1. Ingeniería

ANALES U
de la Universidad Metropolitana
71
Recurso computacional en diferencias finitas para la
enseñanza del fenómeno de transferencia de calor
por conducción
JULIO SEGURA, LUIS ALBITES 2 y ASER CONDE 2
1 Escuela de Ing. Mecánica
Universidad Central de Venezuela
2 Escuela de Ing. Mecánica
Universidad Metropolitana
En este trabajo se presenta el desarrollo de una aplicación didáctica para
un sistema de álgebra por computadora, con el propósito de ser utilizada
en la enseñanza de la transferencia de calor por conducción a estudiantes
de las carreras de ingeniería mecánica e ingeniería química. El modelo
matemático utilizado está constituido por la ecuación de difusión transitoria
en forma diferencial y en coordenadas cartesianas y cilíndricas, con sus
respectivas condiciones de contorno e inicial de temperatura prescrita. El
recurso computacional desarrollado en este trabajo permite, aplicar el método de diferencias finitas en tres dimensiones y en estado permanente o
régimen transitorio, según sea el caso, para determinar valores numéricos
de la distribución espacial y la evolución temporal de temperatura y del flujo
de calor en los nodos de la malla y para los pasos de tiempo. Mediante la
representación gráfica de los valores numéricos se logra la visualización
del fenómeno, en piezas de material sólido con comportamiento isotrópico,
que internamente generen calor o no, y de formas geométricas tales como
barras largas y cortas de sección transversal rectangular y circular hueca.
En el trabajo se reportan resultados de casos que se utilizaron en el proceso de validación, en los que el error porcentual máximo es menor del 3.5 %.
También se presenta una simulación con sus respectivas visualizaciones.
Introducción
En los últimos años, el método de diferencias finitas ha sido aplicado en la
simulación del fenómeno de transferencia de calor por conducción, para el
análisis de problemas bidimensionales que se presentan en áreas relacionadas con la práctica de la ingeniería mecánica, tales como: motores de combustión interna (Reyes et al., 1994), procesos de manufactura (Cavero y Pérez,
1994; Pérez et al., 1997), y otras áreas propias de la ingeniería química, como
es el caso de tecnología de alimentos (Moraga y Murillo, 1997), entre otras.
También se ha aplicado en el análisis de problemas tridimensionales (Finol y
Damia, 1994; Albites y Conde, 1997), aunque son más escasos los trabajos
publicados. Por otra parte, se han utilizado modelos bidimensionales en dife-
7
L.J
rri ANALES
de la Universidad Metropolitana
rencias finitas para la enseñanza de la transferencia de calor por conducción,
mediante un computador y códigos computacionales desarrollados con fines
docentes (Vergara et al.,1993).
El presente trabajo tiene como propósito el desarrollo de una herramienta
computacional que sirva de recurso para la enseñanza del fenómeno de conducción de calor, a estudiantes de los cursos de transferencia de calor de las
carreras de ingeniería mecánica e ingeniería química, mediante la utilización
del método de diferencias finitas, y que permita determinar la distribución espacial y la evolución temporal de temperatura y de flujo de calor en formas
geométricas planas y cilíndricas de hasta tres dimensiones, usando un sistema de álgebra por computadora.
El generador de malla utilizado para discretizar los sólidos, bien sean planos o cilíndricos, distribuye de manera uniforme los nodos, siendo posible
especificar incrementos espaciales diferentes para cada una de las tres variables geométricas. En este trabajo se asignan condiciones de borde de primera clase o de temperatura prescrita uniforme en cada frontera y, en régimen
transitorio, se impone la condición inicial de temperatura prescrita uniforme.
Por otro lado, la tasa de generación interna de calor se considera uniformemente distribuida en el volumen. Los resultados de temperatura son visualizados mediante diagramas de superficie y de densidad, mientras que los
resultados de flujo de calor se visualizan mediante diagramas de proyección
ortogonal.
Modelo Matemático y Método de Solución
Ecuación Diferencial Parcial
Para un sólido isotrópico, la ecuación de difusión aplicada a la temperatura
es la que se conoce como Ecuación de Conducción de Calor, cuya expresión
en forma diferencial e intrínseca es:
2
V T+
(
k
a dt
donde:
operador diferencial y escalar laplaciano
T: función escalar temperatura
q"": tasa de flujo de calor generado por unidad de volumen
k. conductividad térmica del material
a: difusividad térmica del material
t variable tiempo
V2
8
:
1)
ANALES
de la Universidad Metropolitana
rri
La ec. 1 constituye parte del modelo matemático de cualquier problema de
transferencia de calor por conducción, problema que para estar bien planteado requiere que el modelo matemático se complete con dos condiciones de
borde para cada variable geométrica y una condición inicial.
La conocida Ley de Fourier es la ecuación que establece la relación entre
el flujo de calor y el gradiente de temperatura, y su expresión en forma vectorial
e intrínseca es:
q" = —k•VT
siendo:
(2)
q": función vectorial flujo de calor o tasa de flujo de calor conducido por unidad de área
V : operador diferencial y vectorial gradiente
Una vez identificado el problema a resolver como uno de transferencia de
calor por conducción, lo que debe hacerse a continuación es seleccionar el
sistema de coordenadas que mejor se ajuste a sus características geométricas,
lo que determinará la forma de los operadores diferenciales laplaciano y
gradiente.
Coordenadas Cartesianas:
En este sistema de coordenadas, la ec. 1 adquiere la apariencia:
(9 27' d'T
a2 T q" =1 a T
a x 2 a ___
y2
k
z2
a at
(3)
donde:
x, y, z variables geométricas
las condiciones de borde de temperatura prescrita son:
T (x = O, y, z, t)= Txo, T (x = Lx, y, z, t) Txl, T (x, y = O, z, t)= Tyo,
T (x, y = Ly, z, t) = Tyl, T (x, y, z = O, = Tzo, T (x, y, z = Lz, t) = Tzl
y la condición inicial es:
T (x, y, z, t = O) = Ti
9
rT1 ANALES
de la Universidad Metropolitana
Las componentes del flujo de calor de la ec. 2, en dirección a x, y, y z, la
forma:
, dT
dy,
, dT ,
qx"= — K • —, q
dx
• —,
—
, dT
dz
(4)
K
Coordenadas Cilíndricas:
La ec. 1, en este otro sistema de coordenadas, se expresa como:
d 2 T .9 21 q"'
dz 2+ r dr + r2 dü 2 " dz 2+ k
1 dT
d2T
1
1
aT
(5)
a dt
donde:
r, O, z variables geométricas
las condiciones de borde de temperatura prescrita son:
T (r = Ri, O, z, t)= Tri, T (r = Ro, O, z, t)= Tro, T (r, O = O, z, t)= TO o,
T (r, 0 = it z,
,
TO rc, T (r, O, z = O, t) = Tzo, T (r, 0, z = Lz, t) =Tzl
y la condición inicial es:
T (r, O, z, t = O) = Ti
En las direcciones r, O y z, las componentes del flujo de calor de la ec. 2,
quedan expresadas por:
-—
K•
k aT
,
dT
, q" =
, q - -- •
z
r
dr
—
K
dT
dz
—
(6)
Cualquiera que sea el sistema de coordenadas seleccionado, para la mayoría de los problemas tridimensionales de transferencia de calor por conducción, resulta imposible encontrar la solución analítica, de las ec. 3 o 5, lo que
imposibilita la aplicación de las ec. 4 o 6.
Método de Diferencias Finitas
Para encontrar la solución numérica del modelo matemático diferencial del
problema a resolver, el primer paso es discretizar el dominio de las variables,
tanto las geométricas como el tiempo. En el método de diferencias finitas
(Razelos, 1973) debe seleccionarse el valor del incremento para cada una de
dichas variables, con lo cual se genera una malla de diferencias finitas, que
10
ANALES
de la Universidad Metropolitana
71
puede ser regular o no. La ecuación diferencial se transforma en un sistema
de ecuaciones algebraicas, denominadas ecuaciones discretizadas, pudiéndose utilizar una notación en la que se reservan tres subíndices para las variables geométricas y un superíndice para el tiempo. Discretizando con diferencias centradas en las variables geométricas y diferencias hacia atrás en la
variable tiempo, se obtiene un esquema implícito de solución.
Coordenadas Cartesianas:
La ec. 3, luego de ser discretizada, queda como sigue:
P
T m + 1 ,0,0 2T 0,0,0 + T m -1,n, o ,
T
1-
8x2
P
in', n + 1, o —
P
M,
n, o - 1
3z 2
8 y2
"
P
— 2 T m, n, o + T
+ T ,i, , n, o + 1
2 T n:, n, o + T ni, n 1, o
+
1
q =
k
a
(7)
Tn
P
,,
P — 1
n, o —T ,,,,„,
o
A t
siendo:
m, n, o: índice que define la ubicación en el espacio
p:
índice que define la ubicación en el tiempo
3x, y, z: incremento de las variables geométricas
A t:
incremento de la variable tiempo
y la ec. 4 discretizada queda como se muestra a continuación:
k • T m +1, n, o
28x
q7_
mP - 1, n, o
qlrr, =
k
TP
m, n + 1, o —
T m, n
28y
1, o
(8)
k
T m,P n,
° +1
2
—T
n, o -
1
6z
Coordenadas Cilíndricas:
La ec. 5 discretizada es:
n, o -27. m'in,a +T —1,n,o
T
I,n
S1' 2
—1,n,c, 4
2
o— 2
_
T
T m,n
m 2 .8 r 2 .8 02
• r2
_
(9)
T °
—2T ° +T
z2
+
q
k
=
1T
a
„, o -
T
v
-
1
n, o
At
11
m ANALES
de la Universidad Metropolitana
donde:
8 r,e , z: incremento de las variables geométricas
y la ec. 6, después de ser discretizada, es la siguiente:
qr"=
k.
mPT +1, n,
Tm
28r
n, o
' qe".
k
T m, n + 1, o — T m, n — 1, o
2 m•c5r•80
( 1 0)
7, P
q'z '=
k
7, y
m, n, o + 1 — 1 m, n, o — 1
28z
El sistema de ecuaciones algebraicas se conforma al aplicar la ec. 7 o 9,
según la geometría del sólido sea plana o cilíndrica, a cada uno de los nodos
de la malla, sistema que puede manipularse con álgebra lineal, representándolo como el producto de una matriz de coeficientes por el vector de incógnitas igual al vector de términos independientes.
El paso que sigue consiste en encontrar la solución al sistema anterior, que
puede ser obtenida con el cálculo de la inversa de la matriz de coeficientes.
Dicha solución es el campo de temperaturas buscado. Las componentes del
flujo de calor se obtienen, luego de encontrado el campo de temperaturas,
aplicando la ec. 8 cuando la geometría del sólidos sea plana o la ec. 10 cuando sea cilíndrica.
Para una malla con un número de nodos que permita encontrar una solución con una precisión razonable, el volumen de cálculos involucrados es muy
grande, por lo que se justifica el uso de un computador que ejecute códigos
computacionales. Esta labor bien pudiera realizarse mediante un sistema de
álgebra por computadora (Mathsoft,1997), que incorpore los diferentes
algoritmos de solución en los referidos códigos computacionales (ver apéndice), y que serían: de generación de la malla regular, de conformación del
vector de términos independientes y de la matriz de coeficientes, de determinación de la distribución de temperatura en el sólido completo y en planos x, y
o z, y de las componentes del flujo de calor en dichos planos.
Resultados y Discusión
Validación de los Algoritmos de Solución
Los algoritmos de solución incorporados en un código computacional con
12
ANALES
ü
de la Universidad Metropolitana M
un sistema de álgebra por computadora fueron validados cotejando las soluciones numéricas obtenidas contra soluciones disponibles para un reducido
número de casos. Los casos considerados en el proceso de validación fueron
varios: a) barra semi infinita de sección transversal rectangular, en estado
permanente y sin generación interna de calor (Arpaci, 1966), encontrándose
para este caso y con mallas regulares de diferente número de nodos (400 y
880 nodos), que la solución numérica siempre supera a la analítica, con un
error porcentual máximo por exceso de 2.54 %; b) paralelepípedo recto, en
régimen transitorio y sin generación interna de calor (Incropera y DeWitt, 1996),
siendo la solución analítica la que supera en este otro caso a la numérica, con
una malla regular de 175 nodos y con pasos de tiempo diferentes (5 s y 1 s),
con un error porcentual máximo por defecto de 3.46 %; y c) barra corta de
sección transversal anular (Corberán et al., 1993), en estado permanente y
sin generación interna de calor, también utilizando una malla regular de 120
nodos, siendo los errores porcentuales máximos por exceso de 0.66 % y por
defecto de 0.06 %.
En la Fig. 1 se muestran las temperaturas calculadas con las soluciones
numérica y analítica en una de las comparaciones del caso b (paralelepípedo
recto, en régimen transitorio y sin generación interna de calor), para un cubo
de magnesio (Mg), de 0.10 m de lado, con temperatura inicial de 100 K y
temperatura de sus seis caras de 700 K. La malla utilizada es de 175 nodos y
los nueve nodos mostrados tienen una coordenada z = 0.05 m, mientras que
sus otras dos coordenadas (x, y), también en m, son: N° 1: (0.025, 0.025), N°
2: (0.050, 0.025), N° 3: (0.075, 0.025), N° 4: (0.025, 0.050), N° 5: (0.050, 0.050),
N° 6: (0.075, 0.050), N° 7: (0.025, 0.075), N° 8: (0.050, 0.075) y N° 9: (0.075,
0.075). En esta comparación el error porcentual máximo corresponde al nodo
N° 5, es por defecto y de 0.53%.
Temperatura
(K)
699
o
698
697—
o
•
o
o
•
696—
695
o
o
o
•
•
•
•
694 —
693
•
692 —
• Sol. Numérica
O Sol. Analítica
691—
690
1
I
2
I
3
4
5
6
7
8
9
Nodo
(N°)
Fig.1. Diagrama de dispersión de temperaturas para una comparación del caso b
13
1] rT-1 ANALES
M de la Universidad Metropolitana
Visualizaciones de una Simulación Típica
A continuación se muestran datos y resultados en las figuras de la 2 a la 8
de una simulación típica:
Datos:
forma geométrica:
material (sólido):
longitudes de los lados:
Lx = Ly = Lz = 0.12 m
incrementos de las variables geométricas:
8 x=8 .3)=8z= 0.015 m
estado o régimen:
tasa de flujo de calor generado
permanente
paralelepípedo recto (cubo)
acero al manganeso (Mn: 1%)
= 100 W m 3
por unidad de volumen:
Txo = Txl = Tzo = 1300 K
Tyo = Tyl = Tzl = 300 K
temperaturas de las caras:
Resultados:
0.12
0.12 -
0 01141
40011$19
b
101140.001bael
11~11
1111
pp.
0.075 OOMIOP
000011W111%
0.06 0000014110111
0.045 00011111011
0.03
0.015 000
040"5:1"1011
0.06 .03
0.11
0.09
z
0.075
z
0.06
0.045
0.03
0.015
0. 03
0.06
0.09
0.09
0.12
0.12
0.06
Y
0.03
0.06
0 . 09
04
0.12 0.09
0.12
Fig. 2. Perspectiva del sólido: dominio continuo (izquierda) y dominio discretizado con una
malla regular de 729 nodos (derecha), lx, y, z] = m
14
Y
ANALES
de la Universidad Metropolitana 71
1300
1100
T 900
700
500
300
Y
z
Fig. 3. Diagrama de superficie de la distribución de temperatura T (y, z), en el plano
x= 0.06 m, [T] = K
7
Y
->
z
EfflEz
z
Tmedia (K)
613
ama
az az
863 988
Fig. 4. Diagramas de proyección ortogonal de la distribución de temperatura T (y, z) (izquierda)
y del flujo de calor q" (y, z) (derecha), en el plano x= 0.06 m
15
L.J
nn ANALES
de la Universidad Metropolitana
1300
1100
T 900
700
500
300
Fig. 5. Diagrama de superficie de la distribución de temperatura T(x, z), en el plano
y= 0.06 m, [7]= K
a
-
z
z
s,
R F
—>
x
x
Tmedia (K)
E311127111211101
863
988
1238
1111111111EM
Fig. 6. Diagramas de proyección ortogonal de la distribución de temperatura T (x, z) (izquierda)
y del flujo de calor q" (x, z) (derecha), en el plano y = 0.06 m
16
ANALES ü
de la Universidad Metropolitana rT1
1300
1100
T 900
700
500
300
x
Y
Fig. 7. Diagrama de superficie de la distribución de temperatura T (x, y), en el plano
z= 0.06 m, [T] = K
,...
,
,
,
x
x
Y
363
Eri
•o-
--
.
,
,
..
R
,
, ...
77 -, -1
N
}
71
T
t
t
Y
Tmedia (K)
613
El"
863 988
morzi
11111111111111•1
Fig. 8. Diagramas de proyección ortogonal de la distribución de temperatura T (x, y) (izquierda)
y del flujo de calor q" (x, y) (derecha), en el plano z = 0.06 m
17
rTI
LJ ANALES
M de la Universidad Metropolitana
Conclusiones
De los resultados del presente trabajo puede concluirse:
El nivel de precisión alcanzado en los resultados arrojados por las soluciones numéricas (error máximo < 3.5 %), permiten afirmar que el método de
diferencias finitas, implantado con códigos computacionales basados en los
algoritmos de solución desarrollados, es válido para la simulación del fenómeno de transferencia de calor por conducción, aun para discretizaciones de
reducido número de nodos y de pasos de tiempo (malla de 175 nodos y 4
pasos de tiempo para el caso en el que se encontró el error máximo). Como
era de esperarse, quedó comprobado que dicha precisión mejora con la disminución de los incrementos de las variables geométricas y de la variable
tiempo, hasta el punto en el que se consigue el número óptimo de nodos o de
pasos de tiempo que arroja la precisión requerida.
Dadas las capacidades de cálculo simbólico y numérico y de graficación
de los sistemas de álgebra por computadora, puede afirmarse que la utilización de estos en la docencia de transferencia de calor por conducción a estudiantes de las carreras de ingeniería mecánica y química, resulta más provechosa que la utilización de otros paquetes computacionales. La afirmación
anterior se basa en que se simplifica la formulación e interpretación del modelo matemático, en forma diferencial o como un sistema de ecuaciones
discretizadas, además de que la visualización de la distribución de temperatura y del flujo de calor en diagramas de superficie y/o de proyección ortogonal,
facilita la comprensión del aspecto termofísico del fenómeno.
Reconocimientos
Los autores este trabajo quieren hacer público su agradecimiento a la Dirección de Investigación y Desarrollo del Decanato de Investigaciones y
Postgrado de la Universidad Metropolitana, por el financiamiento otorgado al
Proyecto N° A-007-95, y a la Escuela de Ingeniería Mecánica de la Facultad
de Ingeniería de dicha Universidad, por el apoyo brindado.
18
ANALES
ü
de la Universidad Metropolitana M
Referencias Bibliográficas
ALBITES, L. B. y Conde, A. J. (1997). Modelo numérico en diferencias finitas
para la simulación del fenómeno de transferencia de calor por conducción,
Tesis Ing. Mecánico, Tutor: Segura, J., Universidad Metropolitana, Caracas,
132 pp.
ARPACI, V. S. (1966). Conduction Heat Transfer, Addison-Wesley Publishing
Company. Reading.
CAVERO, A. y Pérez, A. (1994). "Distribución de temperatura en palanquillas de
acero Fabricas por colada continua", memorias V Congreso Latinoamericano
de Transferencia de Calor y Materia, Caracas, 24-27 Octubre, pp. IID24.111D24.11.
CORBERÁN, J. M., Royo, R. y Vergara, M. (1993). "Programa para asistir la
docencia de la transmisión de calor mediante clases prácticas por ordenador", Servicio de Publicaciones, Universidad Politécnica de Valencia, Valencia.
FINOL, C. A. y Damia, J. A. (1994). "Extensión del programa "CONDUCT" para
resolver problemas tridimensionales de transferencia de calor por conducción",
en Cerrolaza, M. y Alejo, G., Eds., Solución de Problemas en Ingeniería con
Métodos Numéricos, SVMNI, Caracas, pp. TC41-TC53.
INCROPERA, F. and DeWitt, D. (1996). Fundamentals of Heat and Mass
Transfer, John Wiley and Sons, 4th Ed., New York.
MATHSOFT. (1997). Mathcad 7 Professional User's Guide, Mathsoft, Inc.,
Cambridge.
MORAGA, N. y Murillo, H. (1997) "Transferencia de calor en congelación de alimentos cárneos con métodos de elementos y diferencias finitas", memorias III
Congreso Iberoamericano de Ingeniería Mecánica, La Habana, 23-26 Septiembre.
PÉREZ, V., Goyos, L. y Martínez, L. (1997) "Simulación de tratamiento térmico
por diferencias finitas", Ingeniería Mecánica, N° 1, pp. 19-24.
PRESS, W., Veterling, W., Teukolsky, S. and Flannery, B. (1995) Numerical
Recipes 2.0 User's Guide, Cambridge University Press, Cambridge.
RAZELOS, P. (1973) "Methods of obtaining approximate solutions", in Rohsenow,
W. and Hartnett, J., Eds., Handbook of Heat Transfer, McGraw-Hill Book
Company, New York.
REYES, M., Benajes, J. y Payri, F. (1994) "Análisis del campo de flujo y transferencia de calor en pipas y colectores de escape de MCIA mediante el M.D.F.", en
19
m ANALES
de la Universidad Metropolitana
Cerrolaza, M. y Alejo, G., Eds., Solución de Problemas en Ingeniería con Métodos Numéricos, SVMNI, Caracas, pp. TC1-TC10.
VERGARA, M., Corberán, J. M. y Royo, R. (1993) "Programa informático, desarrollado con fines docentes, para el cálculo de la transmisión de calor en piezas
planas o de simetría axial", memorias I Congreso Iberoamericano de Ingeniería Mecánica, Madrid, 21-24 Septiembre, pp. 427-431.
20
ANALES
U
de la Universidad Metropolitana r".7
Apéndice
A continuación se listan los códigos computacionales elaborados para coordenadas cartesianas y en lenguaje de programación Mathcad (Mathsoft,
1997), en los que se implementan los algoritmos de solución.
Generación de la malla regular
xyz =
for k e O zn
Zk
Lt.
—.k
zn
for j e O yn
y-- — i
yn
for i E 0.. xn
x.<
H
xn
XYZ.f., 0 <-XYZ,
J1 y.j
XYZfa <– zk
-f1
XYZ
21
L.J
m ANALES
de la Universidad Metropolitana
Conformación del vector de términos independientes
c :=
a.-o
for i E o.. Cicloz -- 1
if " 3-0
Va c-- [ 8 y2.8 z2.(Mit
1,3 t Mi _ 1 , o ) t
3 x2.8 z2 *(41i I- CiCIOX
,3 t Mi -
CiClOk ,3 )
8 x2 .8 y2 .(Mi , cidoy
+
W—at1
i-2-(5 y2 •5 z2
8 x2 .8 z2 ÷3 x2 •8 y2).Mi3+
s 2 •8 1•6 ?•q"'
x
k
Conformación de la matriz de coeficientes
A
-O
for i E O Cicloz -- 1
if Mi3 =0
y2 .8 z2
Ea,a ---2.(8
8 y2 . z2)
3 x2 .8 z2
M
i
8 x 2 .8 y 2 )
if a
1,3
(E
2
=0
(Ea,a t1 ~ 8 Y 8 Z2 ) if M it 1,3
Ea,a (xn- 1)
2
x .8 z
2
E
,s x 2 .s z2
a,a (xn- 1)
Ea,a - ((xn 1).(yn
if Mi -
Cidox,3 =°
if Mi t
Cidox,3 =0
‹---8 x2 .8 y2
-
[Ea,a ((xn- 1)-(yn - 0) <-8 x2.8
a a t 1
22
ifM
Cicloy,3
))
=O
y2
if
t
Cicloy ,3=°
, 3'41i-ciclo
ANALES
ü
de la Universidad Metropolitana M
Determinación de la distribución de temperatura en el sólido completo
Temp lsolve(A ,C)
DistTemp
for j e O.. 3
for i e 0.. Cicloz - 1
T.1,j
1,).
a
for k E 0 Cicloz 1
if Alk3`1
Tk 3 < Temp
a
a<- a -h 1
T
Determinación de la distribución de temperatura en un plano x
cx
a< redondea Corte_x
\6 x
for j
E 0..
zn
for i E 0.. yn
X
1
,1
DistTemp
a, 3
a, - a Ciclox
23
7.1 ANALES
de la Universidad Metropolitana
Determinación de la componente z del flujo de calor en un plano x
q"xz :=
for f e o rows(Corte_x) - 1
for c E O cols(Corte_x) - 1
-k
- • Corte_xfx f _ 1 - Corte—xf,c, if c=0
8z
flujozf,c
flujoz
fc
—
,
-k
8z
•(Corte— xf c - Corte_xL , 1 ) if c= cols(Corte_x)
-k
flujozf,c<-- --- • Corte_xf,c
2.8 Z
t- 1
- Corte_xf, c — 1
1
otherwise
flujoz
Determinación de la componente y del flujo de calor en un plano x
for c e O cols(Corte_x) 1
for f e O.. rows(Corte_x) - 1
flujoy f,c
-k
8 y
-( Corte ‘xf_i_ 1,c — Corte_xf,c ) if f=0
-k
flujoyLc (— 8 y • (Corte_xf,c - Corte xf— 1,c) if f=rows(Corte_x)
flujoyf,c <— 2.3
--- y • Corte x
flujoy
24
,c
- Corte xf—1 ,c
otherwise