1. Educación

LICEO MONJARDÍN
PROBLEMAS DE MATEMÁTICAS 4º E.S.O.
PROBLEMAS PARA 4º E.S.O.
NÚMEROS Y OPERACIONES
1.-
Un jugador pierde 3/7 de su sueldo en el juego y gasta 2/5 en el alquiler del piso . ¿Qué fracción del sueldo le
queda para vivir?
2.-
Se pagó 1202 € por un ordenador. Si el IVA aplicado fue del 21%, ¿Cuál era el precio del ordenador sin
impuestos?
3.-
Jacinto gana 1840 euros mensuales y gasta un 35% en el pago de su vivienda, un 25% en ropa y comida, un 15%
en ocio, un 10% en varios y ahorra el resto ¿Cuánto ahorra al año?
4.-
Una piscina de 25 m3 se va vaciando el 12% del total cada hora. ¿ Cuántos m3 habrá dentro de una hora? ¿Y
dentro de dos? ¿Cuánto tiempo tarda en vaciarse?
5.-
Las servilletas de papel están de oferta en dos comercios
- En el comercio A la oferta es : “compra 10 paquetes y te regalamos uno”
- En el comercio B ofrecen : “si te llevas 10 paquetes , sólo pagas 9”
¿Cuál de las ofertas es mejor? ¿Qué porcentaje rebajan en cada una?
6.-
El presupuesto de un país es de quince trillones de euros., ¿cuánto tiene que aportar cada individuo en promedio
si el país tiene doscientos cincuenta millones de habitantes?
7.-
El sábado he gastado
3
3
del dinero que tenía para el fin de semana, el domingo
de lo que me quedaba. Al
5
4
final me sobraron 8 €. ¿Cuánto dinero tenía para el fin de semana?
8.-
9.-
ˆ % son tambores.
En una banda municipal de música, el 16 ,6ˆ % de los miembros son trompetas y el 22 ,2
Además, se sabe que el número de músicos no llega a 40, aunque sobrepasa los 30. ¿Cuántas personas forman la
banda?
Un grifo tarda 2 horas en llenar una piscina, otro más pequeño tarda 4 horas. ¿Cuánto se tardará usando los dos
grifos?
10.- En el campeonato de lanzamiento de tomates “ El Tomatazo”, Pepe tira en la 1ª tanda las
tomates, en la 2ª los
3
partes de los
5
2
de los que le sobraban. Si al final le sobran 4 tomates, ¿cuántos tomates tenía al
7
principio? ¿cuántos tiró en la 1ª tanda? ¿y en la 2ª?
11.- En un supermercado los refrescos se venden en paquetes de 4 latas. Si el dependiente apila las latas en 4 pisos y
en cada piso pone 4 paquetes de refrescos, ¿cuántas latas habrá colocado en total?
12.- Un carpintero tiene que construir una mesa rectangular de 136 cm de largo para obtener una superficie de 9396
cm2. ¿Cuánto medirá el otro lado si utiliza una regla que sólo aproxima hasta los milímetros?
13.- En una balanza de precisión pesamos cien granos de arroz, obteniendo un valor de 0,0000277 kg. ¿Cuántos
granos hay en 1000 toneladas de arroz? Utiliza notación científica.
14.- La masa de un cometa es de 1016 gramos. Cuando el cometa se acerca al Sol, su material se evapora con una
rapidez de 107 gramos por segundo. Calcula la vida del cometa si aparece cada 50 años y permanece 10 días
cerca del Sol.
15.- La velocidad de la luz es 3 · 108 m/s. ¿Qué distancia recorre la luz en un año? ¿Cuánto tarda la luz del Sol en
llegar a Plutón si la distancia del Sol a Plutón es: 5,91 · 106 km?
16.- La velocidad de la luz es de 300000 km/s, y la distancia entre el Sol y Júpiter es de 7,7·10 8 km. ¿Cuánto tiempo
tarda la luz en llegar desde el Sol a Júpiter?
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17.- El peso estimado de nuestra galaxia es de 2,20 ·1041 kg y el peso estimado del sol es de 1,99 ·1030 kg. ¿Cuántos
soles harían falta para conseguir el peso de nuestra galaxia?
POLINOMIOS
18.- En un rectángulo de lados x e y inscribimos un rombo. Escribe el perímetro del rombo en función de los lados
del rectángulo.
19.- Los ingresos y los gastos de una empresa en millones de euros, en función del número de años que lleva
funcionando, vienen dados por: I(t) = t2– 3t + 5; G(t) = t2 – 4t + 9. Halla la expresión B(t) de los beneficios y
los beneficios el segundo año de funcionamiento de la empresa.
20.- Samuel quiere construir un triángulo donde las medidas de las longitudes de sus lados están dadas por las
expresiones x2; 2x + 3; x + 2. Si su perímetro es igual a 23 cm, ¿de qué tipo es el triángulo?
21.- Expresa mediante un polinomio el área de
las figuras.
22.- Expresa con un monomio el área de un
triángulo equilátero de lado x.
23.- Susana debe confeccionar manteles rectangulares para las mesas de un comedor escolar. No tiene aún las
medidas exactas pero sabe que en todas ellas el largo es igual al doble del ancho. Además calcula que, alrededor
de cada mantel necesita 10 cm más de tela para el volado y el dobladillo. ¿Cuál es la expresión que permite
calcular la cantidad de tela que necesita para cada mantel en función de la medida del largo de las mesas?
ECUACIONES
24.- Determina un número entero sabiendo que si lo multiplicamos por el siguiente el resultado excede en 40
unidades a la tercera parte de ese número.
25.- Una piscina dispone de dos desagües. Si abrimos solo el primero, la piscina se vacía en 3 horas; pero si abrimos
los dos se vacía en 2 horas. ¿Cuánto tardaría en vaciarse si abriésemos únicamente el segundo desagüe?
26.- Las dos cifras de un número suman 14 y si invertimos el orden de sus cifras el nuevo número supera en 36
unidades al número inicial. ¿De qué número se trata?
27.- Un comerciante compra dos productos por 500€ para revenderlos. Por la venta del primero obtiene un 5% de
beneficio y por la venta del segundo un 4,5% de beneficio. Sabiendo que consigue 3,15€ mas de beneficio por la
venta del primero que por la del segundo, ¿cuánto le costó cada uno de ellos?
28.- Un fabricante de televisores obtiene un beneficio de 34 euros por cada televisor que vende y sufre una pérdida de
44 euros por cada televisor defectuoso que debe retirar del mercado. Un día ha fabricado 488 televisores
obteniendo unos beneficios de 6062 euros. ¿Cuántos televisores buenos y defectuosos ha fabricado ese día?
29.- En una fiesta se sirvieron 20 refrescos más de limón que de naranja. El número de zumos fue el triple que el de
refrescos de naranja y limón juntos. En total se vendieron 600 bebidas. ¿Cuántas bebidas se vendieron de cada
clase?
30.- Se mezclan 1hl de aceite de oliva virgen, de 3,60 Euros el litro, con 600 litros de otra clase de aceite inferior, a
2,8 Euros el litro ¿A cuánto sale el litro de mezcla? ¿Cuánto se ha de aumentar el precio del litro para obtener
una ganancia de 480 Euros?
31.- La suma de las edades de los cuatro miembros de una familia es 104 años. El padre tiene 6 años más que la
madre, que tuvo a los dos hijos gemelos a los 27 años. ¿Qué edad tiene cada uno?
32.- Si al cuadrado de un número le quitas su doble, el resultado es igual al quíntuplo de dicho número. ¿De qué
número se trata?
33.- La diagonal de un rectángulo mide 26 m. y su perímetro 68 m. Calcula sus lados.
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34.- Se debe preparar un terreno cuadrado para sembrarlo y cercarlo con alambre. Si el costo por preparar el terreno
es de 0.5 € por metro cuadrado, y la cerca cuesta 1 € el metro lineal. Determinar las dimensiones del terreno si el
costo por prepararlo y cercarlo es de 120 €.
35.- Hay que repartir 60.000 € entre cierto número de amigos presentes en una reunión en partes iguales. Alguien
nota que si hubieran dos amigos menos, a cada uno le correspondería 2.500 € más. ¿Cuántos son los amigos
presentes y cuánto le corresponde a cada uno?
36.- La concentración de alcohol en la sangre de una persona puede medirse. Recientes investigaciones médicas
sugieren que el riesgo R (dado con un porcentaje) de tener un accidente al conducir un vehículo puede
presentarse por medio de la ecuación R=6.ekx donde x es la concentración variable de alcohol en la sangre y k es
una constante.
a. Suponiendo que una concentración de alcohol en la sangre de 0,04 da como resultado un riesgo del 10%
(R=10) de tener un accidente. Encuentra la constante k de la ecuación.(Solución: k=12,77)
b. Con este valor k, ¿cuál es el riesgo si la concentración es de 0,17? (Solución: 52,6%)
c. Con este mismo valor de k, ¿qué concentración de alcohol corresponde a un riesgo del 100%? (Solución:
0,22)
d. Si la ley establece que cualquier persona con un riesgo de tener un accidente del 20% o mayor no está
autorizada para conducir, ¿qué concentración de alcohol en la sangre debe tener un conductor para ser
arrestado? (Solución: ≥ 0,094)
37.- La cicatrización normal de una herida puede obtenerse por medio de una función exponencial. Si A 0 representa
el área original de la herida y A es igual al área de la herida después de n días, entonces la fórmula A (n) = A0 ·
e–0,35n describe el área de la herida en el enésimo día después de ocurrida la lesión. Suponiendo que una herida
tenía inicialmente un área de 100 centímetros cuadrados
a. Una vez comenzada la cicatrización ¿cuál será el área de la herida después de tres días? (Solución: A=34,99
cm2 )
b. ¿Cuál será la superficie de la herida después de 10 días? (Solución: A = 3,019 cm2)
38.- La degradación de un tejido después de n lavados en una lavadora, viene dada por la fórmula F = e–an , donde F
es la fracción de tejido que se permanece, n es el número de lavados y “a” la constante de degradación que es
para un cierto tejido a = 1,5 · 10−4. Si asumimos que las prendas dejan de ser aptas para vestir cuando han
perdido un 1,5 por ciento de sus fibras ¿Cuántos lavados serán posibles?
39.- Con la finalidad de determinar la retención de conceptos aprendidos, se practicó un examen a un grupo de
estudiantes y, a partir de esa fecha se les reexaminó cada mes utilizando una prueba equivalente. Los resultados
mostraron que el promedio en puntuación D satisfacía la fórmula D = 80 −12ln(x + 1) dónde x es el tiempo en
meses
a) ¿Cuál fue la puntuación promedio inicial en el examen? (Solución: 80)
b) ¿Cuál fue la puntuación promedio de 1 año? (Solución: 49,22)
c) ¿Después de cuántos meses la puntuación promedio cayó por debajo de 60? (Solución 4,29 meses
INECUACIONES
40.- En un examen de 40 preguntas te dan dos puntos por cada acierto y te restan 0,5 puntos por cada fallo. ¿Cuántas
preguntas hay que contestar bien para obtener como mínimo 40 puntos, si es obligatorio responder a todas?
41.- Un vinatero dispone en su almacén de dos tipos de vino: uno a 4€ el litro y otro a 7€ el litro. Quiere mezclarlos
para llenar un tonel de 500 litros de capacidad y quiere que la mezcla no cueste más de 6€ ni menos de 5€ el
litro. Averigua entre qué valores debe estar la cantidad de litros del primer tipo de vino para que el precio final
esté en el intervalo deseado.
42.- El producto de un número entero por otro, dos unidades mayor, es menor que 8. ¿Cuál puede ser ese número?
43.- Un grupo de amigos han reunido 50 € para ir a una discoteca. Si la entrada cuesta 6 €, les sobra dinero, pero si
cuesta 7 €, les falta. ¿Cuántos amigos son?
44.- ¿Cuántos kilos de pintura de 3,5 €/kg debemos mezclar con 6 kg de otra de 5 €/kg para que el precio de la
mezcla sea inferior a 4 €/kg?
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45.- La tarifa de telefonía de la empresa A es 20 € fijos mensuales más 7 céntimos de euro por minuto de
conversación, la de la empresa B es 11 € fijos más 12 céntimos por minuto de conversación. ¿A partir de cuantos
minutos empieza a ser más rentable la tarifa de la empresa A?
46.- Un padre y su hijo se llevan 25 años. Encuentra el periodo de sus vidas en que la edad del padre excede en más
de 5 años al doble de la edad del hijo.
47.- ¿Entre qué medidas se debe aumentar el lado de un cuadrado que tiene por área 36 cm2 si se quiere que la nueva
superficie esté comprendida entre cuatro y nueve veces la inicial?
48.- En la población de un territorio se han producido, en un período de tiempo determinado, las siguientes
variaciones medidas sobre la población inicial:
• 2,5% de nacimientos
• 0,5% de emigrantes
• 2,25% de defunciones
• 0,75% de inmigrantes
¿Entre qué valores estará la población final si la inicial estaba entre 45 000 y 46 000 habitantes?
49.- Al comprar 8 bolígrafos se pagó con un billete de 5 euros, pero no se recuerda a cuánto ascendía la vuelta. Otro
cliente fue a comprar 12 bolígrafos de la misma clase, pero tuvo que volver a casa, ya que los 6 euros y 50
céntimos que llevaba para pagar no eran suficientes. ¿Qué se puede decir del precio de un bolígrafo?
50.- Un comerciante desea comprar frigoríficos y lavadoras, que cuestan 500 € y 400 €, respectivamente. Si solo
dispone de sitio para almacenar 50 electrodomésticos, y de 22 000 € para invertir, representa en el plano el
recinto de todas las posibles soluciones de la cantidad de frigoríficos y lavadoras que puede comprar.
TRIGONOMETRÍA
51.- El sonar de un barco de salvamento localiza los restos de un naufragio en un ángulo de depresión de 12°. Un
buzo es bajado 40 metros hasta el fondo del mar. ¿Cuánto necesita avanzar el buzo por el fondo para encontrar
los restos del naufragio?
52.- El palo central de una tienda de campaña tiene una altura de 6 metros y su parte superior está sostenida por
cuerda de 12 metros de largo amarradas a estacas clavadas en la tierra. ¿A qué distancia están las estacas del pié
del mástil? ¿Cuál es la inclinación de los cables con la tierra?
53.- Dos torres de 198 m y 203 m de altura están unidas en sus puntos más altos por un puente bajo el cual hay un río.
Calcula la longitud del puente y la anchura del río sabiendo que el ángulo que hay entre el puente y la torre más
alta es de 75°.
54.- Halla la distancia entre los puntos A y B en la siguiente imagen:
55.- Con un compás de 12 cm de longitud hemos trazado una circunferencia de
10 cm de radio, ¿qué ángulo, en radianes, forman las ramas del compás?
56.- El ángulo de elevación de una cometa sujeta con una cuerda de longitud L 1 = 80 m es α = 30º. El viento tensa la
cuerda y la hace chocar con otra cometa cuyo ángulo de elevación es B = 60º. ¿Cuál es la altura de las cometas
en ese instante? ¿Y la longitud L2 de la cuerda que sujeta la segunda cometa?
57.- Los lados de un paralelogramo miden 12 y 20 cm, respectivamente, y forman un ángulo de 60°. ¿Cuánto mide la
altura del paralelogramo? ¿Y su área?
58.- Calcula el área y el perímetro de un dodecágono regular inscrito en una circunferencia de 10cm de radio.
59.- Dos caminos rectos que se cortan forman un ángulo de 75º. En uno de los caminos y a 1 km del
cruce, hay una gasolinera. Encontrar la menor distancia desde dicha gasolinera hasta el otro
camino.
60.- Para medir la altura de un edificio se miden los ángulos de elevación desde dos puntos distantes
100m. ¿cuál es la altura si los ángulos son 33º y 46º?
61.- Sobre un peñasco situado en la ribera de un río se levanta una torre de 125 m de altura. Desde el
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extremo superior de la torre, el ángulo de depresión de un punto situado en la orilla opuesta es de 28º y desde la
base de la torre, el ángulo de depresión del mismo puntos es de 18º. Calcular la anchura del río y la altura del
peñasco.
62.- Dos personas distantes entre sí 840 m, ven simultáneamente un avión con ángulos de elevación respectivos de
60º y 47º, ¿a qué altura vuela el avión?
63.- Justo frente a la ventana de mi apartamento, al otro lado de la calle, se eleva un edificio nuevo en construcción.
Por razones personales deseo calcular su altura: mido desde mi ventana el ángulo que forma la visual hacia la
punta del edificio con la horizontal : 3º. Después bajo hasta la puerta de calle de mi departamento y hago la
misma medición: 5º. Como estos datos no son suficientes, mido la altura a que se encuentra mi ventana: son 8
metros. ¿Qué altura tenía el edificio? ¿a que distancia del mío se encontraba?
64.- Una paparatzzi pretende fotografiar al afectado actor Antonio Estandartes; para ello se sube a un árbol de 3'75 m
de altura. Si la distancia a la tapia es de 6 m y la altura de ésta de 2'25 m. ¿Bajo
qué ángulo observará la propiedad del actor?, ¿cuál es la máxima separación
del muro a la que podrá tumbarse nuestro famoso si no desea ver turbada su
intimidad?
COMBINATORIA, PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
65.- ¿Cuántas palabras se pueden formar con todas las letras de la palabra “Discreta”? ¿Cuántas de ellas tienen las
tres vocales juntas?
66.- Un alumno tiene que elegir 7 de las 10 preguntas de un examen, ¿de cuantas formas puede elegirlas si las cuatro
primeras son obligatorias?
67.- En un poste de señales luminosas hay 5 focos de distinto color. ¿Cuántas señales distintas pueden hacerse
encendiendo menos de 4 luces? (S: 25)
68.- ¿Cuántos números de 5 cifras tienen alguna de sus cifras repetidas?
69.- Tenemos un grupo de 5 personas (3 chicas y 2 chicos), ¿de cuantas maneras pueden sentarse en 5 sillas dispuesta
en línea recta? ¿y si imponemos que los 2 chicos deben estar juntos?
70.- ¿De cuántas formas diferentes se puede contestar un test de 20 preguntas cuyas respuestas son del tipo
“verdadero o falso”?
71.- ¿De cuántas maneras se pueden ordenar las letras de la palabra AMASAS?
72.- Tenemos una urna con siete bolas de colores distintos. Si sacamos tres bolas de una en una y con
reemplazamiento, ¿cuántas ordenaciones distintas de colores podremos obtener?
73.- Los billetes de la empresa municipal de autobuses están numerados desde el 00000 al 99999. Calcular la
probabilidad de que al subir al autobús nos den un billete capicúa. (S: 0,01)
74.- La probabilidad de que un alumno apruebe Matemáticas es 0'6, la de que apruebe Lengua es 0'5 y la de que
apruebe las dos es 0'2.
a.- ¿Cuál es la probabilidad de que apruebe al menos una asignatura? b.- ¿Y de que no apruebe ninguna? c.- ¿Y
la de que apruebe Matemáticas y no Lengua? d.- ¿Y la de que apruebe una sola asignatura? (S: 0'9; 0'1; 0'4; 0'7)
75.- En una urna hay 4 bolas iguales con las letras O, H, A, L. Se extraen sucesivamente las cuatro bolas. Calcula la
probabilidad de que formen la palabra HOLA en los siguientes casos:
a) Devolviendo las bolas a la urna. b) Sin devolverlas.
76.- Una bolsa contiene 5 bolas rojas, 10 negras y 12 azules. Se extraen dos bolas al azar. Calcula la probabilidad de
que ambas sean del mismo color.
77.- Si al sacar 3 cartas de una baraja española obtengo 3 oros, ¿la probabilidad de conseguir en una cuarta extracción
una espada es la misma si devuelvo las cartas a la baraja que si no lo hago? ¿Por qué?
78.- Un profesor tiene 2 estuches. Uno contiene 5 bolígrafos azules y 3 negros y el otro, 2 azules y 6 negros. Si abre
un estuche al azar y extrae un bolígrafo, ¿cuál es la probabilidad de que sea negro?
79.- En una clase hay 17 chicos y 18 chicas. Elegimos al azar dos alumnos de esa clase. Calcula la probabilidad de
que: a) Los dos sean chicos, b) Sean dos chicas, c) Sean un chico y una chica.
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80.- Javier tiene en su monedero 4 monedas de cinco céntimos, 3 de veinte y 2 de un euro. Saca dos monedas al azar.
Calcula la probabilidad de los siguientes sucesos:
a) Que las dos sean de cinco céntimos. b) Que ninguna sea de un euro. c) Que saque 1,20€.
81.- Ante un examen, un alumno sólo ha estudiado 15 de los 25 temas correspondientes a la materia del mismo. Este
se realiza extrayendo al azar dos temas y dejando que el alumno escoja uno de los dos para ser examinado del
mismo. Halla la probabilidad de que el alumno pueda elegir en el examen uno de los temas estudiados. (S:
17/20)
82.- Se dispone de tres cajas con bombillas. La primera contiene 10 bombillas, de las cuales hay 4 fundidas; en la
segunda hay 6 bombillas, estando una fundida, y en la tercera caja hay tres bombillas fundidas de un total de 8.
¿Cuál es la probabilidad de que al tomar una bombilla al azar de una cualquiera de las cajas, esté fundida? (S:
113/360)
FUNCIONES
83.- La siguiente gráfica muestra el crecimiento de una planta:
a)
b)
c)
d)
e)
¿Cuál es el dominio de definición?
¿Es una función continua o discontinua?
¿Cuánto mide al cabo de un mes?
¿Cuándo mide 50 cm?
Explica si es una función creciente o decreciente.
84.- Esta gráfica muestra la evolución de la audiencia de radio en Navarra en un día concreto del año.
a) ¿ Entre qué horas se realiza la medición?
b) ¿ En qué horas del día aumenta el pocentaje de
personas que escuchan la radio ? ¿ Cuándo disminuye?
c) ¿ En qué momento de la mañana es máximo el
porcentaje de oyentes? ¿Cuál es ese porcentaje?
d) ¿ Cuál es el máximo de la tarde? ¿Y el de la noche?.
e) ¿ Cuál es el porcentaje de oyentes a las ocho de la
mañana? ¿ Ya las 9 de la noche?
85.- El consumo de agua en un colegio viene dado por esta gráfica:2
a) ¿Durante qué horas el consumo de agua es nulo? ¿Por qué?
b) ¿A qué horas se consume más agua? ¿Cómo puedes explicar esos puntos?
c) ¿Qué horario tiene el colegio?
d) ¿Por qué en el eje X solo consideramos valores entre 0 y 24? ¿Qué significado
tiene?
86.- Construye una gráfica que corresponda a la audiencia de una determinada cadena de
televisión durante un día, sabiendo que:
A las 0 horas había, aproximadamente, 0,5 millones de espectadores. Este número se mantuvo prácticamente
igual hasta las 6 de la mañana. A las 7 de la mañana alcanzó la cifra de 1,5 millones de espectadores. La
audiencia descendió de nuevo hasta que, a las 13 horas, había 1 millón de espectadores. Fue aumentando hasta
las 21 horas, momento en el que alcanzó el máximo: 6,5 millones de espectadores. A partir de ese momento, la
audiencia fue descendiento hasta las 0 horas, que vuelve a haber, aproximadamente, 0,5 millones de
espectadores.
85.- Por la recogida de agua en una fuente de aguas terapéuticas debemos pagar 20 céntimos por el acceso a la fuente
y 5 céntimos de euro por cada litro de agua recogida.
a)
b)
6
Calcula la ecuación de la recta que nos da el coste total en función de la cantidad de agua
recogida y represéntala gráficamente.
¿Cuánto tendríamos que pagar si recogemos 15 litros de agua?