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Universidad de Sevilla. GIOI y GIERM.
Matemáticas III. Departamento de Matemática Aplicada II.
Guión del Tema 6: Integrales de Super…cie.
1. Super…cies parametrizadas. Área de una super…cie.
Super…cie parametrizada. Una parametrización para una super…cie S en el espacio es una función
S:D
R2 ! R3 continua en D de forma que se veri…ca S = fS (u; v) : (u; v) 2 Dg. A las variables (u; v)
se les denomina parámetros y a D región de parámetros. Una super…cie parametrizada es una super…cie
de…nida por una parametrización dada S (u; v) con (u; v) 2 D:
Un punto (x0 ; y0 ; z0 ) de la super…cie S es simple para su parametrización S (u; v) con (u; v) 2 D si existe
un único punto (u0 ; v0 ) 2 D de forma que S (u0 ; v0 ) = (x0 ; y0 ; z0 ) ; en caso contrario se dice que el punto es
múltiple para la parametrización dada. Una super…cie S es simple si existe una parametrización suya para
la cual todos sus puntos sean simples.
Sea S (u; v) con (u; v) 2 D una super…cie parametrizada donde D es cerrado y acotado. El borde de la
super…cie parametrizada es el conjunto de puntos de la super…cie que son imagen por la parametrización de
los puntos de la frontera de D.
Parametrización de una super…cie de revolución. Una super…cie S se dice de revolución alrededor
del eje OZ si existe una curva C en el plano OXZ de forma que S sea el conjunto de puntos del espacio
por los que pasa C al girar alrededor de OZ una vuelta completa. Si c (t) = (x (t) ; 0; z (t)) con t 2 [a; b] es
una parametrización de C entonces una parametrización de S es S (t; ) = (x (t) cos ; x (t) sen ; z (t)) ;con
(t; ) 2 [a; b]
[0; 2 ] :
z
c (t ) = (x (t ),0, z (t ))
y
q
x
1
Plano tangente y vector normal a una super…cie parametrizada. Sea S (u; v) con (u; v) 2 U una
super…cie parametrizada donde S es de clase C 1 en el abierto U y sea (u0 ; v0 ) 2 U: El producto vectorial
fundamental de la super…cie parametrizada en dicho punto es
(Su
Sv ) (u0 ; v0 ) = Su (u0 ; v0 )
Sv (u0 ; v0 ) ;
coincidiendo con la dirección normal a la super…cie en S (u0 ; v0 ) cuando se veri…ca que (Su
(0; 0) : El plano tangente a la super…cie dada en el punto S (u0 ; v0 ) cuando (Su
la ecuación
(x; y; z)
Sv ) (u0 ; v0 ) 6=
Sv ) (u0 ; v0 ) 6= (0; 0) tiene
S (u0 ; v0 )
Su (u0 ; v0 )
= 0:
Sv (u0 ; v0 )
Super…cie parametrizada regular a trozos. Sea S (u; v) con (u; v) 2 U una super…cie parametrizada
donde S es de clase C 1 en el abierto U: Si se veri…ca que (Su
Sv ) 6= (0; 0) para todos los puntos de U salvo
una cantidad …nita entonces se dice que S (u; v) es regular a trozos.
Área de una super…cie parametrizada. Sea S (u; v) con (u; v) 2 U una super…cie parametrizada donde
S es regular a trozos en el abierto U: Para todo D acotado y cerrado tal que D
U el área de la porción de
super…cie S con parametrización S (u; v) con (u; v) 2 D se calcula como
area (S) =
ZZ
D
k(Su
Sv )k dudv:
El resultado de la integral anterior es el mismo para cualquier parametrización que se tome para S.
2. Integrales de super…cie.
Super…cies parametrizadas orientables. Una super…cie S es orientable cuando tiene dos caras, es decir
cuando no es posible pasar de un lado al otro de la super…cie (salvo en todo caso atravesando el borde). Si
S (u; v) con (u; v) 2 D es una super…cie orientable parametrizada regular a trozos entonces todos los vectores
normales parten de la misma cara, a este sentido de los vectores normales le denominamos orientación de la
super…cie parametrizada. Por ello cuando se toma una parametrización de una super…cie orientable queda
determinada su orientación y se dice que está orientada. En lo que sigue se supondrán siempre super…cies
orientables aunque no se indique.
Integral de super…cie de un campo escalar. Sea S una curva parametrizada regular a trozos con
parametrización S (u; v) con (u; v) 2 D: Sea f : U
R3 ! R un campo escalar de forma que S
U y f es
continuo en S. La integral de super…cie de f sobre la super…cie S se de…ne como el número
ZZ
f dS =
S
ZZ
D
f (S (u; v)) kSu
Sv k dudv:
El valor de la integral de super…cie es totalmente independiente de la parametrización tomada para S.
2
Propiedades de las integrales de super…cie para campos escalares. Sean f; g : U
campos escalares continuos en U y S U una super…cie parametrizada regular a trozos.
ZZ
ZZ
ZZ
gdS:
f dS +
( f + g) dS =
1. Si ; 2 R entonces
S
S
S
2. Si para todo (x; y) 2 S se veri…ca que f (x; y)
ZZ
R3 ! R dos
g (x; y) entonces
ZZ
f dS
S
gdS:
S
3. Si S = S1 [ S2 disjuntas salvo quizás puntos del borde, entonces
ZZ
f dS =
S
ZZ
f dS +
S1
ZZ
f dS:
S2
4. El área de la super…cie S coincide con la integral de super…cie sobre S del campo escalar constante
igual a 1; esto es
ZZ
area (S) =
dS:
S
Integral de super…cie de un campo vectorial. Sea S una super…cie parametrizada regular a trozos
R3 ! R3 un campo vectorial de forma que S
con parametrización S (u; v) con (u; v) 2 D: Sea F : U
U
y F es continuo en S. La integral de super…cie de F (o ‡ujo) sobre S se de…ne como el número
ZZ
F dS =
S
ZZ
F (S (u; v)) (Su
Sv ) dudv:
D
El valor de la integral de super…cie depende de la orientación de la parametrización tomada para S, es decir
es independiente salvo por la orientación.
Propiedades de las integrales de super…cie para campos vectoriales. Sean F; G : U
dos campos vectoriales continuos en U y S U una super…cie parametrizada regular a trozos.
ZZ
ZZ
ZZ
1. Si ; 2 R entonces
( F + G) dS =
F dS +
G dS:
S
2. Si
S
R3 ! R3
S
S representa la misma super…cie S pero parametrizada con orientación opuesta a la dada inicial-
mente entonces
ZZ
F dS =
S
ZZ
F dS:
S
3. Si S = S1 [ S2 ; con las orientaciones dadas por S, entonces
ZZ
F dS =
S
ZZ
F dS +
S1
3
ZZ
F dS:
S2
3. Teoremas vectoriales en el espacio: Teorema de Stokes y Teorema de Gauss.
Orientaciones compatibles de una super…cie y su curva frontera.
Sea S una super…cie para-
metrizada regular a trozos cuyo borde C es una curva parametrizada regular a trozos. Se dice que las
parametrizaciones de S y C tienen orientaciones compatibles si el movimiento en la curva y los vectores
normales a la super…cie siguen la regla del sacacorchos.
Teorema de Stokes. Sea S una super…cie parametrizada regular a trozos con parametrización S (u; v) con
(u; v) 2 D y de manera que D sea la región encerrada por una curva de Jordan. Supóngase que el borde de
la super…cie S es una curva C parametrizada regular a trozos: Si F : U
de clase C 1 en el abierto U de forma que S
ZZ
U entonces
rot (F ) dS =
S
I
R3 ! R3 es un campo vectorial
F dC;
C
donde S y C tienen parametrizaciones con orientaciones compatibles.
S
V
S
V
Teorema de Stokes
Teorema de Gauss
Teorema de Stokes para super…cies con un agujero. Sea S una super…cie parametrizada regular a
trozos con parametrización S (u; v) con (u; v) 2 D y de manera que D sea la región encerrada entre dos
curvas de Jordan, una contenida en la región encerrada por la otra. Supóngase que los bordes de la super…cie
S son las curvas parametrizadas regulares a trozos C1 y C2 : Si F : U
clase C 1 en el abierto U de forma que S
ZZ
U entonces
rot (F ) dS =
S
I
F dC +
C1
I
R3 ! R3 es un campo vectorial de
F dC;
C2
donde las curvas C1 ; C2 tienen parametrizaciones con orientaciones compatibles con la super…cie S.
Super…cie cerrada: orientación.
Una super…cie parametrizada se dice cerrada cuando encierra un
volumen. Se dice que una super…cie parametrizada cerrada tiene orientación interior cuando todos los
vectores normales de la super…cie apuntan hacia el interior del volumen encerrado. En caso contrario se dice
que tiene orientación exterior.
4
Divergencia de un campo vectorial. Si F = (F1 ; F2 ; F3 ) es un campo vectorial de tres dimensiones de
clase C 1 en el abierto U entonces el producto escalar del operador nabla con el campo F de…ne un campo
escalar que se denomina divergencia del campo F en U ,
div (F ) = r F =
@F1 @F2 @F3
+
+
:
@x
@y
@z
Teorema de Gauss o de la divergencia. Sea S una super…cie parametrizada regular a trozos cerrada.
Sea V el volumen encerrado por S. Si F : U
de forma que V
U entonces
ZZ
R3 ! R3 es un campo vectorial de clase C 1 en el abierto U
F dS =
S+
ZZZ
div (F ) dxdydz;
V
donde S + representa la super…cie S tomada con orientación exterior.
5
Ejercicios de la lección.
Ejercicio 1. Encuentra una parametrización de las siguientes super…cies y calcula el producto vectorial
fundamental para dichas parametrizaciones.
1. La porción del x + y
z = 1 que veri…ca z
2. La porción veri…cando 1
x
0.
z < 2 del plano paralelo al eje OZ que contiene al punto (1; 1; 0) y a
la dirección (1; 1; 0).
3. La porción de la esfera x2 + y 2 + z 2 = 1 con z
0; usando coordenadas cartesianas.
4. La esfera x2 + y 2 + z 2 = 1:
5. La esfera x2 + y 2 + z 2 = x + y:
6. El paraboloide 2z = x2 + y 2 con z 2 [0; 1] ; usando coordenadas cartesianas.
7. El paraboloide z = x2 + y 2 con z 2 [0; 2] como super…cie de revolución.
8. El cilindro x2 + y 2 = 4.
9. La porción de cilindro x2 + z 2 = 1 con jyj
1:
10. El cilindro x2 + y 2 = 2y:
11. La porción de cono x2 = y 2 + z 2 con x 2 [0; 1] ; usando coordenadas cartesianas.
12. El cono z 2 = x2 + y 2 como super…cie de revolución.
Ejercicio 2. Encuentra una parametrización de las siguientes super…cies y calcula el producto vectorial
fundamental para dichas parametrizaciones.
1. El cilindro elíptico
2. El paraboloide
3. El elipsoide
4. El cono
x2 y 2
+ 2 = 1:
a2
b
x2 y 2
+ 2 = z:
a2
b
x2 y 2 z 2
+ 2 + 2 = 1:
a2
b
c
x2 y 2
+ 2 = z2:
a2
b
Ejercicio 3. Halla el plano tangente y la recta normal a dicha super…cie en el punto indicado de las
siguientes super…cies:
1. El cono z 2 = x2 + 4y 2 y el punto ( 1; 0; 1).
2. El paraboloide z = x2 + y 2 y el punto (1; 2; 5) :
6
3. La esfera unidad y el punto
1 2 2
; ;
3 3 3
4. El paraboloide hiperbólico z = x2
:
y 2 y el punto (1; 1; 0) :
5. La super…cie de revolución S (t; ) = (t cos ; t sen ; a + b
a+b a+b
:
punto 0;
;
2
2
t) de forma que (t; ) 2 [a; b]
[0; 2 ] y el
Ejercicio 4.
1. Prueba que si una super…cie parametrizada regular tiene la forma S (x; y) = (x; y; f (x; y)) con (x; y) 2
D entonces la norma del producto vectorial fundamental es
kSx
Sy k =
q
1 + fx2 + fy2 :
2. Prueba que para una super…cie de revolución con parametrización regular S (t; ) = (x (t) cos ; x (t) sen ; z (t))
para (t; ) 2 [a; b]
[0; 2 ] la norma del producto vectorial fundamental es
q
S k = jxj (x0 )2 + (z 0 )2 :
kSt
Ejercicio 5. Calcula el área de las siguientes super…cies.
1. La porción del cilindro x2 + z 2 = a2 que está dentro del cilindro x2 + y 2 = a2 :
2. La porción del plano x + y + z = a que está dentro del cilindro x2 + y 2 = a2 :
3. La porción del plano 2x + y + 2z = 16 que está delimitada por los planos x = 0; x + y = 1 e y = 0.
4. La esfera de radio a.
5. La porción de la esfera x2 + y 2 + z 2 = a2 que está dentro del cilindro x2 + y 2 = ax:
6. La porción de la esfera x2 + y 2 + z 2 = 2z que está dentro del paraboloide z = x2 + y 2 :
7. La porción del cono z 2 = x2 + y 2 interior a la esfera x2 + y 2 + z 2 = 2ay:
8. La porción de cono 4z 2 = x2 + y 2 interior al cilindro 4 = x2 + y 2 :
9. La porción de helicoide recto de ecuación en coordenadas cilíndricas z =
con r 2 [0; 1] :
Ejercicio 6. Calcula el área de las siguientes super…cies.
1. S = (x; y; z) 2 R3 : x2 + y 2 = 2y; 0
z
2. S = (x; y; z) 2 R3 : x2 + y 2 = z 2 ; z 2
y2
x2 + y 2
1; x
y; x; y; z
0
Ejercicio 7. Considera el toro generado al girar la circunferencia de ecuación (x
alrededor del eje OZ.
7
a)2 + z 2 = b2 con b < a
1. Determina una parametrización de dicha super…cie.
2. Calcula el plano tangente en el punto (a + b; 0; 0) :
3. Halla el área de la super…cie.
Ejercicio 8. Calcula las siguientes integrales de super…cie para campos escalares.
ZZ
1.
x2 + y 2 + z 2 dS, donde S es la porción de esfera x2 + y 2 + z 2 = 2z, con z
2.
3.
ZZ
ZZ
1:
S
S
x2 z 2 dS, donde S es la porción de cilindro x2 + y 2 = 1, con jzj
x4
y4 + y2z2
1:
z 2 x2 + 1 dS, donde
S
S = (x; y; z) 2 R3 : x2 + y 2 = z 2 ; z
0; x2 + y 2
2x :
Ejercicio 9. Calcula las siguientes integrales de super…cie para campos vectoriales.
ZZ
(x; z; 0) dS, donde S es la super…cie cerrada con orientación exterior
1.
S
S =
(x; y; z) 2 R3 : x2 + y 2 = z; z
(x; y; z) 2 R3 : x2 + y 2
2.
3.
ZZ
ZZ
x2 ; y 2 ; 2z 2
dS, donde S es la super…cie del cubo [0; 1]
1 [
1; z = 1 :
[0; 1]
[0; 1] con orientación exterior.
S
(x; y; 0) dS, donde S es la semiesfera x2 + y 2 + z 2 = 1 con z
0 y vectores normales alejándose
S
del origen.
Ejercicio 10. Calcula directamente y usando el teorema de Stokes las siguientes integrales.
(
)
I
2 + y2
z
=
x
1.
3yz 2 dx + xz 2 dy + 4xyzdz donde C es la curva de ecuaciones
orientada positivay = x2 + y 2
C
mente si se observa desde el punto (0; 0; 1) :
I
2.
ydx + 2xdy + zdz donde C = C1 [ C2 es la curva orientada negativamente si se observa desde el
C
)
(
(
)
x2 + y 2 + z 2 = 1
x2 + y 2 + z 2 = 1
origen formada en el primer octante por C1
y C2
:
(x 1)2 + y 2 = z 2
y=0
I
p
3.
y 2 dx + dy + zdz donde C es el borde de la porción de la super…cie z = 1
x2 + y 2 en el primer
C
octante orientada negativamente vista desde el origen.
8
4.
I
xz 2 dx
+ (x
2y) dy +
x2 zdz
donde C es el tramo de
C
(
1)2 = 1
x2 + (y
x2 + y 2 + z 2 = 4
)
con z
0 orientada
positivamente vista desde el origen.
I
5.
xdx + ydy + z 2 dz donde C es el corte de la super…cie
C
S = (x; y; z) 2 R3 : 4x2 + 4y 2 = z 2 ; z 2 [0; 4]
con el plano y = 1 orientada positivamente.
I
y2
ydx + x2 dy + zdz donde C es el borde de la porción de elipsoide de ecuación x2 +
6.
+ z 2 = 1 del
4
C
primer octante con orientación negativa si se observa desde el origen.
Ejercicio 11. Sea la super…cie
n
S1 = (x; y; z) 2 R3 : z
x2 + y 2 ; z
1=
o
1)2 ;
x2 + (y
orientada de forma que los vectores normales se alejan del origen. Sea el campo vectorial F (x; y; z) =
xy; z 2 ; z .
1. Calcula la integral
ZZ
rot (F ) dS directamente.
S1
2. Determina la integral anterior usando el teorema de Stokes.
3. Sea V el volumen
n
V = (x; y; z) 2 R3 : z
Halla la integral
ZZ
x2 + y 2 ; z
1
x2 + (y
o
1)2 :
[rot (F ) + (x; y; z)] dS mediante el teorema de Gauss donde S es la frontera de
S
V con orientación exterior.
Ejercicio 12. Calcula directamente y usando el teorema de Gauss las siguientes integrales.
ZZ
1.
x2 ; y 2 ; z 2 dS donde S es la porción del cono x2 + y 2 = z 2 para z 2 [0; 1] con vectores normales
S
sobre la cara que no mira al eje OZ.
ZZ
2.
(xz; yz; 1) dS donde S es la frontera del volumen interior a la esfera x2 + y 2 + z 2 = 25 con z
3
S
usando orientación exterior.
ZZ
3.
x3 ; y 3 ; z dS donde S es la porción de x2 + y 2 = 1 para 0
z
x + 2 con vectores normales
S
sobre la cara que no mira al eje OZ.
ZZ
4.
1 2y; 2y 2 ; 1 + x2 dS donde S es la porción de esfera x2 + y 2 + z 2 = 4 con z
S
orientación exterior.
9
0 usando
Ejercicio 13. Comprueba el teorema de Gauss en las siguientes situaciones.
1. Para el campo vectorial F (x; y; z) = (z; y; x) y el volumen
V
=
(x; y; z) 2 R3 : x2 + y 2 + z 2
(x; y; z) 2 R3 : x2 + z 2
2y; y
1; 1
1 [
y
3
z :
2. Para el campo vectorial F (x; y; z) = y; x; z 2 y el volumen
V = (x; y; z) 2 R3 : x2 + y 2 + z 2
4; z
2
y :
3. Para el campo vectorial F (x; y; z) = (0; y; 0) y el volumen
V = (x; y; z) 2 R3 : x2 + y 2
Ejercicio 14. Sea F (x; y; z) = 1
Calcula la integral
ZZ
z
y :
z; z
0 :
y; 2y 2 ; 1 + x2 y
S = (x; y; z) 2 R3 : x2 + y 2 = 1
rot (F ) dS; indicando la orientación escogida, de las siguientes formas:
S
1. directamente,
2. usando el teorema de Stokes,
3. usando el teorema de Gauss.
Ejercicio 15. Sean el campo vectorial F (x; y; z) = (x
1. Calcula directamente
(0; 0; 2) :
I
1; x; z
2) y la super…cie
S = (x; y; z) 2 R3 : x2 + y 2 = z; z
2x :
F dC donde C es el borde de S con orientación positiva vista desde el punto
C
2. Determina la integral anterior mediante el teorema de Stokes.
ZZ
3. Halla
F dS mediante el teorema de la divergencia.
S
Ejercicio 16. Sea el campo vectorial F (x; y; z) = (xy; z; y).
1. Calcula directamente
I
F dC donde C es la curva intersección entre el paraboloide z =
C
y2
el cilindro x2 +
= 1 orientada positivamente si se mira desde el origen.
4
10
x2 y 2
+
y
2
4
2. Halla la integral anterior usando el teorema de Stokes.
ZZ
3. Calcula
F dS mediante el teorema de la divergencia, donde S es la frontera del volumen
S
V = (x; y; z) 2 R3 : x2 + y 2
1; x2 + z 2
1
orientada exteriormente.
Soluciones.
Ejercicio 1.
1. S(x; y) = (x; y; x + y
1), con x + y
2. S(x; z) = (x; x; z), con 1
3. S(x; y) = (x; y;
p
1
x2
x
1. Sx
z < 2. Sx
y 2 ), con
x2
Sz = (1; 1; 0).
y2
+
4. S ( ; ) = (sen cos ; sen sen ; cos ), con
5. S ( ; ) =
Sy = ( 1; 1; 1).
1. Sx
Sz =
2 [0; ],
p
x
x2
1
2 [0; 2 ]. S
1
1
1
1
1
+ p sen cos ; + p sen sen ; p cos
2
2
2
2
2
, con
y2
;p
y
x2
1
y2
;1 .
S = sen S ( ; ).
2 [0; ],
2 [0; 2 ]. S
1
sen (sen cos ; sen sen ; cos ).
2
6. S(x; y) = (x; y;
x2 + y 2
), con x2 + y 2
2
2. Sx
Sy = ( x; y; 1).
p
7. S (t; ) = t cos ; t sen ; t2 , con t 2 0; 2 ,
8. S ( ; z) = (2 cos ; 2 sen ; z), con
9. S ( ; y) = (cos ; y; sen ), con
2 [0; 2 ]. St
2 [0; 2 ], z 2 R. S
10. S ( ; z) = (cos ; 1 + sen ; z), con
12. S (t; ) = (t cos ; t sen ; t), con t 2 R,
1. Sx
2t2 cos ; 2t2 sen ; t .
Sy = ( cos ; 0;
2 [0; 2 ], z 2 R. S
p
11. S (y; z) =
y 2 + z 2 ; y; z , con y 2 + z 2
S =
Sz = (2 cos ; 2 sen ; 0).
2 [0; 2 ], y 2 [ 1; 1]. S
2 [0; 2 ]. St
sen ).
Sz = (cos ; sen ; 0).
Sz =
y
1; p
y2 + z2
;p
z
y2 + z2
S = ( t cos ; t sen ; t).
Ejercicio 2.
1. S ( ; z) = (a cos ; b sen ; z), con
2. S (x; y) =
x; y;
2 [0; 2 ], z 2 R. S
x2 y 2
+ 2 , con (x; y) 2 R2 . Sx
a2
b
3. S ( ; ) = (a sen cos ; b sen sen ; c cos ), con
S
2
Sz = (b cos ; a sen ; 0) :
Sy =
2 [0; ],
2
2x
;
a2
2y
;1 .
b2
2 [0; 2 ].
S = cb sen cos ; ac sen sen ; ab sen cos
11
!
:
!
.
S =
4. S (t; ) = (at cos ; bt sen ; t), con t 2 R,
2 [0; 2 ]. St
S = ( bt cos ; at sen ; abt).
Ejercicio 3.
1. Plano tangente x + z = 0, recta normal
2. Plano tangente
2x
(
z =x+2
y=0
4y + z + 5 = 0, recta normal
)
(
:
x + 2z = 11
y + 4z = 22
)
(
y = 2x
:
3. Plano tangente x + 2y + 2z = 3, recta normal
y=z
)
(
x+y =2
:
4. Plano tangente 2x + 2y + z = 0, recta normal
x + 2z = 1
(
)
x=0
5. Plano tangente y + z (a + b) = 0, recta normal
:
y=z
)
:
Ejercicio 4. Se realiza en clase.
Ejercicio 5.
1. 8a2 :
p
2. 3 a2 :
3.
3
:
4
4. 4 a2 :
5.
4a2 + 2a2 .
6. 2 .
p
2 2
7.
a .
2
p
8. 4 5 .
!
p
p
2+1
9. log p
+2 2 :
2
2 1
Ejercicio 6.
1. 4 :
1
2. p .
2
Ejercicio 7.
1. S(t; ) = ((a + b cos t) cos ; (a + b cos t) sen ; b sen t), con t,
12
2 [0; 2 ].
2. x = a + b.
2 ab.
3. 4
Ejercicio 8.
1. 6 .
2
:
3
p
3. 2 .
2.
Ejercicio 9.
1.
2
.
2. 3:
3.
4
:
3
Ejercicio 10.
1.
2.
5
:
16
8
.
3.
2
:
3
4.
.
5. 0:
6.
4
3
2
.
Ejercicio 11.
1. 0:
2. 0.
3.
3
:
8
Ejercicio 12.
1.
2
:
2. 128 .
3. 3 .
4. 8 .
13
Ejercicio 13.
1.
8
:
3
2.
8
:
3
3.
32
:
Ejercicio 14. El resultado es
en los tres apartados.
Ejercicio 15. El resultado es
en los tres apartados.
Ejercicio 16. El resultado es 0 en los tres apartados.
14