1. Educación

 Universidad Nacional del Nordeste Facultad de Agroindustrias MAESTRÍA EN LA ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA TESIS: “LA ENSEÑANZA DE LA MEDICIÓN DE ÁREAS. UN LARGO Y COMPLEJO PROCESO” Jorge Ariel González Irma Elena Saiz Directora de Tesis Diciembre de 2011 Maestría en la Enseñanza de la Matemática
Capítulo 1: Marcos de referencia
Mediciones en general
La medición relaciona el mundo físico de los objetos con el mundo matemático; como
lo señalan Godino, J.; Batanero, C. y Roa, R. (2002): “La medida de magnitudes nos obliga a
reflexionar sobre el difícil problema de las relaciones entre las matemáticas y la realidad.
Los fenómenos físicos y sociales son organizados mediante el lenguaje matemático y ello nos
lleva a reflexionar sobre la naturaleza de los objetos matemáticos” (…)
Según los mismos autores: “Se habla de medir (en sentido amplio) para designar la
acción de asignar un código identificativo a las distintas modalidades o grados de una
característica de un objeto o fenómeno perceptible, que puede variar de un objeto a otro, o
ser coincidente en dos o más objetos.
A esas características físicas o atributos, como la longitud, la superficie, el volumen, el
peso, el color, la temperatura, la capacidad, la dureza, etc. susceptibles de variaciones en un
mismo objeto o de un objeto a otro, se denominan magnitudes.
-
-
Las magnitudes se pueden clasificar en:
Intensivas o no aditivas, aquellas en las que la cantidad de magnitud de un objeto
compuesto de partes, no puede obtenerse sumando las cantidades de cada parte, como
por ejemplo la temperatura, la presión, entre otros. Por ejemplo, es posible mezclar
dos cantidades iguales de un líquido a distintas temperaturas y a la cantidad que se
obtiene se le puede medir la temperatura, pero ésta no es la suma de las temperaturas
de los líquidos en cuestión.
Extensivas o aditivas, aquellas en la que la cantidad de magnitud de un objeto
compuesto de partes, se obtiene agregando las cantidades de cada parte, como por
ejemplo la longitud, superficie, peso, etc.
El proceso de medir una determinada magnitud no se reduce a asignar un valor a la
misma sino que lleva implícitas diversas tareas, como identificarla como tal en los diferentes
objetos; realizar comparaciones entre dos cantidades de la misma; compararlas con un patrón
establecido (unidad) y asignarle un número, que a su vez implica determinar la unidad más
conveniente; encontrar si es posible alguna relación que simplifique su medición y estimar la
cantidad de magnitud que poseen determinados objetos.
Para distinguir cantidad de magnitud, podemos afirmar que la magnitud es la propiedad,
pero la cantidad es cuánto de eso tiene la magnitud. A fin de precisar esta diferencia podemos
adelantar uno de los entornos de la medición, que señala Brousseau (1991-92) (que
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Maestría en la Enseñanza de la Matemática
presentaremos más adelante), quien afirma que “cantidad es el valor particular de una
magnitud, relativo a un objeto preciso, sin tener en cuenta el sistema utilizado para
cuantificarla, en particular sin tener en cuenta las unidades”.
Podemos retomar también afirmaciones similares, destinadas a alumnos de Nivel
Secundario como las expresadas por Chemello (2003): “Cuando se realiza una medición, lo
que se hace es comparar una cantidad con otra cantidad particular de la misma magnitud,
que se llama unidad, y que se define o se adopta por convención.
El valor de una cantidad se expresa como el producto de un número por una unidad. Ese
número, que indica la razón entre la cantidad que se debe medir y la cantidad usada como
unidad, es la medida. El valor numérico, o medida, de una cantidad particular depende de la
unidad en que está expresada.”
En relación a las magnitudes espaciales, Del Olmo, M.; Moreno,M. y Gil, F. (1993)
precisan que en el proceso de medición: “A una cantidad de magnitud se le asigna un número
atendiendo a distintas etapas:
• Se escoge una cantidad fija de la misma magnitud que llamaremos unidad de
medida.
• Se reitera, tantas veces como sea preciso, sobre el objeto a medir;
• Se cuenta el número de veces que se ha iterado;
• Se le asigna al objeto ese número. Dicho número será su medida respecto de la
unidad elegida. Todos los demás objetos que son equivalentes al dado, esto es que
tengan la misma cantidad de magnitud, medirán lo mismo.”
Por su parte, Brousseau, G. y Brousseau, N. (1991 – 1992) distinguen al menos ocho
“objetos” distintos en los problemas de medida:
1) Los objetos “soportes” de los caracteres a medir: objetos concretos (una mesa, un
pájaro) o ya “matematizados” (un rectángulo, su “longitud” o su “anchura” en tanto
que segmentos, el conjunto de puntos que constituyen su superficie), etc.
2) La magnitud, concepto que permite aprehender “lo que puede hacerse más grande o
más pequeño”, relativamente a objetos del tipo (1). La magnitud es un conjunto de
propiedades comunes a varios (tipos de) magnitudes particulares: el área, la masa, la
capacidad, el débito, por ejemplo.
3) El valor particular de esta magnitud, relativo a un objeto preciso, sin tener en cuenta
el sistema utilizado para cuantificarla, en particular sin tener en cuenta las unidades.1
4) Una medida (medida-función) es una aplicación aditiva y positiva de un conjunto
medible en R. Hace corresponder a cada elemento de un conjunto medible (un
segmento, una superficie, un suceso, una masa,...) un número real positivo.
En este sentido, la unidad, en tanto que [cantidad de] magnitud, cambia con la
medida: es el objeto cuya imagen es 1.
5) El valor de esta medida (medida-imagen) de un objeto de (3) es el número positivo
(natural, decimal, racional o real) que la medida en el sentido (4) hace corresponder
a un objeto (1) en el cual se interesa.
1
Nota del traductor: En castellano hablaríamos aquí de la “cantidad” de una determinada magnitud. En francés
se usa indistintamente la palabra “grandeur” para designar una “cantidad de magnitud” y una “magnitud”
(aunque, para hacer la distinción, se emplea a veces la expresión “espèce de grandeur”).
3
Maestría en la Enseñanza de la Matemática
6) La medida a veces llamada concreta o número concreto: par formado por la imagen
(número en el sentido 5) y por la función (medida en el sentido 4), representada por
una “unidad”.
7) La medida. La palabra designa la operación material o el método que permite
determinar efectivamente, para un objeto de tipo (1), un número y un intervalo (o una
familia de intervalos) de incertidumbre (o de confianza).
La palabra designa también su resultado (como en (4) y (5)).
8) La evaluación de las medidas: una especie de juicio o de “medida” sobre la medida,
sobre su expresión, que representa el tamaño, la magnitud relativa, la rareza, la
calidad, la precisión, etc., y que sirve como medio de control en las actividades de
medición, en los cálculos o las comparaciones.
Cada uno de estos “objetos” pertenece a entornos (medios) diferentes, siguen reglas
diferentes y serían definibles mediante situaciones diferentes. Son “conocidos” en
instituciones diferentes que les han llamado de maneras diversas. Todos intervienen en la
concepción y la práctica de las medidas”.
De lo expuesto, se puede afirmar que el estudio de las magnitudes y de su medición,
es de gran complejidad debido a los diferentes aspectos que abarca y su relación con
numerosos conceptos. Por ello, su estudio difícilmente podrá realizarse en un único año
escolar y, por el contrario ocupará un lapso de tiempo escolar que se mide en años.
Medición de la magnitud área
En este trabajo se pretende estudiar específicamente la medición de la magnitud área,
es decir que nos ocuparemos de una magnitud extensiva.
En general se distingue la noción de área de la de superficie. Por ejemplo, Anselmino,
E. y San Martín, M. (1976) sostienen que “Superficie hace referencia a la forma que
puede ser triangular, cuadrada, circular, etc. y área hace referencia al tamaño, es decir,
es la medida de dicha superficie.”
Illuzi y Menéndez, (2002), señalan: “La porción del plano que ocupan las figuras es
la superficie y la medida de la superficie es un número llamado área”.
Si bien se observa que en ambas casos se diferencia superficie de área, en la definición
dada en el primer caso, no se identifica qué tipo de objeto matemático es el área, mientras que
en el segundo se indica que la medida de la superficie (es decir el área) será un número, no un
número y una unidad.
Sin embargo, si se analizan las actividades propuestas a alumnos de Nivel Secundario, por
estos y otros autores, se puede observar que utilizan indistintamente uno u otro término, tal
como ocurre en la realidad no escolar.
La mayoría de los autores utiliza el término superficie para designar el ente geométrico
(campo geométrico) susceptible de tener una medida, y para designar su medida (campo de
las mediciones) utilizan indistintamente superficie o área.
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Maestría en la Enseñanza de la Matemática
Si consideramos las magnitudes espaciales, podemos mencionar que, los entes
geométricos a los cuales se mide la longitud, el área o el volumen son respectivamente: las
líneas, las superficies y los cuerpos. Ésta es la terminología común adoptada por la mayor
parte de los actores de los procesos de medición. En cuanto a la medida de la magnitud
longitud encontraremos el mismo término longitud, al igual de lo que sucede en volumen.
Ahora bien, tanto en relación con la magnitud que nos ocupa, como con su medida, se
utilizan con frecuencia los términos superficie y área como sinónimos.
También podemos señalar que para algunos autores, superficie alude a un número con
unidad mientras que área sólo se refiere al número; es decir que superficie se estaría refiriendo
a la medida concreta, en términos de Brousseau, G.2 y área al valor de la medida es decir a la
medida imagen, inexistente en las otras dos magnitudes espaciales.
En el marco de esta tesis consideraremos los términos área y superficie como sinónimos y
al referirnos a la medida del área, incluiremos la unidad de medida utilizada.
Tal como mencionamos previamente para el caso general, en la medición del área de una
superficie están involucradas diferentes tareas, como ser: reconocer la magnitud como tal;
realizar comparaciones entre superficies sin necesidad de asignar un valor (numérico) a las
mismas; comparar una superficie con una unidad de medida y asignarle un número; encontrar
una expresión algebraica (fórmula) de relaciones entre los datos de una figura que permita el
cálculo sin necesidad de medirla; estimar la cantidad de superficie, etc.
A la vez, podemos afirmar que medir el área de una figura plana, consiste en elegir una
superficie como unidad, que permita cubrir la primera con varios ejemplares iguales de la
elegida como unidad, para luego contar la cantidad de ejemplares que entra en la superficie a
medir (contexto geométrico). El producto de la cantidad de área de la figura elegida como
unidad de medida, por la cantidad de veces que entra en la superficie a medir es el área de
dicha superficie (Contexto de mediciones).
Marco Teórico Matemático
Con la finalidad de enmarcar el contenido de Medición de área, retomaremos definiciones
y axiomas presentados por algunos autores.
Clemens, O´Daffer y Cooney (1989, pp. 394-395) parten de definir el área de regiones
poligonales, dando lo que denominan postulados del área:
Definición 11.1 “Una región poligonal es un subconjunto de un plano acotado por un
polígono (o polígonos).”
Postulado del área: “A cada región poligonal se le puede asignar un número positivo
único denominado área. El área de la región R se representa por A(R).”
2
Op. Cit. 5
Maestría en la Enseñanza de la Matemática
Postulado del área de regiones congruentes: “Si dos regiones poligonales son
congruentes, entonces, las regiones que acotan tienen la misma área.”
Postulado de la suma de áreas: “Si una región poligonal es la suma de n regiones
poligonales que no se solapan, su área es la suma de las áreas de las n regiones”
Y posteriormente definen área de figuras curvas a partir de aproximarlas por las áreas
de polígonos inscriptos.
Del trabajo de Douady, R. y Perrin, M-J. (1983) retomamos algunas definiciones y
propiedades debido a que realizan un estudio de los conceptos involucrados en la medición de
área a partir de su interés en elaborar situaciones de aprendizaje del tema en la escuela:
Área de superficies planas
Por superficies planas se entiende partes limitadas del plano cuyo interior (no vacío) está
limitado por una o varias curvas cerradas de longitud finita.
Por desplazamiento, se puede hacer que ciertas superficies se superpongan o se incluyan
las unas en las otras. Ocupan más o menos lugar en el plano. Para otras superficies su forma
no permite la superposición ni la inclusión.
La noción de área tiene por objetivo medir la parte del plano que ocupan
independientemente de la forma.
Estas autoras proponen la construcción de la noción de área como magnitud autónoma,
marcando la independencia del área de la forma, diferenciando área-superficie y área-número.
Es decir, dos superficies de formas diferentes pueden tener igual área y, a una misma
superficie puede corresponderle números distintos -de acuerdo a la unidad elegida- pero tener
igual área.
Tener igual área
Consideremos una aproximación geométrica del área:
‐ Sean dos superficies S1 y S2 que un mismo desplazamiento las hace coincidir, ellas ocupan la misma parte del plano. Decimos S1 y S2 tienen la misma área. ‐ Sea S una superficie y S´ una superficie obtenida cortando S en piezas y uniéndolas teniendo cuidado de no dejar ninguna de lado ni superponerlas, diremos también que S y S´ tienen la misma área. Por los procedimientos anteriores se pueden comparar ciertas superficies pero no todas. Por ejemplo no se puede cortar un cuadrado en un número finito de piezas y ensamblar esas piezas sin superponerlas para obtener un disco. Como una alternativa más para la tarea de comparar áreas las autoras presentan la posibilidad de comparación de áreas recurriendo a otra magnitud, el peso del material en el que están construidas: Consideremos una aproximación física del área con referencia a la masa. Sean S1 y S2 dos superficies. P1 y P2 dos piezas realizadas en un mismo material homogéneo de espesor constante (cartón o plástico, por ejemplo) que representan respectivamente S1 y S2. Se dirá que S1 y S2 tienen la misma área si tienen la misma masa. Este criterio tiene la ventaja de no hacer intervenir la forma de las piezas. Comparación de áreas 6
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Sean S1 y S2 dos superficies. El área de S1 es menor que el área de S2, si S1 tiene igual
área que una superficie contenida en S2.
En símbolos: notamos A(S) al área de una superficie S.
Si S1 ⊂ S2 ⇒ A(S1) < A(S2)
Adición de áreas
Sean S1 y S2 dos superficies y S la superficie que se obtiene juntando sin superponer S1 y
S2. El área de S no depende de la elección de las superficies, solamente de su área.
Por definición la suma A(S1) + A(S2) = A(S).
En particular, si A(S1) = A(S2), se tiene A(S) = 2A(S1).
Medida de áreas
Sea s una superficie y a su área. Se dice que el área A(S) de una superficie S es medible
con a si existe un número k tal que A(S) = ka.
Estas definiciones sólo corresponden a k natural. Para lograr que a toda superficie se le
pueda asignar un área, será necesario recurrir a encuadramientos por medio de superficies que
sean medibles con unidades con una cierta unidad s, o fracciones de la misma. Será necesario
por lo tanto contar con conocimientos sobre números reales, que forman parte de los
contenidos de los últimos años del Colegio Secundario.
Nuevamente podemos afirmar que tanto área como perímetro son conocimientos cuyos
aprendizajes no pueden reducirse a un único año escolar; al tratar nuevos contenidos, será
necesario retomarlos.
Para completar este marco queremos resaltar las dos operaciones fundamentales puestas
en relieve por Piaget, J. (1948)3, en los procesos de construcción del número y de la medida
en los niños y que son asumidas como válidas en las definiciones anteriores:
1‐ La conservación: tiene que ver con la invarianza de ciertas cualidades de los objetos
cuando se ejercen transformaciones sobre ellos.
2‐ La noción de transitividad: Si A=C y C=B entonces, A=B. En la medida el uso de
intermediarios conlleva la noción de transitividad.
Antecedentes
A continuación haremos una reseña de un estudio que recurre a su vez a otras
investigaciones relacionadas con el tema medición de la magnitud área. También serán
retomados para ejemplificar algunos aspectos el estudio de Del Olmo, M.; Moreno,M. y Gil,
F. (1993)
Corberán Salvador, R.M. (1996) expone como estudios teóricos globales un resumen de
trabajos de Freudenthal Hans (1983); Héraud Bernard (1989) y Perrin-Glorian (1992) que
abordan el análisis didáctico del concepto área desde marcos teóricos diferentes. Aquí solo
presentaremos un resumen de los trabajos de los dos primeros.
La autora se plantea como objetivo de su trabajo, estudiar el grado de comprensión que
poseen los alumnos de este concepto al finalizar la primaria y observar si experimenta algún
tipo de evolución en alumnos de niveles educativos más avanzados.
3
Citado en Del Olmo, M.; Moreno,M. y Gil, F. (1993) 7
Maestría en la Enseñanza de la Matemática
En este apartado retomamos textualmente algunos párrafos de los autores expuestos por
Corberán Salvador, R.M. (1996), que nos interesa para el desarrollo de este trabajo.
Freudenthal H. (1983)4, matemático alemán, busca establecer en forma clara la separación
que existe entre el objeto mental área y el concepto matemático. (…) El interés en mostrar la
gran diferencia entre el objeto mental área y el concepto matemático está en consonancia con
su posición didáctica de considerar que la constitución de los objetos mentales precede a la
adquisición de los conceptos, pudiendo suceder incluso como en el caso del área, que no
exista le necesidad de llegar a la adquisición del concepto, por la dificultad que en este caso
conllevaría.
Durante su análisis, se refiere a la riqueza fenomenológica del objeto mental área, e insiste
sobre la dificultad que ocasiona la gran variedad de enfoques que posee y que relacionamos a
continuación:
 Reparto justo:
‐ Aprovechando regularidades,
‐ estimando,
‐ midiendo.


Comparando y reproduciendo (en otra forma) ‐ por inclusión, ‐ por transformaciones de deshacer y recomponer, ‐ por estimación, ‐ por medición, ‐ por medio de transformaciones, es decir, congruencias, afinidades, etc. Midiendo. ‐ por agotamiento con una unidad de área con subunidades aún más finas, ‐ por aproximaciones desde el interior y exterior con rejillas fijas con figuras adaptadas, ‐ por conversión de transformaciones de deshacer y recomponer, ‐ por medio de relaciones geométricas generales, ‐ por medio de fórmulas generales, ‐ por medio de principios como el de Cavalieri, ‐ por medio de transformaciones, esto es, congruencias, afinidades, etc. En relación a ello, Del Olmo, M.; Moreno,M. y Gil, F. (1993)5 ejemplifican cada uno de estos
diversos enfoques. Sostienen que Freudenthal muestra las aproximaciones al concepto área y
la gran profundidad y sofisticación necesarias para su formación. Las aproximaciones que
consideran más importantes son las siguientes:
‐ Repartir equitativamente. En éstas se incluyen las situaciones en las que dado un objeto
hay que repartirlo: este hecho es muy corriente en la vida cotidiana y se resuelve
mediante uno de los tres modos siguientes:
 Aprovechando regularidades. Es el caso de una tarta circular que suele partirse
mediante el trazado de diámetros imaginarios.
 Por estimación. Por ejemplo, se utiliza para partir una cuartilla en tres partes iguales,
se superponen las tres posibles partes y se van equilibrando hasta conseguirlo.
4
5
Citado en Corberán Salvador, R.M. (1996). Op. Cit. Op. Cit. 8
Maestría en la Enseñanza de la Matemática
 Por medida. Es el más usual de los tres y consiste en medir la cantidad a repartir,
dividir el resultado de esa medida entre el número de partes que se desea, y medir
cada una de las partes.
‐ Comparar y reproducir. Se incluyen aquí aquellas situaciones en las que hay que
comparar dos superficies y también aquéllas otras en las que hay que obtener una
reproducción de una superficie con una forma diferente a la que tiene. Por ejemplo,
dibujar un cuadrado que tenga la misma área que un triángulo dado.
‐ Midiendo. En muchas situaciones, la superficie aparece ligada a un proceso de medida
ya sea para comparar, repartir o valorar. Este proceso de medida puede realizarse de
diferentes formas:
 Por exhausción con unidades, es decir, rellenando el interior de la superficie a medir
con unidades (de superficie) colocadas unas junto a otras sin superponer, y en
aquellas partes de la superficie donde no quepan, se recurre a rellenar con unidades
más pequeñas. Este proceso se continúa hasta que se recubra totalmente la superficie
a medir o bien la porción no recubierta es despreciable para la actividad que estamos
realizando.
 Por acotación entre un valor superior e inferior podemos obtener una medida
aproximada de cualquier superficie. La técnica anterior descrita, es de este tipo, pues
consiste en aproximar la superficie desde su interior.
 Por transformaciones de romper y rehacer. Este es el proceso por el que se suelen
deducir las fórmulas de las figuras geométricas en el nivel secundario.
 Por medio de relaciones geométricas generales. Éste es el procedimiento usual para
medir una superficie, midiendo sus dimensiones lineales y por medio de fórmulas
llegar a su medida.
Corberán Salvador expresa que una constante en el trabajo de Freudenthal son las críticas
que realiza sobre el modo en que se lleva a cabo la enseñanza del área, resaltando la extrema
pobreza de su instrucción en contraste con su rico contexto en la naturaleza, la cultura y la
sociedad. Comenta que: “en la educación primaria el área se reduce a la expresión “longitud x
anchura”, y a una fórmula para determinar el área del círculo, mientras que en la secundaria el
cálculo alardea de una maquinaria para computar las áreas.”
Freudenthal finaliza su estudio, proponiendo las siguientes sugerencias para la instrucción:
‐
Realizar comparaciones entre áreas, ya que según él, esto es necesario para la constitución del área como magnitud en objeto mental. ‐ Realizar actividades que tengan por objeto diferenciar el área del perímetro, ya que en el caso de comparación de áreas, lo que provoca el error es el perímetro. Por ello sugiere plantear:  ejemplos de figuras que, a pesar de desviaciones conducentes a error en las dimensiones lineales, tengan la misma área. Por ejemplo, paralelogramos de igual base y altura, y  ejemplos de figuras que, a pesar de concordancias que conducen a error en las dimensiones lineales, tienen áreas diferentes. Por ejemplo, rombos que surgen de un cuadrado por flexión. Héraud B. (1989)6 ha aplicado el modelo de comprensión de Herscovics y Bergeron
(1982), modelo referido a la formación de los conceptos, al área del rectángulo. En su trabajo
6
Citado en Corberán Salvador, R.M. (1996). Op. Cit. 9
Maestría en la Enseñanza de la Matemática
ha mostrado las fases principales en la construcción de los conceptos de superficie y área para
los alumnos de la escuela primaria.
Según Héraud el modelo consta de dos etapas:
a) La primera tiene por objeto describir la comprensión de los objetos físicos preliminares
y consta de tres niveles: la comprensión intuitiva, la comprensión procedimental, y la
abstracción lógico-física.
b) La segunda describe la comprensión del concepto matemático y puede ser descrita en
términos de tres componentes: la comprensión procedimental, la abstracción lógicomatemática, y la formalización.
A continuación se describe brevemente como Héraud aplica las etapas citadas
anteriormente al caso concreto del área del rectángulo con el objeto de mostrar los pasos a
seguir para la formación de este concepto.
a) Comprensión del concepto físico preliminar: la superficie ‐ La comprensión intuitiva: en este primer nivel, la superficie está asociada a la noción de extensión. El niño se basa únicamente en su percepción visual de las cosas para emitir juicios aproximativos del tamaño de una superficie o comparar dos superficies. -
‐
La comprensión procedimental lógico-física: en este nivel, el niño utiliza estrategias
más elaboradas como son los procedimientos de:
 superposición, donde uno de los objetos es utilizado para estimar el tamaño del otro, y puede ser considerado como una versión primitiva de la medida, y  recorte y redistribución de las partes de una figura. El uso de este procedimiento requiere que el niño posea ya una cierta abstracción de la noción de superficie que le permita admitir la invarianza de la superficie de una figura en relación al recorte de esta figura y a una redistribución de sus partes. La abstracción lógico física: el niño debe darse cuenta de que la superficie permanece invariante bajo el efecto de ciertas transformaciones geométricas que cambian el aspecto global de una figura pero no su área. En este nivel, la superficie de un rectángulo se asocia a la cantidad de espacio ocupado por éste y el nivel se caracteriza por la construcción de invariantes:  Invarianza en relación a la orientación del objeto: dos rectángulos congruentes
sometidos a una traslación o rotación, siguen ocupando la misma superficie.
 Invarianza en relación a la visibilidad del objeto.
 Invarianza en relación a la fragmentación del objeto:
 Fragmentación de un rectángulo, sin reorganización de las partes. La superficie
de un rectángulo que ha sido fragmentado en trozos no varía. El todo es igual a
la suma de sus partes
 Fragmentación de un rectángulo, con reorganización de las partes. Una figura
obtenida por la reorganización de los trozos obtenidos por la fragmentación de
un rectángulo posee la misma superficie que éste.
b) Comprensión del concepto matemático: el área En esta etapa, la superficie es considerada bajo su aspecto cuantificable, numérico, es decir su medida, identificando el área con esta medida. ‐ La comprensión procedimental lógico‐matemática: en este momento, el niño conoce y sabe utilizar adecuadamente procedimientos más o menos evolucionados que le permiten encontrar el área de una superficie. Hay diferentes modos de operar, en procedimientos basados en la iteración de una unidad:  la elección de una unidad apropiada. 10
Maestría en la Enseñanza de la Matemática
 Elección de unidades idénticas: el niño es capaz de “medir” la superficie de un
rectángulo dado, intentando recubrirla con superficies unidad de formas
diversas. Surgen dificultades que pueden llevar al niño a considerar la
posibilidad de utilizar unidades idénticas.
 Elección de la unidad cuadrada: el niño debería ser enfrentado con situaciones
diferentes, para finalmente llegar a descubrir la pertinencia de la unidad
cuadrada.
 La iteración de una unidad cuadrada. Hecha la elección de la unidad cuadrada, se consideran algunos procedimientos que conducen a la simple iteración de la unidad:  recubrimiento a partir de un número suficiente de unidades,  recubrimiento por un número insuficiente de cuadrados, e  Iteración a partir de una sola unidad. En este momento, la medida del área del rectángulo aparece como la expresión de una relación de un todo a una parte.  Hacia la expresión A=F x C (Número de cuadrados por filas (F), y números de cuadrados por columnas (C)). El niño utilizará una representación de las unidades y no las unidades verdaderas. Los procedimientos a utilizar son:  Utilización de una malla cuadriculada completa, y  Utilización de una malla cuadriculada incompleta.  Hacia la expresión A= L x l. El niño debe darse cuenta que el número de cuadrados por fila y columna está ligado con las medidas de las longitudes de los lados. Los procedimientos a utilizar son:  Utilización de unidades de longitud concretas, y  Utilización de una regla. -
La abstracción lógico matemática, la medida de la superficie permanece invariante
sometida ésta a diferentes transformaciones. Al igual que en la abstracción lógicofísica la abstracción lógico-matemática se caracteriza por la construcción de
invariantes:
 Invarianza del área en relación a diversas transformaciones figurales.  Relatividad del área en relación al tamaño de la unidad escogida.  Relación inversa entre el número‐medida y el tamaño de la unidad. -
La formalización. Para el caso del área del rectángulo, la formalización se caracteriza
por el establecimiento de la relación entre la expresión del área y el producto de las
longitudes de los lados del rectángulo. Expresión que establece una relación entre
magnitudes de distinta naturaleza, una bidimensional y las otras unidimensionales.
De los antecedentes presentados es posible realizar las siguientes apreciaciones:
Si bien dichos trabajos fueron elaborados desde marcos teóricos y objetivos diferentes,
nos han permitido extraer de los mismos, aportes a nuestro estudio del área.
De lo expuesto por Freudenthal H. (1983) acordamos con su interés en enfatizar los
fenómenos que permiten ir construyendo el objeto mental del área que a su vez formarán
parte del concepto de área. Algunos de estos fenómenos son comunes a otros autores en
términos de tareas que contribuirán a la conceptualización de área.
De lo expuesto por Héraud B. (1989), si bien no acordamos con la extracción de
consideraciones para la enseñanza a partir de las instantáneas obtenidas de conocimientos de
los alumnos en distintos momentos de su aprendizaje, nos interesan por ejemplo los diferentes
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Maestría en la Enseñanza de la Matemática
significados por los que atraviesan los términos superficie y área: superficie asociada a la
noción de extensión, superficie como porción de espacio ocupado, el área como una relación
parte – todo, el cálculo del área mediante una fórmula, y el área asociada a un número; no
obstante aclaramos que no consideramos que este proceso necesariamente se realice en
simultáneo con todas las tareas relacionadas con el área.
En los antecedentes presentados, existen cuestiones comunes, como ser, asignar gran
importancia a las tareas de comparación y medición efectivas o simuladas mucho antes del
trabajo con fórmulas, de tratamiento conjunto de las magnitudes espaciales, en particular el
perímetro y área.
En relación a este último, Douady, R. y Perrin, R. (1983) han constatado en sus
investigaciones que para los alumnos, si el perímetro de una superficie aumenta, su área
también y que si dos superficies tienen el mismo perímetro tienen la misma área. Por ello han
dedicado gran parte de su trabajo al estudio de la variación perímetro-área cuando una
superficie es sometida a transformaciones de diferente naturaleza.
Evolución Histórica de la medida
La necesidad de medir estuvo presente desde los inicios de la humanidad, en los
múltiples problemas a los que enfrentaban. Una afirmación recurrente de los historiadores de
la Matemática es que, contar y medir son las dos grandes actividades que dieron origen a una
diversidad de conocimientos matemáticos. Los mismos van evolucionando hasta tener entidad
propia a partir de su ubicación en el edificio matemático de referencia. Por otra parte, dichos
conocimientos se fueron adaptando a nuevas necesidades, mostrando así el carácter provisorio
ineludible que tiene todo conocimiento matemático en sus orígenes.
El caso de la medida no está exento de esta perspectiva, pero ¿cuáles fueron los
problemas que le dieron inicio y hacia donde evolucionaron las ideas relacionadas con la
medida? La evolución histórica de la medición - junto con los de los sistemas de numeraciónes uno de los procesos más antiguos mejor documentados. Los datos sobre dicha evolución
pueden leerse en libros de historia de la Matemática como Boyer, C (1986); Rey Pastor, J y
Babini, J (1951), pero también son accesibles en libros de texto, Internet, etc.
El origen de la medida se remonta al período neolítico, entre el 7000 y 4000 a. C.
aproximadamente, período en el que el hombre al volverse sedentario debe organizarse y
prever la comida, cultivar considerando el clima, comerciar los excedentes, intercambiar
mercancías, etc. De esta manera, va surgiendo la necesidad de medir, recurriendo en un
primer momento a unidades relacionadas con el cuerpo humano, por ejemplo se utilizaban los
pasos para medir terrenos, la braza (largo de un brazo), codos y palmos, para medir longitudes
menores, cargas para medir pesos, etc. La carga es una unidad de medida de volumen
equivalente a 4 fanegas. En Castilla equivalía a aproximadamente a 48 celemines. Media
carga hacía 24 celemines (unos 85-90kg o un saco).
Es decir, para medir, el hombre utilizaba partes de su propio cuerpo (brazo, mano, pie)
formándose así, un auténtico sistema de medidas que se denomina antropométrico.
Boyer, C. (1986, p. 40), afirma: “La unidad de longitud que usaban los egipcios para
medir en vertical era el - codo -, mientras que al medir distancias horizontales utilizaban la mano -, de las que había siete en un codo”.
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Maestría en la Enseñanza de la Matemática
La importancia de la medida es tal, que las unidades estaban plasmadas en el Corán,
libro sagrado de los musulmanes.
En las ciudades cristianas, donde la vida y el mercado se desarrollan en torno a la
Iglesia, es en la parte exterior de su ábside (cúpula) donde quedaron marcadas unidades como
el pie (aproximadamente 30cm) o la vara (equivalente a 3 pies) cuyas medidas, podían variar
de región en región y también de ciudad en ciudad, distinguiendo por ejemplo el pie romano,
el bizantino, etc.
Los romanos se habían esforzado en imponer un sistema único de medidas válido en
todo su inmenso imperio pero, durante la Edad Media, con la fragmentación del imperio y la
expansión del Islam (s. VII-VIII), el comercio europeo del Mediterráneo prácticamente
desapareció debido al hundimiento de las economías urbanas europeas y al cierre de las rutas
comerciales produciéndose la ruptura de la cuenca mediterránea como espacio integrado de
civilización e intercambios. La existencia de pequeños feudos provocó la aparición de
prácticas locales y específicas de las actividades propias de la región donde proliferaron las
unidades y, a pesar de conservar en muchos casos el mismo nombre, cada una de ellas tenía
valores tan diferentes que a veces casi llegaban a duplicarse, a unos kilómetros de distancia, al
pasar de una provincia a otra.
Si bien se realizaron intentos de unificación de un sistema de unidades de medidas con
anterioridad; es en 1670 que el sacerdote francés Gabriel Mouton, da el primer paso en esa
dirección, proponiendo un sistema decimal cuya unidad era la longitud del arco de meridiano
equivalente a un minuto de arco. Actualmente la longitud media de un meridiano se aproxima
a 40.007,86km y al dividir esta longitud por los 21.600 minutos que tiene la circunferencia se
obtiene 1.852,216 metros como longitud de un minuto de arco.
Pero la mayor parte de los físicos que se interesaron en esta cuestión durante los siglos
XVI y XVII (principalmente el inglés Wren, el holandés Huygens y los franceses Picard y La
Condamine) proponían como patrón la longitud de un péndulo que oscilase en intervalos de
un segundo de tiempo a la latitud de 45 grados.
Llegados al siglo XVIII, la diversidad de pesos y medidas existente era abrumadora.
Los abusos y escándalos, más que la propia diversidad de las medidas, hacían necesario la
unificación de un sistema de unidades.
Guedj, D. (1998, pp.10-11), expresa al respecto: “Se reprochaba la diversidad de
pesos y medidas: la leña se vendía por cuerdas, el carbón vegetal por cestos, el carbón de
piedra por sacos, el ocre por toneles y la madera de construcción por marcas o vigas. Se
vendía la fruta para sidra por barricas; la sal por moyos, por sextarios, por minas, por
minotes y por medidas; la cal se vendía por barricas y el mineral por espuertas. Se compraba
la avena por picotines y el yeso por sacos; se despachaba el vino por pintas, jarras, pasmos,
galones y botellas. El aguardiente se vendía por cuartillos, el trigo por moyos y escudillas.
Los paños, cortinas y tapices se compraban por alnas cuadradas; los bosques y prados se
contaban en pértigas cuadradas, la viña en cuarteras. El arapende valía doce jornales y el
jornal expresaba el trabajo de un hombre en un día, lo mismo ocurría con la peonada. Los
boticarios pesaban en libras, onzas, dracmas y escrúpulos. La libra valía doce onzas, la onza
ocho dracmas, la dracma tres escrúpulos y el escrúpulo veinte granos.
Las longitudes se medían en toesas y pies del Perú, que equivalían a una pulgada, una
loña y ocho puntos del pie del rey, que era el del rey Filicteras, el de Macedonia y el de
Polonia; también el de las ciudades de Padua, Pésaro y Urbino. Era, poco más o menos, el
antiguo pie del Francocondado, de Maine y de Perche, y el pie de Burdeos para los
agrimensores. Cuatro de esos pies se aproximaban al alna de Laval. Cinco de ellos
equivalían al hexápodo de los romanos, que era la caña de Toulouse y la verga de Norai. Era
también la de Raucourt, así como la cuerda de Marchenoir en Dunois. En Marsella, la caña
13
Maestría en la Enseñanza de la Matemática
para los paños era, aproximadamente, un catorceavo más larga que la de la seda: en total,
de 700 a 800 nombres de unidades.
Deseando que para toda Francia sólo exista un alna, un pie, un peso y una medida, la
Revolución decidió uniformarlo todo. Instauró un sistema de medidas único y uniforme,
asegurando así la facilidad en los intercambios y la integridad en las operaciones
comerciales.”
En esta búsqueda de unificar la medida, la Academia de las Ciencias de Francia, trató
de excluir todos los elementos arbitrarios, todo lo que pudiera despertar sospechas sobre el
interés particular de Francia y, finalmente, se volcó hacia la Naturaleza. Así, en Marzo de
1791, decidió que el cuarto de meridiano terrestre se convirtiera en la unidad real de medida,
y la diezmillonésima parte de esa longitud (la cuarenta millonésima parte de un meridiano
terrestre) fuera la unidad usual. La unidad en cuestión recibió el nombre de “metro” (del
griego metron, “medida”), sus divisiones se denominarían con prefijos latinos (decímetro,
centímetro, milímetro) y sus múltiplos, con griegos (decámetro, hectómetro, kilómetro).
El arco de meridiano elegido fue el que va desde Dunkerque hasta Barcelona debido a que
Dunkerque se encuentra 6° por encima del paralelo 45, mientras que Barcelona se encuentra
3,5° por debajo y que ambos sitios se encuentran relativamente cerca del nivel del mar, por lo
que sólo se necesitaron correcciones mínimas por altitud.
Estas ciudades se encuentran aproximadamente a 41° de latitud, sobre el mismo
meridiano. En Dunkerque, el punto de partida estaba aproximadamente a 51° 02' 55,08" de
latitud y 2° 22' 56,00" de longitud, a una altitud de 4,27m (14 pies) sobre el nivel del mar. En
Barcelona, las mediciones comenzaron en la Torre de Montjuic, a 41° 21' 49,26" de latitud y a
2° 10' 0,49" de longitud, a 53,95m (177 pies) sobre el nivel del mar.
La medición fue encomendada a dos astrónomos: Jean-Baptiste Delambre, que
comenzaría en Dunkerque, y Pierre Mechain, que lo haría en Barcelona, ambos deberían
encontrarse en Rodez, iniciando el trabajo en junio de 1792.
La técnica a utilizar sería la de la triangulación geodésica, técnica de agrimensura que
consiste en medir una distancia por medio de la construcción de una red de triángulos. Se
trazaría una cadena de triángulos, los vértices de los cuales serían montañas, campanarios,
torres situadas a lo largo del meridiano. En primer lugar, se debía medir con precisión la
altitud de los puntos del triángulo, lo que se llevó a cabo por medio de la medición de los
ángulos verticales, con errores de sólo medio segundo. En segundo lugar, se mediría
cuidadosamente la distancia existente entre dos vértices del triángulo, denominada base
(longitudes de entre 6 y 10km), formando un lado del triángulo. Luego se establece un tercer
punto a una cierta distancia y se miden los ángulos desde los extremos de la base hasta ese
punto. Finalmente, es posible calcular la longitud de los otros dos lados mediante el teorema
del seno:
Para establecer el triángulo siguiente, se utiliza uno de los lados del primer triángulo.
Aunque la técnica de triangulación generalmente requiere la medición de una sola base,
Delambre y Méchain, en algunos casos midieron dos. Por ejemplo, se midió una segunda base
entre las ciudades francesas Melun y Lieusaint (6.075,90 toesas de Perú) y entre Salces (ahora
Salses-le-Chateau) y Vernet (6.006,25 toesas de Perú), cerca de Perpiñán.
La unidad de medida utilizada para realizar dicha medición fue el patrón que existía en
Francia: la toesa de Perú, barra de acero plana terminada en dos recintos en cada extremidad,
acompañada de reglas de hierro que encajaban exactamente dentro de las cantoneras
14
Maestría en la Enseñanza de la Matemática
terminales, era considerada la más homogénea en todas las regiones, contenía 6 pies, y
equivalía a 1,94904 metros.
Jean Antoine de Caritat, marqués de Condorcet, filósofo y diputado en la Asamblea,
dedicó la expedición que iba a establecer la nueva unidad métrica “a todos los pueblos, a
todos los hombres”.
Tras un año de trabajos y previendo que la medición del meridiano se retrasaría más
tiempo de lo previsto, debido a los vaivenes de la situación política interna y a las
confrontaciones bélicas con los estados monárquicos europeos, el 1 de agosto de 1793 la
Convención (órgano de gobierno que sustituyó a la desaparecida Asamblea Nacional)
instituye un sistema métrico provisional cuya unidad de longitud se fija en 36 pulgadas, es
decir 11,46 líneas de la toesa del Perú.
El 7 de abril de 1795 la Convención decreta que habrá un solo patrón de pesos y
medidas para toda Francia, el sistema métrico decimal. El 25 de septiembre del mismo año, el
uso del metro sustituye al del alna en el municipio de París.
Después de varias interrupciones en la medición del meridiano, en noviembre de 1798,
tras casi 7 años de arduos trabajos, tiene lugar la última medición: se determina la latitud del
Panteón. En total, Delambre y Méchain midieron 115 triángulos entre Dunkerque y
Barcelona.
Todas las mediciones fueron largamente estudiadas y verificadas por los miembros de
la Comisión Internacional reunida en París “ad hoc” durante varios meses. A partir de ellas se
efectuaron los distintos cálculos y se estableció la longitud del metro: 3 pies, 11 líneas,
296/1.000 de línea de la toesa del Perú. El Kilogramo, por su parte, pesa 2 libras, 5 gruesas y
35 granos.
El 22 de junio de 1799 (4 de Mesidor del año VII), tras haber sido presentados a los
Consejos de los Ancianos y de los Quinientos, los patrones del metro y del kilogramo son
depositados en los Archivos de la República. Ambos, una barra y un cilindro, se habían
moldeado en platino para resistir los estragos del tiempo.
Resnick, R. y Halliday D. (1961), sostienen: “El primer patrón de longitud
verdaderamente internacional fue una barra de aleación de platino-iridio que se llamó el
metro patrón que se conserva en la Oficina Internacional de Pesas y Medidas cerca de París,
Francia. Se definió como un metro la distancia entre dos rayas delgadas trazadas en unos
botones de oro cerca de los extremos de la barra (cuando la barra estaba a la temperatura de
0ºC y apoyada mecánicamente en determinada forma)”.
En diciembre de 1799 se produce el golpe de estado de Napoleón. El 4 de noviembre
de 1800, un decreto de los Cónsules autoriza el empleo de los antiguos nombres de medidas.
Finalmente, tras un emperador, un rey, una pequeña revolución, un segundo rey el 1 de
enero de 1840 el sistema métrico decimal se hace oficial y obligatorio en territorio francés.
España lo declara obligatorio el 19 de julio de 1849.
Resnick – Halliday (1961)7 afirman: “El primero que sugirió (en 1864) que se usara
la longitud de onda de la luz como patrón de longitud fue Hippolyte Louis Fizeau (18191896). Posteriormente el desarrollo del interferómetro proveyó a los hombres de ciencia de
un dispositivo óptico de precisión con el cual se pueden usar las ondas luminosas como
término de comparación. Su longitud de onda es de aproximadamente 5x10-7m y las
mediciones de longitud de barras de unos cuantos centímetros de largo se pueden hacer con
una aproximación de una fracción muy pequeña de longitud de onda. Un método fundado en
7
Op. Cit. 15
Maestría en la Enseñanza de la Matemática
el uso de longitudes de onda se presta a obtener una precisión de una parte en 109 al
intercomparar longitudes. Cuando se suscitó la necesidad de obtener este grado de precisión
en la comparación de longitudes, se hicieron esfuerzos para determinar la mejor fuente
luminosa.
En 1961 se adoptó por convenio internacional un patrón atómico de longitud. Se escogió la
longitud de onda, en el vacío, de una cierta radiación anaranjada (identificada por la
notación espectroscópica 2p10 – 5d5) emitida por los átomos de un cierto isótopo del kriptón
(Kr86) en una descarga eléctrica.”
En Resnick - Halliday – Krane (2000) se puede leer: “Específicamente, el metro se
definió como 1.650.763,73 longitudes de onda de esta luz.”
Resnick – Halliday (1961): “Se llegó a este número de longitudes de onda midiendo
cuidadosamente la longitud del metro patrón en función de esas ondas luminosas. Esta
comparación se efectuó de tal manera que el nuevo patrón, basado en la longitud de onda de
la luz, se ajustara hasta donde fuera posible al antiguo patrón definido mediante la barra del
metro patrón.
La elección de un patrón atómico ofrece otras ventajas además de la mayor precisión en la
medición de longitudes. Los átomos que generan la luz se encuentran en todas partes y todos
los átomos de una especie dada son idénticos y emiten luz de la misma longitud de onda. Por
consiguiente, un patrón atómico de esta naturaleza es accesible y es invariable. La longitud
de onda que se escogió es precisamente características del kriptón-86 y está definida con una
gran precisión. Este isótopo se puede obtener con gran pureza, con relativa facilidad y hasta
cierto punto a bajo costo.”
Resnick - Halliday – Krane (2000)8 “Para 1983, las demandas de una precisión más
alta habían llegado a tal punto que aún el patrón Kr86 no podía cumplirlas y en aquel año se
dio un paso audaz. El metro fue redefinido como la distancia recorrida por una onda de luz
en un intervalo de tiempo especificado. En las palabras de la 17ª Conferencia General de
Pesos y Medidas: -El metro es la distancia recorrida por la luz en el vacío durante un
intervalo de tiempo de 1/299.792.458 de segundo-. Esto es equivalente a decir que la
velocidad de la luz c se define ahora como: c = 299.792.458 m/s (exactamente)”.
Así, la unidad de longitud queda subordinada a la unidad de tiempo, bajo la vigilancia
de una de las constantes universales: la velocidad de la luz en el vacío, que según la teoría de
la relatividad de Einstein es la misma, medida desde donde se mida, desde cualquier sistema
de referencia posible en el universo.
El deseo de universalidad de quienes quisieron basar el sistema de medidas en las
dimensiones de la Tierra, el metro de la República Francesa, una e indivisible, calculado en
función del meridiano de París, cedió al anhelo cósmico de una época que considera haber
descifrado una de las claves maestras de la naturaleza, y a la que el standard del siglo XVIII le
parece poco: el metro debe ser definido en función de algo verdaderamente universal como la
velocidad de la luz en el vacío.
En la siguiente tabla, se presenta a modo de resumen, la evolución en el tiempo, de la
unidad de longitud, el metro patrón.
Año Organismo 1795 Asamblea 8
Definición 1/10.000.000 del cuadrante de meridiano terrestre. Op. Cit. 16
Maestría en la Enseñanza de la Matemática
Francesa 1799 Asamblea Francesa 1889 1. a C.G.P. y M 1960 11. a C.G.P. y M Materialización del valor anterior en una regla, a extremos, de platino depositada en los archivos de Francia. Patrón material internacional de platino iridiado, a trazos, depositado en el BIPM. Es llamado metro internacional. 1.650.763,731 en el vacío de la radiación de Kripton 86
(transición entre los niveles 2 p10 y 5 d5).
‐8
(Incertidumbre 1∙ 10 ). a 1983 17. C.G.P. y M Longitud de trayecto recorrido en el vacio por la luz durante 1/299.792.458 segundos. (Incertidumbre 2.5∙ 10 ‐11). BIPM: Bureau International des Poids et Mesures La evolución histórica de la medida estuvo centrada en la magnitud longitud; en cambio, en relación con la magnitud peso actualmente se está buscando una unidad universal pues el kilogramo es el único patrón cuya definición todavía está basada en un artefacto. La metrología es la ciencia de la medición, que se interesa por la metodología de la medida, por la determinación de los errores, por el efecto de los mismos sobre los resultados de los cálculos, la determinación de patrones y de sistemas de unidades, el estudio de los aparatos y de las técnicas de medición de magnitudes de todo tipo (eléctricas, magnéticas, acústicas, mecánicas, ópticas, térmicas). Bär, N. (2007), afirma que “el kilo patrón, un trozo de metal guardado en una bóveda en las afueras de París, habría variado unos 100 microgramos. Cuando se lo compara con los patrones nacionales, se ve que hay un corrimiento ‐explica el Dr. Héctor Laiz‐ cambian alrededor de una parte en mil millones por año.” La convención diplomática que establece el sistema internacional de unidades se dio plazo hasta el 2011, es decir el presente año, para encontrar una definición del kilo que, esta vez, sea inmutable y dependa de un fenómeno físico reproducible en cualquier tiempo y lugar del universo. Bär, N. (2007), "Se están explorando dos ideas ‐dice Laiz‐: una basada en la balanza de Watt, que compara la fuerza ejercida por una masa de un kg en el campo gravitatorio de la Tierra con otra generada eléctricamente (relacionaría el kg con unidades eléctricas); y la segunda lo vincularía con un número fijo de átomos de silicio (a partir de la construcción de un cristal perfecto de ese material). Sin embargo, surgen obstáculos por la incertidumbre de los experimentos. ¡Ah!, la incertidumbre, esa imprecisión que aborrecen los metrólogos...” Como se ha podido apreciar, la medición ha evolucionado a lo largo de la historia, lo que nos muestra la dificultad de llevar al aula un conocimiento que aún hoy sigue evolucionando. Por ello, la compleja tarea del docente en el proceso de enseñanza – aprendizaje de dichos conocimientos exige una preparación a la hora de realizar los recortes del conocimiento a llevar al aula, plantear las situaciones que permitan la construcción por parte de los alumnos del concepto de área y su evolución de acuerdo al nivel de escolaridad. Marco Didáctico 17
Maestría en la Enseñanza de la Matemática
El marco didáctico de este trabajo lo constituyen la teoría de las situaciones didácticas
(TSD) y la teoría antropológica de lo didáctico (TAD), que forman el eje central de la
Didáctica de la Matemática.
Ambas teorías forman lo que se identifica como Didáctica Fundamental, ciencia iniciada
por Guy Brousseau a fines de los años 60.
Chevallard, Y.; Bosch, M. y Gascón, J. (1997, p. 40) expresan: “La didáctica de la
matemática es la ciencia que estudia los procesos didácticos, los procesos de estudio de
cuestiones matemáticas”
Chevallard, Bosch y Gascón (1997, pp. 213-214)9, afirman:
“La TSD de Guy Brousseau, pretende modelizar y contrastar empíricamente los
fenómenos didácticos que surgen en el ámbito de un sistema didáctico a partir de la
problematización y cuestionamiento de un conocimiento matemático enseñado. (…)
La teorización de los fenómenos didácticos llevada a cabo por la teoría de las situaciones
se hace “a través de” una modelización concreta del conocimiento matemático enseñado.
(…) Para llevar a cabo dicha teorización Brousseau parte de un modelo general del
conocimiento matemático que se resume a continuación.
Los autores citando a Brousseau, afirman: “Saber matemáticas no es solamente saber
definiciones y teoremas para reconocer la ocasión de utilizarlos y de aplicarlos es, “ocuparse
de problemas” en un sentido amplio que incluye encontrar buenas preguntas tanto como
encontrar soluciones. Una buena reproducción, por parte del alumno, de la actividad
matemática exige que éste intervenga en la actividad matemática, lo cual significa que
formule enunciados y pruebe proposiciones, que construya modelos, lenguajes, conceptos y
teorías, que los ponga a prueba e intercambie con otros, que reconozca los que están
conformes con la cultura matemática y que tome los que le son útiles para continuar su
actividad”
A partir de esta enunciación de saber matemática, podríamos afirmar que: saber área
significa no sólo conocer las fórmulas para calcular el área de distintas figuras, sino
básicamente ocuparse de problemas que incluyen plantearse preguntas, por ejemplo: ¿Existirá
alguna figura que tenga mayor área y menor perímetro que otra figura dada? Si se duplica la
altura de un triángulo ¿se duplicará el área? ¿Y el perímetro? ¿Será posible utilizar la
fórmula del área de un trapecio para todos los cuadriláteros? Si la respuesta es no, ¿para
cuáles sí?; que formule enunciados y determine su validez, por ejemplo: Si se duplica el
perímetro ¿se duplicará el área? o que construya teorías como: Si se construyen
cuadriláteros con igual perímetro, haciendo variar la altura, el área varía desde 0 a un valor
máximo que corresponde a un cuadrado.
Chevallard, Bosch y Gascón (1997, p. 214)10, citando a Brousseau: “Enseñar un
conocimiento matemático concreto, (por ejemplo los números decimales) es, en una primera
aproximación, hacer posible que los alumnos desarrollen con dicho conocimiento una
actividad matemática en el sentido anterior. El profesor debe imaginar y proponer a los
alumnos situaciones matemáticas que ellos puedan vivir, que provoquen la emergencia de
genuinos problemas matemáticos y en las cuales el conocimiento en cuestión aparezca como
9
Op. Cit. Op. Cit. 10
18
Maestría en la Enseñanza de la Matemática
una solución óptima a dichos problemas, con la condición adicional de que dicho
conocimiento sea construible por los alumnos.”
Estudiar matemática es apropiarse del conocimiento otorgándole un significado, un
sentido, lo que implica reconocer en qué situaciones es útil ese conocimiento y cuáles son los
límites de su utilización; en qué situaciones es una herramienta, un instrumento eficaz para
resolverlas. Por ello, la escuela necesita trabajar contenidos que se constituyan en
instrumentos útiles también fuera de ella, que permitan a los alumnos reconocerlos más allá
de sus muros.
Brousseau, G. (1999) denomina situación “a un modelo de interacción de un sujeto con
cierto medio que determina a un conocimiento dado como el recurso del que dispone el sujeto
para alcanzar o conservar en este medio un estado favorable. Algunas de estas situaciones
requieren de la adquisición anterior de todos los conocimientos y esquemas necesarios, pero
hay otras que ofrecen una posibilidad al sujeto para construir por sí mismo un conocimiento
nuevo en un proceso genético” 11.
La situación didáctica es una situación construida intencionalmente con el fin de hacer
adquirir a los alumnos un saber determinado.
Brousseau, G. (1982) define situación didáctica como “un conjunto de relaciones
establecidas explícita y/o implícitamente entre un alumno o un grupo de alumnos, un cierto
medio (que comprende eventualmente instrumentos u objetos) y un sistema educativo
(representado por el profesor) con la finalidad de lograr que estos alumnos se apropien de un
saber constitutivo o en vías de constitución.”12
La teoría de las situaciones aparece entonces como un medio para comprender lo que
sucede en el aula y producir problemas adaptados a los saberes y a los alumnos y constituir un
medio de comunicación entre los investigadores y los profesores.
En una situación de aprendizaje en la que el alumno debería adaptarse a una situación
objetiva resulta necesario que pueda comprender la consigna por él mismo y elaborar, con sus
conocimientos actuales, una estrategia que le permita afrontarla. El conocimiento nuevo es
entonces el medio para producir el efecto esperado mediante una estrategia.
La Teoría antropológica de lo didáctico (TAD) por su parte, postula que el saber
matemático se construye como respuesta al estudio de cuestiones problemáticas, apareciendo
así como el resultado de un proceso de estudio.
La necesidad de comparar superficies para el cobro de impuestos, para la agricultura, para
intercambios comerciales, etc. pudo haber sido una cuestión problemática que dio origen al
concepto de área. Estas cuestiones y otras más precisas permitieron desarrollar el
conocimiento sobre este concepto y su medición.
La noción de praxeología matemática nace dentro del marco de la Teoría Antropológica
de lo Didáctico con la búsqueda de una herramienta que permita modelizar con mayor detalle
las prácticas matemáticas, incluyendo su dimensión material, y los saberes matemáticos como
componentes inseparables de las prácticas.
11
Citado en Gálvez, G (1994).
12
Citado en Gálvez, G (1994). Op. Cit. 19
Maestría en la Enseñanza de la Matemática
Esta teoría parte de asumir que la actividad matemática debe ser interpretada como una
actividad humana más y, en consecuencia, propone un modelo general de las actividades
humanas que formula en términos de praxeologías.
Se llama praxeología a cualquier actividad humana que plantea tareas a realizar, maneras
de realizar dichas tareas (técnicas) y maneras de explicar el por qué de esas maneras de hacer
(tecnologías-teorías).
Chevallard, Bosch y Gascón (1997, pp. 123-125) señalan: “Nuestro objetivo es, pues,
convertir un tipo de tareas inicialmente problemáticas en tareas rutinarias, esto es, en tareas
realizables regularmente con éxito.
Para ello tendremos que disponer de una manera de hacer determinada (…). Llamaremos
técnica a cada una de estas maneras de hacer (…).
La existencia de una técnica supone que también exista en su entorno un discurso
interpretativo y justificativo de la técnica y de su ámbito de aplicabilidad o validez.
Llamaremos a este discurso sobre la técnica una tecnología. Además de justificarla y hacerla
inteligible, la tecnología también tiene la importante función de aportar elementos para
modificar la técnica con el fin de ampliar su alcance, superando así sus limitaciones y
permitiendo en algunos casos la producción de una nueva técnica.(…)
Llamaremos teoría asociada a una técnica, a la tecnología de su tecnología, esto es, a un
discurso matemático suficientemente amplio como para interpretar y justificar la
tecnología.”
Chevallard (2006)13 afirma: “Un principio fundamental de la TAD es que no pueden
existir acciones humanas sin ser, al menos parcialmente, “explicadas”, hechas
“inteligibles”, “justificadas”, “contabilizadas”, en cualquier estilo de “razonamiento” que
pueda abrazar dicha explicación o justificación.”
Y. Chevallard (1999)14 clasifica las praxeologías matemáticas en una secuencia de
complejidad creciente, comenzando por las denominadas praxeologías puntuales, aquéllas
constituidas por técnicas construidas en torno a un único tipo de problemas. Las praxeologías
puntuales se pueden articular entre sí de acuerdo con su marco teórico para dar lugar a las
praxeologías locales, regionales o globales que cubren respectivamente un tema matemático
completo, todo un sector o toda un área.
Chevallard, Bosch y Gascón (1997, p. 126) señalan: “Una obra matemática nace como
respuesta a un tipo de cuestiones o tareas problemáticas y está formada por elementos
técnicos, tecnológicos y teóricos. La podemos concebir como una organización estática y
determinada de antemano, y tendremos una visión de las matemáticas como un conjunto de
obras cerradas. Pero es preferible interpretarla de forma dinámica: las técnicas generan
nuevos problemas y apelan a nuevos resultados tecnológicos que, a su vez, permiten
desarrollar técnicas ya establecidas, así como abordar y plantear nuevas cuestiones.”
Gascón, J. (2002): “Yves Chevallard propone una jerarquía de niveles de
codeterminación entre las Organizaciones Matemáticas (OM) escolares y las
correspondientes Organizaciones Didácticas (OD), esto es, entre las formas de estructurar
las cuestiones matemáticas a estudiar y las maneras de organizar el estudio de las mismas en
la escuela.(…)
13
14
Citado en Bosch, M. y Gascón J. (2003) Citado en Bosch, M. y Gascón J. (2003)
20
Maestría en la Enseñanza de la Matemática
Podemos esquematizar dicha jerarquía mediante una sucesión de niveles de
estructuración de las citadas OM y OD, que van desde el más genérico, la sociedad, al más
específico, una cuestión matemática concreta que se propone para ser estudiada.”
Sociedad → Escuela → Disciplina → Área → Sector → Tema → Cuestión
“Por ejemplo, la cuestión “¿Cuáles son las simetrías de un rectángulo no cuadrado?” se
considera hoy en día, en la mayoría de los sistemas escolares en los que se estudia esta
cuestión, como perteneciendo al tema de las “Simetrías de polígonos”, que se incluye en el
sector de las “Transformaciones del plano” que se incluye dentro del área de la Geometría,
que pertenece a la disciplina Matemáticas.”
En cada uno de estos niveles se imponen condiciones que definen lo que es posible hacer
para estudiar una cuestión, es decir van configurando lo que es didácticamente posible en el
aula.
Esta jerarquía de niveles de los saberes, que es indispensable para que una cuestión sea estudiada, no es para nada propia de la cuestión, es relativa a la Institución escolar, al nivel de escolaridad y a una época histórica dada; y es el resultado de un proceso que culmina en las cuestiones que pueden ser abordadas. Condiciona a su vez, lo que es posible hacer tanto en el plano matemático como en el didáctico. El principio fundador de la Didáctica de la Matemática, expresa: “El saber aprendido es
inseparable de las condiciones de acceso al mismo”. Con ello se desea expresar que las OD
dependen fuertemente de las OM, es decir, para que una cuestión matemática viva en una
institución escolar, es necesario que exista un tema en el que se sitúa, un sector que lo
contenga y un área de la matemática de la que forme parte dicho sector.
Gascón (2000) señala que, para que una cuestión matemática pueda existir en una
Institución escolar es necesario que exista la cadena de niveles de organización que permita el
acceso al estudio de dicha cuestión.
Brousseau (1994)15 amplia el ámbito de alcance de la didáctica, y define Didáctica de la
Matemática como la “ciencia de las condiciones específicas de la difusión de los saberes
matemáticos útiles a las personas y a las instituciones humanas”.
Tanto la TSD como la TAD nos proporcionarán las herramientas necesarias para el
análisis de las organizaciones matemáticas (praxeologías) referentes a la medición de áreas en
el Nivel Secundario, conocimientos fundamentales para elaborar en un futuro una secuencia
para el tratamiento del área.
15
Citado en Gascón, J. (1998) 21
Maestría en la Enseñanza de la Matemática
Capítulo 2: En el aula
En este Capítulo, presentaremos el análisis de siete clases observadas relacionadas con la
enseñanza y aprendizaje de la medición de áreas de superficies planas, que fueron
desarrolladas por un profesor (P) en un 2do año del Colegio Secundario “Dr. René Favaloro”
en el ciclo lectivo 2008. En el anexo 1 se incluyen los registros realizados en la observación.
El análisis de las clases se realizará teniendo como marco la caracterización de la
medición de áreas de figuras planas realizada en el Capítulo 1. Primeramente, se presentarán
las seis primeras clases de las cuales se incluirá su análisis y posteriormente la séptima debido
a que en ella, se solicitan definiciones de área.
En el inicio de la primera clase, el Profesor se propone recuperar -a partir del recuerdo
de los alumnos- la clasificación de polígonos, presentada a estos alumnos en el curso anterior,
del cual él también fue el profesor.
Los alumnos mencionan cóncavos y convexos como una primera clasificación de los
polígonos, y ante el pedido del P, la van especificando primero en cuadriláteros y triángulos, y
luego los cuadriláteros en paralelogramos y no-paralelogramos; finalmente, dentro de los
primeros (paralelogramos) mencionan a los rectángulos y cuadrados.
En este proceso no se caracteriza ninguno de los tipos de figuras, ni se indaga si una
subclasificación comprende al total de figuras de una clase de la clasificación anterior o no,
como al clasificar los convexos en cuadriláteros y triángulos sin mencionar - ni ser solicitado
por el docente - los polígonos de más de 4 lados.
Es casi al final de este intercambio, cuando el P -al solicitar una clasificación de los no
paralelogramos- indaga en particular sobre un tipo de figuras: “¿por qué no- paralelogramos?”
Los alumnos asumen que esa pregunta es equivalente a solicitar qué características tienen los
no-paralelogramos y afirman que no tienen lados iguales. El P corrige: “porque no tenían
lados paralelos” sin aclarar cuál es el significado de esta afirmación ya que los noparalelogramos deberían ser definidos como aquéllos cuadriláteros que tienen un único par de
lados paralelos (trapecios no-paralelogramos) o ninguno (trapezoides).
A la siguiente pregunta sobre cuáles son dichos no-paralelogramos, los alumnos
mencionan a los trapecios isósceles, trapecios rectángulos, trapecios propiamente dicho, es
decir citan ejemplos de figuras que tienen al menos un par de lados paralelos.
El P por su parte, especifica su afirmación anterior diciendo que los cuadriláteros noparalelogramos tienen sólo un par de lados opuestos paralelos. Es decir que finalmente el P
plantea una clasificación de los cuadriláteros en dos clases disjuntas: los paralelogramos y los
trapecios, ya que en esa última afirmación, dejó de lado a los trapezoides.
22
Maestría en la Enseñanza de la Matemática
Sostenemos que es importante avanzar en el Nivel Secundario en continuidad con los
aprendizajes del nivel primario, en establecer y trabajar con relaciones las clases de figuras,
en particular ubicando a los paralelogramos como una subclase de los trapecios, dado que si
estos últimos se definen como cuadriláteros que poseen un par de lados paralelos, los
paralelogramos al tener dos pares, poseen también un par, y por lo tanto son trapecios.
Esta primera parte de la clase concluye retomando a nivel de nombres únicamente, la
clasificación de triángulos por sus lados y por sus ángulos.
Como ya dijimos, la determinación de las clases de polígonos no es acompañada en casi
ningún caso de la identificación de las propiedades que caracterizan a cada clase ni de dibujos
de las figuras mencionadas.
La segunda parte de la primer clase se inicia con el anuncio del P de que “a partir de la
clasificación citada, van a estudiar el área de esas figuras”16. Se podría suponer así, que el
estudio del que habla el P estará relacionado con la clasificación de polígonos retomada en el
inicio.
El diálogo que se instaura a partir de ese anuncio, sigue un cierto patrón, que se repite para
cada una de las cinco figuras que considera.
‐ El P pregunta: ¿El área de qué figura estudiamos el año pasado en séptimo?
‐ Los alumnos (As) dirán - en respuesta a cada pregunta - sucesivamente: triángulo,
cuadrado, rectángulo, rombo y paralelogramo.
‐ El P indaga sobre la fórmula del cálculo del área de cada una de esas figuras, la
escribe en el pizarrón y luego,
‐ demanda características de la figura de estudio.
Si las respuestas de los alumnos no coinciden con lo esperado por el P, éste da la respuesta
correcta o bien, completa la dada por los alumnos.
Por ejemplo, en el caso del rectángulo se incluye el siguiente diálogo extraído del registro:
P: ¿Qué otra figura?
A: El área del rectángulo.
=b.h
El P escribe en el pizarrón:Área
P: ¿El rectángulo se caracterizaba por?
As: Dos pares de lados iguales
P: ¿y?
A: … (Silencio)
P: Esos lados son paralelos.
En los diálogos que organiza el docente para cada figura, podemos analizar que la palabra
fórmula es mencionada una sola vez y por el docente, en el caso del cuadrado; identificando
en el discurso correspondiente a los demás casos, área de una figura con fórmula para el
cálculo del área de la misma.
Las formas utilizadas para preguntar sobre la fórmula que permite calcular el área de las
distintas figuras son las siguientes:
‐ ¿Cuál es el área? (En el caso del triángulo). Los alumnos responden: Base por altura sobre dos. ‐ ¿Cuál es su fórmula? (En el caso del cuadrado). Los alumnos: Base por altura. 16
Nota: Registro de clase. (2008, septiembre 8). Colegio Secundario “Dr. René Favaloro”. Anexo 1. 23
Maestría en la Enseñanza de la Matemática
‐ En el caso de la tercera figura, ante la pregunta del P: ¿Qué otra figura? Los alumnos ya responden directamente: El área del rectángulo, y el P escribe la fórmula en el pizarrón. ‐ En el caso del paralelogramo, el P retoma la pregunta: ¿Y el área del paralelogramo? Los alumnos responden con la fórmula. Es decir, en el diálogo instalado en esta parte de la clase, aparece una cierta ambigüedad
entre magnitud a medir, en este caso el área, los entes geométricos a los cuales se mide dicha
magnitud, y los recursos, únicamente fórmulas, que pueden utilizarse para su cálculo. La
identificación de la magnitud área con la fórmula, será retomada al analizar la última de las
clases observadas.
Por otra parte y tal como lo mencionamos previamente al describir el esquema de diálogo,
el P incluye para cada figura una pregunta en relación con las características de cada figura:
‐ ¿Qué tienen los cuadrados?
‐ ¿El rectángulo se caracteriza por?
‐ ¿Te acordás que características tenía el rombo?
‐ ¿Cómo es el paralelogramo?
En algunos de estos casos, cuando los alumnos responden lados iguales (como en el caso
del rectángulo) el P aclara que se trata de lados paralelos. Este tipo de preguntas nos llevó a
conjeturar que el P estaría tratando de considerar a las distintas figuras del estudio como
paralelogramos -lo que daría un sentido a la clasificación de figuras discutida previamente - y
a señalar que el área de todos esos cuadriláteros puede ser calculada por medio de la fórmula
bxh, fórmula “típica” de los paralelogramos. Esta relación entre clases de figuras y fórmulas
de cálculo del área, desarrollaremos en el capítulo 5 y corresponde a lo que consideramos
debería ser uno de los “avances” del tema de medición de áreas de figuras planas en el Nivel
Secundario. Como veremos más adelante, esta conjetura no pudo ser confirmada ya que el P
no retoma esta cuestión.
Al finalizar la revisión el P solicita: “Copien estas fórmulas para recordar y les voy a dar
algunas actividades para que calculen el área de esas figuras”17. Esta tarea se desarrolla en
la última parte de la primera clase y durante toda la segunda.
En la segunda clase, el P retoma la tarea – presentada al finalizar la clase anterior - de
calcular el área de algunos polígonos irregulares, con datos correspondientes a longitudes
(dadas en el esquema en centímetros) de ciertos lados, que puede ser calculada identificando
partes de dicho polígono con algunas de las figuras tratadas de las cuales se conocen sus
fórmulas.
En el desarrollo de esta tarea, aparecen algunas de las cuestiones relacionadas con el
concepto de área:
‐ la relación entre perímetro y área que aparece en la clase a partir de la duda entre
sumar las longitudes de los lados o bien multiplicar dos de ellas;
‐ la utilización de unidades de medida y su pertinencia, tanto para la longitud de los
lados como para el área de las figuras;
‐ la aditividad del área para el cálculo del área de una figura compuesta por otras
figuras.
17
Registro de clase. (2008, septiembre 8). 24
Maestría en la Enseñanza de la Matemática
Estas cuestiones o bien no son retomadas por el P ni puestas en evidencia como en el caso
de las dos últimas citadas o bien, se retoman a nivel de “recuerdos” de otros alumnos “¿quién
se acuerda?” como en el caso de la confusión entre el cálculo del perímetro y del área.
En la tercera clase, el P presenta las fórmulas correspondientes a las figuras que no se
trataron en las dos primeras clases: rombo18, romboide y trapecio. Puede considerarse que
para estas figuras se trata de la organización que el P estableció para su aprendizaje, ya no de
recuerdo de lo aprendido en años anteriores.
Para el caso del rombo explica y muestra en el pizarrón una forma de calcular su área,
considerándolo como formado por dos triángulos que tienen como base a una de las
diagonales y como altura a la mitad de la otra.
P: Entonces, si tenemos en cuenta la parte sombreada vemos:
d1
que es dos veces lo mismo
d2
se simplifica y queda: Área del rombo =
Lo mismo sucede con el romboide, nada más que una diagonal es bastante más
grande que la otra.
En este caso realiza un dibujo en el pizarrón trazando las diagonales y afirmando que la
fórmula encontrada para el cálculo del área del rombo es también válida para esta figura.
d1 Área del romboide =
d2
Sin embargo no explicita cuáles son las propiedades del rombo que permiten
generalizar al caso del romboide, el uso de la fórmula para el cálculo del área, ya que esta
última figura no tiene lados iguales como el rombo, ni se puede considerar como formado por
cuatro triángulos iguales, ni sus dos diagonales se cortan en su punto medio.
Puede observarse que en el caso del rombo, pueden considerarse los dos triángulos iguales
cuya base es cualquiera de las dos diagonales. Sin embargo en el romboide, en relación con
una de las diagonales como base no necesariamente son iguales, ya que el punto de
intersección de las diagonales no coincide necesariamente con el punto medio de ambas.
La propiedad que permite generalizar el uso de esta fórmula, es la de poseer diagonales
perpendiculares. Y es esta misma propiedad la que permitiría su uso en otros cuadriláteros
como en el caso de los trapezoides.
18
En la primera clase, uno de los alumnos había mencionado el rombo como una de las figuras estudiadas el año anterior, pero el resto aclaró que no había sido tratado y fue dejada de lado. 25
Maestría en la Enseñanza de la Matemática
En el discurso del P se observa que intenta diferenciar al rombo del romboide mediante la
medida de sus diagonales: “Lo mismo sucede con el romboide, nada más que una diagonal es
bastante más grande que la otra”, lo que excluye a los romboides cuyas diagonales miden lo
mismo.
Para el trapecio, realiza su descomposición por medio de una de las diagonales, en dos
triángulos cuyas bases son respectivamente la base mayor y menor del trapecio y la altura, la
misma que la de esa figura. A continuación presenta la fórmula correspondiente.
El P escribe en el pizarrón:
“Área del trapecio: cualquier trapecio puede descomponerse en dos triángulos cuyas
bases son b1 y b2 del trapecio y h es la altura del trapecio. Por lo tanto, el área del
trapecio es la suma de las áreas de los dos triángulos.”19
b1
Área del trapecio:
h
b2
Finalmente presenta a los alumnos la tarea de calcular el área de un rombo del cual se
conocen las longitudes de las diagonales, es decir una tarea en la cual se espera que los
alumnos apliquen la fórmula correspondiente.
En la cuarta clase el P presenta la siguiente actividad:
Resuelve:
a) ¿Cuál debe ser la altura del triángulo para que el área de ambas figuras sean
iguales?
4
5
h
5
Podemos suponer que el P esperaba de los alumnos una resolución que requiera la
aplicación de la fórmula:
, derivada de la fórmula que permite calcular el área de un
triángulo, sin embargo frente a la facilidad de cálculos dada por los datos del problema,
recurrieron al tanteo hasta determinar la altura.
En las conclusiones de este análisis retomaremos estas actividades.
b)
El perímetro de un triángulo equilátero es 30cm y la altura es igual a 7cm. ¿Cuál
es el área del triángulo?
Nuevamente se puede suponer que el P espera que sus alumnos utilicen el dato del
perímetro para obtener la longitud de la base (10cm) y disponer así de los datos necesarios
para la aplicación de la fórmula. Sin embargo, se puede observar que dicho triángulo no
19
Nota: Registro de clase. (2008, septiembre 15). Colegio Secundario “Dr. René Favaloro”. Anexo 1. 26
Maestría en la Enseñanza de la Matemática
existe, ya que si se trata de un triángulo equilátero de 10cm de lado, la altura corresponde al
valor 8,66025cm y no a 7cm tal como indica el texto.
Podría considerarse como un “descuido” del profesor, pero también como el fruto de una
cierta actitud frente al conocimiento relativo a medición de área, que aparece en general
reducido a la aplicación de fórmulas, para lo cual no es necesario dibujar la figura y por lo
tanto “no importa” que no exista. En la clase, todos los alumnos realizan el cálculo esperado
y obtienen un valor que correspondería al área de una figura.
c) El área del romboide mide 35cm2 y la diagonal menor mide 7cm. ¿Cuánto mide la
diagonal mayor?
De igual manera que el anterior, los alumnos buscan mentalmente cuál es el valor que
multiplicado por 7 y dividido por 2 de 35cm2.
d) ¿Cuál debe ser la medida de la diagonal del rombo para que el área de ambas
figuras tenga el mismo valor?
d1= 6cm
d2 =?
7cm
6cm
En el desarrollo de la clase se plantean nuevamente algunas de las cuestiones relacionadas
con el concepto de área, que ya señalamos anteriormente y que trataremos en el análisis de las
clases.
Una cuestión específica que podría trabajarse en estas actividades está relacionada con
la independencia del área con respecto a la forma de las figuras, ya que aparecen algunas de
igual área y formas diferentes. No obstante en la observación, no pudo detectarse ninguna
alusión a este tema. Cabe señalar sin embargo, que estas actividades no se reducen al cálculo
directo del área a partir de los datos necesarios, sino que conocida el área o el perímetro de
una figura es necesario realizar algún cálculo adicional para obtener otras medidas y
utilizarlas en la aplicación de La fórmulas.
En la Quinta clase el P presenta un problema donde se solicita calcular cuántos metros
cuadrados de baldosas se necesitan para embaldosar el patio de una casa; para ello realiza en
el pizarrón un esquema del plano de la casa donde se incluyen diferentes medidas. De esta
actividad, queremos retomar que en dicho esquema el profesor incluye datos de longitudes
incompatibles entre ellos, nos referimos a la medida de 4m asignada a uno de los bordes del
patio, el cual forma un triángulo rectángulo cuyo cateto mide justamente 4metros. Ante la
indicación del observador de la imposibilidad de tal medida, el P señala que se trata solo de
una aproximación.
27
Maestría en la Enseñanza de la Matemática
4m
9m
Patio
8m
8m
B
Cocina
Comedor
12m
Dº
Dº
10m
Este episodio confirma en cierto modo, el comentario realizado previamente sobre la
importancia asignada al cálculo del área por sobre la comprensión de las magnitudes
involucradas, de la relación de las medidas posibles e incluso de la existencia de la figura a la
cual se calculan sus medidas.
En esta situación surge una “nueva” cuestión relacionada con la confusión que aparece en
los alumnos frente a la expresión: “… cuántos metros cuadrados de baldosas se necesitan”
entre las dos unidades de medida citadas: metros cuadrados o números de baldosas.
La falta de discusión sobre las unidades de medida y la ausencia reiterada de ellas en la
resolución de problemas tanto de parte de los alumnos como del profesor agrava dichas
confusiones.
En ocasiones de construcción, refacción o remodelización de casas aparecen situaciones
de embaldosamiento y la cuestión de cuántas baldosas entran en un metro cuadrado aparece
con frecuencia, dado que las medidas de las baldosas en venta, no siempre permiten la
inclusión de un número entero de ellas en el metro cuadrado. Por ejemplo, en el caso de
baldosas o azulejos de 15cm x 15cm podríamos calcular que en 1m lineal entrarán 6,66…
azulejos, o sea 44,35… azulejos en 1m2. El metro cuadrado que venden en los comercios del
ramo, incluye 44 azulejos, como aproximación a este valor. Podrían plantearse variadas
situaciones según se conozcan o no las dimensiones de cada baldosa.
Estamos poniendo en evidencia la importancia de este tema para la formación de un futuro
ciudadano en cuanto a tareas de medición.
En la Sexta clase el P presenta la tarea de calcular la cantidad de tablas que serán
necesarias para construir una mesa, dadas las longitudes (largo y ancho) de cada tabla y de la
mesa a construir. La particularidad de esta situación es que las tablas son más largas que la
longitud de la mesa y que está permitido cortarlas para armar la mesa con los trozos. Si bien
no estaba aclarado en el enunciado, el P aceptó sin cuestionar la solución “realista” de los
alumnos que incluía cortar las tablas.
Las medidas del ancho de las tablas (0,30m) y de la mesa (1,20m) permiten establecer con
cierta facilidad que en el ancho de la mesa se deben colocar 4 tablas. En este caso se aborda
el cálculo del área desde un registro gráfico.
Se trata de una situación en la que la forma de las figuras interviene en la determinación
del área, ya que si se realizara el cociente entre el área de la mesa y el área de cada tabla, se
llegaría a la conclusión de que se necesitan 2,66… tablas. Este resultado debería poder ser
interpretado como la necesidad de disponer de 2 tablas y 2/3 de otra, es decir de 3 tablas. El
28
Maestría en la Enseñanza de la Matemática
contexto presentado, admite una interpretación y resolución gráfica, ya que permite
determinar por dónde cortar cada tabla y cómo lograr la construcción de la mesa con ellas.
Después del trabajo de los alumnos, el P retoma una de las soluciones realizadas y la
explica detalladamente en forma gráfica:
1,20m
0,30m
3m
Acerca de las primeras seis clases
Vamos a analizar estas primeras clases, dejando la presentación y el análisis de la 7ma
para más adelante. En estas primeras clases organizadas por este profesor, aparecen distintas
cuestiones relacionadas con el concepto de área:
 La confusión entre perímetro y área.
Desde la primera clase, se pudo identificar esta confusión por parte de los alumnos cuando
preguntan: “¿Hay que multiplicar o sumar las medidas?” El P la devuelve a los demás para
obtener una respuesta correcta que no se convierte en tema de discusión.
De la segunda clase se puede extraer el siguiente fragmento:
A: (lo llama y le pregunta) Profe, ¿Tengo que sumar los lados?
P: No. Estás confundida. Y pregunta a los demás: ¿Cómo se llama a la suma de los lados?
A: (la compañera de banco) Perímetro.
Y en la 5ta:
P: Bien, calculen el área.
A: Profe, ¿Y si le sumo estas medidas?
P: ¿El área te dice que tenés que sumar?
A: Silencio…
El P se dirige a otro grupo. El alumno decide multiplicar las medidas.
Se puede considerar que una frase como la del P “¿El área te dice que tenés que sumar?”,
va a provocar un refuerzo de la reducción que realizan los alumnos del concepto de área y
perímetro, en términos de sumar o multiplicar longitudes. Por otra parte, anula la posibilidad
de obtener el área de una figura por medio de un recurso que incluya la suma de longitudes,
como en la fórmula del trapecio o bien adicionar áreas.
 La aditividad del área, en el sentido en que para calcular el área de una figura
compuesta por otras, es posible adicionar el área de las figuras que la componen. En las
primeras clases, esta propiedad fue utilizada por los alumnos, sin dudar ni explicitar,
29
Maestría en la Enseñanza de la Matemática
mientras que en la 5ta, frente al cálculo del área del patio, una alumna propone multiplicar
las áreas de las dos partes que lo componen.
P: Ellos (grupo de Aldo) dividen en dos figuras y sacan el área del triángulo y del
rectángulo. Eso también hicieron ellos (grupo de Jonatan). En eso coinciden los dos,
la diferencia está en cómo arriban al área total de la figura, ellos suman y ellos
multiplican. ¿Cuál de las dos les parece que es la correcta y por qué?
Victoria: Esa profesor, porque multiplica.
P: ¿Porque multiplica?
Aldo: Pero el área no se multiplica sino se suma.
Victoria: Profe, pero ¿cuánto da el total de ellos?
P: Acá el de ellos da 1600 y el de ellos 100 metros. Chicos ¿cómo voy a sacar el área
total?
Aldo: Mire profe, es que estamos sacando el cálculo de una casa, no de una manzana
y el de él da como 10 cuadras más o menos.
A: Es verdad profesor.
P: Bueno, por ahí andamos. Tiene un poquito más de lógica. Pero ¿por qué? Al final
¿qué hicieron ellos y qué hicieron ellos?
Luque: Porque ellos multiplicaron las áreas y tenían que sumar nomás.
P: Perfecto, ahí está. Entonces, yo tengo el área del rectángulo y del triángulo y para
el área total tengo que sumar ambas áreas, no tengo que multiplicar. El
procedimiento de los dos estaba bien hasta el cálculo del área del triángulo y del
rectángulo, pero para el área total no tengo que multiplicar. ¿Se entiende?
Vemos que luego de un intercambio sobre la suma y la multiplicación de las áreas para
obtener el área total, el P concluye, sin argumentos de su parte ni de los alumnos que las áreas
deben ser sumadas para obtener el área total.
Consideramos que difícilmente los alumnos podrán percibir la diferencia entre multiplicar
longitudes para el cálculo de un área y adicionar áreas parciales para calcular un área total,
¿por qué si se trata de calcular un área, esta vez el área “no dice” multiplicar?
 La utilización de unidades de medida y la pertinencia de las mismas. Aparece esta
cuestión en el desarrollo de las clases, específicamente en la realización por parte de los
alumnos de las tareas demandadas por el Profesor.
Por ejemplo, el siguiente es un fragmento de la 2da clase:
Gastón (escribe en el pizarrón):
a) 22 = 4
4 . 5 = 20
El área de esta figura compuesta es 20 cm.
P: ¿Podés explicar?
Gastón: La forma de hacer el área de un cuadrado es lado al cuadrado, y l2 es 4, y
como eran cinco cuadrados hice 4.5 = 20
P: ¿Alguien resolvió de otra manera?
As: No.
P: Éste es el esquema que teníamos (señala el pizarrón). Es correcto lo que hace el
compañero, él toma un cuadrado y calcula el área de ese cuadrado y aplica la
fórmula del área del cuadrado y como la figura compuesta tiene cinco cuadrados
iguales multiplicó por cinco.
30
Maestría en la Enseñanza de la Matemática
En este fragmento, puede observarse que si bien el alumno (Gastón) utiliza una unidad
de medida en el inicio de la presentación, luego ya no la retoma, y el P ni la demanda, ni la
utiliza en su propio discurso. El área de una figura queda reducida a un número.
Por otra parte, se observa la no pertinencia de las unidades cuando Gastón afirma que
el área de la figura es 20cm, sin percibir que dicha medida no corresponde a la medida de un
área sino a la de una longitud.
 Representación a escala
La representación de una situación, aproximadamente a escala, resulta de gran
importancia en el aprendizaje de los contenidos de medición, por ejemplo porque permite
controlar las inferencias que realicen. En relación con la pregunta ¿Cuál será la medida de la
altura de un triángulo, para que un rectángulo y ese triángulo que poseen igual base, tengan
igual área? Los alumnos frente a un dibujo realizado aproximadamente a escala, deberían
poder inferir que la altura del triángulo deberá ser el doble de la altura del rectángulo. Aún sin
cálculos, este tipo de tareas enriquecería los conocimientos de los alumnos.
La pregunta de un alumno: ¿Hago el dibujo a escala? muestra que el dibujo no está
cumpliendo con su rol fundamental de apoyo para el razonamiento o el cálculo, sino que
responde únicamente a una demanda del P. Muestra a la vez la necesidad de que esa decisión
se convierta en un tema de discusión.
Para ilustrar lo comentado se presentan algunos recortes del registro de las clases
observadas:
Por ejemplo, en la 4ta clase el P plantea:
a) ¿Cuál debe ser la altura del triángulo para que el área de ambas figuras sean
iguales?
h
4
5
5
Al final de la 1ra clase:
A: Profesor, es muy grande ese dibujo, me va ocupar toda la hoja.
P: Es un esquema nomás, no hace falta hacer con las medidas dadas. No tenés que
hacer utilizando las medidas exactas.
En la 5ta clase, en relación al esquema del plano de una casa, un alumno pregunta:
A: Profe ¿Tengo que dibujar con esas medidas?
P: Ese es sólo un esquema.
 Relación entre contextos y “realidad”
La desvalorización de la importancia de las medidas y existencia de los entes a los cuales
se calcula el área, lleva al docente a proponer su cálculo en figuras cuya construcción es
imposible, es decir, no existen.
Por ejemplo, en la 4ta clase el P plantea:
El perímetro de un triángulo equilátero es 30cm y la altura es igual a 7cm. ¿Cuál es
el área del triángulo?
Se había observado oportunamente la inexistencia de un triángulo equilátero cuya medida
de lados sea 10cm y altura 7cm.
31
Maestría en la Enseñanza de la Matemática
En la 5ta clase:
El observador de la clase: Profe, ¿este lado mide 4m? (haciendo referencia a unos de
los bordes del patio)
P: Sí. Yo le puse como referencia nomás. Ellos van a sacar por diferencia que la
altura del triángulo que queda formado es 4m.
En el gráfico presentado por el P se podía observar un triángulo rectángulo, cuya medida
de la hipotenusa era igual a la de uno de sus catetos (4m), lo cual contradice las propiedades
de un triángulo rectángulo.
Como ejemplo, podemos tomar una actividad planteada por el P, a la cual realizamos
algunas modificaciones, quitándoles algunas medidas a las figuras presentes e impidiendo de
esa manera el cálculo del área:
a´) Si un rectángulo tiene una altura de 4cm y la misma base que un triángulo, ¿cuál
debería ser la altura del triángulo para que ambas figuras tengan igual área?
Luego del abordaje de problema y su discusión se podría proponer:
b´) Construir un rectángulo y un triángulo (dibujado a escala) que satisfagan las
condiciones dadas en a´.
La resolución de una actividad de este tipo - en la que los dibujos quedarían bajo la
responsabilidad de los alumnos si los consideran necesarios - plantea la necesidad de
establecer relaciones entre los distintos elementos de las figuras. Ya que si la base de ambas
figuras es la misma, la altura del triángulo debería ser el doble de la del rectángulo, es decir
8cm, si se pretende que las áreas sean iguales. Para ello, se podría recurrir al conocimiento de
que el área de un triángulo es la mitad del área del rectángulo con igual base y altura.
Otras actividades de este tipo son las siguientes:
1- Dado el dibujo de un rectángulo – sin medidas conocidas – y la base de un triángulo
de la misma longitud que la del rectángulo, completarlo para que tenga como área: la mitad
del área del rectángulo, el doble del área del rectángulo, etc.
En cada uno de los casos se puede discutir sobre la unicidad de la solución.
2- Si un triángulo tiene igual base y doble altura que las de otro, el área del primero será
el doble de la del segundo?
Última clase
Pasamos ahora a analizar lo sucedido en la Séptima clase, en la que el P solicita la tarea
grupal de elaborar una definición de área.
Se forman 7 grupos y cada uno debe presentar a sus compañeros, una definición de área
que haya sido discutida y acordada por los integrantes del grupo.
Es posible preguntarse qué esperaba el P que contesten los alumnos, ya que podría
solicitarles definir la magnitud área, o bien que se refirieran a los objetos a los cuales se les
puede medir esa magnitud o incluso a los procedimientos o recursos para medirla.
No podemos responder sobre la intención del docente, pero sí podemos analizar qué es lo
que este profesor podría solicitar como definición coherentemente a la propuesta de trabajo
con área en las clases anteriores.
32
Maestría en la Enseñanza de la Matemática
Del análisis de las clases podríamos afirmar que sólo cabía esperar que los alumnos
elaboraran una definición en términos de cálculo del área, en particular de fórmulas para su
cálculo, ya que en ninguna de las clases observadas se planteó un trabajo sobre:
- identificar la magnitud que se quiere medir: a un objeto se les puede medir diferentes
magnitudes, como la longitud, la superficie, peso, volumen, color, entre otros.
- los objetos portadores de la magnitud área, es decir aquellos a los cuales se les puede
medir dicha magnitud.
- la independencia del área de la unidad de medida.
- la comparación de áreas sin cálculo efectivo de una cantidad.
- los recursos de cálculo de la magnitud área (fórmula, descomposición, peso, etc.)
- la medición concreta (número y unidad) y
- la estimación o evaluación de áreas, etc.
A partir de lo anterior se puede afirmar que definir área es una tarea compleja, si se pretende abarcar las distintas cuestiones constitutivas de dicho concepto ya mencionadas. Por ello, es posible observar que su aprendizaje no puede considerarse acabado en un año o ciclo de la educación sino que atraviesa toda la escolaridad empezando en la primaria, continuando en la Secundaria y aún en la formación superior. Los aspectos considerados para el caso de la magnitud área, pueden relacionarse con los ocho universos que establece Brousseau, G. y Brousseau, N. (1991 – 1992)20 para las magnitudes en general, y que fueron presentados en el Capítulo 1. Las definiciones finalmente presentadas por los alumnos son las siguientes:
Grupo 1: “El concepto de área es la superficie de la figura con la que se trabaja”. Por
ejemplo: Una mesa cuadrada. La superficie es la tabla.
Este grupo afirma que área es la superficie de una figura y no una medida de la superficie. Da como ejemplo la tabla de la mesa, dibuja un cuadrado, escribe área dentro del cuadrado y al lado la fórmula. Es decir se revela una cierta confusión entre la magnitud área y los objetos portadores de la misma. Grupo 2: “El área es uno de los valores más importantes en las figuras compuestas que
se estudian en las matemáticas” y se clasifican en:
l.l=L2
b.h
b.h/2
b.H
Este grupo define el área como uno de los “valores” importantes de las figuras geométricas, sin poder interpretar qué incluye entre los valores: ¿sólo área y perímetro? 20
Brousseau, G. y Brousseau, N. (1991 – 1992). Op. Cit. 33
Maestría en la Enseñanza de la Matemática
O también otras magnitudes como número de lados o de ángulos rectos; o bien otras propiedades de las figuras como igualdad de ángulos o lados, convexidad, etc. Luego anuncia una clasificación sin especificar si el criterio es el tipo de figuras o el de las fórmulas. Incluye cuatro figuras: triángulo, cuadrado, paralelogramo y rectángulo, junto con la fórmula correspondiente. Podemos asumir que en este grupo se menciona al área como una medida asociada directamente a una fórmula. Grupo 3: “El área es el espacio que se encuentra dentro del perímetro de una figura”.
Este grupo define área al igual que perímetro en tanto entes geométricos, sin citar a la
medida de dichos entes.
Grupo 4: “La definición de área es cuando hallás el perímetro o la medida de una figura
geométrica” Por ejemplo el triángulo multiplicás base por altura sobre dos.
Podemos decir que alude a una medida de algo propio de una figura, no sólo a un ente geométrico, aunque parece confundir área con perímetro. Se puede sin embargo atribuirlo a no saber cómo hablar de “eso” que medirá. Luego dibuja un triángulo e indica la base y a uno de sus lados como altura junto con la fórmula. En una primera versión había escrito “La definición de área es cuando hallás la medida de una figura geométrica”. ¿Por qué incluir perímetro en la versión que entrega? Al lado del dibujo escribe la fórmula: “base por altura sobre 2” simbolizándola de esta manera: b. H , respetando así el orden de enunciación de la fórmula. Grupo 5: “El área es la parte de todas las figuras geométricas que va pintada por dentro
de cada figura”
Este grupo menciona que el área es la parte que va pintada por dentro; asocia área a partes de la figura (ente geométrico) y le agrega que esté pintada. Sin pintar ¿no hay “parte del plano”? Está claro que reproduce expresiones habituales en la enseñanza, como al solicitar “Calcular el área sombreada de la figura”. Grupo 6: “El área se obtiene de la multiplicación de la
de una figura, sea
paralelogramo o no paralelogramo.”
Este grupo no define qué es el área, sino cómo se la puede obtener, tarea habitual en la
escuela. Esto nos llevaría a suponer que confunde la magnitud área con el cálculo del área.
Luego, da la fórmula del área de un triángulo, mencionándola como la que permite calcular el
área de un paralelogramo o no paralelogramo.
Grupo 7: “El área se puede sacar en diferentes maneras como ser en el triángulo, el
cuadrado, el rectángulo y un paralelogramo. Y se calcula de la siguiente manera:
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Maestría en la Enseñanza de la Matemática
Fórmulas de cálculos
Paralelogramo:
Conclusión: Podemos decir que el área es el espacio total de cada figura.
Este grupo menciona que el área se puede sacar en diferentes maneras, pero se refiere a
distintas figuras. Dibuja tres, pero cita también el paralelogramo y escribe las fórmulas
correspondientes a dichas figuras. Concluye diciendo que el área es el espacio total de cada
figura. Asocia área por un lado a fórmulas y por otro a los entes geométricos.
Luego de presentar las definiciones elaboradas en cada grupo, (las mismas fueron escritas
en un papel proporcionado por el profesor y pegadas en el pizarrón) el profesor realizó la
lectura de las mismas, para luego buscar una definición común a todos los grupos.
El Profesor retoma la definición del grupo 1 y busca ponerla a discusión.
P: En este caso, cuando dice “es la superficie de la figura con la que se trabaja” ¿A
qué se está refiriendo cuando habla de superficie?
Victoria: O sea, a lo que está en el medio.
Jonatan: A la parte de la tabla.
P: Eso es en el caso de la mesa.
Jonatan: A la pared.
Aldo: A la pintura.
P: Cuando hablo de cielo raso y hablo de superficie, hablo del piso y hablo de
superficie, ¿A qué me estoy refiriendo?
Victoria: A todos los objetos que hay.
P: Esto es un objeto, (muestra una cinta pack que tiene en su mano) ¿Y hace
referencia a la superficie?
Victoria: si.
P: ¿Por qué?
P: A ver, de todas éstas definiciones ¿Cuál les parece que es la más acertada?
Como puede observarse este intercambio difícilmente permita clarificar las ideas de los
alumnos sobre el concepto de área; frente a esto el profesor decide comparar las distintas
definiciones.
A esta pregunta una alumna responde que la más acertada es la propuesta por el grupo 3:
“El área es el espacio que se encuentra dentro del perímetro de una figura” ya que la misma
fue extraída de un diccionario. Es posible interpretar que el profesor asume esta definición
como correcta, debido a su pregunta ¿Hay alguna que expresa lo mismo, pero de otra manera?
Un alumno responde afirmativamente, señalando la propuesta dada por el grupo 7: “El
área es el espacio total de cada figura”.
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Maestría en la Enseñanza de la Matemática
El profesor vuelve a leer detenidamente las definiciones de los grupos 1, 3 y 7 y pone el
acento en la palabra espacio; si bien no aparece dicha palabra en la del grupo 1, él interpreta
que lo están definiendo como espacio y concluye que eso es lo que tienen en común las tres
definiciones al afirmar “el área es el espacio total de cada figura”.
Luego, retoma la definición de los grupos 4 y 2, de los cuales afirma que el área está
ligada a un valor.
De las definiciones analizadas en la clase, el profesor resalta las palabras “valor”,
“superficie”, “espacio”, “medida” por ejemplo cuando retoma la definición del grupo 2: “El
área es uno de los valores más importantes en las figuras compuestas que se estudian en las
matemáticas” de la cual afirma: “Al definir área hablan de valores, hablan de un valor.”
También menciona que un grupo habla de medida de la figura y dice que habría que
especificar acá, a qué medida de las figuras se refiere para completar el concepto de área.
En relación con una de las definiciones en la que se incluye el área de un triángulo, el P
afirma que no hace referencia a la definición de área.
Después de haber recorrido las definiciones dadas por los alumnos, el profesor les solicita
buscar una definición común.
P: ¿Qué es el área entonces?
Gastón: El espacio
P: El área es el espacio comprendido dentro del perímetro de una figura. La más
acertada sería esa.
Si bien esta definición no comprende el significado de área como la medida de la
magnitud sino que hace referencia al ente geométrico comprendido dentro del perímetro, el
profesor señala esta definición (propuesta por el grupo 3) como la más acertada de todas.
Finalmente, el profesor afirma:
D: La idea es que les quede claro el concepto de área de una figura geométrica. La
superficie de una figura geométrica hace referencia al espacio interior en cuanto a la forma.
La superficie hace referencia a la forma, podemos tener una superficie triangular, superficie
cuadrangular, una superficie circular; y el área en realidad, hace referencia a un valor, una
cantidad, podemos decir que el área de un cuadrado es 24 y ahí después trabajamos la
unidad, 24 metros cuadrados. Esa es la diferencia que hay entre la superficie y el área de una
figura, la superficie hace referencia a la forma de la figura y el área está trabajando la
cantidad de esa superficie, de ese espacio o de esa extensión que queda comprendido dentro
del perímetro de esa figura. ¿Les queda claro entonces el concepto de área?
Si bien los términos superficie y área se utilizan frecuentemente como sinónimos tanto en
la escuela como fuera de ella, el P utiliza en sus clases únicamente la palabra área, en ningún
momento se refirió al objeto a medir como superficie, recurriendo en todos los casos al
término de figura.
Al finalizar la séptima clase, el P realiza una diferenciación entre dichos conceptos
relacionando el término superficie con la magnitud a ser medida (ente geométrico) y área con
la medida de la misma.
En esta última presentación de los conceptos, el P relaciona superficie con la forma de las
figuras, sin aclarar al hablar de área, que ésta es independiente de la forma.
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Maestría en la Enseñanza de la Matemática
Por otra parte establece una cierta distancia entre ocuparse del “número” asociado a la
cantidad de magnitud y de la unidad de medida, cuando estos dos aspectos son indisociables
ya que si se cambia la unidad de medida el valor numérico también varía.
Estos dos aspectos tal como le hemos mencionado anteriormente deberían haber sido
objeto de trabajos y discusiones en clase a fin de establecer que: el área es independiente de la
forma de la figura y de la unidad de medida seleccionada.
No puede considerarse que lo enunciado pueda adquirir para los alumnos un estatus de
institucionalización del trabajo realizado, ya que las prácticas planteadas no responden a estas
cuestiones.
Conclusiones El estudio de las magnitudes, en particular de las magnitudes espaciales como el área, es de gran complejidad tal como hemos señalado en el capítulo 1. Involucra una serie de aspectos esenciales que no siempre han sido tratados en los niveles anteriores de escolaridad. Nos referimos a la identificación de la magnitud misma como independiente de la forma de la figura y de la unidad de medición elegida, a la distinción de otras medidas fuertemente relacionadas con ella como es el caso del perímetro, a la disponibilidad de distintos recursos más allá de las fórmulas de cálculo, a la aditividad del área y su relación con los aspectos multiplicativos de dicha magnitud, etc. En las clases registradas pudimos observar que ciertas dificultades presentes en los alumnos en las primeras clases, quedan aún de manifiesto en las últimas, por ejemplo, en la tarea de definir el área. En general las clases estuvieron destinadas a presentar y en algunos casos construir la fórmula del cálculo del área para las distintas figuras geométricas y a su cálculo. No se realizaron medidas efectivas, ni estimaciones de áreas de espacios conocidos, por ejemplo, el piso del aula, del patio, de una cancha, etc., ni se puso en evidencia la relación entre la realidad y la representación gráfica de las superficies a medir. Por otra parte, no se planteó la suficiente reflexión sobre el uso de las unidades de medida ni de las equivalencias entre ellas. Con frecuencia la obtención del área se redujo a determinar un número. No se discutió la necesidad o no de una medida precisa, o la suficiencia de una estimación del área. A partir del análisis de las clases teniendo como marco el estudio del área realizado en el primer capítulo, podemos afirmar que difícilmente estas tareas hayan permitido a los alumnos avanzar en la conceptualización del área. El trabajo en las aulas, aún en las del Secundario deberían partir de situaciones que le den
sentido a la noción estudiada, que pongan en evidencia y que permita superar ciertos
conflictos que pueden ser reconocidos en el desarrollo histórico de la medición como el uso
de medidas convencionales y de relaciones regulares entre las distintas unidades, lo que
constituye hoy día la comprensión del SIMELA.
Las situaciones simuladas, en la hoja de carpeta no son suficientes para comprender lo que
involucra medir una superficie. ¿Podríamos afirmar que los alumnos de inicios de Secundaria
serían capaces de determinar cuántos metros cuadrados de mosaicos se necesitarían para
embaldosar un cierto patio? O ¿cuántos metros lineales de zócalo se necesitan? O estimar
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Maestría en la Enseñanza de la Matemática
¿Cuántas personas entran sentadas en un salón? ¿Cuánto espacio se necesita dejar para cada
persona?
Y en relación con las medidas de perímetros y área, ¿pueden concebir la existencia de
figuras con igual área y distinto perímetro? O incluso ¿pueden mostrar una figura con mayor
área que la dada a pesar de tener menor perímetro? ¿Pueden existir dos figuras de igual área e
igual perímetro y distinta forma? Y de forma similar con el volumen: ¿existen cuerpos de
igual área total y distinto volumen?
En esta difícil tarea de enseñar, las decisiones del docente respecto de su práctica
cotidiana, la elección del contenido y sus efectos, de los recortes del mismo, deben estar
basadas en un estudio profundo del contenido desde su aspecto didáctico, matemático.
Las magnitudes y la medida deberían permanecer en la enseñanza, adquirir una mayor
presencia en todos los niveles de escolaridad, y extenderse incluso a estudios superiores, ya
que la medida es un tema donde confluyen aspectos geométricos, aritméticos, gráficos, y de
resolución de problemas.
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Maestría en la Enseñanza de la Matemática
Capítulo 3: Análisis de un libro de texto
En el presente capítulo se analizarán las actividades propuestas respecto a la medición de
la magnitud área de un libro texto destinado al primer año de la Educación Secundaria.
La obra “Carpeta de Matemática 7” (2001) de Editorial Aique, cuyos autores son
Garaventa, Luis; Legorburu, Nora y Rodas Patricia; consta de una serie de 6 cuadernillos de
actividades correspondientes a diversos temas.
Cada cuadernillo lleva en general un formato similar, explicitado en la primera página del
mismo, que consiste en una apertura del capítulo con una situación disparadora (llamado así
por los autores); revisión inicial donde se retoman los conocimientos necesarios para avanzar
con el tema en cuestión; luego presenta el desarrollo del tema mediante los diferentes
subtítulos; bajo el título “En el mundo real” propone ejemplos con datos reales vinculados a
aplicaciones del conocimiento matemático en cuestión; y al final plantea actividades de
autoevaluación y las respuestas de las actividades planteadas a lo largo del cuadernillo.
En el desarrollo de la unidad, luego de cada subtítulo presenta un recuadro con
definiciones, fórmulas, propiedades, etc. con la leyenda “Para leer y recordar” o con ejemplos
explicados con la leyenda “Para observar”.
El cuadernillo 4, objeto de análisis, lleva el título de Medidas en las figuras planas. Cabe
destacar que en el análisis del mismo nos detendremos específicamente en lo referente a la
medición de la magnitud área.
En el Anexo N° 2, se incluyó un escaneado de todas las actividades propuestas que son
analizadas.
En este análisis no se pretende asignar un juicio de valor a lo planteado por los autores
para aprender este tema. Escribir un libro conlleva respetar indicaciones de la editorial pero
también condicionantes propios de este tipo de escritura.
El análisis portará sobre el recorte que realiza el autor – totalmente indispensable en un
libro - de la temática tratada. Esto nos permitirá identificar, al menos en líneas generales
cuáles son los aprendizajes posibles que podrían realizar los alumnos trabajando con las
actividades propuestas en este cuadernillo. Por otra parte, un análisis de este tipo podrá ser
utilizado por los docentes para preparar sus clases. No incluiremos en este análisis las
intervenciones y aportes teóricos que pueda realizar el docente del grupo durante el trabajo,
pero sí suponemos que después de los ejercicios se realizarán discusiones grupales para
clarificar las cuestiones involucradas en los mismos.
En la apertura del capítulo, los autores explicitan la necesidad de comparar y medir en la
vida cotidiana: “En nuestra vida cotidiana, es habitual que comparemos los tamaños de
diversos objetos, las duraciones de los tiempos, etcétera…Cuando expresamos
numéricamente los resultados de esas comparaciones, estamos dando medidas.”
En esta presentación aparecen dos tareas específicas de este tema: comparar y medir. Sin
embargo, tal como lo señalamos en el capítulo 1, la medición involucra una gran cantidad de
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Maestría en la Enseñanza de la Matemática
tareas, no se reduce sólo a asignar un valor a la magnitud objeto de comparación. La medición
es un tópico donde confluyen muchos aspectos, por ejemplo es posible determinar cuál de dos
superficies tiene un área mayor (comparándolas) mediante términos relacionales como “es
mayor que” o “es igual que”; o si se trata de superficies construidas en un mismo material, es
posible incluso determinarlo, comparando las masas de ambas superficies, si “S1 pesa más
que S2” implica que “S1 tiene mayor superficie que S2”. También involucra tareas de
estimación, selección pertinente de unidades, uso de fórmulas, etc.
Bajo el título de Revisión inicial, presenta una primera actividad en la cual los alumnos
deben identificar la magnitud, el instrumento con el que se mide y la unidad de medida
habitualmente usada, dadas medidas de ciertos objetos expresadas verbalmente. Por ejemplo:
la duración de un partido. En este caso, aparecen distintas magnitudes como tiempo, longitud,
peso, etc. Este ejercicio debería permitir sin duda, clarificar conceptos involucrados en la
temática del capítulo como magnitud, instrumento de medición y unidad de medida, para lo
cual es pertinente mencionar otras magnitudes.
Luego, plantea una actividad de unir con flechas la unidad de longitud más adecuada para
medir la longitud de ciertos objetos, con el objeto de identificar la unidad de medida más
apropiada en cada caso.
Dar las medidas y no aportar las unidades convencionales de longitud, no marcaría una
gran diferencia con pedir a los alumnos que indiquen las que crean más apropiadas, ya que se
dan más medidas que unidades a elegir y expresarlas ayudaría también a recordarlas si es
necesario en la clase. Sin embargo si se pidiera que las escriban cabría la posibilidad de que
aparezcan medidas no convencionales de longitud como la palma de la mano, una baldosa,
pasos, etc.
Como tercera actividad propone la siguiente:
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Maestría en la Enseñanza de la Matemática
La misma plantea una tarea relacionada con el cálculo de longitudes y áreas, en
situaciones muy diversas:
‐ Un terreno forestado con árboles colocados a igual distancia, en el que se dan los
árboles de uno de los largos del terreno y uno de los anchos, para lo cual pueden
recurrir al producto de dos números que no coinciden con el número de árboles
dados, ya que el árbol de la esquina pertenece a ambos lados.
‐ El borde de una mesa, de la cual se conocen las longitudes del ancho y del largo; o
del largo de la tira de flecos de un barrilete conociendo la medida de uno de los
lados, sabiendo que todos los lados son iguales.
‐ El zócalo de una habitación de la cual se conocen varias medidas, pero en las que
es necesario restar o sumar algunas para conocer las necesarias.
‐ Un piso de un patio del cual es necesario averiguar el número de baldosas que falta
colocar una vez ubicadas las baldosas de dos de los bordes, tarea que puede ser
resuelta por medio de una cuadrícula.
Dada la diversidad de cuestiones a tratar, asumimos que los autores suponen que los
alumnos ya las realizaron en cursos anteriores. Puede mencionarse que aparecen tareas
relacionadas con el cálculo de área como la de las baldosas para cubrir un patio o en cierto
modo, el cálculo de la cantidad de árboles necesarios para forestar un campo.
Como última actividad en Revisión inicial plantea realizar estimaciones de medidas de
longitud y luego verificarlas midiendo con la mayor precisión posible, por lo que se puede
afirmar que la tarea solicitada tiene como objetivo estimar longitudes usando las unidades
convencionales y realizar mediciones efectivas de longitud con un rango que va desde
algunos milímetros hasta un poco más de un metro. Se solicita la estimación de objetos que
tienen una única medida – como el pizarrón de su aula, o el alto de un renglón- así como
otras que varían porque dependen de la persona como por ejemplo, el paso más largo que
puede dar cada uno o la longitud de su palma.
Podemos ver que si bien, la presentación más teórica inicial se reducía a mencionar a las
comparaciones y mediciones, las actividades propuestas apuntan a otras tareas, como
seleccionar unidades de medidas pertinentes a los objetos a medir, estimación y cálculo.
Unidades de Longitud
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Maestría en la Enseñanza de la Matemática
En este apartado se incluye el sistema de medidas de longitud del SIMELA a fin de
profundizar el conocimiento de tales medidas a lo que contribuye también el trabajo con
medidas inglesas de longitud.
Algunas de estas actividades pueden considerarse como de introducción a la magnitud
área, calculando por ejemplo, la cantidad de fotos que se pueden pegar en la tapa de un álbum
conociendo sus dimensiones así como las de las fotos que son todas iguales. En este ejercicio
se trata de distinguir una relación entre el área de la tapa y el área de las fotos que queda
condicionada por el contexto: fotos cuadradas, número entero de fotos, etc.
Por otra parte, como última actividad aparece una cuadrícula con ocho figuras a las cuales
se les debe calcular el perímetro. El dato que proveen es la longitud del lado de cada cuadrito
en pulgadas (0,5”). El perímetro debe ser expresado en centímetros.
Podemos señalar que entre las figuras de igual perímetro hay algunas que poseen igual
área, lo que indicaría que el autor, pretende empezar a trabajar con la diferencia entre tales
medidas, cuestión que suponemos retomará más adelante con el trabajo del área.
Unidades de superficie
Los autores inician este apartado en forma similar con el destinado a longitud,
presentando el sistema de unidades convencionales de medidas de área.
Luego presentan una actividad destinada a la equivalencia de unidades de medidas y un
ejercicio de unir con flechas, similar al presentado en la revisión inicial relacionado con la
unidad de medida que usarían para medir ciertos objetos.
En este apartado aparecen unidades como ha o km2 lo que permitiría discutir la relación
entre distintos sistemas de medidas como el habitual y el agrario y reconocer que algunas
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Maestría en la Enseñanza de la Matemática
medidas de áreas no aparecen con un exponente cuadrado. Por otra parte, sería útil relacionar
la medida de una manzana con el hectómetro cuadrado (hm2) y la hectárea (ha).
En el siguiente ejercicio (13) se solicita que expresen la medida de las superficies
dibujadas en una cuadrícula, tomando como unidad un cuadrito y luego un cm2.
Puede considerarse que se trata de una actividad que involucra el proceso de medir,
tomando un cuadrito de la cuadrícula o un cm2 como unidad de medida y determinar mediante
la iteración de la misma, la cantidad de veces que cabe en la superficie a medir. El resultado
obtenido será la medida de la superficie.
Las figuras dadas, están trazadas en papel cuadriculado y en todos los casos los vértices de
las figuras coinciden con los vértices de los cuadraditos de la cuadrícula, pero estos lados
pueden ser realizados utilizando las diagonales de los mismos. Las líneas de la cuadrícula,
internas a la figura no han sido trazadas, lo que deja abierto al alumno la posibilidad de su
trazado dependiendo de la manera de realización para contar el número de cuadritos
recubiertos por cada figura.
Debido al tipo de figuras seleccionadas, los alumnos deberán recurrir no sólo a contar los
cuadritos completos sino intentar un rearmado de algunas partes de cuadritos o de la figura,
para formar otros enteros o incluso alguna figura diferente que posea la misma área.
Para facilitar el conteo de los cuadritos que forman la figura, se puede recurrir a
transformarla o al menos algunas de sus partes – y esto lo permiten las formas seleccionadas en cuadrados o rectángulos de igual área.
Las medidas del área de las figuras en las dos unidades de medidas indicadas son las
siguientes:
Medida de la figura I tomando como unidad un cuadradito: 8
En cm2: 2
Medida de la figura II tomando como unidad un cuadradito: 14
En cm2: 3,5
Medida de la figura III tomando como unidad un cuadradito: 14,5
En cm2: 3,625
Medida de la figura IV tomando como unidad un cuadradito: 18
En cm2: 4,5
No hay dos figuras que tengan igual área y las cuatro están ordenadas de menor a
mayor área.
Podemos asumir que el pedido de expresar la medida de las superficies en dos
unidades diferentes tiene por objetivo comprender que el área puede ser calculada a partir de
distintas unidades, incluso no convencionales como el cuadrito de una cuadrícula. Y además
tomar conciencia de que el área de una figura es independiente de la unidad de medida
utilizada, y que por lo tanto aparecerán expresiones numéricas diferentes referidas a la misma
área.
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Maestría en la Enseñanza de la Matemática
No aparecen hasta el momento actividades que involucren la discusión sobre la
independencia del área respecto de la forma de la figura.
Sería importante por otra parte, establecer que existe una relación de proporcionalidad
entre la cantidad de cuadritos del papel cuadriculado y la cantidad de centímetros cuadrados
que forma una figura. Sabiendo así que 4 cuadraditos forman un centímetro cuadrado, se
puede recurrir a multiplicar o dividir por 4 para obtener la medida en cuadraditos o en
centímetros cuadrados respectivamente. Esto permitiría avanzar desde la determinación de la
medida por conteo de unidades hasta el cálculo de las unidades que permite cubrir la figura.
Sin embargo, resultará útil realizar también el conteo de los centímetros cuadrados, lo que
obligaría a considerar ½, ¾ o incluso 5/8 cm2. El trabajo planteado a nivel de cubrir la figura
a medir con formas geométricas, llevará más naturalmente a expresar la medida en términos
de fracciones, mientras que la división de la cantidad de cuadraditos por 4, al uso de
decimales.
Esto provee una ocasión más de utilización de otros conocimientos, de análisis de
pertinencia del uso de uno u otro y de relación ente dos escrituras diferentes de una misma
área.
Por otra parte, el trabajo con ambas unidades de medida, debería permitir también
reflexionar sobre el resultado aparentemente contradictorio de obtener con una unidad de
medida de mayor área (cm2) un valor numérico menor que el que se obtiene con una de mayor
área (cuadradito).
Retomar y poner a discusión las reflexiones citadas y los procedimientos que utilizaran los
alumnos queda bajo la responsabilidad del docente ya que no se hace ninguna alusión en el
texto.
Por otra parte, puede observarse que en el apartado de Unidades de longitud, los lados
de las ocho figuras a las cuales se debe calcular el perímetro, coinciden con las líneas de la
cuadrícula. Considerar las diagonales de los cuadraditos involucraría el cálculo de la diagonal
de un cuadrado, para lo cual sería necesario el Teorema de Pitágoras.
En el apartado de Unidades de área, los lados de las figuras se encuentran no sólo sobre las
líneas sino sobre las diagonales de los cuadraditos. Podemos asumir que los autores
decidieron que en este caso, sólo se tratará la medición de áreas, incluyendo la partición de
unidades.
Queda en evidencia que no se propone en este texto, un trabajo sobre la falta de
relación entre perímetro y área, es decir que ponga en evidencia que es posible encontrar
figuras con igual área y distinto perímetro, o igual perímetro y distinta área, etc. Es sabido que
muchos los alumnos consideran que ambas medidas varían simultáneamente y en el mismo
sentido: si aumenta el área, aumenta el perímetro, si disminuye el área disminuye el
perímetro, y que no es posible encontrar figuras no congruentes que posean igual área y
perímetro.
Medidas de cuadriláteros
En este apartado, los autores incluyen cinco sub-apartados destinados a medidas en los
distintos cuadriláteros (rectángulo, cuadrado, paralelogramo, rombo y romboide y trapecio) y
finalmente uno para Medidas en el triángulo.
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Maestría en la Enseñanza de la Matemática
Cada uno de ellos, se inicia con la leyenda “para leer y recordar” donde presentan las
fórmulas que permiten calcular el perímetro y área de cada una de las figuras, además del
dibujo con los datos que aparecen en las fórmulas.
Luego – en los dos primeros sub-apartados - proponen situaciones donde están
involucradas las medidas de perímetro y área, así como otras medidas de los objetos del
contexto.
El primer problema del apartado Medidas en el rectángulo, relacionado con área, se
refiere a un corral rectangular de 6 m de largo y 24 m2 de área, rodeado por un vallado de tres
vueltas de alambre. Se pretende agregar un sector con su vallado - se incluye un esquema –
para el cual se solicita la determinación de la longitud del vallado y el área total del corral.
Este problema presenta un gran interés para el trabajo conjunto de las dimensiones de los
corrales, del perímetro y del área de los mismos. Tanto a nivel de los datos que incluye (una
de las dimensiones y el área) como de las preguntas en relación al vallado, ya que no será
necesario duplicar el vallado de la división entre los corrales. Es decir, este problema permite
discutir la no aditividad del perímetro en relación con la del área.
El último problema del apartado, solicita determinar las dimensiones y el área de una
ventana, a partir de datos sobre la cantidad de hojas de carpeta necesaria para cubrirla.
Por ejemplo, menciona que con 5 hojas en forma horizontal pudo cubrir el alto, pero que
50 no fue suficiente para cubrirla totalmente. Esto permite determinar que el ancho de la
ventana tendrá una longitud mayor a 10 veces el largo de la hoja. El agregado de informar que
con 15 hojas más hubiera podido cubrirla totalmente, permite determinar que las dimensiones
de la ventana serán: el ancho: 13 veces el largo de la hoja; alto: 5 veces el ancho de la hoja.
Finalmente el área de la ventana corresponderá a 65 veces el área de la hoja.
Si bien se incluye un dibujo que facilita la comprensión de la situación, éste no
corresponde a los datos dados, ya que muestra la necesidad de 7 hojas para cubrir el alto.
El interés de este problema está dado por la simulación que plantea, de la medición del
área de una superficie (ventana) por medio del cubrimiento con unidades de medidas (hojas
de carpeta) no convencionales.
Por otra parte, se puede observar que la pregunta no requiere como respuesta un valor
exacto, sino una estimación del largo de la ventana a partir de los datos dados.
Como curiosidad podemos señalar que los autores, parecen no coincidir con la solución y
respuesta anterior, ya que al final del cuadernillo, en el apartado de Respuestas, la dan en
términos de las dimensiones de la hoja de carpeta, medidas en centímetros.
Conclusiones
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Maestría en la Enseñanza de la Matemática
Del análisis de la primera parte del texto analizado, podemos indicar que la mayor parte
de las cuestiones que señalamos en el primer capítulo están presentes en las actividades
propuestas. Nos referimos a cuestiones como: comparación y estimación de áreas, utilización
de diferentes unidades de medidas, convencionales o no, determinación del área por
cubrimiento y conteo, cálculo y utilización de fórmulas, procesos inversos (del área a las
dimensiones), etc. que los autores plantean en las distintas actividades.
Sin embargo, no consideramos que dichas actividades sean suficientes para la
comprensión de un concepto tan complejo como el de área. Realizar acciones como cubrir con
cuadraditos o centímetros cuadrados una superficie y contar la cantidad necesaria, no es
suficiente para comprender la relación entre ambas unidades, la posibilidad de cálculo de una
a partir del conteo con la otra, la relación inversa entre el área de la unidad de medida y el
valor numérico obtenido, etc. Una parte del aprendizaje y de la comprensión, tan importante
como la de realizar acciones es necesario implementar con reflexiones, preguntas,
formulaciones, conjeturas, comparaciones, posibilidades, límites, adecuaciones, etc.
Queda bajo la responsabilidad del docente que opte por este texto, realizar las preguntas y
reflexiones necesarias para permitirles a los alumnos avanzar en sus conocimientos, así como
retomar algunas cuestiones específicas y conflictivas.
Esto nos lleva al segundo objetivo señalado en el inicio de este capítulo, dado que un
análisis como el realizado, permitiría a un docente interesado, mejorar sus prácticas áulicas, a
partir de identificar con mayor claridad cuáles son los desafíos del aprendizaje de la medición
del área, centrar las cuestiones en juego en cada actividad planteada por los autores y las
relaciones que puedan ir estableciéndose entre ellas.
Por último podemos señalar que si se observa la evolución de la medición a lo largo de la
historia, el camino recorrido fue el inverso al planteado por el Libro de Texto. Frente a la
necesidad de tomar decisiones, se buscaron recursos para comparar o medir objetos; entre
esos recursos unidades pertinentes al objeto a medir; frente al uso de distintas unidades de
medida para un mismo objeto, se buscaron unidades de medida convencionales (debido a
cuestiones de comunicación) y finalmente la organización de un sistema de medidas que
cubra todos los objetos posibles, con la condición de que dicho sistema sea regular.
Si nos planteamos una hipótesis constructivista del conocimiento en la enseñanza, será indispensable partir de situaciones que planteen la necesidad del conocimiento, en este caso de la medición de áreas, sin por esto, afirmar que los alumnos deben recorrer el mismo proceso histórico que la humanidad. Sin embargo con frecuencia la enseñanza se plantea una trasmisión de los conocimientos matemáticos ya acabados. Brousseau, G. (1981, p. 50)21 sostiene que “el diseño de las situaciones didácticas relativas a un concepto matemático dado se orientarán a la construcción de su génesis artificial, que simularía los diferentes aspectos actuales del concepto para los estudiantes, y que, sin reproducir el proceso histórico, conduciría no obstante, a resultados similares.” 21
Citado en Sierpinska, A. y Lerman, S. (1996). 46
Maestría en la Enseñanza de la Matemática
Capítulo 4: Acerca de la Investigación sobre la temática
En el presente capítulo se analizarán dos publicaciones, la primera “Calculer avec les
grandeurs: l’usage des unités dans les calculs”22 de Robert Noirfalise, en relación con
el uso de unidades de medida en los cálculos, problemática detectada también en las clases
analizadas en el Capítulo 2 y la segunda “Efectos del autismo temático sobre el estudio
de la Geometría en Secundaria”, realizada por Josep Gascón del Departamento de
Matemáticas de la Universidad Autónoma de Barcelona dado que, en el marco de la tesis
se realizó un estudio didáctico – matemático relacionado con las razones de ser de la
clasificación de cuadriláteros, tema central del artículo.
1‐ La publicación titulada “Calculer avec les grandeurs: l’usage des unités dans les calculs”, corresponde a un Taller coordinado por Robert Noirfalise en la Université d´été 2005 en Saint‐Flour Francia. (La misma se incluye en el anexo N° 3). Tal como lo enuncia su autor, el propósito de este trabajo es el de abordar la cuestión de la legitimidad de utilizar las unidades en los cálculos con magnitudes en Matemática, contenido presente en los nuevos programas de secundaria de Francia, y los problemas didácticos que provoque. Este estudio se realizará desde el marco de la Teoría Antropológica de lo didáctico. En la introducción, el autor señala que en los nuevos programas de Matemática en Francia, Magnitudes y medidas, constituye un eje al mismo nivel que Organización y gestión de datos, Números y cálculos, y Geometría. Dentro del dominio Magnitudes y medidas, algunos de los objetivos planteados son: ‐ Familiarizarse con el uso de las magnitudes más usuales (longitudes, ángulos, áreas, volumen, duración). ‐ Conocer y utilizar los perímetros, áreas y volúmenes de figuras planas y de sólidos estudiados. ‐ Calcular con las unidades relativas a las magnitudes estudiadas y con las unidades de algunas magnitudes cocientes y las magnitudes producto. 22
“Calcular con las magnitudes: el uso de las unidades en los cálculos” 47
Maestría en la Enseñanza de la Matemática
Este último objetivo es considerado como novedoso justamente por pretender el uso de las unidades en los cálculos. Esta tarea resulta aún más compleja debido a considerar aquí a las magnitudes cocientes, es decir aquellas que se definen como un cociente de dos magnitudes como por ejemplo la velocidad, cociente entre el espacio y tiempo; la densidad de población como el cociente entre población (cantidad de personas) y superficie. Son ejemplos de magnitudes producto la longitud, superficie y volumen. En relación a lo expuesto, para este trabajo analizamos las distintas propuestas
curriculares de nuestro país, a modo de comparación con lo expuesto por el autor. Para
ello, hemos recurrido a los contenidos básicos comunes (CBC) para la EGB 3, a los
Núcleos de aprendizajes prioritarios (NAP) para el 3° ciclo de la EGB/Nivel medio y al
Diseño Curricular de Corrientes para el tercer ciclo de la EGB.
Los CBC23 para la EGB Segunda Edición (1995), para la asignatura
MATEMÁTICA, colocan a las Mediciones en uno de sus ocho bloques temáticos
propuestos, separado del bloque Nociones geométricas. Señalamos tal separación debido a
que en la escuela habitualmente se asocia la medición a la geometría a través de las
medidas espaciales: longitud, área y volumen.
Con la finalidad de establecer algún tipo de comparación con los objetivos planteados
en Francia, identificamos que en 2do ciclo se inicia el desarrollo de contenidos similares a
los citados por el autor que se continúan en 3er ciclo, nivel en el cual se agregan otros.
En el Segundo ciclo, en los CBC, dentro del Bloque de Mediciones, identificamos:
‐ Estimación de longitudes, cantidades, pesos, áreas, etc. de objetos familiares.
‐ Medición seleccionando la unidad adecuada a la cantidad.
‐ Operaciones con cantidades de distintas magnitudes, utilizando unidades
convencionales.
‐ Utilización de la equivalencia entre las unidades más usuales de una misma
magnitud.
‐ Medición de superficies utilizando distintas técnicas como la descomposición en
figuras más simples, la aplicación de fórmulas, etc.
‐ Construcción de las fórmulas y su uso para el cálculo de perímetros y áreas de
triángulos, cuadriláteros (rectángulo, cuadrado, paralelogramo), de la circunferencia y del
círculo.
‐ Utilización de los instrumentos de medición correspondientes a la magnitud a
medir.
En el Tercer ciclo en relación a los anteriores se identifican:
23
Contenidos Básicos Comunes para la EGB. (1995) 48
Maestría en la Enseñanza de la Matemática
‐ Medición de volúmenes de cuerpos complejos utilizando distintas técnicas, como la descomposición en cuerpos más simples, la comparación por pesos y la aplicación de formulas. ‐ Discriminación de perímetro, área y volumen considerando las dimensiones. Los Núcleos de Aprendizajes Prioritarios (NAP)24 de Matemática elaborados para
el 3º Ciclo de la EGB / Nivel Medio se organizaron en torno a cuatro dominios: El
Número y las Operaciones, El Álgebra y las Funciones, La Geometría y la Medida, y La
Probabilidad y la Estadística.
Entre los objetivos se señala que la escuela ofrecerá situaciones de enseñanza que
promuevan el uso y explicitación de los sistemas de unidades de medida para distintas
magnitudes, y el análisis y uso reflexivo de distintos procedimientos para estimar y
calcular medidas, considerando la pertinencia y la precisión de la unidad elegida para
expresarlas y sus posibles equivalencias.
Dentro del Eje “La Geometría y la medida”, para séptimo año (primero de la
Educación Secundaria, que corresponde a 2do año del Colegio en Francia) se pretende
lograr la comprensión del proceso de medir, considerando diferentes unidades y sistemas,
en situaciones problemáticas que requieran:
‐ Estimar y medir volúmenes –estableciendo equivalencias con la capacidad-,
eligiendo la unidad adecuada en función de la precisión requerida,
‐ Argumentar sobre la equivalencia de distintas expresiones para una misma cantidad,
utilizando las unidades de longitud, área, volumen y capacidad del SIMELA y sus
relaciones.
‐ Calcular áreas de figuras, áreas y volúmenes de cuerpos, estimando el resultado que
se espera obtener y evaluando la pertinencia de la unidad elegida para expresarlo.
‐ Elaborar y comparar distintos procedimientos para calcular perímetros y áreas de
polígonos.
‐ Calcular volúmenes de prismas estableciendo equivalencias entre cuerpos de
diferente forma mediante composiciones y descomposiciones.
Mientras que para el segundo año se pretende:
‐ Estimar y calcular cantidades, eligiendo la unidad y la forma de expresarlas que
resulte más conveniente (Incluyendo notación científica para cantidades muy grandes o
muy pequeñas) en función de la situación y de la precisión requerida, y reconociendo la
inexactitud de toda medición.
‐ Explorar las relaciones entre cuerpos con igual área lateral y distinto volumen o con
el mismo volumen y distintas áreas laterales.
El Diseño Curricular de Corrientes, elaborado para el tercer ciclo de la EGB está
organizado en cuatro ejes: Número y Cálculo, Mediciones, Geometría y Tratamiento de la
Información. Es posible establecer una correspondencia con los cuatro ejes señalados por
el autor propuesto en los programas de 6° en Francia.
En las Expectativas de logros dadas en general identificamos: “Distinguir magnitudes,
usar y saber operar con propiedad con las unidades de medida (…)”.
24
Núcleos de Aprendizajes Prioritarios. (2006) 49
Maestría en la Enseñanza de la Matemática
En relación a Mediciones, dentro de los Aprendizajes para la acreditación, en este
diseño encontramos:
‐ Distinguir, comparar, estimar, medir y operar con cantidades de distintas
magnitudes utilizando unidades convencionales de uso frecuente.
‐ Construir y utilizar fórmulas de áreas y volumen de figuras y cuerpos geométricos
para resolver problemas con diferentes estrategias.
Cabe señalar que, en el eje de Geometría del Diseño Curricular de la Provincia de
Corrientes, para el 7° año, identificamos determinadas tareas relacionadas con la
medición25:
‐ Cálculo de medidas de ángulos de figuras expresadas en el sistema sexagesimal.
‐ Resolución de situaciones problemáticas que impliquen el cálculo de áreas de figuras planas, mediante fórmulas o por descomposición en otras más sencillas. ‐ Resolución de situaciones problemáticas que impliquen la determinación de los valores de cada término de una fórmula conociendo los demás. Ejemplo: determinación del área de un cuadrado conociendo su perímetro. Señalamos aquí la importancia de ir relacionando los contenidos de ambos ejes, y que los mismos no sean tratados de manera aislada, y consideramos una oportunidad más de relacionarlos. Como se puede ver, los contenidos incluidos en estos programas son similares a los citados en Francia, si bien no aparecen contenidos relacionados con el cálculo con unidades de medida, ni con unidades de magnitudes cocientes, cuestiones centrales en el artículo que se está analizando. A continuación el autor, presenta los cinco problemas que analizará en el texto, y que se relacionan con: ‐ Cambio de unidades ‐ Cálculo con unidades ‐ Resolución de una ecuación de segundo grado ‐ Uso en geometría del análisis dimensional. ‐ Problema del ciclista 25
Diseño Curricular Provincial Tercer Ciclo EGB. (1997, pp. 90-92)
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Maestría en la Enseñanza de la Matemática
Previo al análisis de los problemas, el autor presenta algunos conceptos y recursos de la TAD (Teoría antropológica de lo didáctico) necesarios para el estudio a realizar, ya que permiten pensar fenómenos didácticos no siempre identificados en la cultura corriente, en particular la de los profesores de Matemática. En ese enfoque se considera a las Matemáticas como prácticas que aparecen en distintas formas según las instituciones donde se desarrollan y que pueden ser descriptas tal como lo indicamos en el Capítulo 1, por medio de una praxeología. Una praxeología u organización matemática está constituida por un tipo de tareas, una técnica que se puede aplicar para realizar dichas tareas, una tecnología que explique y justifique la adecuación de la técnica a la realización de las tareas y finalmente una teoría que puede servir para justificar el discurso tecnológico. Como ejemplo de una praxeología, el autor presenta una técnica de resolución de una ecuación de segundo grado – considerado como tarea ‐ que según sus palabras resulta “exótica” en relación con los procedimientos habituales. La ecuación que plantea es: x2 + 10x = 39. El “exotismo” de este procedimiento permite mostrar más claramente la necesidad de una tecnología que la explique y la haga comprensible. La técnica presentada por el autor es: 1.
Dividir 10 por 4= 2,5
2.
Elevar 2,5 al cuadrado y multiplicar por 4: 2,5 2 x4 = 25
3.
Agregar 39: 25 + 39 = 64.
4.
Tomar la raíz cuadrada de 64:
5.
Restar 2 veces 2,5: 8-2x2, 5 = 3
6.
La solución es 3.
Una primera pregunta que aparece al leer la técnica es: ¿Por qué dividir a 10 coeficiente del término lineal - por 4? Y ¿dividir ese coeficiente lineal por 4, depende de
la ecuación que se esté tratando de resolver o para otras ecuaciones habrá que dividir por
otro valor? guiados por un interés en convertir esta técnica en general para cualquier
ecuación cuadrática.
El análisis de la técnica, permite explicar la operación “dividir un área por 4” con el
interés en formar un cuadrado más grande que x2 agregando a cada lado de este cuadrado
uno de esos cuatro “pedazos”, de manera que al calcular la raíz cuadrada del área de dicho
cuadrado les permita encontrar el valor de x.
51
Maestría en la Enseñanza de la Matemática
Este procedimiento conocido como aplicación de áreas fue utilizado por los griegos
para resolver ecuaciones cuadráticas, a partir de la necesidad de construir un álgebra
geométrica en la que adquiere sentido geométrico una expresión como x2+ 10x = 39,
donde es posible pensarlo como una suma de dos áreas usando el recurso “ingenioso” de
considerar a 10x como el área de un rectángulo de lados 10 y x, a fin de compatibilizar la
suma de dos áreas, como condición de homogeneidad en los términos de las ecuaciones.
Hay otras técnicas similares que permiten resolver una ecuación como la dada, y
distintas tecnologías que explican una misma técnica, las cuales son presentadas y
desarrolladas en el Anexo N°4.
En relación con los niveles de determinación, otro de los conceptos específicos de la
TAD (presentados en el Capítulo 1), el autor señala que se trata de “cuestionarse” qué es
lo que autoriza, lo que permite, lo que obstaculiza, o lo que prohíbe un cierto desarrollo de
un tema o de una forma de estudio. Se refiere a preguntarse cuáles son las prácticas y los
conocimientos que forman parte del dominio de la Matemática, en particular se trata de
interrogarse sobre la pertinencia de ocuparse en Matemática de las magnitudes, del cálculo
con las unidades y de cuestionarse dónde se ubica hoy día la frontera entre la Matemática
y otras ciencias.
En relación con la legitimidad de las prácticas aclara que se refiere a la aceptación de
una comunidad en un momento de su historia y no sólo de un individuo.
Lugar de las magnitudes en la enseñanza de la matemática
En el artículo el autor analiza distintos momentos históricos de la enseñanza de la
matemática y en particular el lugar atribuido a la medición; la Matemática moderna, en la
década del 70, estuvo centrada en las estructuras numéricas, lo que llevó a reducir las
magnitudes por isomorfismo a dichas estructuras.
Señala además, que la cuestión de qué lugar atribuir al trabajo con las magnitudes, está
lejos de ser nuevo. Lebesgue ya en 1935 sostenía que la medida de las magnitudes es el
punto de partida de todas las aplicaciones de la Matemática – que preceden a las
Matemáticas puras- y que la medida de las áreas y volúmenes se encuentran en el origen
de la geometría y, de esta medida surge el número como objeto del Análisis.
Podemos observar que Lebesgue otorga a la medida un lugar importante en la
construcción de conocimientos matemáticos, necesario para alcanzar cualquier otro
conocimiento y poder llegar a cuestiones más abstractas.
El autor también cita a Bernard Lamy quien en 1741 publicó una obra “elementos de
Matemáticas o tratados de las magnitudes en general” en el cual afirma que “La ciencia
de la magnitud en general debe ser mirada como los elementos de toda la Matemática”.
Los redactores de los Comentarios (Desarrollos curriculares) a los programas actuales
de Francia, identifican claramente el problema cuando afirman: "Hoy en día la ciencia
Matemática está muy separada de la cuestión de la magnitud (el conjunto de los números,
por ejemplo, se construye formalmente sin referencia a la medida). Teóricamente las
Matemáticas pueden desarrollarse y transmitirse sin hacer referencia a la noción de
medición. Aunque es a partir del trabajo de las magnitudes que se han construido la
mayoría de los conceptos y teorías matemáticas. Si fue posible a las Matemáticas
independizarse de la noción de magnitud, es sin dudas porque habían acumulado gran
52
Maestría en la Enseñanza de la Matemática
cantidad de experiencias y resultados, por lo que en la enseñanza básica, no puede
dejarse de lado”.
Para finalizar este apartado, el autor examina en términos de tipo de tareas, lo que
debe ser objeto de estudio en relación a las magnitudes según los nuevos programas de
6to. (Se corresponde a 6to año en nuestro país)
Algunas de ellas son:
‐ Comparar los perímetros por medio de sus medidas, es decir realizando un trabajo
numérico, aunque es posible realizar la comparación usando otras técnicas como
“desenrollar” los perímetros y compararlos visualmente.
‐ Comparar ángulos mediante superposición.
‐ Medir ángulos con un transportador.
‐ Comparar áreas mediante una técnica no numérica, por superposición, cortando y
pegando.
‐ Tareas que impliquen: cálculos del perímetro de un polígono, de un círculo,
calcular duraciones, el tiempo, el área de un rectángulo, el volumen de un paralelepípedo
rectangular.
‐ Y en relación con cambios de unidad: efectuar cambios de unidad para las
longitudes, masas y área; utilizar las unidades de volumen, equivalencias con las unidades
de la capacidad y el cambio de unidades.
Calcular con las magnitudes
En este apartado el autor recuerda las antiguas denominaciones de número abstracto y
número concreto, según que el número esté o no acompañado por una unidad de medida.
Frente a la pregunta: ¿se puede calcular con magnitudes?, el autor muestra la resolución
del primer problema – que no presentaremos en este trabajo - relativo al cambio de
unidades, utilizando una técnica “concreta” ya que opera con números concretos.
Posteriormente la compara con una técnica abstracta ya que utiliza números abstractos.
Sostiene que del punto de vista didáctico es legítimo plantearse que si una técnica es
más fácil de aplicar que otra, si sus tecnologías son más fáciles o difíciles de desarrollar,
esto dificultará la tarea del profesor y el alumno aprenderá más lentamente. Esto podría
constituir un trabajo experimental interesante que apunte a validar o invalidar ciertas
hipótesis relativas a la facilidad técnica de realización de un tipo de tarea dado.
El segundo problema plantea un cálculo con unidades y el tercero se relaciona con una
ecuación de segundo grado con las unidades.
Vamos a desarrollar y comentar el cuarto problema relativo a “un pequeño uso en geometría del análisis dimensional” debido a que el tema central de esta tesina relaciona la medición con la geometría. Un pequeño uso en geometría del análisis dimensional En la siguiente configuración geométrica se tiene (AD) y (BC) perpendicular a (DC).
O es la intersección de (AC) y (DB) y se proyecta ortogonalmente en H.
Se llama: a= AD, b= BC, c= DC, h = OH.
53
Maestría en la Enseñanza de la Matemática
Recuerdo que h se obtiene como la razón del producto de a y b a su suma, a menos
que sea a la inversa, porque no recuerdo el sentido.
No recuerdo si
o bien
.
Sin calcular, encontrar cuál es la buena relación.
El autor señala que el problema puede resolverse rápidamente mediante el uso de lo que se denomina el análisis dimensional, es decir, las igualdades dadas no hay que mirarlas como una igualdad numérica, sino como una igualdad de magnitudes. Dos magnitudes iguales pertenecen a la misma especie y, por lo tanto, deben tener la misma dimensión. Esto deja de lado la primera fórmula ya que no es homogénea, porque h es una longitud y la dimensión del segundo miembro es la inversa de una longitud. En cambio, la segunda fórmula es homogénea. Entonces, si una de ellas es correcta, tiene que ser la segunda. Sin embargo, el autor plantea ser prudentes ya que, las constantes escondidas (1 por ejemplo) pueden disimular las magnitudes que habría que tomar en consideración. Se tiene así, afirma el autor, un recurso de control ‐ con limitaciones por supuesto‐ sobre la obtención de fórmulas. El hecho de trabajar con magnitudes y más simplemente con números abstractos da aquí un elemento técnico que permite controlar; por supuesto es una técnica limitada con dominio de aplicación restringido, pero no por eso menos interesante. Si bien la consigna en el artículo, indicaba “sin calcular” decidimos incluir ‐ en el Anexo N°4 – una demostración matemática que permite determinar cuál de las dos fórmulas es la correcta. Conclusiones del autor Como último punto del artículo el autor incluye algunas conclusiones a partir de la pregunta: ¿hay que introducir las unidades en los cálculos tal como lo plantean los programas actuales? El autor informa que los ejercicios presentados y su análisis permiten iniciar el estudio de esta cuestión; para ciertas tareas de cambios de unidades (productos o cocientes) el uso de las unidades permite elaborar una técnica más simple que la que se usa habitualmente. Plantea que la presencia de esta práctica en el aula, depende aún de la aceptación de los profesores de Matemática, ya que la tradición escolar la ha establecido como una práctica perteneciente a las ciencias experimentales. Y finalmente afirma que el uso de dimensiones con el principio de homogeneidad autoriza modelizaciones y controles en la elaboración de fórmulas. 54
Maestría en la Enseñanza de la Matemática
Conclusiones del análisis del artículo Si bien la medición es un contenido siempre presente en los Diseños Curriculares,
incluso como un eje al mismo nivel de importancia que lo numérico o lo geométrico, el
trabajo con magnitudes en la enseñanza de la matemática ocupa un lugar “dudoso”: ¿se
trata de contenidos legítimos de Matemática? ¿O serán de las Ciencias Experimentales?
¿Es necesario enseñarlo porque nadie se ocupa o porque ocuparse le corresponde a la
Matemática?
Estas “dudas” pueden observarse en las actividades propuestas por docentes en las
clases – como se destaca en el análisis que se incluye en el Capítulo 2 y en libros de texto
como el analizado en el Capítulo 3 - en las carpetas de los alumnos o en los libros de
texto, donde la medición efectiva, la estimación de medidas de objetos reales y el uso de
unidades de medida se encuentra ausente o ocupando un lugar secundario. Lo importante
son las fórmulas y el número que producen.
Por lo tanto la pregunta que se plantea el autor en este artículo es pertinente y plantea
un gran desafío, qué papel asignar a estas cuestiones en la enseñanza de la matemática.
Por otra parte, el autor muestra la utilidad de contar con un marco teórico como la
TAD que permite identificar y analizar fenómenos de enseñanza que la cultura habitual
ignora.
Además, la presentación de una técnica “exótica” nos llevó a buscar y realizar otras
técnicas basadas en principios similares a la dada. Los problemas presentan interesantes
contextos físicos que permitieron conocer técnicas de resolución generalmente ausentes en
las clases de matemática relacionadas con la medición.
Todo lo anterior constituyó un gran aporte de conocimientos para la realización de las
distintas tareas didácticas que se han ido desarrollando a lo largo de esta tesis.
2‐ El segundo artículo que analizaremos en este capítulo, lleva el título “Efectos del “autismo temático” sobre el estudio de la Geometría en Secundaria”, realizada por Josep Gascón26 del Departamento de Matemáticas de la Universidad Autónoma de Barcelona, que se incluye en el Anexo 5. 1. En el primer punto, El “autismo temático” y la transparencia de las matemáticas escolares, el autor retoma de Chevallard la jerarquía de niveles de codeterminación entre las Organizaciones Matemáticas escolares y las correspondientes Organizaciones Didácticas oportunamente analizadas en el Capítulo 1. En relación a la jerarquía de niveles Gascón señala citando a Chevallard, Bosch y
Gascón (1997, p. 118): “La existencia de una tal cadena constituye una condición mínima
para que una cuestión matemática pueda existir en una institución escolar; pero el mero
hecho de que una cuestión matemática pueda plantearse no garantiza la calidad de su
estudio; ésta depende, entre otras cosas, de que dicha cuestión matemática provenga de
ciertas cuestiones primarias planteadas en los niveles superiores de la jerarquía (más
Gascón, J. (2000) “Efectos del “autismo temático” sobre el estudio de la Geometría en Secundaria”, realizada en el marco del proyecto BSO2000‐0049 de la DGICYT, del Departamento de Matemáticas de la Universidad Autónoma de Barcelona. 26
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Maestría en la Enseñanza de la Matemática
allá incluso del nivel disciplinar) y “conduzca a alguna parte”, esto es, que no se trate de
una cuestión “cerrada en sí misma” y, por tanto, “muerta”.
Las cuestiones a enseñar surgen en los niveles superiores de la jerarquía, por lo que el profesor no participa de esas decisiones. Si bien mantiene un cierto interés por las que se refieren al nivel disciplinar, escolar y social, no tiene influencia en el tipo de cuestiones a ser enseñadas, lo que lo lleva a un “encierro en los temas”, y constituye un fenómeno didáctico, el “autismo temático” del profesor. Luego, el autor propone hablar del autismo temático de la institución escolar en lugar
de autismo temático del profesor, ya que es posible observar que, para el currículo oficial
que proponen las sucesivas reformas, los libros de textos, etc. todo aparece como
transparente e incuestionable.
Gascon, J. citando a Chevallard afirma: “La consecuencia más impresionante de este
aislamiento del profesor en la jerarquía de los niveles de determinación didáctica se
encuentra en la desaparición de las razones de ser de las OM enseñadas en el nivel
temático” (Chevallard, 2001).
Gascón señala por ejemplo que la clasificación de cuadriláteros tal como es estudiada
en Secundaria aparece desconectada de las situaciones que le dieron sentido, tema que
trata más adelante en el artículo.
La enseñanza de la matemática atraviesa por un autismo disciplinar, esto es, en su gran
mayoría, las cuestiones matemáticas a enseñar surgen en el nivel temático y sólo están
conectadas nominalmente a los niveles superiores de organización que son transparentes e
incuestionables.
Además, dichas cuestiones están débilmente conectadas a los niveles superiores de
organización y aparecen como cuestiones bastante independientes entre sí, debido a que
los temas matemáticos escolares no se estructuran como OM locales. A su vez,
desaparecen las razones de ser de las cuestiones disciplinares que se estudian en la
escuela, debido a las dificultades existentes para que las matemáticas tomen en
consideración las cuestiones primarias que hay que estudiar en la escuela y que surgen en
el nivel social.
El autor hace referencia a la última reforma de la Educación Secundaria Española,
donde los documentos oficiales imponen como obligatorios el primer nivel de concreción,
que incluye los objetivos generales del ciclo, el establecimiento de las áreas curriculares y
de los objetivos generales de cada una de ellas, etc. sin justificación de tal imposición ni
posibilidad de cuestionamiento de los dos niveles siguientes al nivel disciplinar, áreas y
sectores.
Las áreas que sostiene el Diseño Curricular de la Educación Secundaria Obligatoria
Española son: Aritmética y álgebra; Geometría; Funciones y gráficas; y Estadística y
Probabilidad. En el Bachillerato, se agregan dos: Álgebra Lineal y Análisis.
Luego, presenta la subdivisión en sectores del área de Geometría, para la ESO y para
el Bachillerato.
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Maestría en la Enseñanza de la Matemática
En nuestro país, los CBC27 para la EGB Segunda Edición (1995), para la asignatura
MATEMÁTICA han sido organizados en ocho bloques: Número; Operaciones; Lenguaje
gráfico y algebraico; Nociones geométricas; Mediciones; Nociones de estadística y
probabilidad; Procedimientos relacionados con el quehacer matemático; y Actitudes
generales relacionadas con el quehacer matemático.
Es posible establecer una correspondencia entre los seis primeros y las cuatro áreas,
correspondientes a la ESO Española.
Los dos últimos bloques expuestos en nuestros CBC corresponden a contenidos
procedimentales y actitudinales.
Los Núcleos de Aprendizajes Prioritarios (NAP)28 de Matemática elaborados para el
3º Ciclo de la EGB / Nivel Medio se organizaron en torno a cuatro núcleos: El Número y
las Operaciones, El Álgebra y las Funciones, La Geometría y la Medida, y La
Probabilidad y la Estadística.
El Diseño Curricular de Corrientes, elaborado para el tercer ciclo de la EGB está
organizado en cuatro áreas, denominadas ejes: Número y Cálculo, Mediciones, Geometría
y Tratamiento de la Información. Cabe señalar el uso de distintos términos en los
documentos oficiales de nuestro país: bloques, núcleos y ejes para indicar lo que en
principio es equivalente a las áreas definidas por Y. Chevallard.
El autor continúa diciendo que dado que el primer nivel de concreción se impone por
ley, las áreas y sectores señalados resultan incuestionables en las instituciones escolares.
Los autores de libros de texto y el profesor, sólo tienen la posibilidad de elegir las
cuestiones a ser enseñadas y agruparlas en temas.
Se produce así una escisión entre temas y cuestiones; y disciplina, áreas y sectores.
Esta separación constituye la principal manifestación del autismo temático en
Secundaria y está asociada a la transparencia de la Matemática como disciplina, es decir,
desconectadas de las razones de ser y cuestiones que la dieron sentido; y al mito
pedagógico, que considera a los niveles superiores de naturaleza matemática y a los
inferiores, de naturaleza pedagógica, donde no hay incidencia de uno sobre el otro.
2. El estudio de la geometría en la Enseñanza Secundaria actual El autor afirma que se debería cuestionar la existencia de las áreas en el Diseño
curricular, refiriéndose a las conocidas: Aritmética, Algebra, Geometría, Cálculo,
Estadística y Probabilidad.
Ya en otros artículos, distintos autores (Bolea, Bosch y Gascón, 1998, 2001; Gascón,
1999 y 2001), especialmente J. Gastón han cuestionado la existencia del Álgebra como
área independiente a favor de considerar procesos de algebrización de distintas
organizaciones matemáticas. En particular en relación con la Geometría – tema afín con
el objeto de estudio de esta tesis - el autor señala la ambigüedad entre el sustantivo
geometría y el adjetivo geométrico, cuestión estudiada por Gascón.
Antes de incluir dos apartados en los que basará sus afirmaciones concluye diciendo
que: “El que se mantengan dichas áreas en el Diseño Curricular de la Enseñanza
27
28
Contenidos Básicos Comunes para la EGB. (1995) Núcleos de Aprendizajes Prioritarios. (2006) 57
Maestría en la Enseñanza de la Matemática
Secundaria española debe ser considerado como una prueba más del carácter
transparente e incuestionable de este nivel de estructuración (las “áreas”) de las
matemáticas escolares”.
2.1. Ruptura escolar entre la geometría sintética y la geometría analítica El autor señala que esta ruptura es una falsa controversia fruto de un análisis
epistemológico superficial. No retomaremos en este apartado, el análisis y afirmaciones
del autor, dado que no es una cuestión directamente relacionada con nuestro tema de
estudio.
2.2. Desaparición escolar de la razón de ser de la clasificación de los
cuadriláteros
En este apartado el autor se propone analizar la clasificación de cuadriláteros como
otro ejemplo de la incidencia del autismo temático y de la transparencia que se deriva de
las matemáticas escolares sobre el estudio actual de la geometría en secundaria. A la vez
analizará la pérdida completa de la “razón de ser” del estudio de la clasificación de
cuadriláteros.
El autor sostiene que: “La clasificación de los cuadriláteros convexos, tal como se
estudia en Secundaria, constituye un ejemplo paradigmático de cuestión que surge en el
nivel temático (en el tema “tipos de polígonos”) completamente desconectada de las
situaciones que le podrían dar “sentido”. En efecto, las citadas clasificaciones se reducen
a meras “taxonomías” completamente ajenas a las cuestiones geométricas que aparecen
en las situaciones umbilicales de determinación y construcción de figuras y, por tanto, sin
ninguna relación con cuestiones tales como: ¿Cuáles son los elementos que determinan
un tipo determinado de figuras?, ¿Existen diferentes sistemas de elementos que
determinan el mismo tipo de figuras?, ¿Cuál de ellos es el más “adecuado” para
utilizarlo en determinada situación de construcción?” (Pág. 8)
Estas y otras cuestiones similares, nos llevaron a plantear un estudio de las relaciones
que pueden establecerse entre cada clase de figuras determinada por una cierta
clasificación de cuadriláteros y las fórmulas para el cálculo de sus áreas, tema central de
estudio en esta tesis. Este estudio se presentará en el Capítulo 5.
El autor presenta y analiza las clasificaciones de cuadriláteros convexos que aparecen
más frecuentemente en los libros de texto de Secundaria, atendiendo al paralelismo de sus
lados (en algunos casos con el agregado del estudio de la perpendicularidad) y a la
igualdad de los mismos.
Por ejemplo, se puede encontrar una primera clasificación en tres grandes clases:
Trapezoides, Trapecios y Paralelogramos de acuerdo a no poseer ninguno, uno o dos pares
de lados paralelos. Y por su parte dentro de los Trapecios se utilizan distintos criterios
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Maestría en la Enseñanza de la Matemática
(existencia de ángulo recto o lados no paralelos iguales) y los Paralelogramos a partir de
considerar distintos criterios relativos al tipo de ángulos o a la igualdad de sus lados.
El autor señala las características principales de ese tipo de clasificaciones:
En las mismas aparecen entremezclados diferentes criterios de clasificación, en algunos casos definiendo las clases de cuadriláteros en forma inclusiva y en otros no. En ningún caso, se pone de manifiesto la relación existente entre las diferentes clases de formas que van apareciendo ni qué modificaciones habría que realizar a una determinada clase para obtener otra. No se toma en consideración los grados de libertad de cada una de las clases, esto es, el número mínimo de elementos independientes necesarios para determinar cada clase. Y concluye afirmando que: “No es de extrañar que este tipo de clasificaciones,
omnipresente en los libros de texto, esté asociado a fenómenos didácticos indeseables
entre los que cabe citar los errores sistemáticos y persistentes que cometen los alumnos y
cuya explicación no debería buscarse, por tanto en “dificultades cognitivas” o “faltas de
motivación” de estos”. (Pág. 9)
En relación con este punto, en las clases observadas y analizadas en el Capítulo 2, la
clasificación de cuadriláteros existente aunque de manera implícita, está dada en dos
clases disjuntas, los paralelogramos y los trapecios, dejando de lado a los trapezoides.
Como bien lo señala el autor del artículo de investigación objeto de análisis, esta
clasificación no permite poner en relación las diferentes clases de figuras como tampoco
analizar qué elementos son necesarios para la determinación de cada clase, sino más bien
abordando el estudio de cada una en forma aislada una de otra.
En los libros de Textos consultados para la realización de este trabajo, aparecen los
diferentes criterios de clasificación señalados por el autor, en algunos casos definiendo las
clases de cuadriláteros en forma inclusiva y en otros no. Si bien analizando la propuesta
de un autor e interpretando sus posibles intenciones, se puede identificar su intención de
poner en relación las diferentes clases de figuras, no es posible afirmar que la misma esté
presente efectivamente en el aula, ya que no está plasmada en actividades para los
alumnos, e identificarla constituye una tarea compleja para los docentes.
3. ¿Cómo dar sentido al estudio de la clasificación de los cuadriláteros? En este apartado el autor propone mostrar que es posible recuperar el sentido del
estudio de la clasificación de los cuadriláteros conectándolo con la problemática de “la
determinación y construcción de ciertos tipos de figuras geométricas”. (Pág. 9)
3.1. Un criterio alternativo sin salirse del ámbito de los cuadriláteros En este apartado, el autor se propone abordar la cuestión de clasificar los cuadriláteros
convexos, dentro del mismo ámbito de los cuadriláteros, es decir, sin recurrir a cuestiones
más genéricas y, afirma que “es posible proponer criterios más sistemáticos y coherentes
que, a posteriori, proporcionarán un sentido geométrico a la clasificación obtenida, ya
que permitirán establecer relaciones inclusivas o no, entre figuras a través del cambio de
la forma de las mismas” (Pág. 9 y 10).
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Maestría en la Enseñanza de la Matemática
Para dicha clasificación, propone caracterizar las diagonales del cuadrado mediante
cuatro propiedades o “axiomas”, que se irán eliminando sistemáticamente para construir
clases de formas cada vez más amplias y menos “simétricas” y describir de esta manera
una cierta evolución de las formas cuadrangulares. Considera que las diagonales del
cuadrado satisfacen las cuatro propiedades siguientes:
D1: Las dos diagonales tienen la misma longitud.
D2: Las diagonales se cortan perpendicularmente (forman cuatro ángulos iguales).
D3: El punto de intersección de las diagonales divide a ambas en la misma proporción.
D4: El punto de intersección divide a una de las diagonales en dos partes iguales.
Por ejemplo, es posible analizar que si las diagonales de un cuadrilátero verifican las
cuatro propiedades: D1-D2-D3-D4 determinan una única figura posible, el cuadrado.
b
a
o
c
d
Si tomáramos otra figura que verifique las cuatro propiedades, se concluirá que tiene
que ser un cuadrado, ya que: si el punto de intersección divide a una de las diagonales en
dos partes iguales (propiedad 4), entonces divide a ambas diagonales en dos partes iguales
porque divide a ambas en la misma proporción (propiedad 3).
Con ello se tiene:
y
(*)
Además por propiedad 2, se tiene:
(**)
Por (*) y (**) se tiene que:
ya que “si dos triángulos tienen
dos lados respectivamente congruentes y el ángulo comprendido congruente, entonces son
congruentes”.
De ello se concluye que la figura tiene los cuatro lados congruentes.
Además, si las diagonales son iguales, propiedad 1), los triángulos aob, boc, cod y doa
son isósceles, y entonces los dos ángulos agudos de cada uno de los cuatro triángulos
miden 45° porque la suma de los ángulos interiores de todo triángulo es 180°. Entonces,
los ángulos de la figura son rectos.
Dado que el cuadrilátero que tiene los lados y los ángulos congruentes se denomina
Cuadrado, se demostró que la única figura que verifica las cuatro propiedades dadas es el
cuadrado.
A partir de la figura del cuadrado, va eliminando una a una las propiedades y obtiene
cuatro clases de formas cuadrangulares: Rombos, Romboides isodiagonales, rectángulos y
trapecios ortodiagonales. Por ejemplo, puede concluirse que la clase de los rombos tiene
un grado de libertad, es decir que para identificar cada una de las figuras de esa clase basta
dar un parámetro, en este caso será necesario dar las medidas de sus diagonales.
60
Maestría en la Enseñanza de la Matemática
De la misma manera se podrá eliminar dos o tres propiedades y obtener de esta
manera distintas figuras que permiten ver incluso algunas no presentes habitualmente en
la escuela, como los trapecios ortodiagonales o romboides isodiagonales.
Sólo como ejemplo, podemos analizar que si se eliminan tres propiedades, cada clase
quedarán determinadas por una sola de ellas:
‐
Si sólo se verifica la propiedad 1, se obtendrán los cuadriláteros isodiagonales
y para identificar a una de las infinitas figuras de esta clase será necesario dar tres
parámetros: el ángulo que forman las diagonales al cortarse; las longitudes necesarias para
ubicar el punto de intersección de ambas diagonales.
‐
Si sólo se verifica la propiedad 2, se obtendrán los cuadriláteros ortodiagonales
y para identificar a una de las infinitas figuras de esta clase será necesario dar tres
parámetros: la longitud de las diagonales y las longitudes necesarias para ubicar el punto
de intersección de ambas diagonales.
El autor concluye que las ideas que pone en juego en los estudios anteriores, se pueden
ampliar a la clasificación completa, mostrando que fijar una forma cuadrangular equivale
a fijar los valores de cuatro parámetros.
Conclusiones del análisis del artículo
El autor del artículo, propone pensar en las cuatro propiedades posibles de las
diagonales de un cuadrilátero - incluso antes de conocer las distintas figuras - y analizar
cuáles quedan definidas cuando se van cumpliendo 4, 3, 2 o 1 de esas propiedades. Las
figuras quedan clasificadas gracias al análisis de las diagonales, pero se trata de una
clasificación al servicio de la identificación de cada figura (o tipo de figura) y de la
construcción (a través de los parámetros que es necesario dar para poder construirla).
El estudio que desarrollaremos en el Capítulo 5, está muy relacionado con esta
propuesta, ya que parte de la clasificación de cuadriláteros según – al menos en el inicio el paralelismo de los lados y analiza el conjunto de datos que se puede dar para calcular el
área de cada tipo de figura. Por ejemplo, el área de un rombo se calcula habitualmente a
partir del producto de sus diagonales, se analizará entonces si es posible calcular su área,
conociendo la longitud de la base y la altura. Y esto genera nuevas agrupaciones de las
figuras.
61
Maestría en la Enseñanza de la Matemática
Capítulo 5: Dos estudios matemático‐didácticos sobre área En este capítulo incluiremos dos estudios matemático‐didácticos relacionados con la magnitud área, que surgieron a partir del análisis de registros de clases observadas en el Nivel Secundario. En primer lugar por el interés generado en explicar las razones por las cuales el docente en su propuesta de enseñanza optó por obtener la fórmula del trapecio a partir de una descomposición en particular y en el segundo caso, para tratar de comprender la “lógica” de la secuenciación de las actividades desarrolladas en la clase, para trabajar con el cálculo del área de diferentes figuras planas. Dichos estudios corresponden a la determinación de una fórmula del área de los diferentes tipos de trapecios y una clasificación de cuadriláteros según las fórmulas que pueden ser utilizadas para el cálculo de su área. En el primer estudio se trata de hacer variar el tipo de figuras en las que se descomponen los trapecios, conservando los datos de las bases y altura a partir de los cuales se calcula el área, mientras que en el segundo lo variable es precisamente los datos de las figuras con los cuales se cuenta para el cálculo del área. Aclaramos que estos estudios no constituyen una propuesta didáctica de enseñanza, sino justamente un estudio matemático del contenido con vistas a fundamentarla, con el convencimiento de que toda propuesta didáctica debe partir de un estudio con estas características. Cabe aclarar que en el estudio realizado se analizan cuáles son los conocimientos que se deberían poner en juego para validar las distintas afirmaciones y su relación con los conocimientos disponibles de alumnos de nivel secundario. No disponer de una organización de estas características produce con frecuencia para la enseñanza, organizaciones matemáticas incompletas, ya que se reducen a la utilización de fórmulas no justificadas, de aplicación bastante rígida y de poco contenido conceptual. 1‐ Fórmula de cálculo del área del trapecio A continuación se presentan diferentes formas de obtener una fórmula que permita calcular el área de un trapecio, a partir de descomposiciones en figuras (cuadrado, rectángulo, paralelogramo, triángulo) de las cuales ya se dispone de una fórmula para hallar sus áreas. Por otra parte se analiza su utilidad para calcular el área de los diferentes tipos de trapecio. 62
Maestría en la Enseñanza de la Matemática
Para el trapecio isósceles: Se pretende determinar una fórmula para hallar el área del siguiente trapecio, conociendo las medidas b, B y h, correspondientes a las bases menor b, a la mayor B y a la altura h: h
B
Para hallar el área de la figura anterior se puede considerar al trapecio como formado por distintas figuras disjuntas como triángulos, rectángulos o paralelogramos. El cálculo del área de cada una de las figuras que lo componen y su suma posterior permite obtener el área del trapecio. Algunas descomposiciones posibles son: a) Descomponer el trapecio isósceles en un rectángulo y dos triángulos rectángulos. b
h
b
B
Trazando perpendiculares a la base mayor a partir de los extremos de la base menor, se obtienen las figuras mencionadas y la base mayor B queda subdividida en tres segmentos, dos de los cuales tienen una longitud (B‐b)/2 y el restante coincide con la base menor b. Dado que el área del rectángulo puede obtenerse mediante la fórmula b.h y el área de cada uno de los triángulos mediante ; una fórmula que permita calcular el área del trapecio puede obtenerse sumando las áreas de los dos triángulos y del rectángulo: 63
Maestría en la Enseñanza de la Matemática
b) Descomponer el trapecio isósceles en un paralelogramo y un triángulo isósceles. b
h
b
B
En este caso, para descomponer el trapecio en un triángulo y un paralelogramo, se traza una paralela a uno de los lados no paralelos del trapecio a partir de uno de los vértices de la base menor. El triángulo isósceles formado tendrá como base el segmento B‐b y a h como altura. Dado que el área del paralelogramo puede obtenerse mediante la fórmula b.h y el del triángulo isósceles ; el área del trapecio puede obtenerse sumando las áreas del paralelogramo y del triángulo: c) Descomponer el trapecio isósceles en dos triángulos. b
h
h
B
Para descomponer el trapecio en las figuras mencionadas se traza una de las diagonales lo que determina dos triángulos de distintas bases, pero de igual altura. El área del triángulo que tiene como base a la base menor del trapecio es triángulo que tiene como base a la base mayor del trapecio es y el del . El área del trapecio se puede obtener mediante la suma de las áreas de los dos triángulos que lo componen: Para el trapecio rectángulo: Se pretende determinar una fórmula para hallar el área del siguiente trapecio, conociendo como en los casos anteriores las medidas b, B y h, correspondientes a las bases menor b, a la mayor B y a la altura h: b
h
B
64
Maestría en la Enseñanza de la Matemática
Algunas de las descomposiciones que permiten hallar el área de la figura anterior son las siguientes: a) Descomponer el trapecio rectángulo en un rectángulo y un triángulo rectángulo. b
h
b
B-b
B
Se traza una paralela al lado del trapecio que forma el ángulo recto por uno de los extremos de la base menor para formar un rectángulo. Su área puede obtenerse mediante la fórmula b.h y la del triángulo . El área del trapecio es posible entonces, obtenerla sumando las áreas del rectángulo y del triángulo: b) Descomponer el trapecio rectángulo en un paralelogramo no rectángulo y un triángulo rectángulo. b
h
B-b
b
B
También es posible considerar al trapecio como formado por un paralelogramo y un triángulo rectángulo. El área del paralelogramo es posible obtenerla mediante la fórmula b.h y la del triángulo rectángulo . Por lo tanto el área del trapecio se puede obtener sumando las áreas del paralelogramo y del triángulo rectángulo: Cabe destacar que las alturas del paralelogramo y del triángulo (respecto del lado B‐
b) son iguales. c) Descomponer el trapecio rectángulo en dos triángulos, lo cual puede realizarse de dos formas posibles a partir de trazar una u otra de las diagonales: 65
Maestría en la Enseñanza de la Matemática
b
b
h
2
h
h1
B
B
Figura h
1
Figura 1 2 En ambas figuras el triángulo 1 tiene a B como base y a la altura h del trapecio como altura. En cuanto al triángulo 2, en las dos figuras su base es b. En cambio la altura del triángulo en la figura 1, es h1 la que resulta paralela e igual a la altura h del trapecio. En la figura 2 la altura del triángulo determinado coincide con h. Por lo tanto en ambas figuras, el área del triángulo 1 se puede obtener mediante la fórmula y el del triángulo 2 mediante El área del trapecio se puede obtener sumando las áreas de los dos triángulos: Para el trapecio escaleno: Se pretende determinar una fórmula para hallar el área del siguiente trapecio, conociendo las medidas b, B y h, correspondientes a las bases menor b, a la mayor B y a la altura h: b
h
B
Las posibles descomposiciones para hallar el área de la figura anterior son: a) Descomponer el trapecio escaleno en un paralelogramo y un triángulo b
h
B-b
b
B
Para ello se traza una paralela a uno de los lados no paralelos del trapecio. En este caso la base es B‐b y la altura h, y del paralelogramo su base b y h su altura. Es posible hallar el área del paralelogramo mediante la fórmula b.h y la del triángulo: 66
Maestría en la Enseñanza de la Matemática
El área del trapecio por lo tanto se puede obtener sumando las áreas del paralelogramo y del triángulo: b) Descomponer el trapecio escaleno en dos triángulos (1 y 2) trazando una de las diagonales. b
2
h
1
h1
B
La altura h del triángulo 1 respecto del lado B es igual a la altura h1 del triángulo 2 respecto del lado b que también coincide con h. El área del triángulo 1 puede calcularse mediante la fórmula es
y la del triángulo 2 El área del trapecio es entonces igual a la suma las áreas de los dos triángulos: Al igual que en el caso del trapecio rectángulo antes descripto, los triángulos que se consideren para el cálculo de las áreas pueden variar según se trace una u otra diagonal, con lo cual resultarán dos casos. Conclusiones Si analizamos los procedimientos presentados para determinar la fórmula del cálculo del área de diferentes trapecios (isósceles, rectángulo y escaleno), se observa que las descomposiciones que pueden realizarse en cualquier tipo de trapecio son dos: en un paralelogramo y un triángulo y en dos triángulos. La descomposición habitual en un rectángulo y dos triángulos iguales, sólo es válida en el caso de un trapecio isósceles, si bien un trapecio rectángulo se puede descomponer en un rectángulo y un triángulo en lugar de los dos anteriores. Por lo tanto, en relación a la pregunta que nos planteábamos sobre el por qué seleccionar la descomposición en dos triángulos para un profesor de Colegio Secundario, podemos asumir que se debe a la generalidad de su uso en los distintos tipos de trapecios. Sin embargo también la descomposición en un paralelogramo y un triángulo puede ser utilizada para la obtención de la fórmula del área de cualquier trapecio. ¿Por qué entonces seleccionar la descomposición en dos triángulos y no en un paralelogramo y un triángulo? Para avanzar en algunas respuestas a esta pregunta es 67
Maestría en la Enseñanza de la Matemática
necesario aclarar si lo hacemos desde la decisión de un profesor de “mostrar” a los alumnos una forma de obtener la fórmula o desde un proceso de construcción de la fórmula por parte de los alumnos. Si se trata de “mostrar” a los alumnos una descomposición que permita obtener la fórmula del trapecio, se elegirá sin dudas ‐ por razones de economía ‐ una forma general, en particular la que puede ser enunciada a partir de una breve y clara instrucción como: “trazar una de las diagonales del trapecio”, mientras que para la otra descomposición habría que trazar la paralela a uno de los lados del trapecio, construcción en general un poco más compleja que la anterior, debido a la necesidad de determinar el otro punto por el que se traza la paralela. Si lo analizamos desde un posible proceso de construcción por parte de los alumnos – de inicios de la Escuela Secundaria ‐ de la fórmula del área de un trapecio isósceles, podemos suponer que recurrirían a la descomposición en un rectángulo y dos triángulos, tal como lo hemos observado en el trabajo de distintos grupos escolares. Frente a un trapecio rectángulo, la única modificación necesaria al procedimiento anterior, sería considerar un único triángulo. Sin embargo en el caso de un trapecio escaleno, no podría trazarse un rectángulo pero si un paralelogramo y un triángulo. Si bien es un estudio a realizar, nos parece posible que los alumnos recurran a un tipo de desarrollo como el anterior. Por otra parte se puede analizar la complejidad de las manipulaciones algebraicas necesarias para la obtención de la fórmula del área de un trapecio, si la pensamos desde el nivel de conocimientos disponibles de alumnos de 2do año. La descomposición de un trapecio en dos triángulos, requiere una menor manipulación algebraica, sin embargo la determinación de la altura del triángulo de base igual a la base menor del trapecio ‐ debido a que la altura es externa al triángulo – aparece como una cierta dificultad para los alumnos. En cambio, la descomposición en un paralelogramo y un triángulo requiere una mayor destreza algebraica (simbolización, uso de propiedades, etc.) pero puede aparecer como más “visible” para los alumnos al momento de descomponer el trapecio en dos o más figuras, para las cuales dispongan de fórmulas para el cálculo de sus áreas. Como para tantos otros contenidos matemáticos incluidos en el diseño curricular, habría que organizar un proceso de aprendizaje que se extienda a lo largo de más años de escolaridad, que permita “re‐visitar” los conocimientos desde otros puntos de vista, e ir ampliando las prácticas que se planteen en relación con dichos temas. Se puede imaginar un primer trabajo de obtención del área del trapecio a partir del cálculo del área de las figuras que pueden componerlo, desde primer año de secundario, mientras que la obtención de una fórmula general puede ser propuesta en años posteriores cuando los alumnos se encuentren involucrados en el aprendizaje del álgebra. Tanto para el cálculo del área del trapecio a partir de determinar el área de figuras que lo componen, como para la determinación de una fórmula general resulta de gran utilidad poder imaginar descomposiciones diferentes de una figura en función de la tarea 68
Maestría en la Enseñanza de la Matemática
o de los datos disponibles. Esta es una característica específica de la Matemática, que puede observarse en muchas tareas como en la de descomponer un número de distintas maneras según la tarea a realizar. 2‐ Clasificación de cuadriláteros y fórmulas para el cálculo del área Numerosas investigaciones en Didáctica de la Matemática señalan que la clasificación de cuadriláteros ha perdido su razón de ser en la Escuela Secundaria (Gascón, J. (2002); Rosso, F. (2005) y Fuentes Quintana, S. y Gárate Sepúlveda, P (2003)). Por ejemplo, Gascón , J. (2002), señala que: “La clasificación de los cuadriláteros convexos, tal como se estudia en Secundaria (…) aparece completamente desconectada de las situaciones que le podrían dar “sentido”, (…) ajena a las cuestiones geométricas que aparecen en las situaciones de determinación y construcción de figuras” En este estudio partiremos de considerar al trapecio como todo cuadrilátero que posee un par de lados paralelos y, paralelogramo a aquel cuadrilátero que posee dos pares de lados paralelos, por lo tanto el conjunto de paralelogramos está incluido en el conjunto de trapecios, es decir, todo paralelogramo es un trapecio, pero no todo trapecio es un paralelogramo; por lo tanto podemos clasificar a los trapecios en paralelogramos y no paralelogramos. Si el cuadrilátero no posee lados paralelos se denomina trapezoide. Paralelogramos Trapecios No paralelogramos Cuadriláteros Trapezoides Los cuadriláteros que son trapecios paralelogramos son los siguientes: cuadrado, rombo, rectángulo y paralelogramo propiamente dicho. Y los trapecios no paralelogramos se pueden clasificar a su vez en trapecios isósceles, rectángulo y escaleno. Entre los trapezoides podemos citar a los romboides. Sin embargo, las fórmulas que habitualmente se presentan para el cálculo de las áreas de esos diferentes tipos de cuadriláteros, en general no tienen relación con la fórmula del cuadrilátero en el que están incluidos. Por ejemplo, para el rombo la fórmula habitual de cálculo de su área es: D.d/2, sin embargo todo rombo es un paralelogramo, cabe entonces la pregunta ¿se podría calcular su área usando la fórmula “habitual” para los paralelogramo: bxh?; y dado que todo rombo es un trapecio (todo rombo está incluido en la clase de los trapecios), ¿podrá calcularse su área a partir de la fórmula del área del trapecio?
69
Maestría en la Enseñanza de la Matemática
Y por otra parte, dado que todo cuadrado es un rombo, ¿no debería poder usarse para calcular el área del cuadrado, la fórmula del área de un rombo? Se decidió entonces indagar para cada fórmula, cuáles son los cuadriláteros cuya área se puede calcular con tal fórmula, y en esos casos demostrar la equivalencia con la habitual. Como dijimos en el inicio de este apartado, este estudio surgió del análisis del registro de una clase destinada al aprendizaje del área, en la que pretendíamos establecer las razones de ser de las opciones tomadas por el Profesor en cuanto al orden en el cual se establecían las fórmulas en el desarrollo de su clase. Cada una de las figuras estudiadas posee una fórmula “habitual” de cálculo de su área: A= B.h para los rectángulos y paralelogramos; A= para los rombos y para los trapecios; para los cuadrados. 1‐ Dada la fórmula habitual que permite calcular el área del trapecio: ¿A qué otras clases de cuadriláteros se pueden aplicar esta fórmula para el cálculo de su área? En el primer estudio de este capítulo se mostró cómo puede obtenerse dicha fórmula para el caso de los trapecios no paralelogramos, mediante las diferentes descomposiciones en figuras más simples cuyas fórmulas de cálculo de área eran conocidas. Ahora se estudiará para qué otros cuadriláteros es posible utilizar dicha fórmula para el cálculo de su área y en ese caso se mostrará la equivalencia de esta fórmula con la habitual del cuadrilátero en cuestión. Cuadrado: Para calcular el área de un cuadrado de lado l, se puede utilizar la fórmula , pero por estar incluido en la clase de los trapecios debe ser posible obtener el área del cuadrado mediante la fórmula utilizada para los trapecios. Probaremos que ambas fórmulas son equivalentes. Dado que la medida de las bases y la altura coinciden con la medida del lado l, es decir: B = b = h = l. 70
Maestría en la Enseñanza de la Matemática
Entonces, el Área del cuadrado = Rectángulo: Por pertenecer a la clase de trapecios también debe ser posible obtener el área del rectángulo a partir de esa fórmula. Dado que las bases B y b del trapecio coinciden con la base B del rectángulo, es decir: B = b. El Área del rectángulo = h
B
Rombo: Debido a su inclusión en la clase de los trapecios, su área se puede obtener utilizando la fórmula habitual de cálculo de área para los trapecios. Veremos que la fórmula dada en términos de bases mayor y menor del trapecio es equivalente a la del rombo, dada en función de sus diagonales. La fórmula habitual de cálculo de área de un rombo es: La fórmula de cálculo de área para cualquier trapecio es: D
x
x1
Como la base mayor y menor son iguales en el rombo (B=b), se tiene por (2): Por lo tanto para demostrar la equivalencia entre las dos fórmulas, bastará con demostrar que: Si llamamos B al lado del rombo, h a su altura, x y x
1 a las distancias del vértice correspondiente al pie de la altura, los triángulos y son congruentes, por tener dos lados (B y h) y el ángulo comprendido respectivamente congruentes. Por lo tanto x=x1. Por el teorema de Pitágoras, se tiene: ; Se desea demostrar la siguiente igualdad: 71
Maestría en la Enseñanza de la Matemática
Elevando al cuadrado ambos miembros Reemplazando: Del triángulo rectángulo cuyas longitudes de los lados son x, h y B, se tiene: Paralelogramo propiamente dicho: Por estar incluido en la clase de los trapecios debe ser posible obtener su área a partir de dicha fórmula. En todo paralelogramo sus bases tienen igual medida (B=b). Entonces, el Área del paralelogramo = h
B
B
Con ello es posible observar la equivalencia entre la fórmula habitual utilizada para el cálculo del área del paralelogramo y la del trapecio. 2‐ Dada la fórmula habitual que permite calcular el área del rombo y el romboide: A = D.d/2, nos planteamos el mismo interrogante anterior: ¿A qué cuadriláteros se puede aplicar esta fórmula para el cálculo de su área? En primer lugar mostraremos distintas formas29 de obtener la fórmula del cálculo del área del rombo y del romboide a partir de fórmulas ya conocidas de figuras como triángulos y rectángulos30. Luego, se analizará para qué otros tipos de cuadriláteros es válida dicha fórmula. 29
Nos referimos a distintas formas de obtención al alcance de los alumnos de Nivel Secundario. Para el caso del trapecio las formas diferentes de obtener la fórmula del área se realizó en el primer estudio. 30
72
Maestría en la Enseñanza de la Matemática
Rombo: Dado el rombo (mnpq) de diagonales d y D, es posible inscribirlo en un rectángulo de lados iguales a las diagonales del rombo. El área de dicho rectángulo se puede calcular mediante la fórmula: B.h = D.d D D h d d B Debido a que el punto de intersección de las diagonales de todo rombo divide a ambas en dos partes iguales, las mismas determinan al rombo en cuatro triángulos congruentes, quedando el rectángulo dividido en ocho triángulos congruentes, como muestra la figura. El área del rombo será entonces, igual a la mitad del área del rectángulo, es decir: D.d/2 Otra forma de obtener la fórmula del el área del rombo sería sumando las áreas de los triángulos y , o las áreas de los triángulos y . D o
d Como el punto de intersección de las diagonales divide a ambas en dos partes iguales, se tiene: Área de
y
; Área de
Debido a que los triángulos y son congruentes, al igual que ya que tienen sus tres lados congruentes, se tiene: El Área del rombo
y 73
Maestría en la Enseñanza de la Matemática
Romboide: Dado el romboide (mnpq) de diagonales d y D, es posible inscribirlo en un rectángulo de lados iguales a las diagonales del romboide. A´ B´
AB
C E
D E´
C´
El área del rectángulo que circunscribe al romboide es posible calcularla mediante su fórmula habitual, que será: B.h = D.d El área del romboide será el resultado de sumar las áreas de los triángulos: A, B, C y E. Debido que los pares de triángulos A y A´, B y B´, C y C´, E y E´ son congruentes, pues tienen sus lados respectivamente congruentes, se puede afirmar que sus áreas son iguales. Por lo tanto, el área del romboide será igual a la mitad del área del rectángulo: D.d/2 También es posible encontrarlo sumando las áreas de los triángulos mnq y nqp. Como el punto de intersección de las diagonales divide a una de ellas en dos partes iguales, se tiene: Como entonces:
Área de
Área del romboide
o D Por otra parte, los triángulos congruentes, entonces: y son congruentes, ya que tienen sus tres lados Si se analizan las diferentes formas de obtener la fórmula del área del rombo y del romboide se puede observar que la única propiedad de las diagonales que se puso en juego es la perpendicularidad de las mismas. Por lo tanto, poner en relación distintas figuras a partir de sus fórmulas para el cálculo del área nos permitió ampliar el campo de aplicación de la fórmula del romboide a los cuadriláteros ortodiagonales, es decir 74
Maestría en la Enseñanza de la Matemática
aquellos cuyas diagonales sean perpendiculares. Por ello se puede aplicar a otros cuadriláteros aún cuando una de sus diagonales no corte a la otra en su punto medio y por lo tanto haya “perdido” que dicha diagonal sea eje de simetría, característica muy perceptible del romboide. Volviendo a la pregunta que nos planteamos, analizaremos a qué tipos de cuadriláteros se puede aplicar la fórmula del cálculo del área del romboide. Cuadrado: Todo cuadrado es un rombo, entonces debe ser posible calcular su área recurriendo a la fórmula de cálculo de área del rombo A = D.d/2, es decir a partir de disponer de la medida de la diagonal. Si se inscribe el cuadrado de lado l, en otro de lado igual a la diagonal del primero, el área se puede calcular mediante la fórmula: A = D2 B´ B A´ C C´ A E E´ Debido a que las diagonales son perpendiculares, cada uno de los triángulos A, B, C y E son respectivamente congruentes a A´, B´, C´ y E´. Por lo tanto, el área del cuadrado es igual a la mitad del área del cuadrado construido, es decir: A = D2/2 Para observar la equivalencia de esta fórmula con la habitual de cálculo de área del cuadrado se puede recurrir al Teorema de Pitágoras. Se tiene que: y por lo tanto
Trapezoide Ortodiagonal: Un trapezoide cuyas diagonales son perpendiculares, puede inscribirse en un rectángulo de lados iguales a las diagonales del trapezoide. C´ C E A A´
B E´ ´´ B´ El área de dicho rectángulo puede obtenerse mediante su fórmula habitual, es decir: B.h = D.d Debido a que las diagonales son perpendiculares, cada uno de los triángulos A, B, C y E son respectivamente congruentes a A´, B´, C´ y E´. Por lo tanto, el área del trapezoide es igual a la mitad del área del rectángulo, es decir: A = D.d/2 75
Maestría en la Enseñanza de la Matemática
Trapecios Ortodiagonales: La fórmula habitual del cálculo del área del trapecio es: A = (B + b)h/2. Si además dicho trapecio posee la particularidad de tener diagonales perpendiculares, es posible utilizar la fórmula: A = D.d/2 Trapecio escaleno ortodiagonal: Un trapecio escaleno cuyas diagonales son perpendiculares, es posible inscribirlo en un rectángulo de lados iguales a las diagonales del trapecio. B´ B C A A´ C´ E E´ El área del rectángulo puede obtenerse mediante su fórmula habitual, es decir: A = B.h = D.d Como las diagonales del trapecio son perpendiculares, cada uno de los triángulos A, B, C y E son respectivamente congruentes a A´, B´, C´ y E´. Por lo tanto, el área del trapecio es igual a la mitad del área del rectángulo, es decir: A = D.d/2 Por otra parte, es posible establecer una equivalencia entre ambas fórmulas que permiten calcular el área del trapecio escaleno ortodiagonal dadas las bases (B y b) y la altura h o sus diagonales D y d. (D = D1 + D2 ; d = d1 + d2). El área del trapecio será la suma de las áreas de los triángulos 1 y 2 de la siguiente figura. b b d2 D2 2 h d1 h D1 1 B B El área del triángulo 1 puede obtenerse: El área del triángulo 2: Por lo tanto el área del trapecio: 76
Maestría en la Enseñanza de la Matemática
Trapecio isósceles ortodiagonal: Es posible inscribir el trapecio isósceles en un rectángulo de lados iguales a las diagonales del trapecio. Como las diagonales del trapecio isósceles son iguales, el mismo quedará inscripto en un cuadrado. B´ B A A´ C E C´ E´ Debido a que las diagonales son perpendiculares, cada uno de los triángulos A, B, C y E son respectivamente congruentes a A´, B´, C´ y E´. Por lo tanto, el área del trapecio es igual a la mitad del área del cuadrado, es decir: A = D.d/2 = D2/2 Una forma de mostrar que las dos fórmulas del cálculo de área del trapecio isósceles ortodiagonal son equivalentes es la siguiente: Dado el trapecio isósceles ortodiagonal (mnpq), trazamos una perpendicular a la base menor por el vértice p, determinando el punto r. Luego, por el punto r trazamos una paralela a una de las diagonales determinando el paralelogramo (rsnq), de lo que resulta que: B – x = b + x. Por lo tanto la figura (mspr) es un rectángulo. s n b
n b
p
p
D
D o
h
h
m
q
m
q
r x
B
B
Dicho rectángulo posee diagonales perpendiculares e iguales, es decir es un cuadrado de lado B – x = b + x = h. Por poseer, el trapecio isósceles, diagonales perpendiculares e iguales, es posible hallar su área mediante: A = D. d /2 2A = D.d 2A = D2 Por el teorema de Pitágoras, en el triángulo se tiene: Como resulta: Entonces: (*) Por otra parte, por ser trapecio es posible calcular su área mediante: A = (B + b).h /2 Como B – x = b + x = h, resulta: B = h + x ; y b = h ‐ x D
77
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(**)
Por (*) y (**) es posible afirmar que ambas fórmulas son equivalentes para el cálculo del área del trapecio isósceles ortodiagonal. Además, es posible concluir que el área del trapecio isósceles ortodiagonal es igual al área del cuadrado de lado igual a la altura del trapecio. Trapecios rectángulos ortodiagonales: Un trapecio rectángulo cuyas diagonales son perpendiculares, es posible inscribirlo en un rectángulo de lados iguales a las diagonales del trapecio. El área de dicho rectángulo es posible calcularlo mediante la fórmula: A = B.h = D.d B´ B C A´ A C´ E E´ Debido a que las diagonales son perpendiculares, cada uno de los triángulos A, B, C y E son respectivamente congruentes a A´, B´, C´ y E´. Por lo tanto, el área del trapecio es igual a la mitad del área del rectángulo, es decir: A = D.d/2 En este caso, para mostrar la equivalencia entre las fórmulas que permiten calcular el área del trapecio rectángulo ortodiagonal recurrimos a propiedades de triángulos semejantes, y razones y proporciones. Debido a que el trapecio rectángulo ortodiagonal (mnpq) de bases B y b, y altura h, posee diagonales perpendiculares D y d (D = D1 + D2; d = d1 + d2) y además α1 = α2 y β1 = β2 por ser ángulos alternos internos entre paralelas, se tiene que los triángulos moq y nop son semejantes. b p n b p n D2 d
o 2 α2 β2 o h h d1 D1 β1 α1 m q m B q B En el triángulo rectángulo moq se tiene que: α1 + β1 = 90° En el triángulo rectángulo mnq uno de sus ángulos agudos es α1, entonces el otro es β1. Por lo tanto, los triángulos moq y mnq son semejantes y se cumple que: . De ello resulta: y (*) En el triángulo rectángulo nop se tiene que: α2 + β2 = 90° 78
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En el triángulo rectángulo mnp uno de sus ángulos agudos es β2, entonces el otro es α2. Por lo tanto, los triángulos nop y mnp son semejantes. Por transitividad, se cumple que los triángulos mnp y mnq son semejantes y por lo tanto se verifica: (**) El área del trapecio debería poder hallarse mediante la fórmula del cálculo habitual del romboide: Por (*) se tiene: Por el teorema de Pitágoras, en el triángulo mnp, se tiene: Por (**) se tiene: Si bien ésta última demostración requiere que el alumno disponga de mayores recursos de transformación de escrituras, tiene la ventaja de poner en relación las bases del trapecio y la altura con las diagonales, es decir partir de la fórmula que utiliza como datos las diagonales y mediante aplicación de propiedades llegar a la otra. Para mostrar la equivalencia entre ambas fórmulas en cada uno de los trapecios ortodiagonales, mostramos diferentes recursos posibles a ser utilizados por los alumnos de nivel Secundario, con la finalidad de establecer relaciones del concepto área con otros, entendiendo que es posible hacer evolucionar el mismo a lo largo de la Escolaridad obligatoria y aún en la formación superior de futuros profesores de Matemática. 79
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3‐ La fórmula habitual que permite calcular el área del paralelogramo, A=B.h, es utilizada para el cálculo del área del rectángulo, y del cuadrado (que como sus lados son iguales se transforma en l2). El interrogante en este caso será: Dado que el rombo es un paralelogramo ¿será posible utilizar la fórmula A= B.h para el cálculo del área del rombo, si se dispusiera de dichos datos? A continuación se mostrará la equivalencia entre ambas fórmulas. Dado el rombo (mnpq), la fórmula habitual para el cálculo del área es: n p D
m q x1
x
Los triángulos de lados xhB y x1hB son congruentes, por tener dos lados (B y h) y el ángulo comprendido congruentes. Por lo tanto x=x1. Por el teorema de Pitágoras: ; Del triángulo rectángulo de lados xhB, se tiene: 80
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En resumen, las fórmulas habituales de cálculo de área analizadas, dieron lugar a tres clases de cuadriláteros según sea posible su utilización para el cálculo del área. Dados los siguientes conjuntos es posible expresar gráficamente los elementos pertenecientes a cada clase. U = {x/x es un cuadrilátero} T = {x/x es un cuadrilátero cuya fórmula para calcular su área es (B+b)/2} P = {x/x es un cuadrilátero cuya fórmula para calcular su área es B.h} D = {x/x es un cuadrilátero cuya fórmula para calcular su área es D.d/2} U D T P El cuadrado y el rombo pertenecen a las tres clases, es decir, es posible utilizar cualquiera de las tres fórmulas para determinar su área dependiendo de los datos disponibles, en cambio los trapezoides que no poseen diagonales perpendiculares no pertenecen a ninguna de las tres clases. Esta agrupación de cuadriláteros según las fórmulas de cálculo del área, permite poner en relación a los cuadriláteros según cumplan o no determinadas propiedades como por ejemplo, si poseen diagonales perpendiculares, si poseen lados paralelos; y que es justamente lo que va marcando los límites entre una clase y otra, o permitiendo relaciones de inclusión de un conjunto en otro. 81
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Conclusiones Tal como hemos dicho anteriormente, los estudios realizados no corresponden a una secuencia de aprendizaje de los alumnos, sino a una organización matemática para la enseñanza, es decir, a un estudio matemático del tema que incluye tareas, técnicas y tecnologías, en el cual puede fundamentarse la elaboración de una secuencia de aprendizaje. Podemos afirmar que la fórmula para el cálculo del área de cuadriláteros aparece en general en la enseñanza, como una característica específica de cada tipo de figura, ignorando sus relaciones con otros tipos de figuras. Es decir tanto la clasificación de cuadriláteros como el cálculo del área mediante el uso de fórmulas aparecen como tareas aisladas una de la otra. En este estudio hemos demostrado que para las figuras incluidas en la clase de los trapecios, es decir rombos, cuadrados, rectángulos, paralelogramos y trapecios no paralelogramos, sus fórmulas “específicas” (o “habituales” en la enseñanza), son equivalentes a la “habitual” del trapecio. Consideramos entonces interesante identificar la clase de los cuadriláteros a los que es posible aplicarle la fórmula habitual del área del rombo y del romboide, ya que tanto en los libros de texto como en las aulas frecuentemente se observa que la misma se utiliza exclusivamente para dichas figuras. Hacer extensiva a otros cuadriláteros, dependiendo de los datos disponibles, enriquece el trabajo tanto geométrico ‐ estableciendo relaciones entre las figuras y entre los distintos elementos de una misma figura ‐ como el relacionado con la medición y las fórmulas permitiendo un uso comprensivo de las mismas. Si bien no consideramos que los alumnos deberían disponer de varias fórmulas para el cálculo del área de una misma figura, sí consideramos que un estudio de este tipo, le daría sentido a la vez a la clasificación de figuras y al establecimiento de fórmulas para el área de las mismas, tanto en los últimos años del Nivel Secundario como en la formación de futuros profesores. En el relación al artículo Gascón, J. analizado en el capítulo anterior, del estudio realizado sobre la clasificación de cuadriláteros, observamos que aborda la cuestión ¿Con qué criterio se agrupan los diferentes cuadriláteros al considerar determinadas propiedades? Y considera como razón de ser de la misma, la determinación y construcción de figuras. En este estudio, hemos observado qué se conserva de las clases de cuadriláteros habituales si los clasificamos a partir de la fórmula que puede utilizarse para el cálculo del área, y propusimos una nueva agrupación de los cuadriláteros en función de la fórmula del cálculo del área. 82
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Consideramos además, que el análisis realizado de las diferentes formas de obtener la fórmula del rombo y del romboide, es una tecnología ‐ maneras de explicar una técnica ‐ en el sentido definido por Chevallard, Bosch y Gascón (1997), que nos permitió ampliar el alcance de esa fórmula y extenderla a los cuadriláteros ortodiagonales. Podemos retomar la afirmación de Chevallard, Bosch y Gascón (1997, p. 125) cuando dicen: “Además de justificarla y hacerla inteligible, la tecnología también tiene la importante función de aportar elementos para modificar la técnica con el fin de ampliar su alcance, superando así sus limitaciones y permitiendo en algunos casos la producción de una nueva técnica.” “(…) y tendremos una visión de las matemáticas como un conjunto de obras cerradas. Pero es preferible interpretarla de forma dinámica: las técnicas generan nuevos problemas y apelan a nuevos resultados tecnológicos que, a su vez, permiten desarrollar técnicas ya establecidas, así como abordar y plantear nuevas cuestiones.” Consideramos entonces que obtener una fórmula es elaborar una técnica – en este caso del cálculo del área ‐ y justificarla y explicarla nos permitió ampliar su dominio de aplicación o alcance. Esta nueva agrupación de cuadriláteros en relación a la fórmula que permite el cálculo de su área nos permite poner en relación las diferentes clases de figuras como analizar qué elementos son necesarios para la determinación de cada clase, enriqueciendo el estudio de cada una en relación con las demás. 83
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