1. Educación

1
Soluciones a las actividades de cada epígrafe
Pág. 1
PÁGINA 16
Empezamos este nuevo curso repasando algunos contenidos que ya
estudiaste el año pasado.
Las relaciones de divisibilidad te ayudarán a profundizar en la estructura de los números, y algunos de sus procedimientos, especialmente
la obtención del mínimo común múltiplo, serán imprescindibles para
operar con fracciones y resolver ecuaciones.
La operativa con números enteros es una herramienta que utilizarás a
partir de ahora en cualquier proceso matemático.
ZONA OCIO
ZONA COMERCIAL
PRENSA DIARIA
ESTACIÓN DE CERCANÍAS
HORARIO DE CERCANÍAS
PANADERÍA-BOLLERÍA
MODA PARA LA MUJER
TAQUILLAS
de 6 h a 22 h
FRECUENCIAS
LÍNEA
LÍNEA
A 8 CADA 5 MINUTOS
B 8 CADA 3 MINUTOS
ANDENES
V1
V2
V3
APARCAMIENTO
HORARIO DE CERCANÍAS
de 6 h a 22 h
FRECUENCIAS
A 8 CADA 5 MINUTOS
B 8 CADA 3 MINUTOS
LÍNEA C 8 CADA 7 MINUTOS
LÍNEA
APARCAMIENTO
LÍNEA
1
Los trenes inician el servicio a las 6 h.
a) ¿Saldrá de la estación un tren de la línea A a las 7 h? ¿Y uno de la línea C?
b) ¿A qué hora vuelven a coincidir las salidas de un tren de A con otro de B?
a) A las 7 h saldrá un tren de la línea A (1 h = 60 min 8 60 es múltiplo de 5).
A las 7 h no saldrá un tren de la línea C (60 no es múltiplo de 7).
b) A las 6 h 15 min, porque 15 es el mín.c.m. de 3 y 5.
Unidad 1. Divisibilidad y números enteros
1
Soluciones a las actividades de cada epígrafe
Pág. 2
2 ¿Cuántas plantas has de subir si te desplazas desde el aparcamiento inferior
a la zona comercial? ¿Cuál de estas expresiones refleja ese desplazamiento?:
(+1) – (–3)
(+1) + (+3)
4 plantas: (+1) – (–3).
3 Si la altura de cada planta es de cuatro metros, ¿a qué nivel asocias estas cantidades?
0m
+4 m
–12 m
–4 m
0m 8 nivel 0
+4 m 8 nivel 1
–12 m 8 nivel –3
– 4 m 8 nivel –1
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ANTES DE COMENZAR, RECUERDA
1
¿Está 18 contenido una cantidad exacta de veces en 126? ¿Y en 218?
• 18 está contenido una cantidad exacta de veces en 126:
126
000
18
7
8 126 = 18 · 7 división sin resto.
• 18 no está contenido una cantidad exacta de veces en 218:
218
002
18
12
8 218 = 18 · 12 + 2 división con resto.
2 Una cuenta bancaria tiene un saldo de 75 €. ¿Cuál será el nuevo saldo si ingreso una deuda de 80 €?
Saldo: –5 €
(+75 €) + (–80 €) = –5 €
3 Separa los números enteros de los que no lo son:
–4
1,3
2/3
• Enteros: –4 86 0
• No enteros: 1,3 2/3
86
0
–35 1 000
0,06 –1,8
Unidad 1. Divisibilidad y números enteros
0,06
–1,8
–35
1 000
1
Soluciones a las actividades de cada epígrafe
Pág. 3
4 Calcula.
a) 3 · 9 – 2 · 4
b)3 · (9 – 2) · 4
c) 3 · (9 – 2 · 4)
d)(3 · 9 – 2) · 4
a) 3 · 9 – 2 · 4 = 27 – 8 = 19
b) 3 · (9 – 2) · 4 = 3 · 7 · 4 = 84
c) 3 · (9 – 2 · 4) = 3 · (9 – 8) = 3 · 1 = 3
d) (3 · 9 – 2) · 4 = (27 – 2) · 4 = 25 · 4 = 100
PÁGINA 19
1
Busca, entre estos números, parejas emparentadas por la relación de divisibilidad:
13
15
18
23
81
90
91
92
13 y 91 8 91 : 13 = 7
15 y 90 8 90 : 15 = 6
15 y 225 8 225 : 15 = 15
18 y 90 8 90 : 18 = 5
23 y 92 8 92 : 23 = 4
81 y 243 8 243 : 81 = 3
2
Calcula mentalmente y contesta.
a) ¿Es 18 múltiplo de 5? ¿Y de 6?
b) ¿Es 50 múltiplo de 10? ¿Y de 9?
c) ¿Es 6 divisor de 20? ¿Y de 300?
d) ¿Es 10 divisor de 75? ¿Y de 750?
a) 18 no es múltiplo de 5.
18 es múltiplo de 6 8 6 · 3 = 18
b) 50 es múltiplo de 10 8 10 · 5 = 50
50 no es múltiplo de 9.
c) 6 no es divisor de 20.
6 es divisor de 300 8 300 : 6 = 50
d) 10 no es divisor de 75.
10 es divisor de 750 8 750 : 10 = 75
Unidad 1. Divisibilidad y números enteros
225
243
1
Soluciones a las actividades de cada epígrafe
Pág. 4
3
Calcula con lápiz y papel y responde.
a) ¿Es 17 divisor de 153? ¿Y de 204?
b) ¿Es 780 múltiplo de 65? ¿Y de 80?
a) 17 es divisor de 153 8 153 : 17 = 9
17 es divisor de 204 8 204 : 17 = 12
b) 780 es múltiplo de 65 8 65 · 12 = 780
780 no es múltipo de 80 8 780 = 80 · 9 + 60
4
Selecciona, entre estos números:
20
30
36
40
50
60
65
75
80
90
96
112
120
222
300
a) Los múltiplos de 10.
b) Los múltiplos de 12.
c) Los múltiplos de 15.
d) Los múltiplos de 30.
a) Múltiplos de 10: 20 - 30 - 40 - 50 - 60 - 80 - 90 - 120 - 130
b) Múltiplos de 12: 36 - 60 - 96 - 120 - 300
c) Múltiplos de 15: 30 - 60 - 75 - 90 - 120 - 300
d) Múltiplos de 30: 30 - 60 - 90 - 120 - 300
5
Encuentra, entre estos números:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
12
15
25
30
50
a) Los divisores de 60.
b) Los divisores de 75.
c) Los divisores de 90.
c) Los divisores de 100.
a) Divisores de 60: 1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 10 - 12 - 15 - 30
b) Divisores de 75: 1 - 3 - 5 - 15 - 25
c) Divisores de 90: 1 - 2 - 3 - 5 - 6 - 10 - 15 - 30
d) Divisores de 100: 1 - 2 - 4 - 5 - 10 - 25 - 50
6
Escribe los cinco primeros múltiplos de 12 y los cinco primeros múltiplos de 13.
• 12 - 24 - 36 - 48 - 52
• 13 - 26 - 39 - 52 - 65
7
Encuentra todos los múltiplos de 15 comprendidos entre 420 y 480.
435 - 450 - 465
Unidad 1. Divisibilidad y números enteros
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Soluciones a las actividades de cada epígrafe
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8
Calcula el primer múltiplo de 13 mayor que 1 000.
1 001
1 000 : 13 = 76 · 13 + 12 = 988 + 12 8 988 + 13 = 1 001
9
Calcula todos los divisores de cada uno de los siguientes números:
12
16
30
71
130
150
• 12
1 - 2 - 3 - 4 - 6 - 12
• 16
1 - 2 - 4 - 8 - 16
• 30
1 - 2 - 3 - 5 - 6 - 10 - 15 - 30
• 71
1 - 71
• 130
1 - 2 - 5 - 10 - 13 - 26 - 65 - 130
• 150
1 - 2 - 3 - 5 - 6 - 10 - 15 - 25 - 30 - 50 - 75 - 150
• 203
1 - 7 - 29 - 203
203
PÁGINA 21
1
Descompón en dos factores los siguientes números:
93
95
153
168
325
533
663
93 = 31 · 3
95 = 19 · 5
153 = 51 · 3 = 17 · 9
168 = 84 · 2 o las posibles combinaciones de sus factores primos.
325 = 65 · 5 = 25 · 13
533 = 41 · 13
663 = 221 · 3 = 17 · 39 = 51 · 13
2
Descompón los siguientes números en el máximo número de factores que sea
posible:
32
72
32 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2
72 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3
81 = 3 · 3 · 3 · 3
84 = 2 · 2 · 3 · 7
132 = 2 · 2 · 3 · 11
200 = 2 · 2 · 2 · 5 · 5
221 = 13 · 17
Unidad 1. Divisibilidad y números enteros
81
84
132
200
221
1
Soluciones a las actividades de cada epígrafe
Pág. 6
3
Descompón en factores, de todas las formas que sea posible, el número 100.
• Con 4 factores:
2·2·5·5
• Con 3 factores:
2 · 2 · 25
2 · 5 · 10
4·5·5
• Con 2 factores:
2 · 50
4
5 · 20
4 · 25
10 · 10
Separa, entre los siguientes números, los primos de los compuestos:
29
39
57
83
91
101
111
113
243
341
Primos: 29, 83, 101, 113
Compuestos: 39, 57, 91, 111, 243, 341
PÁGINA 22
5
6
Descompón mentalmente en el máximo número de factores.
a) 12
b)16
c) 18
d)20
e) 24
f ) 30
g) 32
h)36
i) 40
j) 50
k)75
l) 100
a) 12 = 2 · 2 · 3
b) 16 = 2 · 2 · 2 · 2
c) 18 = 2 · 3 · 3
d) 20 = 2 · 2 · 5
e) 24 = 2 · 2 · 2 · 3
f ) 30 = 2 · 3 · 5
g) 32 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2
h) 36 = 2 · 2 · 3 · 3
i) 40 = 2 · 2 · 2 · 5
j) 50 = 2 · 5 · 5
k) 75 = 3 · 5 · 5
l) 100 = 2 · 2 · 5 · 5
Copia y completa los procesos de descomposición factorial.
5 8 8
2
600
2
300
3
150
7
75
7
25
1
5
1
588 =
2
·
·
2
600 =
Unidad 1. Divisibilidad y números enteros
3
·
·
2
1
Soluciones a las actividades de cada epígrafe
Pág. 7
5 8 8
2 9 4
1 4 7
4 9
7
1
2
2
3
7
7
600
300
150
75
25
5
1
588 = 2 2 · 3 · 7
7
8
9
2
2
2
2
3
5
5
600 = 2 3 · 3 · 5 2
Descompón estos números en el máximo número de factores:
a) 270
b) 360
c) 630
d) 750
e) 1 000
f ) 1 100
a) 270 = 2 · 33 · 5
b) 360 = 23 · 32 · 5
c) 630 = 2 · 32 · 5 · 7
d) 750 = 2 · 3 · 53
e) 1 000 = 23 · 53
f ) 1 100 = 22 · 52 · 11
Descompón en factores primos los números siguientes:
a) 84
d) 280
g) 560
j) 975
b) 130
e) 230
h)594
k) 2 340
c) 160
f ) 400
i) 720
l) 5 230
a) 84 = 22 · 3 · 7
b) 130 = 2 · 5 · 13
c) 160 = 25 · 5
d) 280 = 23 · 5 · 7
e) 230 = 2 · 5 · 23
f ) 400 = 24 · 52
g) 560 = 24 · 5 · 7
h) 594 = 2 · 33 · 11
i) 720 = 24 · 32 · 5
j) 975 = 3 · 52 · 13
k) 2 340 = 22 · 32 · 5 · 13
l) 5 230 = 2 · 5 · 523
Calcula los números que tienen las siguientes descomposiciones factoriales:
a) 22 · 3 · 7
b) 23 · 53
c) 32 · 52 · 7
d) 22 · 7 · 13
a) 84
b) 1 000
c) 1 575
d) 364
PÁGINA 23
10
Escribe factorizados, sin hacer ninguna operación, tres múltiplos de 12 = 22 · 3.
Por ejemplo:
22 · 2 · 2
11
22 · 3 · 3
22 · 3 · 5
Escribe factorizado un número que sea a la vez múltiplo de a = 2 · 3 · 3 y de
b = 2 · 3 · 5.
Por ejemplo:
22 · 33 · 5
Unidad 1. Divisibilidad y números enteros
1
Soluciones a las actividades de cada epígrafe
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12
Escribe tres múltiplos comunes a los números m = 22 · 3 y n = 22 · 5.
Por ejemplo:
22 · 3 · 5
13
23 · 3 · 5
22 · 3 · 52
Escribe factorizados, sin hacer operaciones, todos los divisores de 75 = 3 · 5 · 5.
Por ejemplo:
3·5·5
14
5·5
3·5
5
3
Escribe un número que sea divisor de a = 2 · 3 · 5 y de b = 2 · 5 · 5 a la vez.
Por ejemplo:
2, 5 ó 2 · 5
15
Escribe tres divisores comunes a los números m = 23 · 32 y n = 22 · 3 · 5.
Tres cualquiera de los siguientes:
2·3
22 · 3
2
3
PÁGINA 24
1
Calcula mentalmente.
a) mín.c.m. (3, 5)
b) mín.c.m. (6, 8)
c) mín.c.m. (10, 15)
d) mín.c.m. (20, 30)
a) 15
2
3
4
b) 24
c) 30
d) 60
Calcula.
a) mín.c.m. (12, 18)
d) mín.c.m. (36, 40)
b) mín.c.m. (21, 35)
e) mín.c.m. (72, 90)
c) mín.c.m. (24, 36)
f ) mín.c.m. (90, 120)
a) 36
d) 360
b) 105
e) 360
c) 72
f ) 360
Calcula.
a) mín.c.m. (4, 6, 9)
d) mín.c.m. (24, 28, 42)
b) mín.c.m. (6, 8, 9)
e) mín.c.m. (60, 72, 90)
c) mín.c.m. (12, 18, 30)
f ) mín.c.m. (50, 75, 100)
a) 22 · 32 = 36
b) 23 · 32 = 72
c) 22 · 32 · 5 = 180
d) 23 · 32 · 7 = 504
e) 23 · 32 · 5 = 360
f ) 22 · 3 · 52 = 300
Se apilan, en una torre, cubos de 30 cm de arista y, al lado, en otra torre, cubos de 36 cm de arista. ¿A qué altura coinciden las cimas de ambas torres?
Las torres coinciden a una altura de 180 cm.
°30 = 2 · 3 · 5
mín.c.m. (30, 36) = 22 · 32 · 5 = 180, ya que ¢
2
2
£36 = 2 · 3
Unidad 1. Divisibilidad y números enteros
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Soluciones a las actividades de cada epígrafe
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1
2
3
4
Calcula mentalmente.
a) máx.c.d. (4, 6)
d) máx.c.d. (15, 20)
b) máx.c.d. (6, 8)
e) máx.c.d. (18, 27)
c) máx.c.d. (5, 10)
f ) máx.c.d. (50, 75)
a) 2
b) 2
c) 5
d) 5
e) 9
f ) 25
Calcula.
a) máx.c.d. (24, 36)
d) máx.c.d. (90, 126)
b) máx.c.d. (28, 42)
e) máx.c.d. (165, 275)
c) máx.c.d. (63, 99)
f ) máx.c.d. (360, 450)
a) 12
b) 14
c) 9
d) 18
e) 55
f ) 90
Calcula.
a) máx.c.d. (6, 9, 12)
d) máx.c.d. (36, 60, 72)
b) máx.c.d. (12, 18, 24)
e) máx.c.d. (50, 60, 90)
c) máx.c.d. (32, 40, 48)
f ) máx.c.d. (75, 90, 105)
a) 3
b) 2 · 3 = 6
c) 23 = 8
d) 22 · 3 = 12
e) 2 · 5 = 10
f ) 3 · 5 = 15
Se desea dividir un terreno rectangular, de 100 m de ancho por 120 m de largo, en parcelas cuadradas lo más grandes que sea posible. ¿Cuánto debe medir
el lado de cada parcela?
El lado de cada parcela debe medir 20 m.
100 = 22 · 52 °
¢ 8 máx.c.d. (100, 120) = 22 · 5 = 20
120 = 23 · 3 · 5 £
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1
Calcula mentalmente.
a) 5 – 7
d) 6 – 10
g) –12 + 17
j) –3 – 6
b) 2 – 9
e) 5 – 12
h)–22 + 10
k) –1 – 9
c) 3 – 4
f ) 9 – 15
i) –21 + 15
l) –12 – 13
a) –2
b) –7
c) –1
d) – 4
e) –7
f ) –6
g) 5
h) –12
i) – 6
j) –9
k) –10
l) –25
Unidad 1. Divisibilidad y números enteros
1
Soluciones a las actividades de cada epígrafe
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2
Resuelve.
a) 10 – 3 + 5
c) 2 – 9 + 1
e) 16 – 4 – 6
g) 9 – 8 – 7
b) 5 – 8 + 6
d) 7 – 15 + 2
f ) 22 – 7 – 8
h)15 – 12 + 6
a) 12
e) 6
3
b) 3
f) 7
Calcula.
a) –3 + 10 – 1
c) –5 + 6 + 4
e) –18 + 3 + 6
g) –7 – 3 – 4
a) 6
e) –9
4
c) – 6
g) – 6
d) – 6
h) 9
b) –8 + 2 – 3
d) –12 + 2 + 6
f ) –20 + 12 + 5
h)–2 – 13 – 5
b) –9
f ) –3
c) 5
g) –14
d) -4
h) –20
Copia y completa como en el ejemplo.
9
§
§ §
• 7 – 4 – 6 – 2 + 5 + 3 – 4 = 15 – 16 = –1
§
§
§
§
7
a) 3 – 9 + 4 – 8 – 2 + 13 =
–
b) –15 – 4 + 12 – 3 – 11 – 2 =
=
–
=
a) 3 – 9 + 4 – 8 – 2 + 13 = 20 – 19 = 1
b) –15 – 4 + 12 – 3 – 11 – 2 = 12 – 35 = –23
5
Calcula.
a) 3 – 7 + 2 – 5
c) 7 – 10 – 5 + 4 + 6 – 1
e) 12 + 5 – 17 – 11 + 20 – 13
a) –7
d) –10
6
b) 2 – 6 + 9 – 3 + 4
d) –6 + 4 – 3 – 2 – 8 + 5
f ) 16 – 22 + 24 – 31 + 12 – 15
b) 6
e) –4
Quita paréntesis y calcula.
a) (–3) – (+4) – (–8)
c) (+8) – (+6) + (–7) – (–4)
c) 1
f ) –16
b) –(–5) + (–6) – (–3)
d) –(–3) – (+2) + (–9) + (+7)
a) (–3) – (+4) – (–8) = –3 – 4 + 8 = 1
b) –(–5) + (–6) – (–3) = 5 – 6 + 3 = 2
c) (+8) – (+6) + (–7) – (–4) = 8 – 6 – 7 + 4 = –1
d) –(–3) – (+2) + (–9) + (+7) = 3 – 2 – 9 + 7 = –1
Unidad 1. Divisibilidad y números enteros
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Soluciones a las actividades de cada epígrafe
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7
Resuelve de dos formas, como en el ejemplo.
• a) 10 – (13 – 7) = 10 – (+6) = 10 – 6 = 4
b) 10 – (13 – 7) = 10 – 13 + 7 = 17 – 13 = 4
a) 15 – (12 – 8)
c) 8 – (15 – 12)
e) 15 – (6 – 9 + 5)
b) 9 – (20 – 6)
d) 6 – (13 – 2)
f ) 21 – (3 – 10 + 11 + 6)
a) 15 – (12 – 8) = 15 – (+4) = 15 – 4 = 11
15 – (12 – 8) = 15 – 12 + 8 = 23 – 12 = 11
b) 9 – (20 – 6) = 9 – (+14) = 9 – 14 = –5
9 – (20 – 6) = 9 – 20 + 6 = 15 – 20 = –5
c) 8 – (15 – 12) = 8 – (+3) = 8 – 3 = 5
8 – (15 – 12) = 8 – 15 + 12 = 20 – 15 = 5
d) 6 – (13 – 2) = 6 – (+11) = 6 – 11 = –5
6 – (13 – 2) = 6 – 13 + 2 = 8 – 13 = –5
e) 15 – (6 – 9 + 5) = 15 – (11 – 9) = 15 – (+2) = 15 – 2 = 13
15 – (6 – 9 + 5) = 15 – 6 + 9 – 5 = 24 – 11 = 13
f ) 21 – (3 – 10 + 11 + 6) = 21 – (20 – 10) = 21 – (+10) = 21 – 10 = 11
21 – (3 – 10 + 11 + 6) = 21 – 3 + 10 – 11 – 6 = 31 – 20 = 11
8
Resuelve de una de las formas que ofrece el ejemplo:
• a) (8 – 13) – (5 – 4 – 7) = (8 – 13) – (5 – 11) =
= (–5) – (–6) = –5 + 6 = 1
b) (8 – 13) – (5 – 4 – 7) = 8 – 13 – 5 + 4 + 7 =
= 19 – 18 = 1
a) (4 – 9) – (5 – 8)
c) 4 – (8 + 2) – (3 – 13)
e) (8 – 6) – (3 – 7 – 2) + (1 – 8 + 2)
b) –(1 – 6) + (4 – 7)
d) 12 + (8 – 15) – (5 + 8)
f ) (5 – 16) – (7 – 3 – 6) – (9 – 13 – 5)
En cada caso, de cualquiera de las dos formas:
a) (4 – 9) – (5 – 8) = (–5) – (–3) = –5 + 3 = –2
(4 – 9) – (5 – 8) = 4 – 9 – 5 + 8 = 12 – 14 = –2
b) –(1 – 6) + (4 – 7) = –(–5) + (–3) = 5 – 3 = 2
–(1 – 6) + (4 – 7) = –1 + 6 + 4 – 7 = 10 – 8 = 2
c) 4 – (8 + 2) – (3 – 13) = 4 – (+10) – (–10) = 4 – 10 + 10 = 14 – 10 = 4
4 – (8 + 2) – (3 – 13) = 4 – 8 – 2 – 3 + 13 = 17 – 13 = 4
d) 12 + (8 – 15) – (5 + 8) = 12 + (–7) – (13) = 12 – 7 – 13 = 12 – 20 = –8
12 + (8 – 15) – (5 + 8) = 12 + 8 – 15 – 5 – 8 = 20 – 28 = –8
Unidad 1. Divisibilidad y números enteros
1
Soluciones a las actividades de cada epígrafe
Pág. 12
e) (8 – 6) – (3 – 7 – 2) + (1 – 8 + 2) = (+2) – (3 – 9) + (3 – 8) =
= (+2) – (– 6) + (–5) = +2 + 6 – 5 = 8 – 5 = 3
(8 – 6) – (3 – 7 – 2) + (1 – 8 + 2) = 8 – 6 – 3 + 7 + 2 + 1 – 8 + 2 = 20 – 17 = 3
f ) (5 – 16) – (7 – 3 – 6) – (9 – 13 – 5) = (–11) – (7 – 9) – (9 – 18) =
= (–11) – (–2) – (–9) = –11 + 2 + 9 = 11 – 11 = 0
(5 – 16) – (7 – 3 – 6) – (9 – 13 – 5) = 5 – 16 – 7 + 3 + 6 – 9 + 13 + 5 =
= 32 – 32 = 0
10
Calcula.
a) 7 – [1 + (9 – 13)]
c) 12 – [6 – (15 – 8)]
e) 2 + [6 – (4 – 2 + 9)]
b) –9 + [8 – (13 – 4)]
d) –17 + [9 – (3 – 10)]
f ) 15 – [9 – (5 – 11 + 7)]
a) 7 – [1 + (9 – 13)] = 7 – [1 + 9 – 13] = 7 – 1 – 9 + 13 = 20 – 10 = 10
b) –9 + [8 – (13 – 4)] = –9 + [8 – (9)] = –9 + [8 – 9] = –9 + [–1] = –9 – 1 = –10
c) 12 – [6 – (15 – 8)] = 12 – [6 – 15 + 8] = 12 – 6 + 15 – 8 = 27 – 14 = 13
d) –17 + [9 – (3 – 10)] = –17 + [9 – (–7)] = –17 + [9 + 7] = –17 + 16 = –1
e) 2 + [6 – (4 – 2 + 9)] = 2 + [6 – 4 + 2 – 9] = 2 + 6 – 4 + 2 – 9 = 10 – 13 = –3
f ) 15 – [9 – (5 – 11 + 7)] = 15 – [9 – (12 – 11)] = 15 – [9 – (+1)] = 15 – [9 – 1] =
= 15 – [+8] = 15 – 8 = 7
11
Resuelve.
a) (2 – 9) – [5 + (8 – 12) – 7]
b) 13 – [15 – (6 – 8) + (5 – 9)]
c) 8 – [(6 – 11) + (2 – 5) – (7 – 10)]
d) (13 – 21) – [12 + (6 – 9 + 2) – 15]
e) [4 + (6 – 9 – 13)] – [5 – (8 + 2 – 18)]
f ) [10 – (21 – 14)] – [5 + (17 – 11 + 6)]
a) (2 – 9) – [5 + (8 – 12) – 7] = (2 – 9) – [5 + (–4) – 7] = (2 – 9) – [5 – 4 – 7] =
= (–7) – [5 – 11] = –7 – [–6] = –7 + 6 = –1
b) 13 – [15 – (6 – 8) + (5 – 9)] = 13 – [15 – 6 + 8 + 5 – 9] =
= 13 – 15 + 6 – 8 – 5 + 9 = 28 – 28 = 0
c) 8 – [(6 – 11) + (2 – 5) – (7 – 10)] = 8 – [(–5) + (–3) – (–3)] = 8 – [–5 – 3 + 3] =
= 8 – [–8 + 3] = 8 – [–5] = 8 + 5 = 13
d) (13 – 21) – [12 + (6 – 9 + 2) – 15] = (13 – 21) – [12 + 6 – 9 + 2 – 15] =
= 13 – 21 – 12 – 6 + 9 – 2 + 15 = 37 – 41 = –4
e) [4 + (6 – 9 – 13)] – [5 – (8 + 2 – 18)] = [4 + (6 – 22)] – [5 – (10 – 18)] =
= [4 – 16] – [5 + 8] = –12 – 13 = –25
f ) [10 – (21 – 14)] – [5 + (17 – 11 + 6)] = [10 – 21 + 14] – [5 + 17 – 11 + 6] =
= 10 – 21 + 14 – 5 – 17 + 11 – 6 = 35 – 49 = –14
Unidad 1. Divisibilidad y números enteros
1
Soluciones a las actividades de cada epígrafe
Pág. 13
PÁGINA 29
12
13
Multiplica.
a) (+10) · (–2)
b) (–4) · (–9)
c) (–7) · (+5)
d) (+11) · (+7)
a) –20
b) 36
c) –35
d) 77
Observa los ejemplos y calcula.
• (–3) · (+2) · (–5) = (–6) · (–5) = +30
14243
• (–3) · (+2) · (–5) = (–3) · (–10) = +30
14243
a) (–2) · (–3) · (+4)
c) (+4) · (–3) · (+2)
b) (–1) · (+2) · (–5)
d) (–6) · (–2) · (–5)
a) (–2) · (–3) · (+4) = (+6) · (+4) = +24
(–2) · (–3) · (+4) = (–2) · (–12) = +24
b) (–1) · (+2) · (–5) = (–2) · (–5) = +10
(–1) · (+2) · (–5) = (–1) · (–10) = +10
c) (+4) · (–3) · (+2) = (–12) · (+2) = –24
(+4) · (–3) · (+2) = (+4) · (–6) = –24
d) (–6) · (–2) · (–5) = (+12) · (–5) = –60
(–6) · (–2) · (–5) = (– 6) · (+10) = –60
14
15
Divide.
a) (–18) : (+3)
d) (–30) : (–10)
b) (–15) : (–5)
e) (–52) : (+13)
c) (+36) : (–9)
f ) (+22) : (+11)
a) – 6
d) +3
b) +3
e) – 4
c) –4
f ) +2
Calcula el valor de x en cada caso:
a) (–18) : x = +6
c) x · (–13) = 91
a) x = –3
16
b) x = –9
b) (+4) · x = –36
d) x : (–11) = +5
c) x = –7
Copia, completa y compara. ¿Qué observas?
(+60) : [(–30) : (–2)] = (+60) : [+15] =
[(+60) : (–30)] : (–2) = [
] : (–2) =
(+60) : [(–30) : (–2)] = (+60) : [+15] = +4
[(+60) : (–30)] : (–2) = [ –2 ] : (–2) = +1
Se observa que la división no es asociativa.
Unidad 1. Divisibilidad y números enteros
d) x = –55
1
Soluciones a las actividades de cada epígrafe
Pág. 14
17
Calcula.
a) (–28) : [(+12) : (–3)]
b) [(–45) : (+3)] : (+5)
c) (–100) : [(–36) : (–9)]
d) [(–72) : (+9)] : (–8)
a) (–28) : [(+12) : (–3)] = (–28) : [–4] = +7
b) [(–45) : (+3)] : (+5) = [–15] : (+5) = –3
c) (–100) : [(–36) : (–9)] = (–100) : [+4] = –25
d) [(–72) : (+9)] : (–8) = [–8] : (–8) = +1
18
Calcula siguiendo el ejemplo.
• [(–8) · (+9)] : [(+6) · (–3)] = [–72] : [–18] = +4
–72
–18
+4
a) [(+5) · (–8)] : [(–2) · (–5)]
b) [(+28) : (–7)] · [(+20) : (–4)]
c) [(–10) : (+5)] : [(–28) : (+4)]
a) [(+5) · (–8)] : [(–2) · (–5)] = [–40] : [+10] = –4
b) [(+28) : (–7)] · [(+20) : (–4)] = [–4] · [–5] = +20
c) [(–10) : (+5)] : [(–28) : (+4)] = [–2] : [–7] = +2/7
19
Calcula como en el ejemplo.
• 15 – 8 · 3 = 15 – 24 = –9
a) 18 – 5 · 3
b) 6 – 4 · 2
c) 7 · 2 – 16
b) 3 – 30 : 6
c) 20 : 2 – 11
a) 18 – 5 · 3 = 18 – 15 = 3
b) 6 – 4 · 2 = 6 – 8 = –2
c) 7 · 2 – 16 = 14 – 16 = –2
20 Calcula.
a) 18 – 15 : 3
a) 18 – 15 : 3 = 18 – 5 = 13
b) 3 – 30 : 6 = 3 – 5 = –2
c) 20 : 2 – 11 = 10 – 11 = –1
Unidad 1. Divisibilidad y números enteros
1
Soluciones a las actividades de cada epígrafe
Pág. 15
21
Calcula como en el ejemplo.
• 21 – 4 · 6 + 12 : 3 = 21 – 24 + 4 = 25 – 24 = 1
a) 20 – 4 · 7 + 11
c) 15 – 20 : 5 – 3
e) 5 · 3 – 4 · 4 + 2 · 6
b) 12 – 6 · 5 + 4 · 2
d) 6 – 10 : 2 – 14 : 7
f ) 7 · 3 – 5 · 4 + 18 : 6
a) 20 – 4 · 7 + 11 = 20 – 28 + 11 = 31 – 28 = 3
b) 12 – 6 · 5 + 4 · 2 = 12 – 30 + 8 = 20 – 30 = –10
c) 15 – 20 : 5 – 3 = 15 – 4 – 3 = 15 – 7 = 8
d) 6 – 10 : 2 – 14 : 7 = 6 – 5 – 2 = 6 – 7 = –1
e) 5 · 3 – 4 · 4 + 2 · 6 = 15 – 16 + 12 = 27 – 16 = 11
f ) 7 · 3 – 5 · 4 + 18 : 6 = 21 – 20 + 3 = 24 – 20 = 4
22 Observa el ejemplo y calcula.
• (–3) · (–4) + (–6) · 3 = (+12) + (–18) = 12 – 18 = –6
a) 5 · (–8) – (+9) · 4
b) 32 : (–8) – (–20) : 5
c) (–2) · (–9) + (–5) · (+4)
d) (+25) : (–5) + (–16) : (+4)
e) (+6) · (–7) + (–50) : (–2)
f ) (+56) : (–8) – (–12) · (+3)
a) 5 · (–8) – (+9) · 4 = (– 40) – (+36) = –40 – 36 = –76
b) 32 : (–8) – (–20) : 5 = (– 4) – (–4) = –4 + 4 = 0
c) (–2) · (–9) + (–5) · (+4) = (+18) + (–20) = 18 – 20 = –2
d) (+25) : (–5) + (–16) : (+4) = (–5) + (–4) = –5 – 4 = –9
e) (+6) · (–7) + (–50) : (–2) = (–42) + (+25) = –42 + 25 = –17
f ) (+56) : (–8) – (–12) · (+3) = (–7) – (–36) = –7 + 36 = 29
23 Calcula.
a) 18 – 5 · (3 – 8)
b) 11 – 40 : (–8)
c) 4 · (8 – 11) – 6 · (7 – 9)
d) (4 – 5) · (–3) – (8 – 2) : (–3)
a) 18 – 5 · (3 – 8) = 18 – 5 · (–5) = 18 – (–25) = 18 + 25 = 43
b) 11 – 40 : (–8) = 11 – (–5) = 11 + 5 = 16
c) 4 · (8 – 11) – 6 · (7 – 9) = 4 · (–3) – 6 · (–2) = (–12) – (–12) = –12 + 12 = 0
d) (4 – 5) · (–3) – (8 – 2) : (–3) = (–1) · (–3) – (+6) : (–3) = (+3) – (–2) = 3 + 2 = 5
Unidad 1. Divisibilidad y números enteros
1
Soluciones a las actividades de cada epígrafe
Pág. 16
25 Calcula.
a) 15 + 2 · [8 – 3 · 5]
b) (–3) · (+5) – 3 · [11 + 3 · (5 – 11)]
c) 28 : (–7) – (–6) · [23 – 5 · (9 – 4)]
d) (–2) · (7 – 11) – [12 – (6 – 8)] : (–7)
e) [18 + 5 · (6 – 9)] – [3 – 16 : (5 + 3)]
a) 15 + 2 · [8 – 3 · 5] = 15 + 2 · [8 – 15] = 15 + 2 · [–7] = 15 – 14 = 1
b) (–3) · (+5) – 3 · [11 + 3 · (5 – 11)] = –15 – 3 · [11 + 3 · (–6)] =
= –15 – 3 · [11 – 18] = –15 – 3 · [–7] = –15 + 21 = 6
c) 28 : (–7) – (–6) · [23 – 5 · (9 – 4)] = (–4) – (–6) · [23 – 5 · (5)] =
= – 4 + 6 · [23 – 25] = – 4 + 6 · [–2] = –4 + (–12) = –16
d) (–2) · (7 – 11) – [12 – (6 – 8)] : (–7) = (–2) · (–4) – [12 – (–2)] : (–7) =
= 8 – [12 + 2] : (–7) = 8 – [14] : (–7) = 8 – (–2) = 8 + 2 = 10
e) [18 + 5 · (6 – 9)] – [3 – 16 : (5 + 3)] = [18 + 5 · (–3)] – [3 – 16 : 8] =
= [18 + (–15)] – [3 – 2] = [+3] – [+1] = 3 – 1 = 2
PÁGINA 30
26 Escribe en forma de potencia.
a) (–2) · (–2)
b) (+5) · (+5) · (+5)
c) (–4) · (–4) · (–4) · (–4)
d) (–2) · (–2) · (–2) · (–2) · (–2) · (–2)
a) (–2)2
27
b) (+5)3
c) (– 4)4
d) (–2)6
Copia y completa.
POTENCIA
BASE
EXPONENTE
VA L O R
POTENCIA
BASE
EXPONENTE
VA L O R
(–1)7
–1
7
–1
(–2)4
–2
4
+16
(+3)3
+3
3
+27
(–4)2
–4
2
+16
(–1)7
(–2)4
(+3)3
(–4)2
Unidad 1. Divisibilidad y números enteros
1
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Pág. 17
28 Escribe en forma de producto y calcula:
a) (–2)6
b) (–3)1
c) (+3)4
d) (–5)2
e) (–10)5
f ) (–8)3
a) (–2)6 = (–2) · (–2) · (–2) · (–2) · (–2) · (–2) = +64
b) (–3)1 = (–3) = –3
c) (+3)4 = (+3) · (+3) · (+3) · (+3) = +81
d) (–5)2 = (–5) · (–5) = +25
e) (–10)5 = (–10) · (–10) · (–10) · (–10) · (–10) = –100 000
f ) (–8)3 = (–8) · (–8) · (–8) = –512
29 Calcula con ayuda de la calculadora como se hace en el ejemplo.
• 125 8
12**====
{∫“¢°°«“}
a) 86
b)(–8)6
c) 115
d)(–11)5
e) 277
f ) (–27)7
a) 86 = 262 144
b) (–8)6 = 262 144
c) 115 = 161 051
d) (–11)5 = –161 051
e) 277 = 10 460 353 203
f ) (–27)7 = –10 460 353 203
30 Calcula el valor de
31
8
x en cada caso:
a) (–2)x = +16
b) (–3)x = –27
c) (+6)x = +36
d) (–5)x = –125
e) (–10)x = +10 000
f ) (–10)x = –10
a) x = 4
b) x = 3
c) x = 2
d) x = 3
e) x = 4
f) x = 1
Averigua el valor o los valores de x que cumplen la igualdad en cada caso:
a) x 2 = +4
b) x 3 = –64
c) x 6 = +1
d) x 7 = –1
e) x 4 = 2 401
f ) x 5 = –100 000
a) x = 2 y x = –2
b) x = –4
c) x = 1 y x = –1
d) x = –1
e) x = 7 y x = –7
f ) x = –10
Unidad 1. Divisibilidad y números enteros
1
Soluciones a las actividades de cada epígrafe
Pág. 18
PÁGINA 32
32 Calcula.
a) (–2)6 + (–2)5
b) 104 + (–10)3 – 102 + (–10)
c) (–5)2 – (–2)4 + (–1)6
d) (+4)3 : (–2)4 + (+9)2 : (–3)3
e) (+4)2 · [(–2)3 + (–3)2] : (–2)3
a) (–2)6 + (–2)5 = 64 + (–32) = 32
b) 104 + (–10)3 – 102 + (–10) = 10 000 + (–1 000) – 100 + (–10) =
= 10 000 – 1 110 = 8 890
c) (–5)2 – (–2)4 + (–1)6 = 25 – (+16) + (+1) = 26 – 16 =10
d) (+4)3 : (–2)4 + (+9)2 : (–3)3 = (64) : (+16) + (81) : (–27) = 4 + (–3) = 1
e) (+4)2 · [(–2)3 + (–3)2] : (–2)3 = 16 · [–8 + 9] : (–8) = 16 · (+1) : (–8) = –2
33 Reduce a una sola potencia como en el ejemplo.
• 25 · (–3)5 = [2 · (–3)]5 = (–6)5
a) 32 · 42
b) (–2)3 · 43
c) (–5)2 · (+3)2
d) 36 · (–2)6
a) 32 · 42 = (3 · 4)2 = 122
b) (–2)3 · 43 = [(–2) · 4]3 = (–8)3
c) (–5)2 · (+3)2 = [(–5) · (+3)]2 = (–15)2
d) 36 · (–2)6 = [3 · (–2)]6 = (–6)6
34 Expresa con una sola potencia igual que en el ejemplo.
• (–15)4 : (+3)4 = [(–15) : (+3)]4 = (–5)4 = 54
a) 94 : 34
b) (+15)3 : (–5)3
c) (–20)2 : (– 4)2
d) (–18)4 : (–6)4
a) 94 : 34 = (9 : 3)4 = 34
b) (+15)3 : (–5)3 = [(15) : (–5)]3 = (–3)3 = –33
c) (–20)2 : (– 4)2 = [(–20) : (–4)]2 = 52
d) (–18)4 : (–6)4 = [(–18) : (– 6)]4 = 34
Unidad 1. Divisibilidad y números enteros
1
Soluciones a las actividades de cada epígrafe
Pág. 19
35 Reduce aplicando la propiedad
a m · a n = a m + n.
• a3 · a2 = a5
a) x 2 · x 3
c) a 4 · a 4
b) m 3 · m 5
d) z5 · z
a) x 2 · x 3 = x 5
b) m 3 · m 5 = m 8
c) a4 · a4 = a8
d) z5 · z = z6
36 Copia y completa.
37
a) (–6)3 · (–6)4 = (–6)
c) (–2)8 · (–2)2 = 2
b) (+3)6 · (+3)2 = 3
d) (–5)3 · (+5)2 = (–5)
a) (–6)3 · (–6)4 = (–6)7
b) (+3)6 · (+3)2 = 38
c) (–2)8 · (–2)2 = 210
d) (–5)3 · (+5)2 = (–5)5
Reduce a una sola potencia.
a) 25 · 27
c) (–12)2 · (+12)2
b) (–2)3 · (+2)6
d) (+9)4 · (–9)2
a) 25 · 27 = 212
b) (–2)3 · (+2)6 = (–2)9
c) (–12)2 · (+12)2 = 124
d) (+9)4 · (–9)2 = 96
38 Reduce aplicando la propiedad
a) x 7 : x 4
c) a 7 : a 2
a m : a n = a m –n.
b) m 5 : m 4
d) z 8 : z 3
a) x 7 : x 4 = x 3
b) m 5 : m 4 = m
c) a7 : a2 = a5
d) z8 : z3 = z5
39 Copia y completa:
a) 59 : 53 = 5
c) (– 4)8 : (+4)3 = 4
b) (–2)6 : (–2)3 = (–2)
d) (+6)8 : (–6)5 = (–6)
a) 59 : 53 = 56
b) (–2)6 : (–2)3 = (–2)3
c) (– 4)8 : (+4)3 = 45
d) (+6)8 : (–6)5 = (–6)3
40 Reduce a una potencia única.
a) (–7)8 : (–7)5
c) 124 : (–12)
b) 109 : (–10)4
d) (– 4)10 : (+4)6
a) (–7)8 : (–7)5 = (–7)3 = –73
b) 109 : (–10)4 = 105
c) 124 : (–12) = (–12)3 = –123
d) (– 4)10 : (+4)6 = 44
Unidad 1. Divisibilidad y números enteros
1
Soluciones a las actividades de cada epígrafe
Pág. 20
41
Aplica la propiedad (a m) n = a m · n, y reduce.
a) (x 3)2
b) (m 4)3
c) (a 3)3
d) (z 6)3
a) (x 3)2 = x 6
b) (m 4)3 = m 12
c) (a3)3 = a9
d) (z6)3 = z18
42 Copia y completa.
a) (32)4 = 3
c) [(+5)2]2 = (+5)
b) [(–2)4]3 = (–2)
d) [(–6)3]5 = (– 6)
a) (32)4 = 38
b) [(–2)4]3 = (–2)12
c) [(+5)2]2 = (+5)4
d) [(–6)3]5 = (–6)15
43 Reduce a una sola potencia.
a) [(–2)2]2
c) [(+7)3]3
b) [(+5)3]2
d) [(– 4)2]4
a) [(–2)2]2 = (–2)4 = 24
b) [(+5)3]2 = 56
c) [(+7)3]3 = 79
d) [(– 4)2]4 = (–4)8 = 48
44 Reduce como en el ejemplo.
• (a 6 · a 4) : a 7 = a 10 : a 7 = a 3
a) (x 5 · x 2) : x 4
c) (a · a 6) : (a 2 · a 4)
b) m 7 : (m 2 · m 3)
d) (z 5 · z 3) : (z 6 · z 2)
a) (x 5 · x 2) : x 4 = x 7 : x 4 = x 3
b) m 7 : (m 2 · m 3) = m 7 : m 5 = m 2
c) (a · a 6) : (a 2 · a 4) = a7 : a6 = a
d) (z 5 · z 3) : (z 6 · z 2) = z8 : z8 = 1
45 Calcula como en el ejemplo.
• [(– 4)7 · 43] : [(– 4)2]4 = (– 4)10 : (– 4)8 = (– 4)2 = 16
a) (58 · 54) : (52)5
b) [(–2)6 · (+2)3] : [(+2)3]2
c) [(–3)3]3 : [(–3)2 · (–3)3]
d) [(–7)8 · 75] : (74)3
a) (58 · 54) : (52)5 = 512 : 510 = 52
b) [(–2)6 · (+2)3] : [(+2)3]2 = 29 : 26 = 23
c) [(–3)3]3 : [(–3)2 · (–3)3] = (–3)9 : (–3)5 = (–3)4 = 34
d) [(–7)8 · 75] : (74)3 = 713 : 712 = 7
Unidad 1. Divisibilidad y números enteros
1
Soluciones a las actividades de cada epígrafe
Pág. 21
46 Calcula como en el ejemplo.
• 125 : 65 = (12 : 6)5 = 25 = 32
a) 154 : 54
b) (–12)3 : 63
c) (–20)5 : (–2)5
d) 86 : (–2)6
e) (63 · 43) : (–8)3
f ) [84 · (–5)4] : (–20)4
a) 154 : 54 = (15 : 5)4 = 34 = 81
b) (–12)3 : 63 = [(–12) : 6]3 = [–2]3 = –8
c) (–20)5 : (–2)5 = [(–20) : (–2)]5 = [+10]5 = 100 000
d) 86 : (–2)6 = [8 : (–2)]6 = [–4]6 = 4 096
e) (63 · 43) : (–8)3 = [(6 · 4) : (–8)]3 = [24 : (–8)]3 = [–3]3 = –27
4
f ) [84 · (–5)4] : (–20)4 = [[8 · (–5)] : (–20)] = [(–40) : (–20)]4 = [2]4 = 16
47
Opera y calcula.
a) 106 : (54 · 24)
c) [(–9)5 · (–2)5] : 184
e) 84 : (25 · 42)
b) (–12)7 : [(–3)5 · 45]
d) [57 · (– 4)7] : 204
f ) 253 : [(–15)5 : 35]
a) 106 : (54 · 24) = 106 : (5 · 2)4 = 106 : (10)4 = 102 = 100
b) (–12)7 : [(–3)5 · 45] = (–12)7 : [(–3) · 4]5 = (–12)7 : (–12)5 = (–12)2 = 144
c) [(–9)5 · (–2)5] : 184 = [(–9) · (–2)]5 : 184 = 185 : 184 = 18
d) [57 · (– 4)7] : 204 = [5 · (– 4)]7 : 204 = (–20)7 : 204 = (–20)3 = –8 000
e) 84 : (25 · 42) = (23)4 : (25 · (22)2) = 212 : (25 · 24) = 212 : 29 = 23 = 8
f ) 253 : [(–15)5 : 35] = (52)3 : [(–15) : 3]5 = 56 : (–5)5 = –5
PÁGINA 33
48 Calcula, si existen.
a) √(+1)
b) √(–1)
c) √(+25)
d) √(–36)
e) √(+100)
f ) √(–100)
g) √(+121)
h) √(–169)
i) √(+400)
j) √(– 400)
k) √(+484)
l) √(–1 000)
a) √(+1) = ±1
b) √(–1) No existe.
c) √(+25) = ±5
d) √(–36) No existe.
e) √(+100) = ±10
f ) √(–100) No existe.
g) √(+121) = ±11
h) √(–169) No existe.
i) √(+400) = ±20
j) √(–400) No existe.
k) √(+484) = ±22
l) √(–1 000) No existe.
Unidad 1. Divisibilidad y números enteros
1
Soluciones a las actividades de cada epígrafe
Pág. 22
49 Reflexiona y calcula, si existen.
3
b) √–27
4
g) √64
6
h) √–64
7
k) √(+1)
3
b) √–27 = –3
4
e) √32 = 2
6
h) √–64 No existe.
7
k) √(+1) = ±1
a) √27
d) √–16
j) √–1
a) √27 = 3
d) √–16 No existe.
g) √64 = ±2
j) √–1 = –1
3
c) √16
e) √32
5
f ) √–32
6
i) √(+1)
8
l) √–1
3
c) √16 = ±2
5
f ) √–32 = –2
6
i) √(+1) = 1
8
l) √–1 No existe.
Unidad 1. Divisibilidad y números enteros
4
5
7
8
4
5
7
8