1. Educación

Ejercicios MACRO II (3). Solucines.
I. a
Problema sin restricciones donde la variable de elecci´on es B:
max ln(w1 − B) + β ln(w2 + (1 + r)B)
B
I. b
La condicion de primer orden es:
[B] :
1
β(1 + r)
=
w1 − B
w2 + (1 + r)B
Reagrupamos:
w2 + (1 + r)B = β(1 + r)(w1 − B)
w2 + (1 + r)B = β(1 + r)w1 − β(1 + r)B
(1 + r)(1 + β)B = β(1 + r)w1 − w2
β(1 + r)w1 − w2
B∗ =
(1 + r)(1 + β)
Encontramos el consumo optimo en el periodo 1:
c∗1 = w1 −B ∗ = w1 −
β(1 + r)w1 − w2
(1 + r)w1 + w2
1
w2
=
=
(w1 +
)
(1 + r)(1 + β)
(1 + r)(1 + β)
1+β
1+r
El consumo optimo en el periodo 2:
c∗2 = w2 +(1+r)B ∗ = w2 +(1+r)
β(1 + r)w1 − w2
βw2 + β(1 + r)w1
β
=
=
(w2 +(1+r)w1)
(1 + r)(1 + β)
(1 + r)(1 + β)
1+β
I. c
El gobierno recauda un monto G atravez del impuesto al consumo:
Nuestro problema cambia:
max ln c1 + β ln c2
c1 ,c2 ,B
1
s.a.
c1 (1 + τc ) + B = w1
c2 = w2 + (1 + r)B
Reescribimos el problema, en la forma sin restricciones donde la variable
de elecci´on es B:
w1 − B
) + β ln(w2 + (1 + r)B)
B
1 + τc
La condicion de primer orden:
max ln(
[B] :
1 + τc
1
β(1 + r)
=
w1 − B 1 + τc
w2 + (1 + r)B
De la condicion de primer orden desaparece la tasa de impuesto, pero el
problema sigue dependiendo de ella, dado que la restriccion presupuestaria
depende de τc
β(1 + r)w1 − w2
(1 + r)(1 + β)
1
w2
1
w1 − B ∗
=
(w1 +
),
=
1 + τc
1 + τc 1 + β
1+r
β
= w2 + (1 + r)B ∗ =
(w2 + (1 + r)w1 )
1+β
B∗ =
c∗1
c∗2
El consumo en el per´ıodo 2 no ha cambiado, el consumo en el per´ıodo 1
ahora depende de τc .
Tomando en cuenta que G=τc c1 , encontramos la tasa de impuesto tauc
que equilibra el presupuesto del gobierno:
τc
w2
1
(w1 +
)
1 + τc 1 + β
1+r
w2
1
(w1 +
)
⇒ G(1 + τc ) = τc
1+β
1+r
G
⇒ τc =
w2
1
)
G − 1+β (w1 + 1+r
G=
2
Si el gobierno recauda impuestos sobre el trabajo del primer periodo
El Gasto es G, mientras que la recaudacion es τw w1 . Como el individuo
no elige ocio, la tasa de impuesto que equilibra el problema es la que resuelve
G = τw w1 :
τw = G/w1
II. a
El problema:
max
c1 ,c2 (h),c2 (l),B
u(c1 ) + βE(u(c2)) =
1
1
u(c1 ) + β( u(c2 (h)) + ( u(c2 (l)))
c1 ,c2 (h),c2 (l),B
2
2
max
sujeto a:
c1 + B = w
1
: c2 (h) = w + B(1 + r)
con probabilidad
2
1
: c2 (l) = B(1 + r)
con probabilidad
2
II. b Escribimos el Lagrangeano:
1
1
L = u(c1 )+β( u(c2 (h))+( u(c2 (l)))+λ1 (w−b−c1 )+λ2 (h)(w+B(1+r)−c2 (h))+λ2 (l)(B(1+r)−c2 (l))
2
2
Las condiciones de primer orden:
[c1 ] : u (c1 ) = λ1
[B] : (1 + r)(λ2(h) + λ2 (l)) = λ1
1
[c2 (h)] :
βu (c2 (h)) = λ2 (h)
2
1
βu (c2 (l)) = λ2 (l)
[c2 (l)] :
2
Combinando todas las ecuaciones:
u (c1 ) = β(1 + r)(
u (c2 (h)) + u (c2 (l))
)
2
3
II. c
Si u(c) = −c2 ⇒ u (c) = −2c. La Ecuacion de Euler se transforma en:
c2 (h) + c2 (l)
)
2
Utilizando las restricciones presupuestarias
c1 = β(1 + r)(
c2 (h) = B(1 + r) + w
c2 (l) = B(1 + r)
obtenemos que la ecuacion de Euler es
c1 =
β(1 + r)
(2B(1 + r) + w)
2
De la primera restriccion presupuestaria, sabemos que B = w − c1 , por
lo que de la ecuacion de euler obtenemos
c∗1 =
β(1 + r)2
1 + β(1 + r)2
w+
w
2(1 + r
Este valor coincide con el valor del consumo optimo del primer periodo
(y por ende, con el valor de los ahorros) en el modelo de dos periodos, sin
incertidumbre. Este resultado se da por la funcion de utilidad en particular
utilizada.
4