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Cálculo I
febrero 95
FEBRERO CURSO 94-95
1. Dada la serie
∞
2 anx
n =1
n2
∑
3
a) Estudiar su convergencia según los valores de a y x.
b) Tomando a = -2 y x = 1, hallar el número de términos de la serie anterior que
hay que sumar para aproximar su suma con un error menor que 0.003.
(4 ptos)
SOLUCIÓN
a) La serie es de términos positivos, por lo que se puede aplicar el criterio de la raíz.
lim n a n = lim
n→∞
2 ax
n →∞ n
3
n2
= 2 ax
3
3
2 ax > 1 ⇔ ax 3 > 0 ⇒ la serie es divergente
3
2 ax < 1 ⇔ ax 3 < 0 ⇒ la serie es convergente
3
2 ax = 1 ⇔ ax 3 = 0 ⇒
el criterio no aporta información. Sin embargo, en este
1
caso la serie a estudiar es ∑ 2 , que sabemos que es convergente.
n
Resumen
x
a = 0 convergente
convergente
a>0 
divergente
convergente
a<0 
divergente
∀x ∈ R
∀x ∈(− ∞ ,0]
∀x ∈( 0, ∞)
∀x ∈[ 0, ∞)
∀x ∈(− ∞ ,0)
a
Convergente
b) Se trata de estudiar la serie
lim
n →∞
n
2 − 2n
n
2
=
∑
2 −2 n
n2
1
⇔ ∀ε > 0 , ∃ n 0 ∈ N : ∀n ≥ n 0 ,
4
⇔ ∀ε > 0 , ∃ n 0 ∈ N : ∀n ≥ n 0 ,
n
an −
1
<ε
4
1
1
− ε < n an < + ε
4
4
Página 87
Exámenes resueltos
Tomando ε =
n
2 −2 n
n2
Cálculo I
1
4
1 1
− < ;
4 4
n
2 − 2n
n2
1 2 −2 n
1
1
1
1
< ;
< n;
< n;
< 1 ⇒ n0 = 1
2
2
n
n
2
2
2 n 2
2 n2
n
S − S p = a p+1 + .a p+ 2 +. .. <
1
2
p +1
+
1
2
p +2
+ ... =
1 
1
1
1
1

 1 + + ...  = p +1
= p < 0,003
1 2

 2
2
2
1−
2
p +1
1000 < 2 p ⋅ 3
2 8 ⋅ 3 = 256 ⋅ 3 = 768
2 9 ⋅ 3 = 512 ⋅ 3 = 1536 ⇒
p=9
Nota:
Se puede obtener un resultado distinto al tomar otro valor de ε tal que
1
+ ε < 1.
4
2. Se debe construir un depósito cilíndrico cerrado de volumen 12π m3 que será
enterrado en el suelo de manera que la tapa superior quede al nivel del terreno. La
parte enterrada estará sometida a mayores presiones y efectos de corrosión, por lo
que se utilizará un material cuyo precio (por m2 de chapa) es el doble del material
utilizado para la tapa. Determinar, utilizando multiplicadores de Lagrange, las
dimensiones del depósito para que el coste sea mínimo.
(3 ptos)
SOLUCIÓN
Sea r el radio del cilindro y h su altura.
Sea P el precio por m2 de chapa de la tapa, de donde el m2 de chapa de la base y
superficie cilíndrica cuesta 2P.
Se debe minimizar la función coste C (r , h) = πr 2 3P + 4πrhP , lo que es equivalente a
minimizar f (r , h) = 3r 2 + 4rh .
Calcularemos entonces los extremos de la función
πr 2 h = 12π .
Se utiliza el método de los multiplicadores de Lagrange.
φ ( r , h, λ ) = 3r 2 + 4rh + λ ( r 2 h − 12)
Del sistema de ecuaciones
φ ′ r = 6r + 4h + 2λrh = 0

2
φ ′ h = 4r + λr = 0
 2
r h = 12
Página 88
f (r , h) con la condición
Cálculo I
febrero 95
se obtiene la solución r = 2, h = 3, con λ = −2 .
Para comprobar que los valores obtenidos de r y h corresponden al coste mínimo
estudiamos la diferencial segunda.
φr′′2 = 6 + 2λh
φrh
′′ = 4 + 2λr ⇒
φh′′2 = 0
 − 6 − 4
H ( r =2, h =3) = 
 es indefinida.
− 4 0 
La condición r2h-12 = 0 establece la siguiente condición entre dr y dh,
−r
2rh dr + r 2 dh = 0; dr =
dh; en (r = 2, h = 3): dh = −3dr
2h
d 2φ
( r = 2 , h = 3)
= −6 dr 2 − 8 dr dh = 18 dr 2 > 0
Se obtiene la diferencial segunda definida positiva por lo que el depósito de coste
mínimo deberá tener 2 m de radio y 3 m de altura.
3. Responder a una de estas dos preguntas:
a) Enunciar y demostrar la condición suficiente para que la gráfica de la función f(x)
esté situada por debajo de la recta tangente en un punto.
b) Explique brevemente la relación entre el polinomio de Young y la fórmula de
Taylor para funciones de una variable. Interpretación del término complementario.
(3 ptos)
4. Se define la sucesión a n+ 2 = a n +1 + a n , con a1 = 0 y a2 = 1. A partir de ella se
an
define otra sucesión bn =
.
a n +1
a) Estudiar la monotonía y acotación de la sucesión bn.
b) Se puede demostrar que bn es convergente (demostración que no se pide al
alumno); calcular el límite de bn.
(3 ptos)
SOLUCIÓN
a) Hallando los primeros términos de la sucesión bn
a1 = 0, a2 = 1, a3 = 1, a4 = 2, a5 = 3, a6 = 5...
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Exámenes resueltos
Cálculo I
0
1
1
2
3
, b2 = , b3 = , b4 = , b5 = ...
1
1
2
3
5
Se deduce que la sucesión no es monótona ya que
2
3
1
b1 = 0 < b2 = 1 > b3 = < b4 = > b5 = .
2
3
5
b1 =
Veamos la acotación.
La sucesión bn es de términos positivos y, por tanto, 0 es una cota inferior.
bn =
an
an
=
a n +1 a n + a n−1
< 1
↑
an − 1 > 0
por tanto la sucesión está acotada superiormente por 1.
b) bn =
an
an
=
=
a n +1 a n + a n−1
1
1
=
.
a n −1 1 + bn −1
1+
an
Supongamos lim bn = l .
n →∞
1
1
=
.
1+ l
n→∞ 1 + bn −1
l = lim bn = lim
n →∞
l (1 + l ) = 1
−1± 1+ 4 −1± 5
=
2
2
Por ser la sucesión de términos positivos, el límite no puede ser negativo, de donde
−1+ 5
l=
.
2
l2 + l − 1 = 0
l=
5. Dada la ecuación x 2 + x y + z + sen z − 2 = 0 , se pide:
a) Demostrar que define a z como función implícita de x, y : z = ϕ(x,y), en un
entorno del punto (x,y,z) = (1,1,0).
b) Determinar los puntos críticos de z = ϕ(x,y).
c) Discutir dichos puntos críticos.
(3 ptos)
Página 90
Cálculo I
febrero 95
SOLUCIÓN
a) f ( x , y , z ) = x 2 + x y + z + sen z − 2
• Se verifica la ecuación en (1,1,0)
f x′ = 2 x + yx y −1 

• f y′ = x y ln x
, ,0)
 continuas en un entorno de (11

f z′ = 1 + cos z 
, ,0) = 2 ≠ 0
• f z′(11
b) Del sistema
 f x′ = 2 x + yx y −1 = 0

y
 f y′ = x ln x = 0
y teniendo en cuenta que la función logaritmo sólo está definida para x > 0, se obtiene
como única solución x = 1, y = -2.
El valor de z correspondiente a x = 1, y = -2 es la solución de la ecuación
f (1, − 2, z) = 0 , es decir, z + sen z = 0 y por tanto z = 0.
c) Para estudiar la naturaleza de este punto hallamos la diferencial segunda.
f x′′2 = 2 + y( y − 1) x y −2 ;
f x′′2 (1, − 2) = 8
f xy′′ = x y −1 + yx y −1 ln x;
f xy′′ (1, − 2) = 1
f y′′2 = x y (ln x ) ;
f y′′2 (1, − 2) = 0
2
f z′ (1,−2,0) = 2 .
Por tratarse de un punto estacionario la matriz hessiana se puede calcular
1 − 8 − 1
H (1,− 2, 0) = 
;
2  − 1 0 
∆ 1 = −4 < 0
−1
∆2 =
<0
4
de donde se concluye que se trata de un punto silla.
6. Responder a una de estas dos preguntas:
a) Enunciar y demostrar el criterio del límite para series de términos positivos.
b) Definición de radio de convergencia de una serie de potencias. Enunciar y
demostrar el teorema de Cauchy-Hadamard.
(4 ptos)
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