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11.- LÍMITES DE FUNCIONES
1.- DOMINIO DE DEFINICIÓN
3x
, b)
x→3+ x - 3
Solución: a) +∞, b) -∞.
1.
Calcula los límites: a) lim
2.
Calcula
3x
lim- x - 3
x→3
2
Solución:
34
11
lim (f + g)(x) = 3 , lim (f.g)(x) = 3 .
x →3
x →3
1
3.
Calcula
4.
Solución: No tiene, +∞ a la derecha, -∞ a la izquierda.
x
Calcula lim
x →1 x - 1
Solución: No tiene, +∞ a la derecha, -∞ a la izquierda.
5.
lim x
x →0
x +1
2
x →0 x
Solución: +∞
Calcula
lim
x2 + 1
2
x →1 x - 1
Solución: No tiene, +∞ a la derecha, -∞ a la izquierda.
6.
Calcula
7.
en x = 1?
x
Solución: No tiene ya que son distintos los límites laterales
8.
Calcula
lim
¿Tiene limite la función f(x) =
Calcula
1
2 -1
-2
lim 1 -
x →- ∞
Solución: 0
9.
x3
lim (x2 + 2x - 7)
x →+ ∞
Solución: +∞
2
1
x2
x →- ∞
Solución: 0
10.
Calcula
11.
Calcula
lim
lim (x2 + 2x - 4)
x →- ∞
Solución: +∞
12.
Calcula
3
lim (1 - x )
x →- ∞
Solución: +∞
13.
Calcula
1
lim (f + g)(x) y lim (f.g)(x) siendo las funciones f(x) = x +2 y g(x) = x
x →3
x →3
lim ( x 2 - 7)
x → +∞
Solución: +∞
1
14.
Calcula
x2 + 3
lim 2x + 1
x →∞
Solución:∞.
15.
Calcula los límites:
x2 + 3
x2 - 6 x + 8
a) lim
, b) lím
x-4
x → ∞ 2x + 1
x →4
Solución: a)∞, b) 2.
16.
Calcula los límites
a)
x + 9 -3
lím
, b)
x + 16 - 4
4
Solución: a) , b) 4
3
17.
x →0
x →∞
Calcula
lim
x→0
Solución: 1.
19.
x →1
x2 - 1
x -1
Calcula los siguientes límites:
a) lim (x 2 - x + 1) , b) lim (x2 - 5x + 6)
Solución: a) +∞, b) 0
18.
lím
Calcula
x →2
1+x - 1-x
x
3
lim x - 3
x→3
Solución: No existe, -∞ por la izda., +∞ por la dcha.
20.
Calcula
2
lim x.( x + 1 - x)
x →- ∞
Solución:
1
2
x3 - 1
2
x →1 x - 6x + 5
3
Solución: 4
21.
Calcula
22.
Calcula
23.
Calcula
lim
24.
Calcula
lím
lim
x 2 - 6x + 8
x -2
x →2
Solución: - 2
lim
2 - 2x - 4
x →4
x2 - 16
1
Solución:
16
x→ 1
x -1
x -1
2
2.- ASÍNTOTAS
Localiza las asíntotas de las siguientes funciones y sitúa la gráfica de la función respecto de ellas.
2x +3
25.
y=
x -2
Solución: AV: x=2, AH: y=2, AO: No tiene.
26.
y=
x2 - 5 x + 1
x2 - 2
Solución: AV: x=± 2 , AH: y=1, AO: No tiene.
27.
28.
29.
30.
x2 - 2 x + 1
x+3
Solución: AV: x=-3, AH: No tiene, AO: y = x-5.
y=
x 3 + 2x 2 - x - 2
x2 + x - 2
Solución: AV: no tiene, AH: No tiene, AO: y=x+1.
y=
x -1
x +1
Solución: AV: x=-1 AH: y=1, AO: No tiene
y =
f(x) =
x3 - 1
x2 - 2
Solución: Asíntotas verticales: x= 2 , x=- 2 ; Asíntota oblicua: y = x.
31.
1
x -1
Solución: AV: x=1, AH: y=0, AO: No tiene
f(x) =
x4 - 1
x -1
Solución: AV: No tiene, AH: No tiene, AO: No tiene
32.
f(x) =
33.
f(x) =
x3
x2 - 4
Solución: Asíntotas verticales: x=2, x=-2; Asíntota oblicua: y = x.
3.- CONTINUIDAD
34.
1.- Demuestra que la función f es discontinua en x = 0
 x +1, -1≤ x ≤ 0
f(x) = 
 - x , 0 ≤ x ≤1
35.
¿Cuánto ha de valer a para que la siguiente función sea continua en R?
2
 x + ax si x ≤ 2
f(x) = 
.
 a - x2 si x > 2
Solución: a = -8
36.
Halla a para que la siguiente función sea continua en R.
3
 x + 1 si x ≤ 2
f(x) = 
.
 3 - a x 2 si x > 2
Solución: a = 0
37.
¿Es continua la función:
 x 2 si x < 2
f(x) = 
4 si x > 2
en x = 2? ¿Por qué?
Solución: No, pues f no está definida en x = 2.
38.
¿Puede una función tener límite en un punto y no ser continua en dicho punto? Razona la
respuesta con un ejemplo.
Solución: Sí, la función del ejercicio 40.
39.
Determina la constante a para que la función:
 x2 - ax si x < 1
f(x) = 
 ax + 3 si x ≥ 1
sea continua en x = 1. Representa la función para este valor de a.
Solución: a = -1.
40.
Halla los puntos de discontinuidad de la función
1
x
y di si en alguno de ellos la discontinuidad es evitable.
f(x) = x - 2
x -2 x -x
Solución: Discontinuidad evitable en x = 0, discontinuidad inevitable en x = 1 y x = 2.
41.
42.
1
x
Solución: en x=0 discontinuidad inevitable con salto infinito
Halla los puntos de discontinuidad de f(x) = -
Demuestra que la función
 x + 1, - 1 ≤ x < 0
f(x)= 
 - x, 0 ≤ x ≤ 1
es discontinua en x = 0
43.
44.
Estudia la discontinuidad de la función f(x) =
3x 2 - 9
x- 3
en x = 3
Solución: discontinuidad evitable, valor verdadero 6 3
Indica si la siguiente función tiene algún punto de discontinuidad:
x<3
x + 1 si

f(x) =  x 2 si 3 ≤ x < 4
 0
si
x≥4

Solución: x = 3, x = 4 inevitables con salto finito en ambos puntos.
45.
46.
x2 - 1
no es continua en x = 1 e indica que tipo de
x 3 + 7x - 8
discontinuidad presenta en dicho punto.
1
Solución: evitable, valor verdadero
5
Prueba que la función f(x) =
Halla los puntos de discontinuidad de f(x) =
1
x -3
2
Solución: en x=± 3 discontinuidad inevitable con salto infinito.
4