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Sistemas de Control: resultados problemas 17 a 22 (diseño de reguladores discretos
por LDR y discretización de reguladores continuos).
Problema 17.
• Apartado a)
R(z) = 0,05 ·
z − 0,4
z
• Apartado b) Es imposible que exista un regulador realizable fı́sicamente que obtenga
la salida yk ya que el retardo de dicha salida es 1 mientras que el sistema en bucle abierto
tiene retardo 2 (diferencia de grados de numerador y denominador). Por tanto, la fdt
del regulador deberı́a “adelantar” el sistema, y eso es imposible (grado del numerador
de R(z) mayor que el del denominador).
Problema 18.
• Apartado a) a = 0,468, α = 0,135 (el error de posición es del 51 %).
• Apartado b) La secuencia de salida es:
{yk } = {0; 0; 2; 3,464; 3,9808; 3,946; 3,769; 3,643; 3,597; 3,598; . . .}
de donde se deduce que ns = 6 y np = 4. La especificación para ns no se cumple (ns es
mayor que 5) ya que el diseño se ha realizado aproximando el sistema en bucle cerrado
con regulador a un sistema de segundo orden. Por tanto, en el diseño se realiza la mejor
aproximación posible a las especificaciones pedidas usando un PID y es posible que el
ns real esté algo por encima del pedido.
• Apartado c) No es posible obtener un error de posición tan pequeño como se quiera ya
que en ese caso habrı́a que aumentar el valor de α excesivamente y llegará un momento
que el sistema se inestabiliza. Tampoco es posible un error nulo ya que el sistema es de
tipo cero (no tiene ningún poco en z = 1).
Problema 19.
P D(z) = 5 ·
z − 0,85
z
D(z) =
z
2,5z − 1
Problema 20.
• Apartado a)
• Apartado b)
D(z) = 0,2857 ·
z+1
z − 0,1429
• Apartado c)
D(z) =
0,52
z − 0,22
Problema 21. El regulador discretizado con la aproximación trapezoidal y T = 1 s es:
R(z) = 0,625 · K ·
z+1
z + 0,25
Para K = 1 el sistema es inestable y el error de posición es infinito. Para K = 1/2 el sistema
es estable y el error de posición es ep = 40 %.
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Problema 22.
• Apartado a) El primer bucle (sistema continuo) es siempre estable y el segundo bucle
(sistema muestreado) es estable cuando
K<
2(1 + e−1 )
(2 + a)(1 − e−1 )
El regulador R(s) discretizado como aproximación del operador derivada con T = 1 s
es
1
z − 1+a
R(z) = K(1 + a)
z−1
y la discretización del proceso G(s) con bloqueador de orden cero:
BG(z) =
1 − e−1
z − e−1
• Apartado b) El error de posición será nulo al ser ambos sistemas de tipo 1 (dentro
de los rangos de estabilidad de cada uno).
• Apartado c) Si se utiliza el operador trapezoidal para discretizar el regulador continuo
se obtiene (T = 1 s):
z − 2−a
2+a
2+a
·
R(z) = K ·
2
z−1
Con este regulador el sistema es estable si se cumple (suponiendo 0 < a < 2)
K<
1 + e−1
1 − e−1
mientras que con el operador derivada la condición de estabilidad era
K<
2(1 + e−1 )
(2 + a)(1 − e−1 )
por tanto la condición con el operador trapezoidal es menos restrictiva que con el
operador derivada ya que
1 + e−1
2(1 + e−1 )
<
(2 + a)(1 − e−1 )
1 − e−1
2
(obsérvese que 2+a
< 1 para a > 0).
Este dato induce a pensar que la aproximación trapezoidal se comporta mejor que el
operador derivada en este caso. Debe destacarse que con el periodo de muestreo elegido
la discretización del regulador continuo no será muy exacta.
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