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DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA APLICADA
Y MÉTODOS INFORMÁTICOS
ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS DE MINAS
514 PAR A-5-4-18/a
0000297808
APLICACIÓN DE LA GEOMETRÍA FRACTAL
EN LAS CIENCIAS DE LA TIERRA
CARLOS PAREDES BARTOLOMÉ
Ingeniero de Minas
DIRECTOR
FRANCISCO JAVIERELORZA TENREIRO
Doctor Ingeniero de Minas
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1995
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TRIBUNAL ENCARGADO DE JUZGAR LA TESIS DOCTORAL
Tribunal nombrado por el Mgfco. y Excmo. Sr. Rector de la Universidad Politécnica de
Madrid, el día. ....-í. de...ífjii.«.h^^r.¿
de 19..7./T
PRESIDENTE:
D.
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O/e^
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VOCALES:
D. 7e / c ^ , j
D.
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VOCAL SECRETARIO:
Ccr(
O(JIL
Lcfcuro
D.
Realizado el acto de defensa y lectura de la Tesis el día....J.....He...<fyÁ.«v*r.k«.de 19.1.
CALIFICACIÓN:
EL PRESIDENTE
LOS VOCALES
EL SECRETARIO
RESUMEN.
El estudio de las diversas metodologías para ¡a medida, en primera instancia, y
el entendimiento, en segunda, de los cuerpos y comportamientos complejos que se
observan en la Naturaleza que nos rodea, son abordados en esta Tesis desde el punto
de vista de la Geometría Fractal. Este estudio abarca, dentro de lo posible, un amplio
rango de diferentes dimensiones topológicas de fenómenos que son posibles encontrar
en la investigación dentro de la rama de las Ciencias de la Tierra que es ¡a Hidrología
Subterránea. Desde la que corresponde a la medida de un punto (cero), nubes de
puntos, hasta las distribuciones en el espacio de masa (tres); pasando incluso por el
estudio de los comportamientos de las series temporales de sistemas diversos.
Estos aspectos has sido analizados mediante técnicas fractales, aplicadas, según
corresponda, a procesos espaciales ó temporales. Estas técnicas, implementadas en una
serie de códigos informáticos que se presentan, son del tipo denominado box-counting,
mass-aggregation, Une scaling method, y otras más complejas del tipo correlatorio
espectral, ó mediante la utilización de la integral de correlación, son aplicadas sobre
datos sintéticos, para su testeado, y sobre datos reales. El análisis fractal se descubre
como una herramienta interesante para la conceptualización, discriminación y
caracterización de fenómenos que desde el punto de vista clásico eran considerados
como inclasificables y estocásticos.
Entre otros resultados, se han definido las metodologías correctas de análisis
fractal, y de generación de fractales, que se deben de aplicar a, por ejemplo, medios
fracturados, series temporales, campos aleatorios, etc, para su caracterización fractal o
su simulación. En cuanto a los estudios concretos aplicados sobre los datos procedentes
de sistemas kársticos, los resultados permiten caracterizar, y en algunos casos, simular
estos medios en base tanto a sus comportamiento temporal como espacial, lo cual
permite intuir que existe cierta relación entre ambas dimensiones fractales, la espacial
y la temporal.
ABSTRACT.
The study, fisrt of all, for the measure and, secondly, fot the understanding of
the different behaviours and the strange bodyes observed in the Nature, are boarded in
this PhD Thesis.from the Fractal point ofview. This work cover, among other tasks, a
wider range of fractal analyses in different topological dimensions and so, different
coveredphenomena that could befounded in the practica! research on Hydrogeology in
Earth Sciences.
Those different aspects have been analyzed by means of fractal techniques,
applied to spatial and time processes. These techniques, presented herewith as different
computer codes, are knawn as box counting, mass aggregaíion. Une scaling, etc; and
more complex others, such as correlational spectral analysis, or the integral correlation
function, are applied to synthetic data, to testing porpouses, or to real natural data. The
fractal analysis has been discovered as an interesting tool to characterize,
conceptualize, and discrimínate phenomena, íhaíform the classical point ofview are
consideredas unclassifiedmatter ofstochastic behaviour.
Between the different residís presented here, could be mentioned íhaí here are
defined íhe true fractal analysis, andfractal generaiion, meíhodologies. Those coudbe
applied, for example, to fractured media, time series, random fields, eic, to fracíal
characterize or simulaie ihem. Specially íhe work has beenfocused ío írade wiíh karsiic
complex sysíems, where íhe resulís adquired here allow us, in some cases, ío deep in the
undersíanding of such as heierogeneous anysoíropic media, and be able ío reíale íhe
spaíialfracíal characíerisíics wiíh those sírange fracíal time behaviour.
ÍNDICE.
pagina
1
MOTIVACIÓN DE LA INVESTIGACIÓN. PREFACIO.
2.
INTRODUCCIÓN.
I
4
2.1. L A MÉTRICA DE HAUSDORFF COMO PROCESO DE MEDIDA.
9
2.2. LA DIMENSIÓN DE HAUSDORFF.
II
2.3. E L MÉTODO DE BOX-COUNTINQ Y OTROS MÉTODOS PARA LA EVALUACIÓN
DE LA DIMENSIÓN DE HAUSDORFF.
3.
LA
OBSERVACIÓN
DE
13
ESTRUCTURAS
FRACTALES
EN
LA
APLICACIÓN DE LAS CIENCIAS DE LA TIERRA.
4.
22
ANÁLISIS FRACTAL APLICADO A LA HIDROLOGÍA SUBTERRÁNEA.
INTERPRETACIONES
FÍSICAS.
SIMULACIÓN
DE
GEO-FRACTALES
EN
HIDROGEOLOGÍA.
27
5.
33
FRACTALES AUTOSEMEJANTES.
5.1.GENERACIÓN Y ANÁLISIS DE PROCESOS DE PUNTOS CON DISTRIBUCIÓN
FRACTAL.
33
5 . 1 . 1 TÉCNICA DE SIMULACIÓN BOX.
36
5 . 1 . 2 T É C N I C A DE SIMULACIÓN RADIAL
45
5.1.3. COLOCACIÓN ALEATORIA DE LOS PUNTOS DENTRO DE LA CORONA.
50
5 . 1 . 4 . Q T R Q S GENERADORES DE PROCESOS DE PUNTOS FRACTALES.
51
5.1.5.EJEMPLOS DE APLICACIÓN PE
PUNFRAC
5.1.6. EJEMPLOS DE APLICACIÓN DE PUNFRAC EN LA GENERACIÓN DE
MEDIOS GEOLÓGICOS
53
60
6.
FRACTALES AUTOAFINES.
6.1.VARIABLES ALEATORIAS EN EL ESPACIO.
6.1.1 .DETERMINACIÓN DE LA ESCALA DE ANÁLISIS. TÉCNICA DE LSM.
70
70
70
6.1.1.1 .Fundamento teórico.
6.1.1.2.Casos con dT = L
6.1.1.3.Casos con dT = 2.
71
73
79
6.1.1.4.Ejemplos de aplicación del análisis LSM.
82
6.2.SERIES TEMPORALES.
107
6.2.1 .EL FENÓMENO DE HURST. APLICACIÓN AL ANÁLISIS DE SERIES
TEMPORALES.
107
6.2.1.1 .Interpretación del análisis del rango reescalado.
6.2.1.2.Descripción de las zonas del diagrama POX.
6.2.1.3.0tros tipos de análisis.
6.2.1.4.Aproximación física al mBf.
6.2.1.5.Técnicas de segundo orden en la determinación de H.
6.2.1.6.Ejemplos sobre casos sintéticos.
6.2.1.7. Ejemplos sobre casos reales.
6.2.2. DIMENSIÓN DE ATRACTORES. ANÁLISIS DINÁMICO DE SERIES
114
116
119
122
131
135
145
TEMPORALES.
149
6.2.2.LOS SISTEMAS DINÁMICOS DISIPATIVOS EN EL ESPACIO DE FASES.
151
6.2.2.1 .Exponentes de Lvapunov. Cuantificación de la
divergencia en el espacio de fases.
6.2.2.2.Energía de la dinámica v medida del desorden. La
entropía de Kolmogorov.
6.2.2.3. La inoperatividad el análisis clásico geométrico fractal
dentro del análisis dinámico.
6.2.2.4.Algunas nociones sobre teoría ergódica de utilidad
en el análisis dinámico.
6.2.2.5.La integral de correlación. Medida dinámica de series
156
158
161
166
temporales.
6.2.2.6.Limitaciones en la utilización de la integral de
correlación.
6.2.2.7.Determinación de la entropía de Kolmogorov.
176
180
182
6.2.2.8.Ejemplos sobre casos sintéticos.
184
6.2.2.9.Eiemplos sobre casos reales.
190
7.
CONCLUSIONES.
8.
FUTURAS LÍNEAS DE PROGRESO.
9.
BIBLIOGRAFÍA.
9.1.REFERENCIAS CITADAS.
9.2-OTRAS REFERENCIAS DE INTERÉS.
Anexos.
A-A. Procesos estocásticos.
Funciones aleatorias.
Ejemplos de procesos estocásticos simples.
A-B. Estimación de la función de densidad espectral mediante el
método de máxima entropía.
Estimación de la f* tnción de densidad espectral mediante el MEM.
Ejemplo de aplicación del MEM.
Código de implementeción del MEM.
A-C.Generación de variables aleatorias uniformes y gaustanas,
A-C.1.Variables aleatorias uniformes. Introducción.
A-C.2. Generación de variables ^¡eatorias uniformes. Métodos
congruentes.
A-C.3.Análisis de la aleatoriedad de los métodos congruentes.
Análisis estadístico general de las variables aiaatori¿3
Análisis estadístico. Test empíricos.
Análisis paramétrico. Test teóricos.
Análisis espacial. Test espectral de Knuth.
A-C.4.Generación de variables aleatorias Gausianas.
A-D.PUNFRAC programa de simulación de procesos fractalos de
puntos.
Programa PUNFRAC.
A-65
A-E.Programa de análisis geométrico fractal DFP.
A-85
A-F.Programación de la metodología LSM.
A-130
A-F.1. Descripción de LSMlm.
Algoritmo y código en MATLAB®.
A-F.2.Descripción de LSM2.m.
Algoritmo y código en MATLAB®.
A-F.3. Descripción de LSM3.m.
Algoritmo y código en MATLAB®.
A-F.4.Descripción de LSM4.m.
Algoritmo y código en MATLAB®.
A-G.Algoritmos y códigos para el cálculo del exponente de Hurst H.
A-166
A-G.1.Subrrutina LOCALH.
A-G.2.Subrrutina HURST.
A-H.AIgoritmo y códigos útiles para el análisis dinámico de series
temporales.
A-H.1.Subrrutina WIMPLEX
A-174
A-H.2.Subrrutina DIMCORR
A-I.DFT código fuente principal para el análisis fractal de seríes
temporales.
A-184
Programa Fortran 77: DFT.
A-J.Programa CPBLOG2 y algoritmo para el análisis fractal
correlatorio espectral.
Programa y algoritmo CPBLOG2.
CURRICULUM VITAE DEL AUTOR.
A-188
ÍNDICE de Figuras.
Figura
1- Vista en relieve de una parte del conjunto de Mandelbrot.
2 - Sucesivas construcciones para crear el conjunto de Cantor.
3 - Comportamientos de la medida de Hansdorff con la dimensión S.
4.- Ejemplo de aplicación del programa DFP sobre la gruta de Niaur.
5 - Ejemplo de aplicación del programa DFP sobre el resto de grutas.
6.- Muestra de roca digitalizada y red de percolación sintetizada y analizada.
7.- Dimensión fractal de agregación y función de Lacunaridad para la red
8.910.11.1213.1415.16.1718.19.2021 22232425.26.27.28.29.30.-
de percolación de la figura 6.
Evolución anual de las publicaciones sobre fractales (según Avnir 1989).
Ejemplo de superficie de fracturación sobre la que discurren canales preferentes.
Muestra tomada en El Berrocal por el equipo del D.M.A.M.I.
Ejemplo de la distribución temporal de una serie de lluvias (datos en mm).
Definición de las escalas del soporte fractal.
Sucesivos refinamientos del dominio cuadrado según cada paso.
Determinación gráfica de la escala mínima de cálculo en el algoritmo.
Efecto del aumento del número de puntos para una misma dimensión fractal.
Selección de las celdas de las celdas obligatorias y restantes.
Determinación de las celdas que se escogen para un caso bidimensional.
Sucesivas iteraciones selección-refinamiento.
Paso para la elección aleatoriamente de las primeras celdas.
Definición del rango de escalas de comportamiento fractal.
Dependencia del radio en el algoritmo radial.
Un sólo punto en cada nueva corona circular.
Rangos espacíales de validez del algoritmo radial.
Definición de la posición aleatoria de los puntos en la corona.
Ejemplo de un vuelo de Levy-Lee bidimensional.
Generación de 500 puntos según box-jerárquico. Dimensión fractal=0.5.
Generación de 500 puntos según box-jerárquico. Dimensión
fractal=l.
Generación de 500 puntos según box-jerárquico. Dimensión
fractal=1.5.
Generación de 500 puntos según box-aleatorio. Dimensión
fractal=0.5.
Generación de 500 puntos según box-aleatorio. Dimensión fractal=l.
Generación de 500 puntos según box-aleatorio. Dimensión fractal=l .5.
página
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50
51
54
54
54
55
55
55
31.3233.34.353637.383940.41.42.43.4445.464748.49.5051.52535455.56.57585960.61.6263.646566.67.-
Generación de 500 puntos según radial-unitario. Dimensión fractaNO.5.
Generación de 500 puntos según radial-unitario. Dimensión fractal=l.
Generación de 500 puntos según radial-unitario. Dimensiónfractal=l.5.
Generación de 500 puntos según radial-equidistante. Dimensión fractal=0
Generación de 500 puntos según radial-equidistante. Dimensión fractal=l
Generación de 500 puntos según radial-equidistante. Dimensión fractal=l
Generación de 500 puntos según box-jerárquico. Dimensión fractal=1.5.
Generación de 500 puntos según box-aleatorio. Dimensiónfractal=l.5.
Generación de 500 puntos según radial-unitario. Dimensión fractal=l .5.
Generación de 500 puntos según radial-equidistante. Dimensión fractal=l
Planos generados con soporte box-jerarquico.
Secciones horizontales a diferentes cotas.
Planos generados con soporte box-aleatorio.
Secciones horizontales a diferentes cotas.
Planos generados con soporte radial-unitario.
Secciones horizontales a diferentes cotas.
Planos generados con soporte radial-equidistante.
Secciones horizontales a diferentes cotas.
Trayectoria y distorsión de la curva
Resultados para diferentes H.
Ejemplo de serie temporal sintética analizada.
Ejemplos de datos bidimensionales perimetrales.
Dominio de comportamientos autosemejante/autoafin.
asignación de las áreas correspondientes.
Serie temporal y resultados de la aplicación con LSM1.
Serie temporal y resultados de la aplicación con LSM1.
Ubicación geográfica del sistema Kárstico estudiado.
Datos del perfil del sistema Kárstico de Niaux.
Datos de la gruta de Niaux, zona de la galería de la Rotonda.
Datos de la gruta de Niaux, zona del Salón Noir.
Datos del perfil del sistema Kárstico de Lombrives.
Datos del perfil de la cavidad Petite Caougno.
Datos del perfil de la cavidad denominada Empreintes.
Datos del perímetro de la cavidad de Sabort.
Esquema de la variable apertura.
Diversos perfiles longitudinales sobre las aperturas de una muestra.
Campos de apertura de una fractura de la mina Stripa (Suiza).
68.- Campo de aperturas de unafracturade Dixie Vailey (E.E.U.U.).
69.- Funciones de logR* vs. t para R/S y el resultado de su diferenciación.
70.- Zonas delimitadas del comportamiento en el diagrama POX.
71.- Interpretación visual del test GEOS.
72.- Función Q(s) en régimen antipersistente.
73.- Función Q(s) en régimen persistente.
74.- Variación de H con la autocorrelación rho.
75.- Señal periódica pura analizada.
76.- Resultados del análisis en R/S.
77.- Señal ruido + sinusoide analizado.
78.- Resultados del análisis en R/S de la señal.
79.- Señal sinusoidal +m0.
80- Resultados del análisis en R/S de la señal.
81.- Señal sinusoidal +mp.
82- Resultados del análisis en R/S de la señal.
83.- Comparación de la función rango según el tipo de señal.
84.- Señal sinusoidal +mp.
85.- Señal sinusoidal +mp.
86.- Función rango para las dos señales.
87.- Función varíanza para las dos señales.
88.- deformación de un volumen V en el espacio de fases.
89.- Divergencia de trayectorias.
90.- Aplicación del muestreo H sobre el atractor A.
91.- Trayectoria en el espacio de fases sobre B.
92.- Ejemplo de salchicha de Minkovsky alrededor de la trayectoria x(t).
93.- Algoritmo para el cálculo de la integral de correlación
94.- Región de validez del comportamiento fractal.
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MOTIVACIÓN - PREFACIO
Capítulo 1.
1.
PREFACIO.
Prefacio y Motivación.
MOTIVACIÓN DE LA INVESTIGACIÓN.
Después de un breve paseo por el entorno que nos rodea, uno puede darse cuenta
de que la realidad no es como nos la describen los geómetras clásicos. Cuerpos simples,
tetraedros, hexaedros, dodecaedros, icosaedros, esferas, etc.... ¿Dónde podemos
encontrar todas estas formas tan puras si no es en la mente de los que conceptualizan los
fenómenos y sus formas?. Fue hace ya bastantes años cuando tropecé con un artículo en
la muy conocida revista Scientific American, concretamente en una de sus secciones de
juegos matemáticos, y en la que se describían los fascinantes efectos de las sucesivas
recursiones aplicadas sucesivamente a una fórmula cuadrática en el campo complejo.
Posteriormente, y al seguir leyendo este artículo, me encontraría con que el resultado de
estas iteraciones, plasmado en forma de colores, resultaba una curiosa forma llena de
intrincados recovecos y estructuras repetitivas. El Conjunto de Mandelbrot es el
resultado. Me encontraba con estas estructuras tan repetitivas y curiosamente las
observaba de igual forma a diferentes escalas, entraba en contacto con el concepto de las
propiedades de autosemejanza. Pero a la vez que me sumergía en el espacio cibernético
delfractal,que es donde éste conjunto se desarrolla, las formas se asemejaban a las que
había encontrado durante el paseo.
Este hecho creó en mi una idea, que posteriormente vi que había surgido en otros
muchos investigadores. Esta, brevemente, intentaba creer que lo que Benoit Mandelbrot
había descrito en sus libros Thefractalgeometry ofnature, en 1982, y en Los objetos
fractales. Forma, azar y dimensión, de 1984, podía ser aplicable para una modelización,
y posteriormente para una simulación de lo que ocurre en nuestro entorno. Es cierto que
no todo lo que observamos es fractal. Entendiéndose como fractal una propiedad que se
puede dar en dos situaciones distintas, una la que corresponde a los cuerpos que se
distribuyen en el espacio (como por jemplo una piedra pómez), y la otra se refiere al
comportamiento físico de una variable (como, por ejemplo, las temperaturas en el
tiempo). En el primer caso diremos que el cuerpo es fractal, y en el segundo que el
comportamiento es fractal. De esta manera, indirectamente, estamos creando una
clasificación de los fractales, que luego se encuentra en la literatura. Esta es, los fractales
autosemejantes y los fractales autoafines, respectivamente para cada situación.
1
CapítUlO 1.
Prefacio y Motivación.
Mi interés, sobre el estudio de los conjuntos fractales, creció con el tiempo.
Descubriendo que, a parte de las posibilidades clásicas de descripción de los fenómenos
extraños, existía la posibilidad, en muchos casos de su descripción como fractal. Como
escribía anteriormente no todo lo que se observa es fractal, pero sí muchas de las
situaciones que, aparentemente más cotidianas, en cuanto al trabajo de entendimiento de
fenómenos y de estructuras, son de difícil descripción, y son fractales. Después de una
amplia labor de recopilación bibliográfica, y de su estudio, he ido concluyendo que, hasta
el momento actual, he encontrado un porcentaje elevado de trabajos que se dedican a
anunciar la fractalidad del caso que están estudiando, y en su caso la multifractalidad, lo
cual el interés es muy importante, pero no es concluyeme para alguien que, sabiendo que
el caso es fractal, ¿qué puede hacer con ello?.
De esta pregunta ¿qué hacer con la conocida fractalidad?, surge la siguiente,
¿para qué sirven los fractales?. Es amplia la divulgación que se ha hecho, a nivel de la
población de la calle, en el sentido de que el mundo es fractal, que estas son estructuras
maravillosas y que nos permitirán entender mejor muchos de los fenómenos estocásticos
que encontramos durante la práctica de la investigación. Y en otro sentido, la
divulgación se ha enfocado hacia los colorines, los fractales debido a su espectacularidad
de formas y colores, proporcionan un campo para la creación fotográfica, con lo que, en
ciertos entornos científicos (aquellos con pocas miras de promoción) puede creerse que
solo sirven para hacer postales de paisajes imaginarios (lo cual puede ser una aplicación
muy digna, ¿por qué no?...).
Mi formación como Ingeniero de Minas, fundamentalmente en matemática
aplicada y en hidrogeología, buscaba aigo más directamente aplicable a nuestro entorno.
Volviendo a la cuestión de su utilidad, después de seguir buscando tal, pocas han sido
descritas de forma práctica. Ahora comienzan a aparecer artículos, incluso libros, con el
título de.... .y aplicaciones, pero el apartado dedicado a tales es mínimo, ó mal aplicado,
ó mal realizado. Inexistente, me parece que ya es hora, después de casi treinta años que
hace que Mandelbrot describió la geometría fractal, aunque lo hizo escrito de un forma
que me resulta algo complicada y filosófica, de que se escriban verdaderas aplicaciones, y
no solo descripciones. Mal aplicado, porque las pocas modelizaciones, que no todas
(destaco el gran trabajo que se realiza en el campo del DLA, RVF, percolación, etc.),
están mal planteadas en sus hipótesis. Y mal realizadas, porque los algoritmos que los
modelizan proporcionan resultados que no corresponden con las características de lo que
se simula.
2
Capítulo 1.
Prefacio y Motivación.
Por todo esto surge esta Tesis. Tratar de abordar un amplio espectro de
situaciones que nos encontramos en la realidad, y en concreto en el estudio de los
acuíferos, analizarlas desde un punto de vista fractal, para dar pié a que puedan ser
entendidos, entre otras posibilidades como fractales, ajociar los resultados del análisis a
sus características físicas, al comportamiento, a la realidad geológico-dinámica de lo
estudiado. Y finalmente modelizar, y simular sintéticamente como un fractal, lo
analizado, testando la calidad de los resultados sintéticos. Como he comentado
anteriormente, y dado el campo aplicado de mi formación en hidrogelogía, el trabajo se
desarrollará con estructuras y fenómenos físicos que podemos encontrar en este campo.
Mi intención, entre otras, es que esta Tesis, si bien no profundiza en los aspectos
hidrogeológicos más internos de lo que se estudia, pueda servir de guía a la hora de
comprender fenómenos que sean de otros campos de la ciencia, que son entendidos en
un principio como estocásticos, que se encuentran estructurados en su aleatonedad, y
están relacionados con el medio geológico, u otro tipo de medios irregulares y
complejos, sus propiedades, y que, además mostrar cómo analizar y simular de forma
simple su comportamiento espacial y temporal fractal.
Carlos Paredes Bartolomé.
E.T.S.I. de Minas de Madrid
Junio de 1995.
Figura 1. Vista en relieve de utia parte del conjunto de Mandelbrot.
3
INTRODUCCIÓN.
Capítulo 2.
2.
Introducción.
INTRODUCCIÓN.
Una vez leído el título de esta Tesis es muy probable que surjan las clásicas
preguntas de ¡por qué utilizar las herramientas que proporcionas ¡osfracíales,algo tan
nuevo y de lo que se sabe más bien poco, habiendo otras más clásicas y de validez
relativamente demostrada?, ó también, ¿cómo se pueden utilizar los fracíales?, ¿sirven
para algo los fracíales?. Otros plantearán las afirmaciones si, son muy bonitos, pero
dudo que tengan aplicación en este campo (porque desconocen que la tengan en otros),
u otros que incluso planteen dudas tales como el desconocimiento de las características
fractales del proceso. Incluso algunos pueden ir más allá (los más afortunados) ...ya se
que es fractal, ¿y ahora qué?. Al menos, y de lo que conozco en España, los grupos de
investigadores que desarrollan su trabajo en el campo de la Geometría Fractal,
permanecen inconexos. Pocos publican sus trabajos como aplicaciones, otros muchos
exponiendo fundamentos topológico-matemáticos pueden publicar más, pero las
relaciones entre puros y aplicados son escasas. Por ello me gustaría romper esta situación
y por ello trato de desarrollar esta Tesis en el campo de la aplicación a la hidrogeología,
donde los datos son reales, proceden de la naturaleza misma que nos rodea, tal que
algunas de las herramientas desarrolladas por los matemáticos más puros en Fractales,
pueden ser aplicadas no sin cierto éxito ni interés.
Por ello, a parte de las razones puramente estéticas, existen razones de índole
científico-técnico que estimulan el estudio de éstas estructuras, para lo cual es
fundamental el uso del ordenados como herramienta de cálculo, análisis, e incluso de
demostración. Dado que, en ciertas situaciones, los fr .¿tales pueden ser estudiados como
conjuntos producidos por procesos de iteración, dichos cálculos solo pueden hacerse
gracias a la ayuda del ordenador.
En un principio, los fractales surgieron como respuesta a una necesidad que se
dio a comienzos del siglo XX. Al estudiar los conjuntos de puntos que se distribuían
sobre la recta real que poseían medida de Lebesgue nula, se encontraban algunos que
tenían además unas características geométricas, aritméticas ó analíticas muy especiales
(como el conjunto de Cantor de la figura 2), pasando a ser considerados como
monstruos matemáticos. Pero a medida que la matemática iba avanzando se descubrían
4
Capítulo 2.
Introducción.
aspectos más interesantes de éstos conjuntos, y en algunos pocos casos podía llegase a
asociar su comportamiento a algunos que se encontraban en la naturaleza.
Figura 2. Sucesivas construcciones para crear el conjunto de Cantor.
Hausdorff, hacia 1919, construyó una teoría matemática que permitía estudiar
estos conjuntos tan peculiares. Esta teoría permitía medirlos en un espacio de dimensión
no nula (a diferencia de lo que se obtenía de la aplicación de la medida de Lebesgue) y es
la que actualmente se conoce con el nombre de Métrica de Hausdorff. Posteriormente,
Besicovitch, hacia 1920, se interesó por la Métrica de Hausdorff, creando una teoría
geométrica de la medida, que permite el estudio de las estructuras íractales, su medida y
dimensionado. Finalmente, fue Mandelbrot, quien hacia los años 60 introdujo la
Geometría Fractal, como una recopilación de muchas de la teorías matemáticas que
estudiaban los monstruos matemáticos, añadiendo la parte más importante que es la
conceptualización de ¡os mismos, y otras muchas estructuras y comportamientos que, no
solo eran geométricos, sino también como propiedades y comportamientos, y además los
relacioné con los fenómenos de la Naturaleza. Como breve cronología de lo que ha
acontecido en el desarrollo de los íractales puede contemplarse la siguiente lista:
Año
Acontecimiento:
1872
1873
1906
1906
Los monstruos matemáticos, objetos complejos e irregulares.
Presentación del conjunto de Cantor.
Presentación de la curva de Weierstrass continua y no rectificable.
Movimiento browniano de Persin.
Copo de Nieve de Koch de Von Koch.
1919
Comportamiento al cambio de escala.
Dimensión de Hausdorff para los objetos geométricos
irregulares y complejos.
5
Capítulo 2.
1956
1957
1961
1963
1968
Introducción.
Ley de Hurst para el comportamiento invariante al cambio de escala en
las series temporales.
Ley de Richter-Guttemberg para la distribución de las magnitudes de
los terremotos.
Ley de Richardson de cambio de escala para las medida de las curvas
complejas, como las líneas de costa.
Diagrama de Stowel describiendo las escalas espaciales y temporales
de la dinámica oceánica en espacio y tiempo.
B.B. Mandelbrot, Van Ness y Wallis extrapolan el trabajo de Hurst a la
hidrología.
La ciencia de losfractales (exceptopara la dinámica):
1975
1977
1980
1982
1986
1981
1983
1984
1987
1991
1991
1992 ...
B.B. Mandelbrot acuña el vocablo fracta!.
Primera edición del libro Fracíals, form, chance et dimensión, de B.B.
Mandelbrot.
Berry y Lewis presentan la función tractal de Wierstrass-Mandelbrot,
como la geometría natural del monstruo de Weierstrass de 1873.
Modelos fractales aplicados a la ecología (por Hastings) y a la
morfología de las nubes (por Lovejoy). Monografía revisada de B.B.
Mandelbrot titulada Thefractalgeometryofnature.
Sistemas de funciones iteradas DFS de Bamsley
Fractales y dinámica de sistemas complejos.
Witten y Sander introducen la agregación limitada por difusión DLA.
Hentschel, Grassberger y Procaccia relacionan los fractales y los
atractores extraños de los sistemas dinámicos.
Dinámica de Wolfram para los autómatas celulares.
Criticidad auto-organizada de Bak, Tang y Weisenféld.
Multifractales, extensión de los fractales multidimensionales en
geofísica, por Lovejoy y Schertzer.
Elpresente.
Más de 500 publicaciones sobre fractales.
fractales aplicados en multitud de campos de lafísica,química,
matemáticas, biología, ciencias de la tierra, en temas que abarcan todo
el rango de escalas imaginable. Desde cuerpos inframicroscópicos,
como las estructuras cristalinas desordenadas y sus efectos en la
6
Capítulo 2.
Introducción.
difracción, hasta las distribuciones multifractales en el espacio
interestelar de los cúmulos y las galaxias.
Pero ¿qué podemos definir como fractal?. Verdaderamente no existe una versión
definitiva de cuál es el concepto de fractal, y su definición se encuentra en continua
revisión. Dentro del nombre de fractal, palabra acuñada por Mandelbrot hacia 1975, se
engloban una gran cantidad de realidades matemáticas que tienen unos rasgos comunes,
aunque las definiciones dadas no son aplicables a éstas. De todas formas, existen algunos
intentos. Podemos encontrar en [MAND-82a] en el que se da la definición como un
conjunto que posee una serie de propiedades topológicas:
Un fractal es por definición un conjunto para el cual la dimensión de HausdorffBesicovitch es estrictamente superior a su dimensión topológica.
Pero esta definición requiere a su vez que se defina la dimensión de HausdorffBesicovitch denotada por s, y la dimensión topológica ó dT, que es siempre un entero.
Podemos decir, por ejemplo, que un fractal es el producto final que se origina a
través de la iteración infinita de un proceso geométrico especificado [GUZM-93]. El
proceso geométrico elemental es de naturaleza muy simple, y determina la estructura
final, y tal que repetido hasta el límite proporciona una forma complicada (como puede
ser la curva triádica de Koch). Precisamente los fractales pueden ser modelizados
mediante estructuras simples tales que se repiten. Esta idea proporciona otra de las
definiciones que es siempre más intuitiva que la anterior; la definición que se da en
[MAND-85], y que dice que:
Un fractal es una estructura que esta formada por partes semejantes en cierta
manera al conjunto completo.
Si bien la primera definición es más correcta y estricta, excluye muchas
estructuras fractales que se encuentren en Física, que verifican la segunda, pero no esta
primera. La segunda definición enfatiza un hecho que es predominante en las estructuras
fractales, y que es la autosemejanza o igualdad de las partes al todo, a parte de cambio
de escala. Por ello de fractal se puede observar siempre la misma estructura,
independientemente de la escala a la que se realice esta observación. Ejemplos muy
simples podemos encontrarlos en las formas creadas por las nubes, los árboles, ó una
simple coliflor; y más complicados, pero que pueden ser sintetizados a una estructura
7
Capítulo 2.
Introducción.
simple que se repite sucesivamente, pero de una manera aleatoria, en campos de la
ciencia como la física, la química o las matemáticas. Por ejemplo, la frontera de interfase
entre dosfluidosde diferentes densidades, dependiendo de las diferencias entre ambas, a
parte de otras condiciones, esta frontera es muy irregular (trabajos de investigación en
RVF, DLA, etc.). Estructuras ramificadas que se encuentran en los seres vivos, como
son las redes venosas, la jerarquizaron de los conductos bronquiales, etc.. Las
superficies de fractura de los materiales, y la consecuente variación de las propiedades de
fricción, o las mismas fracturas producidas por esfuerzos aplicados. Redes de
percolación, atractores extraños, distribución de propiedades en el espacio, y muchos
mas procesos que han sido caracterizados como fractales.
Para comprender cómo puede comportase un fractal basta con entender los
resultados ofrecidos por Mandelbrot en su artículo How long is the coast o/Britain?, en
el que se estudian las diferentes longitudes de costa que proporcionan las topografías
realizadas a diversas escalas, los resultados permiten afirmar que a medida que la escala
de medida e disminuía, esto es, la unidad utilizada para computar la longitud de la costa,
ésta aumentaba hacia longitudes infinitas. Esto puede comprobarse simplemente
percatándose de que a medida que esta escala se reduce más y más detalles entran a
formar parte de la medida, con lo que crece desmesuradamente. Pero puede comprobarse
que el ratio de crecimiento, a partir del número de veces N(e) que es llevada esta unidad
durante la medida, y de la longitud L(e) obtenida, es del tipo:
L(e) = N(e).e
(1)
L(e) = cte.e e
(2)
donde el exponente que 0 aparecen en (2), si para una recta debe de ser nulo, los
resultados de su aplicación a las costas permitían obtener un valor de 0'52. Esto cabe
pensar que la curva que define la costa no es tan rectificable, aún siendo continua, como
una recta.
En los apartados que vienen a continuación, se da una breve visión de en esta
topología de la Métrica de Hausdorff, cómo se obtiene la dimensión de Hausdorff, y un
método denominado box-counting que puede servir para la evaluación de la dimensión
de Hausdorff.
8
Capítulo 2.
2.1.
Introducción.
LA MÉTRICA DE HAUSDORFF COMO PROCESO DE MEDIDA.
Un proceso de medida de un conjunto geométrico lleva asociado una serie de
problemas. El primero es con qué recubrir el conjunto a medir, y el segundo se encuentra
en cómo evaluar tal recubrimiento. Por ejemplo, a la hora de estudiar la paradoja de
Schwarz, en la que se pretende calcular la superficie de un cilindro mediante
triangulación, en la que se ve que el problema de medir el área de una superficie viene
dado por la imposibilidad de encontrar un tipo de recubrimientos que se adapten bien a la
superficie a medir. El proceso de medida de Lebesgue resulta ser así demasiado rígido al
obligar a recubrir con rectángulos triángulos ó cubos, cuando el área de la superficie no
se encuentra contenida en un plano. Esto aconseja utilizar recubrimientos sin ningún tipo
de limitación.
El verdadero problema surge en cómo o qué evaluar en el recubrimiento, es decir,
qué orden de tamaño hay que medir, de lo que surge el concepto de dimensión asociado
a la medida. De esta manera, al aplicar la medida de Lebesgue, existen métodos
diferentes cuando se quieren medir objetos de dimensión 3 (midiéndose volumen), de
dimensión 2 (área), ó de dimensión 1 (longitud). De tal manera que un conjunto medido
en una dimensión superior a la propia, medirá siempre cero. Pero la medida de Lebesgue
introduce cierta ambigüedad a la hora de medir conjuntos tales como los de Cantor, en
los que, al trabajar con la medida unidimensional, el resultado es que poseen medida
nula, lo cual no es muy real ya que el conjunto de cantor es un conjunto no numerable,
con el mismo cardinal que el continuo.
Esto induce a pensar que se pueden establecer más dimensiones que las enteras
que se establecen con la utilización de la medida de Lebesgue (1, 2, 3 ...), es decir
introducir un continuo de dimensiones entre las que para una de ellas la medida del
conjunto no sea nula y finita. Nos encontramos, por lo tanto ante un rasgo distintivo de
cada dimensión. Supóngase, por ejemplo que unafigurade dimensión entera d, puede ser
descompuesta en N copias a escala r de sí misma, con lo que es fácil ver que N = (1 / r)d
y que 1/r, en el caso de un cuadrado, son el número de veces que el cuadrado unitario
origen contiene el lado del cuadrado a escala r, lo que equivale, tomando logaritmos, a:
d = logN/!og(l/r)
(3)
Si se toma esta fórmula como definición del valor de la dimensión de cualquier
figura que puede ser descompuesta en copias a escala de sí misma, obteniéndose una
9
Capítulo 2.
Introducción.
manera cómoda de asignar una dimensión a un conjunto, ya que en este caso, es posible
descomponer tal en copias de sí a escala r. Este procedimiento conduce a uno de los
posibles conceptos de dimensión fraccionaria [GUZM-93], llamada dimensión de
homotecia, que es de fácil aplicación, pero que exige que el conjunto a dimensionar
pueda ser descompuesto en copias de sí mismo, lo cual es una propiedad muy específica
de ciertos conjuntos.
Según la medida de HausdorfF es posible determinar la dimensión de los
conjuntos mediante una evaluación que tiene en cuenta los diámetros de los conjuntos
que forman un recubrimiento del que se desea medir. Teosamente, se parte de un
conjunto E c 9T, y de un número real positivo 8, y se construye un 8-recubrimiento de
E mediante una familia { u j " , de conjuntos abiertos, cerrados ó convexos, de 9T,
verificándose que:
Ecf)U,
(4)
diamíUJsíS ; Vi=l,...,oo
(5)
cuyo diámetro es:
Se define entonces.
Hj(E) = inf< ¿ d¡am(U¡); {U¡}", es un 8 - recubrimiento de E l
(6)
para un número real s > 0. Esta función mide el s-tamaño del conjunto E, es decir se
ignoran las irregularidades de E a una escala inferior al diámetro 8 del los conjuntos
{U¡} que constituyen el recubrimiento. Cuando se toma el límite al reducir el tamaño de
dichos conjuntos (8 -> 0), se irán apreciando irregularidades de E a menor escala, de
menor tamaño. Además, limH!(E) aumenta, pues es un ínfimo tomado cada vez sobre
5-»0
una clase más restringida de recubrimientos, y por lo tanto existe el límite.
H4(E) = l¡mH*(E)
(7)
5-»0
que puede ser finito o infinito. Al valor H*(E) se le denomina medida s-dimensional de
HausdorfF de E. Es fácil de demostrar que esta función es una medida, ya que cuando el
conjunto E = 0 , la medida es nula, cuando un conjunto F esta incluido en E, la medida
10
Capítulo 2.
Introdúcelo».
de F es inferior a la de E, y si un conjunto E esta formado por la unión de conjuntos
disjuntos, su medida es la suma de la de los conjuntos constituyentes de E.
2.2.
LA DIMENSIÓN DE HAUSDORFF.
El verdadero problema a la hora de usar esta medida se encuentra en la correcta
elección de s. Cuando, por ejempío, se mide una curva rectificable y se utiliza un s * 1,
es posible encontrar que su medida s-dimensional es nula ó infinita., con lo que no
podemos decir nada sobre el tamaño (longitud) de la curva. La pregunta que entonces se
plantea es ¿es posible encontrar un s para el cual sea posible medir E?. La respuesta,
dada por Hausdorff, parte de la suposición de que el tamaño 6 de los conjuntos {U, ] es
menor que la unidad. Si tomamos un t > s, entonces:
¿(diam(U i ))* =¿(diam(U 1 )) ,, .(d¡am(U i ))' ^ - . ¿ ( d i a m í U , ) ) *
(8)
y al tomar ínfimos sobre los recubrimientos:
H;(E)*8 M .H;(E)
(9)
Ahora, tomando límites en 6 -> 0, se puede apreciar que
si H'(E) < oo entonces H'(E) = 0
si H'(E) > 0 entonces H'(E) = oo
(9')
(9")
Por lo tanto, existe un único valor de s tal que si t < s, entonces H'(E) = oo, y si
t > s, entonces H'(E) = 0. Diremos que s es la dimensión de Hausdorff DH de E.
11
Capítulo 2.
Introducción.
Entre las propiedades que posee la medida de Hausdorff, una de las propiedades
más importantes y simples, es su invaríanza al cambio de escala, o también denominada
homotecia, lo cual permite afirmar que aquellos cuerpos cuya medida no sea nula ni
infinita poseen homotesia interna, este concepto también puede ser utilizado de forma
equivalente al de autosemejanza. La propiedad de invaríanza se verifica cuando tomado
un conjunto Ec5R", y dado un ratio "k de cambio de escala positivo, se define la
reducción de E a escala \ como:
XE = {Xx;xeE}
(10)
entonces, al estimar la medida de Hausdorffdei conjunto rescatado esta es:
H,(XE) = A.,.H*(E)
(11)
lo cual es fácilmente demostrable si se tiene en cuenta que 1OÜ 5-recubrimientos de E
permiten formar los 5-recubrimientos rescalados por k, y además:
¿(diamíXUj)' = ^¿(diamdJj)'
(12)
luego tomando ínfimos sobre todos los 6-recubrímientos de E:
HJ,(XE) = X'.H;(E)
(13)
llegándose a (11) cuando se toman límites en 5 —> 0.
H'(XE) = A.*.H,(E)
En la definición de la medida y dimensión de Hausdoríf se han utilizado
recubrimientos formados por conjuntos arbitrarios, sin embargo, pueden ofrecerse
definiciones análogas utilizando recubrimientos formados por conjuntos pertenecientes a
clases más restringidas, llegándose al mismo valor de la dimensión, que es lo que interesa
al aplicar el análisis fractal en la práctica, pero distinto para la medida. Pueden así
utilizarse recubrimientos de boias (ó esferas según el espacio en el que se embeba E), o
intervalos diádicos que permiten crear retículas espaciales sobre E.
12
Capítulo 2.
Introducción.
2.3.
EL MÉTODO DE BOX-COUNTING Y OTROS MÉTODOS
PARA LA EVALUACIÓN DE LA DIMENSIÓN DE HJAUSDORFF.
Teóricamente y en la práctica, a la hora de determinar la dimensión fractal de un
conjunto irregular E, se aplica el concepto de Hausdoríf, cuando se trabajan ccn datos
reales, la experiencia requiere la utilización de técnicas más simples, basadas en la teoría
de la medida de Hausdoríf pero fácilmente computables e ¡mplementables en programas
de ordenador, los que es de esperar es que estas técnicas, que si bien se encuentran
basadas como se ha indicado en la medida de Hausdoríf, ofrezcan un resultado en la
dimensión muy aproximado al que se obtendría de la aplicación directa de la definición.
Una de las técnicas más extendidas para esta finalidad es la denominada de boxcounting. Como su traducción directa indica es una técnica basada en el conteo de
celdas. La idea que hay de fondo en este método está en cómo realizar el recubrimiento
de E, conjunto a dimensionar, que se basa en utilizar una malla superpuesta a E (como
un e-recubrimiento, en el que se obtendría H^(E)) y contar cuántas celdas poseen al
menos un elemento de E. Dado que el tamaño de la celda e con la que se recubre E, en la
teoría se denota como 5, debemos tomar el límite en el que la escala sea nula (e -> 0,
para obtener H*(E)). Cuando el comportamiento es de tipo fractal se verificará que el
número de celdas N(e), de tamaño e, varia con la escala de medida según la expresión:
N(e)£eD
(14)
donde el exponente D es la dimensión fractal de E, y que generalmente es un número real
de valor superior a la dimensión topológica de E. (D > dT). La ley así formulada
corresponde con una evaluación del recubrimiento de E según:
N(e)
N(e).e' = Xe*
(15)
en el que la elección de la dimensión s apropiada verifica que en el límite de e —> 0:
si s > D, entonces N(e).e* -> 0
si s < D, entonces N(e).es -> »
Pero pueden existir ciertas diferencias entre la evaluación así dada del
recubrimiento y la de la dimensión de Hausdoríf. Aunque en ambos casos se estudia una
13
Capítulo 2.
Introducción.
situación crítica de singularidad, en el que se pasa de oo a 0 en la medida, los
recubrimientos utilizados en el método de box-counting son finitos, y además todos los
conjuntos U,, o sea las celdas, aportan el mismo peso de información a la hora de la
evaluación, lo cual no ocurre en HJ(E), en el que cada U, aporta su propio peso, su
diámetro elevado a s:
í'N(e)
\
N(e).e* = inf-j £ e \ 6 = diam(U,); donde {ü,} es el e - recubrimiento finito de E >
(16)
Í
N(e)
I
f
£(diam(U,))"; donde {U,} es el e - recubrimiento finito de E [
(17)
Cuando se trabaja con conjuntos de datos procedentes de medidas reales la
situación es aún más comprometedora. En estos casos se debe de tener en cuenta
aspectos tales como los mencionados (el recubrimiento no es infinito hasta escalas de e
casi nulas), sino que además el conjunto que se está estudiando solamente es fractal
dentro de un determinando rango de escalas, esto proporciona serias dificultades a la
hora de estimar D, ya que los resultados de aplicar (14) no son del todo correctos.
La forma de proceder es la siguiente. Una vez se encuentra discretizado el cuerpo
geométrico en estudio, se tiene una escala mínima de aplicación del box-counting, ya que
para escalas inferiores los resultados que se obtendrían serían falsos y no tendrían
significación física alguna, esta escala mínima enim es el denominado inner-cutoff y
corresponde con la escala física para la cual el cuerpo posee el comportamiento que
vamos a determinar. La escala máxima emKl, ó también denominada ouíer-cutqff, es para
la cual el cuerpo se comporta como una entidad cuya dimensión fractal es la topológica.
Entre ambas escalas es donde se va a aplicar el algoritmo de box-counting. Teóricamente
la idea consiste en, partiendo de una escala elevada se realiza el recubrimiento con una
malla cuadrada de paso e, y se procede a contar el número de celdas que recubren
nuestro cuerpo en estudio N(e) . Se puede refinar esta malla, según un ratio r < 1,
pasando a tener una malla de paso re, y se cuentan de nuevo N(r.e) celdas, así
sucesivamente hasta alcanzar la e ^ La dimensión fractal se calcula como la pendiente
de la recta:
logN(e)ocD.loge
; conee [ e ^ . e ^ J
(18)
14
Capítulo 2.
Introducción.
Este proceso iterativo, que parece sencillo a simple vista y realizable a mano para
pocos N(e), resulta bastante complicado de plasmar en un código, le cual es interesante
cuando se trabaja a escalas pequeñas próximas a e ^ « e ^ , y por lo ianto el conteo
manual de N(e) se hace impracticable. La táctica para el cálculo de la dimensión fractal,
o como se suele también denominar de recubrimiento por el método, y que aquí se ha
desarrollado, consiste en efectuar un seguimiento inverso de la metodología planteada.
Supongamos que E, el conjunto fractal, se encuentra sobre un plano (la técnica es
igualmente aplicable en una ó tres dimensiones) y es una figura cerrada (el caso de que E
sea una nube de puntos es un caso particular de la técnica). Se comienza efectuando un
recubrimiento de E mediante una malla a la escala del inner-cutoff, que define el
investigador. En esta escala, la malla se puede suponer tan fina (por el tamaño de la
discretización) que cada celdilla se puede asociar a un punto que puede estar o no dentro
de E. Evaluaremos cuántas de las celdas-punto se encuentran dentro de E, mediante un
algoritmo de determinación de puntos interiores a una figura cerrada, como por ejemplo
el que determina el número de cortes de un recta trazada desde el punto con la frontera
de E (por ello se han asociado cada celda con su punto central interior). Una vez se han
contado cuántos puntos hay dentro de E se tiene determinado N'íe^). Esta es la
operación más costosa del algoritmo. Pero puede ocurrir que algunas de las celdas que a
esta escala tienen una parte dentro de E, su punto medio no lo esté, por ello se realiza un
paseo sobre todas las celdas del primer mallado comprobando si sin estar su centro
dentro de E, tienen algún punto del contorno de E (ya que E se define como un
perímetro poligonal cerrado), este número de celdas se añade a 1^(8 min) para obtener el
definitivo N í e ^ ) . Ahora hay que llegar hasta e,^. Para ello basta con utilizar un ratio
de desrrefinamiento de la malla de 2, lo que supone que en el paso siguiente al primero
más costoso el tamaño pasa a ser 2.Emin, y se realiza un nuevo conteo. Este paso es
mucho más fácil, ya que basta con encontrar que un punto, el punto central por el cual se
han definido las celdas del primer paso, se encuentra dentro de una celda de tamaño
2 . E m . En este proceso se realiza otro paseo sobre las celdas de este tamaño
comprobando que al menos tienen un punto central dentro de ellas, en el momento que
así ha sido se salta a la siguiente del paseo, ya no hace falta tener en cuenta la forma de E
porque ha quedado almacenada en forma de coordenadas de los centros de las celdas que
recubren E. Una vez revisadas todas las celdas se duplica el tamaño de la malla y se
repite el proceso, revisándose si una celda tiene al menos un punto central de la celda a la
escala anterior. Así se procede hasta alcanzar una escala de aproximadamente un cuarto
del diámetro máximo de E, el cual se determina mediante un marco que se le aplica a su
alrededor.
15
Capítulo 2.
Introducción.
Como aplicación de esta técnica tomemos por ejemplo una serie de figuras
cerradas, que corresponden con los perímetros topografiados de dos grutas francesas de
la misma formación kárstica que es el macizo de Cap de la Lesse (de ahí la posible
semejanza de dimensiones íractales de recubrimiento), a las que se les ha aplicado el
algoritmo anterior.
Cavidad**:
— • — Salan Hak D-174
— * — dataria da la Rotonda D-17I
- O — Gruta da NiauxD-r*»
Cp
8
J
-3
-2.5
i
I
l
LÍJ
-1.5 -1
log1/e
-2
l
-0.5
0
0.5
Figura 4. Ejemplo de aplicación del programa DFP sobre la gruta de Niaux.
Cavidad*»:
—O— LombrtVM D-1*«
— • — Sabart D"174
— £ — Pta. C«S4jgno D"1"»7
—W— EmprainfM 0-1V1
4 ^ca
?
3 2 i
-3
I
-2.5
i
j
-2
L
-1.5 -1
loglfe
j
í
-0.5
i
1
0
i.
0.5
Figura 5. Ejemplo de aplicación del programa DFP sobre el resto de grutas.
16
Capítulo 2.
Introducción.
El algoritmo puede verse plasmado en un código (programado en FORTRAN 77)
en el anexo A-E Programa de análisis geométrico fractal DFP. La subrrutina DIMASS es
la que permite realizar el cálculo.
Cuando E se compone de nubes de puntos en el espacio la técnica aplicada es
exactamente igual a la anterior, pero con la diferencia de que el primer paso de
determinación de si el centro de una celda esta dentro de E no se realiza. En cada paso
de la iteración, para cada escala e, se cuentan cuántas celdas poseen al menos un punto
de E y se almacena su centro geométrico, que se utilizará en la siguiente iteración. La
subrrutina BOXCOUNT, del programa DFP, que se encuentra también en el anexo A-E,
permite calcular la dimensión de recubrimiento de nubes de puntos.
Esta técnica puede ser utilizada en la determinación de la denominada dimensión
fractal de información, solamente asociando a cada celda un peso que corresponderá con
la probabilidad p, de que un punto de E se encuentre en su interior:
N(e)
D.=lim-^
"*
lojk e
(19)
Esta dimensión mide cuántos bits de información son necesarios para especificar
un punto del fractal con cierta precisión e. Se basa en la teoría de la información de
Shanon en la que el promedio de información necesaria para especificar una celda en
particular que posea un punto es:
N(e)
I(e) = -Ép i .log 2 p 1
(20)
1=1
La definición de la dimensión de Hausdorff que se ha dado mediante las
ecuaciones (9), (9') y (9"), requiere que la dimensión de los conjuntos que constituyen el
recubrimiento de E, y por lo tanto la escala del análisis, tienda a hacerse nula. Pero en
general los sistemas físicos poseen una longitud mínima característica como puede ser la
que poseen sus partículas constituyentes, átomos, moléculas, células, etc., que se
corresponderían con una escala menor que el inner-cutoff definido anteriormente.
17
Capítulo 2.
Introducción.
Muchos de éstos sistemas (coloides, agregados moleculares, celulares,
precipitados redes de percolación, electrodepósiciones, elementos de crecimiento por
agregación o por digitación viscosa, etc.) poseen una característica en la distribución de
su densidad, y ésta es que cuando corresponden con estructurasfractales,su densidad
disminuye a medida que aumenta el volumen de estudio. Entendiendo corno volumen de
estudio aquel, generalmente esférico, que se encuentra centrado en el germen de
crecimiento central, y que posee un radio r. Es habitual estudiar cómo varía la densidad
media del agregado a medida que aumenta este volumen. Para ello si se fija el centro del
agregado en el germen, y se constata la masa M(r) que hay en el interior de la esfera de
radio r, se puede ver cómo para diversos cuerpos su densidad p(r) varía como:
p(r)ocrDd«
(21)
cuando el cuerpo en estudio se encuentra en un espacio euclideo dE-dimensional. En
base a esta expresión se puede decir que la masa M(r) del fractal contenida en el interior
de una bola de radio r centrada en el fractal, varía como:
M(r) x rD
(22)
donde el exponente D se denomina aquí dimensión fractal de agregación ó de masa.
Obsérvese que en base a este razonamiento es posible concebir a los agregados o a los
cuerpos físicos estudiados como estructuras que poseen una masa que es proporcional al
volumen D-dimensional de las esferas que lo contienen.
En la práctica se definen igualmente dos escalas, una inferior dada por r^,, que
puede ser dada por el investigador en base al conocimiento de la física del cuerpo a
analizar, según sea el tamaño de las partículas o del menor agregado posible, ó incluso
dependiendo de la calidad de la discretización (ó según la digitalización) y otra superior
notada como r^,, que puede ser el radio máximo del fractal. El proceso es sencillo,
basta con elegir un punto en el fractal o en su entorno, trazar una esfera de radio r, y
determinar la masa M(r) que hay en su interior (como número de partículas, pixels,
celdas que ocupa el fractal). Esto se realiza para diferentes r hasta alcanzar el ^ . La
determinación de la dimensión de agregación se realiza mediante un ajuste en la zona
donde M(r) posee un comportamiento del tipo especificado en (20), esto es, es posible
un ajuste lineal en la recta:
logM(r)xD.logr
(23)
18
Capítulo 2.
Introducción.
Esta técnica ha sido implementada en el programa DFP, que se encuentra
desarrollado en el anexo A-E, en concreto en la subrrutina DEVLASS. Como ejemplo de
aplicación se expone el resultado de calcular la dimensión de agregación sobre una
estructura que constituye una red de percolación, supuesta ésta que ha sido generada
como un proceso de crecimiento, sobre una superficie fracturada, mediante la adición
sucesiva de huecos (aire) por donde fluye el agua. Este ejemplo corresponde a una
muestra obtenida en El Cabril por el equipo del D.M.A.M.I. de la E.T.S.I. de Minas de
Madrid.
A parte de la estimación numérica de la variación de M(r), se ha obtenido la función de
lacunandad L(r). Esta función permite estimar la invaríanza por traslación sobre el fractal
de la función de masa M(r), ya que éste puede presentar huecos considerables en su
distribución espacial. Por lo tanto los valores de la lacunandad dan una idea de, en
función de lasfluctuacionesde M(r) alrededor de rD, cuales son las desviaciones de ésta
ley:
((M(r) 2 )-(M(r)) 2 )
L(r) =
(M(r)>
(24)
Como se pueden observar en los resultados, la varíanza de M(r), como cuadrado
de L(r) (que es una desviación estandard) disminuye a media que aumenta la distancia r,
lo que permite presuponer que el fractal se hace más homogéneo a medida que aumenta
r. Puede ocurrir que diferentes conjuntos fractales posean la misma dimensión fractal,
19
Capitulo 2.
Introducción.
pero la distribución de masa puede tener huecos, variaciones de textura, que la ley de
M(r) no sea capaz de recoger. Para su determinación se aplica la ecuación (21), mediante
el cálculo sucesivo para diferentes r, de la función M(r) sobre diferentes puntos de las
proximidades del fractal. El resultado ofrece una dimensión fractal de 1'95, lo cual afirma
la densidad de ocupación espacial de la red de percolación.
Existen otras técnicas, que también se encuentran implementadas en DFP (anexo
A-E), que, basándose en el mismo tipo de comportamiento en forma de ley potencial
(también llamada ley de distribución fractal), calculan otras magnitudes. Son técnicas
aplicables a casos concretos defractalescomo distribuciones espaciales de puntos, en los
que se calcula la dimensión de correlación D OT „ en base a la integral de correlación,
cuyos fundamentos se exponen en el capítulo ó. Otras técnicas como la denominada de
compass-counting se utiliza para determinar la dimensión fractal de perfiles lineales
autosemejantes, etc. De las relaciones más importantes que existen entre las dimensiones
fractales calculadas sobre cuerpos geométricos hay que destacar aquella que se basa en la
definición de la desigualdad:
D^^D.^D
(25)
Relación que permite establecer una serie de cotas entre las dimensiones
calculadas.
20
Capítulo 2.
Introducción.
Todas las técnicas que han sido descritas hasta aquí son aplicables a los fractales
denominados autosemejantes. Estos fractales son aquellos que permiten realizar una
cambio de escala en la misma proporción sobre las direcciones espaciales del espacio
donde se encuentran, manteniéndose las propiedades de distribución al cambio de escala
de la medida de Hausdorff, según la ecuación (11). En cambio existen otros cuerpos, en
los que para que se mantenga dicha invarianza, los ratios de cambios de escala según las
diferentes direcciones del espacio euclídeo que los contiene, son diferentes. Este tipo de
fractales se denominan autoafínes, ya que el ratio de homotecia ya no es de semejanza,
como en los primeros, sino de afinidad. Esta distinción permite crear una primera
clasificación simple de los fractales en autosemejantes y en autoafínes, la cual es muy
importante a la hora de saber qué técnicas se deben de aplicar para determinar su
dimensión fractal. Fundamentalmente las técnicas aplicadas a éste último tipo de fractales
para el cálculo de la dimensión fractal, se basan en sus propiedades correlatorío
espectrales. Algunas de estas técnicas se explican y se aplican sobre fractales reales en
esta Tesis.
Otras clasificaciones
de los fractales se basan en su comportamiento con
respecto a la aleatoriedad, dividiéndolos en deterministicos y en aleatorios.
Determinísticos son aquellos en los que no hay ninguna componente perturbadora en
forma de ruido en su conceptualización, son por ejemplo, los fractales matemáticos tipo,
que aparecen en la bibliografía más simple, como por ejemplo el conjunto de Cantor, la
curva de Peano, la superficie de Koch, etc. En cambio los aleatorios son los que más
frecuentemente podemos encontrar en la naturaleza, ya que nos es muy difícil especifícar
una regla que los genere si no es en el sentido de las distribuciones estadísticas de sus
elementos. De todas formas, no por ser determinístico su estructura es más simple, el
resultado de un fractal determinístico puede ser tan complejo como el de uno aleatorio.
En esta Tesis, al trabajar con casos reales, se tratarán siempre con fractales aleatorios, ya
que es muy difícil encontrar reglas deterministicas que nos permitan entender la
fractalidad que hemos encontrado en la naturaleza.
21
FRACTALES
EN LAS CIENCIAS DE LA TIERRA.
Capítulo 3.
Fractales en las Ciencias de la Tierra.
3.
LA OBSERVACIÓN PE
ESTRUCTURAS FRACTALES EN LA APLICACIÓN DE
LAS CIENCIAS DE LA TIERRA.
Los fractales han cambiado mi concepción sobre las formas y los procesos que se
pueden encontrar en la naturaleza, en especial, sobre aquellos que se encuentran en el
terreno. Desde la concepción de los fractales por Mandelbrot, la Geometría Fractal ha
revolucionado la forma en la que los científicos realizaban su trabajo. Lo cual no es
sorprendente si se estima el número de éstos que han adoptado la Geometría Fractal
como ciencia descriptiva, aplicable a la geología, hidrología, tectónica, hidrogeología,
geología estructural, sísmica, cristalografía, sedimentología, etc. Para ello basta con
apreciar el número de artículos que han aparecido desde 1978 hasta nuestra década. En
física el crecimiento es prácticamente exponencial, y en Ciencias de la Tierra es aún lineal
como se aprecia en lafigura8.
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año
Figura 8. Evolución anual de las publicaciones sobrefractales(según A vnir 1989).
Los problemas fundamentales en la investigación en Ciencias de la Tierra se
encuentra en que los datos obtenidos, a partir de muestreo sobre la superficie del terreno,
en afloramientos, sondeos, calicatas, trincheras, logs, minas o galerías, etc., con los
objetivos de reconstruir la geología de los almacenamientos de petróleo, acuíferos, o
simplemente determinar la distribución espacial de una formación litológica, ya sea con
fines económicos ó de exploración y prospección. No solo la escala espacial, en cuanto a
distribución de formas, es importante en estos estudios, sino que también la temporal
cobra interés desde el punto de vista del análisis de la dinámica de las estructuras del
22
Capítulo 3.
Fractales en las Ciencias de la Tierra.
subsuelo. Dinámica que queda patente al monitorízar las respuestas en el tiempo a
esfuerzos tectónicos, efectos de erosión, procesos de degradación química, disolución y
precipitación, o el efecto de la lluvia y su infiltración sobre la cantidad de agua que mana
de una fuente. La geometría fractal proporciona una herramienta para el estudio de cómo
las distribuciones espaciales y las respuestas temporales, se comportan a diferentes
escalas, en espacio y tiempo respectivamente. De hecho muchas veces es sencillo
observar cómo, por ejemplo, un pliegue en un estrato se encuentra formado a su vez por
pequeños micropliegues, y estos a su vez por otros, comportamiento que se da en un
rango no muy reducido de escalas. Otros ejemplos pueden observarse en las
concreciones de calcita en las paredes de una gruta, en las irregulares superficies
estilolíticas, en los macizos fracturados, etc. En todos ellos se observa que existe un
comportamiento repetitivo, una semejanza estadística en las estructuras que es invariante
a los cambios de escala. Esto es una de las características que permite sugerir que nos
encontramos ante un comportamiento de tipo fractal.
En la naturaleza, los sistemas geológicos son esencialmente heterogéneos, no
existe una porción de roca que sea exactamente igual a otra muy próxima, y la
Geometría Fractal ha servido de ayuda a la hora de poder cuantificar, mediante la
dimensión fractal, por ejemplo, y formular modelos que permitan reproducir el
comportamiento heterogéneo del subsuelo que son más autoconsistentes e intuitivos,
reproduciendo sistemas de gran complejidad mediante la simple repetición de un proceso
no lineal.
Incluso los sistemas que ofrecen sus respuestas, debido a su complejidad son no
lineales, y su descripción determinística solo la consiguen un número reducido de
modelos, en los que se realizan unas hipótesis muy restrictivas en las que se supone que
el sistema se comporta de forma no caótica. Pero si verdaderamente el sistema es
caótico, lo que no quiere decir que sea aleatorio, ¿por qué no se estudia, analiza y se
reproduce como tal?. Ocurre que en muchas de las series temporales medidas en la
naturaleza, un rango de escalas se comporta de manera autosemejante. Un ejemplo muy
burdo pueden ser las variaciones que se producen en la temperatura diaria y la anual,
ambas son un ciclo, con características muy semejantes, a diferencia de la escala a la que
se producen. Medidas en los transitorios autorregulativos de temperatura, presión,
humedad en microclimas que pueden encontrarse, por ejemplo en cavidades kársticas, ó
incluso la lluvia, que se muestra tan aparentemente aleatoria, presentan también un
comportamiento autosemejante que se hace patente al estudiarlas en el dominio
23
Capítulo 3.
Fraciales en las Ciencias de ¡a Tierra.
frecuencial, ya que muestran una zona de ruido estructurado, previo a las frecuencias de
ruido blanco, y que corresponde con un fractal de tipo autoafín.
100
•0
M
40
ll
1
20
•y
0
0
ll 11, L L
(00
1
,j
.1\{ J
1,000
1.H0
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i ,11,
2,000
2.800
días
Figura 10. Ejemplo de la distribución temporal de una serie de lluvias (datos en mm).
Los campos de las Ciencias de la tierra donde se aplican los fractales para su
estudio son muy diversos. A continuación se muestran algunos ejemplos.
^
Hidrología superficial: El objetivo de los estudios se dividen en varios aspectos.
Unos estiman la máxima anchura de los meandros de los antiguos cauces de los ríos,
utilizando solo las profundidades de las paleocorrientes que se miden en una serie de
pozos, se encuentran entonces relaciones que siguen leyes fractales relacionando la
anchura del canal con su profundidad. Igualmente se estudian las relaciones entre el área
de la cuenca de drenaje y la longitud del río al que se le dan los aportes de agua. También
se estudian las relaciones en los órdenes de corriente, según el nivel de aporte al que se
encuentra un afluente, en función de la dimensión del río, y de su organización
jerárquica. Incluso se aplican para determinar la longitud total de cauce de un río.
g|
Percolación: En este campo las posibilidades de aplicación son muy amplias.
Desde las relaciones entre la propiedades microscópicas (tamaños de los poros,
relaciones perímetro-superficie a diversas escalas) de los medios porosos con sus
propiedades a escala macroscópica (conductividad hidráulica, resistividad eléctrica, etc.).
Se investigan las situaciones críticas de percolación, en la que se encuentra el umbral de
percolación próximo a la desconexión total, y cómo influye esta situación en la
dimensión fractal de la red y en los exponentes de las leyes de percolación. Los
resultados y las teorías aquí desarrolladas pueden aplicarse a medios fracturados, medios
kársticos con disolución, transporte de materia en medio poroso, etc.
24
Capítulo 3.
PJ
Pradales en las Ciencias de la Tierra.
Topografía: Los modelos DEM (Digital Elevation Models) suelen suministrarse
de las técnicas fractales para la simulación más detallada de los accidentes topográficos.
Permiten crear incluso nuevos modelos topográficos con modelos de erosión acoplados.
Incluso su estudio permite evaluar de forma más eficiente las determinaciones
dimensionales de superficies, perímetros, etc., cuando se trabaja a distintas escalas
H
Geofísica: Aquí también el ámbito de aplicación es muy diverso. Desde la
utilización para el análisis de los resultados de testificación en logs de pozos y sondeos,
hasta el estudio de los procesos sísmicos, y distribuciones espaciales y temporales de los
terremotos. Se aplican en la creación de modelos de fragmentación de las rocas, tanto en
situaciones de fragmentación natural (por procesos erosivos), como artificial (en
voladuras). En el dominio temporal se aplican en el estudio de señales del tipo 1/fP.
PJ
Análisis de superficies: Su aplicación en el estudio y análisis de superficies de
fractuí ación es interesante, por los resultados que se pueden obtener, desde el punto de
vista de simulación de crecimientos de fracturas bajo esfuerzos, influencia de las
rugosidades, intensidad de las mismas, en comportamientos a la fncción. Se aplican en
modelos de adsorción, en la evaluación de las deposiciones electrolíticas, en la creación
de modelos de rocas porosas, en modelos de texturas. Incluso para la descripción de
tipos de partículas de polvo, de tipo metálico, explosivo, procedente de concentrados,
respirables, etc.
25
Capítulo 3.
R
Fractales en las Ciencias de la Tierra.
Crecimiento de estructuras: El interés fundamental de su aplicación se encuentra
en la ingeniería del petróleo, especialmente en la descripción de modelos que simulen el
movimiento de las masas de petróleo en los medios porosos que lo contienen, la posición
y descripción de la interfases inestables entre agua-petroleo-gas, y las pérdidas de presión
que suponen en la recuperación del almacén. Otros campos de interés se encuentran el
los estudios electroquímicos, para la mejora de los rendimientos en las deposiciones de
metales por electrólisis, en la determinación de los frentes de contaminación en aguas
subterráneas, o por emisiones aéreas, en la simulación de procesos de karstifícación, etc.
26
i;
FRACTALES EN HIDROGEOLOGIA.
\
Capítulo 4.
Análisis fractaly Simulación en hidrogeologla.
4.
ANÁLISIS FRACTAL APLICADO A LA
HIDROLOGÍA SUBTERRÁNEA. INTERPRETACIONES
FÍSICAS. SIMULACIÓN DE GEOFRACTALES EN
HIDROGEOLOGIA.
Habitualmente el trabajo que se realiza en hidrogeología se efectúa sobre
acuíferos que son heterogéneos, anisótropos, de dinámica irregular, en definitiva son
sistemas que espacial y temporalmente se comportan de manera muy compleja.
Podemos encontrar esta situación en medios porosos comunes, formados por
depósitos sedimentarios de areniscas, lentejones de gravas de diversos tamaños, arenas,
limos, materiales detríticos, etc. en la mayoría de los casos, sus parámetros
característicos, en lo que se refiere a aquellos que influyen en el flujo del agua, y como
pueden ser la permeabilidad, la porosidad, el coeficiente de almacenamiento (y que
además se especifican en la ecuación de flujo en medios porosos y en la ley de Darcy),
son magnitudes escalares, y cuya cuantía puede variar en la dirección en la que se estima
presentando cierto carácter anisotrópo, lo cual no presenta ningún problema, ya que es
posible definir un volumen elemental representativo, donde se promedian los valores de
manera aceptable ya que son magnitudes estacionarías. Pero cuando la heterogeneidad
del medio es muy significativa el promediado que se realiza no es válido, no existe una
estacionaríedad en las variaciones con la escala. Es en estos casos donde la Geometría
Fractal puede ayudar a crear un modelo conceptual de la distribución espacial de las
propiedades, siendo usado con éxito en las modelizaciones de almacenamientos
petrolíferos, y en medios donde las diferencias entre los valores de las propiedades en
dos puntos próximos, estando correlacionadas y sin constituir un ruido blanco.
Cuando el medio en el que se trabaja es de tipo fracturado, por ejemplo un medio
cristalino, granítico ó metamórfico, las singularidades que formas las fallas fracturas ó
simplemente los planos de debilidad de la roca, suelen crear una serie de discontinuidades
en el medio que en ciertos casos forman barreras para el agua, pero que en otros, los más
frecuentes, crean vías preferenciales de flujo. En el estudio de este tipo de medios se ha
visto cómo, por ejempio, la permeabilidad es una magnitud tensoríal, y además es
imposible la definición de un volumen elemental representativo VER, debido a que a
27
Capítulo 4.
Análisis /racial y Simulación en hidrogeología.
pequeña escala es muy probable que no entre ninguna fractura en su interior, y si se
aumenta mucho la escala del VER las propiedades no sean representativas del conjunto
regional, porque el VER sea casi de su tamaño. Por otra parte, si se considera cómo se
distribuyen geométricamente en el espacio esta singularidades, puede encontrarse que
forman agrupamientos de propiedades estadísticas semejantes a diferentes escalas, lo cual
demuestra que poseen un comportamiento fractal. En algunos modelos se utiliza este
hecho para la simulación de medios fracturados, mediante la utilización de un punto
característico de la fractura (su centro geométrico), y crear nubes de puntos fractales
sobre las que se apoyan luego las fracturas sintéticas. Estos modelos trabajan con las
dimensiones fractales obtenidas en campo a partir de los centros de las fracturas
cartografiadas, lo cual no quiere decir que la dimensión fractal obtenida en este estudio
sea la del medio fracturado, sino que más bien corresponde con la de la nube de puntos
de soporte (artificial) de las fracturas, que por cierto, puede ser distinta a su vez de la
dimensión fractal de la nube de puntos en tres dimensiones, si se consideran a las
fracturas no como líneas (abstracción matemática) sino como planos en el espacio
(ídem). Si se hace la suposición de que la nube de puntos es autosemejante, por
proyección se puede obtener la dimensión de la nube de puntos en el espacio
tridimensional, sin más que añadir una unidad a la obtenida en el plano (topografía, de
foto líneas, foto aérea, etc.). La verdadera dimensión fractal del medio fracturado, y
supuesto éste obtenido por la intersección de un plano (superficie) con el macizo rocoso,
se calcula mediante, por ejemplo un método de box-counting, en el que la masa dentro
de la celda se cuantifica por la longitud total de las longitudes que haya dentro de cada
celda (longitud total por unidad de área, como medida invariante). De aquí se obtendría
la probabilidad p, útil para el cálculo de la dimensión de información. Pero si se desea
más sencillamente calcular la dimensión de recubrimiento hay que estimar para cada
escala de recubrimiento cuántas celdas poseen al menos una parte de fractura en su
interior. Como se puede ver no basta con estudiar los centros de las fracturas.
El caso hidrogeológicamente hablando más complejo se presenta cuando se
estudian los acuiferos (cársticos. En estos medios es absolutamente imposible la
definición práctica de una permeabilidad, con la consecuente inaplicabilidad de la ley de
Darcy, y en definitiva de definir un REV. Al trabajar en este tipo de acuiferos podemos
darnos cuenta que intervienen los dos anteriores, se acoplan el medio poroso, por su
capacidad de almacenamiento, y de difusión energética más lenta, y el medio fracturado,
pero con unas aperturas que permiten que se den regímenes turbulentos en su interior.
Las geometrías que se observan, cuando son visitables por el hombre, corresponden con
auténticos ríos subterráneos que se entrecruzan en el espacio del macizo calcáreo
28
4.
Análisisfrac.aly Simulación en hidrogeologta.
karstificado. Como es de prever esta estructuración espacial tan compleja va a producir
dinámicas complicadas de describir mediante los modelos clásicos de acuíferos porosos,
estas dinámicas se traducen en que en las surgencias (cársticas los niveles de caudales
obtenidos van a variar de un tipo de estructuras a otras supuestas que tienen el mismo
aporte de infiltración efectiva.. Además hay que mencionar que el macizo kárstico,
cuando se encuentra con agua, posee una estructura espacial evolutiva debido al
constante proceso de disolución-precipitación de carbonatos que se da en su interior.
Ante las situaciones descritas es de esperar que se practique un gran esfuerzo en
el intento de comprender, conceptualizar. "lodelizar y simular, los sistemas acuíferos,
especialmente aquellos más complicados como son los kársticos. Una parte de éste
interés es debido a la fuente de recursos hídricos que suponen las aguas subterráneas, los
posibles daños que pueden darse por su contaminación y el impacto que producen en el
ecosistema en el que se encuentran; pero la otra corresponde fundamentalmente por el
reto científico que supone la descripción detallada de estos fenómenos de la naturaleza.
Para comenzar a estudiar los medios heterogéneos y desarrollar un modelo
conceptual descriptivo, se parte de una serie de datos de campo que provienen de dos
fuentes diferentes principalmente:
Datos Geológicos: que corresponderían con los que nos permiten describir la
variabilidad espacial de las propiedades en estudio y de las litologías en el terreno. El
estudio de los datos de los testigos en sondeos, ensayos de bombeo y su interpretación,
afloramiento a la superficie del subsuelo rocoso, y especialmente todos aquellos estudios
en campo sobre la hidrología, geología, y bibliografía nos pueden aportar datos de
interés. Además de las foto interpretaciones y ios mapas topográficos de los que se
puede obtener una primera visión bidimensional.
Datos temporales: fundamentalmente no van a describir cual es la respuesta del sistema
a una excitación externa, que en el caso de los acuíferos suele estar formada
especialmente por la lluvia. Esta respuesta se recoge en forma de caudales que manan de
fuentes, o bien en aforos, acometidos en los cauces de los ríos, próximos a los
manantiales de ios mismos. Otros datos importantes sobre la distribución hidrodinámica
del flujo en el subsuelo se pueden obtener mediante ensayos de trazadores, que pueden
ser útiles para reconocer efectos de canalizaciones en su recorrido por el acuífero.
29
Capítulo 4.
Análisis fractal y Simulación en hidrogeologia.
Normalmente se recaba muchísima información de un acuifero, pero normalmente
la información de la que se dispone es muy pobre comparada con la complejidad del
acuifero para describir su dinámica y especialmente cuando son acuíferos (cársticos
Veremos a continuación cómo podemos abordar el reto, y dónde ésta Tesis aporta sus
resultados.
Se puede comenzar a trabajar en la línea tal y como han sido expuestos los tres
tipos de acuíferos. Comenzando por los medios porosos sin singularidades, la necesidad
esta en encontrar una manera para describir la heterogeneidad, y en concreto de la
permeabilidad, aunque en la Tesis también ha sido aplicada la metodología que
brevemente se expone aquí, a otros datos espacialmente distribuidos (superficies,
aperturas, etc.). Primero es necesario aplicar una análisis a los datos que nos determinen
los parámetros necesarios para la simulación fractal del campo, uno de éstos parámetros
es la dimensión fractal, otros las escalas inner-cutoff y outer-cutoff, direcciones de
anisotropía, y momentos de la variable espacial (ó variable regional). El análisis que aquí
se aplica es de tipo correlatorio-espectral bidimensional que permite calcular (utilizando
el programa CPBLOG2 del anexo A-J) las dimensiones fractales procedentes del
espectro, y del variograma, y los rangos de escalas de validez del comportamiento. Una
vez realizado el análisis se pueden utilizar técnicas del tipo de desplazamiento de puntos
medios, espectrales ó las denominadas POCS (Projection Onto Convex Sets) para su
simulación, esta última de reciente aparición. Por ejemplo, la proyección para mantener
las restricciones espectrales consiste en tomar la transformada de Fourier de los datos,
redeñnir la amplitud de la trasformada en los puntos donde exceda de un valor
determinado, pero sin alterar su fase, y transformando inversamente al dominio espacial.
La proyección de un conjunto E consiste en renormalizar la energía de la función hasta
uno determinado si es excedido. En esta tesis se describen las técnicas de midpoint,
corregidas de las que se pueden encontrar en la bibliografía de Barnsley, debido a
problemas que aparecían en las interpolaciones y cálculo de los valores en las fronteras
del dominio; y las espectrales, de amplio interés por su utilidad cuando se pretenden
simular medios anisótropos. Igualmente se dan una serie de directrices a seguir cuando
se analizan los datos de campo para construir el modelo conceptual fractal, qué datos se
debes de tomar y cuales descartar, igualmente sugiriéndolas en sentidos diferentes a los
que se encuentran en la bibliografía clásica de análisis de campos aleatorios
bidimensionales.
Al tratar con medios fracturados, ya se ha especificado cómo debe de calcularse
su dimensión fractal. El interés de estos medios se encuentra, no en la posibles reservas
30
de agua que pueden constituir, sino en su capacidad como barrera geológica de un
almacenamiento de residuos tóxicos en su seno. Obviamente en el momento que se de un
número suficiente de fracturas, con sus orientaciones y buzamientos, estas formarán una
red de percolación, que puede ser conexa o no, siendo el primer caso el más
desfavorable, pero el de mayor interés para su estudio, ya que posibilitará la migración a
través de la barrera de los compuestos tóxicos, hacia el exterior o biosfera La
modelización de estos medios es una tarea que se realiza en tres etapas, siempre en base
a los datos de campañas de campo La primera consiste en establecer los puntos de
soporte de las fracturas, supuestas estas como planos finitos ó infinitos ó discos en el
espacio. Habitualmente las técnicas de simulación de puntos en el espacio seguían
procesos de puntos de Poisson, ó de Gibss, aquí se propone una técnica de distribución
de puntos que funciona con los parámetros de dimensión fractal medida en campo sobre
las nubes de puntos. Se dan dos técnicas, dependiendo de cómo ha sido medida la
dimensión fractal, si con box-counting, o por agregación. Estas permiten simular nubes
de puntos creando agregados, o con una distribución pseudo homogénea, pero siempre
fractal en el sentido de la ley aplicada.
Y finalmente los medios kársticos, donde se acoplan ambos medios hay que
utilizar todas las técnicas disponibles, además de las que se describen para el estudio y
análisis de las series temporales que nos proporcionan estos medios. £1 análisis espacial
en este tipo de medios resulta un problema ya que no siempre son accesibles al hombre y,
cuando lo son, pocas veces se dispone de una topografía de calidad, que pueda servir
para aplicar los algoritmos de análisis fractal espacial. Para la comparación de este tipo
de acuíferos se han escogido cuatro casos tipo que el Laboratorio Subterráneo de Moulis
del C.N.R.S. había ya estudiado y clasificado según sus propiedades de respuesta unitaria
de los caudales a la lluvia, por su tiempo de respuesta y por su frecuencia de corte,
donde no se puede encontrar en el dominio frecuencia! más información sobre
periodicidad. De esta manera se consiguió una primera clasificación de los sistemas
kársticos de los muy poco karstificados (como el caso que se tratará de Aliou) hasta los
que se comportan como verdaderos medios porosos por su alto índice de karstificación
(que es el caso del Torca!) Utilizando sus series temporales se ha aplicado un análisis
fractal definiéndose la metodología para ello, en base al variograma y al espectro,
recogiendo los rangos de tiempo y frecuencias donde el comportamiento es fractal.
Además se han aplicado las técnicas descritas por Hurst de rango rescalado y la descritas
por Grassberger para la reconstrucción de atractores en ai espacio de fases, esta última
de gran interés porque permite determinar parámetros como la entropía del sistema que
son muy útiles a la hora de realizar predicciones y estudiar la caoticidad del sistema. Una
4.
Análisis fractal y Simulación en hidrogeologla.
vez visto que se da un comportamiento fractal en la jerarquización espacial del karst y en
su respuesta dinámica, ¿no sería posible relacionar ambos resultados?. El interés de esta
pregunta se encuentra en que en base a la firma que el acuífero deja en su respuesta, ya
que funciona como un filtro de la señal lluvia, pudiera ser posible inferir datos
cuantificables sobre su distribución espacial de forma estadística, y creo que una forma
de cuantificar esto es mediante la Geometría Fractal, y mediante la dimensión fractal, ó
mediante el espectro multifractal.
Si el resultado fuese afirmativo, estaríamos en disposición de ser capaces de
simular una estructura espacial, utilizando como dato únicamente la respuesta que da
(caudal en los acuíferos) a un impulso (la lluvia).
32
FRACTALES AUTOSEMEJANTES.
Capítulo S.
5.
Fractales
autosemejantes
FRACTALES AUTOSEMEJANTES.
En los apartados que se exponen a continuación se presentan una serie de
técnicas para la generación de nubes de puntos autosemejantes. La utilización de cada
una en la práctica dependerá de cuál ha sido el tipo de análisis practicado a los datos de
campo para determinar la dimensión fractal. Amba técnicas se basan en la ley de
distribución fractal, teniendo en cuenta la teoría de la media de Hausdorff ó cuando se
traten de distribuciones más homogéneas, se tendrá en cuenta la de distribución de masa
radial.
5.1.
GENERACIÓN Y ANÁLISIS DE PROCESOS DE PUNTOS CON
DISTRIBUCIÓN FRACTAL.
Dentro de un dominio E en un espacio Euclídeo d F dimensional, la generación de
distribuciones espaciales de puntos con carácter fractal pueden basarse en las leyes tipo
potencia (o leyes fractales de distribución) que son caracterizadas según la dimensión
fractal D. En el caso de valores de D únicos, esto es, para fractales homogéneos y sin
singularidades (no para los multifractales) estas leyes son, simplificando [FEDE-88],
[FALC-90], [GUZM-93], fundamentalmente dos:
O Según el número de estructuras encontradas al realizar un recubrimiento finito
del conjunto fractal F mediante conjuntos cerrados y acotados U¡, tales que el
diam (U¡) = e¡, y verificándose que entre ellos son disjuntos:
riUi=0
(26)
se puede decir pues que, dado el conjunto fractal de puntos F c E, y tal que x e F ,
entonces:
card|u¡/x eUi;f|U¡ = 0;diam(U¡) = E¡ i ocerD
(27)
33
Capítulo 5.
/•"raciales aulosemej antes.
0 Según la masa encontrada en el interior de una bola B(x,r) centrada en x e E
del fractal F, tal que B(x, r) c E es de radio r, entonces se verifica que:
cardfxj/Xj eBfx.O.Xj eF;x eEcW d E }oc
n
r
(28)
En ambas definiciones, el valor del exponente D se espera, y así ocurre en los
casos mas sencillos y cotidianamente analizados, que tienda hacia el valor de la
dimensión de Hausdorff D H [FALCO-90], Esto no ocurre así cuando el fractal
considerado posee ciertas singularidades, dentro de determinados rangos de escalas; esto
es, cuando el conjunto en estudio posee un comportamiento multifractal [PALA-87],
[JENS-87], [FEDE-88]. También ocurre que este valor de D así calculado no suele
coincidir con el que realmente posee F; por ejemplo, cuando F no es autosemejante
(véanse las aproximaciones de [HUBE-92]), o bien cuando la nube de puntos F
corresponde con un atractor extraño procedente de un sistema dinámico (como se
expone en [GRAS-81], [GREE-82], [GRAS-83a], [GRAS-83b], [GRAS-83c], por
ejemplo). Computacionalmente, el valor de D difiere (como se explica en [GRAS-85b] y
en [PEIT-92]), para ambos casos, ligeramente del valor obtenido con el de la aplicación
estricta de la definición de Hausdorff y, especialmente, en aquellos casos concretos, y
generalmente teóricos, en los que se conoce D H . Incluso, la definición dada en la
proposición enunciada en O se aproxima más a la definición dada para D H . El valor de
D que regula la densidad de puntos en el espacio debe de variar entre la dimensión
topológica del cuerpo que se está generando, en este caso 0 ya que es un punto, y la
dimensión euclídea del dominio E donde se soporta la simulación de F, que es dE.
La idea que aquí se va a desarrollar sobre la descripción del proceso de puntos
para la generación de los puntos con una distribución espacial fractal, ya sea formando
clusters, o distribuciones más uniformemente repartidas en E, surge de la interpretación
de las proposiciones anteriormente enunciadas en O y O, digamos que en un sentido
inverso al que se suele utilizar (estimación de D). Esto es, suponer conocido el valor de
D (en su defecto al de D H que se desea simular), así como el número de puntos a
posicionar en F, embebido en E, del que se debe de conocer su dE. El hecho de que el
número de puntos que definen F sea finito no presenta un inconveniente práctico como
se verá, ya que, para que F sea un fractal estrictamente, este número debe de ser infinito,
consiguiéndose que se verifiquen O y © en el límite de e -> 0, o bien cuando r —> QO,
respectivamente, la acotación del rango de escalas permite la generación finita de puntos.
A partir de esta idea se han desarrollado dos técnicas fundamentales, cada una
34
Capítulo 5.
Fractales
autosemejantes.
correspondiente a lo indicado en O y en O denominadas box (para la O) y radial (para
la O).
Existen otras técnicas, como las que se presentan en [STOY-94] y en [DERS92], que funcionan a partir de la sucesión en el espacio de puntos que son coordenadas
de un movimiento browniano fraccionario, denominadas vuelos de Levy, y que será
expuesta brevemente alguna de ellas, en sus fundamentos al final del capítulo, como
otros generadores.
Las dos técnicas anteriormente mencionadas que se han puesto a punto, se
subdividen a su vez en otras dos que se diferencian en los pasos seguidos para la
generación de las posiciones de los puntos:
{
box jerárquico
J
H
bux aleatorio
[radial unitario
RADIAL {
[ radial equidistante
y que, dependiendo de los resultados deseados y de los datos de partida, se deberá
escoger una u otra. Clásicamente, los fractales se han modelizado como conjuntos que
pueden ser generados según técnicas iterativas (p.e. en [BARN-88] ó en [PEIT-86]), de
tal forma que lo que se va haciendo es definir el valor de cierta propiedad en una
posición del espacio a una escala mayor o menor que la que se tomó en el paso anterior
del proceso de cálculo, en función de la dimensión fractal D y de la escala en la que se
esta definiendo la propiedad para cada nueva iteración.
Al tratarse de la generación de un fractal finito, se trabaja dentro de un intervalo
acotado de escalas, definiéndose el proceso a partir de una escala máxima emax hasta una
escala mínima e min . Por tratarse de las situación más común, en la práctica se va a
trabajar en dominios de simulación uní, bi y tridimensionales, simplificados a una
estructura cúbica, pero para ilustrar los generadores aquí propuestos supondremos la
situación de trabajo en 9?2, y E es un cuadrado de tamaño L de lado. Esta suposición no
impide que para algunos de los generadores aquí presentados no pueda extenderse su
aplicación sobre dominios de frontera irregular. Este aspecto ha sido contemplado en el
código de ordenador PUNFRAC en el que implementa estas técnicas y se presenta en el
Anexo A-D.
35
Capítulo 5.
Fractales autosemejanles.
5.1.1 .TÉCNICA DE SIMULACIÓN BOX.
Basándonos en la expresión clásica del comportamiento al cambio de escala e,
para los conjuntos fractales, descrita ampliamente en la bibliografía (pe. [MAND-67],
[MAND-82a], [TAKA-90]), y en la teoría aqui expuesta (también en O), se verifica que:
N(e)oce D
(29)
esto es, para cada escala de medida e el recubrimiento óptimo de F esta formado por un
número de N(e) conjuntos U¡. Entonces, si para una escala determinada emin se debe de
tener un cardinal de ^e^),
y suponiéndose a su vez que esta escala es tan pequeña, o
lo suficientemente pequeña como para que lo- conjuntos que constituyen el
recubrimiento {U,} finito se asemejen al centro geométrico del mismo, a la escala global
de la simulación (diam (E)), entonces se puede aproximar Nie^) al número de puntos
que se quieren generar. Un razonamiento más preciso permite suponer que a la escala
e
min » en la que se estaría calculando la dimensión fractal, al suponerse F como un
conjunto finito numerable de puntos, cada U¡ poseería un solo x e F, con lo que cuando
al seguir calculando con un e < e^,, al tender hacia el límite, entonces:
V e - > 0 , N(e) = N(eira,) = NPscard{F}
(30)
Es obvio que, si E es un cuadrado, cuando e coincida con la longitud del lado
EIMX= L, se tendrá que el recubrimiento perfecto de F se efectúa con un número de N(L)
= 1. Si se generaliza esta idea para dominios E irregulares cualesquiera, ocurrirá que
cuando emtx= diam (E), lo cual es así siempre y cuando F c E, también se tiene que
N(L) = 1. Luego es de esperar que un solo U recubra F y por lo tanto N(emvi) = 1:
|diam(U i ) = diam(E) = e m „ o N ( e m a x ) = l
[diamíUj) = Einin
« N( emm ) = card(F) = NP
Figura 11. Definición de las escaías del soporte del fractal.
36
Capítulo 5.
Fractales autoseme•jantes.
Estos dos resultados, para cuando F es finito, pueden ser utilizados para estimar
los parámetros necesarios para realizar la simulación, según la forma de proceder que se
escoja {jerárquica o aleatoria)
Generador box -jerárquico.
Si en la técnica de cálculo de la dimensión fractal denominada box-counting se
procedía mediante la realización de sucesivos recubrimientos con diferentes e,
tendiéndose en el límite a utilizar diámetros de conjuntos recubridores cada vez más
pequeños, o lo que es lo mismo hacer que e -> 0. Al trabajar de forma discreta, en cada
paso, se va tomando una escala cada vez menor, siempre tendiendo hacia el límite, y
contando cuantos conjuntos del recubrimiento poseen una parte (algún punto) de F. En
la generación estos puntos esto son los que se situarán en el espacio. Si se opera para
cada escala correspondiente, según la ley fractal con la proporcionalidad estricta, se
establece que:
N(e) = 3.c"D
(31)
e-e^-L
(32)
N(e) = N( E m „)=I
(3.1)
3=LD
(34)
con lo que si:
entonces:
y por lo tanto:
y para cada nueva escala, si se toma en el refinamiento cada nueva escala como la mitad
de la anterior:
e1+1 = e , / 2 , con i =1,2,..
(35)
luego, el número de celdas que deben de aparecer con x e F debe de ser:
37
Capítulo 5.
Fractales autosemejantes.
N(e lM ) = LD.s,;?
(36)
Esta cantidad debe de ser, para el primer paso en el que e, = L/2, el número de
celdas que se escogerán de las 2, 4 u 8 disponibles, según se trabaje en una, dos ó tres
dimensiones respectivamente, por lo tanto:
N(e1) = L D .(L/2 , )- D =2 D '
(37)
Está claro que, al menos, una de las celdas originadas en el primer refinamiento
debe de ser escogida ya que de lo contrario no se generará ningún punto en las sucesivas
iteraciones porque no tendrá ningún conjunto que lo recubriese. Igualmente, esto se
tendrá en cuenta siempre y cuando, en cada iteración i, el número de celdas a escoger,
denotado por N(e,), sea menor que una, ya que no puede ser así. Por lo tanto, el número
de celdas a escoger entre las cuatro posibles producidas en el refinamiento para una
iteración (cuando se esta en 2D) y la siguiente es tres, por que una está obligada. Si nos
rijamos, este resultado permite generalizar el proceso iterativo. Así, para cada nueva
generación se deberán tomar tantas celdas nuevas como, primero, tantas como había en
el paso anterior i, y segundo, tantas como resten desde las anteriores hasta las que
determina la cantidad:
Níe,,,) = LD.(L / 2'" )' D = 2D(,<I>
(38)
I
•• +
H
++
Figura 1 "\ Sucesivos refinamientos del dominio cuadrado según cada paso.
Por ejemplo a partir de un D arbitrario, se obtienen las iteraciones siguientes:
paso © (e = L/2): Nel = 1, Ne = 2 => tomar 1 de 3 restantes,
paso ® (e = L/4): Nel = 2, Ne = 5 => tomar 3 de 6 restantes,
paso <3> (c = L/8): Nel =5, Ne= 11 => tomar 6 de 15 restantes.
38
Capítulo S.
Fractales autosemejantes.
Pero se plantea la pregunta de hasta cuándo debemos de seguir iterando.
Lógicamente hasta que lleguemos a haber generado el número de puntos NP deseado.
Esto ocurre al llegar, en la dirección de generación (indicada por la flecha en el gráfico
bilogarítmico) a una escala mínima que según:
N(e)=3.e" D
(39)
corta en Níe,^) - NP en esta escala mínima, como se ve en la figura 13. Por lo tanto, se
puede calcular ésta como:
(40)
N(e ) = 3.e"
NP
"
muí '
v
•*"n
Log N(e) L
LogNP
X
Log emin
Loge
Figura 13. Determinación gráfica de la escala mínima de cálculo en el algoritmo.
y despejando:
e imi ,=10
/D
=10
(41)
ral
escala que se obtiene en un número de iteraciones ni, al verificase:
e m „ / 2 n I > e min
flux
(42)
ral
donde, sustituyendo los valores correspondientes
loge,™ + log
NP
S
nl<
V rax
log2
(43)
39
Capítulo 5.
Fractales autosemejantcs.
En la práctica, se realizará el proceso iterativo de refinamientos sucesivos del
dominio cuadrado:
NP
loge^+log
e
V m«
log2
(44)
+1
veces, hasta que, en la última iteración, se impondrá que:
(45)
N(6min) = N(enun
) = NP
min '
real
105
N(e)
Puntos generados
—©— 100
— « — 300
10*
max
I
I I I Mili
^n
1,111111
10°
Figura 14. Efecto del aumento del número de puntos,
para una misma dimensión fractal.
debido a que normalmente ocurrirá que:
N(e n u x /2 n , )^N(e mmuí
m )¡
(46)
real
De esta forma, al imponer esta condición en la última iteración nos desviamos
ligeramente de la trayectoria de la curva teórica que da la ley general fractal, como se ve
en la gráfica adjunta, y que debe de seguir N(e). Es fácilmente apreciable cómo para un
mismo número de puntos para generar, a medida que aumenta la dimensión fractal D
utilizada en la generación, el valor del refinamiento, o lo que es lo mismo, el número de
iteraciones necesarias, son mucho mayores.
40
Capítulo 5.
Fraclales
autosemejantes.
Un aspecto a destacar y que, desde el punto de vista de la velocidad de proceso
de la generación y de los resultados obtenidos, puede ser importante, es cómo se van
eligiendo las celdas dentro de cada iteración. Se ha visto cómo en cada nuevo paso hay
que coger en un principio tantas celdas como se hubiera hecho el paso anterior, de tal
forma que haya una celda al menos dentro de cada celda que se ha refinado. En el
ejemplo bidimensional que se muestra a continuación el número de celdas a tomar es de
3 pero como una es obligada (aquí la identificada como 2), solo se dejarán dos para el
segundo paso en la misma iteración (aquí se han tomado las que son identificadas como
la 3 y la 4).
La elección de la celda se realiza mediante el muestreo de una variable uniforme
U, entre 0.5 y 4.5, de forma tal que cada intervalo de longitud 1 es equiprobable con
todos los demás. Entonces se toma el entero más próximo al número obtenido de u,
como se aprecia en el esquema gráfico adjunto, que determina el identificador de la celda
escogida.
u
0*5
^
f-
i;o
i'5
2'0 I 2'f
3.'0
3'5
4'0
4'5
u
Figura 16. Determinación de las celdas que se escogen para un caso hidimensional.
Luego, para el caso de estar en 9?2, se tienen 4 celdas, para cada celda del paso
anterior, entre las que elegir; así, para el ejemplo del esquema, en el que el u = 2'236, la
celda tomada será la numerada por 2, que se representa, por convenio establecido de
41
Capítulo 5.
Fractales autos» mejantes.
numeración de izquierda a derecha y de abajo a arriba, por la esquina inferior izquierda (i
= 2,j=l).
N*IW
N
Nft.CS
'
1
• • •
«mm>-NP
;
1
^—
1
H
h
¡-
-,
Figura 17. Sucesivas iteraciones selecciónrefinamiento.
El proceso es análogo tanto para los casos sobre 9?', como para los de 9? \ en
estos casos se tendrá que desarrollar el muestreo con U[0'5,2'5] ó UfO'5,8'5],
respectivamente, al tener que elegir entre 2 u 8 celdas. Una vez elegidas las celdas
obligatorias, cada vez que se elige una nueva de las restantes se mantiene la probabilidad
de l/n° de celdas disponibles (2, 4 u 8), para que el proceso de elección de celdas siga
siendo equiprobable, aunque si vuelve a salir la celda elegida previamente esta se
descarta, no se tiene en cuenta, y se busca entre las otras candidatas. Así las cosas, cada
celda elegida será igualmente dividida en 2, 4 u 8 celdas nuevas (según sea n = 1, 2, 3), a
las que se aplicará este proceso iterativo sucesivamente.
Parafinalizarel proceso, la localización de los puntos generados se realiza sobre
el centro de la celda, tomando la coordenada de su punto de referencia, la esquina
inferior izquierda, y se le suma un desplazamiento de e^ /2 a cada componente
coordenada. Los puntos así generados se escriben en unficheroASCII, para su posterior
representación gráfica, como se verá en los ejemplos que se se muestran en los apartados
5.1.4y 5.1.5.
Generador box - aleatorio.
En este método generador se va a tomar inicialmente un nivel de refinamiento del
dominio. Posteriormente a este refinamiento se aplica la recurrencia jerárquica con la
reducción de escalas ej+1 =ei 12, habiéndose realizado un número de i = k iteraciones
iniciales. De la malla dE dimensional obtenida en este primer paso se seleccionan N(ek+1)
42
Capítulo S.
Fraclales
autosemejantes.
celdas aleatoriamente, como en lafiguraen ia que se han tomado 12 celdas, después de k
= 3 iteraciones de refino de la malla sobre E
El - alor de la constante 3 es el mismo:
3 = LD
II1
(47)
I21
\o
9'
V
i'
j'
4
6
i
J1
•*-
Figura 18. Paso para la elección aleatoriamente de las primeras celdas.
A partir de este momento se procederá como en el método jerárquico anterior,
refinando al tomar cada una de las (12 en el ejemplo) celdas de la iteración anterior, y
luego tomando las restantes necesarias hasta completar las indicadas por N(e1+1), con i >
k. El número de iteraciones que se realizará en el algoritmo box-jerárquico, después del
box-aleatorio es el que da la expresión siguiente:
NP
•oge^+log
nl =
V e rwx
log2
+ l-k
(48)
Hay que tener cierta precaución a la hora de elegir los datos que se dan al utilizar
este algoritmo, que se trata de una aleatonzación inicial del jerárquico, concretamente
con el número de iteraciones k, y el número de puntos a generar. Si k es bastante bajo, el
efecto de la aleatonzación sobre el resultado del box-jerárquico es poco importante,
produciéndose agregaciones de puntos. En cambio sí k es muy alto, como en cada
iteración ik hasta k el número de posibles puntos generados crece como 2 nik , con lo que
en el momento en que:
NP<2
n.ik
(49)
43
Capítulo 5.
Fractales autosemejantes.
el resultado de puntos obtenidos posee una distribución simple de Poisson, sobre una
malla n dimensional. Por ello, en el código realizado (PUNFRAC) solamente se ha
tomado un k = 2, lo que proporciona un ligero efecto de aleatoriedad y de supresión de
las agrupaciones de puntos con unas escalas próximas a la mitad del diámetro de E.
La elección aleatoria de un número N(e) de celdas para la escala dada por el
número de iteraciones equivalente k, así como su localización obtenida en el proceso
aleatorio, puede suponer una diferencia entre el resultado esperado y el obtenido, cuando
se realice un análisis fractal por box-counting del resultado final producido por este
generador. A medida que se vaya aumentando la escala, a partir de la utilizada aquí, el
valor de N(e) puede resultar dispar del que se debería obtener y por lo tanto falsear la
regresión lineal bilogarítmica obtenida en el análisis. Como consejo práctico, se tomará
como escala máxima al hacer este análisis una escala dada por el doble de la aplicada
para el número de iteraciones k. Esta escala puede designarse como un outer-cutoff. Es
de esperar que la escala mínima de cálculo, tanto para el proceso jerárquico, como para
el aleatorio, sea la dada por el número de iteraciones necesarias para representar el
número de puntos NP que se da como dato, o también.
, logN(U
D=d
E D-Dbox<d
£'
c
-'"•'
A
p
outer cutoff
inner cutofl"
Figura 19. Definición del rango de escalas de comportamiento fractal.
e^L/2"
(50)
Esta escala será el denominado inner-cutoff del cálculo por box-counting, para
determinar la dimensión fractal por recubrimiento.
44
Capítulo 5.
Fractales autosemejantes.
5.1.2.TÉCNICA DE SIMULACIÓN RADIAL.
Cuando en el conjunto en estudio los puntos poseen cierta masa (o puntos con
cierta medida no nula) y se encuentran repartidos en el espacio, el comportamiento
considerado como fractal puede regirse por una ley del tipo potencia (punto © de 5.1),
que como se ha mencionado en la introducción, se rige [HAST-93] por una ecuación del
tipo :
M(r)ocr D
(51)
donde la masa M(r), del conjunto fractal F, contenida dentro de una bola de radio r, varia
en función de la dimensión fractal D (también llamada en este caso dimensión de
agregación). Esta dimensión fractal es la que posee la distribución de masa M(r), para
una corona circular de ancho dr, medida desde una bola de radio r centrada dentro de E.
El incremento de radio dr puede expresarse como un aumento unitario en M(r); o bien
como el aumento producido en la masa M(r) cuando el dr es constante. Estos dos puntos
de vista, según como varia dr, proporcionan las dos técnicas descritas aquí, y
denominadas como unitaria y equidistante, para el proceso espacial de generación de
puntos.
Generador radial-unitario.
Para este generador el incremento dr se calcula de forma iterativa siguiendo una
función que depende del radio inicial r, y de la dimensión fractal D aplicada en la
generación:
r 1 + I =f(r i t D)
Figura 20. Dependencia del radio en el algoritmo radial.
45
Capítulo 5.
Fractales autosemejantes.
de tal forma que el incremento de masa unitaria al aumentar en un dr sea de AM(r) = 1.
De esta forma, la masa contenida dentro de una bola centrada en x e E (donde E se
tomará también como un cubo), y con radio r, se diferencia en una unidad de la que se
obtendría para la misma bola de radio r itl :
r 1 + I >r 1 oM(r 1 + ,)>M(r j ) = M ( r l t l ) - l
(52)
Se debe de calcular el valor de r1+l para que este incremento en M(r) de una
unidad se produzca. Como se puede expresar la proporcionalidad absoluta de M(r) con
respecto a la potencia D de r, con la constante B, (constante siempre y cuando el fractal
no posea lacunaridad, según se ve en los trabajos de ó de [GOUY-92]):
M(r) = B.rD
(53)
luego, el incremento unitario, se produce cuando:
AM(r) = M(r l t I )-M(r,) = l
(54)
B-tó-r, 0 )^
(55)
o lo que es lo mismo:
tomando logaritmos y despejando:
"D4)
D.logr,., =log r,
(56)
por lo tanto, la función que determina r |tl es:
MrMr')l
r 1+l =f(r,,D)=10
(57)
Para desarrollar numéricamente tal sucesión de valores de {r¡} es preciso dar un
valor inicial r, correspondiente a la primera iteración. Para el cálculo de este radio
mínimo se debe tener en cuenta que en su interior, esto es, dentro de la bola B(X, r,), sólo
debe de haber un punto, con lo que su cálculo obliga a que:
M ( r < r 1 ) = l = > M ( r , ) = I = B.r,D
(58)
46
Capítulo 5.
Fractales autosemejantes.
y, al tomar logaritmos, fácilmente se puede despejar:
D.logr, = l o g B '
(59)
Figura 21. Un solo punto en cada nueva corona circular.
y el valor tomado inicial de r, esto es, r, de la serie, es:
r, =10^
D
'
(60)
la posición del punto se calcula a partir de sus coordenadas polares (ó esféricas en 3D),
este cálculo se comentará con más detalle posteriormente en el apartado posterior 5.1.3.
La obtención del valor de la constante B, necesaria para todos estos cálculos, es
fácil de deducir. Cuando se haya alcanzado un radio máximo de cálculo, que pudiera
corresponderse con el diam(E)= r ^ , el número de puntos dentro de esta bola
B(x, r ^ ) , tal que x e E , debe de corresponder con el número de puntos NP que se
desean generar. Con lo que se puede establecer que:
M(rIMX) = NP = B . r l
(61)
El r ^ puede ser fácilmente introducido si partimos de que, por hipótesis, puede
establecerse que:
r^diamíE)
(62)
tal que, para el caso de un dominio E regular sencillo como un segmento, círculo, ó
esfera, su r ^ será R, en los dos últimos dominios ó L/2 en el primero. Si el dominio es
47
CdpítUlO 5.
Fractales autosemejantes.
un cuadrado, o un cubo, el r,^ viene dado por el radio R del círculo, ó esfera,
circunscrito el mismo:
L 4l
2D: cuadrado
in
->
r,^ =
-*
•"„» =
L.VJ
.
3D: cubo
para una figura de lado L.
Pero en el caso de tener una figura poliédrica, con lados cóncavos y convexos, el
valor de su diámetro se establece según:
diam(E) = max{d(x G ,x)/VxedE,x G *CDG(E)}
(63)
siendo E un conjunto homogéneo e isótropo (según la definición de medida sobre el
conjunto, esta debe de ser invariante por traslación, lo cua! implica la ergodicidad del
conjunto y su medida). Vista la determinación de r^, el valor de B puede ser calculado
a partir de:
NP
B=— ~
(64)
Generador radial-equ¡distante.
Como en el caso del generador radial anterior, se va a aplicar igualmente la ley
de distribución de masa fractal, o ley de agregación fractal:
M(r) = B r D
(65)
donde la constante B, para esta distribución ha sido calculada como:
NP
(O
48
Capítulo 5.
Fractales autosemejanles.
a partir del número de puntos NP que se desean simular con una dimensión fractal O. Si
en el generador radial unitario lo que se pietendía era calcular el Ar necesario para que
se de un AM(r) = 1, en este método el objetivo es diferente. Ahora, para un Ar dado por
un número de bolas deseadas NB, o iteraciones para generar los puntos, se tiene que es:
Ar = r - " ~r"""
NB
(67)
Utilizando este Ar, cuál es el AM(r) que debe de aplicarse, y por lo tanto cuántos
puntos deben de generarse en cada iteración, dentro de la corona circular de ancho éste
Ar. Si se toma de nuevo:
r1+, =r,+Ar
(68)
AM(r)=M(r l M )-M(r 1 ) = B.(r1?,-r1D)
(69)
entonces:
la colocación aleatoria de los puntos dentro de esta corona también se hace como en el
generador radial anterior, y se describe después.
Un aspecto que hay que tener en cuenta en la simulación sobre dominios E
hipercúbicos (para el caso general de n dimensiones) se produce cuando el radio de
simulación r,., > L / 2 , pero menor que la mitad del diámetro de E. Esto, por ejemplo,
ocurre cuando se está dentro del rango de L/2 a LV2/2 (en 2D) pudiendo ocurrir que un
punto P generado caiga fuera de E, por tener la corona esférica del soporte de la
simulación un radio mayor igual ó superior a la diagonal de E, como se ve en la figura. El
punto con tal posición será excluido. Esto tiene cierta transcendencia a la hora de
calcular la dimensión fractal del conjunto F generado, ya que los últimos puntos son
dependientes de la forma de E. Además, a medida que r, se acerca a r ^ , el área de E
restante donde colocar los puntos que quedan, se va reduciendo. Por ello, el proceso
iterativo terminará cuando r1+I > L / 2, y habrá un:
ArsU-r
w
=j^"r«
(en2D)
(70)
49
Capítulo S.
Fractales autosemejantes.
Figura 22. Rangosespaciales de validez delalgoritmo radial.
Otro detalle de interés en la aplicación de estos algoritmos radiales, es que se
puede realizar sobre dominios de contomos irregulares, pero en este caso el proceso de
puntos se alarga ya que cada punto P generado debe de ser evaluado en el sentido de
determinar si se encuentra o no dentro de E. En este caso, para cada punto, el algoritmo
evalúa el número de cortes que posee una horizontal, trazada desde el punto P, con el dE
contomo o frontera de E (este proceso ha sido ya expuesto en otro apartado). De esta
manera se evitan las aglomeraciones y agrupaciones en clusteres artificiales de puntos
meramente producidas por un algoritmo deficiente
5.1.3. COLOCACIÓN ALEATORIA DE LOS PUNTOS DENTRO DE LA CORONA.
Como se comentó anteriormente, la situación del punto vendrá dada, en el
interior de la corona circular o esférica donde se generan estos, por sus coordenadas
cartesianas, polares o esféricas, según se trabaje en ID, 2D ó 3D.
Generalizando al caso de 3D, esta posición es:
Espacio de U poiible ubicación de P
Figura 23. Definición de ¡aposición aleatoria de los puntos en la corona.
50
Capitulo 5.
Fractales autosemejantes.
x p = x Q + Ar'. eos 4>. cosG
y p =y G +Ar'.cos<t».senG
(71)
z p = z 0 + Ar'.sen<|)
siendo el Centro De Gravedad de E:
xG=CDG(E)
(72)
y las variables aleatorias:
Ar'=|r,| + Ar.u ;Ar = r 1+1 -r,
<b = 27C. v
9 = 27t.w
que determinan la posición del punto P, dentro de la corona, en función de los valores
que toman las variables aleatorias uniformes u, v, w * U[0,1 ].
5.1.4.QTROS GENERADORES DE PROCESOS DE PUNTOS FRACTALES.
El modelo de generación denominado Leyy-Lee Flighí, fue expuesto en un
principio en los trabajos de [MAND-82] y [MAND-85], y es utilizado en los generadores
de puntos soporte presentados en [DERS-92]. Se trata de un tipo de Random Walk, para
el cual la longitud L recorrida en cada paso se da por la función de distribución de
probabilidad (fractal) de Pareto:
Prob[L > L,] = L, D
(74)
Figura 24. Ejemplo de un vuelo de Levy-Lee bidimensionai
51
Capítulo 5.
Fractales
autosemejantes.
donde D es la dimensión fractal de agregación, ya utilizada anteriormente en el generador
radial, para el conjunto de puntos que forman el fractal F. El valor de L, es la distancia
de un punto a otro, en el paso anterior, de la secuencia de generación. Cuando D = 0 la
distribución de las longitudes en pasos sucesivos es uniforme, luego no existe clusteing o
heterogeneidad apreciable en la distribución de puntos. Cuando D es elevado, la
probabilidad de que se den grandes saltos en el proceso es muy baja, además de
producirse grandes clusters.
La función de distribución de probabilidad fractal (ó también denominada Power
Law Probability Distribution Function), es descrita mediante la utilización de dos
valores, uno es el valor mínimo L,^ de la variable aleatoria L, y otro es el exponente D,
con lo que las funciones de distribución y de densidad de probabilidad son,
respectivamente:
F(L) = 1 - Prob[L > L,] = 1 - L,D
(75)
f(L) = D.Lf(Dtl)
(76)
y, en general, cuando se toma un tamaño mínimo L ^ , estas pueden generalizarse en:
F(L) = 1-
\D
i
(
(77)
V^nun J
y en:
f(L) =
D f
L
V^rnin
V«">
(78)
)
cuando L > L„,„. y D > 0.
Los valores de la media |i L y la desviación estandard o L también pueden
relacionarse con L ^ según las expresiones que figuran a continuación, según los casos
del valor que tenga D:
ML =
D
• L„,,„ ; cuando D > 1
D - l nun '
(79)
52
Capítulo S.
Fraclales autosemejantes.
u L = oo ; cuando 0 < D á 1
''fe)fe):«*'»*
o L = oo ; cuando 0 < D < 2
(80)
(81)
(82)
además, se verifica que, conocidos los parámetros de la distribución espacial de puntos,
descrito como un vuelo de Levy, entonces la distancia mínima media del proceso es:
L
=
—
(83)
y su dimensión fractal:
D =l+
(84)
siempre y cuando D > 2.
5.1.5.EJEMPLOS DE APLICACIÓN DE PUNFRAC.
Como muestra de lo que el código PUNFRAC puede proporcionar, se presentan
a continuación una serie de ejemplos, en los que se representan los ficheros que
corresponden con el fractal F generado, y la curva que se ha utilizado para su cálculo en
función de la escala. Los cuatro algoritmos han sido probados en la generación de 500
puntos sobre un domino cuadrado y cúbico, en dimensión dos y tres, de longitud 1 de
lado. Los ejempics cada algoritmo se ha probado utilizándolo para generar fractales de
dimensión fractal de 0'5,1'O y 1*5 .
Finalmente se presenta una posible aplicación real del programa desarrollado,
para su utilizaciónb como generador de puntos de soporte de fracturas, en la generación
de medios cristalinos fracturados, supuestas las fracturas como planos triangulares, cuyo
punto de apoyo es uno de los vértices.
53
Capítulo 5.
Fractales autosemejantes.
Generador box-jerarquico. Ejemplos con 500 puntos.
Gráfica del proceso de generación
Puntos de soporte generados
10'=-
1.0
0.9
0.8
102
0.7
0.6
*&*
0.5
\
0.4
10'
03
0.2
01
10° <
i i i i i i i i i
0.0
I I I lililí
i i i IIIIII
10 J
10-*
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Figura 25. Generación de 500 puntos según box-jerárquico. Dimensión fractal = 0'5
Puntos de soporte generados
Gráfica del proceso de generación
10'
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Figura 26. Generación de 500 puntos según box-jerárquico. Dimensión fractal = /
Puntos de soporte generados
Granea del proceso de generación
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Figura 27. Generación de 500purtos según box-jerárquico.Dimensiónfractal= l'S
54
Capítulo 5.
Fractales autosemejantes.
Generador box-aleatorio. Ejemplos con 500 puntos.
Puntos de soporte generados
Gráfica del proceso de generación
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Figura 28. Generación de 500 puntos según box-aleatorio. Dimensión fractal ~ O'S
Puntos de soporte generados
Gráfica del proceso de generación
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Figura 29. Generación de 500 puntos según box-aleatorio. Dimensión fractal = /
Puntos de soporte generados
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Gráfica del proceso de generación
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Figura 30. Generación de 500 puntos según box-aleatorio. Dimensión fractal = I'5
55
Capítulo 5.
Fractales autosemejantes.
Generador radial-unitario. Ejemplos con 560 puntos.
Gráfica del proceso de generación
Puntos de soporte generados
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Figura 31. Generación de 500 puntos según radiai-initario. Dimensión fractal = 0'5
Puntos de soporte generados
1.0
Gráfica del proceso de generación
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Figura 32. Generación de 500 puntos según radiai-initario. Dimensión fractal = 1
Puntos de soporte generados
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Gráfica del proceso de generación
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Figura 33. Generación de 500 puntos según radiai-initario. Dimensión fractal = 1'5
56
Capítulo 5.
Fractales autosemejantes.
Generador radial-equidistante. Ejemplos con 500 puntos.
Gráfica del proceso de generación
Puntos de soporte generados
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Figura 34. Generación de 500 puntos según radial-equidistante. Dimensión fractal
O'S
Puntos de soporte generados
Gráfica del proceso de generación
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Figura 35. Generación de 500 puntos según radial-equidistante. Dimensiónfractal= /
Puntos de soporte generados
Gráfica del proceso de generación
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Figura 36. Generación de 500 puntos según radial-equidistante. Dimensión fractal = 1'5
57
Capítulo 5.
Fractales A utosemejantes.
Generador box-jerarquico.
Puntos generados.
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Figura 37. Generación de 500 puntos según box-jerárquico. Dimensión fractal = ¡'5
Generador box-aleatorio.
Puntos generados.
Curva del proceso de generación.
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Figura 38. Generación de 500 puntos según b ox-jerárquico. Dimensión fractal = 1'5
58
Capítulo 5.
Fractnles A utosemejantes.
Generador radial-uniforme.
Puntos generados.
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Figura 39. Generación de 500 puntos según radial-uniforme. Dimensión fractal = I'5
Generador radial-equidistante.
Puntos generados.
Curva del proceso de generación.
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I
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10*
Figura 40. Genración de 500 puntos según radial-equidistante. Dimensión fracial = J'5
59
Capítulo S.
5.1.6.EJEMPLOS DE APLICACIÓN DE
Pradales autosemejantes.
PUNFRAC EN LA SIMULACIÓN DE MEDIOS
GEOLÓGICOS.
Dentro dei campo de la modelización y simulación de medios geológicos
heterogéneos se encuentra un apartado dedicado a la simulación de medios cristalinos
fracturados. La simulación de estos medios suele llevarse a cabo en tres fases distintas.
La primera corresponde con la simulación del proceso de puntos espacial que sirven de
soporte a los planos que equivalen a las fracturas, habitualmente este proceso
corresponde con uno de Poisson de densidad no homogénea. Un segundo paso es
asignar un tamaño, siguiendo una función de distribución dada (analítica conocida u
obtenida a partir de los datos medidos en campo), a los planos que se generan.
Generalmente este tamaño corresponde con el diámetro de la figura plana poliédrica
acotada que define un plano finito. Y finalmente, el último paso corresponde con la
asignación a cada plano o fractura simulada las componentes de dirección y buzamiento,
las cuales suelen regirse por funciones de distribución tridimensionales esféricas analíticas
(siendo las más usuales Fisher, Bingham, Fisher bivariada, etc), definidas sobre la esfera
estereográfica (fFISH-87]), de Wulff.
El interés de los ejemplos que se muestran a continuación, se encuentra
únicamente en que para la simulación de los puntos de soporte se han utilizado los
métodos descritos anteriormente. En el caso de que habiendo tomado los datos de
campo y analizados estos, de la forma como ha sido expuesta en el apartado dedicado al
cálculo de las diferentes dimensiones fractales, y, en definitiva, el análisis fractal aplicado
ha sido positivo, en el sentido de que se puede afirmar, con un cierto grado de certeza, la
distribución de puntos soporte de las fracturas fuera fractal, entonces es preciso utilizar
estos métodos. No se ha tenido especial cuidado en el tipo de distribución de tamaños y
de orientaciones tridimensionales, ya que en las simulaciones los planos finitos se han
supuesto triángulos, en los que un vértice es el punto de apoyo, y los otros dos restantes
siguen una distribución de Poisson en el espacio.
El número de fracturas aquí simuladas es de 40, y como se puede apreciar en las
secciones horizontales que se acompañan a cada una de las simulaciones, se puede ver
cómo las fracturas sintéticas pueden formar las agrupaciones que se observan también en
la naturaleza. Si se incluyesen en estas simulaciones unas funciones de distribución de
tamaños y de direcciones más apropiadas es de esperar que la calidad de los resultados
mejorase aún más.
60
Capítulo 5.
Fractales r>utosemejantes.
Las simulaciones se han efectuado todas con una dimensión fractal de 1'5, lo cual
no es un valor muy elevado, ya que se puede llegar a tener una D = 3; pero que,
comparado con los valores medidos es campos de fracturas reales, esto es para las
distribuciones espaciales de los puntos medios de las fracturas recogidas en los planos de
fotolíneas (por foto-interpretación), o por visualización directa sobre el terreno, es un
valor que relativamente se encuentra dentro de! intervalo de valores para la dimensión
fractal (I'49 - l'Ql) observable en la naturaleza ([KORV-92]). Es importante el efecto de
la dimensión fractal, así como de parámetros como los tamaños de los polígonos y
orientaciones, en la determinación de la densidad de fracturación,como se estudia en
[DERS-92], lo cual afecta en la curva de ruptura o inicio de la percolación (ó
breakthrough percolaíion curve), esto es, en la curva de probabilidad de conexión
espacial entre planos, para producir vías continuas de flujo entre dos puntos.
61
Capítulo 5.
Fractales autosemejantes.
Método box-jerarquico.
Simulación de 40 puntos soporte para los planos de fracturas.
Dlstcibuclon de planoa
1
0.75
"0.5
0.25
Figura 41. Planos generados con soporte box-jerárquico.
62
Capítulo S.
Fractales aulosemejantes.
Secciones Horizontales
cota 0.8
cota 0.6
1
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0.5 - ^ / ° '
2 5
S
°'250.
1
1
cota 0.4
cota 0.2
1
.75
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1
Figura 42. Secciones horizontales a diferentes cotas.
63
Capítulo 5.
Fractales autosemejantes.
Método box-aleatorio.
Simulación de 40 puntos soporte para los planos de fracturas.
Distribución de planos
0.75
0.2S
Figura 43. Planos generados con soporte box-aleatorio.
64
Capítulo S.
Fractales autosemejantes.
Secciones Horizontales
cota 0.8
cota 0.6
° * 5 0 . 7 5 ^u
1
cota 0.4
cota 0.2
Figura 44. Secciones horizontales a diferentes cotas.
65
Capítulo 5.
Fractales auíosemejaníes.
Método radial-uniíario.
Simulación de 40 puntos soporte para los planos de fracturas.
Distribución de planes
0.75
0.25
Figura 45. Planos generados con soporte radial-uniíario.
66
Capítulo 5.
Fractales autosemejantes.
Secciones Horizontales
coca 0.8
cota 0.6
cota 0.4
coto 0.2
Figura 46. Secciones horizontales a diferentes cotas.
61
Capítulo S.
Fractales autosemejantes.
Método radial-equidistante.
Simulación de 40 puntos soporte para los planos de fracturas.
Distribución de planos
i
0.75
Figura 47. Fíanos generados con soporte radial-equidisiante.
68
Capítulo S.
Fractales autosemejaníes.
Secciones Horizontales
cota 0.8
cota 0.6
cota 0.4
cota 0.2
Figura 48. Secciones horizontales a diferentes cotas.
69
!
FRACTALES AUTOAFINES.
Capítulo 6.
6.
6.1
Fraclales autoafines.
FRACTALES AUTOAFINES.
VARIABLES ALEATORIAS EN EL ESPACIO.
6.1.1 .DETERMINACIÓN DE LA ESCALA DE ANÁLISIS. TÉCNICA DE LSM
En este apartado, se describe un método numérico y su implementación que
permite analizar la dependencia, en función de la escala, de la auto afinidad de variables
aleatorias Z multidimensionales, así como el cálculo de una aproximación de la dimensión
fractal (local o clásica de Hausdorff [FALC-90], [GUZM-93] y latente para el caso de
dimensión topológica dT = 1) de la variabilidad de Z.
La medida de la hipersuperficie u(L), y las desviaciones estandard para las
coordenadas escogidas o , para la distribución de la variable aleatoria, y las desviaciones
estandard o z de Z, se miden entre los posibles pares de puntos de la hipersuperficie,
utilizando una unidad de medida fija. La auto afinidad se confirma cuando se testea la
variación de la variable Z y las coordenadas x,, y se verifica que cuando estas siguen una
relación funcional de potencia de la u(L). La elección de las coordenadas cartesianas
implica que, en general, hay auto afinidad cuando se verifica una desigualdad en los
exponentes [MAND-68a].
De esta forma, la auto semejanza es tratada como un caso particular de la auto
afinidad, verificándose el que la dimensión fractal de la hipersuperficie que desarrolla la
variable aleatoria Z es el inverso de uno de los exponentes [MATS-89]
Los algoritmos y resultados que se presentan en los siguientes apartados permiten
establecer un criterio de análisis que es bastante efectivo cuando se desea estudiar las
características del comportamiento ante las variaciones de escala de estudio. Los
algoritmos trabajan con datos que son de uso común en la práctica de la investigación en
las Ciencias de la Tierra, como son las series temporales, las curvas de isovalores, ó
datos espacialmente distribuidos [MATS-91], [KORV-92], [HARD-94]. Mediante la
aplicación de estas técnicas es posible establecer las escalas en las que se producen
70
Capítulo 6.
Fractales autoaflnes.
diferencias en este comportamiento, pasando de auto semejante a auto afín, lo cual
influye en la selección del grupo de técnicas que pueden correctamente aplicadas para
determinar la dimensión fractal del conjunto de datos a analizar.
6.1.1.1. Fundamento teórico.
Partiendo de un caso sencillo, una curva en un espacio bidimensional y = f(x),
como se muestra en la figura, en la que se toma la menor unidad de longitud de escala ó
unidad de muestreo a0, con la que se mide la longitud L de la curva como:
L = N.a„
- * •
(85)
x
Figtira 49. Trayectoria y discretización de la curva.
entre dos puntos arbitrarios A y B sobre la curva. Este procedimiento de medida es
equivalente a pensar en que la curva esta formada por partículas de diámetro a0, a modo
de collar de cuentas, y contar el número de partículas que hay eníre A y B.
Después de este conteo se calculan las varianzas de las coordenadas de todos los
puntos (x¡ ,y,) de la curva, mediante las expresiones clásicas:
°x=--l(x,-x)2
N ¡«i
; oJ=-.f(yi-y)2
N ,=i
(86)
71
Capítulo 6.
Fractales autoafines.
siendo las medias que aparecen las de las coordenadas respectivas:
1
N
_
1
N
x = - . S > , ; y-rr-Iy,
N ,*i
(«7)
N ,*i
Las desviaciones estandard así calculadas dan una idea del tamaño aproximado de
la parte de la curva medida Si se repiten las medidas descritas sobre todos los puntos de
la curva y se dibujan sobre un diagrama bilogarítmico, en función de L = N.a 0 , y se
observa que estos varían según:
o, * Lv- y ay * Lv'
(88)
donde los exponentes vx y vy son, en general, diferente uno de! otro. Entonces, se
puede decir que la curva posee un comportamiento fractaJ, siempre y cuando los
exponentes sean distintos de la unidad [MAND-82a] Es fácil de verificar este
comportamiento en las desviaciones estándar de variables que se comportan con
características fractales, ya que la varíanza posee también un comportamiento del tipo
potencia de la escala. Esta potencia, como se verá a continuación, para dT = 1,
corresponde en el caso de un mBf con dos veces el parámetro de Hurst H Cuando esto
es así, una desviación estandard se encuentra relacionada con la otra mediante la
expresión de
o-y*o,H
(89)
H = v y /v x
(90)
donde el exponente H está dado por:
Este método es directamente aplicable a cualquier curva fractaJ auto afín, y en
este caso la dimensión fractal D viene dada por:
v x * v y = l/D
(91)
Para aquellos fractales que son auto semejantes se obtiene que H = 1, lo que
significa que el exponente de Hurst H no tiene utilidad cuando se discuten fractales auto
semejantes y auto afines dentro del mismo contexto, con lo que en estos casos se aplica:
72
CflpftlllO 6.
Fractales autoafmes
vx = v y = v => D = 1/v
(92)
Extendiéndose este desarrollo a el caso multidimensionai, en un espacio de
coordenadas x, de componentes x,, se puede tomar una hipersuperficie Z(x), de medida
H(L), en función de la unidad L, las desviaciones estandard para las coordenadas
escogidas o x para la distribución de la variable aleatoria, y las desviaciones estandard
o z de Z, se miden entre los posibles pares de puntos x de la hipersuperficie, utilizando
una unidad L de medida fija. La auto afinidad se confirma cuando se testea la variación
de la variable Z y las componentes de las coordenadas x,, y se verifica que cuando estas
siguen una relación funcional de potencia como:
o,*u(L)v*
; oz*u(Lr
(93)
entonces, en general:
vX(*v2
(94)
La elección de las coordenadas cartesianas implica que vx = 1, y cuando hay auto
afinidad vx * v z , desigualdad que se da en al caso general.
De esta forma, la auto semejanza es tratada como un caso particular de la auto
afinidad, verificándose el que la dimensión fractal de la hipersuperficie que desarrolla la
variable aleatoria Z es el inverso de uno de los exponentes:
vx = vy = v => D = 1/v
(95)
6.1.1.2. Casos con dT = 1.
Como primer ejemplo, tomemos un mBf unidimensional Z H (t), discretizada en N
puntos, con un paso de tiempo unitario, con lo que la longitud de esta curva es N. En
este caso se toman las coordenadas x describiendo el tiempo t en que se mide la variable
Z H (t). Estas están equiespaciadas, luego son siempre proporcionales al intervalo de
tiempo correspondiente ó At. Esto es, se verifica que la desviación estandard de éstas dos
variables:
o**N v ' ; O ^ - N ^ »
(96)
73
Capítulo 6.
Fractnles autoafines.
con vt = 1. Además, la desviación estandard de ZH (t) verifica que por las propiedades
del mBf:
o ZH( „*At H
(97)
de lo que se deduce que el exponente H verifica que:
V ZH( „ = H
Se puede confirmar que v, y v z
(l)
(98)
son muy insensibles al cambio de escalas
horizontal o vertical, así como a la unidad de medida a0 escogida, que se utiliza para
calcular la longitud de la curva. De esta forma, se pueden definir dos dimensiones
fractales para estos mBf, una la dimensión fractal local:
DL=2.-H
(99)
D, = l./H
(100)
y la denominada latente:
siendo la dimensión global la que corresponde con la topológica dT = 1.
Si es importante el considerar la variación de los resultados con el número de
datos disponibles, lo cual puede ser determinante para la calidad de las interpretaciones
que se desean hacer a la vista de los datos, es posible que no se tenga un número
suficiente de datos para obtener unos resultados significativos. Se puede ver cómo para
un número no muy alto de datos, en este caso 513 para el mBf sintético, y con un
exponente de Hurst H aplicado en la simulación de 0'5, el valor del H determinado a
partir de la aplicación del análisis fractal mediante LSM, es prácticamente constante a
0'52. También para mayor número de datos es aproximadamente igual. La serie sintética
que se utiliza en este análisis está generada mediante un algoritmo de desplazamiento de
puntos medios (ver por ejemplo [BARN-88] ó en [BORR-94]), aunque también es
posible generarla siguiendo técnicas espectrales [CHRI-92], a partir de la propiedad de
que el espectro del mBf S z ( l ) ( f ) es proporcional a 1 / fp, siendo P = 2. H + d T .
74
CflpítlllO 6.
Fractales autoafines.
Resultados para H = 0'25
n° de datos
H según LSM
129
257
513
0'4183
0'2329
1025
0'2213
4097
0'2865
8193
0'1728
0'3125
Resultados para H = 0'5
n° de datos
H según LSM
129
257
513
0'4750
0*5207
1025
0*5269
4097
0'5324
8193
0'5338
0*5275
Resultados para H = 075
n° de datos
H según LSM
129
257
0*5345
513
07111
1025
07542
4097
0*8421
8193
0*8087
0'8186
"•» " - » - " • ' » - + - • » • »I
t.r»
•Ji
IH
IHI
mu
Figura 50. Resultados para diferentes H
75
Capítulo 6.
Frontales autoafines.
Como ejemplo del tipo de datos a los que se les puede aplicar este análisis se
muestra en la figura una serie temporal, de las que se han utilizado para la confección de
las tablas adjuntas.
Cambiando de dimensión euclídea del soporte del fractal (ahora dE = 2), aunque
manteniendo la dimensión topológica del mismo (con dT = 1), re dirigimos el estudio
hacia las curvas de nivel, ó de isovalores. Se parte de una superficie topográfica a la que
se intersecta con un plano horizontal, esto es, paralelo a la superficie regional, y se aplica
la metodología descrita para una curva general de puntos (x,, y,).
Comportamiento de la variable
Comportamiento gráfico floe-loe)
a
(I) Isótropo - Auto semejante
°
(ii) Isótropo - Auto afín
*
L
" ,
(Hi) Anisótropo - Auto semejante
"" L
" ,
(iv) Anisótropo - Auto afín
*
L
Generalmente, el resultado que se obtiene al aplicarlo a las curvas de nivel es que
pueden ser descritas comofiractalesautosemejantes en un muy amplio rango de escalas,
76
Capítulo 6.
Fractales autoafines.
aunque describan cierta anisotropía, lo que se traduce en una separación entre las rectas
(en ejes bilogarítmicos) paralelas, como se muestra en la tabla adjunta anterior.
Como datos a los que se puede aplicar este tipo de análisis se muestra, en el
ejemplo que aparece a continuación, cómo se aplica a el cálculo de las vananzas sobre las
coordenadas de las curvas obtenidas en el trazado topográfico del perímetro de dos
grutas. Otro tipo de datos pueden ser adquiridos de la curvas de nivel topográficas, de
superficies de fracturación, etc. Como referencia de los datos citaremos que estos
proceden del Laboratoire Souterrain del CNRS (Moulis - Francia), del sistema de cuevas
de Niaur en Ariége (Francia) [SORR-82].
Ejemplo 1: Gruta de Niaux.
1,000
Á
•00
*• «oo
5
40
\
°
200
I
200
400
I
I
600
BO0 1,000
Dirección X
I
I
I
1,200
1,400
1.600
Ejemplo 2: Gruta de Lombrives.
200-
* 3 ¿ 0 •400-200
0
200
400
600
800 1,000 1,200
Dirección X
Figura 52. Ejemplos de datos bidimensionales perimetrales.
11
Capítulo 6.
Pradales
autoafmvs
Quizás el resultado más interesante de esta técnica es cuando se aplica a aquellos
datos cuya dT = 1. Esto es, que cuando se trabaja ton perfiles Pf(x), obtenidas a partir de
secciones que proceden de superficies irregulares. Esta técnica permite el cálculo del
exponente H (a partir de vW(x) = H), como exponente de Hurst (con 0 < H < 1), para la
caracterización del perfil y su análisis fractal (como el cálculo de su dimensiónfractal)
Además, es posible obtener la escala e a partir de la cual dicho perfil puede ser
considerado como auto semejante. Esto es, hay paralelismo entre las curvas de la
desviación estandard del perfil Opf(x)(L), y la recta 1:1 que corresponde con la a L (L).
El interés de esto se encuentra en que a partir de ciertas escalas los métodos que
se aplicaban para el cálculo del exponente H (relacionado con la dimensión fractal), para
aquellos conjuntos que se consideraban como auto semejantes, no son válidos a partir de
ciertas escalas, con lo que es necesario el utilizar técnicas del tipo espectral ó
correlatorio. Recíprocamente, el uso de estos métodos, por ejemplo, técnicas del tipo
box-counting, ó divider, ó compass-counting ..., es posible cuando se conoce esta escala
de corte e. Esto supone que:
- •
°Pf(x)
a
L
V*""; si x > e (comportamiento autoafin)
L ; s i x < e (comportamientoautosemejante)
Figura 53 Dominio de comportamientos autosemejante /autoafin.
Otro resultado interesante se encuentra, desde el punto de vista de la aplicación
física, de la cuantincación de la rugosidad de los perfiles que se están analizando. El
valor de K, que da la desviación estandard que se obtiene para L = 1, el cual puede ser
usado como un indicador de la rugosidad local [AHNE-84], aunque no es una estimación
78
CSpítlllO 6.
Fractales autaafines.
muyfiablede la misma [OUCH-92]. Este valor de K puede obtenerse como el procedente
del ajuste de la ecuación tipc:
o y =K.L v '
(101)
que bajo una transformación bilogaritmica se convierte en un ajuste lineal:
Y = a.X + b
(102)
Y = logoy ; X = logLv'
(103)
b = logic
(104)
con la transformación:
y donde se calcula K como:
6.1.1.3. Casos con dT = 2.
Este primer grupo expuesto de aplicaciones, están representados por el hecho de
que su dimensión topológica es la unidad, pueden ser también extendidas a dimensiones
superiores a esta. Tradicionalmente, en los casos en que dT = 2, el análisis de superficies
mediante esta técnica se ha venido haciendo sobre series de perfiles unidimensionales
tomados sobre los datos bidimensionales y en una dirección determinada. Esto provoca
un condicionamiento de los resultados en el sentido de que se inhibe el efecto que la
anisotropía, o igualmente perfiles que se dejan de tomar con loa consiguientete pérdida
de información que se introduce sobre los resultados globales de la superficie. La
expansión a los casos bidimensionales permite denominar al método como área scaling.
Ahora, la varianza en los cambios de la variable Z(x), en el área superficial S (como
medida), y en el área basal A, pueden ser descritos como:
<4o*S v * ; a A *S v *
(105)
y de igual manera al caso unidimensional se verificará que:
4 , ^ í
(106)
' 79
Capitulo 6.
Fractales
autoaftnes.
donde el exponente de Hurst H es:
H = vz/vA
(107)
Si se asume que la superficie posee las mismas características de isotropia en auto
afinidad, la varianza del cambio en Z(x):
°£oo = Var[Z(x 2 ,y 2 )-Z(x l ,y 1 )]
(108)
que, en cierta área, puede considerarse como relacionada con la varianza del cambio
correspondiente en distancia:
Var^-x^+^-y,) 2 )" 2 ]
(109)
a2zo.,*(°'-ol)H
(110)
por lo tanto, de la forma:
Igualmente, si se parte de datos dispuestos en una malla, las relaciones anteriores
son equivalentes a:
O
Z00*
O
A
(111)
donde A es el área basal de la unidad de escala.
80
Capítulo 6.
Fraclales autoafines.
En la práctica, la superficie a estudiar se expresa como una serie de datos de
alturas distribuidos sobre una red. Cada celda de esta red se subdivide a su vez en dos
triángulos que cubren el cuadrado de la celda para calcular el área A de la superficie
Z(x), y la varianza de las elevaciones de Z(x), para cada valor de la unidad de medida S.
Este procedimiento se repite para diferentes valores de S. Habitualmente se suele tomar
el exponente vA = 1, lo que permite que H = v ^ .
Análogamente a los casos en los que dT = 1, se ha definido el parámetro K, en los
casos con dT = 2, también pudiéndose calcular éste a partir de la regresión lineal
bilogarítmica efectuada sobre:
O1OO=K.S"*
(112)
poseyendo la misma significación y el mismo grado de cuantificación de la rugosidad
Como ejemplo de datos, se pueden tomar todos aquellos de tipo bidimensional, en los
que a una posición en el plano se le asocia un valor de la variable que se quiere estudiar.
A nivel de comparación se puede testear los resultados del promediado de los
valores obtenidos de H para una serie de perfiles obtenidos de la sección por planos
verticales de una superficie, con el correspondiente de aplicar el método sobre la
superficie directamente. Esto permite verificar la validez de los análisis sobre secciones
unidimensionales frente a los que utilizan los datos de la superficie al completo. Los
resultados obtenidos se muestran en la siguiente tabla:
H sintético
H promedio (16 perfiles)
(usado en las simulaciones)
H directo
O'l
0'2
0'3
0'4
0'5
0'6
07
0'3055
0*3347
03680
0'4050
0'4876
0'5403
0*5691
0'8
0'9
0*6459
0*6887
0*1296
0*1819
0*2287
0*2809
0*4647
0*5265
0*5836
0*6334
0*6741
H
=
V
ZH(*>
81
Capítulo 6.
Pradales autoafines
Las superficies sintéticas han sido simuladas usando la técnica de desplazamiento
de puntos medios [FOUR-82], [BARN-88], tradicionalmente usada para la generación
de superficies fractales
6.1.1.4. Elemolos de aplicación.
En este apartado se pretende mostrar las capacidades de análisis que tiene el
conjunto de códigos que aplican el cálculo de varianzas LSM. Cada subapartado trata
sobre cómo aplicar cada uno de los programas LSM*, y de la posible interpretación de
los resultados obtenidos. Esta aplicación, para una mayorfidelidada las situaciones que
se den en la práctica, se va a realizar utilizando datos reales, que proceden de distintos
campos de estudio en las Ciencias de la Tierra. Como puede ser las seríes temporales,
datos topográficos y datos tomados de superficies de fracturas geológicas (como
aperturas).
A) Aplicación de LSM1.
Como ejemplo de datos a los que se les puede aplicar este análisis se incluyen
aquí dos seríes temporales, con diferentes comportamientos, que a simple vista son
fácilmente distinguibles, lo cual se espera que repercuta en los valores de H a obtener.
Los primeros datos corresponden a una serie obtenida a partir de una estación
pluviométrica, y por lo tanto muestra las lluvias en mm. Estas precipitaciones son del
orden de 1800 mm. a! año, variando entre 1400 mm. y 2300 mm. Estos datos
corresponden a una cuenca montañosa experimental que se encuentra monitorizada,
denominada Balague, en la zona de Pirineos franceses, próxima a Foix, a 8 Km del
pueblo de Saint Girons. El conjunto de la cuenca constituye un área de 10 Km de largo
por 1 Km de ancho aproximadamente, cubriendo una extensión de 13'25 Km2. Se
encuentra situada sobre una zona metamórfica, de estructura monoclinal de material
calcáreo mesozoico.
La segunda serie de datos se ha obtenido a partir de los datos de un limnigrafo en
una surgencia de agua en un karst, también situado en Balague, cuenca de Baget. El
caudal medio obtenido es del orden de Ü'510 m3 /s, lo que representa un lámina de agua
82
Capitulo 6.
Fractales autoafmes
del orden de 1200 mm. Los datos corresponden al caudal medido como m1 / s . Estos
datos presentados son cortesía del Laboratoire Souterrain du CNRS (Prof. A. Mangin).
1 > Descripción de los datos.
Los datos que se muestran en la figura presentan los valores de la cantidad de
lluvia en mm. recogida por el pluviómetro de Balague (Ariége). Cada dato corresponde
con un valor diario, luego el paso de muestreo es la unidad, figurando un año de datos.
Es también interesante esta serie porque comprende un año hidrológico, lo que permite
ver cómo es el comportamiento del sistema durante un ciclo temporal.
i
Me asurad data serie
i
i
i
-
100
N 50
A
lid/
\ ji/m ad/JUAM. A k L „k.
50
150
100
200
11 *
300Í A.
II ..250
,ML.AIUJA
time steep
Y~Xa?'£
... std[h]
stdíZ]
%?^
10•1
10°
¡•Mil 1 lili
0
Ni
101 1
10°
Füe:tesün.seq
SELF affínity-similañty
1022
i
. ...
1
10¿
10
•
~ FIT std[Z]
H-0.201
103
length
Figura 55. Serie temporal y resultados de la aplicación con LSM1.
2 > Resultados obtenidos.
Como se puede apreciar el valor de H obtenido (0'201) corresponde con una
dimensión fractal bastante alta, de 1'8. Este valor no se encuentra muy lejos de los
obtenidos mediante otras técnicas, también aquí presentadas, como son las de tipo
análisis correlatono espectral fractal, de las que se obtiene el exponente de Hurst H a
partir de los ajustes sobre el variograma, y sobre el espectro respectivamente.
83
Fraclales autoajines.
Cuenca de recogida de datos:
H calculado a partir del LSM1
testin 1978-1979
0'2013
Balague (Francia) 1970-1991
0'0244
Tarascón (Francia) 1981-1992
0'2013
Grazalema (España) 1970-1976
0'0619
3>Breve interpretación de los resultados.
Sin embargo, el que H sea 0'20¡ no significa que sea extremadamente aleatoria. A
la vista de estos resultados se puede afirmar que la lluvia se comporta como un ruido
aleatorio casi puro, de valores estrictamente positivos ó nulos, y en todo caso con
dimensiones fractales rondando los valores de 1'98. Lo cual como, se puede ver a partir
de este resultado, no es del todo cierto, depende del método que se utilice para su
cálculo, en qué se base éste, y en especial del número de datos que posee la serie. Por
otra parte, se observa en la gráfica de resultados, la desviación estandard calculada
presenta varios saltos a distintas escalas. Estas son a los 15 días, a los 30 días y de los 90
a los 100 días, lo cual hace pensar que existe cierto comportamiento semejante a
diferentes escalas en los valores temporales, ya que las pendientes se mantienen iguales
durante los respectivos rangos de escala (de 1 día a 15 días, de 15 días a 30 días, de 30
días a 90 días, y de 90 días al año). Pero es difícil de precisar el análisis en este último
periodo ya que hay pocos datos que disten un año, por ello es preferible estudiar series
algo más largas. Incluso, se puede apreciar que, dentro de dichas escalas la dimensión
fractal es mayor, por el menor valor de la pendiente en estos tramos de la desviación
estandard, y por lo tanto del H ajustado. Hay que hacer notar que el salto que aparece
sobre la curva de desviaciones estandard calculadas ha aparecido sobre los otros
resultados del análisis efectuados sobre las series que se muestran en la tabla. Todos
ellos, a parte de poseer una dimensión fractal bastante alta, tienen estos saltos que
corresponden a las escala de los 30 días, y otro sobre los 90 días a 100 días. Este
resultado, aparentemente parece estar indicando cierta relación con la meteorología
registrada durante las estaciones del año, los 30 días corresponderías a variaciones
mensuales, y los 90 días a la variación en la estación del año. El que no se aprecie bien
este último salto es debido a la escala de representación ya que en el eje de ordenadas es
logarítmico.
1 > Descripción de los datos.
En este segundo caso, la variable estudiada corresponde a los datos en metros cúbicos al
día, de agua que surgen de una fuente kárstica situada en el acuífero también de Balague.
El periodo muestreado corresponde a un año; el mismo periodo, de 1978 a 1979, que en
84
Capítulo 6.
Fractales autoaflnes.
la serie anterior {testiri). A simple vista se puede ver cómo existe una clara correlación
entre las entradas al sistema en forma de lluvia y las salidas del mismo como los caudales
aquí mostrados. Las medidas son tomadas a partir de la toma directa en un limnígrafo de
alturas de la lámina de agua, en un canal normalizado y, mediante una sencilla regla de
conversión se transforman a valores de caudal sobre e¡ mismo. Estos son los valores que
son representados en la gráfica adjunta.
Measuied data serie
N
L
f \ i . rti«"~V
150
200
250
300
time steep
.A2
1U
Fúe:tesloutseq
SELF affinity-similarity
I
i—i i i mu
1—i *i nuil
í'.t
i i mi
... std[h]
$td[Z]
- FU $td[2]
H-0.646
101
1Ó2
10 3
lenglh
Figura 56. Serie temporal y resultados de la aplicación con LSM1.
2>Resultados obtenidos.
La dimensión fractal obtenida para el rango comprendido entre el día (que es la escala de
muestreo) y el año es de aproximadamente 1'4, esto es, un exponente de Hurst de 0'646.
este valor corresponde con el obtenido por alguno de los métodos utilizados
clásicamente para el análisis de seríes temporales. En cuanto a la variabilidad según la
escala, se ve cómo el comportamiento escalonado se mar-tiene, aunque se puede ver un
escalón de mayor magnitud, comparado con los resultados de las lluvias, que
corresponde a los 30 días aproximadamente. En la tí-bla que se presenta a continuación,
se muestran los resultados obtenidos en H para otros datos de caudales procedentes de
surgencias en otras cuencas kái sticas.
85
Capitulo 6.
Cuenca de recogida de datos:
testout 1978-1979
Baget (Francia) 1970-1991
Aliou (Francia) 1969-1986
La Biele (Francia) 1975-1981
Fontestorbes 1965-1991
Mao Zhui Keng (China) 1984-1990
Hundidero-Gato (España) 1970-1976
Pradales auloafínes.
H calculado a partir del LSM1
0'646
0'102
0M26
0'066
0'074
0'114
0'190
3>Breve interpretación de los resultados.
Primero comentaré el efecto que se aprecia sobre el rango de las escalas. Este
escalón, a los 30 días, muestra cómo la variabilidad a escalas superiores a estos 30 días
es mucho mayor que para períodos de tiempo mucho menores. Igualmente el salto que se
aprecia a los 90 días (aprox.) corresponde con una variación algo menor que en el salto
del período anterior (de los 30 a los 90 días), pero que se encuentra correlacionada con
el que aparece en el caso del análisis de las lluvias. Los saltos comentados se reproducen
en mayor o menor grado en las otras series estudiadas (las que figuran en la tabla), lo
cual permite pronunciarse sobre la posibilidad de interpretar en los resultados
proporcionados por el LSM1 ciertas características tanto del sistema que produce la
señal, como de características comunes entre diferentes sistemas. En el ejemplo que se
muestra dichos sistemas corresponden con la meteorología local para cada zona abarcada
por el pluviómetro (en el caso de las serie de Uuvi?.->); y el otro sistema correspondería
con el acuífero que se estudia en base a las Mirgenuas de agua.
Otro detalle importante, y que se debe obviamente a que el acuífero posee como
entrada las lluvias, es que alguno de estos saltos en las varíanzas se transmiten a las seríes
de caudales (marcados por un círculo en las gráficas de Var vs. length). Estos saltos son
más notables en los cambios estacionales (marcados por lineas verticales en los
ejemplos). Otra deducción que podemos obtener de la observación de las gráficas es que
si bien para las lluvias, para cualquier escala, el valor de H es prácticamente constante,
esto no ocurre así en las seríes de caudales, lo que permite concluir que las seríes de
caudales estudiadas, a corto plazo, poseen una dimensión fractal relativamente baja,
frente a la obtenida para las lluvias que es bastante elevada. Este corto plazo puede ser
tan reducido como un ciclo hidrológico, donde se representa la dinámica del sistema
durante un período relativo de funcionamiento.
86
Capítulo 6.
Fractales autoafines
Como puede también verse, si la serie se extiende durante mucho tiempo el
comportamiento medido corresponde con un ruido aleatorio puro, sin alguna estructura
interna. Este resultado es bastante interesante, ya que permite el estudiar un sistema (en
este caso referido a un acuífero) con un número reducido de datos.
1 > Descripción de los datos.
A continuación se aplica la metodología descrita para las series temporales, a los
casos tipo:
AJiou
Baget
Fontestorbes
Torcal
qie corresponden con los tipos de acuiferos en los que se clasifíca el karst, en función de
los caudales medidos en las surgencias
2i-Resultados obtenidos.
En la siguiente tabla se presentan los valores de H que corresponde a cada caso
analizado.
Acuífero tipo
Aliou
Baget
Fontestorbes
Torcal
Valor de H por LSM
0*11
0'16
074
0'81
87
Capítulo 6.
Pradales
autoafines.
Q (nP/s)
lJ.|j|]l.kjLJtl.U,Jj.,i]l^„k;
1,000
2,000
3,000
4,000
tiempo relativo
5,000
6,000
Self afflnity • similarity
ALIOU: 1969- 1986
Caudal: Q ( t ) s m 3 / s
Número de datos: 6414
H = 0'11
1 0
•
• •••"»
10°
i ••""•
10
1
• "••••
a
10
T€ [10, 6414]
• '••••"
3
10
4
10
length
Q (m3/8)
8
6 _
4 _
üilIMiiiiitlkiilíiiiili
0
1,000 2,000 3,000 4,000 5,000 6,000 7,000 8,000
tiempo relativo
Self afflnity • similarity
B A G E T : 1970-1991
Caudal: Q(t) = m3 / s
Número de datos: 7921
H = 0'16
T
10°
1
10
2
10
3
10
e [10, 7921]
4
10
length
88
Capítulo 6.
Fractales autoqflnes.
Q(m3/8) 12
8
Wi^
0
1,000 2,000 3,000 4,000 5,000 6,000 7,000 8,000 9,00010,000
tiempo relativo
Seif afflnlty • slmilartty
FONTESTORBES 1965 -1991
Caudal: Q(t) = m3 / s
Número de datos: 9598
« 10
H = 0'24
1:1
•«dtocni
T
e [10, 1000]
1,000
1,500
tiempo relativo
2,000
LLUUM.
1
10
2
3
10
10
4
10
length
500
2,500
Self afflnlty • slmilartty
TORCAL: 1974-1981
Caudal: Q(t) £ m3 / s
Número de datos: 2557
•o io
H = 0'81
T s [10, 1000]
length
89
Capitulo 6.
Fraclales autoafines.
B) Aplicación de LSM2.
1 > Descripción de los datos.
La cuenca Tarascón (Ariége), donde se encuentran tomados los datos
topográficos utilizados del perímetro de cavidades (cársticas, es de tipo sedimentario
rodeada de macizos cristalinos. Se encuentra formada por dos valles (del río Ariége y el
de Vicdessos) que la atraviesan de SE a NW y de SW a NE respectivamente. Es el
macizo calcáreo de Cap de la Lesse el que posee un importante grado de karstificación,
ocupando la parte meridional de la cuenca. Las cavidades encontradas son numerosas
constituyendo el sistema denominado Niaux - Lombrives - Sabart, que totaliza 9 Km de
galerías penetrables por el hombre.
A partir de la utilización de este análisis se pretende descubrir la posible
existencia de anisotropías en las direcciones de las cavidades topografiadas, y entre qué
escalas se manifiesta. Además puede ser posible el ontener las dimensiones fractales de
las cavernas, su comportamiento autosemejante ó autoafin, y las escalas de
predominancia de cada comportamiento.
Este hecho es importante fundamentalmente por una serie de aspectos prácticos.
Uno es el relacionado con el cálculo de la dimensión fractal a partir de técnicas cómo la
de divider, para lo se exige que el conjunto de datos que constituyen el perímetro sea
autosemejante, por lo que habrá que determinar la escala de aplicabilidad del mismo. El
segundo, enfocado hacia un interés más puramente hidrogeológico, se encuentra en las
posibles conclusiones respecto a la anisotropía de las direcciones de flujo que constituyen
dichos huecos, y extender estas conclusiones para saber si dicha escala se verifica para
todo el macizo en estudio.
Quizás puede ser posible el agrupar al macizo (cárstico con un valor de dimensión
fractal, o este valor puede ser variable para diferentes rangos de escalas, ó incluso que
cada cavidad tenga un comportamiento fractal diferente.
90
Capítulo 6.
Fractales autoaflnes.
Measured Contour Data
-r-
File:niaux.dat
500
iOOO
X direction
1500
... 5td[X]
-std[Y]
FITstdf]
Hx-0.586
Hy-0.99
Figura 58. Datos del perfil del sistema kárstico de Niaux.
91
Capítulo 6.
Fracíales autoafmes.
SELF affmity-sinulanty
;
i i i muí
1 i *i 111 ni,
1 i ¡JJ&1
Measured Contour Data
-r-
100
200
... std[X]
-std[Y]
FITstd[]
Hx-1.086
Hy-0.477
300
X düection
Figura 59. Datos de la gruta de Niaux, zona de la galería de la Rotonda
10 1 C
SELF affuüty-simüarity
i i muí—, i i i i mu
Measured Contour Data
10J
10u
tn digiulización
. .......
N
FUe:salnoir.dat
10
20
X direction
30
40
... Jtd[X]
-std[Y]
FITstd[]
Hx-0.671
Hy-0.776
Figura 60. Datos de la gruta de Niaux, zona del Salón Noir.
r*-
Capítulo 6.
Fractales autoafines.
i«3
1U
400
SELF afftnity-stmilañty
r—i
i iiiiin—i
\ IIIIIII"—i
-
i IITIIII
i
i i i i
Measured Contour Data
200
10•1
10°
1 * I '"T
'
* * * " "
1
10
10
,
2
10J
10«
N
J-200
File:lombri.dat
-400
-600
-1000
1000
... $td[X]
-std[Yl
FTTstd[]
Hx-0.648
Hy-0.587
2000
X direction
Figura 61. Datos del perfil del sistema kárstico de Lombrives
,rt2
H)
SELF affinity-similaritv
e
1 i i n u i l —i—i T i m u
1" i_j i 11
101
3
Measured Contour Data
10°
101
10J
N
File:caougno.dat
100
2%
X direction
3LJ
400
... std[X]
- std[Y]
FITstd[]
Hx-0.592
Hjr-0.483
Figura 62. Datos del perfil de ¡a cavidad denominada Petite Caougno.
93
Capítulo 6.
Fractales autoafmes.
10'
SELF affinity-similarity
T—l I l M i l !
r — n l 11m
1* i i l n i
Measured Contour Data
anude
10
•utencmejuu»
10°
101
mna de autoafimcUd
10'
103
N
File:empre.dat
400
450
500
X direction
... 5td[X]
-5td[Y]
FTTstdf]
Hx-0.758
Hy«0.329
Figura 63. Datos del perfil de la cavidad denominada
Empreiníes.
Measured Contour Data
N
File:sabarLdat
-100
400
600
800
X direction
1000
1200
... std[X]
- $td[Y]
Frrstd[]
Hx-0.623
Hy-0.704
Figura 64. Datos del perímetro de la cavidad de Sabart.
94
Capítulo 6.
Fractales autoqflnes.
Los datos que aquí se presentan han sido obtenidos mediante una digitalización
manual de los mapas topográficos, lo cual va a influir en el cálculo de las varianzas
correspondientes a las escalas más pequeñas. En los resultados puede ser relativamente
fácil el encontrar este efecto dada la diferencia en el comportamiento de la varianza
comparado con escalas superiores.
2 > Resultados obtenidos
En la siguiente tabla se han recopilado los resultados de los ajustes de las curvas
obtenidas para las varianzas de las componentes de las coordenadas.
Fichero de datos
H calculado a partir del LSM2
Hx
Hy
NIAUX.dat
0'586
0'999
GALPOISO.dat
l'OOO
0'477
SALNOIKdat
0'671
0776
LOMBRI.dat
0'648
0'587
CAOUGNO.dat
0'592
0'483
EMPRE.dat
0758
0*329
SABART.dat
0'623
0704
3>Breve interpretación de los resultados.
Como se puede observar, aunque existe una clara anisotropía en algunas de las
cavidades analizadas, que se aprecia por el decalado entre ambas curvas paralelas de
° \ * Lv* y de o y * Lv' de las figuras, las curvas que definen la traza del perfil o el
perímetro son auto semejantes, por este paralelismo vx = vy = v, con un valor de H = v.
La autosemejanza se verifica en casi todos los casos dentro de un aplio rango de
escalas que van desde los 10 - 20 m hasta el centenar de metros, incluso mayor en la
grandes cavidades (de Niaux y Lombríves) donde se llega al millar de metros. En base a
este resultado, y dado que los huecos anal:zados pertenecen a la misma formación
geológica (y que incluso son singenéticos), se puede afirmar que el sistema kárstico de
Cap de Lesse posee unos perfiles topográficos autosemejantes. Esto plantea una duda en
el sentido de que si los resultados obtenidos del análisis de las secciones bidimensionales
obtenidas según secciones horizontales y de galerías que pueden estar a diferentes cotas
puede ser extrapolado al espacio tridimensional donde se desarrolla el sistema kárstico.
95
Capitulo 6.
Fractales autoajmes.
En realidad no hay datos suficientes para afirmar esto, ya que los procesos, a estas
escalas, están fuertemente influidos por las fuerzas de la gravedad, en el sentido de que
existe una dirección forzada a seguir. Es posible que el resultado de secciones verticales
no sea semejante al obtenido del estudio de las secciones horizontales, pero si es posible
que entre si, las secciones verticales onezcan, en global, un resultado semejante entre sí.
De este ejemplo merece la pena comentar dos resultados en concreto y que
pueden ser considerados como inyeresantes por la interpretación que de ellos se ha
hecho. El primero corresponde con el caso de la galería de la Rotonda, próxima al Salón
Noir, en el que dentro del intervalo de 2 m hasta ios 100 m la isotropía y el
comportamiento autosemejante es muy claro, pero a partir de ios 100 m este
comportamiento cambia drásticamente y se hace autoafín. El siguiente caso es el de la
gruta de Empreintes en la que se puede ver cómo a partir de los 20 m se pasa de un
comportamiento autosemejante pero anisótropo, a ser también anisótropo pero autoafín.
El comportamiento del resto de las cavidades y galerías puede resumierse en la siguiente
relación:
Salón Noir: desde los 2 m de escala hasta los 20 m las diferencias pueden deberse a
errores en la digitalización manual del perímetro; a partir de los 20 m hasta los 1000 m es
autosemejante y muy poco anisótropo.
Niaux: en todo el rango de escalas (de los 20 m hasta los 2000 m) es anisótropo y
autosemejante.
Lombríves: en el intervalo de interés, que va desde los 20 m hasta los 2000 m, el
resultado muestra una autosemejanza clara y una débil anisotropía.
Sabart: es claramente autosemejante e isótropa, entre los 2 m y los 1000 m.
Petite Caougno: los errores de digitalización llegan hasta los 10 m, a partir de esta
escala hasta los 300 m, que liega la escala de estudio, el comportamiento demuestra una
tendencia autosemejante y anisótropa.
Finalmente podemos decir que, como comportamiento global de este sistema
kárstico, las cavidades son fundamentalmente anisótropas, y con un marcado carácter
autosemejante dentro de un amplio rango de escalas. Aunque algunas de ellas presenten
un cambio apreciable en esta característica fractal, pasando a ser autoafines. Este cambio,
96
CspítUlO 6.
Fractales autoafines.
si se produce a escalas pequeñas puede ser debido, no al carácter intrínseco a los datos,
sino a los errores cometidos durante la digitalización de los pertiies, realizada a mano.
En cuanto al carácter fractal global del sistema podemos creer que la dimensión
fractal de los contornos de las cuevas es relativamente baja, ya que el H está próximo a
0'6 - 07, valor que se repite en gran parte de los resultados.
C) Aplicación de LSM3.
1 > Descripción de los datos.
Los perfiles han sido obtenidos mediante un profilómetro aplicado sobre las dos
superficies de la fractura (techo y muro). El tratamiento de ambos datos (midiendo las
diferencias entre ambas) permite calcular las aperturas entre dichas caras, como se
aprecia en la figura. Los datos aquí estudiados y analizados corresponden a las fracturas
de Dixie Valley (USA) y de la mina de Stripa (Suiza) [COX-93]
El ejemplo de Dixie Valley corresponde a una fractura en material metamórfico y
alterada posteriormente por la intrusión de fluidos hidrotermales. Por otra parte, los
datos correspondientes a la mina de Stripa se han tomado sobre una fractura que se
encuentra dentro de material cristalino granítico.
Perfil muro
Figura 65. Esquema de la variable apertura.
La distribución bidimensional de estas aperturas, para las dos conjuntos, se
muestra gráficamente, como distribución de valores en mapa de gris, en la aplicación de
LSM4. La discretización con la que se han medido, sobre el plano horizontal es de O'S y
0'2 mm. respectivamente, que definen las mínimas escalas de cálculo.
El algoritmo aplicado de LSM3 realiza sencillamente un promediado de los
valores de H que igualmente se obtienen con el LSM1 sobre cada uno de los perfiles. El
total de perfiles utilizados para el promediado es de 16, sobre los 128x128 y los 123x123
97
Capítulo 6.
Pradales
autoafmes.
perfiles posibles, respectivamente, para cada conjunto. Como ejemplo de los datos de los
perfiles se muestra a continuación una parte de ellos para los datos de Stripa.
Meiiuied profile IO X
150
•
•
, i
'
'
Mmurcd ptofilc in X
'
"
íi
100 •
- 1
-
50- - 1 Hii' N
-
^^^K^A^J^M^
«...
^^SAc^^Ér^
10
'A *\
20
15
lengih
Mmuied piofile in Y
Figura 66. Diversos perfiles longitudinales sobre las aperturas de una muestra.
2>Resultados obtenidos.
Después de la utilización de LSM3 los resultados gráficos obtenidos son:
Para la fractura en granito de la mina de Stripa, y para los perfiles obtenidos en la
dirección X:
10a
P
10' :
i
b
6o
7o
8o
9>
itf :
10T1
KT1
_l
I I I I lili
10°
101
escala - longitud (mm)
10*
93
Capítulo 6.
Fractales autoqflnes.
con los valores de H correspondientes a cada ajuste sobre la o„w
de cada perfil:
N° perfil Pffx)
H obtenido
N° perfil Pftx)
H obtenido
1°
2°
0'887
5o
0'061
o
0'568
0'249
0*085
6
3
o
0709
4
o
0'564
T
8o
0*475
A su vez, para los perfiles en la dirección Y, los resultados gráficos son:
10%
101 :
i
t>
10°
6o
7o
8o
:
90
lo-1
10-1
lililí
101
10°
10a
escala - longitud (mm)
Cuyos ajustes en c?pf(y) vs. escala, para cada perfil, pueden ser igualmente pueden
ser recogidos en la siguiente tabla:
N° perfil Pf(y)
1°
2o
3
o
4
o
H obtenido
1*001
0'094
0'453
0'863
N° perfil Pf(y)
o
5
6o
H obtenido
0*478
0*016
o
0*869
o
0*792
7
8
99
Capítulo 6.
Fractales autoafines.
En el caso de analizar la fractura de Dixie Valley los resultados obtenidos, para
los perfiles realizados en la dirección X, son:
10*
:
101
b
N* de Perfil Pf(x)
i*
10°
l u í
f*
i"
j "
-6°
-7o
-8°
— o»
8o
4rt-<
1(T '
KT1
'
10°
10 1
escala - longitud (mm)
10a
Igualmente que para el caso de Stripa se han calculado los valores del ajuste
lineal bilogarítmico de cada curva, con la consiguiente obtención del H de cada perfil.
Los resultados de las sucesivas regresionesfiguranen la siguiente tabla:
N° perfil Pf{y)
1°
2o
3o
4o
H obtenido
0'231
0'599
0'154
0'415
N° perfil Pf(y)
5o
6o
T
8o
H obtenido
0'662
0'432
0'445
0'269
A simple vista y en comparación con los H obtenidos para Stripa en la misma
dirección, se puede apreciar que los cálculos de H no proporcionan valores tan
inesperados, del orden de TOO ó 0*06 como los que se obtienen aquí para Dixie Valley.
Lo cual no es muy significativo, ya que ios datos son de procedencia muy distinta. Pero
esto proporciona ya alguna información sobre cómo es la variación espacial de las
aperturas en uno y en otro caso. Esto es, el comportamiento es relativamente semejante
en perfiles paralelos, aunque haya ciertos valores que se alejan del esperado, como los de
0'1 ó 0'2 para los perfiles 3 o y I o u 8°
100
Capítulo 6.
Fractales auloqflnes.
A su vez, se presentan los resultados en la dirección Y en la gráfica:
102
i N* de Perfil Pf(y)
i*
:
-6°
—- 7 o
-8o
2°
•>
-90
R*
t>
10°
«r 1
1
1
1 1 t-l-UU
1 11 m i
1fl°
101
escala - longitud (mm)
1.
i_i.i.jni
102
Los cuales, una vez realizadas las regresiones lineales, indican que el H varía para
cada perfil como se muestra en la tabla siguiente.
N° perfil Pf(y)
1°
2o
30
4o
H obtenido
0'1S2
0'0(7
0'074
0351
N° perfil Pf(y)
5o
6o
T
8o
H obtenido
0715
0'699
0'022
0-224
En esta dirección un breve estudio de estos datos no permite afirmar que se sigue
un comportamiento muy semejante en direcciones paralelas, ya que existe una dispersión
en los mismos que es considerable. Es posible que si se tomaran más perfiles en esta
dirección se pudiera recoger algún detalle más respecto al los mismos, lo cual permitiría
conocer más detalles posiblemente respecto a las estilaciones de la fractura,
indentaciones, anisotropías, etc.
Tomando todos los valores de H para cada dirección y promediando el de todos
los perfiles, para cada conjunto de datos se obtienen los siguientes resultados en la tabla:
101
Capítulo 6.
Datos reales
Fractales autoafines.
H promedio (16 perfiles)
H = V
z¡,o<>
Stripa
0'4403
Dixie Valley
0*3192
3>Breve interpretación de los resultados.
Los valores obtenidos permiten, en un principio, afirmar que las aperturas poseen
un grado de irregularidad bastante elevado, ya que en su mayoría los valores de H
relativamente bajos correspondiendo con comportamientos ligeramente antipersistentes.
Incluso, y a la vista de los gráficos y comparando las pendientes medias para cada juego
de curvas es posible ver cómo cada perfil por separado se comporta como un fractal
autoafin, al tener una pendiente media diferente a la unidad.
Las diferencias que en el caso de los datos de Dixie Valley se dan para cada una
de las direcciones X e Y, son debidas a la anisotropía, la cual se puede ver bastante bien
en la figura que muestra en mapa de gris el campo de aperturas. Estas diferencias tan
notables entre las direcciones X e Y, no surgen en los resultados del análisis de la
fractura correspondiente a la mina de Stripa.
El estudio de las escalas donde se producen saltos en las desviaciones estandard
Gpf aquí calculadas, no ofrece ningún resultado interesante, en el sentido de que se
pueda afirmar la existencia de un comportamiento autosemejante. Lo que si se puede
asegurar es que la aplicación de técnicas de cálculo de la dimensión fractal del tipo
divider, box-counting ó semejantes no es posible a este tipo de datos. Esto es así ya que,
como se mencionó, estas son solo efectivas en el caso de aplicarlas sobre fractales
autosemejantes, ó sobre fractales autoafines que hayan sido reescalados por un factor,
que en ciertos casos es difícil de calcular, lo cual no suele ser rentable. De esta manera se
hace preferible la utilización de técnicas más apropiadas para el cálculo de H, ó en su
defecto de la dimensión fractal, como variograma ó espectro, ó incluso la que aquí ha
sido aplicada de LSM.
¡02
Capítulo 6.
Fractales autoafines.
D) Aplicación de LSM4.
1 > Descripción de los datos.
El conjunto de datos a los que se les va a aplicar el análisis se representan en las
dosfigurassiguientes, como campos bidimensionales en escalas de gris.
120
100
0
LEYENDA (aperturas) 0
20
40
60
80
100
120
160. mm.
Figura 67. Campo de aperturas de unafracturade la mina de Siripa (Suiza).
103
Fractales autoafmes.
Capitulo 6.
0
LEYENDA (aperturas) 0.
20
«0
60
80
100
120
160. mm.
Figura 68. Campo de aperturas de unafractura de Dixie Valley (USA)
104
Capítulo 6.
Fractales autoaflnes.
2>Resultados obtenidos.
La aplicación de! código LSM4 permite comprobar cómo existen dos escalas de
comportamiento distinto. En el primer gráfico de la varianza de los valores de aperturas
Var[Z(x)] en función de la escala, que se muestra a continuación, corresponde con los
datos de la fractura de la mina de Stripa.
104
10-1
mu
i i iiiuu
i, 111 mu
í.c...-lfS.(mmtf
*
1
i 11 muí
1
El segundo gráfico corresponde a los resultados obtenidos de Var[Z(x)] a partir de las
aperturas de la fractura de Dixie Valley.
108
101
i IIIIUI
<
•
"
•••"••
«
escala • área (mm*J
Las rectas de regresión lineales bilogarítmicas que se encuentran en los gráficos
anteriores poseen unas pendientes (en el gráfico bilograrítmico) que corresponden con el
valor del exponente de Hurst del campo aleatorio Z H (x) analizado (que es aquí el
campo de aperturas).
Datos reales
H directo
H
Stripa
Dixie Valley
=
V
Z„(X)
0*4196
03352
105
Capítulo 6.
Pradales
autoqfines.
3 > Breve interpretación de los resultados.
El estudio de los saltos que se producen en la Var[Z(x)] que se representa, para
cada escala permite verificar cómo la variable se comporta, al menos, de dos formas
diferentes a medida que se incrementa la escala de observación y por lo tanto de medida
ó muestreo. Para el caso de la fractura de Stripa, esta escala corresponde
aproximadamente con los 10 mm2 de superficie. A partir de esta y para escalas mayores,
el comportamiento se puede describir con un H muy pequeño, y que no corresponde con
el de 0'42 medido, sino que estaría cercano a O'l. En cambio, para escalas inferiores a
ésta, casi es apreciable un comportamiento autosemejante (sobre la recta 1:1) en el
intervalo de O'l mm2 a 10 mm2.
Si se compara este resultado con el obtenido para el análisis promediado de los
perfiles, podemos afirmar que la escala en la que se produce este salto se encuentra
próximo a los 3 mm. a 8 mm. («VlOmm2), lo que ha sido mostrado en la utilización del
LSM3. El valor de H obtenido por LSM3 es de 0'44, muy semejante al calculado aquí
(0'42) utilizando LSM4. Si se estudia el resultado procedente de los datos de Dixie
Valley, los puntos calculados no se encuentran tan dispersos alrededor de la recta como
el caso de Stripa, por lo que no es fácil descubrir si puede existir alguna escala para la
cual el comportamiento cambie apreciablemente. Lo que si se puede decir al respecto es
que el resultado de 0'33, comparado con el obtenido del análisis de sus perfiles ( según
LSM3 es 0'32) es bastante próximo.
Podemos concluir de la comparación de los resultados obtenidos mediante LSM3
y LSM4 que, para los datos utilizados en este análisis, que son muy semejantes, en lo que
respecta al valor de H . Pero no se puede afirmar que uno reemplace al otro, ya que son
complementarios entre si. Así pues, la información que resulta del estudio de los
resultados ofrecidos por ambos no lo puede obtener uno por si solo. Aunque si hay que
decir a favor del LSM4 es que los resultados son más compactos en el sentido de solo
ofrecer una variable (que es VarfZ(x)]) en función de la escala para todo el conjunto de
datos; y el tiempo utilizado en el cálculo es inferior al empleado por LSM3.
106
Capítulo 6.
6.2.
Fractales autoafmes.
SERIES TEMPORALES
En la práctica del estudio de los fenómenos físico-químicos que se dan en la
naturaleza, muchas veces, la primera forma de medirlos para su posterior investigación es
en función del tiempo. Los datos asi obtenidos constituyen una serie temporal de una
variable intrínsecafísico-química(temperatura, presión, densidad, pH, etc. ...) del sistema
que lo caracteriza. Debido a esta caracterización es posible pensar que, estudiando la
variación temporal de estas variables, se pueda deducir algo sobre su dinámica, su
funcionamiento, e incluso llegar a hacer algún tipo de estimaciones ó predicciones para
un tiempo futuro
Lo que si es cierto, es que, a medida que los sistemas que se estudian son más
complejos, esto es, la cantidad de efectos independientes que intervienen es mayor, o lo
que es lo mismo, el número de grados de libertad del sistema aumenta, la complejidad
que va demostrando es sistema es todavía mayor. Puede ocurrir, sin embargo, que, aún
poseyendo un número pequeño de grados de libertad, el sistema muestre un
comportamiento impredecible, sin llegar a ser aleatorio. Los sistemas con esta
particularidad se denominan caóticos.
Pueden ser los sistemas caóticos fácilmente descritos de forma determinista, esto
es, mediante un sistema sencillo de ecuaciones diferenciales, pero que, debido a las no
linealidades que poseen en esta su descripción matemática, los efectos producidos por
muy pequeños cambios en el comportamiento son amplificados al cabo de un tiempo
relativamente corto. Por esto se dice que los sistemas caóticos son sensibles a las
condiciones iniciales, ante una mínima variación entre dos condiciones iniciales aplicadas
sobre un mismo sistema no lineal, al cabo de un tiempo las trayectorias en el espacio de
fases (espacio donde se describe la evolución de los estados del sistema) son
completamente distintas.
6.2.1 EL FENÓMENO DE HURST. APLICACIÓN AL ANÁLISIS DE SERIES TEMPORALES.
Si pensamos en estudiar los valores anuales medidos sobre algunos fenómenos
que se dan en sistemas reales, tales como la lluvia, la temperatura o la presión
atmosférica por ejemplo, éstos pueden ser aproximados estadísticamente mediante una
función de distribución gausiana, siempre y cuando no se tengan en cuenta los períodos
de ocurrencia; sin embargo, en estas situaciones lo que impc¡ta realmente es el período
107
/
Capítulo 6.
Fractales autoafmes.
de acaecimiento, especialmente por las consecuencias predictivas que puede llegar a
tener. Uno de estos sistemas dinámicos fue estudiado en los años 50 por Harold Edwing
Hurst. Su sistema consistía en un río, el Nilo, y lo que se monitorizaba eran los caudales
descargados por éste durante el tiempo. Después de una larga toma de datos presentó
unos primeros resultados en 19S7 [HURS-57], comentando algunas de las conclusiones
que generalizaban lo que expuso en el simposium de la Roya) Statistical Society del
mismo año, en la sección de problemas de almacenamiento de agua, sobre el fenómeno
de crecida y estiaje relacionándolo con un supuesto efecto memoria, aunque ya publicó
previamente en 19S6 un estudio sobre ciertos detalles en el comportamiento observado
de las series hidrológicas medidas en El Cairo, sobre los caudales del Nilo, por su
importancia en el dimensionado de la contención de la presa de Assuan
Sus medidas se comportaban de forma tanto oscilatoria como errática. A
periodos de sequía largos le seguían períodos cortos de caudales elevados y al revés. Los
datos mostraban una antipersistencia (concepto que se revisará posteriormente), esto es,
después de un valor alto de caudal es muy probable que le siga uno inferior. Además este
comportamiento se producía independientemente de la escala a la que se efectuaba el
estudio. Esto es, los datos tomados cada hora, esto se comportaban de manera muy
semejante que los que se tomaban mensualmente, ó los que a diario se tomaban, con la
excepción de que éstos datos están tomados con espaciados de tiempo muy diferentes.
Hurst describió una metodología estadística denominada análisis R/S (ó de rango
reescalado, del inglés rescaled range analysis), que fue explicada en profundidad en su
libro Long-term storage: an experimental study, publicado en 196S; y que en un
principio fue planteado para estudiar las posibilidades de embalsado del agua de un río,
según las descargas que aporta éste en el tiempo. El estudio del rango R, como medida
de la capacidad de reserva requerida bajo condiciones ideales, y su variación con el
tamaño de la muestra x, ó serie temporal X(t), sen los puntos de partida del análisis R/S
que Hurst planteó. El rango R(x) es la máxima diferencia entre los valores de la serie.
Definiendo la función acumulada como:
*(t.T) = ¿ X ( i ) - i . ¿ X ( j )
(113)
•=i
entonces el rango es:
R(x) = max4'(t1-c)~min¥(t,T)
(114)
108
CSpítlllO 6.
Fractales autoafines.
La variación con del rango con T es de la forma xH para periodos de tiempo
elevados, creciendo más rápido que éste para periodos cortos, que como se verá
corresponden con los transitorios de la señal.
Pero si lo que se quiere es estudiar cómo de rápido varia el rango con x, y
comparar esta variación con la que se produce en otras series, se debe de dividir entre la
desviación estandard S(x) de los valores del tramo de longitud x de la serie X(t),
obteniéndose la cantidad adimensional R*(t) = (R/S)(x) que es objeto del análisis. El
primer resultado expuesto fue obtenido de forma empírica, e indicaba que el ratio R/S
aumenta como una potencia de x, superior a O'S, tal como:
R / S = (x/2) H ccx H
(115)
El exponente H de x, que Hurst obtuvo en su momento fue de 073, contrario a
los resultados que, teóricamente se deberían de obtener para procesos tan irregulares y
aleatorios (con un número elevado de influencias independientes, ó grados de libertad)
como los caudales de un río, ya que para ellos este exponente debería de ser O'S, que
corresponde al que se obtendría con una sucesión aleatoria pura de valores. Hurst aplicó
la expresión:
H =
J09R¿S_
logx - log2
para el cálculo de H, aunque como se verá posteriormente, esta produce una estimación
bastante pobre en calidad, ya que se sobrestima H. Aunque esta estimación no fuera del
todo correcta si hay que decir que las consecuencias que de ella se originaron, así como
las ideas sobre procesos estocásticos • on memoria que desarrolló Hurst si son correctas,
y aplicables a muchos fenómenos, algunas de ellas se verán a continuación.
Posteriormente a este estudio, otros trabajos, como en [FEDE-88], estudiando
diferentes fenómenos naturales sintetizados por las series temporales medidas en ellos,
han encontrado un exponente H de valor semejante al obtenido por Hurst. Así las cosas,
debido a la aparente universalidad en el comportamiento de algunas de las series
temporales con un H > 0'5, el fenómeno observado se vino a llamar fenómeno, ó
comportamiento de Hurst, y al exponente H exponente de Hurst, por ser el primero que
lo constató. Una definición más estricta del fenómeno de Hurst puede encontrarse en
Bhattacharya et al. [1983], que dice:
109
Capítulo 6.
Fractales autoafmes.
- Una secuencia de variables aleatorias se dicen que presentan un efecto de
Hurst con exponente l > H > 0'5, si x"H.R" converge en distribución, a
medida que t-xx>, hacia una variable aleatoria nula. Esta definición está en contra de un resultado algo más general conocido con el
nombre de Principio Invariante ó Teorema del Límite Central Funcional, que implica que
bajo las condiciones de estacionariedad y de dependencia débil, R* /1 0 ' 5 converge en
distribución a una variable aleatoria K'K l xff\ de parámetros estadísticos:
media:
E [R;./X<"]
=(^)"2
'e *
varianza: VarjR^ / x"] = 8.
(117)
(118)
siendo 6 una constante positiva que está relacionada con la escala de fluctuación ó
longitud de escala de correlación, y que es la suma de la función de correlación p(x):
e=¿p(T)
(119)
la función p(x), es el coeficiente de correlación entre los instantes X(t) y X(t+x).
Fundamentalmente se han dado tres explicaciones a este efecto y que pueden
resumirse en tres consideraciones distintas que se desarrollan hacia un mismo
comportamiento [KLEM-74], [BOES-78], [BRAS-85], FEDE-88], [GALL-94]. Si el
comportamiento de Hurst se especifica mediante la proporcionalidad:
R/SOCT H
(120)
en distribución. Esto es, si la serie temporal X(t) tiene como valor promedio en un
período de tiempo x:
X(xl = i ¿ X ( j )
(121)
110
CapítUlO 6.
Fraclales autoaflnes.
luego ,si la función T(t,t) la función acumulada de las diferencias, esta es:
«F(t.t) = ¿ ( x ( i ) - X ( 7 ) )
(122)
luego las diferencias entre el máximo y el mínimo de esta función es el rango:
R(x) = maxT(t,x)-min v F(t l T)
ISISt
(123)
ISISt
denominado también dominio secuencia! acumulativo, que, como se puede ver depende
el periodo de tiempo x analizado, y varia como una función no decreciente de éste. Como
verdaderamente lo que se aplica es el ratio adimensional R/S, la desviación estandard S
viene dada por la expresión:
I.X[x(t)-X(T")]j
(124)
Como comentario adicional, según [MAND-69b], el uso de la ley empírica para R/S,
tiende a sobrestimar H, cuando H > 072, y a subestimarlo cuando H < 072.
Podemos comprobar entonces que para un proceso binomial (cara/cruz) se tiene
que:
R / S = J-.7t.T = l,25.v/T°cT0*5
(125)
Así las cosas, entonces, en el case de los ríos, u otros datos que se comporten de
esta manera, ¿por qué se aprecia este fenómeno?. Por un lado, la descarga de un río no
depende solo de la lluvia más próxima, sino también de las anteriores. Por otro, para un
período prolongado de estiaje el nivel general del agua en la cuenca puede descender
mucho, y en posteriores períodos de precipitación intensa, el agua antes de ser
escorrentía superficial, se infiltra en el terreno hasta que lo empapa, por lo que la
descarga es inferior a lo que normalmente se debería de obtener después de una lluvia.
Estos hechos describen dos fenómenos que describen un efecto memoria, que puede
llegar a ser infinito cuando la longitud de escala de correlación se hace infinita. Estos
procesos han pasado a llamarse tradicionalmente efecto Noé y efecto José [MAND-68b].
111
Capitulo 6.
Fractales autoqfines.
Según [BOES-78], si X(t) es un proceso que posee un efecto de Hurst, entonces,
éste posee unas distribuciones marginales, con unas colas importantes y no es
estacionario; además el comportamiento de su rango reescalado con x" es solo
preasintótico, con un crecimiento final, asintótico hacia x os ; y aunque no sea estacionario
posee un tiempo de correlación muy elevado. Esto no es cierto del todo ya que como se
verá, el fenómeno de Hurst puede o no ocurrir en señales estacionarías, la dependencia
del R/S se encuentra fundamentalmente en las autocorrelaciones de la señal y su
dependencia respecto a t, las cuales repercuten en la longitud del efecto memoria del
proceso.
Generalizando, podremos decir que el fenómeno de Hurst:
0 Puede ser un comportamiento transitorio. Esto puede argumentarse si se tiene
en cuenta que las series que se tienen para analizar no son lo suficientemente largas
para ser estudiadas como series estacionarías (en el sentido de que se haya
superado el transitorio a muy largo plazo), con lo que se obtendría el estado de
R/S, que correspondería con la proporcionalidad con t 05 . Este período de
transición puede ser simulado en ciertos casos mediante ..n modelo de Markov •
autorregresivo AR [BRAS-85], Lo cual puede argumentarse también si se tiene en
cuenta que a largo plazo la serie es casi un ruido no estructurado, con lo que la
longitud de escala de correlación tiende a hacerse infinita, y así el efecto memoria
se extiende hasta tiempo 0 (ó de -<»), y por lo tanto con 0 -»<».
0 O es un comportamiento debido a no estacionariedades en la media subyacente
a cada intervalo x, y que se extiende a lo largo de la duración completa del proceso
medido. Con lo que la media varía lentamente en el tiempo para bajas frecuencias,
esto es, a períodos de tiempo largos. Los efectos de ia no estacionariedad son
sencillos de descubrir en los diagramas R/S, ya que en muchos casos en estos
diagramas no existe una parte de ellos que sea lineal, con pendiente constante, sino
que su comportamiento es de forma sigmoidea, con lo que no es posible diferenciar
claramente las zonas transitoria y aleatoria pura a grandes iag x.
0 O es un proceso estacionario pero con un efecto de memoria muv acusado. Esto
es, los procesos estacionarios con funciones de correlación que disminuyen muy
lentamente con el tiempo, con lo que el número de longitudes de correlación es
infinito (cada una depende de la escala), el proceso así descrito es de tipo fractal.
112
Capítulo 6.
Fractales autoafmes.
En él, estas funciones de correlación disminuyen mucho más lentamente que las
que posee un modelo de Markov - autorregresivo gausiano.
En algunos trabajos [KORV-92] se desarrollan algunas expresiones para estudiar
analíticamente la variación del rango reescalado. Se puede encontrar que en el caso de
que X(t) sea un proceso estocástico aleatorio, descrito por una serie de variables
aleatorias independientes gausianas estandard, el rango reescalado promedio R* puede
calcularse:
R._r((T-i)/2)gfT-i
r(t/2).n 1/2
1/2
(126)
1=1
que se compara con su comportamiento asintótico a largo plazo (valores elevados de x):
(
xl/2
.1/2
(127)
luego, el comportamiento local del exponente de Hurst, en función del paso tomado en la
estimación del R*, se puede estimar según:
=
T
logR;„-logR;
log(x + l)-log(t)
(128)
1.4
7.
4.
:
0.8
2.
0.0
1.
1
5.
t
10.
5
n
a.
A,
°*
i
%
* * ~ ~ ~ ~ ~ _ _ _
10
20
t
30
40
50
Figura 69. Funciones de logK'x vs. rpara R/S, y el resultado de su diferenciación.
113
Capitulo 6.
Fractales autoafines.
Como se puede apreciar en los gráficos, la variación de éste rango escalado
definido mediante la expresión (126) anterior no es correcta ya que en comportamiento
asintótico no converge hacia un H = O'S, más que posiblemente al cabo de un x muy
grande.
Como se presenta por otra parte en [BOES-78] distinto a este resultado, aunque
se haya visto que distintos métodos de generación, como ARMA(l.l), cadenas de
Markov, etc., proporcionen resultados en la seríes temporales generadas X(t) poco
parecidos a los procesos de Hurst (al menos visulmente), los diagramas POX que se
obtienen de su aplicación sobre estas simulaciones son semejantes. Esto puede sugerir
que es la función de correlación p(t) quien verdaderamente influye en la variación de la
función R/S como se comentó.
Esta semejanza era ya esperada, ya que el rango reescalado, como se ha visto, se
da en función de sumas parciales 6 de la función de correlación, tales que, según el
Teorema del Límite Central, si tales sumas son aproximadamente distribuidas
normalmente, tales funciones de distribución están determinadas por su estructura de
autocorrelación, de aquí su relación con p(k). Es posible escribir este resultado a partir
de los trabajos de Troutman [1976] y Siddiqui [1976], en el que se relaciona la esperanza
asintótica del rango reescalado con las sumas de la función de correlación:
1/2
,1/2
(129)
6.2.1.1. Interpretación del análisis del rango reescalado.
La idea que se desarrolla en este punto se basa en trabajar con procesos
estocásticos en los que la interdependencia entre valores del mismo proceso, para dos
instantes separados un intervalo largo de tiempo, es pequeña pero no despreciable. Con
lo que el valor en un instante dado de tiempo es dependiente de lo que ocurrió
anteriormente, hasta el instante de tiempo inicial, tal que la dependencia es decreciente a
medida que no acercamos al instante cero, pero nunca llega a hacerse nula.
Dado el proceso estocástico X(t) se calcula su función acumulada como de forma
semejante a la Y(t,x) pero sin incluir la media:
114
CspítlllO 6.
pradales autoafmes.
ACx(t)=£X(j)
(130)
putl
luego, el rango acumulado de la población de X(t), para un lag x, es:
R(t,T) = max[ACx(t + u)-AC x (t)-u.E[X(í)]]-min[AC x (t + u)-AC x (t)-u.E[X(t)]]
(131)
Normalmente la esperanza E[X(t)] y la varianza Var[X(t)] del proceso en su
totalidad se desconocen, por ello, para calcular el ratio comparativo de
R(t ( x)/ «/Var[X(t)] se debe de aplicar, segur; Hurst. >¡\ promedio de la muestra tomada
de X(t) correspondiente al intervalo analizado [t+l.t+r]:
R(t,t)=max|AC x (t + u)-AC x (t)--.(AC x (t + T)-AC x (t))l
(132)
-mnjAC x (t + u)-AC x (t)-^.(AC x (t + t)-AC x (t))l
y reemplazando ^Var[X(t)] por la desviación estandard S de la muestra:
S2(t, x) = - . ¿ f x ( t + u) --.(AC x (t + x) - ACx(t))
(133)
Entonces, se puede determinar el exponente de Hurst H a partir de la regresión
lineal bilogarítmica de la curva R/S vs. t, para este período de tiempo. La gráfica así
construida para el análisis Hurst suele denominarse diagrama POX [MAND-69a].
En base a esto, se puede pensar en un posible forma de generar un proceso de
Hurst, de parámetro H, mediante un proceso de medias móviles hiperparamétrico ó
biparamétrico [MAND-69b]:
F(t;H,M) = (H-0'5). £ [ ( t - u ) H - n G ( u ) ] + QH.G(t)
(134)
u=t-M
donde:
M : es el parámetro de memoria del proceso.
G(u)*N(0,l)
115
Capítulo 6.
Fractales autoafmes.
0 ; si
QH =
0'5<H<1
(0'5-H).¿u H -'* 5 ; si
0<H<0'5
u»l
Si se realiza un análisis R/S del proceso estocástico F(t;H,M) así generado, este
permite observar y apreciar hasta donde llegan los efectos transitorio, y el tamaño del
efecto memoria que tiene. A medida que el M dado como parámetro en el modelo
disminuye de 1000 a 3000, el efecto es imperceptible; pero cuando el M < 3000, el ratio
R/S disminuye para los valores elevados de x, mientras que en el transitorio, donde
R / S oc x", éste permanece sin alterar.
6.2.1.2. Descripción de las zonas del diagrama POX.
Generalmente pueden distinguirse tres zonas fundamentales dentro de los
diagramas POX, según sea el comportamiento del ratio R/S en función de x. El estudio y
la diferenciación clara de estas tres zonas no suele ser tarea fácil en la práctica del análisis
de seríes temporales reales, debido a que se producen acoplamientos y enmascaramientos
de fenómenos que ocurren dentro del un mismo período o lag x. El acoplamiento de
situaciones de no estacionariedad local, con componentes periódicas, ó con efectos
transitorios dificultan la mencionada discriminación, llegando incluso a hacer imposible la
determinación del rango de t en el que la variación de R/S es bilogarítmica lineal, con lo
que no es posible el cálculo de un valor de H. Estas zonas, cuando pueden distinguirse
son:
> log R/S
M*
V
+'
\ x0"5
V-H
%\
X
©
Q>
X*
log T
Figura 70. Zonas delimitadas del comportamiento en el diagrama POX.
116
6«
Fractales autoaflnes.
"* La zona ® donde se aprecia un comportamiento asintótico hacia una
variabilidad de la forma t 0 5 de la curva R/S(T). Esta zona corresponde al limite del
efecto memoria, ya que para períodos de tiempo superiores a éste el proceso no
tiene en cuenta lo ocurrido anteriormente. F.n esta zona se da la independencia de
un valor en el instante t con otro en el instante t + t*, con lo que el
comportamiento del fenómeno, a estas distancias temporales es absolutamente
impredecible, es aleatorio con correlación nula entre ambas posiciones.
•*" La zona ® intermedia, corresponde con los períodos de tiempo donde el efecto
memoria interviene, y se hace patente en la variación temporal de la serie. Esto es,
H no es O'S, sino que es mayor (como en los primeros resultados obtenidos por
Hurst en 1957) si el proceso es persistente, ó menor si el proceso es
antipersistente. Esto ocurre cuando las correlaciones entre los valores en dos
instantes t y t + t* pasan de ser nulas (como ocurre en la zona ® ) a ser bien
positivas, bien negativas, si se esta en el caso de que H > 0'5 ó H < 0'5
respectivamente. Para entender algo más este comportamiento se puede mencionar
que es persistente cuando O'S < H < 1, y se da ésta situación cuando la amplitud de
la señal ha aumentado durante un período t y además es probable, y así se espera,
que continué aumentando con la misma tónica durante un período posterior de
dimensión semejante. Contrariamente, si se observa que esta amplitud decrece
durante un período dado, entonces, es de esperar, que siga decreciendo durante un
período semejante al anterior. En otras palabras, el proceso estocéstico persistente
muestra tendencias bastante claras, con un ruido poco acusado. De hecho, se suele
tender a encontrar periodicidades en este tipo de procesos. Por otro lado, los
procesos estocásticos antipersistentcs se dan cuando 0 < H < O'S. En ellos, cuando
la variable muestreada presenta sucesivos grandes aumentos que siguen a
disminuciones previas importantes y recíprocamente, suelen poseer en su
estructura una componente de ruido bastante acusada.
"" Finalmente, en la zona señalada como (3>, la situación corresponde con el
transitorio de la señal medida, con lo que los resultados en el ratio R/S se muestran
erráticos, lo que conduce a la imposibilidad de definir un valor de H concreto para
éste período. Obviamente esta zona no presenta el interés que tenía la ®, debido a
que no se la puede caracterizar, pero si tiene interés ya que dependiendo del
intervalo que ocupe en los valores de x, es posible determinar la duración de los
transitorios más largos en la señal analizada.
117
Capítulo 6.
Fractales autoafmes.
Cuando la amplitud de los períodos de memoria es corta, la zona ®, donde se
puede identificar H, desaparece solapándose los efectos transitorios con los de
independencia absoluta, concluyéndose que la señal medida es completamente aleatoria,
exceptuando los períodos transitorios.
Hay que decir también que este análisis, el R/S, aún siendo tan robusto como es,
no permite distinguir entre el tipo de ruido que se trata, en términos de su distribución
estadística. Por ello, aplicando R/S se es incapaz de diferenciar si X(t) se comporta como
una variable aleatoria uniforme, ó gausiana, ó poisoniana, etc., con lo que no se pueden
diferenciar la distintas funciones de distribución con este método. Para lo que si puede
ser útil, como se verá en otro apartado, es para determinar las calidades de los
generadores aleatorios, pudiéndose distinguir aquellos que son de valores
independientes, de los que poseen cierta memoria en la generación sucesiva de números
aleatorios, lo cual va en detrimento de su calidad.
Habitualmente, el valor del efecto memoria M* observado, que corresponde con
el valor de x\ a partir del cual surge el comportamiento aleatorio no correlacionado,
numerado como <2) en el gráfico, se denomina memoria efectiva. Este valor no suele
coincidir exactamente con el valor del efecto memoria M real, pero verdaderamente
depende de éste así como de H, ya que:
> La memoria efectiva M* es proporcional a la real M, como consecuencia del
comportamiento invariante, de los datos de la serie temporal, al cambio de escala en el
tiempo (la denominada autosemejanza, aunque verdaderamente se trate de una
autoafinidad debido a que tos ratios de cambio de escala son diferentes en t y en X(t),
posteriormente se explicará la relación entre este efecto invariante, el movimiento
browniano y los fractales). En Mandelbrot y Wallis [1969] se sugieren algunos valores
que aquí se presentan, para la relación de M* con M, según el valor de H. Si se toma un
H = 07 entonces se obtiene M/M* = 1/3; y si H = 0'9 se tiene que M/M* -» 1.
> Además se verifica que M/M* < 1, ya que cuando se toma el límite:
lim Fvt;H,M)
(135)
F(t;H,oo) = (H-0'5). ^ ( t - u ) H , 5 . G ( u ) + QH.G(t)
(136)
entonces:
118
Capitulo 6.
Fractales autoqfines.
Luego, en el modelo especificado por Mandelbrot para generar simulaciones que
posean un comportamiento de Hurst, la restricción de introducir un M finito (simplificar
dicho modelo) supone tener un error de truncatura, que depende de M y es función del
tiempo, pero varía poco sobre un período de duración M. Este error se manifiesta como
un sesgo, afectando al valor medio alrededor del cual el ruido generado fluctúa, para
dejar la relación R/S sin afectar. En otras palabras, en tanto en cuanto x sea mucho más
pequeño que M, la truncatura no se notará, y la señal X(t) podrá identificarse como un
proceso de media móvil con memoria infinita. Pero, por el contrario, cuando x se
aproxima a M, el ratio M/M* -> 1.
6.2.1.3. Otros tipos de análisis.
Existen otros métodos, basados en el análisis del rango reescalado R*(x) y su
comportamiento asintótico respecto a xff5 (el diagrama GEOS de [MESA-93]). Este
diagrama GEOS es un test visual para determinar la existencia del efecto Hurst en una
serie temporal suficientemente larga, siendo considerado, por su autor (ref. anterior)
como mucho más potente que el diagrama POX, debido al hecho de que el diagrama es
reescaldo apropiadamente, no solo con respecto a la media, sino también con respecto a
la varíanza y a los momentos de orden superior.
Además mediante este método, no es preciso realizar una estimación ni ajuste de
las pendientes, para el cálculo de H, en los resultados. La única limitación se encuentra
en que la longitud de la serie a analizar no sea lo suficientemente grande, lo cual
originaría dificultades en la búsqueda de la asíntota. Por esto, en la práctica, es
conveniente, por su facilidad, realizar previamente el estudio asintótico GEOS de la
curva K'(x)/xvs
vs. x, ya que permite asegurar el tipo de conducta que se puede
encontrar posteriormente al estudiar el diagrama POX. Además es especialmente útil
para aquellos procesos estacionarios que exhiban un período corto de memoría, lo cual
reduce el tiempo que tarda la curva del GEOS en alcanzar una asíntota, que será
horizontal cuando la serie converja hacia una función de distribución conocida, en
cambio si presenta un efecto de Hurst el comportamiento será de asíntota divergente
hacia infinito.
119
Capitulo 6.
Fractales auloafmes.
R*/x
(TS
*
-
•
•
•
* No hay Hurst presente en X(t)
• Hay efecto de Hurst en X(t)
Figura 71. Interpretación visual del test GEOS.
Como una ampliación del test visual GEOS, se puede estudiar éste con respecto a
los valores de los cuantiles, para un nivel de confianza dado de a. Si la serie X(t), como
realización de un proceso estocástico con una escala de fluctuación 6, no muestra
comportamiento de Hurst si se verifica que los valores del GEOS se encuentran en:
R-/x"e(q;,q;)
donde los cuantiles q~ y q* de la distribución asintótica indica '.os de R*(x) /x
q;
cuantil 1 —
2
cuantil —
2
(137)
son
(138)
para un valor suficientemente grande de x.
Podemos indicar como una estimación práctica de éstos la que se realiza teniendo
en cuenta el comportamiento asintótico, con x hacia oo, de la esperanza y la varíanza de
R*(x), según:
ElR'.x^Jl^lfVarjR-.T^ 5 ])" 2
(139)
tal que, cada cuantil es:
120
CspítlllO 6.
Fractales autoafines.
6
T3
H íí"- W^)
+ 2'l.fc/"
1 3
- -*'
<l40)
(141)
aunque también pueden encontrarse para ello otras expresiones en Vanmarke [1988].
Otros, como el análisis de la función de estructura SF(x), que se muestia en
[PROV-92], y que se basa en el estudio del comportamiento de esta función según t,
estando ésta definida como la suma cuadrática de las diferencias entre valores separados
un lag x. Para una seriefinitadada tal como {X(t)}|mI, de longitud N, la expresión de la
función de estructura es:
SF(T) = ;£(X(t + T)-X(t)) 2
(142)
y de la que se puede extraer el valor del exponente de Hurst de invaríanza al cambio de
escala, ya que:
SF(T)OCT2H
(143)
Esta función, para valores pequeños de t, tiende a ser oscilante, debido a los
efectos transitorios que limitan la región del espacio de fases visitada por el sistema.
En [HIGU-88] también se expone otro método que, en un principio, está
planteado para fractales autosemejantes (del tipo líneas de costa pe), y en el que se
calcula la longitud perímetral de la curva como:
L
n.( T ) = x [v
m = l , 2 , 3 , ...,k
X X ( m + i.T)-X(m + (i-i).T) . — — ^
—
ti
) T.ÍNT(N-m)/Tj
(144)
de tal manera que, el promedio de las diferentes longitudes para cada x varía
proporcionalmente como:
(L(T)) m =-.¿L m (t)ocx H - 2
(145)
121
Capítulo 6.
Fractales autoafmes
de donde se calcula H. a partir de la pendiente de una regresión lineal después de una
transformación a logaritmos de la función resultado. Este método no parece estar lo
suficientemente bien planteado, si se observa la expresión de (L(x)) m , ya que si lo que se
esta analizando es una función X(t) con un comportamiento autoafin, la medida de la
longitud sobre la unidad de T, debe de estar afectada por el exponente de invarianza H
Esto es así, ya que para aplicar un cambio de escala de estudio en la proporción
r.t en el eje de abcisas, debe de aplicarse un cambio de r H .X(t) en las ordenadas, para
mantener de esta forma las características invariantes en la distribución de la función, lo
cual obliga al conocimiento previo de H. Este hecho, que no se tiene en cuenta en la
expresión de L m (x), afecta a los resultados en el sentido de que se hace una
determinación incorrecta de H.
6.2.1.5. Aproximación física al rnBf.
Definida una variable aleatoria £ por su función de distribución si se toma una
variable con una función de densidad de probabilidad gausiana:
f(frx) =
'
.c"-«
V4.7C.A.X
(146)
el conjunto muestral de variables independientes {£,} gausianas e idénticamente
distribuidas poseen un momento de segundo orden (varianza) que es:
Var[£]. ($ 2 ) = f y . f(fc x).d£ = 2. A. x
(147)
luego, a partir de la ecuación de Eir^tein, se puede obtener el coeficiente He difusión:
expresión que resulta interesante para la obtención de ia difusión A, cuando se trabaja en
el análisis de trayectorias de partículas. Si ahora se normaliza el proceso a varianza
unidad:
É«-TA—
(149)
V2.A.X
122
CdpítlllO 6.
Fractales autoafines.
y se define la posición x de una partícula como función de las variables aleatorias £
anteriores:
X(t = n.x) = ¿ £ ,
050)
En el caso de observarse solo los instantes t, t + 2.x, t + 4.x,.... t + n.x, con n par,
la función de probabilidad conjunta para dos instantes sucesivos K1;E,,+díU y
pU.ÍU + ^ 2 j e s f(lp^2'T)- Luego, por independencia.
f ( l p ^ ) = fté,;x).f(t2;x)
(151)
y la función de densidad de probabilidad (fdp) conjunta es entonces:
f(Í.-0 = f f(E-|,;T).f(Í,;t).d¿,= , *
-e'^
J
"
V4. TI. A. 2.x
(152)
con lo que los dos primeros momentos de la variable son:
E [ | ] - ( | ) = 0 ; Vai(É].(?)*4.A.T
(153)
Si se hace entonces, sobre la fdp, un cambio de escala de ratio r en x de r.x:
,
_sL
f(frx) = , \
.t"<*
V4.7t.A.r.x
(154)
entonces éste afecta en los momentos:
E [ l ] - ( l ) = 0 ; Var[^] S (| 2 ) = 4.A.r.x
(155)
Se puede decir entonces que, cuando se hace el cambio de variable:
| < - r " \ £ ; x*-r.x
(156)
con lo que se tiene:
Ain cambio en la escala temporal de r
Am cambio en la escala de la variable de r1'2
123
Capitulo 6.
Fraclales autoafmes.
y se sustituye en la fdp como:
('"'<)'
f(r,,2.£r.T) =
V4.7t. A. r. T
(157)
verificándose que:
f(r M .fcr.x) = 4 - - f ( t t )
(158)
£f(£x).dÉ = £ftt;T).dS = l
(159)
y además que:
se dirá que se tiene un proceso £ invariante en distribución o autoafin
Tomando ahora un proceso como la integral del gausiano, ó movimiento
browniano:
X(t)=í^(x).dT
(160)
y provocando un cambio de escala como el anterior, de ratio r, se observa que en las
probabilidades de los incrementos se verifica la relación:
Pr[r" 2 .(X(r.t)- X(r.t 0 ))] = r" 2 .Pr[X(t)- X(t 0 )]
(161)
luego el movimiento browniano, que se denotará como mB, tiene los incrementos
gausianos y además sus momentos son:
f(X(t)-X(to)) = 0
mB:
((X(t)-X(t 0 )) 2 ) = 2.A.|t-i
(162)
Estudiemos ahora brevemente la conexión del mB con el efecto de Hurst. Supongamos
que en vez de hacer un cambio de escala de r"2, se hace de rH, donde el parámetro H e
[0,1], y verifica que los incrementos:
124
Capítulo 6.
Fractales autoqflnes.
<B H (t)-B H (t 0 )) = 0
mBf
((B H (t)-B H (t 0 )) 2 ) = 2.A.t.
t-t„
« t -1,
|2.H
(163)
El proceso así obtenido es un movimiento browniano fraccionario BH(t) ó mBf.
Utilizando la relación de Einstein anterior se puede definir la difusividad anómala AH del
movimiento browniano fraccionario BH(t):
A„4.¿((BH(t)r)=A.|tr
(164)
esta difusividad es un parámetro importante en los fenómenos de transporte. Este
carácter anómalo es debido a la naturaleza fractal fraccionaría del movimiento o de las
trayectorias BH (x) de las partículas transportadas.
Si se toma un instante inicial t0 = 0 en el que BH(t0) = 0, con un x = 1 y con la
varíanza 2.A.T = 1, la función de correlación entre incrementos futuros de BH(At) con
los incrementos pasados es:
p ( A t ) _(-B H (-At)-B H (At))
((B„(At)) 2 )
(165)
(((-B H (-At) + B H (At)) 2 )-((-B H (-At)) 2 )-((B H (At)) 2 ))
((B„(At)) 2 )
tal que al sustituir los valores correspondientes:
P(At):
2 2H .At 2H -At 2i, -At 2 - H
At2.H
(166)
y como la variación respecto al tiempo se simplifica, el coeficiente de autocorrelación es
1 para el lag cero, por tratarse de la autocorrelación entre un valor con sigo mismo, y
constante:
p(t) = 2 2 "-'-l
067)
125
Capítulo 6.
Fractales auloafines.
para el resto de los lag At. De esta expresión puede despejarse el valor de H, con lo que
se tiene otra técnica, denominada de segundo orden (que se tratará más ampliamente en
otro apartado posterior) para la determinación del comportamiento local en H de la serie
temporal. Si analizamos ahora lo que implica esta expresión en el comportamiento del
B H (t), según el valor de H:
*" H = 1/2 la autocorrelación p = 0, con lo que se esta en el caso anterior de un
movimiento browniano clásico puro mB, de valores absolutamente independientes
e idénticamente distribuidos.
**" H > 1/2 la autocorrelación p se encuentra dentro del rango (0,1], con lo que si
para un instante en el pasado ha habido un incremento (positivo o negativo) en la
variable B H (t) entonces también lo habrá en promedio en el futuro de la misma
forma. El fenómeno que así ocurre se caracteriza por un morfología persistente en
sus tendencias.
<*" H < 1/2 la autocorrelación p esta entre los valores [-1,0) de forma que una
tendencia en aumento en los instantes pasados, se transforma en otra tendencia
decreciente en el futuro, y recíprocamente. Este comportamiento es denominado
antipersistencia, y produce morfologías en B H (t) de aspecto muy aleatorio.
Es posible entonces identificar un proceso de Hurst como un caso particular del mBf, en
el que el rango de valores del exponente H está comprendido entre [0,1].
En [MAND-68a] es posible encontrar una definición analítica del movimiento
Browniano fraccionario (mBf), a partir de la integral fracciona! de Holmgren-RiemannLiouville, que integra un mB simple afectado por el factor (t - s) H " 2 , mediante:
B H (t)=
H
. ¡ . , [ ' (t-s) H - ff5 .dB(s)
r(H + 0 ' 5 ) J «
(168)
Asi descrito, el mBf es una familia de funciones aleatorias gausianas fraccionarias,
definidas a partir de una transformación de B(t), que es un mB, y de H (parámetro
característico que satisface H e [0,1]). Puede verse que, de esta manera descrito, el mBf
B H (t) de parámetro H es una media móvil de B(t), en la que los incrementos del pasado
en B(t) se encuentran ponderados por (t - s)H""2. La notación dB(s) para una variable
126
CdpítlllO 6.
Fractales autoafmes.
aleatoria browniana es transparente cuando se intenta evaluar la integral reemplazándola
por una suma finita, situación que se da cuando se desea hacer una simulación de un
movimiento brownianofraccionario.Aparece asi un factor en n" 2 que tiene en cuenta el
cambio de escala al tomar el tiempo de integración de s <- i/n:
B H (t)«
?
n" 2 .E
.V t—
(169)
Pero esta primera aproximación es divergente a medida que s se aproxima a -QO,
luego la definición debe de cambiarse por:
BH(0-B„(0) = - - í í l : ^ . i f - K ( t - s ) . d B ( 5 )
(170)
donde la función K:
K(t_s)
id-.)"5
;-o,.„
l(t-s)H<r5-(-s)H05
,sis<0
supuesto conocido BH (0), ya que puede tomarse como nulo.
De esta forma, al practicar un cambio r de escala en t, se tiene que:
B H (r.t)-B H (0)=
^Q,
£K(r.t-s).dB(s)
(172)
luego se verifica que en distribución (denotado por el signo =):
dB(s=r.t) = r1/2.dB(t)
(173)
K(r.t-r.t)srH0'5.K(t-t)
(174)
B H (r.t)-B H (0) = r H .[B H (t)-B H (0)]
(175)
por lo tanto:
para cualquier ratio r.
127
Capítulo 6.
[•"raciales autoafmes.
Supóngase ahora que se escoge un instante t = 1, y un incremento de At = r.t:
B H (At)-B H (0) = |At|H.[BH(t)-BH(0)]oc|Al|H
(176)
con lo que se verifica la característica de la autoafinidad de BH(t) Como se puede ver,
después de lo escrito, los incrementos del mBf son estacionarios de primer orden, al
poseer media nula independiente de t, pero no lo son de segundo orden, por tener
varianza infinita a medida que t aumenta.
La integral modificada en la expresión del BH(t) dada por Mandelbrot, tiene u; a
formulación discretizada en una sumafinitaque ahora es convergente:
BM0-B„«,-0 = 1 W i ^ . J M ) K ( t - l ) n ^ ,
(.77,
En ésta se produce un truncamiento ya que se utiliza un número finito de
términos y se cubre un rango M en un tiempo t. Si se cambia la función K
apropiadamente por la expresión completa de Mandelbrot, según los valores de s < 0:
B„(0-B H (t-l) =
r(H + 0'5)
Z
-H-0-5 c
S]+n(M
1
(M-Ut)
^+T((»-¡)H-"-ÍM-WUuMM-W.
i
1=1
(178)
A la hora de efectuar las simulaciones del mBf siguiendo este algoritmo se
observa la ineficacia del mismo, ya que las sumas de n.M términos deben de ser
evaluadas para cada incremento en B H (t). Al aplicar este algoritmo se aprecia cómo no
hay cambio de variable en los incrementos deBH(t), a medida que H aumenta, ó
disminuye. Cuando esto ocurre (H aumentando) las componentes del BH(t) de baja
frecuencia disminuyen de amplitud y generan poca cantidad de saltos (persistencias) en la
señal de B H (t). Inversamente ocurre cuando H disminuye, las componentes de alta
frecuencia se potencian creándose señales cada vez más antipersistentes, más aleatorias.
Físicamente, asociando el mBf como un movimiento de una partícula, a medida que H
aumenta el aspecto aleatorio de la trayectoria es proporcionalmente reducido.
Veamos ahora la extrapolación e interpolación del mBf y el movimiento gausiano
fraccionario mGf. Para ello, partiendo de dos variables aleatorias gausianas G, y G2
128
Capítulo 6.
Fractales autoafines.
independientes e idénticamente distribuidas de media nula, entonces la esperanza
condicional de la 1 respecto a la 2 puede calcularse mediante:
E[G,/G,] E[G,G 2 ]
G2
" E[GJ]
(179)
por lo que si se conoce el valor de BH(T), en T > 0, la intención es calcular cuál será el
valor esperado en t, con -oo < t < oo, como B H (t), condicionado al valor en T. Para ello
podemos aplicar la expresión anterior:
E[B H (t)/B H (T)]
B„(T)
E[BH(t).BH(T))
~
E [(B H (T))
2
(180)
;
de donde se obtiene la fórmula de extrapolación e interpolación condicionada al dato de
baseB H (T):
E[BH(t)/BH(T)]_t,H+T;H-|t-T|
BH(T)
"
2T 2 i l
2.H
(181)
Si se define la variable reducida s = t/T, y se sustituye este cambio de variable, se
puede describir la función QH(s), que varía en función de H, como se aprecia en las
figuras adjuntas:
E[B H (s.t)/B H (T)] = l [ s 2 H + l - | s - l | 2 H ] . B H ( T ) = QH(s).BH(T)
(182)
Figura 72. Función Q(s) en régimen antipersistente.
129
Capítulo 6.
{•'raciales autoafines.
Q¿s)
1
1
1/2
,
'0
0'5
1
H=0'9
0'5 < H < 1
H=0'5
Figura 73. Función Q(s) en régimen persistente.
En éstos gráficos se observa que cuando 0 < H < 0'5 la curva de QH(s) no es
diferenciaba en las proximidades de t = T, en cambio sí lo es cuando 0'5 < H < 1.
La representación en un continuo de un mBf requiere que su derivada B'H (t),
definida como un movimiento gausiano fraccionario mGf, sea aquella que verifica:
B'H(t;8) = liml[B H (t + 8)-B H (t)J
(183)
Pero como el mBf no es rectificable, aunque sea continuo, esta derivada ha sido
definida sobre un proceso suavizado BH(t;5), de parámetro 8 > 0, que [MAND-68a]
identificaron como:
148
B„(t;8) = -1. Jr+ B H ( s ) . d s
(184)
La derivada así definida es estacionaría, y su función de covaríanza es:
Cov[At;8] = i . o í . 8
2H 2
- .
1 + J—U
8
"Atl^H
-2.
v
/
At
,2.H
(185)
donde a2u es la varíanza del mBf cuando la distancia entre dos puntos es la unidad:
Var[BH(t + At)-B H (t)] = oMAt
|2H
(186)
130
Capitulo 6.
Fraclates autoafines.
Para aquellos casos en los que 0'5 < H < 1, la función de covarianza es positiva y
finita pero no convergente, con lo que la señal es de energía no finita:
J*Cov[At;5].dAt->oc
(187)
6.2.1.5. Técnicas de segundo orden en la determinación de H.
Estas técnicas se basan en la determinación del coeficientes de autocorrelación p
medios de los datos, para un espaciado entre éstos que se correlacionan de At, según la
expresión que se señaló en el apartado anterior:
p(t) = 2 2 i í l - 1
(188)
y que se desarrolla algo más, a continuación, para los procesos estocásticos con
comportamiento fractal autoafin
Dado que un proceso fractal que, en el caso de los procesos estocásticos
temporales, se desarrolla en una dimensión, posee unos incrementos de la variable
aleatoria con una varíanza que es, como se expuso anteriormente, proporcional a la
potencia 2.H del espaciado ó lag At entre los datos X(t):
E[(AX(t))2]ocAt2J1
(189)
Como una primera aproximación, el valor del exponente H puede ser estimado a
partir de una regresión lineal bilogarítmica de la ecuación que resulta de aplicar
logaritmos a la anterior:
logE[(AX(t))2]oc2.H.logAt
(190)
y cuyos datos pueden estimarse de los promedios de las diferentes varíanzas de los datos
tomados en grupos desplazados At, lo cual es semejante al análisis del variograma de la
serie temporal.
Como una segunda aproximación, el exponente de Hurst H puede ser
determinado localmente para un At determinado, con lo que se el interés se decanta al
131
Capítulo 6.
Fractales auloafines
conocimiento de cómo varía el comportamiento autoañn de la serie para diferentes lag
temporales. Esta determinación se realizará mediante el cálculo de la autocorrelación p, y
para ello se estima el ratio de esperanzas
E[(X(t + 2.At)-X(t)) 2 ]
(191)
EÍ(X(t + At)-X(t»
Dado que el H en un mB fractal es independiente del paso temporal tomado, por
la invaríanza del comportamiento en el sentido de la distribución al cambio de escala, los
cálculos a partir de éste ratio pueden usarse para determinar si el proceso en estudio es
fractal ó no, según sea la constancia del H obtenido a lo largo de los diferentes 2n.At. Si
estimamos cada una de las varíanzas de este ratio de verifica que:
E[(X(t + 2.At)-X(t))2]oc(2.At)
(192)
E[(X(t + At)-X(t)) 2 ]ocAt 2H
(193)
y sustituyendo, tomando logaritmos y despejando se tiene que:
H=
log4
.[log(E[(X(t + 2.At)-X(t)) 2 ])-log(E[(X(t + At)-X(t)) 2 ])
(194)
En el caso de series temporales largas, el incremento medio producido en la
variable dependiente del tiempo será muy pequeño en comparación con los momentos de
segundo orden anteriores y, por lo tanto, el momento de segundo orden y la varianza
pueden usarse alternativamente. Pero atención esto no es válido cuando se están
estudiando series cortas, donde es preferible testear las hipótesis de fractalidad sobre la
esperanza y el momento de segundo orden de manera independiente, por ello se usará p
en cualquiera de los casos. En el primero si se desea saber la variación de H con el
incremento At tomado; y en el segundo para el caso de tener series temporales que no
son lo suficientemente largas y se desee determinar su H.
Si se hace la hipótesis de que los incrementos de la variable son nulos, lo cual
puede demostrarse si la señal procede de un movimiento gausiano fraccionario de media
nula (en la práctica esta hipótesis se verificará cuando sobre la serie se realice un
132
C3pítlllO 6.
Fractales autoaflnes.
detrending ó eliminación de la tendencia antes del análisis), entonces el coeficiente de
correlación p puede determinarse a partir de:
E[(X(t + 2.At)-X(t)).(X(t + At)-X(t))]
(E[(X(t + 2.At)-X(t))2].E[(X(t
+
At)-X(t)) 2 ])"'
o bien:
Cov[(X(t+2.At)-X(t)).(X(t + At)-X(t))]
(196)
(var[(X(t + 2. At)- X(t))]. Var[(X(t + At)- X(t))])'
que puede desarrollarse en función de H Para ello se tendrá en cuenta que si dos
variables aleatorias x y C son independientes, su suma tiene como varianza:
Var[ x +;]= Var[X] +Var[C] + 2.Cov[xC]
(197)
con lo que se puede despejar la covarianza:
C o ^ C l ^ "
1
^ ^ ' ^
1
' ^ ^ -
(198)
Identificando cada variable aleatoria con un mBf, en función de las propiedades de sus
incrementos se obtiene que:
ÍX = X(t + 2.At)-X(t + At)
|C = X(t + At)-X(t + At)
V
'
y sustituyendo en la expresión de la autocorrelación:
2 2 J 1 =2 + 2.p
(200)
se obtiene la expresión para el cálculo de H:
H=MíM
lo¿»4
(201)
'
133
Capítulo 6.
Fractales autoafines
Esta expresión supone que, a partir del valor del producto de sucesivos
incrementos de la variable y dividido por la media geométrica de los momentos de
segundo orden, se puede evaluar la autocorrelación para obtener H. En ella los valores
medios de los términos estadísticos sirven como estimadores insesgados de las
esperanzas, calculándose el valor de H en el cambio de 2 (n-1) At a 2.n.At
1-1
0.8-
0.6-
H y
•0.4-
/
-i
-o'.s
0.Z-
"ó
o.'s
i
ina
Figura 74. Variación de H con la autocorrelación rho.
Analizando esta ecuación se ve cómo cuando, la autocorrelación p tiende a -1, H
se hace -oo, entonces la ecuación de H(p) es solo válida hasta una autocorrelación tal que
se haga H = 0:
0^log(2 + 2 . p ) o p < - 0 , 5
(202)
lo que supone que si p es inferior a -0'5 el valor de H es nulo.
La interpretación de los resultados obtenidos al aplicar este análisis sobre una
serie temporal se hace además en base a la persistencia que se manifieste para un período
de tiempo y cómo ésta se mantiene, así como para estudiar el rango de comportamiento
fractal de la serie.
134
Capitulo 6.
Fractales autoqfines.
6.2.1.6. Ejemplos sobre casos sintéticos.
La presencia de elementos periódicos, con diferentes longitudes de onda,
producen situaciones, en el diagrama POX, por superposición más complicadas de
interpretar. Supóngase que la señal medida es del tipo:
(203)
X(t) = A.sen(2.7U/L-f<t>) + G(t)
los resultados de analizarla por R/S presentan picos en ciertos valores de x. Pero estos
picos pueden ser de mayor o menor intensidad, dependiendo del tipo de la perturbación
G(t) añadida. Así:
O Cuando G(t) = 0, entonces las posiciones de t, en las que los picos de la
función R/S se dan, corresponden con múltiplos de la longitud de onda de la señal
oeriódica.
A = 1. L = 1/50. t6[0,5.E3]. At = 1 .$ = 0.
X(t)
2
1
0
-1
-2
-3
0E0
1E3
2E3
3E3
4E3
5E3
t
Figura 75. Señal periódica pura analizada.
Como se observa el diagrama POX de la señal anterior, aparecen los picos en las
posiciones de x correspondientes a una longitud de onda de la señal X(t). Dado que no se
le ha añadido ninguna componente aleatoria la pendiente es de H = 0. En el gráfico se
han marcado los dos primeros picos, con la longitud de onda (de 200) y sus múltiplos
que es la que corresponde a la X(t) analizada.
135
Capitulo 6.
Fractales autoafines.
104
• • ••#•••
10J
10'
>
i
•: **ÜÍÍ
ü
10'
10°
10-'
10°
mi»
10'
i IIIIIUI
I_UIIIJB
lO'I^IO5
*200
LXUIUI
104
Figura 76. Resultados del análisis en R/S
O Si G(t) es una perturbación aleatoria pura de tipo gausiano N(0,1), de la
misma amplitud que la señal perturbada, solo se observa un pico en x s longitud de onda,
y a partir de ahí la tendencia en R/S es de un comportamiento asintótico del tipo x°\
A = 1. L = 1/50. te[0,5.E3]. At - 1. <>
j = 0.
G(t) = B.N 01 (t).B = 0'5.
X(t)
0E0
1E3
2E3
3E3
4E3
5E3
t
Figura 77. Señal ruido + sinusoide analizado.
136
Capítulo 6.
Fraclales autoaflnes.
Al añadir la componente aleatoria la amplitud de IJS picos disminuye
considerablemente, aún siendo la amplitud üe la aleatoríedad la mitad de la señal
periódica A. De todas formas, la posición de los picos corresponden con los múltiplos de
la longitud de onda de la componente periódica (200, 400, 800, ...). además la tendencia
pasa de ser H = 0, hacia la pendiente de H = 0'5, como se ve en el gráfico POX.
10'
101
io 7
£
10'
10°
10'
10"
i»im i 11 mu i u i mi
10'
10'
105
UUtf
10'
t
Figura 78. Resultados del análisis R/S de la señal.
A= 1. L= 1/50. te[0,5.E3]. At = 1. <p = 0.
G(t) = B.N 0 J (t).B=l.
X(t)
5E3
Figura 79. Señal sinusoidal + mB.
137
Capítulo 6.
Fractales autoafmes
Si se sigue aumentando la amplitud de la coponente aleatoria, las amplitudes de
los pico con cada vez menores, aunque se mantienen las posiciones correspondientes. La
tendencia hacia el valor de H = 0'5 es todavía poco clara, pero mucho más apreciable que
en el ejemplo anterior.
A= l . L = 1/50. te[0,5.E3]. At = l.<J> = 0.
G(t) = B.N 0 ,(t).B=r5.
X(t)
-7
0E0
1E3
2E3
3E3
4E3
5E3
t
Figura 81. Señal sinusoidal + mB.
138
Capítulo 6.
Fractales autoafines.
Figura 82. Resultados del análisis R/S de la señal.
Como ejemplo final de componente gausiana añadida a la señal periódica, en este
caso la amplitud produce un atenuamiento fuerte de las oscilaciones de R/S forzando aún
más hacia la tendencia de 1:0'5. Las componentes peródicas todavía son distinguibles en
una señal tan aparentemente aleatoria como ésta, en la que a simple vista es difícil de
distinguir los efectos sinusoidales.
te
10° i
Figura 83. Comparación de la Junción rango según el tipo de señal.
Como se puede apreciar en esta gráfica, donde se han reunido solo los efectos del
rango sin reescalar, lo cual permite estudiar el fenómeno sin las perturvaciones en la
varianza (siempre y cuando se trate del mismo proceso, en este caso uno sinusoidal
139
Capítulo 6.
Fractales autoafmes.
perturbado) el efecto del ruido es inexistente en R(t) para la primera señal (A = 1 y B
nula) produciendo directamente un H = 0. Pero a medida que el ruido se hace más
importante en amplitud, en relación con la que tiene la señal sinusoidal, el rango tiende a
comportarse como con pendiente H = 0'5. Podemos decir además que antes del x = 200
el proceso posee memoria de lo que ocurre (el sistema es peródico y las correlaciones no
son nulas) pero a partir de este momento y si la señal añadida G(t) es más importante el
sistema pierde constancia de esto, tendiendo el R(t) a comportarse con pendiente 0'5 en
todo el intervalo de valores de T. Esta primera interpretación puede verse desde el punto
de vista de la existencia de un memoria efectiva, comentada anteriormente; pero si se
analiza desde otro enfoque puede interpretarse como al haber alcanzado la frecuencia en
T se tiene medida toda la longitud de onda de la señal con lo que se ha obtenido el rango
máximo posible en toda la X(t). Véase cómo ocurre esto en la que B = 0., la máxima
amplitud son 2. A = 2, que es el máximo valor que alcanza R(T), como se ve en la curva
dibujada con •. Si a la señal se le añade otra el rango puede que llegue a alcanzar un
valor asintótico, solo si el rango de G(t) está acotado, pero esto no se da en el ejemplo
aplicado ya que G(t) es gausiano.
© Si G(t) tiende a ser un proceso de Hurst, pero la amplitud A de X(t) es muy
grande, manteniendo el H de G(t), y aumentando A se puede apreciar como el efecto de
los ciclos sobre el diagrama POX es cada vez más importante, perturbándose cada vez
más sus posibles interpretaciones.
A = 1. L = 1/50. te[0,5.E3]. At = 1. <j> = 0
G(t) = B.mbf(t;H = 0'5). B = 200.
3
hm¡\
0E0
1E3
Wíl
/
%
2E3
3E3
4E3
5E3
t
Figura 84. Señal sinusoidal + mB
140
Capítulo 6.
Fractales auloa/ines.
O Para el caso en el que G(t) coincida con un proceso de Hurst (mBf) de
parámetro H, y de la misma amplitud B que X(t), si los valores de H son elevados, esto
es la perturbación es muy persistente, el comportamiento de la función R/S corresponde
con xH, pero a medida que T disminuye, y si la amplitud de la componente periódica es
importante, el pico que se produce en T S longitud de onda, es aún más apreciable Lo
mismo ocurre si G(t) es muy poco persistente y de una amplitud pequeña comparada con
la de X(t)
A = l . L = l / 5 0 te[0,5.E3] At = 1. 4> = 0.
G(t) = B.mbf(t;H = 0'5). B= 1000.
10
X(t)
;W^V
-10
-15
-20
0E0
1E3
2E3
3E3
4E3
5E3
t
Figura 85. Señal sinusoidal + mB
Como se pude ver, del análisis e interpretación de estos cuatro casos, es posible
que ante una señal medida X(t), aparentemente compleja es posible empezar a discernir,
estudiando el diagrama POX, las posibles componentes de la misma, memorias efectivas,
efectos transitorios, y su tiempo de influencia, asi como el tiempo de influencia de un
valor en los sucesivos que son posteriores.
En [MAND-68b], [MAND-69a] y en [MAND-68a] se propone una posible
explicación de este fenómeno observado y descrito por Hurst en las series temporales, en
base a la introducción del denominado movimiento brownianofraccionario(mBf), que se
141
Capítulo 6.
Fractales auloafines.
describe posteriormente, y su relación con este fenómeno, ya que es un proceso de
memoria infinita, y que cuyo modelo, como también se verá, puede ser utilizado para la
simulación del efecto de Hnrst
iC
Señal ejemplo
—
A«1.,B«200.
— — A-1..B-1000.
io- 3
10°
un
10'
-i
»
• • • • • '
10*
"
10'
•
•
•
i i i ii
104
Figura 86. Función rango para las dos señales.
En estos dos últimos ejemplos, es posible apreciar cómo una señal aparentemente
periódica, como es la ©, que se podrían describir como la superposición de dos
fenómenos periódicos, proporciona unos resultados tanto en el análisis del rango R como
de la varíanza S, que permiten descubrir los efectos tanto periódicos, para x = 200, y
múltiplos sucesivos, como los correspondientes ai mido, en este caso browniano puro
(en el que H = 0'5).
Figura 87. Función varíanza para las dos señales.
142
Capítulo 6.
Fractales autoafines.
Los resultados que se presentan a continuación corresponden con el análisis de
segundo orden realizado sobre las señales sintétcas anteriores.
X(t) = A.sen(2.Ji.t/L + <>
| ) + G(t)
A= 1 ; L=l/50 ; <J> = 0
t e [0,0'5] ; At= l.E-4
G(t) = 0
X(t) = A.sen(2.7t.t/L + <j>) + G(t)
A = 1 ; L = 1/50 ; <(> = 0
te[0,0'5] ; At = l.E-4
G(t) = B.N0,,(t) ; B = 0'5
X(t) = A.sen(2.7i.t/L + (l)) + G(t)
A = l ; L=l/50 ; o> = 0
te[0,0'5] ; At = l.E-4
G(t) = B.N0,(t) ; B - l
X(t) = A.sen(2.7r.t/L + <|)) + G(t)
A = l ; L=l/50 ; 4> = 0
te[0,0'5] ; At= l.E-4
G(t) = B.N0il(t) ; B=1'5
.•J
I
Vf
I
I I lililí
101
I
I I lililí
10?
lagx
•
• • ••••"
10 1
•
• •••••!!
104
143
Capítulo 6.
Pradales autoafines.
X(t) = A.sen(2.ji.t/L + <l>) + G(t)
A = l , L - 1/50 , <>
| =0
t€[0,0'5] , At = 1E-4
G(t) = B.mBf(t,H = 0'5) ; B = 200
i iimi
i
i i muí
•
• • •••••'
10*
X(t) = A.sen(2.7t.t/L + <|)) + G(t)
A = 1 ; L = 1/50 , (j> = 0
t e [0,0'5] ; At=l.E-4
G(t) = B.mBf(t;H - 0'5) ; B = 1000
10*
Las interprertaciones que se exponen a continuación corresponden al análisis de
los resultados anteriores, y que provienen de aplicar el análisis de segundo orden a las
seríes sintéticas generadas mediante la composición de una señal periódica con una
aleatoria (gausiana ó browniana).
Caso sintético
H estimado.
G(t) = 0
G(t) = B.N0,,(t)
; B = 0'5
1.
O'l
G(t) = B.N w (t)
; B=l
0'08
G(t) = B.N 01 (t)
; B=1'5
0'05
G(t) = B.mBf(t;H = 0'5) ; B = 200
0'25
G(t) = B.mBf(t;H = 0'5) ; B = 1 0 0 0
0'51
El valor del exponente de Hurst estimado corresponde con los promedios de los
valores positivos de la curva en la zona donde se considera que ha alcanzado una
asíntota, y pasan desapercibidos los efectos de la componente periódica.
144
Capítulo 6.
Fractales autoafines.
6.2.1.7. Ejemplos sobre casos reales.
Análisis por momentos de segundo urden
ALIOU 1969-1986
1
Variable monitonzada caudal Q(t) = m3 / s
Número de datos: 6414
o.s
a
RESULTADOS:
H p ^ - f f n ; xe[l.El,l.E3]
H s ( t ) =0'048 ; xe[l.El,200]
-O.S
.y I
i i ' IIIIII
10a
i i i nuil
101
102
i i i mili
10 1
i i i nuil
104
I agí
101
10° -.
a
10"
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I l i l i l í
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I
I I IIII
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I
1
I
I I 11 l i
103
104
lagx
145
Capítulo 6.
Fractales auloafines.
Análisis por momentos de segundo orden
1
BAGET 1970-1991
Variable monitorízada caudal
Q(t)smJ/s
Número de datos: 7921
rtio
o.s \
\.
5°
o.
RESULTADOS:
H ^ - 0 ' 1 9 ; t 6 [ l . E l , 1.E3]
H S(T) =0'083 ; T G [ 1 . E 1 , 2 0 0 ]
A^
-0.6
.\ I
1«f
• • •••••"
10'
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10*
lagt
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10*
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5
0¿
146
Capítulo 6.
Fractales autoafines.
Análisis por momentos de segundo orden
FONTESTORBES 1965-1991
1
Variable monitorízada caudal Q(t) e mJ / s
Número de datos: 9598
RESULTADOS:
H r t O . t ) «0'23 ; i € [ l . E l , 1.E3]
H s(t) = 0,241
; TG[1.E1,200]
101F
10V
'WV#
ifl° ,
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I
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104
lagx
147
Capítulo 6.
Fractales autoafmes.
Análisis por momentos de segundo orden
TORCAL 1974-1981
Variable monitorizada caudal Q(t) s m3 / s
1
Curva»
05 --
Número de datos: 2557
RESULTADOS:
H ^ - í n S ; t e [ l . E l , 1.E3]
Hs(t) = 0,52 ; x e [ l . E l , 100]
-
_...
o.
-0.5 -1
1<f
^
.
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10^
V)
148
Capítulo 6.
Fractales autoafines.
6.2.2. DIMENSIÓN DE ATRACTORES. ANÁLISIS DINÁMICO DE SERIES TEMPORALES.
A partir de una serie temporal de valores que se extienden dentro del intervalo
temporal entre -» hasta +00, de la forma denotada como Xi = X(t0 + i. At), con i entero
dentro del intervalo [-oo,+oo]. y que puede ser registrada a partir del muestreo de un
sistema físico o bien que se genera a partir de un sistema de ecuaciones determinísticas,
se plantea la pregunta siguiente: ¿qué información se puede sacar del fenómeno que
originó la serie X(t), a partir del conocimiento de ésta y de su análisis?. Otras preguntas
semejantes pueden ser: el proceso descrito por esta serie, ¿es estocástico, es
determinista, ó es disgregable y desacoplable en ambos?. Entonces podemos alumbrar
ciertas ideas sobre el número de grados de libertad, o si el sistema puede ser descrito por
un conjunto determinístico de ecuaciones en derivadas parciales... Estos problemas y
muchos más se plantean con la intención de dar una solución a objetivos más generales:
B La predicción futura de los comportamientos posibles del sistema.
E El análisis indirecto de sistemafísicosreales.
Los sucesivos intentos de explicación a estas preguntas y, en definitiva,
profundizar en la realización de los objetivos anteriores, han dado lugar al desarrollo y
elaboración de una serie de técnicas de estudio y análisis de los sistemas que,
aparentemente, resultan muy complejos. Una de estas técnicas, sencilla de implementar,
es el estudio del sistema dentro del espacio de fases. El espacio de fases es el espacio
euclídeo n-dimensional, donde n corresponde con el número de grados de libertad del
sistema dinámico, esto es, con el número de variables independientes que hacen falta
para describir el sistema, tal que un punto en este espacio describe el estado del sistema
en un instante dado t. Por ejemplo, en el caso de estar estudiando el péndulo, un estado
del sistema en el espacio de fases se determina mediante las coordenadas ángulo 6 y
velocidad angular oa, cuando la ecuación de éste sistema es de la forma:
f(6 , © ; t) = 0
(204)
Los sistemas dinámicos deterministas, pueden ser descritos mediante un sistema
de ecuaciones en derivadas ordinarias, dependientes de un conjunto de parámetros reales
Pue<R:
X'(t) = f(X(t);Pu)
(205)
149
Capítulo 6.
Fractales autoafmes.
o bien mediante un sistema dinámico en diferencias con por ejemplo:
Y(t + At) = g(Y(t);Pu)
(206)
que describen la evolución de un conjunto de variables X ó Y en el tiempo t, y según el
valor de los parámetros. Estos sistemas dinámicos pueden clasificarse según:
Criterio
de Causa
clasificación
su EVOLUCIÓN f(t)
LINEALES
NO - LINELES
su ENERGÍA H(p,q)
Consecuencias
f(t) lineal en sus componentes
f(t) no lineal en sus componentes
Conservación de volúmenes en el
espacio de fases, luego el
CONSERVATIVOS
Hamiltoniano es constante
Contracción de los volúmenes en el
NO - CONSERVATIVOS espacio de fases, luego hay
disipación ó pérdida de energía
En los sucesivos estados del sistema, durante su evolución, se va describiendo la
trayectoria del mismo en el espacio de fases, de tal forma que el conjunto de los puntos
que figuran en esta trayectoria, y a su vez las infinitas posibles trayectorias que pueda
tener el sistema constituyen el atractor del mismo. Dado el carácter no lineal, ó no
conservativo, de algunos sistemas (la gran mayoría de los sistemas físicos naturales), el
atractor que poseen es muy irregular, denominándose, por su aspecto, atractor extraño.
Esto es, como se ha indicado, por la complejidad de su estructura por las órbitas
intrincadas y ciertamente indescriptibles.
Esta situación la suelen ofrecer los tanto los sistemas descritos matemáticamente
por sus ecuaciones, como los sistemas reales no lineales, por lo que cabe pensar una
primera reflexión y es que la naturaleza es fundamentalmente no lineal (para un aspecto
más divulgativo de esta idea puede leerse [GLEY-88] y desarrollado, por ejemplo como
introducción matemática, [BAKE-90]). Dado que el atractor del sistema recoge las
posibles dinámicas del sistema a estudiar, se ha realizado un gran esfuerzo en estudiar
desde esta perspectiva a los sistemas, y desentrañar los aspectos de funcionamiento
dinámico de los mismos. Es esto lo que se va a desarrollar en este punto.
150
Capítulo 6.
Fractales autoafines.
Debido a que gran parte de los sistemas que se estudian dentro de algunos
campos de las Ciencias de la Tierra se miden y describen en términos de las variaciones
temporales de parámetros medidos, esto es, mediante una primera descripción dinámica.
Es posible que, mediante la aplicación de estas técnicas, y la interpretación de los
resultados de las mismos, se pueda llegar a clasificaciones coherentes con esta dinámica,
criterios de predictibilidad, ó de caoticidad versus determinismo, etc..
En general, para las series temporales, esta estocasticidad ó impredectibilidad se
traduce en:
^
<í>
pocos grados de libertad (sistemas dinámicos) => caos determinista.
muchos grados de libertad (procesos estocásticos) => ruido estocástico.
Sobre todo, estos sistemas caóticos demuestran una alta sensibilidad a las
condiciones iniciales, debido a la no linealidad y a la disipación, como se verá
posteriormente. Esta situación provoca que muchos de los cálculos numéricos que se
realizan en ordenador deban de hacerse con extremo cuidado, y ia mayor precisión, es
especial cuando se especifiquen las condiciones iniciales a partir de las cuales se desea
comenzar la evolución, ya que se puede producir la divergencia o separación de órbitas,
que en un principio (en las condiciones iniciales) pueden estar muy próximas.
Como generalmente, y por el tipo y cantidad de datos de los que se suele
disponer de los experimentos artificiales y mediciones de sistemas naturales, no se tiene
una reconstrucción de todo el atractor, sino que tan solo una órbita o algunas de las
órbitas que se encuentran en él (para seríes suficientemente largas, sin efectos
transitorios), con lo que la inferencia de propiedades sobre el atractor (el sistema) y su
dinámica (del sistema), puede ser difícil. Por ello se trabajará con sistemas ergódicos, y
en su defecto se supondrán ergódicos (concepto que se explicará posteriormente, así
como la validez de esta hipótesis), en los que la insuficiencia de un número alto de
órbitas no es importante por la equivalencia entre ellas.
6.2.2.1. Los sistemas dinámicos disipativos en el espacio tie fases.
Dado que el espacio de fases es la representación de los sucesivos estados
instantáneos de un sistema, las trayectorias que se describen dentro del mismo no pueden
cortarse unas con otras, esto se deduce a partir del hecho de que ¡os estados pasado y
151
Capitulo 6.
Fractates autoqftnes.
futuro de un sistema deterministico mecánico están únicamente prescritos por el estado
del sistema en un instante determinado. Asi, dos trayectorias en un instante t pueden
producir una ambigüedad en los estados pasado y futuro, haciendo el sistema
indeterminado en su evolución.
Veamos a continuación las condiciones de conservación de áreas dentro del
espacio de fases, y en el caso de tener un sistema deterministico, descrito por un sistema
de ecuaciones diferenciales. Sea este sistema el descrito por tres ecuaciones diferenciales
ordinarias, para las variables X(t) = (xjítJ.XjíO.Xjft)) coordenadas del espacio de fases,
que definen su evolución temporal:
dxL
-F,(x 1> x 2l x 3 )
dt
dx2
*2V*|i 2i 3/
dt
dx 3 _
^V*!!*!»*!/
dt
—
X
X
(207)
—
X
v
3
s
J<C
v
'y
/p^—A—-~^
/
/
\s <
di
X
i
Figura 88. Deformación de un volumen Ven el espacio de fases.
Dentro del espacio de fases, se toma una región de volumen V y superficie S, que
cambia de un instante t a otro t', y se tiene que el vector de velocidad, en el cambio esta
especificado por las ecuaciones mediante:
v(t) -
(^ÍL
dx2 d x 3 ^
~l"dT' dt ' dt J
(208)
152
CspítlilO 6.
Fractales autoafines.
En el espacio de fases X(t) = (x,(t) l x 2 (t) l x 3 (t)) es el vector perpendicular a la superficie
dS. El flujo neto a través de esta superficie dS, con vector normal n, es F.n.dS, luego
integrando:
4> = J s F.n.dS
(209)
Pero como el flujo es la velocidad de los puntos de fase del volumen V, entonces
para la variación en el tiempo 8t:
4>.5t = 5t.J s F.n.dS
(210)
Dependiendo de que la integral sea nula o negativa, el área de cubierta se conserva ó no,
respectivamente. Como ésta integral es difícil de evaluar, se aplica el teorema de la
divergencia:
(|> = J s F.n.dS = J v VF.dV
(211)
con lo que en el caso de que:
VF = 0 o el sistema es CONSERVATIVO
VF < 0 o el sistema es DISIPATIVO
Como ejemplo práctico analicemos el caso del péndulo simple, en el que su
dinámica se describe mediante la variación temporal de ángulo 6 que toma el péndulo,
según la ecuación diferencial de segundo orden:
^ +9 = 0
dt
(212)
que puede descomponerse en dos de primer orden:
d9
= ©
dt
dco
F = (ffl,-9)
(213)
= -e
dt
153
Capítulo 6.
Fractales autoafines
con lo que la divergencia de F es:
VF.*+5fc2>.0
39
(214)
3©
luego el péndulo simple es un sistema conservativo.
Si ahora tomamos el mismo caso anterior, pero se incluye un término que
representa el rozamiento con el aire, la ecuación que corresponde con la del péndulo con
rozamiento es:
d26 d6
+— +9 =0
dt2 dt
(215)
aplicando de nuevo la divergencia de F,resultaque:
d9
— = ©
dt
do
— = -oo - 9
dt
= > F = (O>,-OJ
-9)
(216)
con lo que la divergencia de F es:
VF = — +
de
da>
' = -l<0
(217)
luego el sistema a pasado a ser disipauvo.
Para un sistema del tipo péndulo pero con un sistema de fuerzas oscilantes (como
un muelle) aplicadas en el punto de soporte, descrito por la ecuación diferencial:
d26 1 de
+ - . — + sene = g.cos(co D. t):
dt2 q dt
do
co
_
— =
sene + g.cosra
dt
q
*
de = co
(218)
dt
dt¡j
dt
'
154
Capítulo 6.
Fracíales autoaflnes.
el vector F es:
F= - — - s e n e + g. eos TB.co.ca D
(219)
y su divergencia:
VF = - i
q
(220)
depende del parámetro q, que es el que determina la llamada calidad del salto.
Generalizando al sistema de ecuaciones diferenciales d-dimensional, este puede
escribirse igualmente como:
dtX = F(X)
(221)
su disipación energética implica que el volumen V se contraiga, no expanda, en el
espacio de fases, lo que significa que:
dt
h{tí dK,)
ddX < 0
(222)
Y para aquellos sistemas dinámicos definidos por una ecuación en diferencias:
Xn+1 =G(X")
(223)
la disipación supone también una contracción en el espacio de fases, lo que implica que el
determinante del Jacobiano J sea inferior a 1:
J„ =det
<1
(224)
155
Capitulo 6.
Fractales autoafines.
6.2.2.2. Exponentos de Lvapunov. Cuantifícación de la divergencia en el
espacio de fases.
Anteriormente se había mencionado que los sistemas disipativos son muy
sensibles a tas condiciones iniciales, En esta afirmación se hace mención a que si se parte
de dos condiciones iniciales, muy semejantes una de la otra, y se deja al sistema
evolucionar, al cabo de un tiempo no muy elevado, las trayectorias no se parecen en
nada. Ambas han divergido debido a la amplificación que producen las no linealidades,
que existen en las descripciones matemáticas del sistema, al ser aplicadas sobre los
componentes más insignificantes que, como el ruido, al cabo de un tiempo cobran su
importancia. La cuantifícación de esta divergencia, que suele ser expeñmentalmente
demostrada cómo exponencial [SCHU-85], se realiza mediante el cálculo de unos
exponentes, que se denominan exponentes de Lyapunov. Además éstos exponentcs
pueden usarse para caracterizar el comportamiento caótico o no del sistema, ya que
dependiendo de su valor (positivo, negativo ó nulo) el sistema puede ser determinístico o
no. Esto puede ser bastante útil en la descripción de los sistemas naturales de los que no
se conocen sus expresiones diferenciales, esto es, para demostrar la caoticidad de los
mismos, y la posterior posibilidad de su predicción.
Para conocer cómo se da este ratio de la divergencia, tomemos por ejemplo dos
estados iniciales,x0 y x 0 + e , en el espacio de fases, separados por un |e| « 1, y
apliquémosles, con n - 0, sobre un sistema descrito en diferencias Xn+1 = G(Xn). La
divergencia de las trayectorias para cada paso n puede ser dada por:
e(n) = e.eX.n
Figura 89. Divergencia de trayectorias.
donde el exponente X es el mencionado exponente de Lyapunov, que da la medida del
ratio de la divergencia, según sea:
X < 0 => evolución no caótica, convergencia de trayectorias.
X > 0 => evolución si caótica, divergencia de trayectorias.
156
Capitulo 6.
Fractales autuafines.
Estudiemos, para el caso unidimensional, el exponente X, su determinación y
signifícación. Supongamos conocida la función Gn*' que aplica el estado n en el estado
n+1, entonces la diferencia entre dos estados iniciales próximos, después de n
iteraciones, y según la caracterización anterior:
Gn(x + e)-G n (x)*e.e
X.JI
(225)
o bien:
ln
G n (x+e)-G n (x)
* x\.\
(226)
cuando se toma el límite de e -> 0, podemos despejar:
dG"
X = -.ln
n
dx
(227)
Si ahora se aplica la regla de la cadena para derivar la n-ésima iterada:
d G
~:2(x)
dx
= £G[G(x)]
= G'[G(x0)].G'(x0)
(228)
y como x, = G(x0), entonces:
d ~_,
G2(x)
=G,(x,).G'(x0)
dx
tx^x.
(229)
luego:
G x
n-l
T-G'(x)
dx
=n '( .)
(230)
i=0
y tomando límite cuando n -> QO:
n-l
X = lim-!nrTG'(x1)
(231)
1=0
157
Capítulo 6.
Fractales autoafines.
Cuando la aplicación es d-dimensional, existen d exponentes de Lyapunov, como
es lógico uno para coordenada que define las trayectorias del espacio de fases. A
dimensiones superiores a 1 se verifica que, para sistemas disipativos, la suma:
2>,<0
(232)
En definitiva, podemos ver cómo la constante de Lipschitz
||f (x) - f (y )|| á cflx - y|| -> |G"(x- e) - G"(x)| á e \
E
(233)
donde ex* es el factor por el cual la distancia entre dos puntos adyacentes se modifica;
además, X mide la pérdida de la información a medida que evoluciona el sistema.
6.2.2.3. Eneróla de la dinámica v medida del desorden. La entropía de
Kolmoaorov.
A continuación se van a ver las consideraciones energéticas de la dinámica de los
sistemas, desde el punto de vista de la entropía, las implicaciones en pérdida de
información que ello conlleva, y su relación con el exponente de Lyapunov. Se trata la
entropía de otra de las medidas más importantes mediante la que se puede caracterizar el
movimiento caótico. Partiendo del concepto temodinámico la entropía mide el grado de
desorden de un sistema. Por ejemplo, en el caso de un gas confinado, situado en la mitad
de una caja, cuando se le permite el paso a la otra mitad el desorden del sistema aumenta
por la posibilidad de que sus partículas puedan ocupar más estados (posiciones).
Para su estudio consideremos un trayectoria en el espacio de fases X'(t), para los
sucesivos instantes del estado i. Sea p, la probabilidad de encontrar el sistema en el
estado i, entonces se define la entropía K [COUR-85] como:
Koc-£Pi.logPl
(234)
Kn = - £ P l . l o g P l
(235)
Calculando el incremento:
1=¡ 0 J.
158
CspítlllO 6.
Fractales autoafines.
se puede decir que éste es proporcional a la información necesaria para situar el sistema
en una trayectoria determinada con cierta precisión.
En el caso de trabajar con sistemas unidimensionales (con un grado de libertad) la
entropía K es el exponente de Lyapunov positivo:
K=r
(236)
En el caso de que el sistema posea múltiples grados de libertad (sea un sistema ddimensional), se tiene un conjunto de {X.,} exponentes, a partir del Jacobiano J de la
aplicación G:
K =2>;
(237)
!
con lo que la entropía corresponde con la suma de todos los exponentes que son
positivos.
A partir de la entropía de Kolmogorov es posible determinar también el tiempo
medio Tm sobre el que el sistema muestra un comportamiento caótico, a partir del cual
ya no puede ser predicho con una precisión £ [SCHU-88], mediante la expresión (para el
caso unidimensonal):
W9
Tmoc-.log^-J
(238)
La entropía puede ser generalizada, denotada por K q , para aquellos sistemas que
posean singularidades dentro de su comportamiento caótico, tomando el momento de
orden q de las probabilidades:
Kq=-lim-Ui.log £P?
"-»" ~q - 1 n
¡_. .
(239)
I-I0-~I._I
Ahora, si se practica un cambio de variable tal que:
T <- e "
(240)
se puede decir que el comportamiento de las probabilidades es:
159
Capítulo 6.
Fractales autoafines.
P. •
X
T
M'o-i.)
(241)
ri0-i.
donde el número X(i 0 ...i n ), en el intervalo X+áX, es proporcional a:
p(X).TtW.dX
(242)
Al aplicar una transformación de Legendre (argumento semejante al aplicado en el
cálculo de las dimensiones generalizadas de Renyi, ver...), se tiene que cuando T -> 0:
K —±- • N - o w ]
(243)
.onde para determinar X se aplican las condiciones:
g'(X) = q g"(X)<0
(244)
aquí g(X) describe las fluctuaciones de los exponentes de Lyapunov para las seríes
temporales del longitud n.
Los resultados del estudio de la entropía muestran que el conocimiento del estado
de desorden es un concepto importante para la teoría de la información [COUR-85], por
lo que cabe esperar que la entropía de Kolmogorov K pueda medir cuanto de caótico es
un sistema, y de aquí su interés en su aplicación a sistemas naturales, en base a su
definición podemos clasificar su comportamiento en:
Procesos regulares: los puntos que inicialmente se
encuentran adyacentes continúan siendo adyacentes a
medida que pasa el tiempo:
160
CSpítlllO 6.
Fractates autoqfines.
Procesos caóticos: los puntos inicialmente
adyacentes se separan exponencialmente:
c
>
i u
L_iB\
Kr^
^ P\r^
^ JB f
i
0
Procesos
aleatorios.
los
puntos
inicialmente adyacentes se distribuirán con
igual probabilidad sobre los nuevos
intervalos permitidos:
e
=> K x - l 0 g í -+QO
i
3
t
4
>
h^i
^•E
'o
-
P, 0 = *• ; P V , *
i
1 2
0
^^H
^W
1 2
3
N=4
6.2.2.4. La inoperatividad del análisis clásico geométrico fractal dentro
del análisis dinámico.
La teoría ergódica nos permite expresar y proyectar las medidas que se realizan
sobre una parte de un conjunto en estudio al resto del conjunto, siempre y cuando las
medidas aplicadas sean invariantes, esto es, que no cambien por los efectos de alguna
transformación. En el caso que se esta estudiando (sistemas dinámicos disipativos) el
conjunto a medir corresponde con el atractor, que supondremos extraño, que describe el
sistema, del cual se toma una muestra observable (que es lo que se mide habitualmente
en el terreno). Nos preguntamos entonces, si lo medido en la muestra puede ser
extrapolable al resto de la dinámica del sistema que, en un principio, es desconocida.
Partamos de una situación sintética en la que se supone muestreado un sistema dinámico
disipativo descrito por F(X(t)) supuesto desconocido, que se desarrolla sobre un espacio
de fases ílcíR*, con un atractor que es extraño A. Con lo que cuando se mide sobre A,
esta medida se hace sobre F(X(t)), en concreto sobre una de las direcciones coordenadas
del espacio de fases:
161
Capítulo 6.
Fractales autoafines.
F: Q -> Í2
h: fi ~* 9?
(desconocida)
(observable)
Igualmente pueden ser consideradas un serie de m historias, para cada m e N, tales:
Xm(t) = (u„uM>u1_2
u^JeH'
(245)
de modo que:
¿m = {xm(t)}c9r
(246)
es una nube de puntos m-dimensional. En la práctica, cuando se tiene un flujo continuo
de datos, se toman dos parámetros (m,x), y la m historias se presentan como:
Xro(i) = (u(t l -T),u(t 1 -2.t)
u(t l -(m + l).T»6 9l"
(247)
siendo el valor de t tomado dependiendo de la correlación entre los datos. Así para una
correlación alta el x es pequeño, y para correlación baja al revés. De esta forma, si los
valores de retraso x son altos, los u(t, -x)...u(t, -(m + l).T) muestran un grado de
inconexión aparente. Ademas, generalmente no se conoce el valor de m correcto para el
que la aplicación invectiva:
L:A-+mD
(248)
sea un embedding (alojamiento) de Takens (Bai-Lin [1990]), tal que se verifique que m £
2.D+1, cuando la dim(A) - D, ya que el valor de la dimensión D, para la cual el atractor
162
CapítUlO 6.
Fractala: autoaflnes.
extraño es medible, solo se conoce a posteríorí. En principio, la dimensión de embedding
m, se debe de tomar tan g ande como sea posible para, de esta forma, estar bastante
seguro de que el atractor se comporta como un estructura aleatoria, sino que se
encuentra ciertamente estructurado en una serie de órbitas que nos son extrañas.
El valor del retraso x que se maneja depende de las aplicación para la que se esta
utilizando (determinación de dimensión, predicción, fíltrado, e t c . ) , y según sean las
herramientas computacionales disponibles, y según la cantidad de datos que se hayan
muestreado. Así, valores bajos de x, y por lo tanto elevados en m, aumentan el efecto del
ruido en la estimación de las dimensiones, en cambio mejora la eficacia de los algontmos
de reducción del ruido (filtros).
En el análisis dinámico dimensional de los datos tomados como seríes temporales,
la determinación de las dimensiones y su estudio permite obtener ideas sobre:
• La calidad de información necesaria para que un punto (estado) pertenezca
al atractor A.
•La cota inferior del número de variables esenciales para modelizar la
dinámica asintótica.
• Una medida del grado de disipación energética del sistema.
•Permitiendo responder también a otras cuestiones respecto a la caoticidad,
predictibilidad, fractalidad de A, etc..
En el caso de que la dimensión del atractor A sea entera, los atractores más
clásicos que se recogen en la literatura [SCHU-85] son:
punto fijo => dim(y4) = 0
ciclo limite => dim(A) = 1
toro en dimensión p cuasiperiódico => dim(A) = p
que, como se puede entender fácilmente, poseen una medida de Lebesgue finita dentro
del espacio euclideo en el que se desarrollan (su espacio de fases).
163
Capítulo 6.
Fractales autoafines.
En cambio cuando el atractor es extraño ocurre que su dimensión no es entera,
por lo general es de tipo fraccionario (racional ó irracional), con lo que se están
estudiando objetos que poseen, en ciertos casos, una geometría fractal (en el caso más
estructurado), y/o caótica ó aleatoria (en el caso menos estructurado y más estocástico)
La dinámica, que produce esta extrañeza , es no lineal, y acompañada de un proceso de
disipación energética (Hilbertiano del sistema no constante) provoca la extrañeza
geométrica y por lo tanto una dimensión no entera del atractor.
Diversas técnicas se han desarrollado para el cálculo de la dimensión de estos
atractores, en la que ofrecen una medida finita no nula. Esta se puede calcular mediante
técnicas desarrolladas tanto desde el punto de vista fractal cómo del de sistemas
dinámicos. Estas pueden enumerarse como:
•Recubrimientos equiponderados (ó equiprobables).
•Teoría de Información.
• Aproximación fractal heterogénea ó Multifractal.
• Exponentes de Lyapunov.
• Integral de correlación.
Una primera aproximación al cálculo de la dimensión del atractor extraño A
puede ser mediante la técnica de box-counting, basada en la variación exponencial del
número de celdas ocupadas N(e) por el atractor A, a una escala de discretización (ó
precisión) e, que es el tamaño de éstas celdas:
N(e)oceD
(249)
De esta forma, y mediante sucesivos recubrimientos del conjunto A, a medida que
se varía el valor de e, se puede calcular una aproximación a la dimensión de
recubrimiento. Pero el resultado así obtenido no es del todo válido, veamos por qué:
O
Cuando los valores de e son elevados, hay una tendencia a tomar valores
constantes de N(e) que no deben de tenerse en cuenta a la hora de hacer la regresión de
ajuste bilogarítmico sobre esta curva, ya que en esta zona la dimensión fractal es nula.
Para solventar esta situación se propone:
«*" Si se suprimen las celdas U, de mayor s se elimina este tramo horizontal, lo cual
es lo que se estaba buscando, pero en cambio se están desaprovechando datos en
164
Capítulo 6.
Fractales autoqflnes.
cuanto a la variación del recubrimiento dentro de este rango de escalas
desestimado.
"" Si se toman solo dos puntos, lo que supone realizar el cálculo sobre dos escalas,
el resultado es muy pobre y la dimensión fractal puede encontrarse tanto lejos
como en un valor intermedio del valor real, de lo cual no se estará muy seguro.
<** Lo que se sugiere entonces es estudiar cómo varía la pendiente por tramos, ya
que dentro de ciertos tramos de la curva las características fractales pueden
cambiar por los diferentes efectos físicos que pueden ser más preponderantes
uentro de determinadas escalas.
•
Si pensamos que la escala varía de la forma ek « 2"k, y en una nube de puntos
que llena el plano del espacio de fases (luego su dimensión fractal y casi topológica es 2),
para una escala pequeña, supongamos con k = 6 el e = 0'15, con lo que el número de
conjuntos que recubren es:
N(e)oce" 2 / e k oc2" k
^
N(e)|k=6 * 4000
(250)
lo cual es, de momento, computacionalmente viable. Pero cuando el espacio de fases
pasa a ser tridimensional, para el mismo k = 6, el número de celdas U, que recubren el
volumen completo es de 260000, lo cual empieza a ser un cálculo prohibitivo si se
practica sobre una plataforma de tipo PC compatible. El resultado es mucho más
elevado, sin variar la dimensión del espacio euclídeo envolvente del espacio de fases,
cuando e -» 0. Desde un punto de vista geométrico, la identificación del rango de escalas
de validez del cálculo supone la definición del intervalo de comportamiento fractal
uniforme del atractor, denominado inner cutoff y outer cutoff, que permiten practicar el
cálculo de una manera eficiente.
O
Pero desde un punto de vista dinámico la información del atractor no queda
reflejada, y si lo que se están estudiando son los aspectos dinámicos del sistema, no
cómo se distribuye su masa en el espacio (de fases), a los conjuntos del recubrimiento U,
de A no se les debe de asignar el mismo peso, ya que dentro de cada uno de ellos al
menos hay un punto o más de A. Este peso, que se les debe de asociar, dependerá del
número de puntos u órbitas que tengan en su interior, con lo que ahora se cuenta con la
densidad variable dentro del atractor A.
165
Capítulo 6.
Fraclales autoafines.
Resumiendo, el dato de la dimensión obtenida del análisis geométrico, vía box
counting, por ejemplo, resulta en cierta forma inútil debido a los mencionados errores
que se cometen en su estimación. Por un lado la falta total de datos, porque no se
dispone de una serie infinita, y la inhomogeneidad en la distribución de los mismos
pueden producir variaciones importantes. Por esta razón es por la que surge, entre otras,
la aplicación para la dimensión de información ó correlación, que es la que recoge la
estructura espacio dinámica del sistema y que se basa en la teoría ergódica.
6.2.2.5. Algunas nociones sobra teoría eraódíca de utilidad en el análisis
dinámico.
Dado que la aplicación de la medida de Lebesgue es inútil sobre estos tipos de
conjuntos de puntos, ya que lo único que me dice es que son de medida nula, es preciso
definir una medida sobre la que estos atractores tengan una medidafinitano nula, y que
además sea invariante en las operaciones de traslación y rotación.
Tomemos entonces la aplicación x, = f,(x 0 ), que permite aplicar sucesivamente
en los instantes de tiempo t, el estado x0, para obtener el x,. Si a ésta le aplicamos una
función de muestreo sobre el atractor A, como la h(.) se obtiene, por ejemplo una serie
temporal como la u(t). Trabajemos entonces con ésta función temporal, que en general
es desconocida, pero sobre la que se definirá la métrica.
Dada una medida u, definida positiva, se dice que es invariante para x, = f,(x 0 ),
con t > 0, si verifica que:
u(f,(E)) = u(E) ; V t > 0 y E c 9 ? n
(251)
como lo que interesa es calcular esta cantidad sobre E, como parte del atractor, ya que:
u(E) = J£du
(252)
se definirá el par ergódico (x, = f,(x0),u) como aquel que verifica:
VEctt" f,(E) = E=>u(E) = 0 ó u ( E ) = l
(253)
166
CSpítlllO 6.
Fractales autoafines.
Es posible apreciar que la definición de ergodicidad equivale a la de
estacionariedad, si existe una única medida u que es estable e invariante. Además esta se
denomina habitualmente medida natural. Pasa la estacionariedad en las series temporales
esta medida es invariante sobre la traslación temporal en t.
Enunciemos a continuación el teorema ergódico (de Birkhoff en 1927]) que
establece que para una medida u invarinate, y dado el conjunto A, como el atractor
extraño del sistema disipativo x, = f,(x0), y siendo la función de muestreo h(x) de tipo
L'(n), entonces existe el limite:
Umi.thfowMw
k-»oc Ir
*1=1
~
(254)
'
luego, se verifica la igualdad:
£h(x).du = £h(x).du
(255)
Además, si el par (x, - f,(x0),u) es ergódico, el promedio h(x) es constante, luego:
-i-fh(x).du*cte
(256)
J
\i{A) *
y por lo tanto:
feft"(f,W)
= -73tlMx)dM
(257)
Cuando se toma un subconjunto abierto B del espacio euclídeo donde se
encuentra el atractor A, tal que Bc9T, y las órbitas estudiadas llenan densamente el
atractor, se dice que el sistema es ergódico, esto es, que |i(E) = 1.
De esta manera, es posible contar el número de veces que una órbita dada entra
dentro del subconjunto B. Además, es natural asumir que el porcentaje de todos los
puntos que caen dentro de B se estabilizará a medida que se vayan realizando más y más
iteraciones, supuesta la homogeneidad del atractor (y por la definición de atractor).
167
Capítulo 6.
Fraclales autoafmes.
Este porcentaje es la medida natural u(2?) del sistema. Formalmente se puede
expresar como:
u(Z0 = lim-i-.]r H »0O
k—k + 1 ti
(258)
siendo HB(x) la función de Heaviside sobre B.
*
\0 ;s¡ X í £
(259)
por lo tanto, la suma:
Z "»(".)
(260)
1=0
es el número de puntos de la órbita x, que caen dentro de B. Esta medida natural,
definida sobre B, se puede entender como la forma de cuantifícar la masa de una región
de tamaño diam(J9) del atractor. Esta medida es invariante, entonces si f,~'(#) es el
conjunto de puntos que después de una iteración caen dentro de B (ó la preimagen de B),
entonces la medida es la misma que la de B por invarianza en sí:
u(r'(*)) = u(5)
(261)
y por lo tanto se verificará también que:
u(2?) = u(f(5))
(262)
168
Capítulo 6.
Fraclales autoafínes.
Igualmente, es posible definir así mismo una medida natural para sistemas
dinámicos continuos. En este caso, la medida u(fi) es el tiempo relativo en el que un
trayectoria x(t) se encuentra dentro de una región B.
u(B) = lim-.f'Hfl(x(s)).ds
l_»a> l
(263)
JO
Para sistemas dinámicos dados por una transformación Q. A -> 9?, definida sobre
un subconjunto del espacio euclídeo n-dimensional y una medida \x invariante sobre este
subconjunto. Entonces, el sistema dado es ergódico si para casi todas las órbitas (puntos
iniciales x0 eA^, tal que A^a A, con \i(A0) = 1) el valor promedio de g es el mismo
que el valor de g promediado respecto a la medida \i:
Kn>ir-r-¿0(x i )=f A 9(x).d^x)
(264)
como se enuncia en el teorema ergódico.
Si se quiere relacionar esta medida invariante con una dimensión fractal bastará
con reemplazar el proceso de box-counting por un proceso de conteo semejante en el
que cada celda se pondere de acuerdo con su medida natural u; de esta forma se
ponderan más aquellas celdas que sean más visitadas que las que lo son poco, a medida
que el sistema progresa en el tiempo. Entonces, partiendo de la expresión aplicada en el
box-counting, ésta podemos cambiarla a:
N(e)
,
I(e)=£u(ZUIog-ir-
i tal que ¿ . ^ ( x . )
(265)
El valor de I(e) proporciona la cantidad de información necesaria para especificar
si un punto es del atractor con una precisión de e. Obviamente, a medida que el tamaño
de la precisión disminuye, esto es se requiere más precisión, la información necesaria
aumenta. Es posible realizar el cálculo anterior con las informaciones que veríñcan
análogamente:
I(e k )xl 0 +D,.log—
(266)
con lo que se puede obtener el valor de D,, como la dimensión fractal de información.
169
Capítulo 6.
Pradales
autoafines
Por ejemplo, si se trabaja sobre W, en el intervalo [0,1], y se toma cono la
precisión ek = 2"k, entonces, para cualquier intervalo de longitud ek se tiene que:
u(5,) = 2
(267)
Kek) = EMÍB.Mog-i- = ^ 2 Mog2'
(268)
luego:
U
1*1
(°|) |,|
I(e k )oclog—
(269)
D,áD
(270)
Además se verifica que:
lo cual es fácilmente demostrable a partir de las expresiones de med.t geométrica
y
media aritmética:
(ú-r^t*
(271)
generalizando, al tomar las probabilidades (como ponderaciones) pk £ 0, con ]T pk = 1,
entonces:
*M
N(e)
(272)
si se escogen estos coeficientes como ak = 1 / p k , sustituyendo:
Háflf
S
N(e)
0(í7j gP.Pi'=N(a,
(273)
al tomar logaritmos en ambas partes de la igualdad:
170
i
Capítulo 6.
Pradales autoafines
N(e)
I(e) = 2>k logp
k
<logN(e)
(274)
k=l
a partir de este resultado anterior, y según las definiciones de dimensión fractal de
recubrimiento y de información:
_ .. logN(e)
D = lim
.
,
•o |oge
o
_
..
I(e)
D. = e-»0
lim •loge
(275)
luego:
D,<D
• c.q.d
La dimensión de información es una cota inferior de la dimensión fractal (ó de
recubrimiento).
Si se trabaja únicamente alrededor de uno de los ciclos, para entender la
significación de I 0 , podemos definir un entorno de tamaño 6 alrededor de una trayectoria
en el espacio de fases. Esto es, un e-tubo de longitud temporal T (luego, espacial en el
espacio de fases), que denotaremos como MtT, y definido como:
^e.T(x.t) = { y ( t ) / i y ( t , ) - x ( f ) | < e ; V t ' G [ t - T , t ] }
(276)
que también suele denominarse salchicha de Minkowski. Alrededor de esta trayectoria de
referencia x(t) se puede calcular su peso como P eT (x,t) si se integra la medida u(x)
sobre el tubo A/ET:
PEiT(x,t) = J M du(x)
(277)
171
Capítulo 6.
Fractales autoafmes.
teniendo en cuenta que la medida u(x) definida corresponde con la natural, siendo ésta
invariante. Por lo tanto, PtT(x,t) es la probabilidad de que en el estado estacionario una
trayectoria y(t'), tomada aleatoriamente del atractor, se encuentre a una distancia e de la
x(t), siempre y cuando t-T < t* < t. Si se promedia su inverso, se obtiene el grado de
infonnación para asegura esa pertenencia a MtJ (la información es el inverso de la
probabilidad), y consecuentemente su descripción sobre MtJ, con lo que el promedio:
[log-jr) = -J<Mx).logPtT(x,o)
(278)
Cuando la integral se desarrolla sobre todo el dominio en el que el atractor
extraño yace, es muy posible que esta expresión posea un término proporcional a T, y
otro a log (1/e), luego se puede escribir que:
I ( e ) « ( l o g — ) * /».T + D,.loge
\
l
(279)
Kr/tt
De nuevo, es posible reconocer la dimensión de información D,, apareciendo un
nuevo término h que corres,>onde con la entropía de Koimogorov - Sinai. Por ello se
puede decir que la dimensión de información es una dimensión no entera en la que un
conjunto (atractor extraño A) no posee medida nula, y se puede medir éste mediante su
medida natural invariante u(x):
D, =dimM(E) = ¡nf{dim(E)/u(E)= l}
(280)
Si se compara entonces u(x) en el espacio en el que se esta midiendo A, puede
decirse que si el diam(Br (x)) = r, entonces Vx € A, se verifica:
u(B,(x))ocro(),)
(281)
u(x e A / cc(x) = a • cte) = 1
(282)
dim,,U) = a
(283)
y por lo tanto, si:
luego, se puede afirmar que:
172
C8DÍtUlO 6.
Fractales autoaftnes.
En base a esta afirmación, se puede enunciar el siguiente teorema. Si existe y es
finito en A el limite:
,. logu(B,(x))
r-.o
|og r
„„„
dimM(/í) = a
(285)
entonces:
y u(x) es una medida de probabilidad en A. La demostración de éste teorema puede
encontrarse en Young [1982]. Y si además el sistema es ergódico el corolario siguiente
(de Cutían en 1990]) puede aplicarse. Para el conjunto (A, f,, u) que es ergódico existe
el límite:
lim'°9^(X))
(286)
|ogr
r-o
entonces éste es constante, y por lo tanto:
a H cte.
(287)
Ambos, teorema y corolario, presentan las formas de proceder tal que se calcula
la masa de un recubnmiento del atractor A, y gracias al teorema ergódico se puede
establecer una correspondencia entre esta masa y una función de correlación:
(D
A partir del recubrimiento, el peso de cada conjunto permite contabilizar
la correlación como:
Cr(e,N) = - i , ¿ H ( e - | x r - x ; n | )
(288)
y, gracias al teorema ergódico, cuando N -> a>, lo que supone dejar evolucionar el
sistema hacia t -> oo;
lim Cr(e,N) = Cr(e) s u(B(e,x™))
(289)
N-KO
173
Capítulo 6.
Fraclales autoafines.
para una secuencia X™ m-dimensional definida sobre una trayectoria del atractor A.
Por ello podemos establecer la proporcionalidad:
C"(K)ocea'<m)
(290)
tomando límites, al ser un sistema ergódico:
loger(e)
e-»o loge
=
"
y promediando sobre todos los i = 1,..., N,...:
a(m) = {a 1 (m))sE[a 1 (m)]
(292)
Mediante la función de integral de correlación C¡"(e) para secuencias sucesivas
de series m-dimensionales correlacionadas entre s, se va obteniendo un a para cada
dimensión m, y si el sistema es ergódico esta a es constante para cualquier m.
<Z>
También se puede establecer que:
CB(e)=limCm(e,N)=lim-.T-.yH(e-|xr-x™|)
(293)
como la probabilidad de que dos historias X™ y X™, m-dimensionales se
encuentran a una distancia menor de e. Hay entonces que buscar el valor de v(m)
cuando e -> 0, dado por:
*«,.!. SO*
e-M)
(294)
loge
definiéndose ésta como la dimensión de correlación.
Es pues posible calcular masivamente, y para cada m, la función:
C-(e.N) = ¿ . ¿ H ( e - | x r -x»|)
(295)
174
CdpítlilO 6.
Fractales autoafines.
y siendo la m la que se denomina dimensión de embedding ó de alojamiento (según
Takens, en Bai-Lin [1990]) obteniéndose genéricamente que:
v(m) = m
;
v(m) = dim(l(y4)
;
si m< dim„ (A) =
"-*
si m>dim M (i4)
dim(A)
»*
(296)
La forma de proceder anteriormente descrita en ® necesita de más tiempo de
cálculo, aunque permite trabajar sobre estructuras multifractales. En cambio, la técnica
® es bastante más rápida, aunque no se encuentra fundamentada teóricamente, se basa
en la práctica del cálculo masivo de Cm(e) sobre la trayectoria, para cada dimensión de
embedding m, y encontrar los valores de v que se estabilicen:
v(m) = a(m) = d¡mM(y4)
(297)
Habiendo visto que si jj(B t (x)) <x r a , y por lo tanto:
a = Iimlogu0^x))
'-»°
logr
al exponente a también se le denomina de Hólder para el punto x. Este exponente
permite clasificar los fractales en:
si a s cte., Vx e A => es un fractal homogéneo
si a * cte.; Vx e A => es un multifractal
Las medidas de dimensión de correlación pequeñas obtenidas sobre sistemas con
fuerte intermitencia pueden ser desonentativas
La dimensión de correlación es
particularmente sensible a este problema, por ello es preferible determinar la dimensión
de información en vez de la de correlación.
En el caso de que la serie de datos no sea estacionaría se puede trabajar con las
restricciones correspondientes sobre una serie modificada como:
3> Una reproducción sintética según la convolución con la función de transferencia (que
sería en el caso de los sistemas hidrogeológicos el hidrograma unitario).
175
Capítulo 6.
Fractales autoafines
% Una serie filtrada sin el ruido ó la señal que produce la no estacionaríedad; lo cual es
un inconveniente porque para poder llevar a cabo elfiltradoefectivo para éste análisis
es preciso conocer m.
6.2.2.6. La integral da correlación. Medida dinámica de series temporales.
El interés de esta teoría está en su aplicación a la medida de las características
dinámicas de las seres temporales que se han obtenido a partir de la monitorización de
sistemas reales. Dado que en la mayoría de las situaciones en las que se están estudiando
sistemas naturales, por su complejidad, inaccesibilidad, desconocimiento, muchas veces
se ignoran los fenómenos físicos que acontecen, e inclusive las ecuaciones matemáticas
que los describen. En otros casos, estas representaciones artificiales de la realidad,
mediante expresiones matemáticas, son el fruto de sucesivas simplificaciones, que lo
único que crean son modelos limitados y poco representativos de lo que en verdad
ocurre. Por ello quizás puede ser posible el intentar estudiar los aspectos dinámicos del
sistema, siendo este desconocido (como una caja negra), y simplemente medido.
En los casos tipo que se están estudiando a lo largo de esta Tesis, y que
corresponden a una tipificación de los acuíferos kársticos (a partir de [MANG-84] y
[MANG-94]), lo que se pretende es observar si las diferencias en las estructuras (cársticas
son reconocibles dentro de los análisis dinámicos, ya que no solo se basan en la
estructura geométrica de la señal sino que en su dependencia temporal dinámica a
dimensiones superiores a la que es medida (como serie), lo cual permite llegar, en
algunos casos simples conocidos (Bai-Lin [1990]) a reconstruir su espacio de fases, el
número de grados de libertad, la dimensión de correlación, y a distinguir entre sistemas
acoplados.
Otro de los intereses de realizar este tipo de análisis, es vislumbrar la posibilidad
de relacionar la dimensión fractal de la serie temporal con la del la red jerárquica
[MANG-86], identificada como la serie de conductos kársticos interconectados, que ha
producido esta dinámica. Algunos trabajos a este respecto han sido ya publicados, como
los que se encuentran en [GOUY-92] en el que se describe ¡a denominada dimensión
espectral, que en nuestro caso correspondería con la de la serie temporal analizada o la
respuesta del sistema red jerárquica a una excitación, y su relación con la dimensión
fractal geométñca de esta red. Otros trabajos más recientes, realizados sobre hidrología
176
CSiDÍtUlO 6.
Fraetales autoafines.
superficial, analizan la influencia de la forma de la cuenca y de la red de ríos, afluentes
arroyos, etc. en el hidrograma, como por ejemplo en [RINA-95]
Cuando se trabaja con series temporales, fruto del muestreo sobre el atractor del
sistema de una variable del sistema, computacionalmente lo que se determina es la
denominada integral de correlación Esto es, para un conjunto de puntos que pertenecen
al atractor equiespaciados temporalmente una distancia At, debido a la divergencia
exponencial en las trayectorias, que puede medirse mediante los exponentes de Lyapunov
(por la conjetura de Kaplan-Yorke), la mayoría de los pares de puntos, están
dinámicamente no correlacionados, aunque se encuentren sobre el atractor, por lo que se
encuentran espacialmente correlados. Asumiendo que esta correlación espacial se
relaciona con la integral de correlación C(í) definida de acuerdo con la teoría expuesta
anteriormente como:
C(í) = lim ~.card{(x„x ) )/dix„x j ) < f)
(299)
La correlación estandard p(h) se relaciona con la C(( ) anterior según:
rthHlim—ftnx.-x.-h)
(300)
cuando los puntos X, e9T y para la función de Heaviside Hn(«) en el espacio 9T,
pudiéndose establecer que esta relación es:
C(0 = £p(h).dh
(301)
existiendo ciertas zonas de esta función en las que el comportamiento es del tipo:
C(é) x r
(302)
El exponente de correlación v puede tomarse como una medida de la estructura
local de un atractor extraño. Aparentemente parece que v es más relevante que D en la
dinámica a este respecto, tal que:
v£D
/
v<n
(303)
177
Capítulo 6.
Fractales autoafines.
Luego, es fácil de apreciar en consecuencia que cuando la señal es aleatoria pura, por
ejemplo, un ruido blanco, que en el espacio n-dimensional:
(304)
c{t)*r
La inecuación en la que se dice que v < D, se puede probar fácilmente, teniendo
en cuenta que si se aproxima:
1
M(0
M{()
(305)
ahora reemplazando el número de pares a distancia menor que (, por el número de pares
que caen dentro de la misma celda de longitud t. El error cometido debe de ser
independiente de ( y asi no se afectará la determinación de v. Si aplicamos la desigualdad
de Schwartz:
do=M(o-(Pl2)
1
¿ M(¿).(P,) 2 = —^ oc e
(306)
ya que:
M(í)sN(e)oce'
(307)
en esta ecuación el promediado se realiza sobre todas las celdas. Comparándola con:
C(¿)ocT
(308)
v^D
(309)
podemos afirmar que:
Aquí M(£) es la masa de todas las celdas (número de celdas) de diámetro (ó longitud de
lado) £.
En el cálculo de C ( l ) se comienza construyendo ios vectores £,m del espacio de
fases de dimensión de embedding m. En el caso de estar trabajando con un serie temporal
de N datos X, equiespaciados, estos son:
178
Capítulo 6.
I-raciales autoafines.
C =(*•.*,.>
x..»-i) • con i = 1 , 2 ,
N
(310)
El calculo se realiza sobre un espacio m-dimensional, con lo que la integral de
correlación se determina mediante la suma:
c
'w=&¿-ÉH(<-|*r-t:|)
(311)
" j
de tal manera que para que el cálculo de v sea efectivo el valor de m debe de ser mayor
que la dimensión de Hausdorffdel atractor, la cual normalmente no se suele conocer, con
lo que se comenzara calculando a partir de m = 1. El hecho de que v ha alcanzado un
valor constante e inferior a m se da cuando el espacio m-dimensional puede envolver a
todo el atractor quedando reconstruido en sus órbitas. A partir de este momento se dice
que el atractor ha sido reconstruido. Es también por esto por lo que esta técnica de
análisis dimensional también se denomine de reconstrucción de atractores en espacios
embedding. El algoritmo desarrollado aquí, y expuesto en el Anexo A-H, en forma de
programa de ordenador escrito en Fortran 77, calcula esta integral para valores m < 15.
INICIO
I lectura de datos
I
X(t) N
"r\desde i = 1 hasta m /
creación de los vectores
nvdimensionalesi;,,,
F\desde j = 1 hasta N /
i
*rd{( £ . $ " > / | | £ - $ ' | | < < }
con w = 1 hasta N
Cn(')=Jcn(r).dr
FINAL
Figura 93. Algoritmo para el cálculo de la integral de correlación.
179
Capítulo 6.
h'ractales auloafinea
6.2.2.7. Limitaciones en la utilización de la integral de correlación.
El cálculo, en la mayoría de los casos prácticos, se suele partir de una serie
temporal de la que se pretende reconstruir el atractor ó determinar su dimensión
dinámica, o el número de grados de libertad del sistema Como se ha comentado
anteriormente, primero se construye un vector en un espacio finito de dimensión m Y
posteriormente se calcula la integral de correlación contando el número de pares
correlados, tales que la distancia entre ambos, medidos con la norma del máximo (ya que
ésta, a parte de ser más rápida en su cálculo que la euclídea, mejora los resultados), entre
sus distintos componentes, y normalizando por N \ para obtener un criterio de
comparación a 1 con otros resultados Además esta normalización mejora la asociación
de C m (l) como una función de probabilidad acumulada, ya que para un f. dado, la
función C m (l) nos da la probabilidad de que dos puntos (vectores en dimensión m), que
definen una serie de estados consecutivos del sistema y por lo tanto son una porción del
atractor, se encuentren a una distancia de t. De esta manera se puede decir que se ha
conseguido una reconstrucción probabilística de A.
La dimensión de correlación, ó D 2 , para un m dado, estará definida como:
D, = l i m | 0 9 C " ^ )
2
«-*
log¿
;
0<D,<m
2
(312)
y puede ser calculada mediante la identificación apropiada de v s D, El valor de esta
dimensión fractal asi calculada da una idea del efecto global de estrechamiento y
contracción del volumen del atractor en el espacio de fases, de tal forma que éste se
reduce a un objeto de dimensión inferior a la del espacio envolvente. Pero este cálculo
debe de hacerse con cierta cautela, debido a que hay ciertas limitaciones de este método.
®
La primera se deduce de los resultados que se obtienen del gráfico de
representación de logC m (¿) vs. logf:
^ Si ¿ es grande, todos los vectores se encontrarán correlados entre sí, por lo que
C m ( 0 = 1, obteniéndose que la dimensión d correlación D 2 = 1.
^ Si £ es pequeño, nos encontramos en la zona donde el ruido de la señal es la
componente más importante ya sea por problemas de medida, por la precisión de
éstas o por la propia componente aleatoria que el sistema posee intrínsecamente.
Surgen entonces las correlaciones esporádicamente, y por lo tanto los problemas
180
CSpítlllO 6.
Fractales autoafines.
en la definición de D,, obteniéndose en esta región que v = m Es más si este ruido
persiste a cualquiera de las escalas de medida de la distancia f. , entonces v -> m,
para cualquiera de los m que se utilice en el cálculo Se encuentra la situación en la
que no es posible reconstruir el atractor
4 >ogC( j r)
v=m
Figura 94. Región de \xtlidez del comportamiento /racial.
*h Solo en la zona donde se verifique un comportamiento lineal (en logaritmos) del
tipo:
C(0*¿v
(313)
y éste se sea el mismo para cualquier valor de m, entonces tiene sentido v s D2, y
el valor de D : obtenido.
<2>
La segunda limitación esta relacionada con la longitud de la serie y con el propio
valor que se obtiene de la dimensión de correlación Según sea el número N de datos de
los que se parte, si al realizar la construcción de los vectores m-dimensionales y contar el
número N(l )de pares correlacionados dentro de una bola (también m-dimensional) de
radio £ , la existencia del comportamiento fractal implica que:
N(¿) = cte.eD / D * D 2
(314)
Para determinar el valor de la constante se suele tomar un valor de l -> L, siendo
L el rango máximo de la serie, hasta alcanzar el tamaño del atractor. Por lo tanto
todos los pares de vectores estarán correlacionados teniendo N.(N-l)/2, que
pueden aproximarse por N2 / 2, luego.
N(L) = cteL D « —
2
2
N
cte*—.17°
%
2
(315)
181
Capítulo 6.
Fractales autnafmes
y sustituyendo:
N(0;
TÍÍÍ
/ N(0»1
/
f
«l-
(316)
tomando logaritmos
2logN-log2 + D . o d ^ O
(317)
D<2.logN
(318)
y se obtiene que:
ecuación que limita el número minimo de datos necesarios si se quiere capturar una
dimensión fractal de D.
Concluyendo este punto, a continuación se resumen las condiciones necesarias,
que no suficientes para la validez del cálculo de la dimensión de correlación D 2 .
0 El número N de datos de la serie debe de ser tal que verifique: D2 < 2.logN.
0 Se trabajará en el rango lineal de C m (0 oc C.
El Para cada dimensión de embedding el exponente se estabiliza cuando v < m.
E3 Para cualquier m se tiene que v no cambia.
6.2.2.8. Determinación de la entropía de Kolmoaorov.
A partir de los resultados de [GRAS-83c] y [PROC-85], donde se define a partir
del comportamiento de la integral de correlación para dimensiones de embedding m, que
como se ha visto es para m=l:
C(0 = üm - ^ . c a r d t a . x ^ / k . x j < í]
(319)
182
CSpítlllO 6*
Fractales autoafines
y cuando m es superior a 1 se construyen los vectores m dimensionales, y se tiene que:
C m (0= Hm-jl-.card{(xr,xp/¡x:,xfL < ' }
(320)
Si la entropía de Renyi [RENY-70] de orden q se define como:
K «-limlimlim-.—í-.InVp? ,
(321)
y a su vez la integral de correlación es proporcional a:
C'ÍOOCZPU
P22)
'!-'«
entonces, es posible identificar ambas expresiones para relacionarlas, como:
C m (0 x r e ' * '
(323)
l-*0
luego el desplazamiento entre una curva y otra para valores consecutivos de la dimensión
de embedding m, en la representación de I n C ( í ) en función de Iní, es de e" ,K '. Por
ello, si se estudia la función:
1
Cmlt)
que es lo que se representa en los análisis dinámicos que realiza el programa DFT (ver
Anexos A-K), y estudiamos el comportamiento asintótico, podremos obtener que:
limK^->K2
(325)
ai-»o°
parámetro que sirve como condición suficiente para determinar si la serie observada tiene
un comportamiento caótico.
183
Capitulo 6.
Fractaies autoafmes.
6.2.2.9. Ejemplos «obre casos sintéticos.
Correlación para interpolación orden-zero.
1 • » m—a-
Q0.6
X(t) = A.sen(2.*.t/L + 4>) + G(t)
h
A = 1 , L - 1/50 , <t>« 0
t e [0,0*5] , A t = l E - 4
»
•
•
•
•
-
•
<
5-0.5
G(t) = 0
I
1 2 K4
S 6
I I I
I I l
7 B 1 .» J JP 11 112 13 14
dimensión embedaing m
Integral de Correlación Cm{()
Variación de los exponentes en:
10°
u, =0'77
u 3 = 0'83
CÍO**"'
u, =0'97
u, = 0'98
u 3 = 0'88
ü 10 = 0'99
u 4 =o'9i u„ = roo
u5 = 0'93 u l2 = l'OO
u 6 =0'95 o,, = 1'01
u 7 = 0 ' 9 6 u,«=l'01
2
1.5
-
ht-<¿<>****»+JXh&OO
i 111 mu
10»
i IIIIUI
10a
10^
i_
mu.
10°
10"
0.5
101
-
I IIIIIIi IIII
I
1 2 3 4 5 6 ^ f 9101112194
Entropía de Kolmogorov
0.5
i
0.375
E
*
0.25
0.125
0
-«.125
;
s.
^JI :
>r
i
»
i
I
-i
.
!
?
:
:
dWanoal
0.00010509
— 6 — 0.00110419
— B — 0.0102512
— » — 0.107713
o
1
,
i
m
i
i
i
i
i
10
11
12
13
184
Capítulo 6.
Fractales autoafines
Correlación para interpolación orden-zero.
1
X(t) = A.sen(2.n.t/L + o» + G(t)
A = l ; L=l/50 ; «»| = 0
t e [0,0*5] ; At=l.E-4
G(t) = B.N0,,(t) ; B = 0*5
1 2 i
Integral de Correlación Cm(()
< i i i i i n 11
ti 12 13 14
dimensión embeddíng m
Variación de los exponentes en:
Cm(()oct"
u, = 0'99 u, = 6'86
u 2 = 1*98 u 9 = 7*68
Uj=2'84 u, 0 =8'57
u 4 =3'64 u I 1 =8'60
u $ =4'59 u 12 =9*29
o 6 =5*23 u „ = 10*16
o, =6*24 u u =11*08
14
1 2 3 4 5 6 ^ 910(11213(4
Entropía de Kolmogorov
distancia I
0.100694
1
— e — 0.001020M
—v— 0.0101393
es
10
11
12
13
185
Capitulo 6.
Fractales autoafines
Correlación para interpolación orden-zero.
OJ
•
o.«
X(t) = A.sen(2. TI t / L + <t>) + G(t)
1
- - - —-J^l*"*^1 f fi~i' r' * • .Vi-3
0.1
0.1
0.IW7»
- * - tauaO
0.
.......
o
—»— teu»3
—• - tiu-4
o.
o.
• 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
0.1
0 11 12 1» 14
dimensión •mMdiflng m
A = l ; L=l/50 ; 4> = 0
te[0,0'5] ; At=l.E-4
ü(t) = B.N01(t) , B - l
•
Integral de Correlación Cm(()
Variación de los exponentes en:
Cm(t)cct~
u, = 0*99 o, = 7'59
u2=l'98
u,=8'58
u, = 2'97 u l0 = 9'84
u4 = 3'92 V)„ = 10'58
us=4'99 ul2=U'58
u 6 =6'03 u„ = 11*86
u 7 =6'67 u14 = 12*59
12 3 4 6 6 ^ 9 1 0 1 1 2 3 4
Entropia de Kolmogorov
2.6
distancia 1
2
E
*:
1.6
- t
** ^ i
_
•—*
0.6
"c*—
-0.5
i
— A — 0.1030M
--•— 1
r—A
0
0A0014M1
OMIOftill
— e — 0.010CB»
i.. .
1
o
A
I
i
I
Y.^i
I .
I
i
ffl
i
i
I
I
I
10
11
12
13
186
Capítulo 6.
Fractales autoaftn-s.
Correlación para interpolación orden-zero,
o.
X(t) = A. sen(2. rt. t / L + <t>) + G(t)
A = 1 ; L = 1/50 ; 4> = 0
9
o.Mtrs -
t e [0,0*5] , At = l.E-4
G(t) = B.N w (t) ; B=1'5
0JW7 l
I
I- '
l i l i l í
i . I ,J„.
dimensión •mMddlng m
Integral de Correlación C m (0
Variación de los exponentes en:
10°
Ca{C)cct'
u, = 0*99
u, =7'40
"2
= 1*99
o , =8'20
«3
= 3*01
u10 = 8'71
«4
= 3'82
u„ =9'39
—W— • M t
—M— • M 1
«5
= 4'90 u12 = 1012
•vil
•vil
•V14
"é
= 5*80
l>7
= 6'63 u M =12*16
IMmdwr
_*..
—<,-.-
—1
•P2
~ér—V—
M
mmi
n 4
«v?
- • « - -
-•-
—*~#—Hr-
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E
O
• - « • • -
•*•)
•*•
mm
nr7 -
u„ =1T09
12 — , . , . . . . . . . .»..,10 —
E8
>6
4
2
0
«r»
10T'
10'
I
y
..
I'/
yz..
>
•?! 1 1 i M 1 1 1 1
12 346 6 f,f 91(111234
Entropía de Kolmogorov
dKtancial
— * — 0.0010424»
— * — 0.0107M4
—e— ( M i i¿e*
E
oí
--B-- 1
- * — 10JM4
-0.5
ifi
10
11
12
13
187
Capítulo 6.
Pradales
autoafines.
Correlación para interpolación orden-zero.
O.tM
X(t) = A.sen(2.7i.t/L+(J») + G(t)
~±^*
A = l ; L=l/50 ; «J> = 0
t e [0,0*5] ; At=l.E-4
G(t) - B.mBf(t,H - 0'5) ; B = 200
OJM
yi
t
ior' r
1a1
10 a
10 a
I I Ilili
icr*
ieP
&
•
—*—•—
—*-••
—•--
i i
11
i
l
i
t»u"1
tau*2
Uu4
ttu«4
l
i
,0 11 12 13 14
a »..<•_
«Umamión tmtMddlng m
Variación de los exponentes en:
Cm(e)acC'~
u , = 0 ' 9 9 - 0 ' 9 9 u, =6'64-T04
o2=r92-l'08
u , = 7'14-1*03
,
o,=2'85-l 04
u10=7'77-r05
o 4 = 3 ' 6 7 - r 0 4 u n =8'37-l'06
10°
10*
&
0.M4
OJOS
Integral de Correlación C"(¿)
'
-+—~~
^*—*"
u s = 4 ' 3 5 - -1'04
t , 1 2 =9'12
u 6 = 4 ' 7 7 - -1'03
u „ = 10'37-riO
u 7 = 5'72 - 1*05
14
12
u14 =8*62-1*12
10
TV*
- O - icrm
E8
-
: - -;
-ros
i
,
•
•
..;..+. A
—
*
*
"
•
•
>6 — ••• • - - 0 *
4 - H - - r 0 * T ; •*-;•
2
n
I I IIIIM
1o1
tfttmmrh
1 2 3 4 6 6^91011)2314
Entropía de Koimogorov
2.S
E
dManctal
—*— e«ooi2ttt
—*— 0A0101K2
—o— «.01MMS
ifl
a— 0.1102S3
-* — 1
10
11
12
13
Capítulo 6.
Fractales autoafmes.
Correlación para interpolación orden-zero.
X(t) = A.sen(2.7i.t/L + <l>) + G(t)
A = l ; L=l/50 ; <j» = 0
t€[0,0'5] ; At=l.E-4
G(t) = B.mBftt,H = 0'5) ; B=1000
8
9
K 9.JW 11 H
dimensión7«mbecldlng
m
Integral de Correlación Cm(()
1» 14
Variación de ios exponentes en:
u,=0'99-0'99
u, =5*86-1*22
u2 =l'93-0'92
u,=2'86-0'97
u 4 =3 , 47-l'03
\i^V\9-YQ%
u6=4'91-ri2
u 7 =5'33-l'17
u9
u l0
o„
u12
o„
=6'60-l'27
= 7'12-r31
=8'12-1'36
=7'13-l'4l
=7'56-l'46
uM=7'78-l'5l
14
1 2 3 4 5 6^,8 9101112134
Entropía de Kolmogorov
distancia I
—f— 0-O011UM
— e — 0.01131M
— « — 0.114TO
1
10.1SM
CM
ffl
.
^
10
11
12
13
189
Capítulo 6.
Fraclales auloafines.
6.2.2.10. Elemplos sobre casos reales.
Correlación para interpolación orden-zero.
ALIOU 1969-1986
1
Variable monitoñzada caudal Q(t) • m1 / s
Número de datos: 6414
1 2 S Jt 4
11 12 1S 14
6
dimensión embéddlng m
Integral de Correlación Cm(()
Variación de los exponentes en:
C " ( 0 x f " ; ¿€[0'05,l]
u,=0'48 o,=0'7l
u 2 =0'55 u,=0'73
u,=0'59 o 10 =0'75
u4 = 0*62 u u = 0'77
Uj = 0'65 u12 = 0'79
u 6 =0'67 u„=0'81
uT = 0'69 u14 = 0'83
E
>
t1011121314
Entropía de Kolmogorov
•0.1
m
10
11
12
13
Capítulo 6.
Fractales auloafines.
Correlación para interpolación orden-zero.
BAGET 1970-1991
1
Variable monitorizada caudal Q(t) s mJ / s
Q0.5
P
Z3^=t=t=*¿3=*=3=m
Número de datos: 7921
i:
3— »au«I
_L_l
1
Integral de Correlación Cm(()
10°
___•
V/2Í«íp
Jwwm
iff1 :
/
*
fl'WWMF
a' /rt/fMj¡&
UfcWWIllWL
\vm¡m
E
—e— « « i
—•— n o
— B - o«"J
—A— n»M
— » - tmi
—•— m*
» - na7
—«- • » •
—*— M"t
—t— « • «
O
.- .. . fi^.rf Ag¿ (MU
10*
Le/ los
•
-
Alllm
1
]T ¿
rvv
I
I L
dimensión embeddtng m
13 14
Variación de los exponentes en:
c r a ( ¿ W u - ; ¿e[0'oi,i]
u,=0'91 u, = 1'3I
u 2 = l'07 u , = 1'33
u 3 =1'14 u,o = 135
v>4=l'19 u n = l ' 3 7
u5 = 1*23 u 1 2 =l'39
u . = 1'26 u 1 3 =l'41
/tf'xJU^B
J^/JK^y
a£/®|jl^
*
2
u 7 = 1'29 u M -= 1*42
)l IBF11
1
«Pll
— B - w^3
—B- M»M
E
>
10T»
10*
IU11
ia*
• 1 IIII1M
10T1
1 1lllllli
10»
1
• ••••"
itf
i
1 2 3 4 S «
S1011121314
Entropía de Kolmogorov
dlstanclal
- e — o.<
—W— 0.00211*27
— • — 0.002*9314
- » - 0.004132*9
0.00617842
0.0067*12*
0.00723964
0.M0M31*
0.00*00240
0.01012M
0.1064Z1
1
mm.
-0.1
ffl
10
11
12
13
191
Capítulo 6.
/•'raciales au toa/mes.
Correlación para interpolación orden-zero.
1
FONTESTORBES 1965-1991
Variable monitorízada caudal Q(t)« m } / s
Número de datos: 9598
1 2 3 Jt„4
4 6 8 7 8 , 9 . 1 0 11 112 13 14
dimentfon embedding m
Integral de Correlación Cm(()
Kfp
Variación de los exponentes en:
Cm{e)ocr;
u,=0'53
us^0'64
u 2 = 0'58
u 9 = 0'65
o , = 0'59
u I 0 = 0'67
u4=0'60
u„=0'68
te[0'l,\]
u5 =0'61 o12 =0'70
u«=0'62 u „ =0'71
u 7 = 0 ' 6 3 u „ =0'73
u
E
>
14
1.3
1.2
1.1 | ~
1
OJ
0J
0.7
O.t
0.1
II I I I 1 I I I I I I
04
1 2 J 4 » 6 77 J 9 1011121314
rrí
Entropía de Kolmogorov
0.4
•
0.2
CM
0.1
0 i
-0.1
:
i
0.3
i1
i
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— • - t.J*T2*
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i
i
i
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10
11
12
•
$
I 1
•
"I
13
192
Capitulo 6.
Fractales autoafines.
Correlación para interpolación orden-zero.
TORCAL 1974-1981
Variable monitorizada caudal Q(t) s m3 i s
Número de datos: 2557
QXI.6 h
g
I
tw>
5-0.5
I
2 S J ,4
6 0
I
I
I
I
I
I
7 0. ».1P 11 12 13 14
dimensión embéddfng m
Integral de Correlación C m (0
Variación de los exponentes en:
Cm{t)v.e*m ; ¿e[0'05,0'35]
10°
u,=0'73
u , =0'95
u2=0'77
u,=0'98
o, = 0'81 o l0 - l'OO
o 4 = 0'84 u„ = 1'02
u,=0'87
u6=0'90
u 1 2 =l'05
u n = l'07
u 7 = 0'93 uM = 1*09
E
>
10»
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•
• ••»••"
• • ••'•••
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• • "••"•
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•
• '•••"'
101
i i i i ' ' ii i i i i
I
12 3 4 6 6 7
rrt
• 1011121314
Entropía de Kolmogorov
oí
193
CONCLUSIONES.
Capítulo 7.
7.
Conclusiones.
CONCLUSIONES.
En el desarrollo de esta Tesis se ha conseguido definir una metodología para el
estudio, análisis y simulación de conjuntos fractales. Esta metodología se ha elaborado
dentro del ámbito de aplicación de la hidrogeología, lo que no impide que pueda ser
aplicable a otras ramas de las Ciencias de la Tierra, e incluso de la Ciencia en general.
Las investigaciones y estudios que aquí se han expuesto permiten afirmar que la
Geometría Fractal se muestra como una excelente herramienta para estudiar y modelizar
ciertas estructuras geométricas y dinámicas que, en principio, podían resultar difíciles de
entender por su complejidad. Además, en aquellos casos para los que ya existen
modelos, la Geometría Fractal permite aprovechar la información que antes no se tenía
en cuenta, por considerarse demasiado estocástica y carente de utilidad cualitativa, y
menos cuantitativa, para la construcción de dichos modelos.
Por lo que se refiere a la aplicación de la Geometría Fractal para cuantificar la
descripción de la irregularidad de la distribución de cuerpos en el espacio, el resultado
aquí obtenido permite afirmar que, estructuras aparentemente muy irregulares, como lo
es por ejemplo la distribución de los huecos kársticos, poseen un grado de ordenación
interna definido por la dimensión fractal. Este grado de ordenación así obtenido, se
reproduce desde escalas de decenas de metros hasta kilómetros, sobre un mismo macizo
o formación caliza, para los ejemplos estudiados (Niaux, Lombrives, etc...). La
cuantificación del grado de irregularidad que poseen las estructuras kársticas, en el caso
del macizo de Cap de Lesse (Francia), el cual proporciona un valor medio de la
dimensión fractal de recubrimiento D = 1'69, permite crear un modelo de comparación
del grado de desorden interno con otras estructuras, ya sean del mismo macizo o de
otros, con lo que, probablemente, se pueda establecer cierta conexión entre el grado de
karstificación del medio y la dimensión fractal del resultado.
En el cuadro adjunto se presentan los resultados numéricos de la aplicación del
análisis por box-counting ai área que define el hueco del karst. Este análisis ha sido
efectuado utilizando el algoritmo descrito, entre otros, en esta Tesis, como método
inverso de box-counting. Este algoritmo ha demostrado su efectividad y optimización en
los cálculos de la dimensión fractal de recubrimiento para figuras cerradas.
194
Capitulo 7.
Conclusiones.
Cavidad
Dimensión /racial
de recubrimiento
Salón Noir
174
Gal. Poisson
178
Niaux
1'66
Lombrives
1'66
Sabart
174
Pte. Caougno
1*67
Empreintes
1*61
Así mismo se ha definido una metodología para el análisis y simulación de medios
fracturados siguiendo unos algoritmos, box jerárquico y aleatorio o radial unitario y
equivalente, que crean una distribución de puntos (para las fracturas que se apoyen en
éstos) que es de tipo fractal, y corresponde a la técnica (de box-counting o de
agregación respectivamente) que se haya utilizado para medir los puntos de soporte
sobre los datos de campo. En cuanto a la diemnsión fractal del campo de fracturas, esta
debe de ser calculada a partir de medidas de longitudes sobre las celdas del
recubrimiento, y no por el número de celdas ocupadas en el recubrimiento, ya que no se
considera éste último como medida invariante de densidad. En el caso de estar
trabajando con las estimaciones, de la dimensión fractal del campo de fracturas en el
espacio tridimensional, deberá medirse superficie dentro de cada celda cúbica, y no
número de cubos posean fracturas, por la misma razón de medida invariante. El resultado
proporcionado de este modo permite estimar la dimensión fractal de información, de
mucho más interés que la dimensión fractal de recubrimiento por su contenido en
información probabilística, de utilidad en lo modelos de simulación de medios
fracturados.
En cuanto al análisis dinámico de las respuestas de un sistema acuífero de tipo
(cárstico, las técnicas implementas,
las metodologías desarrolladas y los resultados
permiten afirmar que existe una relación entre el grado de karstificación del medio
geológico y la componente aleatoria estructurada (en el dominio temporal y frecuencial)
de la señal, lo que implica que dimensiones fractales del karst y de la señal se encuentran
relacionadas. En esta Tesis no se ha determinado analíticamente esta relación, pero si se
ha expuesto cómo cualitativamente la karstificación del medio influye cuantitativamente
en la estructura estocástica de la señal medida. Esto es de sumo interés, porque.
195
Capítulo 7.
©
Conclusiones.
a partir de los resultados previos obtenidos del análisis correlatorio espectral,
según la metodología descrita, primero se debe trabajar sobre el espectro de densidad de
varíanza S(f) donde se definen tanto la frecuencia de corte fc como la frecuencia de
ruido blanco fwN.
En el intervalo entre ambas el espectro varia según S(f)ocf~ p ,
correspondiendo con el comportamiento aleatorio estructurado. Además, por la calidad
de los resultados, en cuanto a la posible aparición de modos espúreos, es preferible
calcular la transformada de Fourier mediante un método directo ó mediante el MEM, y
no utilizando FFT. Una vez encontradas las frecuencias fc y fwN, se definen los lags
correspondientes he y hwN, en el dominio temporal, para el calculo de H sobre el
variograma y ( h ) « h 2 i \ dentro de éste intervalo. Los resultados así obtenidos, que se
presentan en la siguiente tabla, están en concordancia con la clasificación previa realizada
por el Laboratoire Souterrain du CNRS en Moulis (Francia).
Caso tipo
Variograma y(h)
(At - 1 día)
0'479
0'3
0*2
O'l
1*068
0*05
Aliou
0'075
Baget
0'153
Fontestorbes
Torcal
Q)
f.
"T<«
Espectro S(f)
f
PS<o
0'460
1*341
0*892
2*209
0*448
2'463
0'304
2'009
a partir de los resultados obtenidos mediante la reconstrucción de atractores ha
sido posible afirmar que las escalas de autoafinidad abarcan todo el rango temporal,
luego no es posible la aplicación de métodos de cálculo de la dimensión fractal útiles para
los cuerpos autosemejantes (del tipo divider), en las series temporales. Además, se ha
visto y determinado cómo, en los cuatro casos tipo, el efecto memoria efectiva es de
aproximadamente 200 días (según las técnicas de análisis de rango rescatado). A partir
de este momento el comportamiento se hace aleatorio con respecto a los valores previos,
esta impredictibilidad crece a medida que el sistema es menos kárstico (caso de Aliou),
como indica el valor de la entropía de Kolmogorov para cada uno, y si correspondiente
tiempo medio Tm, sobre el que el sistema muestra un comportamiento caótico, y a partir
del cual ya no puede ser predicho con una precisión de i. Se han aplicado igualmente
técnicas de segundo orden y de LSM para el cálculo del exponente de Hurst y todas han
ofrecido el mismo comportamiento para los diferentes sistemas kársticos, apreciándose
que aumenta la correlación entre los sucesivos datos de la serie para las karstificaciones
más intensas (en el caso del Torcal). esta correlación se estudia incluso dinámicamente,
196
Capítulo 7.
Conclusiones.
investigando las dimensiones del espacio de fases en el que se desarrolla el atractor de
cada serie temporal y, por lo tanto, de cada sistema dinámico. Este estudio ha sido
realizado mediante el análisis de la integral de correlación que, a parte de reconstruir
estructuralmente el atractor se analiza dinámicamente en espacios de hasta m ~ 14
dimensiones, gracias a ello es posible reconoces el número de gtados de libertad del
sistema, los efectos periódicos, de lacunarídad y de muestreo (con en el caso del Torcal),
efectos del insuficiente tamaño de muestra, del ruido y de las intermitencias de sistema
(caso de Fontestorbes), incluso la posible existencia de varios sistemas acoplados, en
serie o en paralelo (casos de Aliou y Fontestorbes), para los que también es posible el
estudio por separado mediante esta técnica
Caso Tipo
AVou
tíageí
Fontestorbes
Torcal
H
LSM
H
S{T)
H
«tí.t)
Po
K2
Tn
100
200
400
444
O'll
O'OA
0*13
0'25
0'04
0'16
0'08
0'19
0'50
0'02
0'24
0'24
0'23
Ü'01
0*81
0'52
075
075
0'9
0'009
Vio*
Con estos resultados es posible llegar a crear un modelo espacial estadístico de la
distribución de heterogeneidades,
que influyen en el movimiento del agua subterránea
como vías preferentes de flujo, de sus conexiones y de su organización estructural
jerárquica.
197
LÍNEAS DE PROGRESO.
Capitulo 8.
8.
Futuras lineas de progreso.
FUTURAS LINEAS DE PROGRESO
A la vista de los resultados obtenidos cabria pensar en la creación de un modelo
mixto de generador de medios (cársticos, y de simulador de flujo subterráneo de agua,
sobre los medios sintéticos generados. Este simulador se alimentaría de los datos
suministrados por el análisis fractal que se ha desarrollado en esta Tesis. Una de las
posibles ideas para este simulador mixto seria la crear un acoplamiento entre flujo de
agua y crecimiento, por una disolución artificial del medio, de la estructura kárstica
siguiendo unas direcciones que se pueden medir en al campo (por microtectónica), lo
cual crearía sobre nuestro modelo unas zonas de muy alta permeabilidad. Si este modelo
se ejecuta sobre un medio geológico heterogéneo y anisótropo sintético, la creación por
el flujo de las vías preferentes por disolución pondría en contacto zonas de debilidad a la
disolución con zonas de alta permeabilidad, con lo que se podría conseguir literalmente
que la estructura kárstica creciera por diferentes zonas en el medio. Obviamente este
modelo puede ser tan complejo como se quiera, ya que se puede acoplan con
hidroquimica, que tendría en cuenta reacciones de disolución del carbonato calcico en el
agua, términos de transporte de masas, con lo que se podrían ajustar los efectos por
difusión anómala (no Fickiana) producidos por el medio heterogéneo con singularidades
(los huecos del karst), etc.
Otra de las posibles líneas sería la continuación de los estudios y comprobación
de los resultados obtenidos sobre otros casos. Bastaría con obtener nuevas topografías,
de calidad (para evitar las posibles influencias ergonómicas del topógrafo), de grutas, e
incluso extender el análisis hacia el dominio tridimensional y esclarecer las dudas sobre si
las dimensiones fractales se pueden considerar como direccionales, en el sentido de que,
por ejemplo, la sección vertical de una cueva, no tiene la misma dimensión fractal que la
horizontal, lo cual a simple vista parece simple de aclarar, por las diferencias en ios
efectos físicos que intervienen en su formación.
Igualmente el estudio sobre otros casos, ya enmarcados dentro de la clasificación
inicial, y la comparación de los resultados de la obtenida aquí, permitiría demostrar
cuales son los efectos de la irregularidad temporal, y cómo estos se mantienen
dependientes de la distribución jerárquica de la heterogeneidad del medio.
198
Capítulo 8.
Futuras lineas de progreso.
Se pueden definir una serie de ejemplos de los cuales se tengan tanto topografías
del karst involucrado en la dinámica, como extensas seríes temporales, así como otros
datos de tipo hidrogeológico que permitiesen mejorar el modelo conceptual íractal del
medio. Alguno de éstos ejemplos existen ya de los cuales el autor se encuentra
trabajando, como son el Karst de la sierra de Libar y el karst de Baget. Sobre este último
hay un profundo conocimiento desarrollado por tratarse de un acuifero ampliamente
estudiado por el equipo del CNRS y de la ETSI de Minas.
BIBLIOGRAFÍA
Capítulo 9.
Referencias Bibliográficas.
9.
BIBLIOGRAFÍA.
La gran cantidad de documentación que ha sido utilizada en la realización de ésta
Tesis Doctoral ha sido subdividida en dos partes. La primera corresponde con las
referencias que se pueden encontrar en éste documento insertadas en los párrafos; y la
segunda corresponde a documentación que, no habiendo sido indicada en el texto, ha
sido y puede ser de gran utilidad en ulterírores investigaciones (como en las líneas de
continuación propuestas), ya que, en ciertos casos, pueden presentar, por ejemplo,
perspectivas diferentes ó técnicas que aquí no han sido referenciadas por considerarse
casos particulares de las expuestas, en la aplicación y utilización del análsis fractal en las
Ciencias de la Tierra.
9.1.
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Capitulo 9.
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xxrn
ANEXOS
-•
Anexo A-A.
Prwesos estocásticos.
A-A.
Procesos estocásticos.
Si el resultado de un experimento es una función de una variable (pe el tiempo),
en un continuo, produciendo iminitos valores, un proceso estocástico es un conjunto
infinito de variables aleatorias indexadas por un Índice t, perteneciente a un espacio
paramétnco H. así, para cada valor de t, a {x,} le corresponde una realización de la
variable aleatoria x,
——————————-——-——-—-—-——-——-——-————-_————————————
Ax
V-
f,,,l)
/
H
*» t
ti
«
Figura A. I. Ejemplo de proceso estocástico con su función de densidad asociada.
Estos proíx^os también se suelen denominar funciones aleatorias y, en particular
procesos estocásticos cuando t es el tiempo (según la escuela francesa) Fijado entonces
un tiempo t se tiene para ese instante una variable aleatoria X, con una función de
densidad de probabilidad f(x). La distinción entre los procesos estocásticos viene dada
según el espacio H, ya que si este posee dos índices paramétricos, el proceso se
denomina capo aleatorio.
Funciones aleatorias.
Se trata de una función infinita X. de variables aleatorias en las que t recorre un
conjunto infinito de valores de E. Como este espacio H suele ser un intervalo, acotado o
no, de la recta real, y t e H se suele interpretar como el tiempo, se suele hablar, como se
ha dicho de procesos estocásticos, teniendo más utilidad, en general, que hablar de
Anexos-2
Anexo A-A.
Prtx'csos esHK'ásticos.
funciones aleatorias Para cada t, X, es una variable aleatoria X,(co), definida sobre los
espacios de probabilidad y probabilizable (Q,A) Asi pues, la función aleatoria X(t) es en
realidad una función X,((o,t) de dos variables, o e Q y t e E Si se fija entonces el co e
Q, X,((o,t) es una función solo de t e E, es decir, XM(t), función que suele ser
generalmente de aspecto muy irregular. Diremos, además, que x 9 (t) es una realización
de la función aleatoria X„(t), si t e Z se interpreta como el tiempo, con lo que si se
toma un t fijo, entonces se tendrá la trayectoria del proceso estocástico
Si cada experimento produce una función, para caracterizar una variable aleatoria
se debe de tener su función de distribución Asi, fijados unos puntos t,,t ; ,...,t n , hay que
proporcionar la función de distribución de probabilidad F(X, , X, , X t , , X , ) , luego si
se es capaz de dar tal función para todos los puntos anteriores se tiene carcaterízado el
proceso estocástico. Puede ocurrir que existan dos procesos distintos con igual ley
temporal, por ello se pretende con esta caracterización diferenciar los procesos mediante
distribuciones locales entre los puntos. Por esto se usarán ios valores característicos de
las distribuciones. Para cada valor de t, X,((o) es una variable aleatoria, como se ha
visto, y por lo tanto tiene una función de distribución F,(X) dependiente de t Si ahora
consideramos que en los diferentes instantes t,, t., ... t„ las variables aleatorias
X^.X^.X^.-.-.X^forman en conjunto una variable aleatoria vectorial de n
componentes, su función de distribución será
F w .(x,.-...x n ) = Pt[x,i <x„
,Xt <x n ]
(Al)
por depender de cada instante t,, t : , .... tp
Se denomina ley temporal del proceso X(t) al conjunto de todas las funciones de
distribución Fti_l>(x,,...lxB) para todo n entero, tai que n > 0, y todas las selecciones de
los t,, t,, .... t„ Naturalmente, se deben de cumplir las condiciones de consistencia y de
independencia en cuanto al orden de los índices n.
Los valores característicos de las funciones de distribución, a los cuales se ha
aludido anteriormente, para su caracterización son:
• función de valor medio ó esperanza:
E[X(t)] = m(t)
Anexos-3
(A.2)
AllOXO A-A.
Procesos esiocásticos.
• función de varianza:
Var[X(t)]=--ci:(t)
(A 3)
• función de covarianza entre los instantes k y I;
Cov(t,.t,)=E[X(tJ-X(t 1 )]-E[X(t l )]E[X(t l )]
(A 4)
• función de autocorrelación entre los instantes k y I: en ciertos textos figura
como autocorrelación la expresión
p(t ll t,)=E[X(t k ).X(t 1 )]
(A .5)
pero en realidad la autocorrelación es la covarianza corregida por los valores de
las varianzas
P(tL,o=^
v
Ji4L
(A.6)
Ejemplos de procesos estocásticos simples.
Proceso de Bemoulli.
Se trata del proceso X(t) más simple de variables aleatorias independientes que
pueden tomar los valores 0 ó l con probabilidad p ó 1 - p respectivamente, para cada
instante t.
Proceso binomial.
Es un proceso de conteo definido por la suma:
S(t) = X(0) + X(l) + ... +X(í)
(A.8)
donde cada X(t), es una variable aleatoria independiente idénticamente distribuida de
Bernoulli, con parámetro de probabilidad p de éxito (de valer 1).
Anexos-4
Anexo A-A.
Procesos eslocásficos
Proceso de pasee aleatorio simétrico de Bernoulli.
Se define éste como la suma
N'(t)^X(0) + X ( l ) + •••- XÍO
(A 9)
donde las variables aleatorias x(0 son independientes e idénticamente distribuidas de
Bernoulli simétrico. Este es aquel para el que cada x(0 puede valer -I ó I, con
probabilidad de 1/2 cada uno Si se considera un proceso de contaje de Bernoulli S(n) o
binomial, con p = 1/2, y el proceso N(t) es el correspondiente paseo aleatorio simétrico,
entonces:
N'(t) = 2 S(t) + t
(A 10)
con lo que los valores característicos de la función de distribución son
E[N(0] = 0
(A 11)
Var[X(t)] = 4 Var[S(t)] = t
(A 12)
Movimiento Browniano mB.
Supóngase que la variable aleatoria X es la posición de una punto al cabo de un
tiempo t, como puede ser la coordenda x de una partícula sobre el eje X La función
f,(X) de densidad de probabilidad de X al cabo de un tiempo t, continua y diferenciable
Supongamos que la partícula está sometida a R colisiones espaciales en la unidad de
tiempo t, de tal manera que cada colisión cambia la partícula entre las posiciones +e y -e,
sobre 9?, con probabilidad 1/2. Por lo tanto, al cabo de un tiempo t, el número de
colisiones es R.t, luego la coordenada aleatoria será:
X,=e.x(R.t)
(A.13)
siendo x una variable aleatoria de un proceso simétrico de Bernoulli (A 9) Así, al cabo
de un tiempo t, los valores característicos de la función de distribución son:
E[X,] = e.E[x(Rt)] = 0
Anexos-5
(A. 14)
Anexo A-A.
Pr<KCSOS
Var[X] = c:.Var[x(R t)]~c- R t
f.SUK'ÚStifOS.
(A. 15)
Como se pretende que el proceso sea de varianza (A V)finita,para que no posea
variabilidad infinita, y el proceso sea continuo, se toma los limites de t: -> 0 y R —> x, de
forma que la cantidad e : . R sea constante, y ademas c" R -a' > 0 Podemos ver cómo,
aunque se tomen e —> 0 y R -> x, el proceso verifica que es de varianza finita Si se
considera el tiempo t + (1/R), tras la primera colisión, a partir del tiempo t, se tiene que
f ,(x) = | . f , ( x - e ) ^ f , ( x * e )
(A 16)
K
como corresponde a la suma de las probabilidades independientes, respectivas de cada
posición entre x + e y x - e Si desarrollamos por otro lado en serie de Taylor f,(X)
alrededor del instante t ^ (1/R)
f ,(x) = f,(x) + l ^ + - L ^ i > 0 4 o í - 1 )
(A.17)
e igualmente alrededor de x + e y x - e
f,(x-e)=f,(x)-e.—r-1*—
. , '+0(e])
ex
2! oc"
,;( x + C )::f,(x) + e
^
ex
+
^ J - ^ + o(e 3 )
2! ux~
(A 18)
(A 19)
igualando los términos (A 16) con (A 17) y (A 18), (A 19), operando:
R
ct
2! ex'
despreciándose los términos en l / R\
Cuando se pasa al límite con e -> 0 y R —> «, el producto e \ R -* a 2 , luego se
obtiene una ecuación en derivadas parciales parabólica en f,(X):
aUil = ol.#£fcl
ct
2
ex"
Anexos-6
(A21)
Anexo A-A.
/'mcesos
t'sto.ásliíos
que para resolverla se deber de imponer unas condiciones iniciales y de contorno Corno
condiciones iniciales supondremos que en el instante t ^ 0. no se ha producido ninguna
colisión luego
f„(x) = 0
(A .22)
y como condiciones de contorno supondremos que la primera colisión se produce según
la distribución de una delta de Dirac de probabilidad en la posición cero del eje X
íf,(0) = *(t)
{
(A 23)
lf.(*) = o
Ei cálculo de la solución analíticamente permite obtener que
f,(x) = ——-r.e : " ! '
o.V2.n
(A.24)
función solución que corresponde con la ecuación de una función de distribución normal,
notada como N(0,o\t) Por lo tanto, la distribución de la trayectoria del punto sigue
una función de distribución normal de media nula y de varianza o \ t
Proceso estándar de Wierncr.
Si al tomar un movimiento Browniano se hace que a2 - 1, este se denomina
movimiento estándar de Wiener, que se denotará por W0(t), con media nula y varianza t,
Vt > 0 El proceso de Wierner con deriva u es aquel en el que los valores característicos
son:
E[WM(t)] = M.t
(A.25)
Var[WM(t)] = o \ t
(A.26)
A continuación se va aver cómo las trayectorias de W0(t), aunque sean funciones
continuas en el tiempo, no son derivables. Si se consideran los tiempos t y t + At, el
incremento del proceso será:
W0(t + At)-W 0 (t)
Anexos-7
(A.27)
Anexo A-A.
Procesos esloí'ásticos.
cuya distribución es idéntica a la de
W0((i + At)-t) = W0(At)
(A 28)
La función de distribución de densidad de la posición de la panícula en el íiempo
At es
fJx) = - 7 J — . e ' : i
V2. R. At
(A 29)
La magnitud |W0(At)| de (A 28) tiene por densidad de probabilidad 2. fiSl(x), y un valor
esperado de
E[|W0(At)|] = 2.| ) 'x.f v (x).dx = ^ « -
(A.30)
que es el doble de la integral por estar en valor absoluto, luego si se toma el limite:
lim —.E[|W0(At)j| =- ,-1—<- -> *
(A."!)
de io que se deduce que no existe una derivada en el sentido clásico estudiado, ni reglas
de diferenciación para los movimientos brownianos, aún siendo éstos continuos.
Anexos-8
AflOXO A-B.
Estimación del esfH'Ctm medíame
ME\f
A-B.
Estimación de la función de
densidad espectral mediante el método de
máxima entropía.
Si bien las técnicas de la transformada rápida de Fourier (denominada FFT) y de
la transformad directa de Fourier (ó también DFT) permiten obtener la función de
densidad espectral S(f), ó periodograma en el dominio frecuencial, en ciertos casos éstas
pueden presentar problemas por la inclusión de componentes frecuenciales espúreas,
especialmente en los rangos correspondientes a las altas frecuencias, y cuando se usa la
transformada rápida [BROW-85], [PRES-92J y (GALL-94] recomiendan eliminar la
tendencia de la serie dato, que se puede determinar por un ajuste por mínimos cuadrados,
y truncar o añadir ceros a ésta hasta conseguir que su longitud sea una potencia de dos,
posteriormente con la secuencia resultante se descohesiona aplicando un 10% de la
función coseno, ó ventana de Hanning, que reduce la filtración desde los laterales de
cada estimación espectral).
El espectro obtenido mediante la técnica de FFT posee una varianza
sobreestimada, con lo que en la práctica habitual se suele suavizar S(f) mediante un
promediado de frecuencias según las adyacentes a cada una, ó también segmentando los
datos, calculando los espectros de cada segmento individualmente, y luego promediando
los resultados (siempre y cuando los datos sean estacionarios, al menos en varíanzas). Si
son éstos intervalos los que se utilizan para el análsis fractal, esto es, para la
determinación del exponente p (cuando se trabaja con ruidos del tipo denominado I / f p )
y, por lo tanto, para el cálculo de la dimensión fractal del proceso estocástico analizado,
interesa que los valores del espectro S(f) para estas frecuencias estén bien calculados y
sin errores introducidos por el algoritmo utilizado.
Estimación de la función de densidad espectral
mediante el MEM.
Para evitar los problemas anteriores y que se generan de la utilización de las
transformadas de Fourier puede utilizarse otros métodos para la estimación del espectro
Anexos-9
AneXO A - B .
Estimación del espectro mediante MEM
de densidad de varianza Uno de estos métodos es el deniminado de estimación por
máxima entropía, que fué presentado po. Burg en 1967 [BURG-67] y [BURG-68]. El
MEM, ó MESA, como también se conoce a ésta técnica se basa en la extrapolación de la
función de autocorrelación muestra! hasta una longitud infinita de paso ó lag, medinate la
elección de valores sucesivos de la autocorrelación que maximizan la entropía del
espectro. Este método fué posteriormente mejorado por su autor [BURG-68] ya que se
suprimió la estimación de las autocorrelaciones y en su lugar se pasó a la estimación
directa de los M coeñcientes de un filtro predictor de orden M de los datos A partir de
éstos últimos coeficientes se estima el espectro. El MEM tiene la capacidad de poder
atinar en las situaciones donde aparecen picos en el espectro, permitiendo que sean
filtardos, si se trata de efectos espúreos, según el orden de la aproximación M Este M,
orden ó número de polos de la aproximación (posteriormente se verá porqué se
denominan polos) determina el orden de la extrapolación de la función de
autocorrelación p(h), a lag h, incluso permite tomar lags mayores que la propia longitud
de la serie muestreada. Esta extrapolación posee la máxima entropía, de las posibles
extrapolaciones que se puedan efectuar, en el sentido de la teoría de la información.
Veamos con más detalle cómo se hace esta estimación. Suponiendo que no solo
se trabaja dentro del dominio frecuencia! real, sino que se esta dentro del plano complejo
de frcuencias, transformaremos este plano en uno nuevo mediante una transformación en
z, sobre el circulo unidad, al z-plano complejo (de aquí el nombre de polos), medinate:
z = e;",f-v'
(A.32)
donde At es el intervalo de mustreo (intervalo temporal p e ) . Si la estimación del
espectro puede ponerse de la forma:
N/2-
S(f) =
£x(k).zk
(A.33)
k=-N/2
en función de la señal muestreada X(k). Esta estimación de S(f) no es del todo exacta ya
que se esta trabajando dentro de una señal de longitud fínita (-00 < t < 00), estando ésta
además discretizada De echo, una expresión más formal que (A.33) del espectro puede
escribirse comoS(f)= £X(k).z k
A nexos-10
(A34)
Anexo A-B.
Estimación del espectro mediante S1EM
Si estudiamos el problema de la aproximación de (A 34) ecuación para S(f) de
forma más general que la que se suele hacer al utilizar FFT, parece claro que se puede
mejorar su estimación si se trabaja con una función racional en la que figure en el
denominador una serie finita como la utilizada para la aproximación de S(f). del tipo
1
S(f)
\v:
i
7X* k
(A.35)
-
-MÍ:
El segundo miembro de esta igualdad (A 35) proporciona un nuevo conjunto de
coeñcientes a k , que pueden determinarse apartir de los b k , utilizando el hecho de que z
se encuentra en el círculo unidad La aproximación así definida de S(f) suele denominarse
de varías maneras entre las que figuran método de todos los polos, método de máxima
entropía MEM, modelo autorregresivo AR
Ahora se deben de calcular los coeficientes ak. con k = 0. .... M, de (A 35) Para
ello, se parte de la autocorreiación a paso j, entre t y t + j, de la función muestreada
p(j) = E[X(i).X(i + j)]
(A.36)
conj = .... -3, -2, -I, 0. 1, 2, 3,..., y que puede ser estimada a partir de:
P(j) = p(-j) =
£ X ( i ) . X ( j + i)
N + l - j tS
conj = 0, 1,2.
,N
(A ,37)
A partir de N-l valores de X(t) es posible estimar la autocorreiación a N+l
espaciados j diferentes. Según el teorema de Wiener - Kinchin, podemos decir que la
transformada de Fourier de p(k) es una serie de Laurent en el plano z, luego la ecuación
que deben de satisfacer los coeficientes es:
M
T*IP<J).Z'
i+Zv^
k=¡
(A.38)
j=-M
Cualquiera que sea el valor de M elegido en (A 38) la expansión en seríes del
primer miembro de esta ecuación define cierta clase de extrapolación para lags superiores
a M, que incluso pueden ser superírores a N. La ecuación anterior implica que existe un
Anexos-11
Anexo A-B.
Estimación del espectro mediante MEM.
conjunto de relaciones lineales entre las autocorrelaciones y el conjunto de coeficientes
ak. Estos coeficientes satisfacen el sistema
(A.39)
p.a = a0
siendo:
f
P<0)
PO)
P(2)
PÍO
P(2)
P(0)
p(l)
p(l)
p(0)
MM)
P(M-1) p ( M - 2 )
í ' 1 Í 300 !
•
P(M) \
p(M-I)
a,
. p ( M - 2 ) a,
.
P(0)
,
\aM;
=: 0
(A.40)
^
donde la matriz del sistema p es una matriz tipo Toeplitz (uno de sus elementos es
constante a lo !»rg'.' He las diagonales)
Otra de las posibles formas de obtener ¡os coeficientes ak de (A.38) es mediante
una interpretación de la ecuación de predicción lineal autorregresiva Y(t) (de aquí una
de las denominaciones del MEM) para un conjunto de datos Y(t), muestreados con paso
At:
Y(n)-£dj .Yín-jj+c»
(A41)
supuesta la estacionariedad, y si comparamos las ecuaciones que se utilizan en un filtro
lineal
Y(n)-IcK.X(n-K)
XdJY(n-j)
+
K:0
(A.42)
) l
con una función de respuesta del filtro, de la serial de entrada X(t) con la de salida Y(t),
que relacionen los parámetros cv y d}.
I c
H(f) =
r
e —
i--o
l-¿d).e
(A.43)
:,,)ÍA
Anexos-12
'
AflOXO A - B .
Estimación del espectro mediante MEM.
por le tanto, en este caso, comparando ambas estructuras (A.42) y (A 43):
H(f) =
~
(A 44)
Así, la función de densidad espectral de tas Y(n) debe üe ser igual al espectro de
las c,(t) multiplicado por j//(f)¡". Pero si las discrepancias $(t) pueden asociarse a un ruido
blanco, tendrán un espectro plano S%(f) - 0, lusgo la renormaüzación del conjunto del
espectro es la varianza de las c,:
Var[c(t)] = p(0)- H (l).d ! -p(2).d : -...-p(M).d M
(A.45)
que coincide con !a expresión para un sistema autorregresivo AR [BRAS-85] Luego, los
coeficientes ak se pueden relacionar con los de la predicción lineal anterior mediante:
K'V"[*»
(A 46,
k = ~¿u
conk= 1,.... M
En el uso práctico de una u otra aproximación al calculo de {ak}
, el número de
coeficientes M no se especifica explícitamente en el método MEM, ya que debe de ser
suministrado por el usuario de esta técnica en función de la experiencia y de los
propósitos para los cunles se vaya a utilizar S(f) Los efectos que sobre S(f) produce un
número bajo de coeficientes, ó polos, digamos de 10 a 20, es la supresión de sus
irregularidades a altas frecuencias, suavizándose el espectro a medida que disminuye el
número de polos. En cambio si se añaden muchas componentes, el aspecto que presenta
es el de una señal muy aleatoria, con muchos saltos y variaciones, incluso con errores de
redondeo que pueden llegar a ser bastante importantes (debido a la longitud en la
extrapolación de la función de autocorreiación). Este método para la obtención de los
coeficientes supone la realización de un total de N.M operaciones, lo cual se hace algo
más lento que la FFT, que tiene N.logN operaciones, cuando N * M. Esta comparación
puede hacerse normalmente cuando N = i E+3 ó N = 1 E+4, usando un número de polos
de M - 10, M = 20, ó M = 50.
Anexos-13
Anexo A-B.
Estimación del espectro mediante MEM
Ejemplo de aplicación del MEM.
Si partimos de una señal aleatoria X(t) procedente de la combinación de una señal
periódica con una aleatoria gausiana N(0,1) de la forma
(A.47)
X(t) = A.sen(2.JU/L)+BN 0 ,
con los valores de A = 1, y B = 3 en las amplitudes, por un lado se muestra el análisis
mediante una FFT , y por otro el MEM, utilizando un número M distinto de polos, para
la misma señal.
10»
S(f)
,
* '
10 •'
L . i X L . „ a l . i i i m ^ A :, i.m -u^i..,': Liü ií.L, A, .uailj., ,kii!i
10*
10 4 . . , . i l
i i. ;, M
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U,i
i i , l I, i,,, , .. i s 1 ' «11
ftil^d«Í1UWlUiÍll|)liUillli,fcJill^
*
•'
10-*
l'¡
i
10*
P
i'
i
i
¡
• •
'I
|
!
'
i
i
10'
0E0
1
1
1E3
2E3
1/f
Figura A.2. Espectro de X(t) (A.47) mediante FFT.
10»
1
'
io-'
10 J
1
10 J
10*
Numero de polos
10*
M
— — 10
— — 30
—.— so
10*
——
10'
ot10
100
1
1E3
2E3
1/f
Figura A.3. Difert >ntes espectros de X(t) (A.47) mediante MEM, según diverscts polos.
Anexos-14
Anexo A-B.
Estimación del esfwctro mediante MF.M.
El ejemplo siguiente se realiza sobre la misma señal sinusoidal pero a la que se le
ha añadido un ruido de color, en concreto un ruido browniano con parámetro H = 0'5,
que se ha obtenido mediante la integración de una señal gausiana blanca
X(t) = A sen(2 n t/L) + B.mB
(A 48)
ios valores utilizados para las amplitudes son A = I, y B ~ 100
S(f) 10
0E0
1E3
2E3
1/f
Figura A. 4. Espectro de X(t) (A.48) mediante FhT.
S(f)
0E0
1E3
2E3
1/f
Figura A.5. Diferentes espectros de X(t) (A.48) mediante MEM, según diversos polos.
Aunque los valores obtenidos para el segundo caso no se asemejan a los que se
obtienen mendiante la utilización de FFT, los que si interesa observar es que la tendencia
general sel espectro se conserva, lo cual es el interés de esta aproximación, ya que
Aneios-15
AlICUCO A - B .
estimación del espectro mediante MEM.
cuando se reaJizen los análisis que aquí se presentan los ajustes lineales bilogaritmicos,
son más fáciles de realizar, debido al valor menor de los residuos
Código de implementación del MEM.
A continuación se presenta el programa FORTRAN 77 que se ha utilizado para la
obtención de los espectros mostrados anteríoi mente
C
MaxiiT.un Entropy Method para la determinación de i
C
ESPECTRO DE DENSIDAD DE VAP.IANZA
C
para series temporales
C
C
¡C) Copr. 1986-92 Nuraerical Recipes Software
C
modificaciones posteriores: C. Paredes.1994
C
C
diccionario de variables:
C
dataí): serie temporal a analizar
C
N: numero de datos leídos
C
M: numero de polos de la estimación por MEM
C
cof(): vector con los coeficientes ak
C
aO: valor del coeficiente aO, vananza de los datos
C
fdt: frecuencia del instante de maestreo f*Dt
C
C
subrrutinas utilizadas:
C
MEMCOF
C
EVLMEM
C
C
C
programa principal
c
c
C
DECLARACIONES
C
integer N,NFDT,M
integer i
character fílein*12,fileout*12
Anexos-16
t,12:'.
Anexo A-B.
Estimación del espectro mediante \ //-.A /
parameter(Nmax-10000,Mmax-100 i
real evlmem,fdt,a0,data(Nmaxi,coi(Mmax)
í-O
C
C
ENTRADA DE DATOS
C
wntelí, ' (///"
Nombre d e l
fichero
de d a t o s : ' ' , í i ' >
r e a d ( 5 , ' (a) ' ) f i l e i n
write (6, ' ('' Paso de muéstreo de los datos Dt:'',S1';
read(5,*)Dt
write (6, ' (30x, ' ' ... leyendo datos".//! '¡
open(7,file»filein,status-'oíd'i
10
continué
1-1 + 1
read(7,•,err-20) data(i)
goto 10
20
continué
N-i-1
cióse(7)
write(6,'('' Leídos N'',i5,'' DATOS'')')N
write(6, ' (//' ' Datos del calculo del Power Spectrum por MEM: ' ') ')
write(6, ' ('' Numero de polos M» *',$)' )
readfS,*)M
C
C
LLAMA A MEMCOF PARA EL CALCULO DE LOS COEFICIENTES ak
C
cali memeof(data,N,M,aO,cof)
write(6,'(//'' Coeficiente a0-''.f10.5)')aO
write(6, *)"Conjunto de coeficientes ak (k»l...M)»'
writete,»)(cof(i),i-l,M)
C
C
ENTRADA DE DATOS PARA EL CALCULO DE S(f) por defecto
C
por defecto se tomara el numero de frecuencias igual
C
al numero de datos NFDT«N
C
C
write(6,' (//' ' Numero de frecuencias para P(f):*',$)')
C
read(5,*¡NFDT
Anexos-17
AnOXO A - B .
Islimaaón del esfwtro medíanle MhM.
NFDT-N
w n t e (6, *) 'Numero de frecuencias a tomar:',NFDT
write(6, ' ( '' Guardar la estimación MEM de 5(f i en: ' ' , S) ')
read(5,'(a)')fileout
open(unit»l,file-fíleout)
do 11 1=1,NFDT
fdt-Dfl/NFDT
Sf«evlmem(fdt,cof,M,a0!/N
writed,*) fdt.Sf
11
continué
close(l)
END
C
C
subrrutina para el calculo del con3unto de coeficientes ak que
C
son almacenados en el vector D
C
(C) Copr. 1986-92 Numerical Recipes Software 1,12:!.
C
modificaciones: C. Paredes.1994
C
SUBROUTINE memcof(data,n,m,xms.d)
C
C
declaraciones
c
integer m,n,Mmax,Nmax
real xms,d(100),data(10000)
parameter
(Mmax=100,Nmax=10000)
integer i,j,k
real denom,p,pneum,wkl(Nmax),wk2(Nmax) , wkm (Mmax)
íf (m.gt.Hmax.or.n.gt.Nmax) pause 'Dimensionado insuficiente'
c
p=0.
do 11 j=l,n
p=p+data(j)**2
11
continué
xm3=p/n
wkl(l)=data(l)
Anexos-18
Anexo A-B.
Estimación del espectro mediante
wk2(n-1)-data(n)
do 12 ]-2,n-l
wkl(]i-data(])
wk2(j-l)-data(})
12
continué
do 17 k-l,m
pneum-0.
denom«0.
do 13 3-1,n-k
pneum-pneum+wk1(j)*wk2(j)
denom-denom+wkl(])**2+wk2(]i**2
13
continué
d(k i-2.* pneum/dencu
xms-xms*(1.-d(k)**2)
do 14 l-l,k-1
dli)-wkm(i) -d(k) *wkm(k-D
14
continué
íf(k.eq.m)return
do 15 í-l,k
wkm(i)«d(i)
15
continué
do 16 j-l,n-k-l
wkl(])«wkl(])-wkmík)*wk2(])
wk2(3)-wk2(] + l)-wkin(k)*wkl {-]*D
16
17
continué
continué
END
C
función que evalúa el valor del espectro según los coeficientes
C
obtenidos para el HEH per la subrrutina MEMCOF
C
(C) Copr. 1986-92 Numencal Recipes Software 1,12:!.
C
modificaciones: C. Paredes.1994
C
FüNCTION evljnem{fdt,d,ra, xms)
C
C
declaraciones
C
Anexos-19
MEM.
Anexo A-B.
Estimación del espectro mediante MFM.
integer m,i
real evlmem,fdt,xms,d(100)
real sumí, jurar
double precisión theta,wi,wpi,wpr,wr,wtemp
theta=6.28318530717959d0*fdt
wpr*cos(theta)
wpi=sin(theta!
wr-l.dO
wi«0.dO
surar"l.
sunu-O.
do 11 i«l,m
wtemp-wr
wr«wr*wpr-wi*wpi
wi«wi*wpr+wtemp4wpi
sumr-sumr-d(i)*sngl(wr)
3unu»3umi-d(i)*sngl(wi)
11
continué
evlmem-xms/(aumr* *2+sumi**2)
return
END
Anexos-20
Anexo A-C.
Generación de variables aleatorias Uniformes y Gausianas.
A-C. Generación de variables aleatorias
Uniformes v Gausianas.
Comentaremos brevemente algunos de las propiedades estadísticas de las
variables aleatorias uniformes, que son del interés de este documento. Los resultados que
aquí se presentan se pueden encontrar desarrollados en cualquier texto sobre
fundamentos de probabilidad y estadística elemental como [GRIM-93], [PARZ-62], ó en
[BORI-92] y [WH1T-90] donde se tratan temas de aplicación en física e ingeniería,
relacionados con problemas de aleatoríedad y difusión en experimentos
A-C.1
Variables aleatorias uniformes. Introducción.
Para comenzar definamos una variable aleatoria Ze9? cerno uniformemente
distribuida en el intervalo (a,b], denotándose como Z - U[a,b], para un conjunto x de
realizaciones de Z, cuando su función de densidad de probabilidad o función de
distribución fz(x) es de la forma
f,(x) =
,cona<x£b y a<b
(A49)
b-a
o bien, su función de probabilidad acumulada tiene como expresión.
F 2 (x)= f f ( U d $ =/*"($)•<£ = 1 ^
i
*
b-a
ÍA50
>
Es fácil de ver como ambas funciones poseen las propiedades de:
fz(x)>0 VxG(a,b] ; Jf l (x).d\ = l
(A.51)
F^x) » Prob[Z < x] € [0,1 ] , V xe[a,b]
(A 52)
Anexos-21
Anexo A-C.
Generación de variables aleatorias Uniformes y Gausianas.
como se aprecian ?mbas en la figura A 6
m
HX)
l/(b-a)
y
i
U "1
0
y
a
b
a
0
b
Figura A. 6. /-'unciones de densidad de probabilidad y probabilidad acumulada de Z
La forma analítica de estas funciones permite el cálculo sencillo de los momentos
de primer y segundo orden, esto es. la esperanza
E[Z] = J x f , ( x ) d x = l a "
2a^b
Ib' _ a+b
2 a -b ~ 2
(A53)
asi mismo
E[Z : ] = J x : f,(x)dx = - - ^ - - 1 - ^ 1 = i ( a : + a b + b : )
3a-b
3a-b
3
(A54)
y la varíanza
Var[Z]^E[Z-E[Z]]:=E[z^]-E[Z]r=-](a'+a.b
+
b
2
)-(^J
=
^(b-a)
:
(A.55)
De esta forma, si se posee una muestra de tar.año n {x¡}, realización de una
variable aleatoria Z, que se supone uniformemente distribuida en un intervalo ja.b], la
estimación de máxima verosimilitud de a y b es:
a = min(x,)
b = max(x,)
líISB
ISiSn
(A.56)
Algunos de los métodos presentados para la generación de variables aleatorias
uniformes operan con la suma también de variables aleatorias uniformes, con la intención
Anexos-22
Anexo A-C,
Generación de variables aleatorias Uniformes y Gausianas.
de mejorar la uniformidad y aleatonedad del resultado obtenido Veamos a continuación
qué ocurre cuando se suman una, dos o mas variables aleatorias del tipo Z ~ U[0,1 ]. Para
ello, y previamente, se definirán una serie de funciones especiales, como son
3€ función pulso rectangular II:
n(x)
11
1
0 , - x < x < -1/2
n<x)
-1/2
1 , - 1 / 2 < x < 1/2
0 ;l/2<x<x
1/2
Figura A. 7. Función pulso rectangular unidad.
La función pulso rectangular unidad puede también obtenerse a partir de la
diferencia entre dos funciones de Heaviside 9(), así, operando con las desplazadas
ri(x)-8(x+0 5)-8(x-0 5)
Hri(x)
i
H
u
Hn(x) = H , - l / 2 < x < l / 2
0
-1/2
,.
0
1/2
;l/2<x<oc
Figura A.8. Función pulso rectangular de altura H.
Anexos-23
"
x
Anexo A-C.
Generación de variables aleatorias Uniformes y Gausianas.
Un pulso rectangular, en su forma general tendrá una altura H y una anchura h, que
no están obligados a ser la unidad:
E(x) - HIKx/h)
(A.57)
(x)
H
0 ;-<»<•. x < ~ h / 2
H(x) = H ; - h / 2 < x < h / 2
0 ;h/2 <x< x
h/2
-h/2
Figura A. 7. Función pulso rectangular.
3£ función triangular A:
A(x)
0
,-x<x<-l
1 +x,-l<x<0
A(x) = {
1-x , 0 < x < 1
0
;! < x < x
°
"-1
Figura A. 9. Función pulso triangular unidad.
Anexos-24
Anexo A-C.
Generación Je variables aleatorias Uniformes y (¡ausianas.
H A (x)
n
0
; - x < x < -1
H+Hx,-l<x<0
HA(x) =
H-H x ;0<x<l
0
;1 < x < x
}
°
\
/
\
•'
o
.
'
" *
Figura A. 10. Función pulsotriangular Je altura H.
X función delta de Dirac 5
a partir de un pulso rectangular de altura H y ancho h, tal que verifique que su área
H.h=l, se puede obtener una función tal para la que el pulso es infinitamente alto e
infinitamente estrecho, la función asi obtenida se denomina delta de Dirac
6(x)
x
6(x)-limHTI(x/h)
, VH.h-1
h-*0
Figura A. 11. Función delta Je Dirac.
(para una información más completa sobre esta funciones se recomienda consultar los
capítulos iniciales de [BRAC-86])
A continuación se va a definir la operación denominada producto de convolución
fi(x), de dos funciones f^x) y g(x), descrito mediante la integral:
Anexos-25
Anexo A-C.
Generación de variables aleatorias Uniformes y Gausianas.
íl(x)= Jf(í;)g'x-S).dS
(A.58)
y que simbólicamente se suele expresar como:
n(x) £ f(x)®g(x)
(A 59)
Esta operación posee las propiedades conmutativa
f®g=g®f
(A 60)
(e®f)®g = e ® ( f S g )
(A 61)
asociativa:
y distributiva respecto a la adición:
e®(f+g) = e ® f + e ® g
(A.62)
siempre y cuando las integrales sean finitas y existan
A partir de las funciones discretas, el producto de convolucion puede calcularse
numéricamente para cada posición x¡ mediante
fl(x1) = f(x l )®g(x 1 ) = 2 ; f í x ^ g í x , - X j )
(A63)
esto es, la suma de los productos de los valores correspondientes a f y g, tomados en las
posiciones discretas de x
Otra propiedad importante de la convolucion se relaciona con la transformada de
Fouríer de las funciones a convolucionar, la cual facilita la realización de ciertos cálculos
integrales,como se verá posteriormente Esto es, la trasformada de Fouríer de una
convolucion de dos funciones f(x) y g(x) es el producto algebraico de las transformadas
de Fouríer de ambas funciones:
Aneios-26
Anexo A-C.
Generación de variables aleatorias Uniformes y Gausianas.
TF[flx) © g(x)] = TF[flx)] TF[g(x)]
(A64)
(las demostraciones de las propiedades descritas pueden encontrarse en [BRAC-86])
Pasemos ahora a relacionar lo anterior con las propiedades de la variable aleatoria
uniforme. Si se construye una variable aleatoria Z como la suma de dos variables
aleatorias uniformes X e Y, la función de distribución de Z se calcula a partir de las de X
e Y, fx(4) y fYÍ°) respectivamente, según:
f/.(C)= Jf x (É) f v ( C - a d £ = J f x ( C - u ) f v ( ü ) d u
(A.65)
y si se aplica la definición de convolución se obtiene que la función de distribución de la
combinación lineal Z=X+Y es
(A.66)
fz(C) = fx(C)®fY(C)
y como para ambas f (.) = I~I(), la operación anterior es ia autoconvolución de una
función rectángulo, cuyo resultado es una función triangular A(.) [BRAC-86])
En el caso concreto de que X - UfO.l] e Y ~ U[0,1], se puede escribir la función
de distribución U[0,1 ] como la desplazada de una función rectangular unitaria hasta el
origen (ver la figura A 12)
U[0,1 ] = n(Q ® 6ÍC-0 5)
(A 67)
t»|0,l|
8(C-0 5)
n©
-
1
I
1
0
1 —••i,
o—
-1/2
0
o
m
1/2
Figura A. 12. Convolución de pulso rectangular con delta.
por los que si se sustituye y se opera aplicando las propiedades de la convolución:
fx(C) = n(O®6(C-0 5) = fY(Q
Anexos-27
(A68)
Anexo A-C.
Generación de variables aleatorias Uniformes y Gausianas.
fz(0 = [n(Q ® 6(C-o.5)j 0 [n(0 ® 6(c-o.5)]
(A.69)
fz(Q = tn(Q ® n(Q] ® [6(c-o 5) ® 6(c-o 5)]
(A. 70)
y por lo dicho anteriormente:
ÍA.71)
n<0®n(0 = A(Q
y como la convolución de una función cualqiera con una delta de Dirac desplazada 8(xx 0 ) es la función primera despalzada a x0, entonces:
6(C-0.5)®5(C-0.5) = 6(C-1)
(A.72)
fz(C) = A(Q®6(C-i) = A(C-D
(A.73)
por lo tanto:
lp
1
A
/
o
. ,
\
i
2
Figura A. 13. Convolución de función triangular con delta.
que es el resultado que se obtiene si se opera directamente en las integrales que definen
la función de distribución fz(Q
Este resultado tiene dos posibles consideraciones. La primera referida
directamente a los métodos y aplicaciones decrítas en este informe, ya que como se ha
comentado, algunos de ellos (pe Wichmann) aplican la combinación de hasta tres
variables aleatorias uniformes, lo cual puede ir en detrimento de la calidad de la función
de distribución conseguida alfinalde la simulación.
Anexos-28
Anexo A-C.
Generación de variables aleatorias Uniformes y Gausianas.
La segunda, fuera del alcance de este trabajo, pero si dentro del tema de
investigación que se aborda, y por lo que se considera interesante referenciarla
brevemente, está referida a la posibilidad de aplicar este resultado como método de
generación de variables aleatorias gausianas. Si un gran número de funciones uniformes
se convolucionan juntas, el resultado, a medida que el número aumenta, se aproxima
hacia una forma gausiana. En su aplicación, el Teorema del Limite Central (TLC), en su
forma general, establece que, bajo las condiciones de existencia de las integrales
implicadas, la convolución de n funciones de distribución f¡(Q, es una función gausiana
cuya varianza es la suma de las varianzas, siempre que las variables aleatorias sean
independientes, más un residuo que se hace despreciable a medida que aumenta n:
\\m{fi(Q0t(O®~®(JQ} = c*:-'
(A. 74)
De esta forma, el resultado de sucesivas convoluciones de una función
rectangular, función de distribución uniforme. El cálculo de la convolución se «implifica
si se opera mediante el producto de transformadas de Fouríer de la siguiente forma. Sea
la variable aleatoria Zn definida por la combinación lineal de las X¡ ~ U[-0.5,0.5] = II:
Z.-tx,
(A. 75)
fZn(C)» ITF[(TF[n(Q])n]
(A 76)
luego el cálculo de f z n ( Q e :
esto es, la inversa de la transformada de Fouríer del producto de transformadas de
Fouríer de las funciones de distribución (autoconvoluciones de las mismas) de las
variables aleatorias que entran en la combinación lineal que define Zn
Como se ha mencionado, esto puede aplicarse en la definición de un método para
la generación de variables de distribución Normal estandard, ya que si se toman las X¡ ~
U[0,b], y se construye la combinación lineal definida para la Zn, entonces:
HmZ n =N[u 2 ,a z ]
donde:
Anexos-29
(A.77)
AneXO A - C .
Generación de variables aleatorias Uniformes y Gausianas.
Ma£
EZ„
="2b
; C ^ I V , , ; , )
1
' ^ ^ "
(A 78)
y estandarizando se obtiene Z - N[0,1], tal que:
Z=
Z
- E Z
¿-»1
T
¿
"
' = -•
= '
;
Var Zn
n.b
b
l O "
YX,n tí
3n
(A.79)
12
Otras técnicas de generación de variables gausianas a partir del resultado del TLC
y otros, pueden encontrarse en [KNUT-81], [RIPL-87], [BOXM-58], [IMAN-84],
[BORR-94], [PRES-92], etc
A-C.2.
Generación de Variables aleatorias uniformes.
Métodos congruentes.
Ha sido posteriormente a los trabajos atribuidos a Lehmer en 1951 [LEHM-51]
cuando han comenzado a aparecer estudios sobre los generadores aleatorios (o mejor
denominados como pseudoaleatoríos) de variablea aleatorias uniformemente distribuidos
dentro de un intervalo. La necesidad de una generación aleatoria surge de la existencia
de ciertos problemas probabilísticos (pe Monte Cario), que sin la existencia de la
generación sobre ordenador de estas variables, no hubiera sido posible el resolverlos. El
problema que plantes su generación es que se parte de la utilización de una máquina, un
computador, que es absolutamente determinístico, por lo que su generación también lo
es.
Los generadores que están siendo estudiados en este Proyecto producen una serie
(en un principio de enteros) que es absolutamente deterrninística, ya que trabaja con una
ecuación que es programada en un ordenador. El método utilizado es conocido como
multiplicativo congruente, y genera el i-ésimo elemento de la serie a partir de la
expresión:
x,=a.x,_,+c
Anexos 30
modm
(A.80)
Anexo A-C.
Generación de variables aleatorias Uniformes y Gausianas.
lo que equivale a calcular:
x, =(a.x,_, + c ) - INlí^-^-í-^J.m
(A 81)
donde:
a: es el denominado multiplicador
m: es el módulo
c: es un término aditivo de desfase
algunos de estos parámetros, de los que se encuentran en la bibliografía, se muestran en
la tabla III de este Anexo A-C. El método se diferencia cuando c es igual o distinto de
cero en lineal congruente o en mixto congruente, respectivamente
Como ya se ha mencionado, los métodos mediante los cuales las computadoras
producen números aleatorios, no son verdaderamente aleatorios Por lo tanto, no
debemos de satisfacer con algoritmos, como el presentado, deterministicosque
produzcan secuencias pseudo aleatorias de buena calidad. Con cierto esmero en la
programación, esto es, en la elección del triplete (a,m,c) se puede conseguir que estas
series imiten realmente un proceso aleatorio. Las funciones RANDOM que suelen
suministrar la mayoría de los lenguajes de programación, como BASIC, QUICKBASIC,
FORTRAN, C, PASCAL, etc., son, a menudo, versiones del genrador congruente (para
un triplete (a,m,c) prefijado), y adecuadas en la mayoría de los casos para las tareas
cotidianas de generación, pero aún se deben de hacer una serie de consideraciones
respecto a los mismos.
La selección del generador más apropiado depende del entorno computacional y
del uso al que se va a destinar el resultado aleatorio. Para un PC, normalmente se suele
trabajar con precisiones que rondan los 16-bit, en enteros, y 24-bit en simple precisión.
Otras precisiones superiores son cuando se trabaja en estaciones de trabajo o grandes
ordenadores.
Tabla III
Anexos-31
AflOXO A - C .
Overflow a
Generación de variables aleatorias Uniformes y Gausianas.
m
a
c
Referencia de la procedencia
de parámetros
partir de
Knuth |1981]
256
125
„
4096=2' 2
125
1
Clockson & Mellish (•)
8192=2' -1
2I5
2 19
93
1
Kanvalina & Wilcman (*)
3
101
1
B a y s * Sharp {1991]
13
125
0
Kruskal |1969]
6075
!06
1283
Press ct al [1986]
7875
211
1663
Press ct al. (1986]
7875
421
1663
Press el al (1986]
65537=2 , 6 +l
75
0
Sinclair ZX8I (•)
30323
170
0
Wichmann&Hill|l98?;
30269
171
0
Wichmann&Hillf 1987|
30307
172
0
WichmannA H i l l | l 9 8 7 |
30373
171
0
Wichmann & Hill 11987|
II979
430
2531
Press et al [1986]
6655
936
1399
Press ct al. [1986]
6075
1366
1283
Press et al. [1986]
53125
171
11213
Press et al. [1986]
11979
859
2531
Press el al. [1986]
29282
419
6173
Press et al [1986]
5
259
0
Goltfried (*)
228
0
Afllerbach[l99l]
65537=2 +l
2¿7
0
Afflerbac¡i[1991]
65537=2 , 6 *l
254
0
Tootill (*)
14406
967
3041
S
P
134456
141
28411
Press et al. [1986]
31104
625
6571
Press et al [1986]
8192=2'
8I92«2
2 20
221
222
22?
32768=2'
65537-2 , 6 +l
,6
2 24
L
Anexos-32
Press et al [1986]
AnOXO A - C .
Generación de variables aleaíorias Uniformes y Gausianas.
14000
1541
2957
Press ct al (I986J
12960
Press et al. (1986J
1741
2731
,6
257
41
Tootill (*)
16
257
1
Tootill (•)
65536=2 16
293
41
Tootill (*)
16
291
1
Tootill {•)
139968
205
29573
100000
321
123
Bavs& Sharp [ 1991J
21870
1291
4621
Press ct al J1986J
139968
205
29573
Press et al. (1986]
259200
421
54773
Press ct al. fl986]
81000
421
17117
Press et al. (19861
29282
1255
6173
Press et al (I986J
134456
281
28411
Press ct al [I986|
86436
1093
18257
Press et al. 119861
259200
421
54773
Press et al [1986]
116640
1021
24631
Press ct al. |1986J
121500
1021
25673
Press el al (1986|
32769=2' 5 +l
10924
11830
Lamo (•)
117128
1277
24749
Press et al [19861
312500
741
66037
Press eral [1986]
121500
2041
25673
Press et al [1986]
120050
2311
25367
Press et al. [1986]
214326
1807
45289
Press et al. [1986]
244944
15?7
51749
Press et al [1986J
233280
1861
49297
Press et al. [1986]
175000
2661
36979
Press et al. [19861
121500
4081
25673
Press et al. [1986]
145800
3661
30809
Press et al. (1986)
32768=2 15
20403
0
65536=2
65536=2
65536=2
Press et al. [1986]
225
2 26
227
2 28
2 29
Anexos-33
Maryanski (*)
AnOXO A-C.
Generación de variables aleatorias Uniformes y Gausianas.
139968
3877
29573
Press el al |1986J
214326
3613
45289
Press el al. |I986J
714025
1366
150889
Press et al f 1986|
I3107l=2 , 7 -I
9806
1
25173
13849
279841
7200
0
134456
8121
28411
Press et al. (1986]
243000
4561
51349
Press el al (1986]
10 +l
23
„
459200
7141
54773
23
0
233280
9301
49297
Press el al. |1986]
714025
4096
150889
Press el al (1986J
10000000
23
0
1771875
2416
374441
Press ci al |1986]
510300
17211
107839
Press el al |1986J
312500
36261
66037
Press et al [1986]
217728
84589
45989
Press et al (1986]
167772I6=2 24
214013
13737667
Schneider |1988]
16777213=2 -3
3373
0
C)
Í677697I
3911
0
Sharp &Bays(1993|
16777127
39ÍI
0
Sharp & B a y s ( l 9931
16777183
3911
0
Sharp & B a y s ( 1993]
16776971
3907
0
Sharp ABavs (1993]
16777127
3907
0
Sharp&Bays (1993]
16777183
3907
0
Sharp&Bays (19931
16777127
3967
0
Sharp&Bays (19931
16777183
3967
0
Sharp&Bavs(1993J
3967
0
Sharp A B a y s í 1993]
S
P
SCHRAGE
2 30
65536=2
,6
8
Collins (*)
Groflono (*)
Eichcnaucr - H & Grothe (1990]
Knuth[l98l]
Press el al (I986J
23i
100000001
Lehmcr ]I949]
2 32
HP-20S |1988|
2"
2 34
24
24
16777213=2 -3
236
L
Anexos-34
AflGXO A-C.
Generación de variables aleatorias Uniformes y Gausianas.
167772I6=2 2 4
17405
10395331
Schneider[1988J
24
214013
10395331
Schncidcr[1988J
16777216=2 24
214013
10395331
Schneider|l988]
24
214013
10395331
Schncider(l988J
129
.
214013
2531011
Schncidcr[1988J
2147483563
40014
0
L'Ecuyer[l988J
2147483399
40692
0
L'Ecuver(l988J
2I47483647=2 : "-I
16807
0
Park&Miller|1988j
2I47483647=2 -1
48271
0
ParkA Millcr [I988J
536870912=2 29
65539
.
Knuth JI98IJ
2I47483647=2 -1
69621
0
Park& Millcr f 1988|
4294967296=2 32
69069
1
VAX/VMS 11984 j
4294967296=2 32
1664525
1
Knuth(1981|
262145
.
Lavaux & Jansscns (•*)
314159264
.
Knuth |1981|
2«
4202501
„
Knulh II981J
2 35
8404997
v
Knuth [I981|
2 35
8396805
„
Knuth 11981|
23*
8392709
.
lúiulh (1981)
2 35
17059465
.
Lavaux & Jansscns (*•)
2 35
16785413
.
Knutii{l981]
4294967296=2 3 2
1566083941
.
Watermají (•*)
4294967296=2 3 2
1812433253
.
Borosh & Nicderreiter (•*)
,0I0
3141592221
_
Borosh & Niederreiter (**)
10»
1141592621
.
Borosh & Niederreiler (••)
167772I6=*2
167772I6=2
235+l
167772I6=2
24
Knuth f 1981]
2 42
;U
3,
2 45
2 48
2 35
2 53
2I47483647=»2 3, -1
2-"
258
259
262
264
Anrxos-35
AneXO A - C .
Generación de variables aleatorias Uniformes y Gausianas.
2«
II75245817
.
Watcrman (**)
10»»
4160984121
.
Watcrman (**)
I0">
4219755981
.
Borosh & Niederreitcr (**)
2 35
513
»
Tausskv (**)
2 35
3141592653
_
Knuth{1981J
2 35
3141592221
.
Knuth [198l|
2 35
2718281829
.
Knulh[198I]
2 35
19935388837
.
Borosh & Niederreitcr (**)
2 35
515
.
Taussk>• ( • • )
2 48
31167285
.
Lavaux & Jansscns (**)
2 64
6364136223846793005
.
Haynesí**)
2 65
2 66
2 69
2™
2I27
• véase Sharp & Bays 11992|
**véascKnulh|l98l|
Por todo esto, se están poniendo a punto en este Proyecto generadores que
parten de este sencillo esquema, para su uso en los generadores de medios heterogéneos
teniendo en cuenta aspectos como precisión, periodicidades, overflow, y otras
características que es preciso testear mediante pruebas apropiadas Estos generadores
pueden concretarse en
Algoritmo simple, es el método más sencillo, y que aplica directamente la definición
del método multiplicativo lineal o mixto congruente
Algoritmo de Shuflling a partir de la utilización de dos genraciones congruentes, la
primera llena un vector que es barajado mediante la segunda
Algoritmo de Whicmann este combina linealmente tres resultados de tres
generadores congruentes, mediante la aplicación de una media a módulo m
Anexos-36
AflOXO A - C .
Generación Je variables aleatorias Uniformes y (¡ansíanos
Algoritmo de Schrage permite, mediante la factorización del módulo m, la
utilización de grandes valores del módulo, lo que proporciona un período elevado
Algoritmo de L'Ecuyer: se trata de una versión mas sofisticada del algoritmo de
Wichmann
Algoritmo de Knuth: aplica un método sustractivo combinado con el congruente
A-C.3.
Análisis de la aleatoriedad de los métodos
congruentes.
En esta sección se van a discutir una serie de pruebas o test que permiten
investigar la verificación de las características de aleatoriedad y de distribución uniforme
U[0,1] Algunos de los test aplicados han sido diseñados para trabajar con valores
enteros, por lo que en este caso para aquellos que lo precisen se trabajará con la
secuencia de valores generados sin renormalizar a módulo m
Si una secuencia pseudoaleatoría generada se comporta aleatoriamente para una
cadena de test aplicados, no se puede estar seguro de que también se comporte
aleatoriamente para la prueba siguiente aplicada, aunque cada test verificado proporciona
más y más seguridad en la característica aleatoria del generador En la práctica puede
aplicarse una docena de test diferentes, tal que si los supera con suficiente holgura, se
puede considerar, siempre con cierta reserva, que los datos analizados son
suficientementre aleatorios, para los propósitos que se van a utilizar De aquí, las pruebas
deben de estar en consonancia con la aplicación a la que se van a dirigir los valores
generados, ya que si esta aplicación necesita, por ejemplo, que no existan trazas de
peridicidad en los valores, alguno, o mejor varios, de los test deben de asegurarnos la
ausencia de tal comportamiento periódico
Análisis estadístico general de las variables aleatorias uniformes.
Esta serie de pruebas empíricas manipulan la serie de datos supuestamente
aleatorios, para calcular unos parámetros estadísticos que caracterizan esta serie, y nos
permiten comprobar, conociendo los valores que teóricamente deben de tener, si se
aproximan a la función de distribución que se desea En este caso dicha función de
distribución es una uniforme, y ios estadísticos a comparar corresponden con la
Aneios-37
AnGXO A - C .
Generación de variables aleatorias Uniformes y (¡ansíanos.
distribución uniforme dentro del intervalo [a,b]. Fundamentalmente se van a calcular,
como serie de estadísticos fundamentales Histograma, Media, Mediana, Moda, Media
geométrica, Varianza, Desviación estandard, Mínimo y máximo. Rango, Cuartil inferior y
superior, Rango intercuartiles
Los algoritmos para la impiementación de cada uno de ellos pueden encontrarse
fácilmente en cualquier referencia de estadística aplicada [PEÑA-88], ó de programación
numérica [PRES-92]
Una vez calculado el histograma frecuencia! de la muestra, se omparará con la
función de densidad de probabilidad teórica que debe de seguir la muestra Estos test son
el de x^, ó criterio de Pearson de x^. y el otro es el de Kolmogorov - Smirnov Este tipo
de comparaciones se tratan de unas pruebas de ajuste para la función de distribución, de
tal forma que, si la función de densidad de probabilidad es f(x), y se desea saber si fo(x),
que es la que corresponde con la muestra, ó muestral, se ajusta a la teórica, se formulan
las hipótesis siguientes La hipótesis nula H 0 ^ue establece la posible igualdad de las
funciones, con cierto orden de probabilidad, y !?. hipótesis alternativa H|, que rechaza
dicha posibilidad:
TH
ÍHf, =>f(x)=f 0 (x)
°
°
lH,=*f(x)*f0(x)
(A82)
La hipótesis H 0 no será rechazada cuanto más se aproxime f0(x) a ft*x) Si se
aplica el concepto de distancia entre ambas funciones
d(fo(x),flx))
(A83)
y si esta distancia es mayor que una constante d se obtiene que la hipótesis nula H 0 no es
correcta, concluyendo la hipótesis alternativa Hj Asi d(*,*) es también una variable
aleatoria, por lo que si conozco su función de distribución, se puede calcuiar su valor
teórico d y compararlo con el d obtenido, al comparar con la muestral, y conocer
entonces cuál de las dos hipótesis se descarta
Dado que la distribución uniforme es continua en [a,b], se puede calcular la
probabilidad pf que entra dentro de cada ciase A¡, en las que se ha dividido el histograma
muestra] en su obtención, por lo tanto
Anexos-38
AnOXO A-C.
Generación de variables aleatorias Uniformes y Uausianas.
f Q ( x ) * U[a.b] -> j
A
f Q ( x ) dx = P 9
(A 84)
Test de x 2 :
En general, se puede suponer que cualquier observación de una variable aleatoria
generada (pseudoaleatoría) caerá dentro de alguna de las k clases A¡ Si se han calculado
n valores en la serie generada, supuestos estos entre si independientes, y siendo N¡ en
número de observaciones que caen dentro de la categoría i, se puede construir el
estadístico de d(*,«) como:
¿(N,-np;'):1
P-
Q=I~
•=•
(A 85)
n-P,
donde, obviamente se verifica que:
lN,=n
I p ° = Jf„íx).dx = l
• i
ii
(A 86)
«
y, a su vez, la esperanza
E[N,] = n P :
(A 87)
de las variables aleatorias Nj que poseen una distribución binomial de parámetros n y p°:
N,*B[n,pf].Vi=l,
.k
(A 88)
Por lo tanto, en Q se compara, en el supuesto de que H 0 sea cierta, lo observado
(Nj), con lo predicho (n.pf) por el modelo de distribución teónca a ajustar según la
hipótesis nula K0, y extendiendo esta comparación a las k clases A¡ En el caso de ser H 0
cierta, la diferencia entre lo observado y lo predicho es pequeña (d es pequeña); y si H 0
es incierta la diferencia es grande (d es grande). Esta prueba rechaza pues la hipótesis
nula cuando la diferencia acumulada en las k clases Aj supera el limite Si n-*-x la ley de
probabilidad de Q es una función de distribución x^(k-l), y P°r consiguiente la región
crítica de nivel de significación a es:
T = {Q>X;}
Anexos-39
(A 89)
Anexo A-C.
Generación de variables aleatorias Uniformes y Gai/sianas.
tal que si se está dentro de T, se descarta la hipótesis nula, para un nivel de significación
a. Pero si se disminuye esta significación, saliéndose fuera de T, se puede llegar a
concluir que la muestra no es compatible con H 0
Remarcar respecto a esta prueba de Pearson, que para obtener %l n o hace falta
conocer el tamaño de la muestra, solo afecta el número de grados de libertad v = k-l;
también indicar que la distribución de Chi cuadrado es una aproximación solo válida para
un número suficientemente elevado de n. Por ello, na regla común en la práctica es
conseguir una muestra en la que V i=l, ,.,k
verifique
npf >5
(A.90)
esto es, al menos cinco valores dentro de cada
clase en el histograma frecuencial
Test de Kolmogorov - Smirnov:
Otra de las técnicas de posibles para estudiar la prueba de hipótesis TH anterior,
es aquella que define la distancia entre las dos funciones mediante la distancia infinito:
d = sup|F(x)-F°(x)|
(A.91)
a partir de las funciones de distribución acumulada:
F(x) = £ f « ; ) . d S = Prob[X<x]
(A.92)
Este test se denomina prueba de Kolmogorov - Smirnov (KS), en el que se parte
igualmente de una muestra de n observaciones independientes z¡ obtenidas por el
generador pseudoaleatorío. Se puede construir la función empírica de probabilidad
acumulada como:
F(x) =
card[zt,z2,
,z n < x}
(A.93)
y cuando la serie generada no posea las condiciones de distribución exigidas, en e!
sentido de que su función de distribución acumulada no se aproxime a la teórica, la
hipótesis HQ será rechazada Para efectuar este test se calculan los estadísticos :
Anexos-40
Anexo A-C.
Generación de variables aleatorias Uniformes y (¡ausianas.
K; = yin. max ( F ( X ) - F ° ( X ) }
b
K0 =>/ñ~
min
-•*•*.
>
(A 94)
{F(/)-F°(X)}
%<•»
h
tales que K* mide la mayor cantidad de desviación cuando F(x) es mayor que F°(x), y
K'n mide la máxima desviación cuando F(x) es menor que F°(x) Ambos estadísticos
poseen la misma función de distribución y pueden obtenerse de las tablas estadísticas con
entrada el tamaño de la muestra n y el nivel de significación a En ciertos casos la prueba
puede ser reducida a tomar el superior de ambos estadísticos, y usar éste como resultado
del test:
Kn=max{K;,Kn}
(A.95)
Análisis estadístico. Test empíricos.
En este bloque de pruebas estadísticas se analiza la serie generada según la
calidad aleatoria de su secuencia, esto es, como un proceso temporal de generación en el
que para cada instante la variable pseudoaleatoria generada toma un valor aleatorio, a
testear, que sigue una distribución uniforme
Test de aleatoriedad simple:
Se examina el número de sucesos que verifican las condiciones que establece esta
prueba. La primera de estas condiciones es comprobar si la realización z¡ se encuentra
por encima o por debajo de la media , contándose el número de veces que este suceso se
verifica. Los valores iguales a la media son desestimados. Este proceso es especialmente
sensible a tendencias en las realizaciones de Z, por ello es preferible hacer un análisis
previo para asegurarse que esta no existe, o en el caso de que exist, eliminarla, con las
implicaciones que, a la hora de interpretar, esto supone
I ¿ segunda de las condiciones que se testea es el número de veces que hay un
cambio de signo en la pendiente de la serie compuesta por {z¡}, entre dos valores
consecutivos z\.\, z¡, z¡ + j. El número total de cambios de pendiente es igual a uno más
el número de puntos de cambio. Esta condición es más sensible a la existencia de ciclos a
largo plazo en la secuencia en la que el número de puntos de cambio es mucho menor
que los que hay en la secuencia pseudoaleatoria.
Anexos-41
Anexo A-C.
Generación de variables aleatorias Uniformes y (¡aiisianas.
Test de correlación:
Se trata en esta prueba de medir la dependencia de los valores z¡ con los de z\+ j .
Para ello se calcula la autocorrelación como:
a-I
/B-I
\ fm I
»Kvv,>- S*. . iv,
P-
r
r
' „,
,„'
A
'"
\
^
.,• «[-•••]
(A.*)
|"| 2 '-(I 2 ')j["S V '-(I V ')J
con la serie {V;} definida como
{v};>k. 1)OBd ,j; s ;
(A 97)
En el caso de que la serie generada, y por lo tanto el generador, lo verifiquen se
tendrá que p*0 Un buen valor de p es aquel que verifica
p S [A.Bjj*- M --, 2 - 0 -
<A98,
con n > 2. y:
M, =
r
(A 99)
n-l
•
IMEI
n-1V
n+I
(A100)
siempre y cuando las variables aleatorias analizadas posean una distribución uniforme en
[0,1]. Una característica, que puede ser interesante de estudiar, se encuentra en las
correlaciones que pueden aparecer cuando se toman series desplazadas cíclicamente
Zq..-.Zn.l.Z0.-.Zq.|
(A 101)
y por lo tanto el cálculo de los correlogramas o varíogramas que muestran las
correlaciones próximas a cero.
Test de frecuencia o de equidistríbución:
Anexos-42
Anexo A-C.
Generación de variables aleatorias (¡informes y dan sumas.
El objetivo de este test es muy semejante al buscado en la prueba de KS, por lo
que se puede usar este mismo También puede encontrarse otro test (ver [KNU1-81 ]) en
el que se parte de la serie de enteros, no renormalizada a modulo m, de Z, {y¡}, tal que
para cada entero r dado, tal que 0 < r < d, se cuenta el número de veces que >j ~ r, para
0 s i < n. Luego, se aplica un test de Chi cuadrado x«. utilizando como número de clases
k - d y las probabilidades p'1 = 1 /d. para cada categoría
Test de las parejas:
Para llevar a cabo este test se contará el número de veces que el par compuesto
por los enteros (y2j.Y2j+l) ^ igual al par arbitrario dado por los enteros (q.r), en la serie
{y¡}, para 0 < j < n Este comeo debe de realizarse para cada par de enteros (q,r) que
verifiquen 0 < q , r < d El test de x« a aplicar es sobre las k = d^ categorías, con una
probabilidad de p* = l / d \ en cada una de ellas Como consejo práctico, es conveniente
que d sea un número apropiadamente elegido para que n > S.d^. como mínimo Este test
puede generalizarse a tripletes. cuádruples, etc. sin embargo, el valor de d debe de ser
generalmente reducido para evitar demasiadas categorías
Test del gap:
Este test se utiliza para examinar la longitud de los gaps, saltos, o espaciados
entre dos ocurrencias de z¡, en un cierto rango Si r| y te son dos números reales, en el
intervalo [0,1], con r) < K Consideraremos las longitudes de dos subsecuencias
consecutivas z;, ZJ+J, .... zj +r , en la que zj+r se encuentra también entre rj y K, pero los
otros ZJ no Esta subsecuencia de r+l números representan un gap de longitud r.
Computacionalmente se contabiliza en el vector count, para unos valores de r| y K
dados, el número de gaps con longitud 0, 1,2, .... t-1 y de longitud mayor o igual que t,
como se puede ver en el algoritmo representado en la figura, hasta que se hayan
encontrado un total de n gaps
Posteriormente se aplica un test de xi a los k = t+1 valores del vector count()
obtenido, aplicando las siguientes probabilidades
Po
P?
P?
p
P(i-P)
Pd-P):
P^O-P)*
P = K-H
Anexos-43
(A 102)
AnOXO A - C
Generación de variables aleatorias Uniformes v Ciausianas.
Los valores de n y t deben de ser escogidos de tal manera que, al menos, el valor
en cualquier posición de count(.) sea mayor que 5.
Si la secuencia {z¡} es suficientemente no aleatoria el algoritmo descrito puede
no converger, esto es, no parar En e! caso determinado de que (r\x) = (0,1/2) ó (1/2,1)
resulta que esta prueba coincide con el test de aleatoríedad descrito anteriormente
Test de partición o del poker:
Clásicamente, este test consiste en considerar n grupos de enteros sucesivos
(v5j.y5j+l.
. v5j+4>
(A 103)
para 0 < j < n, y observar a cuál de las siguientes siete co-.ID. naciones se ajusta cada
quinteto:
todos diferentes
una pareja
dobles parejas
triple
ful!:
cuatro iguales
cinco iguales
ABCDE
AABCD
AABBC
A AA BC
AAABB
AAAA B
AAAA A
El tets de X, aplicado se basa en el número de quintetos en cada categoría Una
buena forma de simplificar el algoritmo de búsqueda consiste en contar el número de
valores distintos dentro del quinteto. Asi, se utilizarán las siguientes categorías:
5 diferentes:
4 diferentes:
3 diferentes:
2 diferentes:
1 diferente:
Anexos-44
todos distintos
una pareja
dobles parejas o un triple
full o cuatro iguales
cinco iguales
Anexo A-C.
Generación de variables aleatorias Uniformes v (iausianas.
Si de considera, en general, n grupos de k números sucesivos, y se pueden contar
el número de k-tuples con r valores diferentes, el test de x„ s e puede hacer usando las
i:i-
probabilides calculadas a partir de los números de Stirling < |, como
„ d(d-l)(d-2)
p, =
—v
( d - i + 1) / k |
A \
, l<i<r
(A 104)
Test del coleccionista:
A partir de la serie de valores enteros generada {yj}. se observa la longitud de los
segmentos (yj+1, yj+2. ,>j+r) que se necesita para obtener un conjunto completo de
enteros de 0 a d-1 Se puede ver cómo partiendo de la serie {y¡} con 0 < y¡ < d, este
proceso cuenta las longitudes de n segmentos consecutivos, como un coleccionista
cuandofinaliza,en cada posición del vector count(r), almacena el número de segmentos
con longitud r, con una d < r < t, y count(t) es el número de segmentos con longitud
mayor o igual que t
Una vez obtenido el vector count(). se aplicará un test de x« a count(d).
count(d+l), ... count(t). con un número de grados de libertad k = t-d+1, después de
que el algoritmo anterior haya contado n longitudes. Las probabilidades que se utilizan
en el test de x« correspondientes son
1
P
F -.Í!.!'-'
'
d'
d-1
dsi<t
(A 105)
(A 106)
Test de permutación:
Para realizar este test se divide la serie {z, > en n grupos de t elementos cada uno,
estoes:
(zj,,2j t+!j ....zjt +t .|) ; 0 < j < n
(A.107)
asi, los elementos dentro de cada grupo pueden tener hasta t! ordenamientos diferentes.
El número de veces que cada ordenamiento aparece es contado, aplicándose un test de
X* con k = t! grados de libertad, y con la probabilidad de 1/t! para cada ordenamiento
Anexos-45
Anexo A-C.
Generación de variables aleatorias Uniformes y (¡ansíanos.
En el algoritmo se analizará la permutación, y a partir de la serie real {ZJ}, se calcula un
entero tal que:
0<flz|,z2,
,zt)<t'
(A 108)
siendo
RZJ.Z2.
.Zt) = flx|.X2. .x t )
(A 109)
,zt)y(x|,x2.
(A 110)
si y solo si
(Z|,Z2.
. xt)
tienen el mismo orden interno Realmente el algoritmo reflejado en la figura opera con:
0<H*Z,.Z2.
,i,)<t'/r'
(AHÍ)
Test de ejecución:
Se examina la longitud de una subseríe de la secuencia original, esto es,
examinando si crece o decrece Aqui no se aplica un test de xa * ' o s resultados del
examen, dado que los ascensos y descensos sucesivos no son independientes, y porque
una gran tendencia (ascendente o descendente) suele ser seguida de una pequeña (idem),
y reciprocamente Esta falta de independencia es argumento suficiente como para
invalidar el test de x„ Por lo que, en su lugar, se va a calcular el estadístico E
jeH = - Vfcount, " n.b.J-lcountj - n b l a (
n
(A 112)
a. i - 3
"I
donde:
r
42594 9044.9 13568
18091
22615
278V2 ^
90449
1897
27139
36187
45234
55789
13568
27139
40721
54281
67852
83685
18091
36187
54281
72414
90470
111580
22615
45234
67852
90470
113262 139476
k27892
55789
83685 111580 139476 172860
Aneios-46
(A. 113)
Anexo A-C.
Generación Je variables aleatorias Uniformes y (¡ansíanos.
b = ( b ) = ( 1 / 6 , 5 / 24,11/120.19/ 720,29/5040,1/840)
(A 114)
Cuando la longitud de las tendencias haya sido determinada, y almacenada en el
vector countf ), donde para la posición r se guarda el número de tendencias (ascendentes
o descendentes, según el test a realizar) de longitud r
El estadístico E resultante debe de tener una distribución de x:, con seis grados
de libertad, cuando el tamaño de la muestra es grande (4000 datos ó más) La obtención
con mayor precisión de los coeficientes de E. que se encuentran en la matriz A y el
vector b, pueden obtenerse a partir de las fórmulas que figuran en [KNUT-81J
Test del máximo de t:
A partir de la serie real {«}, con i=0, ,n, se calculará una nueva serie,
denominada V, y compuesta por los máximos de la primera, con 0 s j <; n. siendo
Vj-maxCztj, ztj+1. *tj*2
^tj+t-1)
(A. 115)
Se aplicará un test de KS a la nueva serie generada {Vj}, con j=0, ,n-l, con ¡a
función de distribución acumulada del tipo
F(x) = x«
(A 116)
Esta es asi ya que si se calcula la probabilidad
Pifmax(zj. z2, zj,
,2^) <, xj
(A 117)
que es lo mismo que
Pr[zj $ x, zj S x, Z3 S x, ...,Z| á x]
(A 118)
y por independencia de sucesos
x.x.x...x«x»
(A-H9)
También puede aplicarse una prueba como la descrita en el test de
equidistribución, a la secuencia de {Vj}.
Aneios-47
Anexo A-C.
Generación de variables aleatorias Uniformes y Gausianas.
Test de colisión:
Se trata de una prueba en la que el número de categorías es mucho mayor que el
número de observaciones Este test cuenta el número de veces que se ha producido una
colisión, esto es, entendiéndose por colisión si una observación cae más de una vez
dentro de una clase dada El generador aleatorio pasará esta prueba si no se producen
demasiadas colisiones
Análisis paramétrico. Test teóricos.
Este tipo de pruebas, conviene que sean hechas a priori, con la finalidad de
adenlantar conocimientos sobre el tipo de resultados que se pueden obtener al realizar
los test empíricos Los resultados obtenidos de aplicar estos test teóricos suelen indicar
bastante con respecto a la calidad del generador pseudo aleatorio que se esta analizando
El objetivo fundamental de este test es mejorar la calidad en la selección de los
parámetros a, c y m del generador lineal congruente Consiguiéndose asi aumentar la
aleatoriedad, y la longitud del periodo de repetición
Teorema A
Sean a, c y m los parámetros de un generador de números pseudoaleatoríos {X},
de tipo lineal congruente La serie {X} proporcionada es de período máximo Sea:
b = a-l
(A 120)
y sea d el máximo común divisor de m y b Entonces, la probabilidad de que Xn., < X„
es de 'AJ +r« donde
r = [2((mod d ) - d ] / 2 m
(A 121)
r<d/2.m
(A 122)
•
por lo tanto:
Una consecuencia del teorema A es que cualquier selección de a y c proporciona
una probabilidad razonable para que ocurra que XD., < X„, al menos sobre todo el
periodo, excepto cuando d es muy grande. Un valor de d elevado corresponde con una
potencia baja, lo cual no es deseable que ocurra. Asi, si se denota el generador como el
sistema dado por:
Anexos-48
Anexo A-C.
Generación de variable* aleatorias Uniformes y (¡ansíanos.
x = síx) = (a.x+c) mod m
(A. 123)
y se calcula su autocorrelación como:
m Ixs(x)-Í IxV
(A. 124)
y existe una raíz x* de s(x), tal que s(x*) - 0, se puede decir que:
-»-((Hr)H
(A. 125)
cuando x * x*. y donde ((•)) es la función dentada, que puede verse en la figura A 14.
Esta función verifica que:
((-z)) «-«*))
(A. 126)
((z+n)) = ((z))
(A 127)
y, para cualquier entero n, además:
y si este entero n es igual o superior a la unidad:
Anexos-49
AnOXO A - C .
Generación de variables aleatorias Uniformes y Gausionas.
((n.z)) = ((z)) + í|z
+
^k.. + í|z + - n - i ) ]
(A 128)
Calculando los sumatoríos que aparecen en la expresión de la autocorrelación p:
£x
Ix3a
m ( m
=
~
1 )
(A 129)
m.(m-l).(2.m-l)
(A
I3Q)
y operando en esta, se llega a que
m I(a,m,c)-3 + 6 ( m - x ' -c)
m: - 1
^
donde la función I(a,m,c) es la denominada suma generalizada de Dedekind, introducida
en 1876, con la expresión
*-<»='\L((i))((Hr))
Dado que, en la práctica, m es un valor elevado, se pueden descartar términos del
orden del inverso de m. con lo que se llega a que:
^líajivc)^
(
ps
m
m
Teorema B
Sean a, m y c enteros, que verifican
0<a<m
0<c<m
(A 134)
y a es relativamente primo de m. Si se construye ia denominada Tabia Euclídea, en la
que:
m, = ir;
m, = a , . m , + m 3
m, = a
Anexos-50
c, = c
c , = b , . m , +c 2
Anexo A-C.
Generación de variables aleatorias Uniformes y (iausianas.
c, = b : m, +c,
m, = a : .m, + m4
nij = a,.m 4 + m5
m4 = a 4 .m,
m< = 1
a)
c ; = b,.m 4 +c 4
c4 = b4 m, +c,
c, --• 0
= INT(m,/m,J
b^INTÍc./m,.,)
c,., = c, mod m jM
m | i : = mt mod m..,
0< m,,, < m,
y se supone que el proceso de construcción de esta tabla termina después de t pasos
(presentados 4 aquí) con m,., = l(ya que se ha supuesto que a y m son relativamente
primos) Tómese un s como el menor subíndice en el que c, = 0(aqui s ~- 5), y sea un a'
entero que verifica:
a' a = I mod m
(0 < a' < a)
(A.I35)
Entonces, la suma generalizada de Dedekind se puede calcular como:
Z(a,m,c) = 5 _ a _ + X i-')'' 1 a, - 6 b , + 6
m
K,..I
m
+
3.[(-ir+6llJ-2+(-l)'
. "V<y
(A 136)
siendo 5 g la delía de Kronecker (6 9 = I, cuando i = j)
A partir de la resolución numérica de la suma de Dedekind I(a,m,c), y de la
Tabla Euclídea, se pude estimar el valor de la autocorrelación p, de la serie que se
generaría con los parámetros (a,m,c) Pero este cálculo, aún complicado después del
Teorema B, puede ser simplificado aún más. Si se aplica la Ley de Reciprocidad sobre las
sumas de Dedekind, a partir de la cual se establece que:
£(a,m,c)s — + 6 a
am
6--I(m,a,c)
a
(A. 137)
Pero como |£(a,m,c)j < a, debido a que al ser a relativamente primo de m, y c es
un entero:
i*-,
vi
¡Z(a. m,c)| £
(m-l).(m-2)
—
m
Anesos-51
- <a
(A 138)
AflGXO A - C .
(iiiwriicioii íic wirmhiiW álcali» uf '• niti'i nu.\\ y ( ¡(<ii.\iana\
por lo tantc
p-
\
'ti,a c \
f"
i i ,
.1
III
C
i
•o¡
1
a •
(A ro>)
ni
"'
Hay que prestar cierta ateucio' ,u .reliado de CM.¡ ultima explosión !u ella se
asegura obtener una \a!or bajo de la ar.'.oaMi ''ación de la sene pscudoaleatoria
generada, solo cuando
i
(A 110)
MU
con lo cual se obtiene un \a!oi de
(A 1 -l I )
% m
con lo que no es una buena ai''ro\iiiiacion al \alor \euiadero Otia de las causas de cnoi
posibles es que los mejores \alores de p se dan cuando
C
ni
_ ' , ' v'3
2 o
(A 112)
lo cual puede ser un criterio no incorecio para la elección de c. peí o tampoco es del todo
coneao
Análisis espacial. Test espectral de Knuth.
La realización de este test permite analizar la distribución coii|tmta. y sus
propiedades, de t elementos consecutiu>s de la serie \¿. \ pseudoaieatona ¡'enerada.
!:sta secuencia, de periodo m. obtenida a partir de un generador lineal congiuente, será
analizada con este test, u n t a n d o m punios de la forma
{ ( / . . . / . . ..../.
).. .}
(A US)
de un espacio eucüdeo t-dimensionai Si se trabaja con un generador lineal congruente de
parámetros (a.m.ci. se tiene que el máximo periodo que se puede obtener es rn, pero si el
generador es del tipo rniiHiplica'tico congruente <c = 0) e! periodo rnavor es rn-1, con lo
que a la serie de pumos f-dimensionales anterior se le añadirá el NO, ,0),
consiguiéndose rn puntos Se puede apreciar cerno el orden en la generación se refleja en
A nexos-52
AflOXO A - C
( n'/h'nh:IOH cíe vanuhii's nícalo!ii»
' nt'nimcs
\ ( uiii\iiiihis
la dependencia entre las componentes del sector. esii;dundo-e esta dependencia
mediante este test, y para cada dimensión t
Como se puede ver en la tabla, hay algunos iienei adores que al M.-I ;cp¡c\eiHadns
en un espacio t-dimensiona! (en este caso t
2. v t
^) presentan un compoitamunto
muy particular lo cual obliua a rechazar ei itenerador l-.ste iipo Je comportamiento se
refleja como cierta periodicidad espacial sistemática, nn aieaiona
Tomemos f v : como la maxini.i distancia entre lineas que se pueden tomar M/OIC
todas las lamillas de lineas paralelas (cuando l " 2. o piano1: cuando i • ,í», que se pueden
trazar con los puntos aleatoriamente distribuidos Se denominara \'. a ia piecision
bidimeiisional del ueneradoi pseudo aleatorio Se ha tomado aiveuormente el valor de su
invetso, ya <)ue la distancia cune un punto y otro suele ser pequeña, al formarse una
estructura de puntos muy tina en el espacio Igualmente puede definirse una distancia
máxima en tres, como 1,'v.. cuatro, como 1/VÉI . dimensiones, eic. corno ¡a distancia
entie hiperpalno. lomados sobre todas las l"amili<;s de Inpeiplanos patalelus que pueden
trazarse sobre los puntos sucesi\os
f \MX,..-S(Ms»r|
l m m
m i
,AI4.)>
Asi las cosas, extendiéndose a t dimensiones, la distancia entre los hipes pianos de
dimensión t es !/v, , con lo que la precisión es v,, que se obtiene para familias de punios
I' x si x ) sí s{x))
{ m ni
m
para la composición s'( x )
s' ; (x)
m
(A I--15)
st s(s(x )>)
1-1 comportamiento de esta pr*~ ••••ióri es tal que, para senes periódicas, que
producen estas estructuras espaciales . eexuxibies. disminuye d medida que í aumenta
Mientras que para senes verdaderamente aleatorias v, ti constarle para cualquier
dimensión t Además, dado que ha> solo m puntos de !a serie, dentro del hipercubo t
dimensional, y siendo el periodo de esta ni. uniCinineie se podía conseguir una precisión
i
de m ' para cada t
Anexos-53
Anexo A-C.
(¡cneracion
tic va>ttih/c\ aicatoriíi\
I 'nift>iinc\
v ( niuMiiifhís.
El test espectral que aquí se presenta esta basado en el calculo t e los valores de
v., cuando 2 •: t i 6, aunque el calculo para t
2, .^ v -1 es sut'iciente paia delectal las
posibles deficiencias del generador usado Los valoies de v., paia t • lo no suelen tener
alguna significación practica Ademas, existen grandes dificultades en la realización de
los cálculos para su obtención
Una familia de hipeiplanos paralelos t-1 dimensionales puede ser definida por un
vector no nulo U ~- ( u , , u ,
u, ), que coi responde a su perpendicular o vector normal
al hiperplano l.a ecuación de este, en función de u. para un parámetro q entero dado es
X.U
[A 147)
/.
q
ecuación que verifican los puntos x pertenecientes a este hiperplano Istos planos se
encuentran separados por una distancia fija, y ui.. de ellos contiene al vector 0 --••
(0,0,.. ,0) Esta distancia, entre dos hipeiplanos vecinos, es la mínima distancia entre el 0
y el hiperplano con q
1, esto es
muí
muí s< d
:\:
,Vx. u.
- x : -»•
I!
(A 148)
Ahora bien, como a partir de la desigualdad de Cauehy se puede expresar el
modulo del producto escalar de ambos vectores, que definen la ecuación de cada plano,
como
(¡M : #ü
V
la mínima distancia, anteriormente definida, se produce cuando
u
(A 149)
(A 150)
£«;
y esta es, entre dos hiperplanos adyacentes
v
lu;
:U !
Anexos-54
(A 151)
AflGXO A - C
< n'iicnu
¡OH ilc \ ai •uihli's ti'iiili»
fus / mti>!Wt'\
\ i n¡u\i¡;>t:i\
listo ex la cantidad v. que se ha definido como l,i picciMi-n t-dmu-iiMoiul. e>
precisamente la norma (tornan.' tomo la euchdea • ) dei \ cctoi u nía- coi ti < que detue
la familia de hiperplanos l.ste vector U debe de ser no indo, \ debe de s.itislacei que
V.U
I A I r-2)
p . 7 V- '
donde el conjunto < esta definido por
' "{>'; V1
4
V; V2 •
t\
V, , Vv
. • /;
(A l \ í )
í es el conjunto de puntos que definen una malla unidad t-dimensional I n /. los vecloies
v, son aquellos dados por
v, V7
V3
I,
. .
11, a, a" .a
m
(0,1.0,0
(0,0,1,0
V, :•• ( 0
. .
a )
0)
0)
(A I M )
0,0,0,1)
para un valor dado de a, parámetro del generador
De esta forma, el objetivo es estudiar las distancias entre los hiperplanos t-l
dimensionales, como familias de planos paralelos que recuben todos los puntos de /
Particularmente, dado que los puntos (1.0,0, ,0), (0,1,0, ,0),
, ( 0 , .,0,1) están todos
en f, todos los u.deben de ser enteros Además, como v, P / , se tendía que
•—(u, •* a u- + a : .u,- 1
t-a1 ' \i.)<:.Z
(A 155)
m
esto es
u , - t - a . u , + a : .u,+---+a''' .u, = 0 mod m
(A 156)
y reciprocamente, cualquier vector u no nulo, que satisfaga la condición anterior, define
una familia de hiperplanos, con las propiedades requeridas
(>'¡ v. + y : . v : + - - - + y . v . ) . u e Z
Anexos-55
,
Vy, e ¿ , j = l,...,t
(A 157)
An6XO A-C.
(iciiiiiicKin (A íl;'7(;/i/t'\ (ili'iiini m\ I n,'t,)Hi¡i\ t t ¡iiii\uiini\.
probándose que
v
min l ^ u ,u • ,i u. •* a
ü
u •
°l~
- min ! ni \
-a
u.
"
mod m ,'•
'
-a \
-a \ •
'
a
vi
•\
•\
•
,AI<8|
• \, •
l ; 0 ••
con lo que el problema del calculo de v es ahora un problema de minimi/acion
[:l algoritmo computacional de la resolución de la mminn/acion. v por tanto del
calculo de \ . . se presenta para \alores de t
* l a inieipretacion de este algoritmo
precisa de dos matrices de dimensión t\t. cuyos \cciores fila son
u - (u
u, ) \
(v
v, ) .
i
1.
I
(A 159)
que satisfacen las condiciones
u., • a u , -í a" u , •••••« a '
u v,
5
m
u,. r 0
mod m
. v i.i- [ l , t ]
(A 160)
(A 161)
Veamos a continuación como puede ser implementada esta minimizacion de una
forma computacionalmente rápida Para ello se parte de una forma cuadrática definida
positiva
f ( x , , x : . . ,.\ t ) = (u i : x r t----<u,. x,)"+••• t(u„ x,-f- + u„ x,)"
(A 162)
dada sobre todos los vectores x, cuyas componentes son enteros no nulos Dada la
matriz U=(u j no singular, se puede escribir también que
f ( x . . . . . x , ) = (x
u. +... + x. u,) (x, U, •>...< x, u. )
(A 163)
en función de cada uno de los vectores fila Ui de la matriz U, que proporcionp el
cuadrado de la longitud del vector
s = V x U,
Anexos-56
(A 164)
AftOXO A-C.
( n'Htmr\n ¡on de u/;/<;/'.v\ iihuili')uts
' >nfi>>n\'\ i i H I Ü V J M . H
Dac.v (|ue existe la inversa de l.i matrr/ U -e pueden crvoim.u los \v\'«>u •• v
con j
1. .t. tales que sean ortogonales ,¡ los u
U V
ó
1 • i.| • t
(A los»
listos vectores, en el caso del tes! espoctial expuesto, son los t¡uc delinen ¡a ied •
con lo que h máxima separación entie hiperplanos patalelos de una familia, es
equivalente a el mínimo de f(x . , x. ), donde los coeficientes u e>tan definidos poi
la condición de ortouonalidad antetioi
u
u-
•• u n . * » Í M I
• (
0)
a, l.o,f>
0)
:
u ; • ( a .0.1.0
ii,
( a
o)
,0
(A loo)
o.l)
Para minimizar la forma cuadrática no es necesario testear una infinidad de
vectores X, ya que si se usan los vectores V , se puede poner que
x. - (x, u - ••• + x. u, ) v
s v,
(A 167)
y si se aplica la desigualdad de Cauchy
[(x, u, •
-x, u , ) v j " <(x, u, ^
rx, u , ) : (v t v j = f ( x
x,) (v k v t )
(A 168)
con lo que se obtiene una cota superior de cada componente de x De esta forma, si x
minimiza la funcional, al tomar un vector y de componentes enteras no nulas, se
verificará que
x: < ( v , v k ) f(x,
x,)
, 1<k<t
(A 169)
en particular, cuando y, = 5.,, Vi:
x: <(v, v. ) (u j u.)
Anexos-57
, l<kj<t
(A 170)
AnGXO A-C
( u'HiXhioii </c Yiin¡iblc\ u/i'.f/o? m\ ! iiiUv mc\ \ • unisnuiiis
í-.sta expresión es la aplican.i en el altioutmo de este -\nexo. .;uni¡i>e ¡es vectores
u \ V se encuentian readaptados, p;ir.i hacei factible su búsqueda e\aluisii\ a. en la
minimi/acion de la funcional la idea cla\e de esta búsqueda esta c-i .1 cambio de una
forma cuadrática por otra que sea eqimaiente en la mminii/acion Pa,a ello, i se toma
un índice j . tal que 1 ' i • t. v una secuencia de ¡-1 enteros
(q
q
,q
q: I
(A H l )
que se utilizan en las siguientes transformaciones
V
V
V
q V
V
x'
x
U'
U
U
U
.1
^(|
;
U
q \
x'
x
Al aplicar este cambio, se verifica que la nueva matriz U' obtenida define una
nueva forma cuadrática tal que
flx')-nx)
(A 172)
por lo que ambas tienen el mismo mínimo Asi mismo, se mantiene la condición de
ortogonaüdad
u; V - 6„
(A 173)
x; : <(v;. v[).(u': u;) , i < j , k < t
ÍA.174)
por lo que ahora
expresión a minimizar, siendo v[ v'L y u[ u! lo mas pequeños posibles Para esto, la
elección de los q, es fundamental En el caso de los v' se tomara el q, que haga v[
perpendicular al v., (v'.v - 0)
v, v
q, = - ^ v
,
v
i
Anexos-58
ÍA.17S)
AnOXO A-C.
< ii'twtih u<n u'r \:irui?u\-<, uU'iitni /</» ' nif- " >>it-\ \ < » . I Í / W , Í » M \
obteniéndose el mínimo pioduvto di- K-- \cctores tknuth | l"'M ]i \ p.na l.is u se debui
de elegu q tal que u • ^_q u (cima la mínima ¡on^.itud ! uceo u' debe de ser
perpendicula: d liiperpair.o < u' Ui
"
'.' k-'il
U U% • ^ q lu u_ i
o
1 • k • t , k -- i
i A !"'(>)
Resulta, que ambas condiciones' son las m;sni-> ¡KNl i-81¡ (educiéndose, con
cualquieía de los dos saloies. el valor de los u' \ V simultáneamente, usándose la
primera para el algotitmo Por otra pane, en la minim/ncton. > es la menoi cota supenor
de v; calculada en cada paso t. v r a i:iod m
El test espectral fue formulado originalmente en 1%7 por R R Covc/< :< y
R D McPherson, presentándolo como un análisis frccuencial del espectro pioducido por
los generadores de números pseudoaleMonos, considerados estos como fuentes de ondas
t-dimensionales Asi. los números
(A 177)
ltales que, en el tratamiento original
\ , •» a x. - a* x,+
* a ' x, = 0
mod m
(A 178)
eran las frecuenciasde las ondas o puntos en el espectro definido por el generador
La interpretación del resultado del test espectral dependerá de la aplicación a la
que el generador aleatorio vaya destinado Listo es, el que el generador pase o no esU*
test depende de donde vaya a ser aplicada la serie pseudo aleatoria producida, ya que
unas aplicaciones precisan de mas resolución que otras En [KNUT-82] se presenta el
criterio de que se debe de obtener una precisión según
v. > 2 ' J '
, 2 <t <6
(A. 179)
Corno indicación de la efectividad del multiplicador a para un m dado, se
calculará el volumen del elipsoide definido en un espacio t-di.nensional
Anexos-59
An@XO A - C .
ix
< nlhlilVIoH
Ji' VíllUlb'n'S (lli'ílíi'lliis
) - \ i • \ ; - ••• • \ ; • v;
x. a
m
( >!¡ít>n>!¡\ \ ( iilllMiIflllS.
(A ISO)
que es
u.
~-3
;
(A 181)
Dado que este volumen tiende a indicar como se aproximan los punios X no
nulos, de componentes entcias. que con espondeo .1 la^ soluciones testan dentro del
elipsoide) de la ecuación
u - a u. • a' 11,
a
u,
0 mod 111
(A 182)
lueuo, cuando 2 Í t :i 6, se tienen los volúmenes
rt v".
u
-•
.1 rt v,
"-
1 re' v.
u,
m
-\
\),
'
m
V
u. , * ^ - i
15 m
n
o.,'
6
V;
'ni
2
m
(A 183)
Para que el valor escogido del multiplicador a y del 111 sean suficientemente
acertados, estos volúmenes deben de ser mayores que 0 1, un valor bajo de u, indicará
que probablemente se haya tomado un multiplicador malo Reciprocamente, un valor de
o, elevado será indicativo de una buena elección de a para un m, lo cual no significa que
los números de L >erie producida tengan un comportamiento muy aleatorio, ya que el m
puede ser muy pequeño Solo los valores de v, pueden indicar ese grado de aleatoriedad
cuantifícadamente Igualmente se puede definir una cota superior para cada v, y, a su
vez, para el u, correspondiente, ya que toda malla de m puntos por unidad de volumen
posee un
v,!(.vm"
ÍA 184)
donde
p
:
= ( % r
P5 = 2 "
P4=2:J
P,=2J::'
Anexos-60
R.
= ( < % ) ' " ' . . . (A.185)
Anexo A-C.
A-C.4.
(ient'iíiiion tic variables aleatorias { nifc-nv.es \ i <an\ia>:,
Generación de variables aleatorias Gausianas,
Como se indico en informes antenotes, los método* de genei ación de sanables
aleatorias gausianas estrictas parten, como se puede apieciai a continacum. de
realizaciones de variables aleatorias uniformemente distribuidas l
Teorema Limite Central
Aproximación de Íiox-Muller
o
C
n
l
u ( \ ) •( ^ log C)
•
.MI
("os( 2 •: V)
l A IKo)
(A 1 «7)
Ademas, ya que la mayoría de los métodos constan de una componente
determinista que incorpora el grado de correlación y de una componente aleatoria,
generalmente gausiana, la calidad en la generación de dichas sanables aleatoria
uniformes sera determinante para la calidad de los iodos los medios generados
Anexos-61
Anexo A-C.
(jeneractón
de variables (¡¡cotonas l informe-, v (¡ansíanos
•
T
,
-
-
-
-
-
-
•
'
-
Iciicii'mkiuon
'
cU¡>
l*«
V A H Í L U I
iernwoAOE DATOS
i rR
A.
IKJ&JO
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fnát&c&áot
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•
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-••
••
, T
•
•-: ' . . : 1 > . . . ' • ! . .
I • (ümaniucn ma&*m
•
T
t)fccvfJlon
d«l
pilo
íurlií':*o
• ' » • - / (
T
SI
u'ti • •'»
' '•
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í :.?. ; , • ; i ! : r r ' l
T
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\ i! • • r • -* ai i U p f f v i
i ; - < n • . : - l i t * , ? - .i -1
,• , - > r ' • : - =. r t i
•„ . ! - . * , , ; -
T
'
NO
(
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i • •
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. ».< . - . ^ , r - m , ,
• •"
SI
í'u'í
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T
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i
SI
•4.
T
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SI Oí*
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i
IreCrmtsmrrtl*
NO
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\
•
'
; , d , ^ , , - , .
K--.%Jirrr,i
-i-r ¡ - ' . i ' ¡ / ¿ i
l . t . w t r . . ,
'
Anexos-62
:«,:.,.,
la TT.-. • f : . j j . : ; - ; .*. ••.
t'^-fl. .*! Í ¿ « l í ; >:¿ t ! ; S : . .J
5>
% • • •
i'
^,«•..3
V
,.*,
Anexo A-C.
(.¡eneraaón de variables aleatorias l'ni formes \ (¡aus
u
•
'
I X l ) H O.»,
w i t) 0. !•
ii.ll
i-1
\ ( l ( <<i.ii
O.ml
< ,*n-.' 1** mitií-c* l \ Y v n t i : iiir;},"ti«.i.»i Ui "-c t i í K n >?>•:
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i
*uni<apií*f *ñ*,W*tWI.* uftj fila v htu ¿«^uiv.iti ¿[-•^•putiinicrit
1.11
1 u:>-'.i w í i ' i
•
Mil» M i l j*i
H M N I n i i . l l ' t rn>
Mi.t* \T:.l )*r-^*m
TTIU.'TJ w:m.i \ ! Í mirara ic-M* .. *i • 1
1 XII I X l l - q * ! M»
¡ ] j c< c\ ajk + t Jí i» í i i j en ¿urv.} p¿; » la JJJI. j . n *i iíc l i
(r*fiífL*íT_s ..vi\. t V a d ü n m > d : c*t< * IÍVÍI^C* tinr»lc CM-Í
T
íu f-pii-JniJ"', ít pr*rr>» un-.» slc K* \ <i j
• snM».ixn*ixi)i
\
i
i i
Y
•
<4
. 1 .
A
A
m u >&»c d privc* > entre en un Ki.le irJintin
?
NO
•
NO
.'•\.i)*\Ui
\(il*\(jl
•
q
MS'IAlD^oiNyl'Vljil
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\(II-M'\(J)
!X_II lXj|-<j*IXi)
l J
•
kXA«kin> i A I V J T r t
SI
l M
- •
t
\ f l \ u =U>*» " J Í -
COt»
1
í »:* v'*i « . a y i i n J„HJ -ji^n \ h - " . -ru .,iij« Í J h c h "
*f«t. liVl
NO
•4 SI
•
J - 1
j
j
I n r i i i v .fc Í^AÍ j 1, « KifiT«híA.i-> >*!-) ¿ I J Í A
NO
.<rikCvLT]\..* ten ttiflhii.«rnjk.:-'*i IJÍV'-» *•" puc-i: li^-.ir
Í ^ J Í K cvt* f » t f * i A Í ) pMA fiÉfiimiíJr 1¿ ftr*.j.'.*-i»l
T
.1 J - !
' "ír*
NO
—
SI
... __*__._
V =!
T
tx*|»ar*C-ión J^U-A l n
bú»qu*dji
Se ikícmsní tJ mm;r>o s h u n t o UÜ! izando ura b^y^x-Xa
cu-huur** * * ? t !3¿-A ! « , {\'U).XO>
Xíij) ^ J = uütt»-.cri
V i l » 2 ^ = ( Y i l ) » V ( l ) » ! í Y < l j . YOJ). l ' ^ V - 1
i¿
Anexos* o3
AneXO A-C.
Generación de variables aleatorias l ¡informes y (¡ansíanos.
<J
Y. en p.utuuls;. en o! cas-» d<-* que Y|i> kr«iuvkeT(iO*.
p.vra u*Jo i. \erifkan
\ , V ) ? <V<k>*\U»M\)>*r<.i>>, 1 ) \ t
y .
X \0M.
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V XíliTílV
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•
'\(n*l'(l,
IllCgO
_.
INKSQKTílMlV^O'Vl.lM's
\ se ev.mmhujn lodivs U"- \etlote-, u.i\¿ prmuí \
i_nmp.Mh.Tiie n" /mU ts p^vMtn .*
.
T
I n c r u e n t a X(k)
SI
.\(k)
• •
mt
1 1 aimientit en w u urmhJ de \>\ \.^w\\^\\\\\\c \ ( M
se tuve McntfHi \ UJAIKÍO ha\.t ii'.u.ild.uf ai tas
v»*iíf>*wn1e\ de \ \ /
NO
•
X(k)
X(V)-I
V
Y-l'{k)
•
•
k
Incretwsnta K
k-1
ÍJaM,í L.«nptc1aj'^: I I K U l.i dinicUMon del \cvíi»r
T
X<k>
-..(«i
S l
v - W A u n . M "* ' "
'
'
NO
T
v
M!S(<..VV»
_.._ _.
<
Y
y
SI
...
D^'jrtsBWint.a V.
k-i
•
NO
•
i;! - SQKI(s)
: ^ _ « —
T
Terminada búsqueda e x a h u s t i v i p a r a e l
t
Acahaíl.» el proccv) de mininu7.3¡.-i6n de U furn-ional. calcula
la previsión para el valor de la dinienMun evpanal l en curvj
Vuelve luego a comenzarse el procedo dirigiéndole a
^>
Anexos-64
~S
t
Anexo A-D.
Pl >NII(A(' simulación ¡le />rot V.\UN /raciales ¡le punios
A-D.
PUNFRAC Programa de simulación
de procesos fraciales de puntos.
f£l código que se detalla a continuación permite lasinuilacion de un proceso de
puntes fractal en una, dos y tres dimensiones dentro de un espacio l:. hipercubico,
api.cando los cuatro métodos descritos anteriormente Además, en el caso de utilizar los
métodos radiales, el dominio en el caso de ser irregular, puede ser dado mediante un
fichero en el que se especifiquen las coordenadas X,Y de la frontera <~f Para su
funcionamiento, además de necesitarse un compilador FORTRAN (lenguaje en el que
esta esci.to), es preciso suministrar los datos del numero de punios a simular, dimensión
euclidea del dominio, dimensión fractal del proceso y método de generación
Programa PUNFRAC.
PUNFRAC
c
c
c
c
Programa para la generación de distribuciones espaciales de
c
puntos con carácter fractal en 1, 2 y 3 dimensiones según las
c
técnicas:
c
Box counting:
c
- Box jerárquico
c
- Box aleatorio
c
Gyration counting:
c
- Radial unitario
c
- Radial equidistante
c
c
Carlos Paredes Bartolomé
Febrero 1995
c
c
cc
PROGRAMA PRINCIPAL
Anexos-65
AneXO A-D.
l'l'XJ-'RAl ' simulación Je procesos Ji acutíes Je puntos.
c
c
C
DECLARACIONES
C
i n t e g e r dirnE
dimensión p(0: 10000 ), x\Z (."*)
real L
cnaracter textl*11,text2*10
character* 12 filepun
idom=0
C
ENT1ADA M. CATOS
C
C
write(6, ' ( / / / / • • PROGRAMA GENERADOR DE PUNTOS SEGÚN DISTRIBUCIÓN
6' • ,/, • '
FRACTAI,' '//)')
wri te(6, ' ( / / " ' Numero de puntos a generar NP:'',$)')
read(5,*)nump
write(6,'(// • ' Dimensión Euclidea de la simulación dE:•'„$}')
read(5,*)dimE
write(6,•(//'' Dimensión Fractal de simulación D < dE:'',&)')
read(5,*)D
1
continué
write(6, ' (//' ' Selección del método de simulación: '')')
write(6,*)'
Box - jerárquico
n= 1 '
write(6,»)'
Box - aleatorio
n=2 '
write(6,*)'
Radial - unitario
n = 3'
write(6,*) -
Radial - equidistante
n-4 '
write(6,'('" Beleccion n='',$)')
read(5,*)método
if(dimE.eq.2.and.(metodo.eq.3.or.método.eq.4))then
write(6,'(//'' Tipo de dominio:'')')
write( 6, * ) '
write(6,*)'
Unitario
Irregular por fichero
write(6,'('' selección n='*,$)')
read(5,*)idom
if(idom.eq.2)then
Anexos-66
n=i '
n=2 '
Anexo A-D.
I'USI- RA( ' simulación ih: f>ri\ <\Í<\ ínutuií-s J,: piuiu
, Si ' )
writ.e(í>, ' ( ' " Fichero de punte!; C O I Ü O M . O :
read ( f\, ' ( a ¡ ' ) f i lepun
open( unit = l,file*fi. lepun, status='old' )
read(11,'(a)')text1
i i
203
•••= -
2
ii=ii*2
r e a d ( 1 1 , * , e r r - 2 0 s i A,B
p(i i)=A
p(ii+1)«B
goto
204
203
r p a d ( 1 1 , • ( a , f 8 . 2 ) ' ) t e x t 2 , perím
WRITE<6,•)text2,perím
cióse(1)
npt= ( ii /2 ) •» 1
p(ii)-p(O)
p(ii+l)=p(l)
8umx»0.
sumy=0.
do
ic=0,ii-2,2
sumx=8umx+p(ic)
sumy=sumy»p(ic+1 )
end
do
B u m x » 8 u m x / f loat ( npt. - 1 )
sumy=Bumy/float(npt-1)
end
end
if
if
if ( idotn. ne. 2 ) then
w r i t e ( 6 , ' ( / / ' ' Longitud
end
lineal de la Unidad
L:'',$)')
if
read(5,«)L
C
C
S E L E C C I Ó N D E LA R U T I N A DE SIMULACIÓN y c a l c u l o de los
c
if(método.eq.1.or.método.eq.2)then
C=L**D
Emin=10.**((ALOG10(C/nump))/D)
niter=INT((ALOGIO(L)-ALOGlCíEmin))/ALOG10(2.))
Anexos-67
parámetros
Anexo A-D.
/'/ \'IRA('
simulación Je procesos
wr i t e ( 6 , ' ( / / ' ' L l a m a d a a s u b r r u t i n a
cali
el se
do
hacíales de punios
BOX ' ' / , ' ) ' >
BOX(D,C,niter,dimE, I,,nump,método)
if(método.eq.3,or.método.eq.4)then
idim=l,dimE
xl2(idim)=L/2.
end do
C ID
if(dimE.eq.1)then
rmax=L/2.
C 2D
el se if(dimE.eq.2)then
rmax = l.*SQRT(2.)/2
if(idom.eq.2)then
rmax=0.
xl2(1)=sumx
x 12(2)=sumy
de ic*-l,i i
dx=ABS(xl2(1)-p(íc))
dy=ABS(xl2(2)- p(ic+1))
d=SQRT(dx"dx+dy*dy)
rmax=AMAXl(rmax,d)
end do
end if
else
C 3D
rmax=L"SQRT(3. ) /2 .
end if
C=nump/ (rítiox' *D)
if(metodo.eq.3)then
write;6,'(//' ' Llamada a subrrutina RADUMI''//)')
cali
RADUNI(D,C,nump,rmax,p,xl2,idom,L,dimE,npt)
else
write(6,'(//'' Llamada a subrrutina RADEQUl''//)')
cali
RADEQUl(D,C,nump,rmax,p,xl2,iaom,L,dimE,npt)
end i i
else
write(6,•<///' '
KETODO NO CONTEMPLADO! ! ! • ' / / / ) ' )
Anexos-68
Anexo A-D.
I'l A7-HA< ' simulación tic /VOCCMIS hm ¡ales de }<nnio\
goto 1
end i f
C
c
c
end
c
cc
SUBRRUTINAS DE CALCULO
cc
c
subrout ine BOX(D,C, ínter,dimE,L,nump,método)
c
c
distribución de puntos aequn la técnica de Box-Count. iny fcrinando
c
un reparto condicionado a las zonas seleccionada!-, df» las 4 que C
c
hay en el primer paso a una escala L/2.
c
dimensión x(3,1000),Xold(3,1000)
integer u(1000,2),dimE
real*4 RAN
real L
Nel = l
niterand=l
nit = l
c
c
inicializacion de la semilla aleatoria
c
cali GETTIM(ih,ih,ih,ise)
cali SEED(ise)
open(unit=2,file='NEBOX.DAT')
nmaxcel=2"*dimE
escala=L
if(método.eq.2)then
cali BOXAL(D,C, dimE, Xold, ise, escala, u , niterand, x , fiel)
write(2,*)escala,float(Nal)
Anexos-69
AnOXO A-D.
J'U.Xi liAt' simuUu ion de />n>i\'\o\ fnn 7i//o tic punios
end if
do 1 ii = niterand,nitei-+1
ncel =nmaxcel **.'el
escala=escala/2.
Ne=íJINT(C/(escala« *D))
i£(Ne.gt.nump)then
Ne=nump
end if
c
primero las obliqatoriaa en las seleccionadas en el pano C
c
anterior
do i=l,Hel
10
continué
cali RANDOK(RAN)
u(i,1)»NINT< (RAN+0.0000001) •nmaxcel )+0. 5
if(u(i,l),lt.l.or.u(i,l).gt. nmaxcel )goto 10
u(i,2)»i
cali
S¡TUAMALLA(u,i,escala,dimE,Xold,nit,x)
end do
C
C
se coloca el numero restante He-Uel en seleccionadas
C
aleatoriamente
C
do nc=l,Ne-Nel
ip=nc+Nel
20
continué
cali RANDOK(RAN)
u(ip,1)=NINT((RAN+0.0000001)«nmaxcel)+0. 5
if(u(ip,1).lt.l.or.u(ip,l). gt.nmaxcel)goto 20
30
continué
cali RANDOH(RAK)
u(ip,2)=NINT({RAN+0.0000001)*Nel)+0.5
if(u(ip,2).it.l.or.u(ip,2). gt.liel)goto 30
c
c
comprueba si la malla y la celda no han eido antes elegidas
c
Anexos-70
Anexo A-D.
¡'UXIRAC
simulíKion
Je ¡IKK I'W>\ fuuiali-s
¡/,- ¡>¡mt¡
do ipr«l,ip-1
if (u ( i p r , 1 ) . e q . \i ( i p , 1 ) . a n d . u <' í p r , 2 ) . <-q . u j i p , ..' •> ) t h
goto 20
er.d ií
end do
cali SITUAMAU.A(u, ip, escala, din\E, Xold, nit, x)
end do
C
sitúa las nuevaa posiciones sobre las antiguar* Xold
c
do
id»l,dimE
do m=l,Ne
Xold(id,m)=x(id,m)
end do
end do
Nel»Ne
write(2,*)eecaia,f!oat(Ne)
w r i t e ( 6 , • ( l h + , ' ' G e n e r a d o s : ' ' , i 4 ,' ' PUNTOS e n " , i 2 ,
&
• ' -D" ' )
-
jNe.dirtiE
continué
cloae(2)
if(método.en.1)then
open(unit«l.file*•BOXJER.DAT')
write(6,*)'Salida de resultados:
&
Puntos: BOXJER.DAT
- N(e):NEBOX:DAT'
elso
open(unit«l,í ile='BOXAL.DAT')
write(6,*)"Salida de resultados:
S,
Puntos: BOXAL.DAT
- N(e) :NEBOX:DAT'
end if
do i=l,Ne
write(l,«){x{id,i)+(escala/2.),id=l,dimE)
end do
close(l)
return
end
Anexos-71
AflOXO A - D .
IH XIliAí ' simulación </.- />/(xv.vrj.v fracmlcs tic punios.
c
c
aubroutine BOXAL( D, C, J imE, Xold , i se, escala, u, niterand, x, Nel )
C
C
distribución de puntos según la tecnvca de Box-Cm;ntinq
C
un reparto condicionado a las zonas seleccionadasj aleatoriamente
C
en el primer paso a una escala Í../2 . * * niter m i c
C
dimensión x(3,1000),Xold(3,1000)
integer u(1000,2)
real*4 RAK
integer dimE
niterand-;2
C
maxcel=2*'dimE
ncel^isaxcel **nitei:and
escala =e*e.í la/í loat ( 2 ««niterand)
Nel«NIfiT(C/(escala* *D)J
c
if(Nel. gt.nump)then
c
Nel=nump
c
end if
do i=l,Nel
10
continué
cali
BAÍ;D0K{RAK)
u( i, 1 )=Í1INT( ( (RAÜ + 0. 000001 ) «ncel )+0. 5)
if(u(i,l).lt.l.or.u<i,l).gt.ncel)goto
10
if ( i . ne. i )ther,
do jp=i,i-1
if(u{i,i).eq.u(jp,1))güto 10
end do
end if
u ( i, 2 } = i
c a l i SITUAKALL..\(u, i , e s c a l a , d i m E , X o l d , n i t e r a n d , x )
ene do
c
sitúa las nuevas posiciones sebre las antiguas Xold
do id=l,dimE
do m=l,Iíel
Anexos-72
formando
AneXO A-D.
I'US'/RACsimula
cion <<V protcsos
/raciales de puntos.
Xold(i d, m) * x (id,m)
end do
end do
c
return
end
C
C
c
Bubrout ine SITUAMALLA(u,i,esca1 a,dimE,Xold, i exp,x)
C
C
sitúa un punto er. una malla 1, 2 y 3 dimensional según el
C
Índice escogido <¿n u er. i» posición i
C
dimensión x(3,1000),Xold(3,1000)
integer u(1000,2)
integer dimE
C
il-0
do 20 kk=l,2**iexp
do 20 jj-l / 2**iexp
do 20 ii»l,2«*iexp
Íl=Ílrl
if(il.eq.u(i,1)jthen
do id«l,dimE
if (id.-*q. l)then
x(id,i)-(ii-1)"escala+Xold(id,u;i,2 ) )
end i f
if (id.eq.7Jthen
x(id,i)=(jj-l)*escala+Xold(id,u(i,2))
end if
if(id.eq.3)then
x(id, i)=(kk-3 ) *escaia+X.old( id,u(i,2) )
end if
end do
end if
20
continué
Anexos-73
AnOXO A-D.
I'UNI-RAC simulación de puxesos/raciales
de pumos.
return
end
c
c
c
subroutine
RADUNI(D,C,nump,rmax.p,xl2,idom,L,diwK,npt)
C
C
distribución de puntos según la técnica de Radial Mas:j Dimensión
C
situados aleatorioamente dentro de vna corona, tal que en cada
C
paso solo se añade un punto dentro de ella
C
dimensión xl2(3),p(0:10000)
real m(0:2)
real L
integnr dimE
rl=0.
npos-0
C
C
iniciali¿acion de la semilla aleatoria
C
cali CETTIM(ih,ir,ih,ise)
cali SEED(ise)
C
open(unit=2, íil( --'MRUN1 .DAT' )
open(unit*=l, file-'RADUMI .DAT" )
do i«i,nump
r2=10.«*(vALOG10((rl*«D)+(l./C)))/D)
if(r2.gt.(L/2.))then
Mr«NlNT(C«(rl«'D))
Hr-nump-Hr
dr=rn5ax-rl
do nKr=l,Mr
20
continué
cali SITJA{rl,dr,xl2,dim£,ise,m)
if(idom.eq.2)then
cali POSICIOKA{p,m,npt,npos)
else
Anexos-'/4
Anexo A-D.
Í'(JN/RA('
simulación
Je procesos
freíanles
Je
punios.
c a l 1 PUNTOCEl. (I,, m, d i m E , n p o s )
end
if
if(npos.eq.1.or.npoB.eq.2)goto
20
write(1,•)(m(idiro-1),idxm=l,dimE)
end
do
write(2,*)rmax,float(nump)
write(6,•(lh+,•• Generados:'",i4,'• PUNTOS en'',i?,
&
•' -D'')')nump,dimE
goto 30
end i f
dr»r2-rl
10
continué
cali SITUA(rl,dr,xl2,dim£, Lse.m)
if(idom.eq.2)then
cali POSICIONA(p,m,npt,npos)
if(npos,eq.1.or.npos.eq.2)goto 10
end if
write(1,*)(m(idim-1),idim=l,dimE)
write(2,•)r2,float(i)
write(6,'(lh+,'* Generados:'',i4,'' PUNTOS en',i2,
•'-D1')')i,dimE
&
rl-r2
end do
30
continué
close(1)
write(6,•)"Salida de resultados:
&
Puntos:RADUNi.DAT
- M(r):MRUNI.DAT"
return
end
C
CC
subroutine RADEQUI (D,C, nump, rmax, p, xi2 , idom, L,dimE, npt)
C
C
distribución de puntos según la técnica de Radial Mass Dimensión
C
situados aleatorioamente dentro de una corona, tal que en cada
C
paso solo se a¡-¡ade un numero de puntos que depende del radio
Anexos-75
Anexo A-D.
C
Pl ¡Nh'RAC simulación de /«YKV.W.V frac rales de ¡mntos.
abarcado
c
dimensión xl2(3),p(0:10000)
real m(0:2)
real L
integer dimE
neq=10
npoa=0
C
rmin=10.* *((ALOG10(1./C))/D)
dr=((L/2.)-rmin)/float(neq)
Mrl=0
C
C
inicializacion
de l a s e m i l l a
aleatoria
C
cali
GETTIM(ih,ih,ih,ise)
cali
SEED(ise)
C
open(unit=2,íile='MREQUI.DAT1)
open(unit=l,file='RADEQUI.DAT')
do
i=l,neq+l
Mr=NINT(C*(rmin**D))
do
j=l,Mr-Krl
if(i.eq.1)then
rad=0.
drad=rmin
else
rad=rrriir.-dr
drad=dr
end if
10
continué
cali SITUA( rad,drad,xl2 ,dimE, ise,rr¡)
if(idom.eq.2)then
cali
POSICIONA(p,m,npt,npos)
end if
if(npos.eq.1.or.npos.eq.2)goto 10
writeí1,*)(m(idim-i),idim=l,dimE)
Anexos-76
Anexo A-D.
m INIIÍA (- simulación
de procesos /raciales
de puntos
end do
write(2,*)rmin,float(Mr)
write(6,'(lh+,'' Generados:'',i4,'' PUNIOS en'',i2,
• '-W
&
• ) • )Mr,dimE
Mrl»Mr
rmin^rmin+dr
end do
rmin=rmin-dr
Mr*NINT(C*(rmax«»D))
Mr*nump-Mr1
dr*rmax-rmin
do nMr*l,Mr
20
continué
cali
SITUA(rmin.dr,xl2,dimE,ise.m)
if(idom.eq.2)then
cali
POSICI0NA(p,m,npt,npos)
el se
cali
PUNTOCEL(L,m,dimE,npos)
end if
if(npos.eq.1.or.npos.eq.2)goto 20
write(l,*)(m(idim-l),idini=l,dimE)
end do
write(2,*)rmax,float(nump)
write(6,'(lh+,'' Generados:'',i4,'' PUNTOS en"',i2,
6''-D'')')nump,dimE
close(1)
close(2)
write(6,*)'Salida de resultados:
&
Puntos:RADEQUI.DAT
- M(r):MREQUI.DAT'
return
end
C
c
c
subroutine SITÚA(r ,dr,xl2 ,dimE, ise,rr¡)
C
C
sitúa un punto x a leator i arríente dentro de una corona dimE
Anexos-77
Anexo A-D.
nINIRAC'simula
cion de
¡HIH
esos /nidales
de punios.
C
dimensional de ancho dr teniendo en cuenta el centro de la misma
C
situado en xl2
C
dimensión xl2(3)
realM
U,V
real ir,(0:2)
integer dimE
pi=6.283185307
C
cali RRNDOM(U)
dru=r+(dr»(U+0.0000001))
cali RANDOM(U)
if(U.ge.O.5.and.dimE.eq.l)dru=-l«dru
C
if(dimE.eq.1)then
U=0.
V«0.
else if(dimE.eq.2)then
cali RANDOM(U)
U=pi*U
V=0.
else
cali RANDOM(U)
cali RANDOM(V)
U=pi*U
V=pi*V
end if
m(0)=xl2(1)+(dru*COS(U)*COS(V))
m(1)=x12(2) + {dru « SIN(U)«COS(V))
m(2)=xl2{3)+(dru«SlN(V))
return
end
C
c
,
c
subroutine POSICIONA(p,m,n,npoB)
C
III
OOOO
Ancxos-78
Anexo A-D.
ri M
RA (• simu'kuii>n de pro, .'sos fnictales de puntos
C
SUBRRUTINA QUE INDICA ,„;JOS) SI Uíí PVNTO r SK KÍ.'C'JKtJTRA DKNTKO
C
DE UNA FTGURA CERRADA DEFINIDA POR I.O.S n PUNTO.'; ME1. COÍJTORKO p.
C
integer i , corte , numeortes, hor , nur; ¡,or , npos
dimensión pt(0:l),pauxl(0:l),paux2 (0:1)
dimensión p(0:10000)
real m(0:2)
real intersec
C
C
reordena la poli linea para que la coordenada V del punto
C
no coincida con la Y del prsrr¡er nodo.
C
if(m(l).eq.p(l))then
x-p(O)
y-pd)
do i*l,(2»(n-1 ) (-1,2
p(i)-p(i*2)
p(i*l)«p<i+3)
end do
p(2*n-2)«x
p(2«n-l)-y
end i f
numcortes»0
nurahor»0
corte«0
hor*0
C
C
recorre la curva segmento a segmento y analiza la posicicn
C
relativa del punto respecto a estos
C
C
do i=0,n-l
pt(0)=p{2*i)
pt(l)=p(l-r2'Í)
if(i.ne.n-i)then
pauxl(0)«p(2*(i*l)}
pauxl(l)»p(l+2«(i+l))
Anexos-79
AneXO A-D.
l'U.WRAC
simulai 'ion ile ¡ncKCsos Iniciales de />;/., <«.
else
pauxl(0)=p(0)
p«uxl(l)=p(l)
end if
if(i.le.numhor)then
paux2(0)=p(2*(n-1-numhor))
paux2(l)=p( 1 + 2* (n-1-numhor) )
else
paux2(0)=p(2* { i-1-numhor) )
paux2( l)=p( 1 + 2* (i-1-nuiTihor))
end if
C
C
BÍ pertenece al intervalo en Y del segmento
C
if(m(1).le.pt(3).and.m(1).ge.pauxl(1).or.
&
m(l).ge.pt(l).and.m(l).le.pauxl(l))then
C
C
si la X del punto eB menor que la mayor del segmento
C
if(ro(0).lt.pt(0).or.m(O).lt.pauxl(0))then
C
C
JÍ. el segmento es horitontal
C
if(pt(1).eq.pauxl(i :)then
c
C
si coincide con la coordenada Y, es decir, BÍ el punto
C
esta an la horizontal del segrriento -> punto de CORTE
C
if(pt(l).eq.m(l))then
c
C
si pertenece al intervalo en X del segmento
C
if(m(0).le.pt(0).aud.m(O).ge.pauxl(0).or.
m(0).ge.pt(0).and.m(O).ie.pauxl(0))then
npos=l
RETURN
else
Ancxos-80
Anexo A-D.
/ >i WRAÍ • simulación
<h-/ntKcsos fnichilcs
,!c
finitos.
i f ( hor. eq. ~¿ ) t hen
numhor-0
hor«l
end if
numhor*numhor+1
end if
c
C
si no pertenece al intervalo X no hace nada
C
elae
corte=0
end if
C
C
ai no e s horizontal
C
elae
C
C
coordenada X d e la intersección del segmento con la horizontal
C
q u e pasa por el punto
C
interBec«(pt{0)*(m(1)-pauxl{1))+pauxl(0)•(pt(1)-m(1)))/
&
(pt(l)-pauxl(l))
C
C
si la intersección queda a la derecha -> punto CORTE
C
if(intersec.gt. m(0))then
C
C
si n o coincide en un nodo, corte»0, se ir.crerr.enta numcortes
C
y se cambia corte«l para detectar nodos.
C
N o t a : los aegmentos horizontales no ae tienen en cienta
C
al considerar los nodos.
C
if(corte.eq.O)then
nu!r¡cortes=numcortes + I
corte=l
else
if(pt(l).eq.m(l))then
if(paux2(1).lt.pt(l).and.
Anexos-81
AneXO A-D.
Pl 'X/RA <' simulación de pr<K esos ¡metales de puntos.
&
pauxl(1).LT.pt(1).or.
&
paux2(1).gt.pt(1).and.
£
p a u x l (1 ) . g t p t ( 1 ) ) n u m e o r t e n - - n i i m c o r t e í : • 1
C
C
8 i r.o «6 MAX o IIIN no h a c e r
nada
C
corte-0
hor»0
el se
nurr.corte<J-'nuiTiCortoc+ 1
end i f
c
C
B Í la intersección coincide -> punto FRONTERA
C
el pe i f. ( intersec . eq . m{ 0 ) ) then
npos-2
RETUHM
el se
corte=0
hor = 0
end .' f
end if
el se
corte-0
hor = 0
end if
else
corte=0
hor-0
end if
end do
i f (MOD( n u r r . c o r t e e , 2 ) . e q . O ) t h e n
C
punto
INTERIOR
npos=0
RETJR^J
else
C
punte
EXTERIOR
Anexos-82
Anexo A-D.
ri WRA< * simuim 'ion a'c procesos fnuio/is
¡A' punios
npoa=l
RETURN
end if
c
end
C
c
c
subroutine
PUNTOCEL(L,m,dimE,ia)
c
C
SUBRRUTINA QUE DETERMINA SI UN PUNTO SE ENCUENTRA DENTRO
C
DE UNA CELDA en dimensión dimE y de longitud \ineal unitaria I.
C
C
real m(0:2)
real L
integer dimE
is-0
C
do id*1,dimE
if(m(id-l).ge.0.and.m(id-l).le.L)thc>n
is=l+is
end if
end do
if(is.eq.dimE)then
is=0
else
18 = 1
end if
return
end
c
c
Los resultados son escritos en dos ficheros, uno para las coordenadas del
conjunto fractal F de punios x e F, y otro en el que se escribe la curva N(e) ó M(r), en
Anexos-83
AneXO A-D.
PUM-'RAC simulat ion Je procesos/raciales
Je punios.
función de E ó r, que se ha utilizado en la generación Para cada método los ficheros en
ASCII de salida se denominan
¡box jerárquico t-> BOXJER.DAT - NI-BOX DAT
\box aleatorio
h-» BOX AL DAT - NEBOX DA I
[radial unitario
»-» RADÜNI DAT - MRUN1 DA'Í
RADIAL {
{radial equidistante »-» RADHQUI DA I - MRHQl i I DA I
Anexos-84
Anexo A-E.
DI-1' programa
de análisis /racial
geométrico.
A-E.
Programa de análisis geométrico
fractal DFP.
Se presenta el programa que permite la realización de una sene de análisis
geométricos de la distribución de puntos ó de masa de un conjunto de datos que pueden
distribuirse en un espacio uní. bi o ti i dimensional Los datos se incorporan mediante un
fichero ASCII, en el que se dan las coordenadas de dichos puntos l.os datos que solicita
para el cálculo son, entre otros, las escalas mner cutotV (inferior) y el outei cutotV
(superior)
Anexos-85
Anexo A-E.
DIP programa Je análisis fi acial
Anexos-86
geométrico.
Anexo A-E.
¡ )/•'/' programa de análisis frac tal
Anexos-87
geométrico.
Anexo A-E.
/)/•'/' programa tic análisis /racial geométrico.
i***
&
Anexos-88
Anexo A-E.
¡)}•'!'programa
Anexos-89
ik' análisis
¡racial
yco/neina
Anexo A-E.
¡VT programa Je análisis/racial
'' t
Anexos-90
geométrico.
Anexo A-E.
/>//' programa
i
Anexos-91
</«.• análisis fnn tal
yconiLirno.
Af16XO A-E.
/)/•'/' progranuí di' aiuili.si.s fntanl
woi'HUrico.
i
•
Anexos-92
Anexo A-E.
I )¡-'f programa
Anexos-93
tic analiu.s fracuü
gcomctnco.
Anexo A-E.
/.)/•"/•' programa iic análisis (racial
Anexo«-94
geométrico.
Anexo A-E.
DI-1' programa üe análisis ftin lal
Anexos-95
geometría
Anexo A-E.
I)//'
programa t/c análisis /racial
geométrico.
\
Anexos-96
Anexo A-E.
Hl I' programa <A' <:nalisi\ tunta!
Anexos-97
ycomctuiü
Anexo A-E.
DI-V
programa ik análisis ftactal
Anexos-98
yi-otnettico.
AflOXO A-E.
/ ) / / ' f,r<i^rarna Jf anáfisis (natal
• i
Anexos-99
gcometino
AnOXO A-E.
Dh'V programa
de análisis /racial
geométrico.
!
!
:
• • • : .
1
1
Anexos-100
Anexo A-E.
n/-v programa
I :
Anexos-101
Je analtus /racial
ycanivtrico.
Anexo A-E.
'•/ / ' /'•' f^iiinuí
•i,
Anexos-í 02
</< ,m,i/iM\ r>,n lal
gcomctru-i)
Anexo A-E.
/'/•y
Anexos-103
ptoyiiini-i
i/r iW,i/n;v .,',' . / i
/,/.'
'"hit
U
Anexo A-E.
1 )/•']'programa Je análisis '<nn tai geométrico
Anexos-104
Anexo A-E.
!•'.'
;.¡-
••j-.it
b 1 .; ; . -r :: ^ : .s
i>//' programa de análisis /racial yeorneti n
<•.
-
•':•>-•
ur.a
. • : ; • • )
li e x * , e o . i ¡q:!
~ " r á r a : : : n c~
lisiar
Anexos-105
Anexo A-E.
/ V-J'programa
en 2 i f
Anexos-106
</<• análisis fnu tal
geométrico.
Anexos-107
Anexo A-E.
DI-P programa Je análisis/metal
eírj^a::
~s~3.a
r . c : r. J~e: : ; c t jr.
: ( - ; , ' / < - . : : : : r a e : . s : > ¿ 3e ; : £ C i r . ; : ; ^ t . r
Df: d;r«. r .s::T. f r u t a l
d- la
fijara
£:ar.a: e r r o r er. e . c a i c u - ~ ae la Df
Anexos-108
geométrico.
Anexo A-E.
v:.t*:-!ír#* * 'í-r
/>//' proyrarrui de análisis fructtil
'. ::' t: ir. r : r . t: -:.* : :
w: : *. «M é , • ; • í - r : : .3 r e i r a ^ J
.i:i;t.i:5 r
w r i t<?; t , • i "¡r i r : t ? í ; e c i e : , ror¡ e l
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r , L - v : o d e p^r:*:-!?
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A nexos-109
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-JÍ-Í ;:.c-r. e l
RET'JKN:'',$;' :
le I
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yi-oniitrno
Anexo A-E.
i
I)¡1' programa de análisis /racial
: ; • : • [
.:• i ' • . . - - • ; . i-,
Anexos-110
geométrico.
Anexo A-E.
''•'.:¡
r::.i
.í i * -J ' ••:-
-Ji.". J.'
DI-'/' programa
\',-
O j a M '. "
, *-~
• i
.
I..
Anexos-111
de análisis
f. acial
geométrico
Anexo A-E.
D/T programo de análisis /racial
Anexos-1 i 2
geométrico.
Anexo A-E.
DIP programa
Anexos-113
de análisis
/nula/geométrico.
Anexo A-E.
t
D/V programa Je análisis /racial geométrico.
>-i;-,y.ri:,fir-
I _ ;
I J !. . í
fli i a 1 J
r- i ;
: i ,
s:
'J!, r"í.'TO
SU5SSUTI!.'.
:• v *
^ o
T:
Anexos-114
...i ORNO
Anexo A-E.
/->/•/'programa de análisis
Anexos-115
(racial
geometría)
Anexo A-E.
/)//'
programa Je análisis /racial
.N
\
,..<£
Anexos-116
geométrico.
Anexo A-E.
!
i>II'rnWamaiAan,,li
••'
ai cor.siae.'ir
: _- =
Aneios-117
sisfnuml
^omvincn.
Anexo A-E.
Df-'f'programa Je análisis
p,
er.o a-;
*
r
~ -5 > -
• . *=• -
Anexos-118
fraila/geométrico.
Anexo A-E.
DI-1' programa Je análisis fnu tal geométrico
Anexos-119
Anexo A-E.
:: ,
*¡ 'f.
D/P
:.
:.';-«• •
l í
•-.-..
Aoexos-120
f^^^L±<'na¡isisfraclalSeom¿tr,t, geométrico.
Anexo A-E.
DI P programa Je análisis /racial geométrico.
i y- : •
- í . : ; , -1
; i
íícr:.-.!»f.\ •; 1
«3^
• * ; . i
, t ¡1,-;
:*-¿,r¡;..
efcl«e-:
YKít-VN-?;; -l.ers-;
syy-íyy-:::?•.••-.
S i y - J x y - í s . - t - VNeFend»Fer.d»esr* * V.'.'e ; i !
c c r r x y ^ í x y / ' S O S r . ;>:>;• ; .-y,
s i j r S;=VSU-ÍFLOA7 ¡.'.si* ¡r.i
Anexos-121
Anexo A-E.
DI-i' programa Je análisis fravtal geométrico.
Ai«exos-!22
Anexo A-E.
- ; : ir:
/)/•'/' programa de análisis frental geométrico.
e: •*-
f=Kcn-;:?'.5re:.3 ;
Anexos-123
Anexo A-E.
en'i
i-r.-j
DFP programa de análisis /racial geométrico.
í .<
:f
•re r.* : :, ^*cA : I A*--A:t
•er.-ir
Pí•«•:. :
AÍ3-jr-v = Ai-Jf-v/ f'i.OA; l , : ;
¡<-.. : ;
•«•rite
c, ' i / / , . .
'-:•.'
í . 3 . _a * :
A nexos-124
Anexo A-E.
vi
Df-'f programa Je análisis /racial
: f
*< Vr
Anexos-125
i-
geométrico.
Anexo A-E.
DI-P programa de análisis/racial
tr- :
•>"Sr
» I*
Anexos-126
geométrico.
Anexo A-E.
>/•'/' programa de análisis fracial geométrico
SA í : : - SA í ) i
1 =^
KA . ; i - h :
•
?
- . t .
:
•,
rK->\? -
,:.:-.
rt-£:vr ÍAM"1
.*^^....
A nexos-127
Anexo A-E.
DF/' programa Je análisis fractai geométrico.
P E T A : - i . -\-\ • f i E T A " r . í ! . ;•., : . -:•; • Í-
nr.'i
1f
Ef.T
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A'."FIA, :•,:•
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sz-Afí
C-fi.
Aneios-128
Anexo A-E.
I)FI' programa Je análisis /racial
i í ; Ai* S í d ."* - A . ] 3 ; . I * . **í s • Ai-S :.3 : ' : 3 : ' r
i
vr.-i 'M
w r j * *? í •., * 1 ' A
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f
; i ' -i Í..11 í , r.*-, i r f ^ >. . ~ 1 - f 1 . t' .# - - ' ^ •
...f.i.í
:-:.iv¡;T-f.'--rf
r.L.JKt;
Anexo*-129
r - . • . ~ 4 •, *• r'. -
geométrico.
Anexo A-F.
A-F.
LSM.
f'rogmnnicinn
ih't l.SSÍ.
Programación de la metodología
A continuación se va a exponer, en forma de algoritmos, cómo han sido
¡mplementadas las tres técnicas que han sido descritas teóricamente en el punto 6 11 de
ésta Tesis La forma de introducir cada una de ellas se basa en desarrc'lar el algoritmo
para cada código que calcula, fundamentalmente, el exponente de Hurst (del que se ha
hablado ampliamente en el punto 6.1.2.1). También es posible, ya sobre la interpretación
de los gráficos de salida, detectar la escala, ó escalas, en las que se produce un cambio de
comportamiento de autosemejante a autoafin
Los programas que se presentan posteriormente a el algoritmo se encuentran
escritos em lenguaje MATLAB (programas con extensión m) i e trata de un lenguaje de
programación de alto nivel que permite el uso conjunto de librerías de funciones de
cálculo y gráficas que posee el programa de análsis matemático MATLAB Esto no
supone un gran inconveniente en lo que respecta a su implementación en otro lenguaje de
programación estándar, por la existencia en los mismos de librerías y subrrutinas de
cálculo y gráficas, como FORTRAN, PASCAL ó C (del tipo IMSL, NAG, C++, etc)
Estos cuatro códigos (LSM 1, LSM2, LSM3 y LSM4) están diseñados de manera tal que
sigan el planteamiento secuencia! que se desarrolló en la teoría, según las dimensiones
topológicas y euciideas de los datos que se analizan
Anexos-130
Anexo A-F.
/'rogramíiíUin </<•/ i.SSI
Descripción de LSMI.m
A-F.1
Se traía de un programa de análisis fractal de datos unidimensionales esto es. con
dimensión topológica unidad, como las series temporales, para la discriminación entre el
comportamiento autosemejante y/o autoafín Se identifican tanto el exponente de Hurst,
a partir de un cálculo de regresión lineal bilogaritmica, y permite visualizar la escala en
caso de que exista un cambio de pendiente brusco
1 > Algoritmo
LSMIm
<
da l* pnrtura pijucioo^V
alatritima
JS
lacturedadato*
Cateóla*
desviaccina» «standar
para cada dato tamporx
sagm las dKacoonas
daOat, ydalaO
Cfaaaon dat «actor
da tácala M0un la
•scaU de muestrao
)
CafcOaH
madnatc ragrestfn
I bdogarttmea
<to ti primar* p o u o ó n S ,
ataútama
^r
Aprouma la rada
daragraaaon
Raprwaantaeion GRÁFICA
(
<
C
Calcúlalas
desvtactone* «standard
para cada aséala
Represar .ación GRÁFICA
da loa calculo*
FMAL
2> Código en MATLAB
LSMl.sn
ver. 3 1995
PROGRAMA DE ANÁLISIS FRACTAL DE DATOS UNÍDIMENSIONALES
PROCEDENTE DE SERIES TEMPORALES
PARA LA DISCRIMINACIÓN ENTRE EL COMPORTAMIENTO
Anexos-131
AflBXO A-F.
Prt>)iramtici<>n tic I i.SSf
•
AUTCSEMtJA.'JTK
A PARTIR
i.'-i
AUTOArl»
DE i-A I f'KNTI F R A C I O?,'
•
-CXFCIJEliTt; H
'i
-LA KSCALA He
•.
Vil:
SEGUÍ; LOS RANGOS DE ESCALA? CORRESPONDÍFNTES
•
• Se parte de los ditos de un fichero de entrada dondf se .ilmaoemuí
í los valores de la variable aleatoria Z:
•
Fichero de entrada con formato;
Z (1 ;
•
ZíZ :
•
z<n!
» Se calcular» las desviaciones, «standard, en íunción
*• de la
escala de red i da, según dos sentidos:
'?
En dilección:
•
W -> F.
W <- £
*
• Las desviaciones estandard de el carrr;" aleatorio Z dependen de
• la
unidad de longitud r¡ usada en ios perfiles, según:
•
std[2] = n*H
• de donde se obtiene H, el exponen te de Huist <0<H<3), ¡r,e r41 a n r. e
• una regresión lineal bilogar itrruca.
r La ditr.ension fractai 1-tente- es:
D = 1/H
• Las escalas Nc se obtienen por los cambios bruscos de pendiente
? en la stdfZj vs. n, y proporcionan ios rangos de escalas dc.r1• se producen los caSibios de cosportamíentcs de autose.t.ejante a
• autoafin.
•
•
Programación:
D.M.A.M.I.
E.T.S.I.
< C.
de Minas
PAREDES )
Anexos-132
U.P.K.
Anexo A-F.
l'n>f>nwuicit'in
tJcl /..VA/.
» Referencias:
MATSUSHITA.M. ; CUCHI,S. [198?]
t
On the self-affínity oí varicus curves.
Physica D39: 246 251.
OUCHI,S.; MATSUSHITA,M. (199.:]
•
Measutement of the self-affi nity on surfaces, a tria]
'*.
application of fractal georr.etry to landferrn analysis.
Geomo'-phcloqy b: 115-3 30.
•
Ficheros de salida: con formato:
•
•
SPEfcF.DAT
n
stdjnj
std[Z|
SALIDA de resultados en el directorio:
C:\WINDOWS\MATLABWI\LOADSAVE
clear;
• LECTURA DE DATOS DE file
dire=input('Directoric de datos:','s'¡;
fil=input('Fichero de datos:','s');
mcr»input ( ' Paso de rfiuestreo en los datos:');
eval{['load ',dire,'\*,fil]);
lf=sizeífil>;
file=eval?filíI:lf(2)-45 I;
disp{'Numero de datos leídos:*!;
nt-size(file);
n=nt(lí
¥
• CREACIÓN DEL VECTOR DE ESCALA h SEGÚN LA ESCALA DE MUESTREO incr
h=incr* <0:n-2);
• REPRESENTA LOS DATOS LEÍDOS EJJ UNA GRÁFICA
Anexos-133
Anexo A-F.
Programación del ISAf.
%
clg;
xmin=min(h);
xmax=max(h);
ymin=min(file);
ymax=max(fi-e) ;
axis((xmin,xmax,ymin,ymax]);
subplot(211),plot(h,file),title('Measured data serie'),
Xlabel('time steep'),ylabel('Z(t)' ) ;
pause;
• CALCULA LAS DESVIACIONES ESTAJJDARD s PARA CADA ESCALA h
#
• PRIMERO LA VARIANZA
for
js=2:n,
suma=sum(h(1:js ) ) ;
med=suma/js;
s ( j s - l ) = f s u m f h ( l : j s ) . ' 2) + í j s ' i r . e d ' 2 ! - i 2 • rned • s urna ) > / ] s ;
end
• SEGUNDO LAS s
s=sqrt(s);
r CALCULA LAS DESVIACIONES E57ANDARD sp*-: : V VI-. LA. SERIr. :•:•••
• PRIMERO LA VARIANZA
for
?
js=l:n,
SEGÚN EL SENTIDO V
> ."
suitia=sumí f l i e ( 1 : j s : : ;
ssed=suma/js ;
s p e r f ( j s ) = ísu.T 11 Lie 1 1 : ] s ; . "2 i * •'js*rr.ed'2 i - .'2*med*sum3 , ¿ / j s ;
•
SEGÚN EL SENTIDO W <- E
s u s s a - s u i s ! f i l e ; r ¡ : - 1: ¡ n - j s - I ; . ; ;
med=suina/js;
Anexos-134
Anexo A-F.
l'rugrumncKin del /..VA/
s p e r £ 1 < j s ) = (suní ( f i 1 e (n : - 1: í n - j s * 1 ) ) . ' 2 ) + ( ] s * med ' 2 ) (2*med*suma))/js;
end
%
% SEGUNDO LAS sperf
%
sperf=sqrt(sperf);
sperfl=sqrt(sperf1);
«
% TERCERO PROMEDIA ENTRE LOS DOS SENTIDOS K -> E , W <- E
'f
sperf=(sperf+sperf1)/2;
• ELIMINA LA PRIMERA COLUMNA DE CEROS
sperf=sperf(2:n);
clear sperf1;
*- REAJUSTA LOS VECTORES DE ESCALA PARA LAS REGRESIONES Y DIBUJOS
h=h (2 :r¡) ;
• CALCULA LOS VALORES DE H SEGÚN UNA REGRESIÓN ^INEAL BILOGARITMICA
i=find(sperf>le-4);
logx=logiO ih(i));
logS=loglG ísperf{i));
fit=polyfitilogx,logS,1s;
H-fit(1);
r CALCULA LA CURVA
(RECTA EN BILOG) QUE AJUSTA LA REGRESIÓN ABTERIOR
*
base=10;
sfit=polyval(fit,logxí;
fitplot=base."sfit;
« DIBUJA LAS stdfhxj y las std[2] CCMO vs . hx PAPA LOS 8 PERFILES EN X
Anexos-135
AneXO A-F.
f'rof¡nmiiicion del /.VA/.
4- CON SU LEYENDA
xrrtax=max(logx) ;
xmm=min ( l o g x ) ;
ymax=max í ( m a x ( s ) , m a x ( s p e r £ ! , m a x ( f i t p l o t ) 1 ) ; y m a x = l o g l 0 tyrnaxí ;
ymin=min ( [ruin (s ) , min (sperf ) , mir, ( fitplot) ) ) ; yr,in = logl 0 i ymi n) ;
axis([xmín,xma;-:,ymm,ymax]);
subplot (223),loglog(h,s, ': ', ri (i), sperf u i . h h l , fitplot ( i ) , ' -- ' )
xlabel('length'),ylabel('std'),
title('SELT
affinity-sirrulaMty'I;
t e x t ( . 60, .45, [ T i l e : ',fil] , ' s e ' ¡ ;
text(.60,.30, '... stdih] ', "se" ) ;
text(.60, .25, '
text ( .60, .20, '
s td [ 2 ] ' , ' s•-:' i ;
FIT std!Z] ', 'se * •;
text ( . 6 0 , . 15, [ 'H=' ,nu¡Ti2str !H> ¡ , 'se' , ;
pause;
• PRESENTA LOS K PROMEDIADOS PARA CAÍA DIRECCIÓN
disp('Valor dei exponente de HUPST:');
H
• REORDENA LOS RESULTADOS V PPEPARA J¡iS SALIDAS
sperf=[h;s;sperf;f:tplct1;
sperf=sperf';
s a v e C:\WIiJDOWS\MA7LAEWI\L0ADSAYE
\sperf.dat
*
axis;
clear;
clg;
break;
step;
Anexos-136
sperf
/asen;
Anexo A-F.
Programación del l.SSt
Anexos-137
Anexo A-F.
l'rogramocion del
/S\/.
Descripción de LSM2.m
A-F.2.
Es un programa de análisis fractal de datos bidimensionales que proceden de la
discretización de lineas de contorno o de isovalores El programa discrimina entre el
comportamiento autosemejante y/o autoafin Además, debido al tipo de datos que esta
analizando, premite saber si existe cierta anisotropia en la curva de isovalor analizada, en
función de la escala, y el posible rango del ratio de anisotropia Igualmente se calcula el
exponente de Hurst para la posterior determinación de la dimensión fractal del perímetro
I > Algoritmo
<
L8M2m
d t la primera posición^
a la úfsTé
jr
Lectura de datos
Cataiaias
desviaciones estandard
para c*da coordenada X e Y
según tos senbdo*
drecto i reveno
Creación del vector
de escala según la
escala de muestreo
D
Calcuta H
medmate regresión
kneaJ beagarltmica
Representación GRÁFICA
de ios datos leídos
(
Aproxima la recia
deregre»6n
C
Representación GRÁFICA
de tos cálculos
J
2> Código en MATLAB
LSM2. rr.
] 995
PROGRAMA DE ANÁLISIS FRACTAL DE DATOS
BIDIMENSIONALES
PROCEDENTE DE LINEAS DE CONTORNO 0 DE ISOVALORES
Anexos-138
Anexo A-F.
t
Programan*'» del / M /
PARA LA DISCRIMINACIÓN ENTRE EL COMPORTAMIENTO
%
AUTOSEMEJANTE Y/O AUTOAFIN
*
A PARTIR DE LA IDENTIFICACIÓN DE:
-EXPONENTE H
*
-LA ESCALA Nc
%
SEGÚN LOS RANGOS DE ESCALAS CORRESPONDIENTES
% Se parte de los datos de un fichero de entrada donde se almacenan
% los valores de las coordenadas de la isolinea
*
Fichero de entrada con formato:
x(l)
yill
*
x (2)
y (2)
*
x(n)
y(n)
* Se calculan las desviaciones estandard, en función
t de la estala de medida, d* las coordenaaas X e Y
*.
En sentidos:
*
clockwise
*
countreclockwise
* Las desviaciones estandard de las coordendas de la curva isolinea
* dependen de la unidad de longitud M usada en los perfiles, según:
std[XJ = N'Vx
std!Y) - N'Vy
* de donde se obtiene H, el exponente de Hurst |0<H<1), mediante
? una regresión lineal bilogaritnuca que calcuie los exponentes
% de las std Vx , Vy, como:
*
H « Vy/V'x
* Si la curva es autoseisejante entonces se verificara la igualdad
* de los exponentes:
*
Vx = Vy
* En cuyo caso el valor de H = V = Vx = Vy.
* La dimensión fractal latente es:
Anexos-139
Anexo A-F.
Programación del I .'"A/
* Las escalas Nc se obtienen por los cambios bruscos de pendiente
* en la stdíX] o std[Y] vs. n, y proporcionan los rangos de escalas
% donde se producen los cambios de comportamientos de autosemejauto
* a autoafin.
'*,
%
Programación: D.M.A.M.I.
E.T.S.I. de Minas
i
( C. PAREDES )
%
» Referencias:
*
MATSUSHITA,M.; O'JCHI.S. [1969)
*
On the self-affinity o£ various curves-
*
Physica D38: 2-56-251.
'?
OUCHI.S.; KATSUSHITA,M. [1992]
»
Measurement of the self-affi nity on surfaces, a trial
*
application of fractai jeometry to landform analysis.
»
Geomorphology 5: 115-130
*
Ficheros de salida: con formato:
*
5PERF.DA7
n
std¡n)
i
«
SALIDA de resultados en el directorio:
C:\WINDOWSXMATLABWI\LOADSAVE
clear;
% LECTURA DE DATOS DE file
i
dire=input('Directorio de datos:','s'i;
fil=input('Fichero de datos:','s'•;
evalU'load ' ,dire, • \ •, fil 3 i ;
lf=size(fil);
file=eval(fil(l:lft'2)-4)5;
disp("Numero de datos leídos:'};
nt=size{fiie);
Anexos-140
std[Z]
U.P.M.
Anexo A-F.
i'rof¡r<mi<ii-itH) <A'/ /..VA/
n=nt(1)
9.
% CREACIÓN DEL VECTOR DE ESCALA ií SEGl'N EL NUMERO PE DATOS
*
N-(1:n);
'
REPRESENTA LOS DATOS LEÍDOS EN UNA GRÁFICA
*
clg;
axis('square');
s u b p l o t ( 1 2 1 ) , p l o t < f i l e f : , 1) , f il'.M : , 2 ¡ ) , 111 l e i 'Mea sis r e d C o r i l o u :
x l a b « i l ( * X d i r ^ c t i o n ' ) , y l a b e l t'Y
Da: :,') ,
directjon');
pause;
•
• CALCULA LAS DESVIACIONES ESTANPARD soerf PARA LAS COORDENADAS X K Y
* PRIMERO LA VARIANZA
%
for
»,
js=l:n,
SEGÚN EL SENTIDO W -> E
suma = suirn £ i l e ( l : j s , Z ) > ;
med=su:na/js:
s p e r f X ( j s ) = ( s u m í f i l e t l : j s , I ) . " 2 ) * í j s * m e d " 2 } - <2*med*surr>a i i ,'^r.;
suma=sumt fileíl:js,2));
roed=suma/js;
sperf Y( js) =(sum(file (l:js,2).''2M( js*med A 2j - (2*med*sun -ii } /js •
%
SEGÚN EL SENTIDO W <- E
suma»suiri( file(n:-1: !n-js+1! , 1) i;
med=suma/js;
sperf XI i js) = (sum¡ £ile(n:-l: (n- js + 1) , li . ' 2) + { js*ir,ed'2) -
{2*med*suma)í/js;
suma=sum(filefn:-1:(n-js+1), 2 5 ) ;
med=suma/js;
sperf Yl (js) = (sumí fríe<n:-l: (n-js + 1 ) , 2) . '2) + i: js*med' 2) (2*med*surca)>/js;
end
%
Anexos-141
Anexo A-F.
Programación
</«*/ /..VA/
• SEGUNDO LAS s p e r f
sperfX=-sqi!. (sper fX) ;
sperfXi=sqrt ísperÍX1i;
sperfy-sqrt isperfYS;
sperfY¡=sqrt(speríYlJ;
t TERCERO PROMEDIA ENTRE LOS V>05 SEÍ.'TIDO.' W -•> E , W <•- E
f
sper f X a ísper ÍX + sper f XI,' 12;
sperfy» ísper fí^speríVI ¡ / 2 ;
• ELIMINA LA. PRIMERA COLUMNA DE CE ROÍ?
sper ÍX»«sper ÍX i2 :n) ;
ciear speríXI;
sper f Y~ sper í V (7:: n) ;
clear sperfy3;
• REAJUSTA LOS VECTORES I¡E ESCALA PAPA LAS REGRESIONES V DIBUJOS
!i=!J í 2 : n j ;
• CALCULA LOS VALORES LE H SEGÚN UNA REGRESIÓN LINEAL
felLOGARÍTMICA
• PARA LAS COORDENADAS 7.
i X - f intí í s p e r f X > l í í - 4 ! ;
1 c g x - l o g l O <iN ' iX') ) ;
l o g S = l c g 3 > { J ? . s p e r f X i i X ) .) ;
fit=polyfit<legx,logS,i j ;
HX«fitU!;
• CALCULA LA CURVA (RECTA EN BILOG) CUE AJUSTA LA REGRESIÓN AETERIOR.
base=I0;
sfit=polyvai «fit, Icgxj ;
fitplctX=base."sfit;
Anexos-142
Anexo A-F.
Pn>f¡ramní ion tlrl l SM
3
* CAI,C"*A LOS VALORES DE H SEGÚN UNA PEGPESION LINEAL Bíl.OGARI TKI f7\
• PARA LAS COORDENADAS Y
k
iY=findisperfY>le-4);
logX'loqlO(NíiY));
logS=lcglÜ(sperfY(iY));
f it*polyf it. (logx, logS, ] ) ;
HY«fÍt(l!;
'* CALCULA LA CUPVA (PECTA EN BILOG) QUE AJUSTA LA REGRESIÓN ANTERIOR
base»10;
sfit-polyval(fit,logx);
íitplotY^base. "'sf it;
•
«
* DIBUJA LAS std[Xj y las
-std ¡Y) COMO vs. N
• CON SU LEYENDA
•
xrnax^max < l o g x ) ;
xnun=min(logx!;
ymax«inax í (max i s p e r f X S # m a x í s p e r f Y ! ] ) ; y j M x = l o g l 0 (yraax; ;
ymin ! c nu.n í J ^ i n í s p e r í X I , n u n ( s p e r f Y) ] ¡ ; y s r u n = l o g ] 0 (yynin) ;
axis <'normal') ;
a x i - < i x m i n , x-sax, yitsin, yreax J J ;
subplot 1222),
lcglogUmX 1 ,sperfXtiX),':' ,H, í i tplotX, N ! i Yj , sperfYd Y) , ' -' ,H,fitplotY),
xlabel í 'JJ'J.ylabel ( 'std'),
titleí 'SELF affimty-sinularity');
text;.«0,.45,i'File:', filj, *sc" ) ;
text{.60,.30,*... stdfX]','sc');
text(.60, .25, ' —
std{Y] ','sc'i;
text(.60,.20,'
FIT srdi3','se');
Antxos-143
Anexo A-F.
t e x t ( . 6 0 , . 1 5 , ! 'Hx«* , ;nmi2st r (HX! ¡ , ' s e ' ) ;
t e x t ( . 6 0 , . 1 0 , i ' Ky= ' , KUTC:;tr » HY >. ] , ' s e ' ! ;
pause;
• PRESENTA LOS H PROMEDIADOS PASA CADA D I H E C C I O N
*
díspt'Valor
del
expcneritfc de HURST en
l.i
dirección
del
e x p e n ^ n t <•- d r ¡ÍUFS? er, ', •» d i r e c c i ó n
KX
dispí'valor
HY
• REORDEí.'A LOS RESULTADOS Y PREFAkA LñS SAI.II Ai:
s p e r f •• iN'; s p e r Í X ; í i t p l o t ' / , ; s p e r ÍY; ?' 5 :, p i cr. Y) ;
sf
erí-sperf';
s:»ve C:\WINLOWr>VK*TLAl!W3 U.CADSAVE \ s p * i f . r i a t
axis;
c1ear ;
clg;
break;
s t op ;
Anexos-144
;>p*-f f
Anexo A-F.
i'rttjirtumit'ion ih't I.SSI
Descripción de LSM3.m
A-F.3.
Fs un programa de análisis fractal de perfiles procedentes de las secciones
aplicadas a datos bidimensionales distribuidos en el plano, que constituyen una superficie
E! interés que tiene este programa esta en que permite analizar un tipo de datos que
proveniendo de una estructura de superficie, se hace de forma unidimensional, y
promediando los resultados de! cálculo de H, para todos los perfiles obtenidos, v según
las direcciones X e Y de sección
I V Algontmo
r.xy!^
da Mi primara poce
* la u*-na
CaicuiakM
oeawatiorie» estartcara
per» («Oa pa»1«l
M>9 n ia» dMecaorw^
da X y dt v
Craaoon da toa « K t o m
da « c a t e eegwi k»
eacaia <J» muntrnt
J
CafcuiaH
nwsnate rt0fM<on
anea! Mcyarttmca
Cafeto del pato para
^
haca» to» 9 perfile»
C
Repraaertaciin GRÁFICA
da 0 parftes craadoa
Aproóme la recta
deregreeióri
J
c
<
de la primara poaieaVi^v
alaútoma
> ^
Calcúlalas
desviacnne* «standard
cada «acata en X • Y
2> Código en MATLAB
LSM3.m
ver.
3 1995
Anexos-145
Repreaenlaaon GRÁFICA
da lo» cate uto»
J
Anexo A-F.
/Vuyi-tinitiK mu </r/ /.XA/
PKO'JFAMA DE A N Á L I S I S
PROCEDENTE DE S E C C I O N E ?
PARA LA DISCRIMINACIÓN
AUTOSEMEJANTE
A PARTÍ~
ERACTAL DE PEBE1LES
I'E UN CAMELO f»1 i C X E N S I OI.'AI.
ENTRE EL COi'FOR' AMI EIJT.O
Y / O AUTOAKIN
DE LA I D E N T I F I C A C I Ó N
DE:
-EXPONENTE H
- L A ESCAI-A N SEGUN LOS PANTOS DE ESCAIAS
5e
los
par:.»" d e
.es
;íaics
::«• u n
vale:*-.-, d e l
campo
alea: cric
E:~hí.-::
Se
realizar;
cuacirade.
función
de
la
escala
:e e r , t : I : M : : " ¡ . : I -
?¡e , 1 . : : \ •-1..11
;':
d e e:.T : . i d a '::•;•. : : r : r . . i ' ¡ :
r s t e " ; or¡es,
Se c a l T u l a r .
!':••:;•.*•: o
CORRESPONDIENTE."
: r. •; 1 j i ^ a s
lue¡jc
! ro;,'<íraí
l á í . desvia".", i o r í e s
d e rr.eriíaa,
Perfiles
las
s e ^ u i . tíos
en d i l e c c i ó n
d**l
d\
e s l ,ir>d.:trd,
sentidos:
X:
W -> E
Perfiles
er. d u t e c i o ? ,
W *"
E
N
N
Y:
Las desviaciones estandard de el cairipo aleatorio Z dependen de
la unidad de longitud h usada en los perfiles, según:
std!Z] = h'H
de donde se obtiene H, el exponente de Hurst
una regresión lineal bilogaritmica.
Anexos-146
(0<H<1), mediante
Anexo A-F.
La dimensión fractai latente ss:
fi
=
i
.' -
- Las e s c a l a s
* en
ia
std[z;
!f:
i,/ H
i
s e cx-n í e r . e n }.o:
vs.
les
marinos b u s - j s
í¿, y p r o p e r r i c r . a r .
• s e p r o c i u c e ; . I r;s c a r i ' : Í _ S d e
ios
-i»» p'-:..i.
: .¡:¡;jos .2»- -•• •.
: c r p c : t a n e n t o:••, j<-
il^io
.st-rif
er.'..
.lo:, i r
J : . v ••
t
• autoafir..
•
Programación:
D.M.A.M.I.
£.7.5.1.
i C.
d e Min.-.s
'i . 5 . M
PASf.i'K.P !
• R e f e r e n c í .Ü :
•
MATSUSHITA.M.; Ct-'CKi,.'.
¡I--'-;
»
On the selí aiíin:ty cf vái:cu; cu i •••*•?,.
Physjca I• 36: 2 4 £ - : M .
CUCHI.5.; MATSUSHITA.M.
¡ií-^ij
Heasuríiwnt oí the sel f - ai í i nx ? y ers suría~es, a triai
applicatjon oí íiaetal qeorretty *o lar.díorr. analysis.
•
G Í O R C ! phc-I eqy 5: llí>-130.
Ficheros de salida: -on fcrtr.ato:
•
Sff.Rrx.rAT
hx
SPERFY.i.'AT
i-i y
stdihx)
std¡hy]
SALIDA de resultados en el directorio:
di rcut» ' C: \WINDC«5\MATLA6WP, LOADSAVE '
dirout="C:\WIKD0WS\KATLABW1XLCArSAVS'
*
clg;
•
% LECTURA DE DATOS DE file A MATRIZ A(i,ji
%
d i r e = i n p u t ( ' D i r e c t o r i o de d a t o s : ' , ' s ' ) ;
f i l = i n p u t ( ' F i c h e r o de d a t o s : * , ' s ' ¡ ;
Ancxos-147
stdtZj
strilZj
Anexo A-F.
Programación
i n c f ' i n p u t ! ' P a s e de r . ' j e s i s e o en l o s
eva](í'2oad
lí-sue
<iclISM
datos:');
\ di r e , ' \ ' , f 1 1 ] ; ;
(fil) ;
f i l e = e v a l ( f i l ( l : l f (2»--í) ) ;
nx=fi le(1f
ny=fí1 -(2)
n=ny;
• PASA L O S D A T O S L E Í D O S D K L V E C T O P í i ] *• A IA M A T R I Z A
1 = 1;
fer k*i:nx*ny
i « k - ( ] -.' * • n x ;
A (i, 3 I * f i i e ifc* 2 ) ;
íf k / n - r o u n a ( k/n i » * 0 ; j = } i i ;e¡id
end
d i s p ! ' D A T O S lei'ios y t r a n s f o r m a d o s
cleai
FIL£->A'};
file;
• C R E A C I Ó N D E L O S V E C T O R E S D E E S C A L A hx h y SEGÚN LA E S C A L A DE M U E S T P E O
incr
h x » i n c r * ( 0 . 5 * ( 0 : n x - 1 i 9;
h y = i n c r * ( 0 . 5 + í Q : n y - 1 i J;
«
• DETERMINACIÓN DEL PASO PAfcA HACER LOS =• COATES Eíí A
pasx^round{nx/9j
pasy=round¡ny/9!
T CALCULA LOS RANGOS asnax, arrar;, xjnax, x m m PAPA EL DIBUJO DE LOS
PERFILES
amax=irsax (max (A) ) ;
a m i n = m i n (min (A)) ;
xmax=max f [ m a x ( h x ) . r e a x í h y ) ] ) ;
;a&in=min ( [ m i n (hx} , n i i n (hy) 3 í :
Anexos-148
Anexo A-F.
I'rograrnaaón tlfl
!S\í
axis([xmin,xmax,amin, amax]) ;
• REPRESENTA LOS 8 PRIMEROS PERFILES EN -5 GRÁFICOS
•
3ubplot(221),
plot(hx',A(i:nx, 1!, '-',hx',Ai 1:nx,pasy), ':',hx',A!i:nx,2'pasy :• , '
',hx',A(1:nx.3*pasy),'-.' ) ,
xlabelI'length'¡,ylabel('valué'»,
títle ( 'Measurcd profile in '/.' :;
áubplot. (222) ,
plot(hx',At1:nx,4*pasy) , * ",hx",A< l:rx,S*pasy- , ': *, hx' ,A< ] :nx,fc'pasyl,' -', hx', A < 1: t.x, ''*pasy ¡ . ' •'),
xlabel('length'),ylabei i'vaiue') ,
title('Measured profile in X ' ) ;
subplot (22.3),
plot(hy',Aíi,1:ny),'-',hy',A(pasx,1:ny>,":' ,hy' /A(2*paíx, 1 :ny) , '
',hy'.A(3*pasx.l:ny),'-.'),
xlabel!'length'),ylabelí'valué'),
title("Measured profile in Y');
suoplor(224 a,
plot íhy ', A(4*púsx, l .'ny), ' ', hy', A(S*pasx, 1 :ny) ,. ' : ' ,hy", A<6*pasx, 1 :ny>, ' -- ' ,hy', A^7*pasx, 1 :nyj , ' .*),
xlabel('length'),ylabelí"valué" ¡,
title('Measured profile in Y'i;
*
• ESCRIBE LAS LEYENDAS DE LOS 4 GRÁFICOS
textl.10,.70,*1
"."se"i);
textí.10,.67,"2...',"se");
textf.10,.64,'3---','se");
text(.10,.61,'4-.-',*se'1;
i
text(.60,.70,'5
','sc');
text(.60,.6/,'6...',"se"};
texcí-60,.64,"7
',"se"!;
Anexos-149
Anexo A-F.
Programación del LS.\f
textl.60,.61,'8-.-','se');
text. (.10, .20, '1
', 'se' I;
text(. 10, .17, '2. . . ', 'se.') ;
text(.10,.14,*3-~-",'se');
textl.10,.11, "4-.-',*se' !;
text(.60,.20,'5
','se');
text(.60,.17,'6...','&c'!;
text(.60,.14, ' 7 - - - ' , 'se');
text(.60,.11,'8-.-','se'!;
text(.45,.5, ¡'File: \ fil), 'se");
»
pause;
clg;
axis;
•
• CALCULA LAS DESVIACIONES ESTANDARD 5x2 PAPA CADA ESCAIA SEGÚN LA
• DIRECCIÓN X
• PRIMERO LA VARIANZA
for js=2:nx,
suma=sura(hx i 1:jsS) ;
aed=suma/js;
sx2 (js-1) «(suralhxi 1: js j .' 2 ) •*• < js*mecT2) - (2*med*suma ) ) / JÍ.;
end
%
• SEGUNDO LAS sx2
w
sx2=sqrt(sx2);
%
t CALCULA LAS DESVIACIONES ESTANDARD sy2 PAPA CADA ESCALA SEGÚN LA
• DIRECCIÓN Y
%
• PRIMERO LA VARIANZA
Anexos-150
Anexo A-F.
for
l'rojirunuicifHi tlc¡ ¡ SM
js=2:ny,
suma=sum(hy(1:js) ) ;
med»suma/js;
s y 2 ( j s - l ) = ( s u m ( h y ( 1 : ] s ) . *2) •» i 3 s T r , e d * 2 ) - (2*med*sum.-U ) / j s ;
end
» SEGUNDO LAS s y 2
(!
sy2>*sqrt ( s y 2 ) ;
«,
* CALCULA LAS DESVIACIOIJES ESTÁNDAR!.' spertx PARA CADA PERFIL 3EGUM !,A
» DIRECCIÓN X
% PRIMERO LA VARIANZA
j = 0;
for i=l:pasy:ny,
for js»l:r.x,
*
SEGÚN EL SENTIDO W -> E
suma»sum(A(i,1:js,);
med=suma/js;
sper fx (j,js)»(3unitA(i,l:j5).''2)*<js*med"2)- (2*med*suma) J / js ;
i
SEGÚN EL SENTIDO W <- Z
sumaosum(A(í,nx:-1:(nx-js + 1) ) i ;
med=suma/js;
sperfxl(j,js)*(sum(Aíi,nx:-l:(nx-js+1)).' 2) +(js'med'2)-
(2*med*suma))/js;
end
end
%
% SEGUNDO LAS sperfx
*
sperfx=sqrt(sperfx);
sperfxl=sqrt(sperfxl);
%
Aneios-151
Anexo A-F.
I'ri'jramacion
• TERCERO PROMEDIA ENTRE LOS DOS SENTIDOS W - >
E ,
<hl ISM
W • - V.
s p e r f x = ( s p e r f x + s p e r f:-;] i !Z¡
•
E L I M I N A LA. PRIMERA COLUMIJA DE CEfOS
sper f x=sper f x ! 1: 9, 2 : r.x •
clear
iperfxl;
•
• CALCULA I-AS DESVIACIONES E S V A W A v D speiíy ?'Ai'.\ CADA r E R r ; L SEGÚN Í.A
• DIRECCIÓN Y
*
• PRIMERO LA VARÍ A»;;. A
*.
j"=0;
fot 1 = 1 : pasx : n>:,
for
1s=l:ny,
SEGÚN EL SENTIDO H <- S
suma = s u m ( A 1 I : ; s , i IS;
rr.ed=su~i3/ 3 s ;
s p e í f y ( 3 , 7 5 ) = i s u m í A í 1 : 3:1, 1 ) . ' .". : * i s ' m e d ' 2 ¡ - | 2*n ; eci* suir.á ) } / 3 s ;
•
SEGÚN
EL SENTIDO }«' -:- S
s u m a ^ s u n i A ( n y : - 1 : f n y - 3 s-t i ! , : : 1 ;
me d = s ur<a / 3 s ;
s p e r f y l ( 3 , j s . ) = (su.T¡<An-iy: - 1 : ; r ; y - ] s * 1 ) , 1 ) . ' 2 ) 1 f ] s * r , e d ' 2 l (2*med*suma)I/35;
cnd
end
» S E C U N D O LAS sperfy
%
sper£y=sqrtIsperfy);
sperfyl=sqrt(sperfyl);
» T E R C E R O PROMEDIA EHTRE LOS DOS SENTIDOS N -> S , U <- S
Anexos-152
Anexo A-F.
l'rof¡rt>tmicion iitl /NA/
sper f y» ( sperf y+sper f y 1 ! /?.;
%
f ELIMINA LA PRIMEPA COLUMNA DE CEPOS
sperfy=sperfy(1:9,2:nyí;
clear sperfyl;
clear A;
• REAJUSTA LOS VECTORES VE ESCALA PAPA LAS REGRESIONES Y DIBUJOS
hx*hx(2:t x ) ;
hy«hy(2:ny);
»
» CALCULA EL RANGO DE VALORES PAPA AJU5TAR LOS GRÁFICOS EN LOS EJES
•
m i n y « l o g 10 (min (min (min ( s p e r f x ) ) , min (r.j n ( s p e r f y) ! ) ) ;
m a x y ^ l o g l O ( m a x ( m a x ( m a x < s p e r f x ) ) , m a x ( m a x j s p e r fy i ) ; ) ;
m i n x = l c g l O (min (min (min ( h x ¡ ) , m i n írrún (hy) ! ! I ;
maxx^loglO(max(max(max(hx)),max(max(hy) ) ) ) ;
axis({minx,maxx,miny,maxy}) ;
•
• CALCULA LOS VALORES DE H PAPA CADA PERFIL E!J X
• SEGÚN UNA REGRESIÓN LINEAL BILOGARÍTMICA
il = find(sper £x(1, :)>2e-4);
logx=loglO(hx(il)S;
IogS=lcglO(sperfx(1,il)) ;
fit=polyfit(logx,logS, 1) ;
H(l)=fit(1);
i2=find(sperfx(2,:)>le-4) ;
logx=Iogiü(hx(i2)5 ;
logS=loglO(sperfx(2,i2) ) ;
fit=polyfit(logx,logS,1);
H(2)=fit(lí;
i3=find(sperfx(3,:)>le-4);
logx=loglO(hx(i2));
Anexos-153
Anexo A-F.
Pntjirfímación ilcl 1.SM.
logS=loglO(sperfx(3,i3) ) ;
fit=polyfit(logx,logS, 1) ;
H(3)=fit(l);
i4=find(sperfx(4,:)>le-4);
Iogx=logl0(hxfi4));
logS=loglO(sperfx(4,i4) ) ;
fÍt=poiyfit(logx,logS, 1) ;
H(4)=fit(l);
i5=find(sperfx(S,:)>le-4);
logx=loglO(hx(-. 5) ) ;
logS=loglO(sperfx(5,i5)>;
fit=polyfit(logx, logS, 1) ;
H(5)=fit(l);
i6=find(sperfx(6,:)>]*-4) ;
logx=loglO(hx(i6));
logS=loglO(sperfx(6,i6));
fit=polyfit(logx,logS, 1 ) ;
H(6)=fit(1|;
i "7 = f ind (sperfx (7, : ) >le-4) ;
Iogx=logl0(hx<i7));
Iog3=logl0(sperfx(7,i7));
fit=polyfit(logx,logS,1);
H(7)=fit(l);
i8=find(sperfx(8,:)>le-4);
logx=loglO(hx(i8));
logS=loglO(sperfx(8,18));
fit=poxyfit(logx,logS,1);
H(8)=fit(l);
i9=find(sperfx(8,:)>le-4);
Iogx=logl0(hx(i9));
logS=loglO(sperfxí 3,i9í i;
fit=polyfit(logx,logS,1);
H(9)=fit(l);
%
% PROMEDIA LOS H CALCULADOS PARA LA DIRECCIÓN V.
%
Hmx=sum(H)/9;
Anexos-154
Anexo A-F.
¡'rogmimu
¡on </W / S\!
%
% DIBUJA L A S std¡hx¡ y las std[Zj COMO v s . hx PARA LOS fi PEBFI LE.'- Et; X
* C O N SU LEYENDA
%
subplot(221) ,
loglog(hx,sx2,hx(í11,sperfx(1,i 1 ) , ' * ,hx(i2),sperfx(2,i2¡, ':',hxti3),speríx(3,i3¡, *-',hx(i4),sperfx(4,i4), '-. • ) ,
xlabel('length').ylabel('std'),
tltlef'SELF affinity-similaríty"¡;
subplot (222) ,
loglog(hx,sx2,hx(iS),sperfx(5,i 5 ) , ' ',hx(i6).sperfx(6,i6), ':',hx(i7),sperfx(7, i7) , '-',hx(i8) .sperfx(8, i8) , ' - . ' ) ,
xlabel('length"),ylabelI'std' ) ,
titlei'SELF aff ínity-similan t y ' ) ;
text ( 45, .97, 'K direction','sc'l;
text { 35, • 73,'
text ( 35, • 70, [
'1
H'.'se');
*,num2str(H(l))], •se1)
text ( 35, • 67, l•2.. .',num2str(H(2))], 'se')
text ( 35, .64, ('3--- ',num2str(H(3i)], •se']
text ( 35, • 6 1 , i•4-.- •,num2str(H(4j)], 'se' )
text ( 85, .73,'
text ( 85, • 70, [
'5
H'/sc');
•,num2str(H(51)], •se' !
text( 85, • 6 7 , [
*6. . .• ,nura2str(H(6))], •se" )
text( 85, • 6 4 , [•7
•,num2str(H(7))], 'se' )
text ( 85, .61, [•8-.- ',num2str(H(8))], •se' )
% CALCULA LOS VALORES DE H PARA CADA PERFIL EN Y
* SEGÚN UNA REGRESIÓN LINEAL BILCGARITMICA
%
il=find(sperfy(l,:)>le-4);
logy=logl0(hy(il));
logS=logl()(sperfy(l,il) ) ;
fit^polyfit(logy,logS,1);
H(l)=fit(l);
i2=find(sperfy(2,:)>le-4);
A nexos-155
Anexo A-F.
I'ntgramocion
loqy=loglO(hyIi2));
loqS = loqlO(sperfy 12, i2) ! ;
£it=polyfit(logy,logS, 1) ;
H(2)=fit(1);
i3=findísperfy(3,:)>le-4) ;
logy=loglO(hy(i3)) ;
logS=loglO(sperfy(3, i3! I ;
fit=poly£it(logy,logS, 1) ;
H(3)=fit(l);
i4=find(sperfy(4,:)>le-4);
logy-loglO(hyu4I|;
logS=ioqlO(sperfy(4,i 4 ) ! ;
£it=polyfit(logy,logS,1);
H(4|=fit(ll ;
ib=tindísperfy(b,:)>le-4);
}ogy=loglG(hy(i5t);
logS=loglOísperíy
ib,ibi);
fit=polyfit(logy,logS,1);
H(5)=fit(l);
i6=findísperfy(6,:)>le-4);
logy=loglO(hyíi6¡);
logS=loglO(sperfy(6,i6i);
fit«poly£it(logy,looS,1);
H(6)=fitllí;
i7=find(sperfy(7,:j >le-4 i;
Iogy=logl0ihy(i7i);
logS=loglO(sperfy(7,i7)i;
fit^polyfit(logy,logS,1);
H{7)-£it(l);
i8=find(sperfyi8,:S >le-4);
logy=loglO(hy¡183);
logS=loglO(sper£y!8,i8));
fit=polyfit(logy,logS,1);
H(8)=fitíli;
i9=find(sperfy(8,:)>le-4);
logy=loglO(hy(i9));
logS=loglG(sperfy(9,i9)i;
Anexos-156
</<'/ IS.\f.
Anexo A-F.
íit«=polyf
/'nigriimaí mu del ¡ S\i
l t ( l o g y , l o g S , 1) ;
H(9)=fit(l);
*> PROMEDIA LOS H CALCULADOS PARA LA DIRECCIÓN V
t,
Hmy=sum(H)/9;
* DIBUJA LAS std(hy] y las std[?.) COMO vs. hy PARA L.XS 8 PF.HFI LF.r; EN Y
• CON SU LEYENDA
subplot(223),
loglog(hy,sy2,hy(i 1),spe;fy(l, xl s, *',hy(i2),sperfy(2,i2), ' : ',hy(i3l .sperfy(3, 13;,'-',hy(i4>,sper£y(4,i4),'-.'),
xlabel('length'),ylabel í "std'),
title [ 'SELF af f ini ty-siir.i larity' ) ;
subplot(224),
loglog(hy,sy2,hy(i5).sperfy(5, iS), '',hy(i6).sperfy(6.i6),':',hy(i7),sperfy(7, i7), • •-•,hyU8),sperfy(8,i6),'-.'),
xlabelClength'),ylabel(*std'),
title('SELF affínity-similarity');
text(.45,.0,'Y direction','se'];
text(.35,.23,'
text(.35,.20,('1
H.'sc');
*,num2str(Híl \ ¡j.'sc');
text(.35,.17,("2...',num2str¡H<2))],'sc'S;
text (.35, . 14, í '3
'.nuitóstr íH(3) j ) , 'se') ;
text(.35,.11,['4-.-',num2str(H(4i
text(.85,.23,'
text(.85,.20, ['5
í),'se');
H','sc');
',num2str!H(5)!J, 'se');
text(.85,.17,['6...',num2str(H<6))j,'se');
text(.85,.14,["7
',num2strÍH(7))],'sc'l;
text(.85,.11, ['8-.-',num2stríH(8))], 'se');
%
text(.45,.5,['File:',filj, 'se') ;
%
pause;
Anexos-157
Anexo A-F.
I'rttgramacion </*'/ l¿i.\f.
• PRESENTA LOS H PROMEDIADOS PAPA CADA DIRECCIÓN'
disp('Valores del exponente de HURST:');
Hmx
Hmy
• REORDENE LOS RESULTADOS Y PREPARA LAS SALIDAS
sper f x= [hx;sx2; sperf >:] ;
sperfy=[hy;sy2;sperty] ;
sperfx-sperfx';
sperfy=sperfy';
eval(['save
*,dirout,'\sperfx.dat
sperfx
/ascii1));
eval(['save
'.dirout,'\speify.dat
sperfy
/ascii']);
»
clear;
clg;
break;
stop;
Anexos-158
Anexo A-F
Prof¡ramtu ion </W /..VA/
Descripción de LSM4.m
A-F.4.
Es un programa de análisis fractal de superficies procedentes de proíilometrías
realizadas sobre un campo bidimensional de valores, que son los que se analizan,
distribuidos sobre un plano
Discrímina
igualmente sobre
el
comportamiento
autosemejante y/o autoafin, y calcula el expoenente de Hurst, según las vaiíanzas
calculadas de los datos, como se ha explicado en la teoría anterior
1 > Algoritmo
<
de la primera posicióoV
i j a la última n n / ^
C
Representación GRÁFICA
de lo» datos («do*
Calcuta la»
desviaciones «standard
para las posiciones i j
según las Afecciones
diagonales
j
Calcula H promediado ps.-a |
cada dirección diagonal
medrote una regresión
hneal Mogarrtmica
Cálculo del vector de
escala de área
Aproxima la recta
de regresión
c
Representación GRÁFICA
de los cálculos
)
2> Código en MATLAB
LSM4.m
ver. 1 1995
PROGRAMA DE ANÁLISIS FRACTAL DE SUPERFICIES
Anexos-159
AflGXO A-F.
Programación del LS\f
PROCEDENTE DE PROFILOMETRIAS DE UN CAMPO BIDIMENSIONAL
PARA LA DISCRIMINACIÓN ENTRE EL COMPORTAMIENTO
»
AUTOSEMEJANTE Y/O AUTOAFIN
t
A PARTIR DE LA IDENTIFICACIÓN DE:
•
-EXPONENTE H
%
-LA ESCALA He
SEGÚN LOS RANGOS DE ESCALAS CORRESPONDIENTES
*
• Se parte de los datos de un fichero de entrada dondo se almacenan
• los valores del campo aleatorio Z:
k
Fichero de entrada con formato:
•
n::
•
ny
'*
z (1)
?
z<2)
zlnx'nyl
• Se toman los cuatro sentidos sobre las dos diagonales del
• dominio y se hace aumentar el numero de celdas cubiertas
•i de las que se calcula la varianza del valor que contienen
• en conjunto:
D
'•
»
C
I
I
A -> C
í
I
B -> D
'
i
A <- C
I
I
A
B <- D
B
» La varianza del can^po aleatorio Z dependen de la unidad
• de área S usada en los perfiles, según:
«
Var[Z] = S"H
% de donde se obtiene H, el exponente de Hurst (0<H<1), mediante
% una regresión lineal bilogaritmica.
i
% La dimensión fractal latente es:
«
D = 1/H
Anexos-160
Anexo A-F.
I'ro^ramtu ion </W 1SM
* Las e s c a l a s Nc se o b t i e n e n por los cari? i o s hriis-D?. dt
penciient
* en la Var(Z) v s . S, y p r o p o r c i o n a n i o s ran JOS de e: -a;.!.-., .-.ionde
* se producen l o s candios de c o i r . p t r t a m e r l : . r
de ,v.¿'.•. sr':-¡--rir,:-• .1
* autoafin.
'*
*
Programación: D.K.A.M.I.
E.T.S.I. de Minas
*
? C. PAREDES 1
'* Referencias:
%
*
MATSUSHITA.M.; OUCHI.S.
(^B?)
*
On the self-affinity of various curves.
*
Physica D38: 246--2M.
*
%
OUCHI,S.; MATSUSHITA.M. (1992)
Measurement of the self-affinity on surfaces, a erial
*
application of fractal geometry to landform analysir..
'••
Geomorphology 5: 11b-130.
'*
Ficheros de salida: con forróte:
*
SPERF.DAT
S
Var[2j
•
?
SALIDA de resultados en el directorio:
*
di rout ='C:\WINDOWS\MATLAEWI\L0ADSAVE'
i
dirout='C:\WINDOWS\MATLABWi\LOACSAVE'
i
clg;
»
% LECTURA DE DATOS DE file A MATRIZ A(i,1'
¿
dire=input{'Directorio de datos:','s'i;
fil=input('Fichero de datos:','s'i;
incr=input('Paso de muestreo en los datos:');
evaKI'load * ,dire, ' \ ', fil ]) ;
lf=size(fil);
file=eval(filíl:lf(2)-4 5);
Aneios-161
li.f'.M
Anexo A-F.
Progrtwiíiiion tlfi /..VA/
nx=file(l)
n»ny;
T
• PASA LOS DATOS LEÍDOS DEL VECTOR lile A LA MATRi;* A
3-1;
for
k=l:nx*ny
i=*k~(3-11*nx;
Aíi,j)*file(k»2j;
i £ k /n round (k /n) -- •- 0; j = j • 3; end
eiid
d i s p í ' D A T O S leídos y cransícrr.adoí
clear
FJLE->A'};
file;
• DIBUJA TRIDIMENSIONALKENTE LOS DATOS LEÍDOS
axis('square');
subplot < 121) ,mesh (A¡ , title ! "Measured Rá'-.dc,.. Field Data*;;
•. CREACIÓN DE LOS VECTORES DE ESCALA 5 SEG'JJJ LA ESCALA DE MUErTREO
incr
S*(incr«(l:n¡!."2;
•
• CALCULA LAS VARIAN2A sperf PARA EL CAMPO ALEATORIO SEGÚN LAS
DIAGONALES
for js=l:n,
•
SEGÚN EL SENTIDO A - > C
surr,a=suin{suir¡!A í 1 : j s , I : j .' J 5 ) ;
i?<ed=su3r,a/íjs / v 23 ;
s p e r f A í j S j = {suai{suri<Aíl: j s , l : j s ) . " 2 ) j + í ( j s ' 2 i *med'2) -
<2*med-susía} ) / ! j s " 2 } ;
í
SEGÚN EL SENTIDO B < - D
s u E i a = s u i a { s u m { A í n : - 1 : <n- j s + 1) , 1: j s ) j ¡ ;
ned=suma/íjs'2) ;
Anexos-162
Anexo A-F.
Programación del l.SM
sperfB( js) Msum(sum(A(n: --1 : tn-js + 1! , 1 : js) . A2i ) + < M s ' 2 ) •ir.ecl*? i
<2*med*suma))/(js"2> ;
«
SEGÚN EL SENTIDO A <- C
suma«sum(sum(A(n:-l;(n-js + 1i,n:- 1: \n- js + 1 S ) ) ! ;
med^suma/(} s * 2 ) ;
sper£C(js)=(sumísum(A(n:-l:(n-js+l),n:-l:(n-
js + l))."2))+((js'2) *med"2) - ( 2*med* suma ) )/ i^s'2)
%
;
SEGÚN EL SENTIDO B <- D
suma»sum(sum(A(l:js,n:-l:(n-js+l))l);
med=suma/(JS"2!;
sperfDt 33)«(sum(sum(A(l:]s,n:-l:¡n-js*l))."2¡) + ( M s V . -med'2)-
(2*med*suma>)/(TS"2);
end
* TERCERO PROMEDIA ENTRE LOS DOS SENTIDOS
A - > C , B - > D , A < ~ C , B
<- D
sperf«(sperfA+sperfB+sperfC+sperfD)/A;
* ELIMINA LA PRIMERA COLUMNA DE CEROS
sperf^sperf(2:n);
clear sperfA; cleat sperfB; cle^r sperfC; clear sperfD;
clear A;
%
¿
_ REAJUSTA LOS VECTORES DE ESCALA PAPA LAS REGRESIONES Y DIBUJOS
*
S=S<2:ni;
* CALCULA LOS VALORES DE H SEGÚN UNA REGRESIÓN LINEAL BILOGARÍTMICA
i
i.-find(sperf>le-4);
logx=loglO(Síi));
logS=loglü(sperf(i));
fit=polyfit(logx,logS, 1) ;
H=fit(l);
Anexos-163
Anexo A-F.
Programación del lS.\f.
% CALCULA LA CURVA (RECTA EN BILOG) QUE AJUSTA L/ REGRESIÓN ABTERIOR
%
base=10;
sfit=polyval(fit,logx);
fitplot=base.Asfit;
I DIBUJA LA std[Z] vs. S, CON SU LEYENDA
s
x.tiax=max ( l o g x ) ;
xmin=min(logx);
ymax^max((max(sperf),max(fitplot)]!;ymax=loglO(ymax);
ymin=min([min(sperf),min(fitplot)));ymin=loglO(ymin) ;
ax*s('normal');
axis((xmin, xmax,ymin,ymax));
Subplot(222),loglog(S,S,':',S(i),sperf(i),S,fitplot,'--'),
xlabel Carea S'),ylabel('Var'),
title('SELF affinity-similarity');
%
text(.60,.35,['File:',fil],'se');
%
text(.60,.25,'
text(.60,.20, *
std[Z]',"se");
FIT stdfZ]','se');
s
text ( .60, . 15, [ *H==',num2str (H) ], 'se' ) ;
pause;
%
% PRESENTA LOS H PROMEDIADOS PARA CADA DIRECCIÓN
%
d i s p C V a l o r d e l exponente de HURST:');
H
%
% REORDENA LOS RESULTADOS Y PREPARA LAS SALIDAS
%
sperf=[S;sperf;fitplot];
sperf=sperf';
Anexos-164
Anexo A-F.
Programación ticl /.S.\ I
save C:\WINDOWS\MATLABWI\LOADSAVE \sarea.dat sperf /asen,
«.
axis;
clear;
clg;
break;
stop;
%
Anexos-165
Anexo A-G.
Subrrutmay ¡.OCAl.H y fíl 'RSJ'para el cálculo del cxjxmcntc II
A-G.
Algoritmos v códigos para la
programación del cáiculo del exponente de
Hurst.
A continuación se presentan dos algoritmos, con sus respectivos programas para
el cálculo de H, de la forma cómo ha sido expuesto en la teoría anterior Hl primero se
basa en las técnicas de segundo orden En en segundo se expone la implementación de la
técnica desarrolada por Hurst, esto es, la determinación del rango R y de la desviación
estandard S para que en función de su dependencia con el lag x, se determine H Las
variables comunes que utilizan ambas son
fiiein &ficherode donde se leen los datos
X e vector en el que se almacenan los datos de la serie
krnax n número de datos leídos
Anexos-166
Anexo A-G.
Subrrultntis ¡,Ü< 'AUI y Hl K.S7 pora el cahuín </<•/ expoiii-nti' II
Subrrutina LOCALH:
A-G/L
En esta subrrutina se determoina el valor del exponente de Hurst mediante el
método de los momentos locales de segundo orden, en forma de correlaciones, en la
serie temporal Se supone que los datos no poseen tendencia por lo que no se estima su
esperanza
í
(^INICIO^)
moml = moml * Dxl"
mom2 = mom2 + Dx2"
^lectura de datos
X, kmax
4,
expprod
p=
+
iniciaiización
moml = 0
mom2 = 0
expprod = 0
<r
V ' moml*mom2
+
+
= 1. kmax-(2*lag)^><~<2)
±
H
"
log(2 + 2*p)
log4
lag
Dxl ' X(i+lag) - X(i)
Dx2 = X(i+2*Iag) - X(Mag)
+
p
H
+
moml = momI+Dxl2
mom2 = mom2' Dx22
lag = 2*lag
"«—H
¿
(^INICIO
)
Las variables principales con significación que esta subrrutina utiliza son:
moml & momento de 2o orden del primer incremento a At
mom2 s momento de 2o orden del segundo incremento a 2 At
expprod & esperanza del producto de ambos incrementos ó correlación
rho s correlación p entre incrementos
H s exponerme de Hurst estimado (ocalmente
Anexos-167
Anexo A-G.
Suhrrutinas LOCALH y HVRST para el calculo del txponcnle H
subrrutina LOCALH
C
DECLARACIONES
C
C
real mean,moml,mom2,H
real minx.maxx
character*12 filein
common/DATA/x(10000),kmax,filein
lag-1
write(6,'(////"
subrrutina LOCALH:calculo local de H por
corr
Selacion entre incrementos'"/'' (output file: LOCALH.DAT
H)
open(unit-l,file-'LOCALH.DAT')
write(l,*)filein
10
continué
moml»0.
mom2»0.
expprod«=0.
bucle para el punto de comienzo:
do i «=l,kmax-(2*lag)
deltaxl=x(i+lag)-x(i)
deltax2=x(i+lag+lag)-x(i+lag)
moml=moml+deltaxl*deltaxl
mom2~mom2+deltax2*deltax2
expprod«expprod+deltaxl*deltax2
end do
rho=expprod/SQRT(moml*mom2>
H=ALOG(2.+2.*rho)/ALOG(4.)
write(6,'(
&5X, * * LAG de calculo tau=",i5,
&5X, ' ' CORR. rho=",f6.4,
65X,'' H(rho)="',f6.4)')
&lag,rho,H
A nexos-168
Dt rho
Anexo A-G.
Subrrutmay l.OC'Al.Hy Hl 'RSTpara el cálculo del expotwnle II
i f(rho.lt.-0.5)then
write(6,'(15X,'' ATENCIÓN!! rho< -0.5 — > h<0•')')
end if
writs(1,•)lag,rho,H
lag«2«lag
if(lag.le.k)goto 10
cloee(l)
return
end
Anexos-169
Anexo A-G.
A-G.2.
Subrrutmas LOCALHy HURSTpara el cálculo del exponente H.
Subrrutlna HURST:
En esta subrrutina se determoina el valor del exponente de Hurst mediante los
métodos descritos por Hurst del rango y la desviación estandard Consta de dos partes,
una primera en la que se calcula R y S suponinedo que la serie no posee media nula
(proceso denominado Pl) y el segundo (proceso denominado P2) en el que se ha
supuesto de media nula Ambos se encuentran dentro de un bucle genral que permite el
movimiento a lo largo de toda la serie hasta la mitad, para evitar que se den variaciones
dentro de los cálculos de las varianzas
c
Lectura de datos
X
kmax
k = kmax / 2
r<
i = 2, k
Proceso Pl
Proceso P2
Anexos-170
>
Anexo A-G.
Subrrulmas l.OCAUiy
Proceso Pl (i)
Proceso P2 (i)
-KC I - 1 , kmax-i >
T
- • ^ ^ t a b = I , kmax-i, paso i
1
H( 'RSTpara el cálculo del cxponcntc //
"
-
mom2 = mom2 ^ (X(l+ i)-X<l)):
calcula la media
deX(itab+it-I),it= I ,i
I - K T m = l+l.H"T">
i
calcula la desviación estándar S
deX(itab+it-l);it = 1 ,i
_
minX = MIN(X(m))
maxX = MAX(X(m))
calcula el rango R
deX(itab+it-l),it = I ,i
rango = rango + maxX - minX
rango - rango / (kmax-i)
mom2 ~ mom2 / (kmax-i)
mom2 =\Jmom2
promedia las (kmax-i)/i veces
RyS
R S
i rango mom2
Retorno
Retomo
Las variables que más importantes que se utilizan en los algoritmos anteriores son
las siguientes:
k » máximo lag tomado en el proceso de cálculo
R « rango para el proceso I
S s momento de segundo orden para el proceso 1
Xsumt s función acumulada de X en el proceso 1
range » rango para el proceso 2
mom2 s momento de segundo orden para el proceso 2
minX & mínimo de la función acumulada de X
maxX s máximo de la función acumulada de X
subroutine HURST
c
c
DECLARACIONES
c
real mean,moml,mom2,H
Anexos-171
Anexo A-3.
Suhrruiinas l.CXWl.ll y HVRST pora el cálculo del expórtenle II.
real minx.maxx
character*12 filein
comnon/DATA/x(10000),kmax,filein
C
k=INT(kmax/2)
C
writeíé.'C" (output file:HURST.DAT
&tau R/S R S GEOS tange mom2)'',/)')
open(unit-l,file-'HURST.DAT")
write(l,»)filein
C
do i»2,k
range-0.
mom2>0.
R«0.
S«0.
C
PROCESO Pl
do itab«l,kmax-i,í
mean»0.
St«0.
do lt-l,i
roean-tnean+x{
itab+it-1)
end do
mean«mean/FLOAT{i)
do it-l,i
St«St*((x(itab+it-l)-i»can>*(x(itab+it-l)-mean))
end do
S«SQRT(St/FLOAT(i))*S
Xmin»l.E19
Xmax—1.E19
do
it«l,i
Xsumt»0.
do
iu*l,it
Xsurnt =Xsumt + (x { i t a b * i u - 1 ) - m e a n )
end
do
Xmin=AMINl(Xjnin,Xsumt)
Xmax» "U4AX1 {Xmax, Xsumt)
Anexos-172
Anexo A-G.
Subrrutinas LOCAL// y HURSTpara el cálculo del exponente //.
and do
R»(Xmax-Xmin)+R
end do
R-R/INT(FLOAT(kmax)/i)
S-S/INT(FLOAT(kmax)/i)
RS-R/S
;
PROCESO P2
do 1*1,kmax-i
mom2*mom2+(x(l+i)-x(L) )**2.
minx-x(l)
maxx-x(l)
r'O m*l+l,l+i
roinx-AMINl(roinx,x(ro))
maxx-AMAXl(raaxx,x(m))
end do
range-range+raaxx-minx
end do
range»range/FLOAT(kmax- i)
mom2-room2/FLOAT(kmax-i)
mom2-SQRT(mom2)
GEOS-RS/SQRT(FLOAT(i))
write(X,100)i,FLOAT(i)/2,RS,R,S,GEOS,range,roora2
write(6,•(•• LAG de calculo tau»'*,i4)')i
end do
100
format(l5.7fl2.4)
C
cl08e(l)
Las dos subrrutinas aquí expuestas (LOCALH y HURST) son parte de un código
escrito en Fortran 77, que se denomina DFT, para el análsis fractal dinámico de series
temporales, y cuyo programa principal se encuentra en los anexos A-I
Anexos-173
Anexo A-H
WIMPLEX y DIMCORR subrrultnas para análisis /racial
dinámico.
A-H. Códigos para el análisis dinámico de
seríes temporales.
Las dos subrrutinas que se encuentran a continuación permiten realizar el análisis
dinámico de seríes temporales, para la obtención de la dimensión de correlación vía
integral de correlación Se basan en los trabajos de [FOWL-93], [GRAS-S8] y (GRAS90], en los que se pueden encontrar las descripciones de algoritmos sencillos para estos
cálculos, pero aquí se presenta una versión mejorada de los mismos que permite una
mayor aproximación, aunque a costa de un tiempo de cálculo mayor Hsto, que aunque
en un principio puede suponer un problema, no lo es ya que puede dimensionarse el
programa a las exigencias de precisión y de equipo informático Los resultados, que son
escritos dentro de los ficheros REMBED DAT y DIMCORR DAT, en formato ASCII,
deben de ser postprocesados con un programa gráfico, con el que, dependiendo del
comportamiento de la serie témpora estudiada, las fucniones resultantes para cada
dimensión de embedding podrán ajustarse a una recta de regresión, cuya pendiente, tal y
como ha sido expuesto en la teoría, nos indicará la dimensión del atractor
A-H.1.
Subrrutina WIMPLEX.
En esta subrrutina se calcula la correlación de los valores extrapolados, para cada
lag T (que suele tomarse de 0 a 4) de la serie, mediante tres técnicas una denominada de
orden cero, otra con ponderado exponencial inverso a la distancia, y otra con ponderado
exponencial. Los cambios en las correlaciones calculadadas para cada dimensión de
embedding, y por lo tanto, para cada vector m-dimensional tomado en la serie y que se
extrapola, permiten conocer, según el valor de m donde se da la máxima correlación, la
dimensión de embedding a partir de la cual el atractor se encuentra reconstruido
SUBROUTINE WIMPLEX(tau,membed)
C
dimensión da(15,10000),sda(16)
real ir,iri,ire
integer sdi(16)
integer dt,d
Anexos-174
Anexo A-H.
lt'¡\ff'LEXy
DIMCORR suhrrvlinas para análisis frac luí dinámico
character*12 filein
common/DATA/x(10000),kmax,filein
C
write(6,'('' (output file:REHBED.DAT
tau d-embeddding r.O r.ie
r.
fie)'•,/)•)
ockinax+l
open(1,file«"REMBED.DAT•)
write(l,*)filein
write{6,'(/•'
TAU
d-embedd
r(orden 0)
ri(inv-e
fixp)
re(«xp)")')
do 10 dt»0,NINT(tau)
ir-0.
iri-0.
ire»0.
do 20 d«l,roembed
do c-l,d
do n"l,m-d-l
dj(c,n)»x(n*c-l)
end do
end do
C
inicializacion de variables estadísticas para cada d-embedding
C
según cada tipo de interpolación 0-ie-e.
8X«0.
sy-0.
Byi"0.
aye>0.
8x8*0.
sys-0.
syi8»0.
sye8»0.
sxy=0.
sxyi=0.
sxye*0,
C
C
BUCLE DE PREDICCIÓN
Anexos-175
Anexo A-H.
H'IMPLEX y DIKfCORR subrrutinas para análisis /racial dinámico.
C
C
mm se elige como punto de partida en la serie temporal
C
para predecir, m-d es el final
C
do 30 mm=l,m-d-dt
emdi8=l.E5
do j-1,11
ada(j)»l.E4
end do
i»0
C
C
nn es el punto inicial en la serie temporal para la que
C
se hace la predicción
C
do 40 nn-l,m-d-dt
i f(nn.gt.mm)then
dis»0.
c
C
toma los m-embedd vecinos mas próximos
C
do cc«l,d
dÍB«diB«-{ (da(cc,mm)-da(cc,nn)) **2. )
end do
C
C
agui fija el numero de puntos
C
tdis«SQRT(dÍ8)
dc=d+l
sp«d+l
c
if(rdis.gt.sda(dc))then
c
write(6,*)"rdis»",rdis,' >',sda(dc)
c
end if
1
continué
if((rdis.lt.sda(dc)).and.(dc.gt.O))then
dc^dc-1
goto 1
end if
Anexos-176
Anexo A-H.
tl'JMPLEXy D1MCORR subrrvUnas para análisis fractal dinámico
do d d c = s p , d c + 2 , - l
8da(ddc)-ada(ddc-l)
8di(ddc)»sdi(ddc-l)
end do
8da(dc+l)=rdi8
Bdi(dc+l)=nn
end if
40
continué
amdi=8di(l)
xp~da(1,mm+d+dt)
y"0.
yi-0.
yo*0.
tme»0.
tmi-0.
do dd*l,d+l
C
C
predicciones :
C
C
ponderado inverso-exponencial de la distancia entre vecinos
yi-yi+((l/(Bda(dd)+.000001))«*2.)*da(l,sdi{dd)+d+dt)
tmi-tmi*{(l/(sda(dd)+.000001))*«2.)
C
C
ponderado exponencial de la distancia entre vecinos
ye-ye-M (sda(dd))**2.)*da(l,sdi<dd)*d+dt)
tme«tme+(eda(dd)**2.)
C
end do
yi«yi/(tmi+l.E-9)
ye=ye/(tme+1.E-9)
C
C
predicción de orden-zero
y«da(1,srodi+d+dt)
C
C
efectúa estadísticas
ex=sx+xp
Anexos-177
Anexo A-H.
WIMPI.EX y DIMCORR suhrrutinas para análisis fracla, dinámico.
ay=ey+y
Bxy=axy+xp*y
C
syi«8yi+yi
sxyi»exyi+xp*yi
C
sye*.ye+ye
exye»8xye+xp*ye
C
8X3=8X8+((xp)**2.)
sya>8ys+((y)**2.)
ayai-ayai+f(yi)**2.)
8yae*syse+((ye)**2.)
C
ac-ac+1
30
continué
mm»ac
ac=0
C
C
calcula el coeficiente de correlación p&ra cada predicción
C
entre predictor y predecido
C
C
para orden-tero
r«(n*n*8xy)-(ex*8y)
dr«ABS( (nm>*8xs)-8x*Bx)»< (mm*8>8)-ey*sy)
dr=SQRT(dr)
r»r/dr
8l=(Bxy-(8x*By)/mni)/(8X8-(8x*sx)/mm)
c
C
para exponencial inverso
ri= (tnm*Bxyi) - (ax*ayi)
dr=ABS((mm*8xB)-Bx*8x)*((n*n*8yBi)-syi*syi)
dr=SQRT(dr)
ri=ri/dr
ali»{axyi-{sx*ayi)/mm)/(8X8-(ex* sx)/mm)
C
C
para exponencial
Anexos-178
Anexo A-H.
WIMPLEX y DIXfCORR svbrrutinas para análisis fractnl dinámico
re»(mn*exye)-(ax*8ye)
dr-ABS((mm*8X8)-8x*8x)*((mm*8y8e)-8ye*8ye)
dr-SQRT(dr)
re»re/dr
8le»(sxye-(Bx*sye)/mm)/(8X8-(Bx*8x)/mm)
write(6,*)dt,d,r,ri,re
write(l,*)dt,d,r,ri,re
20
10
continué
continué
close(l)
returr
BND
C
C
Anexos-179
AneXO A-H.
A-H.2.
MMPLEXy
DIAfCORR subrrulmas para análisis /racial
dinámico.
Subrrutina DIMCORR.
En esta subrrutina se calcula la integral de correlación mediante la aproximación
global de determinación de las distancias, utilizando la norma infinito ó del máximo,
entre los vectores m-dimensionales que se construyen con los datos de la serie temporal
Se incluyen (comentadas con C) las líneas del programa que permitirían la utilización de
ia norma euclidea, lo cual supone, en los resultados gráficos, un decalado de las
diferentes curvas de la integral de correlación para cada m. Igualmente, la utilización de
la norma euclidea, supondría un cambio en la definición de las dimensiones ya que la
distancia máxima entre dos vectores no estaría dada por el rango máximo de 'a serie
temporal Tal y como esta dimensionada la subrrutina se calculan 80 valores de la
integral de correlación, si se desea redimensionarla puede cambiarse este valor por el que
se encuentra en la segunda sentencia de la misma parameter(iongtot*8i) añadiendo
uno más al deseado
Finalmente se incluye un subprograma interno que determina la entropía de
Kolmogorov • Smirnov de la serie temporal utilizando la aproximación que se expone en
[GRAS-83c]. También se puede incluir el cálculo de la lacunaridad fácilmente como se
indica en Theiler [ 1988]
c
SUBROUTINE DIMCORR(epB.membed,rang)
C
paraneter(longtot-81)
dimensión dd(15,10000),ra(15,longtot),entroK(15)
integer coord,dim
real maxedistance
character*12 filein
common/DATA/x(10000),kmax,filein
C
write(6,'(•• (output file:DIMCORR.DAT
t C(L)1 C(L)2 ...
C(L)m)'•
S.//)')
n*kmax
base=10.**((1./FLOAT(longtot-1))*ALOG10(rang/epa))
C
write(6,*)'Base de calculo»",base
iepa=NINT(ALOG10(epB)/ALOG10(base))
Anexos-180
Anexo A-H.
H'lAfPLEXy DIKK'ORR subrrulinas para análisis fractal dinámico
isup-NINT(ALOG10(rang)/ALOC10(base))
rgmax«10.»*(KLOAT(isup)«ALOG10(base))
ep8min«10.**(FLOAT(iep8)*ALOG10(baae))
write(6,•)'Distancia mínima posible»',epsmin,• Índex»',ieps
write(6,*)'Distancia máximo posible*',rgmax,' index=',isup
roinl»abs(ieps)+l
open(unit«l,file-'DIHCORR.DAT')
write(l,*)filein
C
C
definición del vector embedding-dimensional para correlacionar
C
do 10 dim*l,membed
do coord•l.dim
do m»l,n-dim
dd(coord,m)«x(m*coord-1)
end do
and do
C
C
inicializacion del vector de distancia ra para cada embeddinj
do k«0,longtot
ra(dim,k)-0.
end do
maxedistance>eps
write(6,'(/,'•
CALCULANDO d-Embedding m>'',i?)*)dim
do j«l,n-dim
do i»l,n-dim
if(i.ne.j)then
edietance«ep8
do coord-l,dim
dcomp=ABS(dd(coord,i)-dd{coord,j))
edistance-AMAJCl (edistance,dcorap)
C
edi8tance*ediBtance-»(dd(coord,i)-
dd(coord,j))*-2.
end do
C
ediBtance=SQRT(edistance)
maxediBtance=AMAXl(maxedistance,edistance)
if(edistance.le.eps)then
Anexos-181
AneXO A-H.
IV/.UPLFXy DIMCORR subrrutinas para análisis/racial dinámico
l*ieps
else
l«NXNT(AUXilO(edi8tanco)/ALOG10(base))
ond if
if((1.ge.-mini).and.(1.le.iaup))then
ra(dim,1+minl)»ra(dim,i+minl)f 1.
end if
end if
end do
end do
C
C
integración de la correlación para cada m-embedding
c
max-NINT(ALOC10(maxediat«nce)/ALOG10(bftae))
write(6,*)tnaxedi8tance
C
write(6,*)'
de'.ieps,'
hasta',max+l
do k*iepe,max
r í (diin,k+ttiinl+l )-ra(dim, k*minl ) + ra(dim, k+mínl + 1)
end do
10
continué
c
C
preparación de la salida
C
do k-ieps.max
if (ra(l,k+tninl) .ne.O. )then
do m*1,membed
ra (m, k*minl)-»ra(m, k+min 1)/FLOAT(n*• 2)
end do
C
write(6,90)ba8e*«(FLOAT(k)),(ra(m,k+minl),m«l,membed)
write(l,90}baae*,(FLOAT(k)),(ra(m,k+minl),m«l,membed)
end if
20
continué
end do
close(l)
90
forraat(lx#F16.8,lx,15{F16.8,lx))
C
C
calculo asintotico de la entropia para Dt=l
Anexos-182
Anexo A-H.
H'IMPLEX y DMCORR
subrrutinas para análisis fraclal dinámico.
C
write(6,•(//'• ...Calculo de la Entropía del sictema
(pae-1)'•/>')
write(6,'(" (output file:FBNTROP.DAT
LK(L)l/2 k(L)2/3 ...
k(L)m
open{unit-l,file-'FENTROP.DAT')
write(l,*)filein
do k-iepa,max+l
do m*l,membed-l
entroK(m)«0.
if((ra(m,k+mínl).ne.O.).and.(ra(m+l,k+minl).ne.O.))then
entroK(m) «AJLOG(ra(m, k+minl) /ra(m+1, k*minl)) /4.
end if
end do
if (entroK(l) .ne.O)t'.en
write(l,90)baBe-«FLOAT(k),(entroK(m),m-l,ineinbed-l)
end if
end do
close(l)
C
return
END
C
Aneios-183
Anexo A-I.
DFT código principal para el análisis /racial de series temporales.
A-I.
DFT código principal
para el análisis fractal de series temporales.
El programa que se expone a continuación comprende el programa principal,
escrito en Fortran 77, que reúne las subrrutinas que se exponen en esta Tesis para el
análisis de seríes temporales medinate las técnicas de rango rescatado, segundo orden e
integral de correlación. Las subrrutinas asociadas a éste programa son:
HURST
LOCALH
WIMPLEX
DIMCORR
las cuales también se presentan en los anexos A-G 1. A-G 2, A - H l . y A-H.2 de ésta
Tesis Doctoral, con sus correspondientes algoritmos y programas
Las entradas de datos que precisa pemiten efectuar el resto de los cálculos
automáticamente, exceptuando que se demanda al usuario si se desean hacer los cálculos
correspondientes a cada submitina Esto es debido a que en el caso de que el número de
datos sea elevado el tiempo que puede tardar en efectuarlos (medido sobre una estación
de trabajo) puede llegar a ser de dos dias (o de una semana sobre un PC), si se le
suministra una serie de 10000 datos La entrada de datos de la serie se efectúa mediante
un fichero formateado en columna, en la que se disponen los valores de la serie temporal:
2725 0000000
27240000000
2724.0000000
2721 0000000
27240000000
27190000000
27190000000
27220000000
Anexos-184
Anexo A-I.
DFT código principal para el análisis /racial de senes temporales
escrito en ASCII Posteriormente se piden los datos para la realización del calculo (de los
que se ha expuesto ya en el texto los significados correspondientes), como son el lag t
máximo para el cálculo de la correlación entre interpolados de la serie, la precisión EPS
con la que se han medido los datos (en la lista anterior se daria un EPS = 1) que
corresponde con la cota inferior en el cálculo de la integral de correlación (la superior la
determina el máximo rango entre estos) Finalmente se solicita la dimensión máxima de
embedding m hasta la que se realizará el cálculo, cuanto más alto sea este valor más
tiempo se consumirá enfinalizarel mismo
Programa FORTRAN 77: DFT.
Anexos-185
Anexo A-l.
DFT códifto principal para el análisis fractal de series temporales.
i: : M K ' ¡ í I;'.*,
e.-f ^ r í e : , ' <? d'-
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Anexos-186
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Anexo A-I.
comer.zo
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DFT código principal para el análisis fraclal de series temporales
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stci.
Anexos-187
Anexo A-J.
CPBLOG2 análisis fractal-correlatorio-espectral
2D.
A-J.
Programa CPBLOG2 y algoritmo
para el análisis fractal-correlatorio-espectral.
Este programa puede ser utilizado para el análisis bidimensional de datos
distribuidos en una matriz. Esta escrito en lenguaje de alto nivel MATLAB, con lo que
cuenta con la utilización de sus médulos y rutinas de cálculo Realiza un análisis
correlatorio y espectral de los datos espaciales correspondientes a un campo aleatorio
bidimensional; e igualmente realiza un análisis fractal de los mismos mediante las técnicas
de variograma, covariograma y espectro de densidad de varianza, según todo el rango de
direcciones en el espacio. Así como también estima la función de distribución de los
mismos, analiza la fase del campo aleatorio, y determina parámetros, como la topothesy,
de interés para la cuantificación de aspectos texturaies de rugosidades
Programa CPBLOG2
%
%
%
%
PROGRAMA DE ANÁLISIS BIDIMENSIONAL FRACTAL
CORRELATORIO ESPECTRAL FRACTAL
CPBLOG2
%
%
ver 4/ABR/95
% lectura de datos de file a matriz A(i,j)
clg
clear,
dire=inputCDirectorio de datos.', V).
fil=input(Tichero de datos'.'s');
delta=inpuH "Escala de muestreo :'),
eval(Poad '.dire.'Y.fil]),
lf=size(fil);
fiIe=evaI(fil(l:lf(2)-4));
n=file(l)
Anexos-188
Anexo A-J.
CPBI.OG2 análisis fractal-correlatorto-espectral
for k=l:n*n,
i=k-(j-l)*n,
filehist(k)=file(k+2),
A(ij)=file(k+2),
¡f k/n-fix(k/n)=0 j=j+1 ;end
end
A=rot90(A);
dispCDATOS leídos y transformados FILE >A'),
dispC),
% calculo del histograma muestral [x,nh]
(nh,xj=hist(filchist,30);
nh«nh*(100/nA2);
[x,nh]=bar(x,nh);
% calculo de la esperanza y varíanza muestral vari
esp=(sum(sum(A)))/(n*n),
var=(sum(sum(A A2))+(n*n*espA2)-2*esp*sum(sum(A)))/(n*n),
A=A-esp;
varl=(sum(sum(A .A2)))/(n#n);
clear dire.clear If,
clear file,
clear filehist,
axisCnormal),
subplot(121),mesh(A)>titíe<,Random Field 3D'),
axisfsquare');
subplot(122),comour(A,12),titJe<'Random Field 2D')
xlabel(,X,),ylabel(,Y,)<
pause
% variables de calculo y representación gráfica
Anexos-189
21).
Anexo A-J.
CPBLOCÍ2 análisis fractal-correlalorio-especlral
n2=n*2-l;
l=fix(n/2);
h=(0:l-l);h=h*delta,
hn=(0:n-1 ),hn=hn *delta:
hd=h.*sqrt(2);
hnd=hn.*sqrt(2);
fs=(0:l-1 )/(2*pi*I);fs( 1 )=eps;
fsd=fs./sqrt(2);
h=h();
hn=hn();
hd=hd();
hnd=hnd();
fs=fs(:);
% CÁLCULOS CORRELATORIOS Y ESPECTRALES
Y-ffl2(A),Y=Y./nA2;
S=Y.*conj(Y),
C=iffl2(S);C=C *nA2;C=real(C),
%
clg
axis('normal'),
subplot(221),p!ot(x,nh),title('Random Field PDF).
xlabel('random variable'),ylabel(Trecuency %'),
text(.75,.90,['media =',num2str(esp)],'sc'),
texl(.75,.S7,['vaáaiaa-,n\im2str(vaT 1 )],'sc'),
axisCsquare'),
subplot(223),comour(fflshift(realíY))),title(,f FT real map'),
xlabel('frec rXylabelCfrec 2'),
subplot(224),contour(íRshift(imag(Y))),title(TFT imag map'),
xlabel(frec r),ylabeí('frec 2');
text(.45,.5,[Ti!e:',fii],•sc,);
pause;
clear x,clear nh
Phase= 180*(atan2(imag( Y),real( Y)))/pi;
«c=0;
A nexos-190
2D.
Anexo A-J.
CPBI.CXJ2 análisis/raclal-corrt'ltrlonit-t'sfH'cIral
for i=l:rt,
forj^lin,
k=k+l;
alpha=l;
ifPhase(ij)<0
alpha=-1;
end
Phasehist(k)=Phase(ij)*alpha;
end
end
[nhph,xph]=hist(Phasehist,30);
nhph«nhph *(I00/nA2);
[xph,nhph]-bar(xph,nhph),
clear Y;
CI«xcorr2(A);
Cl«CI/n A 2;
clear A
disp('VALOR MEDIO O ESPERANZA MUESTRAL:'),
disp(esp),
clear esp,
dispCCOMPARACION DE VARIANZAS:'),
disp(");
dispCVarianza MUESTRAL (momento 2 orden de datos a la media)');
disp(var);
dispCVarianza MUESTRAL a MEDIA CERO');
disp(varl),
dispCVarianza ESPECTRAL a MEDIA CERO (covananza C en el origen)');
disp(C(I,I));
dispCVarianza CROSCOVARIANZA a MEDIA CERO (matriz de autocovarianza)');
disp(CI(n,n));
dispCVarianza de los valores del medio mO (T. de Parseval):');
disp(sum(sum(S))),
clg
subplot(221),contour(fftshift(loglO(S))),title('logSpectrum Density map'),
Anexos-191
21).
Anexo A~J.
CPlUOü."1 análisisJraetat-cwrcUdorio-espectral
xlabeU'frec O.ylabelCfrec 2').
axis('normar),
axis((0,180,0.max(nhph)]),
subplot(222),plot(xph,nhph).tit!e(ThasePDF),
xlabeK'O
phase
Pi).
ylabel('Frecuency %'),
axis,
axisfsquare'),
subplot{223),contour(fflshift(C), 12),title('Spearai Covariogram map),
xlabeK'h r),ylabcl('h 2'),
subploí(224),contour(C 1,12),t¡tlefCross-Covariogram map'),
xlabeK'h r),ylabel{'h 2').
text( 45, 5,(Tile'.filj/sc').
pause
%
clear A.clear Phase.clear Phasehist,
clear xph.clear nhph,
% Representación de la covahanza y correlación
% espectral
C0=C(1 1,1).
C90=C(!,1I).
C45=diag(C(ll,IS)).
CO=CO(:),
C90=€90(:),
C45-C45().
% calcula la correlación
CO=C0/varl,
C90-C90./var!;
C45=C45/varl,
% xcorr2
C10=Cl(n:n2,n),
C190=€l(n,rf n2),
C145=diag(C!(nn2.nn2)),
C10=C10(:);
C190=C190<:),
C145=C145();
Anexos-192
2D.
Anexo A-J.
CPBIXXÍ2 análisis
% calcula la correlación
C10-C10./wi;
C19C-CI90./varl.
CI45=CI45./varl,
disp('LONGITUDES DE CORRELACIÓN (3tau) )
dispC
espectral');
IO=0;I45=0,I90=0,
fori-2:l.
if CO(J)<0 05 & 10=0
I0=<i-1 )*delta.
end
if C90(i)<0 05 & I90==0
I90=(i-I)»delta.
end
if C45(i)<0 05 & I45»»0
l45=sqrt(2)*(i-J)Melta.
end
end
dispCümbda Odeg'),
dispflO),
dispCIambda 45deg').
disp(l45);
dispCIambda 90deg'),
disp(l90),
disp('valor medio para isótropos ').
disp((l0+l90+l45y3)#delta,
disp(' auto-correlaciona!:').
110=0;I145=0;I190=0;
fori=l:n,
ifC!0(i)<0.05& 110=0
110=<i-l)*delta;
end
if C190(i)<0.05 & 1190=0
I19<H>-I)*delta;
end
if C145(i)<0 05 & 1145=0
Anexos-193
fraaal-carn
Anexo A-J.
CPBIAKÍ2 análisis fractal-correlatono-tsprctral
I145=sqrt(2)*(¡-!)»delta,
end
end
dispClambda Odeg"),
dispdlO),
dispClambda 45deg'),
disp(H45);
dispClambda 90deg'),
disp(ll90),
dispí'valor medio para isótropos').
disp((l 10+1190+1145)/3 )*dclta.
clg,
axis('normaO,
subplot(22!),mesh(flftshift(C)).titleC3D Spectral Covanance map'),
subplot(223),mesh(Cl),titleC3D Cross-Covariogram map").
axis((0,n*delia,-I,!J),
subplot(222),plot(h,C0,hd,C45<,«,,ri,C90,"),xlabcl(,h,),ylabd(,Corr(h)')>
mleCSpectral-Correlation at 0§__ 45§~ 90§ "),
iext(85, 90.CL0 ^.nunüstrtlOíl.'sc),
text( 85, 87.[^45-\num2st^<l45))/sc,).
tex1(.85,83.['L90=•.num2str<l90)]/sc,).
subplot(224).plot(hn,C 1 O.hnd.C 145/--'.hn.C190/ ,),xlabel('h,),ylabel('Corr(h)'),
titleCAutocros-Correlation at 0§
4 5 § - 90§ '),
text( 85, 40,pL0 ^.nuntZstrtllO))/^').
text(85, 37,[X45=\num2strtlI45)j/sc'),
text(85,33,[X90=\nurn2str(ll90))/sc').
text( 45, 5,["File •.filj/sc),
pause;
clear C10.clear C145;clear C190,
clear C0;clear C45;clear C90,
axis;
%calcu!o varíograma de C
disp('AJUSTE DEL VARIOGRAMA ESPECTRAL POR MSQ:);
dispC (ANÁLISIS FRACTAL CíhH>*hAtheta)');
Anexos-194
2D.
Anexo A-J.
CPBLOG2 análisis fractal~correlatornt-esp?cir¡il 2f)
C=0 5*(varl-C).
% calculo de las secciones de C
CO-C( 1:1,1);
C90-C( 1.1:1);
C45=diag(C(M,l I)),
CO=C0(:);
C90»C90( ),
C45-C45(:);
% calculo de las derivadas
difCO-difRCO),
difCO-difCO /delta,
difC90*diffl[C90),
difC90«d¡fC90/delta.
% definición del numero de puntos de soporte en la regresión
pc«0.pcl*0,
for ¡»2:í-2.
if difCO(i) < difCO(i+1) & pc=-0
pc"i;
end
if difC90(i) < difC90(i+1) & pe I ==0
pcl=i.
end
end
logC0»logl(KC0(2:l)).
IogC9(MoglO(C90(2:l)).
Iogh=logl0(h(2:l)),
PCO=polyfit(logh( 1 pc).logC0( 1 pe). 1),
PC90=polyfit(logh( I pe 1 ),logC90( I :pc 1). 1),
disp(T)ireccion de 0§'),
dispC thetaO log(ord origen)'),
disp(PC0);
dispCDireccion de 90§');
dispC theta90 log(ord origen)'),
disp(PC90);
COfit=polyvaI(PCO,logh),
C90fit=polyval(PC90,logh),
for i= 1:1-1,
Anexos-195
Anexo A-J.
CPHI.(Xi2 análisis fraciat-correlatorio-espectral
fitl(i)=10*C0fit(i),
fit2(i)=10AC90fit(i),
end
fitl=fitl().
fit2=fit2(),
diffitlS=difflfit!).
difTit 1 S-difllt 1S /delta,
diffit2S=diff*fit2),
diffit2S=diflfit2S /delta,
clear COfit clear C90fit.
clg,
axisCnormal'),
subplot(221),mesh(fflshift(C)).titleC3D SpectraJ SemiVariance map),
axis((0%n,0.varl]).
subplot(222).plot(h,C0,hd.C45.,-,.h.C90.").xlabel('h,),y!abel(,C}íh),)>
titleCSemiVariance at 0 § _ 4 5 § - 90§ ').
axis([0.log 10(n),log 10(COÍ2)),log 10( var 1)]).
subplot(223),loglog(h(2 l),C0(2 l).h(2 l).fit I),
xlabel('h•).ylabel(•G<h),),
titleCG(h) and MSQ-fit at 0§').
text(35, 15,[Theta=\num2sm'PCO( 1 ))].'sc'),
subplot(224),loglog(h(2 l),C90(2 l),h(2 I),fit2),
xlabelCh'XylabelCGíh)"),
title('G(h)and MSQ-fit at 90§),
text( 85. 15,ÍTheta=',num2str(PC90( I ))J.'sc'),
text( 45, 5,[Tile'.filj.-sc').
pause;
axis,
C=fftshift(C);
save c:\windows\matlabwi\loadsave\variomS.dat C /ascii
save c:\windows\matlabwi\loadsave\varioSO.dat CO /ascii
save c:\windowsVmatlabwiVloadsave\varioS45.dat C45 /ascii
save c:\windows\matlabwi\Ioadsave\varioS90 dat C90 /ascii
clear C;clear CO;clear C90;clear C45;
Anexos-196
2D.
Anexo A-J.
('PBI.(Xi2
análisis Jraclal-a.rrefalorio-csfvctrjl
%calculo variograma de CI
dispCAJUSTE DEL VARJOGRAMA CORRELATORIO POR MSQ'),
dispí' (ANÁLISIS FRACTAL (¡(hH^Irtheta)').
Cl=0 5*(varl-Ci),
% calculo de las secciones de C1
ClO-CI(nn2.n),
C190=Cl(n,nn2);
C145=diag(CI(nn2.nn2)).
CIO-CIO(:).
C190=C190().
C145=CI45().
% calculo de las derivadas
difClO-difRCIO),
difClO-difC 10/delta.
difCl90=difl(CI90),
difCl90=difCI90/delta.
% definición dei numero de puntos de soporte en la regresión
pc=0,pcl=0,
for i=2:l-2.
if diíC 10(i) < difC 10(i+1) & pc==0
pc=i,
end
ifdifC!90(i) < difCl90(i+l)& p c l = 0
pcl=i;
end
end
logCO=loglO(C10(2:n)),
logC90=logI0(C190(2:n)),
logh=logl0(hn(2:n));
PC0=polyfit(logh( 1 :pc),IogC0( 1 pe), 1);
PC90=polyfit(logh( 1 pe 1 ),logC90( 1 pe I), 1);
disp('Direccion de 0§');
dispC thetaO log(ord.origen)');
disp(PC0);
dispCDireccion de 90§');
dispC theta90 log(ord. origen)');
Anexos-197
21)
Anexo A-J.
CPBLOG2 análisis fractal-correlatorio-espectral
disp{PC90),
COfit=poIyval(PCO,logh),
C90fit=polyval(PC90,logh),
for i=l:n-l,
fitl(i)=10ACOfit(ij,
fit2(i)=IOAC90fii(i);
end
fitl=fitl();
fit2=fit2();
diffitlC=diffl;fiti),
diffitlC=diffitlC/delta.
diffit20difltfit2),
diffit2C=diffit2C/delta,
clearC0fit,clearC90fit.
clg
axisCnormal').
subplot(221),mesh(Cl),title(*3D Autocros SemiVariance map'),
axis((0.ri,0,varl]).
subplot(222).plot(hn,C I O.hnd.C 14S.,--\hn,C 190/ '),xlabel(,h,),ylabel('G(h),),
titlefSemiVariante at 0 § _ 45§- 90§ '),
axis([0,loglO(n),loglO(C I0(2)).togl0(var I)]),
subplot(223),loglog(hn(2 n),C 10(2 n).hn(2 n).fit I),
xlabeirh'^ylabelCCKh)),
title('G(h)and MSQ-fit at 0§),
text( 35, 15,[Theta=\mim2str(PCO( I ))l'sc').
subplot(224),loglog(hn(2 n).C190(2:n),hn(2 n),fit2).
xlabel('h,),ylabel('G(h)'),
title('G(h)and MSQ-fit at 90§),
text( 85, 15,[Theta=\num2str<PC90( 1 ))),•*;•),
texK^S.S.ITUe'.fill/sc'),
pause;
save c:\windows\nMUabwi\loadsave\variomCdat Cl /ascii
save c:\windows\ma;iebwi\loadsave\varioCO.dat CIO /ascii
save c:\windows\maiiabwi\loadsave\varioC4S.dat CHS /ascii
save c:\windows\matlabwi\loadsave\varioC90 dat C190 /ascii
clear Cl;clear ClO.clear C145;clear C190;
Anexos-198
2D.
Anexo A-J.
CPBI.CXJ2 análisis fractal-correlaiorio-cs¡K'ciral
ymin=min([min(difC0),min(difC90),min(d¡{C 10),min(d¡fC 190)]),
ymax-max([max(difC0).max(difC90),max(diíC I0),max(diflC 190)]),
clg.
axis(( i ,n-1 .ymin.ymax]),
subplot(221 ),plot(h( 1 I-1 ).diiC0,h( 1 l-2),diffit 1S,").
xlabelCh'J.ylabelCdCKhydh'í.titleCSPECTRAL dG(h)/dh al 0§').
text( 35, .90,'__ Muestral'/sc'),
text( 35, 87,'. Fractal HYsc'),
subplot(222),plot(h(I l-l),diíC90,h(l !-2),d¡ñit2S,"),
xlabel('h').ylabel('dG<h)/dr0.t¡tle<'SPECTRALdG(h)/dh al 90§).
text(85, 9 0 . ' _ Muestrai'.'sc').
text( 85, 87.'. Fractal'.'sc').
subplot(223),plot(hn( I n-1 ),difCI0,hn( I n-2).dirTit IC,'),
xlabel('h'),ylabel('dC*<h)/dh'),t¡tle('CORRELAT dG(h>/dh at 0§'),
text( 35, 40, _ Mucstrar.'sc').
tcxl(35, 37.'. Fractal'.'sc').
subplot(224),plot(hn(! n-1 ),difT 190,hn( 1 n-2),d¡flit2C,")
xJabeK'h^.ylabelCd^hKdh'J.titleCCORRELAT dG(h)/dh at 90§),
text( 85, 4 0 , ' „ Muestrai'.'sc*),
text( 85, 37,' Fractal'.'sc'),
pause,
clear diflíit 1 S.clea' diffit2S.clear diffit ICclear diíTit2C,
clear ymin,clear ymax,
clear difCO.clear difC90,clear diflO.clear difl90,
axis,
% Representación del espectro y sus ajustes
d¡sp(' AJUSTE DEL ESPECTRO POR MSQ '),
dispC(ANALISIS FRACTAL S(i>C*Fbeta)').
S0=S(1:1,1).
S90=S( 1.1:1);
S45=diag(S( 1:11:1));
S0=S0();
S90-S90(:),
S45=S4S(:>;
Anexos-1.99
21)
Anexo A-J.
CPHI.OG2 análisis Jraclal-corrtlatono
logSO=loglO(SO),
logS90=loglO(S90),
logfNoglO(fs),
dispffrecuencias de corte:'),
%fc0=h(pc)/(2*pi*!*delta),
%fc90=h(pc I )/(2*pi*l*delta),
pc= 2 , fs(pc)
pcl=2;fs(pcl)
dispCfrecuenrias de wn:'),
mm!-lE20,
mm2=1E20;
for i=l-l>l:pc,
a I =polyfit(logfTil),logSO(¡ I), 1).
a2=polyfit(Iogf(i !),logS90(i l),l).
ml=abs(al(l)),
m2=abs(a2(!)),
mm I =min((mm 1 ,m I ]),
mm2=min([mm2,m2]),
ifmml=sas:ml,
Imin0=i,
end
ifmm2=i=m2,
Imin90=i,
end
end
fs(lminO)
fs(lmin90)
dispCDireccion de 0§'),
PSO=TK)lyfi»(logfl:pc:lininO),logSO(pc:lminO), 1),
dispC beta 0 ord origen C),
disp(-PSO( 1 ));disp(exp{PS0(2)));
dispCDireccion de 90§');
PS90=polyfit(iogf(pc 1 :lmin90),IogS90(pc 1 Imin90), 1);
disp(' beta9f ord.origenC),
Anexos-200
espectral 2D
Anexo A-J.
CPBl.(X¡2 análisis fractal-corrrlalorio-especlraJ
disp(-PS90( 1 )).disp(exp(PS90(2))),
SOfit*polyval(PSO.Iogf).
S90f¡t=polyval(PS90,logí),
SOfit»SOfit( ),
S90fit=S90fit().
fori«l:l,
fitl(i)=10AS0fit(i),
fit2(i)-IOAS90fii(i).
end
sk=O.sp=0,skp=0,sk2=0,lc=0,
for i=pc:lminO,
forj=pcl:lmin90,
K=sqrt(iA2+jA2y(2*p¡*sqrt((lmin0)A2+(lm¡n90)A2)).
sk=sk+log(K),
sk2=sk2+(log(K))A2.
sp=sp+log(S(ij)).
skp-skp+(log(K)»log(S(ij))).
Ic=lc+I,
end
end
disp('Valor promedio 2D").
Beta=«lc*skpMsk*sp))/((skA2Mlc*sk2)).
Beta
C=(sp+(Beta#sk)yic.
C=exp(C)
H=(Beta-2y2.
dispCDimension Fractal promedio del Perfil ID');
Dp=2-H
cof=[76.18009173,-86.50532033.24.01409822.-1 231739516.0.120858003e-2
,0.536382e-5J;
stp=2.50662827465;
x=3-Dp;
x=x-l;tmp=x+5.5;tmp=(x-.5)*log(tmp)-tmp;
Aneios-201
21)
Anexo A-J.
CPfílX H ¡2 análisis fr,ici,¡!-corrt'la¡orto-espectral
ser= 1,
f o r j ~ ! 6,
x=x+1 ;ser=ser•: coffy) x,
end
gamlnz--tmp+Iog(stp*ser)
x=3-Dp+0 5,
x=x-l;tmp=x+S 5,tmp (x- >)*log(tmp)-tmp,ser=l.
f o r j - 1 6,
x=x f i ser ser'-* coilJ)'\.
end
gamln/w -• tmp+log(stp # $er).
betaftjnrexp{gamlnz+0 5724-gamlnzw).
Cp--C/((2M)p-5) , betafun).
Topothes> varl/((n*dc!ta) (2*(2-Dp)))
dispOCrossover length b'),
b~Topothesy"(2*Dp-2)
disp('Paso de discretizacion r'),
r=sqrt(varl)*b'(Dp-I)
clear K, cisar beta, clear C.
clg,
axisCnormal1),
subplot(221),mesh(ffishift(S)),t¡t!eí'3D Density Specloim map'),
subplol(222),plot(fs,SO,fsd,S45,•.-'.fs.S90,''),
title('Density Specimm al 0 § _ 4 5 § - - 90§..'í.jdabelCírec'í.ylabeK'SíO');
subpIot(223)Jogiog(fs(p<: !),SO(pc l). ,, ,fs(2:l),fitl(2 I),"-'),
titleCS(f) and MSQ-fit a! 0§'),xlabelCfrec'),ylabel('S(f)'),
text( 35. 1 5,{'-Beta=\num2str(PS0( 1 ))],'sc'),
subplot(224),Ioglog(fs(pc 1 :l),S90(pc I :l),':,,fs(2:l),fit2(2:l),•-,),
title('S(í) and MSQ-fit at QO^.xJabeK'free'XylabeK'SCfy);
text( 85,. 1 S,[,-Beta=',num2str(PS90< 1 JJl.'sc');
text( 45,.5,['File'.filj/sc'),
pause.
Anexos-202
2D.
Anexo A-J.
Cl'lilXXi? análisis fraclal-corrrlaiono-vspt'Ctrnl 211
S=fflshift(S),
save c:\windows\matlabwi\loadsave\spect2d dat S /ascii
save c:\windovvs\matlabwi\loadsave\spectO dat SO /ascii
save c:\windows\matlabwj\loadsave\spect45 dat S45 /ascii
save c:\windows\matlabwi\loadsave\spect90 dat S90 /ascii
dispCprograma terminado pulse <ESC> para continuar'),
pause,
end.
Anexos-203
Anexo A-J.
CPHI.OG2 análisis fracial-correlalorio-cxpeclrnl
INICIO
'
lectura de datos
matriz A
escala de muestreo
análisis estadístico simple
- histograma
- media
- varlanza
estandarización a media nula
definición de variables
del cálculo
espacial y frecuencial
Y = FFT (A)
S = Y * conj(Y)
C = IFFT (S)
cálculo de la fase de A
cálculo del histograma de la fase
auto-correlación 2D de A
comparación de varianzas
=>
estacionariedad
Anexos-204
21).
Anexo A-J.
('f'HI.(Xi2 análisis fraciai-correlatorio-cspenral
1
Secciones 0*, 45', 90*
de la correlación espectral
longitudes de correlación > . >.
según modelo 3 t
, >•
Secciones 0', 45*. 90*
de la cross-correlación
longitudes de correlación >.,'/.
según modelo 3 t
, >.
Cálculo variograma
espectral
análisis FRACTAL en secciones 0". 45°. 90"
determinación de los puntos de soporte por la derivada de (ti)
ajuste Y(h) x h H
Cálculo variograma
ero» correlaciona!
análisis FRACTAL en secciones 0°, 45". 90°
determinación de los puntos de sopone por la derivada de (ti)
ajuste Y(h) x h
análisis FRACTAL del espectro de densidad de varíanza S(f)
determinación del intervalo |f , f J
ajuste S(f)«f,í
dimensión fractal 2D
dimensión fractal promedio del perfil 1D
Anexos-205
21)
.A,
Momv 13a aviiA wmnomano
Curriculum 1 Une del Autor
DATOS PERSONALES
Nombre y Apellidos: Carlos PAREDES BARTOLOMÉ
Sexo: Varón
Fecha y lugar de nacimiento 9 de Agosto de 1967, en Madrid
D.N.I. (N.I.F.) 824759W
Estado Civil Soltero
Domicilio: CV Aguilar de Campóo 17, 6°B Madrid 28039
Teléfonos de Contacto 450-03-41, 336-70-47
Estudios: Ingeniero Técnico Superior de Minas por La Universidad Politécnica
de Madrid, con la Especialidad de Laboreo y Explosivos. Promoción de 1992.
Colegiado N° 2210.
Situación profesional actual: Becario de FPU (Formación de Profesorado
Universitario, progrma del M.EC de 1992) en el Departamento de Matemática
Aplicada y Métodos Informáticos Escuela Técnica Superior de Minas por La
Universidad Politécnica de Madrid U.P.M. (336-69-73 / 336-70-47)
Servicio Militar: Cumplido (con Diploma Mención Especial a la Labor).
DATOS ACADÉMICOS
Calificación Convocatoria
Cursa/Asiganatura
Año I o 85/86.
Algebra Lineal
Cálculo Infinitesimal
Física
Dibujo Técnico
Química
05.0
05.0
06.0
07.0
06.0
(Junio)
(Junio)
(Junio)
(Junio)
(Junio)
Año 2° 86/87.
Ampliación de Matemáticas
Ampliación de Física
Química-Física
07.0
08.0
07.0
(Junio)
(Junio)
(Junio)
//
i'umculum
Mecánica
Programación y Métodos de Cálculo
Inglés I
Ario 3 o 87/88.
Ampliación de Química y Análisis
Mecánica de Fluidos
Teoría de Sistemas y Circuitos
Mineralogía I
Geología
Economía General
Estadística Aplicada
Inglés II
Aflo 4o 88/89 Laboreo y Explosivos
Tecnología de Explosivos
Generadores y Motores Térmicos
Electrónica
Metalurgia Extractiva I
Bases Geológicas de la Minería I
Análisis Numérico
Construcción
Inglés III
Año 5o 89/90. Laboreo y Explosivos.
Geotécnia Mecánica del Suelo
Laboreo de Minas
Mecánica de Rocas
Mineralurgia
Sistemas Eléctricos de Potencia
Metalotécnia I
Economía de la Empresa y Legislación
Técnicas Mecánicas y Mantenimiento
Prácticas de Residencia (4 semanas)
Año 6o 90/91. Laboreo y Explosivos.
Transporte y Almacenamiento
///
l'itae del Autor
05.0
07.5
080
(Junio)
(Junio)
(Junio)
07.0
(Junio)
064
(Junio)
10.0
(Junio)
06 5
(Junio)
08.0
(Junio)
07.5
(Junio)
055
(Junio)
070
(Junio)
08 1
(Junio)
080
(Junio)
080
(Junio)
08.0
(Junio)
070
(Junio)
10.0
(Junio)
06.0
(Junio)
07.0
(Junio)
08.5
(Junio)
06.7
(Junio)
080
(Junio)
08.0
(Junio)
09.0
(Junio)
05.5
(Junio)
07.0
(Junio)
08.5
(Junio)
08.0
(Junio)
06.0
(Junio)
Curriculum
Plantas de Tratamiento de Minerales
Ampliación de Laboreo de Minas
Ingeniería Ambic.dl y Seguridad
Organización y Dirección de Empresas
Sistemas de Información
Gestión de Proyectos
Topografía y Teledetección
I 'ttav de! Autor
100
(Junio)
096
(Junio)
08 0
(Junio)
090
(Junio)
090
(Junio)
06 5
(Junio)
100
(Junio)
Proyecto Fin de forrera
titulado: Transporte de solutos por aguas subterráneas en medios /raciales
S.T.I.F.ED., Calificación : 10 (diez). Matricula de Honor
OTROS MÉRITOS O ACLARACIONES ACADÉMICAS
PREMIO E.N.R.E.S.A. mejor Proyecto Fin de Carrera en Simulación Numérica, 1992
Reconocimiento de la Suficiencia Investigadora, por el Departamento de Matemática
Aplicada y Métodos Informáticos de la E.T.S.I de Minas, el 27 de Octubre de 1993.
Proyecto de Tesis Doctoral Titulado Aplicación de la Geometría Fractal en las
Ciencias de la Tierra. Octubre de 1993.
Co-Director del Proyecto Fin de Carrera Métodos de Generación Estocástica de
Medios Geológicos Heterogéneos por D. José Luís Borregón Presa. Abril 1994
Calificación: 10 (MH) Premio EN R E S A 1994.
Co-Director del Proyecto Fin de Carrera Estudio de ios efectos de la heterogeneidad
sobre la modelización del flujo y del transporte en aguas subterráneas por D José
Antonio Simó Moreno. Febrero 1995. Calificación: 10 (MH).
Co-Director del Proyecto Fin de Carrera Métodos de Generación Estocástica y
Condicionada de Estructuras Geológicas Heterogéneas por D. Fernando Ruiz. (en
ejecución). Fecha de lectura segundo trimestre de 1996.
IV
Curriculum
1 'ttae del Autor
IDIOMAS
hablado
leído
escrito
Inglés
B
B
B
Francés:
B
B
B
CURSOS Y CONGRESOS
* 1A Matemática de hoy: Teoría de /''raciales y Aplicaciones
Cursos de Verano El
Escorial Universidad Complutense de Madrid Agosto 1988 Dirección D Miguel de
Guzmán.
* 1A Matemática
de hoy: Universalidad del Caos. Orden en el Caos Cursos de
Verano El Escorial Universidad Complutense de Madrid Agosto 1989 Dir D Miguel
de Guzmán
* Matemáticas. Clima y Medio Ambiente Cursos de Verano El Escorial Universidad
Complutense de Madrid Agosto 1991
* Técnicas y equipos de perforación en Sondeos Fundación Benéfico-Docente Gómez
Pardo y A G R O M A N Empresa Constructora S.A Marzo 1987
* Control y prevención de Explosiones. Fundación Benéfico-Docente Gómez Pardo.
Junio 1989
* Programas de ordenador en la Geotécnia
Fundación Benéfico-Docente Gómez
Pardo y Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos E.TS I de
Minas. Noviembre 1989.
* Ingeniería
de Arranque
de rocas con explosivos en proyectos
subterráneos.
Fundación Benéfico-Docente Gómez Pardo. Marzo 1990.
* / / Simposium Nacional de Selección de Maquinaria
en Minería e Industrias -le la
Construcción. Fundación Benéfico-Docente Gómez Pardo Diciembre 1990
* Tratamiento Estadístico-Matemático
de datos geoambientales. Fundación Benéfíco-
V
Curriculum I 'une del Autor
Docente Gómez Pardo Febrero 1991
* Restauración de terrenos en Minería a Cielo Abierto Fundación Benéfico-Docente
Gómez Pardo Mayo 1991
* Seminario de Rocas Industriales Departamento de Mineralogía y Petrología E T.S.l.
de Minas Año 1987/88
* V Campamento de Geofísica Aplicada en Cabo de Gafa (Almería) Departamento de
Ingeniería Geológica Cátedra de Geofísica Aplicada y Prospección E T.S.l. de Minas
Julio 1989
* Curso de Conferencias sobre estructuras Fracta/es y sus Aplicaciones D. Miguel de
Guzmán y D. Baldomero Rubio Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y
Naturales Año 1990/91
* /// Escuela de otoño Hispano-Francesa sobre Simulación Numérica en Física e
Ingeniería Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos E.T.S.I. de
Minas. Universidad Politécnica de Madrid Septiembre 1988
* Prácticas especiales en holografía con LÁSER He-Ne. Departamento de Física
Aplicada a los Recursos Naturales Año 1985/86
* Seminario de Seguridad intrínseca y Modos de Protección Eléctrica. Departamento
de Sistemas Energéticos Año 1985/86
* Seminario de Conversión Fotovoltaica Departamento de Sistemas Energéticos Año
1985/86.
* Realización de un Código para la Certificación de Explosores. Departamento de
Sistemas Energéticos y L O M. Año 1989/90
* Seminario de Análisis Numérico en Ecuaciones de tipo Hiperbólico. Departamento
de Matemática Aplicada y Métodos informáticos E.T.S.I. de Minas Año 1988/89
* XII C.E.D.Y.A.
II Congreso de Matemática Aplicada. Universidad de Oviedo.
VI
Curriculum í üae del Autor
Facultad de Matemáticas Oviedo Gijón Septiembre 1991
* / Curso sobre modelización Je problemas hidrogeológicos ¡¡gados al
almacenamiento stihlenáneo Je residuos radiactmis Master en Tecnología
Hidrogeológica Universidad Politécnica de Madrid e Instituto Tecnológico Geominero
de España Madrid Octubre 1991
* Seminario sobre modelizcción esíocásiíca aplicada al transporte de radtonúclidos.
E.N.R.E.S A 13 de Noviembre de 1991
* Jornadas sobre ¡ja Ingeniería de Minas y el Medio Ambiente Secretaria General de
Medio Ambiente e Instituto de la Energía de España Madrid, 28/29 Noviembre 1991
* Workshop on the ewluation of the proloryjK' of Kmmiedge based system Jor
modellmg soil andgroundnater Miraílores de la Sierra Madrid, 23-25 Febrero 1992.
* I* Simposio de Hidrogeologia. Asociación Española de Hidrología Subterránea
Alicante 23-27 Marzo 1992
* Jornadas sobre Tecnología del agua en la Minería Instituto Tecnológico Geominero
de España Asociación de Ingenieros de Minas Abril 1992
* X\'Congreso Mundial de Minería Madrid 25-29 Mayo 1992.
* Internacional School of Mathematics: Mathematical anal y sis and the problems of
continuum physics Dirigido por Luis Ángel Caffarelli y Juan Luis Vázquez
Universidad Internacional Menendez Pelayo Santander 22-26 Junio 1992
* Fractals and Chaos Dirección: Peter Grassberger, y Vincent Martínez i García
Universidad Internacional Menendez Pelayo Cursos de Verano Valencia 14-18
Septiembre 1992.
* // Reunión Nacional de Geomorfologia. Sociedad Española de Geomorfolog¿3
Murcia 23-25 de Septiembre 1992
* Jornadas sobre las aguas subterráneas Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y
Naturales. Madrid 31 de Marzo al 2 de Abril, 1993
vn
Curriculuti I >/«<» del Autor
* Primeras Jornadas de h I) ENRESA Madrid, Abril 1993
* European Geophysical Society. XVII!' Ccnewl Assembly. EGS Wiesbaden 3-7 Mayo
1993
* 17 Curso en gestión de Residuos Radiactivos. M I É - CIEMAT - ENRESA 15
Febrero - 23 Junio de 1994
* Non linearity and Disorder Summer School Dirigido por D Luis Vázquez
Universidad Complutense de Madrid. El Escorial 15-19 Agosto 1994
* 11 Escuela de Otoño Hispano-Fruncesa sobre Simulación Numérica en Física e
Ingeniería Vicerrectorado de Extensión Universitaria Universidad de Sevilla 19-23
Septiembre 1994
* Aula ue Matemática Aplicada. Curso sobre Análisis numérico de ecuaciones
diferenciales y en derivadas parciales Fundación Francisco Giner de los Ríos Institución Libre de Enseñanza. Madrid. Año 1994/95
* / Congreso de usuarios de MATIAB. UNED - Addlink Software Científico MathWorks Madrid Mayo 1995
PROGRAMAS DE DOCTORADO
* Programa de Doctorado Simulación numérica de fenómenosfísicos y técnicos.
(DMAMJ - UPM)
Análisis Numérico e Implementación del Método de los elementos finitos I.
Métodos numéricos en mecánica de fluidos
Optimización.
Estadística espacial I.
Algoritmos Numéricos para la resolución de problemas no lineales en mecánica y física.
Teoría de la variable regionaüzada.
Problemas inversos: identificación, control y diseño de sistemas distribuidos.
Estadística espacial II
vm
Curriculum I 'Hae del Autor
* Programa de Doctorado Ingeniería geológica
(DIG - UPM)
Método de predicción direccional de la dirección de anisotropía de un macizo rocoso
(aplicación del drenaje subterráneo en minería y obra civil)
COMUNICACIONES Y CONFERENCIAS
* Conferencia Introducción a los Fractales, y sus posibles Aplicaciones en la
Ingeniería C Paredes Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos
E.T.S I de Minas Marzo, 1988
* Comunicación Sobre la generación de medios geológicos heterogéneos . XII
C.E.D.Y.A / II Congreso de Matemática Aplicada Departamento de Matemáticas.
Universidad de Oviedo Oviedo. Gijón, Septiembre 1991
* Conferencia Modelización de medios fracturados I Curso sobre modelización de
problemas hidrogeológicos ligados al almacenamiento subterráneo de residuos
radiactivos. Master en Tecnología Hidrogeológica Universidad Politécnica de Madrid.
Instituto Tecnológico GeoMinero de España Madrid, Octubre 1991
* Comunicación Transporte de solutos por aguas subterráneas en medios fractalheterogéneos V Simposio de Hidrogeologia Alicante, 23-¿7 Septiembre 1992.
* Comunicación Aplicación de las Técnicas Fractales Híbridas en la modelización de
la Geomorfología. II Reunión Nacional de Geomorfología. Sociedad Española de
Geomorfología Murcia, 23-25 Septiembre de 1992
* Poster Método de calado, análisis, predicción y modelización de las direcciones
principales de drenaje en el karst II Reunión Nacional de Geomorfología Sociedad
Española de Geomorfología Murcia, 23-25 Septiembre de 1992.
* Conferencia Estudio de medios heterogéneos anisótropos. La drenabilidad de los
Medios Kársticos. Modelización de las direcciones principales de anisotropía. Área
XVII. Hidrogeologia de formaciones especiales, karst, medios ñsurados y medios de
baja permeabilidad. II Master en Tecnología Hidrogeológica. Universidad Politécnica de
Madrid. Instituto Tecnológico GeoMinero de España. Madrid, Octubre 1992
Di
Curriculum V'itae del Autor
* Conferencia Aplicación de la metodología de análisis de medios kársíicos al karst
en yesos de Sorbas. Área XVII. Hidrogeología de formaciones especiales, karst, medios
usurados y medios de baja permeabilidad. II Master en Tecnología Hidrogeoiógica
Universidad Politécnica de Madrid. Instituto Tecnológico GeoMinero de España
Madrid, Octubre 1992
* Comunicación Groundwater flow analysis in fractured heterogeneous media by
fractal techniques. European Geophysical Society XVIII General Assembly
Wiesbaden, 3-7 de Mayo de 1993
* Comunicación Simulación del transporte en medios geológicos fractales XIII
C.E.D.Y.A. / III Congreso de Matemática Aplicada. Universidad Politécnica de Madrid
Madrid, Septiembre 1993.
* Conferencia Geometría Fractal y Aplicaciones, (por Feo. J. Elorza) ULPGC /
Cursos de Invierno Departamento de Matemáticas, Marzo 1994.
* Comunicación Simulación del Medio Geológico. Seminario Sobre Modelización
Numérica de Procesos Geoquímicos de Alta Temperatura. Museo Nacional de CCNN
(CSIC), ENRESA y Comisión de Geoquímica (SGE). Abril 1994
* Comunicación Comparación de Métodos de Generación Estocástica de Medios
Geológicos Heterogéneos. XX Reunión anual Sociedad Nuclear Española. Córdoba,
Octubre 1994.
* Seminario The Scientific Research in Complex Hydrogeological Complex Systems.
Earth Science División. Lawrence Berkeley Laboratoíy, 26 Octubre 1994
* Abstract Multidimensional fractal analyses qf real geológica! data. Fracture
aperture cases. 2n(* International Conference on Fractals and Dynamical Systems in
Geophysics Univ. Goethe. Frarücfiírt, 1995.
* Comunicación New algorithms for the statistical modelling qf geológica/
heterogeneous media. Comparative results. Water Poliution International Conference.
Grecia, 1995.
* Comunicación Numerical simulation and analyses of the solute migration in fractal
X
Curriculum ¡'Une del Autor
heterogeneous geological media. MIGRATION, 5 t n International Conference on *he
chemistry and migration behaviour of actinides and fission products in the geosphere.
Francia, 1995. (a aprecer)
OTRAS PUBLICACIONES
* Aplicación de una metodología de análisis, predicción y modelización de las
direcciones principales de drenaje del karst de Sorbas (Almería) . Espeleotemas, año
III, n° 3. Espeleo Club Alménense ECA. Almería, 1993
* Estudio predictivo de las direcciones de drenaje en el Karst de la Isla de Paita
(Nueva Guinea). Proceedings del Taller Internacional de Cuencas Experimentales
Kársticas Cuba, 1992.
* Metodología para la predicción de las direcciones principales de anisotropía en el
Karst de Palmarito. Proceedings del Taller Internacional de Cuencas Experimentales
Kársticas. Cuba, 1992.
PARTICIPACIÓN EN PROYECTOS Y CONTRATOS DE INVESTIGACIÓN
* Proyecto Investigación, desarrollo y adaptación de técnicas infromáticas y de
simulación numérica aplicadas a las aguas subterráneas. ITGE. Investigador
Principal: D. Luis Sánchez Cano. (DMAMI - ETSI de Minas) Enero 1989 - Diciembre
1992.
* Proyecto Knowledge base for modelling contamination qfthe soil and groundwater
system. CEE - ITGE. Investigador Principal: D Lycklema (TNO - Holanda). Enero
1989 - Diciembre 1992
* Proyecto Realización de un modelo hidrogeológico del área del almacenamiento de
ElCabril. ENRESA. Investigador Principal: D. Feo. Javier Elorza Tenreiro (DMAMI ETSI de Minas). 1989- 1991
* Proyecto Desarrollo de modelos numéricos para la simulación de procesos que
tengan lugar en lageosfera. ENRESA. Investigador Principal: D. Carlos Conde Lázaro
(DMAMI - ETSI de Minas). Abril 1993 - Marzo 1996.
XI
Curriculum l'Une ilel Autor
ESTANCIAS EN CENTROS DE INVESTIGACIÓN Y EN EMPRESAS
* Realización del Plan de Labores Preliminar para la mina de Escuzar (Granada), de
mineral de Estroncio (celestina) Kali-Chemie Iberia Octubre de 1989
* Estudio Hidrogeológico de la Mina As Pontes (Ixt Cortina). Realización de un
código para el análisis paramétrico de descensos piezométricos. E.N.D.E.S.A
Octubre de 1990
* Estudio de la hidrogeologia de medios heterogéneos y anisótropos. Medios /cársticos.
Dirección a cargo del Dr. D. Alain Mangin, del C.N.R.S.E. Laboratoire Souterrain de
Moulis C.N.R.S. Francia. Estancia para formación, estudio, e investigación realizada
durante los meses de Octubre, Noviembre y Diciembre de 1992
* Estudio de la modelización numérica y simulación de medios heterogéneos y
fracturados. Flujo y transporte enfracturasheterogéneas. Dirección a cargo del Dr. D.
Chin-Fui Tsang, Earth Sciences División en el L.B.L. (Lawrence Berkeley Laboratory)
California USA. Estancia para formación, estudio e investigación realizada durante los
meses de Octubre, Noviembre y Diciembre de 1994.
CONOCMIENTOS INFORMÁTICOS
* Trabajos a nivel de ususario y programación en entornos VAX 8300, VAX 730
(Digital), Silicon Graphics Iris WorkStation, Personal Computers PC y Compatibles, y
Apple.
* Sistemas Operativos VMS, UNIX, MS DOS, Apple Macinstosh y AOS (Sistema
Operativo Algebraico).
* Lenguajes de Programación FORTRAN 77, BASIC, Quick-BASIC, MATLAB.
* Utilización de bibliotecas para resolución de problemas en Ingeniería y Física,
MODULEF, MINIMEF, SUTRA, MATLAB, ¡rfATHEMATICA, MAPLE, etc.
* Investigación y desarrollo, programación y utilización de programas para resolver
problemas de Matemáticas, Física, Geoestadística, Hidrogeologia e Ingeniería por
XII
Curriculum I 'n.ie del Autor
métodos numéricos, como elementos finitos, y diferencias finitas
* Conocimientos a nivel de usuario de la utilización de diversos paquetes de librerías
gráficas y de representación científica, sobre entornos Tektronix, Silicon Graphics y
PC's, del tipo CADISSPLA, Golden Graphics, EXPLORER, Librerías FORTRAN,
Stanford Graphics, etc.
BECAS OTORGADAS
* Becario del Ministerio de Educación y Ciencia, dentro del Régimen General de Becas
y Ayudas al Estudio, durante los Cursos Académicos 86/87, 87/88, 88/89, 89/90 y
90/91.
* Becario del Ministerio de Educación y Ciencia, dentro del Régimen General de Becas
y Ayudas al Estudio, para la realización del Proyecto Fin de Carrera.
* Becario del Ministerio de Educación y Ciencia, dentro del Régimen de Becas
Predoctorales en España del Subprograma de Formación del Profesorado Universitario,
en los Años Académicos 91/92, 92/93, 93/94, 94/95 y 95/96.
* Becario colaborador en proyectos del DeDartamento de Matemática Aplicada y
Métodos Informáticos. Escuela Técnica Superior de Ingenieros de Minas de Madrid.
Universidad Politécnica de Madrid, durante los Cursos 89/90, 90/91, 91/92, 92/93,
93/94, 94/95 y 95/96
* Becario del V Campamento de Geofísica Aplicada en Cabo de Gata (Almería).
Departamento de Ingeniería Geológica. Cátedra de Geofísica Aplicada y Prospección.
ET.SI.deMinas Julio 1989
* Becario del Curso de Técnicas y equipos de perforación en Sondeos. Fundación
Benéfíco-Docente Gómez Pardo y AGROMAN Empresa Constructora S.A Marzo
1987.
* Becario del Curso de Control y Prevención de Explosiones. Fundación BenéfícoDocente Gómez Pardo. Junio 1989.
XIII
Curriculum Vitae del Autor
* Becario del Seminario de Programas de ordenador en la Geotécnia. Fundación
Benéfico-Docente Gómez Pardo y Departamento de Matemática Aplicada y Métodos
Informáticos. E.T.S.I. de Minas. Noviembre 1989
* Becario del II Simposium Nacional de Selección de Maquinaría en Minería e
Industrias de la Construcción. Fundación Benéfico-Docente Gómez Pardo Diciembre
1990.
*
Becario
del
Seminario
de
Tratamiento
Estadístico-Matemático
de
datos
geoambientales, Fundación Benéfico-Docente Gómez Pardo. Febrero 1991.
* Becario del Curso de Restauración de terrenos en Minería a Cielo Abierto. Fundación
Benéfico-Docente Gómez Pardo Mayo 1991.
* Becario de las Jornadas sobre Tecnología del agua en la minería. Instituto
Tecnológico Geominero de España. Asociación de Ingenieros de Minas. Abril 1992.
* Becario del XV Congreso Mundial de Minería. Madrid. 25-29 de Mayo 1992.
* Becario de la International School of Mathematics: Mathematical analysis and the
problems of continnuum physics. Dirigido por Luis Ángel CarTarelli y Juan Luis
Vázquez. Universidad Internacional Menéndez Pelayo. Santander. 22-26 Junio 1992.
* Becario del Curso Fractals and Chaos. Dirigido por Peter Grasberger y Vincent
Martínez i García. Universidad Internacional Menéndez Pelayo. Valencia. 14-18
Septiembre 1992.
* Becario de las Jornadas sobre las aguas subterráneas. Real AcadenJú de Ciencias
Exactas, Físicas y Naturales. Madrid 31 de Marzo al 2 de Abril, 1993.
* Becario del
VI Curso en gestión de Residuios Radiactivos. M.I.E. - CIEMAT -
ENRESA. 15 Febrero - 23 Junio de 1994.
* Becario del curso Non línearity and Disorder. Summer School. Dirigido por Luis
Vázquez. Universidad Complutense de Madrid. El Escorial. 1 5 - 1 9 Agosto 1994.
* Becario de la VI Escuela de Otoño Hispano-Francesa sobre Simulación Numérica en
XIV
Curriculum l'itne del Autor
Física e Ingeniería. Vicerrectorado de Extensión Universitaria de Sevilla
Septiembre 1994.
19-23
ACTIVIDADES EXTRA-ACADÉMICAS
* Miembro co-fundador en España del Grupo de Trabajo de Cambio Global, de la ETSI
de Minas de Madrid, 1992
* Miembro de SEMNI (Sociedad Española de Métodos Numéricos en Ingeniería) a
partir del año 1990
* Miembro de SIAM (Society for Industrial and Applied Mathematics) durante los
cursos 90/91, 91/92, 92/93
* Miembro de la EGS (European Geophysical Society) a partir del año 1993
* Miembro de la sociedad Española de Hidrología Subterránea a partir del año 1992
XV