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Identifica las secciones cónicas
Realiza modelos de conos y cilindros y a través de cortes rectos y/o transversales determinar las
secciones cónicas.
Determinar características de las secciones cónicas
Un Poco de Historia
Para llegar a entender completamente un concepto hay que conocer sus orígenes: cómo surge,
cuándo, cómo, por qué, entre otros. En primer lugar podemos pensar que las formas del sol y de la
luna debieron influir decisivamente en el temprano descubrimiento y consagración de la circunferencia,
como la forma geométrica plana más regular. Podemos encontrar construcciones arquitectónicas
con esta forma a partir del siglo XIX a. c., lo que configura a la circunferencia, después de la recta,
como el primer lugar geométrico conocido y utilizado por la humanidad.
Para encontrar otras nuevas, hay que esperar hasta la cultura griega de los siglos V y IV a. c. Por entonces
empiezan a circular tres problemas clásicos: la cuadratura del círculo, la duplicación del cubo y la
trisección del ángulo. El problema de la duplicación del cubo fue el más famoso en los tiempos de
los antiguos griegos. Hay dos narraciones diferentes dadas por comentadores posteriores sobre los
orígenes del problema.
La primera fue transmitida por Eratóstenes. Éste, en su obra titulada Platonicus, relata que cuando el
dios anunció a los delianos (este problema también se llama “problema de Delos”) a través del oráculo
que para deshacerse de la plaga debían construir un altar del doble del que había, sus artesanos
quedaron desconcertados en sus esfuerzos por descubrir cómo podían hacer un sólido que fuera
el doble de otro sólido similar; por ello fueron a preguntarle a Platón al respecto, quien respondió
que el oráculo quería decir no que el dios quisiera un altar del doble del tamaño, sino que deseaba
al imponerles la tarea, avergonzar a los griegos por su descuido de las matemáticas y su desprecio
por la geometría.
La plaga sin duda fue un evento importante en la historia de Atenas, y aproximadamente un cuarto
de la población murió por esta causa. Esto sucedió alrededor del 420 a.c. De haber algo de verdad en
esta leyenda al menos podemos dar una fecha razonablemente exacta para la aparición del problema.
Esto también es consistente con una contribución anterior de Hipócrates al problema.
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Eutocio, en su comentario a Sobre la esfera y el cilindro de Arquímedes, dio una versión un tanto
distinta. Esta se supone que es una carta escrita por Eratóstenes al Rey Tolomeo y, aunque la carta
es una falsificación, el escritor sí cita algunos escritos genuinos de Eratóstenes: Eratóstenes al Rey
Tolomeo, saludos. La anécdota dice que uno de los poetas trágicos antiguos representaba a Minos
haciendo construir una tumba para Glauco y, que cuando Minos descubrió que la tumba medía cien
pies de cada lado, dijo ‘Demasiado pequeña es la tumba que habéis señalado como el sitio real de
descanso. Hacedla el doble de grande, sin arruinar la forma, rápidamente duplicad cada lado de la
tumba’.
Esto era claramente un error, ya que si los lados se duplican, la superficie se multiplica por cuatro
y el volumen por ocho. Muchos sabios y filósofos se ocuparon de la resolución de estos problemas
y, aunque sin demostrarlo rigurosamente, pronto se dieron cuenta que la solución era imposible
utilizando sólo la regla y el compás por un número finito de veces. En aquella época sólo se admitían
dos maneras de definir curvas: con composiciones de movimiento uniformes y como intersección de
superficies geométricas conocidas.
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Guía de observación de animación
Observa detenidamente la animación presentada por el docente. Luego responde:
¿Qué tienen en común los movimientos descritos por la nave espacial?
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¿Podrías decir cuál es el nombre de esos movimientos?
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Dibuja algunos objetos de uso cotidianos que tengan las formas descritas por la nave
espacial
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Actividad 1
Marca con una X las imágenes que correspondan a una sección cónica.
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Actividad 2
Completa con las siguientes palabras lo que es una sección cónica: curva, cono, intersecar, recto, plano.
Una sección cónica es una ________ obtenida al _______ un ___________ circular con un _________.
Actividad 3
Luego de observar el video, escribe algunos aportes de los personajes mencionados.
Personaje:
Aporte:
Personaje:
Aporte:
Personaje:
Aporte:
Personaje:
Aporte:
Personaje:
Aporte:
Personaje:
Aporte:
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Actividad 4
Luego de observar la animación del corte transversal en el cono, intenta realizar los cortes para
hallar las secciones cónicas. Usa el ejemplo del cono como referencia.
Elipse
Hipérbole
Circunferencia
Parábola
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Actividad 5
Construcción de secciones cónicas
Realiza la siguiente construcción y di qué sección cónica has formado.
Necesitamos una escuadra y una cuerda que tenga la misma longitud que uno de sus catetos.
Fijamos un punto F que llamaremos foco y una recta d que llamaremos directriz. Un extremo de la cuerda
lo fijamos en el vértice correspondiente al ángulo no recto del cateto, cuya longitud coincide con la de la
cuerda y el otro extremo en el foco F. El otro cateto de la escuadra se apoya en una recta fija d. Con un
lapicero tensamos la cuerda manteniéndolo pegado al cateto, al mismo tiempo deslizamos la escuadra a
lo largo de la recta fija, de esta forma se dibuja la parábola.
Construcción de secciones cónicas
Se fijan dos puntos F y F´ (que llamaremos Focos) y se elige una regla de longitud L, mayor que la distancia FF´. Se Toma un hilo de longitud H, tal que L-H sea menor que FF´; se fija un extremo del hilo en el
extremo T de la regla, y el otro extremo del hilo se fija se une a uno de los focos por ejemplo F. El extremo
libre de la regla se apoya sobre el otro foco F´. Cogemos un lápiz P y tensando el hilo llevamos el lápiz
junto a la regla. Deslizamos el lápiz sobre la regla manteniendo el hilo tenso, al desplazar el lápiz sobre la
regla esta girará. De esta forma se traza una rama de la hipérbola. Para trazar la otra rama se apoya la
regla en el otro foco y se hace lo mismo
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¿Qué es una Sección Cónica?
Una sección cónica es una curva obtenida al intersecar un cono recto circular con un plano.
Se denomina sección cónica (o simplemente cónica) a todas las curvas resultantes de las diferentes
intersecciones entre un cono y un plano; si dicho plano no pasa por el vértice, se obtienen las cónicas
propiamente dichas. Se clasifican en cuatro tipos: elipse, parábola, hipérbola y circunferencia.
Un Poco de Historia: las Secciones Cónicas
El descubrimiento de las secciones cónicas estuvo íntimamente ligado a uno de los tres problemas
clásicos de la geometría griega: la duplicación del cubo o problema de Delfos.
(Bayer, 1987) “[…] la peste se llevó una cuarta parte de la población ateniense y la profunda impresión
que produjo esta catástrofe fue probablemente el origen del segundo problema […]”
“[…] Se envió una delegación al oráculo de Apolo en Delfos, para preguntar cómo podría conjurarse
la peste, a lo que el oráculo contesto que era necesario duplicar el altar cúbico dedicado a Apolo. Al
parecer los atenienses duplicaron las dimensiones del altar, pero esto no sirvió para detener la peste,
obviamente habían aumentado ocho veces su volumen en lugar de dos […]” (Bayer, 1987)
Fue Hipócrates de Chios quien demostró que se podría conseguir la duplicación del cubo siempre
que se pudieran encontrar curvas que cumplieran a/x=x/y=y/2a; Menecmo halló dichas curvas
como secciones (las secciones en aquellos tiempos sólo se consideraban perpendiculares a la generatriz) de conos circulares rectos (ortotoma), agudos (oxitoma) y obtusos (amblitoma). Pero es
Apolonio de Perga quien hace un tratamiento tan exhaustivo que desplaza a todos los anteriores, y
quien da una formulación definitiva.
Apolonio les da su nombre definitivo Elipsis (deficiencia), Hipérbola (avanzar más allá) y Parábola
(colocar al lado o comparar) que indicaba que no había deficiencia ni exceso. Veamos que significa
esto último en el siguiente applet:
Apolonio fue el primero en obtener todas las curvas a partir de las secciones del cono recto, variando el ángulo de inclinación del plano con respecto al eje del cono y “A partir del cono dedujo una
propiedad plana fundamental, una condición necesaria y suficiente para que un punto esté situado
en la curva, y en ese momento abandonó el cono y procedió a estudiar las cónicas por métodos
planimétricos exclusivamente […]” y “consigue una de las mejores obras de la matemática antigua”.
(Bayer, 1987)
Mientras que Apolonio había considerado tres tipos de curvas, Kepler prefería considerar cinco
tipos. A partir de un par de rectas que se cortan, en la que los focos coinciden con el punto de intersección, podemos pasar gradualmente por un conjunto infinito de hipérbolas, según uno de los
focos va alejándose más y más del otro. Cuando el segundo foco se haya alejado infinitamente, no
tenemos ya una hipérbola con sus dos ramas, sino una parábola. Según el foco móvil traspasa el
punto del infinito y se va acercando de nuevo por el otro lado, vamos pasando por un conjunto de
elipses, hasta que los focos coinciden tenemos una circunferencia como último tipo de cónica. En
1609 enuncia Kepler sus dos primeras leyes astronómicas, los planetas se mueven alrededor del sol
siguiendo órbitas elípticas, uno de cuyos focos es el sol; el radio vector que va del sol a un planeta,
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barre áreas iguales en tiempos iguales.
Descartes sólo en un caso examina con detalle un lugar geométrico. Es en conexión con el problema
del lugar de las tres y cuatro rectas de Pappus del que obtiene Descartes la ecuación y2=ay-bxy+cxdx2. Ecuación general de una cónica que pasa por el origen de coordenadas. “Descartes presenta
condiciones sobre los coeficientes para que la cónica sea una recta, una parábola, una elipse o una
hipérbola [...]”, “[…] sabía que eligiendo adecuadamente tanto el origen de coordenadas como los
ejes, podía reducirse la ecuación a la forma más sencilla, pero el hecho es que no da ninguna de las
formas canónicas.” (Bayer, 1987)
Tras la geometría de Descartes publicada en francés y no en latín (la lengua universal de la ciencia),
Van Schooten la traduce al latín en 1649. Junto a sus discípulos adquiere la geometría cartesiana un
rápido desarrollo; Debeaune en Notas breves demuestra que las ecuaciones y2=xy+bx, y2=-2dy+bx
e y2 =bx-x2, representan respectivamente hipérbolas, parábolas y elipses. Pero es en 1658 cuando
uno de los miembros del grupo de Van Schooten, Jan de Witt reduce todas las ecuaciones de segundo grado en x e y a formas canónicas, por medio de rotaciones y traslaciones de los ejes. De Witt
sabía cómo reconocer cuándo tal ecuación representaba una elipse, cuándo una parábola y cuándo
una hipérbola, según que el llamado discriminante fuera negativo, nulo o positivo.
Bayer, C., “Historia de las Matemáticas”. Alianza Universidad. Madrid. 1987
La Hipérbola
Definición: La hipérbola es el conjunto de puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos llamados focos es una cantidad constante: 2a.
Aunque no es fácil encontrar objetos en forma de hipérbola, esta curva es importante porque es necesaria para explicar ciertos fenómenos: la proporcionalidad inversa, ley de Boule. Mariotte, etcétera.
Elementos de la hipérbola.
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En la hipérbola se distinguen los siguientes elementos:
•Los radios vectores de un punto P son los segmentos PF y PF´.
•El eje focal es la recta que pasa por los focos F y F´.
•El eje secundario es la mediatriz del segmento F´F.
El centro de la hipérbola es el punto O en el que se cortan los ejes. Es el centro de simetría. Y los ejes
son sus ejes de simetría.
La distancia focal es el segmento F´F, cuya longitud es 2c.
Los vértices son los puntos A y A´, puntos de corte del eje focal con la hipérbola y B y B´, puntos de
corte del eje secundario con la circunferencia de centro A y radio c = OF.
•El eje trasverso o eje real es el segmento AA´.
•El eje no trasverso o eje imaginario es el segmento BB´.
Longitudes de los ejes.
Se puede comprobar que el eje real AA´ mide 2a luego OA = OA´ = a
De igual forma se toma como longitud del eje imaginario BB´ 2b, luego OB = OB´ = b.
Y la distancia focal es FF´ = 2c.
La Elipse
Elipse es el conjunto de puntos del plano que verifican que la suma de las distancias desde cada uno
de ellos a dos puntos fijos (F y F´) llamados focos, es una cantidad constante que llamamos 2a.
Elementos de la elipse.
En la elipse se distinguen los siguientes elementos:
Los radios vectores de un punto P son los segmentos PF y PF´.
El eje focal es la recta que pasa por los focos F y F´.
El eje secundario es la mediatriz del segmento FF´.
El centro de la elipse es el punto O en el que se cortan los ejes. Es el centro de simetría. Y los ejes
son sus ejes de simetría.
La distancia focal es el segmento FF´, cuya longitud es 2c.
Los vértices son los puntos A y A´, B y B´ en los que los vértices cortan a la elipse.
El eje mayor es el segmento AA´.
El eje menor es el segmento BB´.
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La Parábola
Definición: la parábola es el conjunto de puntos del plano que está a la misma distancia de un punto,
su foco, y de una recta fija, su directriz.
Elementos de la parábola.
En la parábola se distinguen los siguientes elementos:
El foco es el punto F.
La directriz es la recta d.
El radio vector de un punto P es el segmento PF que lo une al foco.
El parámetro es la distancia FD del foco a la directriz d y se designa por p.
El eje de la parábola es también un eje de simetría.
El vértice es el punto V en que el eje corta a la parábola.
En la última figura del enlace anterior se puede observar un método gráfico para trazar la parábola
por puntos.
Circunferencia
La circunferencia es una línea curva cerrada cuyos puntos están todos a la misma distancia de
un punto fijo llamado centro.
Algunos elementos de la circunferencia son:
Centro: es el punto interior de la circunferencia
que está a igual distancia de todos sus puntos.
Diámetro: es un segmento que une 2 puntos de
la circunferencia pasando por su centro.
Radio: es un segmento que une cada punto de la
circunferencia con el centro.
Cuerda: Es un segmento que une 2 puntos de la
circunferencia sin pasar por el centro.
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Lugares Geométricos. La Tierra
Definición: un lugar geométrico es un conjunto de puntos que poseen una determinada propiedad,
y además son los únicos puntos que la poseen.
Algunos lugares geométricos importantes son los siguientes:
Mediatriz de un segmento: lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los extremos de un segmento.
Bisectriz de un ángulo: lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los lados de un
ángulo.
Circunferencia: lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado
centro.
Esfera: lugar geométrico de los puntos del espacio que equidistan de un punto fijo llamado centro.
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Definen cada una de las secciones cónicas como lugares geométricos:
Realiza algunas construcciones tridimensionales de diversas de las secciones cónicas
Bibliografía
Bayer, C. (1987) Historia de las Matemáticas. Alianza Universidad. Madrid. 1987
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