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UNIDAD IV
TRIGONOMETRÍA
http://www.ilustrados.com/publicaciones/EpyuVklkkVpFesxWjt.php
Objetivos:
Al finalizar esta unidad, el alumno deberá ser hábil en:
 Comprender las definiciones de las relaciones trigonométricas de un ángulo.
 Comprender la importancia de conocer los valores de las relaciones trigonométricas
para diferentes aplicaciones, saber calcularlas.
 Conocer y aplicar las identidades trigonométricas.
 Recordar los criterios de igualdad y semejanza de triángulos.
 Interpretar y resolver problemas de naturaleza geométrica.
 Buscar fórmulas que expresen una cantidad en términos de otra.
INTRODUCCIÓN
La palabra trigonometría se refiere a la medición de triángulos (de origen griego: Trígonos=
triángulo, Metría = medida)
Es la parte de la Matemática que estudia y analiza la relación que existe entre las medidas de
los lados de un triángulo y la medida de sus ángulos.
El fin de la trigonometría es resolver triángulos. Un triángulo está constituido por tres lados y
tres ángulos.
Es necesario recordar algunos conceptos para obtener mejor comprensión de las funciones
trigonométricas y sus aplicaciones.
Triángulo rectángulo
Un triángulo rectángulo es un triángulo con un ángulo recto. El lado opuesto al ángulo
rectángulo se denomina hipotenusa y los otros dos lados se llaman catetos.
Para iniciar el estudio de trigonometría, es necesario, definir un concepto básico, que es el de
ángulo.
Ángulos orientados
Se toman dos semirrectas OA y OB, llamando vértice al punto en común O. Si se mantiene fija a
la semirrecta OA y se hace girar OB desde la posición inicial OA hasta la posición final OB, se
dice que generó un ángulo AOB . Es decir, que ángulo es la porción del plano barrida por la
semirrecta OA, denominada lado inicial hasta coincidir con la semirrecta OB llamada lado
terminal.
OB
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O
OA
Como el ángulo no varía respecto a su posición en el plano, y con el fin de facilitar definiciones,
propiedades y cálculos, es conveniente, referirlo a un sistema de coordenadas cartesianas
ortogonales.
Un ángulo está en posición normal si su vértice se ubica en el origen de coordenadas y su lado
inicial coincide con el semieje de las abscisas.
y
II
I

0 x
III
IV
Los ejes coordenados cartesianos dividen al plano en cuatro partes denominadas cuadrantes (I,
II, III, IV). Un ángulo pertenece a un determinado cuadrante si el lado terminal del ángulo se
encuentra en él.
La magnitud de un ángulo no tiene límite. Si el lado terminal de un ángulo rota en sentido
antihorario un giro completo habrá generado un ángulo de 360º. De acuerdo a esto, dos
ángulos cuyos lados terminales e iniciales coinciden, se encuentran en la misma posición pero
pueden diferenciarse en cuanto a la cantidad de giros rotados; es decir:   360º   .
Por lo tanto:
Dos ángulos orientados son iguales si y sólo si están generados por la misma rotación.
B

a
Triángulo rectángulo ABC
hipotenusa: a
catetos: b, c
c
A
b
C
Triángulo de Pitágoras
En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados
de los catetos: a2  b2  c2
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Razones trigonométricas del triángulo rectángulo
B
El ángulo indicado es 
c
a
A
C
b
D
F

Dado cualquier triángulo rectángulo ABC se pueden plantear las siguientes razones
trigonométricas entre sus lados:
b
c
b
a
a
c


Dado un triángulo rectángulo semejante al ABC , como el DBF
b DF

a BF
c BD

a BF
b DF

c BD
De acuerdo a esto, se puede aseverar:
Las razones entre los lados de un triángulo rectángulo no dependen de la longitud de los
lados, sino de la medida del ángulo, y se las denomina razones trigonométricas.
Las razones trigonométricas de un triángulo rectángulo pueden definirse como:
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cateto opuesto a  b

hipotenusa
a
cateto adyacente a  c
cos  

hipotenusa
a
cateto opuesto a  b
tg  

cateto adyacente
c
cateto adyacente a  c
cotg  

cateto opuesto
b
hipotenusa
a
sec  

cateto adyacente a 
c
hipotenusa
a
cosec  

cateto opuesto a  b
sen  
Relación entre las razones trigonométricas
sen 
cos 
cos 
cotg  
sen 
1
sec  
cos 
1
cosec  
sen 
tg  
Ecuación fundamental de la trigonometría: sen 2  cos2  1
Sistemas de medición de ángulos
La medida del ángulo será positiva si el lado terminal rota en sentido contrario a las agujas del
reloj, y negativo si rota en sentido horario.
Se utilizan generalmente dos sistemas de medición a saber: sistema sexagesimal y sistema
radial.
Sistema sexagesimal:
Es un sistema muy antiguo utilizado por los babilonios, ellos pensaban que el año tenía 360
días, lo que los llevó a pensar que podían emplear como unidad angular la 360 ava parte de un
ángulo de un giro.
La unidad de este sistema es el grado (°) que se obtiene de dividir la circunferencia en 360
partes. El ángulo recto mide 90° y la novena ava parte de un ángulo recto representa un grado
sexagesimal. Cada grado está dividido en 60 minutos y se denota 1° = 60’ y cada minuto
comprende 60 segundos y se escribe 1’= 60’’. La calculadora científica trabaja este sistema en
modo DEG.
Sistema radial:
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Los ángulos en este sistema se miden en radianes que son números reales. Existe una relación
biunívoca entre los números reales y los radianes, es decir, entre el sistema numérico y el
sistema circular, cada número real representa un ángulo en radianes y cada ángulo en radianes
representa un número real.
La unidad es el radián (rad), unidad oficial del SI y del SIMELA. El modo RAD es el que se coloca
en la calculadora.
r’
r

s’
s
La medida de un ángulo en radianes (rad) se define como  
s
, donde
r
s: la longitud del arco que abarca dicho ángulo
r: el radio.
Este sistema se basa en que dado un ángulo la relación entre s y r es constante e independiente
del radio, s y r deben estar en la misma unidad de longitud.
Un radián es aquel ángulo cuya longitud de arco es igual a la longitud del radio.
La longitud de la circunferencia es 2 r , si se divide por r da como resultado que 360° equivale
a:
arco s s '
 (rad ) 
 
radio r r '
2 r
360 
 2  6, 28...(rad )
r
180    3,14159(rad )

180
1 
(rad )  0, 0174
1(rad)=
 57, 296  5717 '45''
180

OBSERVACIÓN: El número π  3,14159 representa un número irracional y no es un ángulo 180°.
La palabra radián es un nombre y no una unidad (seudo-unidad), ya que el cociente arco/radio
es adimensional, por lo tanto no es necesario colocar (rad) a continuación del número, excepto
que sea necesario aclarar que se trata de la medida de un ángulo.
Ángulos complementarios: Dos ángulos son complementarios si y si solo si su suma es igual a
90°.
Ángulos suplementarios: Dos ángulos son suplementarios si y solo si su suma es igual a 180°.
Circunferencia trigonométrica
Circunferencia que tiene centro en el origen de coordenadas y su radio es igual a la unidad.
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Razones trigonométricas de una circunferencia trigonométrica
II cuadrante
y 90° = π/2
I cuadrante
r
P(x,y)

180° = π
0° = 0
x
radio de la circunferencia = 1
III cuadrante
IV cuadrante
270° = 3 π/2
ordenada y
 y
radio
r
abscisa x
cos  =
 x
radio
r
ordenada y
tg  =

para x  0
abscisa
x
sen  =
De acuerdo a lo observado en el gráfico anterior, el sen  coincide con la ordenada del punto
P(x,y) y el cos  coincide con la abscisa del mismo punto.
En el siguiente gráfico, se puede observar los segmentos que representan a cada una de las
líneas trigonométricas:
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El siguiente cuadro expresa los valores de las líneas trigonométricas de ciertos ángulos
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Signos de las razones trigonométricas en la circunferencia trigonométrica
El sen  y el cos  toman valores entre -1 y 1. La tg  toma valores entre  y  .
La cotangente varía también entre  y  . La secante y la cosecante toman valores mayores e
igual 1 y menores e igual a -1.
razón
cuadrante
sen 
cos 
tg 
I
II
III
IV
+
+
+
+
-
+
+
-
Resolución de triángulos rectángulos
Resolver un triángulo significa establecer los elementos desconocidos de acuerdo a ciertos
datos y relaciones entre ellos. Se puede expresar que para resolver un triángulo rectángulo es
suficiente tener como datos dos de sus elementos, de los cuales uno debe ser necesariamente
un lado.
Ejemplo 1: Se tiene un triángulo rectángulo con los siguientes datos:

  60º (ángulo ABC ) y a  2cm . Resolver dicho triángulo.
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B
c
a
k
A
b
C
Para recordar:
 En todo triángulo la suma de los ángulos interiores suman 180 grados.
 En un triángulo rectángulo la suma de dos ángulos agudos da un ángulo recto.
Se calculan los elementos restantes:
  180º (90º 60º )  180º 150º  30º
Para obtener el cateto b, se sabe que:
sen 
 3
b
 b  a.sen  2cm.sen30º  2cm. 
  3 cm
a
 2 
Se calcula el cateto c:
cos  
c
1
 c  a.cos   2cm.    1 cm
a
2
El perímetro del triángulo es la suma de los lados:




P  a  b  c  2  3  1 cm  3  3 cm
El área del triángulo es:
Área 
bxc
3x1cm2
3 2


cm
2
2
2
Ejemplo 2: Resolver el triángulo rectángulo cuyos datos son: a=10 cm y b=6 cm (considerar el
gráfico del ejemplo anterior).
Aplicando el Teorema de Pitágoras, se puede calcular c:
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a 2  b2  c 2  c 2  a 2  b2  c  a 2  b2
c  100  36  64  8 cm

Para calcular el ángulo B , se utiliza la línea trigonométrica seno del ángulo:

sen B 

b
b
6
3
 B  ar cos en  ar cos en
 ar cos en  36º 52'12''
a
a
10
5

Al calcular el ángulo C se pueden seguir dos caminos:
1.- Empleando la línea trigonométrica del coseno:

cos C 

c
c
8
4
 C  arccos  arccos  arccos  53º 7 '48''
b
b
10
5
2.- O utilizando que en todo triángulo rectángulo la suma de dos ángulos agudos da un ángulo
recto:


C  90º  B  90º 36º 52'12''  53º 7 '48''
El perímetro del triángulo es: P  a  b  c  (10  6  8)cm  24 cm
El área del mismo es: Área 
bxc 6x8
48

cm2  cm2  24 cm2
2
2
2
Resolución de triángulos no rectángulos
En el caso de tener que resolver triángulos no rectángulos, se utilizan dos teoremas: Teorema
del seno y Teorema del coseno.
Teorema del seno
C
b
 
A

6
a


c
B
a
b
c


sen  sen  sen 
En todo triángulo, los lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos.
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Teorema del coseno
Observando el triángulo del teorema anterior:
a 2  b 2  c 2  2bc cos 
b 2  a 2  c 2  2ac cos 
c 2  a 2  b 2  2ab cos 
En todo triángulo, el cuadrado de unos de sus lados es igual a la suma de los cuadrados de los
otros dos lados, menos el doble producto de ellos por el coseno del ángulo que determinan.
Identidades trigonométricas
En la práctica es frecuente hallar problemas que incluyen dos o más ángulos y que
comúnmente están relacionados con operaciones aritméticas (suma o resta de dos ángulos,
múltiplos o fracciones de ángulos, etc.). Encontrar los valores de las funciones trigonométricas
en estos casos, es todo un arte; en su desarrollo entran en juego el manejo y conocimiento de
las identidades trigonométricas.
Recordemos que: una ecuación es una igualdad entre expresiones algebraicas que puede
involucrar funciones trigonométricas o de otro tipo, y que puede o no tener solución; por el
contrario una identidad es un caso particular de ecuación que es cierta para todos los valores
de la variable.
Las siguientes identidades se conocen como identidades pitagóricas:
a) sen 2  cos 2   1
b)1  tan 2   sec 2 
c)1  cot 2   cos e c2 
Otras identidades a tener en cuenta:
a) cos( )  cos 
b) sen( )   sen
c) cos(   )  cos  .cos 
sen .sen
d ) sen(   )  sen .cos   cos  .cos 
tan   tan 
1 tan  tan 
Existen muchas otras identidades trigonométricas que no son tan frecuentes y a las que se
pueden acceder con facilidad en cualquier libro de matemática que incluya identidades
trigonométricas.
e) tan(   ) 
Funciones trigonométricas
Una función trigonométrica es la que se define por la aplicación de una razón trigonométrica a
los distintos valores de la variable independiente expresada en radianes. También son llamadas
funciones circulares. Éstas son: seno, coseno, tangente, cotangente, secante, cosecante. Para
cada una de ellas se pueden definir funciones circulares inversas: arco seno, arco coseno, arco
tangente, etc., las cuales permiten obtener el valor del ángulo.
Los gráficos de las funciones trigonométricas se obtienen a partir de la circunferencia
trigonométrica. A cada línea trigonométrica, como se vió anteriormente, se le asocia un
segmento cuya longitud varía de acuerdo al ángulo que se considera, y dicha longitud se
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traslada a un sistema de ejes coordenados cartesianos ortogonales. En este sistema, en el eje


x se representan los ángulos en radianes y en el eje y la longitud del correspondiente.
Suponiendo que es la función seno la que se pretende graficar, tenemos:
y
1
1
rRrr
-
00 0
-1
1
0
π/2
π
3π/2
2π
x (radianes)
-1
De la misma manera se procede con cada una de las funciones trigonométricas en cuanto a la
construcción de sus gráficas.
Función seno
y  f ( x)  sen 
Gráfico
Propiedades
 La función sen  periódica con período 2 : sen   sen(  2 ) .
 Está definida para todos los números reales. Es una función continua.
dominio sen   .
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
 Es una función acotada en el eje y , ya que sus ordenadas están comprendidas en el
intervalo [-1,1], es decir imagen de sen  = [-1,1].
 Es simétrica con respecto al origen, se cumple que sen ( )  sen  .

 El gráfico de la función corta al eje x en todos los puntos de coordenadas (kπ,0) con k ε
.

 El gráfico corta al eje y en el origen de coordenadas (0,0).
Función coseno
y  f ( x)  cos 
Gráfico
Propiedades
 La función cos  periódica con período 2 : cos   cos(  2 ) .
 Está definida para todos los números reales. Es una función continua.
dominio cos   .

 Es una función acotada en el eje y , ya que sus ordenadas están comprendidas en el
intervalo [-1,1], es decir imagen de cos  = [-1,1].

 Es simétrica con respecto al eje y , se cumple que cos ( )  cos  .

 El gráfico de la función corta al eje x en todos los puntos de coordenadas ((2k+1)π/2,0)
con k ε .

 El gráfico corta al eje y en el punto (0,1).
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Función tangente
y  f ( x)  tg 
Gráfico
Propiedades
 La función tg  periódica con período  : tg   tg (   ) .
 No está definida para todos los números reales. Es una función discontinua.



dominio tg    x  / x   2k  1 con k   .
2



 La función no está acotada en el eje y , es decir la imagen de tg  
 Es simétrica con respecto al origen, se cumple que tg ( )  tg  .
-

 El gráfico de la función corta al eje x en todos los puntos de coordenadas (kπ,0) con k ε
.

 El gráfico corta al eje y en el punto (0,0).
En general, se puede representar una función trigonométrica de la siguiente forma:
y  f ( x)  A sen (Bx  C )  D
A: amplitud
B: pulsación
T: período y es igual 2π/B
C: ángulo de fase y es igual (-C/B)

D: desplazamiento en el eje y
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Frecuencia =|B|, indica cantidad de ondas en un período
Ejemplo: Graficar la siguiente función trigonométrica:


y  3 sen  2 x    1
2

Amplitud es 3.
Pulsación es 2.
Período es π y se obtiene como 2π/B.
Ángulo de fase es (- π/4), una onda de la gráfica se inicia en (-π/4).
Frecuencia es 2 y se obtiene como |B|

Desplazamiento en el eje y es -1
Las diferentes carreras de ingeniería emplean esta teoría para especificar, por ejemplo, ángulos
de aterrizaje de aviones de acuerdo a la posición del mismo, armado de cartas de navegación,
diseños de diferentes estructuras y piezas de máquinas, construcción de carreteras, puentes,
modelado, simulación y control de sistemas eléctricos y varias aplicaciones más.
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