1. Educación

Acústica y Vibraciones
Aplicaciones Industriales
Universidad Tecnológica Nacional
Facultad Regional La Plata
Ingeniería Mecánica
Profesor Titular: Dr. Ing. Sánchez, Martín
JTP: Ing. Rosenthal, Gustavo
Acústica y vibraciones
Aplicaciones Industriales
TABLA DE CONTENIDOS
TABLA DE CONTENIDOS .......................................................................................... 2
I - INTRODUCCION ..................................................................................................... 4
Movimientos oscilatorios. ................................................................................................ 4
Oscilaciones. ................................................................................................................. 5
Movimiento armónico simple....................................................................................... 5
Análisis de movimientos rotatorios (Vibraciones Torsionales). .............................. 8
Eje de torsión con diferentes diámetros (Modelo de 1 gdl). ............................... 10
Energía del movimiento armónico simple. ............................................................. 10
Composición de movimientos oscilatorios. ................................................................ 11
MAS – Igual dirección e igual frecuencia. ............................................................. 11
Movimiento armónico amortiguado. .............................................................................. 12
Movimientos oscilatorios forzados. ................................................................................ 15
Oscilaciones propias en fluidos. ..................................................................................... 17
Oscilaciones forzadas en fluidos. Resonador de Helmholtz.......................................... 20
II - ONDAS PLANAS LONGITUDINALES ............................................................. 24
Introducción. ................................................................................................................... 24
El medio fluido. .............................................................................................................. 25
Densidad. .................................................................................................................... 25
Presión. ....................................................................................................................... 27
Calor especifico. ......................................................................................................... 27
Viscosidad. ................................................................................................................. 27
Conductividad térmica. ............................................................................................... 27
Viscosidad cinemática. ............................................................................................... 27
Difusibilidad térmica. ................................................................................................. 27
Ecuación de la propagación de las ondas planas. ........................................................... 28
Propagación de ondas planas longitudinales en sólidos. ............................................ 29
Propagación de ondas planas longitudinales en fluidos. ............................................ 33
Solución armónica de la ecuación de ondas planas .................................................... 40
Densidad de energía de ondas planas ......................................................................... 43
Intensidad acústica...................................................................................................... 45
Impedancia acústica especifica ................................................................................... 46
Escala de decibeles ..................................................................................................... 46
Nivel de los sonidos.................................................................................................... 47
Nivel sonoro con ponderación – dB(A), dB(B), dB(C) ............................................. 54
III - REFLEXIÓN, TRANSMISIÓN Y DIFRACCIÓN. .......................................... 55
Introducción ................................................................................................................ 55
Principio de Huygens. ................................................................................................ 57
Reflexión y transmisión de ondas planas longitudinales que inciden normalmente
sobre un plano límite. ................................................................................................. 59
APENDICE A ............................................................................................................... 64
Deducción de la ecuación de ondas. (Cuerda vibrante).................................................. 64
APENDICE B................................................................................................................ 68
Distintos tipos de ruido ................................................................................................... 68
Ruido rosa ................................................................................................................... 68
Ruido blanco ............................................................................................................... 68
Ruido marrón .............................................................................................................. 70
Ruido azul ................................................................................................................... 70
Ruido violeta .............................................................................................................. 70
2
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Ruido gris ................................................................................................................... 71
Otros colores ............................................................................................................... 71
3
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I - INTRODUCCION
Movimientos oscilatorios.
La acústica es la rama de la física y de la técnica que se ocupa de la producción y la
propagación del sonido.
Por otro lado, se denomina vibración a pequeños movimientos que pueden repetirse con
mayor o menor velocidad alrededor de una posición de equilibrio.
El sonido puede definirse de dos formas:
Forma subjetiva: Es la sensación producida en la conciencia de un observador al ser
estimulado el nervio auditivo.
Forma objetiva: Son las ondas producidas por la compresión del medio para producir
la excitación del nervio auditivo.
Teniendo en cuenta esto, las ondas sonoras son producidas por el movimiento vibratorio
de algún cuerpo en contacto con el medio. (Generadas por una perturbación).
Desde el punto de vista de la acústica, toda perturbación generará una onda en el medio
y teniendo en cuenta el rango de frecuencia podemos dividirlas en:
Infrasonidos => 0 Hz a 20 Hz
Audibles => 20 Hz a 20 KHz => λ entre 17m y 17 mm respectivamente
Ultrasonidos => f > 20 KHz
Los movimientos vibratorios se pueden dividir en dos grandes grupos
1. Movimientos vibratorios periódicos: Son los movimientos que se repiten en
intervalos de tiempo iguales
2. Movimientos vibratorios no periódicos: Movimientos que no se repiten en
intervalos de tiempos iguales
Por otro lado, podemos dividir a los periódicos en:
1.1 Movimientos vibratorios simples: Fáciles de estudiar analíticamente.
1.2 Movimientos vibratorios compuestos: Se los estudia, a través del teorema de
Fourier, descomponiéndolos en movimientos simples guardando sus frecuencias
relación 1, 2, 3, n, donde n = 1 será el movimiento vibratorio simple fundamental
del movimiento compuesto y los demás movimientos sus armónicos (Ver Figura 1)
Con respecto a los movimientos aperiódicos, estos no pueden descomponerse en
armónicos, presentando su estudio una gran complejidad.
4
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Fig. 1
Oscilaciones.
Podemos clasificar a las oscilaciones en
Oscilaciones libres
Oscilaciones forzadas
Oscilaciones autoexitadas
Movimiento armónico simple.
El tipo mas importante de los movimientos periódicos en el Movimiento armónico
Simple (MAS).1
Estos movimientos se caracterizan debido a que la fuerza o la aceleración son
proporcionales a la distancia comprendida entre el punto donde se encuentra el móvil y
el que ocupaba en la posición de equilibrio estable.
Estos sistemas mecánicos tienen un grado de libertad, es decir la posición en un instante
de tiempo se puede definir por un solo número.2
Analicemos el caso de un sistema masa resorte (Masa puntual, resorte sin masa) que se
encuentra en su posición de equilibrio (Ver figura 2)
1
Ejemplo: Péndulo de pequeña amplitud de oscilación
Def. Grado de libertad: Es la cantidad mínima de coordenadas independientes que se requieren para
describir el movimiento de un sistema.
2
5
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Fig. 2
Planteando equilibrio de fuerzas tenemos
FRe sorte   Kx0
FMasa  mg
Si el sistema se encuentra en equilibrio
FMasa  FRe sorte
mg   Kx0
Si aplicamos una fuerza exterior, desplazando la masa fuera de su posición de equilibrio
y luego dejando al sistema libre (perturbación), la fuerza recuperadora del resorte
tendera a volver a la masa a su posición de equilibrio, haciéndola oscilar libremente
hasta que el rozamiento externo (si es que existe) la colocara en dicha posición.
Si el desplazamiento no es grande (para que sea valida la ley de Hooke), tenemos
F   Kx
Si aplicamos el principio fundamental de la dinámica
 F  ma
 Kx  mx  m
d 2x
dt 2
O bien,
mx  Kx  0
I.1
Esta ecuación del movimiento es una ecuación diferencial lineal de segundo orden, que
debemos resolver para conocer la posición de la masa en cada instante de tiempo.
La solución de la ecuación I.1 es de la forma
x  A cos( 0 t   )
I.2
6
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Donde
x = Distancia de la masa a la posición de equilibrio
A = Amplitud máxima
 = Angulo de fase inicial
 0 = Frecuencia angular propia del sistema
Teniendo en cuenta la ecuación I.1
mx  Kx  0
K
x  x  0
m
K
0 
m
2
x   0 x  0
I.3
Otra forma de expresar la solución (ecuación I.2) es en forma compleja

x  ReAe
x  Re Ae j (0t  )
j 0t
e j

  ReAˆ e 
j 0t
Donde, definimos amplitud compleja Aˆ  Ae j
Para obtener la velocidad de la vibración derivamos la ecuación I.2
v
dx
  0 Asen( 0 t   )
dt
Siendo v0   0 A
La aceleración vendrá dada por:
d 2x
a  2   02 A cos( 0 t   )   02 x
dt
Siendo a0   02 A
El desfasaje será el siguiente:
7
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Fig. 3
El periodo de la oscilación será el tiempo que tarda la masa en cumplir una oscilación
completa
T  2
m
K
1 K
2 m
 0  2f 0
f0 
Análisis de movimientos rotatorios (Vibraciones Torsionales).
Un cuerpo con un momento de inercia de masa I esta sujetado a una barra de torsión con
una rigidez K T .
Fig. 4
8
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Si el cuerpo es rotado por una perturbación externa un ángulo  y luego la perturbación
o momento torsor deja de actuar, se producirá una oscilación torsional que perdurará en
el tiempo si no existe amortiguación del movimiento.
De las ecuaciones de la teoría de la resistencia de materiales sabemos que la relación
entre el momento torsor y el ángulo de giro  , esta dada por la ecuación:
GI 0

L
MT 
Donde G es el modulo de elasticidad transversal e I 0 es el momento de inercia polar de
la sección del eje:
I0 
d 4
32
Podemos considerar al sistema eje-volante como un sistema de un gdl, si reemplazamos
al eje por un resorte que actúa bajo torsión y si solo tomamos en cuenta la inercia del
volante.
Evidentemente se trata de una aproximación, ya que ambas propiedades, la inercia y la
restauradora, están distribuidas uniformemente en ambos elementos.
La constante del resorte esta dada por:
KT 
GI 0
L
Bajo estas condiciones la ecuación diferencial de la dinámica será:
I   K T 
I.4
Donde I es el momento de inercia de masa.
Resulta evidente entonces:
0 
KT
,
I
donde:
I
WD 2
,
8g
siendo W el peso del volante y D su diámetro.
La solución de la ecuación diferencial es del tipo:
   0 cos(t )
I.5
9
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Eje de torsión con diferentes diámetros (Modelo de 1 gdl).
Si el eje no tiene un diámetro constante, este puede ser remplazado por un eje de
longitud equivalente pero con diámetro constante.
Por ejemplo consideremos un eje de longitud l  l1  l 2 , donde parte del mismo cuenta
con longitud l1 y diámetro d 1 y la otra parte con longitud l 2 y diámetro d 2 .
Podemos remplazar todo el eje de longitud l por otro de longitud equivalente l et que
cuente con un diámetro constante d 1 o d 2 .
Para ello se trabaja con la rigidez individual de cada tramo
K1 
GI1
GI
; K2  2
l1
l2
Supongamos que queremos llevar todo el eje al diámetro d 1 , con lo cual deberíamos
logran una rigidez K 2 pero con el diámetro d 1 , esto se logra cambiando la longitud.
d 
Gd 24 Gd14

 l et  l 2  1 
32l 2
32l et
 d2 
4
Por lo cual tendremos que la nueva longitud del eje L con diámetro d 1 será:
d 
L  l1  l et  l1  l 2  1 
 d2 
4
Energía del movimiento armónico simple.
La energía de la masa será la suma de la Ec  E p . La E p es el trabajo realizado al
alargar el resorte desde su posición de equilibrio =>
Fx  ma  m 02 x
x
E p   m 02 xdx 
0
1
m 02 x 2
2
Ep 
1
m 02 A 2 cos 2 ( 0 t   )
2
Ec 
1 2 1
mv  m 02 A 2 sen 2 ( 0 t   )
2
2
10
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E s  Ec  E p 
1
1
m 02 A 2 sen 2 ( 0 t   )  m 02 A 2 cos 2 ( 0 t   )
2
2
I.6
Es 
1
1
m 02 A 2  KA 2
2
2
Vale decir, que la energía no se crea ni se destruye, se transforma (Ver figura 4).
Fig. 5
Composición de movimientos oscilatorios.
El movimiento a veces es una combinación lineal de vibración formadas por dos o mas
MAS. El desplazamiento es la suma algebraica de los desplazamientos individuales.
MAS – Igual dirección e igual frecuencia.
Supongamos que un punto material esta sometido simultáneamente a 2 MAS,
producidos por causas independiente =>
x1  A cos(t  1 )
x 2  B cos(t   2 )
El desplazamiento resultante será entonces:
x  x1  x 2
x  C cos(t   )
C 2  A 2  B 2  2 AB cos(1   2 )
Tg 
Asen (1 )  Bsen ( 2 )
A cos(1 )  B cos( 2 )
11
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Movimiento armónico amortiguado.
Como hemos visto en el capitulo anterior, la ecuación del movimiento sin
amortiguamiento es la siguiente:
mx  Kx  0
Fig. 6
Sin embargo, en casi todos los sistemas vibrantes aparecen fuerzas de fricción que
provocan una disminución de la amplitud con el tiempo (amortiguamiento de la
oscilación). La energía que se proporciona en un principio al sistema se va perdiendo
debido a las fuerzas de fricción, que en primera aproximación son proporcionales a las
velocidades de desplazamiento, pudiendo expresarse como:
Fa  c
dx
Amortiguamiento viscoso
dt
Teniendo en cuenta estas fuerzas, la expresión del movimiento quedará en este caso de
la siguiente forma:
mx  cx  Kx  0
I.7
La solución general de esta ecuación diferencial I.7 es de la forma:
x  e rt
I.8
En la cual r es una constante que debe ser determinada partiendo de la condición de que
la ecuación I.8 debe satisfacer a la ecuación I.7.
Reemplazando la I.8 en la I.7, nos queda
mr 2  cr  k  0
Cuyas raíces serán:
12
Acústica y vibraciones
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r1, 2 
 c  c 2  4mk
,
2m
y existirán tres casos posibles
1. Movimiento sobre amortiguado => c 2  4mk
La solución para este caso será:
x(t )  Ae r1t  Be r 2t
Los exponentes son ambos negativos y el movimiento será la suma de dos funciones
exponenciales negativas, y por lo tanto no tendremos movimiento oscilatorio. La fuerza
de amortiguamiento tendrá una magnitud tal que al desplazar la masa esta volverá a su
posición de equilibrio sin realizar oscilación alguna.
2. Movimiento críticamente amortiguado => c 2  4mk
Las raíces serán reales e iguales ( r1  r 2  r ) y la solución será:
x(t )  e rt ( A  tB )
Al igual que en el caso anterior la masa no describirá un movimiento oscilatorio. Este es
el caso limite entre el movimiento oscilatorio y el no oscilatorio, en el cual la amplitud
del movimiento decrece mas rápidamente que en el caso 1.
El valor de c que hace nulo al radical se conoce con el nombre de amortiguamiento
crítico del sistema c cr y vale:
ccr  4mk ,
Multiplicando y dividiendo por m , tenemos:
ccr  2m
k
 2m 0 .
m
Por otro lado, llamamos factor de amortiguamiento a la relación: AF 
c
J
ccr
3. Movimiento sub-amortiguado => c 2  4mk
En este caso las raíces serán imaginarias y valdrán:
r1, 2 
 c  i 4mk  c 2
,
2m
13
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y la solución será de la forma siguiente
x(t )  e

c
t
2m

 4mk  c 2
 A cos

2m



 4mk  c 2
t   Bsen


2m



t  ,


en este caso el amortiguamiento se ha reducido, lo cual produce que después de la
perturbación se produzca un movimiento oscilatorio con centro en la posición de
equilibrio hasta que finalmente el móvil se posiciona en esta (la amplitud decrece con el
tiempo).
Fig. 7
Fig. 8
14
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Movimientos oscilatorios forzados.
Cuando la fuerza que produce la oscilación permanece en el tiempo, el movimiento
oscilatorio se llama forzado. La fuerza aplicada, por ejemplo, puede responder a una
función sinusoidal o cosinusoidal del siguiente tipo:
P  P0 sen(t   ) , ó P  P0 cos(t   )
Donde P0 y  son constantes, y  es la pulsación con la que opera la perturbación
exterior, por ejemplo la velocidad angular del rotor de un motor.
La representación del sistema de un grado de libertad en estas condiciones se muestra en
la figura siguiente:
Fig. 9
En estas condiciones, aplicando el principio fundamental de la dinámica, la ecuación
diferencial del movimiento de la masa será:
mx  cx  kx  P0 sen(t  0)
mx  cx  kx  P0 sen(t  0)  0
I.9
Vale decir, que en estas condiciones la masa en movimiento no vibrará con la pulsación
propia o natural  0 , sino que lo hará con la pulsación  de la fuerza perturbadora
exterior. Pudiendo ser estas ultimas iguales o no iguales.
Antes de abordar el tema (oscilación forzada amortiguada), estudiaremos un sistema de
un grado de libertad sin amortiguamiento excitado por una fuerza exterior, cuya
ecuación del movimiento es la siguiente:
mx  kx  P0 sen(t )  0
I.10
Una posible solución de la ecuación I.10 es del tipo:
15
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x  Asen(t   )
I.11
Donde A y  son condiciones de referencia y  es la pulsación de la fuerza exterior.
Evaluando las derivadas de la solución I.11 con el fin de reemplazar en la ecuación I.10
del movimiento tenemos:
x  A cos(t   )
2
x   A sen(t   )
Con lo que la ecuación del movimiento nos queda:


m  A 2 sen(t   )  kAsen(t   )  P0 sen(t )  0
sen(t   )(kA)  (mA 2 )  P0   0
kA  mA 2  P0  0


A k  m 2  P0
A
P0
P0

2
2
k  m
m 0  m 2
I.12
Esta última ecuación nos da el valor de la amplitud máxima y mínima del movimiento,
podemos ver que si   0  A   , ya que:
k  02 m
Por lo que si   0  k  m 2  0 , a esta circunstancia se le llama “FENOMENO
DE RESONANCIA”.
Volviendo el caso del sistema amortiguado, en estos sistemas la solución es compleja e
incluye una componente transitoria (por tal motivo no analizaremos el caso en este
momento) pero si daremos la solución compleja del movimiento.

Solución compleja (Ver Fig. 9)
 (1  J  t    Bsen(t   )
x  Ae  J 0t sen
2
0
1
2
Si llamamos frecuencia natural amortiguada a  D  0 (1  J 2 )
Tenemos:
x  Ae  J 0t sen Dt  1   Bsen(t  2 )
16
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Fig. 10


Componente transitoria  Ae  J 0t sen Dt  1 
Componente estacionaria  Bsen(t  2 )
Oscilaciones propias en fluidos.
El movimiento de un fluido puede en circunstancias adecuadas, originar oscilaciones
sinusoidales. Consideremos por sencillez, un fluido que se mueve a lo largo de un
cilindro de sección S.
Vamos a estudiar la dinámica de una porción de fluido de espesor dx y de volumen S
dx, que aunque sea pequeño supondremos que contiene un gran número de moléculas.
Fig. 11
La masa del fluido en movimiento será:
dM  Sdx ,
Donde  es la densidad del fluido.
17
Acústica y vibraciones
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Con el fin de encontrar la ecuación de la dinámica de la porción de fluido que estamos
considerando, debemos hallar las fuerzas actuantes sobre el mismo.
Supongamos que P y P' son las presiones a la izquierda y a la derecha respectivamente
del elemento de volumen considerado, por lo tanto la fuerza serán:
Fx  PS
Fuerza a la izquierda
Fx'  P' S
Fuerza a la derecha
La resultante de las fuerzas sobre el elemento de volumen es entonces:
dFx  Fx'  Fx  P' S  PS  ( P' P)S
Antes de iniciarse el desplazamiento de las moléculas al producirse la perturbación, el
fluido se encuentra en reposo, por ejemplo las partículas de un gas están en promedio en
reposo aunque tengan un movimiento al azar, pero no hay movimiento del gas en
ninguna dirección, por lo tanto el desplazamiento de las partículas es cero, ósea al no
existir ninguna perturbación en el medio, la presión será constante en toda su extensión,
de valor Po, el volumen ocupado será Vo y el valor de la densidad o.
Sabemos que toda la fuerza que tiende a comprimir un gas, produce necesariamente un
desplazamiento de las partículas de este. Los valores definidos en el equilibrio, una vez
que se perturba el gas sufriendo una compresión, o un enrarecimiento, se verán
modificados de la siguiente manera:
La presión P0 tenderá a P  P0  p
El volumen V0 tenderá a V  V0  X
La densidad  tenderá a 1   0  
Definimos,
Cambio relativo de volumen = dilatación =>  D 
X
V0
Cambio relativo de densidad = compresión =>  C 
Luego tenemos,  D 

0
1
C
La presión incremental producida en el gas es directamente proporcional a la variación
incremental de volumen. Cuando la variación de volumen es lenta, la dilatación es
isotérmica, es decir hay tiempo para que el calor generado en el gas durante la dilatación
pueda pasar a otras partes del mismo, luego
18
Acústica y vibraciones
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P   KV
si definimos las propiedades elásticas de un gas en función de su compresibilidad,
definimos el módulo de compresibilidad como:
B
dP
dP
 V
dV
dV
V
B = Cambio relativo del volumen frente a una variación de la presión.
Este módulo tiene un valor diferente dependiendo de que la variación de volumen sea
lenta o rápida, en este último caso la temperatura varia al variar el volumen del gas, no
existiendo tiempo para que el calor se pierda, denominándose ahora la dilatación
adiabática P = -KV, estando la variación regida por la ecuación de dichas
transformaciones que es de la forma PV = cte. Si diferenciamos esta expresión
tenemos:
V dP +  P V-1 dV = 0
- V dP/dV =  P = BA
siendo el índice adiabático de los gases. Los valores BA y BT nos dan los módulos de
compresibilidad del gas, en los dos tipos de transformación anteriormente mencionadas.
Puesto que P = Po + p, tendremos P - Po = dP = p, y V - Vo = dV = X, por lo que
podremos escribir:
BA  
p
p

dV

V
o bien,
p = - BA
pero el volumen desplazado X de un fluido a través de una superficie transversal es:
X   ds
en el caso de que el desplazamiento sea normal a la superficie transversal y el mismo en
todos los puntos, podemos poner:
X=S
Luego:
dFx   B
X
BS
S 
( S )
V0
V0
19
Acústica y vibraciones
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luego aplicando el principio fundamental de la dinámica
movimiento será:
dFx  
F
x
 ma , la ecuación del
BS
d 2
( S )  ma   0 Sdx 2
V0
dt
donde  es el desplazamiento de las partículas, o bien:
 0 dx
d 2 BS

 0
V
dt 2
d 2
BS

 0
2
 0V0 dx
dt
I.13
Ecuación similar a la de oscilaciones libres de un sistema masa resorte de un grado de
d 2x K
libertad  2  x  0
m
dt
por lo que la pulsación propia del oscilador será en este caso:
0 
BS
 0V0 dx
I.14
Oscilaciones forzadas en fluidos.
Resonador de Helmholtz.
Los circuitos acústicos se aproximan con más ventajas a los circuitos eléctricos que a
los mecánicos, pues en los primeros tipos de circuitos es posible considerar
movimientos de partículas (electrones en el caso de los circuitos eléctricos y moléculas
de aire en el caso de circuitos acústicos).
Hemos visto que la fuerza y la velocidad de desplazamiento son los dos parámetros
principales de los sistemas mecánicos, correspondiendo a la tensión y a la corriente
eléctrica en los circuitos eléctricos y en los sistemas acústicos, la magnitud que
podemos medir mas fácilmente, sin modificación del circuito, es la presión acústica, que
es el exceso de presión que existe en un punto de un medio con relación a la presión en
equilibrio existente en dicho medio (p = dP = P - Po), siendo uno de los parámetros de
este tipo de sistemas; esta presión acústica es lo análogo a la tensión eléctrica en los
circuitos eléctricos; esta relación exige que consideremos la corriente eléctrica como lo
análogo a la velocidad de volumen o velocidad acústica U, que es el volumen de fluido
desplazado por segundo.
20
Acústica y vibraciones
Aplicaciones Industriales
Por lo tanto, tenemos que la cantidad que fluye por los elementos acústicos debe ser la
velocidad de volumen en m3/s, y la tensión en los elementos acústicos tiene que ser la
presión acústica p en N/m2.
Fig. 12
Generalmente las dimensiones de los diferentes elementos de un sistema acústico son
pequeñas frente a la longitud de onda sonora, cuando esto se cumple el movimiento del
medio en el sistema es análogo al que tiene un sistema mecánico con los elementos de
masa, elasticidad y resistencia (constante concentrada). El resonador de Helmholtz es un
sistema acústico análogo al oscilador mecánico.
Como vemos este sistema consiste en una cavidad rígida de volumen V, que está
comunicada con el medio externo a través de un pequeño cuello de radio r y longitud l,
siendo S el área de la sección transversal del cuello. El gas en el cuello puede
considerarse que se mueve como una unidad, de tal forma que suministra el elemento de
masa del sistema. La presión del gas en la cavidad del resonador cambia
alternativamente, siendo una compresión y una expansión, debido al flujo de gas que
atraviesa el cuello, haciendo que la presión aumente (compresión) y seguidamente la
presión disminuya (expansión), por lo que el volumen del gas de la cavidad actúa como
un resorte. El elemento resistivo del sistema, despreciando las fuerzas de viscosidad, se
debe a la radiación del sonido en la abertura, disipándose en forma de energía.
La masa efectiva del cuello del gas vale Me = o S l', siendo o la densidad del gas en
equilibrio, y l' la longitud efectiva del cuello, siendo l la verdadera longitud; el empleo
de la longitud efectiva se debe al fenómeno de que el gas se mueve mas allá del final del
cuello como una unidad (l' = l + 2 l = l + 16 r / 3).
Para determinar la elasticidad del sistema, necesitamos calcular la fuerza que actúa
sobre el área S del cuello, cuando el gas se desplaza una distancia ; por lo tanto el
incremento de presión que resulta cuando un volumen de gas X = S se mueve a través
del cuello, está dada por:
21
Acústica y vibraciones
Aplicaciones Industriales
p   B   B
dV

  BS
V
V
luego la fuerza que actúa sobre esta masa será:
S 2
F  pS   B
V
Por último, la resistencia de radiación, que provoca la disipación de energía, debido
principalmente a la energía radiada, esta dada por:
 0kS 2
2
donde
k = 2/
siendo  la longitud de onda, que es el espacio recorrido por la oscilación en un tiempo
igual a un período. Por lo tanto, el valor de la fuerza resistiva que es proporcional a la
velocidad de desplazamiento, será:
FR    0
k 2 d
S
2
dt
Una vez conocidos estos valores, la ecuación de movimiento del gas en un resonador, es
muy parecida a la que ya hemos estudiado para un sistema mecánico, suponiendo ahora
que el gas del oscilador está sometido a unas variaciones de presión sinusoidales (P = Po
cos t) a la entrada del cuello, por lo tanto toma un movimiento forzado cuya ecuación
es de la forma:
 0l ' S
d 2
k 2 d BS 2


S

  SP0 cos t
0
2
dt
V
dt 2
I.15
siendo Po la amplitud de la presión debida a la fuerza externa aplicada.
La velocidad de volumen estará dada por:
U
X ( S )


S
t
t
t
siendo X el volumen desplazado en el fluido.
Por consiguiente, si ponemos la ecuación de la dinámica del volumen desplazado,
tendremos:
 0l ' d 2 X
s
dt
2

 0k dX B
 X  P0 cos t
2 dt V
22
Acústica y vibraciones
Aplicaciones Industriales
o bien,
 0 l ' dU
s
dt

 0k
B
U   Udt  P0 cos t
2
V
la solución particular de esta ecuación fundamental, es de la forma:
U = Uo cos (t + )
donde Uo es la amplitud de la velocidad del volumen del movimiento vibratorio y  el
ángulo de fase entre la presión y la velocidad del volumen.
El valor de Uo y de  es:
U0 
P0
B 
  0k    0 l '


 

V 
 2   S
2
 0l '
2
B
V
tg  S
 ok
2

23
Acústica y vibraciones
Aplicaciones Industriales
II - ONDAS PLANAS LONGITUDINALES
Introducción.
Las ondas acústicas son una variedad de perturbaciones de presión que se propagan a
través de un fluido que puede comprimirse, es decir, una perturbación producida en un
punto de un medio elástico no queda localizada en ese punto, sino que se transmite a los
puntos próximos y así sucesivamente.
Cuando un desplazamiento se transmite a través de un medio elástico, se dice que es una
onda elástica que se propaga a través del mismo. Esta onda se llama progresiva para
diferenciarla de otros tipos de ondas, como por ejemplo las ondas estacionarias que
estudiaremos posteriormente. Llamamos foco o fuente al punto en el que se produce la
perturbación.
Si las perturbaciones de los diversos puntos materiales a los que se transmite el
movimiento están dirigidas según la recta en la que se produce la propagación de las
deformaciones, las ondas se llaman longitudinales.
El sonido es una perturbación que se propaga a través de un medio elástico a una
velocidad característica del mismo. Esta breve afirmación, cuando se convierte en
términos cuantitativos, contiene una gran cantidad de información científica que
constituye la base de la Acústica. Diremos que hay un sonido cuando la perturbación se
propaga a través de un medio elástico, causando una alteración de la presión o un
desplazamiento de las partículas del medio que pueda reconocerse por una persona o
por un instrumento.
La simple definición anterior del sonido sugiere que esta perturbación puede detectarse
por la medida de algunas magnitudes físicas del medio, que se perturba desde su valor
de equilibrio. Entonces, para que exista una onda en movimiento en un medio material,
este debe tener dos propiedades, inercia y elasticidad.


Inercia: es la propiedad que permite a un elemento del medio transferir la
perturbación a otro adyacente, esto tiene relación con la densidad del medio, es
decir la masa de un elemento.
Elasticidad: es la propiedad que produce una fuerza sobre un elemento
desplazado de su posición de equilibrio, tendiendo a volver a esa posición.
Uno de los cambios conmensurables más importantes que se realizan en un medio al
propagarse a través de él una onda, es la variación de presión por encima y por debajo
del valor de la presión ambiente, siendo esta variación incremental de presión lo que se
llama presión acústica.
Hay ondas en tres dimensiones cuyo estudio es más complicado que el de las ondas en
una o dos dimensiones. Las ondas que necesitan para su propagación un medio elástico,
pueden ser de varios tipos, las longitudinales que ya hemos mencionado anteriormente,
y que son aquellas en las que la dirección de desplazamiento de las moléculas
alrededor de su posición de equilibrio es la misma que la dirección de propagación de
24
Acústica y vibraciones
Aplicaciones Industriales
la perturbación; las transversales son aquellas en las que la dirección de propagación
es perpendicular a la dirección de desplazamiento de las partículas.
A partir de estos conceptos existen otras diferencias como son que las ondas
transversales sólo se pueden propagar en un medio sólido, pues en los fluidos al no
haber ninguna fuerza que se oponga al desplazamiento de las moléculas, unas sobre
otras, no existen las reacciones elásticas necesarias que tienden a llevar de nuevo la
partícula desplazada a su posición de equilibrio. Otra diferencia es que las ondas
transversales pueden polarizarse (vibran en un solo plano) y dispersarse, en cambio las
ondas longitudinales sólo pueden dispersarse.
El medio fluido.
Se llama medio al soporte imprescindible para la transmisión de una perturbación, es
decir el gas, líquido o sólido por el cual se propaga la misma. El fenómeno de la
propagación de una perturbación, se puede expresar en forma de una ecuación de onda,
combinando tres ecuaciones, una de ellas es la ecuación de Newton de la dinámica, las
otras dos representan dos propiedades del gas, ley de conservación de la masa y ley
fundamental del gas. Las ecuaciones de onda comunes excluyen la posibilidad de
disipación en el gas, debido a la viscosidad y la conducción de calor, así como una
pérdida de energía a través del cambio de calor, al movimiento rotacional de las
partículas y a los gradientes de temperatura. Si tenemos en cuenta todos estos factores,
es imprescindible el conocimiento de todas las propiedades básicas del medio.
Las propiedades del gas que determinan sus características como un medio acústico son:
densidad; presión; temperatura; calor específico; coeficiente de viscosidad;
conductividad térmica; y coeficiente de cambio de temperatura.
Densidad.
Es una magnitud que se puede medir en el medio, siendo la masa por unidad de
volumen, que en el caso de que el medio sea el aire, vendrá dada por:
 273  P  Kg 


3
 T  760  m 
  1.293
donde T es la temperatura absoluta en grados Kelvin y P es la presión barométrica en
milímetros de mercurio. Para la temperatura de 0º C presión de 0,76 m. de mercurio, la
densidad es = 1,293 Kg/m3, para una temperatura de 20 º C y una presión de 0,76 m.
de mercurio, el valor de la densidad es o = 1,21 Kg/m3.
25
Acústica y vibraciones
Aplicaciones Industriales
DENSIDADES DE LOS GASES MÁS COMUNES
Densidad en kg / m3 a 273º K y 0,76 m de Hg
Gas
Aire
1,2929
Argón
1,7837
Dióxido de carbono
1,9769
Monóxido de carbono
1,2504
Helio
0,17847
Hidrógeno
0,08988
Neón
0,90035
Óxido nítrico
1,3402
Nitrógeno
1,25055
Óxido nitroso
1,9778
Oxígeno
1,42904
Vapor saturado (100º C)
0,598
Presión barométrica en mm de mercurio
26
Acústica y vibraciones
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Presión.
La constante elástica de un gas depende del método de compresión. Toda fuerza que
tiende a comprimir un gas produce necesariamente un desplazamiento de las partículas
de éste. El incremento de presión producido en el gas es directamente proporcional a la
variación incremental del volumen. La presión se define como la fuerza del gas sobre la
unidad de superficie, la presión atmosférica para una columna de mercurio de 760 mm.
de altura, con el mercurio a una temperatura de 0º C es:
Po = 1,01325 A 106 dinas/cm2 = 1,01325 A 105 N/m2 = 1,033 Kg/cm2 = 1 atm.
Calor especifico.
Es la capacidad calorífica por unidad de masa, siendo cp el calor específico a presión
constante y cv el calor específico a volumen constante, siendo  el índice adiabático que
es la razón entre cp y cv, la unidad es el julio por kilogramo y grado Kelvin.
Viscosidad.
En los fluidos en movimiento aparecen fuerzas que se oponen al movimiento relativo
entre capas contiguas, y que se denominan fuerzas de viscosidad, originando la
disipación de energía en el fluido, y por lo tanto, su calentamiento. Las fuerzas de
viscosidad son proporcionales a las superficies en contacto y al gradiente de velocidad,
llamándose a la constante de proporcionalidad coeficiente de viscosidad que depende
de la naturaleza del fluido, aumentando en los gases al aumentar la temperatura, la
unidad es el N·s/m2.
Conductividad térmica.
Es un fenómeno de transferencia de calor de una región de mayor temperatura a otra a
menor temperatura, es decir, las moléculas calientes ceden energía a las moléculas frías.
La conductividad calorífica viene determinada por una constante de proporcionalidad
que se denomina conductividad calorífica, y que es la relación entre la velocidad a la
que fluye el calor y el gradiente de temperatura, la unidad es (cal/s)/(º C/cm).
Viscosidad cinemática.
Es el cociente entre la viscosidad y la densidad, se representa por υy su unidad es
cm2/s.
Difusibilidad térmica.
Es el cociente entre la conductividad calorífica y el producto de la densidad por el calor
específico a volumen constante, es decir:
27
Acústica y vibraciones
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

 0 cv
sus dimensiones son cm2/s.
Ecuación de la propagación de las ondas planas.
En la figura siguiente se muestra el valor de la perturbación en el instante t = 0, como
una desviación del valor en equilibrio, en función de la coordenada espacial x.
Fig. 13
La forma de la onda es un impulso de amplitud determinada, entre las coordenadas
espaciales x = x1 y x = x2, en el resto el valor de la perturbación es cero.
Supongamos que esta perturbación se propaga en el sentido positivo de las X, con una
velocidad de c unidades por segundo. Después de un tiempo t, transcurrido desde el
instante inicial, el impulso se encontrará en una nueva posición. Como podemos ver el
impulso tiene la misma amplitud que antes, puesto que se supone que no existe pérdida
de energía en el medio, así como la misma anchura, ya que no hay expansión de la onda.
Se ve con claridad que la propagación debe realizarse sin distorsión, por lo que la forma
de la onda en x = x1 + ct en el instante de tiempo t, debe ser igual a la que tenía en el
instante t = 0 en el punto x = x1. Una función que satisface estas condiciones y que
combina las dos variables (tiempo y espacio), es de la forma f(ct - x).
Como puede verificarse para los valores t = 0 y x = x1, la función toma el valor f (-x1),
de igual forma para el punto x2, por lo que la conclusión es totalmente general.
Entonces toda función que combina las dos variables, espacial y temporal, y es de la
forma f (ct - x) representa una onda que se propaga en la dirección X en sentido positivo
y a una velocidad de c unidades por segundo. En el caso de que la onda se propagase en
sentido negativo de la dirección X, encontramos que la forma general de la función será
ahora f (ct + x).
Vamos a tratar de encontrar la ecuación de propagación de las ondas planas a través de
un medio infinito.
28
Acústica y vibraciones
Aplicaciones Industriales
La ecuación general de propagación de las ondas planas a través de un medio puede
obtenerse a partir de la ley de Newton aplicada en una cuerda elástica. (Ver apéndice A)
2
 2
2  

c
t 2
x 2
II.1
donde  es el desplazamiento de la partícula desde la posición de equilibrio a lo largo
del eje X; la coordenada de una partícula desde la posición inicial (en el instante t = 0)
está dada por x; v es la velocidad vibratoria de la partícula y c la velocidad de
propagación de la onda.
La solución general de la ecuación diferencial II.1 puede expresarse como la suma de
dos soluciones particulares:
 (x,t) = f (ct - x) + g (ct + x)
II.2
siendo f y g dos funciones arbitrarias diferentes. La solución de la ecuación diferencial
es la combinación de dos ondas que viajan en la misma dirección y sentidos opuestos
con una velocidad c llamada velocidad de fase o velocidad de propagación de la onda,
y que es constante para cada medio, dependiendo de las características del mismo.
Propagación de ondas planas longitudinales en sólidos.
El mecanismo de propagación de ondas que hemos visto, pone en evidencia el juego de
las propiedades de elasticidad e inercia del medio. Cuanto mayor sea esta última, mayor
será el tiempo necesario para que la fuerza deforme el medio. Cuanto mayores sean los
módulos de elasticidad y de rigidez del mismo, mayores serán las fuerzas elásticas
estimuladas por las deformaciones.
Fig. 14
Consideremos una barra uniforme de longitud infinita, con una sección transversal de
área S, que se somete a fuerzas longitudinales. La aplicación de estas fuerzas produce
unos desplazamientos longitudinales de las partículas de la barra  siendo el
desplazamiento el mismo para todos los puntos de una sección transversal. Si las
fuerzas son constantes, el desplazamiento de una partícula es independiente del
29
Acústica y vibraciones
Aplicaciones Industriales
tiempo, siendo solo función de la distancia x. Si las fuerzas varían, en este caso  es
función de x y de t, o sea  =  (x,t).
Consideremos un elemento de la barra, comprendido entre las distancias x y x + dx;
supongamos que las fuerzas se aplican en la dirección X de los planos localizados en x y
en x + dx, originando un desplazamiento hacia la derecha en x y + d en x + dx. Por
convenio de signos, se considerarán positivos los desplazamientos hacia la derecha y
negativos hacia la izquierda.
Si suponemos que la distancia dx es pequeña, el desplazamiento  + d se puede
representar por los dos primeros términos del desarrollo en serie de Taylor del
desplazamiento 
II.3
por tanto, el extremo izquierdo del elemento de la barra ha sufrido un desplazamiento 
mientras que el derecho ha sido  + d), luego el incremento de longitud de este
elemento será:
II.4
Ahora el alargamiento relativo de este elemento se define como la relación entre el
incremento de su longitud y su longitud original:
puesto que el desplazamiento  es función de x y de t, es por lo que se emplean
derivadas parciales en vez de derivadas totales.
Al variar las dimensiones del elemento se producen unas fuerzas elásticas
longitudinales, en los dos planos situados en x y x + dx, que serán Fx (x,t), considerando
esta fuerza positiva si es una compresión y negativa si es una tensión. El esfuerzo de la
barra se define como:
y aplicando la ley de Hooke, tenemos que el módulo de Young que es la constante de
elasticidad del medio sólido viene dada por:
30
Acústica y vibraciones
Aplicaciones Industriales
para un esfuerzo positivo se tiene una variación de longitud negativa, y al contrario. La
ecuación anterior podemos escribirla de la forma:
II.5
que es la expresión de las fuerzas internas longitudinales en la barra.
En el caso estático, la variación de longitud permanece constante a través de la barra, y
la fuerza Fx es constante, en el caso dinámico, la variación de longitud y Fx varían a lo
largo del segmento dx. Si Fx representa la fuerza interna longitudinal en x, y Fx + dFx la
fuerza en x + dx, al aplicar la ecuación de la dinámica al elemento comprendido entre
las dos secciones transversales, la fuerza resultante será:
y de acuerdo con II.5 nos queda:
II.6
que será igual a la masa d = S dx, siendo la densidad del sólido, S el área de la
sección transversal de a barra y la aceleración  2  t2, por lo que sustituyendo nos
queda:
simplificando será:
II.7
que vemos es la ecuación de propagación de las ondas planas longitudinales a través de
un sólido, y comparándola con la ecuación de ondas planas dada en el apartado anterior,
observamos que la velocidad de la onda será:
31
Acústica y vibraciones
Aplicaciones Industriales
CARACTERÍSTICAS DE MATERIALES SÓLIDOS
Densidad 
Módulo
Young
Material
Módulo
cortadura
Velocidad
de fase
Impedancia
característica
(Kg / m3)
E (N /
m2)
G (N / m2)
c (m / s)
 0 c (rayls)
Aluminio
2.700
7,1·1010
2,4·1010
5.150
13,9·106
Bronce
8.500
10,4·1010
3,8·1010
3.500
29,8· 106
Cobre
8.900
12,2·1010
4,4·1010
3.700
33,0·106
Hierro
7.700
10,5·1010
4,4·1010
3.700
28,5 106
Níquel
8.800
21·1010
8·1010
4.900
43·106
Plata
10.500
7,8·1010
2,8·1010
2.700
28,4 106
Acero
7.700
19,5·1010
8,3·1010
5.050
39·106
Cristal
2.300
6,2·1010
2,5·1010
5.200
12·106
Cuarzo
2.650
7,9·1010
3,9·1010
5.450
14,5 106
Hormigón
2.600
_
_
3.100
8·106
Hielo
920
_
_
3.200
2,95·106
Corcho
240
_
_
500
0,12·106
Encina
720
_
_
4.000
2,9·106
Pino
450
_
_
4.00
1,57·106
Caucho
1.000
_
_
3.500
15·106
Antimonio
6.600
7,8·1010
_
1.550
22·106
Berilio
1.800
26 ·1010
_
3.400
21,6·106
Bismuto
9.700
3,19·1010
_
12.000
17·106
Cadmio
8.600
5,3·1010
_
1.800
21,5·106
Cobalto
8.700
19·1010
_
2.500
41·106
Oro
19.300
8·1010
_
2.000
39·106
Iridio
22.400
52·1010
_
4.700
105·106
32
Acústica y vibraciones
Aplicaciones Industriales
Plomo
11.300
1,7·1010
_
1.200
13·106
Magnesio
1.700
4 ·1010
_
4.800
8,2·106
Zinc
7.100
8,2·1010
_
3.400
24·106
Paladio
1.200
12·1010
_
3.200
38·106
Platino
21.400
17·1010
_
2.800
60·106
Tantalo
16.600
19·1010
_
3.400
56·106
Estaño
7.300
4.5·1010
2.500
18.106
Propagación de ondas planas longitudinales en fluidos.
Las ondas se propagan también en los fluidos, pero para limitar la propagación a una
sola dirección, se necesita que el líquido o gas se encierre en un conducto largo para
poder considerarlo indefinido, estando uno de los extremos cerrado por un pistón. Si el
pistón efectúa un pequeño desplazamiento hacia la derecha, las porciones de fluido
adyacentes a él se comprimen, propagándose una onda de compresión en la dirección
del eje del tubo. Si el pistón se desplaza hacia la izquierda lo que se propaga es una
onda de dilatación (Ver figura 15)
Fig. 15
Sabemos que las moléculas de un fluido que parece en reposo, no tienen posiciones
medias bien definidas, como los átomos de un sólido. Las moléculas en un fluido se
desplazan constantemente al azar, pero el número de moléculas contenidas en una
porción no perturbada estadísticamente es siempre el mismo, quedando la densidad y el
volumen específico del fluido constante en los dominios que contienen un número
suficiente de moléculas.
El paso de una onda elástica superpone un movimiento a los movimientos desordenados
de las moléculas, y podemos hablar de desplazamiento, velocidad y aceleración de un
elemento de volumen. El término partícula en fluidos se refiere a un elemento de
33
Acústica y vibraciones
Aplicaciones Industriales
volumen lo suficientemente grande para que contenga millones de moléculas, y el fluido
se considere continuo, con el fin de que las variables acústicas presión, densidad y
velocidad se puedan considerar constantes en el elemento de volumen. Vamos a tratar
de encontrar la ecuación de propagación de las ondas planas a lo largo del eje X en un
medio fluido, para lo cual emplearemos los siguientes símbolos:
densidad instantánea en un punto,
 densidad en estado de equilibrio en el medio,
 compresión en un punto =>  C 

0
,
P  presión instantánea en un punto,
Po presión en estado de equilibrio en el medio,
p  presión acústica en un punto.
En el estudio de la propagación se consideran despreciables las fuerzas de gravitación, y
que  y Po son constantes en todo el medio. El medio lo supondremos homogéneo,
isótropo y perfectamente elástico, es decir, no habrá fuerzas de disipación, tales como
las debidas a la viscosidad, al calor de conducción, etc.
Fig. 16
Así mismo, se considerará que las ondas tienen una amplitud relativamente pequeña y
que por lo tanto, los cambios de densidad en el medio son pequeños comparados con su
valor de equilibrio. Como ya hemos visto los desplazamientos son función de la
posición y del tiempo. Como consecuencia de estos desplazamientos se producen unos
cambios de densidad en el medio, que están relacionados mediante una ecuación. Para
encontrar esta ecuación, aplicamos el principio de conservación de la masa a una
sección transversal del fluido de área S que no está perturbada, como la porción de
fluido comprendido entre las secciones de coordenadas x y x + dx, siendo la masa
Sdx. Después de la propagación de la onda plana longitudinal, la sección de
coordenada x se desplaza una distancia  siendo ahora R, y la de coordenada x + dx
34
Acústica y vibraciones
Aplicaciones Industriales
pasa a ser R’ desplazándose una distancia + d (Fig. 16). La densidad del fluido
contenido entre los planos R y R' ha cambiado, siendo ahora el valor de la masa
S(dx+d), y como la misma permanece constante, podemos escribir:
II.8
y recordando que la compresión en un punto es el cambio relativo de densidad:
o bien:
  (1 + )
II.9
luego a partir de ecuación II.8 y la II.9, obtenemos:
Puesto que los cambios de densidad y los desplazamientos se han supuesto pequeños,
podemos despreciar el producto ·x), quedando la ecuación simplificada:
II.10
ésta es la denominada ecuación de continuidad en un fluido.
Para encontrar la ecuación de propagación de las ondas planas longitudinales en un
fluido, se utiliza una propiedad termodinámica que nos relaciona los cambios de presión
y de densidad, y que depende del proceso, si éste es isotermo en un gas perfecto:
(p/po) = (/o)
mientras que si el proceso es adiabático:
(p/po) = (/o)
Debemos decidir cuál de estos dos procesos termodinámicos es más apropiado para las
expansiones y compresiones que se producen en el pequeño elemento de volumen Sdx,
cuando se le perturba mediante una onda acústica. En general, la compresión de un
elemento de volumen en un fluido supone un trabajo que se convierte en energía
calorífica, aumentando por lo tanto la temperatura del proceso a menos que el mismo
sea tan lento que esta energía pueda pasar al fluido que rodea al elemento de volumen.
Cuando a través de un fluido se propagan ondas acústicas, los gradientes de temperatura
entre compresiones y expansiones adyacentes del fluido son pequeños. Por
consiguiente, el pequeño flujo de energía calorífica sale de una parte comprimida del
35
Acústica y vibraciones
Aplicaciones Industriales
fluido, siempre que la compresión no sea demasiado grande, pudiendo decirse que el
proceso termodinámico es adiabático, aplicándose el mismo a los cambios de presión y
densidad en un fluido.
Supondremos que este razonamiento se puede aplicar a todos los fluidos, es decir, tanto
líquidos como gases, representando el proceso adiabático por la ecuación simbólica
P=P(. Si diferenciamos esta ecuación tendremos:
donde (dP/d)o es la pendiente medida en el punto de coordenadas (Po,o), de un gráfico
adiabático de variación de presión con la densidad. Para pequeños cambios en las ondas
acústicas, la variación incremental de presión dP puede reemplazarse por la presión
acústica p, y la variación incremental de densidad d por o, por tanto podemos
escribir la ecuación anterior de la forma:
y haciendo:
tenemos:
p = o c2 
ecuación que relaciona la presión acústica y la compresión. Si sustituimos el valor de 
dado por la ecuación de continuidad en un fluido en la ecuación precedente nos queda:
II.11
si comparamos, vemos la analogía existente entre las ondas planas longitudinales en un
sólido y en un fluido.
Como consecuencia de la deformación que ha experimentado el fluido, aparecen
presiones sobre las dos secciones del elemento de fluido considerado, con lo cual las
fuerzas externas que actúan sobre dicho elemento dan una resultante en la dirección X
positiva de valor:
II.12
36
Acústica y vibraciones
Aplicaciones Industriales
no se han tenido en cuenta las fuerzas debidas a la presión en equilibrio Po. Esta fuerza
actuará sobre el elemento de masa Sdx, por lo que la ecuación de la dinámica será:
II.13
combinando esta ecuación con la ecuación 3, con el fin de poder eliminar p o 
respectivamente, nos queda:
II.14
o
II.15
como las dos formas particulares de la ecuación de las ondas planas acústicas.
Podemos también encontrar una ecuación análoga para las variables velocidad de la
partícula:
II.16
y compresión
II.17
La constante c representa la velocidad con la que las ondas acústicas se propagan a
través del fluido, cuyo valor está dado por:
estando dado el valor (dP/d) para un proceso adiabático en condiciones de equilibrio
de presión y densidad.
Las propiedades características de un medio dependen de la naturaleza elástica, así
como de las variables termodinámicas temperatura, presión y densidad, siendo
independiente de la frecuencia y de la amplitud de la presión o del desplazamiento, para
ondas acústicas normales.
Cuando una onda acústica se propaga a través de un gas, la ley adiabática del mismo
puede expresarse:
37
Acústica y vibraciones
Aplicaciones Industriales
P = K· 
donde  = cp/cv es el índice adiabático y K una constante. Si diferenciamos (3.25) nos
queda:
si ahora tomamos estos valores para las condiciones de equilibrio Po, obtendremos:
II.18
si sustituimos estos valores en el equilibrio:
= 1,402
Po = 1,013 · 105 N/m2
 = 1,293 Kg/m3
obtenemos que para 0º C de temperatura del aire, la velocidad de propagación de la
onda será:
La relación Poo para los demás gases es aproximadamente independiente de la presión,
y si la atmósfera es homogénea e isotérmica, la velocidad podría ser independiente de la
altitud. Una expresión general de la ley de los gases es (PV = n·R·T):
siendo r una constante diferente para cada gas y T la temperatura del gas en grados
Kelvin (T = 273 + tº C), por lo tanto, podemos escribir la velocidad de la forma:
donde R es la constante universal de los gases y M es el peso molecular. Esta expresión
se puede aplicar al aire aunque se ha obtenido para los gases perfectos. El valor de la
velocidad a una temperatura cualquiera, con relación a la velocidad a 0 º C será:
38
Acústica y vibraciones
Aplicaciones Industriales
y dividiendo estas dos expresiones:
y si hacemos un desarrollo en serie y aproximamos:
y sustituyendo el valor de co nos queda:
ct = 331,6 + 0,6t (m/s)
Una predicción de la velocidad de fase de las ondas en líquidos es más difícil que en los
gases. Podemos encontrar una expresión análoga a la ecuación II.18, para los líquidos,
recordando que:
B
dP
dP
 V
dV
dV
V
entonces,
II.19
sabemos que B es el módulo de compresibilidad del líquido, dependiendo la velocidad
de fase también de la presión y temperatura del líquido. Existe una ecuación empírica
que nos da la velocidad del sonido en agua destilada como una función de la
temperatura a una presión de una atmósfera:
c = 1.403 + 5 t - 0,06 t2 + 0,0003 t3 (m/s)
siendo t la temperatura del agua en grados centígrados. La velocidad aumenta debido a
factores adicionales tales como la salinidad y presión.
La solución de la ecuación
39
Acústica y vibraciones
Aplicaciones Industriales
es de la forma:
 (x,t) = f (ct - x) + g (ct + x)
Veamos la relación que existe entre la compresión y la velocidad con que se desplazan
las partículas en el fluido, considerando de la solución solo la f (ct - x), siendo:
II.20
II.21
por lo que si dividimos estas dos expresiones:
Solución armónica de la ecuación de ondas planas
Como hemos visto en la descripción de la propagación de ondas planas, la ecuación:
(x,t) = f (ct - x) + g (ct + x)
solución de la ecuación diferencial en derivadas parciales de las ondas longitudinales,
describe la propagación de una perturbación, que está representada por la función f(x),
sin distorsión, a la largo del eje X, hacia la derecha, con velocidad c y por otra funcion
g(x), sin distorsión, a la largo del eje X, hacia la izquierda también con velocidad c.
Tomemos en principio para realizar el desarrollo solo la parte de la ecuación que
describe la propagación de la onda positiva (hacia la derecha del eje de las X)
(x,t) = f (ct - x)
Por otro lado, muchos movimientos que se producen en la naturaleza se explican
mediante una ecuación que contiene la función seno o coseno (funciones armónicas).
Por lo tanto, el tipo más importante de solución es el que expresa el movimiento de las
partículas del fluido como una función de ondas armónicas.
La función seno/coseno es periódica (periódicamente, al aumentar t, varía entre +1 y -1)
y se repite cuando el argumento se incrementa en , por lo tanto para que esto suceda,
se debe dar que:
numero de onda  k 
2

40
Acústica y vibraciones
Aplicaciones Industriales
siendo la longitud de onda, que es el espacio recorrido por la onda con velocidad c en
el tiempo de un período, o sea:
  cT
estando relacionado  con k por la expresión:
c

k
Entonces, considerando la repetición de la función seno/coseno, la solución nos
quedaria de la siguiente manera:
 ( x, t )   m cos k (ct  x)
 ( x, t )   m cos(kct  kx)
k
 ( x, t )   m cos( t  kx)
k
 ( x, t )   m cos(t  kx)
Este concepto de solución armónica carece de aplicación practica, ya que todas las
ondas sonoras y ruidos en la practica son funciones complejas de ondas (espectros) Ver
Fig. 17.
Fig. 17
41
Acústica y vibraciones
Aplicaciones Industriales
Por lo tanto, podríamos definir las ondas en forma compleja con ayuda de las series de
Fourier, es decir, sabemos que toda onda compleja periódica puede descomponerse en
sus armónicos y entonces:
 ( x, t )  A1 cos(t  1 )  A2 cos(2t   2 )  ...  An cos(nt   n ) 
n
n
1
1
  An cos(nt   n )   C n e i (t  )
donde
C  Amplitud compleja
An  Amplitud de la n armónica
 n  Fase de la n armónica
Si expresamos en forma compleja la solución competa, tendremos:
 ( x, t )  A e j (t kx )  B e j (t kx )
II.22
donde A es la amplitud de desplazamiento compleja de una onda plana de frecuencia 
y número de onda k viajando en dirección positiva del eje X con una velocidad c, y B
es la amplitud de una onda análoga viajando en la misma dirección y sentido negativo
de las X.
Veamos las magnitudes fundamentales que intervienen en la propagación de una onda
plana longitudinal de período T, velocidad de fase c y longitud de onda en la dirección
del eje X, que son:
presión acústica  p    0 c 2
compresión 
 
velocidad vibratoria 

 j 0 c ( A e j (t kx )  B e j (t  kx ) )
x

 jk ( A e j (t kx )  B e j (t  kx ) )
x
v

 j ( A e j (t kx )  B e j (t  kx ) )
x
II.23
II.24
II.25
Estas relaciones complejas nos muestran que cuando las ondas planas viajan en la
dirección positiva de X, la presión acústica, la compresión y la velocidad vibratoria de
la partícula están en fase y desplazadas 90º con relación al desplazamiento. Por otra
parte, cuando las ondas planas viajan en la dirección negativa de X, la velocidad de la
partícula conduce al desplazamiento mediante un giro de 90º, y a la compresión y
presión mediante otro giro de 90º La diferencia de fase entre las variables acústicas para
ondas que se mueven en la misma dirección y sentidos opuestos, se debe al hecho de
42
Acústica y vibraciones
Aplicaciones Industriales
que la presión y la compresión son magnitudes escalares, mientras que la velocidad y el
desplazamiento son magnitudes vectoriales. (Ver figura 18)
Debemos hacer notar que independientemente de la dirección de propagación, un
máximo de presión y compresión está asociado con un máximo de la velocidad de la
partícula en la dirección de propagación de la onda, y las tres conducen a un
desplazamiento máximo con un ángulo de fase de 90º Los valores instantáneos de las
variables acústicas serán la parte real de las diferentes relaciones, que en el caso de que
las constantes A y B sean reales, nos dan:
  A cos(t  kx)  B cos(t  kx)
v  Asen(t  kx)  Bsen(t  kx)
  kAsen(t  kx)  kB(t  kx)
p    0 cAsen(t  kx)   0 csen(t  kx)
Fig. 18
a. Viajando en direccion positiva de X
b. Viajando en direccion negativa de X
Densidad de energía de ondas planas
La llegada de una onda sobre una partícula, le suministra a ésta una energía que procede
de la fuente. El transporte de energía de una onda en cada porción del fluido se presenta
bajo las formas cinéticas debido al movimiento de las partículas, y potencial inherente a
la compresibilidad del fluido.
Considerando un pequeño elemento de volumen, como el de la Fig. 16., de espesor dx y
en el que todas las partículas de ese elemento de volumen tienen la misma velocidad
vibratoria, su energía cinética será:
Ec 
1
 0V0 v 2
2
43
Acústica y vibraciones
Aplicaciones Industriales
siendo Vo el elemento de volumen del fluido sin perturbar, y de valor S·dx.
Como el fluido se comprime y se expande durante la transmisión de una onda acústica,
el volumen V de este elemento variará de acuerdo con la ecuación:
  
V  V0 1 

x 

II.26
El cambio de la energía potencial, asociada con este cambio de volumen está dado por:
E p   pdV
II.27
el signo negativo se debe a que la energía potencial aumenta con el trabajo realizado
sobre el elemento, cuando su volumen disminuye por la acción de una presión acústica
positiva. Por otro lado, es necesario para integrar la ecuación anterior expresar todas las
variables en términos de una única variable, como puede ser la presión acústica p. A
partir de la ecuación II.11, la ecuación II.26 se puede escribir:

p 

V  V0 1 
2 
 0c 
diferenciando la misma:
dV  
V0 dp
0c 2
y sustituyendo este valor en la II.27, e integrando desde una presión acústica 0 hasta p
obtenemos:
E p 
V0
0c 2
p
 pdp 
0
1 p2
V0
2 0c 2
La energía acústica total del elemento de volumen es:
E  Ec  E p 

1
p2 
 0V0  v 2  2 2 
2
0 c 

II.28
y la densidad de energía en J/m3 es:
e
E 1  2
p2 
  0  v  2 2 
V0
2 
0 c 
II.29
44
Acústica y vibraciones
Aplicaciones Industriales
Para obtener el valor instantáneo de la densidad de energía asociada con las ondas que
viajan en los sentidos positivo y negativo de la dirección X, es necesario sustituir los
valores de v y p dados por II.23 y II.25 (o las correspondientes ecuaciones reales) en la
ecuación II.29. Sin embargo, este cálculo se puede simplificar, si las dos ondas planas
se consideran separadamente. Por ejemplo, cuando una onda plana viaja en la dirección
positiva de X, si comparamos las expresiones II.23 y II.25 vemos que p = o c v, luego:
e+ = o v2+
II.30
donde el subíndice + indica que la onda viaja en la dirección positiva de X. Por otra
parte, cuando la onda viaja en la dirección negativa de X, p = -o c v, y además:
e- = o v2-
II.31
La densidad de energía instantánea correspondiente a las dos ondas planas, es por
consiguiente:
e = e+ + e- = o (v2+ + v2-)
II.32
La velocidad instantanea de la particula correspondiente a un onda progresiba plana
viajando en la direccion de x positiva es una funcion de la posición y del tiempo, y
consecuentemente la densidad de energia no es constante a traves del medio. El
promedio será:
T
et 
1
e dt
T 0
Por lo que:
e 
t

 0 v 2
2
II.30.1
Intensidad acústica
Se define intensidad acústica como el valor medio del flujo de energía que atraviesa un
área unitaria normal a la dirección de propagación de la onda. [Potencia/Área – W/m²].
I
1 E
A t
II.33
I
1 E x
E
c
 ce
A x t
V
II.34
Teniendo en cuenta la II.30.1
c 0 v 2
I
2
45
Acústica y vibraciones
Aplicaciones Industriales
pero v 
p2
p
 I
20c
0c
II.35
Impedancia acústica especifica
La relación entre la presión acústica en un medio y la velocidad de la partícula se define
como impedancia acústica específica z del medio, para cada tipo particular de onda
presente. El valor de la impedancia acústica específica para ondas que viajan en la
dirección positiva de X es:
z 
j c 
p
 0
 0c
v
j 
II.36
y para ondas planas viajando en la dirección negativa de X:
z 
p   j 0 c 

 0c
v
j 
II.37
Como vemos la impedancia acústica específica para las ondas planas viajando según
una dirección, es una magnitud real de valor oc, la unidad en el sistema MKS es
Kg/(s·m2) denominada ohmio acústico3.
Escala de decibeles
Es frecuente en el trabajo experimental al estudiar los fenómenos acústicos, en vez de
utilizar las magnitudes presión e intensidad acústica, el emplear escalas logarítmicas
como niveles acústicos. Esto se debe al rango de presiones e intensidades acústicas con
el que frecuentemente se trabaja, por ejemplo para el rango audible la intensidad varía
desde 10-12 a 10 w/m2, por lo que se usa una escala logarítmica con el fin de comprimir
este rango de intensidades tan amplio. Otra razón se debe a que el oído humano desde el
punto de vista subjetivo tiene una respuesta de tipo logarítmico y no lineal, cuando
percibe una perturbación acústica. Debido al empleo en acústica de niveles de tipo
logarítmico es por lo que los términos multiplicativos que aparecen en las ecuaciones
fundamentales, son términos aditivos en las ecuaciones logarítmicas correspondientes.
La escala logarítmica usada más comúnmente para describir niveles acústicos, es la
escala de decibeles (dB). El nivel de intensidad LI, de una intensidad I se define como:
 I
LI  10 log
 I REF

dB

II.38
en el aire IREF = 10-12 w/m2 es la intensidad de referencia.
3
Teniendo en cuenta esto, la ecuación de la intensidad acustica
donde
I
p2
, es la ley de Ohm acustica,
0c
 0 c equivale a la resistencia, I es la corriente y p 2 el equivalente de tension.
46
Acústica y vibraciones
Aplicaciones Industriales
Puesto que la intensidad y la presión eficaz están relacionadas para las ondas planas,
podemos escribir:
 p 
dB
L p  20 log
 p REF 
II.39
donde pREF = 0,00002 N/m2 es la presión de referencia que se emplea para calcular los
niveles de presión acústica en el aire.
Otro término es el nivel de potencia acústica dado por:
 P
LP  10 log
 PREF

dB

II.40
donde PREF = 10-12 w.
Una relación de 10 en la potencia corresponde a una diferencia de nivel de 10 dB
igualmente una relación de 100 equivale a una diferencia de 20 dB. Las relaciones de
niveles de potencia menores que 1 son audibles, significando que los niveles son
negativos, como por ejemplo, una relación de potencias de 0,1 equivale a una diferencia
de –10 dB. Como vemos la magnitud del nivel de potencia acústica nunca se debe
indicar sin especificar el valor de la potencia de referencia utilizada. No debemos
confundir el nivel de potencia con el nivel de intensidad, ya que el nivel de potencia está
relacionado logarítmicamente con la potencia total radiada por la fuente.
Nivel de los sonidos
Un sonido de determinada naturaleza parece tanto más fuerte, cuanto mayor sea la
amplitud de las vibraciones en la proximidad del oído. Cuando nos alejamos de la
fuente sonora la intensidad del sonido disminuye de una forma inversamente
proporcional con la distancia, cuando el sonido se emite en un medio homogéneo,
isótropo y no absorbente, propagándose en forma de ondas esféricas.
Como ya hemos visto, una fuente sonora emite una energía que se transmite a través de
cada región del medio que rodea a la fuente, en el caso de que no existan pérdidas en el
medio, toda la potencia radiada por la fuente, deberá atravesar a una superficie que
envuelva a la misma. Si la fuente sonora es unidireccional, la potencia es igual al
producto del la intensidad por el área de la superficie que la rodea, si la fuente sonora es
direccional, la energía emitida se calculará por integración. La intensidad sonora es
difícil de medir haciéndolo generalmente con la presión sonora en un número suficiente
de puntos de la superficie esférica que envuelve a la fuente.
Si mantenemos constante la frecuencia y cambiamos la intensidad, este cambio debe
tener un cierto valor para detectarlo el oído. Si la intensidad es I y la variación I, el
porcentaje del cambio será I/I y su mínimo valor para que el oído lo distinga se
denomina sensibilidad diferencial para las intensidades. Esta sensibilidad es casi
constante e independiente del valor de la intensidad dentro de un amplio margen de
frecuencias. (Ver Fig. 19)
47
Acústica y vibraciones
Aplicaciones Industriales
En la zona en la que el umbral diferencial de intensidad es prácticamente constante, la
variación relativa I/I corresponde a una variación del nivel de intensidad percibido
mediante la expresión dada por Weber:
I L

I
K
II.41
que fue modificada posteriormente por Fechner, adoptando la forma
L = K log I
II.42
La experiencia pone de manifiesto que las variaciones de intensidad de un sonido no
son proporcionales a las variaciones de nivel de intensidad que recibimos, estas siguen
la ley de Weber-Fechner, que establece que la magnitud de un nivel es proporcional al
logaritmo del estímulo que lo provoca, aunque sólo sea aproximadamente exacta, en la
región de intensidades y frecuencias medias. El carácter logarítmico del nivel respecto
al estímulo supone un crecimiento muy reducido para grandes incrementos de la
intensidad sonora. De acuerdo con la relación obtenida por Weber-Fechner, tenemos la
expresión:
LI  10 log
I
I REF
dB
II.43
donde IREF = 10-12 w/m2 que es el valor de la intensidad umbral para una frecuencia de
1.000 Hz. El máximo valor que tolera el oído es el de una intensidad de 1 w/m 2, que
produce una sensación dolorosa, siendo el nivel de intensidad:
LI MAX  10 log
1
 10 log 12  120dB
10 12
II.44
Fig. 19
48
Acústica y vibraciones
Aplicaciones Industriales
Por tanto, vemos que el campo de audibilidad viene expresado entre 0 y 120 dB, siendo
el cero ficticio, ya que no se trata de un cero absoluto, sino de referencia a nuestra
fisiología. Ver Fig. 20
Al ser el decibel una manera de expresar matemáticamente la presión sonora, es una
magnitud física medible, no guardando una relación con el nivel sonoro o sonoridad,
por lo que es necesario crear una nueva unidad para medir una magnitud subjetiva. La
mejor manera de medirla es reunir un grupo de personas, someterlas a determinados
estímulos, anotar sus reacciones, analizar los resultados y llegar a una conclusión que
nos dé una ley empírica.
Así como el umbral de audibilidad es una característica fisiológica, cuya definición no
es ambigua, puesto que un sonido se escucha con claridad o no se escucha, la intensidad
subjetiva de un sonido es una magnitud cuya definición no es fácil.
Por otra parte, la misma no puede tener sentido nada más que si se parte de la hipótesis
de que dos sonidos de distinto espectro de frecuencias, pueden originar sensaciones
comparables entre sí, lo que desde luego no es evidente, aunque diferentes pruebas
experimentales han demostrado que son posibles tales comparaciones.
La intensidad subjetiva de un sonido queda definida de una forma relativa, comparando
la sensación originada por este sonido, con la de otro sonido de referencia. Si las dos
producen la misma sensación de intensidad, se puede decir que ambos tienen la misma
intensidad subjetiva.
En la práctica se emplean dos referencias:


Los sonidos puros de 1.000 Hz de frecuencia y nivel de presión sonora ajustable
Las bandas de ruido blanco (Ver Apéndice B) centradas en los 1.000 Hz, con
una anchura de 100 Hz y un nivel de presión sonora ajustable.
Cuando un sonido se compara con la primera de las referencias su intensidad subjetiva
se llama "sonoridad" y se si compara con la segunda, la intensidad subjetiva se llama
"ruidosidad". Si se duplica la sonoridad de un sonido, se duplica la sensación de
intensidad experimentada.
49
Acústica y vibraciones
Aplicaciones Industriales
Fig. 20
Fletcher y Munson dedujeron experimentalmente la relación existente entre el nivel de
presión sonora, el nivel sonoro y la frecuencia sobre un gran número de jóvenes con
edades comprendidas entre los dieciocho y los veinticinco años, con audición normal,
las líneas isofónicas de la figura 21, presentan los niveles sonoros que debía alcanzar un
sonido sinusoidal de frecuencia f, para producir la misma sensación auditiva que un
sonido sinusoidal de 1.000 Hz de frecuencia y un nivel de intensidad dado. Es decir, la
característica subjetiva de un sonido, se conoce por su sensación sonora que se
determina mediante su intensidad.
La línea isofónica es la que representa puntos de igual fuerza sonora, es decir, a lo
largo de cualquiera de estas líneas los sonidos parecen igualmente intensos, aunque las
intensidades reales varíen notablemente. El valor umbral para bajas frecuencias es del
orden de 60 dB, pero a medida que la frecuencia aumenta, el oído presenta una mayor
sensibilidad, siendo máxima a los 3.000 Hz, superados los cuales necesita un nuevo
aumento de intensidad.
Para intensidades mayores, el oído no presenta una variación tan acusada de su
sensibilidad y las líneas isofónicas tienden a ser cada vez más horizontales.
Las curvas situadas a la derecha de los 1.000 Hz tienen un trazado muy parecido,
repetido en todos los niveles en acusado contraste con las variaciones a bajas
frecuencias. Teniendo una curva como el nivel inicial, si se aumenta en decibelios,
supondrá desplazar la curva paralelamente así misma y hacia arriba una cantidad
constante, encajando de una forma aproximada la parte de la curva situada a la derecha
de los 1.000 Hz, con la línea homóloga del nivel superior, mientras que la parte de la
izquierda quedará elevada de forma creciente según disminuyen las frecuencias. La
sensación auditiva indicará que el incremento no ha sido equipotencial, sino más
acusado para las bajas frecuencias, de forma inversa al reducir la potencia se
empobrecerán las bajas frecuencias. Debido a que el timbre consiste en una serie de
frecuencias secundarias y más altas, que acompañan al fundamental, se verá alterado
por lo expuesto anteriormente al tener la sensación de que unas frecuencias resaltan más
50
Acústica y vibraciones
Aplicaciones Industriales
que otras, cuando se varía la potencia sonora. Los amplificadores de buena construcción
tienen compensado este efecto, no amplificando igualmente todas las frecuencias, sino
teniendo en cuenta las variaciones de la isofonía. Las líneas isofónicas superiores
muestran un mayor paralelismo a lo largo de toda la curva, es decir que para niveles
altos, no existirán tan acusadas las desigualdades anteriores.
Fig. 21
La medida de la intensidad de un sonido, tomando como unidad el decibel, tiene el
inconveniente de que siendo el nivel sensitivo variable con la frecuencia, una
determinada cantidad de decibeles supondrá un sonido que parecerá más o menos
intenso según su frecuencia, para evitar este inconveniente se introduce el concepto de
"fon" o fonio. De la misma forma que el decibel es una medida invariable desde el punto
de vista físico (objetivo), que representa una determinada presión de las ondas sonoras,
susceptible por lo tanto de medirse con una exactitud que depende de la precisión del
aparato usado, el fon es una unidad físicamente variable, pero sensitivamente
(subjetivamente) constante, o sea que en las curvas isofónicas el número de fonos se
mantendrá constante a lo largo de cualquiera de ellas. Por lo tanto, el fon es una unidad
de nivel sonoro de un sonido, que es juzgado por un observador medio numéricamente
igual al nivel de intensidad en decibeles de un tono puro de 1.000 Hz.
Como vemos, a la frecuencia de 1.000 Hz el número de fonos y de decibelios coinciden,
es decir 1 fon = 1 dB. Por ejemplo, un tono puro de 100 Hz de frecuencia y un nivel de
intensidad de 50 dB, produce igual nivel sonoro que un tono puro de 1.000 Hz cuyo
nivel de intensidad es de 40 dB, siendo el nivel sonoro de 40 fonos.
Debido a que el fon depende de datos experimentales con la imprecisión inherente a
ello, no respondiendo además a ningún principio matemático ni escala de medida fija, el
fon no resulta muy útil. El decibel en cambio, reúne una serie de ventajas como unidad
de medida de intensidad sonora, tales como: invariabilidad e independencia de las
condiciones físicas, relación exacta entre intensidades de sonidos distintos; susceptibles
51
Acústica y vibraciones
Aplicaciones Industriales
de medirse con creciente exactitud por aparatos de medida distintos; posibilidad de que
el sonido pueda tratarse como algo ponderable.
La escala de fonos presenta algunas incongruencias como por ejemplo, la imposibilidad
de sumarlos. Si se producen dos señales una de 200 Hz con una sonoridad de 70 fonos y
otra de 4.000 Hz con la misma sonoridad, el resultado final no son 140 fonos, sino que
ambos tonos se perciben con un sonoridad total de 80 fonos. Se ha demostrado que para
niveles mayores de 40 fonos, se necesitan 10 fonos más para duplicar la sensación de
sonoridad.
Esto se observa haciendo experiencias con un cierto número de personas, y de igual
forma que las relaciones de sonoridad no son proporcionales a los incrementos del nivel
sonoro, no suponiendo lo mismo, aumentar un determinado número de fonos en las
bajas que en las altas sonoridades. Debido a estas imprecisiones, Fletcher, Robinson,
Stevens y otros, elaboraron una nueva escala subjetiva de intensidades, la escala del
"son" o sonio, basándose en observaciones tales como que la audición de un mismo
sonido con los dos oídos, supuestos normales e igualmente sensibles, da lugar a una
sensación de sonoridad dos veces más acusada que la audición de dicho sonido
empleando un sólo oído; por otra parte si dos sonidos de frecuencias muy diferentes se
escuchan simultáneamente, estimulan porciones diferentes de la membrana basilar,
actuando la respuesta subjetiva en forma aditiva, con anterioridad ambos sonidos se
habían ajustado al mismo nivel sonoro por separado, siendo en su escucha simultánea
cuando se produce el efecto de suma. Se puede establecer una escala subjetiva de
intensidades o nivel de sonoridad y trazar una curva de correlación entre fonos (unidad
fisiológica) y sonos (unidad subjetiva) según se observa en la figura 22
La unidad de sonoridad es el son que se define como la sonoridad de un tono de 1.000
Hz y 40 dB de nivel de intensidad. Un aumento en el nivel sonoro de 10 fonos es
aproximadamente equivalente a doblar el nivel de sonoridad en sonos, y un aumento de
alrededor de medio fono corresponde al cambio mínimo perceptible en nivel sonoro.
Existe una expresión que nos permite determinar el número de sonos que equivalesn a
unos fonos, y que es:
S 2
F  40
10
II.45
52
Acústica y vibraciones
Aplicaciones Industriales
Fig. 22
La figura 23 muestra los campos de frecuencia y niveles de presión sonora en los que se
desarrollan la mayoría de los sonidos que nos rodean.
Fig. 23
53
Acústica y vibraciones
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Nivel sonoro con ponderación – dB(A), dB(B), dB(C)
El nivel de presión sonora tiene la ventaja de ser una medida objetiva y bastante cómoda
de la intensidad del sonido, pero tiene la desventaja de que está lejos de representar con
precisión lo que realmente se percibe. Esto se debe, tal como se expreso en el apartado
anterior, a que la sensibilidad del oído depende fuertemente de la frecuencia. En efecto,
mientras que un sonido de 1 kHz y 0 dB ya es audible, es necesario llegar a los 37 dB
para poder escuchar un tono de 100 Hz, y lo mismo es válido para sonidos de más de 16
kHz.
Cuando esta dependencia de la frecuencia de la sensación de sonoridad fue descubierta
y medida (por Fletcher y Munson, en 1933), se pensaba que utilizando una red de
filtrado (o ponderación de frecuencia) adecuada sería posible medir esa sensación en
forma objetiva. Esta red de filtrado tendría que atenuar las bajas y las muy altas
frecuencias, dejando las medias casi inalteradas. En otras palabras, tendría que intercalar
unos controles de graves y agudos al mínimo antes de realizar la medición.
Había sin embargo algunas dificultades para implementar tal instrumento o sistema de
medición. El más obvio era que el oído se comporta de diferente manera con respecto a
la dependencia de la frecuencia para diferentes niveles físicos del sonido. Por ejemplo, a
muy bajos niveles, sólo los sonidos de frecuencias medias son audibles, mientras que a
altos niveles, todas las frecuencias se escuchan más o menos con la misma sonoridad.
Por lo tanto parecía razonable diseñar tres redes de ponderación de frecuencia
correspondientes a niveles de alrededor de 40 dB, 70 dB y 100 dB, llamadas A, B y C
respectivamente. La red de ponderación A (también denominada a veces red de
compensación A) se aplicaría a los sonidos de bajo nivel, la red B a los de nivel medio y
la C a los de nivel elevado. El resultado de una medición efectuada con la red de
ponderación A se expresa en decibeles A, abreviados dBA o algunas veces dB(A), y
análogamente para las otras.
Por supuesto, para completar una medición era necesaria una suerte de recursividad.
Primero había que obtener un valor aproximado para decidir cuál de las tres redes había
que utilizar, y luego realizar la medición con la ponderación adecuada.
La segunda dificultad importante proviene del hecho de que las curvas de Fletcher y
Munson (al igual que las finalmente normalizadas por la ISO, Organización
Internacional de Normalización) son sólo promedios estadísticos, con una desviación
estándar (una medida de la dispersión estadística) bastante grande. Esto significa que los
valores obtenidos son aplicables a poblaciones no a individuos específicos. Más aún,
son aplicables a poblaciones jóvenes y otológicamente normales, ya que las mediciones
se realizaron con personas de dichas características.
La tercera dificultad tiene que ver con el hecho de que las curvas de Fletcher y Munson
fueron obtenidas para tonos puros, es decir sonidos de una sola frecuencia, los cuales
son muy raros en la Naturaleza. La mayoría de los sonidos de la vida diaria, tales como
el ruido ambiente, la música o la palabra, contienen muchas frecuencias
simultáneamente.
54
Acústica y vibraciones
Aplicaciones Industriales
Sin embargo, las ponderaciones A, B, C y otras son actualmente utilizadas y todos los
instrumentos actuales contienen talas filtrados tal como se ve en la siguiente figura.
Fig. 24
III - REFLEXIÓN, TRANSMISIÓN Y DIFRACCIÓN.
Introducción
Cuando una onda plana progresiva que se propaga a través de un medio se encuentra
una superficie de separación con otro medio se origina una onda reflejada en el primer
medio y una transmitida en el segundo. Generalmente una onda sufrirá una reflexión
siempre que exista una discontinuidad o un cambio en el medio a través del cual se
propaga.
Un ejemplo comúnmente conocido por todos, de reflexión de ondas sonoras, es el
denominado eco, que consiste en que una reflexión queda retrasada excesivamente
después de la onda directa, ver figura 25, con una intensidad suficiente para que pueda
percibirse por el oído. Una reflexión la escuchamos normalmente como un eco cuando
está retrasada con respecto al sonido directo alrededor de 70 milisegundos y con la
suficiente intensidad como para poder escucharla con claridad.
En la figura 25, vemos una fuente sonora que en este caso es una guitarra, que produce
un tono que viaja hacia el exterior en la dirección del espectador, existiendo a cierta
distancia del mismo una pared. El sonido que escucha primero el espectador es el
55
Acústica y vibraciones
Aplicaciones Industriales
directo, que viaja desde la guitarra hasta sus oídos, el sonido que percibe posteriormente
ha recorrido el trayecto desde la guitarra a la pared que existe detrás del espectador,
reflejándose en la misma, y volviendo al espectador.
Fig. 25
En la figura 26 vemos en el diagrama de energías-tiempos, como llega primero el
sonido directo que es el que viaja por el camino mas corto, y después el sonido reflejado
en la pared que se encuentra situada detrás del espectador.
Los ciegos que tienen muy desarrollado el sentido de la audición, obtienen una gran
información de las reflexiones que perciben, así por ejemplo pueden determinar el
tamaño de un recinto o juzgar la distancia hasta una pared, por el intervalo de tiempo
entre el sonido directo y el sonido reflejado. Esta habilidad de los ciegos para juzgar el
tamaño de una habitación fue notada por Erasmo Darwin, quien en su famosa
"Zoonomia" escrita en 1795 escribió: "el poeta Fielding q.e.p.d. entró por primera vez
en mi cuarto, una vez que me visitó y después de dirigirme unas cuantas palabras me
dijo, este cuarto mide aproximadamente 22 pies de largo, 18 de ancho y 12 de alto",
todo esto lo había determinado mediante el oído con gran precisión.
Fig. 26
56
Acústica y vibraciones
Aplicaciones Industriales
Un sonido que se refleja 1/10 de segundo después del sonido original no se detecta por
el oído, de forma que los dos sonidos se confunden produciendo lo que se conoce como
reverberación.
Como ya hemos indicado, cuando las ondas sonoras inciden sobre un plano límite, se
forman dos tipos de ondas, las reflejadas y las transmitidas. La dirección de
propagación de las ondas transmitidas no es la misma que la de las ondas incidentes, ya
que se desvían acercándose o alejándose a la normal del plano límite, de acuerdo con las
velocidades de propagación en los medios, fenómeno que es conocido con el nombre de
refracción del sonido. La refracción de las ondas sonoras se puede presentar en un
medio simple, tal como la atmósfera, o en un medio como el mar, debido a las
variaciones que se presentan por el efecto del viento o cambios de temperatura.
Si consideramos el mínimo nivel de audición en relación con la potencia total de ciertas
fuentes sonoras, la falta de audibilidad de estas fuentes sonoras a cortas distancias es
considerable. Así, la elevada nota de una sirena de Scottish probada por L. Rayleigh en
Sta. Catalina, necesitaba una potencia de 447.600 vatios para mantenerla. La distancia a
la cual la sirena sería audible, si suponemos que toda la potencia se convierte en energía
sonora, y se propaga uniformemente según ondas esféricas divergentes, podemos
calcularla fácilmente. De acuerdo con el mínimo valor de intensidad sonora audible de
10-16 w/cm2, si llamamos x a la distancia a la cual percibimos ese mínimo sonido en cm,
tenemos I = (W/S), o sea 10-16 = (447·600/ 2 x2) de donde x = 2,67·1010 cm, siendo
esta distancia unas seis veces la longitud de la circunferencia de la tierra.
Este rango de audibilidad no se consigue, generalmente ni en las condiciones más
favorables. El máximo alcance es solo de unos pocos kilómetros y en condiciones
desfavorables de 1 o 2 Km solamente. Una razón que explica esto es la ineficacia de la
fuente sonora como transformador de energía mecánica en sonora. Otra razón es la
disipación de energía en la atmósfera, así como la disipación que sufre la onda debido a
la refracción que experimenta cuando viaja a través de la tierra. Existen experimentos
que indican que los sonidos se escuchan a grandes distancias a través de campos
cubiertos de nieve, cuando a través de los mismos, en circunstancias ordinarias esto no
es posible, debiéndose esta anomalía a los gradientes de temperatura que se forman, así
como a la menor absorción sonora de la nieve.
La ley de propagación rectilínea de las ondas sonoras no es rigurosamente válida, en
alguna medida se curvan en las cercanías de obstáculos. Estas excepciones a la ley de
propagación rectilínea se conocen como fenómenos de difracción. Este fenómeno se ve
con claridad para las ondas sonoras aunque siempre se tienen que comparar las
dimensiones del obstáculo con la longitud de las ondas, ya que si esta es mucho mayor
que las dimensiones del obstáculo es muy difícil de apreciar.
Principio de Huygens.
Generalmente se presentan grandes problemas matemáticos cuando intentamos calcular
con rigor la propagación de ondas sonoras a través de medios no homogéneos, o en un
medio que se encuentra parcialmente obstruido por obstáculos, la solución exacta de
estos problemas requiere un conocimiento detallado de la naturaleza física de las ondas
sonoras. Sin embargo, en la mayoría de los casos de importancia práctica, podemos
encontrar una respuesta aproximada, aunque perfectamente útil al problema, mediante el
57
Acústica y vibraciones
Aplicaciones Industriales
uso de métodos que necesitan solamente unas suposiciones de carácter general acerca de
la naturaleza de las ondas sonoras, sin presentar grandes dificultades matemáticas. Estos
métodos se basan en el llamado principio de Huygens, que pasaremos a estudiar a
continuación con detalle.
El principio de Huygens tuvo su origen en el conocimiento del principio general de que
las ondas se propagan gradualmente de punto a punto de un medio. Si suponemos que
una fuente sonora O, la rodeamos mediante una superficie cerrada S, la perturbación
originada en O podrá alcanzar la región del espacio exterior a S, solamente atravesando
dicha superficie. Es natural considerar a la perturbación en la región exterior a S como
originada por la perturbación en la superficie S, o sea suponemos que los diferentes
puntos de S cuando son alcanzados por la onda se convierten en el origen de ondas
secundarias, por lo que la perturbación observada mas allá de la superficie S, se debe a
la superposición de las ondas secundarias, siendo este el enunciado del principio de
Huygens en su forma más general.
Consideremos ahora la propagación libre de una onda esférica que parte de una fuente
puntual O, que emite un impulso sonoro de muy corta duración. En un instante dado,
que podemos estimar arbitrariamente como t = 0, el frente de la onda ha alcanzado una
capa de pequeño espesor detrás de la superficie S, la perturbación a pasado a través de
S, actuando los puntos de S como fuentes de ondas secundarias. En un instante posterior
t los frentes de ondas secundarios forman una familia de esferas cuya envolvente
geométrica consiste en dos esferas S' y S'' de radios R1 = r + ct y R2 = r – ct. Ver figura
27
Fig. 27
El volumen que hay entre ambas es la región del espacio en que las ondas secundarias
se superponen.
En una capa de espesor d detrás de la superficie S' la superposición de las ondas
secundarias da lugar a una perturbación equivalente a la onda primaria en el instante t.
58
Acústica y vibraciones
Aplicaciones Industriales
Se podría pensar que debería aparecer una perturbación en una capa adyacente a S'',
pero allí no ocurre la cancelación exacta de las partes positivas y negativas de los
frentes de onda secundarios.
Por lo tanto, cuando los puntos de una superficie arbitraria son alcanzados por un frente
de onda, se convierten en centros emisores de ondas secundarias. La envolvente
geométrica de esas ondas en un instante posterior representa la posición instantánea del
frente de ondas. Los puntos M1 y M2 de S deben considerarse como fuentes en fase,
emitiendo en el instante t ondas secundarias esféricas, teniendo todas estas ondas en un
instante posterior el mismo radio, por consiguiente son tangentes a S' que es la
envolvente de todas estas ondas secundarias.
Reflexión y transmisión de ondas planas longitudinales que
inciden normalmente sobre un plano límite.
Sea AB (Figura 28) el plano límite de separación entre el medio 1 de impedancia
característica 1 c1, y el medio 2 cuya impedancia característica es 2 c2, donde 1 y 2
son respectivamente los valores de las densidades de los medios en equilibrio.
Consideremos que la onda plana incidente viaja a través del medio 1 en la dirección
positiva de la X incidiendo sobre el plano límite según un ángulo recto. La onda
incidente la podemos representar por:
pˆ i  pˆ oi e j (t k1x )
III.1
donde poi representa la amplitud de presión de la onda. En el plano de separación entre
los dos medios, una onda se refleja hacia atrás por el camino original en el medio 1 y
una segunda onda se transmitirá en el medio 2,
pˆ r  pˆ or e j (t k1x )
III.2
pˆ t  pˆ ot e j (t k2 x )
III3
La onda transmitida siempre tiene la misma frecuencia que la onda incidente, pero
debido a la diferencia entre las velocidades de fase en los dos medios c1 y c2, los valores
de los números de onda k1 = /c1 y k2 = /c2 son diferentes.
59
Acústica y vibraciones
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Fig. 28
Hay dos condiciones frontera que deben cumplirse para cualquier instante de tiempo, y
para todos los puntos de la superficie de separación entre los dos medios:
1. En el plano de separación de los dos medios, la presión sobre ambos lados de
este límite (en x = 0) es igual, con objeto de mantener la continuidad en el plano
límite, o sea:
pˆ i  pˆ r  pˆ t
III.4
2. Las velocidades de las partículas normales al plano límite deben ser iguales a
ambos lados, ya que de otra forma los dos medios no permanecerían por mas
tiempo continuamente en contacto entre sí, luego:
vˆi  vˆr  vˆt
III.5
Por lo tanto, en el plano límite, la continuidad de presión está dada por:
pˆ oi e jt  pˆ or e jt  pˆ ot e jt
III.6
o bien,
pˆ oi  pˆ or  pˆ ot
III.7
de acuerdo con las expresiones II.36 y II.37, las velocidades de las partículas vendrán
dadas por
vˆi 
pˆ i
pˆ
 i
1c1 R1
III.8
60
Acústica y vibraciones
Aplicaciones Industriales
vˆr  
vˆt 
pˆ r
pˆ
 r
1c1
R1
pˆ t
pˆ
 t
 2 c 2 R2
III.9
III.10
donde R1 = 1c1 y R2 = 2c2.
Luego en el plano límite para las velocidades, tendremos:
pˆ i pˆ r
pˆ

 t
R1 R1 R2
III.11
y sustituyendo los valores de la presión para x = 0, la ecuación se reduce a:
R2 ( pˆ oi  pˆ or )  R1 pˆ ot
III.12
a partir de las ecuaciones III.7 y III.12 podemos eliminar pˆ ot dando:
R2 pˆ oi  R2 pˆ or  R1 pˆ oi  R1 pˆ or
III.13
R2 pˆ oi  R1 pˆ oi  R1 pˆ or  R2 pˆ or
III.14
pˆ or  pˆ oi
R2  R1
R2  R1
III.15
Vemos que pˆ or es una constante positiva si  2 c2  1c1 y negativa en caso contrario,
por tanto la presión de la onda reflejada en la frontera está en fase con la onda incidente,
o desfasada 180º, dependiendo de que pˆ or sea una constante positiva o negativa.
Cuando la impedancia característica del medio 2 es mayor que la del medio 1, como por
ejemplo cuando una onda incide sobre un plano límite que separa el aire del agua, un
exceso de presión positiva en la onda incidente se refleja como un exceso de presión
positiva, o sea una condensación se refleja como una condensación. Por otro lado, si
 2 c2  1c1 , o sea cuando la onda incide sobre una frontera agua-aire, un exceso de
presión positiva para la onda incidente se refleja como un exceso de presión negativa, o
sea una condensación se refleja como un enrarecimiento.
Generalmente, la relación entre la amplitud de la presión de la onda reflejada y la de la
onda incidente es menor que la unidad, excepto en casos límites como para 2 c2 / 1 c1
, o sea la reflexión se produce en un medio muy denso, o muy poco compresible,
otro caso es cuando 2 c2 / 1 c1 0, por ejemplo cuando la compresión es muy fácil o
el medio es poco denso. Además cuando 2 c2 / 1 c1
, la onda se refleja solo con
una pequeña disminución de amplitud y no cambia su fase, cuando 2 c2 / 1 c1 0 la
amplitud de la onda reflejada es siempre igual a la de la onda incidente, pero existe una
variación de fase de 180º.
61
Acústica y vibraciones
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La presión acústica p1 en un punto del medio 1, es la suma de la parte real de las
ecuaciones III.1 y III.2, de valor:
p1  poi cos(t  k1 x)  por cos(t  k1 x)
III.16
Un caso especial es cuando  2 c2  1c1 , de acuerdo con la ecuación III.15 por  0 lo
que quiere decir que no hay onda reflejada. Esto significa que se puede transmitir de un
medio fluido a otro sin reflexión de energía, cuando  2 c2  1c1
Puesto que la intensidad de una onda plana está dada por I = (p2o/2 oc) vemos que la
relación entre el flujo de energía reflejada y el de energía incidente en funcion de la
III.15 es:
2
p 
 R  R1 
I

 r  r   or    2
I i  poi 
R

R
2
1


III.17
donde r es el coeficiente de reflexión de la potencia.
A partir de las ecuaciones III.12 y III.15 podemos obtener el valor de pˆ ot , que es
pˆ ot  pˆ oi
2 R2
R2  R1
III.18
Puesto que pˆ oi es una constante positiva, la presión de la onda transmitida en el plano
límite está siempre en fase con la de la onda incidente en la misma frontera. Además, la
amplitud de la presión pˆ ot de la onda transmitida tiende a 2 pˆ oi cuando la relación
 2 c2
1c1 es grande, como cuando la onda pasa del agua al aire, y pˆ oi tiende a cero
cuando al relación es muy pequeña, como por ejemplo para el paso del agua al aire.
El coeficiente de transmisión de la potencia t está dado por:
pˆ ot2
I
2 c
c
t  t  2 2 2  1 1
Ii
 2 c2
pˆ oi
2 1c1
t 
4 R2 R1
R2  R1 2
 pˆ ot 


p
ˆ
 oi 
2
III.19
III.20
Siempre que 2 c2 y 1 c1 tengan valores muy diferentes, el coeficiente de transmisión
de potencia es pequeño. Por otro lado, podemos ver que el coeficiente de transmisión es
independiente de la dirección de la onda, es decir obtenemos el mismo valor para el
paso del agua al aire, que del aire al agua.
62
Acústica y vibraciones
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63
Acústica y vibraciones
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APENDICE A
Deducción de la ecuación de ondas. (Cuerda vibrante).
Consideremos una pequeña parte de la cuerda, tal como se ve en la figura sig.:
Fig. A1
De donde la notación es la siguiente:
u( x; t )  Desplazamiento vertical de la cuerda (eje x) en la posición x y en tiempo t
 ( x; t )  Angulo entre la cuerda y una línea horizontal en la posición x y en tiempo t
T ( x; t )  Tensión de la cuerda en la posición x y en tiempo t
 (x)  Densidad de la cuerda en la posición x
Las fuerzas actuando en pequeña porción considerada son:
(b) Tensión de tracción a la derecha, la cual tiene una magnitud T ( x  x; t )
y actúa con un ángulo  ( x  x; t )
(c) Tensión de tracción a la izquierda, la cual tiene una magnitud T ( x; t ) y
actúa con un ángulo  ( x; t ) , y posiblemente
(d) varias fuerzas externas, tal como la fuerza de gravedad. Asumiremos que
todas las fuerzas externas actúan verticalmente y las denotaremos por
F ( x; t )x
La masa del elemento de la cuerda considerada será  ( x) x 2  u 2 , por lo tanto la
componente vertical de la ley de Newton quedará de la siguiente manera:
64
Acústica y vibraciones
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 ( x) x 2  u 2
 2u
( x; t )  T ( x  x; t ) sen ( x  x; t )  T ( x; t ) sen ( x; t )  F ( x; t )x
t 2
Dividiendo por x y tomando el limite cuando x  0 , tenemos
2
T ( x; t ) sen ( x; t )
 u   u
( x; t ) 
 F ( x; t ) 

2
x
 x  t
2
 ( x) 1  
A.1

T

( x; t ) sen ( x; t )  T ( x; t ) cos  ( x; t )
( x; t )  F ( x; t )
x
x
Por otro lado, de la figura vemos que
tan ( x; t )  lim
x 0
u u

( x; t )
x x
Además usando la siguiente figura, tenemos
Fig. A2
sen ( x; t ) 
 ( x; t )  tan 1
u
( x; t )
x
 u

1   ( x; t ) 
 x

u
( x; t )
x
;
2
;
cos  ( x; t ) 
1
 u

1   ( x; t ) 
 x

2
 2u
( x; t )
2


x
( x; t ) 
2
x
 u

1   ( x; t ) 
 x

Remplazando estas últimas en la ecuación A.1, nos queda una ecuación muy
complicada de resolver, sin embargo podemos considerar solo pequeñas vibraciones con
el fin de simplificar la ecuación.
Considerando pequeñas vibraciones, podemos tomar:
65
Acústica y vibraciones
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 ( x; t )  1 para todo x y t
esto implica que:
tan  1
Por lo tanto,
u
( x; t )  1
x
y
 u 
1    1
 x 
2
cos  ( x; t )  1
u
( x; t )
x
;
sen ( x; t ) 
;

 2u
( x; t )  2 ( x; t )
x
x
;
Sustituyendo estas ultimas en la ecuación A.1, nos queda:
x
 2u
T
u
 2u
(
x
;
t
)

(
x
;
t
)
(
x
;
t
)

T
(
x
;
t
)
( x; t )  F ( x; t )
x
x
t 2
x 2
A.2
La cual es en efecto relativamente simple, pero aun contiene un problema. Esta es una
ecuación con dos incógnitas u y t .
Afortunadamente, existe una ecuación que nosotros no tuvimos aun en cuenta. Esta es la
componente horizontal de la ley de Newton.
Como segunda simplificación, consideremos que solo existirá un movimiento o
vibración transversal, es decir nuestro elemento considerado de la cuerda solo tendrá un
movimiento vertical
Es decir que las fuerzas horizontales serán cero, tal como:
T ( x  x; t ) cos  ( x  x; t )  T ( x, t ) cos  ( x; t )  0
Dividiendo por x y tomado el límite cuando x  0 , tendremos:
T ( x; t ) cos  ( x; t )
0
x
66
Acústica y vibraciones
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Para pequeñas amplitudes de vibración, cos  es muy cercano a 1 y
T
( x; t ) es muy
x
cercano a 0.
En otras palabras T es una función de t solamente. Entonces para pequeñas vibraciones
transversales podemos simplificar la ecuación A.2 y entonces:
 2u
 2u
 ( x) 2 ( x; t )  T (t ) 2 ( x; t )  F ( x; t )
t
x
Si consideramos que la densidad es constante, independiente de x , la tensión T es una
constante independiente de t , y no existen fuerzas externas F , obtenemos:
2
 2u
2  u
(
x
;
t
)

c
( x; t )
t 2
x 2
con
c
T

67
Acústica y vibraciones
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APENDICE B
Distintos tipos de ruido
Ruido rosa
Fig. B.1
Se denomina ruido rosa a una señal o un proceso con un espectro de frecuencias tal que
su densidad espectral de potencia es proporcional al recíproco de su frecuencia. Su
contenido de energía por frecuencia disminuye en 3 dB por octava. Esto hace que cada
banda de frecuencias de igual anchura (en octavas) contenga la misma energía total.
El perfil del espectro de un ruido rosa es plano y horizontal cuando el eje de las
frecuencias sigue una escala logarítmica (graduada en octavas). Si el eje de frecuencias
sigue una escala lineal, el perfil del espectro es una línea recta que baja hacia la derecha,
con una pendiente de 3 dB/oct.
Se usa mucho como señal de prueba en mediciones acústicas. El espectro del ruido rosa
es semejante al espectro medio acumulado de la música sinfónica o de instrumentos
armónicos como el piano o el órgano.
El nombre "ruido rosa" obedece a una analogía con la luz blanca (que es una mezcla de
todos los colores) que, después de ser coloreada de forma que se atenúen las frecuencias
más altas (los azules y violetas) resulta un predominio de las frecuencias bajas (los
rojos). Así pues, el ruido rosa es ruido blanco coloreado de manera que es más pobre en
frecuencias altas (sonidos agudos).
Ruido blanco
68
Acústica y vibraciones
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Fig. B.2
Fig. B.3
El ruido blanco es una señal aleatoria (proceso estocástico) que se caracteriza porque
sus valores de señal en dos instantes de tiempo diferentes no guardan correlación
estadística. Como consecuencia de ello, su densidad espectral de potencia (PSD, Power
Spectral Density) es una constante, por ejemplo, su gráfica es plana. Esto significa que
la señal contiene todas las frecuencias y todas ellas tienen la misma potencia. Igual
fenómeno ocurre con la luz blanca, lo que motiva la denominación.
Si la PSD no es plana entonces se dice que el ruido está "coloreado" (correlacionado).
Se pueden hallar ejemplos domésticos del ruido blanco en el funcionamiento de los
secadores de pelo, aspiradoras, y como veremos a continuación, en el ruido e imagen
estática de los televisores.
Fig. B.4
Esta imagen en B/N también es ruido blanco, sus píxeles no guardan correlación entre sí
y por tanto su densidad espectral de potencia es constante. Si la imagen fuese en color,
entonces la "nieve" sería de colores aleatorios.
Esta es la típica imagen que se ve en la pantalla de un televisor analógico cuando no
está sintonizado en ningún canal. La señal que recibe entonces el demodulador puede
69
Acústica y vibraciones
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considerarse como ruido blanco, ya que es el resultado de sumar el ruido
electromagnético del canal radio más el que generan los propios circuitos electrónicos
del televisor, múltiples interferencias de baja intensidad todas ellas independientes entre
sí, etc. En este último caso, la "nieve" no permanecería estática sino que cambiaría
constantemente con el tiempo porque la señal de televisión es una señal de video, por
ejemplo, una sucesión de imágenes (25 fotogramas/s)
Ruido marrón
Fig. B.5
Su PSD es directamente proporcional a 1
o dicho de otra forma decae 6dB por
F2
octava a medida que subimos en frecuencia. El nombre "marrón" viene del inglés
"brown", y este no tiene nada que ver con que su espectro se parezca al del color marrón
sino con el científico Robert Brown, que estudio el movimiento browniano. Este tipo de
ruido puede ser generado por un algoritmo que simule dicho movimiento.
Ruido azul
Fig. B.6
Su PSD es directamente proporcional a F o dicho de otra forma se incrementa 3dB por
octava a medida que subimos en frecuencia. En Informática gráfica, el término "ruido
azul" se usa a veces para describir ruido con muy poca potencia en baja frecuencia y
con PSD creciente y suave. Este tipo de ruido se usa entonces en técnicas de Dithering
(Mitchell, 1987).
Ruido violeta
Fig. B.7
Su PSD es directamente proporcional a F2
70
Acústica y vibraciones
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Ruido gris
Fig. B.8
Su PSD es la curva de ponderación sofométrica. Esta curva corresponde a la potencia
física que debería tener cada frecuencia para que todas fuesen percibidas con la misma
intensidad aparente (mismo volumen) por el oído humano. Por ejemplo, si tenemos dos
tonos (dos ondas acústicas) de la misma potencia, pero uno de 220Hz y otro de 2200Hz,
el segundo será mucho más "hiriente" para el oído, se percibirá con una intensidad
aparente mucho mayor.
Desde el punto de vista auditivo, el ruido gris es el auténtico ruido blanco, puesto que
todas sus frecuencias son percibidas por el oído con la misma intensidad aparente.
Otros colores
Existen otros colores como el ruido negro, rojo, etc pero no existe un amplio consenso
sobre cuales deberían ser sus características espectrales.
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