1. Educación

RESOLUCIÓN
DE PROBLEMAS
Página 11
1. OTRA VEZ LA CABRA
En el ejercicio de más arriba, supongamos que la casa es rectangular, de
10 m Ò 20 m, y que la cuerda con la que se ata la cabra mide30 m. Halla la superficie en la que puede pastar.
Hacemos un dibujo:
20 m
CASA
10 m
Área =
10 m
20 m
3
1
1
π · 30 2 + π · 20 2 + π · 10 2 =
4
4
4
= 800 π › 2 513 m 2
30 m
2. LA CLASE
En una clase hay 30 alumnos y alumnas, de los cuales 22 estudian inglés y 15
estudian informática. Si todos estudian inglés o informática, ¿cuántos estudian
solo inglés? ¿Y solo informática? ¿Cuántos estudian las dos cosas?
Hallamos el número de alumnos que estudian las dos cosas:
22 + 15 = 37
37 – 30 = 7 alumnos estudian las dos cosas
Por tanto:
22 – 7 = 15 estudian solo inglés
15 – 7 = 8 estudian solo informática
En un diagrama sería así:
Inglés
Informática
15
7
8
Total: 30
Resolución de problemas
1
Página 12
3. TRANSPORTANDO PANES
Una comitiva de doce personas acarrea 12 panes: cada hombre lleva dos panes; cada mujer, medio pan, y cada niño, un cuarto de pan. ¿Cuántos hombres,
mujeres y niños componen la comitiva?
☛ Sean x hombres, y mujeres y z niños. Se tiene: 2x +
y
z
+
= 12
2
4
Prueba las distintas posibilidades teniendo en cuenta que x, y, z han de ser números
enteros y positivos.
Sean x hombres, y mujeres, z niños, tales que: x + y + z = 12.
y z
°
§ 2x + — + — = 12
2 4
Se tiene: ¢
§
£ x + y + z = 12
Puesto que x, y, z son números enteros positivos, x no puede valer más de 5.
y z
°
— + — = 2 § 2y + z = 8 ° y = 1
2
4
Si x = 5 8
¢ y+z=7 ¢ z=6
§
£
y + z = 7£
y z
°
— + — = 4 § 2y + z = 16 ° y = 8 °
Si x = 4 8 2 4
¢
¢
¢ no puede ser z = 0
§ y+z=8 £ z=0 £
y + z=8£
Si x < 4 o si x > 5, la y o la z salen negativas, cosa que es imposible. Así pues,
solo hay una solución:
x = 5, y = 1, z = 6
4. LOS NÚMEROS OCULTOS
Se han tomado dos fichas de cartón y se ha escrito un número en cada una de
las cuatro caras.
25
30
Tirándolas al aire y sumando los números que quedan a la vista, pueden obtenerse los siguientes resultados: 36, 41, 50, 55. Observa la figura y averigua
los números que quedan ocultos.
2
Resolución de problemas
UNIDAD
0
Llamamos a al número que va en la cara opuesta al 25 y b al de la cara opuesta al
30; los resultados posibles serían:
a + 30
36
b + 25
41
a+b
50
25 + 30 8 55
Descartado el 55, que corresponde a 25 + 30, ahora debemos asociar las tres sumas
restantes a los número 36, 41 y 50.
Hagamos un cuadro:
a + 30 = 36
b + 25 = 41
a + 30 = 36
b + 25 = 50
a + 30 = 41
b + 25 = 36
a + 30 = 41
b + 25 = 50
a + 30 = 50
b + 25 = 36
a + 30 = 50
b + 25 = 41
a=6
a=6
a = 11
a = 11
a = 20
a = 20
b = 16
b = 25
b = 11
b = 25
b = 11
b = 16
Imposible
Imposible
Imposible
a + b = 36
Imposible
a + b = 36
Debería ser
Debería ser
Debería ser
a + b = 41
a + b = 50
Primera
solución
Debería ser
a + b = 50
Segunda
solución
a + b = 41
El problema tiene, por tanto, dos soluciones:
1.a ficha: 25 y 11 °
° 1.a ficha: 25 y 20
¢ o bien: ¢ a
a
2. ficha: 30 y 25 £
£ 2. ficha: 30 y 16
Página 13
5. EL CUENTO
María tiene que acabar de leer un cuento. El lunes leyó la mitad del cuento. El
martes, la tercera parte de lo que le faltaba. El miércoles, la cuarta parte del
resto. El jueves, la quinta parte de lo que le quedaba. Hoy, viernes, ha decidido
acabarlo y ha observado que le quedan menos de 15 páginas.
Si todos los días ha leído un número entero de páginas, ¿cuántas páginas tiene
el cuento?
Llamamos n al número de páginas del cuento y construimos una tabla para organizar
la información:
PÁGINAS LEÍDAS
PÁGINAS QUE
LE FALTAN
Resolución de problemas
LUNES
MARTES
MIÉRCOLES
JUEVES
VIERNES
n
—
2
1 n n
—·—=—
3 2
6
1 n n
—·—=—
4 3 12
1 n n
—·—=—
5 4 20
n
— < 15
5
n
—
2
n n n
—–—=—
2 6
3
n n
n
—–—=—
3 12 4
n n
n
—–—=—
4 20 5
0
3
n
páginas. Pero como todos los días ha leído una canti5
dad entera de páginas, el número n debe ser múltiplo de los denominadores 2, 6, 12
y 20; es decir, múltiplo de 60.
El viernes tiene que leer
Como, además,
n
< 15, ha de ser n = 60.
5
Por tanto, el cuento tiene 60 páginas (el lunes leyó 30, el martes 10, el miércoles 5, el
jueves 3 y el viernes las que faltan, 12 < 15).
6. UN SISTEMA
Resuelve el sistema:
1
2
+
= 8 ا
x
y
§
∞
3
1
–
= 3 §§
x
y
±
☛ Llama z = 1/x, t = 1/y.
Si z =
1
1
y t = , el sistema se transforma en:
x
y
z + 2t = 8 °
°z = 2
8 ¢
3z – t = 3 ¢£
£t = 3
Luego:
z=2=
1
1
ò x=
x
2
1
1
ò y=
y
3
1
1
Solución: x = , y =
2
3
t=3=
Página 14
7. LAS PUERTAS
El conserje de un hotel cierra y abre las puertas de las habitaciones del siguiente modo:
• El primer día cierra todas las puertas.
• El segundo día abre las pares.
• El tercer día cambia (si una puerta estaba abierta, la cierra; y si estaba cerrada, la abre) las múltiplos de 3.
• El cuarto día las múltiplos de 4.
• Etcétera.
¿Qué puertas son las que quedarán cerradas al final del proceso?
4
Resolución de problemas
UNIDAD
0
Empezamos haciendo un esquema: C indica puerta cerrada, A indica puerta abierta:
Número de puerta:
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 …
Primer día:
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C …
Segundo día:
C
A
C
A
C
A
C
A
C
A …
Tercer día:
C
A
A
A
C
C
C
A
A
A …
Cuarto día:
C
A
A
C
C
C
C
C
A
A …
Observamos que las puertas que quedan cerradas al final del proceso, son la 1, 4, 9,
16…
Es decir, las que llevan un número que es cuadrado perfecto.
Esto es debido a que son los únicos números que tienen un número impar de divisores y, por tanto, tendrán un número impar de cambios, quedando finalmente cerradas.
Página 15
8. LAS LOSETAS
Halla la superficie de cada loseta de este embaldosado:
40 cm
50 cm
Observando la figura, es muy sencillo comprobar que dentro del rectángulo de
2 000 cm2 hay 8 losetas (4 enteras, 4 medias losetas y otros 4 trozos que conforman
dos losetas, dos a dos).
40 cm
50 cm
Por tanto, cada loseta tiene un área de 250 cm2.
Resolución de problemas
5
9. MÁS LOSETAS
Halla la superficie de cada loseta de este embaldosado:
10 cm
Como podemos observar en la siguiente figura, el área del rectángulo es de 50 cm2:
10 cm
5 cm
Contando cuidadosamente, obtenemos 4 losetas dentro de este rectángulo. Luego cada loseta tiene un área de 12,5 cm2.
Página 17
10.
MÁS MONEDAS
Siguiendo con el problema resuelto de la página anterior, ¿cuál es el número
máximo de monedas que podemos tener para que se pueda averiguar cuál es
la moneda falsa con tan solo tres pesadas?
El análisis se hace mucho más sencillo empezando por el final. ¿Cuántas monedas
debemos tener en la última pesada para estar seguros de que identificamos la falsa?
Es fácil ver que la respuesta es 3. Pesamos dos y, o es una de ellas, o es la tercera.
La pregunta ahora sería: ¿Cuántas monedas debemos tener en la penúltima pesada?
Si seguimos con el argumento de los dos bloques de monedas pesados y uno que
sobra, la respuesta es 3 + 3 + 3 = 9.
Por tanto, el número máximo de monedas que podemos tener para asegurar el éxito de nuestra investigación es: 9 + 9 + 9 = 27
6
Resolución de problemas
UNIDAD
11.
0
NÚMERO PAR DE FICHAS
En un tablero cuadrado de 16 casillas hay dispuestas 10 fichas, como indica
la figura.
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
Se propone colocarlas, una en cada casilla, de tal manera que en cada fila horizontal o vertical y en las dos diagonales se ubiquen un número par de fichas.
●
●
●
●
●
●
●
●
12.
●
●
EL PASTOR, SU OVEJA, SU LOBO Y SU COL
Un pastor con una enorme col, una enorme oveja y un enorme lobo llega a
un río en el que hay una diminuta barca en la que no cabe más que el pastor
y una sola de sus pertenencias.
Si deja al lobo y a la oveja solos, el lobo… Y si deja a la oveja y a la col sin vigilancia, no te digo lo que le pasará a la col… Eso sí, el lobo no es vegetariano. Quiere pasar a todos al otro lado del río. ¿Cómo lo hará?
Lo primero que pasa es la oveja, porque en cualquier otro caso habría festín. Más
tarde vuelve y se lleva la col. Como no puede dejar a la oveja con la col, se trae de
vuelta a la oveja. Deja a la oveja en su lugar de partida y se lleva al otro lado del río
al lobo, para que haga compañía a la solitaria col. Vuelve, por última vez, a por la
oveja y, en lo que es el tercer viaje para esta, atraviesa definitivamente el río.
Resolución de problemas
7
Página 18
PROBLEMAS PARA PRACTICAR
1.
UN RELOJ TARDÓN
Si el reloj de una iglesia tarda treinta segundos en dar las seis, ¿cuánto tiempo tardará en dar las doce?
30 : 5 = 6 segundos pasan entre cada 2 campanadas.
Para dar las 12 hay 11 espacios de tiempo entre campanadas; como cada uno de
ellos es de 6 segundos, será:
11 · 6 = 66 segundos tarda en dar las 12
2.
DIFÍCIL REPARTO
Un grupo de 17 concursantes ha de repartirse un premio, que consiste en
una bolsa con varias monedas de oro, en número menor que 300. Al intentar repartirlas, se observa que sobra una moneda. Para que no sobre ninguna, deciden hacer un juego y el que pierda será eliminado del reparto. Cuando quedan 16 concursantes, al intentar repartir las monedas, vuelve a
sobrar una. Deciden seguir eliminando concursantes hasta que el reparto
pueda ser exacto.
a) ¿Cuántas monedas contiene la bolsa?
b) ¿Cuántos concursantes deberán ser eliminados para que al hacer el reparto no sobre ninguna moneda?
a) El número de monedas ha de ser múltiplo de 17 más una y múltiplo de 16 más una.
mín.c.m. (17, 16) = 272
El número de monedas podría ser el siguiente: 272 + 1 = 273, 2 Ò 272 + 1 = 545,
3 Ò 272 + 1 = 717, … Pero como nos dicen que es menor que 300, concluimos
que el número de monedas es 273.
b) Como 273 = 3 · 7 · 13, el reparto será exacto cuando queden 13 concursantes
(que se llevarían cada uno 21 monedas) que es el mayor múltiplo de 273 menor
que 17; en este caso, habrían sido eliminados 4.
3.
LOS PENDIENTES
En un remoto poblado de Nueva Guinea hay 1 400 mujeres. El 14% de ellas
lleva un solo pendiente. Del 86% restante, la mitad lleva dos pendientes y la
otra mitad no lleva ninguno. Si los hombres no llevan pendientes, ¿cuántos
pendientes hay en total en el poblado?
Que la mitad lleve dos pendientes y la otra mitad no lleve ninguno, a efectos matemáticos, es equivalente a que todas lleven un solo pendiente.
Por tanto, hay 1 400 pendientes.
8
Resolución de problemas
UNIDAD
4.
0
MEZCLAS
De un balde que contiene 5 litros de agua, se vierte un litro fuera de él y, en su
lugar, se rellena el balde con un litro de zumo de naranja.
Se mezcla bien el zumo con el agua y nuevamente se vierte fuera un litro de la
mezcla, sustituyéndola por un litro de zumo de naranja. Y se hace lo mismo
por tercera vez.
¿Cuánta agua quedará en el balde después del proceso?
Después de la primera operación, queda:
AGUA
ZUMO
5–1=4
1
Un litro de esto es
4
litros de agua.
5
Después de la segunda operación, queda:
AGUA
4–
ZUMO
4
5
1+
4
5
4
4–—
5
1 litro de la mezcla es
litros de agua.
5
Después de la tercera operación, queda:
AGUA
4
4–
–
5
5.
4
4–—
5
= 2,56 litros de agua
5
VACAS LECHERAS
4 vacas negras y 3 vacas blancas dan la misma cantidad de leche en 5 días
que 3 vacas negras y 5 vacas blancas en 4 días.
¿Qué tipo de vaca es mejor vaca lechera, la blanca o la negra?
° x = cantidad de leche que da una vaca blanca en 1 día.
Llamamos ¢
£ y = cantidad de leche que da una negra al día.
Así, tenemos que:
20y + 15x = 12y + 20x 8 8y = 5x 8 x > y
Por tanto, la mejor lechera es la vaca blanca.
Resolución de problemas
9
6.
EL NÚMERO OCULTO
Este juego consiste en encontrar un número de cuatro cifras que no empieza
por cero.
Escrito un número en la tabla, en la columna B se indica cuántos de sus dígitos tienen en común con el número buscado y en la misma posición.
En la columna R se indica cuántos dígitos tiene ese número en común con el
buscado, pero en posición incorrecta.
B
R
3 476
0
2
3 965
0
2
4 269
0
1
1 057
2
1
Con los datos de esta tabla, ¿serías capaz de encontrar el
número oculto?
6 157
7.
LAS CARTAS
En una mesa hay cinco cartas:
R
M
4
3
8
Cada carta tiene, en un lado, un número natural, y en el otro, una letra.
Enrique afirma: “Cualquier carta que tenga en un lado una vocal, tiene un
número par en el otro lado”.
¿A qué cartas tuvo que dar la vuelta Pedro para convencerse de que Enrique decía la verdad?
Para confirmar las palabras de su amigo, Pedro debió dar la vuelta al 3 y encontrar
una consonante. Desechamos los demás casos:
• Da la vuelta a la R o a la M: es indiferente lo que haya tras ellas, pues el enunciado no dice nada sobre las consonantes.
• Da la vuelta al 4 o al 8: también es indiferente pues, si sale vocal, confirma las palabras de Enrique y, si sale consonante, estamos en el caso anterior.
8.
FUERA DE LA LEY
Cuatro hombres, uno de los cuales había cometido un determinado crimen,
hicieron las siguientes afirmaciones al ser interrogados por la policía:
ARTURO: David lo hizo.
DAVID: Antonio lo hizo.
10
Resolución de problemas
UNIDAD
0
GUSTAVO: Yo no lo hice.
ANTONIO: David mintió cuando dijo que lo hice.
Si solo una de estas afirmaciones fuera cierta, ¿quién sería el culpable? Por
otro lado, si solo una de estas afirmaciones fuera falsa, ¿quién sería entonces
el culpable?
Enumeramos las afirmaciones:
① ARTURO: “David lo hizo”.
② DAVID: “Antonio lo hizo”.
③ GUSTAVO: “Yo no lo hice”.
④ ANTONIO: “David mintió cuando dijo que lo hice”.
1.er caso: Si solo una fuera cierta:
– Si
①
fuera la cierta ò
②
③
fuera la cierta ò
③
sería cierta, pero esto no es posible, pues solo hay
una cierta.
③ sería cierta, y esto no es posible.
– Si
fuera la cierta ò ② ó ④ serían verdaderas, pero esto no es posible.
– Por tanto, la cierta es la ④. Así, ① sería falsa (luego David no lo hizo), ② sería falsa (luego Antonio no lo hizo) y ③ sería falsa. De aquí deducimos que el
– Si
culpable fue Gustavo.
2.° caso: Si solo una fuera falsa:
– Si
– Si
①
③
fuera la falsa ò
ó
④
②
ó
④
fueran las falsas ò
– Por tanto, la falsa es la
②,
serían falsas, lo cual es imposible.
①
y
②
serían verdad, y esto no es posible.
con lo que el culpable es David.
Página 19
9.
EN EL PARQUE DE ATRACCIONES
Cuatro amigas (Alicia, Rocío, Carmen y Mercedes) van al parque de atracciones con otros cuatro amigos (Pablo, Luis, Carlos y Ramón).
A lo largo de la jornada, las cuatro chicas han montado en las siguientes
atracciones: montaña rusa, barcas, casa del terror y alfombra mágica. Además, siempre montan un chico y una chica juntos en cada atracción. A la salida comentan:
ALICIA: Me lo pasé mejor en la montaña rusa con Pablo que en las barcas con
Luis.
ROCÍO: Cuando monté en la montaña rusa con Carlos, se estropeó y se quedó
un rato parada.
Resolución de problemas
11
CARMEN: Ramón me dio un buen susto en la casa del terror.
MERCEDES: Pues yo no vuelvo a entrar en la casa del terror con Pablo.
¿Cómo se formaron las parejas al montar en la alfombra mágica?
Teniendo en cuenta que en la montaña rusa Carmen solo pudo haber ido con Luis o
con Ramón, y que con Ramón fue a la casa del terror, resulta que en la montaña rusa Carmen subió con Luis.
A partir de este dato, ya es muy fácil deducir que las parejas en la alfombra fueron:
Alicia-Ramón, Rocío-Pablo, Carmen-Carlos y Mercedes-Luis.
10.
LOS EXPLORADORES Y LOS CANÍBALES
Tres exploradores y tres caníbales deben cruzar un río, pero disponen de
una sola barca y, además:
• En la barca solo pueden viajar una o dos personas.
• Al menos uno debe saber remar.
• Saben remar los tres exploradores y un caníbal.
• En ninguna orilla los caníbales pueden superar en número a los exploradores, pues se los comerían.
¿Cómo conseguirán cruzar el río?
☛ Debes distinguir el caníbal que sabe remar de los demás caníbales.
1.°: Cruza un explorador con un caníbal que no sabe remar y vuelve el explorador.
2.°: Cruzan el caníbal remero y el otro caníbal, y vuelve el caníbal remero.
3.°: Cruzan dos exploradores y vuelven un explorador y un caníbal.
4.°: Cruzan un explorador y el caníbal remero, y vuelve un explorador con un caníbal que no sabe remar.
5.°: Cruzan los dos exploradores y vuelve el caníbal remero.
6.°: Cruzan el caníbal remero y otro caníbal, y vuelve el remero.
7.°: Cruzan el caníbal remero y el otro caníbal que quedaba.
11.
EL PROBLEMA DE TARTAGLIA
Este problema consiste en dividir el contenido de una jarra de 24 litros en
tres partes iguales, utilizando solamente la jarra original y otras tres de 5, 11
y 13 litros, respectivamente.
Con la de 24 se llenan la de 5 y la de 11. Quedan 8 en la de 24. Se vacía la de 5 en
la de 13 y con la de 11 se llega a llenar la de 13. Con la de 13 se llena la de 5 y así
quedan 8 en la de 13.
Ya tenemos 8 en la de 24, 8 en la de 13 y 8 en las otras dos.
12
Resolución de problemas
UNIDAD
12.
0
LAS LÁMPARAS
Sobre una plataforma hay 7 lámparas encendidas y un dispositivo mediante
el que podemos apagar una sola lámpara o dos lámparas contiguas, pudiendo elegir cualquiera de las dos opciones.
Dos personas juegan: apagan alternativamente lámparas y gana la persona
que apague la última. Si los dos jugadores actúan de forma inteligente,
¿quién crees que ganará, el primero o el segundo?
Apagando la lámpara central se divide la disposición de lámparas en dos grupos
idénticos de tres y tres.
Cada vez que el segundo jugador apague lámparas, el primero debe replicar apagando el mismo número del otro grupo.
De esta forma, el primer jugador se asegura el éxito.
13.
UN JUEGO UN TANTO PEDREGOSO
Hay dos montones de piedras, uno con 7 piedras y otro con 6 piedras. Dos
personas juegan de manera alternativa, pudiendo retirar tantas piedras como
deseen, pero solo de uno de los montones. Gana quien retire la última piedra.
¿Quién tiene ventaja, el jugador que comienza o el segundo?
El primer jugador puede ganar siempre si juega igualando el número de piedras de
los dos montones. Es claro que entonces el otro jugador no puede hacer otra cosa
que desigualarlos.
14.
AHORRANDO PESADAS
A Carlos, mientras esperaba un día la cola para comprar el pan, se le ocurrió
un problema que proponer al panadero de su pueblo:
CARLOS: Pedro, aquí tienes 1 kg de harina y una pesa de 50 gramos. ¿A que no
eres capaz de obtener 300 gramos de harina con esta balanza de dos
brazos?
PANADERO: Pero eso es muy fácil…
CARLOS: No, no. Solo con tres pesadas.
Tras pensar unos minutos, el panadero le dio a Carlos sus 300 gramos de harina. ¿Cómo lo hizo?
1.a pesada: En un plato de la balanza colocamos la pesa. En el otro vamos echando
harina. Obtenemos 50 g de harina.
Resolución de problemas
13
2.a pesada: En un plato de la balanza colocamos la pesa y los 50 g de harina obtenidos antes. En el otro vamos echando harina. Obtenemos 100 g de harina.
3.a pesada: En un plato de la balanza colocamos toda la harina obtenida hasta ahora
(150 g). En el otro vamos echando harina. Obtenemos 150 g de harina.
Juntando la harina de los dos platos, nos encontramos con la cantidad pedida:
300 g.
15.
EL TOSTADOR
Un tostador tuesta por un lado 2 rebanadas de pan juntas. A los 30 segundos
damos la vuelta a las 2 rebanadas y las tostamos por el otro lado. Por tanto,
necesito un minuto para tostar 2 rebanadas. ¿Cuánto tiempo necesito para
tostar 3 rebanadas de pan por los dos lados?
Empezamos tostando un lado de la 1.a rebanada y otro de la 2.a. Después, tostamos
el otro lado de la 1.a con un lado de la 3.a. Por último, tostaríamos el otro lado de
la 2.a con el otro de la 3.a. Así, necesitaríamos un minuto y medio para tostar las tres
rebanadas de pan por los dos lados.
Página 20
16.
LOS ESCALONES
Eva sube las escaleras de un edificio de 2 en 2 y las baja de 3 en 3, con lo que
da un total de 100 saltos. ¿Cuántos escalones hay en el edificio?
° x = n.° de saltos al subir 8 n.° de escalones = 2x
Llamamos: ¢
£ y = n.° de saltos al bajar 8 n.° de escalones = 3y
Por tanto:
17.
2x = 3y ° x = 60 °
¢
¢ n.° de escalones = 120
x + y = 100 £ y = 40 £
EL DINERO
En un bolsillo tenemos monedas de tres clases: de 5, de 20 y de 50 céntimos. En total, 12 monedas con un valor de 2 euros y 85 céntimos (285 céntimos). ¿Cuántas
monedas hay de cada clase?
14
Resolución de problemas
UNIDAD
0
Si x es el número de monedas de 5 eurocéntimos, y el número de monedas de 10
y z el de 50, podemos plantear el siguiente sistema de ecuaciones:
° 5x + 20y + 50z = 285
¢ x + y + z = 12
£
° x = –3 + 2z
Cuyas soluciones son: ¢
£ y = 15 – 3z
• Si z < 2, el número de monedas de 5 céntimos sale negativo, luego ha de ser
z Ó 2.
• Si z = 5, el número de monedas de 20 céntimos sale 0 (el enunciado dice que tenemos de los tres tipos), luego ha de ser z < 5.
• Además, x, y, z han de ser enteros.
Por tanto, hay tres posibilidades:
• 2 monedas de 50, 1 de 5 y 9 de 20 céntimos.
• 3 monedas de 50, 3 de 5 y 6 de 20 céntimos.
• 4 monedas de 50, 5 de 5 y 3 de 20 céntimos.
18.
LA LÍNEA NAVIERA
Se ha establecido una línea regular de barcos entre Cádiz y Santander. Cada
día, a las 12 de la mañana, sale un barco de cada uno de los puertos, empleando en la travesía 5 días.
Si hoy sale un barco de Cádiz, ¿con cuántos barcos de la compañía naviera se
encontrará hasta su llegada a Santander?
Con 6 barcos (incluyendo el que sale cuando llega él).
19.
LA IMPRENTA
Una imprenta debe hacer 3 000 tarjetas de 8 cm Ò 8 cm. Para ello dispone de
hojas de dos tamaños, 22 cm Ò 34 cm y 21 cm Ò 28 cm, que deberá cortar.
¿Qué tamaño de hojas es conveniente utilizar para desperdiciar la menor
cantidad posible de papel?
• Hojas de 22 cm Ò 34 cm:
2
34 cm
8
Con cada hoja se pueden hacer 8 panfletos de
8 cm Ò 8 cm y se desperdician:
8
22 · 2 + 6 · 32 = 236 cm2 en cada hoja
Para conseguir 3 000 panfletos:
8
3 000 : 8 = 375 hojas necesitaríamos
8
y se desperdiciarían:
8
8
6
375 · 236 = 88 500 cm2
22 cm
Resolución de problemas
15
• Hojas de 21 cm Ò 28 cm:
Con cada hoja se pueden hacer 6 panfletos y se desperdician:
4
28 cm
8
21 · 4 + 5 · 24 = 204 cm2 en cada hoja
8
Para conseguir 3 000 panfletos:
8
3 000 : 6 = 500 hojas necesitaríamos
8
8
5
y se desperdiciarían:
500 · 204 = 102 000 cm2
21 cm
• Por tanto, para desperdiciar la menor cantidad posible de papel, conviene utilizar
los de tamaño 22 cm Ò 34 cm.
20.
PLEGANDO UNA HOJA DE PAPEL
Toma hojas de papel rectangular y, mediante pliegues, construye ángulos de
180°; 90°; 45°; 22°30'. Toma otra hoja y haz con ella lo siguiente:
a) ¿Cuánto valen los ángulos
a y b?
D
M
C
b) ¿Podrías construir con la
hoja de papel un triángulo equilátero?
D
M
C
D
M
C
A
T
T
a
b
A
R
B
B
A
R
B
El ángulo a es de 30° y b es de 60°.
Con ello, se construye el triángulo equilátero fácilmente.
21.
LA SUMA
¿Cuántos números menores que 1 000 tienen la suma de sus dígitos igual a 7?
7 0 0 8 3 posibilidades
6 0 1 8 6 posibilidades
5 1 1 8 3 posibilidades
5 0 2 8 6 posibilidades
4 1 2 8 6 posibilidades
4 0 3 8 6 posibilidades
3 1 3 8 3 posibilidades
3 2 2 8 3 posibilidades
36 posibilidades
Existen 36 números con esa propiedad.
16
Resolución de problemas
UNIDAD
22.
0
LAS VELAS
Dos velas de la misma altura se encienden simultáneamente. Una se consume en 4 horas y la otra en 10 horas.
¿Cuántas horas deberán arder hasta que la longitud de una de ellas sea el doble que la longitud de la otra?
Tomamos como unidad la longitud de ambas velas antes de ser encendidas.
1
• La longitud de la 1.a vela en t horas es 1 – t.
4
1
• La longitud de la 2.a vela en t horas es 1 –
t.
10
¿Para qué valor de t la primera es la mitad de la 2.a?
1–
(
1
1
1
t=
1–
t
4
2
10
)
8 t = 2,5
Han de transcurrir 2 horas y media.
23.
LA CAJA
Pedro tiene lagartijas, escarabajos y gusanos. En total tiene 12 animales y
26 patas. Tiene más gusanos que lagartijas y escarabajos juntos.
¿Cuántos animales tiene de cada clase?
Como las lagartijas tienen 4 patas, los escarabajos 6 y los gusanos ninguna, son
7 gusanos, 3 escarabajos y 2 lagartijas.
24.
ETAPA DE MONTAÑA
Un ciclista puede recorrer una media de 20 km por hora cuesta arriba y
60 km por hora cuesta abajo.
¿Cuál será su velocidad media en un recorrido con salida y llegada en el mismo punto?
Llamamos x al espacio que hay hasta llegar a la cima:
• Espacio total recorrido = 2x
/h
km
60
20
km
/
h
Así, tenemos que:
x
• Tiempo total empleado =
x
x
4x
x
+
=
=
20
60
60
15
Por tanto:
Velocidad media recorrido =
Resolución de problemas
2x
x
15
= 30 km/h
17
25.
FILA DE NÚMEROS
Si escribimos los números naturales seguidos, de la siguiente manera:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 …
¿qué dígito ocupará el lugar cien mil?
Al colocar en la fila el 9 999, el último 9 ocupa el lugar:
9 + 2 Ò 90 + 3 Ò 900 + 4 Ò 9 000 = 38 889
Como 100 000 = 38 889 + 61 111, el problema ahora es:
10 000
10 001
10 002 …
¿Qué dígito ocupa el lugar 61 111?
Al colocar en esta lista el 69 999 hemos colocado 60 000 dígitos.
Por tanto, ahora el problema es:
Empezando así:
70 000
70 001
70 002
70 003 …
¿Qué dígito ocupa el lugar 1 111?
Como 1 111 = 5 Ò 222 + 1, al colocar el 70 221 se han colocado 5 Ò 222 dígitos.
Por tanto, el dígito solución del problema inicial es el 7.
26.
LOS CEROS
¿En cuántos ceros acaba el número 125! ?
☛ Recuerda que:
125! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · … · 123 · 124 · 125
Cuenta el número de veces que aparece el factor 5 (el factor 2 va a aparecer más veces).
Es 25 + 5 + 1 = 31. Termina en 31 ceros.
27. ¿ÚLTIMO DÍGITO?
¿Cuál es el último dígito de la expresión 2103 + 3?
Es fácil observar que las terminaciones de las potencias de 2 son siempre 2, 4, 8 y 6
(en ese orden). Por tanto, 2100 termina en 6 y 2103 termina en 8.
Así, 2103 + 3 termina en 1.
28.
AVELLANAS MÁGICAS
En un canasto hay avellanas cuyo número se duplica cada minuto. Después
de una hora, el canasto está completamente lleno.
¿Cuánto tiempo se necesitó para llenarlo hasta la mitad?
59 minutos.
18
Resolución de problemas
UNIDAD
0
Página 21
29.
MEZCLA DE CROMOS...
Héctor es aficionado a los coches y tiene un gran montón de cromos de ellos.
Leticia es aficionada a las motos y tiene un gran montón de cromos de motos.
Un día Héctor, complaciente, le regala un puñado de sus cromos (40) a Leticia. Como son del mismo tamaño, ella los mezcla con los suyos. Más tarde se
pelean y Héctor le pide que le devuelva sus cromos y Leticia, muy digna, cuenta 40 cromos cualesquiera y se los da. Él los mezcla con los suyos.
¿Hay más cromos de motos entre los coches de Héctor o más cromos de coches entre las motos de Leticia?
El número de cromos que se intercambian es 40 en los dos casos. Luego, después
de los cambios, los dos tienen la misma cantidad de cromos que tenían en un principio.
Los cromos de motos que tiene Héctor son los que le faltan a Leticia (y Leticia sigue teniendo el mismo número de cromos que tenía en un principio; luego los cromos que le faltan de motos ahora son de coches).
Por tanto, el número de cromos de motos que hay entre los coches de Héctor es el
mismo número de cromos de coches que hay entre las motos de Leticia.
30. ... Y MEZCLA DE LÍQUIDOS
Tienes dos jarras, una con zumo y la otra con agua, y un vaso vacío.
Llenamos el vaso con zumo de la primera y lo vertemos en la jarra de agua.
Una vez mezclado, se vuelve a llenar el vaso con mezcla de la segunda y se vierte en la primera.
¿Hay más zumo en el agua que agua en el zumo? ¿Es al contrario? ¿Hay, acaso, la misma cantidad de zumo en el agua que de agua en el zumo? ¿O depende de las cantidades de cada una que tuviéramos al principio?
Algo semejante a lo dicho en el problema anterior ocurre con el agua y el zumo: al
final del proceso, la cantidad de líquido que hay en las dos jarras es la misma que
había en un principio. Luego la cantidad de agua que hay ahora en la jarra de zumo es la que falta de agua en la jarra de agua (que está sustituida por zumo).
Por tanto, hay la misma cantidad de zumo en el agua que de agua en el zumo.
Resolución de problemas
19
31.
UN ROBOT MUY MARCIAL
Un robot, al ponerse en marcha, camina de la siguiente forma:
Da un paso. Cambia de dirección y da dos pasos. Cambia de dirección y da tres
pasos... Así, sucesivamente, tras cada cambio de dirección da un paso más que
en el tramo anterior. Y cada nueva dirección es perpendicular a la que traía.
¿Es posible que el robot pase por el punto de partida? ¿Y que cambie de dirección allí? ¿Cuál es el menor número de pasos con que se puede conseguir cada
una de estas dos posibilidades?
El robot se mueve en dos direcciones, que llamaremos N-S y E-O. Supondremos
que empieza dando un paso hacia el este (E). Según esto, los tramos con un númereo impar de pasos (1, 3, 5, 7, 9, …) los dará hacia el E o hacia el O, y los tramos con un número par de pasos (2, 4, 6, 8, …) los dará hacia el N o hacia el S.
Para conseguir que el robot pase por el punto inicial, I, tendremos en cuenta que
2 + 4 = 6. Observa cómo:
Los tramos 2 y 4 lo alejan 6 unidades hacia el
S. El tramo 6 lo dirigimos hacia el N. Después
de los seis primeros tramos, el robot está un
paso al O del punto I. El siguiente tramo (7) se
dirige al E y tras el primer paso “pasa” por I.
A I
12
3
6
4
El número total de pasos es:
5
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 1 = 22
Para conseguir que el robot “cambie de dirección en I”, es decir, complete un tramo en I, tendremos en cuenta que 1 + 7 = 3 + 5 y que 2 + 8 = 4 + 6. Observa cómo:
7
6
8
5
4
1
I
2
3
20
Resolución de problemas
UNIDAD
32.
0
PELADOS Y MELENUDOS
A Eva la invitan a la fiesta que se va a celebrar en el Club de los Pijos el próximo sábado. Todavía no sabe si irá o no, pero hace indagaciones y averigua
que, entre los pijos, la probabilidad de que uno de ellos sea DIVERTIDO es mayor si tiene melena que si está pelado.
(1) PIJOS: P [DIVER./MELENA] > P [DIVER./PELADO]
Decide que, si va a la fiesta, ligará con un melenudo.
Estando en esas le llaman del Club de los Macarras para invitarle a una fiesta a la
misma hora. Hace indagaciones y llega a conclusiones similares:
(2) MACARRAS: P [DIVER./MELENA] > P [DIVER./PELADO]
Todavía no sabe a cuál de las dos fiestas irá, pero tiene claro que, vaya a la que
vaya, ligará con un melenudo.
Una hora antes de empezar las fiestas recibe una nueva llamada advirtiéndole de que Pijos y Macarras se han puesto de acuerdo y hacen una única fiesta.
Revisando sus notas, Eva descubre con asombro que en el conjunto de todos
ellos las cosas cambian radicalmente.
(3) PIJOS + MACARRAS: P [DIVERTIDO/MELENA] < P [DIVERTIDO/PELADO]
Por tanto, deberá cambiar su estrategia y ligar con un pelado.
¿Cómo es posible que sea así? Para explicarlo, inventa unos números para dos tablas como esta, una para PIJOS y otra para MACARRAS, de modo que en la primera se
cumpla (1), en la segunda (2) y en la que resulta de sumar ambas se cumpla (3):
MELENA
PELADO
DIVERTIDO
ABURRIDO
Empecemos poniendo un ejemplo numérico para entender mejor la situación. Supongamos que tenemos lo siguiente:
1 melenudo
10 Pijos
9 pelados
1 divertido (100%)
8 divertidos (88,9%)
1 no divertido
8 melenudos
5 divertidos (62,5%)
3 no divertidos
10 Macarras
2 pelados
1 divertido (50%)
1 no divertido
Resolución de problemas
21
Al juntarlos a todos, tendríamos que:
6 divertidos (66,7%)
9 melenudos
3 no divertidos
20 Personas
9 divertidos (81,8%)
11 pelados
2 no divertidos
Si observamos estos resultados, vemos que la clave está en que hay más divertidos
entre este grupo de pijos que entre este grupo de macarras; y que hay muy pocos
pijos melenudos.
Si hay un pijo melenudo que sea divertido, ya supone un porcentaje alto del total
de pijos melenudos.
Página 22
33.
HOJAS DE PAPEL
Los tamaños estándar de papel se denominan A0, A1, A2, A3, A4, A5… Cada
uno de ellos es la mitad del anterior y semejante a él.
I Teniendo esto en cuenta y sabiendo que la superficie de A0 es 1 m 2, calcula las dimensiones
de una hoja A4 (es la de uso más frecuente) redondeando hasta los milímetros. Comprueba el
resultado midiendo una hoja A4.
A0
A2
A1
A4
A3
A5
II Demuestra que cualesquiera de las hojas anteriores cumple lo siguiente:
Si le añadimos un cuadrado, el rectángulo que se obtiene, MNPQ, tiene la
peculiaridad de que al suprimirle dos cuadrados da lugar a otro rectángulo, MRSQ, semejante a él (MNPQ semejante a MRSQ).
M
N
M R
P
Q S
A3
Q
y/2
I)
x
A0
A1
y
22
Resolución de problemas
UNIDAD
0
La superficie de A0 es 1 m2, es decir:
1
x
x y = 1 m2 ò y =
Por la semejanza entre A0 y A1, tenemos que:
y
y2
x
=
ò
= x 2 ò y 2 = 2x 2
x
y/2
2
( )
1
x
x=
2
1 = 2x 2 ò 1 = 2x 4 ò 1 = x 4
2
x2
= 2x 2 ò
√
4
4
1
1
= 4 , y = √2
2
√2
Las dimensiones de A0 son:
1
m
√2
4
largo = √ 2 m, ancho =
4
A0
x
y/4
y/4
A4
x/4
A4
x/4
y
Las dimensiones de A4 serán:
4
√ 2 = 0,297 m = 29,7 cm = 297 mm
largo =
4
ancho =
1
= 0,210 m = 21 cm = 210 mm
4
4 √2
y
II)
M
x
R
N
x
Q
S
y–x
Resolución de problemas
P
x
x
23
La razón entre los lados del rectángulo (A0, A1, …) es:
y
=
x
4
√2
4
( )2 = √ 2
= 4√ 2
1/ √ 2
(es la misma en A0, A1…, pues todos ellos son semejantes).
La razón entre los lados del rectángulo MNPQ es:
y/x + x/x
y+x
√2 + 1 =
=
=
√2 + 1
x/x
x
1
Queremos probar que MRQS es semejante a MNPQ; para ello bastará ver que:
—
MQ
— = √2 + 1
MR
Veámoslo:
1
x
x/x
=
=
=
y–x
y/x – x/x
√2 – 1
√2 + 1
√2 + 1 =
=
√2 + 1
—
2–1
( √ 2 – 1) ( √ 2 + 1)
Como queríamos probar.
34.
ALCOHOL A CAZOS
Una vasija contiene una mezcla de alcohol y agua en una proporción de 3 a 7.
En otra vasija la proporción es de 2 a 3. ¿Cuántos cazos hemos de sacar de cada
vasija para obtener 12 cazos de una mezcla en la que la proporción alcoholagua sea de 3 a 5?
x cazos
(12 – x) cazos
V1
V2
3 alcohol
7 agua
3
alcohol
10
2 alcohol
3 agua
2
alcohol
5
12 cazos
3 alcohol
5 agua
3
alcohol
8
La proporción de alcohol es:
3
2
3
x + (12 – x) ·
=
· 12
10
5
8
3x
24 – 2x
9
+
= ; 3x + 48 – 4x = 45; x = 3
10
5
2
Solución: 3 cazos de la primera y 9 de la segunda.
24
Resolución de problemas
UNIDAD
35.
0
ALIGERANDO EL PASO
Un viajero que va a tomar su tren ha cubierto 3,5 km en 1 hora y se da cuenta de que, a ese paso, llegará 1 hora tarde.
Acelera el paso y recorre el resto del camino a una velocidad de 5 km/h, llegando media hora antes de que salga el tren.
¿Qué distancia tenía que recorrer?
3,5 km
x
tren
1h
t = tiempo que tarda en recorrer x a 3,5 km/h
Si va a 5 km/h tarda t – 1,5 (1 hora y media menos)
Por tanto:
x = 3,5t
°
3,5t = 5t – 7,5; t = 5 horas
x = 5 (t – 1,5) ¢£
x = 17,5 km
Tenía que recorrer 17,5 km (21 km si contamos los 3,5 km del principio).
36.
SELLOS
Se ordenan 31 sellos de izquierda a derecha en orden creciente de precios. El precio de cada sello difiere en 2 € de sus dos adyacentes.
Por el precio del último sello podríamos comprar el sello central y uno de los que
tiene el lado.
¿Cuál de ellos?
Si llamamos pi al precio del sello que ocupa la posición i-ésima, tenemos una progresión aritmética de diferencia d = 2. Así:
p
31
= p + 60. El sello central es el 16.°
1
°
¢
£
Si fuera p31 = p16 + p15:
° p16 = p1 + 30
§ p = p + 28 2p + 58 = p + 60 ò p = 2
1
1
1
** ¢ 15
1
§
£ p17 = p1 + 32
Son el 15.° y el 16.°
£
Si
fuera
p
=
p
+
p
:
¢
31
16
17
** °
2p1 + 62 = p1 + 60 ò p1 = –2 (imposible)
°
§
§
§
¢
§
§
§
£
Por tanto, el sello que buscamos es el anterior al central (el que está en la posición
15.a).
Resolución de problemas
25
37.
LIBROS
Un librero compró dos manuscritos antiguos por 2 250 € y después los vendió
obteniendo un beneficio del 40%.
El primer manuscrito le dejó un beneficio del 25% y el segundo un beneficio
del 50%, ¿cuánto pagó por cada manuscrito?
1.° 8 x
x+
y = 2 250
°
¢ y = 2 250 – x
2.° 8 y
1,25x + 1,5y = 2 250 · 1,4 £
1,25x + 3 375 – 1,5x = 3 150; 225 = 0,25x
x = 900 €; y = 1 350 €
Por el primero pagó 900 € y por el segundo, 1 350 €.
38.
ÁNGULOS SOBRE CUADRÍCULA
Demuestra que, en esta figura, a = b + g.
g
a
b
Intenta utilizar una cuadrícula como esta para demostrarlo.
ì
a = BOD . Basta observar que se trata de uno de los ángulos agudos del triángulo
rectángulo que se forma con la diagonal de un cuadrado.
B
A
C
D
O
ì
b = COD , por ser el ángulo agudo menor de un triángulo rectángulo cuyos catetos
miden cuatro y dos unidades; igual (por semejanza) al formado por catetos de dos y
una unidad.
ì
g = AOC , pues, tomando las diagonales de los cuadrados pequeños por unidades,
se trata del ángulo menor del triángulo rectángulo de catetos 3 y 1 unidades (OA y
AC, respectivamente).
Así, podemos observar fácilmente en el dibujo que a = b + g, pues:
ì
ì
ì
ì
BOD = AOD = AOC + COD
26
Resolución de problemas
UNIDAD
0
39. ¡CON CALCULADORA!
a) Tu calculadora tiene la tecla
4
$. Utilízala para calcular √6 765 201 . Fácil,
¿no?
b) Se llama n! al producto
n · (n –1) · (n – 2) · ... · 3 · 2 · 1
Averigua el valor de n para el cual
n!
= 110 355 024
(n – 4)!
☛ Es más fácil de lo que parece: interpreta lo que se te pide, piensa un poco y utiliza la calculadora.
a) $ 6765201
b)
= {∫∫∫“\≠‘} $ = {∫∫∫∫∞‘}
n!
n (n – 1)(n – 2)(n – 3)(n – 4)(n – 5) … 3 · 2 · 1
=
=
(n – 4)!
(n – 4)(n – 5) … 3 · 2 · 1
= n (n – 1)(n – 2)(n – 3)
Por tanto, hemos de averiguar el valor de n para el cual
n (n – 1)(n – 2)(n – 3) = 110 355 024
El producto de cuatro números consecutivos es un número muy grande. La
raíz cuarta de este número será un número que esté “entre ellos”. Seguramente,
estará entre los dos de en medio. Probemos:
$ 110 355 024 = {‘≠∞≠¢…££££∞“¢} $ = {‘≠“…¢£«£≠“≠“∞}
Seguramente n – 2 = 102 y n – 1 = 103. Veamos:
104 · 103 · 102 · 101 = 110 355 024, efectivamente
Por tanto, n = 104.
40.
PESOS, PESAS Y PESADAS
a) Con este juego de pesas:
1g 2 g 4 g 8 g 16 g 32 g 64 g
puedes realizar cualquier pesada comprendida entre 1 g y 123 g. Compruébalo “pesando” 23 g, 89 g y 111 g.
Añade dos pesas más a dicho juego. ¿Hasta qué peso puedes llegar ahora?
b) Con este otro juego de pesas:
1 g 3 g 9 g 27 g 81 g
también puedes realizar muchas pesadas. ¿Cuál es la pesada máxima? ¿Cómo pesarías 60 g? ¿Y 100 g? Añade otra pesa y consigue pesar 314 g.
☛ Prueba a poner pesas en los dos platillos.
Resolución de problemas
27
a) 23 = 16 + 4 + 2 + 1
89 = 64 + 16 + 8 + 1
111 = 64 + 32 + 8 + 4 + 2 + 1
Si se añaden las pesas 128 g y 256 g se pueden realizar, con las nueve, pesadas
que van de 1 g a 511 g.
b) La pesada máxima es 81 + 27 + 9 + 3 + 1 = 121 g.
Es decir, que con esas 5 pesas se puede realizar cualquier pesada entre 1 g y 121 g.
60 = 81 – 27 + 9 – 3
60
g
81 g
27
9
3
100 = 81 + 27 – 9 + 1
100 g
9
1
27
81 g
Estas cinco pesas son 1, 3, 32, 33, 34. Añadimos otra de 35 = 243 g:
314 = 243 + 81 – 9 – 1
314 g
81 g
1
28
243 g
9
Resolución de problemas