1. No category

Un i ve r s i ¿1 a d Politécnica de Madrid
TESIS
E S T U D I O DE LA E S T A B I L I D A D DE
UNA FISURA
ALAMBRE
S U P E R F I C I A L EN UN
DE
ACERO
D£
ALTA
RESISTENCIA
por
MIGUEL ÁNGEL ASTLZ
ESCUELA TÉCNICA
SUAREZ
SUPERIOR DE INGENIEROS DE
CAMINOS, CANALES Y PUERTOS
Discutían un olivo y una caña sobre cuál da los doa era
más fuerte y ésta, con socarronería, le dijo a la otra:
- Hablas de resi3tir y de poder, cuando al mas leve soplo de viento te tambalea y huati.lla. /prende de nd, que
ni siquiera muevo mis ramas cuando te doblas.
Calló la mísera caña anta estas razones, y se armó
de paciencia hasta que viniese el huracán más próximo.
En efecto, llegado aquél*la ceña se dobló como antes,
mientras el olivo cayó tronchado en tierra.
- ¿Qué es lo mejor ahora- replicó la ofendida ceña
levantándose - : ceder o resistir?. "
E50P0
(Fábulas)
RESUMEN
£-3ta t e s i s t i e n e por objeto e l estudio del comportamiento
da ir» a c e -
ro da a l t a r e a i a t a n c i o on presencia do un defecto s u p e r f i c i a l . Efectivamente alrededor da e s t e defacto 3a p r o d u c i r é una concentración dn tensiones que hará
disminuir l a t e n s i ó n de r o t u r o del m a t e r i a l .
En e l primor c a p í t u l o sa pasa
revira
inicialinents a l a s grandes 11 -
neas de l a t e o r í a do l a MecÁnicn da ln Fractura haciendo hincapié an loa c r i t e
r i o s de r o t u r e enunciadas par los d i s t i n t o s a u t o r e s . 3a conprueba que a l a s t u dio da l a r o t u r a sigue caminos diferente»» seyún que su d e s a r r o l l e n o no on a l
m a t e r i a l grandes zonas de deformación p l á s t i c a . Un al caso da un material elajs
t i c o l i n e a l e x i s t e n dos parámetroa, la tosa de l i b e r a c i ó n de energía y e l f a c t o r da intensidad de t e n s i o n e s , que han sido unlvnrsslmenta aceptados. No ocur r e l o nlaao en e l caao de l o s m a t ó r l a l e s e l a s t a p l é s t i c o B para los c u s i o s se han definido un gran número do parámetros da f r a c t u r a cada uno de los cuales t i e n e un campo de a p l i c a c i ó n l i m i t a d o .
Seguidamente se e s t u d i o ni problema da un alambre dividiendo Bste e s t u d i o en t r e s p a r t e s atendiendo a la forma da lo f i s u r a ( c i r c u l a r c o a x i a l o
-
I
elíptica) y al tipo de material (elástico' o alastoplástlco).
Para el caso de la fisura circular coaxial an un material elástico lineal se determina la relación entre la carga de ixitura y la deformación dé rotura en función de las características geométricas y mecánicas de la probeta
y se definen dos nuevas expresiones intégralos para la tasa de liberación de energía; estas expresiones son válidas pora cualquier problema que presente ai^
metría de revolución.
En el caso de la fisura circular coaxial en un material elastoplástico se determina una nueve, fórmula para calpular la derivada de la energía respacto al área de la fisura. Seguidamente se demuestra que la densidad de energía 88 inversamente proporcional a la distancia al borde de la fisura de donde
se deduce la forma on que varían las tensiones y las deformaciones en función
del exponente de endurecimiunto por deformación del material. De esta forma se
llega a. la conclusión de que incluso para materiales elastoplásticos (siempre
que tengan endurecimiento por deformación) los carpos de tensiones y deforma-
c l o n e s presentan una s i n g u l a r i d a d un a\ bordo de ln finura.
Para o l ca30 de ln f i s u r a s u p e r f i c i a l e l í p t i c a srj describe ul método
numérico que se va a emplear en su e s t u d i a .
En e l segundo c a p í t u l o so deacri.be ln p o r t e experimental de l a t e s i s .
SB e s t u d i a e l comportamianta de un amplio muestrario de ncoros mediante la rea
l i z a c i ó n de un ensayo convencional; de e s t o forma se datnmrina I B i n f l u e n c i a del t r a t a m i e n t o térmico y de l a s propiedades mecánicas del ncoro sobra ou tena
cidad a l a f r a c t u r a . Seguidamnnto se d e t a l l a n lors procedimientos de ensayo pro
puestos paro comprobar l a s t e o r í a s expuestas en ol c a p i t u l o primero y para determinar l o s v a l o r e s c r í t i c o s de l o s pnrámratros de f r a c t u r a .
En e l t e r c e r c a p í t u l o se efectúa e l tratamiento de l o s r e s u l t a d o s
-
experimentales para c o n t r a s t a r l a validez en l o s d i s t i n t a s parámetros de frac
t u r o y se determinan l a s r e l a c i o n e s e x i s t e n t e s e n t r o cade parámetro y l a t e n sión e x t e r i o r a p l i c a d a sobre e l alambre y l a s c a r a c t e r í s t i c a s geométricas de la fisura.
Su comprueba que, para alambres de 7 mm de diámetro, se puede a p l i c a r l a t e o r í a e l á s t i c a siempre que e l área de la Fisura sea superior a l 55 i»
de l a sección de la p r o b e t a . En e l supuesto de un material e l á s t i c o l i n e a l se
c a l c u l a e l f a c t o r de intensidad de t e n s i o n e s en e l Pondo de una f i s u r a de f o r
me. s e n d a l í p t i c a y se l l e g a a una expresión que es válida siempre, que l o s curran
s i e n e s de l a f i s u r a se mantengan dentro de un campo de variación determinado.
Finalmente se demuestra la validez del parámetro J
(energía por -
unidad de área realmente l i b e r a d a durante e l avance de l a f i s u r a ) para p r e d e c i r l a carga de r o t u r a cte una probeta con uno finura c i r c u l a r coaxial poco profunda.
El v a l o r da e s t e parámetro sólo se puede c a l c u l a r por mátodos numjS
r i c o s para cada caso p a r t i c u l a r ; como son muchna l a s v a r i a b l e s que intervienen
no se puede dar una expresión aproximada como en a l caso de un m a t e r i a l e l á s tico lineal.
Por último se indican l o s conclusiones a que se ha llegado con e s t a
t e s i s ; l a s más importantes se han ido enunciando a l o largo de e s t e resumen.
I 1 I
AGRADECIMIENTO
El a u t o r desee e n r o s a r au agrnclocimlento n D. Florencio dol Pozo
F r u t o s , d i r e c t o r del Laboratorio Central do Ensayos de Materiales de Const r u c c i ó n donde ha sido realizarlo «ate» t o n l s , yin cuyo apoyo moral y económico hubiese sido imposible Llwvnrla a eraba.
También quiere do,1ar constancia de au rjratitud es Ü. Manuel E l l e e s ,
d i r e c t o r de l o t o á i s , por proponer e s t e temo y ñor l e dodicaci'ÓVi, intorfis y
c a r i ñ o con que ha sabido g u i a r l e pnra l l e v a r l o o f e l i z término,
Tampoco guiore dejnr de ngradecer l a s ayudas r e c i b i d a s a D. Vicen
t e Sánchez Gal vez, cuyos acortados comentarios resolvieron muchos problemas
a D. José Cllment por sus consejos sobre lo r e a l i z a c i ó n de algunos ensayos
y a D. Miguel Romera por 3u r:olaboraci<5n en lo puesta a punto do l o s matodos de medida de deformaciones,
INOICE
Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
..••••
•
i
Agradecimiento
i ii
L i s t a de sfmbolos
v
Introducción
1
Capítulo 1 . Estudio teflrico de Ira f r a c t u r a
3
1 . 1 - Estudio da l a f r a c t u r a an moterialos a l á s t i c o s
3
1.2- Estudio de l a f r a c t u r a en materialaa a l a a t o p l é a t i c o s . .
** ]
1 . 3 - Estudio do l a f r a c t u r o por métodos numéricos
80
1.4- Estudio t e ó r i c o do 1Ü f r a c t u r o en un alantore
^
Capitulo 2 . Estudio experimental de l a f r a c t u r a
167
2 . 1 - Antecedentes
,
> C> 7
2 . 2 - Condiciones de los ensayos
1 76
2 . 3 - Ensayos sobra probetas e n t a l l a d a s normalizadas
204
2 . 4 - Ensayos sobra probetas f i s u r a d a s no normalizadas
2 40
Capítulo 3 . Resultados y conclusiones
261
3 . 1 - F i s u r a c i r c u l a r c o a x i a l an régimen e l á s t i c o
26 1
3 . 2 - F i s u r a c i r c u l a r c o a x i a l en régimen a l a s t o p l á s t i c o . . . . .
2 86
3.3- Fisura superficial e l í p t i c a
314
.
3 . 4 - Conclusiones
3 34
Refarénelas b i b l i o g r á f i c a s
JJ9
Apéndice 1 i
F i s u r a c i r c u l a r c o a x i a l an régimen a l a s t o p l á s t i c o . . .
3rj5
Apéndice 2 :
Tablas de r e s u l t a d o s de ensayos
jb0
Apéndice 3 i
Organigramas de l o s programas de c á l c u l o
3^3
MAYÚSCULAS
A
área
A
área fisurada
f
B
espesor de une probeta; matriz de deformaciones
C
flexibilidad o elongabilidad de una probeta; camino de integración
COD
apertura de ln fisura
D
diámetro de un alambre; matriz de tensiones
E
•
E„
módulo de elasticidad
módulo de elasticidad secante
9
E'
- E / (1- v ) en deformación plana
• E
E
t
F
en tensión plana
energía potencial
función para la determinación del factor de.intensidad de tensiones
tasa de liberación de energía en materiales elásticos lineales
G
G
tasa de liberación de energía en materiales elásticos no lineales
c
J
valor crítico de G
integral curvilínea de Rice; Jacobiano
J
A
tase de liberación de energía en problemas con simetría de -•
revolución
J
tasa de liberación de energía en materiales elaatoplástioos '
K
»k
K,K
I,KII,K1II
K
r
K-0
matri2 de rigidez
doctores de intensidad de tensiones
valor c r í t i c o de K
factores de intensidad de tensiones en régimen •lastaplástlco.
V J.
longitud de la probeta; tosa de libomción de energía respecto a un movimiento de rotación
tasa do liberación do energía on un movimiento homotótico;
rigidez de unn probeta
Factores de amplificación
carga, fuerza
r e s i s t e n c i a al avance de uno fisura
densidad do energía de Jih; superficie de integración
vector tensifin
energía de deformación
trabajo
longitud o radio de una fisura, semieje rie una e l i p s e
c o e f i c i e n t e s del desarrollo de l a función F
semieje de unn e l i p s e
c o e f i c i e n t e s del desarrollo de la elongabilidad de una pro
bata figurada
diámetro del borde de una fisura circular
alargamiento bajo carga máxima
parámetro de l o s curvas carga-deaplazamiento; matriz de r i gidez
ejqaonente de endurecimiento por deformación
parámetro de la fórmula de Ramberg-Osgood
distancia al borde, de la fisura
término da corrección de la longitud de lo fisura; longitud
de la zana plástica
s
longitud de arco da curva
n. .
t e n s o r desviador de tensiones
t
exponente; tiempo
u
desplazamiento
w
densidad de energío
x , y,z
sistemo de coordenadas c a r t e s i a n a s
x.
i
MINÚSCULAS GRIEGAS
*
ángulo
y
tensión suporficial
c
deformación longitudinal
c. .
componentes de lu deformación
i.]
c
P
n
deformación plástica
estrlcoión
0
coordenada angular
u
módulo de rigidez
v
coeficiente de Poisson
t
relación de diámetros (- tí/D)
o , 6,z
sistema de coordenadas cilindricas
p •
radio en el fondo de la entalla
o
tensión nominal
Oj.
tensión neto
o ..
tensión de rotura
oY
tensión de cedencia
0
límite elástico convencional
Q j
o. .
tensor da tensiones
V
1 I. I
tensifln da cofnpuracióti
tansioYi corroijpandiente n IJD módulo de a l a s t i c i d n d necantu
igual a 0,7 C
$
potencial
Y
coordenado angular
velocidad angular
MAYÚSCULAS GRIEGAS
r
energía do proptiflacián de una f i s u r a
A
inc remanto
potencial elástico
/•••
::
. * •
INTRODUCCIÓN
Loa aceros de a l t a r u s i s t o n c l a ae emplaan principalmente corno armaduras a c t i v a s en e s t r u c t u r a s pretonaodas. UltimomentR se han venido presentan
do algunos problemas en la U t i l i z a c i ó n do unto;?, . a c e r o s : r o t u r a s por corrosi<3n
bajo t e n s i ó n , r o t u r a s an los .'mcLoJas, Fonflmonaa de f a t i g a , o t e . Estos f a l l o s
del acaro han dejado en muchos cason fuorn da snrvic.io a toda l a obra;en o t r o s
han entorpecido gravemente al proca3o de oonstruccinVt.
El gran d e s a r r o l l o dol pretansado y lo importancia económico de e a t o s d e f i c i e n c i a s ha conducido a muchos Investigadoras a o s t u d l a r a fondo e l comportamiento ds e a t o s a c e r o s . Sin embnrqo e s t o s t r a b a j o s se han sofocado ge
neralmehte dosde un punto de v i s t a experimental lo que ha llevado a d e f i n i r iunos ensayos' (de f a t i g a o de corrosión bajo tensión) que garantizan hasta c l e r
t o punto que e l acero que l o s supere no va a causar problemas durante la vida
da s e r v i c i o ds l a obra.
Pero todos e s t o s problemas e s t á n relacionados de alguna forma ya que
en c u a l q u i e r caao l a r o t u r a del acoro a© produce a p a r t i r de una f i s u r a o una
e n t a l l a s u p e r f i c i a l . Así pues, s i se pretende abordar desde un punto de v i s t a
t e ó r i c o c u a l q u i e r a de -loa problemas'enunciados anteriormente aeré p r e c i s o c o nocer e l comportamiento del acero an presencia do un dofecto s u p e r f i c i a l sin
e n t r a r en l a s razonca por l a s que se ha producido r¡;)te defacto: e s t e e s e l obj e t i v o da e s t a t e s i s .
Se ha r e a l i z a d o un estudio t e ó r i c o para l l a g a r a p r e d e c i r l a s condi-,
clones de s o l i c i t a c i ó n que hacen que un acero con una determinada f i s u r a l l e gue a romperse; para l l e v a r l o a cabo so han empinado l o s mó.todos de l a MBcani_
ca de l a F r a c t u r a . La r o t u r a da un material puado a n a l i z a r s e tanto desde un punto de v i s t a microscópico coma de9de un punto do v i s t a rmicroácópico, Noso t r o s hornos elegido e s t o último para l o cual..se han empleado l a s herramientaa
de l a Mecánica de Medios Continuos.
Para r e s o l v e r e l problema propurtsto e s necesario p o s t u l a r un c r i t e r i o
de rotura",lu que equivale a d e f i n i r un par^rt^tro función de loa esfuerzos e x t e r i o r e s a qua esté" sometido e l m a t e r i a l y de l a s c a r a c t e r í s t i c a s del defacto
•
•
*
. .
'
2
s u p e r f i c i a l ; cuando esta parAmnfcro alcancía un valor c r í t i c a se produciré la
fractura. De e l l o ae deducen l a s d i s t i n t a s partos de que va a constar e s t e estudio: se definiré' por un Indo al c r l t o r i o cíe fractura y so
relacionará
al
parámetro correspondiente con las variablos qua defcnrminan ol problema; por
otro lado se describirán los onsayaa recomandodoo para estudiar la a p l i c a b i lidad de loa d i s t i n t o s parámetros de fractura quu ac han definido en la l i t e
ratura técnica sobre aste temn y para determinar ol valor c r í t i c o del paras»
tro alegido.
Esto permitirá en adelante conocer l a carga de roturo de un alambre
con una fisura superficial y deslindar on cualquier f a l l o del acero la parte
puramente estructural (influencia del esfuerzo exterior o del tamaño del def e c t o ) de la parte correspondiente al maturial cuyas propiedades de r e s i s t e n
c i a en presencia de una fisura (también llanada tenacidad a ia fractura) pue
den verse afectadas por e l medio e x t e r i o r .
El estudio teórico realizado no sólo será valido para l o s aceros de
a l t a r e s i s t e n c i a sino que ae podrá aplicar a cualquier material ya que algunas de l a s conclusiones a que se llegue entraran plenamente dentro del campo
más general de la Macánica de la Fractura.
Los ensayos realizados no solo demostrarán lu validez de l o s paren»*
t r o s definidos en la parte teórica ino que describirán l a variación de la t e nacidad a la fractura con l a s demás c a r a c t e r í s t i c a s mecánicas de un acaro para
l l e g a r a obtener una visión m5s clara de qué" representa an realidad esta propiedad del material.
1 - ESTUDIO TEÓRICO DE LA FRACTUHA
El estudio teórico de la fractura consiste en el análisis
del comportamiento de un mu tari ni en nt-oüBnciu de una fisura o de
una
entalla. Un defecto de este tipo produce uno concentración de tensio nes que reduce la capacidad resistente del elemento estructural considera do. Por lo tanto, será necesario conocer la formo de esto concen tración de tensiones para poder predecir el momento y la forma de la rotura. Una vez determinadas los condiciones en que se propaga una fisura bastará definir el ensayo adecuada pura conocer el comportamiento
de cada material en presencia de fisuras para resolver el problema
de
la fractura.
En el estudio de ln fractura tendrán gran importancia las
-
simplificaciones previas que se introduzcan. Parece claro que el material se romperá debido ol estado de tensiones o deformaciones existente en une zona muy pequeña cercana al borde de.la fisura; en tal caso
resulta discutible la conveniencia de aplicar ios principios de la mecánica de medios continuos a este problema. Por otro lado también tendré importancia el modelo de material a emplear (elástico lineal, elás
tico no lineal, elastoplástico) ya que en n.ngún caso se conseguirá
-
una descripción completa del comportamiento del material (debido por ejemplo a fenómenos de relajación o de fluencia).
En el caso de un alambre de pretensado, el material puede
-
comportarse como elástico o como elastoplástico en función del tipo de
solicitación y de las características del medio ambiento. Par esta ra-.
zón, estudiaremos la propagaci6n.de una fisura en cada uno de estos
-
dos supuestos.
1.1 - Estudio de la fractura en materiales elásticos
darnos a ver en.este apartado el comportamiento de loa mete -
4
rieles elásticos lineales y nu linéalos en elementan fisuradas. En un
principio, nos ceniromoy n casos d».J tenr,ión plana y de deformación pía
na para lueqo generalizar los criterios u un caso tensional cualqule ra. Consideraremos uno fisura cuyas, caros sean distantes entre si un infinitésimo tal como se representa en lo figura 1.1.
Cualquier tipo de solicitación sobre uno fisura ss puede deis
componer en suma de trec tipos mas sencillos; el modo I consiste en una tensión de tracción api leuda en dirección perpendicular al plano de la fisura; en el modo II se aplica una tensión tangenclol sobre el
plano de lo fisura y en dirección perpendicular al borde de ésta; el modo 111 consiste en aplicar una tensión tangencial sobre al plano de
Fig.1.1
f
(a) Modo I
(b) Modo II
;) Modo III
R q. 1.2
6
l a f i s u r a pero en d i r e c c i ó n píjr;i 1B],.I
i l bordo, E'r.tus t r e s mudan se non
r e p r e s e n t a d o nn l a f i q u r ' J !.;•"'. t i l modo 1 es u l mfis i m p o r t a n t e no
bolo
porque corresponde a n . / l i c l t¿ir:i.onot-> de t r e c e ion a i no tumbién porque pa
r a c u a l q u i e r geometría y fjiatemíi de cnrqns s i m f t t r l c i s r e s p e c t a ti un
pluno que i n c l u y a a l a f l s u r ' i ér>te snrA e) único modo que n c t ú e .
1.1.1 - Materiales elásticos lineólos
Consideremos unn J>0'J pU»n<» do fnrm¡i c u n l q u i a p . i , f i s u r a d u , y
s u l l c i t a d M por una o ^ r i e dv. hn-rzas tod-'s e l l u s puru l e l a s ¿i 1 ulano
de
l a l r i j u . S i e l esoesor de: l n Wijei es gmridrc futriremos ante un estado de deformación p l a n a ; s i e l espesor es pequeño, \n t e n s i ó n norme» 1 a l
-
plano de lo l r i j u será nula y sr.> p r o d u c i r á uh esto do de deformación plt»
n o . Se puede n n r e c i a r lí> diferencie» e n t r e e s t o s casos an l a f i g u r a
b) tensión plana
deformación plana
Fig. 1.3
1.3.
7
En cualquier caso, se podran usar lee, formulas y mfitodan de ln olosti
cldad en dos dimensiones.
Para abordar pl fenómeno de la fractura parece natural apli
cor el método de Galileo (Sedov, ChorRpnnov y Perlón 1974) consistente en suponer que sé produce la rotura en un cuerpo cuando una cierta
combinación de los parámetros físicos uuu pueden intervenir en el fenómeno (tensiones, deforma clonéis, etc.) alcanza un valor crítico en un determinado punto del sólida, üe esta forma so ignora el proceso de fracture pero se obtiene un criterio que puede ser útil si se ve corroborado por el trabajo experimental. La elección del criterio (mé
xima tensión principal, máxima deformación principal, méxiraa tensión
tangencial, etc.) dependeré del material o que se vaya a aplicar.
De
este razonamiento se deduce que el primer poso en el estudio de la fractura debe consistir en calcular el. campo de tensiones y deforma clones en un sólido fisurado.
El problema mes sencillo de analizar es el de uno leja plana infinita con una fisura plana de longitud 2a, Se puede estudiar el
caso de une fisura de perfil elíptico (inglis 1913) tal como lo repre
senf.da en la figura 1.4; este caso, en el qut> no aparecen puntos sin
guiares, sirve como base p&rn estudiar ol problema fie una fisura que
sea una banda de discontinuidad en el material. 5i se resuelve Bste problema de elasticidad se observa que las tensiones se hacen infinitas en el borde de le fisura. En efecto, para un caso de tracción como
el representado en la figura 1.5 las tensiones vienen dadas por las expresiones (Westergaard 1939, Sneddon 1946, Williams 1957, Irwin '
1958):
K
0
.x
a
I
.—i
C 2 T! r ) 2
cos
9 ,
_ (i
¿
'
_
sen
6 •
3 0
.- . s e n — — ) + . . . .
l
.
¿
(l.'la)
\ . /
Fig. VA
*••":,.
O"
!
/
V
1¿
JLa
Fíg.1.5
.•'..;,(•-,
.
0y
_
_ (i
c o a
\.
s e n
1
Sl
, n 1|.„)
+
(l.lb)
(2Trr)2
l
Txy
0
0
3 0
¡- s e n - e o s - e o s — - - + . . . .
C2TT r )
°z
"
v
0
'
T
z
(l.lc)
2
^ x
+
'
x z,
T
x /
°y
V
, í
'
T
x z "yV
r '«ü ü
yz
0
(deformación plana)
(tensión plana)
siendo los corrimientos:
1
K
. _ I xC- 2 -~-) 2 eos I U
Ty 2 TI'
u
K
C ^ )
2
sen f U
w - 0
)
^ x 3 _ 4^ )
r
3 - V
^ " 1 +
+ l - 2 eos 2 f) + ....
U-^)
r y
.
(deformación plana)
,
,
(tensión plariBj
v
9 son las coordenadas polares tomadas desde el borde de
la fisura, u , v, w
z
(l.2a)
i
V - ^
donde
- 1 • 2 s e n 2 f ) + ....
respectivamente,
son los corrimientos según los ejes
x, y
,
vi es el modulo de rigidez del material y K
es el factor de intensidad de tensiones que se escribe con el subindi.
ce I por tratarse de un caso de modo 1 de solicitación. Estfl factor es funcibn de la tensión exterior aplicada, o , y de la geometría
de
la pieza (en este caso de la longitud de la fisura) siendo su valor para este problema:
1
K
= a ( TI a)2
(1.3)
Las formulas (l.l) y (l.?) nu son exactas pues sólo nos
d«n
el primer término de un desarrollo en serle; sin embargo sola se indica este término porque los demás son funciones de rde orden superior
¿ •3
2
5
(r 2 , r ? i ... para las tensiones; r 2 , r 2 , ... para los corrlmien
tos) y por lo tanto serán despreciables frente al primero en las pro>d_
midades del borde de lü fisura en nue r es muy pequeño.
Si se obsérvala formulo (1.1) se puede comprobar nue la tensión o en el plano de la fisura ( 0 » 0) vale:
o
l 0-• 0)
(1.4)
y
( 2n r)
lo cual nos proporciona un método paro calcular el factor de intensi.. dad de tensiones, K.
f
definiéndolo como:
1 im
•+•
r
o (0 - 0) ( 2n r)
o
(1.3)
Tanto en el caso de tensión plena como en los casos de solicitación tangencial, modos II y III, se obtendrían fórmulas análogas a
las (1.1) y (1.2) (Westergaard 1939, Williams 1957):
U
Modo II:
(1.6a)
* . ; C0 ) +
ij
C2TI r )
K
H
T
=
I
xz
w - 0
- 0
yz
2
TI
gt(9)
+ .
(1.6b)
Modo III:
„
a
LU
(2M)
o
0
x
2
K
II I , r .2
. .-_.-- <T __j
u.
•» 0
y
" O
z
= 0
. xy
»
k.
,
(e)
(1.7b)
+
O
u • v ** O
Estos desarrollos nos indican que efe borde de la flBura es •
un punto singular ya que en teoría las tensiones en ese punto podrían
llegar o ser infinitas. Aunque esto es físicamente imposible, dejare mos
la discusión de los limites de aplicación de esta teoría para mes
tarde.
Lo que se puede apreciar en las fórmulas (l.l) (1.2) (1.6) y
(1.7), es que las tensiones, deformacionos o corrimientos en un punto
cercano a la fisura son, en cualquier caso de solicitación, iguales a
una determinada función de r y
6
multiplicada por un factor de in-
tensidad de tensiones que depende de la geometría de la pieza y de la
tensión exterior aplicada: todas las distribuciones de tensiones son homotéticas. Por lo tanto, si suponemos que la roturo se produce por que algún parámetro, función de las tensiones o deformaciones, en un punto cercano a la fisura alcanza un valor critico que dependerá de las características del material, no necesitamos determinar ni el pari9
metro ni el punto; en efecto, bastará con calcular el factor de intensidad de tensiones: cuando e;:,te parámetro alcance un valor critico,
se producirá la rotura.
Una vez conocida la posible aplicación del cálculo de tensi£
nes alrededor del borde de una fisura, cabe preguntarse si. los desarro
líos anteriores son válidos para cualquier tipo de geometriH. Es sabi-
12
do (Timoshenku y Goodler 19(30) qur? pora un estada de tensión o dpforme
cifln plana loa tensiones se pueden deducir do uno función escalar,
• (x, y)
, que es lo función do Airy. Esta función se puede expresar
mediante lea formülu (Muskhelishvili 1953);
*(x,
donda
y) - R
¿(z)
ja
e
Ü 4>(*)
j 1 ( z)
y
z « x + iy
+ f7'
^>{7.)áz)
(l.6)
son f u n c i o n e s a n a l í t i c a s de l a v a r i a b l e comple-
, Z
es e l conjugado de
z (Z
-
x
-
iy)
y
Rft
„
designa l a p a r t e r e a l de l a f u n c i ó n compleja que esta 1 e n t r e paréente sis.
Los t e n s i o n e s vienen dadas p o r :
a
x
oe a
+ a - 2('|>' ( z ) + * T ~ U ) )
y
r
O
o r + 2 i a r Q - 2 e 2 í f ) ( Z f ( z ) + i|>' ( z )
+0
y
- a
,-
+ 2i o
x
í1-9)
o
xy
-
)
2 (Z * " ( z ) + <C ' ( z ) )
Para ceda t i p o de pieza (de dirntiru-innes f i n i t a s )
se pueden expresar l a s f u n c i o n e s
>K z)
l l o en s e r i e de p o t e n c i a s r e o l e s de
z
y
>K z )
y de f i s u r a
mediante un d e s a r r o -
(Bowie 1973, S i h y L i e b b n i t z
-
1968):
• (z)
-
Z A„ z X n
n*0
„,
<1<U> -
L
n=U
(LIO)
Bn zXn
Imponiendo la condición de anulación de las tensiones normales y tangenciales al plano de la fisura: • J y " 0 x y " 0 o " °r6 " °
para
e
•
Í n , se obtienen los valores de los exponentos ,An {au-
tovalores del problema). En efecto, sumando las dos primeras ecuacio nes (1.9) en las que se sustituye las funciones
<Kz)
Y
<K Z ) por
PUF. desarrollos (l.lü) e Imponiendo la condición anterior se llega a -
J. 'i
la ecuación:
°0
+
i,J
rO "
í:
' 'V*'
n '- ()
An
-
B
"> \,>
K
0
(1.11)
esta ecuación sillo se puede cumplir si:
sen(ZnA n ) - 0
(1.12)
de donde se deduce Que:
>
n
=
n
2
0,1
(1.13)
en la ecuación característica (1,12) no se han considerado los autovelores negativos porque darían lugar a, desplazamientos infinitáis en al
origBn, lo cusí no tiene sentido. Tomando el primer término del dése rrol.lo:
1
(H4)
y sustituyendo en (1.9) se obtienen las expresiones de las tensiones para un caso general pudiendo comprobarse que son idénticas a las obte.
nidas para uno laja infinita (l.l), (1.6) y (1.7), Los factores de con
centración de tensiones resultan:
Kl K
siendo a
y a
a\fY
(1.15)
= -a_ / 2, n
la parte real y la parte imaginaria respectivamente
de
A . be este forma el problema de lo fractura se ha reducido a un pro blema típico de Elasticidad en que hay que determinar la función de Airy en cada caso mediante' los desarrollos (i.10).
Un método frecuente paro la resolución de estos problemas
-
consiste en utilizar una transformación conforme de variable compleja
que convierta a la fisuro en una circunferencia con centro en al ori •»
gen (Bowie 1973). Este método se ha mil i cu rio a varios casos particular
ras como el de una laja rectangular (Bowie 1964) y los de une fisura curva en una laja infinita y una fisura recta en una plnca infinita ao
metida a flexión (Sin, Paris y Entogan 1962). Actualmente existe un
-
gran repertorio de soluciones Que cubren los casos de aplicación más frecuente (Paris y Sin 1964, Sih 1973 a).
Como ya ha quedado indicado anteriormente, el inconveniente
principal de este método de predecir la rotura estriba por un lado en
que hay que suponer que se producen tensiones infinitas cerca del borde de la fisura, y por otro lado en que se pierde el sentido físico
-
del fenómeno de la fractura ya que el factor de intensidad de tenslo nes es un parámetro matemático, no físico.
Otra forma de atacar el problema es a travéB de una interpre
tación energética. Si se analiza el modeló simplista, cnnsiuterrtB'en una
red cristalina con una fisura entre dos planos atómicos se comprende que para incrementar el tamaño de la fisura es necesario separar estos
dos,plenos en una determinada longitud lo cual Implica tener que ven cer las'fuerzas de atracción interatómicas. La energía que hay que suministrar para realizar esta operación es la diferencio de energía potencial entre los átomos de la superficie libre y los átomos del interior del volumen del material. Esta energía es precisamente la tensión
superficial del material y la designaremos por
y
(energía por unidad
de superficie). Por otro lado cabe preguntarse de dónde viene esta - energía en el caso de un elemento fisurado: esta energía es la resul tente del trabajo de las fuerzas exteriores y de la variación que se produzca en la energía elástica de deformación almacenada en el sólido
al aumentar, el tamaño de la fisura.
Considerando una fisura de longitud 2a en una laja infinita
sometida a tracción como ln de la figura 1.5, la energía por unidad df»
espesor gastada en abrir esa fisura habrá sido
4ay
ya que ha sido ne
cesarlo crear dos nuevos superficies de áreu 2a. Por otro lado, se demuestra (Griffith 1921, Griffith 19?4, Sih y Liebowitz 1967, Sih y Lie
bowitz 1968) que, al abrir una fisura de longitud ?a en una laja indefinida sometida a una tensión de tracción
o , lo pérdida de energía -
elástica vale:
2 2
a K'n a
AU
_
si
donds
E'
•
(1.16)
E
en tensión plano
( • • • • • • • • • • • • >
i
v '
1
:
(1.17)
—
1 - ,2
en deformación plana
l:-,/v;
Se ha representado en le figura 1.6 lo variación de estos
-
dos tipos de energía con la longitud de la fisura. Esta progresará - cuando la pérdida de energía elástica debida a un incremento de longitud da iguale a la demanda de energía superficial correspondiente al
mismo incremento (suponiendo que las fuerzas exteriores no producen
-
trabajo):
2
2
o -na „
d ,.
da
(1.18)
. _
luego:.
o2™
« VyE'
(l'Í9)
y por lo tanto la tensión critica que dispare el crecimiento de la fisura 6era:
0
„ J'z~TrPr
na
.
(i.2o)
t.v
ti1:, v
15
Considerando una fisura dn longitud 2a on una laja infinita
BOffletlda a tracción como lf< de la figura 1.5, la emergía por unidad de
espesor gastada en abrir eso fisura habrá sirio
úay
ya que ha sidcj ne
cesarlo crear dos nuevas superficies de ñr&u 2a. Por otro lado, se demuestro (ürifflth 1921, Griffith 1924, Sih v l.lebowlti 1967, Bih y Lie
bowltz 1968) que, al abrir una fisura rie longitud 2a on uno laja indefinida! somntide a una tensión de tracción
o , la pérdida rjQ energía -
elástica vale:
. _ jdlíi
Au
(1.16)
ti
donde
E*
•
E
en tensión plana
(1.17)
V
E» .
£
l -
en deformación plana
y2
Se ha representado en lo figura 1.6 la variación de estos
-
dos tipos de energía con la longitud rie la fisura. Esta progresará - cuando la perdida de energía elástica debida a un incremento de longitud da iguale a la demanda de energía superficial correspondiente al
-
mismo incremento (suponiendo que las fuerzas exteriores no producen
-
trabajo):
d ,Aa
da" U a Y
o2"*2,
_
T )
• ~Í ~
" °
(1.18)
luego:
o 2 na - 4yK'
'
(1.19)
y por lo tanto la tensión critica que dispare el crecimiento de la fisura será:
0 mfJLÍKLZ~~
7T a
(i.»)
Energía de
superficie
Inestabilidad
Energía total
Longitud de fisura
Pérdida deenergí
de deformación
Fig.1.6
se puede comprobar que la formula (l.,?ü) es equivalente a la (1.3) ai
2
se Igualan
'¿ Y K
y
K^
que Run
parrtmetroB que caracterizan
el
comportamiento del material i;n roture.
Comu ya hemos indicado anteriormente, esta solución corres ponde a un modelo muy simple ya que supone. aue los fuerzas de atracción
entra los (Hornos o tienen el valor correspondiente a un espaciamiento
en la red cristalina, o son nulas. La principal ventaja de esta teoría
es que permite predecir la tensión de rotura del mafiri>il sin realzar
un ensayo previo de fractura, es decir, un ensnyo con probeta fisura da. En efecto, E
y v
se obtienen de un ensayo de tracción simple y y *
se podría calcular teóricamente a partir !n Ion fuerzas lnteratómicas
(en realidad este problema todavía no se ha resuelto debido a la insuficiencia de las herramienta,-,; de calculo actuales) o medir cuno ten
-
sión sunarficial en el estado liquido a distintas temperaturas para ex
trapolar posteriormente su valor a la temperutura eimhlente (Griffith 1921). Sin embargo esta teoría es únicamente aplicable a casos de rotu
ra totalmente frágil, consistentes en una ausencia total de deforma
-
clan plástica observable a escala macroscópica. En el caso de materiales pollcristalinos que exhiben un comportamiento elastoplastico esta
teoría no puede ser aplicada sin una modificación que tenga en cuenta
estos efectos.
Se puede perfeccionar el modelo teniendo en cuenta la variación de las tensiones de interacción entre planos atómicos en función
dé la separación de estos planos. En efecto, estas tensiones tienen
—
une variación como la representado en la figura 1.7 donde 1 es Til espaciamiento de los planos en la red cristalina, que corresponde a una
tensión nula, y
1
es la distancia entre estos planos. Aplicando e_s -
tas tensiones en los'extromos de la fisura tal como se indica en la fi
gura 1.8, la fisura plana que, al deformarse, tomaba una forma elíptica según lá solución- de Westergaard pasa, debido a las fuerzas de corve
Fig. 1.7
Fig. 1.8
19
sión aplicados en una ;i;nu de anchura d, a tomar una forma quo presento una transición mes suave entre la fisura y la zona no f'isurada con
lo que hace desaparecer la singularidad en ol borde la fisura (Barem hlatt 1962, Goodler 196B). El critn rin al que rita llaga por aste camino
as, pora el caso de uno laja infinita:
T!
donde
o
'
.'i
es la tensión exterior que provoca la rotura y K*
as un pa-
rámetro oue depende de la distribución critica de tensiones de cohe- slón. Este modelo resulta por lo tantu equivalente al de Grifflth (for
muías 1.3 y 1.20) con la diferencia de que en este caso sí que es nece
sario realizar un ensayo de fractura para determinar K* . Existen otros modelos
-
que, al igual que el que acabamos de exponer, tratan de
hacer desaparecer la singularidad en el borde de la fisura paro todos
ellos aplican las teorías de la elasticidad en zonas muy pequeñas (10
espacios interatómicos), lo cual es de una validez discutible, para
llegar a la conclusión de que el múdelo es equivalente al de Grifflth
(Smith 1975). Por lo t.-»nto, con esto queda demostrado que la primera simplificación del modelo de Grifflth (ausencia de una ley de varia
-
cifin de las fuerzas de cohesión con la distancia interatómica) as'vali
da.
En cuanto a la apl^icabilidaqj de este modelo a un material
elastopló'stico, se puede sustituir (irwin 1948, Orowan 1949) la ten- sifinsuperficial y
por
y + y
donde
y
es la energía de.de
formación plástica' disipado por unidad de area en el proceso de fractura. Oe esta forma
y + y
se puede considerar como el, trabajo to
tal necesario para abrir la unidad de área
de fisura. Esto es valido -
únicamente si la zona plástica formada alrededor del borde de la fisura es suficientemente pequeña respecto a la longitud de la fisura y
a
las-dimensiones de la pieza. Por lo tanto se pueden calcular las varia-
20
ciones de energía de deformación el proyresur la fisura usando loa métodos de la Elasticidad; el única problema estribo en que
y
+ v
P
que en lo sucesivo denomino romos simplemente
Y , no se puede determi-
nar como una tensión superficial ya que
es unrios órdenes de mag
Y
nitud superior a Y ; esto trae? como consecuencia que aera necesario realizar ensayos previos de fractura para conocer lo copaold^d resia tente de un material en presencio de fisuras.
ti cálculo de la variación de lo energía de deformación
con
el tamaño de la fisura es un oróbleme difícil que <-¡ói.o ha nido resuelto exactamente en unos pocos casos como el de la laja indefinida (ver
ecuación 1.16). Le forme más cómoda de resolver este problema es por vía experimental (irwin y Kies 1952). En efecto, si una probeta esto sometida a una carga P, el punto de aplicación de la carga sufrirá
un
desplazamiento u. Si el material se comporta de forma elástica lineal,
u será proporcional a P:
(1.22)
C P
donde C es la flexibilidad de la probeta. La energía de deformación aj.
macenada al aumentar la carga desde 0 hasta P será:
„ „ P_ü . CP^ „ ul
U
2
2
2C
.
(1,23)
.
Si se mantiene constante el desplazamiento, la variación de energía —
elástica almacenada al variar la longitud do la fisura desde a hasta a 4- da
será:
d_U ¿ _'v¿_ dC. „ _ PJ; dC
da *
2 da " " 2 da
(1.24)
La fornwi da c a l c u l a r
dC
—da
corir, 1 st c un m u l i zar ennnyo-, c o n d l n t i n t u s
l o n g i t u d e s de f i s u r M y d e t e r m i n a r Rn cntl.i c-iso
mo se r e p r e s e n t o en l n f U j u r n
calcular,
1.9.
A purtir
'irjr d i f p r e ñ o i H C Ion g r á f i c a
lo f 1 e x i h i 1 i d a d t a l
co-
ÜR e s t e renuJtudu se puede
o modif-mtK uno upruximoci on
pnli-
dC
nomica,
pero distintos valorea da a. L O nrinciptiL ventaja de este
da
método estriba en uut.¡ i>e pueden anulizor ho^ta las oiezns dn geometría
más complicado . Lo fractura se producirá cuando
- — , qun denominada
remos a partir de uncirá, tasa de liberación de energía y designaremos
mediante la letra G, alcance un valor critica G r . Al sur G «1 trabaja
necesario ptira desplazar un defecto lineft'l cuma RG r.;l bordo do la fi^ui
ra, se suela decir (irwin 195?) que G es la furcrzB aplicada sobre el ~
borde de la fisura. Por lo t.mto lo fisura se prooagará únicamente - cuando la fuer¿a G venza o ln fuerza Gr.
0]<r a 2 < a 3
c1<c2<c3
u
Fig. 1.9
Para ^ateri iles elásticos G
BS constante R iqua.] a ?
C
.
cuando el materi.il puede plastificrse, Be observo
1
1
y
¡
»
(irwin, Kios y - -
Smith 1956) que G c depende del espesor de lu probeta, do lo longitud -•
de la fisura y de lo tensión aplicada si bi.Rn en un estado da deformación plana sigue siendo prácticamente constante.
fn los casos en nue se presenten simultáneamente los treá'mo
dos de solicitación, el miHnrio r,ortd.rítnntr! en calcular los factores de in
tensidad de tensiones folia yo nue no se puede decir qué combinación de valores Kj, KJJ y K j ^ será la que oroduzca la fractura.' Sin embargo en esto--, casos el criterio de Griffith sigue siendo válida con la diferencia de que el calculo de la energía elástica almacenada será al
go más complicado. Conocida la diatribución de tensiones y deformaciones alrededor del borde de la figura, se puede calcular G en función de Kx, KJJ y K 1 I X (Irwin 1957, Knutt 1973) llegándose al resultado siguiente:
•
2
K
I
donde
K
2
II
¡C
2
II I
u es el módulo de rigidez del material. Esta fórmula nos pro -
porciona un criterio de fractura válido partí cualquier tipo de solicitación. Sin embargo ha sido deducida suponiendo que la fisura se propa
ga sin salirse de su plano, cosa que nó tiene por qué ocurrir cuando se presentan los modos II y III de solicitación. Existen intentos de adaptar la teoría de Griffith a estos casos (Nuismer 1975) suponiendo
que la fisura se propaga en dirección normal a la de la máximo tensión
de tracción pero es probable que este problema se resuelva satisfactoriamente mediante el concepta de la densidad de energía de deformación
En efecto, se demuestra (Sin 1.973 b, Sih 1973 c, Sin y McDonald 1974,
Sin 1974) a partir de las fórmulas (l.l) (1.2)
ca por unidad de volumen vale:
Que la energía elásU
¿J
dV " 7
(l.?6)
alendo
S - a
2
u
Kj
+
donde los coeficientes
,l2
K¡
a^j
K
U
i
a22 Klt2
+
a3]
K^2
son funcionen conocidas de
(l>2?)
6
.La direc
ción de propagación viene dad» por el flngulo9 que minimiza lo fun
•
clon S no produciéndose la inestabilidad hasta que el wlnimo de S no sea igual a un valor critico, 3 c r , que depende del material. Esta teoría carece todavía de una comprobación experimental suficientemante am
pilo y por otro lado, en el coso que nos ocupa, solo aparece el modo de solicitación I para el cual esto teoría y la de Griffith coinciden.
1.1.2 - Materiales no lineales
En el caso de los materiales elásticos no lineales la distrí
bución de tensiones alrededor del borde de una fisura ya' no sigue la ley descrita por las fórmulas (l.l) (1.6) y (1.7) por lo cual no tiene
sentido el concepto de factor de intensidad de tensiones. Por lo tanto
hay que recurrir al método energético.
El planteamiento más general del equilibrio de una fisura en
régimen elástico es válido para materiales lineales y para materiales
no lineales (Cherepanov 1968). Se considero un solido elástico plano-y
de espesor unidad, cargado con unas fuerzas
constantes T en una parte
de su contorno, Sj, y unos corrimientos impuestos u
en otra parte del
contorno exterior, S u . Este cuerpo tiene una fisura de longitud
a; si
se hace el balance de energías al pesar la fisura a tener una longitud
2k
a +
fia
y se d e s p r e c i a n I H S f u n r ^ a s de maso, l u s
de e n e r g í a c n l o r l f i c o
/s
donde
A
intercambios
y l a energía c i n f ' t i c n , se o b t i e n e lo e c u o c i ó n :
T,¿ A U Í dS <= /
AwdA + 2yAa
es e l «rea del cuerpo y
w
(l.?0)
es l a onergla de deformación
por unidad de volumen:
v -
/ o . . d r. , .
ij
(1.29)
iJ
En la ecuación (l.2B) no se incluyen lns fuerzas aplicadas sobre S u por ser nulo el trabajo <-ue realizan. Por lo tanto se podrá definir Y
mediante la expresión:
2y
. \lmn
~±~ (/_
TÍ AUÍ dS - /. AwdA)
l
'
Aa-+0 A a.
ST l
A
(1.30)
como por otro lado la energía potencial de un solido elástico es - (Washizu 1968)
E
p
- /. wdA - 7_ Ti UÍ dS
A
of
(1.31)
resulta:
dE
2Y - - T T 2
da
(1.32)
Para un material elástico lineal y una fisura de longitud a
la energía elástica es:
2b
U
" 2
J
'sT
T
T
i
u
>
d s
+
~¿ '
s
Ti "i
dS
(1.33)
vi
Considerando el mismo material con uno figuro de longituri
a + Aa
se ouede calcular la variación de ln energln elástico al aumontnr
la
longitud de lo fisura obteniendo:
AU
" 2
;
STTi
fil,
i
dS +
Í 'S
u
i
AT
i
dS
t1-34)
Si la fisura progreso a carga constante ( 5 U ; {$}
) el parámetro G
-
valdré:
dE
/•>
i
P
. .
1im
.
1
.
d
U
/
•
»
En el cago en que la fisura progrese munteniendo los corrimientos - constantes:
« - ^ - - £ • lí:„ J 4 i- »»> - - s
ii-»>
Esta diferencia de signos en los dos casos es lógica ya que
en el primer caso la energía elástica aumenta al ;irogresar la fisura
y tanto esta energía como la necesarid para abrir la fisura provienen
del trabajo de las fuerzas exteriores; en el segunda caso las fuerzas
exteriores no realizan trabajo y la energía elástica debe disminuir para que la fisura progrese.
26
Para materiales no linéale;, se extiende el campo de aplicación del parámetro G definiendo un nur?v/o purflmetro G
(Liebowit/ y
-
Eftis 1971) mediante ln expresión:
Z
~ ía"o ILa
C/
S T Ti
Au
i
dS
~ U
&« dA)
(1.37)
La determinación de este parámetro puede realizarse (Liebowitz y Eftis 1971, Liebowit,?, Jones y Poulose 1974) aproximando las leyes fuerza-desplazamiento oara distintas profundidades de fisura me
diante parábolas de ecuación:
u - jj + k(£>
(1.30)
en las que se supone que ni parámetro
M
nue es la rigidez de la pro
beta es el único que variu con la longitud de la fisura. De esta furma se demuestra (Liebowitz y Eftis 1971) ue:
G>CG
donde
C
(1.39)
es un factor de corrección adimensiünai debido al comporta-
miento no lineal del material y que vale:
n+ i
M
quedando patente que los parámetros
G
y G
son idénticos para un -
material elástico lineal.
Este método es puramente experimental y por lo tanto presen
ta el inconveniente de'verse afectado por los errores de medida que,
en el caso de las deformaciones, son bastante importantes. Paralela +
27
mente se ha desarrollodu un método teórico iwrn
en leu.lor lu variación
de energía potencial olmocenMda con 1» lanqitud Uu UJ figura. En efec
to, se demuestro (Rice 1968 a, Hice 1968 n) que en un sólido elanticr
fisurado como G! do lu figuru 1.10:
dE
J
da
(w dy
" f
u
^
I. :
~ •i d \s )
ó X
•F
Fi'g.1.10
(1.41)
2H
donde J es una integral curvilínea calculado a )o largo dn uno curva
r
que rodea al borde de la fisura y recorrida en sentido antihora-
rio y donde
w
es lo densidad de enmelo de deformación (l.29), da ~
es el elemento de arco de curva r
y
T
y u
non respectivamente -
los vectores tensión y corrimiento sobre la curva I'
. Se demuestra
que esta integral curvilínea es independiente del comino siempre
que
éste encierre al bordo 1» fisura. Por lo tanto la integral curvilínea
J
esta perfectamente determinada y representa la generalización al -
caso de los materiales elásticos no lineales del concepto de energía
invertida en la creación de la fisura. Para materiales elásticos 11 •
nealas:
2
L
t? •
.
+
2
?
i.J.
_..LL
III
„.LLL_
E'
K'
La integral
J
+
*
(i.42)
2. i.
es un parámetro difícil de calcular, se pue
de obtener un límite inferior y un límite superior (Bul 1974) para con
seguir uní* estimación aproximada del valor de J; sin embargo, los métodos mes eficaces suelen ser los numéricos, que ya analizaremos
mas
adelante. Una de las principales ventajas que encierra esta formula *
clon del parámetro
J
es que se puede calcular o lo largo de cua_l -
quier curva que rodea al borde de la fisura. Esto implica que no en ~
necesarlo determinar can gran precisión el campo de tensiones cerca de la singularidad, lo cual suele ser difícil; beata conocer las tensiones en una zona alejada de la fisura y donde el gradiente de ten siones es menor. En particular, suele ser cómodo tomar como camino de
integración el contorno exterior de la pieza donde se conocen desde el principio buena parte de las variables que, intervienen en la definición de J.
29
1.1.3 - Análisis tridimensional
El estudio teórico de la fractura estrt muy desarrollado
en
el caso de problemas bidimensionnles dohido a la gran simplificación
que supone el prescindir de una dimensión en los edículos matemáticos
Sin embargu, todo problema dn fracture, y en particular el de un ulam
bre con una fisura superficial, es un problema tridimensional. Toda la teoría desarrollada en los aportados anteriores nu tendrffe sentido
si no fuese generalizable a un problema general en tres dimeriBiunefs,
Para analizar lo distribución de tensiones cerca del borde
de una fisura plana de forma cualquiera es conveniente usar el sistema de coordenadas representado en la figura 1.11 donde
to genérico del borde de la fisura y Pt, P z
y
Pn
P
es un pun-
son respectivamen
te la tangente, la normal principal y IB binormal al borde de la fisu
ra en P.
En lee proximidades del punto en que el borde de la fisura
corta a la superficie exterior de la pieza, las tensiones
t
nt
y
T
°«.*.»
se anulan y parece claro que ol estado de tensiones se
"*
tz
ré un estado de tensión plano. Sin embargu, en el coso de una fisura
que sea un cuarto de plano y situada en un semiespacio tal como se ha
representado en la figuro 1.12, se puede demostrar (Benthem 1972,
Benthem 1975) que la distribución de tensiones en las proximidades de 1« superficie exterior del semiespacio no es exactamente la corree
pondlente a un estado de tensión plana. En efecto, las tensiones no varían con
r
2
sino con
r
donde \
es un exponente que -
depende del coeficiente de Poisson y cuya variación se ha representado en figura 1.13.
Este hecho indica que en las proximidades de
la
superficie extetior de la pieza no se puede ase'rjurar que las tensia nes se distribuyan igual cue en un caso de tensión plana; de todas meneras esta suposición no seria muy mala ya QUB *
r.r. se diferen *
30
Borde de la fisura
Fig. 1.11
c i é mucho de - —
[oar ejemplo, pare
0,3,
- 0,452),
Sin embargo el punto mí".** interesante es el estudio de la dis
tribucibn de tensiones alrededor del borde de la fisura y en zonas suficientemente alejadas de la superficie exterior como para que las ten
siones
a
..i
tt
T
.,
nt
T
i. no sean nulas. Dentro del gran abanico
vz
de
problemas existentes, el coso mas estudiado ha sido el de una fisura elíptica en un macizo infinito. Para este problema, se- demuestra (Sack
1906, Sneddon 1946, Green'y Sneddon 1950, Kassin y Sih 1966) que la -.
distribución de tensiones alrededor de] borde de la fisura es idéntica
a la correspondiente a un caso de deformación pleno:
G, .
-r eos ~{\
nn
-
6
sen -r ser.
3 0,.
~?~)
C2i,r)
o ,„ .
e
-¡-•sen -^ {.¿ +• eos — eos
11
C2TTT)
'
'1
3 e) + 0(r"7)
——
(1.43a)
Fig. 1.12
<j¡ j ! S r A f¡j(A,M)
-0.5p
-0.4-0.3
-0,2
-0.1
0.1
02
0.3
04
Coeficiente de Poisson 9
Fig. 1.13
0.5
32
K
°2Z
c o s
~[
!
Cl + sen |
s a n \±)
+
C2nr)2
K
II
+
^
(2nr)
°tt
sen
6
__
CQ8
ñ
£
cos
^I 22 ecooss | 2
+
LL_
(1.43b)
nt "
1
C2TTT)
.
i
ní
I
K
+ OU2)
sen |
2
(i.43c)
C2nr)2
C2nr)
T
~
2
Q ( r
}
2
"
T
J_Q
o
2
8 e n
8en
7
+
° <* )
2
e
2
c o s
c o s
3 o j.
2
(l.43e)
(27ir)2
+
-1
„
(2nr).
cos
_.tl _
|
gen
Ben
3_8.y
+
2
h
K
T
tz"
0tjf2y
LÍ1
Í"
coa
2
+
U.43f)
2
°^ >
C2T,r)2
donde loa factores de intensidad de tensiones, K
,K
,K
, son
funciones complicadas de les dimensiones de la elipse,de la posición
dal punto considerado y de las tensiones exteriores aplicadas, Se puede comprobar que estas fórmulas son Idénticas a las deducidas para un caso de deformación plana: (l.l), (1.6) y (1.7).
Cabe preguntarse si esta distribución de tensiones tiene un carácter general. En efecto, se puede demostrar (Hartranft y Sin
1969) que la dependencia de las tensiones respecto de r es de la •- 1
forma r 2
para una fisura plana de forma cualquiera en un sólido
elástico. La dependencia respecto de 8 también tiene carácter gene
ral
(Sih 1971, Kassir y Sin 1975). üe esta forma quBde establecido
que para cualquier fi«ura plana en un sólido elástico que puede te ner dimensiones finitas", la diatribución de tensiones alrededor de •
un punto del borde de la fisura es idéntica a la correspondiente a -
33
un caso de deformación plana y viene dada por les formulas (1.42). La
única diferencia respecto al caao plano estriba en la mayor dificul tad que representa el cálculo de los factores de intensidad de tensin
nes.
En un caso de carga general en que dos de estos tras factores no sean nulos el criterio de fractura no queda claro, pues todas
las distribuciones de tensiones posibles no son homotóticas. En este
caso habré que suponer que se produce la fractura cuando una determinada función de los factores
K , K
y K
alcanza un valor critico
que dependerá del material. Al igual que para el caso plano, se ha
-
propuesto (Sih y Cha 1974, Sih 1975) que esta función aaa el coefi, 9
ciente de densidad de energía de reformación,
S.
Sin embargo no con
sidoraremos esta teoría ya que se reduce a la de los factores de in tensided de tensiones en un problema simétrico como el nuestro en que
el único factor no nulo es K_.
Al igual que para los problemas bidimensionales, la segunda
forme de analizar la propagación de una fisura parte de consideraciones energéticas. Pero el principal problema estriba en que no se sabe
en principio cómo se va a propagar la fisura; en efecto, en función da la forma inicial de la fisura y de las fuerzas exteriores aplica dea sobre el sólido, el defecto se propagaré de forma distinta en cade punto del borde tal como se ha representado en la figura 1.14 donde se pueden observar dos vistas sucesivas del borde de la fisura. Es
to
pone de relieve que no existe una variable única que represente -
el movimiento de la fisura y respecto a la cual se pueda derivar la energía potencial total del sólido para obtener un parámetro de fracture similar a G y a J. Se han analizado algunos casos particulares de movimiento (Budlansky y Rice 1.973, Eshelby 1974) obteniéndose para cada tipo de movimiento un parámetro distinto„
Borde de Id fisura en
el instante t = tQ
Borde de la fisura
#n el instante tst¿At
Fig 1.14
Rano de la fisura
Borde de la fisura
Fig. 1.15
3r)
SI se supone que ol borde de la fisura sufre una traslación
según la dirección del eje k, lu derivada de la energía potencial rea
pecto a este movimiento serfl:
J
k " ;S
donde
B
(W n
k - Ti f^>
dS
(I-")
es una superficie que encierra al borde de la fisura como ~
se puede ver en la figura 1.15,
w
es la densidad de energía de de -
formación, T^ son los corrimientos de un punto genérico de la superf¿
ele S y
n.
es la componente
k
del versor normal exterior a la su-
perficie S. En esta expresión se sigue el convenio de sumación de - Einstein para las Índices repetidos. Se demuestra que esta Integral de superficie es independiente de la superficie que se tome con tal que ésta «acierre al borde de la fisura. En un caso de tensión o de deformación plana se compruebe fácilmente que
donde se deduce que los parámetros
J¿
J^
coincide con
J de
no son más que una generaliza
clon de J, definido mediante la expresión (l.4l).
Si ahora se supone que el movimiento del borde de la fisura
consiste en un
giro alrededor del eje
k,
lo derivada de la energía
potencial respecto al ángulo girado es:
L
k - 's ^kij^Vi • V j - Ti inr *j> dS
donde
e'
ea el tensor henil simétrico ( e. .
fclj
klj
ción
kij
es de la misma paridad que 123;
clon
kij
es de distinta paridad que 123; e
e
a.as)
* 1 si le permuta
*•
- - 1 si la permuta
- 0
si dos de los -
Índices son iguales).
Finalmente, si se supone que el movimiento consiste en una
expansión homotéticá respecto al origen de coordenadas, la derivada *
3fi
de la energía potencial respecto al cambia de escala relativo, es dedl
cir, respecto a -y siendo 1 una longitud característica de la fl
aura, viene dada por la expresión:
M « /s
Cwx.n. - T. ~±
x, - I T. u.) dS
{l.46)
El campo de validez no es el mismo para ceda uno de estos trea parámetros. En efecto, mientras que
J^
y
materiales elásticos, no lineales (en el caso de
mas isótropos),
(Eshelby
Ú
L^
l_k
son válidos pora
deben ser ade -
sólo es válido para materiales elásticos lineales
1974).
Estos parámetros presentan ciertas limitaciones ya que ninguno de ellos puede representar por si solo el movimiento de la fisura* Sin embargo, combinados adecuadamente y Jugando con la elección del origen de coordenadas, pueden servir para calcular las variado nos de energía que se producen al progresar la fisura, Pero el princi^
pal inconveniente que presentan es que sólo proporcionan una idea del
intercambio de energía global mientras que las condiciones de solicitación varían a lo largo del borde de la fisura. En efecto, la fisura
progresará cuando la concentración de tensiones en un punto alcance un valor critico; por esta razón, los parámetros
J^, L^, M
sólo nos
pueden servir como método de cálculo una vez conocida la forma en que
se propaga la fisura pero no como parámetros de fractura propiamente
dichos.
En caso de que sólo esté presente el moda.I de solicitación
y teniendo en cuenta que la distribución de tensiones es idéntica a la correspondiente a un estado de deformación plana, se puede cálcu lar un valor de B en cada punto del borde de la fisura -aplicando la fórmula:
37
G - (1 - u 2 ) -'-I-
(1.47)
deducida para un caso de deformación pinna (1.17). En este caso el
-
significado de G serla el de la derivada de la energía de deformación
respecto al área
de la fisura en el punto considerado. Por lo tanto,
el problema consiste en determinar el factor de Intensidad de tensiones.
Este problema as mucho más complicado que en el caso da ten
sión o de deformación plana ya que no se pueden aplicar los métodos de variable compleja. Esto obliga a recurrir a un potencial del nue se puedan derivar los campos de tensiones y corrimientos (Buecfcner
—
1.973). Sin embargo, la principal dificultad en la aplicación de este
potencial consiste en encontrar una expresión que se adapte a las con
diciones de contorno del problema. En efecto, en cualquier problema préctloo de fractura se estudia una pieza de dimensiones finitas y la
proximidad de las superficies libres de la probeta influye de forma acusada en la distribución de tensiones alrededor del borde de la fisura. El método consistente en utilizar una representación integral en función del núcleo desconocida conduce a una ecuación integral que
se resuelve numéricamente. El inconveniente de este método estriba en
que sólo es aplicable a geometrías sencillas.
Otro forma de calcular el factor de intensidad de tensiones
es por el método alternativo (Hartranft y Sih 1973). Este método consiste en determinar las tensiones que aparecerían en las superficies
librea da la probeta de ser valida la ley de distribución de tengio nes para la misma fisura en un macizo infinito. Estas leyes se cono cen en los C B B O S de aplicación más frecuentes. En el siguiente paso se aplican las tensiones opuestas sobre los .superficies libres y
se
38
determinan las tensiones que producen en Lnsmismus superficies libres y
sobre la superficie de la fisura (que también en una superficie libre)
Este paso se repite hasta que se consigue reducir las tensiones en las
superficies libres hasta unos valores despreciablns. El uso de este mé
todo exige, conocer la distribución de tensiones quñ produce en un maci
zo infinito una fuerza puntual•. La convergencia del método se acelera
si se conocen soluciones de tensiones para sólidos cuya forma se oeame
Je mrts a la de la pieza que se está estudiando. De todas maneras, una
vez planteado el problema, hay que recurrir a métodos numéricos para llevar a cabo todas las iteraciones necesarias.
Finalmente, otro método interesante para B1 calculo de facto
res de intensidad de tensiones consiste en considerar un entramado
de
lineas paralelas a los tres ejes coordenados. A lo largo de cada familia de lineas, las ecuaciones generales de la Elasticiadn se convier ten en un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias que se puede
resolver por los métodos numéricos habituales como el de Runge-Kutta (Gyekenyesi y Mendelson 1975). En lo aplicación de este método es pre~
ferible que la pieza tenga forme paralelepipéddca o cilindrica para
-
que se puedan expresar las ecuaciones de la Elasticidad en coordenadas
cartesianas o cilindricas respectivamente y se pueda construir un en tramado de lineas coordenadas que se adapte a la forma del sólido.
Los tres métodos de cálculo descritos anteriormente presen tan el inconveniente de ser poco flexibles ya que se adaptan mal a las
piezas de geometría complicada; este problema se resuelve con el mitodo de elementos finitos que analizaremos mes adelante. Vamos a conside
rar seguidamente las aplicaciones de la teoría de fractura en régimen
eléstico que más relación tienen con el problema que nos ocupa.
El problema tridimensional mas estudiado es el de una laja con una fisura superficial elíptica (fig. 1.16) ya que es el que se presenta en el proyecto de vasijas de presión en reactores nucleares,
B
r"/iiiiiiiiiiiiik
2t
Fig. 1.16
40
depósitos de combustible, conducciones de gran diámetro y en definiti_
va en los problemas de estructuras laminares. También es impórtente su
aplicación el estudio do Ira propagación de cualquier tipo de fisura de
fatirjB (Mnddox 1975). Aunoue se conoce la formo de la di atribución
de
tensiones alrededor del borde de uno finura, es difícil relacionar
el
factor de in.ensidad de tensiones, que tiene validez en una zona muy localizada, con los valores de las cargos exteriores. Este problema se
puede resolver de forme aproximada (irwin 1962) relacionando el faotor
de intensidad de tensiones con el desplazamiento vertical del centro de la elipse. Sin embargo el paso más difícil consiste en cuantiflcar
la influencia de las superficiRS exteriores sobre los factures de ln tensidad de tenciones.
Se han realizado intentos pare calcular la redistribución de
esfuerzos que t\e produce debido a la presencia de la fisura sustituyen
do ésta por una linea con unas constantes elásticos distintas de las de la laja (Rice y Levy 1972). De asta forma st,, determina el esfuerzo
de tracción aplicado en coda sección de le laja y, considerando que ej^
tas secciones se encuentran en un estado de deformación plana, se puede calcular el factor de intensidad de tensiones. Este método, que
es
muy intuitivo, tiene el inconveniente de «er aplicable únicamente a es
te problema particular. Los resultados obtenidos se han representada en la figura 1.17; en esta figura v.l factor de intensidad de tensiones
en el punto medió de la finura se presante on forma adimensionol divi*
diéndolo por el factor K^
plana ÍC
•*• ea).
correspondiente a un caso de deformación -
Se puede observar que es necesaria una gran longitud
de fisura para que el factor de intensidad de tensiones se iguale a
K,.
-
; este efecto es debido a que la fisura, debido al incremento de -
flexibilidad que introduce, descarga los esfuerzos de tracción-hacia las aonas de la laja que no están fisuradas.
Al
0
^ÍJ^~^-Í~1--^^^~-1^~L
0 5 1
2
4
8 16 32
Rg.1.17
-1..J
-1—L
64 128"~~2c/B
Sin embargo, el método que da mejores resultados en el estudio de este problema es el método alternativo. En efecto, al ser conocidas las tensiones oue produce un<i fuerzo puntual, aplicada en lo superficie de un semiesoacio y las que oroduce una distribución de pre siones expresada en forma de serie de Fourier y aplicada sobre las dos
caras de una fisura elíptica es posible utilizar ei método destrito an
teriormente. En el proceso iterativo, las fuerzas aplicadas sobre
las
caras de, la fisura; la principal dificultad que se presenta en la spli
cacifin del método consiste on ajustar convenientemente esta ley median
te un desarrollo de Fourier ya que los resultados, finales dependen mucho del tipo de ajuste (Kobayashi, Enetanya y Shah 1974). Este método
se ha empleado en los problemas de la fisura superficial circular -
-
(Thresher y Smith 197?) .o elíptica (Shah y Kobayashi 1972) y en el
de
la fisura elíptica cercano a la superficie libre del material (Shah
y
Kobeyshi 1973, Nisitani y Murakami 1974). .En cualquier caso el'objeto •
del estudio consiñti» en hnllnr un factor corrector del factor de inten
sidad de tensiones correspondiente a la misma fisura poro situada en un espacio infinito. Lo<v distintos autores coinciden en afirmar que la
presencia de superficies,libres cerca de la figura puede mayorar el
-
factor de intensidad de tensiones hasta en un 79)t.
Seguidamente «amos a estudiar las aplicuciunes de la machnlca
ele la fracturo u piezas cilindricas. Este es un caso en que hoy que te
ner en cuenta las tres dimensiones y por lo tanto presenta las mismas
dificultades que el problema de la fisura superficial en una laja. Se
obtiene una simplificación importante cuando se considera el problema
con simetría cilindrica, es decir el de uno varilla cilindrica con una
fisura circular concéntrica con la varilla tal como se ha representado
•n la figur.e» 1,18. Este problema ha sido resuelto cuando la fisura está Inmersa en un espacio elástico indefinido (Qneddon 1946, Kassir y Slh 1975); sin embargo el problema se
complica cuando hay que conslde
rer la influencia de la superficie exterior en una varilla cilindrica.
Cuando se aborda este caso las herramientas anal i ricas resultan insufi,
cíente* y es necesario recurrir a métodos numéricos.
Por consideraciones de análisis dimensional y de simetría se
pueda expresar el factor de intensidad de teño iones en la forma (Paris
y 8ih 1964).
"'
i
*l" " °NC,T
donde
D
D
>2
P(d/I))
es el diámetro exterior,, d
surada (ver figure 1.1B),
0
N
U.4P)
el diámetro de la sección no Tí
es la tensión neta que actúa sobre la -
sección no fisureda (carga por unidad de área no fisuratía) y F(d/D) ea
una función adiwerisional de la relación entre diámetros. El cálculo de
F
se puede realizar (Paris y Sin 196fl) interpolando entre las solucio
ñas extremas F^
y Fy
tiende a l
0
ó a
correspondientes a los casos en que
respectivamente. FL
d/0
- -
es un limite inferior de le
43
- ~ - — ! — - - ^
Y
.
iC
"4
---"*"
-~-~ **
*
t
L„__d
_
—«—«•
Fig.1.18
*»«*
..
h
F
v Fu
«——** -*- "-r
"Zi
. repr.sent.do en la fisura l.H. E,i.ttn bersos • « *
, o e^enteX.s. para P e t e r a U f - « - •«-/»>
U — « - . « - >«>• *» "
^ reSüUad06 " ^
M
cand0
""" « •
, ca B ;
el « « - o - * representado inteora! ae BueCner „ p U « * *
t - i — * .
(BueCner 1 » . ) a - « » * . une i n t e r p o l a n entre Xa. « -
o H e F c o r r e s p o n d e s . valores « t r - o . - -/O
clon
«
F
9B
rCd/D)
ouede expresar f i a n t e el desarrolle:
c|>ci - ¿ )
2\TT"
-•0,363C§)
+ 0 . 7 3 1 C§) )
ci + *<*>.• M >
(1.49)
3
46
La precisión de estos dos últimos resultados se estima en un 1% (Buecta
ner 1 9 6 4 ) . Los distintos cálculos de la función F se han repreguntado
en la figura 1.20 para la goma de valores de
d/D
de uso mes frecuen-
te.
Cuando se pretende considerar una fisura superficial cual_
-
quiera el problema «re? complica hasta el punto de estar todavía sin r e solver. Al presentarse un problema de este tipo se recurre a aproximac l o n e s que sólo pueden servir para dar una interpretación cualitativa
de los datos experimentales. Una de estas aproximaciones consiste en suponer que el factor de intensidad de tensiones en el extremo del eje
m e n o r de una fisura superficial semi-eliptica en una pieza cilindrica
tal como le dibujada en la figura 1.21, se puede calcular suponiendo -
Fig.1.21
Que la fisura
3 s tá
eituada en una laja indefinido ,de espesor igual al
diámetro de la pieza cilindrica (Harkegeertí 1974). Este tipo de método tiene cierta validez yo que, al menos, es dimensionalmente correcto (Yokobori 1964); para fisuras superficiales de pequeño tamaño,
se
puede considerar que la influencia de la superficie del material, aun
que desconocida, es siempre la misma independientemente de las dimansiones 0e la fisura. Este razonamiento es cuestionable pero conduce a
una simplificación del problema que es admisible en muchos casos.
Una vez estudiada la mecánica de la fractura en régimen elás
tico, vamos a pasar a analizar los materiales elastoplásticos.
1.2 - Estudio de la fractura en materiales elastoplásticos
Al descubrir la forma que tiene la distribución de tensio nos alrededor del borde de una fisura en un material elástico (fórmulas (l.l), (1.2) y (1.7) ), se comprueba que teóricamente, las tensio
nes podrían llegar a ser infinitas lo cual es físicamente imposible ya que estas tensiones están acotadas por la tensión de fluencia y en
último casa por la tensión de descohesión del material. En efecto los
materiales usuales, siempre que no sean muy frágiles, presentan un
-
comportamiento elaetoplástico. Por lo tanto se puede prever que apare
cera una zona plástica más o menos grande cerca del borde de la fisura. Por otro lado, en determinadas circunstancias los materiales dúctiles pueden comportarse frágilmente en presencia de fisuras o enta lias; sin embargo en este caso, aunque el comportamiento a nivel ma croscópico sea frágil, a nivel microscópico podrá seguir siendo ddc til (McClintock, 197l).
Ciñéndonos al punto de vista macroscópico, el primer paso que hay que dar es la elección del modelo de material: rlgido-plástioo, elastoplástico, con o sin endurecimiento por deformación, que siga la teoría total para las deformaciones plásticas o la teoría- incré
48
mental, etc. Este abanico de posibilidades da lugar a un gran numero
de soluciones que,, a veces,no tienen más que una aplicación muy limitada. £sta es una de las características más importantes del estudio de
le; fractura en materiales elastoplásticun y que la diferencia claramen
*« de la teoría desarrollado para los materiales elásticos.
Por otro lado, en los materiales elásticou la distribución
da tensiones en une zona pequeña alrededor del borde ds 1= fisura ti»
oe siempre la misma forma (fórmula l.l) independientemente de las con
diciones da contorno y de las características del material. Esto evita el tener que profundizar en el problema de la fractura ya que todo
se resuelve mediante el uso del factor de intensidad de tensiones. En
el caso de los materiales elastoplásticos las distribuciones de ten alonas correspondientes a problemas distintos no tienen porqué ser no
motéticas y por lo tanto no se podrán caracterizar mediante el uso de
un solo factor de proporcionalidad (Sumpter 1973). Esto hace que el problema de la fractura en materiales elastoplásticos sea más difícil
que para los materiales elásticos. Por un lado será necesario usar
-
distintos parámetros de fractura y todos ellos tendrán cierta vali
—
dez; por otro lado habrá que dar mayor importancia a la experimenta ción para podar determinar el campo de aplicación de cada parámetro.
Esto hace que existan dos tipos de parámetros: los teóricos y los experimentales. Los primeras se basarán en alguna hipótesis formulada a
propósito de las condiciones de tensión y deformación que producen la
rotura del material; los segundos serán eimplricos y consistirán en al
guna magnitud física que sea fácilmente medible en el momento de la rotura.
En principio podría parecer que, al tener en;cuenta las deformaciones plásticas, desaparecerla la singularidad en el borde de la fisura; sin, embargo se ha demostrado (McClintock e Irwin 1964) que
JLa plasticidad lo único que hace es redupir tensiones y deformaciones
infinitas en el borde de la fisura. Es de esperar, qus asta ocurra - -
49
siempre que se aplique la Mecánica de los medios continuos a este pro
blema. Paro llegar a resultados físicamente posible cerca riel borde de la fisura (distancias del orden de la miera) seria necesario aplicar otra Mecánica en la cuul ya no tendría sentido hablar de tensio nes ni de deformaciones. Sin embargo, el qut; se obtengan tensiones in
finitas, al igual que para los materiales elásticas, no tiene impar tancia ya que de lo que r,e trata es de comparar las distribuciones de
tensiones correspondientes a distintas cargas y distintas características geométricas. Esta comparación puede realizarse de muchas formas
una de las cuales consiste en analizar la tensión según una dirección
determinada en un punto situado a una distancia del borde de la fisura también determinada.
En primer lugar estudiaremos las distribuciones de tensiones
en caeos de tenaión o deformación plana y en problemas tridimensionales para luego pasar a analizar los criterios de fractura.
1.2.1 * Distribución de tensiones
Para estudiar la distribución de tensiones alrededor del
-
borda de una fisura se consigue una gran simplificación en el análi. sis si se supone que la zona plastificada es muy pequeña comparada
-
con la longitud de la fisura y con las dimensiones de la pieza. En es
te caso es lógico contar con que esta pequeña zopa plástica no afecta
r* a la distribución de tensiones en la zona elástica. A partir de e ^
ta hipótesis se puede adoptar el factor da intensidad de tensiones de
ducido para un material elástico como criterio de fractura; en efecto
si la zona plástica
es pequeña, se puede suponer que no afecta a
la
distribución de tensiones en la zona elástica y que por lo tanto, las
tensiones y deformaciones dentro de esta pequeña zona plástica, esta ran unívocamente determinadas por el factor de intensidad de tenüio-nes que es el que fija el valor de las tensiones y deformaciones en el contorno de la zona"plástica, (Rice 1968 b ) . Esta solución no es -
50
totalmente exacta m é 8 que en el caso en que la zona plástica sea infi
nitesimal. Cuando las dimensiones de Bsta zona plástica aumentan la influencia del contorno exterior de la pieza puede afectar a la dis tribucion de tensiones yhaoer que las condiciones cerca del borde de
la
fisura en dos probetas con el mismo factor de intensidad de tensiones
no sean comparables.
Esta método es importante pues delimita el campo de aplicación da la Mecánica de Fractura en régimen elástico. La forma de cuan
tificar las dimensiones de la zona plástica consiste en definir un ra
dio típico,
r Y , que corresponde al punto en que la tensión normal al
plano de la fisura, a
rial, o
, es igual a la tensión de fluencia del mate-
(McClintock e Irwin 1964, Irwin y Paris 1971); aplicando la
fórmula (l.l b) se obtiene fácilmente:
r
. _i_
( .JL_s
2
(1.50)
Y
Esta fórmula no es universal ya que el factor de proporcionalidad, que en este caso es
1/2 TI , depende del criterio de plasti-
ficación que se adopte y del método de cálculo que se siga (plastiflcación en zona reducida, modelo de Dugdale, etc.).
Para el cálculo del factor de intensidad de tensiones se
-
considera que la longitud efectiva de la fisura es igual a la longl. tud raal más
r Y , hipótesis que se ve confirmada por los ensayos -
-
(McClintock e Irwin 1964).
Esta teoría de plastificación en una zona pequeña ("emall sea le yiel.ding") sólo es aplicable cuando esta zona es pequeña raspee
to a las dimensiones de la probeta y de la fisura; un limite típico as (Eftis y Liebowitz 1975):
rv/a
<
1/50
51
donde a
es la longitud de la fisura. Mientras se cumpla esta condi. -
cifin sa podrán aplicar todas los resultados de lo Mecánica de Fractura
en régimen elástico, pudiéndose calcular la distribución de tensiones
en la zona plástica a partir de las condiciones de contorno impuestas
por la zona elástica (Smith 1974). La validez del ptrametro G
esté JusU
fice da por el uso del factor de intensidad de tensiones ajunque también
ae puede Justificar diciendo que esté relacionado con la energía de de
formación almacenada en el cuerpo; si la zona plástica es muy pequeña
la casi totalidad de esta energía de deformación será de origen elésti
co (Hahn 1974).
Últimamente se ha calculado el campo de tensiones alrededor
de la fisura mediante el método de elementos finitos (Larssqn y Cari. sson 1973) y se ha comqrobado que su forma en la zona elástica no es
-
exactamente la descrita por las fórmulas (l.l); esto es debido a que,
al alejarse del borde de la fisura, es necesario tener en cuenta el término independiente del desarrollo en serie (Rice 1974); de aquí se
deduce que en el caso de la fluencia en una zona reducida ("small+sca
le yieldlng") se pueden utilizar los parámetros de fractura correspon
dientes a materiales elásticos lineales pero que el utilizar las fórmulas (l.l) para el cálculo de tensiones puede conducir a resultados
erróneos ya que sus limites de validez no han sidu determinados todavía.
Para el cálculo del campo de deformaciones y del campo de tensiones en la zona elástica se puede eimlear el modela de Dugdale (Ougdale 1960) consistente en sustituir la fisura real por una fisura
ficticia que abarque toda la zona plástica y solicitada on esa longitud añadida por una tensión igual a la tensión de fluencia del mate rial, tal como se ha representado en la figura 1.22. En el caso de un
material con endurecimiento por deformación la distribución de tensio
nes a aplicar sería más complicada pero el modelo seguirla siendo válido (Theocaris y Gdoutos 1974). Este modelo es únicamente un modelo
52
simplificado pero su aplicación es gmnde porque permite la determina
ción del factor de intensidad de tensiones y de la abeirtura de ia fisura por un método de elementas finitos bastante sencillo (Hoyes
1970, Hayas y Williams 1972).
1
- -
Cuando la zona plástico se hace mayor la influencia del can
torna ya es epreciable y no er, posible aplicar los modelos sencillos
de plestificación en una zona reducida y de Dugdale que acabamos de ver. En estos casos de fluencia generalizada so hace necesario recu rrir o un calculo elastoplastico riguroso. Sin embargo el análisis de
este problema ya seo en condiciones de? tensión plana, de deformación
plana o en un caso tridimensional general comporta grandes dificultades. Sólo se conocen soluciones aproximadas obtenidas por métodos numéricos que incluso en algunos casos son contradictorias (Vitvitskii,
Panasyuk y Yarema 1975).
El problema de una fisura en un material elastoolástico y en un estado de tensión o deformación plana, se ha resuelto percí.almen
te y de forma aproximada (Hutchinson 1968, Rice y Rosengren 1968). En
efecto, si se derivan las tensiones alrededor del borde de la fisura
a partir de un potencial $
o
en la forma (Torroja 1967):
. 1 1 * + !- 1¿A
r
r 9r
^2
r2
(1>5i
o Q - ~-f
3r
(1.51 b)
&
a
•
a)
— —"
U-51
vi 3 4,
C—
—
c
)
)
en donde se ha empleado un sistema de coordenadas cilindricas tal como el descrito en la figura 1.5, se cumplirán automáticamente las con
diclones de equilibrio, SI por otro lado expresamos este potencial me
diante un desarrollo en serie de la forma:
(1.52)
$ '- r
s
*j Ce) • + r
<t>2(e) + . : • ,
54
y s o l a m e n t e t a ñ e m o s en c u e n t a el p r i m e r término d e l d e s a r r o l l o q u e se
rá el dominante cuando
r
tienda a 0 (s
< t), las tensiones serón -
de la forma:
'\,
H-/
o. . - K r8-2
o . . (0)
j
(1.53)
i, j
° 1 j( 9 ) s o n funciones «dimensionales de e,
donde
Estas expresiones de las tensiones no tienen porqué cumplir
con las condicione» de compatibilidad. En Rfecto, se supone que el ma
teriel es elQstopléstico y que su ley tensión-deformación es del tipo
de la Remberg-Osgood (Ramberg y Osgood 1943):
(1 5a)
• - í • i|>"
E
'
p
y por otro lado se aplica la teoría de
plasticidad de Hencky (teoría
total o teoría de la deformación) las deformccionea vendrán dadas por
(Hill 1950, Johnson y Mellor 1973):
Cl - 2v) .
c
ij '
donde
E
6
ij
° Ü
.'. , . .
1 . ,'
+ c
)
*
+
TH
(1.55)
°ij
*l> es una cantidad escalar que es positiva en un proceso de -
carga y nula en un proceso de descarga y o ' .
es el tensor desvia -»
dor de tensiones. Esta teoría es prácticamente equivalente a la teo ría incrementel siempre que las componant-.es del tensor de tensiones se mantengan proporcionales entre sí al deformar el material (Budians
ky 1959); esto equivale a suponer que el camino recorrido en un dia grama de tensiones ( Oj, o „.
oü sea une' recta que pase por el ori -
gen.
Sustituyendo las tensiones en (1.55) por la expresión (1.53]
y entrando con las expresiones obtenidas en la ecuación de compatibi-
55
lidad de deformaciones so 1i B y n o urui ecuación diferencial no lineal de 4« orden en <f> y. So comprueba (Hutchinson 1960) que esta ecuación sólo puede tenor solución ni:
2n 4- r
o - n 4- 1
(1.56)
Esto demuestro que, al Igual quo para los materiales elásticos, en loo materiales nlneto-plásticoa'también nperecB
une singulari-
dad en el borde de la fisura ya que las tenciones vendrán dadas por:
o,. * K r"
n+1
?í
(0)
(1.S7)
Se demuestra (Hutohinson 1968) quti este resultado ss válido
para cualquier geometría pudirando variar la forma de la9 funciones odi
mensioneles
° ij(9 )
presentado para un
con
d
exponente n. Estas funciones se han re -
de tensión plana y otro de? deformación plana -
COSÍ)
en las figuras 1.23 y l.?4 respectivamente.
Una consecuencia importante que se puede sacar de la fórmula
(l.57) consiste en que al tener los materiales; de ba.jo limite de fluen
cia un exponente de endurecimiento por deformación menor, pueden desarrollar enfrente del borde de 1« fiaura tensiones superiores o las que
desarrollarla un material,ríe alta limite de fluencia (Hice y Rosenfcren
1968). Estas'tensiones favorecen la creación y coalescencia de huecos
y por lo tanta la fractura.
Por otro lodo se observa que únicamente se ha determinado la
estructura de la distribución de tensiones pero no su intensidad; la determinación del factor
la integral curvilínea
K
sé pueda lograr mediante el calcula de -
J, quo es aplicable a este caso yo que un mate
rial elastoplástico que siga la,teoría total de la plasticidad as formalmente equivalente, ••Hn un'proceso de carga, a un material elástico -
Tensión plana
Fig. 1.23
Deformación plana
w
no lineal. P Q r
lo
tanto
K
y j
están
relacionados y cualquiera de -
estos dos parámetros determina totalmente La distribución de tensionRB
en un entorno del borde de la fisura.
El principal defoctu de ostu solución estriba en oue depende
de alguna manera del contorno exterior de la pieza y por lo tonto na'es del todo riguroso definir
K
o J
como parámetros de fracturo. -
Por otro lado, se ha supuesto que todos los puntos del volumen estén en un proceso de carga lo cunl es cierto si se trata de une fisura pre
existente pero deja de serlo si esta fisura se encuentra en un proceso
de propagación. Finalmente, la deducción se ha realizado suponiendo
-
que las defurmüciones plásticas son muy grandes y por lo tanta sólo se
rd válido la solución en un.M zona muy pequepa cerco del borde de la fi
sura; en particular los predicciones que se hagan sobre la formo de le
superficie de separación entre las zonas elástica y plástica cómo la de la figura 1.25 (Rice y Rosengren 1968) sólo serón aproximadas puesto que además dependerán en gran medida del criterio de cadencia que se adopte (Tresca, van Mises).
Para un material que siga la teoría incremental de la piagti.
cldad no existe solución analítica. Solo se han realizado cálculos
tensiones y deformaciones por métodos numéricos y sólo pare ciertas
de
-
geometrías (Swedlow, Williams y Yang 1965).
Una vez analizada la distribución de tensiones alrededor del
borde de una fisura en un problema de tensión o deformación plana, vamos a estudiar los problemas tridimensionales generales.
El estudio del comportamiento de un material elastoplástico
en presencia de una fisura de forma cualquiera es un problema muy cumpilcado del que sólo se cohocen soluciones aproximadas para algunos ca
sos particulares. Al igual oue para los materiales elásticos, el probte
ma más estudiado es el da una laja plana con una fisura elíptica super
Fig.V25
59
ficial. La forma mes sencilla de resolverlo consistt en aplicar los mé
todos propios de los problemas de tensión o
deformación plana. En zo-
nas alejadas de las superficies exteriores de la laja se puede suponer
que el estado de deformación es plano; con esta hipótesis se ha estima
do que el incremento de longitud da fisura que es necesario tener en cuenta debido a lo plastificación del material es (Irwin 1962).
K
r„Y -
l
4 \Tl
(1.5B)
o 7
Y
calculando el factor de intensidad de tensiones para un material elá».
tico y sustituyendo la profundidad real de la fisura, a, por su valor
ficticio, a + ry , Be obtiene un valor aproximado de este factor -
-
(Irwin 1962) que viene dado por:
K T - a\
—LilJL.3
r
(1.59)
• 2 - 0,212 C~—)
°Y
donde
°
es la tensión exterior aplicada y * es una integral elíp-
tica que depende de las dimensiones de la fisura tal como se puede ob+
servar en la figura 1.26.
Esta formula sólo es a0licable a casos en -
que la zona plástica sea pequeña lo cual ae consigue si la profundidad
de la fisura es menor que la mitad del espesor de la pieza, si el eje
menor de la elipse es el perpendicular a las superficies exteriores y
si cr/Gy
es menor de 0,8.
Cuando la tensión aplicada es mayor y por lo tanto la zona -
plástica aumenta de tamaño se cuantlfican las influencias de las super
fieles exteriores de la pieza y de la plastificación del material me diente dos factores de amplificación riel factor de intensidad de ten alonas, que vendrá dado por (Kobayashi y Moss 1969):
KT - M M
l
e p
aVlT""
*
(1-60)
2.4
mnij
2.2
•=/
,
2
2
2
,
V1-(1-a /c )sin « doc
2.0
r*
1.61-
0.2
0.4
0.6
0.8
Relación entre los ejes, a/c
Rg.U6
1.0
61
donde
Mp
•
tiene el mismo significado que en la formula (1.59) y M 8 y -
son los factores
d.
amplificación. MB, „ U B cuantifica la influen -
cia de las superficies exteriores,
se
obtiene suponiendo que el mate -
rial es elástico y aplicando los métodos alternativos descritos en
el
apartado 1.1.3. La validez de nste método es dudosa sobre todo cuando
la zona plástica se extiende hasta lo superficie exterior; por esto se
ha representado (en la figura 1.2?) la variación de M„
con las carao-
terlsticas geométricas de la pieza indicando los limites de validez co
respondientes a distintos valoras de la relación rj/cj
.
La determi-
nación de Mp, factor de amplificación que tiene en cuenta la plaatificación del material, se realiza utilizando el modelo da Ougdale y sustituyendo la fisura elíptica por una fisura circular con el mismo factor de intensidad de tensiones. La variación de M p con le tensión apli.
cada y con las propiedades del material representadas por la relación
entre la tensión de fluencia,
o
, y la tensión de rotura, o
,
se
puede observar en le figura (1.28) (Kobapashl y Masa 1969).
La experimentación relativa a este problema consiete en realizar cortes en la probeta ensayada y determinar la extensión de la zo
na plástica mediante un ata que químico de la superficie y un análisis
microscópico posterior (Francis, Davidson, Burghard y Nagy 1971). Esta
experimentación demuestra que las hipótesis de partida generalmente
-
aceptadas (tensión plana cerca de la superficie exterior, deformación
plana en zonas alejadas de la superficie) están Justificadas. Por otro
lado también se ha comprobado la validez de los factores de amplificación representados en las figuras 1.27 y 1.28.
A la vista de las dificultades que presenta el problema de una fisura superficial, los métodos más apropiados para 9 u estudio parecen ser los numéricos y en particular los de elementos finitos que analizaremos posteriormente.
0.2 .
0.4
0.6
0.8
1.0
Profundidad retotiva de la fisura,a/B
Fig. 1.27
1.20
•*«1-<Jv/0¡,
m«0
m a 0.05
a.
2
c
%
0
O
msO.10
a
m=:0.20
3
«
o
tí
£
m»0.50
0.2
0,4
0.6
0.8
Relación de tensiones, Cr/CrY
Rg.1.28
1.0
64
En cuanto a l Q s problemas concernientes piezas cilindricas,
su desarrollo es prácticamente nulo. S B ha calculado (Kobayaahl y Moas
1969) para un material plástico sin endurecimiento por deformación y una fisura superficial circular como lo dibujada en la figura 1.18
factor de amplificación, M p ,
en
el
forma similar a la descrita anterior -
mente. Este factor se aplicarla al factor de intensidad de tensiones calculado mediante la fórmula (1.48). Su variación con la tensión apli
cada
,e ha representado en la figura 1.29.
Una v/ez analizada la distribución de tensiones alrededor del
borda de una fisura pasaremos a estudiar los posibles criterios de
fractura en materiales elastoplésticos.
1.2.2 - Criterios da fractura
A la hora de plantearse la existencia de algún criterio de fracturo que tenga validez pura cualquier material y para cualquier
—
geometría surgen muchas dificultades debido a la falta de conocimiento
de los mecanismos que producen la rotura.
La mayor parte de loa criterios existentes son de origen
•nergético. En un material elastoplestico el cfllculo de la energía
de
deformación es mfls complicado por depender del camino de tensiones y deformaciones recorrido hasta llegar al puntu considerado. Por otro la
do existen intercambios de energía calorífica durante el proceso de
-
carga del material asi como variaciones da energía cinética durante al
avance de una fisura. Estas dos formas son muy.difíciles de calibrar en un ensayo de fractura y, como veremos más tarde se suelen despre
ciar a pesar de que pueden no ser despreciables.
-
,
Salvo indicación en contrario estudiaremos los criterios
de
fractura sobre caeos de tensión o deformación plana y llamaremos al es
pesor de la pieza B.
Factor d* amplificación M P
21
66
Un criterio muy intuitivo consiste en suponer que un mate- rial sólo puede absorber una determinada cantidad de energía par uni dad de volumen antes ríe romperse (Gulllemut 1976); esta densidad de
-
energía critica, * c , puede obtenerse mediante cualquier tipo de ensayo
(tracción, compresión, flexión); sin embargo no existe todavía ningún
tipo de experimentación sobra probetas fisuradas que permita determi nar la validez de este criterio. Por otro lado, está demostrado para materiales elásticos (Sih 1973 b) y para materiales elastoplásticOB
que se ajusten a la teoría total de la plasticidad (Rica y Hoeongren 1968) que la densidad de Rnergla es inversamente proporcional a la dis
tancia al borde de la finura. Por lo tanto no tien« sentido hablar
de
una densidad de energía critica ya quo teóricamente ésta puede llagar
a ser infinita. Aunque esto es físicamente imposible es un resultado que impide el cálculo de la densidad de energía en un caso práctico
-
cualquiera.
Volviendo sobre los criterios de fractura en materiales elásj
ticos y sabiendo que la distribución de tensiones alrededor del borde
de la fiaura tiene siempre la misma forma para un determinado exponente de endurecimiento por deformación (fórmula 1.57) se puede penaar en
adoptar como parámetro de fractura ese nuevo factor de intensidad de tensiones, K, u otra cualquier que esté relacionado con éste y que sea
más fácil de determinar. Fste nuevo parámetro, que caracterizará de al
guna forma el campo de tensiones desarrollado en las proximidades de la fisura puede ser la integral curvilínea
J
definida anteriormente
(fórmula 1.41). Sin embargo, el primer problema que se presenta consis
te en determinar si esta integral curvilínea sigue siendo independiente del camino de integración para materiales elastoplásticos. Para
el
caso de lo teoría totcl de la plasticidad, le integral ea independíenla del camino por ser equivalente esta teoría a la de la Elasticidad no lineal (Rice y Rosengren 1968, Hutbhinaon 1968). En el caso de la teoría incrementa! de la plasticidad no se ha demostrado ni la depen -
67
dencie ni la indBpBndencl.i do j
respecto «l cmino rie integración; -
s* han raaliia*! cálculos por elem.-nl;!)n finitos determinándose
J a -
lo largo de varios caminos algunos de loo cuales atravesaban la zona plástica y se ha podido cc-mprobnr UUH dentro do los limites de preci sión de los cálculos
J
es independiente del camino de integración
-
(Hayes 1970); sin embargo los distintos autores no coinciden en apoyar
asta idea y se pueden citar ejlimpios y contraejemplos a favor y en con
tro de la dependencia de J (ühell y Heald 1975, Rice 1975). Este pro blema es muy Importante no sólo por demostrar la unicidad de J
en ca
da caso determinado sino también porque lo independencia permitirla
calcular este parámetro integrando a lo largo de un caihino suficientemente alejado del borde de la fisura de forme.» que se pudiesen emplear
con toda confianza los resultados de tensiones y deformaciones obtenidos por métodos numéricos.
Una vez establecida la independencia de J
respecto al cam^
no de integración, se puede considerar o este parámetro como parame
-
tro de fractura ya que representa en cada momento una estimación de la
intensidad de la concentración de tensiones nue se forma alrededor
de
una fisura (Begley y Landes 1972)..En efecto, se demuestra (McClintock
1971) que la fórmula (1.S7) es equivalente a:
1
n+1
,
,_J
s
n
donde
n
y
la 1^54) e
p
1
n+1 ,,
a
(Q)
1
,, _, ,
(1.61)
,
son los parámetros de la ley de Hatoberg-Osgood (fórmues uno función edimensional de
n
que tiene un x/alor
cercano a 5.
Le adopción.del narámetro
J
como criterio de fractura tie-
ne la!ventaja de que, en el caso de un material elástico, coincide con
los criterios generalmente aceptadas: factor d* intensidad de tensio -
68
nes, K, y tasa de liberación do energía, G. Sin embargo i« interpreta
ción energética de
lineales ya nu
J
n Q puBf1e
plásticos. En efecto U
válida pero motorices Rústicos lineales y no
trualndar al cumpo de ios materiales elasto integrul
J
dejar de ser la derivada de la -
energía.potencial renpecto n \a orofundided de la fisura (formula - 1,41): al no ser reversibles las deformaciones
J
sólo puede Ber con
slderada como una cooperación entre las energías potenciales de sos cuerpos idénticos con fisurasríe.longitudes parecidas y cargados de la misma formo; por esta razón
J
deja de representar la cantidad de
energía liberado por unidad de longitud dR fisura; este hecho era
de
esperar ya ciuo al progresar una fisura se producen descargas en ciertas zonas del material y en «ste proceso Ion materiales elásticos no
linéale? (para los cuales ha sido edificada toca la teoría de la inte
gral j) y los materiales cilasto-plásticos se comportan de forma radicalmente opuesta.
Por lo tanto, ni ser
J
únicamente una estimación del esta
do de tensiones después de un proceso de corpa en un material fisura*
do, solo será aplicable este parámetro M aquellos casas en que no
se
produzca, un avance lento de la fisura durante ol proceso de carga; servirá por lo tanto para predecir el momento en que una fisura empie
ce a propagarse pero, una vez iniciado este mecanismo, la integral J
no será de gran utilidad (Rice 1973).
La determinación experimental de J
para un material dado, Jc,
y de su. valor critico
es.sencilla dubido a la interpretación
-
energética de este parámetro (Begley y Landes 1972, Landes y Begley 1972). Bdsta para ello medir en el ensayo de rotura la fuerza aplica' da y el desplazamiento relativo de dos puntos de la probeta, de tal
forma que sea posible conocer la energía almacenada en una zona de la
. ; „ •a, la
„ piteara
eneróla se determina midiendo el
pieza que contenga
rlBura. Fstn
r.ssi-« m^'H^
-' 'encerrada
. bajo,
Koír, la
i« '.M.r«a
fuerza-desplazamiento
tal como se indica
UBa
área
suiva FULTÍO
^
-
Desplazamiento
o»
c
Lü
Longitud de fisura
Fig. 1.31
70
en la figura 1.30, opurncion u,ue ao repito para vtirios valores del dea
plOzamionto y dLstintps prufundidudee do fisurn. Representando estas
energías en función do 1Ü longitud d« la fisuru tal como •* puede ver
0n la figura 1.31, so detnrminol
J
como la pendiente de los diagra-
mas obtenidos* lu O U B pormitri construir un diagrama cama ral de le figu
ra 1.32 en el nue se reprounntH ol valor de la integral
J
en fundón
del desplazamiento de la probeta para varias profundidades de fisura.
Con este diagrama en lo mono os aencillo determinar el valor critica,
J 0 , correspondiente a cadf material.
-Longitudes de
V fisura
acrecientas
a
?
Desplazamiento
Fig.1.32
71
Esta interpretación energeticn de
J
conduce a realizar nu
e
vamente el balance de onecías e „ el momento de propagarse la fisura."
Si W es el trabajo de las fuerzas exteriores y U G
y Up
aon las - -
energías de deformación elástica y platica re «por. ti vamente, la energía, di' , necesaria paro aumentar lu longitud de la finura en
da -
será (Eftis, Jones y Liebowitz 1975):
dT
. d(l»-Ue-Up)
(1.6?)
siempre que ne desaprecien los intercambios de energía calorífica y las variaciones de enorgifi cinética. Si pnr otro lada se supone que la energía gastada en abrir la fisura es proporcional a su área, el coeficiente de proporcionalidad, G,
se puede definir como:
G - £ T1—(W - U - U )
B d o
e
p
(1.63)
Suponiendo que el valor de G cuando la'ttsura se propaga, G c ,
afilo depende del material y por lo tanto e& independiente de la geome
tria, se podrá definir un nuevo criterio de fractura consistente en establecer que no habrá propagación mientras
G
sea menor que
Gc. -
Este nuevo parámetro no es exactamente igual a la integral curvilínea
J
ya que únicamente coincide con ésta cuando se trate de un proceso
de carga noval y se pueda aplicar la teoría total de la plasticidad (Eftis, Jones y Liebowitz 1975).. En este sentido
G
es un parámetro
más general que J.
La forma de calcular el parámetro
G" consiste en aproximar
las curvas fu^rza-desplazun lento correspondientes a distintas longitu
des de fisura mediante leyus parabólicas del tipo:
P
u
i k (
"M*
P)
V
n
(1.64)
donde se supone que M, f ltiy.ibil i dad de la probota, depende de la longitud de la fisura y k
y n
son conatuntea para cada material. Cal
culondo a partir de eot» expresión la energía de deformación y sustituyendo en la ecuación (l,63) ne abtieno dotspues de algunos cálculos
(Jones, Liebowitz y Eftir, 1974, Eftis y Liebowitz 1976, Eftis, Jones
y Liebowitz 1975):
5.(
142JLH
(P)0"1, ¿ LilM
(i.6s)
que se puede presentar en la forma:
(1.66)
0 - CG
donde
G
es la tasa de liberación de energía, parámetro válido
pora
materiales elástico, lineólas y C es un coeficiente corrector «div•ensional debido a la falta de linealidad del material.
Analizando la deducción de la expresión (1.65) para el paré
metro
G
se observa que adolece" de varios defectos. En primer lugar,
no hay ninguna razón pera suponer que los parámetros k y n de la
ecuación (1.64) son independientes de la longitud de la fisura; en cualquier caso, la consecuencia de e s * suposición se reduce a una
-
falta de precisión en el resultado final yo que .la descripción de la
f,mr,a desplazamiento no será todo lo buena variación de las curvas fuerza-desplaza
Mn i,,nar no se ha tenido en cuerta
que se podría conseguir. En segundo.lugar,
o r f o r í .ticas mecánicas que supone en
.n ningún «omento el cambio de característica.
_
H o ,, r Í B U r e ; de hecho la deducción .es equiva
. el material el avance de la fisura,
_
in¥mny^i
H m a r de forme experimental la integral lente a la realizada para estimar de
, H 1972) con la única diferencia de que aquella era
ü (Begley y Landea 1 * 2 ) «
^
^
^
^ m£
gráfica (figuras 1.-30. 1.31. 1.3 )
délo de,iebo*itz y Efti. P « e c
mente a simplificar los métodos de cálculo y
^
^
^
^
^
^
co es mas cómodo que el miH
En el caso
riB
"do orifico nxpllcMdo anteriormente.
un motarla l BloBtu-pLéstico ha quedado clara-
mente demostrado que no so nuede definí r un nnra.netru de fractura co-me la derivada de una función univoco yti qu.í oslo i'unc ion depende del estado de ten «¿ion os pxl-aontn alrededor do la f Laura y por l.u tanta del
camino recorrido h.-ista alcanzarlo. Una forma de aosloyar ente inoonve niente consiste en definir' una función aoudopofconcial (Bucci, ParIB,
Londes y Rice 1972) cuya derivada rnspoctu a la profundidad de la fisura ae« el parámetro busco diJ. Sin. embargo en la determinación de este función se calcula la enornlo do deformación paro cada longitud de
fisura suponiendo un proceso de carga noval. Ente procedimiento condu
ciré al mismo resultado de lo fórmula (i.BB). Por lo tanto se hace ne
cesarlo recurrir a una nueva definición; en efecto Liebowitz y Eftis
na precisan en su definición til verdadero siqnificado de
G
aunque -
lo aplican derivando una ennryia de deformación plástica, que no es una función unívoco. Pare obtener la cantidad de onerqla realmente
gestada en hacer avanzar la figure, se define el parámetro J
-
(Sump-
ter 1973) mudiante la expresión:
J* - íia^O
Bíi
UW
'.
AU
e "-AV
U.67)
Esta fórmula puede purear idéntica a la (1.63) pero la semejanza es Únicamente formal ya que en este caso las variaciones en *.. U B
y
Up
n o a e c H leu ion entre, dos estados de carga noval corres-
pondientes a longitudes de finura parecidos sino que se contabilizónos
variaciones que se producen >,n ln operación de progresar la fisura una .longitud
a. Por lo tanto J
es realmente la energía gastada en abrir
la fisura. Éste parámetro coincide con J en el" caso de un material elástico no lineal y con h en ol caso de un material alástico lineal. En
-
la práctica es un parámetro muy difícil do evaluar yo sea analítica
-
o experimentante (Gtroppe
y /eltler
en suponer que la diferencio entr»
,Jnfj a ú l u c l ó n
1!m)<
J*
y
£
e D pnquefia
^
y
^
pQr
^
_
lo tanto se puerton nmpleur loa métodos descritos anteriormente; sin embargo se ¿«muestra (Sumpter 1973) cu* este procedimiento puede conducir a resultados flglcomonto Inadmisibles
yB q u Q s u p o n e la dismlnu_
clon de 1» energía rto deformación plástica almacenada en el material.
Los parámetros de fractura aun hemos ido analizando hasta ahora tienen todos un origen teórico y posteriormente se pretende Jus
tificarlos mediante Ion ensayos adecuados. Sin embargo hay otros para
metros para ios cu<Ues ni proceso es el inverso: nacen de observaciones experimentales y en una segunda etapa ee justifica su uso mediante consideraciones teóricos. Este es el coso de le apertura de la fisura, C O D ("Crack Üpening Dlsplocement") (Wells 1961, Cottrell 1961).
Este parámetro so define como la distancia que separa en ca
da momento los planos inferior y superior do lo fisura en el fondo de
ésta, Oesde un punto de vista teórica esta distancia deberla ser cons
tantemente nule ya quo pare que no lo Fuera la fisura tendría que pro
pagarse; en la realidad, la Reparación entre los dos planos que for man una fisura no es un infinitésimo como hemos supuesto desde el - principio sino que es una distancia finita. Por lo tanto ee lógico su
poner que este distancio pueda aumentar de forma significativa al pro
ducirse grandes deformaciones plásticas en una 7ona muy pequeña cerca
del borde de la fisura (Wolff 1971). Oesde el punto de vista teóriro,
asta definición se adapto muy bien al caso de la notificación en -.
una zona reducida (.Wells 1963). En efecto, en este caso se sustituye
la fisura real por otra de longitud
a + ry
y se puede asimilar el -
C O D a l doble del desplazamiento vertical que sufre el borde de la fi
aura real en el modelo tal como se ha dibujado en la figura 1.33; - aplicando la fórmula (1,2 b) se llega a:.
Zona plástica
i,
Fíg.133
•' ',
/h
COD - -AG
(1.68)
fórmula ,,ue s ó l o e s v a l i d e m i n o t r u s
longitud a
ry
SBÜ
d e s p r e c i a b l e f r e n t e a la
l o nuo ÍJO c o n s i g u e cuando lo r e l a c i ó n e n t r e l a tensión ex
t e r i o r y la t e n s i ó n dn f l u e n c i a
o /ay
HB
i n f e r i o r a O.fl. Cuando i ¡
t e n s i ó n e x t e r i o r e s mayur lu zonu p l á s t i c a es muy extensa y no es pos i b l e a p l i c u r l o s métodos tío la Mecánica de la F r a c t u r a para m a t e r i a l e s e l á s t i c o s l i n e ó l e s . Sin embargo es e v i d e n t e que el C Ü 0 c a r á c t e r !
za de alguna manera e l oempo de deformaciones y puede r e p r e s e n t a r un
buen c r i t e r i o do f r a c t u r o ; como por o t r o lado no se conocen con s u f i c i e n t e p r e c i s i ó n l o s campar; de t e n s i o n e s y deformaciones en un caso de f l u e n c i a g e n e r a l i z a d a ,
se hace n e c e s a r i o r e c u r r i r a métodos numéri
eos pora c o r r e l a c i o n a r e l CÜO con l a deformación global de la probet a ( W e l l s 1963, Egan 1973) o on gen o r a l con o t r o s parámetros de f r a c t u r a como e l f a c t o r de Interinidad rio t e n s i o n e s
o la t a s e de l i b e r e -
ción de e n e r g í a ( W i l l i a m s y Bwodlo* 1967, Swedlow 1967); l o s r e s u l t a dos Que se o b t i e n e n son poco esperunzodores ya que se observa que e s t a c o r r e l a c i ó n depende mucho de l a geometría do la pieza y de la f o r ma de l a curva t e n s i ó n - d e f o r m a c i ó n
La medida del
del m a t e r i a l .
CÜO s e r í a muy complicada s i no se hubiese ob
aerwado que en e l caso de f l u e n c i a g e n e r a l i z a d a ,
se
forma una r ó t u l a
p l á s t i c a y l a s dos m i t a d e s de la probeta girar, a l r e d e d o r de un punto
fijo
A
t a l como se ha r e p r e s e n t a d o en la figura 1.34 (Knott 1973).
La medida de
V g t d e s p l a z a m i e n t o r e l a t i v o de l a s dos c a r a s de la fiau
r a e n su punto de i n t e r s e c c i ó n con la s u p e r f i c i e e x t e r i o r del mate
-
r i a l , e s s e n c i l l a y s i r v e pera e s t i m a r el C 0 0 mediante la fórmula:
coo «
Vfl
(1.69)
nía + 2L
j_ 4. -X.
* -
a
Rgr 1. 34
donde
n
es un número adimonsional ,.1Uü vario con la geometría de 1.
probeta.
El uso del C Ü D coma parámetro de fractura presenta sin
bargo diverso» inconvenientes.
Por
un
lado
es muy
dlfl(jll
em-
deterrnlnor_
lo con prnciaion ya que el método descrito anteriormente es sólo npro
ximado. Por otro lodo no es posible reloci.onarlo con ningún otro para
metro de fractura y en pnrticulnr no es viable uno interpretación - energética debido a la complicación del campo de tensiones y deformaciones. Finalmente el C 0 D es un parámetro que permite cénparar dos «atados de c«rga noval y por lo tanto es inadecuado para estudiar
la
propagación de una fisura. Este parámetro es totalmente empírico y pa
rece que se puede relacionar con la ductilidad del material en el fon
do de lo fisura (Eftis y Liebnwitz 1975); BU interés estriba en que es una buena medida de comparación entre dos materiales como lo po
-
dria ser, por ejemplo, el ensayo del péndulo de Cherpy, pero no se
-
puede usar pora predecir, a partir de IQB resultados de un ensayo, la
barga de rotura de un elemento estructural fisurado.
Otra magnitud que se puede medir durante el ensayo de una probeta y que por lo tanto puede servir de parámetro de fractura es la deformación de una determinada distancia del borde de la fisura. Este criterio es particularmente útil en materiales que na endurecen
por. deformación en los cuales la tensión es constante a lo largo de la zona plástica y para descrit-.ir el crecimiento lento de una fisura
(McClintock 195B). Consiste en suponer que se produce la fractura - cuando en toda una zona próxima al borde de la fisura y de tamaño - equivalente al de un grano se ha alcanzado
formación plástica acumulada. Este criterio
un vaior crítico de- la de
es parecido al de lá den
sidad de energía' de deformación critica y adolece del mismo defecto;
desde el punto de vista teórico e incluso para materiales elastoplásticos le deformación no tiene límite en la zona próxima a la fisura;
en estas condiciones todos los cálculos aproximados que se realicen -
79
estarán sujetos a grandes errores y por lo tanta
Beran
naco fiables.
Otra forma de utilizar este criterio en caaos de fluencia en zana reducida consiste en medir le deformación en v,.rlos puntos cercanas a la fisura e intentar «Justar una ley de variación del tipo
r
2
pare
determinar el factor de intensidad ú*. tensiones (Ke y Liu 1973), De esta formo, la deformación a una distancia determinada puede servir de criterio de fracturo ya oue está relacionada con el factor de in tensidad de tensiones. Las pocos ensayos realizados hasta ahora han dado resultados esperanzadorea pero el principal inconeeniente de esta teoría consiste en la dificultad que entraña el medir deformado nes muy grandes en zonas de material muy pequeñas.
Otro criterio uua se ha aplicado con cierta frecuencia a los problemas de tensión plana y a aquellos casos en que se produce cierto crecimiento de IB fisura antes de la rotura, consiste en utiljL
zar la teoría elfiatica y comprobar exoerimentalmonte aue la resistencia al avance de la fisura, es decir el valor crítico dB la tasa de liberación de energía no depende sólo del material sino tanbién de la
longitud de la fisura (Krafft» Sullivan y Boyle 1961). A ssta resis tencia se la designa medi .nte la letra
R
y au expresión, deducida -
de la ecuación (1.60) será:
K
BHa
3 a1
B. 5a
T
B S) a'
Este parámetro ofrece pocas garantías teóricas ya que la energía de deformación elástica no es independiente de la9 defórmelo
nes plésticas que se producen en el «teri-1 V P°r lo tanto no tiene
„i r o tratara de un material a lassentido calcular este término como si se tratar
tico (Eftis y Liebowitz 1975).
80
Todos los criterios que hornos ido anulando han sido aplicados a problemas de tensión a deformación p l o n Q . Cuando se desea - aplicarlo, a p r o b a s tridimensionales generaos se observa
si ninguno goza de esa nennnUidud. Sólo aquellos que
9e
nue ca-
basen en ba-
lance energético tienen alguna posibilidad ya que un ve. de derivar respecto a la longitud de la fisura se puede derivar respecto a
área. En cuanto a las integrales de superficie, J1§ L i y M
en el apartado 1.1.3, sólo
Ji
y
Lt
su
-
analizadas
tienen cierta aplicación ya -
Que son validas pora materiales elásticos no lineales. En cambio
M -
no es aplicable en absoluto puesto que sólo es valida para materiales
elásticos lineales.
En general los oroblemas tridimensionales han sido muy paco
estudiados y a esto se debe el Que no se hayan desarrollado criterios
de fractura aplicables a estos problemas.
Seguidamente vamos a estudiar las particulfiridades que presentan los métodos numéricos cuando JG aplican al campo de 1& fractura.
1.3 - Estudio de la fractura por métodos numéricos
A la vista de lo expuesto anteriormente se comprende que só
la sea posible abordar matemáticamente algunos problen"^ te fractura
muy sencillos y que en qennral tienen una aplicación práctica muy limitada. Por lo tanto se hace necesario recurrir a métodos numéricos para calcular los parámetros de fractura que hemos venido definiendo.
El método de mayor éxito es el de elementos finitos debido
fundamentalmente a su flexibilidad para tratar proolemas con geome trias y condicione, de contorno diversas. Por ser sobradamente conoci
do no insistiremos sobre sus fundamentos que se pueden consultar en los tratados clasicos .obre esta materia
(Zi.nki«ta
1971, Brebbia
81
y Connor 1973, Hobinson 1973).
Sin embargo al aplicar este método a problemas de fractura
se presentan ciertas dificultades debido a éste no
BS
un problema con
venclonal en que las tendones va r í R n suavemente a la largo de la pie
za. Analizaremos eatus dificultades en materiales elásticos primero y
posteriormente en materiales elastoplásticos.
1.3.1 - Materiales elásticos
Lo solución mas sencilla en este caso consiste en calcular
las tensiones como si se tratara de un problema convencional, es de cir, sin tennr en cuenta la existencia de la singularidad, y aplicar
posteriormente las fórmulas (l.l) para determinar el factor de intensidad de tensiones.
A la hora de elegir el punto para el cual se particularizan
las fórmulas (l.l) se presenta un doble problema. Si se toma este pun
to muy cercano al borde de la fisura se obtienen resultados erróneos
ya que los elementos convencionales son incapaces de representar adecuadamente la singularidad; si se toma el punto muy alejado del borde
de fisura se corre el riesgo de caer fuera del campo de validez de las fórmulas (l.l)f Que no sdn mas que el primer término de un desa rrollo en serie. El procedimiento UVP se adopta para evitar estos inconvenientes consiste en calcular el factor de intensidad de tensio ,nes a distintas distancias del borde de la fisura y representar su ya
riación Bn función dé esta distancia, r (Wilson 1973). Se suelen obte
ner diagramas rectos como el de la figura 1.35 salvo para valores pequeños de
el eje
r; el valor de K
se obtiene extrapolando la recta hasta
r - 0. El calculo del factor de intensidad de tensiones no sb
lo' se realiza a partir de las tensiones sino que puede ser más conve
niente realizarlo a partir de los desplazamientos en la superficie de
la fisura para lo cual habrá que aplicar las fórmulas (1.2) haciendo
I/)
K
a»
c
o
'¡7¡
c
- - * '
¿i
<b
X)
T)
O
X)
— - - *
— - " *
' x
ü>
C
a»
a>
•o
u
2
£
Distancia al borde de la fisura
Fig. 1. 35
w
Fig.1.36
83
9 - i,
(Chan, Tuba
y
wilson 1970). Este método presenta el ir
niente de depender en gran medid* del tamaño de los elementos nuc
je rodeán u lo fisura lu cual e r y d e f i U p ü n R r ya q u 8 f¡n ^ / o n a g r , r „ x l m 0 s
al borde de la fisura los gradientes do tensiones son muy fuertes y son neces.ríUG muchos elnmonton paro representar adecuadamente estas
variaciones. Este efecto se aprecia en la figura i. 36 donde se han re
presentado, Junto a la solución exacta, las soluciones correspondientes a distintas mallas do elementos; también se puede ver en esta figura que la importancia de la zona no recta del diagrama disminuye
-
conforme disminuye el tamaño de los elnrnnntos. Otro inconveniente de
este método consiste en "u<? las diagramas
«, r
no siempre presentan
una zonn c larrimente recta (Sumpter 1973).
Oe aquí se deduce In conveniencia de evitar las singularida
des en el edículo por elementos finitos. F'ara • conseguir, este objetivo
se han empleado diversos procedimientos. Uno de ellos consiste en dar
un determinado radio al fondo de lo finura lo cual puede estar mes de
acuerdo con la realidad- pero se aleja del modelo de la fisura plana de espesor infinitesimal (Marinshaw y Lindsey 1975) lo cual es aplicta
ble únicamente a materiales de bajo módulo de elasticidad. Otro proce
dimiento consiste en considerar los dos casos representados en la figura 1.37; aplicando el teorema de reciprocidad sé llega (Paris y Me
Meeking 1973) a determinar el factor de inmensidad de tensiones en el
caso
1
a partir del campo de corrimientos de la superficie de la pie
za en el caso
2
para lo cual es preciso'realizar un cálculo por ele
mentos finitos del caso
?
que también presenta una singularidad
en
el punto de aplicación de ln carga; para evitar esta singularidad se
eliminen los elementos curtíanos á este punto de aplicación y se aplica
la solicitación obligando a que Ion corrimientos de los nudos que
rodean a este punto sean los obtenidos de la solución del problema de
una fisura y cerca del borde,.que es conocida, finalmente, otra forma
de evitar la singularidad consiste en descomponer la solución de co -
84
Caso 1
Caso 2
Fig.1.37
rrimientos y tensiones en sumu de una- solución analítica que cumple las condiciones de equilibrio y computibilidud en toda -lu pieza y las
condiciones de contorno on \a íona c.r>rcur\h n\ borde dB la fisura y otra solución residual (Yamamoto y Tokuda, 1973; Yamamoto, Tokuda y Sumi 1973). La llamada solución -an.j lí tica es conocida (fórmula l.l) salvo un factor de proporcionalidad que RS el factor de intensidad de
tensiones. La. solución residual varinrí con el valor de este factor ya
que se obtiene a partir de unas condiciones de contorno que son la d_i
ferencia entre Lis reales, y lus de la.solución analítica. Resolviendo
por elementas finitos el.nrnblema propuesto y el de la solución residual correspondientes a un valor del factor de intensidad de tensio nes igual á uno y obligando a que? la solución residual se anule cerca
.del borde de lo fisura rse liega n determinar este factor (Yamamoto y
Tokuda 1973). Este método no eliminu totalmente la singularidad ya
-
que de cualquier forma hay uue resolver por elementos finitos el problema de la "pieza fisuruda piíro supone una mejora sobre el métoda con
vencianal.
85
Los intentos
par
eliminar lo singularidad no han resultado -
tan fructíferos como cabía esperar y por esto hay que recurrir a des cribir con mayor fidelidad el cn.po do corrimientos principalmente
en
la zona cercana a la fisura; e,ato obligo a utilizar funciones de forma
mds complejas (Morley 1969, Morley 1970). bin embargo los resultados que se obtienen sustituyendo las funciones lineólos por funciones poli
nómicas de grado elevado
son bastante pobres en comparación con el es
fuer/o suplementario que ounonen (Tong y Hiun 1973). Por esta razón se
hace necesario pensar en oi:ro tipo de funciones de forma que describan
con mayor exactitud el campo de corrimientos que se origina alrededor
de la fisura; estas funciones son las determinadas por las ecuaciones
(1.2). En efecto se pueden sustituir las pequeños elementos convencionales que rodean al bordr..' de la fisura por un elemento semicircular como el de la figura 1.38 en el cual los corrimientos variarán según las
ecuaciones (1.2); las vuriables modales serán entonces el factor de in
tensidad de tensiones y el desplazamiento de cuerpo rígido del elemento (Hilton y Sin 1973). La inclusión de este elemento en un programa convencional presenta ciertos problemas ya que 1is desplazamientos
de
los nudos adyacentes (nudos 1 a N], en la figura 1.38) vienen obligados
por las ecuaciones de forma del elemento interior. Por lo tanto los elementos adyacentes a este elemento no se pueden tratar según el procedimiento tradicional.' La adopción de este elemento especial implica
también una falta de continuidad en desplazamientos en su contorna ya
que estos 'tienen una variación lineal entre cada dos nudos en los elementos convencionales mientras que en el elemento semicircular su va riación es la determinada por las ecuaciones (1.2). Esta falta de continuidad hace que surjan dudéis sobre la convergencia del método . Una
forma de facilitar el acoplamiento de estos elementos especiales en un
programa general consiste en usar un elemento mixto compuesto por un elemento interior cuyas funciones de forma salgan de las ecuaciones
-
(1.2) y una serie de elemnntos periféricos convencionales tal como
se
2(N,) Ni
NI-H
Fig.1.38
-JU
VARIABLES
NOOALES
ELEMENTAS CONVENCIONALES/
/
ELEMENTO INTERIOR
•'\i
•-o—»•
BORDE DE LA F)SURA
F¡g. 1.39
87
puede ver en U, f i g u r a i. 39
( W a l s h 19?1) _ U p a
de rigidez del elemento,
puedan eliminar las variables nodales co-
sc
^
calculQda
la
matrl2
rrespondientes a los nudos interiores y en lo sucesivo se trata al elemento como un elemento convencional. El tamaño de estos elementos
especíalas v i e n H dado por al campo de validez de las funciones de for
me que se usen; si se usan ecuaciones (l.?) los elementos serán peque
fSos y por lo tanto no se habrd eliminado el inconveniente de tener
-
que usar una malla de elementos muy pequeños cerca del borde de lo fi
aura. Pare poder usar elementar, especiales de mayor tamaño es necesario recurrir a funciones de forma uue describan con mayor exactitud el campo de corrimientos alrededor del borde de la fisura. La forma de conseguirlo es usur máu tfirminos del desarrollo en serie iniciado
en las formulas (1.5?) (Wilson 1973); tomando un elemento semicircular
como el de la figura 1,38 la<=, variables nodales serán ahora los despla
zaroientos de cuerpo rígido y tantos factores de intensidad de tensiones como términos del desarrollo se tomen. De esta forma se puede hacer el elemento especial todo lo grande que se quiera y deja de ser necesario crear una malla muy fina alrededor del borde de la fisura.
Se ha aplicado este método usando cuutr'o términos del desarrollo en serie obteniéndose unos resultados excelentes (Wilson 1973, Papaio'annou, Hilton y Lucas 1974). De todas maneras, on este caso sigue per sistiendo la incompatibilidad de corrimientos en el contorno del elemento especial. Este problema se puede resolver satisfactoriamente
-
descomponiendo el elemento semicircular en varios elementos triangula
res uno de cuyos v/értices coincida "con el borde ,de la fisura y cuyas
funciones de forma mantengan la misma dependencia respecto de
ro sean lineales respecto de
6
r pe-
(Tracey 1971, Wilson 1973).
' Una forma de no tener que recurrir a mallas muy finas con Siste en. calcular el factor de intensidad de tensiones por métodos energéticos. La forma mes sencilla se basa en determinar la tasa de liberación de energía, G, mediante el calculo de lo variación de la -
88
flexibilidad de lo probeta con la profundidad do la fisura pera aplicar
la ecuación (1.24) (Mowbrey 197ü, Hayes 1971, SundstrBm
1974). Sin em
bargo, como hay que repetir el cálculo para distintas profundidades de
fisura puede srar más conveniente calcular paria cada caso el valor de la integral curvilínea
,j que se identifica con
G
en materiales - -
elásticos lineales (Hayes 1971); este procedimiento tiene la ventaja de poder elegir el camino de integración y por lo tanto evitar las zonas próximas al borde de la finura donde la precisión con que se deter
minan tensiones y corrimientos puede no ser suficiente. Finalmente, pe
ra calcular la variación de energía al aumentar la profundidad de la fisura, se puede simular este avance mediante un desplazamiento unifor
me,
Al,
de uno parte de Lia malla de elementos (Parks 1974) como se -
puede ver en la figura 1.40. Debido a este cambio la matriz de rigidez
general variará ligeramente y se podrá calcular la variación de ener gla potencial (a desplazamiento constante) mediante la fórmula jParks
1974):
c
U
donde
u
. . í!fi . _ I U }T MI
di
2
VUÍ
Al
,
{u}
V
es el vector de corrimientos de los nudos y
(1.71)
K
es la matriz
de rigidez de la pieza. Este método se puede aplicar fácilmente a problemas tridimensionales u"ra hallar la tasa de liberación de energía en cada punto del borde de una fisura.
1.3.2 - Materiales elastoplásticos
Existen varia-s formas de tratar los problemas concernientes
a los materiales elastoplásticos mediante los métodos de elementos fi
nitos. Unos se basan en principias variocionales y consisten en minim i z a r una determinada función ( H i U 1959) variando las velocidades de
los nudos de la malla (washizu 1968, Pian, y Tong 1969). Otros métodos
Fig. 1.A0
90
que son en esencia equivalente,, se hoSun
un
aplica la ecuación de equi
librio del sólido continuo dando pegúenos incrementos a la9, cargas exteriores y variando a cada paso la matriz de rigidez (Marcal y King
-
1967, Mallet y Marcal. 196a), En los problemas de fractura hay que te ner en cuenta ademas que los deformaciones cerca del borde de la fisura pueden ser muy elevadas y esto obliga a considerar una relación
no
lineel entre éstas y ius corrimientos leí que se traduce en añadir nuevos términos a lo matriz de rigidez y a lo matriz de cargas (Hibbit, Marcal y Rice 1970).
Los estudios de sólidos elastoplasticos fisurados se reducen
en su gran mayoría a un c'lculo del campo de tensiones y deformaciones
y a la determinación subsiguiente de la zona plastificada. Para evitar
los puntos singulares y trabajar por lo tanto con elementos mds gran des se Han.realizado cálculos con fisuras redondeadas o con fisuras convencionales pero dando a los elementos cercanos al borde de la flsu
ra un módulo de elasticidad muy bajo (Nair y Reifsnider 1974). Estos métodos son mds económicos perú presentan el mismo inconveniente que para los materiales elásticos: su validez se reduce a un caso muy par+
ticular ya que no se pueden comparar los resultados correspondientes a problemas distintos (distintos radios en el fondo de la fisura).
Los problemas qué más se han estudiado mediante elementos fi
ni tos son los de deformación plana an materiales que no endurecen por
deformación, esto es debido o que se les puede aplicar la teoría de las lineas de deslizamiento y por lo tanto se puede comprobar la exactitud de los resultados obtenidos por mítodos numéricos. Se han realizado cálculos con elementos triangulares convencionales
(Swedlo*,
Williams y Yang 1965) pero los •••mejores resultados se han obtenido al tener en cuenta la forma de la singularidad en deformaciones que se produce en el borde de una fisura, en efecto, aplicando lo fórmula - -.
(1.57)
al caso de un material que no endurece por deformación (n+ «•)
91
se comprueba que esta singularidad es del tipo l/r mientras que no hay
singularidad en tenciones. Usando unas funcione-, de forma que conduzcan a una distribución de deformaciones de este tipo se llega a reaiU
tados excelentes por su concordancia con Ion correspondientes a la ten
ría de las lineas de deslizamiento (Levy, Marcal, Ustergren y Rice
-
1971).
Aparte del cálculo de tensiones y deformaciones, el dato
mfls interesante que se puede obtener de un análisis por elementos finitos es el valor de la int.egral curvilínea
J
que como se ha visto
anteriormente, representa al menos una medida de la intensidad del
-
campo de tensiones que se desarrolla alrededor del barde de una fisura. El primer paso en cualquier calculo consiste en comprobar la inde
pendencia de esta integral respecto o la elección del camino de integración, cosa que se cumple bastante bien en general (Ricardella y Swedlow 1974, Hayes 197ü); el segundo poso suele consistir en determi
nar una relación entre el valor du
J
y el de otra magnitud física -
que se pueda medir con facilidad como el C0 0 (Ricardella y Swedlow 1974, Hayes y Turner 1974, Sumpter 1973) para poder aplicar estos resultados a algún ensayo determinado. Como en ;..i caso de un material que endurece por deformación sólo se conoce la forma de la distribu ciórí de deformaciones si so adopta la teoría total de la plasticidad
(Hutchinson 1968, Rice y Rosyngren 1968), las funciones de forma
que
se adoptan varían de unos autores a otros habiéndose uando las corres
pondientes a esta distribución de deformaciones (Hilton y Hutchinson
1971) pero también las empleadas en materiales elásticos y las conven
cionales.
Al intentar aplicar estos métodos a problemas tridimensinna
les se presentan muchas dificultades: na se conoce la distribución de.
deformaciones en un caso general; el estudio de un problema con cierta exactitud supone un'gron numero de elementos y por lo tanto un - -
92
gran numero de variables nodales lo cual
es
incompatible con lo capa-
cldud de los computadores actualmente disponible, este numero de variables unido al hecho de cur, se creta de un caLculu iterativo por tratarse de un material. alnstonlástieo hace que los tiempos de calculo sean muy importantes y un general prohibitivos. Todos e3tuy condicionantes hacen reflexionar sol/re la conveniencia di. emplear el método de elnmentos finitos rn estos problemas; en efecto los mfitodos de
diferencias finitas a pesar de su falta de flexibilidad para abordar
distintas geometrías, pueden resultar económicos ya que requieren poca capacidad de memoria y por lo tanto se pueden usar en computadores
pequeños; sin embargo, para conseguir le misma precisión que con el método de elementos finitos es necesario un gran numero de iterado nes
y mucho tiempo de calculo (Ayres 1970).
Al igual que para ios materiales elásticos, el problema que
más interesa a los investigadores actualmente es el de una ituje plena
con una fisura superficial semielíptica. P>. ra esta investigación s£ brc la que existen todnvla pocos datos (Levy, Mercal
y Rice 1971, —
Mercal, Stuart y Bettis 1972, AamOdt y Bergan 1974) está frenada no solo por los problemas que acabamos de describir sino también porque
no se conoce Ladevia un parámetro universal de fractura; en efecto, los cálculos en problemas tridimensionales se reducen a determinar
-
tensiones y deformaciones, aberturas de la fisura y factores de intensidad
de tensiones aún cuando este parámetro pierda su razón de ser
en un material elestoplástico en que la zona plástica adquiere una —
gran extensión.
Finalmente existen una serie de métodos que agruparemos bajo el calificativo de energéticos que se basan en realizar un balance
energético"para hallar un parámetro análogo a la tasa de liberación de energía. Si el balance se realiza comparando los estados de solici
tación de dos fisuras de longitudes parecidas en un proceso de carga
93
noval lo que se esté calculando es el parámetro
G
o, suponiendo que
el material se puede asociar al modelo de material elástico no lineal,
el valor de la integral curvilíneo
j, tatos parámetros se pueden cal
cular por dos procedimientos; el más ráoido consiste en calcular J
a partir de su definición (formula 1.41); el segundo procedimiento as
análogo ai que se emplearía en un estudio experimental ya que ss basa
en determinar la curva fuerza-desplazamiento para distintas profundidadeo de fisura y calcular posteriormente
G
mediante un proceso de
derivación. Si se pretende calcular lo energía realmente gastada en hacer progresar una fisura hay que simular este proceso en el método
de elementos finitos; la forma de hacerlo es sencilla ya que consiste
en liberar al nudo que representa «1 fondo de la fisura de la fuerza
que lo mantiene en el plano de la fisura (Kobayashi, Chiu y Beeuwkes
1973); sin embargo, este tipo de análisis está muy poco eatendido todavía, probablemente por las-, dificultades nue presenta en su aplica ción sobre todo en cuunto a tiempo de cálculo.
En general, los matados numéricos nu han dado todavía todos
loe frutos que cabe esperar de ellos en materiales elastoplásticos
y
esto es debido a que son muy onerosos por tener que trabajar con in crementoF. de carga ya que no existe todavía un criterio de fractura que sea válido para casos de fluencia generalizada y que esté aceptar
do por todo el mundo.
1.4 -Estudio teórico de la fractura en un alambre
Seguidamente vamos a estudiar el problema objeto de esta té
sis. En primer lugar se -leí imitarán todas sus características y se emitirán una serie de h
*sis sobre el comportamiento del material.
En segundo lugar se es*
4 este problema en sus distintas varían -
tes: material elást
Jy
-erial elastoplástico, fisura elíptica su-
94
porfíela! y fisura con simetrl» cilindrica. Finalmente se describiré
el método numérico empleudu.
1.4.1 -Planteamiento e hiobtesis formuladas.
El oroblema que nos hemos propuesto resolver es el de un alambre de acero para pretensadu con una fisura superficial, sometido a un esfuerzo de tracción según su eje, y para el cual
interesa
conocer la tensión crltir.a que produce lu rotura.. Las fisuras dn este tipo pueden aparecer pe/ fatiga, por corrosión bajo tensión, par
un golpe recibido durunte su puesta en obra; por una mella
excesiva
producidu our el anclaje o simplemente cumo defecto de fabricación En cualquier caso las fisuras son de pequeño tamaño, ya que antes de
que adquieran un gran tamaño se produce la rotura, y su forma se ase
meja a leí de la fisura que se puede observar en la foto l'.l. Esta
-
forma es similar a la que se aprecia en lujas planas o ligeramente curvadas, típicas de las vüsijas do .presión de los reactores nucleares. A la vista de la expuriencia existente en este último caso, - adoptaremos también el modelo de la fisura superficial plana y elíptica por obtenerse una gran flexibilidad pam adaptarse a cualquier
forma de fisura superficial. S e puede observar esta fisura ideal
en
la figura 1.41. Oe esta forma la fisura dependerá de dos parámetros
quit sor. los ejes de la elipse; esto representa una dificultad respec
to a los proLtlemas de tensión o deformación plana ya que la soluci&n
que se obtenga deberá t.ner en cuenta la influencia de los dos parámetros que definen la forma de la fisura mientras que en los casos de tensión o deformación plana esta influencia se traduce en un sólo
parámetro, que es la longitud de la fisura.
Éste hecho también influye en ios procedimientos de ensayo
ya que,- como le forma más sencilla de fisurar el material es por fa-
I'' I I i O
y i. , i i i
1 , 1
1 .
TT
Fig.'I.AI
97
tiga,
se
comprende que es muy difícil conseguir dos fisuras iguales.
Si la fisura viene definida por un sólo parámetro, será más sencillo
conseguir una familia de probetas con defectos más o menos equivalen
tes que cuando son nBcesnrios dos parámetros para definir estos de fectos superficiales. Por otro lado, resulta más difícil conseguir este tipo de fisuras por un medio rápido y q ua nu afecte a las pro piedades del material, ya que en ca a o contrario el ensayo no seria representativo en absoluto.
Estas razones nos obligan a pensar en fisuras superficie^ les de forma distinta a la elíptica únicamente o efsotos de facili tar los ensayos. Teniendo en cuenta que la probeta tiene forma cilin
dftica, lo mas lógico es recurrir a una fisura superficial circular concéntrica con el perímetro del alambre tal como se puede ver en la
figura 1.42. De esta forma se eliminan los dos problemas al mismo
-
tiempo: la fisura queda definida mediante un solo parámetro que puede ser su diámetro y además es más fácil de conseguir, fatigando
alambre con o sin entalla anular previa.
un
El considerar esta geome. -
tria de la fisura tiene además la ventaja de partir de un campo
que
ha sido estudiado en parte al contrario de lo que ocurre con la fisu
ra superficial elíptica. Por lo tanto se nos presentan asi las dos grandes partes en que hay que dividir este estudio que serán las correspondientes a los dos tipos de fisura que hemos descrito.
En cuanto al tipo de solicitación que se le va a imponer al alambre está claro que será la que vaya a tener durante la vida de le obra que es aquella para la cual ha sido fabricado: un esfuerzo de tracción dirigido según el eje del alambre y uniformemente repartido a lo largo de lo sección si esta sección está suficientemente alejada de la fisura. Sin embargo, un problema que se presenta
-
con frecuencia en fractura estriba en saber si la solicitación se
-
TT
TT
Rg. 1.42
99
mantiene Constante al propagarse la fisura o Bi por el contraria
se
mantiene constante la deformación nlabal de la probeta y por lo tanto disminuye la cargo al propagarse lo fisura yo qua este fenómeno entraña una relajación del campo de tensiones en el alambre. Por
la
formo en que trabaja el acero en una estructura pretensado parece que lo que se mantiene constante es la deformación y con esta hipóte
sis SS estudia , por ejemplo, el fenómeno de la relajación; sin em bargb,al propagarse una fisura, la deformación incrementen que produ
ce debe repartirse en todo el alambre, rué puede tener una gran longitud; esto hace oue la deformación en zonas suficientemente aleja das de la fisura no varié aprociablemonte por el hecha de que haya o
no haya una fisura en el alambre y esto implica que el esfuerzo de —
tracción se mantenga prdcticnmento constante. En la práctica no ocurre ninguno de estos dos fenómenos ya que el acero está recubierto por lechada de inyección cuando ha sido postesado y por el hormigón
cuando ha sido pretesadn. Por lo tanto siempre existe cierta adheren
cia entre el alambre y el medio que lo rodea de tal forma que la deformación incremental producida por la aparición de una fisura sólo
se reparte en una cierta longitud. Esto hace que las verdaderas condiciones de contorno del problema no sean ni de esfuerzo axil cons tanta ni de deformación global constante pero como el escoger las condiciones de contorno adecuadas exijjiria un conocimiento'de las condiciones de adherencia entre el acero y la lechada o el hormigón,
que por ahora no se posee hay que elegir entre uno de los dos tipos1
de confliciones ideales. Es fácil comprobar que son equivalentes a —
efecto del cálculo de la tasa de liberación de energia siempre que el material sea elástico (lineal o no lineal). En el caso de los materiales elastoplásticosno se puede asegurar está equivalencia; noso
tros seguiremos el criterio de la mayor parte de los autores, aue prefieren considerar constante la deformación global, principalmente
porque simplifica ligeramente el problema y también porque, paro
el
100
análisis de la estabilidad de una fisura, e 5 decir, para conocer
las
condiciones bajo las cuales esta fisura puede empezar a propagarse
-
sin considerar si estn propagación quedará frenado o producirá la rotura de la probeta, sólo se requiere conocer lo c<Jrga Bxterior del alambre pero no su comportamiontu una ve¿ que lo fisura ha empezado a
propagarse y el considerar la existencia de uno u otro tipo de condiciones de contorno sólo puede influir en esta segunda etapa.
Existen observaciones experimentales que apóyanoste hipótesis. En efecto, si se realizan ensayos de corrosión bajo tensión en condiciones de deformación constante (relajación) y de carga constante (fluencia) se observa que en el primer caso aparecen muchas fisu ras pequeñas sobre la superficie del alambre, cosa que no ocurre en el segundo caso y sin embargo sí que acurre en obra, según observacio
nes que se han realizado sobre tubos de hormigón pretensado
utiliza-
do para conducciones de abastecimiento de agua,
Seguidamentsi vamos a analizar las hipótesis que formularemos sobre las propiedades del material. La primera de ellas es la homogeneidad no sólo en cuanto a densidad sino también en cuanto a propiedades mecánicas. En efecto, el acero de pretens^r es uh acero trefilado y debido a su proceso de fabricación las propiedades mecánicas
de las zonas cercanas a la superficie del alambre son distintas a las
de las zonas interiores (Astíz, Elices y Sanchez-Galvez 1976); sin em
bargo, esta diferencia no es muy importante (aproximadamente un 9)¿ en
la carga de rotura) y la complicación que supondría en los cálculos el considerar estas variaciones está desproporcionada respecto al - aumenta de precisión que se conseguirla. Por lo tanto formularemos la
hipótesis de la homogeneidad del material a lo largo de todo su volumen.
101
La segundo hipótesis que vamos a formular es la de la iso tropia del material,
nus
BS
má a discutible. En efecto, debido también
a, BU proceso de fabricación, lo estructura del acero de pretensar esté fuertemente orientada ya que presenta unos granos muy alargados
y
colocados según la dirección del eje del alambre tal como se puede
-
apreciar en la foto 1.2.
A la vista de esto estructura es de suponer
que las propiedades dBl acero en dirección longitudinal y en dirBC
-
cinn transversal sarán distintas. Sin embargo el problema de la fractura en materiales de estructura fuertemente orientada ha sido muy es
tudiado debido a su aplicación a los materiales compuestos. Como es de suponer, el calcular el factor de intensidad de tensiones teniendo
en cuanta la anisotropía de un material es un proceso bastante compli
* cado y por lo tanto resulta deseable saber hasta cuando se puede supo
ner que el material es isótropo. Se demuestra que mientras no exista
une sserficie libre cercana al borde de la fisura los factores de intensidad de tensiones calculados a partir de las dos hipótesis dife rentes son prácticamente igualas (la diferencia es menor de un 1(3)(> siempre que el área de la fisura sea menor del 60^ del área total
de
la sección) (Cook y Rau 1974). De hecho en «1 plano de le fisura la distribución de tensiones
viene determinada únicamente por el factor
de intensidad de tensiones según las fórmulas (l.l)i (1.6) y (1.7); sin embargo la variación de las tensiones fuera de este plano se ve influida en gran medida por la anisotropía del material; como por
otro lado el factor de intensidad de
tensiones critico depende tam -
bien de la orientación de la fisura y en una forme que no se ha estu
v
diado todavía desde el punto de vista teórico, resulta muy difícil de
terminar las condiciones de estabilidad de unafisura cualquiera en un
material anisótropo. Cook y Rau (Cook y Rau 1974) han demostrado la conveniencia de calcular el factor de intensidad de tensiones como si
se tratara de un «aterial isótropo y tomar, como factor critico el obte
101
La segunda hipótesis que vamos a formular es la de la isa tropla del material, nue es mas discutible. En efecto, debido también
• BU proceso de fabricación, la estructura del acero de pretensar esté fuertemente orientada ya que presenta unos granos muy alargados
y
colocados según la dirección del eje del alambre tal como se puede
apreciar en la foto 1.2.
A la vista de esta estructura es de suponer
que los propiedades dBl acero en dirección longitudinal y en direc
-
ción transversal serán distintas. Sin embargo el problema de la fractura en materiales de estructura fuertemente orientada ha sido muy es
tudiado debido a su aplicación a los materiales compuestos. Como es de suponer, el calcular el factor de intensidad de tensiones teniendo
en cuenta la anisotropla de un material es un proceso bastante compli
cado y por lo tanto resulta deseable saber hasta cuando se puede supo
ner que el material es isótropo. Se demuestra que mientras no exista
una sfierficie libre cercnna al borde de la fisura los factores de intensidad de tensiones calculados a partir de las dos hipótesis dife rentes son prácticamente iguales (la diferencia es menor de un lOjt
siempre que el área de la fisura sea menor del 60% del área total
de
la sección) (Cook y Rau 1974). De hecho en el plano de la fisura lo distribución de tensiones
vi. te determinada únicamc¡nte por el factor
de intensidad de tensiones según las fórmulas (l.l), (1.6) y (1.7); sin embargo la variación de las tensiones fuera de este plano se ve influida en gran medida por la anisotropla del material; como por - otro lado el factor de intensidad de
bien de la orientación de la fisura
tensidnes critico depende tam y en una forma que no se ha estu
diado todavía desde el punto de vista teórico, resulta muy difícil de
terminar las condiciones de estabilidad de una fisura cualquieraen un
material anlsótropo. Cook y Rau (Cook y Rau 1974) han demostrado la conveniencia de calcular el factor de intensidad de tensiones como si
se tratara de un material isótropo y tomar como factor critico el obte
102
nido de un ensayo en que la fisura tenga la misma orientación que en
el caso real.
En la práctica se observa que la anisotropia del material hace que las fisuras no se propaguen en un plano perpendicular el eje
sino que siguen un camino quebrado con sagmentos perpendiculares al eje y segmentos paralelos al eje. De esta forma nuestra hipótesis nos
deja del lado de la seguridad ya que tomaremos como fisura la proyección de la fisura real sobre un plano perpendicular al eje del alam bre.
En nuestro caso se utilizaran en el célculo los parámetros
que resulten de un ensayo de tracción que es la forma en que va a tra
bajar el alambre cuando esté puesto en obra: el módulo de elasticidad
será el longitudinal, el,coeficiente dé Poisson será la relación en tre la deformación transversal y la longitudinal cuando se aplica una
carga de tracción al alambre, etc. Esto reducirá las posibles desviaciones respecto a la realidad que se producirán por el hecho de con si.
darar que el material es isótropo. Ademes de estas razones, existe f¿
nalmente otra de tipo práctico que nos lleve a formular la hipótesis
de la isotropia: dado que las dimensiones del alambre en dirección
-
transversal son muy pequeños (7 milímetros como máximo) resultarle
-
muy difícil realizar ensayos de tracción o de compresión en dirección
transversal y, determinar los módulos elásticos correspondientes.
Para estudiar la deformabilidad del material necesitamos -una ecuaciones, y estas serán las de la Mecánica de Medios Continuos ya que toda la Mecánica de Fractura está edificada en la hipótesis de
considerar al sólido como un continuo cuando en realidad es un poH cristal con sus defectosy sus huecos. Esta hipótesis es suficiente pa
ra estudiar la fractura desde un punto de vista macroscópico, es de cir, para calcular tasas de liberación de energía. Para estudiar el -
103
mecanismo de la fractura desde un punto de vista microscópico, es necesario tener en cuenta que éste sa prnduce por formación, crecimiento y coalescencia do huecos lo que hace que pueda ser dúctil una frac
tura que macroscópicamente1 parezca frágil,
Supondremos también que el material "s elastopléstico
con
endurecimiento por deformación; la forma de concretar este endureci miento será mediante la ecuación de ftamberg-Osgaod (flamberg-Qsgood
—
1943) que supone una deformación elástica lineal y una deformación
-
plástica con variación parabólica en función de la tensión, tal como
se puede apreciar en la ecuación (1.54). Esta fórmula permite cierta
flexibilidad para describir las curvas tensión-deformación de los materiales reales.
En algunos casos consideraremos materiales elásticos únicamente ya que en determinadns condiciones el acero de pretensar puede
no exhibir deformaciones plásticas y además hemos visto rué la aprox¿
mación de considerar el material elástico lineal puede ser muy útil para estudiar algunos problemas de fractura en tiue la zona plástica que se desarrolla alrededor del borde de la fisura es pequeña en comparación con las dimensiones de la probeta,
De esta forma aparecen otras dos categorías de problemas: los correspondientes a materiales elásticos y los correspondientes
a
materiales elastoplástlcos. Esta división que es la que hemos estable
cido desde el principio, superpuesta a la de la forma de la fisura
-
(circular coaxial o elíptica) Justificada al principio de este aparta
do nos conduce a considerar los cuatro problemas que serán el objeto
de este estudio:
- fisura circular coaxial en material elástico
- fisura circular coaxial en material elastoplástico
104
- fisura superficial elíptica en material elástico
- fisura superficial elíptica en material elastoplástico
En el estudio del material elástico emplearemos las ecuacio
nes tradicionales de la Elasticidad (Timoshenko y Goodier 1968) corre
gidas para tener en cuenta lo falta de linealidad entre deformaciones
y corrimientos cuando estas deformaciones son muy grandes,y la
falta
de linealidad en el comportamiento del material (Green y Zerna 1968).
En el estudio del material elastoplástico supondremos que el material sigue la teoría incrementa] de la plasticidad que se traduce en la aplicación de las ecuaciones de Prandtl-Reuss (Hill 1950).
En algún caso Justificado emplearemos la teoría total de la pletici. dad (Hill 1950, Budianeky 1959).
La influencia del tiempo en el proceso de rotura puede mani.
festar3e de dos formas: por una influencia sobre los campos de tensio
nes y deformaciones y por una influencia sobre el propio criterio
de
fractura pudiendo presentarse los dos fenómenos simultáneamente. El primer caso equivale a considerur deformaciones diferidas en el material, es decir, fenómenos de fluencia; habría que sustituir el modelo
de material elastoplástico por otro modelo de material viseoelesto
-
plástico. Sin embargo,
las deformaciones de fluencia son pequeñas
a
temperatura ambiente y ademes son prácticamente nulas en el tiempo
-
que dura un ensayo razón por lo cual, no las vamos a considerar. En segundo lugar,'el tiempo puede influir sobre el' fenómeno de la rptura
haciendo variar el factor de intensidad de tensiones critico; se con*pruebe que este fenómeno sólo se 'produce para temperaturas muy altas
que no se pueden presentar más que en-caaos excepcionales (Totelman y
McEvily 1966). En consecuencia, no'se considerara la influencia del tiempo á lo largo de este estudio.
105
Finalmente, la último hipótesis que vagos a formular consis
te en suponer que el estado de deformación cerca deJ borde de la fisu
ra en un material elástico es equivalente
al caso de deformación pía
na. La validez de esta hipótesis ha sirio demostrada para una fisura cualquiera (olh 1971) y aplicada a muchos problemas entre ellos el de
la fisura circular en problemas con simetría cilindrica (Kassir y Sih
1975); pero esta demostración sólo es válida si el material es elésti
co lineal y si el borde de la fisura está "suficientemente" alejado de las superficies exteriores de la probeta ignorándose cuando se pue
de considerar que se cumple esta condición. Nosotros aplicaremos esta
hipótesis al relacionar la t^sa de liberación de energía, G, con el factor de intensidad de tensiones, K, en materiales elásticos mediante
la fórmula (l.25). De todos modos comprobaremos mediante el cálculo numérico si es razonable formular esta hipótesis en nuestro problema.
Seguidamente vamos a estudiar los distintos problemas que nos hemos planteado.
1.4.2 - Fisura circular coaxial en material elástico
Consideraremos en este apartado el caso de la figura 1.42 2
siendo el material elástico. Sea A * n d /4 el área de la sección •4
resistente y
S •» d/D ' la relación entre el diámetro de la se£
-
clon resistente y el diámetro nominal de la probeta. De esta manera la dinensión de la fisura, que tiene un solo grado de libertad, viene
dada por el valor de
Z. . Sean
A Q .- — —
y
Af
- AQ - A
el -
área da la sección nominal de. la probeta y el. área fisurada respectivamente.
Tomaremos como parámetro de fractura básico la tasa de libe
ración de energía, G, que 'en un caso no plano como éste y teniendo en
cuenta que la deformación global de la probeta se mantiene constante;
106
vendré dada por l a
expresión:
G - - l_i ! .
¡>Af
(1-72)
La derivación nu se realiza respecta a una dimensión lineal de la fi
sura sino respecto a su área por tratarse de un caso espacial; ln di
ferencia respecto a la fórmula (1.36) estriba en que en problemas
-
planas la energía elástica, U, que se considera está calculada por unidad de espesor mientras que ahora
U
es la energía elástica total
almacenada en el sólido. Teniendo en cuenta que
dAf » - dA
la ex-
presión anterior es equivalente a:
(1.73)
G
3 A
Si el material es elástico lineal, la relación entre des_ plazamlentos y cargas en la probeta, que es la flexibilidad, C, será
independiente de la carga aplicada y mediante la misma deducción que
nos llevó a la fórmula (1.24) se obtiene:
G
. . I
P2
(1C)
- (1.74)
debiéndose el signo menos a que en este caso, cuando la fisura pro gresa, el área A disminuye. Si se tiene en cuenta que:
I 07
y que:
, ,
ir D
dA = —
2
c d r.
(l#7fij
l a t a s a de l i b e r a c i ó n de energía vendrá dada p o r :
P2
,'áC.
v
2
Ti
D
f,
(1.77)
ar'
*'
Por lo tanto, para determinar G será necesario conocer la variación de la .flexibilidad de la probeta con el diámetro de la sección no fisurada.
Este calculo se puede realizar por métodos numéricos como veremos más tarde. Sin embargo vamos a emplear aqui un método más directo.
En efecto, si se supone que el estado de deformaciones es equivalente a uno de deformación plana y teniendo en cuenta que la de
formación global de la probeta se mantiene constante, la relación entre la tase de liberación de energía, G, y el factor de intensidad de
tensiones, K, seré
(irwin 1957).
K2
(1 - y 2 ) .
Pero por otro lado se conoce de, forma aproximada la varia ción de K con la carga aplicada, y con las características geométricas
de lo probeta tal como vimos en el apartado 1.1.3; de todas las aproximaciones existentes escogeremos la de Oenthem y Koiter por ser la -
108
única que tiene forma analítica (fórmulu 1.49).
Combinando las formulas (1.48) y (1.49) e introduciendo la t. , el factor de intensidad de tensiones vendrá dedo por el
variable
desarrollo:
± y—
yT™D3
siendo
CO
(1.79)
F( ^)
-
a Q y" U l - C )
y l o s coeficientes
a
a
o
l
a2
.
elinflihando
Cl+a1í +a
2
^ + a3r/J +a 4 C * )
(l.BO)
a:
s/""!?
m
0,5
m
0,375
a
3 - - 0,363
a
4 = 0,73)
Sustituyendo
„.
(1.79)
en l a ecuación
ILÜ^ÍU!
FLJIÍ
,
(1.78)
s e obtiene:
(1 . 81)
G entre ( l . 8 l ) . y ( 1 . 7 7 ) y despejando la derivada de l a
f l e x i b i l i d a d respecto a
¿C _
3'S "
F(p
2
¿
16(1'.- v 2 )
ED
-
K ;
F2 ( 5 )
3
(1.82)
1 09
con lo cual
J*
queda perfectamBntR determinada a falta de cono -
cer las características mecánicas
U
y
y) y geométricas
(D y d) de
la probeta.
W
Las relaciones
(1.77) y
(1.79) nos pormiten conocer la
carga de rotura, P c , de una probeta fi surada en función de loa valores críticos de
K
o
de
G, K c
y Gc, y de la geometría de la pro
" XJLPJ_K^_Í.2
(1.83)
beta:
p
c
En la figura 1.43 se ha representado Pc en función de £ .3/2
para distintos valores de la expresión KCD
, que tiene dimensio nes de fuerza. Utilizando esta ecuación se puede comprobar fácilmente
la forma con que esta teoría se ajuste a los resultados experimenta^ les. Otra forma de establoeer esta relución conEiste en calcular la t
flexibilidad, C.
En efecto, la función C{ £ ) sera una primitiva de la fun 3 p
ción •"
que acabamos de determinar. La constante de integración se
hallará a partir de la flexibilidad de la probeta no fisurada, C(l),
que es conocida:
C( C ) - C(l> - ^ 4 ^ -
Teniendo en cuenta que:
f\
F
~~^
<K" '
U.B4)
"O
O)
•
0.7
0.8
o
90
•
90
ir
t
o
CM
*
O
•
111
donde l o s c o e f i c i e n t e s
b.f
b _ ? = aQ
» 0,1250
b
( 2 a i - 1) = U
-l
- °o
"
B
o 2 l a l 2 * 2 a 2 - :>a\) = Ü
- a02
°2 -
a
c a l c u l a d o s a p a r t i r de ( l . B U ) v a l e n :
( 2 a 3 + 2 o i a g - a{¿
o 2 (a,? 2 + 2a/j 4- Z a ^
- 2agJ - -
0,1689
- ?M¿ - 2 a i a ¿ ) = 0 , 1 9 8 8
» a 0 2 ( 2 a i a 4 + 2 a 2 f i 3 - a 2 2 - 2a¿j - 2 a i a 3 ) . -
*4
-
a
o 2 ( ° 3 2 + 2 a 2 a 4 - 2a] a 4 - 2 a 2 a 3 ) = 0 , 0 2 7 6
°5
-
a
o 2 (2a3a4 - a 3 2 _ 2a2a4) - -
b
•
a
o 2 ( a 4 2 - 2a 3 a¿j),«
6
b7
= .- a Q 2 a 4 2
s
0,0976
0,1513
0,1331
_ o,0668
Uno primitivo de esta función será:
i+1
<H
-2
i +1
(í.ae)
Pero par otro lado la flexibilidad de la probeta no Fisurada es muy sencilla de determinar. En efecto, si suponemos quo esta
flexibilidad se mide sobre una longitud de referencia L, que será
la
base de medida del extensfimetrb empleado en los ensayos, la simple aplicación de la ley de Hooke nos conduce a:
C(l)
o
sustituyendo en la ecuación
C(r) =
(1.84) obtenemos finalmente:
16(1- v ¿ )
JtL
*-'
(1.87)
.E„D
2
EirD
7
b .
Z
i—i
i. = -2 i+1
ED
•
i+1
i,+ l
•(1.88)
1 1 2.
o en una f o r m a mes c o n d e n s a d . i :
CU)
16(1
y-h
ED
i:
_
-4T<1-
f/
+1
) + --—-I^_
., i + 1
4 ii ( 1 -
v¿ )
(1.89)
D
— ¿
Puesto que hemos supuesto que el material se comporta de
-
forma elástica lineal, los diagramas fuerza desplazamiento serán rectos hasta la rotura. La flexibilidad que toábamos de calcular es la relación entre desplazamientos y fuerzas y por lo t^nto representa la
inversa de la pendiente de estos diagramas rectos. Dos parámetros que
se pueden medir con facilidad en un ensayo son la carga de rotura, P c
y la elongación de la probeta en rotura, u c , A partir de la ecuación
(l.B9) se puede hallar una relación teórica entre estos dos parame
-
tros. Combinando esta ecuación con la (1.83) se obtienen las ecuaciones paramétricas
(parámetro
para cada valar de Kc)
£ ) de una familia de curvas (una curva
en un diagrama
P - u
como el representado -
en la figura 1.44 donde se observa que la elongación en una probeta fisurada se puede descomponer en dos sumandos: uno debido a la elongea
bilidad de la mismú probeta sin fisuras, u 0 , y el otro debido a la pre
sencia de la fisura, up; las curvas de esta figura representan los
-
distintos lugares geométricos (para distintas valores dé Kc, Ki, K2, K3)
de los"extremos de los diagramas fuerza desplazamiento de las
-
probetas fisuradas. En la figura 1.45 se han representado estas cur vas en un diagrama, P, up para unos valores usuales de I03 paráme.tros
E, \> , D, L y K c .
En esta figura se observa que la desviación del
-
diagrama-fuerza-desplazamiento en 1» probeta fisurada respecto al mismo diagrama para una probeta sin fisurar
es tanto mayor cuanto menor
es la carga de rotura de la probeta fisurada, es decir, cuanto mayor
es el tamaño de la fisura, lo cual era de esperar.
Diagrama fuerza-despla
zamiento en una probeta no f i surada • u & -£)=Kc = K3
^C = ^2
Diagrama fuerza ^desplazamiento en una probeta f i surada.
Fig.1.44
Las ecuaciones purumetricas de estas curvas son:
\/T~D 3
A
2
l
(1.90a)
FU)
4 K c (l
- v ) ^"~í¡
E
D~
FCO
(1.90b)
7 .
i £ -2
b
-
Hi
i+1
i1 + 11.
-c
La función' F( 5)
)+
4nCl-\» > D
asi como otras funciones derivadas de
-
ésta se han tabulado en la tabla 1.1.
A lo largo de este desarrollo hamos podido observar quo tan
Er
ÜJ
I
u
3
II
3
<N
O
O
O
o
o»
ÜL
2
P
o
8
Q^O»
TAGLA
F(Í)
l.i
t2 (.4)
F (i.)
^
f
/^a
0,0000
0,0790
31,6200
999,8244
49,9912
- 2,5002
0,1117
11,1730
124,8359
12,4836
- 1,2508
0,1367
6,0730
36,8908
5,5336
- 0,8350
0,1574
3,9357
1'.5,4901
3,0980
- 0,6279
0,1754
2,8061
7,8741
1,9685
- 0,5043
0,1912
2,1240
4,5114
1,3534
- 0,4227
0,2051
1,6744
2,8035
0,9812
- 0,3650
0,2174
1,3591
1,8470
0,7388
- 0,3224
0,2283
1, 1.272
1,2707
0,3718
- 0,2899
0,2376
0,9504
0,91)32
0,4516
- 0,2644
0,2453
0,0111
0.657M
0,3618
- 0,2442
0,2514
0,6983
0,4876
0,2925
- 0,2279
0,2553
0,6044
Ü,3653
U,2374
- 0,2147
0,2568
0,5240
0,2746
0,1922
- 0,2040
0,2567
0,5136
0,2637
0,1865
- 0,2027
0,2548
0,4529
0,2051
0,1538
- 0,1954
0,248Ü
0,3875
0,1501
0,1201
- 0,1886
0,2341
0,3240
0,1050
0,0893
- 0,1833
O,2088
0,2578'
0,0664
0,0598
- 0,1796
0,1616
0,1791
0,0321
0,0305
- 0,1773
rj.GOüO
0
ü .
U
- 0,1766
11 b
to la carga de rotura como la elongación de rotura dependen no oólo del parámetro que caracteriza el comportamiento del material en pre^ sencia de una fisura-, ya sea K c o G c , sino también do las características geométricas da la probeta y de las constantes elásticas del material. Sin embargo esta variación es conocida y por lo tanto¡sólo se
ré" necesario realizar el cálculo por motados numéricos para un mate rial y un diámetro nominal determinadon. Aunque en principio no ea n£
cesarlo, realizaremos este cálculo para varios valores de r, para comprobar la validez de las ecuaciones que acabamos de deducir,
La influencia de loa distintos parámetros considerados en la carga de rotura de un alambre fisurado se analizará en el capítulo
de Resultados y Conclusiones.
El hecho de que en el caso de la fisura circular coaxial las dimensiones de esta fisura vengan determinados por un solo parámetro permite describir el avance de 'la fisura mediante la variación
de este único parámetro; esto hace pensar en la posibilidad de definir la tasa de liberación de energía, G, mediante una fórmula más general que la (1.72), alifiual que para los casos de tensión o do de formación plana se identifica este parámetro con la integral curviH
nea J.
La transformación geométrica más sencilla que describe el
movimiento de avance de una fisura coaxial es una homotecia centrada
en el origen. Ahora bien, la tasa de liberación de energía correspori
diente a esta transformación es M y ]a hemos definido mediante la ex
presión (1.46}. Vamos a calcular el valor de M en un caso de simetría
cilindrica como el que nos ocupa.
La superficie' de integración utilizada, 5, tendrá también
simetría cilindrica tal como se puede ver en la figura (1.46), donde
sólo se han representado los tres cuartos de está superficie. La sao
!
Fisura
Superficie
integración
Fig.1.46
IL8
cion de esta superficie por el plano x^ X3, será la curvo C. Utilizaremos simultáneamente un sifitema de coordenorius cilindricas (p,6 , z)
más adecuado que el cartesiano paro estudiar problemas con simetría cilindrica.
Al ser M un escalar y debido a le simetría del problema, el
integrando será, independiente del ángulo
Rg. 1.47
6
. Por lo tanto, como la -
119
diferencial de superficie seré:
dS donde
di
P d6 di
(1.91)
es un elemento de la curva C (vense figura 1.47), se puede
integrar en
obteniéndose
0
a partir de la definición (fórmula
(1.46).
P C W x.n. - T. u. f . x. - \
^M - 2n/
T. u.)dl.
(ls92)
La integral es o lo largo de C ya que al ser el integrando
independiente de
9 , se puede calcular para cualquier valor de es9
te ángulo y en particular para
- 0.
Teniendo en cuenta que, debido a las simetrías del problema,
a lo largo de la curva C se anulan las componentes paralelas al eje y de la normal a la superficie, n2i y del vector tensión aplicada sobre esta superficie, T2, la expresión (1.92) se reduciré a:
M-
2TT '
/
pCy Xjnj + w x 3 n 3 -
TJUJ
1
»1
(1.93)
"
T
" \
u
l
T
l,3
X
3 "
l ul - \
T
T
3
u
3,l
3 u 3> d l
x
l
= 2v
~
¿.
T
3
u
3,3
pCw X
" I T i U i } dl
Esto equivale a calcular
X
3 ~
i V ~ T j u j,iX i "
i.J - 1.3
M
como una integral curvilínea -
a lo largo de la sección de la superficie
S
por un plano que pase -
120
por el eje de simetría y considerando, al aplicar la formula (1.93),únicamente las coordenadas cilindricos
Si
a
P
y
z.
es el radio de la zong no fisura'da (2a - d ) , M re -
presenta la variación de la energía potencial respecto a un cambio de
escala; en este caso el cambio de escola consiste en convertir un bor
de de fisura de radio a en otro de radio
a - da. Por lo tanto
M
se
ra:
dE
dE
, dE
M - - -JL- - -2.a2 ~ — 5 ~ - 2.a2 — * da
2irada
dA
(1.94)
•
2TT8
G
de donde la tesa de liberación de energía vendrá dada por la expresión
-/
a C
P(w x.n. - T.
Uj>i
x. - \
T. u.) di
(l. 9 5 )
i , j = 1,3
El problema que presenta esta expresión estriba en que noso
tros
pretendenmos aplicarla a materiales elastoplásticos y para esto
es necesario que sea válida para «ateríales elásticas no lineales.
-
Sin embargo hemos visto en el apartado 1.1.3 que le ecuación (1.46) ••
sólo es valida para deducir el parámetro
M
en materiales elásticos
lineales. Como esta expresión es la base de toda, la deducción ante
-
rior, es de' esperar Lúe la ecuación (l.95) sólo sea válida para materiales elásticos lineales.
A la vista de estas dificultades parece más conveniente
intentar.'adaptar la integral curvilínea
ción (1.44)
a
J
el
definida mediante la ecua
los problemas de simetría ci:indrica ya que esta inte -
.121
gral si que es vfllida para materiales elásticos no lineales.
Sin embargo
^
es la derivada de la energía potencial res
pacto a un movimiento de traslación del borde de la fisura en direc ción paralela al eje
i. Este movimiento no corresponde a nuestro pro
bleme razón por la cual, hay que buscar la forma de transformar el roo
vimiento de expansión o retracción simétricas del borde de la fisura
en suma de muchos movimientos de traslación.
La forma de conseguirlo consiste en analizar un 3ector de cilindro de amplitud angular diferencial, de , tal como el representa
do en la figura 1.48. Las caras laterales de este sector no podrán g¿
rar ni deformarse para que el estado de solicitación de este volumen
sea idéntico al caso en que está incrustado dentro de una pieza con geometría y solicitación simétricas de revolución. Para mayor simplicidad en los razonamientos se ha escogida un sector centrado en el plano coordenado X ] ^ .
Si pretendemos analizar la variación de energía potencial que se produce al avanzar la fisura, podemos bailar esta variación en
cada elemento del volumen, es decir en cada sector de amplitud
de ,
y posteriormente sumar estas variaciones para hallar la variación total.
Dentro del sector considerado, el movimiento de avance de la fisura se puede asimilar a un movimiento de traslación paralelo el
eje xi. Por lo tanto podemos aplicar a este problema la fórmula (1.44)
paro hallar
Jj. Tomaremos'como superficie de integración una auperf¿
cié de revolución que rodee al borde de la fisura como'se puede ver *'
en la figura 1.48. Esta superficie sé descompondrá en la superficie de revolución propiamente dicha, Si, y las doa bases planas que la
cierren, S2
y
-
83. La intersección, de esta superficie con el plano
Rg.1.48
123
xix3
será la curvaC.
;
s(W
"1 " T i
Jj
u
3erá
i,l>^
entonces:
/8
1
(1.96)
+ /
+ /
s2
83
Para el cálculo de estas tres integrales debemos
hacer pre
viamente unas consideraciones debidas a la simetría de revolución del
problema. La normal a la superficie
S^, tiene únicamente dos compo -
nentefe en el sistema de coordenadas cilindricas:
n
y
nz. Por
lo
tanto, en un punto como el indicado en la figura 1.49, cuya coordenada angula- es <* las componentes de la normal serón:
ni
1
-
n
no - np
n
3 "
eos a
P
n
sen a
z
Flg. 1.49
(1.97)
124
Lo mismo ocurrirá en la superficie
Sx
con el vector ten -
sion y con el vector desplazamiento por lo que, definiendo
u
p
. y U2
T
, Tz,
de la misma forma, tendremos:
Ti • T
x
eos
a
P
T2 - T
p
T3 - T2
sen a
Uj - L^
COS
u
se" a
u
2 "
u
p
fll.9Bl
a
(l.99)
3 - uz
Con este planteamiento la integral a lo largo de S\
se trans
formar* en una serie de integrales del tipo
.ja.
/
1
f(p,2) g<a)pdodl - /
de.
2
ya que el elemento de área
dS
g(a)da / f(p,z)p di
seré
pda, di
(1.100)
.donde
di
es -
un elemento de arco de cualquier curva que sea la intersección de
Si
con un plano meridiano como por ejemplo C. Ahora bien, el resultado de esta integral debe ser proporcional a de
nos de orden superior
; en efecto, los térmi -
(d 8 2 , ú e 3 , etc.) no serán significativos a -
la hpra de considerar el alambre completó e integrar en
e •
Esto
—
equivale a no considerar más que el término independiente en el desarrollo de la función
g(a) - a
g (a):
+ a, ex + a 0 a 2 + . . . «
o . 1
2
.
a„
o
(l.lOl)
Esto imnlica que en lo sucesivo haremos l a s s.impliftcacio -.
nes:
125
sen a - a * O
cos
a
s
2
i_2_ ,
(1.102)
x
Teniendo en cuenta además que en un sistema de coordenadas cillndr¿ cas las derivadas respecta a la primera coordenada cartesiana son:
c
—3p
—
X
l
3
• eos a
(1.103)
3ot
a xj -
_ sen a
p
las derivadas de los desplazamientos respecto a esta coordenada serán
3 u. 3 p
3 u. 3a
3u
u. , - — r — -T-— + — r — -r—- - v( T — ^ eos a) Ccos a ) +
1,1
3p 3x.
3a 3 x,
3p
(1.104 a)
3u
,
+. C-u
sen• a )\ (t - —sen
- — cu
) -, — r ro
P
P
3p
3u« 3p
3u_ 3a
3u
u„ , - — z — -z
+ — Í T ~ T-~" " (—*
2,1
3p 3x^
i» í« 2
3p
/
+. Cu
a)(eos a) +
(1.104 b)
/ —sen a^) = 0.
cos a)\ CP
P
3u 3 . 3p
3,'l ' ~3p TTT^
U
sen
+
3u 3 JJ^
"17 Jx^
^z
3p
Con estos datos la integral a lo largo de S x
aplicar la fórmula (1.90)¡
(1.184 c)
resulta al -
126
fifi.
S
U
Váfl. í
2
n C S0(
p °
^
- Tp
COM
" Tz ^
jf
dl d
«"
(1.105)
« de /
Cw n
-
T
0
c
--£• - T —
P 9o
¡ )p
)p
H
di
Para el edículo de las Integrales a lo largo de Sg
y S3,
basta tener en cuenta que en los dos casos ae pueden despreciar los d9
términos en
de orden superior al primero y que el vector ten -
alón es perpendicular a estas superficies y de módulo
las tensiones tangenciales
y a
°pg
Te
ya que
-
son nulas en los proble-
mas con simetría cilindrico.
Por lo tanto, teniendo, en cuenta quet
Bl
„ - .. n ( á|) „ - <f
(1.106 a)
Tl
- - TQ
(i.106 b)
T 2 - Te
senC^f) «. - T Q ¿§
/-d9\ - T
T
cosC—2>
9
3u
«i
3
en
,s
P
i.i "
s
cost- , d 4) » - T f l
T, • - T B
u
„n
en
*P
* •
(1.106 C)
S
.(1.106 d)
(í.ioe.e)
12 7
3u
~~ ^ f (~fi
"2.1
"2,1 - - ' "
3,1
u
~ />
" < % - ^ >
«"
S3
(1,106 f)
S2
(1-106
(l.lQ4)flas
9
e, f ,
(_w i l
s3
2
y
h,
se han d e d u c i d o de l a s f ó r m u l a s
Z 9p
T
e
2
'2
y
B3
resultan:
2 3p
p
**
S2
-
di JÍ£ _
+ T
Ja
JO
s2
g
I n t e g r a l e s a l o l a r g o de
. /
s3
0)
( 1 . 1 0 6 h)
9p
donde l a s f ó r m u l a s
/
en
e.
( 1 < 1 0 7 )
s.,
9 p
3 u
2 9o
5U
U
2v9p
p
JO
e
(1.108)
á|
/(-.
t
T6
J-) as
2
Suma ndo
l a s t r e s i n t e g r a l e s (fórmulas ( 1 . 1 0 5 ) , ( 1 . 1 0 7 ) y
-
1 28
(1.108)
Jj
s e o b t i e n e e l v a l o r de J a p a r a e l s e c t o r de l a f i g u r a
-
de
/
Cw n
C
3u
—-£• - T
~ T
P
P
3p
(l.4ti):
3U
- i o di
z
Dp;/)
X
+
(1.109)
+
'., < -
+
u
*e />
ds
Si consideramos todos los sectores de amplitud angular dd
que forman el solido de revolución considerado, la variación de energía potencial debida al uvance de la fisura en el sólido conjunto aeré la suma de las variaciones producidas en cada sector; sumando estas
contribuciones representadas por la expresión (1,109) y teniendo en cuenta que la expresión, que está entre llaves es independiente de
está variación de energía que llamaremos a partir de ahora
,
J^ resul
taré
3u
3u¡¡
JA - 2TT / Cw n - T
^ - T 7r--)p di +
A
Q
p
P P
z Jp
(1.110)
u
+ 2TT /s', C-w + Tfl
-2-)
dS .
9 p
donde C es una curva que rodea al borde de la fisura en un plano meri
diano y S' es el área encerrada por esta curva tal como su puede ver en la figura
1.47. Este nuevo parámetro es en realidad equiva -
lente a Ji salvo que el movimiento, de progresión de la fisura se ha
descompuesto en infinitos movimientos de traslación. Por lo tanto su
relación con la energía potencial del problema será la misma que paré
129
J
A • "
da-
2T,a
'
r-~2~r!huT
dan)
Por lo tanto, teniendo en cuenta la ecuación (1.72) la tasa
de liberación de energía por unidad de «rea fisurada seré:
G
" - 27.- " " {
3u
;
c
^ %
- T
a<>
z 3p
)p di (1.112)
- i '.• <-" ,+ To ^
ds
Al ser la integral de superficie
fórmula
tegral
J^ , definida mediante le
(1.44), independiente de la superficie de integración, la in
J/y , definida mediante la fórmula
(l.llü), también seré inde
pendiente del camino de integración elegido. Su campo de validez seré
el mismo.que el de la integral
Jk:
se podrá aplicar a materiales
-
elásticos homogéneos no lineales que podrán ser isótropos o no.
Para obtener una forma mds condensa da de J^
se puede apli.
car el teorema de Green al primer término de la integral curvilínea de la fórmula
/
C
w n
p
(1.11o).
pdl -
/ .
S
(P ITJ + w) dS
aP
y sustituyendo en la ecuación (1.110) se obtiene:
(1.113)
130
'óu
Üp
ap
(1.114)
ep
Esta ecuación tiene el inconveniente de usar una derivada de la densidad de energía respecto a una coordenada que es difícil de
determinar en la practica.
Analizando la ecuación (1.112) se observa que la tasa de 1JL
beración de energía ha sufrido ciertas variaciones respecto a la ex presión correspondiente a un problema de tensión o deformación plana
(fórmula 1.41). La integral curvilínea consta de los mismos términos
con la diferencia de que aparece el factor
P/a como parte del inte -
grando. A esta integral curvilínea hay que añadir una integral de superficie cuyo integrando tiene dos términos: la densidad de energía por un lado y el producto de la tensión
pendiente
a
o por la deformación corres,
cQ - u /p .'
En materiales elásticos lineales las relaciones, entre JA , M
y la tasa de liberación de energía, 6, han quedado indicadas en las ecuaciones (1.94) y (1.112) y son fáciles de deducir considerando que
estos parámetros representan las derivadas de la energía potencial
—
respecto distintas medidas del tamaño de la fisura: a, a/a 0 ,A f ,
Otra forma de hallar la relación entre J
y G consiste
en
considerar la distribución de tensiones en una zona muy pequeña aire
dedor del borde de la fisura. Esta distribución es la misma que en un caso de deformación plana (Kassir y Sih 1975) por lo que vendré dada por las fórmulas
( 1 . 1 ). Tomando
como
camino de inte —
13 1
gración un circulo de radio
la figura
(1.50),
R
muy pequeño camo el reprasantedo en -
el primer termino de la integral de superficie de
la ecuación (1.110) so puRde evaluar a partir de la axpreslón de la densidad de energía de las ecuaciones
/ , wdS - K 2 / !
s
-TT
- K'
a,, (0)de / R
11
a u c e ) .do
'I
JCL
Fig.1.50
n
(1.26) y
(1,27):
-~ £
r
(1.115)
32
Si se hace tender R hacia cero esta integral s* anula. En
cuanto al segundo término de la integral de sunerFicie. de IB ecuación (1.110), si
se
supone que el astado de deformación es uno de -
deformación plana, la deformación
será nula por lo cual este tér-
mino también se anulo. La integral curvilínea es equivalente a la ta
sa de liberación de energía salvo el factor p /a; pero cuando el ra
dio del círculo, R, tiende hacia ü este factor tiende hacia 1 por lo cual, podremos establecer que:
t
o
K2 0-^ 2 J
(1.116):
qua es una expresión equivalente a la (1.112).
Oe esta forma ha quedado demostrado que en todo problema
de simetría cilindrica en geometría, solicitaciones y sustentación,
la tasa de liberación de energía puede expresarse mediante una int£
gral curvilínea (fórmula 1.95) válida únicamente para materiales -elásticos lineales o mediante la suma de una integral curvilínea
y
ana integral de superficie (fórmula 1.112) válida para materiales »
elásticos en general.
Las expresiones (1.95) y (1.112) son equivalentes para mate
ríales elásticos lineales ya que representan las dos la tasa de liba
ración de energía. Para comprobar este hecho basta aplicar la fórmula (1.95) a un camino circular de radio H que tienda a cero llegando
a un resultado idéntico al de la expresión (1.116). Como las dos expresiones de G son independientes del camino de integración elegido,
se deduce que estas expresiones son equivalentes.
A*lo largo de este apartado nos hemos esforeado en calcular
133
la tasa de liberación de emergía , partir de la definición (formulo
-
ti.72) habiendo conseguido tres expresiones (fórmulas (l.Bl), (1.95) y
(1.112) la primera de las cuales sólo es valida para un alambre míen tras que las otras dos son válidas para un sólido de revolución de for
ma cualquiera. La expresión (1.72) es importante pues resuelve total mente el problema del alambre elástico lineal con uncí fisura coaxial y permite, n través de las expresiones (1.83), (1.89) y (l.9ü) inter pretar de la forma mfis sencilla posible los resultados de las ensayos.
Las fórmulas (1.95) y (1.112) tienen IB ventaja de ser aplicables a
-
cualquier
tipo de sólido que presente simetría cilindrica; estas ex -
presiones
van a ser de gran utilidad en los cálculos por métodos numé
ricos ya que permitirán determinar la tasa de liberación de enerpla
y
el factor de intensidad de tensiones con un esfuerzo relativamente reducido. Esto permitiré comprobar por un comino nuevo la validez de la
función
F(r'} utilizada al principio del apartado (fórmula 1.B0). Ade
«ds el hecho de que la integral
JA (expresión 1.114) sea independien-
te del camino de integración que se tome aún en materiales elásticos no lineales nos permitirá deducir consecuencias importantes respecto a
la distribución de tensiones en sólidas elastoplasticos fisurados. Estas consecuencias se analizaran en el próximo apartado.
Seguidamente, vamos a pasar a estudiar el caso de la misma fisura pero en materiales elastoplésticos con endurecimiento por defor
mación.
1.4.3 - Fisura circular coaxial en material elastoplastico
La aparición de la plasticidad a escala macroscópica en una
probata fisurada se aprecia por el hecho'de que los diagramas fuerza*
desplazamiento de>n de ser lineales siempre que el material no exhiba
un comportamiento elástico no lineal.
.1. 3 4
El problema con*!-tentó en relacionar estos diagramas con los diagramas tensión deformación del material es muy complicado y ne
ha intentada darle un tratamiento senci lo a base de suponer oue la plastificüción solo SH produce en uno /0n,„>. muy reducido, (Bucci, Pa -.
ris, Landes y Rice 1972). Este procedimiento consiste en determinar para cada carga el factor de intensidad de tensiones mediante la teoría elástica y a partir de la fórmula (1.50) el tamaño efectivo de la
fisura; con este dato se ouede calcular la elongnbilidad de la probeta y el desplazamiento correspondiente a la carga considerada. De esta forma se obtiene una relación na lineal entre fuerzas y desplaza mientas. Sin embargo, este método no ers aplicable a nuestro caso yo Que está pensado para materiales que na endurecen por deformación (en
efecto, se basa en suponer uue la tensión normal constante e igual
a
la tensión de cedencia del material) mientras que los aceros de pre tensar sí oue endurecen por deformación. Además, si se hace un cálculo aproximado del tamaño de la zona plástica, rYi mediante la fórmula
(1.50) y a partir de unos datos usuales (K = 200 kg/mm
,
y »
120
kg/m»^) se obtienen valores del orden del milímetro que es del mismo
orden de magnitud a incluso superior al de la profundidad de la fisura "lo cual es incompatible con le condición
rY/a < 1/50
necesaria
para poder aplicar con garantías la teoría de la plastificación en —
une zona reducida ("smell scale yíelding").
A la vista de las dificultades que presenta el estudio teórico del problema se puede pensar en utilizar un método mixto (teórico-y experimental) consistente en analizar las curvas'fuerza desplaza
miento a la luz. del parámetro
G
definido por Eftisy Liebowitz (Ef-
•tis y Liebowitz 1971). Como vimos al explicar este método, el comportamiento elastoplástico, del material "se traduce en un diqgrama fuerza
desplazamiento no lineal;, calculando a partir de,este diagrama la enor
135
gla de deformación (elástica y plástica) y viendo como varia con la profundidad de la fisura, obtenemos un parámetro semejante a la tasa
de liberación de energía.
Este método equivale en cierto modo a convertir el problema
elastoplástico en un nroblemu elástico no lineal yo que equivale a su
poner que el camino de tensiones es el mismo en un proceso de cargn que en un proceso de descarga; sin embargo esta hipótesis es muy co rriente en los estudios de fractura debido u las dificultades que pre
senta el análisis exacto del nróbleme. .
Aproximando las curvas fuerzo-desplazamiento mediante leyes
del tipo de las (i.38) y (l.64) que, al utilizar la notación del apar
tado antrior, quedan en la forma:
u - c P + k(cP)n
al parámetro
Q
(1.117)
vendrá dado por la fórmula (1.65)
G - U + *?? CcP)""1) T t i
(1.118 a)
y teniendo en cuenta que en este caso la carga y la elongabilidad ya
no están referidas a la unidad de espesor y que la derivación se realiza respecto al área de la fisura:
5 -
O • ¿te C-.P)- 1 ) rT ^
o teniendo en cuenta las fórmulas
; . -o
+ ásf
.
(1.74) y (1.77)
COP)"- 1 )-jti- O
TTD
f,
U-na b)
(l 119)
'
1 36
Pero por otro lado la derivada de ln Flexibilidad, C, respec
to a la variable
f,
expresión de Benthem
3ÍdlJ
determinada anteriormente a partir de la
y K oit, ir
(l.flg), sustituyendo esta derivada por -
hñ
el valor deducido en (l.Ü?) se obtiene:
16U-V2) r 3 Ü ¿
, D3 E
4
p
p
2
u
( 1
+
2kn , p . n - K
ñTT <cP>
i
(1.120)
En esta expresión se observa que la relación entre
tasa de liberación de energía
G
G
y
la
es independiente de la geometría de
la probeta ya que sólo depende de La carga a n ü c a d a y de los parame
tros de la curva fuerza-desplazamiento, C, k y n. Si descomponemos
desplazamiento en suma de dus términos, uno lineal
lineal
up
ue
el
y el otro no -
, correspondientes al primero y al segundo términos respec
tivamente de la fórmula (1.117) tal como se puede ver en la figura - (l.Sl), es fflcil comprobar que la relación entre
G
y
G
se puede po
ner en la forma:
11+-TT ^
6
,
U.121)
e
Para valores normales de n (comprondidos entre 10 y 20 como
veremos más adelante) la función
2n/(n+l),. que se ha representado
la figura (l.52), es prácticamente independiente de
relación
y
G/G
n
en
por lo que la
seré tanto mayor cuanto mayor sea la relación entré
up
u e „ Esto indica que el efecto de la plasticidad seré tanto más des
favorable cuanto mayor sea el término no lineal del desplazamiento..
Sin embargo, pare deducir este resultado nos hemos basado en
la ecuación (1.65) y por lo tanto hemos asumido las mismas hipótesis -
Desplazamiento
Fig.1.51
u
I Mi
que sus autores. De entre estas 1M mas discutible es la supooición do
que los parámetros
k
y
ri de la ecuación (1.117) son independien -
tes del tamaño de lu f i surtí. Hay razonas para suponer eme estp es - cierto cuando la fracturo es semi-frópi 1, es decir, cuando la no U
-
nealidod del diagrama fuerz-'-i-despla/amiento es debidu al avance con ti
nuadó de la fisura manteniéndose ctsi torio el volumen del material en
régimen elástico. Cuandc como en este ceso, esta no linealidad es debido a la plantificación del material, no hoy ninguna ruzón para pensar que
k
y
n
setm función únicamente del material. Por lo tanto,
vernos a suponer que tanto
k
como
da y por lo tanto de la vari tibie
n
K •
Para calcular ti) parámetro
(fórmula
son funciones del orea fisura-
G
aplicaremos su definición
-
1.63).
(1 12Za)
I . 1 5- ( „ - u -u ) - i4-tw-».-u„>
B 9a
v
e
p
DA f
e
-
p
en la que el trabajo de las fuerzas exteriores será nulo durante el proceso de extensic-n de la fisura ya nue consideramos el caso en
que
la deformación global de le» probeta se'mantiene constante. Esta hipótesis es consecuente con la forma de realizar los ensayos ya que la velocidad dé ensaye es lo sificientemente lenta con*, paro que se pueda suponer oue las mordazas están fijas durante la propagación de
fisura.
G
la
seré' entonces:
3__U
m
C - " 3A f '
1<^_±J¿L
. 3 Af
"(1.1?2 b)
I 5<¿
La energía de d e f o r m a c i ó n
de la ecuación
(1.117).
U
r\e c a l c u l o f á c i l m e n t e H p n r t i r
F.n efecto:
U = / U P du
(1.123)
poro como no conocemos unn e x p r e s i ó n de
u
P
como f u n c i ó n e x p l í c i t a
sino a l c o n t r a r i o , i n t e g r a r e m o s por' p a r t i r / ,
U - P u -
y sustituyendo
u
lu expresión
de
(1.123):
/ " u d P
o
(1.124)
'
v
por eu valor tomando de (1.117) e integrando obtene
mos:
2
,
?
c P'
-n
k
,
u-CP *kp(cPr-— --^rm
„ ,n+l
{cP}
(1.1.25)
2
cP
2
. ,
n
n + 1
n
ttñ+l
Seguidamente d e r i v a r e m o s e s t a e n e r g í a
r a d a t e n i e n d o en cuente que P, k,
9 U
9A f
_,_ ,
-
n2
n+1
C
3_P
3.Á f ,
n-1
¿
2
n
n+l
3, c
3Af
, _n_
n+1
3 c . ,
3A,
+ k - i — 7
(n+I)2
cn
Pn+1
'
+ k -n J+ 1- . •c n
lnP P n + 1
Irj*
dA
f
n
n+ 1
C
n
n + 1
|^'
fisu-
n y C son f u n c i o n e s de e s t e á r e a :
+ k "J-r
3Af
resnecto a l área
Dn
3__k
3A f
3 P .
3A,
inc
cn
.
P
n M
•
| /
f
3 A
+
(1.126)
1 40
y agrupando los términos currespondii.nf.es n ctidn derivado
f j s . - <CP •
+ (_Q_
+
Si+1
cn
C
p
P
„ C-P"^.
k
n H , H
'3A,
Je
n+1
+
cf2-
+
C
t
; -
«-*
h
n n + 1, 1
C
'
ñTÍ
P-',^
,
+
La expresión de la derivada de
n
P
ln(c,
, llU3n
'>>ÓÁ7
respecta al área
fisura-
da le hallaremos derivando lñ ecuación (1.117) y teniendo en cuenta que,
puesto nue
u
se mantiene cunstuntr•, su derivado PS nula. Por -
lo t a n t o :
3
u
3
C
p
TÁ¡ - TÁ~;
+ kn c
j . o3 c .
+ p
P
,,
n
,n 3 k ^ .
?Af
+ UP)
yr-
+ kCcP)
Tí;
+ kn p
_n-l n 3 P ^
c
Jr
t
•
(ia?B)
ln(cP)y-~- = 0
de donde se puede despejar la durivuda de P
respecto al área fisura
da que resulta
3 P, _ _ P + kn c " " 1 P n 9_.c
3Ar
, ,
n r.n-1 3A,
f
c + k n c P
f
__
CcP)"
i_k
• , ,
n D n r l 3Ac + k n c P
f
(1.129)
k C c P ) "n ln(cP) 9 n
, .
nD n - l 9 A ,
c. + kn c P
. f
Sustituyendo esta expresión en la ecuación
ne:
(1.127) se abtie
U!
U
- -CP 2 + kn c n _ 1
Pn+1)
f
l-£
_
"JAf
C
"
pn
'
+ l i? k
3Af
"
Agrupando l o s t é r m i n o s c o r r e s p o n d i e n t e s a cada derivada y u t i l i z a n d o l a ecuación (1.1,72 b) obtenemos f i n a l m e n t e :
S -
(¿
+
2
k
_L
n+1
c n-l
pnfl
aj
cV^i
' 3Af
n+1
3_Jc
+
3Af
(11129)
+
k
C
n
p
n + 1
HÍT—
1
'4
«•<"> - ÍÍT> hr¡
En esta ecuación se puede observar que el primer termino es
el mismo de la ecuación (l.llB); los dos otros términos son debidos a
la variación de los parámetros
k
y
n.
La ecuación (1.129) se ha -
expresado en función de las derivadas respecto al área fisurada;
si
se prefieren utilizar las deriv das respecto al área no fisurada o
respecto a la variable
K
~
no hay mas que aplicar la ecuación (1.76)
La importancia de los dos términos correctores se analizará en el ter
cer capitulo a partir de datos experimentales pudiendo adelantarse
-
que no es en absoluto despreciable principalmente la del último térmi
no.
La ecuación (1.129) es perfectamente valida para materia
les elásticos no lineales ya que en ese caso se puede suponer que
el
material sigue el mismo camino en un proceso de carga que en un proce
so de descarga. En-materiales etastoplásticos, en los cuales los procesos '-de descarga se efectúan en régimen elástico, ya cometemos algún
error al calcular la energía liberada durante el avance de la fisura
W4 2
como la derivado de la enerqlr, do deformación rnspncto al área fisura
da según quedó establecido en el apartado 1.2.?.. El c:.minu rinurasB mente exacto consistiría en calcular le distribución de tensiones en
un proceso de carga noval y posteriormente observar la ev/olucibn de este ca«po de tensiones durante la extensión de la fisura.
En los casos de tención y deformocion plano este problema na se ha llegado a resolver cíe farmu exacta. Sólo se ha conseguido ob
tener una solución aproximada y aún así, utilizando la teoría total de le plasticidad (Hutchinson 196(3). V/eamos si es aplicable a un problema de simetría cilindrica el procedimiento empleado por este autor.
Emplearemos dos sin temor, de coordenadas cilindricas simultíi
neamente. Uno de ellos estará centrado en el eje de simetría de la
-
pieza íp , *f , z) y sera el mismo r.,un hemos venido usando hasta ah£ re; el otro
(rf <3 ) será un sistemo de coordenadas polares situado
en un pleno meridiano y centrado &n lo intersección de este plano con
el borde da lo fisurB tal como se ha representado en la figura 1.53.
Este sistema de coordenadas polares es el que se utiliza corrientemeii
te pare describir la distribución de tensiones cerca del borde de la
fisura.
61 siguiente paso consiste en postular que las tensiones se
deducen de un notencial; este potencial debe producir un campo de ten
siones simétrico respecto al plano de la fisura (z - 0); el potencial
que cumple esta condición es el de Boussinesq-PfipKovich (Green y Zer«e 1968, Sin y Liebowitz 1968, Bueckner 1973). Si suponemos que las tensiones son independientes de la variable angular 6 por tratarse de un problema de simetría cilindrica, sus expresiones en función del
potencial, •• , se reducen a:
z.x,
Borde de la fisura
\
\
Fig. 1.53
14 4
o
P
d z
ap
3P
o
; ) P 2 3Z2
(1.13U bj
9z
. , 1JÉ. _ !ͱ
9z 3
322
(1.130.0)
D3
a pz - 2
(1.130 d)
^-2r
9p 3 z
Para jti material elástico estas expresiones aseguran el cum
plimiento de las ecuaciones de equilibrio y de compatibilidad por
cual el Cínico problema consiste en hallar el potencial
<j>
lo
tal que -
se cumplan las condiciones de contorno. En un material elas^oplástico
las ecuaciones constitutivas ya no serrtn las ríe Hpoke sino que a
las
deformaciones elásticas habrá que sumarles las deformaciones plást^ cas que, si suponemos i uo se cumple la teoría total de la plasticidad,
vendrán dadas por las expresiones (Bud.iansky 1959).
.
P „ 3 ( !_ _ A)
•
donde
Es
J
'
s
(1.131)
s
es el modulo de elasticidad secante, representado en la fi
gura 1.54, y
Sji es.el desviador de tensiones. Aplicando esta reía-
u.r>
Fig. 1.54
c i f l n a n u e s t r o caso y t e n i e n d o en cuenta l a l e y de Hamberg-Qsgood,
(ecuación
1.54)
obtenemos:
n-1
a
oe
•
(o
n
oe
T
*
+
(1.132 a)
°z.
P
n- 1
p
-
o
t„
P
+ o
( 1 . 1 3 2 b)
z,
P
n-1
(1.132 c)
,
oe
__P
Z.\
( 1 . 1 3 2 d)
n-l
e
P
pz
donde
-
. _3
2
°e
o,e_
n
es
la
P z
t e n s i ó n de .comparación' ( a
e
- >/ 3/2
Sij
.Sij
)
J 46
Cuando el material esté en régimen elastopldstico las ten siones deducidas de (1.130) cumplen las ecuaciones de equilibrio in t e m o . Sin embargo, ln s deformaciones ya no tienen por que cumplir
-
las ecuaciones de compatibilidad. Estas ecuaciones son, para proble mas simétricos de revolución, (Torroja 1967, Timoshenko 1968).
% - c<f - » f í f - ' °
9E
d
,
P
a2.
i_*
8z
t1-133'
(113a)
9c
3 z
Sustituyendo las tensiones en (1.132) mediante (1.130) y
-
las deformaciones en (1.133) y (1.134) mediante (1.132) (no es necesa
rio incluir las deformaciones elásticas en las ecuaciones de compatibilidad ya que las cumplen automáticamente), obtenemos dos ecuaciones
diferenciales en derivadas parciales de la función potencial ^ (p ,z).
Una forma de abordar el problema consiste en representar la
i
función
•
mediante una serie de potencial del tipo:
• * Y (9) .+ r
2
Y„.(e) + ...
i
(1.135)
i.
de cuyos términos sólo tomaremos el más significativo cuando
r
tien
de hacia cero si queremos estudiar la distribución de tensiones en un
entorno riel borde de la fisura. Por lo tanto en lo sucesivo tomeremoB
+ -= r c mee) "'
l1-136)
U7
A p a r t i r de e s t e postulado se puede dBmostrar ( « e r apéndice
l)
que l a d i s t r i b u c i ó n a s i n t ó t i c a de tensiones es de l o forma:
«U " K° <°'2 ° V >
donde
Kg
U 137)
-
es un factor de intensidad de tensiones y
funciones adimensionnles de
° ij(e ) son
Q
De esta forma los ecuaciones (1.133) y (1.134) se nos con vierten en dos ecuaciones diferenciales ordinarias en la función
(ver apéndice 1) en las cunles en principio tampoco conocemos el expd
nente
t.
Las condiciones iniciales y de contorno a aplicar 9on las -
siguientes;
debido a la simetría respecto al plano de la fisura
función potencial . $ debe ser una función par en
la función
<M9/
e
y por lo tanto
debe ser también una función par; esto implica -
que todas las derivadas de orden impar de
to
z
la
• 0; por otro lado las tensiones
oz
\p
se anularan en el puny
op z
deben anularse
en. las1 caras de la fisura, que son superficies librea; esto se consigue haciendo:
Dz
CP>a ; z = 0)
o aplicando la ecuación
(1.136)
(1.139)
El primer problema que se presenta al aplicar este método -
14 8
consiste en que hay que elegir un valor del coeficiente de Poisson. En efecto, no es necesariu escoger un valor ajustado a la realidad ya
que no aplicamos la ley de Hooke para hallar lns deformaciones. Por
otro lado tampoco es necesario darle el valor
v
= 1/2
-
por el hecho
de que el material no cambia de volumen r.uando se deforma plésticamen
te, ya que esta condición
se
cumple automáticamente «1
aplicar las
ecuaciones (1.132).
Pero el problema más importante que presenta este método es
triba en que se llega a dos ecuaciones diferenciales ordinarias
pare
la mismo función mientras que en los problemas de tensión o deforma ci6n plana,al haber una sola ecuación de compatibilidad, sólo hay una
ecuación diferencial. Estas dos ecuaciones diferenciales no tienen
-
por qué tener una solución común que cumpla además las dondiciones
-
iniciales y de contorno ya que son dos ecuaciones independientes.
El
que no se obtengan solucionas no quiere decir que el problema no las
tenga sino que el método empleado consistente en representar las tensiones en un material elastoplástico mediante un potencial que sólo es valido para materiales elásticos no es apropiado para el problema
de la fisura circular coaxial a pesar de que sí que es válido para
-
los casos de tensión o deformación plana.
Acabamos de ver las dificultades que presenta la determinación de las funciones
° ij( 0 )
de la ecuación (1.137). Sin embargo,
el otro parámetro de esa ecuación, que es el exponente ( t - 2 ) , se pue
de determinar en función del exponente de endurecimiento por deformación mediante el uso de la intenral
JA
definida en el apartado
- -
1.4*2.
En efecto, vamos a sunoner que, en las proximidades del bor
de de la fisura, la distribución de tensiones adquiere la forma:
149
ID
"ij- Ko r
o..(0)
(1.14o)
alBndo éste el término mAs siqnificutivu de un desarrolla en serie cuando
r
tiende hacia cero al igu^j cue r»»ra ).n formule (1.136).
También admitirnmoa Que <i$ valida la teoría total de le
plasticidad (fórmula 1.131) por lo que teniendo r¿n cuente las ecuecio
nes (1.132) y (1.140) las deformaciones ni'stices variaren en la forma:
1
J
c
i]
(1.141)
donde
k
P
e s el f a c t o r de i n t e n s i d a d de d e f o r m a c i o n e s y
una función adimensional
de la c o o r d e n a d a a n g u l a r
O
.
^P
fa\
es
C o m o l e s de -
f o r m a c i o n e s e l á s t i c a s v a r í a n l i n e a l m e n t e con ]es t e n s i o n e s , au d i s t r ¿
bucifin será de la f o r m a :
e
donde
kB
E
é..p
. „ e.
e
y 1
m
*
e ,, .
( l , l ¿i? ^
(e>) t i e n e n el mismo r.icinif'icEidc» cute1 k"
ij
y
- •—
£•
( 6 ) en l a formula i 1.141),
Pero l a t e o r í a t o t a l de l a ulEteticided RÍ. forniEilroante e q u i -
v a l e n t e , siemore que no se; nroduzcuh cJf¡ sonreía«.,, t\ ié, taorifc úe la el.as
t i c i d a d no l i n e a l (Rice y Kosengrsn 1968) nnr "J.o nue la I n t e g r a l
(ecuación 1
1.110)
serfi a p l i c a b l e a e s t e problema:
anr6
JA
independiante
del camino de i n t e g r a c i ó n y r e p r e s e n t a r á leí rinriwc!» de l e - a n e m i a po
t e n d e l r e a p e c t o a l r a d i o de la f i s u r a (acstiHcinn 1/111),
150
Vamos a ver qué forma adquieren las distintas variables que
intervienen en
JA
a la luz de las ecuaciones (1.14U), (1.141) y - -
(1.142). La densidad de energía de deformación será:
V -
/a., d
- /K o r B á
e
(O) {r»n d(K? ^ . ( 9 ) )
J
+ r m dCK^.. e Ce)))»
'ld3)
1j
r m ( n + 1 > ^ ( 0 ) + Ke
KP
(l
+
2ra
r
^C9)
w
donde
y
P
kw
e
kw
y
w t8) y
son factores de intensidad de densidad de energía
(8) son funciones adimensionales de. e •
w
3u
Los términos
u
•-—P-
(pue es la deformación E
)»——£•
3p
3u
P
P
2,
(que es la deformación eQ ) y y—
(que sumado a la derivada •5
es la deformación tangencial c
) son deformaciones y por lo
°z
pz
tanto pueden expresarse mediunte las ecuaciones (1.141) y (1.142) como:
e.. - c..e + e.. p - K e r™ £.. e (0) +
ij
iJ
e
ij
ij
(1.144)
'P
m
_n
E
Para calcular
?
P
1J
JA
vamos a tomar un camino circular cen -
trado en el borde de la fisura como el de la figura (1.150) en el que
el radio de la circunferencia, R, se nuede hacer tan pequeño como
quiera. En este caso la coordenada cilindrica
se puede hacer igual a
en (1.lio) obtenemos:
p
se
que es (a-Reos 9 )
a."- Sustituyendo (1.140), (1.143)-y (1.144)
151
3
m
?TT
m
f"|_lfP
-TT
w
A
n +
í
D
1)
- P ,• .
r,
« v y j c o s i i - K R
?m
«
w ( 6 ) c o s e -
w
" Ko
Rm
V
9
>
U
R
"
+
° % <°)
Kp Rmn r "(0)} -
- K„ R» S . O » . U J „ • e . . ( e )
+
*
2
* 'o ' V
KO
r
~K
^
C n + 1 )
ción
„.„ cp
wP(ü) - K
o ce) [K* R " V ( O )
donde
+ KP
+
KP
e
2
„,],.„,
r ™ w (e)
mn
R
(l.M»)
+
c
+
( e ) ] } rdedr
EP
« es un c o e f i c i e n t e (función de 0 ) que transforma l a deforma
e p z en la derivada
do l a s i n t e g r a l e s en
3p
r
y
0
de la expresión ( l . l i o ) .
Efectuan-
i n d i c a d a s en (1.145) se l l e g a a l resuJL
tado:
m
RmCn+l)
+1
A
+
R 2 ffl
+ 1
1
+ RmCn+1)
donde
en
+
2
A^, Ag, A3 y A4
e
cias de
2
A, + R 2 m
3
+
2
(1.146)
.A
'
4
son los valores.de las integrales definidas -
de la ecuación .(1.145) y correspondientes a distintas poten R.
Para realizar la integración en
r
es necesario suponer
que:
m (n + 1) + 1 4-1
2m +
1
.
(1.147)
¿-1
ya que aplicamos la fórmula de la integral de una.potencia .
La integral
JA, por su propia naturaleza, debe tener, un va
lor, finito distinto de cero e independiente de R
cuando
R
tiendo
hacia cero. Por lo tanto los cuatro exponentes de la ecuación (1.146)
1 b2
deben ser no negativos ye OUR on caso contrario el término correspondiente tenderla hacia infinito al tender
H
hacia cero. Por otro la-
do, no deben ser todos noaitivos ya que do producirse esta circunstfri_
cia, el limite de
J/\
ol ti nder
R
hacia coro serla nulo.
Estas condiciones que hemos onumBrado se cumplen cuando el
más pequeño de todos los exponentes, es nulo. Pero teniendo en cuento
la ecuación (1.140) y sabiondo que el borde de l" fisura será un punto singular de la distribución de tensiones (tensiones infinitas) se
deduce que el exponente
m
debe ser negativo. En tal caso es fácil -
comprobar oue el más pequeño de todos los exponentes de la ecuación (1.146) es eL primero siempre que
so límite
n
sea mayor o igual que
1 (el ca
n • 1 corresponde ti un diagrama tensión deformación lineal
y es el máximo endurecimiento que se puede imuginar). Los valares
n
comprendidos entre 0 y 1
no tienen sentido ya que corresponden
de
a
.materiales que endurecen más en régimen plástico que en régimen elástico. Con esto queda demostrado que:
.
o despejando
m (n + 1) + 1 - 0
(1.148)
m -
(1.149)
m:
- — T T
n + 1
pudiéndose comprobar que se cumplen las condiciones (1.147) bajo
las
cuales se ha deducido este resultado.
Aplicando este resultado a la ecuación (1.140) ia ddstribución de tensiones alrededor del borde de la fisura resulta:
• - íán
o. . - K
IJ
o
r
•
a. . C6)
i]
(i.iacr)
153
y la distribución de deformaciones (formulo 1.14a) toma la formar
- -¿~
C
ij
= K
c
r
rt+1
_J
E
!/0>
+
K
'" "
en donde, para pequeños valores de
+1
E^jíO)
(1.151)
r, se puede despreciar el pri-
mer término frente al segundo (deformaciones elásticas desprecia bles frente a las grandes deformaciones plásticas que se desarro lian) resultando:
1_
e
ij " K c
r
"+1
e
ij(0)
(1.152)
En cuanto al camno de corrimientos, se obtiene integrando el campo de deformaciones, razón por la cual su distribución se
rá de la forma:
u. - KP r n + 1
donde
u.(6)
Ü.C9)
(1.153)
es una función adimensional de 8 .
De este modo, ha quedado demostrado que los campos de - tensiones, deformaciones y corrimientos alrededor del barde de una
fisura en un problema que presenta simetría de revolución tienen la
misma forma que en un problema de tensión o deformación plana. Gomo
consecuencia de este análisis también resulta que para materiales elásticos lineales (n - 1) el exponente
m
vale -1/2 lo cual con -
cuerda con resultados anteriores (Kassir y Sin 1975).
1 -i4
Esta demostración no nos indica mes i<ue la potencia de la singularidad que aparece en el borde do lu fisura pero no nos da ningu
na indicación sobre la distribución angular do las tensiones. Para obtener estos resultados serí necesario recurrir.a motadas numéricos.
Seguidamente pasaremos a analizar los problemas que no pre sentan simetría de revolución.
1.4.4 - Fisura superficial semieliptlca
Dentro de este apartado agruparemos los materiales elásticos
y los materiales elastof)l.'sticos.
En materiales elásticos lineales el planteamiento del pro bletna es como sigue. Tomando el sistema de o jes de la figura 1.55, la
fisura viene definida por las condiciones
2
2
z - 0
2
b«
Fig. 1.55
(1.154)
I.1) 5
Desde el punto de V/ÍGUI matemático, suele ser más cómodo
-
plantear el -írublemu suponiendo qur> lo tensión en el alambre, lejos de la fisura, debe ser nula cuando sobre lar, caras de la fisura esté
actuando una presión igual ÍI la tensión del alambre que se considera
tal como se puede ver en lu fiquru 1.56;
ré
al resultado obtenido basta
sumarle los correspondientes o un estado de tracción simple.
Las condiciones del problema se resumen entonces de la si guiante forma:
U-f) 2 + y2 S 4
o
.-o
para
2
x
(1.155 a)
2
.
y
i
z = 0
r
u
= 0
2
•
2
»2
a
para
bK
(1.155 b)
2
r
z
(x--)
+ y
< -T-
z - 0
(1.155 o)
2
T - 0
para
(x--)
+ y
= -—
(1.155 d)
para
z -> «°
2
Cx-5>
siendo
T
2
+ y
< -T
el vector tensión aplicado sabré lo superficie exterior
-
del alambre.
• Una forma1de abordar el problema consiste en utilizar el po
tencial de Boussinesq-Papkov/ich, <J, , y expresar les corrimientos me diante las ecuaciones
(Sih y Liebowitz 1968, Bueckner 1973).
rmm'i
c~r
I1MIII
cr
-f
cr
o*
J i l t i t L
Fig.1.56
15 7
z
U
2
i"iir! - ci-2v) I*a2
= _ z -d
u
y
u
( l t l S 6 a)
¿
i _
(1_2v)
^1
3y3z
. _ z ._!__£_
•
(lil86
b)
^
+
2 U
._
v)
M
(1.156 c)
de donde se pueden deducir las tensión»s y deformaciones y el problema se reduce a determinar una función armónica ( y ? §
* o) que cum-
pla las condiciones de contorno expresados mediante les ecuaciones
-
(1.55).
Este prublema no ha sido resuelto para unes condiciones de
contorno mas sencillas que estas como son las.correspondientes a una
laja infinita con una fisura superficial semiellptica., Como hemos vis
to en el apartado 1,1.3 existen varias formas aproximadas de resolver
estos problemas siendo la mfls potente el método alternativo. Para - aplicarlo a este caso deberíamos conocer la distribución de tensiones
en un espacio elástico 'provocada' por una presión aplicada sobre las caras de una fisura elíptica (esta distribución es conocida); pero ess
ta solución haría aparecer unas tensiones en la superficie del aletm bre Mué tendríamos rué anular mediante la aplicación de las tensiones
opuestas: para esto necesitamos conocer la distribución de tensiones
que produce en un alambre una fuerza puntual aplicada en su superfi cié; como este problema na ha sido todavía resuelto, no. es posible —
aplicar el método alternativo en este caso.
De esta forma han quedado patentes los obstáculos que impiden el cálculo por métodos matemáticos del campo de tensiones produc^
158
do por la aparición de una fisura superficinl de forma elíptica en un
alambre de material elástico lineal.
En cuanto al problema, correspondiente a un material elastoplóstico, las dificultades son mucho mayores. En efecto, las relaciones entre tensiones y deformaciones tienen una forma incremental (leyes de Prandtl-Reuss) razón por la cua! es obligada recurrir, a métodos
numéricos para resolver cualquier problema de plasticidad que tenga alguna utilidad práctica, üiñéndonos al caso de sólidos fisurados, las dificultades aumentan debido a la presencia de un punto singular;
esto hace que no se haya resuelto todavía ningún problema de tensión
o deformación plana utilizando la teoría incremental de la plástic.! dad.
Por lo tanto, resulta evidente que para tratar nuestro problema, qué es tridimensional, se hace necesario recurrir a métodos nu
mericos. Vamos a explicar seyuidumr?nte el método empleado.
JL.4.5 - Método numérico.
El método numérico que vamos a empipar es el de elementos fi
ni tos debido principalmente a s,u flexibilidad para .tratar problemas con distintas geometrías.
Las características de este caso hacen que sea necesario tej
ner en cuenta la no linealidad de la relación entre deformaciones y corrimientos ya Que cerca del borde de la fisura puedendesarrollarse .
deformaciones muy importantes. También debido a estas deformaciones los corrimientos serán importantes hasta el punto de que sea necesa rio considerar que los efectos de las solicitaciones exteriores sobre
el sólido deformado pueden sor muy distintos de los producidos por
-
las mismas solicitaciones pero sobre el sólido sin deformar. Por \o -
1 59
tanto estamos artte un prnblem.-i de los llamndos de qrander, deformaciones y de grandes desplazamientos.
Los programes de calculo en computador que tienen en cuenta
estos efectos no nstfln accesibles y, en cualquier caso, no enría poai
ble introducir en ellos los modificaciones que veremos mtfs adelante para estudiar1 el prqib i ema de la fractura. Este hecho nos ha obligado
a elaborar un nrogroma de calculo adaptado a nuestras necesidades.
. El método seguido es el descrito por Hibbltt, Marcal y Rice
(Hibbitt, Marcal y Rice 1970). Consiste en considerar una relación LL
neal entre los incrementos de corrimipntus de nudos y los incrementos
de cargas de nudos, siendo la matriz de rigidez suma de varias matrices (l)
{AP'J - t C k ' H Ü c ^ + Ck 2 ) - CQ>) ÍAu}
(1.157)
donde (ks) es la matriz de rigidez usual, válida para pequeños despía
-atamientos y que viene dada por
a
(1.158 a)
U ° ) - / y o CB°)(D)CB0) dV°
siendo (Ba) la matriz de transformación de incrementos de desplaza .mientos nodales en incrementas de deformaciones de Cauchy, (D) la ma-
i
(l) En la descripción del método de elementos finitos, utilizaremos
para las distintas matrices, la notación de uso mes corriente.
1 6,0
triz de rigide.7 del material, que transforma incrementos de deformación en incrementos de tensión y qun por tratarse de un material elas
topléstico depende del estado tensional del punta considerado, y es tando la integral extendí da al volumen inicial, ve, de cada elemento,
La matriz (k ) es la motriz de, rigidez llamad., de tensión inicial ya que depende del estado tensional existente antes de apll car les incrementos de carga. Su expresión es:
3N
a..
CM ) - / y .
R
áx."
"3N' R "
i
íX.
d*V°
(1.158 b)
donde se ha adoptado el convenio de sumación de Einstein y N|c repre senta la función ele forme correspondiente a la dirección
ral es la misma p^ra las tres direcciones) y X¿
k
(en gen£
son las coordenadas
de un punto genérico en el sólido no deformado.
La matriz
(k^)
es la matriz de rigidez de desplazamiento
inicial (llamada asi por.que sólo debe considerarse cuando el campo
—
<
de desplazamientos en el momento de aplicar el incremento de carga no
es nulo). Viene dae^a por la expresión:
(k2) - /„v
(BiVCDKB1) * (BV (D)(B«) 4-
o
+ ( B 1 ) 1 (DjfB 1 )
donde ( )
(1.158 c)
dv'í
representa la trasouesta de una matriz y (B ) es la ma
-
triz que, sumada a (Be) transforma los incrementos de desplazamientos
nodales en incrementos de deformaciones de Green (representa el térmi
no no lineal de la deformación),.
161
Finalmente, los incrementos do cargas nodalrs,
A P} , pue-
den descomponerse en dos sumando:
(A P) = {A P) 4- (U) (A U |
(1.158 d)
siendo el primer sumando el dRbirio oranifimtínt-.K! al incremento de las cargas exteriores y el segundo el incremento en las cargas nodales de
bido al- cambio de forma del solido estudiado.
Les ecuaciones constitutivos del material son las tipleas de un material elastoplflstico con endurecimiento por deformación
CIUB
se adapte a. la teorín incremp.ntal de l;i. plasticidad. La aplicación de
las ecuaciones, de Prandtl-Reuss teniendo sn cuenta el hecho de cue se
pueden presentar grandes deformaciones conduce n las ecuaciones (Chen
1.971):
Atfi'J
DÍjkl
(1.159 a)
A,
kl"
siendo:
kl
,W , l+\}
-I
(1.159 b)
Cik
Gjl
2
02(2
e 3
vE
¡^ G k l
(1+v)Cl-2v)
•a
e
- oÍk GJ1'-
=' c
I»
JU + vl + (.L
E
;E,
y
oÍk G
s
U
si
Ac. . > 0
1J
'(1.159c)
0
'.+v
1
-
G
1K
G
Ji
ik
j l_
U
- o~"
ü-'
o-"k G
G~~
G
- oJ
G
+ -rrr
Cl+v) Cl-2\>)
ij
C
a
y
a J Ae.. < 0
si
si
= c
e
o si
a
< c
kl
-
IJ
162
donde
s
es el tensor desviador dn tensiones nun norn problemas de
grandes deformaciones viene rindo por ((.¡non 1.971):,
n
c
kl '
es lo mSxima tensión de comparación alcanzada o lo Largo dn la Mr.
toria del material en el punto considerado y G
os el tensor métrico
(covariante o contravariante según la posición de los Índices) del só
lido deformado y se oueríe exnresar en función de las coordenadas cartesianas,
x¿,
de un punto del sólido deformado y de los mismas coor
denadas, Xj_, en el sólido sin deformar mediante las ecuaciones:
Sx
G
ij
R
°XR
3X. 9X .
3X. 3X .
J = _LÍ
I
axR
bxR
l
(1.160 a)
(1.160 b)
La ecuación (1.159 b) corresponde a un proceso de cerga
en
régimen nlástico mientras c,ue la ecuación (1.159 c) sólo es válida pa
ra procesos de descarga o pura procesos de carga en régimen elástico.
Los problemas espaciales que vamos e analizar requieren
un
.gran numero de variables nodales para nun los resultados tengan cierta precisión. Pero este número de "variables está limitado por el tamo
no del computador. Una formo 'de soslayar este [jroblema consiste en nu
merar los nudos de tal forma que la matriz de rigidez general del sólido sea una matriz en banda con la menor anchura de banda posible. Esto se consigue cómodamente si se agrupan los nudos en cajas .ordenadas de tal forma que un. nuno- de una caja' sólo, puede estar relacionado
I 63
i
|
mediante relaciones de rigidez can nudos ríe su propio cojo y de las dos cajos adyacentes tal cnmn si? puede ver an la figuro 1.57. De esta
forma se consigue que la motriz rJe rigidez tenga urna estructura del tipo de la representada v.n la figura 1.50 donde queda patente su ca rácter de matriz en banda.
ti sistema de ccucic iones obtenido es apto nara ser resuelto
por el método de Potter (Teñe, Epstetn y Gheinman 1974) mediante el cual no R S necesario almacenar toda La matriz de rigidez durante todo
el proceso de resolucon del ?;istema ÜR ecuaciones, lineales.
Para los problemas correspondientes a materiales elásticos
lineales, el análisis del estado de tensiones se realizará por dos mé
todos: el nrimero sera el convencional representado en la figura 1.35
consistente en estudiar la variación de las tensiones alrededor del borde de la fisura; pero el -nitodo m's nótente será* el de Parks (Parks
1974) .que nos permitiré conocer el factor de intensidad de tensiones
en cada punto del borde de la fisura. f.n efecto, si K B hace avanaar un punto como el de la figura 1.59 una longitud
Al
y se modifica
-
consecuentemente la red de: elementos tal como se vio en la figura 1.40
la matriz de rigidez del solido habrá cumbiado ligeramente, y l'a varia
ción de energía experimentada en este proceso vendrá dada por la ecua
ción (l.7l). Coma en este"o«so hay que derivar respecto al área de la
fisura, la ecuación que aplicaremos será:
dE
p _ I • T
G = ~ dÁ f "" ~2.lUl
CA K)
CAA f )
ÍU1
(1,161)
(
'
1
'
i
,
dohde el incremento de área .f isurad" será función de la distancia entre los dos nudos.adyacentes al nudo considerado. Tal como recomienda
Parks desplazaremos la distancia ¿ 1
•
no sólo el nudo del borde de la
CAPAN+1
CAPA N
i
\
CAPA N +2
Fíg 1.57
\
z'?/
v/v//tyy/z/fr//yA
w
P ,
7/.S?
JC:
\
Rg.1.58
165
fisura sino tambifin el primer anillo de ñutios formado alrededor de éste.'En el caso de los problemas con simetrín dr¡ revolución también
-
calcularemos la tasa de Liberación de energía o partir de ],a integral .
JA
deducida en el apartado 1.4.,?.
Para los materiales elustopLdsticos el mótudo a seguir tiene que ser distinto* En problemas con simptrlu de revolución podremos
calcular el valor de
JA
oue no sera en este caso más que una deriva
da de la energin potencial respecto ÍJ le nrofundidad de la fisura y por lo tanto podro reí... donarse con el valor del. parámetro
G
calcu-
lado en el apartado 1.4.3. Sin embargo, ya ha quedado dicho que lo tiue
realmente interesa determinar es la energía gastada en hacer avanzar
la fisura. Hará esto analizaremos el proceso de deformación del alambre fisurado hasta llegar a la tensión oue queremos estudiar. Una vez
llegados a este punto se mantendrán fijos los nudos en que están apli^
cadas las cargas exteriores y SB duran pequeños corrimientos verticales al nudo que está en el fondo de lu fisura hasta conseguir que la
carga que lo mantenía en el plano de la fisura se anule tal como se puede apreciar en la finura 1.61). De este modo se habrá conseguido re
producir fielmente el,aroceso de progresión de la fisura y se podrá estudiar la redistribución de tensiones alrededor de la fisura y la energía realmente gastado en el fenómeno. Este método es válido para
cualquier tipo de problema ya que c?n el casa "de la fisura elíptica su
pérfida 1 sólo se liberará un nudo del borde de la fisura en una forma semejante a la representada en la figura 1.59.
i
Una vez estudiada la fractura en un alambre'desde el punto
de vista teórico, vamos a pasar a analizar los ensayos realizados.
Al
*:'"•>*
- y /
/ .
/
/
/ . .••>
AAf
/
\
\
Fig. 1 59
F=0
Fig. 1.60
2 - ESTUDIO ,EXPERIMENTAL' DE LA HW;TURA
Dentro do os te capítulo se describen los ensayos rural i zedas sobre
probetas fisumdqs. En o] primer apartado se anf.il.izan las normas y, procedimientos do ensayo existen ton que pueden ser de aplicación al problema
—
que estamos estudiando. En el segundo aportado se describen el material
y
equipo experimental empleados en la realización de Jos ensayos, finalmente
en los dos últimos apartados se detallan los ensayos realizados, descomponiendo esta exposición un ensayos'sobre probetas normalizadas y ensayos so
bre probetas no normalizadas.
2.1 - Antecedentes
Es en los Estados Unidos donde más se ha desarrollado e l estudio
de l a f r a c t u r e en l o s m a t o r i a l e s ' y por l o tanto aera principalmente en l a s
normes de este país donde haya que buscar l o s procedimientos de ensayo que
nos i n t e r e s a n .
Sin embargo nos vamos a encontrar en este campo con e l mismo p r o blema con que se t r o p i e z a en e l estudio t e ó r i c o de l a f r a c t u r a : l o s métodos
de ensayo sé han c i r c u n s c r i t o principalmente a los casos de tensión y de formación' planas por ser más s e n c i l l o s de r e a l i z a r y también porque r e p r o ducen con mayor f i d e l i d a d los problemas que se presentan con mayar frecuen
c i a en m a t e r i a l e s metálicos ( f i s u r a c i ó n de láminas).
En' e f e c t o , analizando l a s normas ASTM (ASTM Gtandards 1974), se comprueba que l a s únicas normas de f r a c t u r a vigentes son l a E-338 ("Sharp-Natch Tensión Testing of Hlgh-Strength Sheet M a t e r i a l s ) y l a E-399 (Plane- S t r a i n F r a c t u r e Toughness of M e t a l l i c M a t e r i a l s " ) arv l a s que l a probeta es
t á en condiciones de tensión o de deformación plana. Sólo e x i s t e un proyecto de norma (ASTM'Gtandards 1971) .que emplea prpbetas o i l í n d r i c a s con f i s u r a c i r c u l a r ("Sharp-Notch Tensión Testing of Thick High-Strength Aluminum and Magnesium A l l o y Products w í t h
C y l i n d r i c a l Spocimans"); •
168
Vamos a analizar en primer lugar los antecedentes existentes sobre
probetas cilindricos
con fisuras circulares coaxiales y seguidamente veré
rnos los antecedentes correspondientes a fisuras superficiales que no pre sentan simetría de revolución.
2.1.1 - Ensayos con fisuras circulares coaxiales.
El concepto de la fisura plana utilizado hasta ahora no es más que
i
un modelo que permite tratar de forma analítico y con la menor complica
—
ción el problema de una fisura real. De esta forma el borde de la fisura puBde ser concebido como una curva en el espacio y no como una superficie
que es lo que es en realidad. El principal objetivo que hay que conseguir
sn un ensayo de fractura consiste en inducir el radio de curvatura de esta
superficie al mínimo.
í
i
>
De hecho, cuando este radio no es suficientemente pequeño, se obser
va que la fractura se inicia en un punto del borde de la fisura desde donde se propaga al resto de la secciónda la probeta. Sólo cuando este radio
es muy pequeño se consigue que la fracture se inicie simultáneamente en to
dos los puntos del borde que en teoría están en lns mismas1 condiciones
de
solicitación. (ASTM 1964).
'
».
Este hecho t r a e consigo algunas complicaciones tie importancia a l a
hora de mecanizar una e n t a l l a que pueda ser asimilada a una f i s u r a t e ó r i c a .
E l primer i n t e n t o de normalización de probetas c i l i n d r i c a s con e n t a l l a
anular proviene de l a ASTM (ASTM 1362); y está representado en l a f i g u r a 2 . 1
Para l l e g a r a este resultado se han realizado numerosos ensayos variando "l o s d i s t i n t o s parámetros que d e f i n e n . l a s c a r a c t e r í s t i c a s geométricas de l a
p r o b e t a : diámetro del alambre, diámetro de Ib e n t a l l a , radio en e l fondo d e - l a e n t a l l a , e x c e n t r i c i d a d dul borde de l a f i s u r a respecto ral ojo del
alambre y forma de l a e n t a l l a .
-
5.0
2A-
L.&5 __,
Probeta propuesta por ASTM(1962) para la deter
ción de la tenacidad a la fractura (medidas en pulg
Fia 2.1
170
BcistD un ¿icucjrdo rjenoral sobro el valor de la relación entre el diámetro d e la probeta y ul diámetro d e la entalla ( r = d/D) ya que si so
toma este parámetro igual a 0,7 la función F( ;, ) representada en la figura
1.2Q está aproximadamente on' su máximo y por lo tanto pequeñas oscilaciones
en el valor de F, apenas afectarán al valor de F( f, ) que se podrá tomar co
tno constante (Srawley y Brown 1964). Finalmente se adopta el convenio de tomar el área resistente igual a la mitad de la sección del alambre por lo
i
cual
5 = 0,707 y la función F valdrá
F(0,707; = 0,259 según l a aproxima -
cifin d e B u e c k n e r (Bueckner 1 9 6 4 ) .
Por otro lado, como la fórmula que s e aplica para al cálculo del factor d e intensidad d e tensiones (fórmula (l,48)) h a sido deducida en la
hipótesis d e un material elástiqa lineal, hay que imponer d e algún modo la
condición d e que el material que s e ensaye no rebase m á s que e n alguna z o na reducida la tensión d e cedencia. Uno d e los criterios q u e s o h a n e m i t i do sobre este punto consiste en exigir que la relación entre la tensión n e
ta media en la sección fisurada,
, y la tensión d e cedencia o
0
s e a rae
y
N
-
nbr de 1,1 (Srawley y Brown 1964).
El' valor de este coeficiente depende en realidad del diámetro noni
nal del alambre ya que cuanto menor sea este diámetro más importante será
el efecto de la triaxialidad del estado de tensiones y se alcanzaré el régimen plástico para mayores cargas exteriores por ser menor la relación en
tre la tensión de comparación y la tensión nominal del alambre (criterio de plastificación de von Mises). Por otro lado, si lo que interesa es'coni seguir una tensión neta, 0
, en rotura lo más pequeña posible y teniendo
en cuenta que el valor del factor d e intensidad d e tensiones crítico es una constante
del material, la fórmula:
K = oN
(nD)
1 / ?
í2»1.)
F(d/D)
i
.
•
'
nos indica que i n t e r e s a r á dar el diámetro nominal, D, el mayor v a l u r p o s i b l e . Esto se comprueba experimentalrnente.
(ASTM 1952). En la figura 2.2 se han representado los resultados
correspondientes a un acero con distintos tratamientos térmicos y por lo
tanto con distintas resistencias pudiendo observarse la variación del
-
llamado factor de sensibilidad a las entallas (relación entro la tensión
neta de rotura,oN , y i a tensión de rotura del material) en función del
diámetro nominal drsl alambre para distintos materiales; en esta figura se puede comprobar que la tensión neta de rotura disminuye al aumentar el diámetro y que los materiales más resistentes suelen ser también los
más frágiles.
2.0
*
1.6
Ifi
<
-t
-1
<
X
1.2
•
tu
</t
<
~t
<
5
0J
O
•i
»
m
3
z
IW
V»
04
0.4
.0.8
1.2
DIÁMETRO NOMINAL (pulgadas)
Rg.22
Sin embargo el punto de más, interés consiste en la elección de un
J. / i
valor para el radio, p
, Q n al fondo de la entalla (ver figure 2.1). Por
lo que se ha visto anteriormente hoy quo conseguir un radio tal que no
-
llegue a afectar a los resultados del ensayo. El investigar esta influen-'
cia es un problema complicado ya que a mtidida que se va reduciendo este radio se hace más difícil 8u realización por procedimientos mecánicos. Se
han efectuado algunos estudios experimentales sobre aceros (ASTM 1962) y
sobre diversas aleaciones de aluminio (Kaufman 1972) para investigar la existencia de un radio por debajo del cual los resultados del ensayo son
independientes de esta característica geométrica de la probeta. Estos estudios están reflejados en las figuras 2.3 y 2.4 donde se observa que
la
resistencia de la probeta entallada disminuye al disminuir el radio
para estabilizarse a partir de un determinado punto,__ que estos dos auto res fijan en 0,018 mm.
Tamhifin se puede comprobar en la' figura 2.4 que -
la tensión neta do rotura varía con p tanto menos cuanto menor.es el diá
metro nominal del alambre por lo cual la condición
(> «• 0,010 mm
tendré menos sentido en alambres do pequeño diámetro. Para conseguir ra. dios de este orden de magnitud y menores el procedimiento más sencillo
-
consiste en someter una probeta entallada a un determinado número de ex clos de fatiga rotatoria, suficiente para que se inicie una fisura de fatiga cuyo radio es mucho menor que el radio límite de 0,018 mm.
Otro parámetro que puede tener una gran influencia sobre los re_ sultados del ensayg es la excentricidad de la fisura y de la carga respe£
to al eje de la probeta. En efecto, debido a este hecho la solicitación ya no es de tracción siripis sino que pasa a tener una componente de fie xión; los puntos del borde de la fisura dejan de estar todos en-.las, mis <-•
mas condiciones y los resultados del ensayo pueden falsearse., Se observará en la figura 2.5 (ASTM -1962) que la resistencia de la probeta fisurada
i
« A D I Ó EN EL FONDO DE LA ENTAl. LA , <} I p u l g a d a )
o 3 _ ? 3 T - 0j T 5- . 0r 7,...1
3 í5>0U, » li O
J
8
10» lO" 3
500
a.
f*~250
o
a
Ul
o 200
UJ
Z
z
S 150
100
50
O
S^RADIO EN EL
E LA ENTALLA
(
- ^ Q ^ ^
00?
0 04
0 06
0 08
0.10
V T ( PULGADA)%
INFLUENCIA DEL RADIO EN EL FONDO DE
ENTALLA(ASTM 1962)
Fig.2.3
90 |
a.
r-TTTTT7Tl
r f T T i ITIT~ " r T T T T T T T f
T 1 1 I illl]
80
o
o 70
o
<
a. 60 -
16 "DÍA
o 50 ar
UJ
o A0 ui
z 30 z
o
üi 20 z
1Ü
10
• '
ll
I
'
i I ll.nl
I
I I I l lili
• I
I ' • lili
ooooi
9001
001
0.1
i
RADIO EN EL FONDO DE LA ENTALL A .PULGADAS
INFLUENCIA DEL RADIO EN EL FONDO DE
LA ENTALLAlKAUFMAN 1972)
Fig.2.4
1 74
cargada excéntricamente puedes reducirse nanta al 30^ ríe la rasistancla de
la misma probeta con carga concéntrica. También se puede comprobar on esta figura que este afecto es tanto menor cuanto mayor sea ol factor de
-
sensibilidad a las entallas. Pora evitar estos efectos secundarios dabi dos a la excentricidad hay que reducir asta parámetro hasta un valor infe
rior a 0,25 mm
(KaUfman 1972). Do• todas manaras esta efecto aero" tanto -
menor cuanto más larga sea la probetu.
EXCE NTRtC 10 A 0
<
y
vo
QOI
a»
TToT
0 04
08
"S*ó§
a
U
07
u
"o*íi
M*
kfos
Ojy
0.4
03
ECC
p*1
¿ 05
&
ff«00 0 1 ^
d/q « 0 7^
T
0.2
0 6 08
1.0
12
U
16
SENSIBILIDAD A LA ENTALLA
EN AUSENCIA DE EXCENTRICIDAD
Fig.2.5
• También se ha investigado lá influencia del ángulo qua forman los
tramos rectos de la directriz de la entalla observándose que es muy pequeña; .actualmente se ha garoeralizario el uso del ángulo de 60* ,(A3TM 1962).
1 75
Finalmente 3e ha comprobado axperimontalmonto quo tonto la longitud de la
probeta como la velocidad del .insayo na tienen influencia apreciable so bro los resultados siempre quo sn mantengan dentro da una3 límites razona
bles (en el caso de la velocidad da ensayo este límite dependerá de la
-
temperatura (debido a lo aparición de fenómenos dn flu.mcia y ralájación)-(.A3TM 19G0).
2.1.2. - Ensayos con fisuras superficiales sin simetría de revolución.
En este campo los trabajos realizados non muy escasas debido arque es difícil conseguir urin 'isura de actas características 3in alterarlas propiedades del material y n -^uo no existe unu solución teórica para
el problema do un alambre con una .'i jura superficial (que puede ser semieje
Hptica) y solicitado por un esfuerzo de tracción.
Para conseguir esto tipo de fisuras, el procedimiento que ofrece
más garantías consiste en mecanizar un pequeño defecto superficial sobre
el alambre y someterlo posteriormente a una sucesión de ciclos de fatiga
(rotatoria o de tracción) con une pequeña carga y con una gran frecuencia
(Shan 1974). La mecanización del defecto inicial puede deformar plásticamente una porte importante de lo sección del alambre sobro todo si se con
sigue mediante un golpe; sin embarga, ul prolongar ..ste defecto con una fisura por fatiga se elimina :ste inconveniente siempre que esta fisura sea suficientemente grande.
Sin embargta los ensayos míe interesantes para nuestro caso son los realizados en Laboratoire des P'onts wt Chaussees de Paris (Qrachet —
i
1970, flaharinairo 1971). l£n e s t o s ensayos se hu procurado comprobar s i se
cumple l a ecuación
o /a
cte .
(2.2J
semejante a la ecuacián (1.3) pora aceros trefilados y en la que
0
repre-
senta la tensión nominal del ala/Ubre y a representa la profundidad máxima
de la .fisura superficial (ver figura. 1.41). La risuraciáVi se realixc" én este caso por corrosión bajo tensión y por fragilización por hidrógeno.
176
El resultado do .'stoo unsayos queda ro fio jado on la figura 2,ü donde so conpruobn que la profundidad crítica de la fisura que produce la
rotura para una tonalfinnouirvil determinada oo muy virinbla do un cicero a
otro; también so ve muy influenciada por l,.- tempera hura del ensayo y por
al diámetro del, alambre. Tumbiín se verifica da forma bastante aproidmada
aue al producto o/a
su mantiene constante pira un r.iiamo acero. £1 va-
lor de esta constante se podría relacionar con al factor de intensidad de
tensiones crítico obtenido rnndiantu un ensaya con fisura circular coaxial.
Estas ensayos parecen indicar que la mecánica de la fractura es
aplicable al casa particular de los ácoros para pretensado que se caráota^
rizan por su gran resistencia y su pequeño diámetro.
2.2 - CondiciónJ3 de, los ensayos.
En este apartado VUJ.KIS a describir en primor lugar las características de los material ¡s que se han usado an los ..nsoyos y las del equ^
po experimencal que se ha utilizado ¡vn la preparación de las probetas y en el ensayo posterior.
2.2.1 -'Materiales a ensayar.
En los ensayos que vamos a describir se han utilizado varios t^
pos de acoro para pretensado. 3in embarco uno de estos tipos es el que prevalece sobre los demás por el número y variedad do los ensayos reallzadps razón por la cual describiremos sus características con mayor deta
lie que pora los demás: de aliara en adelante lo llamaremos acero } .Sobre
este acero so han efectuado ensayos con probetas entalladas, con probé tas entalladas y posteriormente fisurudas por fatiga, con probetas simple,
monte fisurndas por fatiga y finalmente ensayos de fragilización por hidrógeno mediante polarización catódica sobre probatas entalladas.
Pora los restantes tipos de acaro sólo pe han realizado ensayos
de tracción sobre probetas entalladas. -De estos tipos hay dos (acaro 2 y
acoro 3)
;ur? son comerciales y cinco (acero 4, acaro 5, acero 6, acero 7
y acero 8) quo se lian sometido n distintas tratamientos térmicos para in
vectigar la variación de sus propiedades con,el tratamiento,
Profundidad critica
de la fisura, a
TIPOS DE MATERIALES
A. Templado al aceite y revenido
B. Temple bainítico
C- Temple baim'tíco
D. Templado al aceite y revenido
E. Trefilado y estabilizado
F Trefilado y estabilizado
G. Trefilado y estabilizado
H Martempenng
V*7
Af7
A05
Hf8
200 LU
30 40
\
N
V
.
E^7
J
50
60 70
«0
90 100 110 120 130 140 150 160 170
TENSIÓN NOMINAL
Fig.2.6
U0
"H BAR
1 78
Seguidómente varios a a n a l i z a r lan c a r a c t e r í s t i c o s d e l acero 1
(proceso de Fabricación, composición 'luíndca, piTipiedcides mecfinicas) c i
riéndonos pura l o s restantes t i p o s de acoro a l a enumeración do loa d i f e
r e n d a s respecto o l o djnho para e l acoro 1 .
En a l proceso do Fabricación so p a r t a de un alambran de 12 ¡nm
de diámetro cuya composición química os l o s i g u i e n t e f
Mi
o, so - o,G0 ^
0 , 0 0 - Q,L10 '/!>
Si
0 , 1 5 - 0 , 3 0 •/.
< 0,025 '/ó
< 0 , 0 4 0 </<
Este alambran sa ha abtanido por laminado en tron continuo y —
por lo tanto se han introducido en el material Puertea tensiones residua
les. Para eliminar estos tenciones 3e recurre ni procesa de patentado que consiste en un calentamiento horno eléctrico a 9100 ü (austenitizado) seguido i.le un enfriamiento an baila do plomo a unn temperatura de unos
530B C. De esta forma se consiguen eliminar las tensiones internas y
cambiar la estructura del material
-
(sorbita) para comunicarle la ducti-
lidad necesaria para resistir el proceso de trefilado.
A continuación se efectúa un tratamiento químico necesario para preparar la superficie del material con vi-.tas al trefilado posterior.
Este tratamiento consiste en un decapado con ácido sulfúrico a 708 C seguido de un lavado por inmersión y ducha para eliminar el ácido, un fosfatado y un boratado.
La operación de trefilado consiste en hacer pasar ol alambre en
frió por unes hileras «n las que se reduce progresivamente en diámetro y
por consiguiente se aumenta su longitud. El diámetro del acero 1 es de 7
mm por lo que la reducción de sección respecto a la del alambrón de partida es de un 6Gr/j conseguida mediante Í3 pasadas.
Finalmente el alambra trefilado se somete a un tratamiento de enderezado mecánico y n un tratamiento tírmico de envejecimiento a temp£
raturas entre 280 y 4002 C con ol fin de eliminar tensiones residuales que' pueden aumentar la Fragilidad del material.
179
Lu cnnporiicián '-|UÍniioLi tío lo:-, ucoros de protón .EHJO sufro pocas
vnrinciun:s dn un tipo o otro y¡.\ un todos ,.;on aceros out >ctüidos. La campor.iicio'n del negro 1 n s :
c
0 , 8 6 '/.
Mn
3¿
Ü r G3 '/!>
o,::u -;',
p
3
N
0 , 0 1 3 V'
0 , 0 2 7 •;>
0,0046 '/,
Debido al procaso da fabricación y Q su composición química la
microestructure de lar, aceros trefilados ;?s de perlita Pina con las l á minas de Perrito y comentitu fuertemente orientadas en direccifin del trefilado lo cual le dn ni Material cierta anisotropía. 3e puede anre ciar esta microestructuru on la foto 1.2 que representa un corte parale,
lo a la dirección de truTilndo.
Les características mecánicas del ecaro 1 r.on l:ic siguientes»
-
Módulo de elasticidad, E -
-
Límite elástico,
-
Cargo unitaria de rotura, o •> 1GG Kg/mnv?
a
=
2040U Kg/ranE
Wú Kg/mm2
- Alargamiento bajo carg.-.i máximo, e
-
Estricción,
n
=
-
Coeficiente de Foisson
=
;]tü r/,
3G '/,
v = u,3 ,
La curva tensiín-düfo.rmaoio'n de esto acero ha sido representado en la figura 2.7; esta curva se ha obtenido tomando el valar medio da seis ensayos.
Sin embargo .ista curva presenta un inconveniente! relaciona tensiones ingonieriles (carga dividida por ¡5rea inicial) y deformaciones ingenieriles (aloryaniiento dividido por lonyitud inicial) cuando lo que nos interesa'conucor pora aplicarlo a los ecuaciones de la Mecfi
ru\ca de Medios Continuos es la relación entre tensiones reales (carga dividida por área un el instante considerado) y deformaciones naturales
(también llamadas deformaciones logarítmicas que están relacionadas con
las anteriores mediante las expresiones. (Tetelman 1566, m i l 1 9 5 0 ) :
A
3
*
Deformación ingenien*l
Fia 2.7
1 81
°REAL - °INC
E
NAT "
ln
Cl + E
ING}
Cíí.3)
<1+ElNü)
ÍM)
El diagrama tensión ronl-r^e formación n¡ .ural ne ha raprosentrjrio an ln figura 2.3. an donde se puede observar uncí dB sus caractería
ticas más importantes: la tansión raal es crociunte hasta al momento do la rotura lo cual no ocurría con ln tensión ingunieril dabido n que
al formarse al cuello de astricción al procaso do diandnución del área
resistente predomina sobro J1 procaso de incremento de la tensión real.
Para determinar la:> parámetros correspondientes de la ley de RambBro-O'jfjac'd as necesario representar an p;:pel doblemente logarítmico
las tensiones
ítalos franta a los deformaciones plásticas naturales. -
El diagrama obtanido se puede aproximar medianta una racta y daterminuní
do a partir de la posición da asta recta los parámetros
y
n
p de la
ecuación (l.í.4) 52 obtiene la ecuación del diagrama tunsiórv-de Formación
del acero 1J
• (. -
o
,+
7• u n ü o
.
C
o .
8»6
,
.
12.5 a j
)
2 5 4
•
;
s i se e g r e s a n l a s 'jensionos an kg/mm2. Esta ecuación, a l usar l a misma notación que Clrin (¿hon 1071), queda an l a forma:
20400
donde la tención
8
^ 7^ 20400
e r )v 254
'
6
•
(í.6b)
°„ *= 128 Kg/mm2 es la correspondiente a un módulo -
de elasticidad secante igu :1 al 7Ü'/J del módulo da elasticidad del mate
rial tal como sa puade vor an la fiyurn 2.9. El objeto de emplear asta
notación no JS mis qua al conseguir ¡ua la cantidad que se eleve a la
potencia .0* Q sea cercan:.! a la unidad para nvitar los errores que se pro
ducan cuando se elevan números poqueíios a tjrandes potencias.
Gfeal |
(kg/mnrfj
150
100-
50
3
A
Deformación natural
Fíg. 2.8
€
Fig.2.9
£1 procoso da fabricación dol acoro 2 es el mi^mo quo¿ para.
al acero 1 ya qua se trata también de un ,3cero del tipo llamado envejecido. 3u composición química es:
c
0,77 '/,
Uft
p
ai
o,so •;'
0,1? '/•
<2
0,023 '/•
0,019 V»
N
0,0053 r/j
El dlímetro de los alar.ib'ras da este acoro ras do 7 mm. 3us características meciínicas mñs ir.nortantss vienenriadasñor los parámetros:
-
Modulo de elasticidad, E *
-
Lfmita elástico,
-
Carga unitaria de rotura,
-
Alargamiento bajo can.jo máxima, e m
-
Estricción,
n
21.000 Kg/mm2
°o,2-
- 43', ">
1SB Kg/mm2
° r = 179 Kg/mm2
=
G,l ',,
18/4
El proceso de Fabricación del acoro 3 ea algo distinto del de los
anteriores ya c)uc se trata (Je un acero estabilizado. Este tratamiento e3 un tratamiento termomecánico dnstinado ;\ disminuir la relajación del material y que. consiste en calent uniunta combinado can un estirado simultaneo.
La temperatura y duración riel tratamiento ord como la tensión del material
son objeto de patentas.
La composición iiulmica del.aceru 3, cuyo diámetro B3 7 mm, viene
determinada por Ion siguientes valores:
c
^h
0,77 '/,
p
ÜX
0,GG '/,
0,2b !;'
o
N
0,02ü '/'
0,U056 '/,
1 -%
o, U l l
','•
I
¿3us c a r á c t e r ! s t i c a s mecánicas son:
-
M<3dula de e l a s t i c i d a d ,
-
Límite e l 5 s t i c o ,
°0
Carga u n i t a r i a de r o t u r a ,
-
Alargamiento b j j o
-
Estriccirtn,
n -
CQÍTJC
E
=
a
20.V3U Kg/mm2
2
a •
1G3
Kg/mm2
I X Kg/mm2
ma'-dma, e
•- ü , 6 •','•
00 '/.
*
No se han dibujado los diagramas tensión-deformación correspondientes a los aceros 2 y 3 ya que no serán necesoilos en lo sucesivo.
En cuanto a los restantes aceros (4, G, 6, 7 y 8) ya ha quedado
dicho quo se emplearán en investigar la influencia del tratamiento térmico sobre la tenacidad a la fractura del material. Dentro de cada tipo ten
dremos los dos casos extremos correspondientes al acero simplemente trefi
lado y al oobreenvsjecido obtenida medianto un tratamiento muy prolongado
(•30 minutos a temperatura nntre 350 y 4U00 C ) ; además tendremos una serle
de casos intermedios cuyos'tratamientos respectivos difieren en la temperatura del proceso así como.on su duración.
Seguidamente vamos a pasar en revista los métodos de fabricacioYi
correspondientes a cada tipo de acero»
185
El acoro 4 es de G r.im do dlamotro obtenido de un alambrón de 8 mm
por lo qud la reducción de ln sección os del ol'/i. Dentro de cate tipo se han Fabricado la;; siguiantcs variedades:
-
acero simplemente trafilado
-
acoro sobreenvejecido mediante un tn.itaird.Qnto de .TU minutos n 3900 C on
baño de plomo.
-
aceros onvejecidos medianLe tratamientos do 2, 4, b y £30 segundos en hor
nu de inducción Q 3900 C y aplicando una tonaión igual al SO rf> da la car
ga unitaria máxima por lo que al tratamiento resulta semejante al típico
del acero estabilizado.
El acara 5 es también de S mm da diámetro obtenidos reduciendo un
G9r/!> la sección de un alambran do 9 mm de diámetro. Las variedades fabricadas son en oste caso:
-
acero simplemente trefilado.
-
acero sobraenv/ojecido en homp de convección a 3750 C durante 1 hora 30
minutos.
-
aceros envejecidos por tratamientos de 2 segundos en Horno da inducción
a 2508 C y a 450* C.
El aparo 6 es de 7 mm de diámetro y se ha obtenido de un alambrón
de 12 mm por lo que la reducción de secciín duranta el trefilado es de un
66 V* LJGS tratamiGintoa son I O B r,iismo3 r¡ue para al acero 5.
El acoro 7 es de 5 mm de diámetro y se lia obtenido de un alambrón
de 10 mm por lo que la reducción de sección es de un 75 '/* Las calidades que se han Fabricado' son las siguientes:
-
acero simplemente troFilado»
-
aceros tratados en h o m o eléctrico on línea a .3900 C durante 27 segundos
o a 4000 C durante 35 segundos.
-
ar'TOS envejecidos en horno de plomo o 3580 G con duraciones da 2, 4 f 8,
ii
y 64 minuLos.
186
Finalmente al ricura O LIS de 7 mm do diámetro y rje ha obtenido tre
•filando un alambran do 12 mm can una reducción do sección de G6 i*
Las ca-
lidades fabricadas son las mismas que poro el acero 7 con la diferencia da
r
;uc los tratamientos (¡n horno rjlfictriao han durado 34 ¡-.anundos el de 3D0BC
y 45 segundos el do 4ÜÜB C.
ÜQ ahora en adelanta designaremos a estos aceras mediante 3U nfirosro, temperatura de Lrataninnto y duración.
La composición química de cada tipo está resumida en la siguiente
tabla (2.1) quedando claro nuc? la composición química as la misma pora todas las calidades dentro dB un mismo tipo.
TABLA
2.1
Composición química
Acero
r
<•'
llfrí '/>
SÍ
«;
P *
s%
4
0,80
0,02
0,25
0,015
0,02
5,
0,72
0,G0
0,29
0,010
0,03
6
0,80
0,65
0,28
0,014
0,03
7
0,00
0,73
0,25
0,010
0,02
0,80
0,72
0,25
0,014
0.03
B
•
Las características mecánicas de cada tipo de acero han sido representadas en las Labias 2.2 a 2.S.
2.2.2 - Equipo experimental.
•
Dentro de usté apartado englab¡iramos no sólo las máquinas utiliza
das an la realización de los ensayos sino también las nuo sirvieron para preparar las probetas. Esta preparación consistió en producir entallas por
medios mecánicos y fisuras mediante procesas tie fatiga rotatoria. Los ansa
yos realizados posteriormente sobre estas probetas entalladas y (o) fisura
das funron siempre 0e .tracción para lo cual se utilizó* una universal de sn
2.2
Características pacánicas del acero 4
, __ .
390B C
3908 C
3909 C
3908 C
2,4 seg.
5 seg.
50 sen.
3C rrdn.
19.800
20.750
2C.55G
20.650
20.950
Trefilado
Trat and. s n t o
Mfldulo de e l a s t i c i d a d
ÍKg/iwn2)
Línite e l á s t i c o , a
(K[:/rrro2)_
116
149
149
144
127
(Kg/mnC)
161
169
169
157
153
0,2
Carga u n i t a r i a náxima
Ál?.rgamiento b a j o c a r g a máxima
EstrlccióVi
(v) .
3,4
("-'O
51
48
6,6
48
7,4
45
7,5
36
TABLA 2.3
Características mecánicas del acoro 5
Tratamiento
250B Z
450A
2 seg.
2 se
20.300.
20.7
Trefilado
Mffdulo de elasticidad
(Kg/mm2)
Limita elástico, o " (Kg/nrrC)
132
147
1
153
1S7
1
*
Carga unitaria máxima (Kg/mm2)
Alargamiento -bajo carga máxima (">)
. astricción
()
2»1
4a
3,3
4o
TABLA 2.4
Características mecánicas del acero 6
•
.
•
.
.
•
Tratamiento
tódulo
25ofl C
45
2 aeg.
2
2f:.600
20
Trefilado
de e l a s t i c i d a d
(Kg/rerí?)
LTmits s l 5 s t i c o t , o Q '
(Kg/rmi2)
125
137
Carga u n i t a r i a máxima
(Kg/mm2)
153
157
Alargamiento bajo carga máxima
EstriccioVí
(vi)
(7]
2,2
43
3,2
41
TABLA 2.5
Características mecánicas del acoro 7
3909 C
4C0B C
35QS C
3SSB C
27 3eg.
35 s e g .
2 min,
4 rrin.
19.750
21.050
20 .-900
21.200
21.100
(Kg/mm2)
143
179
1S4
169
170
C a r g a u n i t a r i a náxima (K.g/mn2)
181
190
186
187
138
Alargamiento b a j o cr.rga máxima [~ )
V3
4,7
7,0
6,1
5,1
.49
46
4o
4C
42
Tratanientó.
Trefilado
Mddulo de e l a s t i c i d a d (Kg/mm2)
Límite e l á s t i c o , oQ
Estriccifin
(£)
2
TABLA 2.6
CarRCtsrísfclcas macánicas del scern. 8
•
\
390B G
4C0fl G
3580 G
358C C
35
34 s e g .
46 s e : ' .
2 nin.
4 min.
C
20.7GC
20.750
20.550
20.000
2C.B5C
•30
2 OW™^)
137
16?
1GC
1T?0
157
G c r g a u n i t a r i a ngxima (Kg/mm2)
158
178
176
17"
173
A l a r g a m i e n t o b a j o c s r g a néximn [ )
ir o
- f—
4,6
5,2
5,4
6,5
49
41
38
40
tratamiento
Trefilado
í.tfdulo de e l a s t i c i d a d (Kn/mm2)
L í m i t e Rl5stic-a,
E - t r i c c i á n (V)
a
0
39
i y¿
sayos mecánicos IN3TIT0r.|. Vainas n r|nr3orib.Lr bravamente la:.; máquinas u t i l i i
ardas.
Maquina de fatiga rotatoria (Tobo 2.1)
E3ta máquina parral te realizar ensayos do fatiga sobra piezas prismáticas. Al ser la solicitación fundamentnlmontn de flexión, • las fibras Ion
gitudinales de la pi@2a ensayada astarán sometidas a una tensión alternativa de valor medio nulo tal coi 110 se puede vor en la figura (2.1ü). En efecto
la tensión un una fibra situada a una distancia y del aje de la probeta medida nn dirección vertical es
(2.S)
I
según le conocida fámula de Resistencia de útiterialos siendo M el momento flector e I el momento de inercia do la piísza. 3i esta probeta gira alrededor de su eje con Lina velocidad angular ^
e una distancia
r
y si el punto considerada está
del ojo tendremos
y = r cosüJt
de donde, siempre que l a p r o b e t ; : sea
(2.6)
c i l i n d r i c a ( i «= c t e ) ,
M Y"
a • —r~ c o s w t = o
cosw t
I
max
que e s la.ecuacifin.de l a curva dibujada en l a figura ( 2 . 1 0 ) .
Fig. 2.10
(2.7)
fí
»w i»
Ú»
kttiv^j
Fute
2.1
' ^.^: , ^' ,, .^ , ':y..''|V/^>'í.i;>;^'i,•"í^•^:i'^,•'/.' l ;•«''i
á
^Ó'jl^^&Uíí
tu
Foto
2.2
194
El esquema de la máquina se ha dibujado en la figura (2.11). En anta figura se puede ver que la carga se aplica un dos puntos de la varilla a
través de unos cojinetes d^ bolas oscilantes. La probeta está sujeta a la iz
quierda mediante unas pinzas solidarias con el motor ele. la máquina.
•
Por la derecha lu varilla se puedo sujetar a un apoyo Fijo mediante unas pinzas idénticas de tal forma quo ni único movimiento permitido en este punto sea el de giro alrededor del ejd de la probeta. También cabe la posibilidad de no utilizar el apoyo rie la derecha con \a cual las condicio ñas de sustentación del alambre san la,.j de una ménsula.
Como las pinzas se pueden asimilar \ un onpotrarrdonto porfocto las
leyes de momentos flectores correspondientes a los dos casos rio sustentación
citados (doble empotramiento y ménsula) san del tipo de las indicadas.cn la
Figura, (PJ. 12).
La carga 30 materializa mediante unas pesas colocadas sobra una pija
tarorma ospaciaLnente pensada para oseo. .'ÜLn embargo, al hacor girar el alam
hre con ^ste sistema de carga so producen vibraciones que puodün favorecer el que la fisura r.btonida no :;o.a concéntrica can el aje de la varilla. Como
por otro lado no
star.ios realizando un ensayo de fatiga y por lo tanto no nos
interesa i.-,-ntenor la solicitación constante sino :uc¡ lo ínico quu intentamos
conseguir os.producir'una fisura de fatiga en el alambre, el sistema de carga se 'ia sustituido por otra diseñado uspocialuente p. ra -'stp estudio.
Et.te sistema, .¡ue so puede qbserv.ir .¿n la foto 2.2, consiste en medir mediante un flexímetro la flecha del alambre en punta cualquiera, producida p°r la carga que se pretende aplicar. .¡Seguidamente se sustituyen las pe
sas por un dispositivo que está apoyado sobre el travesano inferior de la mfi
quina a través de unos láminas do neopreno y que, mediante un sistema de tor
nillo, aplica la carga sobre la varilla de forma que la lectura >;n el FlexIrriotro sea la misma que pora ni ;nso anterior.
Al ir propagándose lo.fisura, la deParmabiíidad-de la probeta aümon
taré y', teniundo an .cuenta La elasticidad de las laminas de neopreno, la
—
Motor
Alambre ensayado
Cojinete
-tu
-Carg
Fig.2.11
_a
IP/2
P/2
Doble empotramiento
•T
P/2
P/2
Ménsula
Fig.2.12
197
carga aplicada disminuirá. Esta hecho no tiene importancia ya que todo al proceso esta encai.iinadofinicanvintu\ pmüucir unn fisura por fatigo y no a
medir la resistencia del cicom fronte ,•;. una solicitación alternativa.
El motar que mueve a la varilla dispano do un mecanismo de varia ción de lo velocidad dentro de un campo que va desdo SoO r.p.m. hnsta 4.500
r.p.m.
Como se puede ver en la figura 2.11, existe un contador do ciclos
que nos permitirá' controlar da alguna forma lo profundidad de la fisura que
se quiere producir.
Maquina universal de ensayos mecánicos Instron (foto 2.3)
Esta máquina permito runlizar unsayos de tracción, torsión, compre
sión y flexión, cada uno de ellos con muchas variantes pero aquí salo vamos
a mencionar las característicos que nos interesan de cara •.,. los ensayos de
tracción sobre probetas entalladas y fisuradas.
El alambre se sujeta a la máquina mediante dos mordazas de acero de gran dureza que, debido a su forma en cuña, se aprietan a medida que va
aumentando la carga. La mordaza superior es fija y está unida a una célula
de carga mediante un sistema de dos rótulas que le comunica una total libar .
tad de movináentos en un plano horizontal» La mordaza inferior sólo puede moverse en dirección vertical ya que permanece solidaria al carro de la máquina; al moverse óste hacía abojo, provoca en la probeta una deformación —
de tracción. El descenso del carro no coincide necesariamente con el alarga^
miento de la probeta ya que las mordazas van penetrando en el alambre que se ensaya a medida que aumenta la carga, razón por la cual deslizan y absor
ben parte del movimiento del c a n o . Este fenómeno haca necesario el uso de
extensómetros para la medida de deformaciones.
• La velocidad de desplazamiento del carra tiene un amplio margen de
variación (entre. 0,005 mfn/min. y 50 mm/min.). En esta caso ya hemos visto que la velocidad del ensaya no tiene gran influencia siempre que se mantenga dentro de unos límites razonables! entre 600 y 50.000 kg. por minuto se- :
gún Kaufman (Kaufmon 127?) para probetas cilindricas entalladas de 12 mm. -
!1
> >
/ • • * •
* ' . '
•
i!
(i-i
ii
199
de diámetro nor,iinal; e s t e a u t a r raoomisnda que? a l ensayo duro an t o t a l e n t r e
1 y 2 minutos l o cual se consigue en nuestro caso, como varemos mis adelante
con velocidades intermedins del mismo orden que l a s usadas en l o s ensayos do
traccióYi ( l a 5 mm/ndn.).
La medida de carga se r e a l i z a con una c á l u l a de carga montada en e l
b a s t i d o r de l a máquina y s o l i d a r i a con l a mordaza s u p e r i o r . La capacidad de
l a c é l u l a que se usó* en loa ensayos era de 10 T pudiendo medirse l a s fuerzas
con un e r r o r absoluto i n f e r i o r a 1 Kg.
En efecto l a s medidas de cargas, .-¡sí corno l a s de deformaciones se recogen en un r e g i s t r a d o r grfifico cuya escala comprende 100 d i v i s i o n e s pudier^
do a p r e c i a r s e cómodamente l a media división por lo que e l e r r o r de l a s medidas en ul r e g i s t r a d o r es e l 0,S c¡> del v a l o r de la escala completa. En e l c a so de l a c é l u l a de carga de 1U T el valor de e s t a escala se puede f i j a r igual
a 200, 500, 1.L0G, 2.000, ü.OOU o 10.000 kg. toma por otro lado se puede con
s e g u i r que e l cero de l a e s c a l a del r e g i s t r a d o r vaya incrementándose en e l v a l o r t o t a l de l a escala (200, 500, 1.000, e t c . ] a medida quo aumenta l a c a r
ga t se comprende que e l e r r o r absoluto en l a medida de cargas se mantiene c o n s t a n t e a l o largo del ensayo, disminuyendo por lo tanto a l error r e l a t i vo conforme auuenta l a carne. '£ste e r r o r dependerá1 lógicamente del valor to
t a l de l a e s c a l a . Para los va Lores que vagos a usar e s t e e r r o r serfi
-3
AP • 5 . '10 ' . 200 = 1 kg
para un valor t o t a l
de l a úsenla de 200 Kg .(2.8 a)
- 3
AP • 5 . 10
AP = 5 . 1 0 .
. 500 - 2,5 kg
100 0 = 5 kg
puru un valor total
de la escala de 500 Kg
(2.8 b)
para un valor total
de la escala de 1000 Kg (2.8 c)
Para la medida de deformaciones se utiliza un c¡quipo de extensímetros eléctricas constituidos por bandas extensamátricas y cuyas bases de med¿
da pueden valer 0 o 1 cm. Su característica mis notable as la de permitir
-
llegar hasta la rotura de la .probeta sin rieterioro del aparato lo cual es
-
2 00
imprescindible en ensayos de fractura. Dado que cuanto mayor sea el temario
de la fisura mayor seré la doformabilidatí do la vari .Un fisurada y teniendo an cuenta que esta defomibilidad debida a la preaencia de la fisura que
dará tanto más enmascarada cuanto mayor yoa la base da .medida, se comprando
que la elección del tipo de nxbansómoLro deponderá fundamentalmente del tipo de fisura presente. Otrn ry^fin importan';..'? que hoy que Lanar en cuenta en
esta oleccifin se lasa on al hac.io de quu hay qua conseguir que la distribución do tunsionos y deformada™ T, en las secciones de ai'I arre del oxtonsómetro deljan ser uniformes paro ¡no las medidas de r-arga total y corrindento de un punto de la superficie ( u.-¡ Ü S lo ciue realmente medimos con ol oxtensómetro) sean indicativas de la tensión nominal del alambro y de su deforma
ción global siendo posible calcular a partir de estos datos ol trabajo de las fuerzas exteriores y la qnerejín da deformación almacenada en la probeta;
en las varillas que tengan una fisura muy profunda habrá" que utilizar una base de medida grande para conseguir una distribución uniforme de tensiones
y en las. varillas con fisuras poco profundas podremos conformarnos con ba ses de medida menores.
Los dos tipos da oxtensómetros que se han usado se pueden observar
montados conjuntamente sobre la r.iisrne probeta en la foto 2.5, La falta de linealidad máxima garantizada un la respuesta del oxtenaómetro fronte n una
deformación es del 0,25 '/J del mínimo valor total de la uscala que correspon
de a una deformación del 0,2 ','- Por lo tanto se puado suponer qua la 3ensi-6
bilidad del extensómotro es de 5.10 .
En la práctica esta precisión es inalcanzable por la limitación
-
que impone el registrador. En efe ,to, las deformaciones quedan registradas
de la misma forma que las cargas siendo los valores totales de escala 1%
-
2% 5';'* 10'/' y 20'/.. Con el mínimo valor total do escala el error en la medida de las deformaciones sería (al igual que '.ara las ecuaciones (2.0))
Ae = 5 . 1 0 ' 3 . 1% = 5 . 1 0 ~ 5
[2.9)
lo cual está en un. orden de magnitud por encima del valor teórico que as -6 , Además, otra diferencia importante, respecto a la. medida de cargas
Kuto
F o Lo
2.4
2.5
202
estriba en que el cero do la r>scaln delroji.stradorduba corrcspondor en cualquier caso n unn deformación nula; por lo tanto a medida que aumunta la deformación habrá que emplear valores totolos de cácala mayores (2r/j, 5%
Btc.) por lo que el eiror absoluta on la medida ira" aumentando mientras que
el error relativo 3B mantendrá mis o menos constante.
De lo dicho en el apartado 1.4 se deduce la importancia de conocer
la derivada de la elongabilidnd respecta n la profundidad de la fisura; poro para conocer cate parámetro con cierta precisión ao necesario haber de terminado la olongabilidad, y por lo tanto las deformaciones, con una prac¿
sitfn superior nn un orden de magnitud
r
UG
resulta la importancia -l
como veremosrn^sadelanto. Da anuí -
va a tenor al determinar las deformaciones con -
la mSxim? precisión que sea posible.
Parta conseguir esto se ha disenado y construido un diPerenciador de alterna (Romera VJ^j)
consistentes Wiomplificador do ganancia 10 cuya sa
lida es proporcional o la diferencia entro les tensión generada por el exten
sflmetro y una tensión correspondiente a la posición de fondo de escala del
registrador.
Este aparato permite multiplicar por 10 lo procisión en la medida
de deformaciones al utilizar un valor total de escala de 0tlr/í/ e incrementar
el cero de la escala del registrador en el valor total do escala a medida que aumenta la deformación al igual que se hacía para las cargas. De esta forma se' consigue mantener ni error absoluto constante a lo largo del ensayo e igual a
Ae = 5'- 1 0 - 3 . 0,1% = 5 . 1 0 " 6
(2.10)
que c o i n c i d e con e l mínimo ' j r r o r absoluto que sn puede alcanzar con e s t e extensSmetro.
En l o p r a c t i c a , e l mótodp que se sigue para medir l a s deformaciones
c o n s i s t e en c a l i b r a r e l extan:iómotro mediente un nderómetra que aprecia 0,2
•um
( v e r foto P.'j) ' f i j a n d o ' l a /'jase do /.inciida- con una p r e c i s i ó n de C,S(/J por
;|$!lfe^K
Foto
2.6
2Ü4
medio de una galga do rarerancia. Una vez calibrado el axtonsómetro y compro
bada la linealidnd del siotoma ce coloca sobro ln probeta que ss va a ansa yar ajustondo la longitud de ln bnse de medida con la rrdama galga. Esta operación de calibración no se realizo más que unn voz al día en ensayas conven,
cionalns pero.sn nuestro caso, dada la importancia que tañía el dotorminar -'
la deformación con la máximo precisión, r>c repitió antea da cada ensayo.
2»3 - Ensayos sobra probetas untallgdas normalizadas.
Englobaremos bajo esta título Lodos lora ensayos que se han realizado sobra probetas con una entalla semejante a la propuesta por la A.3.T.M. (A3TM 1962) y que ha sido representada on la figura 2.1. En primar lugar astudiaremos el comportamianto da los aceros ] , 2 y 3 para determinar la georo
tría de la entalla más conveniente para nuustroa propósitos. Seguidamente ve,
remos cómo influye el tratamiento térmico 3obre la resistencia del acaro a los esfuerzos que se producen por la presencia do una,entalla; para asto se
ha ejecutado un plan de ensayos sobre los ,.iCüro3 4, 5, 6, 7 y 8, Finalmente
estudiaremos ol a^octo combinado do la entalla y la fragiliroción por hidrógeno sobre el acero 1.
A lo largo de nste? apartado y del siguiente (2.4) se elaborarán las
conclusiones correspondientes o aquellos resultados que son puramente experimentales y que oor lo tanto no guardan relación con lo expuesto en el apar
tado 1.4. Todos los resultados que nstén relacionados o quo vengan a confirmar alguna taoría emitida en el apartado 1.4 pasarán a engrosar el tercer ca
pltulo de esta tasia. fftesultados y conclusiones") junto con los resultados de los cálculos puramente teóricos.
2.3.1 - Ensayos para la detorminación de una geometría idónea»
Como hemos visto anturiarménte, los enaayos para la determinación del factor de intensidad de tensiones crítico en probetas cilindricas han 3¿
do muy estudiados (ASTM 10G2, ASTM 1364, Kaufman 1972) sobro diversos mate rialos y para diámetros on general bastante superiores a loa que son corrían
tes en los aceros para pretensado (media pulgada frente a 5 o 7 mm). Naso
~
vamos a conservar aquellas ideas sobre las dimensionbs de la probeta entalla.
da que son independientes da su diámetro nomina''
•
'
20 5
En particular, lt? r loción de diámetros antro
y la sección nominal í>d/D
la sección entallada
, ae mantiene. También conservaremos todo lo
referente o la longitud de la probeta (no influjo sobre los resultados del
ensayo), vclócidrul de solicitación y ángulo que; l'orman los tramos rectoa de
la directriz de la entalla.(Güo). Sin embargo dejaremos variar el radio en
el fondo de lo entalla, P , cuyo influencia sobre Ion resultados del ensayo
parece depender en gran medida del tipo do material y do su diámetro nominal.
Con estas ideas lo prvibota elegida para La determinación del factor
da intensidad de tensiones crítico serfi la representada on la figura 2.13.
Las dimensiones de esta probeta son validas para un alambre de 7 mm. La necesidad de rectificar la superficie del alambre hasta conseguir un
diámetro de 3,80 mm e3 debido , que es preciso mecanizar una entalla porfec_
táñente centrada on el eje de ),n probeta para lo cual hay que hacer que e^ta probeta sea un cilindro perfecto cosa que no ocurre con un alambre comer
cial ya que el proceso de trefilado introduce muchas irregularidades en su
superficie.
La mayor dificultad encontrada en la fabricación da este tipo de probetas estriba en conseguir radios en el fondo de la entalla del orden de
la centésima de milímetro e incluso inferiores que se mantengan constantes
a la largo del perímetro de la entalla. En efecto,, dado que el acero para pretansar es un material muy durn (45 Rockwell C) las herramientas se desgasten y por lo tonto sus características geométricas cambian paulatinamente durante su uso. Por 'jstn rozón se hnn probado los mós importantes talleres de España especializados en lo fabricación de calibres y cualquier tipo
de piezas de precisión y 301o se ha encontrado uno que cumpla las condiciones requeridas. El rectificado do las probetas se hizo con muelo y la meca
nización de la entalla con una horramiento de vddia* En las fotos 2.7. y
-
2,8 se puedo observar respectivamente una probeta entallada y el perfil de
la entalla obtenido en un proyector de perfiles.
Se han mecanizado entallas pora los aceros 1, 2 y 3 respetando en
cada caso las dimensiones especificadas en la figura 2.13. Los radios en el
fondo de la entalla que se han probado han sido ,Q,2iO, 0,150, 0,100, 0,050
y 0,035 mm. que os al mínimo que 30 ha podido conseguir. En la práctica los
Foto
2.7
Foto
2.8
Re
Probeta entallada empleada en los ensayos de la serie ENT (co
(A
Fig.2.13
208
radios que realmento se han conseguido difieren algo de los valorea pedidos
al taller como se puede ver en loa hablas A2-1 n A2-3 del apéndice de reoul
tados de ensayos (Apéndice 2). Pnra el acaro 1 se iridiaron on caria probota
la excentricidad do la sección de lo entalla rospacto a la socci(3n nominal,
el radio en ol fondo do la entalla y los didmotras d y D de las socolónos ontallada y nominal respectivamente. El mdio en el fondo de lo entalla, que
as el parámetro que puede tonar mayar variación y cuya influencio nos interesa estudiar, so midió" an cuatro puntos del perímetro de lo entalla para tornar como radio real ol valor medio de G3tos cuatro medidas. Paro los aceros 2 y 3 no se midió1 la nxcontricidad porqu'; los valores obtenidos poro el
acero 1 (tablo A2-l) son muy inferiores al mínimo de 0,25 mm recomendado
-
por diversos autores (\3Tf.< 1DG2, Kaufman LrJ72). La nomendatura de las probé
tas consiste on las siglas EMT (Entalla) seguidas de dos números que son el
tipo de acero y un número do orden dentro de cada tipo de acero.
Los ensayos se realizaron como un ensayo dB traccién convencional.
Puesto que la longitud de las probetas ora de 20 cms y teniendo en cuenta que la altura da las mordazas 2S de Í3 emo, la longitud libre entre mordazas
resulta ser de
10 Í 0.5 cms. La volocidad de solicitación (velocidad de des
censo del corro de la máquina) elegido fui? de 1 mm por minuto que, expresa- ,
da en términos de deformaciones, corresponde a un valor táurico (en el s u puesto de que no se produjera deslizamiento de las mordazas) do r/> por rrd.ni¿
to; en términos de cargas, osta velocidad correspondo aproximadamente a 700
kg. por minuto quo entra dontro del campo do variación propuesto por Kaufman
(Kaufman 1372) si tenemos on cuanto que para probetas do 12 mm de: diámetro
nominal,•que son lns que ha estudiado asta autor, lo velocidad equivalente
a la que liemos escogido sería de 2.500 kg/min (campo de vnriacién propuesto:
de 500 a 50.000 kg por minuto).
La volocidad do avance del papol del registrador fué de 10 cm/min.
Los .valoras totales de hscala fueron de 500 kg para las cargas y de 0,1 r/o
para las deformaciones por lo que según las Formulas
(2.0 b) y (2.10) los
errores absolutos son los quo hay que contar son 2,5 kg en cargas y 5 . 10
en deformaciones. Se usé el exténsémetro do 5 cm para la medida de deforma- ..
clonas debido a que sobre osta longitud se pue le apreciar claramente la per
turbacién Introducida por la presencia de la entalla.
2QP
La forma de las curvas c-rga-dafurmación no se ve afectada por al valor del radio en el fondo rio ln entalla como era de eaperar ya que 03te p a
rStiietro sólo duba influir on la c-rrjn de rotura de lu probeta. En las figu ras 2.14, 2.15 y 2.16 hemos representado ostas curvan para I03 tras aceros y
para
P « 0,2C0 mm. Estas curvas son por la tanto media de tres ensayos.
Se pgede apreciar que 1 i deformación do ln probeta se puocío descomponer en dos términos: uno lineal y otro no linnnl. Esto ns debida a la aparición de deformaciones plásticas en las inmodiucionua do la anLalla; lejos
de ln entalla el material sigue en régimen elástico como se puede comprobar
dividiendo la carga ds rotura por la seccifln nominal de ln probeta para cual
quiera de los tres aceros.
Las cargas y deformaciones dn rotura se han consignado en lo9 tablas A2-4 a A2-6. La variación de la tensión nota de rotura en ln cección resistente en función del radio en el fondo de la entalla se puede analizar
en lhs figuras 2.17f 2.18 y 2.19. En estas figuras la escala de radios se ha
tomado proporcional a /p" al igual que en (A3TM 1962); de todas maneras, el
tipo de escala elegido (lineal, logarítmica, etc.) no tiene gran importancia
ya que de lo que se trata as de ver si existe un umbral de p tal que para valores inferiores de este radio la tensión neta de rotura S E mantenga constante. Abalizando estas figuras no se aprecia la presencia de un umbral de este tipo dentro del campo de variación de p que 30 ha estudiado. Sin embar
go ln variación de la tensión neta de rotura es muy pequeña sobre todo si la
comparamos con los datos experimentales de otro3 autores como se puerle ver
en la figura 2.20. Esta disminución de 1 : tensión neta de rotura no,os muy significativa ya que el ensayo tiene bastante dispersión. En efecto, si se calculan las desviaciones típicas de los datos de tensiones netas correspondientes a cada valor del radio en el fondo de la entalla se observa que son
comparables a las desviaciones típicas obtenidas tomando todos ios resultados correspondientes a un mismo acero independientemente del valor de
p
-
(ver tabla A2-7). Este confortamiento había sido previsto al observar la influencia del diámetro nominal de la probeta',
Puesto que parece' imposible conseguir, radios menores de 0,035 mm y
teniendo en cuenta la-pequeña influencia de este parámetro sobre la carga de rotura,•una solución
al problema de determinar una geometría idónea. pa-
P(kg)|
4000 h
3000 h
2000 IACERO 1
¡Í-V
i'''1,
1000 h
0.5
,0.6 ^ £(•/.)
. Extensometro de 5 cm.
Fíg. 2.14
ACERO 2
1000 -
0.5
0.6
Zpl.)
Extensómetro de 5 cm.
Fig 215
P(kg) i
AOOOh
3000
2000 h
ACERO 3
1000 -
0.5
0.6
CC/.)
Extensómetro de 5 cm.
ACERO 1
TENSIÓN DE ROTURA
kg/mm 2
250
2
3
a»
"°200
c
-o
150
0
0.05
0.2
0.10
0.15
0.4
0.3
Fíg. 2.17
0.
Radio
ACERO 2
TENSIÓN DE ROTURA
kg/mm ¿
250-
o
O
^200
c
•o
"iñ
c
01
150
0.05
0.10
0.15
Radio d
0.2
04
0.3
Fig. 2.18
ACERO 3
TENSIÓN DE: ROTURA
<TN
xj/mm?
H-
250
H:
rotura
-+-
_u
-+•
-4-
H*
•
3 200 l
c-
(
V
'¡A
i
-
c
i
-
i
0.05
0.10
0.15
i
i
A
0
150
1"
.
0.2
I
0.3
M
Fig. 2.19
0.
Radio
ACERO 2
nmf
ACERO 3
5AEJJ40
(ASTM
ACERO 1
200
SAE 3KO
(ASTM 1962)
150
B 120 VCA
(ASTM 1962)
IOOLX"
(KAUFMANJ972)
50 h
1-1/16
(KAUFMAN1972)
0.05
oL
0.1
0.2
0.10
0.3
Fig.2.20
0.15
0.20
Radío de entalla ?(mm)
0Á
yjflmmh)
•/ 1 7
ra
al ansrv/o do sensibilidad n las entallas consiste ,-n fijar un valor da
este radia nue na saa diftcLl da conseguir y utilizar aato valar pora todas
las ensayos aucnsivos. La eúrv- solución, cnas^^ntc un raducir al radia an
ni fanda da
la entallo, pmriuc lando una fisura por fat.itia, sora' analizada
on al annrfnda siauinnte (:i'.4).
En cuanto r. Ir, oosibil.irhd do aplicar ln formula (1.48),
KT
= oN
(*D)1/2
FCd/D) ,
para calcular al factor de intensidad de tansionas crítico, so púa !an citar
dos obstáculo3fciflrlcoaimpurtnntas: an -irimor lugar la gnomotría do usté problema (entalla) os distinto da ln
geonotría para 1.a cual ha sido deduci,
da la formula (1.40) (fisura) '¡u-i ,:s la representada on ni figura 1.10; el
radio an al fonda do la antaüa no es nulo por la cual no se producirá una
singularidad an al carpo do Mencionas; •jstu dificultad no debe tenor gran importancia ya que la singularic! d cua debaría aparecer as puramente tártrica ya nuo.el notarial no .o v: az da desarrollar tnnsiane's infinitas; por otro lado, al mecanizar la entalla se ha suprimido una cierta cantidad da material qua haca nuc cambien lia condicionas de contomo dol proclama; este hecho tampoco puede tenor rjr;in irmortancla. ya que la zona an que asta" situada asta cent'.dad de matarla! permanece prácticamente libra JG tensiones
en la probeta cilindrica con una fisura plana coaxial. En oegundo lugar, la
fórmula (1.48) ha sido'deducida an al supuesto de un material elástico l i neal; en asta caso el r,ia''.oriol sobrepasa, an las zonas cercanas al borde de
la fisura., el limita alfistica como se desprende de la observación de las curvas carga-desplazamiento [figuras 2.14, 2.VÓ y 2.1G) y de la tabla '¿.1 donde so calculan las relacionas ontre la tanaifin nata do rotura y lar, tensiones de rotura y rio andancia del ma baria i,
T,\JL\ 2.7
,\cero, 1
/Vooro 2
/''cero 3
/
?N/0r
V^Y
'
1,31
1,40
i,3Q
l,Eiu
1,4G
1,G0
<
*—r—'—i
—ÍT
21 8
El notado de daforni.-riJión pl'sL-ic;i. no ,'13 b,;m iriiport.-int : como pune! <
p a r e c e r a l a vi a t a de
'¡G;OS
cooficinnt,!s y
•\uuf a cernea dal pequí-MO diaVng^
t r o nominal de Lia p r o b e t a s , o'1. estadn r!n :;anr.;.r,innn Muestra una gran t r i a x i a l i d a d qu.i h-ca qura l a r e l a c i ó n entibo 1 •. tensión de comparación en un puní
t a cercano a l borda de la fiaura y l a bnnsión nomin:"l aplicada sea menor
-
que para probetas do nayor diámetro,
Estos dos o f a c t a s que asaba-ios da d e s c r i b i r pueden hacer que e l c a l c u l o dal f a c t o r du intcnsid-id da tansionas c r í t i c o mediante l a fórmula
(l,4Q) sea erróneo ya que biunrion a supervalorar r'Sye parámetro. Sin embargo, como veremos ¡n ol anortar ¡o 2.4 pora e l acoro ,1, l a determinación.del f a c t o r do Intensidad da bonsionas c r í t i c o on condiciano3 qua ü3tfin de acuer
do can l a s h i p ó t e s i s emitidas on l a deducción de l a fórmula (1.40) da un re^
s u l t a d o qua as un Ib;' i n f a r i o r a l v a l o r obtenido del ensayo 3obre probeta e n c a l l a d a . Esta d i f e r e n c i a es l o suficientemente pequeña como para pensar que l a fórmula
K
ClTD)1/2
I " °N
F U / D 1
•
(2.11)
nos puedo dar, •:; partir de los datos do un ensayo 30bre probeta entallada,un valor del factor da intensidad de tensiones crítico,
K
, bastante ajus
' L e
tado a l a r e a l i d a d .
1
1
En ol caso de l o s aceros 1, 2 y 3 l o s v a l o r a s obtenidos a p a r t i r - .
.de l a t e n s i ó n n a t a ' d e r o t u r a muriia de todos l o s ensayos, son:
Acero 1:
KIc
Acero 2 :
K
Acero 3 :
KI¿
= r?18,4
ic »
«
;: 92 9
'
'
?^0,9
Kg/mm
K
^^
Kg/mm
Las razones que acabamos de exponer y e l hecho de que e l ensayo sobre p r o b e t r e n t a l l a d o este" normalizado nos han llevado a adoptar e s t o t i po de probeta pora l a r e a l i z a c i ó n rio'loo ostudios que vomo» a exponer a.
-
•¿ 1 <i
c r o n t i n u - c i f l n : inFI.ucir.oio dj.l t r . , t ;;„u, :n¡::n bVmir.u „o\m,
l a t^naciclnd a l a
f r a c t u r a y c o i a p a r t a u i a n t o do una U , . , ¡ 1 U ; I e n t a U i v I a l'rontü a un p r o e j a
d,
F r a u i l i z a c l o n p n r h : d r * ' | c n o p o r pal.aviz., a.ón c.-itadlcii.
La f u t o r.'.o na;: : l a s t r a un \ riLi.:i.\i LIn.Lca do una p r o b a b a
entalla
da.
Foto
2.9
Finalmente, para interpretar los ensayos da probetas do acoro 1 entalladas y Fisuradas posteriormente por Fatiga' necesitáronlas ennoenr la
olongab.iJ.idad da la varilla simplemente entallada cuando sa usa al extensa
metro de G cm.En afecto, habi-a" que comprobar ni vcilar del error que so co- '
mote al suponer en los cálculos teóricas que el defecto as una fisura piona coma la da la figura l.'\2
cuando en realidad no as así» Por asta ra/.on
sa ha detnnrdnado la elnnaabilidad de cada probeta da enera 1 a partir de
las curvas canje-desplazamiento y par el ¡¡idLodo de mínimas cuadrados- oliii)i_
liando los puntos de la parta
resumida en la tabla AT?—Í3.
no lineal de cada curva. Los resultado:.:,, se bnn
220
2 . 3 . 2 - I n f l u e n c i a del tratamiento térmico.
A l a v i s t a da l o s r e s u l t a d o s obtnnidos en e l apartado a n t e r i o r l a
forma de l a s p r o b e t a s que se usarán en e l presante apartado será" l o indica.
da en l a f i g u r a 2.13 para l o s alambres de 7 ron y l a indicadu en l a f i g u r a
2.21 para l o s alambres de G mm de diámetro. Gomo ss puede comprobar cansar
varemos en ambos casos l a r e l a c i ó n de diámetro, c, = d/ü
r a que l a sección
resistente
, i g u a l a 0,707 p a -
GOP. ln mitad de ln sección nominal do l a p r o -
b o t a . El v a l o r del r a d i o en ni fondo de l a e n c a l l a que adoptaremos nera" de
0,100 mm.,
Por ceda c a l i d a d dentro de cada t i p o do acoro oo han preparado t r e s
V a r i l l a s e n t a l l a d a s y se han ensayado a t r a c c i ó n midiéndose únicamente l a
cargn de r o t u r a da cada probeta; se han calculado a p a r t i r do e s t e dato l o s
v a l o r e s de °N>K
»°N/o
y o /o
• Los r e s u l t a d o s do e s t o s ensayos estén -
recogidos en l e s t a b l a s A2-9 a Al?-13 y se han representado en l a s f i g u r a s
2.22 a 2 . 2 4 .
La i n f l u e n c i a del t r c t a M e n t a térmico cobre o
y por l a t a n t o s o N
bre. K I c
(figura 2,22) parece clore,
.ora los cinco tipos de acero estudia
dos, el comportamiento es el ndr-mo. Un tratamiento adecuado optimiza
el -
valor del factor de intensidad do tensiones crítico y un tratamiento térrn^
co excesivamente prolongado resulta perjudicial a los efectos de mejorar el
valor de •K T
•
le
3i se estudia ln variación de los parámetros
0
/0
v
a
/
(figuras
N r
I I
2 . 2 3 y 2.24) su comportamiento es mucho menos c l a r o ya que an e l l o s también
i n f l u y e n l a t e n s i ó n de fluencia y l a tensión do r o t u r a que a su voz se ven
a f e c t a d a s por e l t r a t a m i e n t o t é r m i c o . El f a c t o r de s e n s i b i l i d a d a l a s anta,
l i a s , a /o
. t i e n e una evolución d e c r e c í a n t e con e l tratamiento térmico ' N r '
para a q u e l l o s aceros (7 y 8) en que predominan l a s v a r i a c i o n e s en l a ten si<5n de. r o t u r o sobre l a s v a r i a c i o n e s en l a tensión neta da r o t u r a en probé
t a e n t a l l a d a . En caso c o n t r a r i a (,-cnros 4 , 5 y 6) l a forma de l a s curvas de
l a f i g u r a 2.23 e s semejante a l a s correspondientes a l f a c t o r de i n t e n s i d a d
de t e n s i o n e s c r í t i c o ( f i g u r a
2.23).
En c u a n t o . a l paramotro a^°Y
' (llamado "notch-yield r a t i o » ) s u - v e -
r i a c i ó n en. función del t r a t a m i e n t o térmico cambia ^ t a l m e n t e de un acero a
o t r o por l o que' de e s t a s datos experimentales, no se puede i n d u c i r una ley
BfPpírica g e n e r a l .
Probeta entallada empleada en los ensayos de la serie ENT
(Al
Fíg. 2.21
275
ACERO 8
250 h
ACERO 6
225
ACERO 7
200-
ACERO 5
ACERO A
J_
Tréf
358 °C
2mrn.
Trtf
250 °C
2s
_L
358 °C
Amm.
358 °C
8mm.
_L
.i.
Tref
390*C
2 As
A50°C
2s
j_
390°C
5s
390°C
60 s
Fíg.2 22
_L
358°C 358°C
358°C TRATAMIENTO
16mm. 32mm. 6Amm. ACEROS 7y 8
375°C TRATAMIENTO
1h.30m. ACEROS 5 y 6
390 °C TRATAMIENTO
1h.30m. ACERO A
o?
40
ACERO 8
30
ACERO 6
ACERO 5
ACERO A
¡0ACERO 7
• 1
Tref
i
358 °C
2mm.
•i
358 °C
4mm.
i
i
358°C
8mm.
358°C
16mm.
i
i
358°C 358 °C TRAT
32mm. 64mm. ACEf
7y8
_L
Tr#f
Tref
450°C
2s
250 °C
2s
390 °C
2.4 s
390*C
5s
±
390°C
60s
375°C
TRATAMIENTO
1h30m. ACEROS 5 y 6
J.
390 °C
1h30m
TRATAMIENTO
ACERO 4
cr Y
1.70-
ACERO 6
ACERO 5
m \ACERO 8
ACERO 4
1.50
1.40
ACERO 7
1.30
Tref
358°C
2mm.
Tref
150°C
2s
Tref
390°C
2As
358°C 358°C
4mm. 8mm.
358°C 358°C 358°C TRATAMIENTO
16mm. 32mm. 64mm. ACEROS 7y 8
450°C
2s
375°C TRATAMIENTO
1h.30m. ACEROS 5 y 6
390°C
5s
390 °C
605
Fjg.2.24
390°C TRATAMIENTO
1h.30m. ACERO A
225
Sin ombnrgo una tic? las consocuoncias que so puedan derivar de nstB
estudio consisto en analizar la relación existente antrn loa insultados de
un ensayo de sensibilidad a l,-,a entallas y les coracterí sticaa mecánicas del acero (tensión de rotura, olaiTjoMGnta bnjo carga máxima, etc.). En efectn siempre,que se comprueba la nocosidnd de definir un nuevo parámetro
en un material, se intenta simplificar ni máximo el ensayo necesario para la determinación de este partetro o incluso suprimir asta ensayo relacionan
do el parámetro analizado con otras características del material. En el campo de los acoras paro preton-.qrio, ce ha logrado recientemente esta objetivo
con la relajación (Sánchez Gal voz 1/J75) (-d conseguir predecir los resultados de un ensaya de relajación a partir de los datos de un ensayo de tracción.
En nuestro caso es muy problemático qué se pueda conseguir este objetivo ya
que el fenómeno de lo roturn propiamente dicha no asta contemplado en ninguna de las características cié uso corriontrj como no sea lo astricción.
3ajo este puntq.de vista se han analizado la carga unitaria de rotura, el límite elástico, la eabricción y al alargamiento bajo carga máxima
y se han comparado con las cuatro parámetros calculados a partir del ensayo
de sensibilidad a las entallas. Dado que el muestrario de aceros estudiado
es muy amplio (34 calidades distintas si tenemos en cuanta además los aceros 1, 2 y 3) los resultados que se obtengan v ¡n a ser bastante signifícate
vos.
Además de los parámetros enumerados anteriormento se ha considerado la tensión filtima de rotura, 0
, sn el ensa/o de tracción que no es más que la carga Cltimn (inferior a la carga máxima) dividida por la sección
resistente en el momento de la rotura que es la del cuello de astricción. Todos los parámetros considerados se han relacionado con los resultados da
ios ensayos de sensibilidad a las entallas buscando alguna correlación. El
alargamiento bajo c a n a máxima se ha relacionado con o N / a Y Q u e indica en
cierto modo el grado de plastificación de la probeta entallada; o
se ha relacionado cono /o ; también ge non relacionado a y y o^por SBT las dos
las tensiones medias de rotura; la estricción, por ser un parámetro que da
cierta información sobre la máxima deformación que puede soportar un material, .se ha relacionado con todos los parámetros del ensayo de sensibilidad
a las entallas; finalmente también se ha buscado-una relación entre o R y
a
para investigar la influencia de la plasticidad en el. Fenómeno dB lo rotura de la probota entallada.
226
Lor, coeFicicntos <'n corr-l',ción, r , . ¡unidos al intentar njustar
una roctp de regresión a estos dotas non \en r.inuinnt-,31
°N/0Y
-
e
mraax
av
° N / o r " °r
:
r
: r
• <V?3'J
"
Ü :vM
'
n " °N
: r •
n - ° N /° Y
:
n - o „ / ar
: r .
0,U13
: r -
0,730
°N
~ «Y
0,031
• r - ofoon
Do oston 'resultados r:n duduco que los ¡jaránotros que nstán más relacionados son ln tensión nota de rotura y'ni limita elástico. En erecto, en
la Figura 2.25 a donde se han re Mire sentado los puntos corraspondientn3 a las
3£ calidades do acero se observa que esto3 puntos están agrupados en t o m o
a una recta. Este hacho nos indica aue l-i carga do rotura en una probeta entallada er.té ligada a la planificación del material en la 3ección da la entalla. En los mnterialas que no endurecen por deformación la carga de rotura
de una probeta entallada no as más que la carga de plastificación total de la sección más desfavorable y por lo tanto es proporcional a la tensión de cadencia en la forma
°N " f ° y
C2.12)
donde f es una constante que depende de las características geométricas del
problema; on un caso de deformación plana y para una entalla cono lo que nos
interesa con unas dimensiones talas que la sección resistente sea le ndtad
de la sección nominal, f val • 1,40 (Ewiny TJG8). En oste caso ha quedado cía
ro qu3 f no p3rmanece constantn (ver figura 2.24) paro también queda demostrado que el proceso de deformación plástica en las zonas próximas al borde
de la entalla es fundamental a la hora de determinar la corad dR roture d*
unn probeta entallada.
,
"fe
E
JÉ
•- (N n
>y tn (o
N
«o
o o o o o o o o
* * * o: B K oc K
o
o
< < < < < < < <
«M
o
Ico
o
o
•m
Oí
-8
o
M7
o
'o
o
«M
II
/
\
'•
t
•
»
1
•
1
I
ti
8
O
MT
o
CM
i •£.
<M
O
CO
<M
T
2
fM
CM
1
O
*—
CM
!
CM
§
1
O
00
oi
di
—
CM f » >»
otr ce
o ce
o oce
UjLJijjuJ
IA
tf
N
(O
o o o o
oc ac oc o:
UJUiUJui
o <-><_> u u o u o
<
<
<
< <
< <
<
X M J + ^ ^ O c í
í*4.
á
cu
O
(O
O
C<4
a
o
.25
J3
CM
<M
O
<N
<M
Ó
**••
CM
O
oCs»
s
j.
^4
O»
O
tn
o
o
8
X
O
O)
J_
o
00
§
8
en
u.
229
Por otro lfi-'n i n tnnsitfn n-it.-i da p.,t:urn' t••.mbión parece ast.u- rfilaciu
nndn con l n tansión último, o (J , yn que el coeficiente do correlación es bastante alto (r- 0,657). i.V.tu Hucha parece natural yn iu« un ambos casos se trata de tensiones de rotura aunque a {] lo -,en en un astado do tensiones
casi uniforme mi: -ntras nur3 ^ '^ la tensión moriin do rotura en una sección
en nun el gradiente ríe tensiones os muy Fuerte debido i la pmsencia de la
entalla. La bondad de osta cn^rnlnción sn puede apreciar un la finura 2.25b.
Los damas pares do 'ínramotros analizados no nscAVí relacionados ya
quo sus coeficientes de correlación son muy bajos.
2.3.3 - Comportamiento frente ni fenómeno de frgpilizacj.fln por hidrógeno.
Los resultados expunstec en el apartada anterior pueden dar la impresión do quo conociendo el límite elástico de un material se puede determinar con cierta aproximación r¡u tunsión nota de rotura en un ensayo de trac
ción nobre probeta ontallad-i y por lo tanto el vnl.or crítico del factor de
intensidad de tensiones. Como vamo.". - ver sagúidanunto, osta impresión es —
errónea.
3a han realizado ensayos de tracción y de sensibilidad a las entallas sobra al acaro 1 fregilizado por hidrogeno mediante polarización catódica. El dispositivo utilizado ostfi descrito on la figura 2.2G. Consiste en
uno cóluln estanca que contiene una elución acida y en la quo S B puedo introducir I- probeta existiendo la posibilidad de someterla a un esfuerzo de.
tracción, simula'neo. La prieta ".a conect- al polo negativo rio unn fuente sstabilizada de corriente y'el nolo positivo da osta fuente se conecta a una
malla de platino que está situada dentro de la célula y que rodea a la probeta tal como ss nuedé observar en la foto.2,ID. De esta forma se producirá1
un fenómeno electrolítico y se formar* hidrógeno sobre la superficie da la
probeta. Una parte da los .*"tamos de hidrógeno se combinaran pora formar moléculas' Ho que saldrán a'la superficie de la solución mientras qus el .rosto
.penetrara. en el interior del ••.•coro fragili.?nndo él material.
La intensidad de 1 T corriente, y ñor lo tanto la cantidad'de hldrÓ
g 0 n o qu- S P forrea en la unidad-de tiempo, se .mantiene .constante mediante un
•reostato; 3u valor es de 1 mA por centímetro cuadrado de superficie de pro-
vi LQ
V
!
Foto
I'
2.10
Soluaon acida
Malta de platine
^pvwwwww
Fuente, de tensión
estabilizada
Fig.2.26
-Sotudon acida
Malla de platint
r
_/wwvwww
*-
H
«(lado"* 0 "
Fia. 2.26
232
beta. Pora evitar que la intomi.rind total fuuse muy importante, se cubrió la Varilla con cinta aislante rJe,jando libre únicrvnentn una lonnitud do 2 cm
y por lo tanto urv, superficie! de 4,40 cxtP nn el caso del alambre y de 4,45
cm2 en al caso de la probeta entallada. Torios los ensayos se realizaran a tenperatura ambinnto,
La solución era uní solución ü,l N de ácido sulfúrico y se anadió
1 mrj /litro de As2 0 3 , catalizador nue dificulta la combinación de loo ¡4ta_
mos de hidrógeno entre sí y por lo ¿anto favorece su penetración en el matc^
rial.
Los ensayos realizados se pueden clasificar en dos tipos cuyas carne
turísticos vamos a describir someramente.
Ensayos do polarización catódica sin tensión (PCST)r
Consisten en cargar la probeta de hidrógeno durante un tiempo v^ <riable de un ensayo a otro para realizar acto seguido el ensayo de tracción.i.ffg probetas lisas que se ensayaron Fueron las siguientes:
PCST / T / 1
-
tiempo de carga 30 min.
PCST / T / 2
•
tiempo de carga GO min.
PCST / T / 3
•
tiempo de carga 120 min.
Las curvas de tensión-deformación obtenidas se han representada en la figu.
ra 2.27. En ellas se observa que respecto a la curva del material virgen (figura 2.7) lo único que cntnbin es la deformación bajo carga máxima. Las
flBChaa indican que la rotura fuó frágil produciéndose 3in astricción algu
na tal comq se puede apreciar en la foto 2.11. Por lo tanto, a la vista de
los resultados del ensayo de tracción, parece que sólo se ve afectada la ductilidad del material.
.A.
2
, 3
Ensayos de polarización catódica sin ten
Fía 2.27
Foto
2.11
taa probetas entalladas aran idénticas a la? utilizadas en al apartado 2.3.1
con un radio en el fonda do In entalla da 0, l£iU nun. Estas probetas fueron las
siguientes
PCST / E / 1
í
tiempo da carga
«= 3Ü iriin.
PCST / E / 2
:
tiempo da carga
=
60 min.
Las curvas aorga-daformacio'n so han representado un la figura 2.2Ü
donda so aprecia quu la deformación plástica os muy pequeña sobro todo ai SQ tiene en cuanta quu se U S Ó ol axtensa'metro de 1 cin para que toda la zona
medida hubissa nido cargada con hidrógeno. Las cargas da rotura de estas
probetas fueron (se denomina P
-
i.\ la can.]a do rotura do una probeta unta._ -
liada do material no fragilizado)
PCST / E / 1 : 3472 kg. (- <X? ',VP
PG3T / E / 2 t
)
3430 kg. (= QG </' P . )
observándose una reducción, cip.rociablu respecta a lu carga do rotura de una
probeta entallada de acoro 1 virgen (r.en.Q du ensayos ENT).
(kg)1
PCST/E/2
PCST/^/I
3000
2000
1000 h
7
en
Extensometr
Ensayos de polarización catódica sin tensión
Fíg. 2.28
236
Ensayos de polarización catódico con tons.i.ón (PCCT)x
Consisten en someter n la probeta (v-irilla ontallada o sin entallar)
al 85p/i de su carga de rotura y c .rgarla de hidrógeno en estas condicionas. En. este ca3o, ai se prolonga mucho el tiempo de carga, se pueJra producir la
rotura durante; este proceso. Las probetas lisas ensayodas fueron las alguien
tes:
#
PCCT A
/ O i con nsta probeta se determinó* el tiempo de rotura, t ',
paro una carga del 05';' de la rotura ( o - 857)0-141
kg/mm2). Resultó t
» 91 min.
PGCT / T / 1: ticimpo de corga
-
44 ndn
- .48 c/> t
PCCT / T / 2: tiempo de carga
=
61 ndn
=
67 "/, t r
tiempo de carga »
01 min
»
89 Í¡ t £,
PGCT / T / 31
Estas tres probetas se ensayaron a tracción obteniéndose las curvas
tensión-deformación representadas en la figura 2.29 donde se puede ver que
el efecto del proceso previo al ensayo de tracción se traduce en una disminución de ductilidad creciente con el tiempo de carga hasta el punto de reducir apreciablcmente la tensión de rotura del material. Al igual que para
los ensayos PCST/T las roturas Funron frágilns y sin estrlcción; la forma de estas roturas es semejaran a Li de la Foto 2.1.1.
Las probetas entalladas que se ensayaron fueron las siguientes:
PCCT / E / 0 : sobre esta probeta se determinó el tiempo da rotu' ra, t
f
para una carga del 85% de la rotura da -
una probeta entallada virgen ( P- B5°/aP.
- 3360
r
kg; o
a 187 kg/mm2). Resultó t • 21,5 min.
PCCT / E / 1 i tiempo de carga
-
10 min.
-
46 $ t
PCCT / E / 2 s tiempo de carga
•
14 mih.
-
65 % t r
-
18 ndn.
-
84 % t ^
PCCT /
E / 3 : tiempo de carga
°"2J
mm')
150-
• PCCT/T
•PCCT/T
• PCCT/T
0.5
1
1.5
Ensayos de polarización catódica con tens
Fig.2.29
238
Las curvas cnrrj a-da Tnrmac ion correspondientes o cedo ensayo ostáh
reunidas on la figura P.3CJ on la que se aprecia qun los deformaciones pife
ticas son bastante mis importanbis que para las probutcis entalladas de Ir
serie P C J T (figura 2.2G). Asimismo ln carga do rotura no se hn vi.oto afoc
tada por el proceso de enría do hirJnSnnno ya qurc los valores obtenidos son
del rnismb ordBn de magnitud qun los correspondíentrio a 1 Q misma probeta
-
virgen (ver tabla A2-4J.
£1 tiempo tran.TCurri.dn desda el final del proceso de carga de hidrogeno hasta ol principio dol ensayo de tracción fui siempre de 10 minutos por lo que desde este punto de vista todas las probütas estr5n en las mismas condiciones. Los datos de todos estos ensayos se han resumido en la
tabln A 2.14.
Analizando los resultados de todos nstos ensayos se comprueba que
las carocturísticas del material que se deducen de un ensayo de tracción son más desfavorables para las probetas da la serie PliCT que para las de la serie PCST yn que estas últimas tienen mayor ductilidad y mayor carga de rotura. Sin embargo, si analizamos los resultados de los ensayos de
—
tracción sobre probeta entallada, observarnos que las probotas de la serie
PCST son mucho mis frágiles que las de la serio PiXT.
No vamos a entrar en la razón última de <¡3te fenómeno ya que habría que aplicar nociones da Físico-Química y estudiar el material a nivel
microscópico lo cual no es el objeto de esta tesis. üLn embargo lo que sí
que nos interesa de este estudio es el resultado consistente en que el material de la serie PCST sólo se diferencia del maternal virgen en que tiene menos ductilidad y una astricción prácticamente nula y sin embargo se muestra muy frágil en el ensayo sobre probata entallada. En este caso °YS8
ría la misma que para el material no fragilizado y a^ sería muy inferior
al valor medio correspondiente a este material. Por lo tanto'no existe una
relación biunlvoca entre o y
y o N o entre a ^
y
a^
pero parece que del
conocimiento .de los dos parámetros resultantes del ensayo de tracción, n
y o"
, se puede predecir de alguna forma el comportamlanto del material
en presencia de una entalla.
En cuanto a los ensayos de la aerié PCCT, las probetas no entalla-.
AOOOh
PCCT/E/I
3000
2000-
1000 f-
3
4
5
6
7
8
Ensayos de polarización catódica con tens
Fig.2.30
240
das son menos dúctiles que les dn la serie PC3T lo cunl es lógico. La explicación del comportamiento de Lir. probetas antalladas puede residir en el hecho de que el hidrógeno so acumula en las '.tanas más fuartomonto solicitadas
y que al doscnrgar ln probo La y durante lor: 10 minutos quo se tarda en córner^
zar el ensayo mecánico una gran norte dB os Lo hidrógeno se escape del mate^ rlal quedando éste prácticanentn en las mininas condiciones quo al empezar el
proceso. Para poder demostrar \stas hipótesis habría que medir la cantidad de hidrógeno almacenada en la probeta cosa que no so ha podido hacer por no
disponer de los medios instrumentales necejsarios.
Como conclusión a loa ensayos de polarización catódica» se puede afirmar que del conocimiento de
o
y
o
se puede intuir el comportaniler^
to de un material en presencia de una entalla; sin embargo parece claro que
este comportamiento sólo se podro" cu-mtificor mediantn un ensayo específico
sobra probetas entallada o f i suradas.
Seguidamente vamos n pasar a describir los ensayos realizados sobre probetas fisuradas por fatiga.
2.4. - Ensayos sobre probetas fisuradas no normalizadas.
Con estos ensayos se trata de reproducir lo más exactamente posl, ble las características geométricas de las probeton que se han postulado en
la parte teórica. Por lo tanto no es suficiente conseguir que la fisura sea
circular y centrada en el eje de la varilla sino que además debe ser lo más
parecida posible n una fisura matemática tal como quedó descrita en el apar
tado 1.4.1.
Como es sabido, la forma
más sencilla de conseguir este tipo de -
fisura es mediante la realización de un ensayo de fatiga sobre una probeta
que previamente tenía un defecto superficial. SBgon quo ese defecto super- .
ficial sea una entalla como la descrita en'el apartado anterior (2.3) o.una
raya rspenas perceptible tendremos un tipo de probeta u otro. Al primer tipo
lo designaremos mediante las siglas ENTFAT (entalla + fatiga) y al segundo
mediante las siglas FAT (Fatiga).
241
2,4
* 1 . ~ Ensayo sobre probeta:, entalladas y posteriormente fisuradas.
La rozón de partir CIR una varilla entallada consiste an que Sata -
es la forme de conseguir Fisuras da nrnn profundidad. El perfil de un defoc
to de este tipo será al dibujado an Ir. finura 2.3.1. Este perfil se difargn
cia del teórico en que le Falta la parte de material correspondiente a la entalla. En al capítulo 3 analizaremos al orror quo se cometa al asimilar el pBrfil real al perfil ideal tnórico. De momento se comprende que esta
-
error debo sr?r pequeño ya quo la zona da material que se ha quitado paro me
terializar la entalla estaría prácticamente libre de tan3Íonos en el modelo
teórico (zona sombreada en la figura 2.3l).
Como el acero que se ha usado es el acero 1 (7 mm. de diámetro) el
perfil de la entalla do que se parte es el usado para los ensayos de sensibilidad a las entallas descritos en al apartado 2.3.1 (ver figura 2.13)con
la diferencia de que la longitud de las probetas es mayor (alrededor de 30
cm), de quo el diámetro de la entalla S G hizo algo mayor (entre S y 5,2 mm)
y de que las probetas no se roctificaron. Gomo an este caso la forma de la
entalla no tenia tanta Importancia yn que la rotura no iba a iniciarse en ese defecto, no fué necesario encargar este trabajo a un taller de precisión
pudiendo realizarse con un- herramienta de widia y colocando la probeta en
un torno. El radio en el fondo de la entalla v-rín de una probeta a otra (de
0,10 a 0,30 mm) pero permanece constante a lo larao del borde de la entalla
en cada probeta (esta condición as imprescindible si se quiere conseguir, que
1
la flsiira de fatiga se inicie al mismo tiempo en todos los puntos del p«rimetrode la entalla y de esta Forma mantenga la simetría de revolución dBl
, 1corij|unt$o.
La fisuración de osta probeta se realizó" en la máquina de fatiga rotatoria descrita en el apartado 2.2.2. Las condiciones de sustentación es
tan definidas, en la figura 2.3.2. La carga P se determinó" de forma que la máximo tensión en la sección entallada .(calculada según las fórmulas de la
Resistencia de Materiales a partir del momento flector en ese punto) sea el
70r;'. de la tensión de rotura del material quB es el tope máximo admitido por
la ASTM (ASTf/, 1962). El escoger este valor máximo fuá debido a que, a causa
de las vibraciones que aparecían en le prabota hubo que trabajar con la rá£nima velocidad do1 motor de la maquina (50U r.p.m.); de tomar una carga
—
Perfil real
Perfil teórico
Fig. 2.31
P/2
P/2
^-JQQ2fi5_
(cotas en mm.)
Fig.2,32
243
menor, la duración de cada ensayo se habría alargmJo demasiado. 9 B comprueba
fácilmente n partir de la fAmula (^.7) y de lns ds la figur- 2.12 que, para
una tensión de 116 kg/mm2 (- 70,': . 106 kg/mn2) la carga necesaria os:
P -
90 Kg
(2.13)
Se hizo en primer lugar una serie de diez probotas (ENTFAT 1 a
—
ENTFAT 10) sometiendo a las probetas entalladas a 5000 ciclos de fatiga rotatoria. Estas probetas fisuradas se sometieron posteriormente a un ensayo
de tracción hasta rotura midiendo 3obro la probeta rota y ntodiante un proysc
tor de perfiles y un plañímntro el área resistente. En efecto se consideró que esta ero la mejor medidn dal tamaño de la fisura ya que nos dn un valor
medio de su diámetro, d,Estos ensayos ds tracción se realizaron cuando todavía no se disponía del diforunciador de alterna pava mejorar la precisión de
lns medidas de deformaciones.El exténsómetro usado fuá el de 5 cm ya que debido al gran tomaría de la fisura el aumento de elongabilidad provocado por esta defecto es muy importante y no queda diluido en los 5 cm de la base ds
medida. Los resultados obtenidos están reflejados en la figura 2.33 (curvas
carga-deformación) y en lns tablas A2-15 y A2-1S.
En estas curvas se puede apreciar un hecho de gran importancias el
i i un II H IwiIihtTi del material o nivel macroscópico R S elástico lineal hasta la
rotura. Por lo tanto, para interpretar los resultados de ostos ensayos, podremos aplicar 1?. teoría deducida en el npnrtadó 1.4.2.
A la vista de la poca precisión sn la medida de la3 deformaciones se repitieron los ensayos con una serie de probetas más grande (ENTFAT 11 a
ENTFAT 28) en cuanto fu<5 posibio disponer del difarenciodor de alterna. Para obtener valores más escalonados del tamaño da la fisura, el número de ci
clos de fatiga fuó variable de una probata o otra segfln la siguiente distri^
buoións
3NITFAT.11
a ENTFAT 15 : 3.000 ciclos
ENTFAT 16. a ENTFAT 20 i 3.500 cíelos
ENTFAT 21 a ENTFAT 24 : 4.000 ciclos
ENTFAT 23 a ENTFAT 28 » 5.000 ciclos
100O-
i^l
Curvas carga-deformación en probetas ENTFAT (1
Flg.2.33
245
Los ensayos se realizaron on fnrmn idéntica a Ion de la seriB anterior. La longitud libra entre mordazas era de 20 cm ñora todas las probetas
y la velocidad de solicitación (velocidad de desplazamiento del carro de la
máquina) de 2mm/min. El valor total do oseáis en la medida de cargas fuá de
500 kg por lo qué el error absoluto se puedo estimar en 2,5 kg (formula
-
2.8 b ) .
Los resültddor, ue.log ensayos se pueden consultar en las figuras 2.34 y 2.35 y en las tablas A2-17 a A2-20. Al igual nue para la figura 2.33
las curvas caraa-deformación se han dibujado desplazadas unas raspecto a
-
otras según el eje da las deformaciones pnr.-.i cnnsnguir una mayor claridad.
En algunos casos se ha producido un crecimiento de ln fisura durante el ensayo; los resultados de esto3 ensayos no sarán da fiar ya que no se puede conocer el tamaño de la fisurn en cada mormnto del ensayo.
Para cada probeta Eíi'TFAT se ha determinado la elongabilidad por el
método de mínimos cuadrados, ln carga y la deformación máximas, las dimensiones de la fisura y la |bensi.ón nota de rotura, o
, datos que se han re-
cogido en las tablas 2.0 * 2jtQpuc?s son los resultadas nvís interesantes de
cara al capitulo 3, en ponda veremos como todos estos datos se ajustan muy
bien a los resultados previstos en el estudio teórico (capitulo l ) . Estudiaremos en'particular la,^langabilidad y su variación can el tamaño de la
fisura prevista por la ecuación (1.99) y la relación antre la carga y la de_
formación en rotura adelantada en las ecuaciones (1.90).
Se puede observar el aspecto típico de une cabeza de rotura en la
foto 2.12.
2.4.2 -' Ensayos sobre probetas fisurqdas.
El inconveniente quq. presenta el ensayo anterior estriba en que el
campo de variación de la profundidad do la fisura es^fi limitado por el tama
río de la entalla. En efecto, la relación de diámetros, £
ñ
d¿D
i ^ b e ser
siempre menor de 0,707. Por otro lado las condiciones geométricas de la probeta hacen qué no 36 desarrolle apenas una zana plástica cerca del borde de
la fisura como ocurre en ln mayoría de loa casos prácticos. Para paliar estos inconvenientes hemos recurrido r* realizar ansayos con probetas previamen,
200
1%o.
Curvas carga-deformación en probetas ENTFAT
Fíg.2.34
16/<
Curvas carga-deformación en probetas ENTFAT (
Fíg.2.35
TABLA
2.6
Resumen de resultados da ensayos sobre probetas ENTFAT (l-10]
Probeta
1
Carga da
rotura
Deformación
de r o t u r a
Elongabllldad
Área no f l s u r a d a
( 1 0 " 6 mm/<g)
(mm2)
d
(mm)
»
705
3,5
15,20
2.435
3,4
7,00
13,5
4,15
ENTFAT- 3
1.990
2,0
7,17
13,1
4,08
ENTFAT- 4
2.280
3,0
5,50
13,1
4,08
ENTFAT- 5
2.167
3,7
7,75
12,7
4,02
ENTFAT- 5
1.554
2,S
7,00
ENTFAT- -7
1.660
2,5
7,55
10,3
3,52
ENTFAT- 8
1.780
2,85
7,75
10,1
3,58
ENTFAT- 9
1.395
2,3
8,24
ENTFAT-10
1.500
2,55
7,34
ENTFAT-» 1
ENTFAT- 2
•
"
5,38
9,30
S,62
11.1
2,62
3,44
2,90
3,76
TA3LA
2.9
Resuman de resultados de ensayos sobre probetas ¿NTFAT (11-19
!
Probeta
Carga da
rotura
1
-
i^efornjacióVi
cía r o t u r a
Elongabilidad
(10
mm/kg)
Aree no f i s u r a d a
(mm2)
(Kg)
3\TFAT-11
2.105
3,10
7,18
12,20
t
•
EHTFAT-12
3.204
4,38
6,75
£i;TFAT-13
2.688
3,75
6,87
INTFAT-14
3.376
4,69
6,78
ENTFAT-15
2.754
3,79
6,81
a:TFAT-16
2.494
3,62
6,90
ENTFAT-17
2.171
3,06
7,r
ENTFAT-18
1.617
2,41
V-,
ENTFAT-19
2.705
3,69
6,76
17,85
13,73
17,70
15,80
14,55
12,80
3,95
15,03
«asumen oe r e s u l t a d o s da ensayos sobre p m b e t a s ENTFAT (20-28]
Probeta
Carga de
-rotura
(Kg)
Deformación
de rotura
Elongabilidad
(lO
-5
rmMg)
Área no f i s u r a d a
Cmm2}
(*0
SNTFAT-20
2.174
3,16
7,19
11,48
ENTFAT-21
2.165
3,24
7,22
12,15
3JTFAT-22
2.240
7,12
13,98
4
~.TF/T-23
£.375
3,35
6,96
14,53
4
INTFAT-24
2.424
3,52
7,10
14,43
4
INTFAT-25
2.057
3,04
7,2?
12,50
3
ENTFAT-2S
1.912
2,73
7,07
11,23
3
B;TFAT-27
1.760
2,62
6,82
11,43
3
ENTFAT-28
1.795
2,94
7,20
10,98
3
251
t e f i s u r a d a s ñor . F a t i g a ;
de
1
¡sfiir, fV¡ums serón c i r c u l a r o s , c e n t r a d a s an el eje
alambre y p n r t i r n h dn ln misrnn supnrficia de ln v a r i l l a y no rial fondo -
de un-i e n t a l l a ; por lo t,mto sor-'
r e p l i c a mrts raxact i p o s i b l e del t i p o de
f i s u r a representado en I r Finu,
\
También a r r e s t o caso se USÓ" únicamente s i acaro 1, cuyo dirtmotm os
de 7 film. Las p r o b e t a s se fabri.cnron colocando v a r i l l a n da longitud aproximada de 40 cm en l a mSquina do f a t i g a r o t a t o r i a según l a disposición indicada
rn l a f i g u r a 2.3G. Dado qun l a s condición;is do sustentación eran l a s propias
de una ménsula, a l punto mis desfavorable (r.l de mayor momento f l e c t o r )
re-
s u l t a s e r e l del empotraniunto. Para favorecer l a formación de l a f i s u r a se
marcaba una rayr c i r c u l a r a lo largo do.I perímetro de l a sección del empotra
miento mediante una c u c h i l l a . Al igual cue pora l a s probetas e n t a l l a d a s l a t a n s i ó n mnjcima de t r a b a j a s quw se tomó Púa" e l 70',' de l a tensión de r o t u r a del
material (0t7 ° r
= 11G Kg/mm2) pudiendo deducirse? fácilmente q u e ' l a carga a
a p l i c a r fu*
P o
30,5 kg
(2.14)
También an e s t e caso .se fabricaron dos s e r i e s de p r o b e t a s , una ant e s de disponer del d l f e r e n c i a d o r da -¡lterna y l a o t r a después. La primera
s e r i e consta de ocho probetas ("AT-1 a FAT-3) y l a segunda de 15 (FAT-9 a FAT-23). Como l n t a r a s a b a b a r r a r todo e l campo de v a r i a - i o n del diámetro de
l a f i n u r a , e l número de c i c l o s de f a t i g a fui v a r i a b l e de unas probetas a otras:
según l a s i g u i e n t e d i s t r i b u c i ó n :
FAT - 1
a
FAT - 0
-
2.1.DO c i c l o s
FAT-9
y
FAT -10- -
3.000 c i c l o s
FAT- 11
a
FAT -14 • -
2.600 c i c l o s •
FAT- 1S
y
FAT -16
=» 2.2rü c i c l o s
FAT- 17
a
FAT-20
«* 1 . 8 0 0 ' c i c l o s
FAT- 21 • a
FAT - 2 3
•
1.400 c i c l o s
Despulas de f a b r i c a r l a s p r o b e t a s , e l pracodiminnto seguido es e l mismo que para l a s v a r i l l a s de la s e r i e EM'TFAT. Las probetas so acortaron -
Foto
2.12
P/2
P/2
í,
85
*.
100
^
(cotas en mm.)
Fig.2.36
253
15 cm para
aodnr ansayorlas con cnmodidad por lo que? ln longitud libra nn -
tro mordazas resulta1 ser de v:> CM. La valocidad do solicitación nlnnidn Furt
ln de 2 mm/min y ni valor total do usada nn la modida do cargas 1.0UÜ Kg por lo que ol orror absoluto axistentr? sobro Ion velaros de las cargas sn puede estimar qun ¡n do íi kg negón ln FÓruula (2.0c). A causa del pequeño tomona do las figuras, fue" naoq:-,ario recurrir ni axtnnr.Ómntro do 1 cm.
La.s curvas carr.ra-clr-trorm ;oión a>e han representado en las figuras
-
2.37 a 2.41. Ln distribución de l-.s curvas en .las distintas figuras se ha realizado con el criterio do conseguir ln mayor claridad. Con vistas al capítulo 3 es necesario conocer 1-. variación con la carga del termino no li nsal de la deformación; esta variación está" dnscritn ¡n las tablas A2-21 oA2-32.
Al observar astas curvas so puedo comprobar que lns deformaciones
plásticas desarrolladas son nucho mayoras que parn cualquiera de los tipos
de probet.? ansa/arios antori.nrnonto. Para interpretar ustos ensayos sera' nucesario aplicar la teoría doducido. nn ol apartado 1.4.3. De todas manaras,a la vista do astas curvas se iuodc adelantar '|un cuanto manor os el tomarlo
do lp. fisura mayores san las daPormacinnos plásticas que so alcanzan y por
lo tanto resultan tanto ¡.venos anllcablos 1-s teorías de fractura an régimen
elástico.
Estos onsayos tienen una mayor dispersión que las realizados so bre prc.b'jtas entalladas y figuradas (serie EMTFVT) debida a que es.m¡5s difícil conseguir que la fisura sen totalmente simóti en por un lado, y por otro lado porque ol exteñsómetro de 1 cm de. en la practica menor precisión .
que ol de 5 cm; la rezón de asta diferencia estriba en que es mis difícil conseguir que se estabilice la calibración de este, extensómotro. El tamaño
de la fisura ('ma,
diaV^tro, relación de riiaWtros) .'sí como la carga y la
tsnaifln n^tn do rotura corr ":;-nndientes a cada probeta do la sario se han recogido en la t-bla 2.11.
En la Poto 2.13 so puedo observar ol aspecto típico de una esboza
de rotura de la serio F/'.T.
10
15
Curvas carga-deformación en prob
Fíg.2.37
10
15
Curvas carga-deformación en probeta
Fig.2.36
5
10
15
Curvas carga-deformación en probetas FAT
Ra 2.39
4000 h
3000 h
10
15
Curvas carga-deformación en probetas F
Fíg. 2.40
2000h
Curvas carga-deformación en probetas F
Rg.2.41
Resumen de resultados de ensayos sobre probetas FAT
Probeta
Carga de r o t u r a
(Kg)
Aréa no fisurada
d
d/D
°N
(mm)
5.800
32,25
6,41
0,915
179,8
FAT - 2
5.160
26,07
5,76
0,823
197,9
FAT - 3
5.995
32, HO
6,38
0,912
187,3
FAT - 4
5.980
—
-
—
—
FAT - 5
5.340
32,50
6,43
0,919
164,3
FAT - 6
5.500
29,77
6,16
0,880
184,7
FAT - 7
5.925
33,94
6,57
0,939
174,6
FAT - 8
5.820
33,47
6,53
0,933
173,9
FAT - 9
6.045
35,02
6,68
0,954
172,6
FAT- 10
2.820
19,12
4,93
0,705
147,5
FAT- 11
2.790
19,50
4,98
0,712
143,1
FAT- 12
3.355
19,21
4,95
0,707
174,6
FAT- 13
6.196
35,26
6,70
0,957
175,7
FAT- 14
3.115
19,30
4,96
0,708
161,4
FAT- 15
2.930
19,70
5,01
0,715
148,7
FAT- 16
2.765
18,39
4,84
0,691
150,3
FAT- 17
5.242
28,38
6,01
0,859
184,7
FAT- 18
6.375
35,36
6,71
0,959
180,3
FAT- 19
5.450
31,85
6,37
0,910
171,4
FAT- 20
5.275
27,19
5,88
0,841
194,0
FAT- 2 1
6.383
37,15
6,88
0,983
171,8
FAT- 22
5.400
33,06
6,49
0,927
163,3.
FAT- 23
6.230
35,29
6,70
0,958
176,5
FAT
i
(mm2)
(Kg/mm2)
•
Fo t o
2.13
3 - RESULTADOS Y CONCLUSIONES
Una vez estudiado el problema propuesto tanto desde si punto de vista teórico como desde el punto de vista experimental, vamoa a detallar los re
3ultados obtenidos, Iremos pasando en revista los distintos casos analizados
en el apartado 1.4: fisura circular coaxial sn régimen elástico y en raimen
elastoplástico, fisura superficial elíptica, para terminar enumerando las con
alusiones que se deducen de este estudio.
A lo largo de este capítulo iremos relacionando los resultados de
-
Tos ensayos con los resultados previstos por aplicación del estudio teórico y
simultáneamente se describirán los resultados obtenidos mediante métodos numá
ricos.
3.1 - Fisura circular coaxial en régimen elástico
En este apartado vamos a referirnos numerosas veces a los resultados
obtenidos mediante cálculo en computador por el método de elementos finitos.Por esta razón vamos a explicar someramente el procedimiento que se ha seguido y los casos que se han estudiado.
Como ha quedado deoostrado en los ensayos que cuando la fisura circular coaxial es poco profunda se desarrollan grandes zonas en las que el material se deforma plásticamente sólo se han tenido ti cuenta en los cálculos
por elementos finitos en régimen elástico aquellos valores del diámetro de la
fisura, d, para los cuales los zonas plásticas tienen muy poca importancia. Los casos que se han estudiado son los que tendrán realmente una aplicación práctica. El estudiar fisuras poco profundas sólo sería útil en el caso de ma
terlales muy frágiles cosa que ocurre en los aceros para pretensado únicamente cuando sufren.algún proceso de fragilizoción (fragilización por hidrógeno
por ejemplo).
Teniendo en cuenta estas razones se han realizado los cálculos corres/
pendientes a cuatro,casos distintos definidos por el valor de la relación entre diámetros, S
, da forma que cubran todo al campo de variación da este -
parámetro en los ensayos de la serie ENTFAT:
:,> G :>.
CASO 1
;
' ,; „
o,50
CASO 2
:
r, •
o,S5
CA90 3
:
c, -
0,60
CASO 4
:
r „ o,65
En cuanto al programa de cálculo, tonto la generación de la malla da
elementos como sobre todo la aplicación de métodos de cálculo específicos que
describiremos más adelante determinaron la necesidad de redactar un programa
adecuado a las particularidades de este problema y cuyo organigrama se puede
consultar en el Apéndice 3.
La malla de elementos se genera automáticamente mediante una subruti
na especial no siendo preciso dar más que unos pocos datos (del orden de 10)
para definirla totalmente. Esta malla comporta triángulos y cuadriláteros con
nudos en sus vértices y por lo tanto con variación lineal da corrimientos. EL
diseño cíe la malla se realizó conforme a los criterios que imperan para estudiar los problemas da fractura (mitón y Sin 1.973). En las proximidades del
borde de la fisura los elementos se disponan formando anillos y su tamaño es
tanto más pequeñp cuanto más cerca están de este punto; esto es necesario para describir con cierta aproximación al fuerte gradiente de tensiones que se
va a producir en J.as proximidades del fondo de la fisura. En la figura 3.1 se
puede contemplar IB malla correspondiente al caso 4 ('<; - 0,60). En todos los
cálculos se consideraron 83 nudos, y por lo tanto 166 grados de libertad, y 70 elementos. Este número de nudos es el necesario pera obtener buenos resultados del estudio del campo de tensiones alrededor del bordB de la Tlsura y podar compararlos con los métodos propuestos en este estudio.
El programa se procesó en un ordenador UNIVAC 1108 con una capacidad.
'
*
disponible de 65 K palabras. En caria cálculo se invertía un tiempo total (cal
culo y procesos de entrada y salida) de 3 minutos gastándose otros 2 minutos
adicionales en calcular la tasa de liberación de energía por la fórmula (1.161).
Los resultados que se obtienen del programa son tensiones, defprmaciunea y densidades de energía en varios puntos de cada elemento, energía
—
Fíg. 34
y t. u
total de deformación y variación da energía al progresar la fisura una pequeña longitud (del orden de la diezmilóaima de la profundidad de 1H Fisura). Se
realizaron algunos cálculos de coriprobación sobra un caso de deformación plana como ya veremos en el apartado 3.3.
Las condiciones de sustentación están indicadas en la figura 3.1. Las
condiciones de solicitación son del tipo llamado.de control de desplazamientos
ya que se dio un desplazamiento forzado vertical, u , a loa nudos de la sección
transversal superior. El valor de usté desplazamiento no influye sobre los resultados por tratarse de un problema de elasticidad lineal; en nuestro caso ss
tomó
„ 0,02 mm que equivale o una deformación global del 3 c/b.
uL
El análisis de los resultados lo vamos a dividir en dos partes. En.la
primera compararemos los resultados de los ensayos de la serie ENTFAT con la —
teoría acuesta en la primera parte del apartado 1.4.2 y que se basa en trabaJar con la slongabilidad de las probetas traduciéndose en las fórmulas (1.B9)
y (l.90); en apoyo de esta teoría utilizaremos además algunos de los resultados del cálculo por elementos finitos. En la segunda parte estudiaremos los distintos mótodos para calcular la tasa de liberación de energía y el factor
de intensidad de tensiones a
partir de resultados numéricos haciendo hincapié
principalmente en las dos integrales J . y
M que se han deducido en el aparta-
do 1.4.2.
3.1.1 - Elongabilidad
Vamos a comprobar en este apartado la validez de una de las consecuen
cias teóricas del estudio teórico consistente en que la elongabilidad•de una probeta con una fisura circular coaxial viene dada por la fórmula:
eco. - l6(l-v2)
donde
l
T
i--2
b
i ,,
i+1
)
TTl C 1 ^
+
-4"i.(l-V2)D
(3.1)
son constantes numéricas cuyos valores están indicados en las fórmu
las (1.85). Ahora tenemos la ocasión da conprobar la validez de esta fórmula
por varios caminos uno de los cuales es el experimental. Seguidamente analiza.
remos las curvas
carga da rotura-deformación de rotura y varamos si se pueden
?. 6 O
describir mediante las ecuaciones (1.90), deducidas oh el estudio teórico.
En la figura 3.2 se han representado todos los valores de la elongabilidad obtenidos por vía experimental (ver tablea 2.8 a 2.10) en función del
área resistente de la sección fi surada, A. Se ha escogido este perímetro como
referencia del tamaño de la fisura y no otro, como F,
ó d porque la tasa de
liberación de Bnergja esté relacionada con el área de la fisura y no con su diámetro (fórmula (l.73j). En esta figura se han diferenciado los puntos correspondientes a las dos series de ensayos sobre probetas ENTFAT. Se puede com
probar que los resultados de la primera serie (efectuada sin el diferenciador
de alterna y con menor precisión en la determinación de las áreas) presentan
una dispersión muy superior a los de la segunda. Sin embargo parece claro que
la precisión obtenida con el diferenciador es todavía insuficiente ya que el
ideal sería poder determinar a partir de estos resultados una ley de variación
de la elongabilidad en función de A para, de ahí, obtener la derivada de esta
elongabilidad respecto al área A que es lo que interesa conocer para calcular
la tasa de liberación de energía mediante la fórmula
6
.- - i ^
(3.2)
$>
En efecto si se exige une precisión de un 5% en el valor de Q y se - '
supone que le derivada de C se calcula en un intervalo
A A - 1 mm2, un sencillo cálculo de errores nos indica que la precisión necesaria en las deforma
-6
""
clones es de 10
es decir 5 veces superior a la máxima disponible.
También se ha dibujado en la figura 3.2 la curva determinada por la ecuación 3.1 en la que se ha hecho
E -
20.400 Kg/mm2
D -
7 mm
v •
0,3
E •
50 .mm
Se puede apreciar que la curva teórica se adapta muy bien a los datos ejqaerlmentales quedando en todo caso un poquito baja. Este efecto es debl^
do a que la curva teórica corresponde a un alambre fisurada como el represen-
+ 1?serie ENTFATO-—20)
o 29serie ENTFAT (11—28)
L aSOmm.
Errores
•
—
i
I
!
,
•
*
D
!
i
15-*
10
Ecuación (3-3)
Ecuación (3.1)
15
10
Fig. 3.2
*-~«
. A(mm?)
.' (., ,'
tado e>n la figure 1.42 mientras que en lor, ensayoa se ha trabajado con un
—
alambre entallado y posteriormente fisurado, cuya flexibilidad os ligeramente superior. Para tener en cuente; este efecto habWí <:ur; corregir la ecunción
(3.1). Gi conocemos la flexibilidad de una probeta simplemente entallada, sea
C (0,707), in aplicoclón de la ecuación (l.Q4) naecanduce a
(O
« C(0,707) - -^-U^-Íi
LÍi^l
/
df
(3.3)
r^
Tomando C (0,707) igual a 7,09 . 10~° mm/kg que es el valor medio indicado en la tabla A2-8 podemos dibujar una segunda curva en la figura 3.2.
Sin embargo se observa que los resultados experiméntalos se mantienen entre
las dos curvas sin ajustarse notablemente a la curva representativa de I R —
ecuación (3.3).
La explicación de este fenómeno reside en el hecho de que las entallas de que se partió al fabricar las probetas de la serie ENTFAT no eran tan
profundas como las correspondientes a la serie ENT. En efecto las relaciones
de diámetros pora estas probotas eran variables y oscilaban entre 0,71 y 0,75
por lo que la flexibilidad correspondiente al valor 0,707 es menor de lo que
hemos supuesto. Esta es una de las causas de la dispersión que se encuentra en los resultados de elongabilidades.
Otra forma da comprobar la validez de la ecuación (3,l) consiste en
emplear los resultados del cálculo por elementos finitos. Para esto habrá que
tener en cuenta que el sólido para el cual se ha realizado el cálculo tiene ,
una longitud de 7 mm por lo cual si se quiere representar estos resultados so
bre la figura 3.2 habrá que sumar la elongabilidad de' una longitud de alambre
sano de IB ram y multiplicar por dos para conseguir una probeta simétrica respecto al plano de la fisura y de longitud 50 mm que son las condiciones corres
pendientes a las' probetas de la serie ENTFAT para las cuales la longitud de la base de medida era de 50 mm.
Para calcular la elongabilidad a partir de los resultados del cálcu
lo por elementos finitos y como la solicitación ejercida sobre el sólido con
siatió en dar un corrimiento forzado vertical, u ^ a
los nudos del nivel
—
268
superior (ver figura 3.1), la tensión media
será
en si acero, lejos de la fisura,
2_ U
(3.4)
donde U
es
i a energía de defprmación y A 0
es la sección nominal del alambre.
Conociendo la tensión, se dotemlnn fácilmente la fuerza y de ahí la elongabilidad. Apupando este método a los cuatro casos analizados se obtienen los siguientes resultados
Caso
u pora L m m tm
ü pora L • ou mm
(10
(10*"5 mm/kg)
mm/kg)
1
2,531
7,116
2
2,357
6,942
3
2,219
6,804.
4
2,105
6,690
A Cálculo numérico
10
Ecuación (3.1)
15
10
Fígt 3.3
A(mm?)
269
Representando las dos aproximaciones on la figura 3.3 so compruebo que las dos prácticamente coinciden.
Vamos a analizar seguidamente al conportandenta en roture de las pro
betas fisuradas. Para asto necesitamos conocer el valor crítico del factor do
intensidad de tensiones o da ln tnsa de liberación de energía para el acero 1.
La forma de determinar estos dos parámetros consistirá en aplicar la ecuación
Kx - o N ( n D ) l / 2 F(d/D)
(3.5
)
a l o s datos da l o s ensayos sobre probetas ENTFAT que se han recopilado en l a s
tablas 2 . 8 a 2.10. El valor medio obtenido es
KIc = 200,8 kg/mm3/2
(3.6)
y aplicando la ecuación (1.78) sa determina la tasa*de liberación de energía
crítica
G •. c
1,799
kg/mm
(3.7)
.
Como ya adelantamos en el capítulo 2, al valor de Kl
obtenido a
partir de probetas fisuradas en las que el desarrollo de la zona plástica es
mínimo es ligeramente inferior al valor que* hemos obtenido mediante el ensayo de las probetas entalladas (serie ENT) que era de 218,4 Kg/mm
/2
. La car-
ga de rotura de una probeta fisurada viene dada por la fórmula (1.83) la cual
sustituyendo D y IC ' por sus valores correspondientes al acero 1, se transfor
ma en
Pc
.r2
=1647,9 jfá
,
(3.8)
En l a f i g u r a . 3 . 4 se ha representado la carga de rotura frente a l a
r e l a c i ó n de'diámetros,
i, (
C, - d/&). P*ra todos l o s ensayos.de l a s e r i e
2 70
ENTFAT al mismo tiempo que la curva correspondienta n la ecuación ( 3 . 8 ) . En esta figura se observa que el ajuste es muy bueno salvo quizás para valores a l t o s de
f", . Esto es debido" a que en estos casos la importancia de las d e -
formaciones plásticas aumenta y le ecuación ( 3 . 8 ) , que ha sido deducida en el
supuesto de un material elástico lineal, subestima la carga de rotura de la p r o b e t a fi surada. A la vista de esto se puodo afirmar que s6*lo se puede consi
f,
d e r a r el acero 1 como elástico cuando
sea menor de 0,67 o, lo que e s eqid.
valente, cuando el área de la síicción resistente sea menor del 4 5 $ del área de la sección nominal del material (este número es función del diámetro n o m i nal del alambre y del tipo de m a t e r i a l ) .
Finalmente n o s queda comprobar que, en un diagrama en que se repi
senten l a s c a r g a s de rotura frente a las deformaciones de rotura los puntos c o r r e s p o n d i e n t e s al mismo material (en este caso el acero l) siguen una curva
c o m o las indicadas en la figura 1.44, cuyas ecuaciones paramátricas son las ( 1 . 9 0 ) . Al adaptarse los resultados experimBntal.es a las predicciones teóricas
t a n t o en cargas de rotura como en elongabilidades,caba esperar que ocurra lo
m i s m o c o n las deformaciones de rotura.
En efecto, particularizando las ecuaciones (1.90) para el caso p a r t i c u l a r del acero 1, se obtienen las ecuaciones
P
-. 1647,9
c
Si,_
(3.9a)
FU)
.2
u
c
=
°'
168
7u)
¡
h.
. .
~ - (1 ~ 5
)
+
0,6246
(3.9b)
Transformando la ecuación (3.9b) para obtener la deformación global en los 50.ramde la base de medida para poder conpararla con los resultados expérimen
tales y teniendo en cuenta la corrección materializada en la ecuación (3.3) ee obtiene
3, 36
10
(1 r,i+ 1 >
-3
F(f.)
i--2 i + 1
+• 0,669"3
(3.9c)
T3
serie ENTFA
serie ENTFA
II
o o+ a
•
o
o
ü.
O
m
o
_L
_L
9
O
O
O
O
O
m
O
.8
O
2 I2
En la figura 3.5 se han representado conjuntamente la curva definida
por las ecuaciones (3.9) y los resultados exnerimentales correspondientes que
no son más que los extremos de las curvas carga-deformación para las probetas
ENTFAT (ver figuras 2.33 a 2.35). La recto que pasa por el origen es la co rreapondiente a una probeta no fisurada. Se puede comprobar que el ajuste es
bastante bueno 3obre todo para les probetas de la segunda 3erie de ensayos (uso del diferenclador de alterna). También se observa an la figura 3.5 que la
Introducción de la corrección relativa a la elongabilidad de la probeta simplemente entallada, modifica la forma de las curvas P -e
c c
previstas en el-
88tudio teórico (figuras 1.44 y 1.45) ya que estas no tienden tan rápidamente
hacia la recta representativa de la probeta sana; esto es debido a que. el aumento ¿a la carga de rotura con el área resistente compensa la disminución correlativa de la elongabilidad hasta el punto de que la diferencia entre la deformación de rotura y la deformación comaspondiente a la misma carga en una probeta sana varía muy poco con al tamaño de la fisura.
3.1.2 - Factor de intensidad de tensiones
Vamos a analizar seguidamente los distintos métodos que se pueden emplear para el cálculo del factor de intensidad de tensiones o de la tasa de liberación de energía a partir de los resultados de un cálculo ppr elementos
finitos.
En primer lugar vamos n calcular el factor da intensidad de tensiones
mediante las fórmulas
KT
-
lira' o
I
.
r ••0
(2nr)l/¿
z .
.
(z = 0
KT = lira .T^T-TT PI
.
'
; p-'a)
(3.10)
•
<*-° ' <:'a>'
(3.11)'
2C1 -v ) ' r
r
t
\
que son consecuencia directa de las ecuaciones (1.1) y (U2J respectivamente.
Se han calculado los.valores de
K{ qué se deducen de estas fórmulas para -
distintas distancia, r , al borda de la fisura resultando la variación.de
Kj
en función de r que se puede observar en la"figura,3.6.(cálculo mediante la fórmula (3.10)) y en-la fl«júra 3.7 (cálculo'mediante la fórmula (3.11]).
2 74
En la f i g u r a 3.6 s e c o m p r u e b a q u e la variación d e K^ c o n r e s pnScti_
cañante lineal salvo en las proximidades del borde de la fisura donde el método de elementos finitos ss incapaz de reproducir el fuarte gradiente de tonsio
nes existente. EL límite de K,
cuando r tiende a cero se puBda determinar fá-
cilmente hallando la Intersección de las rectas de regresión representadas en
la figura 3.6 con ol eje r - 0. Los resultados obtenidos se han recopilado en
la tabla 3.1. En esta tabla se han representado también la tensión nominal del
alambre calculada mediante la Fórmula (.3.4), l B tasa de liberación de energía
calculada a partir de Kj
en el supuesto cJe un estado de deformación plana me-
dianto la fórmula (1.47) y la relación
K
K
I
°N(»D)
1/2
i ^
donde ° es la tensión nominal ('•> - P/A# ) y
sección fisurada ( o
C 3 ' 12 )
O(,D)1/2
u
es la tensión neta en la -
- 4p/nd" ). Esta relación debe ser igual, según la fór
muía (1.48) a la función F (d/b) que se ha representado en la figura 1 2 0 v
cu
~
yos valores están recogidos en la tabla 1.1. La razón de incluir la tensión no
mdnal y la tasa de liberación de energía estriba en que son los dos parámetros
que tienen un verdadero significado físico mientras que el número «dimensional
de la ecuación (3.12) sólo se usará a los efectos de comparar unos métodos con
otros.
31 se calcula
K
j
a partir del campo de corrimientos
mediante la -
fórmula (3.1l)f su variación en función de r ya no es lineal por lo que resul^
ta algo más difícil hallar su límite cuando r tiende hacia cero. Este límite
se he determinado gráficamente sobre la figura 3.7. Los resultados obtenidos
están recogidos en la tabla 3.2 en la misma forma que para el t,iétoda anterior.
Aunque comentaremos los resultados más adelante al conparar los resultados de
la tabla 1.1 con los de las tablas 3.1 y 3.2 que se obtienen valores mucho más
aproximados a partir del canpo de tensiones que a partir del campo de corrimien
tos..
Para calcular la tasa de liberación de energía se ha supuesto que estamos ante un estado de deformación plana. La validez de esta suposición se.pus
de comprobar fácilmente;gracias al cálculo por elementos finitos. En efecto, lo que realmente interesa es que exista un estado de deformación plana en las
proximidfldes del borde de la fisura. 3s ha calculado la relación anlTe las de-
E
e
• - CN eo
o>
o
do
O
c»*
o
<£>
o
(£
•
o
>T
c¡
o
c>
CM
O
c
iZ
d
TABLA
3.1
Cálculo del factor de intonsidad de tensiones a partir rio 1
fórmula (3.10).
Ceso
K
(Kg/mm3^
o
(Kg/mm2)
(.
(Kg/mm)
N
1
Caso
173,7
2
161,5
41,06
4 4 , oy
Caso 3
Caso 4
153,5
141,0
46,84
49,37
1,346
1,163
1,051
0,887
0,226
0,?36«
0,252
0,257
v ^;
TABLA
3.2
Cálculo del factor de intensidad de tensiones a partir de la
fórmula (3.11)
Caso
^
(Kg/wn3/2)
n
(Kg/nm )
G
(Kg/mm)
K
l
0N(nD)1/2
1
203,0
41,06
Caso
2
191,5
44,09
Caso
3
177,5
46,84
Caso 4
164,5
49,37
1,838
1,636
1,405
1,207'
0,264
0,280
0Í291
0,300
2 7H
fonnaciones .. ^ y ,
representativa del satado.de
p o r aer o s t a ú l t l m Q l o ^
deformación del sólido; este calculo se he repetido pam varias distancias, r ,
al borde de la Fisura obteniéndose las siguientes resultados
ImmJ
0,006
0,054
Q
?.
-
0,172
-
2','
5$
0,368
-
5?,
• -
G#
MÍ
Esta tabla (correspondiente al acero l) demuestra que a medida que r
disminuye la deformación ., f
«je va haciendo cada vez irenor ( en este caso dos
Órdenes de magnitud por debajo de ..
z
] por lo que resulta aceptable la hipó-
tesis consistente en suponer que el estado do deformaciones en los alrededores
del borde de la fisura es equivalente a un estado de deformación plana. Por lo
tanto la variación de las tensiones en las proximidades del bordé de la fisura
deberé ajustarse a la prevista en I.33 ecuaciones (l.l). En efecto, de la ecuación (l.lb) se deduce que la relación entre la tensión "., en un punto P y la
misma tensión
z
en el punto P* situado a la misma distancia del fondo de -
la fisura pero eh plazo
2=0 (ver fogura 3.0) sigue la ley
a _(r, 0 )
"7767
os - C 1 + s e n -~ s e n — ••;
(3.13)
Se ha utilizado esta representación en la figura 3.8 habiéndose calculado las tensiones
:
z
para cuatro valares distintos de r. Se puede observar en
esta figura que, salvo para valores muy pequeños de r para las cuales el método de elementos finitos no resulta eficaz, la distribución angular de t e n s i o nes se ajusta con bastante exactitud a la distribuciflr teórica. De todos modos
de este estudio se deduce que los valores de tensiones y corrimientos qué se obtengan en'las cercanías del borde de la fisura medianto métodos numéricos no
son njuy aproximados a menos que se utilice una malla extremadamente fina en
-
las zonas en que se puede prever la existencia de un fuerte gradiente de tensiones; sin embargo esta solución repercute en el tiempo de cálculo y en la capacidad de.memoria central necesarios hasta el punto de resultar prohibítive. Por esta razórí se hace necesario recurrir a otros mótodoe de tipo anergét¿
CO para determinar el factor de intensidad de tensiones.
Aj>
Dentro de esta clase do métodos el más sencillo consiste en calcular la energía elástica almacenada en cada caso y eplloer directamente la fórmula
(1.72) en la forma
AU
U -IJ
G
=
_ _JL_JL_
Á A,.
f
A
fA
- ~Á
fB
(3.14)
donde los subíndices A y B representan los valores distintos de la profundidad
de la fisura; los valores de la energía de deformación son comparables ya que
corresponden a la misma solicitación (un corrimiento forzado según el eje z de
valor u L ) . Este valor de la tasa de liberación de energía se adjudica al punto medio del intervalo Afl. Los cálculos correspondientes a este método se han
resumido en la tabla 3.3. Este método no da una gran precisión como veremos más
adelante y además presenta el inconveniente de requerir dos cálculos para determinar el factor de intensidad de tensiones para un tamaño de fisura determinado.
El método energético que da mayor precisión es el de la rigidez diferencial explicado en el apartado 1.4.5 y
1
2
, , T
que se resume en la fórmula
(AK) ,
AA
(3.15)
En este caso se desplazaron el nudo que representa al borde de la fisura y el primer anillo de nudos a su alrededor en una distancia igual a la 'diezmilésima de la profundidad de la fisura tal como recomienda Parks (Parka - "
1.974). Los resultados obtenidos por este método han quedado reflejados en la
tabla 3.4.
Finalmente se han empleado otros dos métodos más para determinar «1 factor de intensidad de tensiones basados en el empleo de las integrales M y J
deducidas en el apartado 1.4.2. Como existe la posibilidad de elegir el cand
A
•
,
~*
no de integración, se ha tomado el contomo exterior tal como se puede ver en
la figura 3.9 donde se han consignado además las condiciones propias de cada tramo. Teniendo en'cuenta estas particularidades la ecuación (1.95) que nos da
la tasa de liberación de energía mediante la integral curvilínea M se reduce a
G
2
- - 72
B
' C'
'
l
?
/ p u dl'+ / POz ~ V V ' " 2 %Ufc) dl
A
B
(3.16)
TABLA
3.3
Cálculo del factor de intensidad de tensiones a partir de la
Fórmula (3.14)
Caso 1
Caso 2
Caso 3
Caso 4
U
(Kg.mm)
31,60
33,93
36,05
38,00
A
(mm )
28,86
26,78
24,63
22,15
G
(Kg/aw)
1,120
0,984
0,786
K
(Kg/nm 3 / 2 )
158,4
148,5
132,7
0,219
0,232
0,231
K
oN(nD)1/2
TABLA
3.4
Cálculo del factor de intensidad de tensiones mediante la fórmula (3.15)
Caso 1
Caso 2
Caso 3
Caso 4
G
(Kg/mm)
1,398
1,213
1,126
0,961
K
(Kg/nw 3 ^)
177,1
164,9
158,9
146,7
0,231
0,242
0,260
0,267
K
o / . » "
2
2 82
c o n t L T f a C t ° r 2 B 5 d 8 b Í d 0 B qUa l B i n t ^ T O c l f i " ««lo » realiza .obre medio
contomo por e x i s t i r simetría respecto al plano z . o
"2,9 = 0
2
T2=0-2
no-0
n 2 =1
T
-,B
?=0
n 2 =o
T2 = 0
nz = 0
To=T2 = 0
Uj>,2 = 0
Fíg.3.9
Aplicando las mismas condiciones a la integral J. f la tasa de l i beroción de energía, que viene dada por la ecuación (1.112) se podrá calcular
mediante la expresión
B
G *
di
-
A '
/ (a.
S
Ve>
dS
(3.17)
ya que u /p
no es más que la deformación e
Esta expresión resulta más -
sencilla que la (3.16) pero tiene el inconveniente de tener que realizar una integral de superficie que suele ser más engorrosa que una integral curtrlllnea
Cabe destacar que el término o c del integrando de la integral de superficie
debe tener poco peso puesto que ha quedado demostrado que el estado de deforma
ción en una parte importante del sólido :se asemeja a un estado de deformación
28J
Plana. En e f e c t o , s i consideremos, por ejemplo, e l caso 1 tendremos
/ w d S = 1 , 1 8 fa
S
/
o ( ) t ( . . dS
-0,033
(3.18)
la que confirma lo pequeña importancia de las deformaciones transversales
Los resultados obtenidos mediante la aplicación de las fórmulas (3.16)
y (3.17) se han recogido en las tablas 3.5 y 3.6.
Para comparar los distintos métodos se han representado en la figura
3.10 los valores de \A¡N
O D ) 1 l'¿ en función de la rolación de diámetros pa-
ra los cuatro casos considerados junto con 1 3 ley más aproximada que se cono
es (Bueckner 1.964), que ya se había representado en la figura 1.20. Como ya
ha quedado' dicho, en todos aquellos métodos en que lo que se determina
es la
tasa de liberación de energín hay que transformar eate resultado en un valor
del factor de intensidad de tensiones haciendo la hipótesis de deformación
-
plana, hipótesis preconizada por numerosos autores y que acabamos de comprobar
mediante el cálculo por elementos finitos. Se puede observar en la figura 3»10
que los métodos menos aproximados son los que parten del campo de corrimientos
y de la energía de deformación. El método que utiliza el campo de tensiones alrededor del borde de la fisura ha'dado muy buenos resultados pero no es lo
habitual como ye ha sido demostrado (miton y Sih 1.973). Los dos métodos pro
puestos, en esta tesis y que se bqsan en el cálculo de las integrales M y J
han dado buenos resultados (errores inferiores al 5$) aunque peores que los del método de la rigidez diferencial que, para mallas no muy finas, parece ser
el más eficaz. Los métodos propuestos tienen una ventaja importante y es que no se precisa modificar en nada un programa de elementos finitos. convencional
cosa que no ocurre con el método de la rigidez diferencial. Esto, junto a su precisión, que es suficiente 3i se tiene en cuenta la dispersión que presentan
todos los ensayos de fractura, hace del cálculo da las integrales M y
JA
la
solución nás cómoda y económica al problema de determinar el factor de intensi
dad de tensiones en un sólido con simetría de revolución y que presente una fisura también simétrica.
TABLA 3.5
Cálculo del factor de intensidad de tensiones mediante la
fórmula (3.16)
'
Caso 1
Caso 2
Caso 3
Caso 4
1,373
1,212
1,038
164,8
152,5
0,270
0,278
*
G
(Kg/pa)
1,568
K
(Kg/««n 3/l2 )
175,4
187,5
K
0,257
.«(.O)»»
0,243
TABÚ
3.6
Cálculo del factor de intensidad de tensiones mediante la
fórmula (3.17)
•
6
(Kg/nrn)
•
•
Caso 1
Caso 2
Caso 3
Caso 4
1,530
1,374
1,184
0,998
1 .
K
(Kg/nw
K.
«,í.0>
,/2
3/fe
)
1B5,2
175,5
162,9
149,6
0,240
0,257
0,267
0,273
*
br,l
0" (ITD)
N
MÉTODOS DE CALCULO
* Campo de tensiones
* Campo de corrimientos
A
Energía de deformación
? Rigidez diferencial
° Integral M
0
Integral JA
0.300 h
a
o
0.250
a
o
V
Bueckner 1964)
0.200
0.150
050
0.55
0.60
0.65
É, = 1/D
286
3,2
" Fisura circular coaxial en régimen elaatoolastico
En aste apartado vamos a considerar un material elastoplástico con -
endurecimiento por
deformación que es el modelo que mejor se adapta al com-
portamiento de un acero para pretensado. La razón de estudiar fisuras muy pro
fundas en el apartado anterior consistía en que para ese tipo de defectos ae
produce una gran concentración de tensiones incluso para tensiones nominales
reducidas y la probeta puedB llegar a la rotura sin que se hayan desarrollado
grandes zonas plásticas; en estos casos se podía por lo tanto aplicar la teoría elástica.
Sin embargo, en la mayoría de los problemas prácticos las fisuras son
poco profundas y es necesario aplicar fuertes tensiones exteriores para conseguir llegar a la rotura. Esto hace que se formen .roñas plásticas importantes que incluso pueden ocupar todo el volumen de la probeta. En estos casos, como
veremos más adelante, la teoría elástica deja de ser aplicable.
Estas razones nos han movido a considerar en este apartado únicamente fisuras de pequeña profundidad. Los casos analizados mediante el programa de elementos finitos fueron los siguientes:
CASO 1 :
r, » d^) - 0,85
CASO 2 :
£ - d/D - 0,90
CASO 3 :
K - d/D - 0,95
La malla utilizada fué la misma que en el apartado anterior (figura
3.1) ya que fuá generada automáticamente con el mismo programa; únicamente se
variaron ligeramente sus características geométricas debido al pequeño tamaño
de la fisura.
EL proceso de carga fuá igualmente del tipo llamado de control de deformaciones y consistió en dar un corrimiento uniforme en dirección vertical,
u
, a todos los nudos de la sección superior de la probeta. El valor elegi-
do para u
fué de 0,005 mm, suficiente para describir con la necesaria aproxi-
mación la curva tensión deformación del material ya que equivale a una deformación global de 0,7 "fa. El proceso de cálculo ya ha quedado descrito en el apartado 1.4.5. pudiendo añadirse en este caso que el número de iteraciones -
Ü8/
que se realizaron para cada geometría fuá do 11.
Después de este procoso de deformación uniforme so simulé el fenómeno de avance de la fisura liberando al nudo
A, que representa el borde,de -
la fuerza que lo mantiene en el plano z = n un ln forma descrita anteriormente an la figura i..30. Para esto se fijaron on posición vertical los nudos de la sección superior de la probeta y, considerando el corrimiento vertical, u,
del nudo contiguo B (ver figura 3.1l), se dio" al nudo A un corrimiento vertical
forzado igual a u/25 para provocar la redistribución de tensiones en los aire
dadores del borde de la fisura y seguidamente se le dieron corrimientos sucesivos de valor u^3 hasta conseguir la anulación de la fuerza que actuaba sobre A. Esto daba lugar por lo general a 6 iteraciones más a añadir a las del
proceso de carga noval que, como ya hemos visto podían ser hasta 11.
Por lo tanto, en el peor de los casos, el número de iteraciones nace
serias para estudiar un problema fué de IV. Esto hizo que el tiempo de ejecución de cada programa en el ordenador UNIVAC 1108 pudiese llegar a ser hasta
de óD minutos. El organigrama del programa se puede observar en el Apéndice 3.
Fig. 3.11
7 88
El método de cálculo qus se ha escogido y en particular al número de
í t e r a c i o n o s y e l v a l o r d e l o s dosplasamientos impuestos en c a d a Iteración se
han tomado c o n el fin d e describir c o n Ira suficiente precisión la curva t e n sión deformación d e l m a t e r i a l ; una vez conseguido este objetivo l o s r e s u l t a d o s f i n a l e s n o deben depender de tstos datos en la mismo forma en que e l l í m i t e d e u n a función continua n o depende del camino que se siga para hallarlo.
A l o largo d e este apartado analizaremos en p r i m e r lugar l o s canpos
d e t e n s i o n e s y deformaciones alrededor del borde d e la fisura estudiando l a e x t e n s i ó n d e la z o n a plástica y el fenómeno de descarga elástica que sa produ
c e a l p r o g r e s a r la fisura en condiciones de deformación global constante. En
s e g u n d o l u g a r revisaremos l o s resultados de los ensayos de la serle F A T y l o s
c o n t r a s t a r e m o s c o n l a s distintas hipótesis de rotura emitidas en el apartado
1.4.3.
3.2.1 - Campos de tensiones y deformaciones
Tal como vimos para I03 materiales elásticos, con el método de elementos finitos sería necesaria una malla de elementos extremadamente fina para
poder describir con cierta precisión el campo de tensiones y deformaciones en
las proximidades de la fisura. '.sto es debido a que el borde de la fisura es un punto singular incluso para materiales elastoplásticos con endurecimiento
por deformación como ya quedó demostrado en el apartado 1.4.3. Esta singularidad venia descrita por las fórmulas
a. . = K
1_
ai . (
0)
r~ n+l1 a
(0)
(3.19)
n
c
. •
i J
n + l .£ . . (6.)
U
,,
.
(3.20)
Por lo tanto, si representamos tensiones frente a distancias al borde de la fisura en papel doblemente logarítmico deberíamos obtener una recta
cuya pendiente fuese -l/(n+l). Para los materiales elásticos hicimos algo
-
289
parecido al representar el valor del factor de intensidad de tensiones en función de la distancia r en la f i 41ura ;u3; pero de cumplirse la ley teórica (fór
muln 1.1) lf,s rectas de esto figura donarían ser horizontales cosa que evidentemente no se produce.
Para «ateríalos elastoplásticas se ha realizado usté estudio para el
caso 1 pudiéndose observar los resultados do
La deformación analizada ha sido ,
deformaciones en la figura 3.12.
. En esl:,j figura los distintos símbolos 7.
representan diversos nivelas de carga determinadas por la tensión nominal apli
cada sobre el alambre. 3e observa que, si dsseontamos el punto más cercano al
borde de la fisura y los puntos demasiado alejados para los cuales las fórmulas (J.19J y (3.20) pueden no tener validez, las deformaciones parecen obedecer a la ecuación (3.20) ya que para pequeños niveles de carga la pendiente de
la recta es -1/2, correspondiente a un material elástico, y a medida que va
-
aumentando la tensión nominal del alambre y por lo tanto las deformaciones plá¡3
ticas se van haciendo mucho mayores que las deformaciones elásticas la pendiente de la recta va aumentando tendiendo hacia el valor indicado en la ecuación
(3.20) que es -n/(n+l).
Sin embargo también se observa que el campo de validez de esta fórmu
la es muy reducido ya que en nuestro caso los puntos situados a más de una dé
cima de milímetro del borde de la fisura no se adaptan a la ley teórica. Esto
es lógico si pensamos que la deformación indicada en la ecuación (3.20) no es
más que el primer término de un desarrollo en serie tal como vimos en el estu
dio teórico del apartado 1.4.3..
En cuanto a las tensiones, ocurre lo mismo que para los materiales
elásticos es decir que el método de elementos finitos es incapaz de describir
el gradiente de tensiones que se produce alrededor del borde de la fisura rajón por la cual no hemos representado la variación de o?
en función de r co-
mo hemos hecho con las deformaciones.
Esta circunstancia abunda en el hecho de que las mallas de elementos
utilizados tienen su principal utilidad en el estudio del balance energético
que se produce al progresar' la fisura pero no deben ser utj
para
—
N
N
0|
N
tM
E E E E E
E E E £ E
^1
O
*
*;
C\J*
<"
\
C»
*
<0
o
S
b b
\
n
2É
oo
OO*
O)
N
\
o> 9
*
*
o —
N * tf)
W IO
b b
b
+ > < o n
o o <
o o <
O
<í
>
>
+
+•
>
O
Ó
O
O
<3
t>
2 91
describir el campo de tensiones alrededor del borde de la fisura. Para esto sería necesario recurrir a mallas muy Finas para lo cual habría que disponer
de un
n n
I lita n n a n
»..»-.
í_
i
t
de
un ordanndnr
ordenador rcon
una gran «memoria
central
El desarrollo de la zona plástica a medida que se aumenta la carga es semejante al de los problemas de deformación plana mientras esta zona es da pequeñas dimensiones. Esto se puude apreciar en la figura 3.13 donde se ha
representado la extensión de la zona plástica para varios valores de la tenslóYi nominal; en este gráfico se ha tomado como criterio de plastificación el
de von Mises y como tensión de fluencia el límite elástico convencional que pa
ra este acero es de 140 Kg/mrrí? como vimos en el capítulo 2; por esta razón las
zonas plastiflcadas son en realidad algo más extensas que las representadas en
la figura 3.13. En esta figura se aprecia un fenómeno típico de los casos de simetría cilindrica y que ya adelantamos al estudiar, la fractura desde el punto de vista experimental: Bn la sección de la fisura y en las proximidades del
eje del alambre el campo de tensiones muestra una marcada triaxialidad por lu
que aunque las tensiones son muy altas la tensión de comparación es reducida y
esta zona sólo se plestifica para tensiones exteriores muy importantes. Esto se observa principalmente para una tensión exterior igual al 9 0 % de la tensión
de fluencia; en este punto la forma de la zona plástica es muy distinta de la
que se forma en un caso de deformación plana. Para tensiones nominales superio
res ( o / o • 1,1) se plastifica toda la probeta salvo la zona situada detrás
del borde de la fisura que está prácticamente libn; de tensiones.
El fenómeno que acabamos de describir explica el hecho de que para fisuras más profundas (relación de diámetros inferior a 0,7 para el diámetro
que Bstamos estudiando) las zonas plásticas son tan pequeñas.que el c o m p o r t a miento macroscópico de la probeta sea elástica como ocurre con las varillas de
la serie ENTFAT. Esto hace que la teoría Blástica tenga cierta aplicación en
los alambres de acero para pretensar.
La evolución de esta zona plástica al progresar la fisura y mnntenien
do constante la deformación global en la forma descrita anteriormente se puede
observar en la figura 3.14. En esta figura se ha representado el mismo caso 1
de la figura 3.13. para una tensión nominal igual a 1,1 o y . Acabamos de ver -
£I'£.'6U
go-AJ/i),
ZO-VJ
¿UA
^
6 0-^JD/J
t/S?
Tensión nomimal » 1.1 (T,
Zona
Zona
Zonas
de
descarga
no
pfastificad
plasíificadas
^
-4Aa
Flg. 3.14
-
^
'
;Í9 4
que en este caso toda la probeta estaba
plastificada salvo una pequeña zona
detrás del borde de la fisura; al avanzar la Fisura, una zona de la probeta entra en descarga en régimen elástica ndontras que otra se mantiene en régimen
plástico. La zona de descarga, que es la zona sombreada en la figura 3.14, 30
extiende por encima del borde de la fisura para acabar abarcando, lejos de la
sección fisurada, todo el volumen del a l a d r a . La zona que 3e mantiene plasti
ficada al progresar la figura conprende una zona importante delante del borde
de la fisura y un volumen muy pequeño detrás de este punto, tal como ocurre en
problemas de deformación plana (stroppe y Zaitler 1.974). La existencia de dos
tipos da comportamiento radicalmente distintos dentro del material hace que sea inaplicable cualquier método que deduzca la cantidad de energía gastada en
el avance de la fisura comparando los procesos de carga noval de dos fisuras de
distinta profundidad.
Seguidamente vamos a analizar los resultados de los ensayos realizardos sobre probetas fisuradas y que corresponden a la serie FAT.
3.2,2 - Resultados de los ensayos
Los resultados de los ensayos de la serie FAT ya han quedado resumidos anteriormente en la tabla 2.11. Para comprobar la dispersión de estos ensayos hemos representado la carga de rotura, frente al área, A, de la sección resistente en la figura 3 15. En esta figura se observa que existe una correspondencia entre estas dos variables ya que la cargn de rotura debe aumentar ló
gicamente con el área de la sección resistente,
Considerando los puntos cuyas áreas están comprendidas entre 31,5 y
33,5 mra2 y que deberían tener prácticamente la misma carga de rotura, la d e s viación típica respecto a la carga de rotura media resulta ser de 270 Kg lo que representa el 4,7/ 0 del valor medio. Si analizamos los puntos cuyas áreas están comprendidas entre 18 y 20 mm la desviación típica es parecida (230 K g )
pero representa un tanto por ciento mayor respecto al valor medio ( 7 , 8 ^ ) . Por
lo tanto a la hora de contrastar la validez de cualquier parámetro quB sea pro
porcional a la carga de rotura (tensión neta de rotura, factor de intensidad de tensiones), deberemos tener en cuenta esta dispersión en los resultados de
los ensayos que no es debida a falta de precisión en las medidas de cargas o
de áreas sino a la propia dispersión que muestra el material en sus propiedades
KM
E
E
+*
+
+ +
+ +
O
+
+
•-8
+ -í
+
CLo»
O
O
o
o
o
<0
o
o
o
o.
o
o
ro
8
O
o
o
o
.m
2'9fj
mecánicas y al hecho de que las Fisuras conseguidas mediante un ensayo de fatiga rotatoria no son perfectamente simétricas. Si el parámetro de fractura que queremos analizar es proporcional al cuadrado de la carga de rotura (tasa
oa liberación de energía) habrá que considerar que La dispersión en las resul
tados de los ensayos es aún mayor. Fn efecto, considerando los mismos dos gru
pos de varillas que en el caso anterior y calculando las desviaciones típicas
de los cuadrados de las canjes de rotura se obtienen los valoras porcentuales
siguientes:
para
31,5 < A < 33,5:
para
18
< A < 20
9,4%
: 16,0°/)
Estos datos nos permitirán analizar en su justo valor la validez de
los parámetros definidos en el apartado 1.4.3 mediante su aplicación a la serie de ensayos FAT.
El primer parámetro que vamos a tantear es el factor de intensidad de tensiones, K. Para calcularlo aplicaremos la fórmula (3.5) con los datos de la tabla 2.11. El valor medio obtenido es
Kc
„
164,4 Kg/mm3//L'
(3.21)
que es muy inferior al valor que resulta de los ensayos sobre probetas entalladas y fisuradas (serie ENTFAT). La desviación típica respecto a estB valor
es de 35,6 Kg/mm ^
que representa fil 22°/. de le media lo cual es inadmisible
para un parámetro que es proporcional a la carga de rotura según lo expuesta
anteriormente. Por lo tanto queda demostrado que el factor de intensidad de tensiones calculado mediante las fórmulas que se han deducido en el supuesto
de un material elástico lineal no es en absoluto valida para explicar la rotu
ra en aquellos casos en que se desarrollan grandes zonas de deformación plástica. IM poca validez de este parámetro se puede también demostrar representando en función de la relación de diámetros f, = d/t), el coeficiente K
/0
/nD
el cual, de ser válida Bsta teoría, debería ser igual a la función F (d/DJ. "Esta representación se ha llevado a la figura 3„16 donde sa puede observar que
los puntos representativos de los ensayos no se colocan alrededor de la curva
F(d/D) sino que siguen una ley distinta.
0,7
Fig. 3.16
2 <-> f-¡
Este comportamiento del factor de intensidad de tensiones yra hablo
sido previsto en el apartado 3.1 donde quodó ostablecido que, pnra alambres
de 7 mm de diámetro, se podía aplicar la teoría elástica sierrpre nuo el área
Fisuráda fuese superior al 55'/, de la sección de Ja probota.
\/Ísta la poca x/alidez del parámetro K, cuyo origen es de tipo tsnsional, vamos a estudiar an el apartado siguiente los parámetros de oidgen energético que se han definido en el apartado 1.4.3.
3.2.3 - Tosas de liberación do energía
La primera parte de ente apartado se dedicará a estudiar la energía
liberada en la propagación de ln fisurn directamente a partir de I03 resulta
dos de los ensayos por el método de Liebowitz (Liebowitz y Eftis 1.971) en su forma original y en su forma corregida (ver estudio teórico) i tír. la segunda parte se repetirá este trabajo pero mediante el uso de los resultados del
cálculo por elementos finitos utilizando los distintos métodos explicados an
teriormente.
En el apartado 1.4.3 quedó derrostrado que si se describen las curvas
carga desplazamiento de las probetas fisuradas mediante una ecuación de la formo
u - C v + k ce P ) n
(3>22)
l a tasa de liberación de energía definida por Liebowitz vendré dada por l a fórmula (1.129) que es de ln Forma
« •
B
+ B
] Mf
2 Ef
+ B
3 íl{
(3.23)
. Esta ecuación, que ha sido deducida en esta tesis, es una generalización de la de Liebowitz' que no tiene en cuenta más que la variación de la
flexibilidad con el área de la fisura por lo que el parámetro ¿ resulta
6
=
B
l 3A f '
' ' . (3.24)
ií'jy
En los dos casos, los coeficientes B . son Funciones conocidas de los
parámetros C, k y n que definen la Forma de l;i curva cana-desplazamiento.
Para poder aplicar Ins ecuaciones (3.23) y (3.24) es por lo tanto necesario determinar para cada probeta de la serie FAT los parámetros Cf k., y
n, y a
partir de estos datos determinar sus derivadas respecto al área Fisu-
rada. Este trabajo se ha realizado determinando la recta de regresión entre ios logaritmos de la carga y de lo conponente no lineal Del desplazamianto pa
ra cada probeta, datos nue se han obtenido do ins tablas P2-P.1 a A2-32. Los resultndos se han consignado en La tabla 3,7. La derivada de la flexibilidad
respecto al área de la fisura se ha determinndo de forma teórica en el aparta
do 1.4.2 (Fórmula (1.82)) por lo que no es necesario deducirla dB los resulta
dos experimentales. En cuanto a los otros dos parámetros se han represtantado
en las figuras 3.1? y 3.18 en función del área, A, de la sección resistente.
En estas figuras se observa que existe una gran dispersión en los resultados
debido a que las curvas carga-desplazamiento no se adaptan perfectamente a la
ecuación (3.22) y por lo tanto los diagramas carga-desplazamiento no lineal en
un papel doblemente logarítmico no resultan perfectamente rectos; debido
a -
este hecho, los valores de k. y n, que se han determinado por el método de mín^
mos cuadrados, dependerán en gran medida del número de puntos que se tomen y
de su posición. Este hecho nos conducirá a errores importantes en la determinación del parámetro
G
.
Aproximando los puntos de las figuras 3.17 y 3.18 mediante las corres
pondisntes rectas de regresión obtenemos
n - 0,6495
A - 2,017
Log k = 0,6793 A - 3,595
(3.25)
(3.26)
y derivando respecto a l área fisurada se obtiene finalmente
^ü'
.
» 0,6495
SA f
£,-
(3.27)
-1'56411
(3.2B)
HR
Mi
hs
18
+
30 2
Los resultados obtenidos al aplicar las fórmulas (3.r.'3) y (3.24) se
han recogido en la tabla 3.8 detallándose ceda uno de los términos para que se pueda analizar su influencia en el valor final de
Ó
En esta tabla se qbserva que los términos correspondientes a las derivadas de k y n son mucho más importantes que el término de la derivada de la flexibilidad, Gomo por otro lado son de signos opuestos y de valor absoluto muy parecido, el calculo de G se reduce a
hacer la diferencia de dos núme
ros muy grandes y muy parecidos y sobre los cuales existe una dispersión bastante importante como acabamos de ver y como se pued? apreciar en las figuras
3,17 y 3,18. Esto hace que no haya que esperar grandes cosas de los parámetros
que se deducen de las ecuaciones (3.23) y (J.24).
En efecto si se calculan la medica y la desviación típica sobre los valores calculados mediante estas Fórmulas se obtiene!
ecuación (3.23)
:
c
=
6,95
Kg/mm
desviación típica - 4,56 Kg/mm (• 65r/>
ecuación (3.24)
:
G m e d . 3,46
Gmed)
Kg/mm
desviación típica » 2,31 Kg/mm (• 6 7 %
G
raed)
Estos resultados no indican forzosamente que las hipótesis sobre las
cuales se ha edificado la teoría del parámetro G
sean falsas; a la vista de
este desarrollo,lo que ha quedado demostrado es que el método de cálculo con
sistente en aproximar las curvas carga-desplazamiento mediante la ecuación (3.22) y derivar los parámetros de esta ecuación respecto al área fisurada es inadecuado para este tipo de probetas; sin embargo lá ecuación (3.23) puede ser perfectamente aplicable a otro tipo de material; en efecto, puede ser
cierto que la derivada de la onergfa respecto al érea fisurada sí sea indepen
diente del tamaño de la fisura.
Esto se va a ver confirmado seguidamente al analizar los resultados
de los ensayos a partir de los datos obtenidos mediante el cálculo por elemen
tos finitos.
'ABU
0e t e r m i n a c i ó n
3.8
d e l prirámetra G
ÍC
1JA
2uA
(Kg/mm)
FAT 1
B
para l a s probetas FAT
(Kg/mm)
D_3n
J
3Af
(Kg/mm)
(Kg/mm)
5,455
177,871
174,657
2,241
FAT 2
5,71B
37,920
40,790
8,588
FAT 3
9,861
141,793
149,148
17,216
FAT 5
1,721
13,316
14,608
3,013
FAT 6
4,989
40,247
42,689
7,431
FAT 7
0,913
74,180
77,672
4,405
FAT 8
4,212
62,337
65,209
7,084
FAT 9
5,445
123,787
I X , 731
12,389
FAT 10
3,372
29,671
32,006
5,707
FAT 1 1
1,963
10,894
12,939
4,008
FAT 12
2,495
2,789
3,530
3,236
FAT 13
0,695
198,154
206,473
9,014
FAT 14
2,869
9,668
11,981
5,182
FAT 15
1,947
6,239
7,746
3,454
FAT 16
2,503
9,823
11,826
4,506
Probeta
0(3.23)
FAT 4
•
i
FAT 1 7
2,926
12,517
13,775
4,184
FAT 18
0,712
278,277
284,935
7,370
FAT 19
1,174
10,403
11,388
2,159
t
FAT 20
4,268
19,099
21,171
6,340
FAT 2 1
4,484
304,789
318,298
17,993
FAT 22
1,504
21,318
23,698
3,884
FAT 23
6,960
197,099
203,651
13,512
'
3 04
Se han calculado 4 tasas de liberación de energía distintas. La primera es la correspondiente a un material elástico lineal y se calcula sin necesidad de usar métodos numéricos mediante la formula
c « iAJLL;j¿!iJl2
F2U)
7,0
' E
f
(3.29)
donde la función F( c,) viene dad,.-. por la ecuación (1.80). Ya hemos visto que
el factor de intensidad de tensiones no es aplicable al caso de las probetas
con fisuras poco profundas en las que se desarrollan grandes zonas de deformación plástica y por lo tanto la tase de liberación de energía en régimen elástico tampoco seré aplicable; sin embargo calcularemos este parámetro para
compararlo con ios demás que vamos a analizar.
El segundo parámetro que vamos a calcular es la integral J A definiA.
da mediante la fórmula (l.lio). tsta integral se determinará usando el mismo
camino de integración que para los materiales elásticos (ver apartado 3.1.2)
y figura 3.9). La razón de utilizar esta integral estriba en que es aplicable
a materiales elásticos no lineales los cuales representan en ciertas circunstancias (Budiansky 1.959) una buena aproximación de los materiales elastoplás
ticos. Los resultados se darán en forma de una tasa de liberación de energía
G
, que estará relacionada con J
mediante la ecuación
J
A
oJ
•
2
"*
" a
(3.30)
siendo a el radio de la fisura. Los valores obtenidos están reflejados en la
tabla 3.9.
• Otra forma de calcular la tasa de liberación de energía, semejante a
la utilizada para materiales elásticos que se resumía en la ecuación (3.14),
consiste en tomar el dato de la energía de deformación para los tres casos {analizados por métodos numéricos y derivar esta energía respecto al área de
la fisura. La forma práctica de calcular esta derivada ha sido la siguiente:
conocida la energía de deformación, U, para cada caso y para cada valor del desplazamiento, u, (ver tabla 3.10) se ha aproximado esta energía en cada caso
TABLA
3.9
Valores del parámetro (j
-
fJ
CASO 1
CASO 2
CASO 3
'; ~ 0 , 8 5
K - 0,90
£ - 0,95
(Kg/mm?)
G
j (Kg/mm)
•i (Kg/mm2)
r, j (Kg/mm)
o (Kg/mm2)
Gj (Kg/mm)
14,16
0,021
14,39
0,013
14,53
0,005
42,44
0,198
43,20
0,125
43,74
0,049
70,64
0,563
71,95
0,354
72,93
P.146
98,76
1,081
100,60
0,698
102,07
0,296
127,02
1,672
129,17
1,107
131,20
0,468
155,09
2,401
157,72
1,G12
160,40
0,676
TABLA
3.10
Energía de deformación
Energía de deformación
U (Kg.mm)
Deaplaz amianto
Li(mm)
CASO 1
>; - o, as
CASO 2
«; - o,9o
CASO 3
5 - 0,95
0,005
2,72
2,77
2,80
0,015
24,50
24,93
25,22
0,025
68,02
69,24
70,12
0,035
133,21
135,64
137,46
0,045
220,01
224,06
227,22
0,055
328,41
334,45
339,43
JÜb
mediante una parábola del tipo
U - b u2
(3,31)
Los valores obtenidos para b han sido
CASO 1 ( t,m 0,85)
b « 108320
CASO 2 ( C m 0,90)
b - 110344
CA30 3 ( r, . 0,95)
b « 112216
Conocidos estos valores se puede determinar b como una función del
área de la seccitín resistente, A, mediante una parábola dfi segundo grado que
resulta
b - 10,79 P? + 1237,12 A + 8,227 . 10*
(3.32)
La tasa de liberación de energía se definiré entonces como
X
G =
3U
" 3A f
=
db 2
dA u
- (21,58 A + 123r>,12) u2
(3.33)
Hemos usado el símbolo c porque esta tasa de liberación de energía
coincida exactamente en su definición con la de Liebowitz (ecuación 1.122b) diferenciándose únicamente en el mato do de cálculo que se sigue.
Finalmente el último parámetro que se va a utilizar es J*, definido
mediante la ecuación (1.67) y que representa la energía realmente gastada en
hacer avanzar la fisura por unidad de área. El proceso de cálculo ha sido esbozado en la introducción del apartado 3.2. Si nos referimos nuevamente a la
figura 3.11, los datos que se obtienen son valores de la fuerza F aplicada so
bre el nudo A y del desplazamiento u' de este mismo nudo. J* será entonces
J
* • - í7bn;
LFin'
(3-3*)
:¡ o 7
donde a es el radio de la fisura y la integml se calcula por el método de los trapecios. Los valores obtenidos se pueden consultar un la tabla 3.11.
Para comparar loe valoras de los distintos parámetros considerados vamos a representar en función de la relación o/o
la cantidad adimensional
obtenida al multiplicar la tasa de liberación de energía por la constante
E/a Y D
-
. E l único objeto de utilizar esta representación estriba en trabajar
con números adimensionales.
Los valores de G, Gj , G y J * se han agrupado en las figuras 3.19 a
3.21 para los tres casos analizados por el método do elementos finitos. En estas figuras se comprueba que, para la misma tensión nominal el valor de J
es, siempre superior al de los demás parámetros de donde se deduce que los mé—
todos de cálculo com/encionales subestiman la energía disponible para hacer avanzar la fisura.
Como es lógico, para cargas pequeñas, todos los parámetros tienen va
lores muy semejantes ya que al ser pequeñas las zonas plastlficadas todos ellos
son equivalentes a la tasa de liberación de energía en régimen clástico.
£1 parámetro G j se diferencia muy poco de la tasa de liberación de energía en régimen elástico como se puede ver en estas figuras; por lo tanto
su utilidad a los efectos de describir la fractura en régimen elastoplástico va
a ser prácticamente nula.
Finalmente otro hecho a destacar consiste en que mientras la tasa de
liberación de energía en régimen elástico, G, varía mucho con el tamaño de la
fisura» la influencia de esta característica geométrica sobre J
para una misma tensión exterior es más reducida.
y sobre G
-
*
*
Para aplicar Bstos resultados a los ensayos de la serie FAT y dado
que no conocemos J
y
G
más que para tres valores de la relación de diáme-
tros, ti/O, determinaremos el valor de estos parámetros en un caso práctico in
terpolando linaalmente entre los valores correspondientes a los casos estudiados por el método de elementos finitos ( í, - 0,85; 0,90; 0,9S). Para los inter
valos 0,G2 - 0,85 y 0,95 - 0,98 realizaremos una extrapolación lineal y cuando
TABLA
3.11
Valores d e l parámeitro J
CASO, 1
£ m 0,65
o (Kg/mm2)
CASO
2
CASO 3
£ « 0,95
r, » 0 , 9 0
J*(Kg/mm)
o (Kg/mm2] 1 J * (Kg/mm)
o (Kg/mm2)
J 0<g/niu)
70,64
0,652
71,95
0,469
72,93
0,239
98,76
1,214
100,60
0,858
102,07
0,572
127,02
1,923
129,17
1,482
131,20
1,127
2,833
157,72
2,363
160,40
1,998
155,09
1
TABÚ
Probeta
FAT 1
3.12
*
Valores da l o s parámetros G , <;
•> y J para l o s ensayos FAT
d/D
GE
GE
J* E
°r/°Y
ai D
0£ D
o,., ¿ D
0,915
1,076
0,124
0,203
0,265
FAT 2
0,823
0,958
0,307
0,230
0,336
FAT 3
0,912
1,113
0,204
0,237
0,323
FAT 5
0,919
0,991
0,151
0,183
0,236
FAT 6
0,880
1,021
0,228
0,221
0,306
FAT 7
0,939
1,100
0,137
0,210
0,276
FAT 8
0,933
1,080
0,146
0,207
0,269
FAT 9
0,954
1,122
0,105
0,209
0,249
FAT 13
0,957
1,150
0,102
0,220
0,290
FAT 17
0,859
0,973
0,254
0,215
0,302
FAT 18
0,959
1,183
0,102
0,229
0,320
FAT 19
0,910
1,013
0,175
0,198
0,262
FAT 20
0,841
0,979
0,288
0,229
0,322
FAT 21
0,983
1,185
0,032
0,211
0,297
FAT 22
0,927
1,002
0,138
0,182
0,230
FAT 23
0,958
1,156
0,101
0,219
0,295
í
o
(Ni
6
o "
_q
0.9
tf) Q
O X3
0.7
CD
Ó
O
0.6
CVJ
10
0.3
tí
O
*
<
*
9
(M
O
o
I
I
I
I
ro
o
<!>|V
T
(VI
Ó
T
d
ro
*
i
\
x
\
V \
V \
ro
O)
iZ
o
e>
e> *->
o
I
I
i
l
PO
;
" *
••i
ÜJ
O
V
o
—
r
(M
O
—r
Ó
312
la relación de diámetros se salga del intervalo 0,82 - 0,98 desistiremos da
*
calcular J
y G
ya que una extrapolación no sería fiable en este caso. Loa
resultados obtenidos, junto con los de G, están recogidos en la tabla 3.12.
I-a desviación típica de cade parámetro nos indicará su validez para
predecir la carga de rotura de una probeta fisurada. Las medias y desviaciones típicas de los valores de lo tabla 3.12 soni
Media
*
J E
GE
GE
a'¿ D
0,162
Desviación t í p i c a U,076 (47%)
«{ D
aj D
0,212
0,286
W)
0,016
0,032 (11%)
*
De estos datos se deduce que tanto G
como J
son válidos para des-
cribir la rotura de las probetas de la serle FAT ya que laa desviaciones típ¿
cas correspondientes son del mismo orden e incluso inferiores a laa del cuadrado de la carga de rotura para probetas con fisuras dB laa mismas dimensiones según vimos anteriormente.
Los valores medios de G
y
*
J
son
6 med
-
1,426
Kg/mm
(3.36)
J*med
-
1,923
Kg/mm
(3.36)
Para decidir entre los dos parámetros habría que hacer un estudio exhaustivo sobre muchos tipos de acero y barriendo todos los tamaños de fisu
ra. Sin embargo hay dos razones que nos hacen recomendar el uso de J
; la -
primera estriba en que J * tiene un significado físico ya que representa la
energía que se gasta en abrir una unidad de área de fisura mientras que
no tiene significado físico ya -je su definición es puramente matemática. La
segunda razón consiste en que el valor de la tasa de liberación de energía crítica para el acero 1 es de 1,799 Kg/mm según quedó demostrado en el apartado 3.1.1 (fórmula (3.7)); la diferencia respecto a J*med
es menor que la
desviación típica mientras que la diferencia respecto a G «ned es 3,5^veces la desviación típica correspondiente. De esta forma so unifican en J* los
-
parámetros de fractura correspondientes a cor^ortandentos elásticos y elasto
313
p l á s t i c o . Sin embargo ya hn quedado dicho que e s n e c e s a r i a una extensa i n v e s t i g a c i ó n experimental para determinar ln universalidad del parámetro J ,
TABLA
3.7
Parámetro C, K> y n pera l a s probetas FAT
Probeta
C (10" S mm/kg)
A (mm2)
n
FAT 1
32,25
9,04
1,538.10 8
1,79
FAT 2
26, Q7
13,09
lf394.1013
1,56
FAT 3
32,00
17,06
6.227.1017
1,40
FAT 4
tm
23,15
7,9,^7.10 2 3
1,47
FAT 5
32,50
16,98
3,3B8.10 1 7
1,41
FAT 6
29,77
17,99
3,118.1018
1,49
FAT 7
33,94
24,51
5,421.1c25
1,41
FAT B
33,47
20,33
9.841.1020
1,45
FAT 9
35,02
21,28
3,590.1o22
" 1,36
FAT 10
19,12
8,59
1,293.10 a
2,93
FAT 11
19,50
5,37
6,347.10 S
2,35
FAT 12
19,21
12,74
2.135.1014
1,52
FAT 13
35,26
22,32
3,862.1023
1,37
FAT 14
19,30
9,8*1
4,93 . 1 0 1 0
1,78
FAT 15
19,70
7,54
2,966.107
1,93
FAT 16
18,39
9,51
9.114.10 9
2,19
FAT 17
28,38
15,80
1,537.10 1 6
1,43
FAT 18
35,35
19,19
7,739.10
FAT 19
31,85
22,17
2.606.1023
1,37
27,19
16,64
3,115.10
17
1,39
FAT 20
FAT 21
37,15
19,57
5,752.10 2 °
1,33
FAT 22
33,06
9,55
1,40
FAT 2 3
35,09
19,42
1,366.10 9
20
1,546.10^
k
19
1,40
!.«,
|
3M
3.3 - Fisura superficial elíptica
El estudio realizado dentro de este apartado es puramente teórico ya
que, como hemos visto anteriormente, no se han efectuado ensayos sobre probetas con fisuras superficiales que no presenten simetría de revolución.
El primer punto a considerar consiste en la elección de las dimnsio
nes de la fisura. Para esto se han analizado en la literatura técnica (Brechet
1.970, Raharinaivo 1.971) un gran número de datos sobre probetas de 7 mm de diámetro rotas en ensayos de corrosión bajo tensión; en este caso las roturas
se producen debido a la presencia de una fisura superficial cuyo borde se pue
de asimilar a un arco de elipse de semiejes a y b tal como se puede ver en la
figura 3.22. Como resultado de este estudio hemos llegado a la conclusión de
que el campo de variación de a y b está definido por las condiciones
•"": í I
0,4
Í
a
<
1 (mm)
0,5
s
a
b
<
0,8
U
r¡\
;
(3.37)
(3.38)
^
Fig 3 22
*A
3J .S
En e l cálculo p o r elementos finitos se han considerado tres valores p a r a c a d a parámetro para barrer completamente su campo de variación: 0,40, 0,7G
y 1,00 para a y 0,5, 0,65 y 0,8 para a A». Esto da lugar a nueve geometrías d i s
tintas a l a s q u e hemos añadido tres m á s correspondientes al valor 0 d e a/b que
también tiene i n t e r é s pues d a lugar a fisuras d e borde recto semejantes a l a s
e n t a l l a s p r o d u c i d a s p o r l o s dientes d e unas mordazas de anclaje. E l fondo d e e s t a s entallas está redondeado pero el u s o del modelo d e la fisura plana debe
d a r b u e n o s resultados p o r la misma razón p o r la que s e obtiene una buena a p r o ximación d e K ensayando probetas entalladas en vez d e probetas ^iaurades. L a s
características geométricas de los 1 2 casos estudiados se han recopilado en l a
t a b l a 3.13. E n todos l o s casos el diámetro, 0, d e l alambre considerado s e t o m ó igual a 7 mm. L a s características mecánicas del material fueron l a s c o r r e s p o n d i e n t e s a l acero 1 (E- 20400 Kg/mrn2j
v
« 0,3).
TABLA 3.13
a (mm)
b (mm)
a/b (mm)
1
0,40
0,50
0,800
2
0,70
1,08
0,648
3
1,00
2,00
0,500
4
0,40
0,61
0,656
5
0,40
0,80
0,500
6
0,70
1,40
0,500
7
0,70
0,87
0,805
8
1,00
1,54
0,649
9
1,00
1,25
0,800
10
0,40
30,00
0,013
11
0,70
30,00
0,023
12
1,00
30,00
0,033
CASO
i
El método de cálculo empleado es el mismo que el e d u c a d o en el apar
tado 3.1 para materiales elásticos lineales.
•1(16
la malla de elementos comportaba elementos hexaédricos de ocho nudos
(uno en cada vértice) y elementos pentaédricas de seis nudos (uno en cada vÓr
t i c e ) . Esta malla se genera automáticamente y, teniendo en cuenta lo que se explica en el apartado 1.4.5, los nudos se dispusieron en 5 capas sucesivas tal como se puede ver en la figura 3.23 donde también se puede apreciar qus,
p o r razones de simetría,301o se estudió un cuarto de probeta. 3i se analiza una sección p o r una de las capas, la malla de elementos aparece como un con junto de cuadrilíteros y triángulos tal como se puede apreciar en la figura 3.24. En esta figura se observa que la malla utilizada no es tan fina como la
empleada para los problemas de simetría cilindrica debido a la limitación impuesta p o r la capacidad del nrdenndor empleado. Ue todos modos ya comprobaremos más adelante que esta mallo es adecuada pnra los fines que se persiguen.
La tasa de liberación de energía, que es variable a lo largo del bor
de de la fisura, se determinó por el método de la rigidez diferencial explica
do anteriormente en el apartado 3.1. La única diferencia respecto al caso de
la fisura coaxial estriba en que en este caso hay que repetir el método para
cada punto del borde de la fisura, es decir tantas veces como capas.
El número de nudos fué do 210 que representan 630 grados de libertad
T
y el de elementos fué de 136. El tiempo necesario para cada cálculo era de 15
minutos a los que hay que añadir el tiempo invertido en calcular la tasa de liberación de energía que era de 7 minutos por cade punto; de esta forma el .empo total para cada caso resultaba ser de 50 minutos.
Las condiciones de sustentación y solicitación están indicadas en la
figura 3.24. El valor del desplazamiento u L
dado a los nudos de la sección -
superior de la probeta no influye sobre los resultados por tratarse de un pro
blema de elasticidad lineal; en este caso se tomó
u L - 0,02 mm que equivale
a una deformación global del 2'/o.
Seguidamente vamos o describir los resultados de los cálculos de com
probación realizados sobre un problema de deformación plana que son necesarios
para conocer la precisión del método empleado. Finalmente describiremos los resultados relativos al problema de la fisura superficial elíptica en un alambre eláfiticolineal.
CAPA 5
CAPA 1
Fig. 3.23
( COTAS EN mm )
T
FISURA
plano X Y
Fig 3.24
319
3.3.1 - Comprobación del método
Para conocer la precisión del método de la rigidez diferencial se ha
estudiado un problema de deformación plana cuya solución es conocida. Este pro
blema consiste en determinar el factor de intensidad de tensiones en una la.1a
plana de forma rectangular y con una fisura plana paralela a uno de sus lados;
las dimensionus de esta laja se pueden ver en la figura 3.25.
O
( COTAS
EN
ntm )
Fig. 3.25
El factor de intensidad de tensiones para este problema viene dado
por la fórmula (Bowie 1.9G4)»
K = 1,37
¿
:(2n) w1/2
= 3,434 a
(3.391
Este problema se analizó por el mátodo de elementos finitos tomando dos capas de nudos (las dos caras de la laja) y el mismo número de nudos por capa que para el alambre con une fisura superficial elíptica. Por lo tanto la
disposición de los elementos fué la misma que la indicada en la figura 3.24. -
32U
Se calculó la tasa de liberación de energía mediante el mátodo de la rigidez diferencial tomando seis valores distintos para el incremento relativo de longitud, Aa/a
, de la fisura. El factor de intensidad de tensiones se derivó -
aplicando la fórmula.
K
f^-.
(!
-v^
(3.40)
que sólo es válida para problemas de deformación plana; para conseguir esta situación se impidió el movimiento de los nudos en dirección perpendicular a
las caras de la laja.
Los resultados obtenidos se compararon con los que se derivan de la
aplicación de la fórmula (3.39) para determinar el error cometido como se puede ver en la tabla 3.14.
TABLA
a/A
•
K (Bowle)
3
(Kg/m* ^)
3.14
K aproximado
' (Kg/mm
3/¿
Error r e l a t i v o
)
709
668
6
n
684
4
2.000
n
685
3
5.000
N
685
3
«•
686
3
n
686
3
100
1.000
10.000
50.000
i
En esta tabla se comprueba que para valores de a/A a superiorer a 1.000, el error relativo permanece constante e igual a un srf* Lo que deternd
na esta precisión no es realmente el valor del incremento relativo de longitud" de la fisura sino más bien la relación entre este incremento y las dimein
alones del elementa que se deforma para simular el avance de la fisura según
el modelo que quedó explicado en el apartado 1.4.5 y en la figura 1.40. Como
en este caso la dimensión de este elemento en la dirección de avance de la -
321
fisura es de 0,4 mm, el incremento de longitud de la fisura deberá ser inferior
a 1/2C0 de esta dimensión. Esta será el criterio que conservaremos a la hora de elegir el valor de A a para la fisura semiolíptica en el alambre.
Como acabamos de vnr la precisión que se obtiane por este método es bastante buena a pesar de no disponer de una malla de elementos muy fina. Si quisiésemos determinar el factor de intensidad de tensiones como el límite de
una tensión por ls raíz cuadrada de la distancia al bordo de la fisura tal co
mo hicimos para el caso de la fisura coaxial, los resultados serían muy poco
aproximados. En efecto, se ha realizado esta comprobación aplicando la fórmula
(3.10) y el resultado obtenido se ha representado en la figura 3.26. Determinando la recta de regresión, su punto de intersección con el eJB r • 0 corres3/2
pende a un valor de K de 644 Kg/mm ' lo que representa un error relativo de 3/2
un 10p/? respecto al valor exacto (709 Kg/mm ' ).
" !
1.0
Fig 3.26
—
—
—
1
1.5
•—
r(mm)
322
Este cálculo sobre un problema de deformación plana cuya solución es
conocida nos ha sarvido en definitiva para detomdnar la precisión del método
que vamos a emplear y para desechar el método consistente en analizar el campo de tensiones; alrededor del borde de la fisura. Seguidamente vamos a estudiar el caso del alambre con una fisura superficial de forma semielíptica.
3.3.2 — Factor do intensidad de tensiones
Para determinar el factor de tensiones se calculó la tasa de liberación de energía en todos los nudos del borde por el método de la rigidez dlfe
renqial aplicando la fórmula
0
-
•
-
I , ,T (AK)
[u j
—
• lu }
2
AA
-
(3.41)
Como el movimiento de cada nudo se realizaba en dirección normal a la
elipse tal como se puede ver en la figura 3.27, el incremento del área fisurada se pudo calculnr mediante la egresión
¿A
= •- Al (As +As )
(3.42)
asimilando el área recién creada a dos triángulos rectángulos. Los resultados
obtenidos se han recopilado en la tabla 3.15 donde se indica la posición de cada punto a lo largo del borde de la fisura mediante la longitud de arco de eiiose, s, oue lo separa del punto central que está situado en el plano y-0.
Rg.3.27
4^
ol
I
ce I o
UJ
o
(/)
ÜJ
¿4
•
'
O
.
t^ o «p •-:
ci co oS c4
•
ce
o
AB
II
1
_
•_, '
O Ó O
.
. •
CM
ir>
<
D
O
<x>
324
Analizando los valores de esta tabla se observa que el punta que presenta la mayor tasa de liberación de energía es sierre el punto central de la
fisura. Esta tasa va disminuyendo a medida que aumenta la distancia al plano de simetría vertical (y-o) salvo para el nudo situado en la intersección del borde de la fisura con la superficie exterior del alambre. Sin embargo de este
hecho no se puede sacar ninguna conclusión respecto al estado de solicitación
de aste punto ya que para calcular su tasa da liberación de energía se ha considerado un desplazamiento normal a la elipse cuando hubiese sido mis natural
que este desplazamiento fuese tangente a la superficie del alambre. De todas maneras ha quedado demostrado que el punto que está en peores condiciones de so
licitación es el central por lo que será para este punto para el que hablé" que
determinar el factor de intensidad de tensiones. La variación de la tasa de li
aeración de energía a lo largo del borde de la fisura se ha representado con fines ilustrativos y para tres casos particulares con la misma relación a^J en
la figura 3.23.
Aunque el resultado que se obtiene directamente del cálculo numérico
es la tasa de liberación de energía, todos los autores prefieren calcular el factor de intensidad de tensiones por lo que nosotros seguiremos también esta
norma.
El cálculo del factor de intensidad de tensiones exige la aplicación
de la fórmula (3.40), que ha sido deducida en el supuesto de un estado de deformación plana. Ya hemos visto que estas condiciones se cunplen alrededor del
borde de una fisura cuando el punto considerado está suficientemente alejado de la superficie exterior de la probeta. Cabe preguntarse entonces si estamos
en ese caso. Para resolver esta alternativa recurriremos a los resultados del
cálculo por elementos finitos.
Si analizamos directamente las deformaciones en dirección paralela al
borde de la fisura observdjflos que estas no son tan despreciables como para el
caso de la fisura coaxial ya.que oscilan alrededor del 10.''< de la deformación
e
• Hay que tener en cuenta sin embargo que la malla de elementos es mucho
menos fina que para la fisura coaxial y por lo tanto la descripción del campo
de tensiones y deformaciones alrededor del borde de la fisura no puede ser tan
aproximada. Si estudiamos la distribución angular de tensiones de la misma
-
TABLA
3.15
Fisura superficial: tasas de liberación de energía
CASOS (Tensión Kg/mm2)
1(38,18)
S <
6
2(38,68)
3(39,06)
4(38,29)
Kg/mm)
S i Lmmj
8(38,90)
9(38,76)
0,6672
0,0474
0,0447
0,0417
0,0443
0,278C
0,5744
0,8999
1,2239
0,0914
0,0740
0,0891
mmj
0
0,4086
0,8444
1,3315
1,7972
6 \,Kg/mm)
0,1748
0,1711
0,1516
0,1027
0,1525
0
0,1606
0,3356
0,5336
0,7381
0,0579
0,0566
0,0517
0,0434
0,0438
0
0,1686
0,3667
0,6053
0,8607
0,0688
0,0622
0,0474
0,0427
0,2934
0,6148
0,9907
0,1213
0,1188
0,1069
0,0790
1,3600
0,0913
0
0,2688
0,5453
0,8318
1,1175
G Kg/mm)
0,0960
0,0844
0,0790
0,0722
0,0866
s 1.mrnj
G IKg/mm)
0
0,3879
0,7937
1,2273
1,6697
0,1496
0,1466
0,1314
0,0993
0,1486
0
0,3753
0,7578
1,1491
1,5137
0,1268
0,1244
0,1151
0,0999
0,1419
0
0,2374
0,51¿19
0,9049
1,4777
0,1007
0,0995
0,0923
0,0642
0,0381
0
0,3715
0,7868
1,3133
1,8392
0,1634
0,1601
0,1445
0,0986
0,0799
0
0,4833
1,0074
1,6285
2,1543
0,2271
0,2215
0,1939
0,1176
....
0,1298
S
S ,mmj t
s1
s
nwnj
S ,mmj
S i .mmj
G ¡Kg/mm)
,mmj
10(39,08) 5 <
6 < ¡Kg/mm)
11(39,30)
0,4921
0,1007
G .Kg/mm)
7(38,53)
.0
0,3197
0,1029
Q 1¡Kg/mm)
6(38,87)
o,cwa?
0,1565
G [Kg/mm)
G Kg/m)
5(38,47)
o
S |, mmj
G i ¡Kg/mm)
, mmj
12(39,31) 5
G i Kg/mm)
0,0703
.0
|
326
forma que lo hicimos en la figura 3.8, observaba que la tensión o ee adapta
a l a ecuación ( l . l ) en forma parecida a como lo hace en e l caso del'problems con simetría de revolución (ver í ^ u r a 3.29). Para distancias muy pequeñas al
borde de la fisura la aproximación es muy mala pero mejora mucho al aumentar esta distancia. Representando en la misma figura los resultados correspondient e s a l ejemplo de deformación plana estudiado anteriormente se observa que su
comportamiento es e l mismo.
Otra forma de ver hasta que" punto as cumple la hipótesis de deformación plana en las proximidades del punto central del borde de la fisura consis
t e en coaparar la tensión a y con v ( a x + o z )
f variables que deban ser idént i c a s en un caso de cJefonnaciÓn plana en e l que t - 0 , y siendo o nula en un
ceso de tensión plana. En los 12 casos estudiados o estuvo comprendida entre
estos dos valores extremos y s i calculamos su diferencia respecto a v Co +o )
y la expresamos en tanto por ciento de este valor obtenemos los resultados que
se han recogido en la tabla 3.16.
TABLA
Valores de 100 ( 1 -
aWfv
0.8
3,16
(° „-** J
0,65
.#*s
o
0.4
20
18
16
11
0,7
14
13
12
9
1.0
11
10
10
8
En esta tabla se observa que el estado de deformación se parece tanto
mis a uno ds deformación plana cuanto mayor es la profundidad de la fisura y
cuanto menor es la relación aA>« En cualquier caso la diferencia entre o
y
y
v (o +o ) nunca sobrepasa el 20% de este último valor. Por otro lado, la com o c i ó n que si^one el considerar un estado de deformación plana para calcular
si factor de intensidad de tensicnes a partir de la tasa de liberación de ener
gia consiste en dividir el resultado correspondiente a tensión plana por / l - v 2
que, para ol valor usual de \> en un acero ( v - 0,3), es 0,954; por lo tanto,
L;-I^V^A.Í^,?^-JT>~™,~-^?I'^'-^S=,Í^-'^Í7*
* i
DEFORMA
A
A
+
+
FISURA
Fia. 3.29
328
el máximo Brror que podemos cometer al considerar tensión o deformación plana
es dB un 5%; como vamos a suponer que estamos ante un estado de deformación plana y la máxima diferencia en tensiones respecto a este astado ideal es de
un 20%, el máximo error que podemos cometer al hacer esta suposición es de un
1$ en el factor de intensidad de tensiones. Este error tiende a sobrevalorar
el resultado y por lo tanto es de sentido contrario al error propio del método de cálculo el cual tiende a subvalorarlo como hemos vista anteriormente.
Esto demuestra que el error que podamos cometer al suponer un estado
de deformación plana es menor que el error propio del método y de sentido con
trario razón por la cual no lo consideraremos. Por lo tanto los resultados obtenidos tendrán un error relativo del 3%.
Considerando el factor de intensidad de tensiones en el punto central
del borde de la fisura, se demuestra por análisis dimensional (París y 3Lh
—
1.964) que viene dado por
K = a/5 f
(3.43)
donde o es la tensión nominal en el alambre y f es una función adimsnslonal de las características geométricas de la fisura que en nuestro caso definiremos mediante los parámetros a/D y a/b.
La función f se ha calculado para los 12 casos estudiados y los
sultados se han representado en la figura 3.30 en función de la relación de 0
semiejes de la elipse a/b. Se observa que para cada valor de a, f varía lineal
mente con a/b. Determinando las tres rectas de regresión se llega al resultado i
para a - 0,40
f - -O,2134 "
b
+ 0,4966
(3.44 a)
para a - 0,70
f - -0,2492 a
+ 0,6315
(3.44 b)
f . -0,2867 a + 0,7492
b
(3.44 c)
b
para a « 1,00
i
o
fe 8
8
2
O O
•
O)
CM
00
o
O
N
•
o
o
a
X
N.
X
o
o
o
O"
O
ro
<0
o*
o*
10
•
l?
o
o
o
330
Los coeficientes de estas rectas de regresión son función de a por lo que si determinamos las dos rectas de regresión correspondientes se llega
finalmente a la expresión de f en función de a/t) y a/b
Ó7£ -
fCa/D,a/b)
-
[ - 0,8554 (g) - 0,1642
(g) + 2,3484 (g) + 0,3309
(3.45)
que es válida para cualquier material plástico lineal con un error de un 3% siempre que las variables a/D y a/j permanezcan dentro de los siguientes Hnd
tes
0,057
í
a/b
<
0,143
(3.46 a)
0,5
c
a/b
i
0,8
(3.45 b)
Si se aplica la fórmula (3.45) a valores de a/b menores de 0,5 el error cometido aumentará al disminuir a/a hasta alcanzar un valor máximo para
a/S - 0 de un Büp (este error se ha calculado aplicando la fórmula (3.45) a
-
los casos 10, 11 y 12 que corresponden a valores casi nulos de a/a).
En el caso de gran importancia práctica en que el borde de la fisura
sea recto (a/b - 0) la función f sólo dependerá de a/3. Analizando los resultados de los casos 10,11 y 12 se puede determinar la correspondiente recta de
regresión lineal llegando al siguiente resultado
-£= - f(a/D, 0) =
.
- 2,6367 (g) + 0,3123
que sólo es válida para
0,057 $ a/b í
(3.47)
0,143
(3.48)
Oe esta forma ha quedado determinado el factor de intensidad de tensiones máximo en una fisura superficial semiBlíptica en función de la tensión
nominal aplicada y de las dimensiones de la fisura siempre que estas permanezcan en el campo de variación indicado por las ecuaciones (3.46) y (3.48).
331
En un ceso de aplicación práctica bastará medir las dimensiones a y
b de la fisura; esto se puede hacer mediante un proyector de perfiles gracias
al cual se pueden determinar las coordenadas (x, y) del punto de intersección
del borde de la fisura con la superficie exterior del alambre (ver figura 3.31)
para, aplicando la ecuación de la elipse, calcular b
b =
A
~&2
0.49}
El parámetro a se determinará directamente midiéndolo sobre la probeta fisura
da. Conocida la cargo de rotura del alambre fisurado podremos determinar al valor crítico del factor de intensidad de tensiones.
'
•
•
•
v
Finalmente vamos a comprobar los errores que se nometeh al calcular
el faqfpr de intensidad de tensiones asimilando el alambre a una laja indefinida tal como vimos en el apartado 1.13 (ver figura 1.21). Para esto aplicare
mos la fórmula (Kobayashi y Moss 1.969)
K = M
2JpL- •
(3.50)
donde ,* y
M
e
vienen determinados por las figuras 1.25 y 1.27 respectiva-
mente. Para los casos en que el borde de la fisura es rectp asimilaremos el problema al de una laja plana en estado de deformación plana y emplearemos la
fórmula .de Bowie, (Bowie J..964)
•
>
i
K. - k O / 7 D
(3.51)
Los resultados obtenidos se han recopilado en la tabla 3.17 dondB se
observa que la influencia de la presencia de superficies exteriores cerca del
borde de la fisura eleva el factor de intensidad de tensiones para la misma tensión nominal. Sin embargo los errores cometidos al aplicar la fórmula (3.50)
no son excesivamente» impprtantes yá que en ningún caso sobrepasan el 10%. La.
aplicación de la fórmula (3.51) a los casos 10, 11 y 12 conduce a resultados -
332
erróneos ya que los errores son del orden del 40%. Este estudio Justifica por
lo tanto en cierta medida la hipótesis de Hashegftard consistente en asimilar
el alambre a una laja indefinida según el modelo de la figura 1.21.
TABÚ
3.17
Cálculo del factor de intensidad de tensiones mediante fórmulas apro
ximadas
K
CA90
D
aproximado
Error r e l a t i v o
fórmulas (3.50)
(3.51)
1
0,326
0,312
4,3
2
0,470
0,426
9,4
3
0,606
0,589
2,8
4
0,356
0,322
9,6
0,390
0,372
4,6
6
0,507
0,493
2,8
7
0,431
0,413
4,2
B
0,563
0,509
9,6
9
0,520
10
0,460
0,277
39,8
11
0,582
0,379
34,9
12
0,484
0,686
41,7
5
*••>•
0,494
5,0
A la vista de estos resultados se puede deducir que el caso del material elastbpléstico se puecte tratar con bastante aproximación mediante los
mfitodos descritos en B 1 apartado 1.2.1 para la laja plana con una fisura superficial de forma semlelíptica. Habrél que auntóntar la profundidad de la fisu
333
ra en u n a distancia r y
dada p o r la fórmula (1.58) o rrultiplicar e l f a c t o r d e
intensidad de tensiones por un factor de amplificación M
cuyo valor se pueP
de determinar sobre la figura 1.28. El uso de estos métodos nos informará en
cada caso sobre la extensión del campo de validez de las ecuaciones (3.45) y
( 3.47).
3 34
3.4. - Conclusiones
Tras exponer en aste apartado las conclusiones refarante-s al trabajo
de investigación realizado en esta tesis pagaremos a citar brevemente los nue
vos campos de investigación que pueden surgir a partir de ella.
3.4.1 - Concliiaones.
El objetivo de este trabajo consistia en estudiar el comportamiento
de los aceros de alta resistencia usados en obras pretensedas cuando está pre
senté algún defecto superficial. Las contribuciones de esta tesis son de una
parte puramente teóricas y por lo tanto.dependientes únicamente de las constan
tes del material (Módulo de elasticidad, exponente de endurecimienta por defor
mación, etc.} y de otra, específicas y sólo aplicables al tipo de acero que se
ha considerado. Veamos en primer lugar las conclusiones teóricas.
Uno de los resultados más importantes ha sido el poder llegar a demostrar que la tasa de liberación de energía, G, en un problema cualquiera que
presente simetría de revolución (no hace falta que se trate de un alambre) y en el que el material sea elástico lineal se puede igualar a una integral curvilínea calculada a lo largo de una curva contenida en un plano meridiano y
-
que envuelva al borde de la fisura siendo esta integral independiente del cami,
no de integración (ecuación (1.95)).
Cuando se trate de un material elástico no lineal la ecuación (1.95)
deja de ser aplicable pero se ha demostrado que existe una expresión, j
, A
suma da una integral curvilínea y una integral de superficie, y que también es independiente del camino de integración que es proporcional a la tasa de liberación de energía por ser igual a la derivada de la energía potencial almacenada respecto a la profundidad de la fisura (ver ecuación (1.112)). La de
finiciÓn de este nuevo parámetro supone la creación de una herramienta potentísima para estudiar cualquier problema de un sólido fisurado que presente si
raetría de revolución.
Le utilidad de estas dos expresiones de la tasa de liberación de ener
gía se ha visto demostrada en el cálculo por elementos finitos por el que se
ha podido comprobar que aquellas permiten determinar el factor de intensidad
de tensiones son una precisión comparable a la que se obtiene por otros mato
335
dos t r a d i c i o n a l e s .
C i ñ é n d o n o s al caso de un alambre con una fisura coaxial y compuesto
dB un material elástico lineal se ha determinado la elongabilidad de una p r o b e t a de e n s a y o en función de cuatro parámetros que determinan l a s c a r a c t e r í s t i c a s g e o m é t r i c a s (diámetro y longitud) y mecánicas (módulo de elasticidad y
c o e f i c i e n t e de P o i s s o n ) dBl problema (ver ecuación ( 1 . 8 9 ) ) . El cálculo de l a
elongabilidad n o s h a permitido demostrar que existe una relación entre la c a r
g a de r o t u r a y la deformación de rotura de una probeta fisurada (ver e c u a c i o n e s ( 1 . 9 0 ) ) fenómeno que se ha comprobado experimentalmente (ver figura 3 . 1 0 ) .
Finalmente se han calculado p o r el método de elementos f i n i t o s las c o n d i c i o n e s de solicitación de una f i s u r a superficial elíptica llegando a
de
m o s t r a r que e l punto que soporta un m a y o r factor de intensidad de tensiones e s e l que e s t á en el plano de simetría de la fisura. Este factor de intensidad
d e t e n s i o n e s máximo se h a relacionado con la tensión nominal del alambre y c o n
las d i m e n s i o n e s de la fisura mediante una expresión aproximada (ecuación (3.45)
que n o s da los v a l o r e s de este factor con una precisión del 3%. También se h a
e s t u d i a d o el caso de la fisura de borde recto llegándose a otra expresión siird
l a r (ecuación ( 3 . 4 7 ) ) , El campo de aplicación de estas ecuaciones está limita
d o a l a s d i m e n s i o n e s m á s u s u a l e s de las fisuras superficiales. E s t a investiga
clon n o s h a p e r m i t i d o determinar los errores que se cometen al e s t u d i a r este
p r o b l e m a usando f ó r m u l a s que han sido deducidas p a r a p i e z a s de geometría d i s t i n t a c o m o la laja p l a n a indefinida; se ha comprobado que, mientras l a f i s u r a
del modelo sea i d é n t i c a a la i;ue se quiere analizar, la influencia de las s u p e r f i c i e s e x t e r i o r e s de la probeta n o e s excesivamente importante.
P a r a t e n e r en cuenta las características de deformabilidad de l o s a c e
r o s que se usan en o b r a s p r e t e n s a d a s se ha estudiado también el caso e n que el
m a t e r i a l es. elastoplastico con endurecimiento p o r deformación ciñéndonos al p r o b l e m a de la f i s u r a coaxial.
Un resultado importante dentro de este terreno y O U B e s válido p a r a
c u a l q u i e r g e o m e t r í a ha sido el llegar a modificar la teoría de Liebowitz p a r a
t e n e r en c u e n t a la variación de todos loa parámetros de las c u r v a s c a r g a — d e s p l a z a m i e n t o en función de las dimensiones de la fisura (ecuación ( 1 . 1 2 9 } ) . Sin
embargo el estudio experimental ha demostrado que si bien el p a r á m e t r o G
es -
un buen parámetro de fractura el método de Liebowitz para determinarla e s poco
preciso.
336
La aplicación del parámetro j
a l material elastoplástico n o s h a A
permitido demostrar que la densidad de energía es inversamente proporcional a
la distancia al borde de la fisura; de ello se ha conseguido deducir la forma
en que varían tensiones y deformaciones en las proximidades de este punto (ecua
clones (lJBO), (1.152) y (1.153).
También se ha definido el parámetro da fractura j* como la cantidad
de energía realmente liberada cuando aumenta una unidad el área de la fisura.
La Imposibilidad de calcular este parámetro por métodos algebraicos nos ha lie
vado a efectuar unos cálculos por el método de elementos finitos teniendo en cuenta la presencia de grandes deformaciones (ver figuras 3.19 a 3.21). Median
te este cálculo ha quedado demostrado que, para la misma tensión, j
perior a G y a G
es su-
. E l principal inconveniente que presenta el parámetro J
estriba en que es necesario realizar un cálculo para cada valor de lot. parame
tros que definen la curva tensión-deformación del material.
Veamos seguidamente las conclusiones relacionadas con el estudio experimental. Al aplicar estas teorías a un acero para pretensado as ha demostró
do que, para alambres de 9 mm de diámetro, la teoría elástica que se concreta
en definir un factor de intensidad de tensiones o una tasa de liberación de energía críticos es perfectamente aplicable siempre que la fisura ocupe más del 55c/p de la sección del alambre. También ha quedado demostrado que esta cifra se puede reducir si el acero ha sido sometido a un proceso de fragiliza clon (por hidrógeno en este caso). El hecho de saber que se puede conocer él
comportamiento del acero en régimen elástico con sólo producir una entalla anu
lar suficientemente profunda y prolongada por una fisura de fatiga es a nuestro parecer una de las consecuencias más importantes de este estudio.
*
La validez d e l parámetro
J
como indicador d e la c a r g a d e rotura d e
u n a p r o b e t a f i s u r a d a en un caso general en que se desarrollan g r a n d e s d e f o r m a c i o n e s p l á s t i c a s h a sido demostrada p a r a un acero determinado, ensayando alamb r e s p r e v i a m e n t e fisurados mediante un proceso de fatiga rotatoria ( v e r tabla
3 . 1 2 ) . U n o d e l o s p u n t o s m á s destacablas a los que se h a llegado h a c o n s i s t í *
d o e n comprobar.que l o s valores críticos de G y de J
, obtenidos mediantB e n
s a y o s distintos, c o i n c i d e n . Como de otra parte ha quedado demostrada l a falta
de v a l i d e z d e la tasa d e liberación de energía cuando se aplica a problemas en
l o s q u e s e p r o d u c e n grandes deformaciones plásticas, la importancia de este -
337
parámetro no reside sino en el hecho de que es equivalente a J
en el caso da
un material elástico lineal.
F'or ultimo, ha quedado demostrado a lo largo de este est..,dio que el
ensayo sobre probetas simplemente entalladas es un indicador de la capacidad
del acero para soportar la presencia de un defecto pero sólo en forma cualita
tiva y a efectos de comparar el comportamiento de varios aceros de mismo diá—
metro»
La propiedad que hace que un acero con una fisura resista un esfuerzo exterior más o manos grande y que se denomina comunmentb como tenacidad a
la fractura es, según se deduce de este trabajo, independiente de las demás características mecánicas deí material y por lo tanto es necesario realizar un ensayo específico para conocerla. Esta propiedad general se debe cuantiflcar mediante el parámetro J
el cual está directamente relacionado con el fac
tor da intensidad de tenslonss siempre que no se desarrollen grandes zonas plás
ticas* El valor critico de este parámetro se puede optimizar con el adecuado tratamiento térmico según ha quedado demostrado a través de una extensa investigación experimental. En general cabe decir que se conseguirá mejorar el comportamiento de un acero para pretensar en presencia de fisuras si se aumenta
simultáneamente su limite elástico y su tensión última de rotura.
3.4.2 - Investigaciones futuras.
A partir de los resultados de esta tesis se podrán abordar algunos problemas que hasta ahora estaban vedados al investigador.
En efecto se ha definido una metodología de ensayo para determinar la tenacidad a la fractura de un acero para pretensar; esto permitirá conocer
con cierta facilidad esta importante propiedad del material para aplicarla al
estudio de tres de los más importantes problemas que presenta actualmente el
acero en las obras pretensadast corrosión bajo tensión, fatiga y fragilidad en
los anclajes.
En la corrosión bajo tensión están presentes muchas variables pero cuando se trata de un proceso de corrosión fisurante los defectos tienen forma de lúnula como se puede ver en le foto 1.1. La aplicación de la fórmula
-
Í3.45) permitirá determinar el valor del factor de intensidad de tensiones en
338
el momento de la rotura y deducir de ahí si el material se ha fragilizado durante el proceso de corrosión, si se producen grandes deformaciones plásticas
antes de la rotura, etc.
Para abordar el problema de la fatiga, el camino más generalizado actualmente consiste en usar 3.a fórmula (iVeiss y Yukawa 1.964, Maddox 1.97S)
da
dÑ ^
/
C
C K;
ri
(3.52)
que nos da el incremento de longitud de la fisura en cada ciclo en función de le variación, AK.t en el factor de intensidad de tensiones y de dos cune
tantas del material, C¡ y m. Pero a través de la fórmula (3.45) se conoce el
valor de K en función de la tensión exterior y de las dimensiones de la probeta y de la fisura lo que permitirá estudiar el fenómeno de la fatiga desee
un punto de vista teórico.
!
El problema de las roturas en los anclajes es ya antiguo pero sigua
sin resolverse. En este caso se trata de un proceso de deformación plástica al penetrar los diuntes de la mordaza en el acero seguido de la creación, ere
cialento y coalescencia de huecos que produce la rotura del material. Cono primera aproximación se podrá considerar que se trata de un caso de elasticidad lineal y se aplicará la fórmula (3.47) que nos da el valor del factor de
intensidad de tensiones cuando el borde de la fisura es recto; pero para tatú
diar este problema de forma más aproximada será necesario emplear el parárratro
J
y calcular su valor por el método de elementos finitos tal como se hizn -
en el apartado 3.2. De esta forme se podrá saber la carga de rotura del corjunto en función de las durezas del acero y de los dientes de las mordazas.
¡.
339
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
- Aapodt B. S Bergan P.Q. 1.974, "Propogation of Elliptical Surface Cradfcs
and Nonlinear Fractura Machanica by The Finita Elemani. Merchod», PiIR Malunga of tha V Conferance on Qlmnsloning and Strangth Calculationa and tha VI Congress on Materials Teeting, vol. 1, p.I-31
(1.974).
- Aatiz M.A., Elicas M. G Sanchas Bllvez V. 1.975, "Ductilidad en Aceros de Protensado*', Hormigón y Acero, n» 118, p. 163 (1,976).
*
*
- A.S.T.M. 1.960, "Fracture Testing of M « h - Stranpth Shset. Materials", A Rsport cf a Spaclal ASTM Comndttea, ASTM Bulletin, ni 244, p„18
(1.960).
- A.3.T.M. 1.962, "Screaning Tests for.High Strangth Alloys using Sharphy Notched Cylindrical Specimens, Fourth Raport of a Spsoial ASTM
—
CoflMlttea", Materials Research and Standarda, vol. C, p. 196 (1962).
- A.S.T.M. 1^64, "Progresa in Maasuring Fractura Toughnasa and Using Fraottujinhanica, Fifth Raport of a Speclal ASTM Cocwdttea", Mataríais
Research and Standards, vol. 4, p. 107 (1.964).
- A.S.T.M. Standarda 1.974, "1.974 Annual Book of ASTM Standards", vol. 10,
Matáis - Physlcal, Machanical and Corrosión Tasting (1.974).
- Ayras D.J. 1.970, "A Nuaerical Procedure for Calculating Stress utd Defcr
aation near a Slifc in a Three - Oinanaional Elastic - Plástic Solid",
Engineering Fracture Méchenles, vol. 2, p. 87 (1.970).
- Baranblalt G.I. 1.962, "The Mathematical Yheory of Equilibriun CraVke in
Brittle Fracture", Advancas in Applied Máchenles, vol. 7, p. 56
-
(1.962).
,. Bsglny J.A. S Landes J.O..1.972, "The J Integral as a Fractura Criterlon",
Fractura Toughness, ASTM STO n« 514, p. 1 (1.972).
340
- Oenthewi J.P. 1.972, "Tbree - dimensional State of Straaa at the Tip of a
Quartar - Infinite Crack in a Half - space", Raport na 469, Univer
sity of Technology, Oeif
(1.972).
- Banthas) J.P. 1.975, HThrae - dimensional State of Stress at tha Vértex of
a Qurrter - infinite Crack in a Half - SpaoeN, Raport na 563, IttLveraity of Technology, Delft (1.375).
- Benthe» J.p. C Koiter W.T. 1.973, "Asyaptotic Approxlmationa To Crack Pro
oleas" ".Methods.of
Analyaia and Solutions Of Crack
Problaaa"', -
G.C. alh, p. 131, Noordhoff (1.973).
•
«
- Bowie O.L. 1.964, "Rectangular Tenaile Sheet with 9yrametric Edge Cracks",
Journal of Applied Mechanice, vol. 31, p. 208 (1.964).
|
- Bowie O.L. 1.973, "sbíutions of Plañe Crac* ProbltM» by Mapping Technigua",
"Methoda of Analyais and Solutions of Crack Problema"t Q.C. SLh, p. 1, NouiUioff (1.973).
- Brachet M. 1.970 "Bilan do Quelques armées d* obsarvation dea phénoaenaa
de corrosión sous tensión des aclare a haute resístanos", Bulletin
de lielaon dea Laboratoiras Routiera, nfl 45, p. 115 (1.970).
- Brebbla C.A. & Cannor J. 1.973, "Fundaméntale of Finite Element Teohniquee",
Buttereorthe (1.973).
- B u c d R.J., Paria P.C., Landes J.O. & Rice J.R., "J Integral Estiaation Procedures", Fractura Toagharess, ASTM STP n« 514, p. 40 (1.972).
- Budiansky Q. 1.959, "A ReaasBSsment of Deformation Theories of Plasticity", Journal of Applied Mtshanics, vol. 26, p. 259 (1.959).
- Budiansky B. fr Rica J.R. 1.973, "Conaazvation Lawa and Energy - Reléase Ratea", Journal of Applied MBChanica, vol. 40, p. 201 (1.973).
- Bueokner H.F. 1.964, "Discussion to Stress Analyaia of Cracks from Paria
& Sin", Fractura toughnesa Testing, ASTM STP nfl 381, p. 82 (1.964)
m
«
341
- Buacknar H.F..1.973, «Field Singularltlas and Relatad Integral Repreaantationa", "Mathoda of Analyais and Solutions of Crac* Problaa»", B.C.
81hf p. 239, Noordhoff (1.973).
- Bul H.O. 1.974, "Dual Path Indapandant Integráis", Engineering Fracture
-
Machanlca, vol. 6, p. 287 (1.974).
- Coak T.S. & Rau C.A. 1.974, "A Crltical Fteview of Anlaotropic Fracture Máchenles" > Proapecta on Fracture Machanlca, Noordhoff (1.974).
- Cottrell A.H. 1.961, "Theoretieal Aspects of Radlation Domao* and Brittla
Fracture ln Steel Presaure Vesaels", Iron and Steel Inatttuta Spec.
Rap., vol. 69, p. 281 (1.961).
- Chan S.K., Tuba I.S. & wllaon W.K. 1.970, «On the Finita ELeaent Mathod ln
l-inear fracture Machanlca", Engineering Fracture Máchenles, vol. 2,
Pfl. 1 (1.970).
- Chali 6.G. & Heald P.T. 1.975, "Tha Path Oependence of the J - Contour Integral", International Journal of Fracture, vol. 11, p. 349 (1.975).
- Chen W.H. 1.971, ?Nackinp; of a Bar", International Journal of aollda and Structurea» vol. 7, p. 685 (1.971).
- Cherepanov O.P. 1.968, "Crack* ln Solida", International Journal of Solida
and Struoturea, vol. 4, p. 811 (1.968).
- Dugdale D.S. 1.960, "Ylelding of 9teel Sheeta Contalnlng SlitsJV, Journa^^p-of the Machanlca and Phyaica of Sollds, vol. 8, p. 100 (l.960).
- Eftla J. & Liabowitz H. 1.975, "On Fracture Toughnesa ¿veluationfor SemiBrlttle Fracture", Engineering Fracture Máchenles, vol. 7, p. 101 (1.975).
- Eftla J., Jonee O.L. & Uebowit* H. 1.975, "On Fracture.Toughneae ln the Nonllnear Ranga", Engineering Fracture Machanlca, vol. 7, p. 491
(1.975).
-
342
,- Egan G.R. 1,973, "Coapatibllity of Linear Elastlc (K
t
) and General Yiel-
ding fcOD) Fracture Máchenles", Engineering Fracture Stechanios, vol.
5, p. 167 (1.973).
- Eahalby J.O. 1.974, "The Calculatlon of Energy Releaaa Ratea", Prospecta on Fracture Mechantes, Noordhoff (1.974).
- Eeing D.J.F. 1.968, "The Plástic Yielding of V - Notched Tensión Bara eith
Circular Roots", Joumal of the Méchenles and Phyaics of Sollds", val. 16, p. 81 (1.968).
- Francis P.H., Oavldson O.L., Surghard H.C. & Nagy A. 1.971, "Experimental
Study of Plástic Yielding at the Tlp of Surface Flaw Cracks", Southwest Researok Instituto, Final Report NASA-CR-114934 (1.971).
- Goodier J.N. 1.968, "MathemetlealTheory of Equilibrlum Cracks", "Fracture",
H. Liebpwitz, vol., 2, p. 1, Acatíertdc Press (1.968).
- Oreen A.E. & Sneddan I.N. 1.950, "The Distrlbution of Stress in the Neighbourhood of a Fiat Elllptleal Crack in an Elastic Solid", Proceedings
of the Cambridge Philosophical Society, vol. 46, p. 159 (1.950).
«Oreen A.E. &.Zema W. 1.968, "Theoretlcal Elaaticity", Oxford Univeraity Press, 2" Edición (1.968).
- Oriffith A.A. 1.921, "The Phenomena of Ruptura and Flow in Solida", Phil.
!
TranS, Royal Society, A221, p. 163 (l.92l).
- Grifflth A.A. 1.924, "The Theory of Ruptura", Proceedlnga pf the l s " Congress on Applied Méchenles, p. 55, Oelft (1,924).
- Gullleeot L.F. 1.976, "Criterion of Crack Initiation and Spreading", "Engineerlng Fracture Machanica, vol. 8, p. 239 (1.976).
- OyaKenyeai J.P. & Msndelson A. 1.975, "Three - Dimensional ELaatio Stress
and Displacément Analysis of Finita Gecmetry Solida,Conteining
—
Cracks", International Joumal of Fracture, vol. JL1, p. 409 (1.975).
343
i
- Hahn G.T. 1.974, " Machantes and MBtallurgy of Fracture", LXI Course on
-
"Atonde Structure and MBchanical Properties of Atetáis", Vararme, Italia (1.974).
- Harkegaard G. 1.974, "An Experimental Study of the Influence of Inclusiona
on the Fatigue Properties of Steel", Engineering Fracture Méchenles
vol. 6, p. 795 (1.974).
- Hartranft R.J. & Sih G.C. 1.969, "The Use of Eigenfunction Expansiona in the General Solutlon of Thrae - Dimenslonrl Crack Problema", Journal
of Mathematica and Máchenles, vol. 19, p. 123 (1,969).
- Kartranft R.J. & Sih G.C. 1.973, "Solving Edge and Surface Crack Problema
by an Alternating Msthod" , "Methoda of Analyaia and Solutions of Crack Problema", G.C. Sih/ p. 179, Noordhoff (1.973).
- Hayes D.J. 1.970, "Soné Applications of Elaatic - Plástic Analyaia to fracture Mschanics", Ph. 0. Thesls, Imperial College of Science and
-
Technology, Londres (1.970).
- Hayas O.J. 6 Turnar C E . 1.974, "An Application of Finita Element Techniques to Post - Yleld Analygis of Proposed Standard Three - Point Bend Fracture Teat Pieces", Internationa."1. Journal of Fractura, vol.
10, p. 17 (1.974).
- Hayes O.J. & Williams J.G. 1.972, "A Practical Msthod for Detamdning Dugdale Modal Solutions for Cracked Bodies of Arbitrary Qhaj.e", International Journal of Fractura, vol. S, p. 239 (1.972).
- Hibbitt H.O., Marcal P.V., Rice J.R. 1.970, "A Finita Element Formulation
for Problema of Larga Straln and Larga Displacemant", International
Joumal of Solida and Structures, vol. 6, p. 1.069 (1.970).
- Hill R. 1.950, "The Mathematical Theory of Plasticity", Oxford University
Presa (1.950).
344
- Hill R. 1.959, "Soné Basic Princlplea in tha Machanic3 cf Solida without
a Natural Time", Journal of tha Máchenles and Physics of Solids,vol. 7, p. 209 (1.959).
- mitón P.O. & Hutchlnson J.W. 1.971, "Plástic Intsnsity Factors for
—
Cracked Platas", Enginearing Fractura MBChanics, vol. 3, p. 435 (1.971).
- mitón P.O. & Sih G.C. 1.973, "Application of tha Finita Element Mathod to tha Calculation of Stress Intensity Factora?, "Mathoda of Analy_
sis and Solutions of Crack Problema", G.C. Sih, p. 426, Noortíhoff
(1.973).
- Hutchlnson J.W. 1.966, "Singular Behaviour at tha End of a Tonsila Crack in a Hardenlng Material", Journal of tta Mechanlca and Phyaics of Solida, vol. 16 , p. 13 (1.968).
- Inglla C E . 1.913, "Strassaa in a flota D*.jr* to tha Prasence of Cracks and
Sharp Comerá", Proceedlnga Inst. Naval Architects, vol. 60, p.219
(1.913).
- Irwin 6.R. 1.948, "Fracture Dynamics", Fracturing of Mátala, 4.S.M. Chovelond (1.946).
-Irwin G.R. 1.957, "Analysls of Strassas and Strains Near the End of a
-
Crack Travarsing a Plata", Journal of Applied MsohanlJs, vol. 24,
p. 361 (1.957).
- Irwin S.R. 1.958, "Fracture", Handbuoh der Physik", vol 6t p. 551, Springer - Verlas (1.958).
- Irwin G.R. 1.961, "Supplemant to» Notes for May, 1.961 Meeting of A8TM CoamLttee for Fracture Teating of Wgh - QUiHiylli Matallic Materials
(1.961).
- Irwin G.R. 1.962, "Crack - Extenaion Forcé for a Part-Through Crack in a
Píate", Journal of Applied Máchenles, vol. 29, p. 6LL (1.962).
345
- Irwin G.R. & Kies J.A. 1.952, "Fracturing and Fractura Dynamics", Wsldlng
Journal (Reaaarch SupplBmant), vol. 17, p. 95 (1.952).
- Irwin G.R., Kies J.A. & Sndth H.L. 1.9S8, "Frecture Strsngths Relativa tr»
Onast and Arrest of Crack Propagation", Proceadings A.S.T.M., vol.
58, p. 640 (1.958).
- Irwin G.R. 6- Paria P.C. 1.971, "Fundamental Aspects of Crack Growth and Fracture», "Fracture", H. Liabowitz, vol. 3, p. 1, Academio Presa
(1.971).
- Johnson W.fi-Mallor P.B. 1.973, "Engineering Plaatiolty", Van Nostrand
-
Rsinhold (1.973).
- Jones O.L., Liabowitz H. & Eftis J. 1.974, "Fractura Toughnsas Charaotari
zation of Severa! Aluodnum Alloys in Send-Brittle Fracture"v Engineering Fractura Mechanics, vol. 6, p. 639 (1.974).
- Kassir M. K. & Sin G.C. 1.966, "Tnree-Oimansional Stress Oistribution
—
Around an ELliptical Crack.Under Arbitrary Loadinga", Journal of Applied Mechanics, vol. 33, p. 601 (1.966).
- KasaLr %K,
& Sih G.C. 1.975, "Three Dimensional Crack Problens", Noordhoff
(1.975).
- Kaufman J.G. 1.972, "Sharp-Notch Tensión Testing of Thick Alundnum Alloy Píate with Cylindrical Specimens", Fracture Toughnsas, ASTM STP n«514, p. 82 (1.972).
- Ke J.S. & Liu H.W. 1.973, "The MBasurements of Fracture Toughness of Ouotile Materials", Engineering Fracture Mechanics, vol. 5, p. 187 (1973).
- Knott J.F. 1.973, "Fundamentáis of Fracture Machantes", Butterwbrths (1973).
- Kobayoahi A.S., Chiu S.T. & Beeuwkes R. 1.973, "A Numarical and Experimental Investigation on the Use of J-Intengral", Engineering Fractura Máchenles, vol. 5, p. 293 (1.973).
346
- Kobayashl A.S., Enatanya A.N. £5 Shah R.C. 1.974, "Stress Intensity Factors
for Elliptlcal Cracks", Prospecta on Fracture Mschanics, Noordhoff(1.974).
- ttobayaahi A.S. & M D S S W.L. 1.969, "Stress Intensity Magnifioation Factors for Surface - Flawed Tensión Plata and Notched Round Ten8Íon Bar", Proceedings of tha 2
"International Conférenos on Fracture, Brighton
p. 31 (1.969).
- Krafft J.M., Sulíivan A.M. & Boyle R.W. 1.961, "Effect of Dimensions on
—
Fast Fracture Instabillty of Notched Sheets", Proceedings of tne
-
Crack Propagation Symposium, Cranfield, vol. 1, p. 8 (1.961).
- Landes J.D. & Bsgley J.A. 1.972, "The Effect of Speclmen Qeomstry on J
",
Fracture Toughhess, ASTM STP n» 514, p.24 (1.972).
- Larsson S.G. & Carlsson A.J. 1.973, "Influence of Non-Singular Stress Terms
and Specimen Geometry on Small-Scale Yielding at Crack Tips in Elastic-Plastic Materials", Journal of the Mschanics and Physica of Solida, vol. 21, p. 263 (1.973).
- Levy N., Uarcal P.V., Ostergren W.J. & Rice J.R. 1.971, Small Scale Yielding Near a Crack in Plañe Strain: A Finite Elemsnt Analysis", ínter
national Journal of Fracture Mschanics, vol. 7, p. 143 (1.971).
- Levy N. Marcal P.V. & Rice J.R. 1.971 "Progress in Three-DiraBnsional Elastic-Plastic Stress Analysis for Fracture Mschanics", Nuclear Enginee
ring and design, vol.17, p. 64 (1.971).
•*
- Lieboaitz H. & Eftis J. 1.971, M0n Nonlinear Effats in Fracture Méchenles",
Engineering Fracture Machanics, vol. 3, p. 267 (1.971).
- Liebowltz H., Jones D.L. & Poulose P.K. 1.974, "Development of the Nonlinear Method for Determination of Fracture Toughness Valúes", Prospecta on Fracture Méchenles, Noordhoff (1.974).
- Lubahn J.O. 1.959, "Experimental Determination of Energy Reléase Rata", Pro
ceedings ASTM, vol. 59, p. 885 (1.959).
347
- Uaddox S.J. 1.975, "An Analysis of Fatigue Cracks in Fillet Welded Joints-,
International Journal of Fracture, vol. 11, p. 221 (1.975).
- Maddox S.J. 1.975, "The Effot of Mean Stress on Fatigue Crack Propagation.
A Literatura Review", International Journal of Fracture Mschanics, vol. 11, p. 389 (1.975).
- Mallét R.H. & Marca! P.V. 1.968, "Finite Element Analysis of Nonlinear
-
Structures", Proceedings A.S.C.E., Joumal of the Structural División,
vol. 94, p. 2.081 (1.968).
- Marcal P.V. & King I.P. 1.967, "Elastic Plástic Analysis of two-0i«onsional Stress Systems by the Finite Element Method", International Jour
nal of Mechanical Sciences, vol, 9, p. 143 (1.967).
- Marcal P.V., Stuart P.M. & Bettis ñ.S. 1.972, "Elaatlc Plástic Behavior of
a Longitudinal. Send-Elliptic Crack in a Thick Pressure Vesssl", ' —
Heavy Ssction Steel Program 6
' Information Meeting, Oak Rldge, pa
per 16 (1.972).
- Marinshaw S.A. & Lindsey G.H. 1.975, "Plañe Stress crack Trajectoriea in Low Modulus Materials", International Joumal of Fracture, vol. 11,
p. 273 (1.975).
- Ms Clintock F.A. 1.958, "Ductils Fracture Instability in Shear", Joumal
of Applied Machanics, vol. 25, p. 582 (1.958).
- Me Clintock F.A. 1.971, "Plasticity Aspeots of Fracturo", "Fracture", H 0
Liebowitz, vol. 3, p. 47,Áeademic Press (1.971).
- Me Clintock F.A. & Irwin G.R. 1.964, "Plasticity Aspeots of Fracture Machanics", Fracture Toughness Testing, ASTM STP na 381, p. 84 (1964).
- Morley L.S.D. 1.969, "A Mpdification of thB Rayleigh- Ritz Method for
—
Stress Concentration Problems in Elastostatics", Joumal of the Mechanics and Physics of Solids, vol. 17, p. 73 (1.969).
348
- Morley L.S.D. 1.970, "A Finite Elemant Application of the Mocüfied RayleighRitz Msthod", International Journal for Numsrioal Msthoda ln Engineering", vol 2, p. 85 (1.970).
- Mowbray O.F. 1.970, "A Note on the Finite Element Mathod in Linear Fractura MBChanics", Enginaering Fractura Machanics, vol. 2, p. 173 (1.970)
- Muskhelishvili N.I. 1.953, "Some Basic Problema of Mathenaticel Theory of
ELasticity", Noordhoff (1.953).
- Nair P. & Reifsnidsr K.L. 1.974, "Unimodx An Applications Orientad Finite
Elemant Scheme for the Analysis of Fractura Machanics Problema", Fractura Analysis ASTM STP nB 560, p. 211 (1.974).
- Nisitani H. & Murakand Y. 1.974, "Stress Zntensity Factors of an ELllptical
Crack or a SemL-Elliptical Crack Subject to TenaionH, International
Journal of Fracture, vol. 10, p. 353 (1.974).
- Nuismer R.J. 1.975, "An Energy Reléase Rata Ci-lterion for MLxed Moda Fracture", International Journal of Fractura, vol. 11, p. 245 (1.975).
- Grasan E. 1.949, "Fracture and Strength of Solida", Rep. Prog. Phys., vol*
12, p. 185 (1.949).
- Papaioannou S.6., HLlton P.O. & Lucas R.A. 1.974, "A Finita Clstoit Mathod
for Calculating Stress íntansity Factors and i t s Application to Composltes", Engineering Fracture Machanics, vol. 6, p. 807 (1.974).
- Paria P.O. & S i h 6.C. 1.964, " S t r e s s Analysis o f Cracks", A.S.T.M. STP nB
3B1, p, X (1.9S4).
- Parks O.M. 1.974, "A Stiffness Derivativa Finite Element Technique for Deterudnation of Crack Tlp Stress Intansity Factors", International Journal of Fracture, vol. 10, p. 487 (1.974).
- Pian T.H.H. & Tong P. 1.969, "Basis of Finite Element Msthods for Solid Continua", International Journal for Niimerical Msthods in Enginciering, vol. 1, p. 3 (1.969).
349
- Raharinaivo A. 1.971, "Utilisetibn dss concepta da la Mécanique de la Ruptura pour L'ajqsloitation des essais clasalques da corrosión sous tensionN, Journáea Techniquas de París (Sociedad Europea de la Corrosión} (1.971).
- Ranberg W. & Oagood W.R. (1.943), "Descrlption of Stress-Strain Curves by
Three Pararaeters", NACA TN 902.
- Rlcardella P.C. & Swadlow J.L. 1.974, "A Combinad Anal>«tictkl-exparin»ntal
Fracture Study", Fracture Analysis, ASTM STP n» 560, p. 134 (1.974).
- Rice J.R. 1.968 a, "A Path Independent Integral and the ApproxLmate Análisis of Strain Concentration by Notches snd Cracks", Journal of Applied
Mschanics, vol. 35, p. 379 (1.968).
- Rice J.R. 1.966 b, "Mathematical Analysis in the Máchenles of Fracture", Fracture, H. Liebowitz, vol. 2, p. 191, Acadendc Press (1*968).
-Rice J.R. 1.973, "ELastic-Plastic Fracture MBChanics", Ehgineerlng Fracture
Mechanics, vol. 5, p. 1.019 (1.973).
-Alce J.R. 1.974, "Lindtations to the Small-Scale Yleldlng ^opreodaetlon for
Crack Tip Plasticity", Journal of the Mschanics and Physlcs of Solida
vol. 22, p. 17 (1.974).
- Rice J.R. 1.975, "Discirsion: The Path Dapendence of the J-Gontour Integral
by G.6. chell and P.T. Heald", International Journal of Fracture, vol. 11, p. 362 (1.975).
- Rice J.R. & Levy N. 1.972„ "The Part-Through Surface Crack in an tlastia Plata", Journal of Applied Mechanics, vol. 39, p. 185 (1.972).
- Rice J.R. & Rosengren G.F. 1.968, "Plañe Strain Oeformation near a Crack Tip in a Power-Law Hardening Material", Journal of the Mochanica and
Physies of Solids, val. 16, p. 1 (1.968).
- Rabinson J. 1.973, "Integrated Theory of Finite Element Methoda", Wlley (1.973).
350
- Romera M. 1.975, Pendíante de publicación.
- Sack R.A. 1.946, "Extensión of Griffith»s Theory of Rupture to Three Dimensions", Proceedings of the Physical Society, vol. 58, p. 729 (1,946).
- Slnchez-Gálvez V. 1.975, "Relajación de Aceros de Alta Resistencia", Tesis «•
doctoral, Escuela de Ingenieros Caminos, Madrid (1.975).
- Sedov L.I., Cherepanov G.P. & Parton V.Z. 1.974, "Mbdeling of Fracture in
Solida", Prospecta on Fracture MBChanioa, p. 211, NoordhfT (1.974).
- Shah R.C. 1.974, "Fracture Undor Combined Modas in 4340 Steel", Fracture Analysis, ASTM STP n? 560, p. 29 (1.974).
~ Shah R.C. & Kobayashi A.3U 1.972, "On the Surface Flaw Problem", "The Surface Crack: Physical Problema and Computational Solutions", ASME
-
Special Publication (1.972).
- Shah R.C. & Kobayaahi A.S. 1.973, "Stress Intenslty Factors for an ELliptical Crack Approaching the Surface of a 3end-Infinite Solid", International Journal of Fracture, vol. 9, p. 133 (1.973).
- Sih G.C. 1.971, "A Review of the Three-Oimensional Stress Problem for a Cracked píate", International Journal of Fracture MBchaniC3
vol. 7,
p. 39 (1.971).
- Sih G.C. 1.973 a, "Handbook of Stress Intenslty Factora for Engineers", LBhigh University (1.973).
- Sih G.C. 1.973 b, "A Special Theory of Crack Propagation", "Mathods of Ana
lyais and Solutions of Crack Probleins", O.C. Sih, p. XXI, Noordhoff
(1.973).
- Sih G.C. 1.973 c, "Soma Basic Problema in Fracture Mechanics and New Concapts", Engineering Fracture Medíanles, vol. 5, p. 365 (1.973).
351
- Slh G.C. 1.974, "Strain-Energy-Oonsity Factor Applied to MLxed Moda Crack
Problema", International Journal of Fracture, vol. 10, p. 305 (1974).
- Sih G.C. 1.975, "A Three-Oimensional Strain Energy Oenaity Factor Thaory of
Crack Propagation", "Three-Oimensional Crack Problen»", M.K. Kasair
& G.C. Sih, Noordhoff (1.975).
- Sih G.C. G Cha B.C.K. 1.974, "A Fracture Criterion for Thres-Dimenaional Crack Problems", Engineering Fracture Mecnanics, vol. 6, p. 699
—
(1.974).
- Slh G . C , Paria P.C. & Entogan F. 1.962, "Crack Tip Stress Intensity Factors for Plañe Extensión and plata Bendlng Problema", Journal of Applied Macharles, vol. 29, p. 303 (1.962).
- Sih G.C. & Llebowitz H. 1.967, »0n the Grifflth Energy Criterion for Brltte
Fracture", International Journal of Solida and Structures, vol. 3 ,p. 1 (1.967).
- Slh G.C. & Llebowitz H. 1.965, "Matheaatical Theorlea of Brlttle Fracture",
"Fracture", !-{. Llebowitz, vol. 2, p. 67, Acadendc Press (1.968).
- Slh G.C. & Me. Oonald B. 1.974, "Fracture Mecbanips Applied to Engineering
Problema-Strain Eneryy Oensity Fracture Criterion", Engineering Fracture Mechanlcs, vol. 6, p. 361 (1.974).
i
- SriLth E. 1.974, "The Range of Applicabllíty of the Small-Ssale Yielding Approach ln Theoretical Investigations of Yield and Fracture at a
Crack Tip", International Journal of Fracture Mschanics, vol. 10, p.
61 (1.974).
- Seith E. 1.975, "A Conparison of the Crack Extensión Crlteria Associated with the Grifflth and Elllot Crack flbdels", International Journal of Fracturé, vol. 11, p. 39 (1.975).
- Snaddon I.N. 1.946, "The Distribution of Strasa in the Naighbourhood of a
Crack in an Elastlc Body", Proceedings Ftoyal Society London, vol. A-187, p. 229 (1.946).
352
- Srawley J . E . G 9 r o m W.F. 1.964, " F r a c t u r e Toughnsss TestLng Mathods", —
A . 3 . T . M . STP ns 3 0 1 , p. 133 ( 1 . 9 6 4 ) .
- Stroppe H. & Zeitler J. 1.974, "Energetic Considerations of *he Plástic Defointation at the Crack Tip", Proceedings of the Fifth Conference
oo Dimensioning and Strength Calculatlons and tha 8Lxth Congreas on
Materiala Teating, vol. 1, p. 1-23 (1.974).
- Sunpter J.0.6. 1.973, "Elnstíc-Plustic Fracture Analysia and Deaign Uaing
The Firdte Elemant Methord", Ph. o. Thesls, Inperial College of Science and Technology, Londres (1.973).
- Sundstrflm B. 1.974, "fio Energy Condltion for Initiation of Interfaclal MIcrooracka at Inclusions", Enginaering Fracture Machanics, vol 6, p.
483 (1.974).
- Seedlew J.L. 1.967, "Further Conment on the Asaociation Dotwoen Crack Opening and 6. % International Journal of Fracture, vol. 3, p. 75
—
(1.967).
- aaedloe J.L., Williaas M.L. & Yang W.H. 1.965, "Elasto-Plaatic Straseee ánd
Strains in Cracked Platas", Proceedings of the 1 * International Conference on Fractura, vol. 1, p. 259 (1.965).
- Tone Y., Epstein M." & Sheimman I. 1.974, "A Géneralization of Potter's
-
Methord", Conputers and Structurea, vol. 4, p. 1.099 (1.974).
- Tetelaen A.S. & Me. Evily A.J. 1.967, "Fracture of Structural Materiala",
Wiley (1.967).
- Theocaris P.S. & Gdoutos E.E. 1.974, "The Modified Dugdale-Baranblatt Modal
Adapted to Varlous Fractura Configurations in Mátala", International J o u m á P of Fractura, vol. 10, p. 549 (1.974).
- Threaher R.W. & Sidth F.W. 1.972, "Stress-Intenslty Factors for a Surface
Crack in a Finite Solid", Journal of Applied Machanics, vol. 39, p. 195 (1.972).
353
- Timoshenko S. G Goodier J.fJ. 1.968 , Teoría de la Elasticidad, Urmo (1.968).
- Tong P. & Pian T.H.H. 1.973, "On the Convergence of the Finite Element Msthord for Problema ndth Slngularity", International Journal of Solida
and strüctures, vol. 9, p, 313 (1.973).
- Torreja E. 1.967, Elasticidad, Dossat (1.967).
- Tracey O.M. 1.971, "Finita Elementa For Daterninatlon of Crack Tlp Streaa
Intensity Factors", Engineerlng Fractura Máchenles, vol. 3, p.2S5 (1.971).
- Vltvitakli P.M., Panasyuk V.V. & Yarsma S. Ya. 1.975, "Plástic Oeformation
around Crack and Fracture Gritería", Ehgineering Fracture Máchenles,
vol. 7, p. 305 (1.975).
- Walah P.F. 1.971, "The Conputatign of Stress Intensity Factors by a Special
Finita Element Technique", International Joumai of Solida and Struc
tures, vol. 7, p. 1.333 (1.971).
- Washizu K. 1.968, "Variational Mathoda in Elasticity and Plasticlty", Pergeñen Presa (1.968)é
^ Islas V. & Yukawa 5. 1.964, "Basic Aspects of Fracture Machanics", ASTM STP no 381, p. 1 (1.964).
- Wella A.A. 1.961, "Unstable Crack Propagation: Cleavage and Fast Fractura",
Proceedlngs of the Crack Propagation Synposlum, Cranfield, vol. 1,
p. 231 (1.961).
* Wells A. A. 1.963, "Application of Fracture Macharles at add Bsyond General
Yleldlng", British Welding Research Association, Research Report «L3/
63 (1.963).
- Westergaard H.M. 1.939, "BBaring Presauras and Cracks", Joumai of Applied
Machanics, vol. 61, p. A-49 (1.939).
354
- Williams M.L. 1.957, »0n the Stress Olstribution at the Base of a Stationary Crack", joumal of Applied Méchenles, vol. 24, p. 109 (1.957).
- Williams M.L. & Seedlow J.L. 1.967, "The Association Between Crack - Openlng Displacement and Fracture Toughness", Transaotiona of the Mata
llurgical Society of AIME, vol. 239, p. 162 (1.967).
- Wilson W.K. 1.973, "Finita Element Mithods for Elastic Bodiea Containing Cracks", "Mathods of Analysis and Solutions of Crack Problema", G.C. Sin, p. 484, Noordhoff (1.973).
- Wolff U.E. 1.971,"MLcrofractographic Features of Stretched Tone in an Alundnium Alloy Fracture Toughness Speclmen", Applications of Electron
MLcrcphotography to Materials Research, ASTM STP n» 493, p. 20(1971).
- Wundt B.M. 1.959, "A Uhified Interpretation of Roo» Temperatura Strength of Noten Specimens ae Influenced by Size", ASME Papar nB 59, MET 9
(1.959).
- Yamamoto Y. & Takuda N. 1.973 "Determination of Stress Intensity Factors in
Craoked Platas by the Finita Element Mathod", International Joumal
for Numerical Msthods in Enginaoring, vol. 6, p. 427 (1.973).
- Yamamoto Y., Takuda N. & Sund. Y. 1.973, «Finito Element Traatmant of SLngularitiea of Boundary Valúa Problema and ita Application to Analysis of Stress Intensity Factors1*, "Theory and Practica in Finita Element
Struoturel Analysis", p. 75, University of Tokyo Press (1.973).
- Yokobori T. 1.964, "The Strength, Fracture and Fatigue of Materials", Noordhoff (1.965).
- Zienklewicz O.C. 1.971, "The Finite Element Msthod in Engineering Science",
Me. Graw-KLll (1.971).
355
A P E N D 1 C L
1
Fisura c i r c u l a r coaxial en material e l a s t o p l a s t i c o
Adoptaremos el convenio de representar l a s derivadas respec
to a
y a
p
z
de ¡a siguiente forma:
( A 1-1)
a*
3p
9
( A 1-2)
i i . *•
?
3z
Oe este modo las ecuaciones (1.130) adoptan la forma:
o - z i"1 + * = - 2v (•" + *")
a
O
z
(A 1 , 3
*1
- 2v*"." « U " 1 •+ •",) ".(•" + t">
(A.1.3 b)
° z 9
(A 1.3 c)
- 9
•i
o.PZ
z •
(A 1.3 d)
y sustituyendo en l a s ecuaciones (1.132) se obtiene:
J ^ 1 { 1 z ^ 1 + |U-2V)4>" + ( l - 2 v ) * "
p
pn x 2
2
EP
(A
1-*»)
p
- {
(l-2vH">
(A 1.4 c)
P - -Ar— (¿ « • " ' - |
z
p
2
o n-i
pz
2
pn
¿
_,.
(l-2v)D
(A 1.4 d)
356
En casoriehacer
v = 1/2
estas expresiones se simplifi-
can grandemente ya uue todos los terminas c,ue van Multiplicados por el factor (l-2 v ) se anulen. Las deformaciones plásticas resultan:
n
v
(A 1.5 a)
;
2
(A.1.5 b)
• • ^ni - j . f ' - j . n
o n- 1
e
n
(A 1.5 c)
<!•
." »
(A 1.5 d)
n-1
3
2
pz
Z A•-"
Si expresamos el potencial
r
y
6
•
en función de las variables
mediante la eucación (1.136), para derivar este potencial
respecto a las variables
p
y
z
necesitamos conocer las fórnuj -
las de paso ds un sistema de coordenadas a otra. En efecto, es fácil
comprobar sobre la figure i.53 que:
P
B
a - r eos e
(A 1.6)
(A 1.7)
z • r sen 6
Por lo tanto:
|£ = - eos 8
3r
3r
|4 = r sen 9
36
36
(A 1.8)
» sen 9
r eos 8
de donde se deduce que:
3CP.Z)
3(r,6)
- eos 9 sen9
(A 1.9)
CJ)
r sen 9 r cos9
357
e invirtiendo el Jacobiano, (j), se. obtiene el jacobiano de la transformación inversa:
- eos e
sen6
r
sen 9
eos 6
t J )
3CP,2)
'
(A 1.1U)
de donde se deduce que:
3p •
-
39
3p
eos 9
3r
sen9
3z
Poniendo e l p o t e n c i a l •
m
sen 9
r
(A 1 . 1 1 )
30
eos 9
az
.
Tz " r
rn l a forma dada en l a e c u a c i ó n
* - rSce)
las derivadas de este
(1.136)
(A 1 . 1 2 )
potencial resnecta a
p y a
z
resultan (en
lo uue seigue adoptaremos el convenio de designar a las funciones
9
sen
y eos
-
•" -
mediante las letras
r
t _ 1
C-t cijí + si|>')
<fr' » r
t - 1
Ct si|i +
'•" -
•'
e
s
y
c respectivamente).
(A 1 . 1 3 a )
(A 1 . 1 3 b )
ci|>')
rt_2í:tCt-l)c2+ts2)^
-
+ C2Cl-t)sc)ií»'
+ sV'}
(A 1 . 1 3 c )
rt"2ítC2-t)s.2+tc2)^+C2Ct-l)sc)^M+c2^"}
(A 1 . 1 3 d)
t - l1f*"
r t - ¿2{ ( t ( 2 - t ) s c ) i | >
+ ( ( t - l ) s ¿ + C l - t ) c £ ) ^2 ís »„ ,. + s e * " } .
(A 1 . 1 3 e )
f
-
rt"3{(tCt-l) (2-t)c3+3t(2-t)s2c)*
+(3t-2)s
+
3
2
+
+ 3Cl-t)<2-t)sc )^'
C3C2-t)s2c)
*H + s 3 * M , i
(A 1 . 1 3 f )
+
358
•"
"
ft
" 3 í(t(t~2)s3 + t(t-2)Ct-3) s e 2 ) *
+ CU-1) (t-2)c3 + C-2t2 +
(A 1.13 gj
8t
- 6)s 2 c)r
+ (2(2-t)sc2 + (t-2)s 3 )^" + s 2 ^ " » }
• -" - rfc-3 (Ct(2-t)c3
+
2t(t-2). 2 c)*
+
((t-l)Ct-2)s3
C
+
* ^
^
+ C-2t 2 +9t-6)sc 2 )^ + C2-t)c3 + 2(t-2)8 2 c)#" +
+ se 2 Y"' )
(A 1.13 i)
t(tCt-l)(t-2)sj + 3cCt-3)sc 2 )* +(C3t-2)c 3 +
• "' - r
+ 3 U - 1 ) <t-2)s2c)i|i* +;C3t-2)8c 2 )* M +• c3^'" }
utilizando estas expresiones en l*s ecuaciones (A.1.3) queda demostré
da la relación
(1.137).
Por otro lado sustituyendo las derivadas de $
diante las ecuaciones
en (A.4.) me
(A 1.13) y empleando Lis expresiones de las de-
formaciones asi obtenidas en las ecuaciones de compatibilidad (L.133)
y (1.134) se llega a las anuacioner-i difsrenciales ordinarias en . (Q )
mencionadas en el apartado 1.4.2. No los vamos a escribir ya que
OGUOH
rian gran nümsro de páginas y no tienen mayor interés. Sólo mencionare,
mos el hecho de que la ecuación (1.133) se transforma en una ecuación
de cuatro orden en
t|i ( 9)
y 'Jue la ecuncibn (1.134) se transforma -
en una ecuación de quintu orden en
\¡> (0). Estas ecuaciones son homo-
géneas y no lineales:
TJ¡ ( * 4 )
F
(*5)
*4)
*3)
*3)
*2)
y2)
*X
^
*) - 0
i(i) «= 0
siendo lfis condiciones iniciales y de contorno:
(A
l
-14)
(A 1.16)
359
.1)
* * ' C O > V 3)
< o > - * 5 í ( o ) - *2)(l0 = o
(A 1.16)
HO)
puede ndoptor cualquier va or ya pue o i. ser las ecuaciones ho
mogéneas y estar determinadas tod, s las condiciones de contorr.o menol
una, cada ecuación admitir* un conjunto de soluciones proporcionales.
\
v,
APÉNDICE
2
Tablas de resultados de ensayos
Características geométricas de probetas entalladas
Acero 1
Probeta
Radio nominal
d (mm)
0 (mm)
(mm)
Excentricidad
(mm)
Radio en el
fondo de la
entalla
M
ENT -1-1
0,200
4,78
6,79
0,007
0,196
ENT -1-2
0,200
4,82
6,81
0,009
0,226
ENT -1-3
0,200
4,91
6,81
0,012
0,236
ENT -1-4
0,150
4,81
6,80
0,016
0,170
ENT-l-S
0,150
4,82
6,81
0,010
0,157
ENT -1-6
0,150
4,81
6,80
0,017
0,145
ENT -1-7
0,100
4,78
6,80
0,011
0,107
ENT -1-8
0,100
4,81
6,80
0,014
0,125
ENT -1-9
0,100
4,78
6,81
0,010
0,104
ENT -1-10
0,100
4,80
6,81
0,009
0,102
ENT -1-11
0,050
4,90
6,80
0,015
0,072
ENT -1-12
0,050
4,80
6,81
0,005
0,043
ENT -1-13
0,050
4,79
6,80
0,007
0,045
ENT -1-14
0,035
4,79
6,81
0,003
0,029
ENT -1-15
0,035
4,82
6,81
0,014
0,033
TABLA A2-2
i
Características geonátrlcas de probetas entalladas
Acero 2
Probeta
Radio nominal
d (mm)
0 (mm)
Radio en al fondo
de la entalla
(mm)
ENT -2-1
0,200
4,86
6,79
0,205
ENT -2-2
0,200
4,83
6,60
0,205
ENT -2-3
0,200
4,81
6,80
0,197
ENT-2-4
0,150
4,86
6,80
0,146
ENT -2-5
0,150
4,84
6,80
0,148
ENT -2-6
0,150
4,86
6,80
0,147
ENT -2-7
0,100
4,81
6,79
0,110
ENT -2-8
0,100
4,84
6,80
0,125
ENT -2-9
0,100
4,82
6,79
0,106
ENT -2-10
0,050
4,79
6,80
0,059
0
ENT -2-11
0,050
4,79
6,80
0,054
ENT -2-12
0,050
4,93
6,79
0,102
ENT -2-13
0,035
4,79
6,81
0,052
TABLA A2-3
Características geométricas de probetas entalladas
Acaro 3
Probata
Radio nominal
d (tan)
0 (na)
(am)
Radio an el fondo
de la entalla
(«0
ENT- 3-1
0,200
4,82
6,79
ENT- 3-8
0,200
4,78
6,80
0,192
ENT- 3-3
0,200
4,80
6,80
0,197
ENT- 3-4
0,150
4,80
6,81
0,158
ENT- 3-6
0,150
4,80
6,80
0,163
ENT- 3-6
0,150
4,80
6,80
0,154
ENT- 3-7
0,100
4,80
6,78
0,106
ENT- 3-8
0,100
4,80
6,80
0,104
ENT- 3-8
0,100
4,79
6,81
0,106
ENT- 3-10
0,050
4,81
6,80
0,038
ENT- 3-11
0,050
4,82
6,80
0,051
ENT- 3-12
0,050
4,81
6,81
0,055
ENT- 3-13
0,035
4,83
6,80
0,054
*
0,199
*
•
*
•
*
TABLA A3-4
Cargas y daforaaclonea da rotura an probatas entalladas
Acaro 1
Probata
Sacoión Raslatenta
Carga da rotura
(-2)
(Kg)
0
e
N
(Kg/as?)
rot
( «
*
ENT- 1-1
17,94
4145
231,0
ENT- 1-2
18,25
4055
222,2
ENT- 1-3
18,93
4250
224,5
ENT- 1-4
18,17
J9QO
218,2
0,678
•
0,624
•
0,760
•
•
ENT-^1-6
18,25
*
4080
•
18,17
ENT-1-6
0,618
223,6
•
4090
225,1
0,682
#
0,641
0
17,94
ENT- 1-7
4040
225,2
1
0,627
4
ENT- 1-C
18,17
3945
217,1
ENT- 1-8
17,94
3985
222,1
4048
223,8
0,606
*
0,808
.a
*
18,09
ENT-l-in
ENT- 1-11
18,85
ENT- 1-12
18,09
0,634
0
0
3812
202,2
0,572
3810
210,6
0,568
•
*
•
*
j
0
ENT-1-13
18,02
3842
213,2
0,579
ENT- 1-14
18,02
3810
211,4
0,569
ENT- 1-15
18,25
3760
206,0
0,562
TABLA A3-S
Cargaa y daforaaclonea de rotura en probetaa entalladaa
Acero 2
Probeta
EMT- 2-1
SaoBun raalatanta
Carda da rotura
(-2)
(Ka)
18,55
e
rot
(Ko/a»2)
4.512
243,2
0,736
4.531
247,3
0,753
t
ENT- 2-2
18,32
4
4
ENT- 2-3
18,17
4.515
246,5
0,792
4.672
249,6
0,790
•
ENT- 2-4
18,70
0
ENT-2-6
18,40
4.670
•
253,8
0,762
0
é
0
18,55
4.565
246,1
0,702
ENT- 2-7
16,17
4.530
249,3
0,746
ENT- 2-8
16,40
4.490
244,0
0,8X3
4.443
243,4
0,699
ENT- 2-6
*
é
ENT- 2-9
16,25
0
*
ENT- 2-10
16,02
ENT- 2-11
18,02
4.416
245,1
0,676
4.310
239,2
0,652
*
0
ENT-2-12
19,09
4.425
i
0
ENT- 2-13
0,707
231,8
18,02
4.322
239,8
;
0,756
%
TAByA A2-6
Cargas y ilaftii—f hwwa da roture en probatas antalladas
Acero 3
Probata
Saooldn
raalstanto
Carga da rotura
(Ka)
e
0
N
(Kg/sC)
rot
•
ENT- 3-1
4.355
18,25
238,6
0,670
•
ENT- 3-2
4.440
17,94
247,5
0,700
4
ENT- 3-3
4.289
18,09
237,1
0,666
9
ENT-3-4
18,09
4.355
240,7
0,688
•
ENT- 3-6
18,09
4.460
246,5
0,725
ENT- 3-6
18,09
4.625
255,7
0,700
ENT- 3-7
18,09
4.385
242,4
0,690
ENT- 3-8
18,09
4.397
243,1
0,682
ENT- 3-9
18,02
4.474
248,3
0,702
ENT- 3-10
18,17
4.459
245,4
0,703
ENT-3-11
18,25
4.435
243,0
0,780
ENT- 3-12
18,17
4.305
235,9
0,675
ENT- »"W
18,32
4.290
234,2
0,648
¡
•
TABLA A2-7
Estudio estadistloo de los resultados de ensayos sobra probetas entalladas (Aceros 1,2 y 3).
Desviaciones tipleas (Kg/htó) de la tensión neta de rotura correspondían
t e a cada valor del radio en el fondo de la entalla.
Radio
p'-
0,20 na
0,15 MR
0,05 m
0,10 aa
ACERO
1
4,6
3,6
3,5
4,5
ACERO
2
2,8
3,8
7.4
3.2
ACERO
3
5,6
7,6
3,2
5,2
Desviaciones tipleas de la tensión neta de rotura y de la rtnforwacion do rotura considerando todos los ensayos realizados para cada acero.
ACERO
Desviación t í p i c a de
aN
1
7,9 - 3 , 6 $ 0
(Kg/ma2)
ACERO
2
ACERO
5,l-2,ltf 0
6 , 1 - 2,B%0
N
*
Desviación t í p i c a de e r Q t (%)
NOTA: En e s t a
rotura.
tabla t
y e
3
N
*
0,052 - 8,4# £ r
0,049- 6,6£e
representan,ambas,la
r
0,037-6,3% £ r
deformación
en
TABLA A2-8
Cáloulo de la elongabilldad de lea probetas entalladas
Acoro 1
d/t)
Probota
Elonaabilldad (10" 4 ea/ko)
é
0,906
ENT- 1-1
0,712
*
*
ENT- 1-2
0,708
0,688
0
ENT- L-3
o,7a
ENT- 1-4
0,707
0,702
ENT- 1-5
0,705
0,727
0,772
4
*
4
ENT- 1-6
0,708
0,698
ENT- 1-7
0,703
0,698
ENT- 1-8
0,707
0,727
ENT- 1-9
0,702
0,698
ENT- 1-10
0,705
0,702
*
*
»
i
0,702
0,721
ENT- 1-11
i
ENT- 1-12
0,705
0,704
ENT- 1-13
0,705
0,702
*
é
0,700
0,703
ENT- 1-14
•
0,708
ENT- 1-15
1
0,705
•
Elongabilidad m d l o
- 0,'*J9 . 10
mfo*
Tgl¿_jg£
Ensayo da traoolón sobra probata entallada
Aoero 4
Trataadanto
Carga da rotura
(Kg)
Ensayo1 Enaayo2 Ehsayo3
Carga media
(KO)
K
(Kg/mnG)
(Kg
•
Trafilado
1.880
1.915
1.895
208,4
#
2.043
2.010
2.010
22
2.021
390B C / 2,n a
226,6
2.030
2.030
2.032
2.031
3909 C / 5 s
22
223,7
1.970
1.975
1.967
1.971
3900 C / 60 a
21
217,1
1.781
390» C / 1 h 30 ain.
21
1.897
1.745
le734
1.753
*
193,1
19
Ensayo da traooifln sobra probataa antalladaa
*oero 5
Carga da rotura
Tratamiento
Carga nedia
(Kg)
(Kg)
(Kg/«c)
Enaayol
Ehsayb2
Enaayo3
Trefilado
1.732
1.670
1.760
1.721
189,5
250QC / 2 a
1.935
1.937
1.946
1.939
213,6
4S0BC / 2 s
1.842
1.875
1.885
1.867
205,6
375BC / 1 h 30 fidn
1.791
1.758
1*795
1.781
196,2
TABLA A2-11
Ensayo da tracción aobra probatas entalladas
Aoero 6
Carga de rotura
Carga madla -
(Kg)
Tratamiento
Ensayo 1 Ensayo 2 Ensayo 3 -
(Kfl)
(Kg/wÉ»)
Trefilado
3.585
3.606
3/704
3.631
200,7
250QC / 2 a
4.173
4.155
3.877
4.1B4
230,1
•
450SC / 2 a
4.281
4.273
4.270
4.268
235,9
375SC / Ih X ndn
3.662
3.662
3,730
3.685
203,6
Ensaya da tracoldn sobra probetas entalladaa
Aparo 7
Tratandanto
Carga da rotura
(KO)
Ensayo 1 Ensayo 2 Ensayo 3
K
Carga madla
(Kg)
(Ka/mJC)
(Ko
Trafilado
2.081
2.103
2.076
2.087
229,8
2
390«C / 27 s
2.123
2.170
2.168
2.154
237,2
2
i
4O0«C / 33 a
2¡0S2
2.047
2.036
2.048
225,6
2
a
3680C / 2 ndn
2.110
2.156
2.133
2.133
234,9
2
3588C / 4 ndn
1.915
2.135
2.135
2.135
235,3
2
368BC / 8 ndn
2.100
2.114
2.125
2.113
234,9
2
358»C / 16 ndn
2.120
2.015
2.006
2.047
225,5
2
3B8BC / 32 ndn
1.972
1.975
2.020
1.989
219,1
2
35B>C / 64 ndn
2.060
1.966
2.0£>
1.993
219,5
2
i
TA3LA A2-13
Ensayo da traooión sobra probatas entallada»
Acero 8
Carga do rotura
Tratoidsnto
Carga aadla
Ensayo 1
(KO)
Ensayo 2
Ensayo 3
Trafilado
4.342
4.362
4.350
4.355
240,7
390«C / 3 * s
4.495
4.532
4.513
4.507
249,1
400BC / 46 s
4.354
4.352
4.340
4.349
240,3
358BC / 2 mLn
4.350
4.361
4.371
4.354
241,2
(Kg)
(Kg/nS)
é
358IC / 4 ndn
4.423
4.437
4.358
4.339
239,8
358*0 / 8 Rdn
4.300
4.272
4.300
4.291
237,1
3B81C / 1 6 ndn
4.228
4.230
4.285
4.238
234,2
358QC / 32 Rdn
4.293
4.296
4.296
4.295
237,4
358SC / 64 ndn
4.150
4.230
4.136
4.172
2X,6
*
•
I
CM
O
3 § S3
D
I
S 3Í
388
s
isayo da polar!»
y
a ' •
.
3.360
•
3.360
S 53 9 9
3.360
r» r* r- c»
3.360
i
10 10 IO IO
E
10
8 8 §
5» 3 <o S
r7 p «í eo
CM P) pH| H
:
bl UJ
O iH CM PJ
"N» >s. "^ V.
1- 1- 1- H
-«% "*s.
^
"•»• " >
^
PCCT
CM
PCCT
PCST
PCST
PCST
<•«•* " S . > *
H
, *>, "»s*
PCCT
n
PCCT
N
PCST
H
"N. < . -«*
1- »- 1-
j5
88
PCST
I
tlaapo (ndn)
a
2
O
>*.
ui
-v.
iH CM P)
">s >v *N.
ui bl ui
V. S *>.
g gg g
ENTFAT-1
*(*0
P (Kg)
ENTFAT-8
«(*)
ENTFAT-3
P (Kg)
«(*)'
ENTFAT
P (Kg)
e(*0
4
0.5
162
0,5
365
0,5
360
0,5
0,8
262
1.0
715
1.0
707
0,8
1.0
33b
1.5
1.080
1.5
1.062
1,0
1.3
436
2,0
1.440
2,0
1.415
1,2
1,5
503
2,5
1.787
2,5
1.755
1,5
1.7
555
3,0
2.155
2,8
1.990
1,8
2,4
555
3,4
2.435
2,85
660
3,3
680
2,5
3,5
7D6
2.5
2,0
-
2.2
3,0
TABLA A2-16
Curvas Carga - Deformación en probet
ENTFAT-6
e(fr)
ENTFAT-7
P (Kg)
EN7FAT-8
ENTFA
P (Kg)
cN
p (Ka;
E (*0
*
0,5
375
0,5
343
0,5
340
0,5
0,8
595
0,8
550
1,0
692
0,8
1,0
730
1,0
692
1,5
1.036
1,0
1,2
870
1,2
822
2,0
1.375
1,2
1,5
1.080
1,5
1.020
2.5
1.690
1,5
1,8
1.285
"1,8.
1.220
2,6
1.750
1,8
2,0
1.420
2,0
1.345
2,77
1.750
2,0
2,3
1.642
2,2
1.478
2,85
1.780
2,3
2,85
1.636
2,5
1.660
2,90
1.654
-
3
1
i
2
fi'ff8g919l8|g68*
o.
H i - 4 i - 4 t H r - 4 C M < M M C M C M
8K8W8fl8H8te8K8Pi
u
8 S 8 g § 8 | g 8 § § § S8 8 S8 *
1
i - t i H v - l i H f - I N C U C V i C N I C U N T O n C
i
2
8 3 § 8 i 8 9 § RS S 8 S §
a.
H r 4 H r - f H H I C V C \ I C M C M
3
i
I
5
}
8S8»8K?8W8K!8»8l<í8R88
w
3
1
0 0 « - l » H e - l » - l f M C \ J ( M C \ í O c n O C >
88S8§«§88S¡38SS8i5
O.
S P 8 R S f<l 8 W 8K1 8 O
o
8S88§88S88S
»~
»*
»
•»
*
*
•
•»
•
•
*
o o H H H H t u N n n i n
*
K! 8 »
r»
*
m
«o
•
•
•
• ' ?-
8 § 8 3
bi
ro
é
8 tí "S5 "{S '
*-•
o.
V
'*
!«
i,
?n
s ¡*s- oa so .ao
TI
3
fe
o
S5
o
*
!
«
CJ
ro
«•
u»
01
01
cj
ro
ro
H»
«•
*
en
i\)
7*
«Q
i
8
oí
ro
p»
ro
S
K 3
tü 8
o
o
m
ui
>j
o»
ÜI
*>
¿J
°>
¿
tn
8
ÜI
Ü>
en
*
o
*
w
PJ
.
M
«¡r* .
tn
¡o
M
r i § 'i tg a i
k )
O'
oí
H"
r
M
r
Bsi
¡r
gs s
Ti
3*
3
CJ
1\3
¡s s a § & a
B
o"
'5 •
I
gg&Solgftgg&SKg
"
1
Q
N
]
C
)
U
)
»
U
.
M
H
U)
O l O ) O l O ) 0 ) Q > U ) C 1 ( n U l U U 1 L 1 ( J l C 1 ^ ^ U f ' J I U H
a I i i g 113 g § § i § M 81 i '§ s i i a
7:
(3
I
s
SO M
OS
M
O)
M
"en 7a 7o "CJ *£» o
GT
[O
O
rr» o
M
O
C)
t->
M
M
ÜI
o
o
n
J ti
O
i-»
H»
ro
•
(M
SS
O)
(0
01
CJ
*k
ro
ro
oí
O)
785
930
tu
ro
H
H
.
645
Í\J
•
515
W
0»
§
m
§
"0
s
o
•n
i ?
<l¡l í . l ' l . •
p>
2
O
O
O
«.
M
<•
§
ro
«•
JK
•
O
*
'ABLA
!
¡S tí
i
2
o
09
O
*J
ro
ro
ÍO
8
g
§
O>
ro
OÍ
ro
ro
M
g
§
6
§
*
U)
1
&
o
§
I
s
ro
o
ro
8
2
o
8
2
/*
8 'I
'¡•¡r
[
id 81 B H S i S S S I o S «i IB >)o> n » oí M H
•o
.8 g 8 § g 8 8i 8 g 5 § a Í i § § 8 § .8
5
FAT - 13
O l O l O l O l O I O l U l U i a i t t l U I O I ^ ^ ü M N H
S 8 S S R S B 0> ft M H O O
H 0» "o «> M g fl OJ £ g¡ J fl y
|
-O
0)
«O *
N0»
01
£>
b>
M
01
N
01
0)
IM
M
IU
H*
M
I-»
6
'§
§
§
8
g
fe
S
(\j
l_i
M
O
O
8
8
S
é
fc
M
01
M
•o
8
§
s
?
I
M
T
O
M
M
I
U
H
H
H
,
i ggsy n y g
ro
o
o
^
i
o
í * 13 g g 3
*
3
>
«
«•
«o
U
en
U
l\l
«
en
*
IU
i S 8 i 1 'H §
2
03
W
O
O
O
a « 8
*
«n
8 » 8 £ K K
O)
^
J
O
«
J
a
í
^
4*
i n t n c n u i u i i n u i t n t n
í .'8 H
J
O
¿*
)
ü
l
CJ
ü
O
tVJ
l
M
l
-
•
tf
W
S §' g í § s §' 1 '3 3- § i S
r—*•
2
I
«O
9S
I-
0
863ittft6&tfSttti
*
fe
I
B S
(o
m
«o i o»
en
^
u
o
CJ
M r O I \ 3 l \ 3 M t - » H I •
•
•
o . - .
.
.
g'fi
£»
fO
M
§ I
H*
O
O
O
8 ¿5 § ¡8 § ft 8
,
» - « l - »
. ' . . .
*
en
"ÜJ
"O
8 i P
o
lo
Ui
2
P1
tf
% Q 3 £ S S I o E > « 0 a i N > c n u i » C d ' o
*-*
?
i
*0
fe í í fe' fe fe i fe g i fe § § B I ' §
FAT - 7
u w c n i n u i U i C f i c i i ü i C k f r u M i o ^
5S
t f l M S c D O t ^ r O t - ' O O
ÍÍ
ssgn
n
8^
! S
1*
3
N 8 5 6 S E S
•o
8 8 fe i 3 § 8 i s-'8 § 8 fe fe g g
a
« 3 S B S fii g S M
6
1
o
SS
£ p < 0 0 ) 0 > « » r V ) > - ' O O O
l
\
p»
H
01
w
1
U 0 I U ) U I « k » « d f U ( V ) H
•o
01
" « g § § 8' g 1 § § 1 3
3
l
Ul
n
ss
M
n
INJ
M
O
O
O
1
2sÍ s i
?
I gg
2
p>
•
•
H
•
0>
g
Z
¿
O
-
O
O
l
J
^
N
H
O
O
O
8 8" 3 H ft 3 3 * .8
:
'•
FAT-6
1.420
2.125
2.800
3.380
3.970
4.450
4.800
5.000
5.150
5.300
5.400
5.460
5.500
•o
«
ft8tt8&S£Ko<oa>>30icn»c.>NM
u
d w m ui u i t n u i u i u i
*
i* « . u r o
-a
I\J M
1 8 *8"í 8 3} 1 fe!) 6 i 1 5 8 's'B i 8
5
i
53
O 0 ) 4 . I M H t -
i
O O
8 2 8 8 t. 8 8 8 8 8 % B 8
1
r
?
I
8tt8ot)>SÍv¡6u>CO>)0>U>J-t.l\>
U I U I Ú O I ( I I U l U l U I U I U I » ( k U N M H
-o
8 1.8 g 1 8 g § g 1 8 B 8 § B 8
5
fe a* a» V a s c » fe a tt
,—,
en
25
f
3
i
& 8
Qi £3 m & £ K S (4> ts • j a i
O í a i ü l U O I Ü I Ü I » »
tn j f c o i i o
H
I f c J t b l U N f O M H
8 8 fei§ 1 g 1 § § 3 8 1 K g g § y §
U V U O O O I U I U N
H*
O
O
O
O
V a s V 8i 9 E¡ s g Is a "feas .
•o
g
3
2!
f
2;
II
5
S Í t k M b V ( D < J ( h ( l l » U N H
IO
s i'rg s % i s 3 i i "a a
«a
•
( S O J h I O H ' M O O
« J O I U H I O I I I O I O
FAT 2
•o
fS)
,735
8
»
8
§
i
ro
ro
ro
51
»
8
I-»
M
M
al
8
tt
8
§
r.
8
o
o
o
(*
8
£
Itl
>
H
TJ
1
g
£
»
o
r-%
Di
8
688
8
ro
867
IO
ro
.745
• 10
ro
01
M
H"
O
«•>
ro) . r*
8
t*
8
999
di
ro
3
350
8
ro
(0
545
«
ro
100
H«
668
ro
750
i
277
f
N 8
H»
M
M
o
o
K
8
u?
•o
1 i
y*
ü
£
CQ
H
1
m
s
a
,50
ro
Í—»
£
1
>
"0
355
530
a
707
s
060
400
g
570
748
1
s
-
***
«a
1
ro
o
n
3,24
3,00
10
ro
ro
M
ro
8
H»
Si g §
,92
M
M
ÍO
IV)
(V)
tf
8
!-•
M
8 § § SI
M
H*
M
8 g
ro
n
8 § § 3
ro
H
H
H
8
b)
Ul
O
8 8 » 8
H»
M
H
H»
»-•
10
i8
ro
ro
M
H 8
d)
8
»
8
Di
M
M
i-»
S
8
«
M
01
O
t->
M
ro
0)
o
H
O
o
t
M
t->
Ul
8 8 » 8
M
a
a
H
8
*—*
£
£
•o
§ % i
o
3
•a
a
09
S
8 M 8
8
ro
di
a
O
tVJ
fO
O
di
u
u
H
ro • «•
< m
i Él
g 8
5
c
>
I
n>
£
9
•D
5
g
&
I
I
5 I?
s
i
(0
u
u
u
8 » 8
ro
ro
M
Di
M
Ul
O
ro
fu
0S7
••
»
ro
8
i1
g B 8
.8
ro
ro
ro
di
O)
t-j
(9
M
M
Ul
^
fe
ro
o
M
»-•
»
8 ¿1 8
Cfi
Di
ti
ro
M
t- 1
o
N
o
o
Di
8 8
M
K*
M
»-•
H»
ti
O
Ul
O
P^
i
a»
»-•
£
5
ro
-o
ro
H»
O
o
8
Di
Ul
Q
0)
U)
TJ
8 » 8
>3
s
3
CQ
•o
ro
8 S M
O
*7?
(Q
8
i
¡
•
—
•
—
1
-
:
"O
<->
ENTFAT-XS
« ci u M M M w . r r . r . Í - . P -P •
8 '»
B V 8 H H I B Ü 8
5
w w .M .w . w .M .H . r . r .,»- o o ,
8 8 ií 15 U
íl U
8
U
T» _
9
!
•o
•
3 S 1 g 1 £'E 1 § i -8 B
s
p>
M
r
s
*M
O
M
M
M
M
O
O
XI
ENTFAT-18
M
8 "ai *8 *» '8 ai 8
"0
'Í 1 1 S a § 8 § 8
o
s
I
p>
p G J O ) W i v j M r v j r o H » ' M M M O O
9
9 ' 8 "a 8 "á ' 8 » *8 ai 8 *8 *8 "« "8
a-
6
•o
3 3 i 8 i 1 3 § 8 § § i § &5 5
£
>
N
I
U
I
\
]
f
U
M
t
-
*
l
-
<
M
O
O
•o
s 1 i a 'i í e i § §i a s ?
•—<
...
s 8 "a s a "s a "a « 8 "a *8
ENTFAT-20
U
i
i
09
8 o
55
u
a
tu
s
2?
9
«*
(*••
co
i-»
Si
3 g 8 § 8 § § l § § g g § g §
£
tn tn m
r-I
CV
(O
en
c\» ' c\?
u
CVJ
in
o ' o"
CV!
tO
m
o
S$3í3rf)Fít5¡3in<íCMoa>cDr»<oto
o o H ' ¿ r « o" co" 3 (J £ j j £ pj- £ ^- £
tí
I
6¡!§B§gE!9§8§g8&i§!B&R'8
H
N
n
n
«í L O L O L i L i i n i o m m i n i o t o i o i o i o i o i o
M w o ^ i o o t - o c o c v ^ a g j g ^ g g ^ i j g j g
HinaLor?rH»-ic5o)t7)C^wnc\JCf>
o o* o J c7 ^ «o u oT 3 «g r? j f . j j cf
95
u
8
I
5!
¿ I
8
8 g § R 8 § ÍC § 8 2 ^. § ií] g S 8 § ^
i
O.
*
rA
u
w
w
c; ^
CM r>
«*
10
H
^
«O r»
f;
IÍI
o a
n
n
in m ui m n
o
S
<o, ID (O
a3asai3»8fi'5í
APÉNDICE
3
Organigramas de los programas de cSlculo
MATERIAL
ELÁSTICO
Generación
Calculo
de
y
de
de
Resolución
Cálculo
3
dato¡
almacenamiento
la m a t r i z
de
U N EA L
rigidez
del
sistema
ecuaciones
de
tensiones
y
deformaciones
Para
cada
punto
del
borde
de
la
fisu
Simulación
del
avance
de
la
fisura
corrección
de
las
por
coordenadas
de
la
Cálculo
de
los n u d o s
ds
red
la m a t r i z
de
rigidez
Cálculo
de
de
la
energía
C
tasa
mediante
=
-
-
2
tuJ
de
liberación
la
fórmula
\ • • • í u}
AA
ra
395
^^^Ak.ELASTO-PLASTLco
Generación
Calculo
y
1
almacenamiento
«
de dato:
y a l m a c e n a m i e n t o d e l o e ,. - •
«neo de los términos
de
la
matriz de rigidez
n
constantes
1 == 0
L
r - i + i I
~T~:-J
Cálculo
de los términos
matriz
de
variables
d e la
rigidez
I
Cálculo
d e la m a t r i z
de
Zl
r i gg ii d e z
I
í
Resolución
del sistema
de
de tensiones
y
deformación
|
No ["
—
I - N ?
I»
(se
fijan
de las condiciones
todos
el
los nudos
borde
de la
de
menos
sustentación
el q u e
representi
fisura)
I
Desplazamiento
el
vertical
borde
de la
igual
a u/25 par;
fisura
i=;
Proceso
5
A
ciclos
Desplazamiento
el
vertical
borde
d e la
. 1
Proceso'A
igual
fisura
u
J
es
(N^número de ciclos)
Cambio
01
o
o
ecuaciones
I
Cálculo
o
w
a u/5 para