1. Educación

INSTITUTO POLITECNICO
NACIONAL
UNIDAD ESIME CULHUACAN
FUNDAMENTOS DE ALGEBRA
Francisco Javier Benitez Diaz
30 de octubre de 2014
2
IPN, Esime Culhuacan, Javier Benitez, Computaci´on
´Indice general
1. Representaci´
on del numero complejo
1.1. Representaci´on cartesiana . . . . . .
1.2. Representaci´on polar . . . . . . . . .
1.3. Representaci´on exponencial . . . . .
1.4. Operaciones . . . . . . . . . . . . . .
1.5. Ra´ıces Complejas . . . . . . . . . . .
1.6. Funciones complejas . . . . . . . . .
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5
. 5
. 7
. 7
. 8
. 9
. 10
2. Polinomios
15
2.1. Ra´ıces de un polinomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2. Fracciones Parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3. Sistema de ecuaciones Lineales
3.1. M´etodo de Gauss . . . . . . .
3.2. M´etodo de Gauss-Jordan . . .
3.3. Matrices y Determinantes . .
3.4. Matrices de Rotaciones . . . .
´
3.4.1. Angulos
de Euler . . .
3
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21
21
23
23
29
30
4
IPN, Esime Culhuacan, Javier Benitez, Computaci´on
Cap´ıtulo 1
Representaci´
on del numero
complejo
Los n´
umeros complejos tienen muchas representaciones. Algunas de ellas son
la representaci´on cartesiana, la polar, la exponencial.
1.1.
Representaci´
on cartesiana
La representaci´on cartesiana del numero complejo z es
z = x + iy
donde x,y son n´
umeros reales e i tiene la propiedad i2 = −1
La suma de dos n´
umeros complejos en coordenadas cartesianas es
z1 + z2 = (x1 + iy1 ) + (x2 + iy2 ) = (x1 + x2 ) + i(y1 + y2 )
Problema 1 Sumar los dos n´
umeros complejos z = 4 + 5i y w = 1 + 3i
La suma es
—
z + w = (2 + 4i) + (1 + 3i) = (2 + 1) + i(4 + 3) = 3 + 7i
La resta en cartesianas es
z1 − z2 = (x1 + iy1 ) − (x2 + iy2 ) = (x1 − x2 ) + i(y1 − y2 )
5
6
IPN, Esime Culhuacan, Javier Benitez, Computaci´on
Problema 2 Restar dos n´
umeros complejos z = 2 + 4i y w = 1 + 3i
z − w = (2 + 4i) − (1 + 3i) = (2 − 1) + i(4 − 3) = 1 + i
La multiplicaci´on en cartesianas es
(x1 + iy1 )(x2 + iy2 ) = (x1 x2 − y1 y2 ) + i(x1 y2 + y1 x2 )
Problema 3 Multiplicar dos n´
umeros complejos z = 2 + 4i y w = 1 + 3i
zw = (2 + 4i)(1 + 3i) = 2(1) + 2(3i) + (4i)1 + (4i)(3i)
que es
(2 + 4i)(1 + 3i) = 2 + 6i + 4i − 12 = (2 − 12) + i(6 + 4) = −10 + 10i
El conjugado de un numero complejo z se define como z
z = x + iy,
z = x − iy
un producto importante es un numero complejo por su conjugado, la respuesta siempre va a ser un numero real mayor o igual a cero y es la suma de los
cuadrados
zz = (x + iy)(x − iy) = x2 − ixy + ixy − i2 y = x2 + y 2 ≥ 0
Problema 4 Multiplicar un numero z por su conjugado. z = 2 + 4i
zz = (2 + 4i)(2 − 4i) = 22 − 2(4i) + (4i)2 − 42 i2 = 22 + 42 = 20
La divisi´on en cartesianas es
x1 + iy1
(x1 x2 + y1 y2 )
(−x1 y2 + y1 x2 )
=
+i
2
2
x2 + iy2
(x2 + y2 )
(x22 + y22 )
Problema 5 Dividir dos n´
umeros complejos z = 2 + 4i sobre w = 1 + 3i
IPN, Esime Culhuacan, Javier Benitez, Computaci´on
7
z
(2 + 4i)
zw
(2 + 4i) (1 − 3i)
(2 + 4i)(1 − 3i)
=
=
=
=
|
w
(1 + 3i)
ww
(1 + 3i) (1 − 3i)
(1 + 3i)(1 − 3i)
=
=
2 + 12 − 6i + 4i
12 + 32
14
2
14 − 2i
=
− i
10
10 10
Problema 6 Calcule el binomio (x + iy)3 utilizando el triangulo de Pascal
(x + iy)3 = x3 + 3x2 (iy) + 3x(iy)2 + (iy)3 = (x3 − 3xy 2 ) + i(3x2 y − y 3 )
1.2.
Representaci´
on polar
La representaci´on polar es cuando se da la magnitud del numero complejo
r, y su a´ngulo θ, medido a partir del semieje positivo de las x. El sentido
positivo de giro del ´angulo es contrario a las manecillas del reloj.
La relaci´on con las cartesianas es
r=
x2 + y 2 ,
θ = tan−1
y
x
y las relaciones inversas son
x = r cos (θ),
1.3.
y = r sin (θ)
Representaci´
on exponencial
La representaci´on exponencial es como la polar pero se da utilizando la exponencial.
z = reiθ
con la igualdad eiθ = cos θ + i sin θ
z = r cos (θ) + ir sin (θ) = r(cos (θ) + i sin (θ)) = reiθ
8
1.4.
IPN, Esime Culhuacan, Javier Benitez, Computaci´on
Operaciones
La multiplicaci´on en exponencial es
r1 eθ1 r2 eθ2 = r1 r2 ei(θ1 +θ2 )
Problema 7 Multiplicar z = 2eiπ/4 por w = 3eiπ
zw = (2eiπ/4 )(3eiπ ) = 2(3)ei(π/4+π) = 6ei5π/4
La divisi´on en exponencial es
r1 eθ1
r1 i(θ1 −θ2 )
e
=
θ
r2 e 2
r2
Problema 8 Realizar la divisi´on de n´
umeros complejos en forma exponeniπ
iπ/3
cial z = 8e y w = 2e
z
8eiπ
8
= iπ/3 = ei(π−π/3) = 4ei2π/3
w
2e
2
La potencia en la representaci´on exponencial es
(reiθ )n = rn einθ
Problema 9 Eleve al cubo z si z = 2eiπ/4
z 3 = (2eiπ/4 )3 = 23 ei3π/4 = 8ei3π/4
Problema 10 Obtenga la ra´ız cuadrada de z si z = 4eiπ/2
√
z = (4eiπ/2 )1/2 = 41/2 eiπ/4 = 2eiπ/4
El logaritmo en representaci´on exponencial es
ln z = ln reiθ = ln (r) + iθ
Donde 0 ≤ θ < 2π
IPN, Esime Culhuacan, Javier Benitez, Computaci´on
9
Problema 11 Obtenga el logaritmo de z si z = 3eiπ/4
ln (z) = ln (3eiπ/4 ) = ln (3) + iπ/4
Problema 12 Obtenga el logaritmo de z si z = 1 + i
Primero convertimos z a forma polar
z =1+i=
√
2eiπ/4
Despu´es calculamos su logaritmo
√
1
π
π
ln z = ln 2 + i = ln 2 + i
4
2
4
1.5.
Ra´ıces Complejas
Como se resuelve la ecuaci´on z n = 1. La respuesta es mas f´acil en notaci´on
exponencial. Una ra´ız es
w = ei2π/n
Ya que
wn = (ei2π/n )n = ei2π = 1
Entonces todas las n ra´ıces son
w, w2 , w3 , · · · , wn
Estas ra´ıces forman un pol´ıgono regular de n lados.
por ejemplo w2 es ra´ız porque (w2 )3 = (w3 )2 = 12 = 1. As´ı todas las dem´as.
Problema 13 Halle todas las ra´ıces de la ecuaci´on z 3 = 1
Las tres ra´ıces son: w, w2 , w3
w = ei2π/3 = cos 2π/3 + i sin 2π/3
w2 = ei4π/3 = cos 4π/3 + i sin 4π/3
10
IPN, Esime Culhuacan, Javier Benitez, Computaci´on
w3 = ei6π/3 = ei2π = 1
Observemos que w2 es la conjugada de w
w2 = ei4π/3 = ei(6−2)π/3 = ei6π/3−i2π/3 = ei6π/3 e−i2π/3 = 1w = w
Las ra´ıces complejas siempre van por pares z, z
Eje y
1.0
0.5
Eje x
1.0
0.5
0.5
1.0
0.5
1.0
Veamos como usar Octave para resolver las operaciones con n´
umeros complejos como se muestra en la figura (1.1).
Y tambi´en mostramos como se hacen las operaciones en complejos con reduce,
como se muestra en la figura (1.2)
Mostramos como hacer operaciones con complejos con clisp ver la figura (1.3)
1.6.
Funciones complejas
Algunas funciones complejas. La exponencial se define como
ez = ex+iy = ex cos y + iex sin y
Una funci´on mas complicada es la funci´on coseno
cos z =
eiz + e−iz
eix−y + e−xi+y
=
2
2
IPN, Esime Culhuacan, Javier Benitez, Computaci´on
Figura 1.1: Operaciones con complejos en octave
cos z =
e−y (cos x + i sin x) + ey (cos x − i sin x)
2
cos z =
(ey + e−y ) cos x − i(ey − e−y ) sin x
2
cos z = cos x cosh y − i sin x sinh y
11
12
IPN, Esime Culhuacan, Javier Benitez, Computaci´on
Figura 1.2: Operaciones con complejos en reduce
IPN, Esime Culhuacan, Javier Benitez, Computaci´on
Figura 1.3: Operaciones con complejos en clisp
13
14
IPN, Esime Culhuacan, Javier Benitez, Computaci´on
Cap´ıtulo 2
Polinomios
Un polinomio de n-esimo orden es una funci´on de la siguiente forma
n
2
ak x k
n
Pn (x) = a0 + a1 x + a2 x + . . . + an x =
k=0
donde n es un entero positivo o cero y an es diferente de cero.
Eje y
3
2
1
Eje x
2
3
4
5
1
Figura 2.1: P2 (x) = x2 − 6x + 8 = (x − 2)(x − 4)
Operaciones b´asicas con los Polinomios. Supongamos que tenemos
P = 2 + 4x, Q = 1 + 3x
Suma:
P + Q = (2 + 4x) + (1 + 3x) = (3 + 7x)
15
16
IPN, Esime Culhuacan, Javier Benitez, Computaci´on
Eje y
4
2
Eje x
2
2
4
6
2
4
Figura 2.2: P3 (x) = x3 − 6x2 + 8x = x(x − 2)(x − 4)
Eje y
60
40
20
Eje x
2
2
4
Figura 2.3: P4 (x) = x4 − 4x3 − 4x2 + 16x = (x + 2)x(x − 2)(x − 4)
IPN, Esime Culhuacan, Javier Benitez, Computaci´on
17
Producto:
P Q = (2 + 4x) ∗ (1 + 3x) = (2 + 3x + 4x + 12x2 ) = 2 + 7x + 12x2
Cociente:
El cociente debe construirse con el siguiente modelo
P
R
=C+
Q
Q
C se llama el cociente y R se llama residuo, este debe ser un polinomio mas
peque˜
no que Q
P
2 + 4x
4
2/3
=
= +
Q
1 + 3x
3 1 + 3x
2.1.
Ra´ıces de un polinomio
Las ra´ıces de un polinomio son los valores de x tales que hacen que el polinomio sea cero.
P (xi ) = 0,
las ra´ıces son los valores xi
Ejemplo: Sea el polinomio
P (x) = x2 + x − 6 = (x − 2)(x + 3)
Las ra´ıces con x = 2, x = −3. Son dos ra´ıces
Ejemplo: Sea el polinomio
P (x) = x2 + 1 = (x + i)(x − i), con i2 = −1
Las ra´ıces son: x = i, x = −i
Es decir las ra´ıces pueden ser n´
umeros reales o pueden ser n´
umeros complejos.
Las ra´ıces tambi´en pueden ser iguales, ejemplo
P (x) = x2 + 2x + 1 = (x + 1)(x + 1) = (x + 1)2
Aqu´ı las ra´ıces son x = −1, x = −1. Decimos que son dos ra´ıces iguales o
una ra´ız m´
ultiple, en este caso de multiplicidad 2.
18
2.2.
IPN, Esime Culhuacan, Javier Benitez, Computaci´on
Fracciones Parciales
El cociente de polinomios nos presenta el siguiente problema
P
x+1
=
Q
x(x − 2)
Un polinomio P de grado menor al polinomio Q. En este caso podemos descomponerlo en fracciones parciales
x+1
A
B
P
=
= +
Q
x(x − 2)
x x−2
Esta forma de descomposici´on es correcta cuando las ra´ıces de Q son todas
diferentes y de multiplicidad uno.
Una manera de resolverlo es realizando la suma del lado derecho, esto nos
lleva a la igualdad
x+1
A(x − 2) + B(x)
=
x(x − 2)
x(x − 2)
Que nos lleva a la igualdad de polinomios
x + 1 = A(x − 2) + B(x)
Dos polinomios son iguales si tienen los mismos coeficientes en la potencia
de x.
x + 1 = x(A + B) − 2A
As´ı se forma el sistema de ecuaciones lineales
A + B = 1, 1 = −2A
La soluci´on a este sistema es
1
3
A=− , B=
2
2
Y nuestro polinomio se puede escribir como
x+1
3/2
1/2
=
−
x(x − 2)
x−2
x
IPN, Esime Culhuacan, Javier Benitez, Computaci´on
19
Esta t´ecnica de descomposici´on de polinomios se utiliza en la integraci´on de
cociente de polinomios, pues como vemos la parte derecha de la expresi´on
son integrales inmediatas.
x+1
3
dx =
x(x − 2)
2
dx
1
−
x−2 2
dx
3
1
= ln |x − 2| − ln |x|
x
2
2
Otra manera de resolver este caso de ra´ıces diferentes de multiplicidad uno
es
P
x+1
A
B
=
= +
Q
x(x − 2)
x x−2
A=
x+1
(x − 2)
B=
x+1
x
=
0+1
1
=−
0−2
2
=
3
2+1
=
2
2
x=0
x=2
Cuando las ra´ıces de Q son m´
ultiples tenemos la siguiente descomposici´on
3x + 1
A
B
C
= 2+ +
− 1)
x
x
x−1
x2 (x
Tenemos la siguiente igualdad
3x + 1 = A(x − 1) + Bx(x − 1) + Cx2
El polinomio del lado derecho se expresa como
3x + 1 = x2 (B + C) + x(A − B) − A
Igualando los coeficientes de la misma potencia en x
x2 : 0 = B + C, x : 3 = A − B, 1 = −A
Encontramos que A = −1, B = A − 3 = −1 − 3 = −4, C = −B = 4
As´ı tenemos el desarrollo
3x + 1
1
4
4
=− 2 − +
− 1)
x
x x−1
x2 (x
Si tuvi´eramos que integrar esta expresi´on, tendr´ıamos el resultado
20
IPN, Esime Culhuacan, Javier Benitez, Computaci´on
3x + 1
1
dx = − 4 ln |x| + 4 ln |x − 1|
− 1)
x
x2 (x
Cap´ıtulo 3
Sistema de ecuaciones Lineales
Tenemos que aprender a resolver un sistema de ecuaciones lineales que es de
la forma m ecuaciones con n inc´ognitas. Decimos que es un sistema (m x n),
m filas y n columnas
a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = b2
······························
am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn = bn
Por ejemplo (3 x 3).
2x1 + 3x2 + 4x3 = 5
5x1 + 2x2 + 3x3 = 7
7x1 + x2 + 2x3 = 3
3.1.
M´
etodo de Gauss
Veamos el m´etodo de Gauss. Lo que se quiere es construir un arreglo triangular Podemos simplificar esto escribiendo tres vectores ei veamos en Mathematica el m´etodo de Gauss como se ve en la figura (3.1).
La segunda parte del m´etodo consiste en calcular los valores de xi . Veamos
como se hace en Mathematica y la comprobaci´on del resultado, ver figura
(3.2)
21
22
IPN, Esime Culhuacan, Javier Benitez, Computaci´on
Figura 3.1: M´etodo de Gauss, triangular el sistema
Figura 3.2: M´etodo de Gauss, encontrar los valores de xi y comprobaci´on
IPN, Esime Culhuacan, Javier Benitez, Computaci´on
3.2.
23
M´
etodo de Gauss-Jordan
El m´etodo de Gauss-Jordan es parecido al de Gauss y consiste en diagonalizar
la expresi´on como se ve en la figura (3.3)
La soluci´on se obtiene dividiendo entre los elementos de la diagonal como se
ve en la figura (3.4)
3.3.
Matrices y Determinantes
Un sistema de ecuaciones lineales con tres variables lo podemos describir
como





b1
x1
a11 a12 a13





 a21 a22 a23   x2  =  b2 
b3
x3
a31 a32 a33
Usando una notaci´on compacta podemos escribirlo como ax = b y usando
una notaci´on de ´ındices podemos escribirlo como
aij xj = bi
Un arreglo de m filas y n columnas es una matriz si cumple las siguientes
propiedades.
Un escalar por una matriz:
b = λa, bi = λai
La suma de matrices:
c = a + b, cij = aij + bij
El producto de matrices:
n
c = ab, cij =
aik bkj
k=1
Estudiemos en detalle el caso de dos dimensiones
a11 x1 + a12 x2 = b1
a21 x1 + a22 x2 = b2
24
IPN, Esime Culhuacan, Javier Benitez, Computaci´on
Figura 3.3: M´etodo de Gauss-Jordan
IPN, Esime Culhuacan, Javier Benitez, Computaci´on
25
Figura 3.4: M´etodo de Gauss-Jordan, resultado final
Multipliquemos la primera fila por a22 y la segunda fila por a12 , restemos la
primera menos la segunda y despejemos x1
a11 a22 x1 + a12 a22 x2 = b1 a22
a12 a21 x1 + a12 a22 x2 = b2 a12
x1 =
b1 a22 − b2 a12
a11 a22 − a12 a21
Podemos escribirlo como
x1 =
b1 a12
b2 a22
a11 a12
a21 a22
donde tenemos la definici´on del determinante de una matriz en dos dimensiones.
a11 a12
a21 a22
= a11 a22 − a12 a21
Tiene las siguientes propiedades. Si intercambiamos una fila o una columna
entonces el determinante cambia de signo. De aqu´ı se deduce que si tenemos
dos filas o columnas iguales el determinante es cero.
Para hallar el valor de x2 podemos proceder intercambiando las columnas
26
IPN, Esime Culhuacan, Javier Benitez, Computaci´on
a12 x2 + a11 x1 = b1
a22 x2 + a21 x1 = b2
Y la soluci´on de x2 es
x2 =
b1 a11
b2 a21
a12 a11
a22 a21
Intercambiando arriba y abajo las columnas tenemos finalmente
x2 =
a11 b1
a21 b2
a11 a12
a21 a22
Esta forma de escribir la soluci´on se conoce como el m´etodo de Cramer
Problema 14 Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales mediante
el m´etodo de Cramer
2x + 3y = 5
4x + 2y = 4
La soluci´on es
x=
y=
5 3
4 2
=
2 3
4 2
2 5
4 4
2 3
4 2
=
−2
1
10 − 12
=
=
4 − 12
−8
4
8 − 20
−12
6
3
=
= =
4 − 12
−8
4
2
Con los resultados anteriores podemos escribir la soluci´on como
x1
x2
=
1
a11 a22 − a12 a21
a22 −a12
−a21 a11
b1
b2
IPN, Esime Culhuacan, Javier Benitez, Computaci´on
27
Es decir la matriz inversa es
a−1 =
1
|a|
a22 −a12
−a21 a11
Donde |a| es el determinante de la matriz a. As´ı podemos escribir en la
notaci´on matricial
x = a−1 b
Sea la matriz identidad I
I=
1 0
0 1
Esta matriz cumple
Ia = aI = a,
aa−1 = a−1 a = I
donde a−1 es la matriz inversa de a.
Una propiedad de la matriz inversa es que su determinante es el inverso del
determinante de la matriz a
|a−1 | =
1
|a|
El determinante de un producto de matrices es igual al producto de sus determinantes
|ab| = |a||b|
Veamos el caso de una matriz 3x3


1 2 3

a= 4 8 6 

7 6 2
Construyamos la matriz α de los menores
α11 =
8 6
4 6
4 8
= −20, α12 =
= −34, α13 =
= −32
6 2
7 2
7 6
28
IPN, Esime Culhuacan, Javier Benitez, Computaci´on
α21 =
α31 =
1 2
1 3
2 3
= −8
= −19, α23 =
= −14, α22 =
7 6
7 2
6 2
1 2
1 3
2 3
=0
= −6, α33 =
= −12, α32 =
4 8
4 6
8 6
La matriz α queda entonces


−20 −34 −32

α =  −14 −19 −8 

−12 −6
0
Hagamos la matriz β como βij = (−1)i+j αij


−20 34 −32


β =  14 −19 8 
−12 6
0
Y la matriz transpuesta de la matriz β: βijT = βji


−20 14 −12


T
β =  34 −19 6 
−32 8
0
Para hallar el determinante de la matriz a podemos tomar una fila de la
matriz a y la misma fila de la matriz β y hagamos el producto punto entre
esos dos vectores.
|a| = a11 β11 + a12 β12 + a13 β13
|a| = (1)(−20) + (2)(34) + (3)(−32) = −48
Se puede tomar tambi´en cualquiera otra fila o tambi´en cualquier columna el
resultado siempre es el mismo
La matriz inversa de a es la matriz β entre el determinante de a.

a−1

−20 14 −12
1 T
1 
β = −  34 −19 6 
=

|a|
48
−32 8
0
IPN, Esime Culhuacan, Javier Benitez, Computaci´on
29
Haciendo las operaciones queda como

a−1 =
5
12


 −17

 24


2
3
3.4.
−7
24
−19
48
−1
6
1
4




−1 
8 


0
Matrices de Rotaciones
Una rotaci´on en un plano la podemos obtener con n´
umeros complejos
w = eiθ z = (cos θ + i sin θ)(x + iy)
w = (x cos θ − y sin θ) + i(x sin θ + y cos θ)
Podemos escribir la matriz de rotaci´on alrededor del eje z como





x1
cos θ − sin θ 0
x1




cos θ 0   x2 

 x2  =  sin θ
x3
0
0
1
x3
Podemos usar el lenguaje de matrices para estudiar en general a las rotaciones
y = Rx, y = x R ,
y y = x R Rx = x x
donde x, y son matrices (3x1) y R es una matriz (3x3). La traspuesta de
un producto de matrices es el producto de sus transpuestas pero en orden
inverso. La invariancia de la distancia al origen para las rotaciones implica
el resultado
R R = I, |R ||R| = |R|2 = 1
El determinante de un producto de matrices es igual al producto de sus determinantes, y el determinante de una matriz transpuesta es igual al determinante de la matriz misma. Esto nos dice que el determinante puede ser
uno o menos uno.
|R| = ±1, |R| = 1 para rotaciones,
|R| = −1
para reflexiones
30
IPN, Esime Culhuacan, Javier Benitez, Computaci´on
El determinante es uno para las rotaciones y el determinante es menos uno
para las reflexiones.
Una reflexi´on alrededor de un plano que tiene un ´angulo θ medido a partir
del eje x y en sentido contrario a las manecillas del reloj lo podemos expresar
como
w = eiθ z¯ = (cos θ + i sin θ)(x − iy)
donde z¯ es la conjugada de z
w = (x cos θ + y sin θ) + i(x sin θ − y cos θ)
As´ı podemos escribir la reflexi´on como





cos θ sin θ 0
x1
x1





 x2  =  sin θ − cos θ 0   x2 
x3
0
0
1
x3
Y vemos que tiene determinante menos uno la transformaci´on de reflexi´on
3.4.1.
´
Angulos
de Euler
Una rotaci´on alrededor del eje y seria





x1
cos θ 0 sin θ
x1




0
1
0   x2 

 x2  = 
x3
− sin θ 0 cos θ
x3
Los ´angulos de Euler se describen mediante tres rotaciones, una rotaci´on
alrededor del eje z (φ) llamada precesi´on, otra una rotaci´on alrededor del
nuevo eje y llamada nutaci´on o cabeceo (θ) y una rotaci´on alrededor del
nuevo eje z llamada spin (ψ). Los ´angulos θ y φ son los ´angulos utilizados
en coordenadas esf´ericas.




cos ψ − sin ψ 0
cos θ 0 sin θ
cos φ − sin φ 0



0
1
0   sin φ cos φ 0 
R(ψ, θ, φ) =  sin ψ cos ψ 0  

0
0
1
− sin θ 0 cos θ
0
0
1