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Douala Mathematical Society
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CORRECTION WORKBOOK – PCD – LIMITES EXERCICE N°23
Par Nkeuna Ngueliako Georges/PLEG-Ingénieur des travaux/Decembre 2015
Rappel importants
Pour le calcul de limites trigonométriques, nous présentons quelques limites usuelles qu’il est nécessaire
de connaitre. Nous partons depuis le départ
f ( x) − f ( x0 )
1. Le nombre dérivé d’une fonction f en un point x0 est lim
= f ′( x0 )
x → x0
x − x0
Ce nombre dérivé nous permet de calculer plusieurs limites trigonométriques:
sin x
tan x
1 − cos x 1
b) lim
a) lim
=1
=1
c) lim
=
x →0
x →0
x →0
x
x
x2
2
Démonstration
Pour
sin x
lim
=1
I.
x → x0
x
sin x
sin x − sin 0
lim
= lim
= f ′(0) = cos 0 = 1 ici f ( x) = sin x
x → x0
x
→
x
0
x
x−0
tan x
II.
lim
=1
x → x0
x
tan x
tan x − tan 0
1
1
lim
= lim
= f ′(0) =
= = 1 ici f ( x) = tan x
2
x → x0
x → x0
x
x−0
cos 0 1
1 − cos x 1
III.
lim
=
x →0
x2
2
1 − cos x
Tout d’abord transformons l’expression
x2
2
x

2 x
2 x
2 x
2 x
2 x
2 x
2 x
cos + sin − cos + sin
2sin
sin
sin
sin 
1 − cos x
1
1 
2
2
2
2
2
2
2
2
=
=
= 2×
= ×
= ×

2
2
2
2
2
x
x
x
x
2  x
2 
x

4 
 

2

2
2
 
 
2
x
1  sin X 
On obtient finalement × 
 , avec X =
2
2  X 
x
Quand x tend vers 0, X = tend vers 0
2
1 − cos x
1  sin X  1
On obtient : lim
= lim × 
 =
2
x →0
X
→
0
x
2  X 
2
2
2
A retenir
sin X
:
Plusieurs limites peuvent se ramener à lim
=1
X →0
1
X
Douala Mathematical Society : Workbook PCD : Correction : Limites_n23
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Calculer:
x →1
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
sin ( x 2 − 1)
sin X
=1
x −1
X
Nous avons poser, X = x 2 − 1 quand x tend vers 1, X tend vers 0.
1
limcos πx +
x→1
x −1
1
= −∞
a) lim−cos πx +
x→1
x −1
1
b) lim+cos πx +
= +∞
x→1
x −1
sin 2 x
sin 2 x 2 x
5x
sin 2 x 2 x
1
2
= lim
× ×
= lim
× ×
=
lim
x→0 sin 5 x
x→0
x
→
0
2x
5 x sin 5 x
2x
5 x sin 5 x 5
5x
sin x 1
sin x 1
lim
= × lim
= ×1 = 1
x →0 3 x
3 x →0 x
3
sin x
sin x
x
sin x
lim
= lim
×
= lim
× x = 1× 0 = 0
x→0
x →0
x
x
x x →0 x
x
1
2x
1
1
1
lim
= lim ×
= × lim
=
x→0 tan 2 x
x→0 2
tan 2 x 2 x→0 tan 2 x 2
2x
sin x
sin x
x
sin x
1
sin x
1
lim
= lim
×
= lim
×
= − lim
×
= −∞
x→0 1 − cos x
x→0
x
→
0
x
→
0
1 − cos x
cos x − 1
x
1 − cos x
x
x
x
x
 1

 1 − cos x 
sin x
sin x × 
− 1
sin x

− sin x
tan x − sin x
cos x 
cos x 


x
cos
= lim
= lim
= lim
lim
x →0
x →0
x →0
x →0
x3
x3
x3
x3
On continue
 1 − cos x 
sin x

 cos x  = lim sin x × 1 − cos x = lim sin x × 1 × 1 − cos x = 1 × 1 × 1 = 1
lim
x →0
x →0
x3
x
x 2 cos x x→0 x
cos x
x2
1 2 2
1) lim
9) lim
x→0
2
= lim
X →0
 1 − cos x 
sin x

cos x  1

lim
=
x →0
x3
2
sin 2 x
1 − cos 3 x
sin 2 x
1 − cos 3 x
sin 2 x
sin 2 x 2 x
3x
sin 2 x 2 x
=
×
×
=
×
×
2x
3x
2x
3x
1 − cos 3 x
1 − cos 3 x
Transformons l’expression
3x
3x
3x
3x
3x
cos 2
+ sin 2
− cos 2
+ sin 2
2
2
2
2
On obtient :
sin 2 x 2 x
×
×
2x
3x
2
3x
3x
sin 2 x 2 x 2
sin
2
x
2
x
2
=
×
×
× 2 =
×
×
× 2
3x
3
x
2
x
3
x
2
x
3
x
3
x
2
2
sin
sin
2 sin 2
2
2
2
3x
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lim
x→0
sin 2 x
2 2 1 2 2
= 1× ×
× =
3
3
1 − cos 3 x
2 1
lim
x →0
sin 2 x
1 − cos 3x
=
2 2
3
10)
π

x − 
1
π sin x
2
11) lim (π − 2 x) tan x = − lim 2 x − 
= −2 × limπ 
sin x = −2 × limπ
× sin x
π
π
cos x
2  cos x
cos x
x→
x→ 
x→
x→
2
2
2
2
π

x − 
2

1
1
− 2 × limπ
× sin x = −2 ×
×0 = 0
cos x
−1
x→
2
π

x− 
lim (π − 2 x) tan x = 0
2

On a lim
π
x→
2
cos x
x−
π
= limπ
x→
2
2
cos x − cos
x−
π
π
x→
2 = − sin π = −1
2
π
2
2
π
π
π



sin  x − 
sin  x − 
sin  x −  x − π
6
6
6 1

6
12) lim 
= lim
= × lim 
π 2 sin x − 1
π 
π
π
1  2 x→
1

x→
x→
x−
6
6 2 sin x −
6

 sin x − 
6
2
2


π

sin  x − 
1
1
1
1
1 1
6

= × limπ
×
= ×
= × =1
π
1 2
π 2 1
2 x→
x−
sin x −
cos
6
6
2
6
2
x−
π

sin  x − 
6

limπ
=1
2 sin x − 1
x→
π
6
π

sin  x − 
6

limπ
=1
2
sin
x
−
1
x→
6
6
1
1
13) lim ( x + 1) tan = lim x tan = lim
x →+∞
x x→+∞
x x→+∞
14) lim( x − 2) tan
x→2
3
π
x
= lim( x − 2)
x →2
sin
π
1
x = lim tan X = 1
X →0
1
X
x
tan
x = lim ( x − 2) × sin π = lim 1 × sin π = − π
π x →2
π
x x→2 cos π
x
4
cos
cos
x
x
x
x−2
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