s) afirmación(es) es(son) verdadera(s)?
I) En total hay 27 monedas
II) Hay 4 monedas de $50 en el monedero
III) En el monedero hay $600
a) Solo I
b) Solo II
c) Solo III
d ) Solo I y III
e) Solo II y III
9. Se define a ⋄ b = ab + b y a#b = 2a − 4b para a y b números enteros, el valor de (2 ⋄ 5)#(−2) es:
a) 82
b) 66
c) 60
d ) 38
e) 22
10. Al sumar el cuarto y el quinto término de la secuencia:
x − 5, 2(2x + 7), 3(3x − 9), 4(4x + 11), ...,
resulta:
a) 41x - 2
b) 61x + 25
c) 41x - 109
d ) 41x + 109
e) 41x - 21
11. ¿De cuántas formas distintas se puede pagar, en forma exacta, una cuenta de $12000 usando billetes
de $10000, $5000, $1000 o combinaciones de ellos?
a) De 1 forma
b) De 2 formas
c) De 4 formas
d ) De 3 formas
e) De 6 formas
12. En la expresión q = 5n(7m + 3n); si n = 3, ¿ Qué valor puede tener “m” para que “q” sea par?
a) 1
b) 2
c) 4
d) 6
e) Ninguno
13. Un número entero positivo p se compone de dos dı́gitos que son de izquierda a derecha a y b respectivamente. Entonces el inverso aditivo de p es :
a) 10a + b
b) −10a + b
c) 10b + a
d ) −10a − b
e) −10b − a
14. El precio de los artı́culos M, N y T son $(n − 1), $(n − 2) y $(n − 3), respectivamente. ¿Cuántos pesos
se deben pagar por un artı́culo M, dos artı́culos N y tres artı́culos T?
a) 6n − 14
b) 6n − 6
c) 5n − 14
d ) 3n − 14
e) 3n − 6
15. El promedio de un número entero positivo y su antecesor es 6, 5 entonces, el sucesor de ese número
entero es:
a) 6
b) 7
c) 8
d ) 14
e) N.A.
16. Una prueba tiene 40 preguntas. El puntaje corregido se calcula de la siguiente manera: “Cada 3 malas
se descuenta 1 buena y 3 omitidas equivalen a 1 mala”. ¿Cuál es el puntaje corregido si un estudiante
obtuvo 15 malas y 9 omitidas?
a) 8
b) 6
c) 9
d ) 10
e) Ninguna de las anteriores
17. Mario visita a su abuelita cada 6 dı́as, José Miguel cada 8 dı́as, Eduardo visita a su abuelita cada 16
dı́as, si los tres son nietos de la misma abuelita y todos estuvieron hoy en su casa. ¿Después de cuantos
dı́as vuelven a encontrarse?
a) 48 dı́as
b) 24 dı́as
c) 36 dı́as
d ) 96 dı́as
e) nunca
18. M, N y P son números enteros mayores que 1. Si ninguno de ellos tiene factores en común, salvo el 1,
cuando M = 9 y N = 8, ¿cuál es el menor valor posible de P?
a) 7
b) 5
c) 4
d) 3
e) 1
19. En un triángulo equilátero de lado 1000 se unen los puntos medios de cada lado y se obtiene un nuevo
triángulo equilátero, como se muestra en la figura. Si repetimos el proceso 6 veces, el lado del triángulo
que se obtiene es:
1000
12
1000
b) 6 ·
2
a)
c)
1000
26
d)
1000
6
e)
1000
25
20. En una librerı́a hay una oferta de de 3 lápices por $700, mientras que cada uno vale $300. Entonces
una persona que lleva 6 cajas de 12 unidades cada una, aprovechando la oferta ahorrará:
a) $4800
b) $5800
c) $9000
d ) $14400
e) $16800
21. La suma de tres números enteros consecutivos es 0. Con respecto a estos números, ¿cuál(es) de las
siguiente(s) afirmación(es) es(son) verdadera(s)?
I) La suma del menor y el mayor es 0
II) El cuadrado del menor es igual al cuadrado del mayor
III) El mayor menos el menor es 0
a) Solo I
b) Solo II
c) Solo III
d ) Solo I y II
e) I, II y III
22. Si el promedio entre cuatro impares consecutivos es 28, entonces el mayor de los números es:
a) 33
b) 31
c) 29
d ) 27
e) 25
23. Encuentre el valor de (A + B + C), sabiendo que en el cuadrante sólo pueden colocarse los números
1, 2, 3 y 4 de manera tal que en cada fila y columna pueden ir sólo una vez cada número.
a) 8
b) 7
c) 6
d) 5
4
2
3
1
3
A
1
2 B 4
C
3
e) Ninguna de las anteriores
24. La distancia en la recta numérica entre a y b es c. Esto se expresa como:
a) a − b = c
b) |a − b| = c
c) |a + b| = c
d) b − a = c
e) Ninguna de las anteriores
25. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA?
a) Un número entero es divisible por 6 si es par y la suma de sus dı́gitos es divisible por 3.
b) Si la suma de dos números es par, entonces ambos son pares o ambos son impares.
c) La suma de todo número divisible por 3 con todo número divisible por 6, es divisible por 3.
d ) El cuadrado de todo número divisible por 3 es divisible por 6.
e) El producto de todo número divisible por 4 con todo número divisible por 6, es divisible por 12.
Ejercicios propuestos
1. Demuestre que el cuadrado de un número par es un número par.
2. Demuestre que el cuadrado de un número impar es un número impar.
3. ¿Puede un número primo, distinto de 2, terminar en cifra par? ¿Por qué?
4. ¿Existe algún número primo terminado en cero? ¿Por qué?
5. ¿Cuál será la mayor longitud de una medida con la que se puedan medir exactamente tres dimensiones
de 140 metros, 560 metros y 800 metros?
6. Se tienen extensiones de terrenos de 3675, 1575 y 2275 metros cuadrados de superficie y se quieren
dividir en parcelas iguales. ¿Cuál ha de ser la superficie de cada parcela para que el número de parcelas
de cada una sea el menor posible?
7. ¿Cuál será la menor longitud de una varilla que se puede dividir en secciones de 18 pulgadas y 40
pulgadas de longitud sin que sobre ni falte nada, y cuántas secciones de cada longitud se podrı́an sacar
de esa varilla?
8. Tres ciclistas parten juntos en una carrera en la que la pista es circular. Si el primero tarda 12 segundos
en dar una vuelta a la pista, el segundo 13 segundos y el tercero 15 segundos. ¿Al cabo de cuántos
segundos pasarán juntos por el lugar de la partida y cuántas vueltas habrá dado cada uno en ese
tiempo?