1. Educación

CÁLCULO INTEGRAL
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA - SEDE MEDELLÍN
SEMESTRE 01-2014
CLASE # 16
Presión y fuerza hidrostática
Supongamos que una placa horizontal delgada con área A(m2 )
se sumerge en un líquido con densidad (Kg=m3 ), a una profundidad
d (m), debajo de la super…cie del ‡uido. El ‡uido que está arriba de
la placa tiene volumen V = A d, de modo que su masa es
m=
V = Ad:
En consecuencia, la fuerza hidrostática que ejerce el ‡uido sobre la placa es
F = mg = Adg;
g = gravedad:
La presión hidrostática sobre la placa se de…ne como la fuerza por unidad de área
P =
F
= dg;
A
N
= P a (P ascal)
m2
Nota. Es claro de aquí que la presión depende de la profundidad. Los siguientes ejemplos muestran que
hacer cuando la profundidad es variable.
Ejemplo. Un acuario de 5f t de largo, 2f t de ancho y 3f t de profundidad está lleno de agua. Encuentre:
a) La presión hidrostática sobre el fondo del acuario.
b) La fuerza hidrostática sobre el fondo del acuario.
c) La fuerza hidrostática sobre un extremo del acuario.
Solución. Grá…camente la situación es
a) P = dg = 62:5 3 = 187:5
lb
f t2 .
b) F = P A = 187:5 10 = 1875 lb.
c) F = g Ad = (62:5) (2 y) y
De donde
Z 3
F =
(62:5) (2y) dy = 562:5 lb.
0
1
Ejemplo. Se llena una pileta con un líquido viscoso cuya densidad es 840 Kg
m3 . Los extremos de la pileta son
triángulos equiláteros con lados de 8m de largo y el vértice en el fondo. Encuentre la fuerza hidrostática
que se ejerce sobre un extremo de la pileta. (Observar que la presión varía con la profundidad).
Solución.
Hallamos la presión hidrostática sobre una franja
F = g Ay;
y = distancia.
4
a
y
Ahora A = 2a y; pero p = p
=) a = 4 p
4 3
4 3 y
3
y
De donde
F = (840) (9:8) 2 4 p
y y: Luego
3
p
Z 4 3
y
F =
(16464) 4 p
ydy =
= 526:848 N:
3
0
Momentos y centros de masa.
Deseamos hallar el punto P en el cual una placa delgada de cualquier forma se equilibra horizontalmente.
Este punto es llamado centro de masa (o centro de gravedad) de la placa. Primero consideremos una
situación particular
Se sabe, desde Arquímedes, que la varilla se equilibra si
m1 d1 = m2 d2
(*)
Ahora supongamos que la varilla se encuentra a lo largo del eje x. Así,
Reemplazando en (*) nos queda m1 (x
centro de masa del sistema es
x1 ) = m2 (x2
x=
x) =) m1 x
m1 x1 + m2 x2
m1 + m2
2
m1 x1 = m2 x2
m2 x: De donde el
(**)
Los números m1 x1 y m2 x2 se conocen como momentos de las masas m1 y m2 con respecto al origen. De
(**)
suma de momentos
x=
:
masa total
En general, si tenemos un sistema de n partículas con masas m1 ; m2 ; :::; mn , ubicadas en los puntos
x1 ; x2 ; :::; xn , sobre el eje x; entonces
n
X
mi xi
M
i=1
x= n
=:
:
X
m
mi
i=1
M : momento del sistema respecto al origen y m : masa total.
Consideremos una placa plana (lámina), con densidad uniforme , que ocupa una región R del plano.
Deseamos localizar el centro de masa de la placa, el cual se conoce como centroide de R. Consideremos lo
siguiente
Nota. Por simetría el centro de masa de un rectángulo está en su centro geométrico. Luego, en la …gura
Ci es el centro de masa de Ri .
De…nición.
a) La masa del rectángulo Ri está dada por m(Ri ) = densidad area(Ri ) = [f (xi )
g(xi )] x:
b) El momento del rectángulo Ri respecto al eje y es m(Ri ) por la distancia de Ci al eje y, es decir
My (Ri ) = m(Ri ) xi . Y de…nimos el momento de R respecto al eje y por
My = lim
n!1
n
X
My (Ri ) =
Z
b
[f (x)
g (x)] xdx
a
i=1
De manera análoga se justi…ca que el momento de R respecto al eje x es
Mx =
Z
a
b
1
2
f 2 (x)
g 2 (x) dx
c) El centroide (x; y) ; de R, se de…ne por
x=
My
=
m
Mx
y=
=
m
Z
b
[f (x)
g (x)] xdx
a
Z
a
=
A
1
A
b
1
2
f 2 (x)
g 2 (x) dx
=
A
En donde A es el área de R.
3
Z
b
[f (x)
g (x)] xdx
a
1
2A
Z
a
b
f 2 (x)
g 2 (x) dx
Ejemplo. Encuentre Mx ; My y (x; y) para la lámina que se ilustra. Suponga que
Solución. En este caso g(x) 0. Luego,
Z b
Z
1
2
2
Mx =
f (x) g (x) dx
y
My =
2
a
= 1:
b
[f (x)
g (x)] xdx: Con esto
a
1
Mx =
2
Z
My =
0
Z
0
2
(2x + 2) dx +
1
x (2x + 2) dx +
1
Z
Z
1
2
( 2x + 2)
=
=
0
4
3
1
x ( 2x + 2) dx =
= 0:
0
Y puesto que la masa es m = A = 2; se sigue que
(x; y) =
My Mx
;
m m
=
0;
4=3
2
=
0;
2
3
:
Nota. En general, si una lámina tiene densidad constante y es simétrica respecto a una recta l, entonces el
centro de masa está sobre l.
p
Ejemplo. Encuentre el centroide de la región limitada por las curvas y = x; y = x2 :
Solución.
A=
Z
1
p
( x
x2 )dx =
0
Luego,
Z
1 1 p
x= 1
x( x
3
y=
Es decir el centroide está en (x; y) =
9 9
;
20 20
:
4
0
1
2
1
3
Z
0
1
1
:
3
x2 )dx =
hp
2
( x)
x2
9
:
20
i
2
dx =
9
:
20