1. No category

TEMA 2. GEOMETRÍA
3º ESO
Departamento de
Artes Plásticas
y Dibujo
1
P
o
di
O
diá
et
ro
segm
(r)
o1
O
O
O
ra
m
ircular
ento c
nte
seca
tg
o3
o2
(d
)
tange
o1 circunferencia secante
o2 circunferencia tangente
o3 circunferencia exterior
sec
b
ángulo inscrito
ángulo central
d
o1
lar
rcu
ci
tor
g)
nte (t
a
a
ángulo exterior
ángulo central
w
d
O
a
b
tg
o3
O
b
=
d
/
2
w
O
d
d
o2
o1 circunferencia interior
o2 circunferencia tangente exterior
o3 circunferencia tangente interior
a
d
w
a
=
2
A
si d
entonces b
=
1
8
0
=
9
0
B
ARCO CAPAZ
3
2
a
1
M
1
2
3
N
ARCO CAPAZ de 90º
Polígono INSCRITO
Polígono CIRCUNSCRITO
TEOREMA THALES
r
A
r
A
r
P
r
P
PARALELA a una recta r
por un punto A exterior
PERPENDICULAR por el
Extremo de una semirrecta
PERPENDICULAR a una recta r
por un punto P de r
PERPENDICULAR a una recta r
por un punto A exterior
r
M
N
t
BISECTRIZ de un ANGULO
BISECTRIZ de un ANGULO
POLÍGONO IRREGULAR
MEDIATRIZ de un SEGMENTO
POLÍGONO REGULAR
POLÍGONO EXTRELLADO
Fecha
Nombre de Alumno
Nº de lámina
Título de lámina
REPASO GEOMETRÍA PLANA
DIAGONALES de un polígono
APONEMA de un polígono
Curso
Nota
Departamento de
Artes Plásticas
Según sus lados
C
b
a
A
b
a
b
a
c
B
c
c
TRIÁNGULO EQUILÁTERO
TRIÁNGULO ESCALENO
TRIÁNGULO ISÓSCELES
a=b=c
a=b=c
a=b=c
Según sus ángulos
B
A
C
TRIÁNGULO ACUTÁNGULO
A
TRIÁNGULO OBTUSÁNGULO
a b c < 90º
a > 90º
A
TRIÁNGULO RECTÁNGULO
a=90º
circunferencias EXINSCRITAS
Puntos y rectas NOTABLES de un triángulo
O
b
m
a = ALTURAS
O = ORTOCENTRO
d
I
B
a
m = MEDIANAS
B = BARICENTRO
C
d = MEDIATRICES
C = CIRCUNCENTRO
circunferencia circunscrita
b = BISECTRICES
I = INCENTRO
circunferencia inscrita
HORIZONTALES
º
90
VERTICALES
OBLICUAS
Lineas rectasPARALELAS
Fecha
Nombre de Alumno
Nº de lámina
Título de lámina
REPASO GEOMETRÍA PLANA
Lineas curvas PARALELAS
PERPENDICULARES
Curso
Nota
Departamento de
Artes Plásticas
MATERIALES UTILIZADOS EN DIBUJO TÉCNICO
Mesa de dibujo técnico y paralex
Escalímetros y plantillas de letras.
Paralex casero
Cuchillas, rotuladores y estilógrafos
Reglas y plantillas: escuadra, cartabón, bigotera,
plantilla de curvas
Plantillas de letras, círculos, curvas y elipses.
NOMENCLATURA LÁPICES GRAFITO
LÁPIZ
DUREZA
8B,7B
6B
5B,4B
3B
2B, B
HB
F-H
2H, 3H
4H, 5H
EXTRA
BLANDA
MUY
BLANDA
SOMBREAR.
DIBUJO ARTÍSTICO
APLICACIÓN
BLANDA
DIBUJOS, ESCRITURA
CROQUIS
DIBUJO ARQUITECTURA
DUROS O DIBUJOS TÉCNICOS
MUY
CARTOGRAFÍA
DUROS
PLANOS
RELACIÓN
DE NUMERACIÓN
2B
B
HB
2H
4H
0
1
2
4
6
medidores de curvas y
LÁPICES
Cómo sacar punta a un compás o lápiz
Compases
enlaces al archivo de materiales.
6
TEMA 1. CONSTRUCCIONES GEOMÉTRICAS BÁSICAS.
Ideas:
Los elementos que vamos a ver durante todo el curso son objetos que se distribuyen a lo largo de un plano con
diferentes objetivos: representar la realidad del espacio en dos dimensiones o bien representar las tres dimensiones.
Todas estas representaciones o dibujos están bajo ciertos condicionantes muy importantes: primero han de ser muy
precisos para que sean realmente útiles. Segundo, han de seguir una Norma, es decir un acuerdo internacional
para que en todas partes sea igual. Hay que tener en cuenta que el dibujo técnico es un lenguaje gráfico universal y
como medio de expresión se tiene que entender por todos los que participen en este lenguaje. Por todo ello el
resultado de nuestro trabajo ha de ser CLARO y LIMPIO, que no ofrezca confusión ni que hayan elementos que
nos puedan distraer. Todos los datos han de ser rigurosos y ofrecernos toda la información necesaria.
Los elementos que antes mencionábamos y en lo que está basado el dibujo técnico son, por orden de simpleza:
EL PUNTO: El punto en realidad sólamente existe como idea
filosófica, puesto que realmente no existe: no tiene dimensiones.
Sin embargo nosotros lo vamos a utilizar mucho.
La forma más usual de representar El punto será como una mancha
muy pequeña, redonda y rellena o bien como la intersección de dos
rectas también pequeñas.
Se se nombra con letras mayúsculas, A, B, C, M, N, O. P,......
Un punto en el plano, es un punto PROPIO. Un punto en el infinito será
un punto IMPROPIO.
LA LÍNEA: La línea solamente exíste a medias, un poco también como
idea filosófica pero que también se utiliza bastante: solamente tiene
una dimensión (1d): la longitud. Por lo tanto se puede medir su
longitud.
La forma de representar la línea se mediante la consecución de
multitud de puntos muy juntos y alineados: la línea es una consecución
alineada de puntos. Puesto que la linea está compuesta por un punto
detrás del otro, cuando dos línea se cortan, su intersección,
obviamente, será un punto.
Las líneas pueden ser: curvas, rectas, quebradas, mixtas.
Hay una línea recta cuando se unen dos puntos en su mínima
distancia.
No tienen principio ni final; el inicio y el final de una recta estará en el
infinito, en un punto impropio.
La forma de denominar a una recta es con letras minúsculas,
normalmente consonantes: r, s, t, u , v, etc.
Cuando un recta tiene un inicio en el plano y el final en el infinito se
llama semirecta.
Cuando se acota una recta por medio de dos puntos el resultado se
llama SEGMENTO. Los segmento más normales que vamos a utilizar
son los segmento rectos. Los segmentos se denominan con los
nombres de los puntos que acotan dicho segmento: AB. MN, PQ,.
También se pueden nombrar con una letra minúscula.
Según la disposicion espacial en el plano y el ángulo que forman con
otras rectas tenemos la siguiente clasificación:
A
dos puntos
P
linea recta
linea curva
s
linea quebrada
t
linea mixta
u
A
Vertical
a
Paralelas
Forman 90º entre sí.
N
Segmento MN
Perpendiculares
licu
Ob
Segmento AB
B
M
Horizontal
r
tipos de líneas
P
Semirecta
al
No se cortan nunca y si lo hacen
es en un punto Impropio
on
iag
D
7
a
r
t
s
Hexaedro o cubo
do
un
of
Pr
EL VOLUMEN: Cuando trabajamos con tres dimensiones (3D),
estamos ante el volumen o el espacio. Una figura con volumen tiene
ancho, alto y profundo y ocupa un lugar en el espacio. El espacio y el
volumen se pueden representar en el plano mediante los diferentes
SISTEMAS DE REPRESENTACION que estudiaremos en temas
posteriores.
Plano alfa
Alto
EL PLANO: El plano existe a medias puesto que solamente tiene dos
dimensiones (2D): el ancho y el alto.
A los planos los llamamos por medio de letras griegas: a
,
b
,
w
,
etc.
Los planos también son infinitos y los acotamos por donde a nosotros
nos conviene. Un plano se puede definir como la intersección de tres
rectas entre sí. Dos planos pueden cortarse. La intersección de dos
planos que se cortan es una recta. Los planos también se
representan mediante las rectas que forman en las intersecciones de
otros planos.
Todo lo estudiado en este tema serán las construcciones geométricas
que precisamente solamente tienen dos dimensiones y se
representan precisamente en un plano (que se puede considerar
nuestras láminas de dibujo).
Ancho
CONSTRUCCIONES GEOMÉTRICAS BÁSICAS.
Para la correcta realización de los diferentes trazados geométricos
necesitamos saber el manejo preciso de todos los instrumentos de
dibujo: escuadra y cartabón, compás, lápices, transportador de
ángulos, etc. Además se necesita una cierta actitud como limpieza,
orden, precisión, claridad, ...
En todo trazado geométrico distinguiremos siempre tres fases de
realización:
1.- El conocimiento de los datos previos.
2.- Las operaciones gráficas.
3.- El resultado final.
En la representación gráfica (dibujo) diferenciaremos cada una de
estas fases del proceso por el grosor y la visualización del trazado de
las líneas: los datos de partida y las líneas auxiliares que nos ayudan
a construir irán en línea muy fina y en un tono muy claro; los datos o
elementos importantes irán en líneas de grosor medio o tono medio;
el resultado final irá en línea gruesa y en un tono oscuro. Para ello
utilizaremos un lápiz de grafito duro, como puede ser el 4H, siempre
sin apretar y con suavidad, afilado y marcando más fuerte el
resultado.
Primeras construcciones: PARALELAS con las reglas.
Las rectas paralelas NUNCA se cortan.
Para empezar construiremos paralelas con la escuadra y el cartabón.
Mira atentamente el gráfico donde se explica como utilizar las reglas
para hacer paralelas horizontales, verticales y diagonales, así como
los ángulos que se pueden construir con ellas.
Angulo: 90º
Angulo: 90º
Angulo: 45º
Angulo: 45º
ESCUADRA
Angulo: 60º
Angulo: 30º
CARTABÓN
Para dibujar utilizaremos un lápiz
afilado, fino y de dureza alta: un
4H o bien portaminas de 0,5 mm.
Datos: fino y gris medio.
Construcciones: fino y claro
Resultados: más oscuro y grueso
Tanto el lápiz como el compás
han de estar siempre bien afilados
papel de lija
Método para coger bien las reglas
Lámina Nº 1: PARALELAS Y PERPENDICULARES CON REGLAS I. ÁNGULOS CON REGLAS
MATERIALES: Lápiz grafito 4H. Escuadra y cartabón. Láminas de dibujo técnico.
REALIZACIÓN: Una sesión 50 minutos
PASOS:
1. Dividir la lámina en cuatro (4) partes iguales
2. En la primera parte dibujar líneas rectas
paralelas horizontales a 0,5 cm de distancia.
2.2. Dibujar una linea diagonal que forme con
las horizontales un ángulo de 75º. Este ángulo
se realizará con la escuadra y el cartabón.
(figura 1)
3. En la segunda parte dibujar líneas rectas
verticales a 0,5 cm de distancia.
3.2. . Dibujar una linea diagonal que forme con
la horizontal un ángulo de 60º. Este ángulo se
realizará con el cartabón. (figura 2)
4. En la tercera parte dibujar líneas rectas
diagonales a 0,5 cm de distancia con un ángulo
sobre la horizontal de 30º. Realizarlo con el
cartabón. (figura 3)
4.2. . Dibujar una linea diagonal que forme con
las paralelas de 90º (ángulo recto). Este ángulo
se realizará con la escuadra y el cartabón.
(figura 3)
75º
1 cm 1 cm
º
60º
º
45
90
º
90º
º
60
90º
(figura 2)
60º
90
º
90
90º
90
60º
º
5. En la cuarta parte dibujar líneas rectas
diagonales a 0,5 cm de distancia con un ángulo
sobre la horizontal de 45º en los dos sentidos.
Realizarlo con la escuadra y el cartabón.
(figura 4)
5.2. . Las diagonales deberán formar entre sí
cuadrados de 0,5 cm de lado por lo tanto las
dos diagonales deberán formar un ángulo de 90º.
(figura 4)
(figura 1)
(figura 1)
75º
90º
(figura 3)
30º
Fecha
30º
Nombre de Alumno
Nº de lámina
Título de lámina
45º
(figura 4)
45º
Curso
Nota
PARALELAS Y PERPENDICULARES CON REGLAS. ÁNGULOS
º
45
º
30
(figura 3)
45º
30º
45º
º
90
º
75º
60
90º
30º
90º
60º
30º
90º
45º
45º
0º
(figura 2)
3
45º
45º
90º
45
º
90º
120º
(figura 4)
60º
30º
45º
45º
90
º
45
º
60º
90º
45º
45º
45º
30º
60º
90º
90º
REALIZACIÓN del CASILLERO para anotar los DATOS de la LÁMINA y del AUTOR:
Se realizará un casillero con dos rectas paralelas horizontales a 1 cm de separación entre ellas. Dentro del margen.
Dibujar dos paralelas verticales a 30 mm. de los márgenes derecho e izquierdo respectivamente.
El casillero se realizará a lápiz 2H o 4H sin apretar y los datos se escribirán en MAYÚSCULAS y con letra pequeña.
1 cm
3 cm
Fecha
Nombre de Alumno
Curso
1 cm
3 cm
Nº de lámina
Título de lámina
Nota
PARALELAS Y PERPENDICULARES CON REGLAS. ÁNGULOS
60º
90
º
75º
90º
45º
30º
Fecha
Nombre de Alumno
Nº de lámina
Título de lámina
Departamento de
Artes Plásticas
Curso
Nota
PARALELAS Y PERPENDICULARES CON REGLASI. ÁNGULOS
10
vertical
45º
45º
30
60
º
º
90º
º
90º
1
60
º
30
º
45º
90
1
45º
horizontal
90
90
º
45
º
30
90
45
º
º
º
30
º
º
2
60
º
90
45
º
45
º
2
60
º
90
º
º
45
º
90
45
º
90º
60º
º
90
º
º
45
30º
3
45
º
60º
30º
3
90º
45º 135º
75º-105º
1
30º
60º
0º
9
90º
º
1
60
º
90 45º
45º
135º
90º
º
30
45º
2
45º
75º
90º
45º
45º
30º
45º
90º
90º
45º
60º-120º
45º
60º
60º
2
30º
45
º
90º
105º
45
90
º
º
30º
3
º
45
90º
120º
60º
105º
120º
90º
60º
30º
45º
45º
45
º
90
º
60º
90º
150º-30º
cuadrado
1
º
º
45
90
90º
º
45
º
45º
60
º
º
30
90
º
45º
150º
30
150º
60
º
90
º
45º
30º
º
90º
45º
2
60º
30º
30
90º
45º
45º
60
º
90º
90
º
Fecha
Nombre de Alumno
Nº de lámina
Título de lámina
Departamento de
Artes Plásticas
Curso:
Nota:
PARALELAS Y PERPENDICULARES CON REGLAS. ÁNGULOS
11
vertical
45º
45º
30
60
º
º
90º
º
90º
1
60
º
30
º
45º
90
1
45º
horizontal
90
90
º
45
º
30
90
45
º
º
º
30
º
º
2
60
º
90
45
º
45
º
2
60
º
90
º
º
45
º
90
45
º
90º
60º
º
90
º
º
45
30º
3
45
º
60º
30º
3
90º
45º 135º
75º-105º
1
30º
60º
0º
9
90º
º
1
60
º
90 45º
45º
135º
90º
º
30
45º
2
45º
75º
90º
45º
45º
30º
45º
90º
90º
45º
60º-120º
45º
60º
60º
2
30º
45
º
90º
105º
45
90
º
º
30º
3
º
45
90º
120º
60º
105º
120º
90º
60º
30º
45º
45º
45
º
90
º
60º
90º
150º-30º
cuadrado
1
º
º
45
90
90º
º
45
º
45º
60
º
º
30
90
º
45º
150º
30
150º
60
º
90
º
45º
30º
º
90º
45º
2
60º
30º
30
90º
45º
45º
60
º
90º
90
º
Fecha
Nombre de Alumno
Nº de lámina
Título de lámina
Departamento de
Artes Plásticas
Curso:
Nota:
PARALELAS Y PERPENDICULARES CON REGLAS. ÁNGULOS
12
Lámina Nº 2: PARALELAS Y PERPENDICULARES CON REGLAS II. FIGURAS
MATERIALES: Lápiz grafito 4H. Escuadra y cartabón. Láminas de dibujo técnico.
REALIZACIÓN: sesiones de 30 minutos cada figura.
ENUNCIADO Y PASOS: 1º Dibujar la figura propuesta con la escuadra y cartabón, según las cotas y los
ángulos dados.
1.- Dibujar una línea recta en la base del recuadro
donde se va a ralizar el diseño.
En la línea recta se marcan las medidas principales:
30mm. y tres de 20 mm.
2.- Dibujar los ángulos con la escuadra y el cartabón.
Desde el punto indicado del vértice del ángulo poner
el ángulo de 60º con el cartabón. El ángulo de 135º
puede realizarse con la combinación de las reglas o
bien con el ángulo suplementario: 45º con la
escuadra.
135º
60º
90º
45º
20 mm.
20 mm.
20 mm.
30 mm.
45º
20 mm.
3.- Realizar la verticales y paralelas por las zonas
marcadas.
4.- Marcar las cotas verticales 50 mm, 20 mm, 16 mm.
5.- Marcar los ángulos en los vértices indicados
como en el punto 2.
60º
90º
º
90 45º
60º
45º
20 mm.
20 mm.
30 mm.
6.- Unir los extremos superiores, los puntos A y B.
Hallar el punto medio con la mediatriz de AB.
Dibujar un arco de circunferencia de diámetro AB
A
B
30º
60º
30º
60º
16 mm.
50 mm.
20 mm.
30º
7. Realizar paralelas a 0,5 cm en el interior de toda
la figura. Marcar más oscuro o a color la figura
completa.
Para realizar la SEGUNDA figura, elegir UNA, la que más
te guste o diseña tú una nueva. Se trata de que utilices
la escuadra y el cartabón para realizar horizontales,
verticales y oblicuas, paralelas, perpendiculares y
diagonales.
La figura puede decorarse en blanco y negro, con manchas
negras o bien pintarlos y realizar una decoración en color.
30º
60º
50 mm.
20 mm.
Realiza la siguiente figura con la escuadra y cartabón, según las cotas y los ángulos dados.
º
º
20 mm.
60
20 mm.
16 mm.
135
20 mm.
30 mm.
70 mm.
Elige una figura de las de abajo, o bien diseña tu una nueva. Ten en cuenta las paralelas.
Fecha
Nombre de Alumno
Nº de lámina
Título de lámina
Curso
Nota
PARALELAS Y PERPENDICULARES CON REGLAS II
LÁMINAS DE DIBUJO TÉCNICO:
Lámina nº : PARALELAS Y PERPENDICULARES III.
Con compás
Suma los siguientes segmentos
Datos:
Para la realización de las siguientes construcciones hay que tener en
A
cuenta todo los visto anteriormente y seguir los pasos meticulosamente.
1.- Suma de segmentos. Los segmentos se pueden medir. Es la
B
B
C
Realización:
distancia que hay de un punto de un extremo al otro extremo. Esa
distancia puede ser métrica (en cm, mm, etc.) o bien solamente gráfica
C
A
B
Resultado
(la distancia que se puede medir mediante el compás).
Para realizar este ejercicio se utilizará el compás y se sumaran las
distancias gráficas.
Resta los siguientes segmentos
Datos:
A
B
2.-Resta de segmentos: El ejercicio es igual que el anterior pero en
este caso se resta a la primera distancia la segunda distancia con el
compás.
A
C
Realización:
Resultado
A
B
C
3.-Multiplicar un segmento: Como en matemáticas, se suman
consecutivamente las unidades tantas veces como se quiera
multiplicar.
Multiplica el siguiente segmento
por 3.
B
A
4.- Dividir un segmento por 2 (MEDIATRIZ de un segmento)
Para realizar una mediatriz de un segmento se pone el compás en un
extremo del segmento y se abre éste un poco más de la mitad del
segmento. Se traza una semicircunferencia. Estos mismos pasos se
B
A
Divide el segmento MN por 2
(MEDIATRIZ de MN)
realizan en el otro extremo del segmento.
La mediatriz es el primer elemento complejo de geometría y se utiliza
muchísimo en dibujo. La característica geométrica de la mediatriz es
que si de cualquier punto de ella lo unimos a los extremos del segmento
la distancia del punto a un extremo y al otro es la misma.
M
N
LUGAR GEOMÉTRICO: Un lugar geométrico es cuando hay una
agrupación de puntos que tienen en común alguna ley matemática o
geométrica. Lugar geométrico son: la mediatriz, la bisectriz, la
circunferencia, la potencia de un punto, el arco capaz, etc. Ejemplo:
La MEDIATRIZ es el lugar geométrico de todos los puntos del plano que
unidos a los extremos de un segmento son equidistantes.
5.- Dividir un segmento en partes iguales. (Teorema de Thales).
Para dividir un segmento en cualquier número de partes iguales hemos
División de un segmento en partes
iguales.
(TEOREMA DE THALES)
c
b
de dibujar una recta por el extremo del segmento. La distancia y el
a
ángulo pueden ser cualquiera. En esa recta y con el compás, poner la
misma medida tantas veces como queramos dividir el segmento (ver
M
a´
b´
c´
a´
b´
c´
N
suma de segmentos). Con la última medida: unirla con una recta al otro
extremo del segmento. Por último dibujar paralelas a esta última recta.
TEOREMA DE THALES: Si un haz de rectas paralelas son cortadas por
dos recta no paralelas (que se corten entre sí) todos los segmentos
resultantes son PROPORCIONALES. Esta es una proporcion directa:
varian de tal forma que se razón permanece constante. a/b=c/d=p/q= k
M
N
Relación de proporcionalidad:
a
b
c
=
=
a´
b´
c´
(se verá más adelante en la PROPORCIONALIDAD DIRECTA).
14
División de un segmento en partes
proporcionales.
6.- Dividir un segmento en partes proporcionales. (Teorema de
Thales).
Para dividir un segmento en partes proporcionales a otros segmentos
Segmentos dados
dados hemos de actuar igual que con el ejercicio 5: hemos de dibujar
A
B
una recta por el extremo del segmento. La distancia y el ángulo pueden
C
ser cualquiera. En esa recta y con el compás, poner las medidas de los
a
B
b
C
c
c
D
Ejercicio
segmentos dados (se hace con el compás). Con la última medida del
b
último segmento: unirla con una recta al otro extremo del segmento. Por
último dibujar paralelas a esta última recta por los extremos de los
a
b
c
=
=
a´
b´
c´
a
segmentos dados.
M
a´
7.- Levantar una perpendicular por el extremo de una semirecta:
Poner el compás en el extremo de la semirrecta (A). Abrir el compás
N
c´
b´
Perpendicular a
una semirecta.
P
con una medida cualquiera. Dibujar una semicircunferencia. Donde la
mover la anchura,
N
O
semicircunferencia corta a la semirecta, punto M, poner el compás, y sin
dibujar otro arco que corte al primero en N.
r
A
Igualmente, desde N, dibujar otro arco que vaya desde el extremo de la
M
semirecta. Cortará al primer arco en O. Desde O, dibujar otro arco hasta
que corte en P. Se unen P y A con una recta.
8.-Dibujar una perpendicular a la recta s por un punto de la recta
dado P.
Se pone el compás en P y se abre con una distancia cualquiera.
Se dibuja un arco de circunferenica que corte a s en dos partes.
M y N son dos puntos que equidistan de P, luego P es el centro de un
N
P
s
M
segmento formado por M y N. Para hallar la perpendicular se dibuja la
mediatriz de MN.
9.- Dibujar una perpendicular a la recta t por un punto exterior a la
recta dado P.
El ejercicio es idéntico al primero, pero en este caso el punto P está
P
fuera de la recta.
10.- Dibujar una recta paralela a otra y que pase por un punto.
Dada la recta u y el punto P, exterior a ella.
Dibujar un arco de circunferenica, con centro en P y que corte a u, con
t
M
N
un radio cualquiera. Este arco corta a u en M. Desde M dibujar el mismo
arco, esta vez que pase por P, cortará a u en N. Con el compás se mide
la distancia que hay de N a P y trasladar esa distancia desde M hasta
que corte al arco que pasa por M = O. Unir O y P mediante una recta.
P
TEORIA DE LAS PARALELAS: Cuando un par de rectas paralelas son
cortadas por un haz de rectas también paralelas, los segmentos
N
producidos son IGUALES y los ángulos también.
M
a=b=c=d
u
a
a
b
c
b
d
En un trapecio la base menor es igual que
el producido por dos lados paralelos desde
uno de sus vértices.
16
1.- Suma los siguientes segmentos
B
A
2.- Resta los siguientes segmentos
B
C
C
A
D
3.- Multiplica el siguiente segmento a por 3 (ABx3)
B
A
C
4.- Divide el segmento MN por 2 (mediatriz de MN)
B
A
M
6.- Divide el segmento AD en partes proporcionales a
los siguientes segmentos
(teorema de Tales)
5.- Divide el segmento MN por 3
División de un segmento en partes iguales
(teorema de Tales)
A
B
a
B
b
C
c
C
M
N
D
N
M
7.- Perpendicular por el extremo de una semirecta
N
8.-Perpendicular por el punto P perteneciente a la recta r
P
r
A
s
9.-Dibuja una perpendicular a la recta r por un punto A
exterior a ella.
10. Dibuja una paralela a la recta r por un punto A
exterior a ella.
P
P
u
t
Fecha
Nombre de Alumno
Nº de lámina
Título de lámina
Departamento de
Artes Plásticas
Curso
Nota
OPERACIONES CON SEGMENTOS y RECTAS
17
1.- Suma los siguientes segmentos
B
A
A
2.- Resta los siguientes segmentos
B
C
C
3.- Multiplica el siguiente segmento a por 3 (ABx3)
a
A
A
B
AD
D
C
B
A
D
C
B
A
C
4.- Divide el segmento MN por 2 (mediatriz de MN)
B
a
a
a
M
D
A
6.- Divide el segmento AD en partes proporcionales a
los siguientes segmentos
(teorema de Tales)
5.- Divide el segmento MN por 3
División de un segmento en partes iguales
(teorema de Tales)
a
b
c
=
=
a´
b´
c´
a= b = c
a´= b´= c´
N
T
c
A
B
a
B
b
C
c
c
C
D
b
b
a
M
a´
b´
N
c´
a
M
7.- Perpendicular por el extremo de una semirecta
a´
N
c´
b´
8.-Perpendicular por el punto P perteneciente a la recta r
P
N
N
O
P
r
A
M
s
M
9.-Dibuja una perpendicular a la recta r por un punto A
exterior a ella.
10. Dibuja una paralela a la recta r por un punto A
exterior a ella.
M
P
P
N
N
M
u
t
Fecha
Nombre de Alumno
Nº de lámina
Título de lámina
Departamento de
Artes Plásticas
Curso
Nota
OPERACIONES CON SEGMENTOS y RECTAS.
18
1.- Suma de segmentos. Los segmentos se pueden medir.
1.- Suma los siguientes segmentos
Es la distancia que hay de un punto de un extremo al otro
extremo. Esa distancia puede ser métrica (en cm, mm, etc.) o
B
A
B
C
C
D
bien sólo gráfica, es decir, la medida del segmento se traslada
con el compás y no nos importa cuánto mide en cm.
AD
D
C
B
A
Para realizar el ejercicio se dibuja una línea recta cualquiera
y sobre ella se traslada, con el compás, las diferentes
medidas de AB, BC y CD.
2.- Resta los siguientes segmentos
2.- Resta de segmentos. AC-AB.
Sobre una línea recta cualquiera situar la medida del
A
B
A
C
segmento mayor AC y después desde A situar la medida de
B
AB. El resto de AC-AB será BC.
A
C
3.- Multiplica el siguiente segmento a por 3 (ABx3)
3.- Multiplicación de segmentos. AB X 3
Sobre una línea recta cualquiera situar la medida del
a
A
B
segmento a (AB) son el compás tres veces de forma
consecutiva.
a
a
a
A
4.- División de un segmento en dos partes iguales.
Dibujar la MEDIATRIZ de un segmento, (MN).
1. Se dibuja un arco de circunferencia cuyo centro es un
extremo del segmento, M por ejemplo, y cuyo radio es mayor
que la mitad del segmento (se abre el compás a ojo
claramente mayor que la mitad. Se puede coger como radio
NM).
2. Sin tocar el compás y con el mismo radio se coloca en N y
se dibuja otro arco.
3. Se une P y Q que son los puntos donde se cortan los arcos.
Ser precisos al unir los puntos y que pasen solo por P y Q.
Señalar más oscuro o con color fino la mediatriz.
5.- División de un segmento en diversas partes IGUALES.
1. Dibujar el segmento MN.
2.Trazar una línea recta desde M y con cualquier ángulo (no te
quedes corto, da igual que pase de N.
3. Poner medidas IGUALES sobre la recta dibujada. En este
caso del ejercicio 3 medidas iguales.
4. Por el último extremo de las 3 medidas, el punto T, dibujar
una línea que lo una con N.
5. Trazar PARALELAS a TN por los puntos anteriormente
marcados.
6. Estas paralelas cortarán al segmento MN en tantas partes
IGUALES como nos piden en el ejercicio.
- El ejercicio estará MAL si primero intentamos o ponemos las
medidas en MN y luego hacemos paralelas para cortar MT.
- El ángulo que forma NT NO TIENE POR QUE SER RECTO
90º. por lo tanto no dibujar la perpendicular primero y luego
dividir, si MT queda antes o después de N no importa.
Fecha
Nombre de Alumno
Nº de lámina
Título de lámina
D
4.- Divide el segmento MN por 2 (mediatriz de MN)
P
M
N
Q
5.- Divide el segmento MN por 3
División de un segmento en partes iguales
(teorema de Tales)
a
b
c
=
=
a´
b´
c´
a= b = c
a´= b´= c´
c
T
b
a
M
OPERACIONES CON SEGMENTOS y RECTAS.
a´
b´
Departamento de
Artes Plásticas
c´
Curso
Nota
N
6.- División de un segmento en diversas partes
PROPORCIONALES. Teorema de Thales.
1.Dibujar el segmento MN.
2.Dibujar una línea recta desde M y con cualquier ángulo. La
distancia de esta recta es suficiente para contener a, b y c.
3.Desde M situar en la recta anterior, y con el compás, las
medidas de los segmentos a, b y c. Empezar por ejemplo por
AB. Desde M situar la medida de AB.
4. Desde B situar la medida de BC y desde C situar con el
compás la medida de CD.
5.Unir D con N mediante una línea recta.
6.Dibujar paralelar a DN por C y por B hasta que corten a MN.
- El ejercicio estará MAL si primero intentamos o ponemos las
medidas en MN y luego hacemos paralelas para cortar MT.
- La suma de a+b+c NO ES IGUAL que MN, es
PROPORCIONAL
- El ángulo que forma NT NO TIENE POR QUE SER RECTO
90º. por lo tanto no dibujar la perpendicular primero y luego
dividir, si MT queda antes o después de N no importa.
7.- Dibujar una perpendicular por el extremo de una
semirecta. A
1. Poner el compás en el punto A y abrirlo con un radio
cualquiera.
2. Trazar un arco hasta que corte a r. (la semirecta)
3. Donde a cortado el arco a la semirecta, el punto M, y con el
mismo radio anterior, poner el compás( sin mover el radio).
Este nuevo arco cortará al primero en el punto N.
4. Poner como antes el compás en N y dibujar un nuevo arco
que pasará por el punto A y que cortará al arco anterior en el
punto O.
5. Poner el compás en O y dibujar un nuevo arco que corte al
anterior en el punto P.
6. Unir el punto P con el punto A.
7. Marcar más oscuro o en color fino la perpendicular.
6.- Divide el segmento AD en partes proporcionales a
los siguientes segmentos
(teorema de Tales)
A
B
a
B
b
C
D
c
C
D
c
a
b
c
=
=
a´
b´
c´
C
b
B
A
M
A´
a
a´
b´
B´
C´
N
D´
c´
7.- Perpendicular por el extremo de una semirecta
P
N
O
r
A
M
8.-Perpendicular por el punto P perteneciente a la recta r
8.- Dibujar una PERPENDICULAR a la recta s y que pase
por el punto P perteneciente a s.
1. Poner el compás en el punto P y abrirlo con cualquier radio.
2.Dibujar un arco cualquiera que corte la recta s en dos
puntos M y N.
3. Los punto M y N son los extremos de un segmento el MN.
4. Dibujar la MEDIATRIZ del segmento MN como en el
ejercicio 4. La mediatriz de MN será la PERPENDICULAR a s
que además pasa por P.
N
P
M
s
9.-Dibuja una perpendicular a la recta r por un punto A
exterior a ella.
M
P
N
9.- Dibujar una PERPENDICULAR a la recta t y que pase
por el punto P exterior a la recta t.
Igual que en el ejercicio 8
1. Poner el compás en el punto P y abrirlo con cualquier radio
siempre que corte a la recta t holgadamente.
2.Dibujar un arco cualquiera que corte la recta t en dos
puntos M y N.
3. Los punto M y N son los extremos de un segmento el MN.
4. Dibujar la MEDIATRIZ del segmento MN como en el
ejercicio 4. La mediatriz de MN será la PERPENDICULAR a t
que además pasa por P.
t
Fecha
Nombre de Alumno
Nº de lámina
Título de lámina
OPERACIONES CON SEGMENTOS y RECTAS.
Departamento de
Artes Plásticas
Curso
Nota
LÁMINAS DE DIBUJO TÉCNICO:
Lámina nº 6: ÁNGULOS
Un ángulo se forma cuando dos rectas se cortan. El punto de
intersección es el vértice y las rectas los lados de los ángulos que se
90º
180º
recto
llano
forman. Se puede decir que un ángulo es la parte del plano limitada
por dos semirectas, llamadas lados, que parten de un mismo punto,
llamado vértice.
Los ángulos se nombran con letras griegas a
,
b
,
c
,
minúsculas o con la
misma letra que su vértice (que es un punto).
Los ángulos se miden en grados, con un transportador. Cada grado
tiene 60 minutos y cada minuto 60 segundos.
- Cuando un ángulo mide 90º se llama ángulo recto.
- Si mide 180º, ángulo llano.
-Los ángulo de menos de 90º se llaman agudos y los que tienen más
de 90º obtusos.
-Dos ángulos son complementarios, si su suma es un ángulo recto y
>90º
<90º
Agudo
Obtuso
a
b
b
a
Suplementarios
Complementarios
se llaman suplementarios si su suma es un ángulo llano.
-Cuando una recta corta a otras dos paralelas forman ángulos con las
b
a
a
b
siguientes propiedades: Todos los ángulos a
y los b
son iguales.
Observar en los otros dibujos como coinciden los ángulos en
b
a
a
b
determinadas figuras geométricas.
BISECTRIZ DE UN ÁNGULO: La bisectriz es una recta que divide a
un ángulo en dos partes iguales. Es el Lugar Geométrico de los
ángulo.
Para dibujarla se traza un arco con centro en V que corte a los lados
en los puntos M y N.
a
b
a
puntos del plano que equidistan de dos rectas llamadas lados del
b
a
a
aa
La bisectriz coincide con la mediatriz del
segmento MN.
Para trazar la bisectriz de dos rectas que no se cortan en el papel:
1. Se traza la bisectriz de dos rectas paralelas a los lados del ángulo a
b
b
igual distancia.
2. También se puede hacer cortando con una recta los dos lados del
ángulo y trazando las bisectrices de los ángulos que forman.
BISECTRIZ DE UN ÁNGULO
Para trazar ángulos con las reglas ya se ha visto en el primer ejercicio
o lámina.
Para trazar ángulos con el compás:
- ángulos de 90º, vistos en la lámina anterior.
-Para un ángulo de 45: trazar la bisectriz del de 90º
-ángulo de 60º: dibujar un triángulo equilátero, trazando dos arcos con
M
V
N
el mismo radio y con centro en V y P.
V
BISECTRIZ DE UN ÁNGULO CUANDO LOS LADOS NO SE CORTAN EN EL PAPEL
ADYACENTE Y/O
Los ángulos se miden en grados, minutos y segundos
60º35´42´´
bCONSECUTIVO
a
b
180º
105º
6O º
90º
90º
Ángulo AGUDO
= 90º
Ángulo OBTUSO
Ángulo RECTO
Ángulo LLANO
COMPLEMENTARIOS
SUPLEMENTARIOS
Construcción de ángulos con la escuadra y el cartabón.
Ángulos de las
reglas
90º
ab
a
90º
º
90
º
90º
60
30º
60º
135º
90º
90º
90º
45º
45º
60º
º
90 45º
30
45º
Cartabón
Escuadra
45º
º
30º
45º
45º
45º
135º
75º
º
90
º
45
30
60
º
90º
45º
60º
30º
30º
60º
165º
º
90
45º
90º
90º
º
45
º
30º
45º
45º
105º
60º 120º
Ángulos de la circunferencia
120º
120º
Ángulo Seminscrito
o
aw
o
Ángulo Exterior
Ángulo Exterior
V
b
g
o
b
a
=
b
/
2
o
a
=
(
b
g
)
/
2
g
b
g
b
a
=
b
/
2
a
a
a
Tg
a
b
Ángulo Interior
V
o
Ángulo Inscrito a
a
=w
= 90º
Ángulo Central bb
=180º
o
º
45
º
90
60º
30º
150º
60º
30º
a
=
b
/
2
90º
90º
150º
a
90º
Algunos ángulos se
pueden construir con el
ángulo suplementario.
º
45
15º
a
=
(
b
g
)
/
2
a
=
(
b
g
)
/
2
El ángulo inscrito siempre es la mitad del ángulo central, por eso cualquier punto de la semicircunferencia es un ángulo de 90º con respecto
al diámetro de la misma.
Opuestos por el vértice
Correspondencia de
ángulos cuando dos
rectas paralelas son
cortadas por otra
recta cualquiera.
b
6
3
b
Alternos:1-2,3-4, ...
correspondientes:
2-5, 3-8, ...
b
4
8
b
7a
BISECTRIZ de un ángulo
División de un ángulo en dos
partes iguales.
E E´
B
C
a b
b
a
A,B,C,..interiores de un
polígono. E´ exterior.
30º
A es cóncavo
D convexo.
ag
b
aa
w
Suma de ángulos
de un cuadrilátero:
360º.
90º
b
a
+
b
+
g
+
w
= 180º
Ejemplo: si b
mide 75º entonces 75º+75º=150º
¿cuánto mide a
?. 360º-150º=210º/2=105º.
90º
t
Ángulos iguales
a
a
Nombre de Alumno
Título de lámina
o
b
B
Arco Capaz.
t
aw
o
o
A
Nº de lámina
a
+
b
+
g
= 180º
Ángulos de un trapecio
isósceles
30º
Fecha
g
b
Suma de ángulos
de un triángulo:180º
b
Bisectriz cuando el vértice
está fuera del papel.
r
a
D
D
Ángulos de lados
perpendiculares
r
A
F
Ángulos de lados paralelos
División de un ángulo
en partes iguales
Polígono convexo
A
a
1a
2
a
Polígono cóncavo.
a
5
a
Arco Capaz de 90º
Departamento de Curso
Artes Plásticas y
Dibujo
Nota
Resumen recordatorio de ÁNGULOS
23
Lámina Nº 4: ÁNGULOS CON EL COMPÁS.
MATERIALES: Lápiz grafito 4H. Escuadra y cartabón. Láminas de dibujo técnico.
La lámina se deberá realizar en una sesión de 55 minutos..
EJERCICIOS:
1.- Construir un ángulo con el semicírculo que sea de 60º y otro de 120º
2.- Medir con el transportador de ángulos los cuatro ángulos dibujados en la ficha.
3.- Dibujar la BISECTRIZ del ángulo dado.
4.- Dividir un ángulo el ángulo de 90º dado en tres partes iguales.
5.- Sumar los ángulos a
yb
dados.
6. Construir los siguientes ángulos con el compás: 15º, 22º30´, 30º, 45º, 60º, 75º, 90º,105º, 120º, 135º.
BISECTRIZ de un ángulo.
1. Lo primero que debemos hacer es un ARCO con
centro en el vértice V y radio cualquiera. Este arco
cortará a los lados del ángulo en dos punto P y Q.
2. Desde P y desde Q dibujar dos arcos con el mismo
radio.
3. Estos arcos se cortarán entre sí en F.
4. Unir F con V y marcar más oscuro o en color.
1.- BISECTRIZ de un ángulo
División de un ángulo en dos
partes iguales.
P
F
V
Dividir un ángulo recto en tres partes iguales.
Q
2.- Dividir un ángulo de 90º en tres partes iguales con el compás
Un ángulo recto es de 90º. Dividir un ángulo de 90º en
tres partes iguales saldría a 30º cada uno. El ejercicio
consiste en realizar ángulo de 60º.
Pasos: 1. Dibujar un arco cualquiera que corte a los
lados del ángulo en los punto M y N
2. Con el mismo radio que el arco anterior poner el
compás en M y en N y dibujar dos arcos iguales que
cortarán al primero en los puntos P y Q.
3. Unir V con P y con Q.
M
30
P
30
Q
30
90
V
N
3.- Suma los siguientes angulos a y b
Sumar o restar ángulos.
En este ejercicio sumaremos dos ángulos a y b, que
serán trasladados y se pondrán uno después de otro.
1. Dibujar una recta cualquiera en el lugar que nos
interese. Poner un punto que será el vértice V.
(si ya están puestos estos datos realizarlo desde allí)
2. Dibujar un arco IGUAL para los dos ángulos a y b
y dibujarlo igualmente desde V.
3. Con el compás medir el arco a y ponerlo a partir de M.
4. Medir con el compás el arco b y ponerlo a partir de N.
5. Desde P, dibujar una recta hasta V.
6. Marcar más oscuro o en color el ángulo resultante.
b
a
V
V
P
aa
+
b
N
b
V
M
t
Fecha
Nombre de Alumno
Nº de lámina
Título de lámina
OPERACIONES CON ANGULOS.
Departamento de
Artes Plásticas
Curso
Nota
Lámina Nº 4: ÁNGULOS CON EL COMPÁS.
6. Construir los siguientes ángulos con el compás: 15º, 22º30´, 30º, 45º, 60º, 75º, 90º,105º, 120º, 135º.
La construcción de ángulos con el compás está basado en la geometría. Algunos los hemos visto ya como es el
de 90º (perpendicular a una recta con el compás), el de 45º (bisectriz de 90º), 22º 30´ (bisectriz de 45º) y otros
están basados en la costrucción de triángulos, por ejemplo los relacionados con ángulos de 60º (la mitad 30º,
la mitad de 30º, 15º, etc.). Un triángulo equilátero (tiene los tres lados iguales y por lo tanto los tres ángulos
iguales) tiene tres ángulos de 60º, puesto que 60º x 3 = 180º, que es la suma de los ángulos de los triángulos.
Los demás ángulos como 75º, 135º, etc. están basados en la suma de diferentes ángulos o en ángulos complementarios o suplementarios. Ejemplo: 75º = 45º + 30º, para construir un ángulo de 75º hay que sumar un
ángulo de 45º y otro de 30º.
ÁNGULO DE 60º y de 120º
1.- ÁNGULO DE 6Oº y 120º grados
1. Como hemos dicho anteriormente un ángulo de 60º es el de un
triángulo equilátero, por lo tanto la solución estará en construir uno,
de las medidas del lado que queramos.
2. Dibujar una recta cualquiera como base.
3. Poner el compás donde queramos de la recta, por ejemplo A.
4. Abrir el compás con un radio aleatorio, por ejemplo hasta B.
5. Trazar un arco. Sin mover el radio poner el compás en B y
trazar otro arco (de radio BA).
6. Unir A con P, punto donde se cruzan los dos arcos.
7. Señalar mediante un arco más pequeño el ángulo de 60º.
P
A
- El ángulo de 120º será el suplementario de 60º. Es decir, la recta
es un ángulo llano de 180º, si construimos unos de 60º, lo que nos
queda será un ángulo de 120º; 60º + 120º = 180º.
ÁNGULO DE 30º, de 15º y de 150º.
1. El ángulo de 30º es la mitad de 60º. Por lo tanto para construir
uno habrá que trazar la BISECTRIZ de un ángulo de 60º.
2. Sobre una recta cualquiera como base construir un ángulo de 60º
y trazarle posteriormente la bisectriz.
3. Si a este ángulo de 30º construido le trazamos la bisectriz igualmente obtendremos dos ángulos de 15º.
4. El ángulo SUPLEMENTARIO de 30º es el de 150º.
6O º
120º
B
2.- ÁNGULO DE 30º y 15º grados. Ángulo de 150º.
150º
30º
165º
15º
Una vez construido el de 30º
ÁNGULO DE 90º y de 45º.
3.- ÁNGULO DE 90º, de 45º y de 135º grados
1. Para construir el ángulo de 90º, realizar el ejercicio nº 7 de la
lámina de “Paralelas y perpendiculares con el compás” visto
anteriormente.
2. Para construir el ángulo de 45º, hallar o dibujar la BISECTRIZ del
ángulo de 90º.
3. El ángulo 22º30' es la bisectriz de 45º.
4. El ángulo 135º es el suplementario de 45º.
90º
135º
ÁNGULO DE 75º.
1. Para realizar el ángulo de 75º tienes dos opciones: a) Suma los
ángulos de 30º + 45º construidos anteriormente con el procedimiento aprendido en la ficha. b) De un ángulo de 90º divídelo en
tres partes, como en el ejercicio 2 de la página anterior y dibuja
la bisectriz de uno de los ángulos de 30º resultantes. Suma
entonces 15º (bisectriz de 30º) + 60º (30º + 30º)
Fecha
Nombre de Alumno
Nº de lámina
Título de lámina
OPERACIONES CON ANGULOS.
45º
ÁNGULO DE 105º.
1. También tienes dos opciones: una es que
sumes los ángulos 45º + 60º, y la otra opción
es que dibujes un ángulo de 75º, el ángulo
suplementario es el de 105º buscado.
Departamento de
Artes Plásticas
Curso
Nota
Mide los siguientes angulos con el transportador
Construcción de un ÁNGULO DE 6Oº con el semicirculo
90
75
60
20
1
45
30
22.
0
180
5
ANGULOS CONSTRUIDOS CON EL COMPÁS
2.- Dividir un angulo de 90º con el compás
3.- Suma y resta de angulos
a b
1.- BISECTRIZ de un ángulo
V
V
90
V
V
CONSTRUIR LOS SIGUIENTES ÁNGULOS CON EL COMPAS
1.- ÁNGULO DE 6Oº y 120º grados
V
15º, 22º30´ ,30º ,45º , 60º , 75º , 90º , 120º y 135º
2.- ÁNGULO DE 30º y 15º grados, Ángulos de 150º y 165º.
3.- ÁNGULO DE 90º, 45º y 22º30´ grados
Fecha
Nombre de Alumno
Nº de lámina
Título de lámina
5.- ÁNGULO DE 45º + 30º = 75º
6.- ÁNGULO DE 105º
Departamento de
Artes Plásticas
Curso
Nota
ÁNGULOS CON EL COMPÁS
22
Medidas de ángulos con el Transportador de ángulos o
Mide los siguientes angulos con el transportador
Construcción de un ÁNGULO DE 6Oº con el semicirculo
90
75
60
0
12
45
30
0
180
5
22.
ANGULOS CONSTRUIDOS CON EL COMPÁS
2.- Dividir un ángulo de 90º en tres partes iguales
con el compás
3.- Suma y resta de angulos
1.- BISECTRIZ de un ángulo
División de un ángulo en dos
partes iguales.
a b
V
V
30
30
+
b
aa
30
90
b
V
V
V
CONSTRUIR LOS SIGUIENTES ÁNGULOS CON EL COMPAS
1.- ÁNGULO DE 6Oº y 120º grados
15º, 22º30´ ,30º ,45º , 60º , 75º , 90º , 120º y 135º
2.- ÁNGULO DE 30º y 15º grados, Ángulos de 150º y 165º.
P
165º
150º
6O º
120º
15º
30º
A
B
3.- ÁNGULO DE 90º, 45º y 22º30´ grados
5.- ÁNGULO DE 45º + 30º = 75º
6.- ÁNGULO DE 105º
15º
105º
75º
30º
75º
45º
90º
135º
45º
Fecha
Nombre de Alumno
Nº de lámina
Título de lámina
6Oº
45º
ÁNGULOS CON EL COMPÁS
Departamento de Curso
Artes Plásticas y
Dibujo
Nota
GEOMETRÍA PLANA. 3º de ESO
Relación de láminas de geometría plana de la primera evaluación
Estas láminas las tienes a tu disposición en la página de internet:
http:/intercentres.gva.es/iesnouderramador
2
Realiza la siguiente figura con la escuadra y cartabón, según las cotas y los ángulos dados.
20
1
30º
Departamento de Artes Plásticas
60º
50
0º
15
16
30
135º
60º
30
20
70
20
Elige una figura de las de abajo, o bien diseña tu una nueva. Ten en cuenta las paralelas.
60º
90
º
75º
90º
Fecha
30º
Nombre de Alumno
Nº de lámina
Título de lámina
45º
Curso
Fecha
Nombre de Alumno
Curso
Nota
Nº de lámina
Título de lámina
Nota
PARALELAS Y PERPENDICULARES CON REGLAS. ÁNGULOS
Suma los siguientes segmentos
Resta los siguientes segmentos
B
C
C
A
D
B
Mide los siguientes angulos con el transportador
Construcción de un ÁNGULO DE 6Oº con el semicirculo
A
C
4
90
75
60
0
12
45
30
Multiplica el siguientes segmento por 3
Divide el segmento MN por 2 (mediatriz de MN)
22.5
B
A
M
N
Divide el segmento AD en partes proporcionales a
los siguientes segmentos
(teorema de Tales)
Divide el segmento MN por 3
División de un segmento en partes iguales
(teorema de Tales)
0
180
3
B
A
PARALELAS Y PERPENDICULARES CON REGLAS II
ANGULOS CONSTRUIDOS CON EL COMPÁS
2.- Dividir un angulo de 90º con el compás
3.- Suma y resta de angulos
1.- BISECTRIZ de un ángulo
b
a
A
B
a
B
b
C
c
C
30
D
30
a+ b
a
b
30
90
M
N
D
A
CONSTRUIR LOS SIGUIENTES ÁNGULOS CON EL COMPAS
15º, 22º30´ ,30º ,45º , 60º , 75º , 90º , 120º y 135º
Perpendicular por el punto P perteneciente a la recta r
Perpendicular por el extremo de una semirecta
1.- ÁNGULO DE 6Oº y 120º grados
P
2.- ÁNGULO DE 30º y 15º grados
r
90º
6O º
120º
r
Dibuja una perpendicular a la recta r por un punto A
exterior a ella.
P
3.- ÁNGULO DE 90º grados
30º
4.- ÁNGULO DE 45º grados
5.- ÁNGULO DE 45º + 30º = 75º
6.- ÁNGULO DE 105º
Dibuja una paralela a la recta r por un punto A
exterior a ella.
A
105
75
45
r
45
6O
r
Fecha
Nombre de Alumno
Curso
Fecha
Nombre de Alumno
Curso
Nº de lámina
Título de lámina
Nota
Nº de lámina
Título de lámina
Nota
OPERACIONES CON SEGMENTOS.
ÁNGULOS CON EL COMPÁS
GEOMETRÍA PLANA. 3º de ESO
Relación de láminas de geometría plana de la primera evaluación
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Departamento de Artes Plásticas
5
2.- Inscribir un TRIÁNGULO EQUILÁTERO en una circunferencia
de radio r = 25 mm.
1. Dibujar un TRIANGULO EQUILATERO de lado L= 50 mm.
C
C
6
2.- Dibujar un CUADRADO dada la diagonal.
1.- Dibujar un CUADRADO de lado L= 38 mm.
d
D
B
B
A
A
A
d
C
C
D
B
L
B
A
3. Dibujar un TRIÁNGULO ISÓSCELES con las siguientes medidas:.
BASE = 25 mm y lados iguales L = 55 mm.
4. Dibujar un TRIANGULO ESCALENO de lados:
a = 55 mm b = 45 mm c = 65 mm
3. Dibujar un RECTÁNGULO de lados:
L1
b
b
a
L
4. Dibujar un RECTÁNGULO de medidas:
B
A
C
d
DIAGONAL d =
LADO AB =
L2
c
D
C
L2
L2
d
A
C
c
L1
b
a
b
B
A
D
6.-Dibujar un ROMBO dado el lado
y la diagonal:
5.-Dibujar un ROMBO dadas las diagonales:
B
C
d1
a
B
A
7.-Dibuajr el ROMBO dado el lado y el ángulo:
ángulo A 60º
L
L
d
d2
D
c
D
6.-Dados los siguientes lados,
dibujar un TRIÁNGULO RECTÁNGULO.
5. Hallar la circunferencia circunscrita al siguiente triángulo:
C
L
L
d1
A
a = un lado
C
D
C
d
A
C
d2
c= hipotenusa.
60º
L
A
B
A
B
B
8.-TRAPECIO ISÓSCELES. dado:
9.-TRAPECIO RECTÁNGULO:
L
BM
h
10.-TRAPEZOIDE:
BM
bm
D
B
L1
L2
L3
L4
d
h
C
bm
bm
c
b
L2
L3
L
h
L
h
d
L4
A
L1
B
C
A
a
Fecha
Departamento de
Artes Plásticas y
Dibujo
Nombre de Alumno
Nº de lámina
Título de lámina
BM
B
BM
Curso
Fecha
Nombre de Alumno
Nota:
Nº de lámina
Título de lámina
Departamento de Curso
Artes Plásticas y
Dibujo
Nota
CUADRILÁTEROS
TRIÁNGULOS
1.- PENTÁGONO dado el RADIO
7
r = 25 mm.
2.- PENTÁGONO dado el LADO
AB = 30 mm.
8
D
A
POLIGONO DE 9 LADOS DADA LA CIRCUNFERENCIA DE RADIO = 40 mm
METODO GENERAL
A
C
E
1
M
E
B
2
3
2
4
r
5
L
6
A
D
C
B
Q
7
8
4.- OCTOGONO DE RADIO R=30 mm.
3.- HEXAGONO dado el RADIO r = 35 mm.
9
A
A
H
B
B
F
B
UNDECAGONO DE LADO = 36 mm.
r
G
METODO GENERAL
C
G
F
H
F
E
D
C
I
E
E
D
El lado del hexagono es igual al radio
El radio del octógono es la circunferencia del cuadrado.
12
6.- HEPTAGONO ESTRELLADO DE RADIO r = 30 mm.
5.- PENTAGONO ESTRELLADO DE RADIO r = 30 mm.
A
B
11
10
A
D
J
9
8
7
E
B
C
G
6
C
K
D
F
A
D
C
B
E
Fecha
Nombre de Alumno
Nº de lámina
Título de lámina
Departamento de
Artes Plásticas
POLÍGONOS REGULARES
Curso
Fecha
Nombre de Alumno
Nota
Nº de lámina
Título de lámina
POLÍGONOS REGULARES MÉTODO GENERAL
Departamento de
Artes Plásticas
Curso
Nota
GEOMETRÍA PLANA. 3º de ESO
Relación de láminas de geometría plana de la primera evaluación
Departamento de Artes Plásticas
1
2
3
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LÁMINA 1. PARALELAS Y PERPENDICULARES CON LAS REGLAS 1. (ángulos con la
escuadra y cartabón)
Realizar las paralelas con la escuadra y cartabón a 5 mm. de separación. Añadir los ángulos indicados:
Dividir la lámina en 4 partes iguales.
1. En el primer recuadro dibujar paralelas horizontales. Dibujar una diagonal a 75º que corte a las paralelas.
2. En el segundo recuadro dibujar paralelas verticales. Dibujar una diagonal a 30º
3.- En el tercer recuadro dibujar paralelas diagonales con un ángulo de 60º. Dibujar una recta perpendicular a
paralelar (ángulo 90º).
4. En el cuarto recuadro dibujar cuadrados con una inclinación con respecto a la horizontal de 45º.
las
LÁMINA 2. PARALELAS Y PERPENDICULARES CON LAS REGLAS 2. (Construcción de
figuras geométricas)
A.- Realizar la figura propuesta a escala 1:1 según las medidas de las acotaciones. Tomar las medidas del
croquis de la fotocopia.
B.- A continuación realizar un diseño inventado como los que aparecen abajo de ejemplo. La condición es que
debe reflejar líneas rectas paralelas y ángulos, realizando una composición geométrica.
LÁMINA 3. SEGMENTOS. PARALELAS Y PERPENDICULARES CON EL COMPÁS.
Realizar los ejercicios propuestos:
1.- Sumar tres segmentos dados. Se colocan de forma consecutiva uno después del otro unidos por los
puntos en común. Primero se dibuja una recta y después se coloca sobre ella las medidas de AB, BC, CD que
se han tomado una a una con el compás.
2.- Restar dos segmentos dados. Se coloca el segmento más grande y se le resta el más pequeño. (se
cogen las medidas con el compás)
3.- Multiplicar un segmento por 3. Se dibuja una recta. Se toma la medida del segmento con el compás. Se
pone esa medida tantas veces como se pida sobre la recta.
4.- Dividir un segmento en dos partes iguales (Mediatriz de un segmento). Se pone el compás sobre M o N y
se abre más de la mitad del segmento. Se dibuja un arco arriba y abajo del segmento. La misma operación se
realiza en el otro extremo del segmento. Unir las intersecciones de de los arcos que se cortan mediante una
recta.
5.- Dividir un segmento en PARTES IGUALES (Teorema de Tales). Se dibuja una recta (r) desde cualquier
extremo del segmento y con cualquier ángulo (por ejemplo desde M). Sobre ella (r) poner con el compás,
abierto con cualquier apertura, tantas medidas como nos propongan dividir el segmento original (sumar las
medidas, segmentos, uno tras otro desde M). Unir la última parte de estas divisiones con el otro extremo del
segmento (N): se obtiene una recta (t). Dibujar paralelas a esta recta (t) por las divisiones que hemos dibujado
al principio hasta que corten al segmento MN.
6.- Dividir un segmento en PARTES PROPORCIONALES (Teorema de Tales). El procedimiento es igual que
el anterior pero en la recta r sumanos los segmentos, a partir de M, que nos da el enunciado. En el ejercicio
anterior sobre r se sumaban segmentos iguales, y en este ejercicio se suman segmentos diferentes.
7.- Construir una PERPENDICULAR por el extrema de una semirecta (ángulo de 90º).Se dibuja un arco de
circunferencia de radio cualquiera y con centro en el extremo de la semirecta. A partir de ahora, y sin mover el
radio del compás, se van haciendo los mismos arcos con centro donde vayan cortando los anteriores.
8.- Dibujar una perpendicular a una recta por un punto de la misma. Se trata de hacer una perpendicular a un
segmento cualquiera cuyo centro es el punto que nos dan.
m9.- Dibujar una perpendicular a una recta por un punto exterior a la misma. Idem anterior pero en este caso el
punto está fuera de la recta.
10.- Trazar una paralela a una recta dada por un punto exterior a ella. Varios métodos.
4
LÁMINA 4. ÁNGULOS (ángulos con el transportador y construcción de ángulos con el
compás)
1.- Medir los cuatro ángulos dibujados con el transportador de ángulos si señalarlos en la ficha.
2.- Realizar los tres ejercicios propuestos:
a. Dividir un ángulo cualquiera en dos partes iguales (BISECTRIZ de un ángulo). Se abre el compás con
cualquier radio. Se coloca en el vértice del ángulo y se traza un arco que corte a los dos lados del ángulo. Con
centro en estos lado, donde cortó el arco anterior y abriendo el compás lo suficiente, se trazan dos arcos que
se cortan en un punto de la bisectriz. Unir mediante una recta este punto último con el vértice del ángulo.
b. Dividir un ángulo de 90º en tres partes iguales (3 ángulos de 60º). Dibujar ángulo de 60º iguales (o
triángulos equiláteros) desde el vértice del ángulo.
c. Sumar o restar dos o más ángulos.
3.- Dibujar o construir los siguientes ángulos con el compás:
15º, 22º y 30´, 30º 45º, 60º, 75º, 90º, 120º, 135º.
Se trata de dibujar para los de 90º una perpendicular a una recta. El de 45º la bisectriz del ángulo anterior. etc.
Para el de 60º un triángulo equilátero. Para el de 30º la bisectriz del de 60º, etc. También se puede hacer con
el ejercicio 2.b.
Para los demás ángulo se trata de sumar o rectar lo ángulos anteriores o bien pensar como saldrían si resto a
180º (una recta) un ángulo ya construido (por ejemplo para hallar el de 135º, 120º, etc ya estudiados.
GEOMETRÍA PLANA. 3º de ESO
Relación de láminas de geometría plana de la primera evaluación
Departamento de Artes Plásticas
Estas láminas y las soluciones las tienes a tu disposición en la página de internet:
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Construir las siguientes figuras geométricas según los datos de cada enunciado:
Cuando los datos sean numéricos realizarlos con las reglas milimetradas.
Cuando los datos son gráficos utilizar el compás para trasladar las medidas. (Ejemplo: si los lados de un
triángulo están dibujados como segmentos, coger las medidas con el compás. No utiliar las reglas para
medirlo porque puede ser que no sean números enteros.)
5
LÁMINA 5. TRIÁNGULOS.
1.- Dibujar un triángulo EQUILÁTERO de lado 50 mm. (todos los lados iguales. Sus ángulos forman 60º,
recordar ángulos). Dibujar el segmento AB = 5 cm. en la parte inferior. Poner el compás en A y abrir hasta B,
dibujar un arco. Realizar la misma operación poniendo el compás en B. Unir donde se cortan los dos arcos con
A y con B.
2.- Dibujar un triángulo EQUILÁTERO que está inscrito en una circunferencia (El triángulo está dentro de
la circunferencia y sus vértices pertenecen a la misma). Radio de la circunferencia 25 mm. El lado de un
hexágono es igual que el radio de la circunferencia circunscrita. Un triángulo es la mitad de un hexágono.
Dibujar un diámetro a la circunferencia. Poner el compás en un extremo del diámetro. Abrir el compás hasta el
centro de la circunferencia y dibujar un arco hasta que corte a ésta en ambos lados. Unir el extremo del
diámetro con estos dos puntos.
3.- Dibujar un triángulo ISÓSCELES de base 25 mm y de lado 55 mm. Dibujar la base. Con el compás y de
radio el lado dibujar dos arcos con centro en A y en B.
4.- Dibujar un triángulo escaleno de lados: a=55mm. b=45mm, c=65mm.
5.- Circunscribir una circunferencia a un triángulo cualquiera. Considerar sus vértices como tres puntos.
El ejercicio se resuelve como si fuera pasar una circunferencia por tres puntos. Hallar las mediatrices de cada
uno de los lados del triángulo. Donde se crucen las mediatrices será un punto (llamado Circuncentro) que es
el centro de la circunferencia que se pide. La circunferencia ha de pasar por los punto A,B y C.
6.- Dibujar un triángulo rectángulo de medidas dadas. Los lados son a=cateto y b=hipotenusa. Dibujar
primero un ángulo de 90º. Colocar en uno de los lados el cateto y en su extremo, con el compás hacer un arco
igual a la medida de la hipotenusa.
LAMINA 6. CUADRILÁTEROS.
6 1.- Dibujar un cuadrado de lado 38 mm. Dibuja un lado con la medida. Por cada extremo de este segmento
dibuja dos perpendiculares. Lleva con el compás la medida del lado a cada perpendicular.
2.- Dibujar un cuadrado dada la diagonal. Primero hallar la mediatriz de la diagonal. Después dibujar una
circunferencia con la diagonal (radio la mitad de la diagonal). Por la mitad de la diagonal trazar una
perpendicular. Por cada extremo de cada diagonal unir para hallar los lados del cuadrado.
3.-Dibujar un rectángulo de lados dados. Primero dibujar el lado mayor y en cada extremo levantar
perpendiculares donde se pone el lado menor.
4.-Dibujar un rectángulo dada la diagonal y un lado. Con la diagonal, y como hemos explicado con el
cuadrado, se dibuja una circunferencia. Los extremos de la diagonal son los puntos-vértices A y C. Poner el
compás en A y dibujar un arco con radio el lado del rectángulo AB. Hacer lo mismo con el extremo C.
5.-Dibujar un rombo dadas las dos diagonales. Dibujar las dos diagonales perpendiculares y que se corten
por la mitad. Unir cada extremo de las diagonales.
6.-Dibujar un rombo dado el lado y la diagonal. Primero se dibuja la diagonal y con el compás y de radio el
lado, se hacen arcos con centro en los extremos de la diagonal.
7.-Dibujar un rombo dado el lado y un ángulo. Se dibuja un lado y en su extremo se dibuja el ángulo. En
cada lado se pone la medida del lado y para finalizar hay dos opciones, o bien se dibujar paralelas a cada lado
o bien en cada extremo de los lados dibujados y con el compás se dibujan arcos con el radio el lado.
8.- Dibujar un trapecio isósceles dado la base mayor, el lado y la altura del trapecio (distancia entre las
dos bases). Se coloca el lado mayor en la parte inferior, por la mitad se levanta un perpendicular con la medida
de la altura. Con esa distancia se dibuja una paralela a la base mayor (o perpendicular a la altura). Con el
compás y de radio el lado se dibuja un arco hasta que corte a la paralela anterior. El compás hay que ponerlo
en los extremos de la base mayor.
9.-Dibujar un trapecio rectángulo dada la base mayor, la base menor y la altura. Construir un ángulo de
90º y poner en cada lado del ángulo las medidas de la base mayor y de la altura. Perpendicular a la altura (o
paralela a la base mayor) se dibuja la base menor. Unir el extremo libre de la base mayor con el de la base
menor.
10.- Dibujar un trapezoide con las medidas dadas. La solución consiste en dibujar triángulos con los datos
que nos dan. Vamos a empezar con la diagonal y dos de los lados, L2 y L3. Si tomamos como base la diagonal
ya dibujada, construimos otro triángulo con los lados que nos faltan.
SEGÚN SUS LADOS
LADOS
Equilátero
C
Todos iguales
A
Rectángulo
Iguales.
Son los
tres de
60º
a=b=c
b
a
SEGÚN SUS ÁNGULOS
ÁNGULOS
A
Isósceles
a=b=c
c
Escaleno
Menores de 90º
Ángulos agudos
B
A
ABC < 90º
C
Obtusángulo
Los tres
diferentes.
Los tres
diferentes
A=90º
Acutángulo
Dos iguales.
Uno,
el opuesto
a la
base,
diferente.
Dos iguales =
lados
Una diferente =
base
b
a
Un ángulo recto.
El lado mayor =
hipotenusa.
Dos lados menores =
catetos.
B
c
Uno de los ángulos
mayor de 90º
b
a
ÁNGULOS
Un ángulo obtuso
a=b=c
A
A > 90º
c
C
En un triángulo el vértice y el lado
opuesto se nombran con la misma
letra, en mayúsculas y minúsculas
respectivamente.
La altura de un triángulo (h)
es la recta perpendicular a
un lado hasta el
vértice opuesto.
b
a
A
c
h
h
B
OTRAS PROPIEDADES
- La suma de los tres ángulos interiores de un triángulo es igual a 180º - Cada lado de un triángulo es menor que la suma de los otros dos,
pero mayor que su diferencia. - En un triángulo rectángulo la hipotenusa es mayor que cada uno de los lados (catetos).
- La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 2 meces su mediana. Recta de Euler: recta que pasa por el baricentro, ortocentro y circuncentro de un triángulo. - Si dividimos la mediana de un triángulo en tres partes iguales, el baricentro estará a 2/3 de esa recta.
PUNTOS NOTABLES DE UN TRIÁNGULO
C
a
b
B
A
B
c
C
CIRCUNCENTRO
MEDIATRICES.
Las mediatrices de sus
lados.
El circuncentro es el
centro de la circunferencia
circunscrita.
a
ORTOCENTRO
ALTURAS
b
O
A
A
B
c
Las mediatrices y
las alturas se
pueden cortar
fuera del triángulo,
por lo que el circuncentro
y el ortocentro pueden
estar fuera también.
b
hc = ALTURAS
I
mc
b
INCENTRO
BISECTRICES.
Bisectrices de los
a
ángulos del triángulo.
Es el centro de la
circunferencia
inscrita.
C
hc
mc
BARICENTRO.
MEDIANAS.
Las medianas son las
rectas que van de
el punto medio de un
lado hasta el vértice
opuesto.
Se cumple que
CB = 2 cB
bc
C
B
c
C
A
c
O
N
P
M
Q
TRIÁNGULO PODAR
TRIÁNGULO COMPLEMENTAARIO
Resultado de unir los pies de las perpendiculares desde un punto cualquiera P
Fecha
Resultado de unir los pies de las medianas
(baricentro)
Nombre de Alumno
TRIÁNGULO ÓRTICO
Resultado de unir los pies de las alturas
(ortocentro)
Curso
2º BACHILLERATO
Nº de lámina
Nota
Título de lámina
ESQUEMA TRIÁNGULOS. CARACTERÍSTICAS
1. Dibujar un TRIANGULO EQUILATERO de lado L= 50 mm.
2.- Inscribir un TRIÁNGULO EQUILÁTERO en una circunferencia
de radio r = 25 mm.
3. Dibujar un TRIÁNGULO ISÓSCELES con las siguientes medidas:.
4. Dibujar un TRIANGULO ESCALENO de lados:
a = 55 mm b = 45 mm c = 65 mm
BASE = 25 mm y lados iguales L = 55 mm.
base = c
b
a
L = lado a y b
c
5. Dada la hipotenusa AB de un triángulo rectángulo, se pide:
Dibujar el triángulo rectángulo sabiendo que un cateto mide 5 cm.
El vértice C estará más próximo de A que de B.
6.-Dados los siguientes lados,
dibujar un TRIÁNGULO RECTÁNGULO.
a = un lado
c= hipotenusa.
A
B
Fecha
Nombre de Alumno
Nº de lámina
Título de lámina
Departamento de
Artes Plásticas y
Dibujo
Curso
Nota:
TRIÁNGULOS
2.- Inscribir un TRIÁNGULO EQUILÁTERO en una circunferencia
de radio r = 25 mm.
1. Dibujar un TRIANGULO EQUILATERO de lado L= 50 mm.
C
C
B
A
A
B
3. Dibujar un TRIÁNGULO ISÓSCELES con las siguientes medidas:.
BASE = 25 mm y lados iguales L = 55 mm.
4. Dibujar un TRIANGULO ESCALENO de lados:
a = 55 mm b = 45 mm c = 65 mm
b
base = c
a
L = lado a y b
c
A
C
c
a
b
b
L = lado
B
C
B
A
a
c base
5. Dada la hipotenusa AB de un triángulo rectángulo, se pide:
Dibujar el triángulo rectángulo sabiendo que un cateto mide 5 cm.
El vértice C estará más próximo de A que de B.
6.-Dados los siguientes lados,
dibujar un TRIÁNGULO RECTÁNGULO.
a = un lado
c= hipotenusa.
A
C
c
b
A
o
B
B
C
a
Fecha
Nombre de Alumno
Nº de lámina
Título de lámina
Departamento de
Artes Plásticas y
Dibujo
Curso
Nota:
TRIÁNGULOS
Construcción de un triángulo equilátero conociendo el lado.
Figura 1
A
B
Como los tres lados son iguales sobre una recta cualquiera se sitúa uno
de ellos AB. Desde A y desde B se trazan arcos como radio el lado AB y
donde se cruzan los arcos se encuentra el tercer vértice C
Inscribir un TRIÁNGULO EQUILÁTERO en una circunferencia
Figura 2
1. Dibujar la circunferencia con el radio indicado.
2. Dibujar un Diámetro (que pase por el centro de la circunferencia O).
3.El diámetro corta a la circunferencia en C y en M. C es un vértice
del triángulo.
4. Poner el compás en M, y con radio igual que el de la circunferencia,
dibujar un arco (debe de pasar por O), que cortará a ésta en A y B, los
vértices del triángulo.
5. Dibujar el triángulo uniendo A, B y C.
C
Figura 1
C
A
B
o
B
A
Figura 2
M
Lado
Dibujar un TRIÁNGULO ISÓSCELES dado el lado igual y
la base (lado desigual)
C
base
1. Dibujar la base en la parte inferior del recuadro.
2. Con el compás medir el lado L, bien de forma gráfica si nos dan el lado
dibujado o bien midiendo con el compás la medida que nos den numérica.
3. Con la medida del lado y poniendo el compás en cada uno de los extremos
de la base ( A y B) dibujar dos arcos que se cortarán en el vértice C.
4. Dibujar el triángulo isósceles uniendo A, B y C.
5. Poner la nomenclatura de los lados a, b y c.
a
b
Dibujar un TRIANGULO ESCALENO cuando nos dan los tres lados.
B
A
1. En una recta cualquiera dibujar uno de los lados en la base del espacio donde
tengamos que colocarlo. En este ejemplo se dibuja el lado a (CB)
2. Tomar la medida de uno de los lado (por ejemplo el lado b - CA) y colocando
el compás con esta medida en C dibujar un arco de circunferencia.
3. Tomar la medida con el compás del otro lado que nos queda, el lado c - AB
y sobre el vértice B dibujar un arco de circunferencia.
4.Donde se corten los dos arcos de circunferenicia que hemos dibujado
estará el vértice A.
5. Dibujar el triángulo uniendo los vértices A, B y C.
6. Poner la nomenclatura de los lados y los vértices.
c
b
a
A
c
c
b
Dos de los lados del triángulo deben de sumar más que el tercer lado.
B
C
a
Dibujar un TRIANGULO RECTÁNGULO, cuando nos dan la hipotenusa y
un cateto.
1. La semicircunferencia es es ARCO CAPAZ de un ángulo de 90º, es decir
que cualquier punto que cojamos de una semicircunferencia será vértice de un
triángulo rectángulo y el diámetro de la semicircunferencia será la hipotenusa.
1. Hallar el punto medio de la hipotenusa. 2. Con centro en ese punto dibujar
una semicircunferencia que pase por A y por B.
3. Con la medida que nos den del cateto o lado hacer un arco desde A que
corte a la semicircunferencia: ese punto será el vértice C.
C
A
B
o
A
a = un lado
Dibujar un TRIÁNGULO RECTÁNGULO dado un lado y la hipotenusa.
1. Sobre una recta cualquiera colocar el lado a.
2. Por un extremo de a dibujar una perpendicular. (en el ejemplo es el punto C)
3. Por el otro extremo de a (el punto B) y con la medida de la hipotenusa
dibujar con el compás un arco de circunferencia hasta que corte a la
perpendicular en el punto A, vértice del triángulo.
4. Unir los puntos C, B y A para dibujar el triángulo buscado.
c= hipotenusa.
C
Fecha
Nombre de Alumno
Nº de lámina
Título de lámina
c
b
a
B
Departamento de
Artes Plásticas
TRIÁNGULOS
Curso
Nota
1. Dibujar las medianas y hallar el BARICENTRO del siguiente
triángulo: Comprobar que si divides una mediana del triángulo, el
baricentro estará a 2/3 del vértice.
2. Hallar las bisectrices y el INCENTRO del siguiente triángulo.
Dibujar la circunferencia INSCRITA
C
C
B
A
B
A
3. Hallar el ORTOCENTRO del siguiente triángulo.
3. Dibujar la circunferencia CIRCUNSCRITA al siguiente triángulo
Dí cómo se llama el punto Notable, centro de la circunferencia:
______________________________________________
Dí cómo se llama las rectas notables que definen en punto
notable anterior___________________________________.
C
A
B
C
B
A
Fecha
Nombre de Alumno
Nº de lámina
Título de lámina
Departamento de
Artes Plásticas y
Dibujo
Curso
Nota:
TRIÁNGULOS. PUNTOS NOTABLES
1. Dibujar las medianas y hallar el BARICENTRO del siguiente
triángulo: Comprobar que si divides una mediana del triángulo, el
baricentro estará a 2/3 del vértice.
2. Hallar las bisectrices y el INCENTRO del siguiente triángulo.
Dibujar la circunferencia INSCRITA
C
C
a
b
B
I
bc
B
A
B
A
c
Se cumple que
CB = 2 cB
3. Hallar el ORTOCENTRO del siguiente triángulo.
3. Dibujar la circunferencia CIRCUNSCRITA al siguiente triángulo
Dí cómo se llama el punto Notable, centro de la circunferencia:
______________________________________________
Dí cómo se llama las rectas notables que definen en punto
notable anterior___________________________________.
C
A
hc
B
m
c
O
C
B
A
Fecha
Nombre de Alumno
Nº de lámina
Título de lámina
Departamento de
Artes Plásticas y
Dibujo
Curso
Nota:
TRIÁNGULOS. PUNTOS NOTABLES
Dibujar las MEDIANAS y el BARICENTRO del triángulo dado.
C
1. Para dibujar un MEDIANA del lado de un triángulo hay que hallar el PUNTO
MEDIO del lado, por medio de una mediatriz. Unir este punto P con el vértice
opuesto C.
2. Hay que dibujar las tres medianas del triángulo, una por cada lado.
3. Donde se cortan las tres medianas es el punto llamado BARICENTRO.
4. Para comprobar que PB es 1/3 de PC, coger con el compás la medida PB
y comprobar que se puede poner dos veces desde B hasta C.
Se cumple que
CB = 2 cB
a
b
B
A
c
B
P
C
Dibujar las BISECTRICES y el INCENTRO del triángulo dado.
Dibujar la circunferencia INSCRITA.
1. Para dibujar las bisectrices del triángulo hay que dibujar las bisectrices de
cada uno de los ángulos.
2. Donde se corten las bisectrices estará el punto notable que llamamos
INCENTRO, centro de la circunferencia inscrita.
3. Desde el incentro dibujar perpendiculares a los lados para hallar los puntos
de tangencia = radio de la circunferencia que hay que dibujar.
I
bc
B
A
C
Hallar el ORTOCENTRO del siguiente triángulo.
1. Las rectas notables de un triángulo para hallar el ortocentro son las
ALTURAS. La altura de un triángulo es la recta que es perpendicular a
un lado del triángulo y que pasa por el vértice opuesto.
2. Para hallar el ortocentro hay que dibujar las tres alturas de los tres lados
del triángulo.
hc
B
O
A
Hallar el CIRCUNCENTRO de un triángulo dado.
A
c
m
1. El circuncentro es un punto Notable de los triángulos desde el cual se puede
dibujar una circunferencia que sea CIRCUNSCRITA al triángulo y que pasará
por sus tres vértices A, B y C. Por lo tanto si el radio de dicha circunferenica
es el mismo hasta A, hasta B y hasta C significa que estarán en sus respectivas
MEDIATRICES.
2. Las mediatrices son por lo tanto las rectas notables de un triángulo para
hallar el circuncentro.
3. Desde B dibujar una circunferencia que pase de la mitad de BC.
4. Desde C y con el mismo radio que la circunferencia anterior dibujar un arco
que corte a la anterior.
5. Desde A dibujar otro arco con el mismo radio y que también corte al primer
arco.
6. Unir con rectas los puntos de cortes de los respectivos arcos: mediatrices.
7. Una vez hallado el circuncentro dibujar la circunferencia que pase por A, B y C.
C
B
Fecha
Nombre de Alumno
Nº de lámina
Título de lámina
Departamento de
Artes Plásticas
Curso
Nota
TRIÁNGULOS. PUNTOS NOTABLES
vértice
lado
diám
etro
(d)
ángulo interior
POLÍGONO REGULAR
POLÍGONO IRREGULAR
POLÍGONO CONVEXO
POLÍGONO CÓNCAVO
dio
-
POLÍGONO EXTRELLADO
a
m
te
o
ap
ángulo
exterior
rad
io
ra
Polígono CIRCUNSCRITO
r = apotema del polígono
r = radio de la circunferencia incrita
Polígono INSCRITO
r = radio circunferencia circunscrita
DIAGONALES de un polígono
Las formas poligonales están en la estructura de muchos objetos y construcciones.
La palabra polígono es de origen griego y quiere decir “varios ángulos”.
Un polígono es: una superficie plana limitada por una línea poligonal cerrada.
Se llama perímetro de un polígono a la suma de las medidas de sus lados.
Los elementos básicos de los polígonos son: vértices, diagonales, ángulos interiores
y exteriores.
El número de lados de los polígonos determina su nombre: triángulo, cuadrilátero,
pentágono, hexágono, etc.
Fecha
Nombre de Alumno
Curso
2º BACHILLERATO
Nº de lámina
Título de lámina
Nota
CUADRADO
RECTÁNGULO
L
PARALELOGRAMO
B
B
d
2
A
A
L
d
d
d1
Área: L
2
Área: AxB
Área: AxB
TRIÁNGULO RECTÁNGULO
TRIÁNGULO ACUTÁNGULO
TRIÁNGULO OBTUSÁNGULO
b
b
b
Área: b x h
2
c = a2+ b 2
Área: b x a/2
h
h
a
h
c
TRAPECIO
Área: b x h
2
TRAPEZOIDE
PENTÁGONO
b
H
r
d
h
h
d
d1
2
R
d1
8º
10
b
a
L
2
c
B
Área: (h + H)a +bh +cH
Área: B+b x h
2
Área: perímetro x apotema (r)
2
2
TRIÁNGULO INSCRIBIBLE
HEXÁGONO
A
R
b
O
L
60º
r
120º
a
D
C
B
AREAS Y PROPIEDADES DE LOS POLÍGONOS
POLÍGONO: Es la porción del plano limitada por rectas que se cortan.
- Polígono regular: tiene todos los lados y ángulos iguales.
-Polígono irregular: no son iguales todos los lados ni todos los ángulos.
-Polígono inscrito: es el que tiene sus vértices en una circunferencia.
-Polígono circunscrito: sus lados son tangentes a una circunferencia.
-Polígonos estrellados: tienen forma de estrella y se obtienen al unir de 2 en 2, 3 en 3, etc. los vértices del polígono regular.
Fecha
Nombre de Alumno
Curso
2º BACHILLERATO
Nº de lámina
Título de lámina
Nota
CUADRILÁTEROS
LADOS
ÁNGULOS
Iguales
paralelos dos a dos
Iguales.
Son todos rectos.
Iguales.
Perpendiculares
Se cortan en el
punto medio.
Rectángulo
Son Iguales los lados
paralelos.
Iguales.
Son todos rectos.
Iguales.
No perpendiculares
Se cortan en el
punto medio.
Rombo
Los cuatro iguales.
Paralelos dos a dos.
Iguales los opuestos.
No son rectos.
Distintas,
perpendiculares y
se cortan en un
punto medio.
Romboide
Son iguales los lados
paralelos.
Iguales los opuestos.
No son rectos.
Distintas,
No perpendiculares
Se cortan en un
punto medio.
PARALELOGRAMOS
Cuadrado
Los trapecios tienen
siempre dos lados
paralelos: son las bases.
Trapecios
Lado
Base Menor
Los trapezoides no tienen
ningún lado paralelo
DIAGONALES
Trapezoide
Lado
Diagonales
Base Mayor
Trapecio
Isósceles
Son iguales
Los que se apoyan
en la misma base
son iguales.
Son iguales. No se
cortan en el punto
medio.
Son distintos
Son todos distintos
No son rectos
Son distintos.
No se cortan en
un punto medio.
Son distintos
Un lado es perpendicular a las bases
Tienen dos ángulos
rectos.
Son distintos.
No se cortan en
un punto medio.
TRAPECIO
Es el único tipo de
trapecios que es
inscriptible en una
circunferencia.
Trapecio
Escaleno
Trapecio
Rectángulo
Fecha
Nombre de Alumno
Curso
2º BACHILLERATO
Nº de lámina
Nota
Título de lámina
ESQUEMA CUADRILÁTEROS. CARACTERÍSTICAS
POLÍGONOS
Los polígonos se designan por el número de sus lados.
T ria con t
CLASIFICACIÓN.
POLÍGONO
LADOS
POLÍGONO
triángulo
3
Endecágono
LADOS
11
Icoságono o Isodecágono
POLÍGONO
LADOS
20
cuadrado
4
Dodecágono
12
T riacon tágono
30
pentágono
5
Tridecágono
13
Tetracon tágono
40
hexágono
6
Tetradecágono
14
Pen tacon tágono
50
heptágono
7
Pentadecágono
15
Hexacon tágono
60
octágono
8
Hexadecágono
16
Hep tacon tágono
70
eneágono
9
Heptadecágono
17
O c tacon tágono
80
decágono
10
Octadecágono
18
Eneacon tágono
90
Eneadecágono
19
Hec tágono
100
Chiliágono
1.000
M iriágono
10 .000
M egágono
1.000 .000
triángulo
cuadrado
pentágono
hexágono
heptágono
octágono
eneágono
decágono
NOMBRE DE UN POLÍGONO MENOR DE 100 LADOS. Polígono de 22 lados: Icosakaidígono.
DECENAS
20:Icosa-
2:dí
30:Triaconta-
3:trí
40:Tetraconta-
4:tetrá
50:Pentaconta-
Fecha
UNIDAD
1:hená
kai
5:pentá
60:Hexaconta-
6:hexá
70:Heptaconta-
7:heptá
80:Octaconta-
8:octá
90:Eneaconta-
9:eneá
Nombre de Alumno
gono
Curso
2º BACHILLERATO
Nº de lámina
Nota
Título de lámina
ESQUEMA CUADRILÁTEROS. CARACTERÍSTICAS
L
Dibujar un cuadrado cuando nos dan el lado.
B
A
1. El cuadrado tiene sus cuatro lados iguales y sus dos diagonales iguales.
2. La medida del lado (puede ser numérica o gráfica) se traslada sobre una recta
cualquiera.
3. Se dibujar perpendiculares desde el punto A y desde el B.
4 Con el compás en el punto A se traza un arco con el radio AB hasta que corta a la
perpendicular en el punto D.
5. Se hace lo mismo desde el punto B para obtener el punto C.
6. Se unen D y C
Dibujar un cuadrado cuando nos dan la diagonal.
D
C
A
B
diagonal d
- El cuadrado tiene sus dos diagonales iguales y perpendiculares (forman 90º).
- Por lo tanto los extremos de la diagonal son dos puntos opuestos del cuadrado, por
ejemplo B y D.
- Si cogemos la diagonal y la giramos, de forma perpendicular por el centro, tendremos
los otros dos puntos del cuadrado A y C.
1. Para realizar estas operaciones lo primero que haremos es poner la medida de la
diagonal en una recta cualquiera (tener en cuenta que esté más o menos en el centro
del recuadro a dibujar el cuadrado),
2. Dibujamos la mediatriz de la diagonal.
3. Ponemos el compás en el punto medio y dibujamos una circunferencia de radio la
mitad de la diagonal.
Esta circunferencia nos cortará a la mediatriz en los puntos A y C.
C
d
pm
B
D
A
Dibujar un RECTÁNGULO cuando nos dan los dos lados.
- El rectángulo tiene sus cuatro lados perpendiculares
- El rectángulo tiene sus lados iguales dos a dos.
- Por lo tanto si ponemos los dos lados que nos dan de forma
perpendicular, tendremos medio rectángulo dibujado.
1. Colocar sobre una recta cualquiera el lado L1, más grande, y desde un extremo,
por ejemplo el punto A, levantar una perpendicular. Colocar en esta perpendicular, y
desde A, la medida del otro lado L2, más pequeño. Con esto tenemos dibujado A, B y C.
2. Para finalizar se pueden hacer dos cosas: o bien ponemos el compás en C con la
medida de L1 y desde B con la medida de L2 y donde se corten los dos arcos que
dibujemos estará el punto D.
O bien, otra alternativa es dibujar paralelas a L1 y L2 respectivamente y donde se
corten las paralelas estará el punto D.
L1
L2
D
C
L2
A
d
Dibujar un RECTÁNGULO cuando nos dan la diagonal y un lado.
1. El rectángulo tiene sus cuatro lados perpendiculares
y sus lados paralelos dos a dos.
2. La semicircunferencia, como vimos con los triángulos,
es el arco capaz de 90º, es decir que cualquier punto que
cojamos de la semicircunferencia, unido a los extremos del segmento que
la conforma, formará un ángulo de 90º.
3. Valiendonos de esta propiedad, pondremos la diagonal sobre una recta cualquiera
en el centro del recuadro a dibujar y hallaremos el punto medio (pm) de la diagonal.
4. Pondremos el compás en el punto medio (pm) y dibujaremos una circunferencia con
radio Pm A, por ejemplo.
5. Pondremos el compás en el punto A, con la medida del lado del rectángulo,
y dibujaremos un arco hasta que corte a la circunferencia. Este será el punto B. Haremos
lo mismo desde el punto C para hallar D, pero en sentido inverso (hacia abajo).
6. Para acabar con el rectángulo, uniremos A con B, B con C, C con D y D con A.
Fecha
Nombre de Alumno
Nº de lámina
Título de lámina
B
L1
L
B
d
A
C
pm
D
Departamento de
Artes Plásticas
Curso
Nota
CUADRILÁTEROS. Cuadrado y Rectángulo.
d1
A
Dibujar un rombo cuando nos dan las diagonales.
d2
B
El rombo tiene los cuatro lados iguales y las diagonales perpendiculares.
Sabiendo esto deberemos colocar las dos diagonales que nos dan de forma
perpendicular y que se corten en el centro.
1. Para ello pondremos una de las diagonales, por ejemplo d1 sobre una recta cualquiera
en el centro del recuadro donde se debe de dibujar el rombo.
2. Dibujaremos las mediatrices de las dos diagonales.
3. Sobre la mediatriz de d1 pondremos la medida de d2, con el compás y desde el punto
medio (pm).
4. Unir los puntos vértices A,B,C y D para dibujar el rombo.
C
D
D
d1
A
C
d2
B
B
D
pm
diagonal
A
Dibujar un rombo cuando nos dan el lado y la diagonal.
Lado
B
El rombo tiene los cuatro lados iguales por la tanto, si tenemos la diagonal, solamente
tendremos que poner en cada extremo los lados con el compás.
1. En primer lugar colocaremos sobre una recta, la diagonal d.
2. Desde los extremos A y C y con el compás con la medida del lado, dibujaremos
sendos arcos.
3. Donde se cortan los arcos serán los puntos B y D.
4. Unir los puntos para dibujar el rombo.
C
D
D
L
d
A
C
B
Dibujar un rombo cuando nos dan el lado y un ángulo.
1. En una recta colocamos el vértice A y desde este punto dibujamos un ángulo de 60º
como ya hemos visto anteriormente en el tema de ángulos o en triángulos (triángulo
equilátero). Para realizar los arcos de circunferencia cogeremos la medida del lado AB.
2. Al dibujar el ángulo de 60º hemos hallado a la vez el vértice D del rombo.
3. Para concluir hay dos opciones: la primera sería dibujar paralelas a AB y a AD
respectivamente y obtendríamos así el punto C. La segunda opción es coger la
medida del lado con el compás (recordar que ya la tenemos para dibujar el ángulo) y
dibujar dos arcos, uno desde D y otro desde B. Donde se corten estos dos arcos será
el punto C.
4. Dibujar correctamente el rombo y marcarlo más oscuro o en color fino. Poner nomenclatura (A,B,C, etc.)
60º
El trapecio rectángulo tiene un ángulo de
90º.
1. Colocar la base mayor AB sobre una recta.
2. Dibujar una perpendicular por un extremo
de la base mayor, por ejemplo por A.
3. Dibujar una paralela a la base mayor con la
medida de la altura. Donde corte la paralela
a la perpendicular anterior será el Vértice D.
4. Desde D colocar la medida de la base
menor bm (DC). Unir C con B. Repasar.
BM
h
A
B
D
D
C
Lado
A
El trapecio tiene dos lados paralelos que
son las bases. El trapecio isósceles tiene
los lados no paralelos iguales. El trapecio
isósceles es simétrico.
1. Colocar la base mayor sobre una recta.
2. Dibujar una paralela a la base mayor a
una distancia igual a la altura.
3. Desde los extremos de la base mayor, A
y B, con el compás dibujar arcos con un
radio igual a el lado. Donde corten los arcos
a la paralela serán los vértices D y C.
L
A
C
Dibujar un trapecio rectángulo.
Los datos que nos dan son:
Base mayor, base menor y la altura.
A
D
60º
B
D
Dibujar un trapecio isósceles.
Los datos que nos dan son:
Un lado, la base mayor y la altura.
BM
bm
h
Lado
A
B
C
B
Dibujar un trapezoide dados los cuatro
lados y una diagonal..
Un trapezoide no tiene ningún lado paralelo y
sus medidas son distintas. Si miramos atentamente, los lados con la diagonal forman
dos triángulos. Se trata de dibujar dichos triángulos. 1. Se dibuja la diagonal. 2. Con las
medidas de L3 y L2 se dibujan arcos desde
A y C respectivamente. Donde se cortan los
arcos tenemos el vértice D. 3. Se hace lo mismo desde A y C con las medidas de L1 y L4,
para hallar el vértice B. Se unen los vértices.
L1
L2
L3
L4
d
A
C
A
B
A
B
D
D
C
C
C
bm
C
L2
D
L
h
L
h
L
A
A
BM
B
Fecha
Nombre de Alumno
Nº de lámina
Título de lámina
A
BM
L4
d
L3
B
B
L1
Departamento de
Artes Plásticas
Curso
Nota
CUADRILÁTEROS. Rombo, trapecio y romboide.
2.- Dibujar un CUADRADO dada la diagonal.
1.- Dibujar un CUADRADO de lado L= 38 mm.
3. Dibujar un RECTÁNGULO de lados:
L1
4. Dibujar un RECTÁNGULO de medidas:
d1
d
DIAGONAL d =
LADO AB =
L2
5.-Dibujar un ROMBO dadas las diagonales:
d
6.-Dibujar un ROMBO dado el lado
y la diagonal:
d
L
7.-Dibuajr el ROMBO dado el lado y el ángulo:
ángulo A 60º
L
d2
B
8.-TRAPECIO ISÓSCELES. dado:
L
BM
h
9.-TRAPECIO RECTÁNGULO:
BM
bm
h
Fecha
Nombre de Alumno
Nº de lámina
Título de lámina
10.-TRAPEZOIDE:
L1
L2
L3
L4
d
Departamento de Curso
Artes Plásticas y
Dibujo
Nota
CUADRILÁTEROS
2.- Dibujar un CUADRADO dada la diagonal.
1.- Dibujar un CUADRADO de lado L= 38 mm.
C
C
D
d
D
A
d
B
B
L
A
3. Dibujar un RECTÁNGULO de lados:
L1
4. Dibujar un RECTÁNGULO de medidas:
d
DIAGONAL d =
LADO AB =
L2
B
D
C
L2
L2
d
A
C
L1
B
A
D
6.-Dibujar un ROMBO dado el lado
y la diagonal:
5.-Dibujar un ROMBO dadas las diagonales:
d1
7.-Dibuajr el ROMBO dado el lado y el ángulo:
ángulo A 60º
L
L
d
d2
D
D
D
C
L
L
d1
A
C
d
A
C
d2
60º
L
A
B
B
B
8.-TRAPECIO ISÓSCELES. dado:
9.-TRAPECIO RECTÁNGULO:
L
BM
h
BM
bm
D
bm
L1
L2
L3
L4
d
h
C
10.-TRAPEZOIDE:
bm
L2
L3
L
h
L
h
d
L4
L1
A
BM
Fecha
Nombre de Alumno
Nº de lámina
Título de lámina
B
BM
Departamento de Curso
Artes Plásticas y
Dibujo
Nota
CUADRILÁTEROS
1. Dibujar una circunferencia de radio el que nos dan.
2. Dibujar dos diámetros perpendiculares (ojo que pasen por el centro de la circunferencia).
3. Dibujar la mediatriz de uno de los radios (por ejemplo OP). La mediatriz corta al radio en M.
4. Dibujar un arco de radio MA (poner el compás en M y abrir hasta el punto A). Este arco
cortará en el punto K al diámetro horizontal.
5.La medida AK es la medida del lado del pentágono. L5. Ponerlo 5 veces alrededor de la
circunferencia.
6. Desde A se realiza un arco con la medida (radio) AK que corta a la circunferencia en B y E.
7. Desde B y desde E se dibujar arcos con radio L5 o AB hasta cortar en el vértice C y D.
8. Unir todos los vértices y repasar más oscuro o en color fino.
Hay que tener precisión a la hora de unir los vértices. Realizarlo con limpieza y claridad.
Si dibujamos las mediatrices de los lados obtendremos un decágono. También es el
segmento KO.
Dibujar un PENTÁGONO cuando nos dan el LADO.
E
O
k
r
D
C
B
D
E
r
A
Nº de lámina
Título de lámina
B
pm
M
A
F
B
r
N
M
O
E
C
D
El lado del hexagono es igual al radio
L
A
B
D
E
C
F
o
A
Nombre de Alumno
C
P
El radio de la circunferencia es igual lado del hexágono.
1. Dibujar la circunferencia con el radio dado. Poner el radio seis veces sobre
la circunferencia.
2. Para realizar el ejercicio correctamente y de forma más exacta, a parte que nos
va a servir para realizar otros polígonos es la siguiente: dibujar dos diámetros
perpendiculares.
3. Desde el punto A (el diámetro vertical corta a la circunferencia en A y en D) poner
el compás y con el radio dado dibujar un arco que corte a la circunferencia en los
vértices B y F. El arco debe de pasar por el centro O.
4. Dibujar otro arco desde D para hallar C y E. (el arco debe de pasar por el centro O)
5. Unir los vértices A,B,C,D,E y F. Marcar más oscuro o de color fino.
Si realizamos esta operación desde los extremos del diámetro horizontal M y N
obtendremos otros seis puntos con lo que obtendremos un dodecágono (polígono de
doce vértices).
Si en vez de coger todos los vértices, unimos de dos en dos (por ejemplo A con C,
C con E y E con A) obtendremos un triángulo equilátero.
Fecha
P
M
r
Dibujar un HEXÁGONO cuando nos dan el RADIO.
Como el lado del hexágono es igual al radio, lo que tendremos que
hacer es buscar el centro de la circunferencia donde esté inscrito
el hexágono. Debemos de saber también que si dividimos una
circunferenica (360º) en seis partes iguales obtendremos ángulos de
60º. Un triángulo equilátero tiene tres ángulos de 60º.
1. Pondremos el lado AB sobre una recta r.
2. Dibujaremos un triángulo equilátero de lado AB: poner el compás en
A y con radio AB realizar un arco. Hacer lo mismo desde B.
3. Donde se cortan los dos arcos tendremos el punto O, centro de la
circunferencia del hexágono.
4. Dibujar la circunferencia que pase por A y por B (ojo, que pase por A
y por B).
5. Hallar los vértices del hexágono como en el ejercicio anterior.
L5
B
A
1. Poner el lado AB sobre una recta horizontal r.
2. Por el punto B, levantar una perpendicular.
3. Dibujar la mediatriz del lado AB, se halla de este modo el punto medio (pm)
4. Desde el punto B abrir el compás hasta A y dibujar un arco que corte a la
perpendicular anterior en el punto P. Prolongar un poco más el arco.
5. Desde el punto medio de AB (pm) abrir el compás hasta P y dibujar un arco
que corte a la recta r en el punto M.
6. Desde el punto A abrir el compás hasta el punto M y dibujar un arco que corte
al primer arco dibujardo (BAP) en el punto C y también cortará a la mediatriz en
el punto D. C y D son vértices del pentágono.
7. Desde el punto D y con la medida del lado del pentágono dibujar un arco.
8. Desde el punto A y con la medida del lado del pentágono dibujar un arco.
Donde se cortan los arcos anteriores será el punto y vértice final del pentágono: E.
Dibujar un HEXÁGONO cuando nos dan el LADO.
A
r
Dibujar un PENTÁGONO cuando nos dan el RADIO.
Departamento de
Artes Plásticas
B
Curso
Nota
CUADRILÁTEROS. Cuadrado y Rectángulo.
r
A
Dibujar un OCTÓGONO dado el radio.
B
1. Lo primero que haremos es dibujar la circunferencia con el radio dado.
2.Después dibujar dos diámetros perpendiculares. (ojo, que pasen por el punto O)
3. Los diámetros cortarán a la circunferenica en los puntos A, C, E y G, vértices de
un cuadrado.
4. Dibujar la mediatriz de AC y de CE para obtener los puntos B, D, F, H.
Tambien se pueden dibujar las bisectrices de los cuatro ángulos que forman las
diagonales.
5. Unir los vértices y márcar más oscuro o de color, fino.
H
r
C
G
O
F
D
El radio del octógono es la circunferencia del cuadrado.
E
Polígonos estrellados.
Un polígono regular estrellado es un polígono cóncavo
en forma de estrella con diferentes vértices o puntas.
Para construir un polígono estrellado hay varios
métodos. El que se utiliza más en dibujo técnico es el
El Método de Reducción: consiste en trazar la estrella
inscrita dentro del polígono regular. Por lo tanto hay
que dibujar primero su polígono regular en el que está
sustentado, y unir los vértices de éste de dos en dos,
de tres en tres, de cuatro en cuatro, de cinco en cinco,
etc. Otro método es El Método de Extensión: consiste
en utilizar el polígono regular como centro, trazándose
las puntas de las estrella mediante la prolongación de
los lados del polígono regular.
El número de polígonos estrellados que se pueden
dibujar con un número de vértices diferente, es igual la
cantidad de números primos con el número de vértices
del polígono base dividido por dos. Un número es
primo respecto a otro cuando ambos no tienen divisores comunes.
Por ejemplo: para el pentágono (5 lados), los números menores que la mitad de sus lados son el 2 y el 1, y de ellos, primos respecto a 5 solo
tendremos el 2, por lo tanto podremos afirmar que el pentágono tiene un único estrellado, que se obtendrá uniendo los vértices de 2 en 2.
A
Dibujar un pentágono estrellado.
Para construir un pentágono estrellado de cinco puntas hay que construir el pentágono
regular como ya hemos aprendido, dependiendo ello de si nos dan el radio o el lado.
Después hay que unir los vértices de dos en dos, por ejemplo A con C, C don E, E con B,
y así continuamente hasta que se cierra el polígono (hasta que se lleva a A al final).
B
E
O
Dibujar un heptágono estrellado (de siete puntas).
Para construir un polígono estrellado de siete puntas, hay que dibujar primero el
heptágono regular. Para construir el heptágono se realiza con los primeros pasos del
pentágono según el radio. 1. Se dibuja la circunferencia con el radio dado.
2. Se dibujar dos diámetros perpendiculares. 3. Se dibuja la mediatriz del radio OP.
4. El lado del heptágono será KM. 5. Se coge la medida de KM y se pone 7 veces desde A.
C
D
Para construir un polígono estrellado de siete puntas, unir los vértices de dos en dos (en rojo), o si se prefiere de tres en tres (polígono verde)
puesto que este polígono tiene dos estrellados.
A
k
B
B
L7
B
A
G
C
C
O
M
A
O
P
G
G
O
F
C
D
D
F
F
E
D
E
E
Fecha
Nombre de Alumno
Nº de lámina
Título de lámina
Departamento de
Artes Plásticas
Curso
Nota
CUADRILÁTEROS. Cuadrado y Rectángulo.
1.- PENTÁGONO dado el RADIO
r = 25 mm.
2.- PENTÁGONO dado el LADO
AB = 30 mm.
O
A
B
L
4.- OCTOGONO DE RADIO R=30 mm.
3.- HEXAGONO dado el RADIO r = 35 mm.
O
O
El lado del hexagono es igual al radio
El radio del octógono es la circunferencia del cuadrado.
5.- PENTAGONO ESTRELLADO DE RADIO r = 30 mm.
6.- HEPTAGONO ESTRELLADO DE RADIO r = 30 mm.
O
O
Fecha
Nombre de Alumno
Nº de lámina
Título de lámina
Departamento de Curso
Artes Plásticas y
Dibujo
Nota
POLÍGONOS REGULARES
1.- PENTÁGONO dado el RADIO
r = 25 mm.
2.- PENTÁGONO dado el LADO
AB = 30 mm.
D
A
C
E
E
B
O
r
L
A
D
C
B
4.- OCTOGONO DE RADIO R=30 mm.
3.- HEXAGONO dado el RADIO r = 35 mm.
A
A
H
B
F
B
r
C
G
O
O
F
E
D
C
E
D
El lado del hexagono es igual al radio
El radio del octógono es la circunferencia del cuadrado.
6.- HEPTAGONO ESTRELLADO DE RADIO r = 30 mm.
5.- PENTAGONO ESTRELLADO DE RADIO r = 30 mm.
A
B
E
B
A
C
G
O
O
D
F
D
C
E
Fecha
Nombre de Alumno
Nº de lámina
Título de lámina
Departamento de Curso
Artes Plásticas y
Dibujo
Nota
POLÍGONOS REGULARES
Dibujar polígonos regulares con EL MÉTODO GENERAL.
Hay que tener en cuenta que el método general es un método inexacto. Por lo tanto para construir polígonos en dibujo técnico se utiliza el
método específico de cada uno de ellos. Estos métodos se pueden utilizar para grandes polígonos de un número elevado de lados pero el
resultado casi siempre tiene que ajustarse o tiene que ser rectificado.
MÉTODO GENERAL cuando nos dan el RADIO.
1. Dibuja un diámetro vertical
(ojo, que pase por el centro O)
2. divídelo por el teorema de tales en tantas partes
como lados deba de tener el polígono que queremos
construir, en nuestro ejemplo 9.
3. Desde A, extremo del diámetro se dibuja un arco
de rado AP (el diámetro). Desde el otro extremo
P se realiza otro arco igual que el primero.
4. Donde se cortan los dos arcos será el punto M.
5. Unir mediante una recta M y el punto 2 de la
división de la circunferencia. Ojo, no confundir el 2
del diámetro con el nº 2 de la división del teorema de
tales.
6. La prolongación de esta recta, M2, cortará a la
circunferencia en el punto B primera división de la
circunferencia. La recta AB será el lado del eneágono.
7. Ir colocando la medida AB consecutivamente
desde A.
A
1
B
I
2
3
2
4
5
C
H
6
M
O
7
8
9
G
D
E
F
P
A tener en cuenta:
Si el polígono es de lados impar como es el caso,
el lado EF en este caso ha de estar partido por la mitad
por el diámetro.
Si al acabar el polígono no coincide la última
medida con el punto A, hay que rectificar AB, más
grande o más pequeño según el caso.
Tener en cuenta que cualquier error por muy pequeño
que sea en AB se multiplicará por 9 en este caso.
MÉTODO GENERAL cuando nos dan el LADO.
1. Poner el lado AB en una recta, en la parte inferior
del recuadro a dibujar el polígono.
2. Como el polígono que vamos a dibujar es de 11
lados vamos a dibujar en primer lugar una
circunferencia de 6 lados y otra de 12 lados.
El polígono de 11 estará entre estos dos últimos,
luego el centro de la circunferencia circunscrita también.
(ver hexágono según el lado)
3. Dibujar un arco desde A con radio AB y desde B igual.
4. Donde se cortan los dos arcos será el centro de la
circunferencia de 6 lados (hexágono). Dibujamos la
circunferencia
5. Dibujamos el diámetro de dicha circunferencia.
Este diámetro corta a la circunferencia en 12, centro
de la circunferencia de 12 lados (dodecágono).
6. Dividimos el segmento que va de 6 a 12 en seis
partes iguales.
7. Cada una de las partes en que se divide será un
centro de una circunferencia del número señalado en
el que caben tantos lados AB como divisiones
marcadas (por ejemplo la división 7 será el polígono
de siete lados AB)
8. Nosotros cogeremos el punto 11. Ponemos el
compás en 11 y dibujamos una circunferencia.
9. Ponemos en la circunferencia dibujada 11 veces
el lado AB.
10. Repasar siempre la figura un poco más oscuro
o con un color con el lápiz bien afilado.
Fecha
Nombre de Alumno
Nº de lámina
Título de lámina
G
H
F
I
E
12
11
10
9
8
7
6
J
D
C
K
A
B
Departamento de
Artes Plásticas
Curso
Nota
CUADRILÁTEROS. Cuadrado y Rectángulo.
POLIGONO DE 9 LADOS DADA LA CIRCUNFERENCIA DE RADIO = 40 mm
METODO GENERAL
O
UNDECAGONO DE LADO = 36 mm.
METODO GENERAL
A
Fecha
Nombre de Alumno
Nº de lámina
Título de lámina
B
POLÍGONOS REGULARES MÉTODO GENERAL
Departamento de Curso
Artes Plásticas y
Dibujo
Nota
POLIGONO DE 9 LADOS DADA LA CIRCUNFERENCIA DE RADIO = 40 mm
METODO GENERAL
A
1
M
2
3
2
4
5
6
Q
O
7
8
9
B
UNDECAGONO DE LADO = 36 mm.
G
METODO GENERAL
F
I
E
12
11
10
D
J
9
8
7
6
C
K
A
Fecha
Nombre de Alumno
Nº de lámina
Título de lámina
B
POLÍGONOS REGULARES MÉTODO GENERAL
Departamento de Curso
Artes Plásticas y
Dibujo
Nota
Dibujar un polígono estrellado cualquiera y decorarlo bien en blanco y negro o bien en color. Técnica libre. El polígono deberá abarcar toda la
lámina.
Fecha
Nombre de Alumno
Nº de lámina
Título de lámina
POLÍGONOS REGULARES MÉTODO GENERAL
Departamento de Curso
Artes Plásticas y
Dibujo
Nota
Dibujar un polígono estrellado cualquiera y decorarlo bien en blanco y negro o bien en color. Técnica libre. El polígono deberá abarcar toda la
lámina.
Fecha
Nombre de Alumno
Nº de lámina
Título de lámina
POLÍGONOS REGULARES MÉTODO GENERAL
Departamento de Curso
Artes Plásticas y
Dibujo
Nota
Dibujar un polígono estrellado cualquiera y decorarlo bien en blanco y negro o bien en color. Técnica libre. El polígono deberá abarcar toda la
lámina.
Fecha
Nombre de Alumno
Nº de lámina
Título de lámina
POLÍGONOS REGULARES MÉTODO GENERAL
Departamento de Curso
Artes Plásticas y
Dibujo
Nota
Dibujar un polígono estrellado cualquiera y decorarlo bien en blanco y negro o bien en color. Técnica libre. El polígono deberá abarcar toda la
lámina.
Fecha
Nombre de Alumno
Nº de lámina
Título de lámina
POLÍGONOS REGULARES MÉTODO GENERAL
Departamento de Curso
Artes Plásticas y
Dibujo
Nota
Dibujar un polígono estrellado cualquiera y decorarlo bien en blanco y negro o bien en color. Técnica libre. El polígono deberá abarcar toda la
lámina.
Fecha
Nombre de Alumno
Nº de lámina
Título de lámina
POLÍGONOS REGULARES MÉTODO GENERAL
Departamento de Curso
Artes Plásticas y
Dibujo
Nota
Dibujar un polígono estrellado cualquiera y decorarlo bien en blanco y negro o bien en color. Técnica libre. El polígono deberá abarcar toda la
lámina.
Fecha
Nombre de Alumno
Nº de lámina
Título de lámina
POLÍGONOS REGULARES MÉTODO GENERAL
Departamento de Curso
Artes Plásticas y
Dibujo
Nota