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ESTAD´
ISTICA
Grado en Ingenier´ıa Qu´ımica
Curso 2014/2015
Relaci´
on 3 de problemas
la normal
1. Halla el a´rea que queda bajo la curva normal en los siguientes casos: a) A la derecha de 1.25. b)
A la izquierda de −0.40. c) Entre −1.35 y 1.35. d) Fuera del intervalo de −1.5 a 1.5.
2. El cociente de inteligencia IQ es una variable X que se distribuye seg´
un una N (100, 15).
a) Calcula la probabilidad de que un individuo elegido al azar tenga un IQ superior a 120.
b) Suponiendo que un individuo con carrera universitaria debe tener un IQ superior a 110, halla
la probabilidad de que un licenciado tenga un IQ superior a 120.
3. Un bot´anico ha observado que la anchura X de las hojas del ´alamo sigue una distribuci´on
N (μ, σ) con μ = 6 cm, y que el 90 % de las hojas tiene una anchura inferior a 7.5 cm. Halla σ y la
probabilidad de que una hoja mida m´as de 8 cm.
4. Una compa˜
n´ıa de petr´oleo tiene un contrato para vender grasa en envases de 500 gramos. La
cantidad de grasa que la m´
aquina de llenado pone en los envases sigue una distribuci´on normal
con la media que el encargado elija y σ = 25. ¿Qu´e valor medio deber´a elegir el encargado si la
compa˜
n´ıa no desea que le rechacen m´as del 2 % de los envases por tener un peso por debajo de lo
especificado?
varias normales
5. (a) La permeabilidad intr´ınseca del hormig´on producido en una f´abrica qu´ımica sigue una distribuci´on N(μ = 40; σ = 5). Se reciben 60 remesas de hormig´on. ¿Cu´al es la probabilidad de que
alguna remesa tenga una permeabilidad intr´ınseca inferior a 30?
(b) El 30 % de las remesas de hormig´
on enviadas a un almac´en tiene una permeabilidad que
sigue una distribuci´on N(μ = 40; σ = 5). El 70 % de las remesas restantes tiene una permeabilidad
que sigue una distribuci´
on N(μ = 45; σ = 5). ¿Cu´al es el porcentaje total de remesas que tienen
una permeabilidad inferior a 35?
6. Un fabricante produce varillas y recipientes para insertar las varillas. Ambos tienen secciones
circulares. Los di´ametros de las varillas siguen una distribuci´on N(μ = 1; σ = 0,2); los di´ametros de
los recipientes siguen una distribuci´on N (μ = 1,05; σ = 0,15). Un ingeniero selecciona al azar una
varilla y un recipiente. ¿Cu´al es la probabilidad de que la varilla pueda insertarse en el recipiente?
7. En un d´ıa con alto ´ındice de contaminaci´on la concentraci´
on (en μg/m3 ) de NO2 en un punto
al azar de la ciudad de Madrid sigue una distribuci´on normal de media μ = 69 y desviaci´on t´ıpica
σ = 6.
(a) Calcula la probabilidad de que en una estaci´on de medici´on de la Red de Vigilancia de la
Calidad del Aire del Ayuntamiento se mida una concentraci´on de NO2 superior a 63,96 μg/m3 .
(b) ¿Cu´al es la probabilidad de que la diferencia en las medidas tomadas independientemente
en dos estaciones sea superior a 4 μg/m3 ?
(c) Se toman diez mediciones independientes en diversas estaciones. ¿Cu´
al es la probabilidad
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de que exactamente 5 de ellas sean mayores que 63,96 μg/m ?
8. El nivel de tensi´on sangu´ınea diast´olica (en mmHg) en una poblaci´
on es una variable con distribuci´on normal de media μ = 87 y desviaci´on t´ıpica σ = 7,5. Un individuo se clasifica como
pre-hipertenso cuando su tensi´on est´a entre 80 y 89 mmHg.
(a) Calcula la probabilidad de que un individuo seleccionado al azar en esta poblaci´on sea prehipertenso.
(b) Calcula el valor aproximado del tercer cuartil de la poblaci´on, es decir, el valor Q3 tal que la
tensi´
on sangu´ınea del 25 % de los individuos de la poblaci´on es mayor que Q3 .
(c) Si se seleccionan aleatoriamente cuatro individuos de la poblaci´on y se promedian sus cuatro
presiones sangu´ıneas diast´
olicas, calcula la probabilidad de que el promedio sea inferior a 86.
9. La cantidad de kcal en el men´
u diario de una residencia de mayores es una variable aleatoria con
distribuci´on normal de media 2700 y desviaci´on t´ıpica 272, mientras que la cantidad de carbohidratos (en g/1000 kcal) es una variable aleatoria con distribuci´
on normal de media 122 y desviaci´
on
t´ıpica 8.
(a) Si se considera adecuado consumir 2400 kcal diarias, ¿cu´al es la probabilidad de que se supere
esta cantidad en el men´
u?
(b) Si el valor recomendado para la cantidad de carbohidratos es 125 g/1000 kcal, ¿cu´
al es la
probabilidad de que la cantidad de carbohidratos en el men´
u no difiera del valor recomendado
en m´as de 10 g/1000 kcal?
(c) ¿Cu´al es la probabilidad de que el promedio de la cantidad de kcal en los 7 men´
us de una
semana sea mayor que 2800 kcal?
´ n normal
aproximacio
10. Si se lanza un dado 100 veces, ¿cu´al es la probabilidad aproximada de que la suma de los puntos
obtenidos sea mayor que 375?
11. El 42 % de los individuos de una poblaci´on tiene sangre del grupo A. Si se seleccionan 25
individuos de la poblaci´on, calcula la probabilidad de que la proporci´on muestral con sangre de
grupo A sea mayor que 0.44.
12. Para estudiar la viabilidad econ´omica de una mina de carb´on, consideramos la variable aleatoria
X=“N´
umero de kg de carb´on obtenidos por tonelada de mineral”. Supongamos que, en cierta mina,
X sigue una N(μ = 150; σ = 25).
(a) Calcula la probabilidad de que en una tonelada de mineral el contenido de carb´on sea
superior a 130 kg.
(b) Calcula la probabilidad de que en 2 toneladas de mineral extra´ıdas independientemente la
diferencia en el contenido de carb´
on sea inferior a 30 kg.
(c) Extraemos independientemente 100 toneladas de mineral. Calcula la probabilidad de que en
m´as de 80 de ellas el contenido de carb´on sea superior a 130 kg.
13. Una compa˜
n´ıa de seguros tiene 10 000 asegurados. Ha estimado que el pago anual X a cada
uno de ellos es una variable aleatoria con valores 0, 1 y 100 (euros) y probabilidades 70 %, 25 %
y 5 %, respectivamente. ¿Cu´al es el montante de pago que espera hacer al cabo del a˜
no? Calcula
(aproximadamente) la probabilidad de que ese pago total no supere los 80 000 euros.