1. No category

Antonio Le´on
El fin del infinito
Selecci´
on de argumentos contra la
hip´
otesis del infinito matem´atico
Primera edici´
on 2011. Segunda edici´
on 2013
Cuarta edici´
on Octubre 2014. Salamanca
Impreso en Espa˜
na / Printed in Spain
Printed by Bubok Publishing S.L.
INTERCIENCIA
Registro legal S.C. Cod. 1401099791982
Todos los derechos reservados. Ninguna parte de este libro se puede reproducir, almacenar o
transmitir en forma alguna sin el correspondiente permiso del propietario de los derechos de
copia.
´Indice general
1. Introducci´
on
1
Nota a la cuarta edici´
on
7
2. Convenciones y s´ımbolos
9
3. Las reglas del juego
13
´ n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Introduccio
´ sicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Dos principios ba
4. El infinito actual
´n . . . . . . . . .
Introduccio
Infinito actual y potencial
El axioma del infinito . . .
Cardinales y ordinales . . .
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17
17
18
21
22
5. Reinterpretaci´
on de las paradojas de la reflexividad
27
´ n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Introduccio
¿Paradojas o contradicciones? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
6. Extensi´
on de la Paradoja de Cantor
´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Introduccio
La paradoja de Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
´ n de la Paradoja de Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Una extensio
33
33
34
34
Parte I. Arguementos: Teor´ıa de conjuntos
7. El siguiente racional
39
´ n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Introduccio
´ n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Discusio
8. Revisi´
on del argumento de Cantor de 1874
´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Introduccio
Argumento de Cantor de 1874 . . . . . . . . . . . .
´ n racional del argumento de Cantor . . .
Versio
Una variante del argumento de Cantor de 1874 .
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43
43
43
45
48
9. La diagonal de Cantor
´n . . . . . . . . . .
Introduccio
Teorema del n-´
esimo decimal
Cantor contra Cantor . . .
Antidiagonales racionales .
Un nota final . . . . . . . . . .
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51
51
51
52
53
57
10.Intervalos racionales
´n . . . . . . . . . . . . .
Introduccio
´ n cantoriana . . . . .
Una particio
Un intervalo racional menguante
´n . . . . . . . . . . . . . . . .
Discusio
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59
59
62
63
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iii
iv —— ´Indice general
11.Particiones no contables
65
´ n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
Introduccio
La prueba de Cantor de 1885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
Particiones en la recta real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
12.Una fuente irracional de n´
umeros racionales
´ meros n-expofactoriales . . . . . . . . . . . .
Nu
´ meros racionales
Una fuente irracional de nu
´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Discusio
Ep´ılogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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71
71
72
78
78
13.Inconsistencia de los conjuntos anidados
81
´ n vac´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
Teorema de la interseccio
Inconsistencia de los conjuntos anidados . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
Parte II. Argumentos: Geometr´ıa
14.Curvas de Jordan infinitas
87
´ n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
Introduccio
´ n infinita de una curva de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
Particio
15.El fractal de Koch
91
´ n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
Introduccio
Ordinalidad finita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
´ n condicional del copo de Koch . . . . . . . . . . . . . . . . 94
Construccio
Parte III. Argumentos: Aritm´
etica transfinita
16.Alef-cero
97
´ n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
Introduccio
El menor cardinal transfinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
17.Singularidades aritm´
eticas de alef zero
103
´ n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
Introduccio
´ mero primo? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
¿Es ℵo un nu
Alef-cero y la potencia del continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
18.Substracci´
on de cardinales
´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Introduccio
´ n de cardinales . . . . . . . . . . . . . . .
Problemas con la sustraccio
El argumento de Faticoni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
113
. 113
. 114
. 116
19.La hip´
otesis del continuum
119
´ n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
Introduccio
Al borde del abismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
Parte IV. Argumentos: Superm´
aquinas
20.La l´
ampara de Thomson
´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Introduccio
´ mpara de Thomson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
La la
´ quina de contar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
La ma
21.La l´
ampara de Thomson
´n . . . . . . .
Introduccio
S´ımbolos y definiciones .
Discussion . . . . . . . . .
121
. 121
. 122
. 127
formalizada
129
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
22.La m´
aquina de Hilbert
133
El Hotel de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
´ n de la ma
´ quina de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
La contradiccio
´Indice general —— v
´ n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
Discusio
23.Cajas y conjuntos
´n . . . . . . . . .
Introduccio
Vaciando cajas y conjuntos
Capturando una falacia . .
Magia infinitista . . . . . . .
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137
137
137
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141
24.Dicotom´ıas de Zen´
on
Definiciones introductorias .
´n . . . .
Dicotom´ıa II de Zeno
´n . . . . .
Dicotom´ıa I de Zeno
´n . . . . . . . . . . .
Conclusio
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143
143
145
146
148
25.Divisibilidad del espaciotiempo
149
El menor ordinal infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
Dicotom´ıas del espaciotiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
Divisibilidad del espaciotiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
26.Intercambios num´
ericos
ω -Intercambios . . . . . . . . . . . . . .
Argumento de la supertarea . . . . . .
Argumento Modus Tollens . . . . . . .
La alternativa del infinito potencial
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157
157
158
159
159
27.Infinito uno a uno
161
´ n unario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
El sistema de numeracio
´ meros naturales . . . . . . . . . . . . . . . . 165
La tabla monaria de los nu
Parte V. Argumentos: A trav´
es del infinito
28.Un viaje a trav´
es de Pi
169
´ n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
Introduccio
´ n decimal de π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
La expansio
29.Reinterpretaci´
on del teorema de la reordenaci´
on de Riemann
175
Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
´ n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
Discusio
30.Temporizando el infinito
177
´ n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
Introduccio
Definiciones recursivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
´ n conflictiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
Una definicio
31.Teorema del infinito inconsistente
181
´ n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
Introduccio
Tres teoremas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
Ap´
endices
A. El problema del cambio
185
´ n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
Introduccio
El problema del cambio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
´ matas celulares . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
Un modelo discreto: auto
B. El infinito y la f´ısica
´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Introduccio
Digital versus analog . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dos interpretaciones de la relatividad especial . . . . . . . . . . . . .
193
. 193
. 194
. 196
C. Sugerencias para una teor´ıa natural de conjuntos
201
´ n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
Introduccio
vi —— ´Indice general
´ n natural de conjunto
Una definicio
´ meros . . . . . . . . . .
Conjuntos y nu
Conjuntos finitos . . . . . . . . . . . .
Conjuntos potencialmente infinitos
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201
204
207
209
D. Platonismo y biolog´ıa
211
Los seres vivos como objetos extravagantes . . . . . . . . . . . . . . . . 211
Conocimiento abstracto y biolog´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
Referencias
225
´
Indice alfab´
etico
227
1.-Introducci´on
Algunos de los problemas m´
as relevantes de la filosof´ıa contempor´
anea
fueron ya planteados por los fil´
osofos presocr´
aticos en el siglo VII a.C. (en
parte quiz´a sugeridos o directamente tomados de los precedentes culturales
desarrolladas en las culturas neol´ıticas fluviales.1 ) Entre esos problemas,
hay tres que merecen especial consideraci´on: el problema del cambio, el
infinito, y la autorreferencia. El primero de ellos es sin duda el m´
as dif´ıcil,
y al mismo tiempo el m´
as relevante, de los problemas planteados por el
hombre. Resulta por eso sorprendente la poca atenci´
on que se presta en la
actualidad a ese fascinante problema, especialmente si se la compara con
la atenci´
on prestada a los otros dos.
Despu´es de m´
as de veinte siete siglos, el problema del cambio sigue sin
resolverse. A pesar de su aparente simplicidad, nadie ha sido capaz de explicar, por ejemplo, c´
omo se realiza un simple cambio de posici´
on. La f´ısica,
la ciencia del cambio (la ciencia de la sucesi´on regular de eventos, como
Maxwell la llam´
o [132, p´
ag. 98]) parece haber olvidado su problema m´
as
2
fundamental. A su vez, algunos fil´
osofos como Hegel defendieron que el
cambio es un concepto inconsistente; mientras que otros, como McTaggart,
llegaron a la misma conclusi´on que Parm´enides [153] sobre la imposibilidad de cambio [137]. Quiz´
as la (aparente) insolubilidad del problema del
cambio tenga que ver con el continuum espaciotiempo donde todas las soluciones han sido buscadas. Como se muestra en el Ap´endice A, el problema
del cambio podr´ıa encontrar una soluci´
on en el marco de un espaciotiempo
discreto.
Mientras que el cambio es una caracter´ıstica evidente de nuestro universo
en continua evoluci´
on, tanto el infinito como la autorreferencia son nociones
te´oricas, sin relaci´
on aparente con el mundo natural. Cantor y G¨
odel (los
pr´ıncipes del infinito y la autorreferencia respectivamente) fueron dos en1 [21],
2 [97],
[176], [150], [190]
[99], [138], [152], [165], [206]
1
2 —— Introducci´
on
tusiastas plat´
onicos de escasa devoci´
on a las ciencias naturales y de enorme
influencia en las matem´
aticas contempor´
aneas.3 Para ilustrar las profundas
convicciones teoplat´
onicas de Cantor, recordemos algunas de sus palabras:
. . . en mi opini´
on la realidad y absoluta legalidad de los n´
umeros enteros es mucho mayor que la del mundo sensorial. El que
as´ı sea, tiene una u
´nica y muy simple raz´
on, a saber, que los
n´
umeros enteros existen en el grado sumo de realidad, tanto separados como en su totalidad actualmente infinita, en la forma
de ideas eternas in Intellectus Divinus. ([139]; citado en [78])
. . . yo solo soy un instrumento al servicio del alt´ısimo, un instrumento que seguir´a actuando mucho despu´es de m´ı, de la misma
forma que ya lo hizo antes hace miles de a˜
nos con Euclides y
Arqu´ımedes. . . . ([41, pp 104-105])
. . . No puedo referirme a ellos [los ´
atomos] como existentes, ya
sea en concepto o en realidad, no importa cu´
antas cosas hasta
cierto punto u
´tiles se hayan logrado mediante esa ficci´
on. ([40,
p 78], traducci´on inglesa [33])
Veintisiete siglos de debates no fueron suficientes para probar la consistencia (o la inconsistencia) de la hip´
otesis del infinito actual,4 que finalmente tuvo que ser legitimada por la v´ıa expeditiva de los axiomas.5 Las
matem´
aticas contempor´
aneas est´
an fundadas en la creencia de que los conjuntos infinitos existen como totalidades completas.6
La teor´ıa de conjuntos es una teor´ıa estrictamente infinitista, una teor´ıa
basada en, e inspirada por, la hip´
otesis del infinito actual. Para Georg
Cantor, uno de sus m´
as relevantes fundadores, el infinito actual no era una
simple hip´
otesis sino una firme convicci´on teoplat´
onica.7 La teor´ıa de conjuntos contiene, sin embargo, los instrumentos apropiados para poner en
cuesti´
on la consistencia formal de la hip´
otesis del infinito actual. Aunque
hasta ahora nunca han sido utilizados con esas intenciones cr´ıticas. Como
veremos aqu´ı, ese es el caso de ω, el menor de los ordinales infinitos, y de
las sucesiones y los conjuntos ω−ordenados. En este libro haremos un uso
3 Para
el caso de Cantor v´ease [58], [139], [42, pag. 141]; para el de G¨
odel [84, pags.
235-236], [86, pag. 359], [75], [60] [145], [101], [88]
4 La existencia de colecciones infinitas como totalidades completas.
5 Axioma del Infinito en las modernas teor´
ıas de conjunto, que, en pocas palabras, establece la existencia de un conjunto infinito numerable.
6 Por ejemplo, la lista ordenada de los n´
umeros naturales existir´ıa como una totalidad
completa a pesar de que ning´
un u
´ltimo n´
umero la complete.
7 Tan firme como una roca en las propias palabras de Cantor (carta de Cantor a Heman,
21 de Junio de 1888)
Introducci´
on —— 3
extensivo de ellos.
La auto-referencia en el lenguaje formal y coloquial es tambi´en una noci´on
te´orica sobre la que no hay acuerdo general.8 Las paradojas de la autorreferencia han sido y siguen siendo una fuente interminable de discusiones.
Una de esas paradojas, la paradoja del mentiroso,9 condujo (v´ıa Paradoja
de Richard, como el propio G¨
odel reconoci´o [85, p. 56]) al c´elebre primer
teorema de incompletitud de G¨
odel. Muchos l´ogicos lo consideran como el
teorema m´
as importante de todos los tiempos. Desde nuestra perspectiva
de las ciencias naturales eso suena algo exagerado.
Por decirlo en pocas palabras, heredamos de los presocr´
aticos, entre otras
cosas, un desaf´ıo prometedor (el problema del cambio) y dos conceptos
cuestionables (la autorreferencia y el infinito actual). Con el paso del tiempo hemos ido olvidando el desaf´ıo y convirtiendo al infinito y a la autorreferencia en pilares fundamentales e incuestionables de la l´ogica y de las
matem´
aticas contempor´
aneas. No todo el mundo est´
a de acuerdo con esa
elecci´on, aunque la cr´ıtica militante es casi inexistente. Este libro est´
a principalmente dedicado a poner en cuesti´
on el m´
as molesto de esos conceptos:
el infinito actual.
Debemos recordar en este momento que la ciencia es excesivamente autoreverente y escasamente autocr´ıtica. Poner las convicciones y los intereses
personales en frente del conocimiento objetivo de la realidad resulta m´
as
frecuente de lo que se podr´ıa esperar en esta parte del mundo racional. En
esas condiciones, no es f´acil poner en cuesti´
on un supuesto fundamental
bien asentado, incluso si ese supuesto es sospechoso de ser inconsistente.
En mi opini´
on el Axioma del Infinito es uno de esos supuestos fundacionales inconsistentes.
Las consecuencias de las matem´
aticas infinitistas son desastrosas porque
promueven un modelo anal´
ogico, y por tanto continuo, del mundo f´ısico
que est´
a claramente en conflicto con la naturaleza digital revelada hasta
ahora por todas las observaciones f´ısicas: materia ordinaria, part´ıculas elementales, energ´ıa, cargas el´ectricas y no el´ectricas, parecen ser todas ellas
entidades discretas con m´ınimos indivisibles. Es sorprendente tambi´en la
guerra de los f´ısicos contra los infinitos. Pagan un alto precio en la forma de
interminables y tediosos c´
alculos para conseguir librarse de ellos. Mientras
8 Adem´
as
de lenguaje y metalenguaje (lenguaje sobre el lenguaje) tendr´ıamos tambi´en
auto-lenguaje, el lenguaje hablando aut´
onomamente de s´ı mismo.
t´erminos informales: Esta frase es falsa.
9 En
4 —— Introducci´
on
que, por otra parte, no dedican ni un solo minuto de su tiempo a poner
en cuesti´
on la consistencia formal de la hip´
otesis del infinito actual que
fundamenta las matem´
aticas infinitistas.
Gracias a la supuesta existencia del infinito actual, las ciencias experimentales se ven obligadas a explicar un realidad que parece ser esencialmente
discreta por medio de matem´
aticas indiscretas. Una tarea que podr´ıa ser
imposible en ciertos niveles b´
asicos donde la discreci´on resulta esencial,
como es el caso del nivel cu´
antico. La tragedia del infinito es que no hemos
desarrollado unas matem´
aticas discretas adecuadas para explicar un mundo que parece ser esencialmente discreto. Incluso las matem´
aticas discretas
que hemos desarrollado se han desarrollado en t´erminos de matem´
aticas
indiscretas. Aparte de ciertas aplicaciones particulares, las matem´
aticas
discretas suelen interpretarse como meras aproximaciones del verdadero
mundo continuo de las matem´
aticas infinitistas. El problema es que el
mundo f´ısico no parece ser continuo.
En cualquier caso, la hip´
otesis del infinito actual es s´
olo una hip´
otesis, y
uno tiene el derecho y el deber de ponerla en cuesti´
on. Ese es el objetivo principal de este libro. Una colecci´
on de argumentos cr´ıticos sobre la
hip´
otesis del infinito actual desarrollados durante los u
´ltimos veinte a˜
nos.
Cada cap´ıtulo consta de un argumento completo e independiente, por lo
que pueden ser le´ıdos en cualquier orden (excepto los dos primeros sobre
convenciones y reglas del juego).10 Incluye tambi´en tres ap´endices, el primero trata sobre el problema del cambio para ilustrar las consecuencias de
asumir la existencia del continuum espaciotiempo. El segundo introduce
una alternativa no plat´
onica a las actuales teor´ıas de conjuntos. El tercero
es una breve cr´ıtica del esencialismo plat´
onico (la cuna del infinito actual)
desde la perspectiva de la biolog´ıa contempor´
anea.
Aunque las discusiones sobre el infinito matem´
atico pueden parecer intimidantes al lector no especializado, este libro es cualquier cosa menos
intimidante. Es un libro de ciencia b´
asica. La ciencia que se aprende y se
ense˜
na en el bachillerato y primeros cursos de la Universidad. El problema
es que se aprende y se ense˜
na como una especie de catecismo libre de toda
cr´ıtica. La ciencia b´
asica raramente se pone en tela de juicio porque los
cient´ıficos trabajan algunos pasos m´
as all´a. Pero la ciencia b´
asica tambi´en
debe ser, al menos peri´
odicamente, cuestionada. Como ya se ha indicado,
10 Obviamente,
la independencia de los cap´ıtulos tiene un coste narrativo en t´erminos de
un excesivo n´
umero de repeticiones en el texto, por las que pido disculpas.
Introducci´
on —— 5
aqu´ı cuestionamos una de sus hip´
otesis b´
asicas, la hip´
otesis del infinito
actual.
En la mayor´ıa de los cap´ıtulos, el infinito en cuesti´
on ser´
a el infinito numerable (el m´
as peque˜
no de los infinitos11 ) subsumido en el Axioma del
Infinito. Pero tambi´en el infinito que legitima las sucesiones de infinitos
crecientes12 . Por lo tanto, demostrar la inconsistencia del menor de los infinitos implica la invalidaci´
on de todos los dem´
as.
Existe un acuerdo general en que una contradicci´
on es suficiente para demostrar la inconsistencia de la hip´
otesis de la que se deducen los resultados
contradictorios. Excepto en el caso del infinito actual. Y esto no es una broma: en palabras de Cantor, algunas totalidades infinitas son inconsistentes
debido a su excesiva infinitud [33]. Una raz´
on adicional para tratar exclusivamente con el menor de los infinitos.
11 El
12 La
infinito del conjunto de los n´
umeros naturales.
ℵo
sucesi´
on de los alefs: ℵo , ℵ1 , ℵ2 . . . , y la de las potencias ℵo , 2ℵo , 22 . . .
6 —— Introducci´
on
Nota a la cuarta edici´
on —— 7
Nota a la cuarta edici´on
Seis nuevos cap´ıtulos y un nuevo ap´endice se han a˜
nadido en esta cuarta
edici´
on. El primero de los nuevos cap´ıtulos introduce el Principio de Invariancia y el Principio de Independencia. El primero es una consecuencia
inmediata de la Primera Ley de la l´
ogica, y establece que cualquier cosa
que se mantenga invariante en todos y cada uno de los sucesivos pasos de
un procedimiento, definici´on o prueba, se mantendr´a invariante despu´es de
completar la sucesi´on de pasos. El segundo afirma que la consistencia formal de una hip´
otesis no depende de la existencia real (f´ısica) de los objetos
que intervienen en el argumento. Es tambi´en un principio evidente que se
asume en las matem´
aticas infinitistas y en todas las discusiones conceptuales. En el segundo de los nuevos cap´ıtulos se analiza la expansi´
on decimal
del n´
umero π desde las perspectivas del infinito actual y del infinito potencial. El tercer cap´ıtulo nuevo introduce una variante constructiva del copo
de nieve de Koch para desarrollar luego un nuevo argumento que pone en
cuesti´
on la consistencia formal de la hip´
otesis del infinito actual. El cuarto
de los nuevos cap´ıtulos es una revisi´
on de la hip´
otesis del continuum bajo
la luz de los argumentos cr´ıticos desarrollados en los cap´ıtulos previos. El
quinto una versi´
on formalizada del argumento de la l´ampara de Thomson.
En el u
´ltimo de los nuevos cap´ıtulos se introduce el Teorema del Infinito
Inconsistente, un teorema conclusivo que resume todos los resultados anteriores. Y finalmente, se ha a˜
nadido un nuevo ap´endice que trata sobre
algunas de las consecuencias de la hip´
otesis del infinito actual sobre la
f´ısica contempor´
anea
8 —— Nota a la cuarta edici´
on
2.-Convenciones y s´ımbolos
1 Para facilitar las discusiones, todos los p´
arrafos de este libro aparecer´
an numerados consecutivamente (como este mismo). Los p´
arrafos ser´
an
referidos mediante sus correspondientes n´
umeros sin par´entesis, tal como
aparecen al principio de cada p´
arrafo. Por la misma raz´
on todas las ecuaciones ser´
an numeradas consecutivamente dentro de cada cap´ıtulo, aunque en este caso los n´
umeros ir´
an entre par´entesis y a la derecha de cada
ecuaci´
on. Para referirnos a las ecuaciones usaremos sus correspondientes
n´
umeros entre par´entesis.
2 Los teoremas, definiciones, conclusiones, etc ser´
an numerados con el
mismo n´
umero del p´
arrafo en el que son enunciados. Si un teorema se
enuncia, por ejemplo, en el p´
arrafo 153 nos referimos a ´el como Teorema
153. En unos pocos casos ser´
an nombrados con nombres propios.
3 La mayor´ıa de las sucesiones y conjuntos que usaremos ser´
an ω−ordenados (como la sucesi´on 1,2,3, . . . de los n´
umeros naturales en su orden
natural de precedencia). En unos pocos casos ser´
an ω ∗ −ordenados (como
la sucesi´on creciente de los enteros negativos . . . -3, -2, -1). En muchos
argumentos tambi´en haremos uso de sucesiones de instantes dentro de
intervalos finitos de tiempo, esas sucesiones ser´
an siempre estrictamente
crecientes y convergentes, siendo siempre el l´ımite de la sucesi´on el extremo
derecho del correspondiente intervalo de tiempo.
4 Como es usual, poner un conjunto A en correspondencia con un conjunto B significa poner los elementos del conjunto A en correspondencia
con los elementos del conjunto B.
5 En la mayor´ıa de los casos se utilizar´
a la palabra ’numerable’ para
referirnos a la infinitud del conjunto N de los n´
umeros naturales y a la de
cualquier otro conjunto o sucesi´on que se puede ponerse en correspondencia
uno a uno con N. La palabra ’enumerable’ tambi´en se puede utilizar con
el mismo significado. Aunque la palabra ’contable’ suele ser usada para
referirse a conjuntos finitos o infinitos numerables, aqu´ı no la utilizaremos
9
10 —— Convenciones y s´ımbolos
con el fin de evitar confusiones. Por u
´ltimo, los t´erminos ’no-contable’ o
’no-numerable’ se utilizar´
an para referirse a los infinitos mayores que el
infinito numerable.
6 Como es usual, in intervalo finito (ta , tb ) es finito porque su extensi´on
(tb −ta )) es finita, aunque sea densamente infinito, como es el caso de todos
los intervalos racionales y reales.
7 En todos las discusiones y argumentos, el tiempo y la distancia se
supondr´an eucl´ıdeas. Todas las supertareas se supondr´an realizadas en
un intervalo finito de tiempo (ta , tb ), y las sucesivas acciones ai de cada
supertarea se supondr´an realizadas en los sucesivos instantes ti , y solo en
ellos, de una sucesi´on ω−ordenada y estrictamente creciente de instantes
htn i dentro del intervalo (ta , tb ), siendo tb el l´ımite de la sucesi´on.
8 Huelga decir que todos los argumentos de este libro son de car´
acter conceptual, incluso cuando hagan uso de artefactos materiales como m´
aquinas,
cajas, bolas y cosas similares, todas las cuales deber´
an ser entendidas como
dispositivos te´
oricos para facilitar las discusiones.
S´ımbolos
Haremos uso de los siguientes s´ımbolos y notaciones:
*: L´
ampara de Thomson encendida.
o: L´
ampara de Thomson apagada.
c: L´
ampara de Thomson pulsada (clicked).
N: Conjunto de los n´
umeros naturales.
Z: Conjunto de los n´
umeros enteros.
Q: Conjunto de los n´
umeros racionales.
Q+ : Conjunto de los n´
umeros racionales positivos.
A: Conjunto de los n´
umeros algebraicos.
R: Conjunto de los n´
umeros reales.
|A|: Cardinal del conjunto A.
∈: Pertenece.
∈:
/ No pertenece
⊂: Subconjunto.
⊃: Superconjunto.
Convenciones y s´ımbolos—— 11
6⊂: no subconjunto.
∪: A uni´on B
∩: A intersecci´on B
P (A): Conjunto potencia de A (conjunto de los subconjuntos de A).
ℵo : Alef-cero, el menor cardinal transfinito.
2ℵo : Potencia del continuum.
ω: Omega, el menor ordinal transfinito.
2ω, 3ω, ω1 . . . : Ordinales mayores que ω.
ℵo
22 , ℵ1 , ℵ2 . . . : Cardinales mayores que ℵo .
∞: Infinito, n´
umero real impropio.
(a, b): Intervalo abierto.
[a, b]: Intervalo cerrado.
(a, b]: Intervalo cerrado por la derecha.
[a, b): Intervalo cerrado por la izquierda.
Io : 0-intervalo, intervalo cuyo extremo izquierdo es 0.
hqn i = q1 , q2 , q3 , . . . : ω−ordered sucesi´on.
Pn
erminos.
i=1 xi : Suma de n t´
P∞
erminos.
i=1 xi : Suma de infinitos t´
l´ım an : L´ımite de una sucesi´on
n→∞
hDn (x)i: Sucesi´
on ω−ordenada de definiciones of x.
Di (x): i-´esima definici´on de x.
hDi (x)ii=1,2,...n : Primeras n definiciones de x.
k
Si : i-´esimo elemento de una colecci´
on definida en la k-´esima etapa.
|x|: Valor absoluto de x.
m´ın(a, b): Menor de los dos valores entre par´entesis.
∀: Para todo.
∃: Existe.
⇒: Inferencia l´ogica.
⇔: Doble inferencia l´ogica.
¬: Negaci´on l´ogica.
∨: O l´ogico.
12 —— Convenciones y s´ımbolos
∧: Y l´ogico.
∴ Por tanto.
3.-Las reglas del juego
´n
Introduccio
9 Este cap´ıtulo introduce una consecuencia formal de la Primera Ley de la l´ogica
que ser´a referida como Principio de Invariancia. Ese principio es tan obvio que
resulta innecesario en todas las discusiones cient´ıficas, excepto (quiz´
as) en una
de ellas: las discusiones sobre la hip´
otesis del infinito actual. Al menos esa es mi
opini´on tras m´as de veinte a˜
nos de discusiones sobre ese asunto.
10 En el cap´ıtulo tambi´en se hace una menci´
on expl´ıcita de otro principio elemental asumido en todas las discusiones conceptuales y experimentos mentales.
Aqu´ı lo llamaremos Principio de Independencia, b´
asicamente establece que la consistencia formal de un argumento no depende de la existencia real (en t´erminos
f´ısicos) de los objetos intervinientes, como superm´aquinas y cosas por el estilo.
11 La mayor´ıa de los argumentos y discusiones infinitistas hacen uso de definiciones, procedimientos o pruebas formadas por un n´
umero infinito de pasos sucesivos
que se suponen son completados de alguna forma. De acuerdo con la cr´ıtica de
Benacerraf contra el argumento de la l´ampara de Thomson [17], no siempre es
posible sacar conclusiones finales sobre lo que ocurre una vez completada la sucesi´
on de pasos, a partir de conclusiones intermedias que son v´alidas en los sucesivos
pasos de la sucesi´on.
12 O por decirlo en otros t´erminos matem´aticos mejor conocidos: lo que es v´alido
para los sucesivos t´erminos de una sucesi´on convergente puede no serlo para su
l´ımite matem´atico. El problema es que esa obvia restricci´on es frecuentemente
deformada y aplicada mucho m´as all´a de su leg´ıtimo escenario.
13 As´ı, en aras de la claridad y sencillez y para evitar discusiones innecesarias,
en este libro asumimos de forma expl´ıcita el Principio de Invariancia y el Principio
de Independencia. Ambos se introducen en la siguiente secci´
on
´ sicos
Dos principios ba
14 Al menos desde Arist´oteles, estamos de acuerdo en que todas las ciencias
formales y experimentales descansan sobre las tres leyes fundamentales de la l´ogica
[118]. La primera de esas leyes (el Principio de Identidad) establece, en su versi´
on
Aristot´elica, que una cosa es lo que es y no es lo que no es. O en t´erminos m´as
13
14 —— Las reglas del juego
formales:
p⇒p
(1)
donde p es cualquier sentencia declarativa. La implicaci´on (1) es una tautolog´ıa
fundamental cuya validez es independiente del n´
umero finito o infinito de veces
que hagamos uso de ella.
15 Como veremos, el Principio de Invariancia que introducimos aqu´ı es una
consecuencia inmediata de la Primera Ley de la l´ogica en el siguiente sentido: si
definimos como invariante un atributo de un objeto formal (la potencia de un
conjunto, el ordenamiento de una sucesi´on, el dominio de una variable num´erica,
etc.), y todos los (finitos o infinitos) pasos de un argumento mantienen la invariancia del atributo en cuesti´on, entonces el argumento completo tambi´en mantiene
la invariancia de ese atributo.
16 Despu´es de haber establecido un procedimiento, definici´on o prueba compuesto por un n´
umero finito o infinito de pasos sucesivos tambi´en podremos considerar
como invariantes a aquellos atributos de los objetos intervinientes que no cambian
a trav´es de los sucesivos pasos. Esos invariantes se espera que sigan siendo invariantes para el correspondiente procedimiento, definici´on o prueba. Por ejemplo,
despu´es de haber encendido y apagado un n´
umero infinito de veces una l´ampara
de Thomson (v´ease el Cap´ıtulo 20 sobre la supertarea de Thomson), esa l´ampara
de Thomson continuar´
a siendo una l´ampara de Thomson, y no, por ejemplo, una
vaso de vino tinto.
17 Antes de introducir el Principio de Invariancia, y a t´ıtulo de referencia discursiva, consideremos la siguiente sucesi´on ω−ordenada de definiciones:
Sea hqn i = q1 , q2 , q3 , . . . una sucesi´on ω−ordenada de n´
umeros racionales
mayores que cero, y sea x una variable racional cuyo dominio es el conjunto
de los n´
umeros racionales mayores que cero. Consideremos ahora la siguiente
sucesi´on hDn (x)i de (re)definiciones de x:
(
D1 (x) = q1
(2)
Di (x) = m´ın(Di−1 (x), qi ); i = 2, 3, 4, . . .
donde Di (x) es la i-´esima definici´on de x y m´ın(Di−1 (x), qi )) es el menor de
los dos n´
umeros entre par´entesis.
Est´
a claro que Di (x) compara el valor actual de x con los sucesivos elementos qi
de hqn i y redefine a x como qi si qi es menor que el valor actual de x.
18 Una vez completada la sucesi´on de redefiniciones hDn (x)i ser´a imposible
conocer el valor de x, pero podremos asegurar que ser´a un n´
umero racional mayor
que cero, simplemente porque el dominio de x ha sido definido como el conjunto
de los n´
umeros racionales mayores que cero y cada paso Di (x) de la sucesi´on
hDn (x)i define a x como un n´
umero racional mayor que cero (podremos incluso
asegurar que el valor actual de x, una vez completada la sucesi´on de definiciones
Dos principios b´
asicos —— 15
hDn (x)i, estar´
a en el intervalo racional (0, q1 ] simplemente porque x siempre fue
definida dentro de ese intervalo racional).
19 Con hDn (x)i en la mente, introduzcamos ahora el siguiente:
Principio de Invariancia.-La compleci´on de cualquier n´
umero finito
o infinito de pasos de cualquier argumento, procedimiento, definici´on
o prueba, como tal compleci´on, no modifica arbitrariamente las propiedades de los objetos intervinientes.
A partir de ahora, y por razones de simplicidad, escribiremos [PI] para indicar
que estamos haciendo uso del Principio de Invariancia.
20 Es muy destacable el hecho de que sin el Principio de Invariancia, las ciencias formales se tornar´ıan imposibles: puesto que cualquier invariante pude ser
modificado arbitrariamente despu´es de completar cualquier procedimiento, prueba, argumento o definici´on formada por una sucesi´on finita o infinita de pasos. En
esas condiciones cualquier cosa podr´ıa esperarse despu´es de completar la sucesi´on
de pasos. O con otras palabras, sin el Principio de Invariancia tendr´ıamos que
admitir la existencia de una fuente esot´erica de cambios. Por fortuna la ciencia
no tiene sitio para el esoterismo.
21 El Principio de Invariancia implica que completar cualquier sucesi´on finita
o infinita de pasos de cualquier argumento (procedimiento, definici´on, prueba)
significa realizar todos y cada uno de esos pasos, y solo ellos. De modo que la
compleci´on, como tal compleci´on, no es un paso adicional con efectos arbitrarios
sobre los objetos intervinientes. Esta obviedad es exactamente lo que el Principio de Invariancia establece. En nuestro ejemplo anterior, despu´es de completar
la sucesi´on de definiciones hDn (x)i, incluso sin conocer su valor actual, x continuar´
a siendo una variable racional cuyo dominio es el conjunto de los n´
umeros
racionales mayores que cero y no, por ejemplo, un n´
umero negativo o un sombrero
rojo.
22 Como se acaba de indicar, las definiciones, procedimientos y pruebas de infinitos pasos son comunes en las matem´aticas infinitistas, y alguien podr´ıa estar
tentado de decir que es imposible obtener conclusiones de ellos precisamente porque es imposible realizarlos en la pr´actica. Supongamos, por ejemplo, que demostramos una contradicci´on a partir de una hip´otesis inicial mediante una sucesi´on
de pasos. Presumimos que la contradicci´on no depende del n´
umero (finito o infinito), como tal n´
umero, de pasos realizados sino del contenido de la hip´otesis si el
argumento ha sido desarrollado correctamente en el marco de un sistema formal
apropiado. Presumimos que el n´
umero de pasos realizadas, como tal n´
umero, no
guarda relaci´on alguna con el propio argumento. Presumimos que la consistencia
formal de una hip´
otesis no depende de las posibilidades pr´
acticas de realizar tal
o cual procedimiento, sino del contenido formal del correspondiente argumento.
23 Imaginemos un universo en el que es posible realizar cualquier n´
umero finito
16 —— Las reglas del juego
o infinito de pasos de cualquier definici´on, procedimiento o prueba. Y supongamos
que se demuestra la consistencia formal de ciertas hip´otesis H1 , H2 , H3 ,. . . y la
inconsistencia de otras como H1′ , H2′ , H3′ ,. . . mediante la misma sucesi´on infinita
de pasos en el mismo marco formal. Deber´ıamos concluir que las razones por las
cuales una hip´otesis es consistente o inconsistente no dependen del n´
umero, como
tal n´
umero, de pasos realizados en las correspondientes pruebas de consistencia,
sino en el contenido de las correspondientes hip´otesis.
24 Y exactamente lo mismo se puede decir sobre la existencia real (f´ısica) de
los objetos que intervienen en los argumentos. La consistencia de un argumento
que hace uso de, por ejemplo, una l´ampara capaz de encenderse y apagarse un
n´
umero infinito de veces (l´
ampara de Thomson) no depende de la existencia real
de la l´ampara sino de las relaciones l´ogicas entre los objetos formales involucrados
en el argumento. Muchos argumentos de este libro hacen uso de este tipo de
superl´amparas o superm´aquinas capaces de realizar un n´
umero infinito de acciones
en un tiempo finito (supertareas).
25 Asumiremos, por tanto, el siguiente
Principio de Independencia.-La consistencia formal de un argumento no depende del n´
umero de pasos del argumento ni de la existencia real de los objetos intervinientes.
No hace falta decir que este principio esta siempre (impl´ıcitamente) asumido en
las matem´aticas infinitistas. Tambi´en se asume siempre en todas las discusiones
que incluyen experimentos mentales. En estos casos la consistencia del argumento
no depende de la posibilidad real de ejecutar el experimento sino de las relaciones
l´ogicas entre los elementos formales del argumento.
4.-El infinito actual
´n
Introduccio
26 Este libro se ocupa exclusivamente del infinito actual, aunque algunas referencias al infinito potencial ser´an inevitables. Empezaremos entonces introduciendo
la distinci´on entre el infinito actual y el potencial. Una vez introducida, definiremos el infinito actual en t´erminos conjuntistas y la distinci´on entre cardinales
y ordinales infinitos. Eso es todo lo que necesitamos saber para seguir los argumentos sobre la hip´
otesis de infinito actual que se exponen en el resto del libro.
La mayor´ıa de esos argumentos est´
an relacionados con ω, el menor de los ordinales transfinitos; el ordinal del conjunto N de los n´
umeros naturales en su orden
natural de precedencia: N ={1, 2, 3, . . . } (v´ease m´as abajo).
27 ’Infinito’ es una palabra com´
un que usamos para referirnos a la calidad de ser
enorme, inmenso, ilimitado etc. En este sentido, y de acuerdo con Gauss1 el infinito
es una manera de hablar. Pero la palabra ’infinito’ tambi´en tiene un significado
matem´atico preciso: un conjunto es infinito si se puede poner en correspondencia
uno a uno con alguno de sus subconjuntos propios. Esta es la conocida definici´on
de Dedekind que, junto con los trabajos de Cantor sobre los n´
umeros transfinitos,
inauguraron la moderna matem´atica transfinita a finales del siglo XIX. Aunque
la historia del infinito matem´atico hab´ıa comenzado veintisiete siglos antes.
28 Afortunadamente existe una excelente literatura sobre la historia del infinito,2 . No dar´e ni siquiera un sumario de esa historia, aunque podr´ıamos elegir
arbitrariamente tres de sus protagonistas m´as relevantes como referencias hist´oricas:
1) Zen´on de Elea (490-430 A.C.), fil´osofo presocr´atico que utiliz´o por primera vez el infinito matem´atico para defender la tesis de Parm´enides
sobre la imposibilidad de cambio. Sabemos del trabajo de Zen´on (cerca
de cuarenta argumentos, incluyendo sus famosas paradojas contra la posibilidad de cambio [2], [53]) a trav´es de su dox´ografos (Plat´
on, Arist´oteles, Diogenes Laertius o Simplicius [53]). El infinito en los argumentos de
Zen´on parece ser el infinito actual y contable, aunque obviamente Zen´on
1 C.F.
Gauss, carta al astr´
onomo H.C. Shumacher, 12 de julio de 1831
ejemplo: [219], [129], [178], [22], [170], [52], [120], [140], [143], [112], [113], [1], [141],
[50], [207], [14].
2 Por
17
18 —— El infinito actual
no est´
a haciendo matem´aticas infinitistas sino argumentaciones l´ogicas
en las que aparecen colecciones infinitas de puntos y de instantes. Los
argumentos de Zen´on funcionan correctamente s´olo si esas colecciones
se consideran como totalidades infinitas completas (v´ease el Cap´ıtulo 24
sobre las Dicotom´ıas de Zen´on).
2) Arist´oteles (384-322 A.C.), uno de los pensadores m´as influyentes en la
cultura occidental. Fil´
osofo y naturalista, introdujo la noci´on de correspondencia uno a uno precisamente cuando trataba de resolver algunas
de las paradojas de Zen´on. Luego introdujo la distinci´on fundamental
entre el infinito potencial y el infinito actual, que aqu´ı analizaremos en
t´erminos conjuntistas en la siguiente secci´
on.
3) Georg Cantor (1845-1918), matem´atico alem´
an cofundador, junto con
R. Dedekind y G. Frege, de la teor´ıa de conjuntos. Su trabajo sobre los
n´
umeros transfinitos (cardinales y ordinales) fundamenta las modernas
matem´aticas transfinitas. Cantor inaugur´o el llamado para´ıso del infinito
actual en el que, seg´
un D. Hilbert, los infinitistas habitar´an para siempre.
29 De Zen´on a Arist´oteles el u
´nico infinito fue el infinito actual, aunque esa
noci´on estaba lejos de ser claramente establecida. De Arist´oteles a Cantor encontramos defensores de ambos tipos de infinitos (actual y potencial) aunque con
una cierta hegemon´ıa del infinito potencial, particularmente desde el siglo XIII,
una vez que Arist´oteles fue ’cristianizado’ por los escol´
asticos medievales. En esos
tiempos preinfinitistas, se pod´ıan utilizar los mismos argumentos en apoyo de una
o de la otra hip´
otesis (por ejemplo los argumentos basados en la correspondencia
entre los puntos de una circunferencia y los puntos de uno de sus di´ametros). Pero
no hay todav´ıa una teor´ıa del infinito matem´atico propiamente dicha. La primera
teor´ıa matem´atica del infinito propiamente dicha aparece al final del siglo XIX,
siendo Dedekind, Bolzano y, especialmente, Cantor, sus creadores m´as relevantes.
Desde Cantor hasta la actualidad la hegemon´ıa del infinito actual ha sido casi
absoluta y, adem´as, libre de cr´ıticas serias.
Infinito actual y potencial
30 La distinci´on entre el infinito actual y el infinito potencial la propuso Arist´oteles [11], [10]. La explicaremos a continuaci´on, aunque en los t´erminos m´as modernos de la teor´ıa de conjuntos. Huelga decir que el u
´nico infinito de las matem´aticas
transfinitas contempor´
aneas, incluyendo la definici´on fundacional de Dedekind de
los conjuntos infinitos, es el infinito actual.
31 Consid´erese la lista ordenada de los n´
umeros naturales en su orden natural
de precedencia: 1, 2, 3, . . . De acuerdo con la hip´otesis del infinito actual esa lista
existe como una totalidad completa, es decir como una totalidad que contiene en
el acto a todos los n´
umeros naturales. La elipsis (. . . ) en:
N = {1, 2, 3, . . . }
(1)
Infinito actual y potencial —— 19
representa a todos los n´
umeros naturales. A todos. La palabra ’actual’ en ’infinito
actual’ se refiere, pues, a que todos los elementos de una colecci´
on infinita existen
’en el acto’, todos a la vez, como una totalidad completa. N´
otese que la lista
ordenada de los n´
umeros naturales existe como una totalidad completa a pesar
de que no existe un u
´ltimo n´
umero que complete la lista.
32 Para subrayar ese sentido de completitud, consideremos la tarea de contar
los n´
umeros naturales 1, 2, 3,. . . De acuerdo con la hip´otesis del infinito actual
es posible contar todos los n´
umeros naturales en un tiempo finito realizando la
siguiente supertarea:3
Cu´entese cada uno de los sucesivos n´
umeros naturales 1, 2, 3,. . . en
cada uno de los sucesivos instantes t1 , t2 , t3 ,. . . de una sucesi´on estrictamente creciente de instantes en el intervalo finito (ta , tb ), siendo tb
el l´ımite de la sucesi´on. Por ejemplo la sucesi´on cl´asica:
tn = ta + (tb − ta )
2n − 1
2n
(2)
En esas condiciones, en el instante tb se habr´
an contado todos los n´
umeros naturales. ¡Todos!
33 La tarea anterior de contar todos los n´
umeros naturales es un ejemplo de
supertarea. Se discutir´an m´as adelante en este libro. Mientras tanto, n´
otese que
el hecho de emparejar los elementos de dos sucesiones infinitas no prueba que
ambas sucesiones existan como totalidades completas. Las sucesiones podr´ıan ser
tambi´en potencialmente infinitas.
34 La alternativa a la hip´
otesis del infinito actual es la hip´otesis del infinito
potencial, que rechaza la existencia de totalidades infinitas completas y por tanto
la posibilidad de contar todos los n´
umeros naturales. Desde esa perspectiva, los
n´
umeros naturales resultan del proceso interminable de contar: siempre es posible
contar n´
umeros mayores que cualquier otro n´
umero dado. Pero es imposible completar el proceso de contarlos todos, de modo que la lista completa de n´
umeros
naturales no tiene sentido alguno. La palabra ’potencial’ en ’infinito potencial’
significa, por consiguiente, que los elementos de una colecci´
on infinita no existen
todos en el acto, sino en potencia, in the making. El infinito potencial es lo ilimitado, como la lista ordenada de los n´
umeros naturales, pero solo las listas finitas
existen como totalidades completas y acabadas, tan grandes como se quiera pero
siempre finitas.
35 En resumen, la hip´
otesis del infinito actual establece que las totalidades
infinitas son totalidades completas y acabadas, incluso sin que exista un u
´ltimo
elemento que las complete, como es el caso de la lista ordenada de los n´
umeros
naturales. Desde la perspectiva del infinito potencial los totalidades infinitas no
3 Un
resumen de la noci´
on de supertarea puede verse, por ejemplo, en [160]. V´ease tambi´en
el cap´ıtulo sobre la L´
ampara de Thomson en este libro.
20 —— El infinito actual
existen como totalidades completas y acabadas, sino en potencia, ’in the making’.
Desde la perspectiva del infinito actual, es posible completar una sucesi´on de
pasos en los que no existe un u
´ltimo paso que complete la sucesi´on, o incluso
sin un primer paso que la inicie, como en el caso de las sucesiones ω ∗ −ordenadas (v´ease m´as abajo), por ejemplo la sucesi´on creciente de los enteros negativos
. . . , -3, -2, -1. Desde la perspectiva del infinito potencial ambas posibilidades son
carentes de sentido. Desde esta perspectiva, las u
´nicas totalidades completas son
las totalidades finitas. Tan grandes como se quiera, pero siempre finitas.
36 El infinito potencial (el infinito ’impropio’ o ’no genuino’, como Cantor lo
llamaba [40, p. 70]) nunca ha merecido la atenci´
on de los matem´aticos contempor´aneos. El infinito en la definici´on de Dedekind de los conjuntos infinitos es
el infinito actual. Los infinitos elementos de un conjunto infinito existen todos a
la vez, como una totalidad completa. La definici´on de Dedekind est´
a, por tanto,
basada en la violaci´on del viejo axioma eucl´ıdeo del todo y la parte [73]. La teor´ıa
de conjuntos se ha construido sobre esa violaci´on.
37 La hegemon´ıa del infinito actual en las matem´aticas contempor´aneas es casi
absoluta. Tan absoluta como la sumisi´
on de la f´ısica a las matem´aticas infinitistas. Tengo la impresi´on de que un n´
umero importante de f´ısicos creen que se ha
demostrado formalmente la existencia de totalidades infinitas completas. Obviamente, si ese fuera el caso no ser´ıa necesario el Axioma del Infinito para legitimar
esas totalidades (v´ease m´as abajo). La hip´
otesis del infinito actual es s´olo una
hip´otesis.
38 Las tres pruebas m´as influyentes sobre la existencia de totalidades infinitas
actuales (las de Bolzano, Dedekind y Cantor) son ilustrativas de lo que podr´ıa
llamarse infinitismo naif. Tambi´en explican por qu´e las matem´aticas infinitistas
tuvieron finalmente que establecer la existencia de los conjuntos infinitos actuales
en t´erminos axiom´
aticos.
39 La prueba de Bolzano es como sigue (tomada de [141, p 112]):
Una verdad es la proposici´on: Plat´on era griego. Ll´amese a esta proposici´on p1 . Pero hay otra verdad p2 , a saber, que la proposici´on p1
es verdadera [Pero hay otra verdad p3 , a saber, que la proposici´on
p2 es verdadera]. Y as´ı ad infinitum. Por lo tanto, el conjunto de las
verdades es infinito.
El problema aqu´ı es que la existencia de un proceso sin fin (p1 es verdadera,
por tanto p2 es verdadera, por tanto p3 es verdadera, por tanto . . . ) de ninguna
manera prueba la existencia de su resultado final como una totalidad completa.
40 La prueba de Dedekind es muy parecida (tomada de [141, p 113]):
Dado alg´
un pensamiento arbitrario s1 , hay un pensamiento independiente s2 , a saber que s1 puede ser objeto del pensamiento [hay un
pensamiento independiente s3 , a saber, que s2 puede ser objeto del
El axioma del infinito —— 21
pensamiento ]. Y as´ı ad infinitum. Por tanto el conjunto de pensamientos es infinito.
El comentario anterior a la prueba de Bolzano es tambi´en aplicable aqu´ı. Dedekind
dio otra prueba algo m´as detallada, aunque con el mismo defecto formal que la
se acaba de citar, basada en su definici´on de conjunto infinito [61, p. 112].
41 Y finalmente la ’prueba’ de Cantor ([96, p 25], [141, p. 117]):
Cada infinito potencial presupone un infinito actual.
O bien ([38, p. 404] traducci´
on inglesa [171, p. 3]):
... en verdad el infinito potencial tiene solo una realidad prestada [derivada], en tanto que como tal concepto de infinito potencial siempre
se˜
nala a un concepto previo y superior de infinito actual, de cuya
existencia depende.
Queda claro ahora por qu´e la existencia de un conjunto infinito actual tuvo que
ser finalmente establecida por medio de un axioma.
El axioma del infinito
42 Nada en la naturaleza parece ser realmente infinito. Hasta ahora, todas las
cosas que hemos sido capaces de observar y medir han sido finitas. Veintisiete
siglos de discusiones, por otra arte, no fueron suficientes para probar, o refutar,
la existencia de infinitos actuales. De modo que, finalmente, los infinitistas no
tuvieron m´as remedio que declarar su existencia en t´erminos axiom´aticos mediante
el llamado Axioma del Infinito, uno de los axiomas fundacionales en todas las
teor´ıas axiom´aticas de conjuntos (v´ease m´as abajo). La teor´ıa de conjuntos es
entonces la puerta de entrada del infinito en las matem´aticas contempor´aneas.
43 Puesto que los conjuntos estar´
an presentes en casi todos nuestros argumentos,
parece conveniente hacer la siguiente consideraci´on sobre las diferentes formas en
las que un elemento puede pertenecer a un conjunto. Solemos asumir que un determinado elemento pertenece o no pertenece a un conjunto determinado, aunque
tambi´en podr´ıamos considerar los llamados conjuntos difusos [216], [66], cuyos
elementos pueden tener diferentes grados de pertenencia. En este libro, sin embargo, trataremos exclusivamente con la pertenencia completa, i.e con conjuntos
cuyos elementos les pertenecen de forma completa.
44 Dicho lo cual, recordaremos ahora el Axioma del Infinito. Lo haremos en tres
etapas de abstracci´
on creciente. El primer enunciado (poco formal) del Axioma
del Infinito ser´ıa:
Existe un conjunto infinito numerable
(3)
donde numerable significa que se puede poner en correspondencia uno a uno (biyecci´on) con el conjunto N = {1, 2, 3 . . . } de los n´
umeros naturales,4 e infinito
4 De
dos conjuntos que se pueden poner en correspondencia uno a uno se dice que son
equipotentes.
22 —— El infinito actual
significa infinito actual: todos los elementos de ese conjunto existen en el acto.
Una forma mas abstracta del Axioma del Infinito ser´ıa la siguiente:
∃N (0 ∈ N ∧ ∀x ∈ N (s(x) ∈ N ))
(4)
que se lee: existe un conjunto N [s´ımbolos: ∃N ] tal que 0 pertenece a N [s´ımbolos:
0 ∈ N ] y para todo elemento x de N [s´ımbolos: ∧ ∀x ∈ N ] el sucesor de x, denotado s(x), tambi´en pertenece a N [s´ımbolos: s(x) ∈ N ]. En t´erminos aritm´eticos
podr´ıamos escribir:
s(0) = 1; s(1) = 2; s(2) = 3; . . .
(5)
Finalmente, la versi´
on m´as formalizada del Axioma del Infinito establece:
∃N (∅ ∈ N ∧ ∀x ∈ N (x ∪ {x} ∈ N ))
(6)
que se lee: existe un conjunto N tal que ∅ (el conjunto vac´ıo) pertenece a N y
para todo elemento x de N el elemento x ∪ {x} tambi´en pertenece a N .
45 Por innecesario que pueda parecer, debemos recordar que un axioma es solo
un axioma. Es decir, un enunciado que se puede aceptar o rechazar. Aunque la
elecci´on tendr´a consecuencias significativas en la teor´ıa resultante. En el caso de
la hip´otesis del infinito actual algunos autores relevantes como Kronecker, Poincar´e, Brouwer, Wittgenstein, Kleene, entre otros, la rechazaron. Otra cosa es la
cr´ıtica contra el infinito actual una vez que la teor´ıa de conjuntos qued´o axiom´aticamente establecida y formalmente desarrollada. Esa cr´ıtica ha sido b´
asicamente
inexistente durante los u
´ltimos sesenta a˜
nos, y los pocos intentos que se hicieron
fueron siempre ingenuos y frecuentemente basados en concepciones equivocadas
de los n´
umeros transfinitos.
Cardinales y ordinales
46 Por la misma raz´
on que necesitamos axiomas y leyes fundamentales en la
ciencia,5 tambi´en necesitamos conceptos primitivos en el lenguaje, es decir, conceptos que no pueden ser definidos en t´erminos de otros conceptos, sin caer en
definiciones circulares (los diccionarios son finitos). La mayor´ıa de los conceptos
matem´aticos b´
asicos pertenecen a esta categor´ıa: n´
umero, punto, l´ınea, plano,
conjunto, y algunos otros. Por lo tanto, decir que el cardinal de un conjunto es el
n´
umero de sus elementos es no decir nada. No obstante, todo el mundo sabe lo
que queremos decir cuando decimos que el conjunto {a, b, c} tiene tres elementos,
o que su cardinal es tres. Incluso lo que queremos decir cuando decimos que el
cardinal de un conjunto numerable, como el conjunto N de los n´
umeros naturales,
es ℵo (Alef-cero).
47 Aunque en t´erminos informales, diremos que el cardinal C de un conjunto
X es el n´
umero de sus elementos; en s´ımbolos C = |X|. Por razones obvias, los
5 La
aristot´elica regresi´
on infinita de argumentos [9].
Cardinales y ordinales —— 23
cardinales de los conjuntos finitos se llaman finitos, y los cardinales de conjuntos
infinitos se denominan infinitos. Aunque no lo haremos aqu´ı, se puede demostrar
f´acilmente que el n´
umero de subconjuntos de un conjunto cuyo cardinal es C, es
precisamente 2C (incluyendo el propio conjunto y el conjunto vac´ıo).
48 Cantor dio por sentada la existencia de la totalidad de los cardinales finitos
(n´
umeros naturales) [39, pgs. 103-104]:
El primer ejemplo de un agregado transfinito viene dado por la totalidad de los n´
umeros cardinales finitos v; llamamos a su n´
umero cardinal
’Alef-cero’ denotado por ℵo , definimos pues:
ℵo = {v}
donde {v} es la notaci´
on de Cantor para el cardinal del conjunto {v} de todos
los cardinales finitos (|N| en notaci´
on moderna). Obviamente ℵo es un cardinal
infinito. Cantor demostr´
o que es el menor cardinal mayor que todos los cardinales
finitos [39, § 6] (v´ease el Cap´ıtulo 16).
49 los sucesivos n´
umeros naturales 1, 2, 3, . . . se pueden definir como los cardinales de los sucesivos conjuntos finitos de la sucesi´on de conjuntos S = {0}, {0, 1},
{0, 1, 2}, . . . , o como los cardinales de cualquier sucesi´on de conjuntos finitos cuyos sucesivos t´erminos sean equipotentes con los sucesivos t´erminos de S (v´ease la
definici´on operacional de Von Neumann de los n´
umeros naturales en el Ap´endice
C). Los n´
umeros naturales se pueden seguir usando en t´erminos informales como
los n´
umeros de contar 1, 2, 3,. . . Al fin y al cabo decimos que el cardinal finito
de un conjunto es n despu´es de contar sus elementos, o despu´es de emparejarlos
con los elementos de un conjunto que han sido previamente contados, o sucesivamente considerados de alguna manera, o incluso aritm´eticamente calculados o
procesados.
50 Todos los conjuntos numerables, por otra parte, tienen el mismo cardinal ℵo .
As´ı, como ya se ha indicado, el cardinal del conjunto N de los n´
umeros naturales es
ℵo . El cardinal del conjunto potencia P (N), el conjunto de todos los subconjuntos
de N (incluyendo N y el conjunto vac´ıo), no es ℵo sino 2ℵo , que es tambi´en el
cardinal del conjunto R de los n´
umeros reales. El cardinal del conjunto P (P (N))
ℵo
de todos los subconjuntos de P (N) no es 2ℵo sino 22 . Lo mismo vale para el
conjunto P (P (P (N))) de todos los subconjuntos de P (P (N)) y as´ı sucesivamente.
Tenemos entonces una sucesi´on creciente de cardinales infinitos:
ℵo
ℵo < 2ℵo < 22
2ℵo
< 22
< ...
(7)
En este libro trataremos exclusivamente con ℵo , excepto en un peque˜
no n´
umero
de argumentos en el que aparecer´
a el cardinal 2ℵo, llamado potencia del continuo.
51 Los n´
umeros ordinales son algo m´as sutiles. Un ordinal es el tipo de orden
24 —— El infinito actual
de un conjunto bien ordenado.6 Todos los conjuntos finitos con el mismo n´
umero de elementos tienen el mismo ordinal, por ejemplo, el ordinal del conjunto
{a, b, c} es el mismo que el ordinal del conjunto {2, 3, 1} debido a que sus elementos s´olo pueden ordenarse como primero, segundo y tercero (independientemente
de qu´e elemento es el primero, el segundo y el tercero). Y lo mismo se aplica a cualquier conjunto finito de n elementos. Los cardinales y ordinales de los sucesivos
conjuntos finitos est´
an representados por los siguientes numerales (s´ımbolos):
{} : Cardinal 0. Ordinal 0
(8)
{0, 1} : Cardinal 2. Ordinal 2
(10)
{0} : Cardinal 1. Ordinal 1
(9)
{0, 1, 2} : Cardinal 3. Ordinal 3
..
..
..
.
.
.
(11)
Esta es una caracter´ıstica importante de los conjuntos finitos: tienen un s´olo
cardinal y un solo ordinal, y usamos el mismo s´ımbolo (numeral) para ambos. De
acuerdo con la terminolog´ıa de Cantor los ordinales finitos son llamados ordinales
de la primera clase.
52 Las cosas son muy diferentes con los conjuntos infinitos. Todos los conjuntos
numerables, por ejemplo, tienen el mismo cardinal ℵo , pero pueden ser bienordenados de infinitas maneras diferentes:
{1, 2, 3, . . . }
{2, 3, 4, . . . 1}
{3, 4, 5, . . . 1, 2}
{1, 3, 5, . . . 2, 4, 6, . . . }
{1, 4, 7, . . . , 2, 5, 8, . . . 3, 6, 9 . . . }
..
.
Ordinal
Ordinal
Ordinal
Ordinal
Ordinal
..
.
ω
ω+1
ω+2
ω2
ω3
siendo ω < ω + 1 < ω + 2 < . . . < ω2 < ω2 + 1 < . . . < ω3 < . . .
53 Los n´
umeros ordinales de los conjuntos numerables se denominan ordinales
de la segunda clase. Hay dos tipos de n´
umeros ordinales de la segunda clase:
1) Ordinales de la primera especie: ordinales α que tienen un predecesor
inmediato α′ tal que α = α′ + 1, donde ’1’ es el primer ordinal finito.
Todos los ordinales de la primera especie pueden escribirse, por tanto,
en la forma α + n, siendo α infinito y n finito.
2) Ordinales de la segunda especie: estos ordinales son l´ımites de sucesiones
infinitas de ordinales finitos o de ordinales infinitos de la primera especie.
Por ejemplo:
ω = l´ım(n); n = 1, 2, 3, . . .
n
6 Un
(12)
conjunto con una relaci´
on de orden total entre sus elementos y de tal manera que
todos sus subconjuntos tiene un primer elemento.
Cardinales y ordinales —— 25
ω2 = l´ım(ω + n); n = 1, 2, 3, . . .
(13)
ω7 = l´ım(ω6 + n); n = 1, 2, 3, . . .
(14)
n
n
Casi todos los argumentos de este libro ser´an argumentos sobre ω, el primer
ordinal de la segunda clase, segunda especie; el m´as peque˜
no de los n´
umeros
ordinales transfinitos.
54 Por claridad y sencillez, en el resto del libro, diremos que un conjunto, o una
sucesi´on, es α-ordenada para expresar que se trata de un conjunto (o sucesi´on)
bien ordenado, cuyo ordinal es α, siendo α alg´
un ordinal transfinito, que casi
siempre ser´a ω.
55 Los ordinales de la segunda clase definen un conjunto nuevo: el conjunto de
todos los ordinales de la segunda clase (o conjunto de todos los ordinales cuyos
conjuntos tienen el mismo cardinal ℵo ), cuyo cardinal es ℵ1 [39, Teorema 16F]. A su vez, el conjunto de todos los ordinales cuyos conjuntos tienen el mismo
cardinal ℵ1 es otro conjunto cuyo cardinal es ℵ2 . El conjunto de todos los ordinales
cuyos conjuntos tienen el mismo cardinal ℵ2 es otro conjunto cuyo cardinal es ℵ3 .
Y as´ı sucesivamente. De acuerdo con Cantor, existen entonces dos sucesiones
crecientes de cardinales infinitos:
ℵo
ℵo < 2ℵo < 22
2ℵo
< 22
< . . . (Sucesi´on de las potencias)
ℵo < ℵ1 < ℵ2 < ℵ3 < . . .
(Sucesi´on de los alefs)
on
La famosa (y a´
un no resuelta) hip´
otesis del continuum afirma: ℵ1 = 2ℵo . La versi´
generalizada afirma que, para todo i, el i-´esimo t´ermino de la primera sucesi´on
es igual al i-´esimo t´ermino de la segunda. Afortunadamente no tendremos que
abordar esa cuesti´on en este libro, excepto una breve revisi´on de la hip´otesis del
continuum en el Cap´ıtulo 19.
56 Obviamente esto no es m´as que una breve y esquem´
atica introducci´on a la
teor´ıa de Cantor de los n´
umeros transfinitos [39]. Pero es todo lo que necesitamos
saber para seguir los argumentos que desarrollaremos aqu´ı. Como se se˜
nal´
o anteriormente, nuestra atenci´
on se centrar´
a de forma casi exclusiva en los objetos
ω−ordenados (conjuntos y sucesiones), es decir en objetos cuyos elementos se
ordenan de la misma manera que los n´
umeros naturales en su orden natural de
precedencia. Objetos como, por ejemplo, la sucesi´on a1 a2 a3 , . . . Este tipo de
orden (ω−orden de ahora en adelante) se caracteriza por:
1) Existe un primer elemento a1 .
2) Cada elemento an tiene un predecesor inmediato an−1 , excepto el primero a1 .
3) Cada elemento an tiene un sucesor inmediato an+1 (ω-sucesividad).
4) Entre dos elementos sucesivos cualesquiera, an , an+1 no existe ning´
un
otro elemento (ω-separaci´
on).
26 —— El infinito actual
5) No existe u
´ltimo elemento, a pesar de lo cual los objetos ω−ordenados
se consideran totalidades completas.
57 Ocasionalmente, tambi´en trataremos con objetos ω ∗ −ordenados, objetos cuyos elementos se ordenan de la misma forma que la sucesi´on creciente de los
n´
umeros enteros negativos: . . . , -3, -2, -1. Este tipo de orden usaremos la notaci´
on
an∗ para referirnos al n-´esimo elemento por la cola. El ω ∗ −orden se caracteriza
por:
1) Existe un u
´ltimo elemento a1∗ .
2) Cada elemento an∗ tiene un sucesor inmediato a(n−1)∗ , excepto el u
´ltimo
a1∗ .
3) Cada elemento an∗ tiene un predecesor inmediato a(n+1)∗ (ω-sucesividad).
4) Entre dos elementos sucesivos cualesquiera, an∗ , a(n+1)∗ no existe ning´
un
otro elemento (ω-separaci´
on).
5) No existe primer elemento, a pesar de lo cual los objetos ω ∗ −ordenados
se consideran totalidades completas.
58 Como ya se ha indicado, todos los n´
umeros transfinitos (cardinales y ordinales) se basan en la suposici´on de que existe un conjunto numerable ω−ordenado.
Por eso, casi todos los argumentos que siguen se ocupar´an u
´nicamente de objetos
ω−ordenados. Si se demostrara que esa hip´
otesis infinitista es inconsistente, todo
el edificio de las matem´aticas transfinitas se vendr´ıa abajo como un castillo de
naipes.
5.-Reinterpretaci´on de las paradojas de la reflexividad
´n
Introduccio
59 Si despu´es de emparejar cada elemento de un conjunto A con un elemento
diferente de otro conjunto B, todos los elementos de B resultan emparejados,
decimos que ambos conjuntos tienen la misma cardinalidad (el mismo n´
umero
de elementos). Pero si uno o m´as elementos de B resultan no emparejados y
B es infinito, no se nos permite afirmar que ambos conjuntos tienen diferente
cardinalidad. En este cap´ıtulo se discute por qu´e no se nos permite hacerlo. Como
veremos, la existencia de inyecciones1 exhaustivas y no exhaustivas entre dos
conjuntos infinitos podr´ıa estar indicando que ambos conjuntos tienen y no tienen
la misma cardinalidad. As´ı, la distinci´on arbitraria de las inyecciones exhaustivas
en detrimento de las no exhaustivas podr´ıa estar ocultando una contradicci´on
fundamental en la teor´ıa de conjuntos.
60 La mayor´ıa de las paradojas relacionadas con el infinito resultan de la violaci´on del Axioma eucl´ıdeo del Todo y la Parte,2 entre ellas las llamadas paradojas
de la reflexividad, en las que los elementos de un todo son emparejados con los
de una de sus partes propias.3 La paradoja de Galileo4 es un ejemplo muy conocido de paradoja reflexiva. Autores como Proclus, J. Filop´on, Thabit ibn Qurra
al-Harani, R. Grosseteste, G. de Rimini, W. of Ockham etc. encontraron otros
muchos ejemplos [178].
61 La estrategia de emparejar los elementos de dos conjuntos no es precisamente
una invenci´on moderna, Arist´oteles ya la us´o para tratar de resolver la Dicotom´ıa
de Zen´on (en sus dos variantes).5 Y desde entonces ha sido usada de forma extensiva por numerosos autores con diferentes prop´
ositos discursivos, aunque antes de
1 Una
inyecci´
on es una correspondencia entre los elementos de dos conjuntos A y B de
tal manera que todos y cada uno de los elementos de A se emparejan con un elemento
diferente de B.
2 La hip´
otesis de que el todo es m´
as que la parte es una de las nociones comunes que
aparecen en el primer libro de los Elementos de Euclides [73, pag. 19].
3 [178], [64].
4 Los elementos del conjunto de los n´
umeros naturales se pueden emparejar con los elementos de uno de sus subconjuntos propios: el subconjunto de sus cuadrados: 1 ↔ 12 ,
2 ↔ 22 , 3 ↔ 32 , 4 ↔ 42 , 5 ↔ 52 . . . [80].
5 Arist´
oteles acab´
o rechazando el m´etodo de los emparejamientos, proponiendo la distinci´
on entre infinito potencial e infinito actual [11], [10].
27
28 —— Reinterpretaci´
on de las paradojas de la reflexividad
Dedekind y Cantor (incluyendo el caso de Bolzano [25]) nunca se usaron como un
instrumento para consumar la violaci´on del viejo axioma eucl´ıdeo. Por supuesto,
la existencia de una biyecci´on entre dos conjuntos infinitos no prueba que ambos
conjuntos sean infinitos actuales, porque tambi´en podr´ıan ser infinitos potenciales.
62 Las cosas empezaron a cambiar con Dedekind, que estableci´o la definici´on
de conjunto infinito precisamente sobre la base de esa violaci´on: un conjunto es
infinito si sus elementos se pueden emparejar con los elementos de alguno de sus
subconjuntos propios [61]. Dedekind y Cantor inauguraron el llamado para´ıso del
infinito actual, en el que las inyecciones exhaustivas (biyecciones o correspondencias uno a uno) juegan un papel capital.
¿Paradojas o contradicciones?
63 Una inyecci´on exhaustiva entre dos conjuntos A y B es una correspondencia
entre los elementos de ambos conjuntos en la cual cada elemento de A queda emparejado con un elemento diferente de B, y todos los elementos de A y B resultan
emparejados. Cuando al menos un elemento de B resulta no emparejado la inyecci´on se llama no exhaustiva. Las inyecciones exhaustivas y no exhaustivas pueden
usarse para comparar la cardinalidad de los conjuntos finitos. Pero si los conjuntos
comparados son infinitos entonces solo se permiten las inyecciones exhaustivas.
Ninguna raz´
on ha sido dada nunca para justificar esa arbitraria distinci´on (v´ease
m´as abajo 66-70) salvo que, por definici´on, los conjuntos infinitos violan el axioma
eucl´ıdeo.
64 Pero, puesto que las definiciones tambi´en pueden ser inconsistentes,6 los
conjuntos infinitos podr´ıan haber sido definidos de manera inconsistente sobre la
base de uno de los t´erminos de una contradicci´on: existe una inyecci´on exhaustiva
entre un conjunto infinito y uno de sus subconjuntos propios. La otra parte de
la contradicci´on ser´ıa: existe una inyecci´on no exhaustiva entre el conjunto y el
mismo subconjunto propio. Nadie ha explicado nunca por qu´e tener una inyecci´on
exhaustiva con un subconjunto propio y al mismo tiempo tener una inyecci´on no
exhaustiva con el mismo subconjunto propio no es contradictorio. Simplemente
se ha ignorado el problema y sobre la base de esa ignorancia se ha construido la
teor´ıa de conjuntos.
65 Si la noci´on de conjunto es primitiva (como parece ser) entonces s´olo podr´ıamos
realizar definiciones operativas de conjunto. Y si los conjuntos pueden tener diferentes cardinalidades, deber´ıamos establecer un m´etodo b´
asico adecuado para
comparar cardinalidades antes de definir los tipos de conjuntos que podr´ıan definirse en funci´
on de sus cardinales, especialmente si el m´etodo de comparaci´
on
forma parte de la propia definici´on, como es el caso de la definici´on de conjunto in6 Especialmente
cuando la definici´
on est´
a basada en la violaci´
on de un axioma b´
asico,
como es el caso de la definici´
on de conjunto infinito de Dedekind.
¿Paradojas o contradicciones? —— 29
finito. Emparejar los elementos de dos conjuntos es el u
´nico m´etodo conocido para
lograr este objetivo, antes de poder definir cualquier otra operaci´
on aritm´etica o
conjuntista. Es en este nivel fundamental de la teor´ıa de conjuntos donde vamos
a discutir si las inyecciones exhaustivas y no exhaustivas son m´etodos apropiadas
para sacar conclusiones sobre la cardinalidad de dos conjuntos cualesquiera. Por lo
tanto, dilucidar esta cuesti´on deber´ıa ser un requisito necesario antes de intentar
cualquier definici´on que implique cardinalidades, como la definici´on de conjunto
infinito.
66 Parece razonable asumir que si despu´es de emparejar cada elemento de un
conjunto A con un elemento diferente de un conjunto B todos los elementos de
B resultan emparejados, entonces A y B tienen el mismo n´
umero de elementos.
Pero tambi´en parece razonable asumir, y por las mismas razones elementales,
que si despu´es de emparejar cada elemento de A con un elemento diferente de
B, uno o m´as elementos del conjunto B quedan sin emparejar, entonces A y
B no tienen el mismo n´
umero de elementos. Es destacable que las inyecciones
exhaustivas y las no exhaustivas hacen uso del mismo m´etodo b´
asico de emparejar
elementos, sin llevar a cabo ninguna operaci´
on aritm´etica finita o transfinita. No
estamos contando sino emparejando elementos, estamos discutiendo en el nivel
fundacional m´as b´
asico de la teor´ıa de conjuntos.
67 Conviene recordar en este punto que las singularidades aritm´eticas de los cardinales transfinitos como ℵo = ℵo + ℵo y cosas por el estilo, se derivan todas ellas
de la hipot´etica existencia (Axioma del Infinito) de los conjuntos infinitos, cuyos
elementos, por definici´on, se pueden emparejar con los elementos de alguno de sus
subconjuntos propios. As´ı, y bajo pena de razonamiento circular, de la existencia
deducida de esas ’peculiaridades’ aritm´eticas (que podr´ıan ser usadas para justificar la existencia de inyecciones exhaustivas y no exhaustivas entre un conjunto
infinito y alguno de sus subconjuntos infinitos), no podemos inferir la existencia de los conjuntos que permiten deducir esas peculiaridades aritm´eticas de los
cardinales infinitos. Aqu´ı estamos simplemente discutiendo si el m´etodo de emparejar los elementos de dos conjuntos es apropiado para comparar sus respectivas
cardinalidades; y si lo es, por qu´e las inyecciones no exhaustivas son rechazadas,
porque ese rechazo podr´ıa estar ocultando una contradicci´on fundamental.
68 Por ejemplo, consideremos el conjunto N de los n´
umeros naturales, los conjuntos P e I de los n´
umeros pares y de los impares respectivamente, y la inyecci´on
f de P en N definida por:
f (2n) = 2n; ∀ 2n ∈ P
(1)
La inyecci´on f es no exhaustiva porque todos los n´
umeros impares de I ⊂ N
quedan sin emparejar. Supongamos que, en consecuencia, escribimos
|P| < |N|
(2)
30 —— Reinterpretaci´
on de las paradojas de la reflexividad
Por otra parte, la definici´on de Dedekind conduce inmediatamente a:
ℵo = ℵo + ℵo
(3)
|P| = |P| + |I| = |N|
(4)
y por tanto:
que invalida (2). Por tanto, decir que (3)-(4) invalidan (2), es lo mismo que decir
que la definici´on de Dedekind invalida (2), lo cual puede ser leg´ıtimamente interpretado como que un t´ermino de una contradicci´on (tener una inyecci´on exhaustiva |E| = |N|) invalida el otro t´ermino de la contradicci´on (tener una inyecci´on
no exhaustiva |E| < |N|).
69 Las inyecciones exhaustivas y no exhaustivas deber´ıan tener la misma validez como instrumentos para comparar la cardinalidad de los conjuntos infinitos
porque ambas usan exactamente el mismo m´etodo de comparaci´
on: el emparejamiento. Sin embargo, solo las inyecciones exhaustivas pueden usarse con ese
prop´
osito. Pero ¿por qu´e? ¿Por qu´e unos emparejamientos son v´alidos y otros no,
si todos ellos tienen la misma legitimidad b´
asica? El problema aqu´ı es que la existencia de inyecciones exhaustivas y no exhaustivas entre dos conjuntos infinitos
podr´ıa estar indicando la existencia de una contradicci´on elemental (que ambos
conjuntos tienen y no tienen la misma cardinalidad), en ese caso la distinci´on de
las inyecciones exhaustivas ser´ıa la distinci´on de un t´ermino de una contradicci´on
en detrimento del otro.
70 Como m´ınimo, la alternativa de considerar inconsistente a un conjunto porque existen inyecciones exhaustivas y no exhaustivas con los elementos del mismo
subconjunto propio es tan leg´ıtima como la alternativa de considerar consistente
a ese conjunto. Como m´ınimo, la selecci´
on arbitraria de una alternativa deber´ıa
declararse expl´ıcitamente en el nivel fundacional de la teor´ıa, lo que no es el caso
en las actuales teor´ıas de conjuntos. En esas teor´ıas se ignora sistem´
aticamente la
primera alternativa. Se podr´ıa argumentar que la definici´on de Dedekind implica
asumir la existencia de conjuntos para los cuales existen inyecciones exhaustivas
y no exhaustivas con al menos uno de sus subconjuntos propios, pero una simple
definici´on no garantiza que el objeto definido sea consistente, y entonces la alternativa de la inconsistencia ha de ser tambi´en considerada. La propuesta de esa
consideraci´on es el principal objetivo de esta discusi´
on. Una consideraci´on que,
hasta donde yo s´e, nunca ha sido seriamente planteada.
71 Sup´ongase, solo por un momento, que las inyecciones exhaustivas y no exhaustivas fueran instrumentos v´alidos para comparar la cardinalidad de dos conjuntos
cualesquiera. En esas condiciones, sea B un conjunto infinito. Por definici´on, existe un subconjunto propio A de B y una inyecci´on exhaustiva f de A en B que
prueba que ambos conjuntos tienen el mismo n´
umero de elementos. Consid´erese
¿Paradojas o contradicciones? —— 31
Todos emparejados
Todos emparejados
No emparejados
Emparejados
N
S
2
1
2
3
4
…
1
22
2
3
2
4
…
2
f(n ) = n
N
S
2
1 2,3
4 5,6,7,8
9
10,11,12 …
16
…
1
22
2
3
2
4
…
2
g(n ) = n 2
Figura 5.1: El sospechoso poder de la elipsis: los conjunto S y N tienen (izquierda) y
no tienen (derecha) el mismo n´
umero de elementos.
ahora la inyecci´on g de A en B definida por:
g(x) = x, ∀x ∈ A
(5)
que, evidentemente, no es exhaustiva (los elementos del conjunto no vac´ıo B-A
quedan sin emparejar). Las inyecciones f y g estar´ıan demostrando que A y B
tienen (f ) y no tienen (g) el mismo n´
umero de elementos, i.e. que los conjuntos
infinitos son inconsistentes.
72 Hemos de decidir, por tanto, si las inyecciones exhaustivas y no exhaustivas
tienen la misma validez como instrumentos para comparar la cardinalidad de dos
conjuntos cualesquiera. Si la tienen, entonces los conjuntos infinitos son inconsistentes. Si no la tienen, se deber´ıa dar alguna raz´
on (no circular) para explicar
por qu´e no la tienen. Y si no se pude dar ninguna raz´
on, entonces la distinci´on
arbitraria a favor de las inyecciones exhaustivas deber´ıa ser declarada arbitrariamente por un nuevo axioma ad hoc. Hasta entonces, la fundamentaci´on de la
teor´ıa de conjuntos descansa sobre la base de uno de los t´erminos de una posible
contradicci´on.7
73 Como cabr´ıa esperar de una teor´ıa con tales fundamentos, las inconsistencias aparecieron nada m´as iniciarse el desarrollo de la teor´ıa: se demostr´
o que
el conjunto de todos los ordinales (Burali-Forti) [28] y el conjunto de todos los
cardinales (Cantor) eran inconsistentes. Seg´
un Cantor esos conjuntos eran inconsistentes por su excesiva infinitud.8 Se puede ser infinito, pero solo dentro de
ciertos l´ımites. Mediante las restricciones axiom´aticas apropiadas, fue finalmente
establecido que ciertas totalidades infinitas, como la totalidad de los cardinales o
la de los ordinales, no existen porque conducen a contradicciones. Es f´acil probar,
como se ver´a en el cap´ıtulo siguiente, que en una teor´ıa infinitista e informal (sin
7 Por
incre´ıble que pueda parecer, la fundamentaci´
on axiom´
atica de la teor´ıa de conjuntos
ha ignorado siempre este problema.
8 Carta a Dedekind citada en [58, pag. 245], [81], [77].
32 —— Reinterpretaci´
on de las paradojas de la reflexividad
restricciones axiom´
aticas) de conjuntos, como la teor´ıa de conjuntos de Cantor,
cada conjunto de cardinalidad C origina nada menos que 2C totalidades infinitas
inconsistentes.
74 En el Cap´ıtulo 29 veremos que el teorema de la reordenaci´
on de Riemann
tambi´en puede ser reinterpretado como una prueba de la inconsistencia de la
hip´otesis del infinito actual. En el resto del libro se desarrollan m´as de veinte
argumentos, todos ellos sugiriendo la misma conclusi´
on.
6.-Extensi´on de la Paradoja de Cantor
´n
Introduccio
75 La paradoja de Cantor no es una paradoja sino una verdadera inconsistencia
relacionada con el conjunto de todos los cardinales. Por esta raz´on, ese conjunto
se rechaza de manera expl´ıcita en las modernas teor´ıas axiom´aticas de conjuntos.
La siguiente discusi´
on demuestra, sin embargo, que no solo el conjunto de todos
los cardinales es inconsistente, prueba que en la teor´ıa informal de conjuntos de
Cantor (naive set theory) cada conjunto de cardinalidad C origina por lo menos
2C conjuntos infinitos inconsistentes.
76 Aunque Burali-Forti fue el primero en publicar [27], [81] la prueba de una
inconsistencia derivada de la existencia de un conjunto infinito, Cantor fue el primero en descubrir una de esas inconsistencias infinitistas: la paradoja del m´aximo
cardinal [81], [58]. No hay acuerdo sobre la fecha en la que Cantor descubri´
o su
1
paradoja [81] (el rango de fechas propuesto va desde 1883 [162] a 1896 [90]). La
paradoja (inconsistencia) de Burali-Forti del conjunto de todos los ordinales y la
de Cantor del conjunto de todos los cardinales est´
an relacionadas con el tama˜
no
de las totalidades consideradas, tal vez demasiado grandes para ser consistentes
seg´
un Cantor. Parece algo ir´
onico que un conjunto infinito puede ser inconsistente
precisamente por su excesivo tama˜
no. Por cierto, n´
otese el eufemismo de llamar
paradoja a lo que realmente es una inconsistencia, es decir, un par de resultados
contradictorios que seguramente derivan de una suposici´on previa com´
un. ¿De
qu´e suposici´on? nos podr´ıamos tambi´en preguntar. ¿Tal vez de la hip´otesis de que
los conjuntos infinitos existen como totalidades completas?
77 En efecto, la explicaci´
on m´as simple para ambas paradojas es que sean realmente inconsistencias derivadas de la hip´
otesis del infinito actual, es decir de
asumir la existencia de conjuntos infinitos como totalidades completas. Pero nadie se ha atrevido a analizar esa alternativa. Finalmente fue aceptado que existen
algunas totalidades infinitas (como la totalidad de los n´
umeros reales) mientras
que otras (como la totalidad de los cardinales, o la totalidad de los ordinales, o el
conjunto todos los conjuntos) no existen porque conducen a contradicciones.
1 Por
muy usual que pueda ser, la expresi´
on ’Paradoja de Cantor’ es como m´ınimo confusa,
puesto que no es una paradoja sino una verdadera contradicci´
on
33
34 —— Extensi´
on de la Paradoja de Cantor
La paradoja de Cantor
78 La versi´
on m´as sencilla y breve de la paradoja de Cantor es la siguiente
(para un an´alisis detallado v´ease [81, pp. 66-74]): Sea a U el conjunto de todos
los conjuntos, el llamado conjunto universal2 y P (U ) su conjunto potencia, el
conjunto de todos sus subconjuntos. Denotemos por |U | y |P (U )| sus respectivos
cardinales. Siendo U el conjunto de todos los conjuntos debe contener a todos los
conjuntos, podemos, pues, escribir:
|U | ≥ |P (U )|
(1)
Por otra parte, y teniendo en cuenta el teorema de Cantor sobre el conjunto
potencia [35], se verifica:
|U | < |P (U )|
(2)
lo que contradice (1). Esta es nuestra versi´
on simplificada de la inconsistencia o
paradoja de Cantor.
79 Como es bien sabido, Cantor no le dio importancia [77] a su paradoja y
zanj´o la cuesti´on asumiendo la existencia de dos tipos de totalidades infinitas, las
consistentes y las inconsistentes [33]. Como se indic´o m´as arriba, en opini´on de
Cantor la inconsistencia de esas totalidades infinitas ser´ıa debida a su excesivo
tama˜
no. Estar´ıamos ante la madre de todos los infinitos, el infinito absoluto que,
seg´
un Cantor, conduce directamente a Dios, siendo precisamente la naturaleza
divina de esa infinitud absoluta lo que la hace inconsistente para nuestras pobres
mentes humanas [33].
80 Como veremos de inmediato, es posible extender la paradoja de Cantor a
otros conjuntos mucho m´as modestos que el conjunto de todos los conjuntos.
Pero ni Cantor ni sus sucesores consideraron tal posibilidad. Lo haremos aqu´ı.
Ese es precisamente el objetivo de la discusi´
on que sigue. Una discusi´
on que se
llevar´a a cabo en el marco de la teor´ıa informal, y por tanto no axiomatizada, de
conjuntos de Cantor.
´ n de la Paradoja de Cantor
Una extensio
81 Puesto que los elementos de un conjunto en la teor´ıa informal de conjuntos
pueden ser conjuntos, conjuntos de conjuntos, conjuntos de conjuntos de conjuntos
y as´ı sucesivamente, vamos a comenzar por definir la siguiente relaci´on binaria R
entre dos conjuntos: diremos que el conjunto A est´
a R-relacionado con el conjunto
B, escrito A R B, si B contiene al menos un elemento que forma parte de la
definici´on de al menos un elemento de A. Por ejemplo, si:
A = { {{a, {b}}}, {c}, d, {{{{e}}}}, f }
B = {1, 2, b}
2 La
(3)
(4)
teor´ıa informal de conjuntos (como la teor´ıa de Cantor) admite conjuntos como el
conjunto universal U que est´
an prohibidos en las teor´ıas axiom´
aticas modernas.
Una extensi´
on de la Paradoja de Cantor —— 35
C = {1, 2, 3}
(5)
entonces A est´
a R-relacionado con B porque el elemento b de B forma parte de
la definici´on del elemento {{a, {b}}} de A, pero A no est´
a R-relacionado con C
porque ning´
un elemento de C interviene en la definici´on de los elementos de A.
82 En esas condiciones sea X un conjunto cualquiera no vac´ıo, e Y uno de sus
subconjuntos. A partir de Y se define el conjunto TY¯ de acuerdo con:
TY¯ = {Z |¬∃V (V ∩ Y 6= ∅ ∧ Z R V )}
(6)
TY¯ es, por tanto, el conjunto de todos los conjuntos Z que no est´
an R-relacionados
con conjuntos V que contengan uno o m´as elementos del conjunto Y . N´
otese que
si Y = ∅ entonces TY¯ es el inconsistente conjunto universal.
83 Es f´acil demostrar que TY¯ es un conjunto infinito. En efecto, sea n un n´
umero
natural finito cualquiera y supongamos que |TY¯ | = n. Tendremos:
TY¯ = {T1 , T2 , . . . Tn }
(7)
n {{T1 }}...
n }}. Puede ser que A sea difeConsideremos ahora el conjunto A = {{...
rente de todos los Ti de TY¯ , o puede ser que A = Tk para un cierto k. Pero en el
u
´ltimo caso tendr´ıa que existir un ´ındice h < n tal que B = {{...
h {{T1 }}...
h }} sea
diferente de todos los Ti de TY¯ , en caso contrario tendremos |TY¯ | > n. En consecuencia o bien A o bien B ser´a diferente de todos los Ti de TY¯ . Por otra parte,
A y B son conjuntos cuyos elementos no est´
an R-relacionados con conjuntos que
contienen uno o m´as elementos del conjunto Y . Por lo tanto ambos pertenecen a
TY¯ , y entonces |TY¯ | > n. Concluimos entonces que TY¯ solo puede ser infinito.
84 Sea ahora el conjunto P (TY¯ ), el conjunto potencia de TY¯ . Los elementos de
P (TY¯ ) son todos ellos subconjuntos de TY¯ y por tanto conjuntos de conjuntos que
no est´
an R-relacionados con conjuntos que contengan alg´
un elemento del conjunto
Y:
∀D ∈ P (TY¯ ) : ¬∃V (V ∩ Y 6= ∅ ∧ D R V )
(8)
Consecuentemente, se verifica:
∀D ∈ P (TY¯ ) : D ∈ TY¯
(9)
P (TY¯ ) ⊆ TY¯
(10)
|P (TY¯ )| ≤ |TY¯ |
(11)
Y entonces:
Podemos, pues, escribir:
85 Por otro lado, y de acuerdo con el teorema de Cantor, tenemos:
|P (TY¯ )| > |TY¯ |
(12)
Nuevamente una contradicci´on. Pero ahora X es cualquier conjunto no vac´ıo, e
36 —— Extensi´
on de la Paradoja de Cantor
Y uno cualquiera de sus subconjuntos. Hemos probado, por tanto, el siguiente:
Teorema 85 (de la Paradoja de Cantor).-En la teor´ıa de conjuntos de Cantor, cada conjunto de cardinal C da lugar a por lo menos
2C conjuntos infinitos inconsistentes
86 El argumento anterior no s´olo demuestra que el n´
umero de totalidades infinitas inconsistentes es mucho mayor que el n´
umero de las consistentes, tambi´en
sugiere que el tama˜
no excesivo de los conjuntos podr´ıa no ser la causa de la inconsistencia. Consideremos, por ejemplo, el conjunto X de todos los conjuntos cuyos
elementos se definen exclusivamente por medio del n´
umero natural 1:
X = {1, {1}, {1, {1}, {1, {1}}}, {{{1}}}, {{ 1, {1} }} . . . }
(13)
Un argumento similar a 82/85 probar´ıa que es una totalidad inconsistente, aunque
en comparaci´
on con el conjunto universal es una totalidad insignificante.3
87 N´
otese que los conjuntos como el conjunto X definido en (13) son inconsistentes solo cuando se los considera desde el punto de vista del infinito actual.
Es decir, cuando se los considera como totalidades completas. Y recu´erdese que,
desde el punto de vista del infinito potencial, estos conjuntos no tienen sentido
porque desde esta perspectiva las u
´nicas totalidades completas son las totalidades
finitas, tan grandes como se quiera, pero siempre finitas.
88 Si hubi´eramos sabido de la existencia de tantas totalidades infinitas inconsistentes y no necesariamente tan enormes como el infinito absoluto, tal vez la teor´ıa
transfinita de Cantor habr´ıa sido recibida de una manera diferente. Tal vez la noci´on de infinito actual habr´ıa sido puesta en cuesti´on en t´erminos de la teor´ıa de
conjuntos; y quiz´
as habr´ıamos descubierto la manera de probar su inconsistencia.
Pero, como sabemos, ese no fue el caso.
89 La historia de la recepci´
on de la teor´ıa de conjuntos y la manera de tratar
sus inconsistencias (todas ellos derivadas de la hip´otesis de infinito actual y de
la autorreferencia) es bien conocida. Desde los inicios del siglo XX se ha venido
realizando un gran esfuerzo para fundar la teor´ıa de conjuntos sobre una base
formal libre de inconsistencias. Aunque el objetivo solo pudo alcanzarse con la
ayuda del adecuado parcheo axiom´
atico. Desde entonces se han desarrollado al
menos media docena de teor´ıas axiom´
aticas de conjuntos.4 Varios cientos de p´
aginas son necesarias para explicar en detalle todas las restricciones axiom´aticas de
las modernas teor´ıas axiom´
aticas de conjuntos. Justo lo contrario de lo que cabr´ıa
esperar de la fundamentaci´on axiom´
atica de una ciencia formal.
90 Como se se˜
nal´
o anteriormente, la explicaci´
on m´as simple de las inconsistencias
3 Recordemos,
por ejemplo, que entre dos n´
umeros reales cualesquiera existe un n´
umero
infinito no numerable (2ℵo ) de otros n´
umeros reales diferentes. Lo que, como seguramente
se dir´ıa Wittgenstein, llega a marear [212]
4 Se han producido tambi´
en algunos intentos contempor´
aneos por recuperar la teor´ıa
informal de conjuntos [105].
Una extensi´
on de la Paradoja de Cantor —— 37
de Cantor y de Burali-Forti es que sean verdaderas contradicciones derivadas de la
inconsistencia de la hip´
otesis del infinito actual. Lo mismo se aplica al conjunto de
todos los conjuntos y al el conjunto de todos los conjuntos que no son miembros de
s´ı mismos (paradoja de Russell), aunque en este caso hay una causa adicional de
inconsistencia relacionada con la autorreferencia. Todos los conjuntos involucrados
en las paradojas de la teor´ıa informal de conjuntos fueron eliminados de la teor´ıa
mediante las oportunas restricciones axiom´aticas. Nadie se atrevi´
o ni siquiera
a sugerir la posibilidad de que esas paradojas fueran contradicciones derivadas
de la hip´otesis del infinito actual; es decir, derivadas de asumir la existencia de
conjuntos infinitos como totalidades completas.
91 Lo cierto es que el conjunto de Cantor de todos cardinales, el conjunto de
Burali-Forti de todos los ordinales, el conjunto de todos los conjuntos y el conjunto
de Russell de todos los conjuntos que no son miembros de s´ı mismos, son todos
ellos totalidades inconsistentes cuando se les considera desde la perspectiva de la
hip´otesis del infinito actual. Incluso el famoso problema de la parada de Turing
est´
a relacionado con la hip´
otesis del infinito actual porque tambi´en se asume
aqu´ı la existencia de todos los pares (programas, inputs) como una totalidad
infinita completa [199]. Bajo la hip´
otesis del infinito potencial, por otro lado,
ninguno de esas totalidades tiene sentido porque desde esa perspectiva s´olo se
pueden considerar totalidades finitas, indefinidamente extensibles, pero siempre
finitas.
92 Como se indic´
o m´as arriba, la Paradoja de Cantor (o la de Burali-Forti) no
es una paradoja sino una inconsistencia, un par de resultados contradictorios:
(
|U | ≥ |P (U )|
(14)
|U | < |P (U )|
Recu´erdese que estamos discutiendo en el marco de la teor´ıa cantoriana de conjuntos, en la que ninguna restricci´on axiom´atica hab´ıa sido hecha a´
un. En esas
condiciones, dos resultados contradictorios (14) solo pueden derivarse de alguna hip´otesis previa inconsistente. Pero la u
´nica hip´otesis necesaria para llegar a
(14) es la hip´
otesis del infinito actual. Resulta entonces chocante la conclusi´
on
de Cantor de que (14) es una consecuencia de la excesiva infinitud del conjunto
implicado. Cualquier cosa antes que poner en cuesti´on sus profundas convicciones
infinitistas, tan firmes como una roca.
38 —— Extensi´
on de la Paradoja de Cantor
Part I. Arguementos: Teor´ıa de conjuntos
7.-El siguiente racional
´n
Introduccio
93 El conjunto Q de los n´
umeros racionales, en su ordenamiento natural, est´
a densamente ordenado: entre cada dos n´
umeros racionales existe un n´
umero infinito de
otros n´
umeros racionales diferentes. Pero siendo numerable [31], Q tambi´en puede ser ω−ordenado: entre cada dos n´
umeros racionales sucesivos no existe ning´
un
otro n´
umero racional. El argumento que sigue se aprovecha de esta especie de
esquizofrenia num´erica.
Q+
94 Por sencillez trataremos con el conjunto Q+
de los racionales positivos mayores que cero, que
tambi´en es numerable y densamente ordenado.
Sea entonces f una correspondencia biun´ıvoca
entre el conjunto N de los n´
umeros naturales y
el conjunto Q+ . Es evidente que f permite un ωordenamiento de Q+ : gracias a f el conjunto de
todos los racionales positivos se puede escribir
como {q1 , q2 , q3 , . . . }, siendo qi = f (i), ∀i ∈ N.
Recta racional positiva
´n
Discusio
f
N
Q+
1
2
3
4
5
q1 = f(1)
q2 = f(2)
q3 = f(3)
q4 = f(4)
q5 = f(5)
Densamente w-ordenado
ordenada
w-ordenado
Figura 7.1: ω -Ordenamiento de la
95 Sea ahora x una variable racional cuyo do- recta racional positiva.
minio es el intervalo racional (0, 1) y cuyo valor
inicial xo es cualquier elemento de (0, 1). Consid´erese la siguiente sucesi´on hDi (x)i
de definiciones recursivas de x:
(
D1 (x) = xo
(1)
Di (x) = m´ın(Di−1 (x), |qi − q1 |), i = 2, 3, 4, . . .
donde Di (x) es la i-´esima definici´on de x y m´ın(x, |qi − q1 |) el menor (en el orden
denso usual de Q) de los dos valores entre par´entesis, siendo |qi − q1 | el valor
absoluto de qi − q1 . Las sucesivas definiciones hDi (x)i definen a la variable x
como |qi − q1 | si |qi − q1 | es menor que Di−1 (x), o como Di−1 (x) si no lo es.
39
40 —— El siguiente racional
96 Las definiciones, procedimientos y pruebas de infinitos pasos sucesivos, como
la definici´on (1), son usuales en las matem´aticas infinitistas (v´eanse, por ejemplo,
el argumento de Cantor de 1874 o el conjunto ternario de Cantor, m´as adelante
en este libro). Por innecesaria que pueda parecer, impondremos a las sucesivas
definiciones Di (x) la siguiente:
Restricci´
on 96.-Cada definici´on Di (x) se llevar´a a cabo si, y solo si,
x queda definida como un n´
umero racional dentro de su dominio (0, 1).
En lo que sigue diremos que una definici´on Di (x) es posible si, y solo si, cumple
la restricci´on anterior.
97 Es inmediato probar que para todo n´
umero natural v, las primeras v definiciones sucesivas hDi (x)ii=1,2,...v se pueden realizar. Evidentemente D1 (x) se
puede realizar puesto que D1 (x) = xo , y xo ∈ (0, 1). Supongamos que, siendo n
cualquier n´
umero natural, se pueden realizar las primeras n definiciones sucesivas
hDi (x)ii=1,2,...n , lo que significa que x estar´
a definida con un cierto valor Dn (x)
de su dominio (0, 1). Puesto que |qn+1 − q1 | es un n´
umero racional positivo bien
definido, ser´a, o no, menor que Dn (x). Consecuentemente Dn+1 (x) puede definir
a x como |qn+1 − q1 | si este n´
umero es menor que Dn (x) o como Dn (x) si no lo es.
En cualquier caso Dn+1 (x) define a x dentro de su dominio (0, 1). Por tanto, las
primeras (n+ 1) sucesivas definiciones hDi (x)ii=1,2,...n+1 tambi´en se pueden llevar
a cabo. En consecuencia, para cualquier n´
umero natural v, es posible realizar las
primeras v definiciones sucesivas hDi (x)ii=1,2,...v .
98 Empezaremos probando que una vez realizadas todas las posibles1 definiciones sucesivas hDi (x)i, el n´
umero racional q1 + x no es el menor racional mayor que
q1 . As´ı es, cualquiera que sea el valor de x una vez realizadas todas las posibles
definiciones sucesivas hDi (x)i, el n´
umero racional q1 + 0,1x, por ejemplo, es mayor
que q1 y menor que q1 + x. N´
otese que este argumento es una consecuencia del
orden denso de Q+ .
99 Probaremos ahora, sin embargo, que una vez realizadas todas las posibles
definiciones hDi (x)i, el n´
umero racional q1 + x es el menor racional mayor que q1 .
Veamos que as´ı ha de ser. Supongamos que una vez realizadas todas las posibles
definiciones sucesivas hDi (x)i el n´
umero racional q1 + x no es el menor racional
mayor que q1 . En tal caso habr´ıa un n´
umero racional qv mayor que q1 y menor
que q1 + x:
q1 < qv < q1 + x
(2)
Por tanto, si restamos q1 a los tres miembros (todos ellos n´
umeros racionales
propios) de las dos desigualdades tendremos:
0 < qv − q1 < x
1 N´
otese
(3)
que si no fuera posible realizar todas las posibles definiciones sucesivas hDi (x)i,
estar´ıamos ante la contradicci´
on elemental de una imposible posibilidad.
Discusi´
on —— 41
lo que es imposible porque:
a) El ´ındice v de qv es un n´
umero natural.
b) De acuerdo con 97, es posible realizar las primeras v definiciones sucesivas hDi (x)ii=1,2,...v .
c) Todas las posibles definiciones sucesivas Di (x) se han realizado.
d) Por tanto, las primeras v definiciones sucesivas hDi (x)ii=1,2,...v se han
realizado.
e) Como consecuencia de Dv (x), podemos afirmar que x ≤ qv − q1 .
f) Es imposible entonces que x > qv − q1 .
Por tanto nuestra hip´
otesis inicial ha de ser falsa y q1 + x es el menor racional
mayor que q1 . N´
otese que esta incre´ıble conclusi´
on es una consecuencia leg´ıtima
del ω−orden de Q+ inducido por la biyecci´on f definida en 94. En efecto, es esa
biyecci´on la que hace posible considerar sucesivamente y uno a uno, todos los
elementos qi de Q+ y calcular uno a uno todos los |qi − q1 |.
100 Una vez completada la sucesi´on de todas las posibles definiciones hDi (x)i,
la variable x podr´ıa haber sido definida un n´
umero infinito de veces sin una
u
´ltima definici´on. Por lo tanto ser´ıa imposible conocer el valor actual de x una
vez completada la sucesi´on definiciones hDi (x)i. Pero, en cualquier caso, x continuar´
a siendo una variable racional definida con un cierto valor dentro de su
dominio (0, 1) (v´ease el Principio de Invariancia (PI) en el Cap´ıtulo 3). Por lo
tanto, y por muy indeterminable que pueda ser su valor actual, x seguir´a siendo
una variable racional apropiadamente definida en su dominio racional (0, 1). Y
eso es todo lo que necesitamos para que el argumento anterior sea conclusivo.
101 En caso contrario, si despu´es de completar la sucesi´on de todas las posibles
definiciones hDi (x)i, la variable racional x hubiera perdido su condici´on de variable
racional apropiadamente definida dentro de su dominio (0, 1), tendr´ıamos que
admitir que la compleci´on de una sucesi´on infinita de definiciones posibles, como
tal compleci´on, tiene efectos arbitrarios adicionales sobre el objeto definido (lo
que va en contra de PI). Pero si ese fuera el caso, los mismos efectos arbitrarios
adicionales se podr´ıan esperar de cualquier otra definici´on, procedimiento o prueba
consistente en un n´
umero infinito de sucesivos pasos, y entonces cualquier cosa
podr´ıa esperarse de las matem´aticas infinitistas.
102 Podr´ıamos incluso temporizar la sucesi´on de definiciones hDi (x)i realizando cada definici´on Di (x) en el preciso instante ti de una sucesi´on ω−ordenada y
estrictamente creciente de instantes htn i = t1 , t2 , t3 . . . dentro del intervalo finito
(ta , tb ), cuyo l´ımite es tb . En estas condiciones, x solo podr´ıa perder su condici´on
de variable racional apropiadamente definida en su dominio (0, 1) en el preciso
instante tb , el primer instante despu´es de haber completado la sucesi´on de defini-
42 —— El siguiente racional
ciones hDi (x)i. En efecto, siendo tb el l´ımite de htn i tendremos:
∀t ∈ [ta , tb ) : ∃v : tv ≤ t < tv+1
∴ en el instante t, x est´
a bien definida por Dv (x)
(4)
(5)
y por tanto en todo instante t de [ta , tb ), x es una variable racional bien definida
en su dominio racional (0, 1). Por consiguiente, solo en el preciso instante tb podr´ıa
x haber perdido su condici´on de variable racional apropiadamente definida en su
dominio (0, 1).
103 En consecuencia, tendr´ıamos que admitir no solo que completar una sucesi´on
infinita de definiciones, todas ellas posibles, tiene efectos adicionales arbitrarios
sobre el objeto definido, sino que adem´as esos efectos aparecen inesperadamente
despu´es de completar la sucesi´on de definiciones. Y lo mismo se aplicar´ıa a cualquier otra definici´on, procedimiento o prueba compuesta por una sucesi´on infinita
de pasos. La afirmaci´
on, por otra parte, de que el argumento no es concluyente
debido a la imposibilidad de realizar en la pr´actica la infinidad de acciones de la
supertarea queda adecuadamente contestada por el Principio de Independencia
(v´ease el Cap´ıtulo 3).
8.-Revisi´on del argumento de Cantor de 1874
´n
Introduccio
104 Se examinan aqu´ı las condiciones bajo las cuales el argumento de Cantor
de 1874 sobre la naturaleza no contable de los n´
umeros reales se podr´ıa aplicar
tambi´en al conjunto de los n´
umeros racionales. Ser´
a necesario, por tanto, demostrar que esas condiciones nunca se cumplen si se quiere evitar la amenaza de una
contradicci´on relacionada con la cardinalidad del conjunto de los n´
umeros racionales, que el propio Cantor demostr´
o era numerable [31]. Se incluye tambi´en una
breve variaci´on del argumento de Cantor aplicado a los n´
umeros racionales.
Argumento de Cantor de 1874
105 En esta secci´
on se explica detalladamente la primera prueba de Cantor de la
no numerabilidad del conjunto R de los n´
umeros reales, publicada en el a˜
no 1874
[31] en un breve art´ıculo que tambi´en inclu´ıa una prueba de la numerabilidad del
conjunto A (tambi´en representado por Q) de los n´
umeros algebraicos y, por tanto,
del conjunto Q de los n´
umeros racionales, un subconjunto de A (edici´on francesa
[32], edici´
on espa˜
nola [43]).
106 Supongamos que el conjunto R fuera numerable. En esas condiciones existir´ıa una biyecci´on f entre el conjunto N de los n´
umeros naturales y R. En consecuencia, los elementos de R quedar´ıan ω−ordenados por f :
r1 , r2 , r3 , . . .
(1)
siendo ri = f (i), ∀i ∈ N. Obviamente, la sucesi´on hrn i definida por f contendr´ıa
todos los n´
umeros reales si R fuera en realidad numerable.
107 Consideremos ahora un intervalo real cualquiera (a, b). El argumento de
Cantor de 1874 consiste en probar la existencia de un n´
umero real s en (a, b) que
no est´
a en la sucesi´on ω−ordenada hrn i. La existencia de s probar´ıa que hrn i no
contiene a todos los n´
umeros reales y que, por tanto, la hip´otesis de la naturaleza
contable de R es falsa. La prueba de Cantor es como sigue.
108 Empezando por r1 , buscamos los dos primeros elementos de hrn i que caigan
dentro de (a, b). Llamamos a1 al menor de ellos y b1 al mayor. Definimos el
43
44 —— Revisi´
on del argumento de Cantor de 1874
Ï(a1, b1)
Î(a1, b1)
Ï(a1, b1)
Ï(a1, b1)
Ï(a1, b1)
Ï(a1, b1)
Î(a1, b1)
Î(a, b)
Î(a, b)
Ï (a, b)
Ï (a, b)
Ï (a, b)
Î(a, b)
Ï (a, b)
intervalo real (a1 , b1 ) (v´ease la Figura 8.1).
r1 , r2 , r3, r4, r 5, r6, r7 , ...
r7 , r8 , r9, r10, r 11, r12, r13 , ...
r3 > r6
a1 = r6 b1 = r3
r7 < r12
a2 = r7 b2 = r12
(a1, b1 ) = (r6 , r3 )
(a2, b2) = (r7 , r12 )
Figura 8.1: Definici´on de los dos primeros intervalos (a1 , b1 ), (a2 , b2 ).
109 Empezando por r1 , buscamos los dos primeros elementos de hrn i que caigan
dentro de (a1 , b1 ). Llamamos a2 al menor de ellos y b2 al mayor. Definimos el
intervalo real (a2 , b2 ). Evidentemente se verifica:
(a1 , b1 ) ⊃ (a2 , b2 )
(2)
110 Empezando por r1 , buscamos los dos primeros elementos de hrn i que caigan
dentro de (a2 , b2 ). Llamamos a3 al menor de ellos y b3 al mayor. Definimos el
intervalo real (a3 , b3 ). Es evidente que se verifica:
(a1 , b1 ) ⊃ (a2 , b2 ) ⊃ (a3 , b3 ).
(3)
111 Continuando con este procedimiento (R-procedimiento de ahora en adelante) se define la sucesi´on de intervalos reales anidados (R-intervalos):
(a1 , b1 ) ⊃ (a2 , b2 ) ⊃ (a3 , b3 ) ⊃ . . .
(4)
cuyos extremos izquierdos a1 , a2 , a3 ,. . . forman una sucesi´on estrictamente creciente de n´
umeros reales, y cuyos extremos derechos b1 , b2 , b3 ,. . . forman una
sucesi´on estrictamente decreciente tambi´en de n´
umeros reales, siendo todo elemento de la primera sucesi´on menor que todo elemento de la segunda.
112 Del ω−orden de hrn i y de la forma ordenada en la que el R-procedimiento
define los sucesivos R-intervalos (empezando por r1 buscamos los dos primeros
elementos. . . ), se sigue inmediatamente que si rn define un extremo ai o bi , entonces se ha de verificar i ≤ n. En consecuencia, podemos asegurar que, siendo
rn un elemento cualquiera de hrn i, rn nunca podr´a caer dentro de los sucesivos
R-intervalos:
(an , bn ) ⊃ (an+1 , bn+1 ) ⊃ (an+2 , bn+2 ) ⊃ . . .
(5)
113 El n´
umero de R-intervalos podr´a ser finito o infinito, y las dos posibilidades han de ser examinadas. Supongamos, en primer lugar, que el n´
umero de
Versi´
on racional del argumento de Cantor —— 45
R-intervalos es finito.1 En este caso habr´ıa un u
´ltimo intervalo2 (an , bn ) en la sucesi´
on de intervalos. Este u
´ltimo R-intervalo contendr´ıa como mucho un elemento rv
de hrn i, en caso contrario ser´ıa posible definir como m´ınimo un nuevo R-intervalo
(an+1 , bn+1 ). Sea, por tanto, s un elemento cualquiera de (an , bn ), diferente de rv
en el caso de que rv exista. Evidentemente s es un n´
umero real que est´
a dentro
de (a, b) y que no pertenece a la sucesi´on hrn i. En consecuencia, la sucesi´on hrn i
no contiene a todos los n´
umeros reales, lo que prueba la falsedad de la hip´otesis
inicial sobre la naturaleza contable de R.
114 Supongamos ahora que el n´
umea1 a2 a3 a4 …
ro de R-intervalos es infinito.3 Puesto
L a < L b b4 b3 b2 b1
que la sucesi´on han i es estrictamente
creciente y cualquier elemento de hbn i
b4 b3 b2 b1
a1 a2 a3 a4
La = Lb
es una cota superior de la sucesi´on, ha
de existir el l´ımite La de han i. Por su Figura 8.2: Alternativas de convergencia para
parte, la sucesi´on hbn i es estrictamen- han i y hbn i.
te decreciente y cualquier elemento de han i es una cota inferior de la misma, por
tanto ha de existir el l´ımite Lb de hbn i. Teniendo ahora en cuenta que todo ai es
menor que todo bi se ha de verificar: La ≤ Lb .
115 Supongamos que La < Lb . En este caso cualquiera de los infinitos elementos
del intervalo real (La , Lb ) es un n´
umero real perteneciente a (a, b) que no pertenece
a la sucesi´on hrn i, y por tanto una prueba de la falsedad de la hip´otesis inicial
sobre la naturaleza numerable de R.
116 Finalmente, supongamos que La = Lb = L. Es claro que L es un elemento de
(a, b) que no pertenece a hrn i. En efecto, sup´ongase que L fuera un elemento rv de
hrn i. De acuerdo con 112, rv no pertenece a ninguno de los sucesivos R-intervalos:
(av , bv ) ⊃ (av+1 , bv+1 ) ⊃ (av+2 , bv+2 ) ⊃ . . . ,
(6)
mientras que L pertenece a todos ellos. Por tanto L no puede ser rv . El l´ımite L
es un n´
umero real perteneciente a (a, b) que no est´
a en hrn i, y en consecuencia
una prueba de la falsedad de la hip´
otesis inicial sobre la numerabilidad de R.
´ n racional del argumento de Cantor
Versio
117 Esta secci´
on desarrolla un argumento completamente id´entico al de la secci´on anterior, excepto que se aplica al conjunto Q de los n´
umeros racionales.
118 Supongamos que el conjunto Q de los n´
umeros racionales fuera numerable.
En estas condiciones existir´ıa una biyecci´on f entre el conjunto N de los n´
umeros
1 Incluyendo
el caso de que el R-procedimiento no defina ning´
un R-intervalo.
el intervalo completo (a, b) si el R-procedimiento no define ning´
un R-intervalo.
3 N´
otese que este caso implica la compleci´
on de un proceso con infinitos pasos sucesivos.
2O
46 —— Revisi´
on del argumento de Cantor de 1874
naturales y Q. En consecuencia, los elementos de Q se podr´ıan ω -ordenar por
f:
q1 , q2 , q3 , . . .
(7)
siendo qi = f (i), ∀i ∈ N. Obviamente, la sucesi´on hqn i definida por f contendr´ıa
todos los n´
umeros racionales si Q fuera en realidad numerable.
119 Consideremos un intervalo racional cualquiera (a, b). Empezando por q1 ,
buscamos los dos primeros elementos de hqn i que caigan dentro de (a, b). Llamamos a1 al menor de ellos y b1 al mayor. Definimos el intervalo racional (a1 , b1 ).
120 Empezando por q1 , buscamos los dos primeros elementos de hqn i que caigan
dentro de (a1 , b1 ). Llamamos a2 al menor de ellos y b2 al mayor. Definimos el
intervalo racional (a2 , b2 ). Evidentemente se verifica:
(a1 , b1 ) ⊃ (a2 , b2 )
(8)
121 Empezando por q1 , buscamos los dos primeros elementos de hqn i que caigan
dentro de (a2 , b2 ). Llamamos a3 al menor de ellos y b3 al mayor. Definimos el
intervalo racional (a3 , b3 ). Es evidente que se verifica:
(a1 , b1 ) ⊃ (a2 , b2 ) ⊃ (a3 , b3 ).
(9)
122 Continuando con este procedimiento (Q-procedimiento de ahora en adelante) se define la sucesi´on de intervalos racionales anidados (Q-intervalos):
(a1 , b1 ) ⊃ (a2 , b2 ) ⊃ (a3 , b3 ) ⊃ . . .
(10)
cuyos extremos izquierdos a1 , a2 , a3 ,. . . forman una sucesi´on estrictamente creciente de n´
umeros racionales, y cuyos extremos derechos b1 , b2 , b3 ,. . . forman una
sucesi´on estrictamente decreciente tambi´en de n´
umeros racionales, siendo todo
elemento de la primera sucesi´on menor que todo elemento de la segunda.
123 Del ω−orden de hqn i y de la forma ordenada en la que el Q-procedimiento
define los sucesivos Q-intervalos (empezando por q1 buscamos los dos primeros
elementos. . . ), se sigue inmediatamente que si qn define un extremo ai o bi , entonces se ha de verificar i ≤ n. En consecuencia, podemos asegurar que, siendo
qn un elemento cualquiera de hqn i, qn nunca podr´a caer dentro de los sucesivos
Q-intervalos:
(an , bn ) ⊃ (an+1 , bn+1 ) ⊃ (an+2 , bn+2 ) ⊃ . . .
(11)
124 El n´
umero de Q-intervalos podr´a ser finito o infinito, y las dos posibilidades han de ser examinadas. Supongamos, en primer lugar, que el n´
umero de
Q-intervalos es finito4 . En este caso habr´ıa un u
´ltimo Q-intervalo5 (an , bn ) en la
sucesi´on de Q-intervalos. Este u
´ltimo Q-intervalo contendr´ıa como mucho un elemento qv de hqn i, en caso contrario ser´ıa posible definir como m´ınimo un nuevo
4 Incluyendo
5O
el caso de que el Q-procedimiento no defina ning´
un Q-intervalo.
el intervalo completo (a, b) si el Q-procedimiento no define ning´
un Q-intervalo.
Versi´
on racional del argumento de Cantor —— 47
Q-intervalo (an+1 , bn+1 ). Sea, por tanto, s un elemento cualquiera de (an , bn ), diferente de qv en el caso de que qv exista. Evidentemente s es un n´
umero racional
que est´
a dentro de (a, b) y que no pertenece a la sucesi´on hqn i. En consecuencia, la
sucesi´on hqn i no contiene a todos los n´
umeros racionales, lo que prueba la falsedad
de nuestra hip´
otesis inicial sobre la naturaleza contable de Q.
125 Supongamos ahora que el n´
umero de Q-intervalos es infinito.6 Puesto que la
sucesi´on han i es estrictamente creciente y cualquier elemento de hbn i es una cota
superior de han i, ha de existir el l´ımite real La de han i. Por su parte, la sucesi´on
hbn i es estrictamente decreciente y cualquier elemento de han i es una cota inferior
de hbn i, por tanto ha de existir el l´ımite real Lb de hbn i. Teniendo ahora en cuenta
que todo ai es menor que todo bi se ha de verificar: La ≤ Lb , siendo La y Lb dos
n´
umeros reales (racionales o irracionales).
126 Supongamos que La < Lb . En este caso cualquiera de los infinitos racionales
del intervalo real (La , Lb ) es un n´
umero racional perteneciente a (a, b) que no
pertenece a la sucesi´on hqn i, y por tanto una prueba de la falsedad de nuestra
hip´otesis inicial sobre la naturaleza numerable de Q.
127 Finalmente supongamos que La = Lb = L. Resulta inmediato que L es
un n´
umero real del intervalo real (a, b) que no est´
a en hqn i. En efecto, si L es
irracional entonces est´
a claro que no pertenece a hqn i; supongamos entonces que
L es racional, y supongamos tambi´en que es un elemento qv de hqn i. De acuerdo
con 123, qv no pertenece a ninguno de los sucesivos intervalos:
(av , bv ), (av+1 , bv+1 ), (av+2 , bv+2 ), . . .
(12)
mientras que L pertenece a todos ellos. Por tanto, L no puede ser qv . El l´ımite L
es un n´
umero real (racional or irracional) en el intervalo real (a, b) que no est´
a en
hqn i. En consecuencia, si L fuera racional entonces nuestra hip´otesis inicial sobre
la numerabilidad de Q tendr´ıa que ser falsa.
128 Acabamos de probar que las alternativas del argumento de Cantor de 1874
sobre la cardinalidad de los n´
umeros reales pueden ser tambi´en aplicadas al conjunto Q de los n´
umeros racionales, excepto la u
´ltima, que solo se puede aplicar
si el l´ımite com´
un de la sucesi´on racional de extremos izquierdos y de la sucesi´on
racional de extremos derechos de los Q-intervalos es un n´
umero racional.
129 Resulta evidente que si el argumento de Cantor de 1874 se pudiera extender a los n´
umeros racionales tendr´ıamos una contradicci´on: el conjunto Q ser´ıa y
no ser´ıa numerable. En consecuencia, para asegurar la imposibilidad de esa contradicci´on se tendr´a que demostrar que para cualquier intervalo racional (a, b) y
para cualquier reordenamiento de hqn i, el n´
umero de Q-intervalos nunca es finito
y las sucesiones de los extremos izquierdos han i y derechos hbn i siempre tienen un
6 N´
otese
que este caso implica la compleci´
on de un proceso con infinitos pasos sucesivos.
48 —— Revisi´
on del argumento de Cantor de 1874
l´ımite irracional com´
un. Hasta entonces, la consistencia de la teor´ıa de conjuntos
infinitos estar´
a en juego.
Una variante del argumento de Cantor de 1874
130 El siguiente argumento es una variante de la primera prueba de Cantor de
la naturaleza no numerable del conjunto de los n´
umeros reales examinada m´as
arriba.
131 Puesto que, de acuerdo con Cantor, el conjunto Q de los n´
umeros racionales
es numerable podemos considerar una biyecci´on f entre este conjunto y el conjunto de los n´
umeros naturales N. Sea hqn i la sucesi´on ω−ordenada de n´
umeros
racionales definida por:
qi = f (i), ∀i ∈ N
(13)
Obviamente hqn i contiene a todos los n´
umeros racionales.
132 Sea x una variable racional cuyo dominio es el intervalo racional (a, b) y
cuyo valor inicial es xo , un elemento cualquiera de (a, b). Sea hqn i la sucesi´on de
n´
umeros racionales definida por (13). Consid´erese ahora la siguiente sucesi´on de
definiciones recursivas hDi (x)i de x:

D1 (x) = xo
(14)
Di (x) = m´ın {Di−1 (x), qi } ∩ (a, b)
donde m´ın representa el menor (en el orden denso natural de Q) de los dos n´
umeros
entre par´entesis, o el n´
umero entre par´entesis si qi ∈
/ (a, b). hDi (x)i compara x
con los sucesivos elementos de hqn i que pertenecen a (a, b), y redefine a x como el
elemento comparado cada vez que el elemento comparado es menor que el valor
actual de x.
133 Aunque pueda parecer innecesaria, impondremos la siguiente restricci´on a
las sucesivas definiciones (14):
Restricci´
on 133.-Cada definici´on sucesiva Di (x) se llevar´a a cabo si,
y solo si, x resulta definida como un n´
umero racional de su dominio
(a, b).
Probaremos a continuaci´on que para cualquier n´
umero natural v es posible realizar
las primeras v definiciones sucesivas (14).
134 La primera definici´on D1 (x) se puede realizar porque D1 (x) = xo , y xo ∈
(a, b). Supongamos que, siendo n un n´
umero natural cualquiera, las primeras
n definiciones hDi (x)ii=1,2,...n se pueden realizar, de modo que Dn (x) ∈ (a, b).
Puesto que qn+1 es un n´
umero racional bien definido, sabremos si, estando en
(a, b), es menor que Dn (x). Si este fuera el caso Dn+1 (x) = qn+1 ; si no lo fuera
Dn+1 (x) = Dn (x). En ambos casos x resulta definida en su dominio (a, b). Esto
prueba que Dn+1 (x) tambi´en se puede realizar. En consecuencia, para cualquier
n´
umero natural v es posible realizar las primeras v definiciones hDi (x)ii=1,2,...v .
Una variante del argumento de Cantor de 1874 —— 49
135 Supongamos que mientras se puedan llevar a cabo las sucesivas definiciones
(14) que cumplen la restricci´on 133, esas sucesivas definiciones se llevan a cabo.
El valor de x una vez realizadas todas las posibles7 definiciones (14), cualquiera
que sea el n´
umero finito o infinito de veces que ha sido redefinida, ser´a un n´
umero
racional dentro de su dominio (a, b) porque siempre fue definida dentro de su
dominio (a, b). As´ı, podemos afirmar:
Por indeterminable que pueda ser el valor de x una vez realizadas todas las
posibles redefiniciones (14), ser´a un cierto n´
umero racional r dentro de su
dominio (a, b) [PI].
136 Obviamente una variable puede estar adecuadamente definida en su dominio aunque no conozcamos su valor actual. Algunos infinitistas argumentan, sin
embargo, que aunque la restricci´on 133 se aplica a cada una de las infinitas definiciones sucesivas de x, una vez completada la sucesi´on infinita de esas definiciones
no podemos asegurar que x siga siendo una variable racional apropiadamente definida dentro de su dominio (a, b), a pesar de que cada una de esas definiciones
defini´o correctamente a x dentro de su dominio (a, b). Como si la compleci´on
de una sucesi´on infinita de definiciones tuviera efectos desconocidos adicionales
sobre el objeto definido, como perder la condici´on de ser una variable racional
apropiadamente definida en su dominio. Obviamente esto ir´ıa contra PI.
137 Los mismos efectos desconocidos adicionales sobre los objetos definidos
cabr´ıa esperar, entonces, en cualquier otro procedimiento, definici´on o prueba
compuesta por infinitos pasos sucesivos, en ese caso las matem´aticas infinitistas
no tendr´ıan ning´
un sentido. Por ejemplo, en el argumento de Cantor de 1874 si
el n´
umero de R-intervalos es infinito, y debido a esos desconocidos efectos adicionales de la compleci´on sobre el objeto definido, no podr´ıamos asegurar que
esos intervalos contin´
uen siendo los intervalos reales dentro de (a, b) que fueron
definidos.
138 Si completar la sucesi´on infinita de definiciones (14) significa realizar todas y cada una de las definiciones de la sucesi´on (y s´olo ellas), cada una de las
cuales define a x dentro de su dominio (a, b), y si la compleci´on de la sucesi´on
de definiciones no tiene efectos desconocidos arbitrarios sobre x, entonces, una
vez realizadas todas las definiciones posibles, x s´olo puede estar definida como un
cierto n´
umero racional r (cualquiera que sea) dentro de su dominio (a, b) [PI].
139 Consid´erese el intervalo racional (a, r) y un elemento cualquiera s dentro
de (a, r). Es evidente que s ∈ (a, b) y s < r. Probaremos que s no puede ser
un elemento de hqn i. En efecto, supongamos que s pertenece a la sucesi´on hqn i.
Habr´a entonces un elemento qv de hqn i tal que s = qv , y siendo s un elemento de
(a, r) tendremos qv ∈ (a, r) y por tanto qv < r. Pero eso es imposible porque:
7 Si
fuera imposible realizar todas las definiciones posibles estar´ıamos ante la contradicci´
on
elemental de una posibilidad imposible.
50 —— Revisi´
on del argumento de Cantor de 1874
1) El ´ındice v de qv es un n´
umero natural.
2) De acuerdo con 134, para cada n´
umero natural v es posible llevar a cabo
las primeras v definiciones (14).
3) Se han llevado a cabo todas las posibles definiciones (14).
4) Al menos las primeras v definiciones (14) se han llevado a cabo.
5) Dv (x) = m´ın {Dv−1 (x), qv } ∩ (a, b) y entonces Dv (x) ≤ qv . Por lo
tanto r ≤ qv
6) Es imposible entonces que qv < r.
En consecuencia s no puede ser un elemento de hqn i.
140 El n´
umero racional s prueba entonces la existencia de n´
umeros racionales
dentro de (a, b) que no est´
an en hqn i, lo que a su vez prueba la falsedad de
la hip´otesis inicial sobre la naturaleza contable de Q. Ahora bien, teniendo en
cuenta que Cantor demostr´
o la naturaleza contable del conjunto Q, la conclusi´
on
final solo puede ser que Q es y no es numerable.
Comentario 140-1.- La sucesi´on de definiciones (14) lleva a otros resultados
contradictorios que el lector podr´ıa f´
acilmente encontrar. Evidentemente los resultados contradictorios no se invalidan entre s´ı, simplemente muestran la existencia de contradicciones.8 Si, a partir de la misma hip´otesis, dos argumentos
independientes conducen a resultados contradictorios, ambos argumentos est´
an
demostrando la inconsistencia de la hip´
otesis inicial. Un argumento no se puede refutar con otro argumento diferente porque este u
´ltimo argumento llegue a
conclusiones opuestas al primero. Un argumento solo se pude refutar indicando
d´
onde y por qu´e ese argumento falla.
8 Una
obviedad que es a menudo ignorada en las discusiones sobre el infinito actual.
9.-La diagonal de Cantor
´n
Introduccio
141 El argumento de la diagonal de Cantor hace uso de una hipot´etica tabla T
que se supone contiene todos los n´
umeros reales en el intervalo real (0, 1). Dicha
tabla puede ser f´
acilmente redefinida con el fin de garantizar que contiene por
lo menos todos los n´
umeros racionales de (0, 1). En estas condiciones, ¿podr´ıan
reordenarse las filas de T de tal manera que pudiera definirse una antidiagonal
racional? En ese caso, y por la misma raz´
on que en el argumento original de
Cantor, se habr´ıa probado que el conjunto de los n´
umeros racionales es no numerable. Y entonces tendr´ıamos una contradicci´on, porque como el mismo Cantor
tambi´en prob´
o, el conjunto de los n´
umeros racionales es numerable. ¿Debe, por lo
tanto, suspenderse el argumento de la diagonal de Cantor hasta que se demuestre
la imposibilidad de tal reordenamiento? ¿Ser´ıa posible ese reordenamiento? La
discusi´
on que sigue aborda ambas cuestiones.
Teorema del n-´
esimo decimal
142 Empezaremos demostrando un resultado b´
asico relacionado con la representaci´on decimal de los n´
umeros racionales (se podr´ıa aplicar tambi´en a los n´
umeros
irracionales) del que haremos uso m´as adelante. Para ello, sea M el conjunto de
todos los n´
umeros reales en el intervalo real (0, 1) expresados en notaci´
on decimal
y completados, en los casos de un n´
umero finito de cifras decimales, con infinitos
ceros a la derecha, as´ı en lugar de 0,25 escribiremos 0,25000. . . . El subconjunto
de todos los n´
umeros racionales del conjunto M se denotar´a por MQ .
143 Vamos a demostrar el siguiente:
Teorema 143 (del n-´
esimo decimal).-Para cada n´
umero natural n
hay infinitos elementos diferentes en MQ con el mismo d´ıgito decimal
dn en la misma n-´esima posici´on de su representaci´on decimal.
Demostraci´
on.-Consideremos un elemento cualquiera r0 de MQ de la forma:
r0 = 0.d1 d2 . . . dn
(1)
donde cada di es una cifra decimal cualquiera (0,1,2,3. . . 9). A partir de r0 definimos la sucesi´on de n´
umeros racionales:
r1 = 0.d1 d2 . . . dn 1000 . . .
51
(2)
52 —— La diagonal de Cantor
r2 = 0.d1 d2 . . . dn 11000 . . .
(3)
r3 = 0.d1 d2 . . . dn 111000 . . .
(4)
...
rk = 0.d1 d2 . . . dn 1 .(k)
. . 1000 . . .
(5)
...
La biyecci´on f entre N (el conjunto de los n´
umeros naturales) y MQ definida
por:
f (k) = rk , ∀k ∈ N
(6)
demuestra, que siendo n un n´
umero natural cualquiera, existe un subconjunto
numerable f (N) de MQ , cada uno de cuyos elementos rk tiene una expansi´
on
decimal finta de k + n decimales con la misma cifra decimal dn en la misma
n-´esima posici´on.
Cantor contra Cantor
144 El conjunto M de Cantor es la uni´
on de dos conjuntos disjuntos: el conjunto
numerable MQ de todos los n´
umeros racionales en (0, 1) y el conjunto de MI de
todos los n´
umeros irracionales en el mismo intervalo (0, 1). Siendo MQ numerable,
existe una biyecci´on g entre N y MQ . Por otra parte supongamos, como hizo
Cantor en 1891 [35], que M fuera numerable. En esas condiciones es evidente
que, siendo MI infinito, tambi´en ser´a numerable, en caso contrario (si fuera no
numerable) su superconjunto M no podr´ıa ser (solo) numerable. Sea entonces h
una biyecci´on entre N y MI . A partir de g y h se define una correspondencia uno
a uno f entre N y M :
f (2n − 1) = g(n)
f (2n) = h(n)
)
∀n ∈ N
(7)
Podemos entonces considerar la tabla ω−ordenada T cuyas sucesivas filas r1 , r2 ,
r3 . . . son precisamente f (1), f (2), f (3) . . . . Por definici´on, y siendo MQ (supuestamente) numerable, T contiene una subtabla numerable con todos los n´
umeros
racionales de (0, 1).
145 La diagonal de la tabla T de Cantor es el n´
umero real D = 0.d11 d22 d33
d44 . . . cuyo n-´esimo decimal dnn es el n-´esimo decimal de la n-´esima fila rn de
T . A partir de este n´
umero Cantor define otro n´
umero real en M , la antidiagonal
D− de la siguiente manera: c´
ambiese cada decimal dnn por cualquier otro decimal
diferente. Esto asegura que, siendo un n´
umero real del conjunto M , D− es diferente de todas las filas de T : se diferencia de cada fila rn al menos en su n-´esimo
decimal.
146 En consecuencia, M no puede ser numerable, como se hab´ıa supuesto. Este
Antidiagonales racionales —— 53
es el argumento de la diagonal de Cantor, un impecable Modus Tollens (MT)1
[35]. En efecto, consideremos las dos siguientes proposiciones:
p: M es numerable
(8)
q: T contiene todos los n´
umeros reales de (0, 1)
(9)
entonces, una vez probado que D
est´
a en T tendremos:
−
es un n´
umero real del conjunto M que no
p⇒q
¬q
————
∴ ¬p
(10)
(11)
(12)
147 Ahora bien, puesto que D− es un n´
umero real de (0, 1), ser´a racional o
irracional. Pero si fuera racional, y por la misma raz´
on que en el caso de M , el
subconjunto MQ de todos los n´
umeros racionales en M tambi´en ser´ıa no numerable. El problema es que Cantor hab´ıa demostrado ya que el conjunto Q de todos
los n´
umeros racionales, y por lo tanto MQ , es numerable [31].
148 De acuerdo con 147, si fuera posible reordenar las filas de T de tal manera
que se pudiera definir una antidiagonal racional tendr´ıamos dos resultados contradictorios: el conjunto Q de los n´
umeros racionales ser´ıa y no ser´ıa numerable.
Ambos resultados podr´ıan considerarse demostrados por Cantor, aunque el u
´ltimo
s´olo como una consecuencia inesperada (y hasta ahora desconocida) de su famoso
m´etodo de la diagonal. En consecuencia, podemos afirmar la siguiente:
Conclusi´
on 148.-El argumento de la diagonal de Cantor y todas sus
consecuencias formales deber´ıan suspenderse hasta que se demuestre,
sin hacer uso circular del argumento de la diagonal, la imposibilidad
de reordenar las filas de T de tal manera que pueda definirse una
antidiagonal racional.
149 Sin esa demostraci´on, la teor´ıa de conjuntos est´
a bajo la amenaza de una
contradicci´on fundamental. Resulta entonces impactante que durante m´as de un
siglo nadie haya planteado ese problema (los reordenamientos de las filas de T ),
incluyendo a miles de matem´aticos y l´ogicos de todo el mundo.
Antidiagonales racionales
150 Examinaremos ahora las posibilidades y las consecuencias de reordenar las
filas de T en el sentido indicado en 148.
151 Una vez asumida la existencia del conjunto de todos los cardinales finitos
como una totalidad completa, Cantor demostr´
o la existencia de sucesiones ω−or1 Las
cr´ıticas del argumento de la diagonal de Cantor invariablemente est´
an relacionados
con diferentes aspectos que no guardan relaci´
on con la estructura formal de la demostraci´
on del Cantor.
54 —— La diagonal de Cantor
denadas [37], [39, Th. 15-A]. En una sucesi´on ω−ordenada, como la anterior tabla
T, cada uno de sus elementos estar´
a siempre precedido por un n´
umero finito de
elementos y seguido por un n´
umero infinito de elementos. A continuaci´on veremos
una conflictiva consecuencia de esa inmensa asimetr´ıa.
152 Empezaremos definiendo el concepto de fila D-modular en la tabla T . En
primer lugar, diremos que una fila ri de T es n-modular si su n-´esima cifra decimal
es (n mod 10). Esto significa que una fila es, por ejemplo, 2348-modular si su 2348´esima cifra decimal es 8; o que es 453-modular si su 453-´esima cifra decimal is 3.
Si una fila rn es n-modular (siendo el mismo n en n-modular y en rn ) se dir´
a que
es D-modular. Por ejemplo, las filas:
r1 = 0.1007647464749943400034577774413 . . .
(13)
r2 = 0,2200045667778943000000000000000 . . .
(14)
r3 = 0,0030000000000000000000000000000 . . .
(15)
r9 = 0,1112223390000004340666666666333 . . .
(16)
r13 = 0,1234567890003000567585843456931 . . .
(17)
son todas ellas D-modulares. Una fila ri no D-modular se puede intercambiar
con cualquier fila siguiente rj que sea i-modular (el n´
umero en rj pasa a ri , y el
n´
umero en ri pasa a rj ), siempre que exista una fila siguiente rj que sea i-modular.
Llamaremos D-intercambios a esos intercambios de las filas de T .
153 Consideremos ahora la siguiente permutaci´on P de las filas hrn i de de tabla
T . Para cada fila sucesiva ri en T :
1) Si ri es D-modular se deja como est´
a.
2) Si ri no es D-modular se D-intercambia con cualquier fila siguiente rj, j>i
que sea i-modular, siempre que al menos una de las filas siguientes rj
sea i-modular (se intercambiar´a ri por rj y rj por ri ).
3) Si ri no es D-modular y no puede ser D-intercambiada se deja como est´
a.
n t er
Obs´ervese que, gracias a la condici´on j > i (en rj, j>i ), el D-intercambio de una
fila no D-modular la convierte en D-modular y adem´as permanecer´
a D-modular
sin ser afectada por los siguientes D-intercambios.
ca
m.
136900987838344...
028282828282828...
133389745600000...
032967898354283...
136900987838344...
028282828282828...
133389745600000...
655489023467289...
...
...
655489023467289...
345787352637839...
032967898354283...
345787352637839...
...
...
D- i
Figura 9.1: Izquierda: r4 antes de ser D-intercambiada. Derecha: Una vez intercambiada,
r4 es una fila D-modular.
Antidiagonales racionales —— 55
154 Es inmediato demostrar, por Modus Tollens (MT), que como consecuencia
de la permutaci´
on P cada fila de T se convierte en D-modular. En efecto, vamos
a suponer que una fila rn no se convierte en D modular como consecuencia de
P. Esto significa que rn no es D-modular ni pudo ser D-intercambiada con una
fila siguiente n-modular. Ahora bien, todos las filas n-modulares tienen la misma
cifra (n mod 10) en la misma n-´esima posici´on de su representaci´on decimal y,
seg´
un el teorema 143 de la n-´esima cifra decimal, hay infinitos n´
umeros racionales
con la misma cifra en la misma posici´on de su representaci´on decimal, cualquiera
que sea el cifra y la posici´on. En consecuencia, puesto que n es finito, la fila rn
estar´
a precedida por un n´
umero finito y seguida por un n´
umero infinito de filas
n-modulares. Cualquiera de estas infinitas filas n-modulares se tuvo que haber Dintercambiado con rn . Por lo tanto, resulta imposible que rn no sea D-modular.
En consecuencia (Modus Tollens), cada fila rn de T se convierte en D-modular
como consecuencia de P.
155 Cabe destacar que el resultado demostrado en 154 es una consecuencia formal tanto del teorema 143 de la n-´esima cifra decimal como del hecho de que toda
fila rn de T siempre est´
a precedida por un n´
umero finito de filas n-modulares y
seguida por un n´
umero infinito de tales filas n-modulares. Esta inmensa asimetr´ıa
es un efecto secundario e inevitable del ω−orden, que, como el propio Cantor demostr´o [39, Teorema 15-A], se deriva de asumir la existencia del conjunto de todos
los cardinales finitos (n´
umeros naturales) como una totalidad completa (hip´
otesis
del infinito actual subsumida en el Axioma del Infinito).
156 Para evitar discusiones innecesarias, subrayaremos la estructura formal de
la demostraci´on 154. Consid´erense las dos siguientes proposiciones q1 y q2 sobre
la permutaci´on P:
q1 : Una vez completada P, no todas la filas se convierten en D-modulares.
q2 : Una vez completada P, al menos una fila rk no D-modular no pudo ser
D-intercambiada.
Resulta claro que q1 implica q2 : si P no convierte a todas las filas de T en Dmodulares, entonces al menos una fila rk no D-modular no pudo ser D-intercambiada.
Ahora bien, siendo k finito y teniendo en cuenta el teorema de la n-´esima cifra
decimal 143, existen infinitas filas rn, n>k que siguen a rk y que son k-modulares,
por tanto alguna de ellas tuvo que ser D-intercambiada con rk . En consecuencia
la proposici´on q2 es falsa, y por tanto tambi´en lo ser´a q1 . En s´ımbolos:
q1 ⇒ q2
¬ q2
————
∴ ¬ q1
(18)
(19)
(20)
Queda claro entonces que, como en el caso del argumento de la diagonal de Cantor,
la demostraci´on anterior tambi´en es un simple Modus Tollens (v´ease el comentario
56 —— La diagonal de Cantor
final).
157 Sea Tp la tabla resultante de la permutaci´on P. Puesto que todas las filas
de Tp son D-modulares, su diagonal D ser´a el n´
umero racional 0.1234567890. Es
inmediato ahora definir infinitas antidiagonales racionales a partir de D. Veamos
c´
omo. Llamemos p0 al periodo 1234567890 de la diagonal D. Estamos interesados
en per´ıodos de diez d´ıgitos ninguno de los cuales coincida en posici´on con los d´ıgitos de p0 , como es el caso, por ejemplo, de 0123456789 ´o 4545454545 (= c
45). El
n´
umero de tales per´ıodos es de 910 . Entre ellos vamos a elegir, los dos ejemplos anteriores, a los que nos referiremos como p1 y p2 respectivamente (p1 = 0123456789,
p2 = 4545454545). Ahora definimos la siguiente sucesi´on de antidiagonales racionales hAn i:
(21)
∀n ∈ N : An = 0.p1 p1 . n. . p1 pb2
cuyos elementos no pueden estar en Tp por la misma raz´
on que la antidiagonal de
Cantor: difiere de cada fila rn precisamente en su n-´esima cifra decimal. Y siendo
todos ellos n´
umeros racionales, debemos concluir que MQ y su superconjunto Q
son ambos no numerables.
158 La permutaci´
on P nos permite desarrollar otros argumentos cuyas conclusiones sugieren tambi´en la inconsistencia de la hip´otesis del infinito actual. Por
21, y muchas otras, nunca pueden convertirse en
ejemplo, est´
a claro que la fila 0.c
D-modulares, y entonces tendr´ıamos que admitir el absurdo de que P las hace
desaparecer de la tabla. En efecto, sea n cualquier n´
umero natural y supongamos
21 es21 es la n-´esima fila de Tp . Puesto que n es finito, 0.c
que, por ejemplo, 0.c
tar´
a precedido por un n´
umero finito de filas n-modulares y seguido por un n´
umero
infinito de filas n-modulares, de acuerdo con el teorema 143 del n-´esimo decimal.
En consecuencia, 0.c
21, que no es n-modular,2 se intercambi´o con alguna de esas
filas n-modulares, y entonces no puede ser la n-´esima fila de Tp . Por lo tanto, y
siendo rn una fila cualquiera de Tp , debemos concluir que 0.c
21 ¡ha desaparecido
de la tabla!
159 El absurdo anterior 158 es la clase de cosas que uno puede esperar de una
lista en la que cada elemento tiene un n´
umero finito de predecesores y un n´
umero
infinito de sucesores. Una lista en la que, a pesar de tener un n´
umero infinito de
elementos sucesivos, es imposible alcanzar un elemento con un n´
umero infinito
de predecesores (lo que, evidentemente, hace posible al argumento anterior). Una
lista, en fin, que es a la vez completa (como la hip´otesis del infinito actual requiere)
e incompletable (porque no existe un u
´ltimo elemento que complete la lista).
160 La permutaci´
on P, se puede considerar incluso como un caso de supertarea
(hipercomputaci´on): sea htn i una sucesi´on estrictamente creciente y ω−ordenada
cada n-´esima cifra decimal de 0.c
21 se verifica (n mod 10) = 2 si n es impar, o (n
mod 10) = 1 si es par.
2 Para
Un nota final —— 57
de instantes en un intervalo finito de tiempo (ta , tb ), siendo tb el l´ımite de la sucesi´
on. Supongamos que P se aplica a cada fila ri justo en el preciso instante ti de
htn i. Por lo tanto, ri se mantendr´a sin cambios si se trata de una fila D-modular (o
si no es D-modular pero no se puede D-intercambiar) o ser´a D-intercambiada por
cualquier fila i-modular siguiente. En el instante tb la permutaci´on P se habr´
a aplicado a cada fila de T como lo demuestra la biyecci´on f (ti ) = ri .
161 Supongamos que en tb , una vez completada la hipercomputaci´on P, la
tabla permutada Tp contiene una fila rn que no es D-modular. Esta fila, sea la
que sea, estar´
a precedida por un n´
umero finito de filas y seguida por un n´
umero
infinito de filas, un n´
umero infinito de las cuales son n-modulares, y por tanto
D-intercambiables con rn . En consecuencia rn fue D-intercambiada. Por lo tanto
rn solo puede ser D-modular en Tp .
162 Ser simult´
aneamente completo e incompletable (porque no hay u
´ltimo elemento que complete), como ocurre con los objetos ω−ordenados, podr´ıa ser, despu´es de todo, contradictorio.
Un nota final
163 Terminemos recordando que un argumento no puede ser refutado con otro
argumento diferente. En palabras de W. Hodges: [102, p. 4]
¿C´omo puede alguien caer en un estado mental en el que se persuade
a s´ı mismo de que es posible criticar un argumento sugiriendo otro
argumento diferente que no llega a la misma conclusi´
on?
Esta estrategia inadmisible es usada frecuentemente en los debates relacionados
al infinito, por ejemplo para refutar los argumentos de Cantor sobre la naturaleza
no contable de los n´
umeros reales. Refutar un argumento significa indicar d´
onde
y por qu´e ese argumento falla. Si dos argumentos conducen a conclusiones contradictorias, simplemente est´
an demostrando la existencia de una contradicci´on.
58 —— La diagonal de Cantor
10.-Intervalos racionales
´n
Introduccio
164 En este cap´ıtulo se desarrollan dos argumentos relacionados con la cardinalidad del conjunto Q de los n´
umeros racionales. En el primero de ellos se define
una sucesi´on de intervalos racionales positivos cuyos sucesivos elementos se definen por medio de una sucesi´on ω−ordenada de n´
umeros racionales positivos que
contiene a todos los n´
umeros racionales positivos. Como veremos, estos intervalos contienen n´
umeros racionales positivos que no son miembros de la sucesi´on
definidora pero que tendr´ıan que ser miembros de la sucesi´on definidora. En el
segundo argumento redefiniremos un intervalo racional por sucesivas redefiniciones de su extremo derecho, de modo que el intervalo se hace progresivamente m´as
corto. El resultado es tambi´en una contradicci´on relacionada con la cardinalidad
del conjunto Q de los n´
umeros racionales.
´ n cantoriana
Una particio
165 Como es sabido, el conjunto de los n´
umeros racionales en su orden natural
de precedencia est´
a densamente ordenado. Por lo tanto, si a y b son dos n´
umeros racionales cualquiera, entonces el intervalo (a, b) contiene infinitos n´
umeros
racionales diferentes, independientemente de lo cerca que a est´e de b. O en otras
palabras (y al contrario de lo que ocurre con cualquier n´
umero natural de la sucesi´on 1, 2, 3. . . ), ning´
un n´
umero racional tiene un sucesor inmediato en el orden
natural de precedencia de los n´
umeros racionales. Esta propiedad trivial de los
n´
umeros racionales ser´a de capital importancia en el siguiente argumento.
166 Sea f una correspondencia uno a uno entre el conjunto N de los n´
ume+
ros naturales y el conjunto numerable Q de los n´
umeros racionales positivos, y
consideremos la sucesi´on ω−ordenada hqn i definida por:
∀i ∈ N : qi = f (i)
(1)
Puesto que f es una biyecci´on, est´
a claro que la sucesi´on hqn i contiene a todos los
n´
umeros racionales positivos. Obviamente el ω−orden de hqn i hace posible poder
considerar sucesivamente, y uno a uno, todos sus elementos: q1 , q2 , q3 . . . , lo que
59
60 —— Intervalos racionales
a su vez hace posible el siguiente procedimiento.
167 Sea (a, b] cualquier intervalo cerrado por la derecha de n´
umeros racionales
positivos. Siguiendo una estrategia similar a la del argumento de Cantor de 1874
[31], definiremos ahora una sucesi´on de intervalos disjuntos y adyacentes por medio
de los sucesivos elementos q1 , q2 , q3 . . . de la sucesi´on hqn i de acuerdo con el
siguiente procedimiento P .
Consid´erense los sucesivos qi de hqn i en su ω−orden de precedencia q1 , q2 ,
q3 ,. . . . Para cada qi :
Si, y solo si, qi pertenece a un intervalo (x, y] previamente definido, incluyendo el intervalo inicial (a, b], y qi no es un extremo de (x, y], entonces
div´ıdase (x, y] en los dos intervalos disjuntos y adyacentes (x, qi ] y (qi , y].
Obviamente:
(x, y] = (x, qi ] ∪ (qi , y]
(2)
(x, qi ] ∩ (qi , y] = ∅.
(3)
Tendremos finalmente una sucesi´on S de intervalos disjuntos y adyacentes:
S = (a, x1 ](x1 , x2 ](x2 , x3 ] . . .
(4)
donde cada xi es un cierto elemento de hqn i. Evidentemente S es una partici´
on
del intervalo inicial (a, b]:
(a, b] = (a, x1 ] ∪ (x1 , x2 ] ∪ (x2 , x3 ] ∪ . . .
(a, x1 ] ∩ (x1 , x2 ] ∩ (x2 , x3 ] ∩ · · · = ∅
(5)
(6)
168 N´
otese que:
1) Todo elemento qi 6= y en el interior de un intervalo previamente definido
(x, y], incluyendo (a, b], divide a ese intervalo en dos intervalos disjuntos
y adyacentes (x, qi ], (qi , y], siendo qi su extremo com´
un.
2) Los sucesivos intervalos de S se definen de dos en dos, siendo cada nueva
pareja de intervalos el resultado de dividir un intervalo previo, incluyendo
(a, b], en dos intervalos disjuntos y adyacentes. Por consiguiente los intervalos definidos en cada paso del procedimiento P forman una partici´
on
del intervalo inicial (a, b].
3) Cuando P considera al elemento qv de hqn i, estar´
an definidos un n´
umero
finito de intervalos disjuntos y adyacentes que, como m´aximo, es 2(v − 1).
Si qv ∈ (a, b], entonces qv pertenecer´a a uno de esos intervalos, porque
esos intervalos forman una partici´
on de (a, b].
4) Cada vez que un elemento qv de hqn i divide un intervalo (xi , xj ), los extremos de este intervalo contin´
uan siendo extremos de los nuevos intervalos:
xi en (xi , qv ] y xj en (qv , xj ].
Un intervalo racional menguante —— 61
5) Como consecuencia de los cuatro puntos anteriores, una vez que un elemento qv de hqn i ha sido usado para dividir un intervalo en dos nuevos
intervalos disjuntos y adyacentes, ese elemento continuar´
a siendo el extremo com´
un de dos intervalos disjuntos y adyacentes.
6) Puesto que a es menor que cualquier elemento dentro de (a, b) y no pertenece a (a, b), es imposible dividir un intervalo cuyo extremo izquierdo
es a en dos nuevos intervalos de modo que el primero de ellos tenga un
extremo izquierdo menor que a. Por lo tanto siempre habr´
a un primer
intervalo cuyo extremo izquierdo es a.
169 De acuerdo con 168-6, la sucesi´on S definida por el procedimiento P debe
contener necesariamente un primer intervalo cuyo extremo izquierdo es a. Sea
(a, x] ese intervalo, donde x es un cierto elemento de hqn i. Puesto que todos
los intervalos racionales son densamente ordenados, entre a y x existen infinitos
racionales diferentes. Sea c un elemento cualquiera del intervalo (a, x] diferente de
x. Como veremos ahora, c no puede ser un elemento de la sucesi´on hqn i.
170 Sup´ongase que c es un cierto elemento qv de hqn i. De acuerdo con 168-3,
cuando P considera qv solo un n´
umero finito K ≤ 2(v − 1) de intervalos disjuntos y adyacentes habr´
an sido definidos. Puesto que qv pertenece a (a, x) tambi´en
pertenecer´a a (a, b], y por tanto a un cierto intervalo (xd , xh ] de los K intervalos definidos porque esos intervalos forman una partici´
on de (a, b]. Por lo tanto
habr´
a sido usado para definir dos nuevos intervalos (xd , qv ], (qv , xh ]. Por otra
parte, y por hip´
otesis, tendr´ıamos:
qv ∈ (a, x) ⊂ (a, x]
(7)
lo que es imposible, porque de acuerdo con 168-5, qv solo podr´ıa ser el extremo
com´
un de dos intervalos disjuntos y adyacentes que no pueden estar contenidos
en (a, x) porque (a, x] es el primer intervalo de la partici´
on, de acuerdo con 168-6.
Hemos de concluir que el n´
umero racional positivo c ∈ (a, x] no puede ser un
elemento de hqn i. Lo que prueba la siguiente:
Conclusi´
on 170.-La sucesi´on hqn i, que contiene todos los n´
umeros
racionales positivos, no contiene todos los n´
umeros racionales positivos.
171 Es destacable el hecho de que, para deducir la conclusi´
on 170, no necesitamos saber si P define un n´
umero finito o infinito de intervalos. Esta conclusi´
on es
una consecuencia inevitable de suponer que el conjunto Q+ es densamente ordenado y a la vez numerable, lo que permite ω-ordenar sus elementos y considerarlos
sucesivamente, uno a uno. Como el lector podr´ıa f´acilmente comprobar, el procedimiento P conduce a otros resultados contradictorios que implican a la hip´otesis
del infinito actual.
62 —— Intervalos racionales
Un intervalo racional menguante
172 Siendo numerable el conjunto Q de los n´
umeros racionales, existe una correspondencia uno a uno entre el conjunto N de los n´
umeros naturales y Q. Por
lo tanto la sucesi´on ω−ordenada hf (i)i = f (1), f (2), f (3),. . . contiene todos los
n´
umeros racionales. Definamos ahora un 0-intervalo como un intervalo abierto
cualquiera de n´
umeros racionales cuyo extremo izquierdo es el n´
umero racional 0
(el argumento se extiende f´
acilmente a cualquier otro n´
umero racional). Sea Io uno
de esos 0-intervalos y consid´erese la siguiente sucesi´on hDn (Io )i de definiciones de
Io :
(
D1 (Io ) = Io
(8)
Di (Io ) = Di−1 (Io ) ∩ (0, f (i)), i = 2, 3, 4 . . .
Queda claro que Di (Io ) define a Io como (0, f (i)) si este intervalo es un subintervalo de Di−1 (Io ) o como Di−1 (Io ) si no lo es.
173 Demostraremos ahora que para todo n´
umero natural v es posible realizar
las primeras v definiciones hDi (Io )ii=1,2,...v de Io . En efecto, es claro que D1 (Io )
se puede realizar puesto que D1 (Io ) = Io . Supongamos que para cualquier n´
umero natural n es posible realizar las primeras n definiciones hDi (Io )ii=1,2,...n , de
modo que Io = (a, x) y x es o bien uno de los primeros n elementos de hf (i)i o
bien a. Puesto que f (n + 1) es un n´
umero racional pertenecer´a, o no, a (0, x).
En el primer caso Io puede definirse como (0, f (n + 1)); en el segundo como
(0, x). Por consiguiente, es posible tambi´en realizar las primeras n+1 definiciones
hDi (Io )ii=1,2,...n+1 Esto prueba que para todo n´
umero natural v es posible realizar
las primeras v definicioneshDi (Io )ii=1,2,...v .
174 Supongamos ahora que mientras las sucesivas definiciones Di (Io ) se pueden
llevar a cabo, se llevan a cabo. Una vez realizadas todas las posibles definiciones
Di (Io ), el 0-intervalo Io seguir´a siendo un 0-intervalo. De lo contrario tendr´ıamos
que aceptar que la compleci´on de una sucesi´on infinita de definiciones, como tal
compleci´on, tiene consecuencias arbitrarias e inesperadas sobre el objeto definido,
y lo mismo cabr´ıa esperar en cualquier otra definici´on, procedimiento o prueba
formada por un n´
umero infinito de pasos sucesivos, lo que invalidar´ıa a todas
las matem´aticas infinitistas [PI]. Por consiguiente, una vez completadas todas
las posibles definiciones del 0-intervalo Io , y por indeterminable que pueda ser
su extremo derecho, Io ser´a un cierto 0-intervalo (0, x). Y eso es todo lo que
necesitamos saber para proseguir nuestro argumento.
175 Sea c un elemento cualquiera de Io = (0, x). Obviamente c es un n´
umero
racional, pero no puede ser un elemento de la sucesi´on hqn i. En efecto, supongamos
que c es un cierto elemento qv de hqn i. Puesto que qv ∈ (0, x), esto implicar´ıa
que Dv (Io ) no se ha llevado a cabo porque Dv (Io ) habr´ıa definido a Io como
(0, qv ) y entonces ser´ıa imposible qv ∈ (0, x), porque (0, x) es un subintervalo
de (0, qv ). Pero, por otra parte, v es un n´
umero natural, y de acuerdo con 173,
las primeras v definiciones hDi (Io )ii=1,2,...v se han llevado a cabo. Esto prueba la
Discusi´
on —— 63
falsedad de nuestra hip´
otesis inicial sobre c, en consecuencia c no es un elemento de
hqn i. El problema es que, siendo Q numerable, hqn i contiene a todos los n´
umeros
racionales. Hemos de concluir, pues, que hqn i contiene y no contiene a todos los
n´
umeros racionales.
´n
Discusio
176 Los Beitr¨
age (’Contributions’)1 , de Cantor publicados en 1895 (Parte I, [36])
y 1897 (Paret II, [37]) contienen los fundamentos de la teor´ıa de los cardinales
y ordinales transfinitos. El ep´ıgrafe 6 del primer art´ıculo empieza asumiendo la
existencia del conjunto de todos los cardinales finitos como una totalidad completa
(aunque m´as que como una hip´
otesis expl´ıcita es introducida como un ejemplo de
’conjunto transfinito’ cuya existencia como una totalidad completa Cantor dio por
sentada). Esta hip´
otesis impl´ıcita (equivalente al moderno Axioma del Infinito) es
la u
´nica hip´otesis en la teor´ıa de Cantor de los n´
umeros transfinitos. A partir de
ella, Cantor dedujo la existencia de sucesiones crecientes de ordinales transfinitos
(Teoremas §15 A-K) y cardinales transfinitos (Teoremas §16 D-F). La consistencia
de la teor´ıa de Cantor descansa, pues, en la consistencia de esa u
´ nica hip´otesis
fundacional.
177 En el a˜
no 1874 Cantor demostr´
o por primera vez que el conjunto de los
n´
umeros reales no es numerable [31], [32], [43]. Dos de las tres alternativas finales
de la prueba de Cantor se pueden aplicar tambi´en al conjunto de los n´
umeros
racionales. En consecuencia, es necesario demostrar que esas alternativas nunca
son satisfechas por el conjunto de los n´
umeros raciones. En otro caso ese conjunto
ser´ıa y no ser´ıa numerable- Hasta ahora, y hasta donde yo s´e, este problema ni
siquiera ha sido planteado.
178 En el a˜
no 1891 Cantor demostr´
o por segunda vez que el conjunto de los
n´
umeros reales no es numerable, ahora con su famoso m´etodo de la diagonal, un
impecable Modus Tollens [35]. La antidiagonal de Cantor es un n´
umero real del
intervalo (0, 1), y siendo real ser´a racional o irracional. Si fuera racional tendr´ıamos
el mismo problema que con su argumento de 1874. Por tanto, se deber´ıa demostrar
formalmente que ninguna permutaci´
on de las ℵo filas de la tabla de Cantor origina
una diagonal racional (las antidiagonales racionales se deducen inmediatamente
de las diagonales racionales).
179 El referido argumento de Cantor de 1874 empieza demostrando que el conjunto de los n´
umeros algebraicos (y por tanto el conjunto des los n´
umeros racionales) es numerable. Algunos a˜
nos despu´es, en 1885, Cantor public´
o un corolario
inmediato de ese resultado: las particiones no numerables de la recta real son
imposibles, por la u
´nica raz´
on de que si fueran posibles entonces el conjunto de
los n´
umeros racionales ser´ıa no numerable [34]. Por consiguiente, y como en los
1 Traducci´
on
inglesa [39].
64 —— Intervalos racionales
argumentos de Cantor de 1874 y 1891, y por las mismas razones, deber´ıamos demostrar la imposibilidad de las particiones no contables de la recta real mediante
un argumento independiente del corolario de Cantor.
180 En conclusi´
on, y para asegurar que la teor´ıa de conjuntos est´
a libre de inconsistencias relacionadas con la cardinalidad del conjunto de los n´
umeros racionales,
los argumentos de Cantor de 1784, 1885 y 1891 deber´ıan ser completados en el
sentido indicado en 177-179.
181 Por otra parte los argumentos anteriores sobre intervalos racionales demuestran dos contradicciones relacionadas con la cardinalidad del conjunto de los
n´
umeros racionales, lo que u
´nicamente puede significar que ese conjunto es y no es
numerable. Si ese fuera el caso, y de acuerdo con 176, la supuesta existencia de los
conjuntos infinitos como totalidades completas ser´ıa inconsistente, simplemente
porque esa hip´otesis es la u
´nica hip´
otesis de la teor´ıa de los n´
umeros transfinitos.
11.-Particiones no contables
´n
Introduccio
182 El argumento de Cantor de 1874 y el argumento de la diagonal del mismo
autor demostraron que el conjunto de los n´
umeros reales no es numerable. Aunque
el argumento de la diagonal ha recibido varias cr´ıticas, creo que ambos argumentos
est´
an bien fundados y de hecho prueban que el conjunto de los n´
umeros reales no
puede ser numerable. Ambos argumentos, sin embargo, tambi´en podr´ıan aplicarse
al conjunto de los n´
umeros racionales, el primero de ellos con ciertas limitaciones.
183 Obviamente, si fuera posible aplicar alguno de esos argumentos al conjunto
Q de los n´
umeros racionales, estar´ıamos frente a una contradicci´on fundamental:
ese conjunto ser´ıa y no ser´ıa numerable. Y la causa de esta contradicci´on s´olo
podr´ıa ser la hip´
otesis del infinito actual subsumida en el Axioma del Infinito.
184 Por consiguiente, el Axioma del infinito estar´
a en cuesti´on hasta que se
pruebe la imposibilidad de satisfacer los requisitos de ambos argumentos de Cantor
para que puedan ser aplicados al conjunto de los n´
umeros racionales. Y esto es un
hecho, no una hip´
otesis m´as o menos discutible. Durante m´as de un siglo nadie
ha hecho notar que, en efecto, es necesario demostrar esa imposibilidad para
garantizar la consistencia del Axioma del Infinito. Lo que tambi´en es un hecho. Y
uno realmente chocante, teniendo en cuenta el elevado n´
umero de personas que
han estudiado ambos argumentos, particularmente el argumento de la diagonal.
185 Como veremos en este cap´ıtulo, existe un tercer argumento de Cantor [34]
relacionado con la cardinalidad del conjunto Q de los n´
umeros racionales que
tambi´en podr´ıa utilizarse para poner a prueba la consistencia de la hip´otesis de
infinito actual.
La prueba de Cantor de 1885
186 Para resumir el argumento de Cantor de 1885 sobre la existencia de particiones no contables, supongamos que la recta real se divide en una sucesi´on no
contable Pα de intervalos adyacentes:
(xa , ya ](xb , yb ](xc , yc ] . . . ,
(1)
xb = ya , xc = yb , . . .
(2)
65
66 —— Particiones no contables
Siendo cada (xα , yα ] un intervalo real, contiene infinitos n´
umeros racionales. Y
siendo:
(xp , yp ] ∩ (xu , yu ] = ∅, para todo par de intervalos de Pα
(3)
podr´ıamos seleccionar un n´
umero racional qh dentro de cada intervalo (xh , yh ] de
la partici´
on Pα y finalmente tendr´ıamos un conjunto no numerable de diferentes
n´
umeros racionales, lo cual es imposible porque el conjunto de n´
umeros racionales
es numerable.
187 Como acabamos de ver, la prueba de Cantor de 1885 se basa en un resultado
infinitista anterior, a saber, que el conjunto Q de los n´
umeros racionales es numerable, un resultado que hab´ıa sido previamente probado por el mismo Cantor [31].
Por lo tanto, la prueba de Cantor de 1885 no es una prueba independiente en el
sentido de que no demuestra la imposibilidad de definir una partici´
on no-contable
en la recta real, simplemente manifiesta que esa partici´
on entrar´ıa en conflicto con
la cardinalidad numerable de los n´
umeros racionales. Por consiguiente, si fuera
posible definir una partici´
on no-contable en la recta real estar´ıamos ante una contradicci´on fundamental que implica de nuevo la cardinalidad de Q, y por tanto la
consistencia de la hip´
otesis del infinito actual de la cual se deriva esa conclusi´
on.
188 As´ı, por tercera vez, nos enfrentamos a un hecho sorprendente: ¿c´
omo es
posible que durante m´as de un siglo nadie haya tratado de definir una partici´
on
no numerable en la recta real, o de demostrar la imposibilidad de tal partici´
on?
Como el lector podr´a imaginar, en la siguiente secci´
on trataremos de definir una
tal partici´
on.
Particiones en la recta real
189 El Conjunto Ternario de Cantor (tambi´en conocido como Polvo de Cantor)
es un objeto matem´atico bien conocido que solemos descubrir en los cursos introductorios de c´
alculo, an´alisis matem´atico o geometr´ıa fractal [128]. La definici´on
del Conjunto Ternario de Cantor es un ejemplo apropiado de procedimiento infinitista de infinitos pasos sucesivos que, adem´as, se asemeja al procedimiento H
(v´ease 193) que ser´a usado en el siguiente argumento. Como veremos, H permite definir una partici´
on en la recta real con la u
´nica ayuda de los elementos del
intervalo real (0, 1).
Figura 11.1: Los primeros cinco pasos de la sucesi´on infinita de pasos que definen el
conjunto ternario de Cantor.
190 Pero recordemos ahora como se define el Conjunto Ternario de Cantor.
Particiones en la recta real —— 67
Considere el intervalo real cerrado [0, 1]. Si eliminamos el tercio central abierto
(1/3, 2/3) de este intervalo tendremos dos intervalos cerrados:
[0, 1/3], [2/3, 1]
(4)
Si eliminamos el tercio central abierto de cada uno de estos intervalos, (1/9, 2/9)
y (7/9, 8/9), obtendremos cuatro intervalos cerrados
[0, 1/9], [2/9, 1/3], [2/3, 7/9], [8/9, 1]
(5)
Si ahora quitamos el tercio central abierto de cada uno de estos intervalos se
obtienen ocho intervalos cerrados, cuyos tercios centrales abiertos pueden de nuevo
ser eliminados, y as´ı sucesivamente. Al seguir este procedimiento ad infinitum
definiremos el Conjunto Ternario de Cantor (Figura 11.1).
191 Antes de empezar nuestra discusi´
on, parece conveniente recordar que el procedimiento anterior de infinitos pasos sucesivos es considerado como una totalidad
completa de pasos cuyo resultado final es un conjunto completamente definido: el
conjunto ternario de Cantor. Aunque este conjunto pueda definirse de otros formas no constructivas, los matem´aticos infinitistas creen que, en efecto, es posible
realizar los infinitos pasos de su construcci´
on.
192 En el siguiente argumento, y para evitar discusiones innecesarias, usaremos
la notaci´
on matem´atica est´
andar en lugar de la notaci´
on inform´atica, aunque esta
u
´ltima ser´ıa m´as simple. Consideremos dos conjuntos id´enticos A = B = (0, 1)
de n´
umeros reales, y dos conjuntos id´enticos de ´ındices I y J cuyos elementos
ser´an referidos como a, b, c, d, e,. . . y cuya cardinalidad es 2ℵo . Siendo (0, 1) e I
de la misma cardinalidad, los elementos de (0, 1) se pueden indexar como ra , rb ,
rc , rd ,. . . Consideremos tambi´en las variables reales u y v inicialmente definidas
como u = v = 0.
193 Definimos ahora el siguiente procedimiento H que consiste en repetir el
mismo paso bicondicional hasta que una de las condiciones sea satisfecha:


Si A = ∅, o I = ∅ fin del procedimiento. Si no:




Elegir como k cualquier elemento de J





I = J − {k}





J =I




Elegir como rk cualquier elemento de B





A = B − {rk }

Paso:
B=A



Si
u
+
rk no es un n´
umero real propio fin del procedimiento. Si no:





v
=
u
+
r
k




(xk , yk ] = (u, v]





Pk = {(xk , yk ]}





u=v



Siguiente paso
(6)
68 —— Particiones no contables
194 Cada paso de H consiste en eliminar un ´ındice cualquiera k de I (haciendo
uso del conjunto intermediario J) que servir´a para indexar y eliminar del conjunto
A (haciendo uso del conjunto intermediario B) uno cualquiera de sus elementos
rk , que se utilizar´a despu´es para definir un nuevo intervalo cerrado por la derecha
(xk , yk ] de n´
umeros reales cuyo extremo izquierdo xk es el valor actual de u
y cuyo extremo derecho yk es u + rk . Se define entonces el conjunto Pk , cuyo
u
´nico elemento es el intervalo reci´en definido. Finalmente u se actualiza como
u + rk para definir el extremo izquierdo del siguiente intervalo que, por lo tanto,
ser´a adyacente y disjunto con el que se acaba de definir. Puesto que la suma de
dos n´
umeros reales propios, como u y rk , es siempre un n´
umero real propio, el
procedimiento H vac´ıa completamente los conjuntos I, J, A y B.
195 Se podr´ıa argumentar que H no se puede realizar porque consiste en una infinidad no numerable de pasos. Pero de acuerdo con el Principio de Independencia
(v´ease el Cap´ıtulo 3) la consistencia de un argumento no depende del n´
umero de
pasos del argumento. Por tanto, si mediante tal infinitud de pasos demostr´
aramos
que un conjunto X es no numerable, tendr´ıamos que admitir que ese conjunto es,
en efecto, no numerable. Simplemente porque la cardinalidad de un conjunto la
define exclusivamente el n´
umero de sus elementos, un hecho que es independiente
del n´
umero de pasos que se necesiten para demostrar si esa cardinalidad es o no
es numerable. O en otras palabras, el n´
umero, como tal n´
umero, de pasos de la
demostraci´on no est´
a formalmente relacionado con la cardinalidad del conjunto.
De modo que si la demostraci´on es correcta tambi´en lo ser´a su conclusi´
on, con
independencia del n´
umero de pasos de la demostraci´on (Principio de Independencia).
196 Definimos ahora la siguiente partici´
on P en la recta real:
[
[
P =
Pα = {(xα , yα ]} =
α
α
(7)
= {(xk , yk ], (xh , yh ],(xc , yc ], (xn , yn ], . . . }
cuyos elementos son intervalos reales adyacentes y disjuntos puesto que xh = yk ,
xc = yh , xn = yc . . . . Por tanto:
(xh , yh ] ∩ (xs , ys ] = ∅, ∀h, s ∈ I; h 6= s
(xp , yp ] ∪ (xi , yi ] = (xp yi ]
(8)
(9)
siendo (xp , yp ] y (xi , yi ] adyacentes y disjuntos. De acuerdo con su definici´on, y
teniendo en cuenta que cada elemento de (0, 1) es diferente de cualquier otro, los
intervalos de la partici´
on P tambi´en satisfacen::


yh − xh = rh ∈ (0, 1)



(10)
∀{(xh , yh ], (xs , ys ]} ⊂ P ys − xs = rs ∈ (0, 1)



r 6= r
h
s
Particiones en la recta real —— 69
lo que, por otro lado, significa que cada intervalo de la partici´
on P tiene una
longitud diferente, mayor que cero.
197 Cada intervalo (xh , yh ] de P define un n´
umero real yh − xh = rh dentro
del intervalo real (0, 1), que es precisamente el n´
umero real rh usado para definir
(xh , yh ] y solo (xh , yh ], porque rh fue eliminado de A una vez definido (xh , yh ].
As´ı, es inmediato definir una biyecci´on entre P y (0, 1). En efecto, consid´erese la
correspondencia f :
f : P ↔ (0, 1)
f ((xh , yh )) = yh − xh = rh
(11)
(12)
Puesto que, de acuerdo con la definici´on 193, cada yp −xp es un elemento diferente
de (0, 1), y teniendo en cuenta (10), la correspondencia f es una funci´
on inyectiva. Tambi´en es exhaustiva, en caso contrario habr´ıamos encontrado dos n´
umeros
reales propios u y rk (v´ease la definici´on anterior del procedimiento H) cuya suma
no es un n´
umero real propio, lo que es imposible porque el cuerpo de los n´
umeros
reales es cerrado respecto a la suma. Por consiguiente f es una correspondencia
uno a uno (biyecci´on). Por lo tanto la partici´
on P y el intervalo real (0, 1) tienen
la misma cardinalidad: 2ℵo .
198 Ahora, siguiendo la sugerencia de Cantor, s´olo tendr´ıamos que elegir un
n´
umero racional qh cualquiera dentro de cada intervalo1 (xh , yh ] de la partici´
on P
y tendr´ıamos un conjunto no numerable de n´
umeros racionales{qk , qh , qc ,. . . }. En
consecuencia, y teniendo en cuenta que se ha demostrado tambi´en que el conjunto
de los n´
umeros racionales Q es numerable, tendr´ıamos una nueva contradicci´on
relacionada con la cardinalidad de Q.
199 Por tercera vez, al completar un argumento incompleto de Cantor, hemos encontrado una contradicci´on fundamental que implica a la cardinalidad del
conjunto Q de los n´
umeros racionales. Como en los casos anteriores, esta nueva
contradicci´on apunta hacia inconsistencia de la hip´otesis del infinito actual subsumida en el Axioma del Infinito. Es de hecho este axioma el que hace leg´ıtima
la existencia de los conjuntos infinitos como totalidades completas y, por tanto,
la completitud de los procedimientos de infinitos pasos, como el definido en 193,
del que deriva la contradicci´on.
200 Evidentemente, la afirmaci´
on de que en realidad es imposible completar en
t´erminos f´ısicos cualquier procedimiento infinito, como el procedimiento anterior
H, no tiene ning´
un efecto sobre el argumento, sobre todo por las dos razones
siguientes:
1.- Como la mayor´ıa de los argumentos infinitistas, el argumento 192-198
tambi´en es una discusi´
on conceptual no relacionada con el mundo f´ısico.
1 Cada
intervalo real contiene un subconjunto infinito y densamente ordenado de n´
umeros
racionales.
70 —— Particiones no contables
La consistencia formal de la hip´
otesis de infinito actual no depende de
las posibilidades reales de llevar a cabo tal o cual procedimiento, sino de
la existencia de contradicciones formalmente derivadas de esa hip´otesis.
Los resultados contradictorios en los sistemas formales dependen exclusivamente de la consistencia formal de sus supuestos fundacionales, independientemente de las posibilidades de llevar f´ısicamente a cabo los
finitos o infinitos pasos involucrados en los correspondientes argumentos
(Principio de Independencia, Cap´ıtulo 3).
2.- Las matem´aticas infinitistas dan por sentada la compleci´on de todas las
definiciones y procedimientos consistentes en una infinidad de pasos y
consideran los objetos resultantes como totalidades infinitas completas,
como en el ejemplo introductorio del conjunto ternario de Cantor. El
argumento 192-198 no puede ser una excepci´on.
12.-Una fuente irracional de n´
umeros racionales
´ meros n-expofactoriales
Nu
201 En este cap´ıtulo se introducen los n´
umeros expofactoriales y n-expofactoriales, as´ı como el m´etodo de las sucesivas expansiones decimales, con el que resulta
posible definir un n´
umero racional diferente a partir de la expansi´
on decimal infinita de cada n´
umero irracional del intervalo (0, 1). Evidentemente, esta conclusi´
on
contradice otros resultados bien conocidos sobre la cardinalidad del conjunto Q
de los n´
umeros racionales.
202 Aunque el m´etodo de las sucesivas expansiones decimales que usaremos en
la secci´
on siguiente funciona con cualquier n´
umero natural, elegiremos n´
umeros
naturales inimaginablemente grandes: los n´
umeros n-expofactoriales que definiremos inmediatamente en 205.
203 El expofactorial1 de un n´
umero natural n, escrito n! (n´otese que el s´ımbolo
factorial ’ !’ aparece como super´ındice), es el factorial n! elevado a una torre de
exponentes de orden n! del mismo exponente n!:
n!
(.n!
. .)
n!
n!
n! = n!
O en la notaci´
on de Knuth’s:
n! = n! ↑↑ n!
(1)
204 Estos n´
umeros crecen tan deprisa que mientras el expofactorial de 2 (en
!
s´ımbolos 2 ) es 16, el expofactorial de 3 (en s´ımbolos 3! ) es pr´acticamente incalculable incluso con la ayuda de los ordenadores m´as potentes. Los dos primeros
pasos en el c´
alculo de 3! ser´ıan
!
3 =6
66
66
66
646656
66
= 66
26591197721532267796824894043879...
66
= 66
donde el exponente incompleto del u
´ltimo t´ermino de la parte derecha tiene na1 La
primera vez que consider´e este tipo de n´
umeros ignoraba que ya hab´ıan sido definidos
por C. A. Pickover ([154] citado en [209]) con el nombre de superfactoriales y el s´ımbolo
n$, elQ
mismo nombre y los mismos s´ımbolos usados por Sloane y Plouffe para definir
n$ = n
e mi notaci´
on y nombre original.
k=1 k! [209]. Dicho lo cual, mantendr´
71
72 —— Una fuente irracional de n´
umeros racionales
da menos que 36306 cifras (unas diez p´
aginas de texto est´
andar como este). Y
a´
un quedan cuatro pasos para terminar el c´
alculo. En efecto, el expofactorial de
cualquier n´
umero natural mayor que 2 es tan inmenso que posiblemente nunca
ser´a calculado con exactitud (no se trata de una anodina potencia de diez sino de
una precisa sucesi´on de cifras diferentes).
205 Los expofactoriales son insignificantes comparados con los n-expofactoriales,
recursivamente definidos a partir de los expofactoriales de la siguiente forma: el
2-expofactorial de un n´
umero natural n, escrito n ! 2 , es el expofactorial n! elevado
a una torre de potencias de orden n! del mismo exponente n! ; el 3-expofactorial
de n, escrito n ! 3 , es el 2-expofactorial de n elevado a una torre de potencias de
orden n ! 2 del mismo exponente n ! 2 ; el 4-expofactorial de n, escrito n ! 4 , es el
3-expofactorial de n elevado a una torre de potencias de orden n ! 3 del mismo
exponente n ! 3 ; y as´ı sucesivamente:
n!
!
(.n. .)
n! 2
!2
(n. . .)
n!
n
!2
=n
!
n! 3
!3
(n. . .)
n! 2
n
!3
=n
n! 3
!2
n
!4
=n
!3
...
O en la notaci´
on de Knuth’s:
n!2 = n! ↑↑ n!
(2)
!3
!2
!2
(3)
!4
!3
!3
(4)
!5
!4
!4
(5)
n = n ↑↑ n
n = n ↑↑ n
n = n ↑↑ n
...
La enormidad de, por ejemplo, 9 ! 9 (9-expofactorial de 9) queda muy lejos del
alcance de la imaginaci´
on humana. Tres s´ımbolos de la aritm´etica est´
andar, 9 ! 9 , es
todo lo que necesitamos para definir un n´
umero finito tan inmenso que la expresi´on
escrita de su secuencia precisa de cifras requerir´ıa un volumen de papel trillones
y trillones de veces mayor que el volumen de todo el universo visible. Usando
el sistema de numeraci´
on hexadecimal, el n´
umero F ! F ser´ıa inconcebiblemente
mayor.
206 En la discusi´
on que sigue se har´
a uso del 9-expofactorial de 9. Por sencillez,
lo denotaremos con la letra ’h’ (por ’huge’ inmenso en ingl´es). Por tanto, en lo
que sigue h estar´
a representando a 9 ! 9 .
´ meros racionales
Una fuente irracional de nu
207 Los n´
umeros reales del intervalo (0, 1) con una expansi´
on decimal infinita
se definen aritm´eticamente como:
r = 0.d1 d2 d3 . . .
(6)
Una fuente irracional de n´
umeros racionales —— 73
= d1 × 10−1 + d2 × 10−2 + d3 × 10−3 + . . .
(7)
donde la sucesi´on de d´ıgitos decimales d1 d2 d3 . . . es ω−ordenada, como el conjunto
N de los n´
umeros naturales en su orden natural de precedencia 1, 2, 3, . . .
208 De acuerdo con la hip´
otesis del infinito actual, subsumida en el Axioma del
Infinito, la expresi´on decimal infinita 0.d1 d2 d3 . . . de cualquier n´
umero real en el
intervalo (0, 1) existe como una totalidad completa y ω−ordenada: tiene siempre
una primera cifra decimal (decimal de ahora en adelante), d1 , y cada decimal dn
(excepto d1 ) tiene un predecesor inmediato dn−1 y un sucesor inmediato dn+1 , de
modo que no existe un u
´ltimo decimal, y donde predecesor (sucesor) inmediato
significa que entre dos decimales sucesivos cualesquiera no existe ning´
un otro
decimal. Puesto que el argumento que sigue solo trata con infinitos ω−ordenados,
a partir de ahora nos referiremos a ellos simplemente como infinitos.
209 Un punto destacable es que ω, el ordinal de las sucesiones ω-ordenadas, es
el menor de los ordinales infinitos. Por tanto, si r y s son dos n´
umeros reales
del intervalo (0, 1) que coinciden en sus primeras ω sucesivas cifras decimales,
entonces ambos n´
umeros son id´enticos. Por el contrario, y teniendo en cuenta
que entre cualquier ordinal finito y ω solo existen otros ordinales finitos, si r y s
son diferentes entonces solo pueden coincidir en un n´
umero finito de sus primeras
cifras decimales sucesivas.
210 Sea N el conjunto de los n´
umeros naturales, h el 9-expofactorial de 9 (en
s´ımbolos 9 ! 9 ), y mα un elemento cualquiera del conjunto MI de los n´
umeros
irracionales del intervalo (0, 1). La expansi´
on decimal de mα :
mα = 0.d1 d2 d3 . . .
define la siguiente sucesi´on ω-ordenada hqα,nh i de n´
umeros racionales:
qα,h = 0.d1 d2 . . . dh
(8)
(9)
qα,2h = 0.d1 d2 . . . dh dh+1 . . . d2h
(10)
qα,3h = 0.d1 d2 . . . dh dh+1 . . . d2h d2h+1 . . . d3h
...
qα,nh = 0.d1 d2 . . . dh dh+1 . . . d2h d2h+1 . . . d3h d3h+1 . . . dnh
(11)
(12)
...
siendo qα,nh (para todo n en N) el n´
umero racional del intervalo (0, 1) cuya expansi´on decimal finita 0.d1 d2 . . . dnh coincide con las nh primeras cifras decimales
de mα . Por esta raz´
on, mα ser´a considerado como la fuente de la sucesi´on hqα,nh i,
y α aparecer´
a en los sub´ındices de todos los qα,nh . El racional qα,(n+1)h es la la
h-expansi´on de qα,nh porque qα,nh se ampl´ıa con los siguientes h cifras sucesivas (empezando por dnh+1 ) de la fuente mα para definir qα,(n+1)h . No olvide la
grandeza inimaginable de h = 9 ! 9 .
211 Desde la perspectiva del infinito actual, el resultado de definir los infinitos
74 —— Una fuente irracional de n´
umeros racionales
n´
umeros naturales mediante sucesivas adiciones de una unidad al primer n´
umero
natural 1 un n´
umero infinito de veces (1+1, 2+1, 3+1, . . . ), define una infinidad
de n´
umeros finitos cada vez mayores, pero sin llegar a un n´
umero infinito.2 O
dicho con otras palabras, de acuerdo con la ortodoxia infinitista, la adici´
on a una
unidad inicial de un n´
umero infinito de unidades sucesivas no origina un n´
umero
de tama˜
no infinito sino infinitos n´
umeros finitos, cada uno una unidad mayor que
su predecesor inmediato. Lo mismo ocurrir´ıa si en lugar de una unidad a˜
nadimos
cualquier n´
umero finito de unidades.
212 En consecuencia, y siendo h un n´
umero natural, el resultado de a˜
nadir h
nuevas cifras decimales un n´
umero infinito de veces sucesivas a qα,h , origina una
infinidad de expansiones decimales finitas (n´
umeros racionales), explosivamente
crecientes pero siempre finitas (nh para todo n ∈ N), sin llega a originar una
expansi´
on decimal infinita.
213 Esta hip´otesis infinitista ser´a esencial para el argumento que sigue puesto
que legitimiza la existencia real de todos y cada uno de los infinitos n´
umeros racionales en hqα,nh i todos ellos con un n´
umero finito de decimales, nh por cada n
en N. De la misma manera que el conjunto N de los n´
umeros naturales contienen
infinitos n´
umeros finitos, cada uno de ellos una unidad mayor que su inmediato
predecesor, hqα,nh i contiene infinitos n´
umeros racionales con una expansi´
on decimal finita (nh para cada n´
umero natural n), cada uno con h decimales m´as que
su inmediato predecesor. Pura ortodoxia infinitista.
214 Sea P el conjunto de todos los pares (mα , qα,h ) cuyo primer elemento es un
n´
umero irracional diferente mα dentro del conjunto MI de todos los irracionales
del intervalo (0, 1), y cuyo segundo componente es el n´
umero racional qα,h del
intervalo (0, 1) formado por las primeras h cifras sucesivas d1 , d2 , . . . dh de mα :

mα = 0.d1 d2 . . . dh dh+1 · · · ∈ MI
(mα , qα,h ) ∈ P ⇔
(13)
q
α,h = 0.d1 d2 . . . dh
Aunque el primer elemento mα de cada par es un n´
umero irracional diferente, el
segundo qα,h estar´
a repetido un cierto n´
umero de veces en los pares del conjunto
P.
215 Obs´ervese que si no hay n´
umeros irracionales en (0, 1) con las mismas primeras h cifras decimales, entonces el segundo elemento de cada par de P ser´ıa un
n´
umero racional diferente. En estas condiciones ser´ıa innecesaria la discusi´
on que
sigue: habr´ıa tantos racionales como irracionales dentro de (0, 1)
216 Sea ahora qα,h uno cualquiera de los n´
umeros racionales repetidos en P , y sea
2 La
misma conclusi´
on se deriva de la definici´
on recursiva formal de los n´
umeros naturales
en la teor´ıa de conjuntos.
Una fuente irracional de n´
umeros racionales —— 75
Pα el subconjunto de P de todos los pares (mϕ , qϕ,h ) cuyo segundo componente
racional qϕ,h coincide con qα,h :
Pα = {(mϕ , qϕ,h ) |(mϕ , qϕ,h ) ∈ P ∧ qϕ,h = qα,h }
(14)
Por sencillez, los racionales repetidos en Pα ser´an llamados Pα -repeticiones de
ahora en adelante.
217 Por definici´on, los n´
umeros irracionales de las parejas de Pα son todos los
irracionales del intervalo (0, 1) que tienen las mismas h primeras cifras decimales.
Obviamente, algunos de estos n´
umeros tambi´en tendr´an las mismas 2h primeras
cifras decimales, y otros no.3 De los primeros, algunos tendr´an los mismos 3h
primeros decimales, y otros no. Y as´ı sucesivamente.
218 De acuerdo con 217, si reemplazamos cada racional repetido en Pα , por
su h-expansi´on, el n´
umero de los racionales repetidos disminuir´ıa. Y si sustituimos los racionales repetidos que queden por su correspondientes h-expansiones, el
n´
umero Pα -repeticiones disminuir´ıa de nuevo. Y as´ı sucesivamente. El problema
es que despu´es de cada sustituci´
on tendr´ıamos un nuevo conjunto Pα′ , Pα′′ , . . . y no
podr´ıamos demostrar si los racionales repetidos desaparecen o no. Para evitar este
problema tendremos que redefinir el conjunto Pα despu´es de cada sustituci´on.
219 Cada par (mϕ , qϕ,h ) define una sucesi´on hqϕ,nh i de n´
umeros racionales similar a la sucesi´on hqα,nh i definida en 210, solo que ahora la fuente de la sucesi´on
es el n´
umero irracional mϕ en lugar de mα . Haremos uso de esas sucesiones para
realizar sucesivas h-sustituciones de los racionales repetidos en Pα . La supuesta
existencia en el acto, y como una totalidad completa, de todas las infinitas cifras
decimales de los n´
umeros irracionales del intervalo (0, 1), legitima las definiciones
de los conjuntos P , Pα y de las sucesiones hqϕ,nh i, todas ellas como totalidades
completas.
220 Sea A cualquier conjunto de pares de n´
umeros (a, b) cuyo primer componente
a es un n´
umero irracional del intervalo real (0, 1) y cuyo segundo componente b es
un n´
umero racional del mismo intervalo real (0, 1). Definamos los dos siguientes
operadores de conjuntos:
1) D(A) = Conjunto de todos los pares de A cuyos componentes racionales
son diferentes, no repetidos.
2) R(A) = Conjunto de todos los pares de A cuyos componentes racionales
est´
an repetidos.
Evidentemente:
A = D(A) ∪ R(A)
3 C´
ambiese,
(15)
por ejemplo, cualquier decimal d(h+i)0<i≤h en cualquier n´
umero irracional
en (0, 1) y obtendr´
a un irracional con los mismos h primeros decimales pero no con los
mismos 2h primeros decimales.
76 —— Una fuente irracional de n´
umeros racionales
D(A) ∩ R(A) = ∅.
(16)
221 Consideremos ahora la siguiente sucesi´on de redefiniciones del conjunto Pα :


If R(Pα ) = ∅ Then End. Else:





 Pαd = D(Pα )
(17)
n = 1, 2, 3, . . .

r

P
=
{(m
,
q
)
|
(m
,
q
)
∈
R(P
)}
ϕ
ϕ
ϕ,nh
α
ϕ,(n+1)h

α




Pα = Pαd ∪ Pαr
En cada redefinici´on (17) del conjunto Pα sus racionales repetidos son sustituidos
por sus correspondientes h-expansiones. Por esta raz´
on las definiciones (17) se
llamar´
an h-sustituciones. De acuerdo con 217, el n´
umero de racionales repetidos
en Pα disminuye en cada h-sustituci´on.
222 En la siguiente discusi´
on trataremos de demostrar que, mediante sucesivas
h-sustituciones, es posible reemplazar cada racional repetido en Pα por un racional
diferente del intervalo (0, 1).
223 Supongamos que mientras R(Pα ) 6= ∅ y Pα pueda ser h-sustituido, es hsustituido de acuerdo con 17. Una vez que se hayan realizado todas las h-sustituciones posibles, tendremos dos alternativas mutuamente excluyentes relacionadas
con R(Pα ) (el subconjunto de Pα de todos sus pares con racionales repetidos):
1) R(Pα ) no est´
a vac´ıo.
2) R(Pα ) est´
a vac´ıo.
Consideremos la primera alternativa: R(Pα ) no est´
a vac´ıo. Sabemos que para
cada elemento (mλ , qλ,vh ) de R(Pα ) existe una sucesi´on ω−ordenada hqλ,nh i de
racionales con una expansi´
on decimal finita. Por lo que cada (mλ , qλ,vh ) de R(Pα )
pueden sustituirse con (mλ , qλ(v+1)h ). En consecuencia una nueva h-sustituci´on
de Pα es posible, lo que contradice el hecho de que, siendo R(Pα ) 6= ∅, se han
realizado todas las h-sustituciones posibles. Por lo tanto, y por Modus Tollens, la
primera alternativa es falsa, y entonces una vez realizadas todas posibles h-sustituciones de Pα , el conjunto R(Pα ) estar´
a vac´ıo.
Comentario 223-1.- N´
otese que el argumento 223 no es un razonamiento constructivo basado en las h-sustituciones sucesivamente realizadas. Se trata de un
sencillo Modus Tollens: una vez ejecutadas todas las posibles h-sustituciones, la
hip´otesis de que R(Pα ) no est´
a vac´ıo conduce a la contradictoria conclusi´
on de
que no se realizaron todas las posibles h-sustituciones. Esa hip´otesis debe ser, por
tanto, falsa
Comentario 223-2.- El argumento 223 saca ventaja del hecho de que, de acuerdo con la hip´otesis del infinito actual, las sucesiones ω−ordenadas existen como
totalidades completas en las que cada elemento tiene un n´
umero infinito de sucesores (Figura 12.1). Es, en efecto, esta hip´otesis la que permite asegurar que
mientras haya Pα -repeticiones en Pα , es decir mientras R(Pα ) 6= ∅, los n´
ume-
Una fuente irracional de n´
umeros racionales —— 77
¿Quedan
números repetidos
en Pa ?
Nueva h-sustitución
No
STOP
Sí
Sí
¿Es posible
una nueva h-sustitución?
No
El racional qj,nh no
puede ser h-expandido
Falso
Figura 12.1: Las consecuencias de ser una sucesi´on completa sin un u´ltimo elemento
que complete la sucesi´
on.
ros repetidos pueden seguir siendo sustituidos por sus sucesivas h-expansiones
mediante sucesivas h-sustituciones de Pα . Y que la sucesi´on de h-sustituciones
puede ser realmente completada gracias a la completitud de cada sucesi´on infinita
hqϕ,nh i. En consecuencia, solo cuando Pα no contenga n´
umeros repetidos, es decir
cuando R(Pα ) = ∅, podr´a afirmarse que todos las posibles h-sustituciones han
sido realizadas (so pena de contradicci´on).
Comentario 223-3.- Por el contrario, desde la perspectiva del infinito potencial
las totalidades infinitas completas sin un u
´ltimo elemento que las complete no
tienen sentido. Desde esta perspectiva, pues, no estamos legitimados a considerar
la compleci´on de la sucesi´on de h-sustituciones cuando esa sucesi´on es potencialmente infinita.
224 Una vez eliminadas todas las Pα -repeticiones, los n´
umeros resultantes solo
pueden ser racionales con un n´
umero finito de cifras decimales, puesto que todos
los elementos de todas las sucesiones hqϕ,nh i son n´
umeros racionales con una
expansi´
on decimal finita.
225 De acuerdo con la definici´on 216 de Pα , los n´
umeros racionales resultantes
de la eliminaci´on de todas las Pα -repeticiones no pueden estar repetidos en el
conjunto P − Pα porque todos los n´
umeros racionales de este conjunto difieren de
los racionales de Pα en al menos una de sus primeras h cifras decimales.
226 El argumento anterior 216/225 puede ser aplicado a cualquier n´
umero racional repetido en el conjunto P de los pares (mα , qα,nh ). Por tanto, todos los
racionales repetidos pueden ser sustituidos por un n´
umero racional diferente derivado de la expansi´
on decimal del primer componente irracional de cada par. En
estas condiciones cada par del conjunto P estar´
a formado por un numero irracional mα diferente y por un n´
umero racional qα diferente. La biyecci´on f definida
por:
f (mα ) = qα
(18)
78 —— Una fuente irracional de n´
umeros racionales
estar´ıa probando que el conjunto de los racionales y el de los irracionales en (0, 1)
tienen ambos la misma cardinalidad.
´n
Discusio
227 La hip´otesis del infinito actual subsumida por el Axioma del Infinito legitima
la siguientes razones que fundamentan el argumento 214/226:
227-1 Las infinitas cifras decimales de cualquier n´
umero irracional del intervalo (0, 1) existen todas en el acto, como una totalidad completa.
227-2 Las expansiones decimales infinitas de los n´
umeros irracionales del
intervalo (0, 1) son ω−ordenadas, siendo ω el menor ordinal infinito.
227-3 Dos n´
umeros irracionales diferentes del intervalo (0, 1) solo pueden
coincidir en un n´
umero finito de sus primeras cifras decimales sucesivas.
227-4 Las infinitas h-expansiones hqϕ,nh i definidas a partir de la expansi´
on
decimal de cualquier irracional mϕ del intervalo real (0, 1) existen todas en
el acto, como una totalidad completa.
227-5 Cada una de las infinitas h-expansiones de hqϕ,nh i es un n´
umero
racional con un n´
umero finito de cifras decimales: nh para cada n en N.
227-6 De acuerdo con 227-4 y 227-5, los racionales repetidos en Pα pueden
ser sucesivamente sustituidos por sus correspondientes sucesivas h-expansiones
racionales cualquier n´
umero finito o infinito de veces.
227-7 En estas condiciones, y por Modus Tollens 223, todas la repeticiones
de racionales en los pares de Pα , y por tanto de P , pueden ser eliminadas,
quedando cada par formado por un n´
umero irracional diferente y por un
n´
umero racional diferente derivado de su pareja irracional.
227-8 En consecuencia, cada n´
umero irracional del intervalo (0, 1) define
un n´
umero racional diferente en el mismo intervalo.
228 La conclusi´
on 227-8 contradice otros resultados bien conocidos sobre la
cardinalidad del conjunto Q de los n´
umeros racionales.
229 Definir n´
umeros racionales, y sucesiones ω−ordenadas de n´
umeros racionales, a partir de la expansi´
on decimal de los n´
umeros irracionales conduce a otras
contradicciones de las que no nos ocuparemos aqu´ı.
Ep´ılogo
230 Como ya se ha indicado repetidas veces, desde la perspectiva del infinito
actual las infinitas cifras decimales de un n´
umero real con una expansi´
on decimal
infinita existen como una totalidad ω−ordenada y completa. Por tanto, considerar
que un n´
umero real existe con la totalidad completa de sus infinitos decimales
significa considerar que ese n´
umero es una entidad independiente de la mente
Ep´ılogo —— 79
humana, o un supuesto inverificable, pues la mente humana no puede abarcar
totalidades infinitas completas (ni siquiera podemos imaginar n´
umeros como 9 ! 9 ,
que son min´
usculos comparados con la infinitud actual de, por ejemplo, ℵo ). Desde
el punto de vista infinitista, todos los n´
umeros reales ser´ıan entidades (plat´onicas)
independientes de la mente humana.
231 Desde la perspectiva finitista del infinito potencial, sin embargo, un n´
umero
irracional no es una entidad independiente de la mente humana formado por
una sucesi´on completa y ω−ordenada de cifras que existen todas a la vez y por
ellas mismas. Desde esa perspectiva, los n´
umeros irracionales resultan de procesos
interminables de c´
alculo que no se pueden sustituir por una divisi´
on de n´
umeros
enteros, aunque en cada etapa del c´
alculo el n´
umero coincide con un n´
umero
racional de finitas cifras. En este sentido los n´
umeros irracionales son tambi´en
definibles como sucesiones (potencialmente infinitas) de n´
umeros racionales.
232 En el caso de los n´
umeros racionales los procesos de c´
alculo pueden ser
reemplazados por una divisi´
on, no necesariamente interminable, de n´
umeros enteros. A su vez, los n´
umeros enteros resultar´ıan del proceso interminable de contar.
Naturalmente la existencia de procesos interminables no significa necesariamente la existencia terminada de sus correspondientes resultados como totalidades
completas, tal como asumen las posiciones infinitistas.
233 Tendremos que decidir cu´al de las dos alternativas es la m´as apropiada para
fundamentar una teor´ıa formal de los n´
umeros. Y la elecci´on no es precisamente
irrelevante: necesitamos las matem´aticas para explicar la naturaleza. Pi´ensese, por
ejemplo, en los problemas que el infinito actual plantea en ciertas ´areas de la f´ısica,
como la electrodin´
amica cu´antica (renormalizaci´on) o la gravedad cu´antica [189].
O el supuesto orden denso del continuum espaciotiempo4 frente a la naturaleza
discontinua de la materia ordinaria, la energ´ıa o la carga el´ectrica.
4 Basado
en la supuesta cardinalidad no numerable 2ℵo de los n´
umeros reales.
80 —— Una fuente irracional de n´
umeros racionales
13.-Inconsistencia de los conjuntos anidados
´ n vac´ıa
Teorema de la interseccio
234 Sea A = {a1 , a2 , a3 . . . } un conjunto ω−ordenado cualquiera y consid´erese
la siguiente definici´on recursiva:
(
A1 = A − {a1 }
(1)
Ai = Ai−1 − {ai }; i = 2, 3, 4, . . .
que origina la sucesi´on ω−ordenada de conjuntos anidados:
S = hAn i; A1 ⊃ A2 ⊃ A3 ⊃ . . .
(2)
siendo cada conjunto numerable An = {an+1 , an+2 , an+3 , . . . } un subconjunto
propio de todos sus predecesores y un superconjunto de todos sus sucesores.
A1
235 El siguiente teorema es una versi´
on numerable
A2
del llamado Teorema de los Conjuntos Anidados.1
A3
...
Teorema de la intersecci´
on vac´ıa.-La
sucesi´on S de conjuntos hAn i definida en
234 satisface:
\
Ai = ∅
(3)
Figura 13.1: Diagrama de
La prueba es inmediata: si alg´
un elemento ak perteneciera a la intersecci´on entonces la definici´on (1) solo
habr´ıa definido un n´
umero finito (igual o menor que k)
de conjuntos, puesto que ak no pertenece a Ak , Ak+1 ,
Ak+2 , . . . .
Ven del TIV: Todos los conjuntos est´
an anidados y cada
uno de ellos ocupa un ´
area
conc´
entrica mayor que cero
porque todos ellos son numerables. Sin embargo, la zona
conc´
entrica com´
un es nula.
i
?
236 El teorema de la intersecci´on vac´ıa (TIV para abreviar) es un resultado
trivial de las matem´aticas infinitistas. Hasta donde yo s´e, nunca ha sido utilizado en discusiones formales sobre la naturaleza del infinito. El teorema afirma
1 La
versi´
on original, tambi´en llamada Teorema de la Intersecci´
on de Cantor, trata con
conjuntos compactos y la conclusi´
on es la contraria, es decir que la intersecci´
on es no
vac´ıa.
81
82 —— Inconsistencia de los conjuntos anidados
simplemente que los conjuntos hAn i no tiene ning´
un elemento com´
un. Las consecuencias del hecho de que cada Ai sea un subconjunto propio numerable de todos
sus predecesores nunca han sido examinadas. En la siguiente discusi´
on tendremos
la oportunidad de examinar algunas de esas implicaciones.
t1
ta
À0 bolas
BX
b1
À0 bolas
BX
t2
b2
À0 bolas
BX
t3
b3
À0 bolas
BX
...
Figura 13.2: Retirando una a una las bolas de una caja que contiene ℵo bolas.
237 Antes de comenzar nuestra discusi´
on, examinemos una versi´
on f´ısica elemental del TIV. Sea BX un caja que contiene una colecci´
on numerable de bolas
etiquetadas como b1 , b2 , b3 , . . . y sea htn i una sucesi´on ω−ordenada de instantes dentro del intervalo real (ta , tb ) cuyo l´ımite es precisamente tb . Consideremos
ahora la siguiente supertarea: en cada instante ti se retira de la caja la bola bi , y
solo ella. La correspondencia uno a uno f entre htn i y hbn i definida por f (ti ) = bi
demuestra que en tb se habr´
an retirado todas las bolas de la caja BX.
238 De acuerdo con la forma de retirar las bolas, de una en una y de modo
que entre la retirada de una bola bn y la retirada de la siguiente bn+1 siempre
transcurre un intervalo de tiempo tn+1 − tn mayor que cero, se podr´ıa esperar
que justo antes de completar la retirada de todas las bolas de la caja, la caja
contendr´a . . . 5, 4, 3, 2, 1 bolas. Nada m´as lejos de la (infinitista) verdad: antes
de estar vac´ıa, la caja nunca contendr´a un n´
umero finito n de bolas, cualquiera
que sea n, simplemente porque esas bolas ser´ıan las imposibles u
´ltimas n bolas
de una colecci´
on ω−ordenada de bolas etiquetadas; y los sucesivos instantes en
los que las sucesivas bolas fueran sucesivamente retiradas, ser´ıan los imposibles
u
´ltimos n instantes de una sucesi´on ω−ordenada de instantes.
239 Sea f (t) el n´
umero de bolas dentro de la caja en cualquier instante t del
intervalo [ta , tb ], es decir, el n´
umero de bolas que quedan por retirar en el preciso
instante t. Como consecuencia del ω−orden, tendremos la inevitable dicotom´ıa
siguiente:
(
ℵo , ∀t ∈ [ta , tb )
(4)
f (t) =
0 si t = tb
En otro caso, si para alg´
un t en [ta , tb ) tuvi´eramos f (t) = n, siendo n un n´
umero
natural cualquiera, entonces existir´ıan los imposible n u
´ltimos t´erminos de una
sucesi´on ω−ordenada.
Teorema de la intersecci´
on vac´ıa —— 83
! t " [ta, tb):
En el instante t b :
Ào bolas
0 bolas
BX
BX
Figura 13.3: La dicotom´ıa Alef-cero o cero.
240 Teniendo en cuenta la correspondencia uno a uno f (ti ) = bi , todas las bolas
hbn i se retiran una a una de la caja BX, una despu´es de la otra y de tal forma
que un intervalo de tiempo ∆i t = ti+1 − ti mayor que cero siempre transcurre
entre la extracci´
on de dos bolas sucesivas bi , bi+1 , ∀i ∈ N. Pero de acuerdo con la
dicotom´ıa anterior (4), esto es imposible porque el n´
umero de bolas que quedan
por retirar de la caja tiene que cambiar directamente 2 de ℵo a 0, y esto s´olo es
posible si se retiran simult´
aneamente ℵo bolas.
241 Evidentemente, la caja BX desempe˜
na el papel del conjunto A y las sucesivas eliminaciones de las bolas representan las sucesivas etapas de la definici´on
recursiva (1). Puesto que los sucesivos elementos a1 , a2 , a3 , . . . de A se retiran
sucesivamente a fin de definir los sucesivos t´erminos A1 , A2 , A3 , . . . de la sucesi´on
S, podr´ıamos escribir:
A
/i= {a
/1 , a
/2 , . . . a
/i , ai+1 , ai+2 , . . . }
(5)
donde a
/1 , a
/2 , . . . a
/i simplemente indican los sucesivos elementos a1 , a2 , . . . ai de A
que se han ido utilizando para definir los sucesivos miembros A2 , A3 , . . . Ai de la
sucesi´on S.
242 Como en el caso de la caja BX, y por las mismas razones, si centramos
nuestra atenci´
on en el n´
umero de elementos que permanecen sin marcar en (5) a
medida que progresa la definici´on recursiva (1), entonces es inmediato llegar a la
conclusi´
on de que ese n´
umero s´olo puede tomar dos valores: ℵo y 0.
243 La dicotom´ıa ℵo ´
o 0 implica que el n´
umero de elementos no marcados en (5)
cambia directamente de ℵo a 0, y eso solo es posible si se marcan simult´
aneamente
ℵo elementos, i.e. definiendo de forma simult´
anea ℵo conjuntos de la sucesi´on S,
lo que evidentemente es incompatible con la recursividad de esa definici´on, de la
misma manera que retirar simult´
aneamente ℵo bolas de la caja es incompatible
con la sucesividad de las extracciones.
2 Sin
estados intermedios finitos en los que s´
olo quede un n´
umero finito de bolas por
retirar.
84 —— Inconsistencia de los conjuntos anidados
244 Existe, sin embargo, una diferencia significativa entre la extracci´on de las
bolas de BX y la definici´on recursiva (1): mientras que la caja BX es siempre la
misma caja BX a medida que las bolas se retiran de ella sucesivamente (lo que
pone en evidencia la falacia de la extracci´
on), el conjunto A origina una sucesi´on
de conjuntos: a partir de A1 , cada conjunto Ai origina un nuevo conjunto Ai+1
cuando el elemento ai+1 se retira de ´el para definir el t´ermino siguiente de la
sucesi´on. As´ı, el conjunto A se disuelve en una sucesi´on infinita y completa de
conjuntos en la que no existe un u
´ltimo conjunto que complete la sucesi´on, lo que
esconde la falacia de que se pueden eliminar uno a uno todos los elementos de una
colecci´
on sin que nunca queden . . . 3, 2, 1 elementos por retirar.
245 Ante la evidencia del hecho de que retirando una a una las bolas de una
caja que contienen un n´
umero finito o infinito de bolas, inevitablemente se ha de
obtener una caja que contiene sucesivamente . . . , 5, 4, 3, 2, 1, 0 bolas, algunos
infinitists dicen que mientras que se pueden agregar una a una infinitas bolas a
una caja inicialmente vac´ıa, no se pueden retirar una a una esas mismas bolas de
la caja, simplemente porque la sustracci´
on de cardinales transfinitos no siempre
est´
a definida.3
246 Es evidente, sin embargo, que aqu´ı no estamos restando cardinales, no
estamos realizando operaciones aritm´eticas sino retirando las bolas de una caja.
¿Qu´e pensar de una teor´ıa formal que proh´ıbe retirar bolas de una caja porque
con ello la teor´ıa queda en entredicho? Es dif´ıcil creer que los mismos te´oricos que
permite eliminar cualquier elemento de cualquier conjunto proh´ıban argumentar
sobre la extracci´
on de bolas de una caja que contiene una colecci´
on de bolas
etiquetadas.
Inconsistencia de los conjuntos anidados
247 La discusi´
on anterior sobre el TIV sugiere que este teorema no es tan trivial
como parece. De hecho, motiva la breve discusi´
on que sigue, cuyo principal objetivo es poner en tela de juicio la consistencia formal de la la hip´otesis del infinito
actual.
248 En este punto, parece conveniente recordar que Cantor dio por sentada la
existencia del conjunto de todos los cardinales finitos (n´
umeros naturales) como
una totalidad infinita completa (Axioma del Infinito en t´erminos modernos), y
que de esa suposici´on inicial deriv´o correctamente la sucesi´on infinita de n´
umeros
ordinales transfinitos de la segunda clase, siendo ω el menor de todos ellos [39,
Theorem 15-K]. Por lo tanto cualquier resultado que afecte a la consistencia formal
de ω afectar´a a toda la sucesi´on de ordinales transfinitos, as´ı como a la consistencia
formal de la hip´
otesis de infinito actual subsumida en el Axioma del Infinito.
3 No
lo est´
a porque conduce a contradicciones.
Inconsistencia de los conjuntos anidados —— 85
249 Empecemos asumiendo el Axioma del Infinito y, por tanto, la existencia
de conjuntos de ω−ordenados y de sucesiones ω−ordenadas como totalidades
infinitas completas.
250 Consid´erese de nuevo la sucesi´on anterior de conjuntos S = A1 , A2 , A3 ,. . . Partiendo
de S definiremos la sucesi´on de conjuntos S ∗ mediante:
 i=n
\



Ai 6= ∅ entonces a˜
nadir An a S ∗
Si


 i=1
(6)
n = 1, 2, 3, . . .

i=n

\



Ai = ∅ entonces terminar definici´on
Si
i=1
251 Como en anteriores argumentos en este libro, se podr´ıa demostrar f´acilmente
por inducci´on o por Modus Tollens, que para cualquier n´
umero natural v es posible
llevar a cabo las primeras v definiciones sucesivas (6). La prueba inductiva es como
sigue. Es claro que la primera definici´on (6) S ∗ = A1 se puede realizar. Sup´ongase
que, siendo n cualquier n´
umero natural, las primeras n definiciones sucesivas (6)
se pueden realizar, de modo que S ∗ es definida como la sucesi´on A1 , A1 ,. . . Ak≤n .
puesto que An+1 es un conjunto bien definido, la sucesi´on:
A1 , A2 , . . . An , An+1
(7)
es una sucesi´on bien definida de conjuntos, y por tanto la intersecci´on:
A1 ∩ A2 ∩ · · · ∩ An ∩ An+1
(8)
es un conjunto bien definido, que es todo lo que necesitamos para llevar a cabo la
(n+1)-´esima definici´on. En consecuencia, las primeras (n+1) definiciones sucesivas
(6) se pueden realizar. Hemos probado entonces que la primera definici´on (6) se
puede realizar, y que si para cualquier n´
umero natural n las primeras n definiciones
sucesivas (6) se pueden realizar, entonces las primeras (n+1) definiciones sucesivas
(6) tambi´en se pueden realizar. Lo que prueba que para cualquier n´
umero natural
v las primeras v definiciones sucesivas (6) se pueden realizar.
252 Supongamos que mientras las sucesivas definiciones (6) pueden llevarse a
cabo, se llevan a cabo. Una vez que todas las posibles definiciones (6) se han
llevado a cabo, la sucesi´on S ∗ estar´
a formada por un n´
umero determinado (finito o
infinito) de conjuntos que, por definici´on, tienen una intersecci´on no vac´ıa. Sea, por
lo tanto, av cualquier elemento de esa intersecci´on. Evidentemente, tendremos:
av ∈
/ Av
Y por tanto Av no es un miembro de la sucesi´on S ∗ .
253 Es inmediato demostrar, sin embargo, que Av s´ı es un miembro de S ∗ :
1) El sub´ındice v en Av es un n´
umero natural.
2) De acuerdo con 251, son posibles las primeras v definiciones
(9)
86 —— Inconsistencia de los conjuntos anidados
3) Todas las posibles definiciones (6) se han llevado a cabo.
4) Las primeras v definiciones se han llevado a cabo.
5) La v-´esima definici´on (6) a˜
nade Av a S ∗ porque:
A1 ∩ A2 ∩ · · · ∩ Av = Av 6= ∅
(10)
6) En consecuencia Av es un miembro de S ∗ .
254 Hemos deducido, por lo tanto, una contradicci´on de nuestra hip´otesis inicial:
el conjunto Av est´
a y no est´
a en la sucesi´on de S ∗ .
255 La alternativa a la contradicci´on anterior es otra contradicci´on a´
un m´as
elemental: despu´es de haber realizado todas las posibles definiciones (6), no se
han realizado todas las posibles definiciones (6).
256 Tambi´en se podr´ıa argumentar que S ∗ es definida un n´
umero infinito de
veces y que aunque todas y cada una de las definiciones (6) definen a S ∗ como una
sucesi´on de conjuntos cuya intersecci´on es no vac´ıa, la compleci´on de la sucesi´on
de definiciones (6) convierte a S ∗ en una sucesi´on de conjuntos cuya intersecci´on
es vac´ıa. Como si la compleci´on de una sucesi´on ω−ordenada de definiciones,
como tal compleci´on, tuviera consecuencias arbitrarias adicionales sobre el objeto
definido. Las mismas consecuencias arbitrarias adicionales podr´ıan esperarse en
cualquier otra definici´on, procedimiento o prueba que consista en una sucesi´on
ω−ordered de pasos. En esas condiciones, cualquier cosa podr´ıa esperarse en las
matem´aticas infinitistas [PI].
257 M´
as a´
un, temporizando la definici´on (6) de modo que cada i-´esimo paso se
realice en el preciso instante ti de una sucesi´on estrictamente creciente de instantes
htn i del intervalo (ta , tb ) y cuyo l´ımite es tb , se podr´ıa probar f´acilmente que solo
en el instante tb , una vez completada la sucesi´on de definiciones (6), podr´ıa S ∗
ser convertida en una sucesi´on de conjuntos cuya intersecci´on es vac´ıa. Lo que
confirmar´ıa, por una parte que la compleci´on de una sucesi´on ω−ordenada de
pasos, como tal compleci´on, tiene efectos arbitrarios adicionales sobre los objetos
resultantes; y por la otra que esos efectos arbitrarios ocurren en el preciso instante
(tb ), un instante en el que ya no se realiza ning´
un paso.
Part II. Argumentos: Geometr´ıa
14.-Curvas de Jordan infinitas
´n
Introduccio
258 La sucesi´on ω−ordenada hxn i de puntos en el intervalo real (0, 1) definida
por:
2n − 1
(1)
xn =
2n
es un ejemplo de ω-partici´on de un segmento finito. Cada par de puntos sucesivos
xn , xn+1 define una parte de la partici´
on. Las sucesivas partes son disjuntas y
adyacentes, de modo que el extremo derecho de una coincide con el extremo
izquierdo de la siguiente:
[x1 , x2 ), [x2 , x3 ), [x3 , x4 ), . . .
x1
x2
x3
x4
x5
x6
(2)
x7 ...
Figura 14.1: Partici´on de una recta.
259 Como es bien sabido, al menos desde el siglo XVIII, las ω-particiones de
segmentos lineales finitos son posibles solo si las sucesivas partes adyacentes de
la partici´
on son de una longitud decreciente, en caso contrario la longitud de la
l´ınea tendr´ıa que ser infinita [15]. Esta inevitable restricci´on origina una inmensa
asimetr´ıa en la partici´
on. En efecto, cualquiera que sea la longitud del segmento
AB ω-particionado y cualquiera que sea la ω-partici´on, todas sus partes, excepto
un n´
umero finito de ellas, estar´
an necesariamente dentro de un intervalo final CB
arbitrariamente peque˜
no.
260 A modo de ilustraci´
on, consideremos una ω-partici´on de un segmento de
recta AB de longitud igual a 9,3×1010 a˜
nos luz, el supuesto di´ametro del universo
visible. Cualquiera que sea la ω-partici´on de este enorme segmento lineal todas
sus infinitas partes, salvo un n´
umero finito de ellas, inevitablemente se encuentran
dentro de un intervalo final CB inconcebible menor que, por ejemplo, la longitud
de Planck (∼ 10−33 cm). No hay forma de realizar una partici´
on m´as equitativa si
la partici´
on tiene que ser ω−ordenada, la m´as peque˜
na de las particiones infinitas
(Figura 14.2). As´ı, las ω-particiones son ω-asim´etricas. Y siendo ω el menor ordinal
87
88 —— Curvas de Jordan infinitas
infinito, cualquier partici´
on infinita ha de contener al menos una partici´
on ω−ordenada.
Infinitas partes en CB cuya longitud
es m enor que la distancia
-33
de Planck: 10 cm
A
m 1 m 2 m 3 €46
CB
Núm ero finito de partes en AC
10
cuya longitud es 9,3x10
años luz
Figura 14.2: ω-asimetr´ıa espacial en la ω -partici´on de un segmento AB cuya longitud
es el di´
ametro del universo visible.
261 La consecuencia antiest´etica de la asimetr´ıa anterior se vuelve algo m´as
controvertida si el objeto particionado es una l´ınea cerrada como las curvas de
Jordan. El objetivo de la siguiente discusi´
on ser´a precisamente examinar una de
esas particiones.
´ n infinita de una curva de Jordan
Particio
262 Sea f (x) una funci´
on real cuya gr´
afica es una curva de Jordan1 J en el
2
e en J. Escribiremos
plano eucl´ıdeo R . Sean a y b los puntos extremos del arco ab
e
L(a, b) para representar la longitud de ab:
L(a, b) =
Z
a
b
p
1 + (f (x)′ )2 dx
(3)
263 Sup´ongase que la longitud de J es infinita. En esas condiciones sea r cualquier n´
umero real propio mayor que 0 y sup´
ongase que J se divide a partir de un
punto cualquiera x1 , y en el sentido de las agujas del reloj, en un cierto n´
umero
de partes adyacentes xg
g
g
g
1 x2 , x
2 x3 , x
3 x4 . . . de modo que cada parte x
i xi+1 tenga
un longitud finita igual o mayor que r:
L(xi , xi+1 ) ≥ r, ∀i ∈ I
(4)
donde I es el conjunto de los ´ındices de la partici´
on.
264 Las partes de una partici´
on son disjuntas y adyacentes, de manera que el
1 Una
curva de Jordan es una curva simple y cerrada que equivale topol´
ogicamente a un
c´ırculo unidad, i.e. una curva que no se corta a s´ı misma.
Partici´
on infinita de una curva de Jordan —— 89
extremo izquierdo de una cualquiera de las partes coincide con el extremo derecho
de la siguiente. En estas condiciones, cada parte tiene una sucesora inmediata (excepto la u
´ltima, si existe una u
´ltima parte) y una predecesora inmediata (excepto
la primera). Por lo tanto, las particiones tienen ordinalidad. Son α ordenadas,
siendo α un ordinal finito o infinito.
265 Evidentemente la partici´
on hxi ii∈I ha de ser infinita porque de otro modo,
y siendo finita la longitud de cada parte, J tendr´ıa una longitud finita. Adem´as, y
de acuerdo con Cantor [34], hxi ii∈I no puede ser infinita no numerable. Para ver
que as´ı ha de ser, consid´erese la sucesi´on de n´
umeros reales hri ii∈I definida por:
r1 = x1
(5)
ri+1 = ri + L(xi , xi+1 ), ∀i ∈ I
(6)
La biyecci´on f entre hxi ii∈I y hri ii∈I definida por f (xi ) = ri prueba que ambas
sucesiones tienen la misma cardinalidad. As´ı, si la primera fuera infinita no numerable tambi´en lo ser´ıa la segunda. Pero hri ii∈I no puede ser infinita no numerable
porque si ese fuera el caso podr´ıamos elegir un n´
umero racional diferente qi en
cada intervalo real [ri , ri+1 ) y tendr´ıamos un conjunto no numerable de n´
umeros
racionales distintos, lo que, de acuerdo con Cantor, es imposible.
266 En el cap´ıtulo 11 se examinaron las posibilidades de las particiones no
numerables y se demostr´
o que la conclusi´
on de Cantor podr´ıa no ser la conclusi´
on
correcta. En cualquier caso, y siendo ω el menor de los ordinales infinitos, el
ordinal de cualquier partici´
on infinita tiene que ser ω o mayor que ω , lo que
significa que contiene al menos un subpartici´
on ω−ordenada.
267 Por consiguiente el ordinal de la partici´
on hxi ii∈I tiene que ser ω o mayor
que ω. Es inmediato demostrar, sin embargo, que no puede ser ni ω ni mayor que
ω.
y x1
x2
x3
x w+1
z
x4
...
xw
...
r/2
r/2
Figura 14.3: Partici´on infinita de una curva de Jordan en el plano eucl´ıdeo R2 .
268 Consid´erese un punto y en el sentido contrario al de las agujas del reloj y
90 —— Curvas de Jordan infinitas
tal que:
L(y, x1 ) = r/2
(7)
De (4) deducimos que y s´olo puede pertenecer a la u
´ltima parte de hxi ii∈I . Por
tanto, esta partici´
on no puede ser ω−ordenada porque las particiones ω−ordenadas no tienen una u
´ltima parte.
269 Supongamos entonces que el ordinal de la partici´
on hxi ii∈I es mayor que ω.
En esas condiciones tendr´a que existir una parte xg
x
ω ω+1 . Ahora bien, de acuerdo
de nuevo con (4), el punto z situado en el sentido contrario al de las agujas del
reloj con relaci´on a xω y tal que L(z, xω ) = r/2 solo puede pertenecer a la parte
que antecede de forma inmediata a xg
ω xω+1 , lo que es imposible. Esto prueba que
el ordinal de hxi ii∈I no puede ser mayor que ω.
270 Acabamos de probar que el ordinal de la partici´
on hxi ii∈I ha de ser ω o
mayor que ω, pero no puede ser ni ω ni mayor que ω. En consecuencia, las curvas
de Jordan de longitud infinita son objetos inconsistentes..
15.-El fractal de Koch
´n
Introduccio
271 Existen algunas variantes de lo que ahora llamamos fractal de Koch, o curva
de Koch. Descrito por primera vez en 1904 por Helge von Koch [204] [205] antes
de que el propio concepto de fractal fuera formalizado y popularizado, sobre todo
por Benoit Mandelbrot [127] [128]. Aqu´ı usaremos la versi´
on de l´ınea cerrada
conocida como copo (de nieve) de Koch.
Figura 15.1: Los tres primeros pasos en la construcci´on del copo de Koch (la curva
original de Koch fue construida usando solo uno de los lados del tri´
angulo). N´
otese que
en cada paso el n´
umero de lados se multiplica por un factor 4 mientras que sus longitudes
decrecen por un factor 3.
272 Como muestra la Figura 15.1, el primer paso P1 en la construcci´
on del
copo de Koch es una l´ınea cerrada K1 de tres lados rectos id´enticos (un tri´angulo
equil´atero). En el segundo paso P2 , el tercio central de cada lado se sustituye
por dos segmentos rectos id´enticos de la misma longitud que el lado reemplazado
y de tal manera que forman un ´
angulo de 60◦ hacia el exterior. El resultado es
una nueva l´ınea cerrada K2 . En el tercer paso P3 , el tercio central de cada lado
se sustituye por dos segmentos rectos id´enticos de la misma longitud que el lado
reemplazado y de tal manera que forman un ´anguo de 60◦ hacia el exterior. El
resultado es una nueva l´ınea cerrada K3 . Repitiendo este procedimiento (KP de
ahora en adelante) ad infinitum ’obtendr´ıamos’ finalmente la l´ınea copo de Koch
K.
273 N´
otese que cada paso Pi de KP origina una l´ınea cerrada Ki formada por
91
92 —— El fractal de Koch
un cierto n´
umero de lados (a los que nos referiremos como iS), siendo todos ellos
segmentos rectos de la misma longitud. N´
otese tambi´en que cada iS es adyacente
i
a otros dos S: un en el sentido de las agujas del reloj y el otro en la direcci´
on
contraria. Por claridad diremos tambi´en que cada lado iS tiene un sucesor inmediato (su lado adyacente en la direcci´
on de las agujas del reloj) y un predecesor
inmediato (su lado adyacente en la direcci´
on contraria a las agujas del reloj). Las
sucesivas l´ıneas hKn i son discretas en el sentido de que est´
an formadas por un
i
cierto n´
umero finito de partes id´enticas ( S) que son adyacentes y discontinuas
entre s´ı.
274 Por razones obvias, las palabras ’y as´ı ad infinitum’ (o la inevitable elipsis
’. . . ’) son omnipresentes en las matem´aticas infinitistas. Aunque no siempre conducen a resultados satisfactorios. Como veremos, ese es el caso de la introducci´on
anterior a los fractales de Koch, que es la introducci´on habitual a los fractales de
Koch en los libros de texto y en la literatura secundaria sobre el asunto. En efecto,
el lector puede sacar la conclusi´
on de que ’continuando este proceso ad infinitum’
se obtiene finalmente la curva de Koch K. Nada m´as lejos de la verdad.
275 Las sucesivas l´ıneas K1 , K2 , K3 ,. . . definidas por KP forman una sucesi´on
ω−ordenada hKn i cuyo l´ımite se supone que es la curva de Koch K. Por lo tanto
no se puede alcanzar K a trav´es de los sucesivos t´erminos de hKn i porque el
l´ımite K no tiene un predecesor inmediato en la sucesi´on hKn i. Recu´erdese la
ω-asimetr´ıa: cada t´ermino de hKn i tiene un n´
umero finito de predecesores y un
n´
umero infinito de sucesores.
276 As´ı, aunque algunas caracter´ısticas m´etricas de las lineas hKn i se aproximan tanto como se quiera a las correspondientes caracter´ısticas m´etricas de K, el
n´
umero de t´erminos entre cualquier Kn y K es siempre el mismo: infinito. Por lo
tanto, desde el punto de vista del n´
umero de t´erminos de la sucesi´on, es imposible
acercarse a K, estar cerca de K. De forma similar, si saltamos hacia atr´
as desde
K hacia hKn i siempre caeremos en un t´ermino separado de K por un n´
umero
infinito de t´erminos de la sucesi´on. Los saltos hacia atr´
as siempre lo son sobre un
n´
umero infinito de t´erminos de la sucesi´on. Es imposible saltar hacia atr´
as sobre
un n´
umero finito de t´erminos de la sucesi´on (ω-asimetr´ıa).
277 En consecuencia, la expresi´on anterior ’Repitiendo este procedimiento (KP)
ad infinitum obtendremos finalmente el copo de Koch K’ es err´onea. Continuando
ese procedimiento no se obtiene K. La curva de Koch K solo puede ser definida
en el l´ımite de la sucesi´on de l´ıneas hKn i definida por KP. M´
as a´
un, algunas caracter´ısticas significativas de las l´ıneas hKn i, como su discreci´on, podr´ıan no estar
presentes en K. El l´ımite de una sucesi´on es, en todos los aspectos, independiente
de los t´erminos de las sucesiones que limita.
278 Resulta claro por otra parte que a medida que KP progresa:
Ordinalidad finita —— 93
a) La longitud Ln de las sucesivas l´ıneas Kn crece con n:
n−1
4
Ln = L1
3
(1)
donde L1 es la longitud de K1 en una cierta m´etrica (como la m´etrica
eucl´ıdea de R2 ).
b) El n´
umero Nn de lados de las sucesivas Kn crece n:
Nn = 3 × 4n−1
(2)
c) La longitud ln de los lados nS de las sucesivas Kn decrece con n:
n−1
1
ln = L 1
3
(3)
279 En el l´ımite tendremos:
n−1
4
l´ım Ln = l´ım L1 ×
=∞
n→∞
n→∞
3
(4)
l´ım Nn = l´ım 3 × 4n−1 = ∞
(5)
l´ım ln = l´ım L1 ×
(6)
n→∞
n→∞
n→∞
n→∞
n−1
1
=0
3
280 El copo de Koch K es el l´ımite al que se aproximan los sucesivos t´erminos
de hKn i. Por consiguiente, y de acuerdo con los l´ımites anteriores, K tendr´an una
longitud infinita y un n´
umero infinito de lados de longitud 0 (ambas en la misma
m´etrica que Ln y ln ), lo que se podr´ıa interpretar en el sentido de que no tiene
lados. Demostrar otras caracter´ısticas no es tan inmediato (v´ease por ejemplo
[200]). Sabemos que K es una l´ınea cerrada, continua y no diferenciable. Es una
funci´
on fractal cuya dimensi´
on D es:
D=
log 4
= 1,261859507
log 3
(7)
281 Siendo una l´ınea cerrada, el argumento del cap´ıtulo anterior sobre l´ıneas
cerradas se podr´ıa tambi´en aplicar a K. Ser´ıa, por lo tanto, una l´ınea inconsistente. En la u
´ltima secci´
on de este cap´ıtulo desarrollaremos otro argumento sobre la
sucesi´on de l´ıneas cerradas hKn i cuya conclusi´
on apunta hacia esa misma inconsistencia.
Ordinalidad finita
282 El siguiente teorema sobre ordinales finitos es un resultado general del que
haremos uso en la u
´ltima secci´
on de este cap´ıtulo.
Teorema de los ordinales finitos.-Si:
S = sa , sb , sc . . . , sq , sr
(8)
94 —— El fractal de Koch
es una sucesi´on cuyos t´erminos satisfacen:
1) Existe un primer elemento sa .
2) Existe un u
´ltimo elemento sr .
3) Cada elemento de A tiene un sucesor inmediato, excepto el u
´ltimo.
4) Cada elemento de A tiene un predecesor inmediato, excepto el
primero.
entonces el ordinal de S es finito.
Demostraci´
on.-Supongamos que el ordinal O de la sucesi´on S es infinito. Puesto
que ω es el menor de los ordinales finitos tendr´ıamos:
O≥ω
(9)
Ahora bien, O no puede ser igual a ω porque la sucesi´on S tiene un u
´ltimo elemento
sr mientras que las sucesiones ω−ordenadas no tienen u
´ltimo elemento. Pero O
tampoco puede ser mayor que ω. En efecto, en ese caso existir´ıa un ω-´esimo
t´ermino en la sucesi´on S sin predecesor inmediato (ω es el l´ımite de la sucesi´on
creciente de todos los ordinales finitos) mientras que todos los elementos de la
sucesi´on S tienen un predecesor inmediato, excepto el primero de ellos. Por tanto
el ordinal O de la sucesi´on S solo puede ser finito.
´ n condicional del copo de Koch
Construccio
283 Impongamos la siguiente restricci´on a la ejecuci´
on de los sucesivos pasos
hPn i del procedimiento anterior KP:
Restricci´
on KP.-Cada paso Pi de KP se ejecutar´a si, y solo si, la
l´ınea resultante Ki es una l´ınea cerrada formada por 3 × 4i−1 lados iS
de id´entica longitud mayor que cero, y de modo que cada lado tenga
un sucesor inmediato y un predecesor inmediato.
Usaremos s´ımbolos con tilde (KP’, Pi′ , Ki′ , iS ′ etc. ) para denotar que el procedimiento de construcci´
on del copo de Koch se est´
a realizando bajo la Restricci´
on
KP.
284 Probaremos ahora que para cada n´
umero natural v es posible realizar los
a claro que P1′ satisface todos los reprimeros v pasos hPi′ ii=1,2,...v de KP’. Est´
querimientos de la restricci´on KP. Supongamos ahora que, siendo n un n´
umero
′
natural cualquiera, se pueden realizar los primeros n pasos hPi ii=1,2,...n de KP’.
La l´ınea cerrada resultante Kn′ consistir´
a en 3 × 4n−1 lados nS ′ , cada uno de una
n−1
longitud L1 /3
> 0. Es posible entonces reemplazar el tercio central de cada
n ′
lado S por dos segmentos rectos de longitud L1 /3n > 0 formando un ´angulo de
′
60◦ hacia afuera, la l´ınea resultante ser´a una l´ınea cerrada Kn+1
con 3 × 4n lados
n+1 ′
n
S de longitud L1 /3 > 0. Por tanto los primeros n + 1 pasos de hPi′ ii=1,2,...n+1
de KP’ tambi´en se podr´ıan realizar. Todo lo cual demuestra que para cualquier
n´
umero natural v es posible realizar los primeros v pasos hPi′ ii=1,2,...v de KP’.
Construcci´
on condicional del copo de Koch —— 95
285 Supongamos ahora que mientras sea posible realizar los sucesivos pasos Pi′
de KP’, dichos pasos se realizan. Sea K’ la l´ınea resultante una vez realizados
todos los pasos posibles. Es inmediato demostrar los dos siguientes teoremas:
Teorema KA: El n´
umero de lados de K’ es finito.
′
Demostraci´
on.-Podemos indexar los lados k S de K’ indexando a cualquiera de
′
ellos como el primer lado k S1 y los sucesivos lados adyacentes en el sentido de las
′
′
′
′
′
agujas del reloj como k S2 , k S3 , k S4 . . . El lado k Sr adyacente a k S1 en el sentido
contrario a las agujas del reloj solo puede ser el u
´ltimo lado (indexado) de K’.
Adem´as, cada lado de K’ tiene un sucesor inmediato y un predecesor inmediato.
Por tanto existe una biyecci´on entre los lados de K’ y el conjunto de ´ındices
I = {1, 2, . . . q, r} que tiene primer y u
´ltimo elemento y en el que cada elemento
tiene un sucesor inmediato (menos el u
´ltimo) y un predecesor inmediato (excepto
el primero). Ahora bien, de acuerdo con el teorema de los ordinales finitos, el
conjunto I es finito. Consecuentemente, el n´
umero de lados de K’ ha de ser finito
tambi´en.
Teorema KB: El n´
umero de lados de K’ no es finito.
Demostraci´
on.-Sup´ongase que el n´
umero de lados de K’ es finito. Ser´
a un cierto
n´
umero natural n. De la desigualdad:
n < 3 × 4n
(10)
y teniendo en cuenta que el n´
umero de lados nS ′ de Kn′ es 3 × 4n deducimos
inmediatamente que el n-´esimo paso Pn′ de KP’ no se ha realizado, lo que es
imposible de acuerdo con 284.
286 Como siempre, la contradicci´on anterior entre el Teorema A y el Teorema B
solo puede ser una consecuencia de la hip´
otesis del infinito actual, de la hip´otesis
que afirma que los conjuntos infinitos existen como totalidades completas. Esa
es, en efecto, la u
´nica hip´
otesis en la construcci´
on condicional de K’. Desde la
perspectiva del infinito potencial, por otra parte, esa contradicci´on nunca aparece
porque el n´
umero de lados de K’ es siempre finito, tan grande como se quiera pero
siempre finito.
96 —— El fractal de Koch
Part III. Argumentos: Aritm´etica transfinita
16.-Alef-cero
´n
Introduccio
287 Para nombrar un objeto s´olo tenemos que elegir (o inventar) una o varias
palabras arbitrarias o s´ımbolo(s) que designen al objeto. Pero nombrar un objeto
no es lo mismo que definirlo en t´erminos de otros objetos m´as b´
asicos. En este
u
´ltimo caso tambi´en tendr´ıamos que definir esos objetos m´as b´
asicos en t´erminos de otros objetos m´as b´
asicos y estos u
´ltimos objetos en t´erminos de otros
objetos m´as b´
asicos y as´ı sucesivamente. Finalmente caer´ıamos en una regresi´on
potencialmente infinita de definiciones.
288 Por esta raz´
on nos vemos obligados a aceptar conceptos primitivos que
utilizamos sin haber sido previamente definidos. Los conceptos m´as b´
asicos tanto
en las ciencias formales como en las experimentales pertenecen a esta categor´ıa:
n´
umero, conjunto, espacio, punto, tiempo, masa, etc. En algunos casos, como para
el concepto de masa o el de n´
umero, son posibles definiciones operacionales. En
otros casos (conjunto, punto, instante, etc.) ni siquiera eso.
289 Por la misma raz´
on que en el caso de los conceptos primitivos, tambi´en
necesitamos axiomas (ciencias formales) y leyes fundamentales (ciencias experimentales). Aunque en este caso para evitar una regresi´on infinita de argumentos.
Mientras los axiomas pueden ser arbitrarios, la mayor´ıa de las leyes fundamentales
de las ciencias experimentales son conclusiones inductivas derivadas de observaciones y mediciones experimentales.
290 Los Elementos de Euclides son quiz´
as el primer sistema axiomatizado en
la historia de las matem´aticas. No obstante, la historia de las matem´aticas hasta principios del siglo XX est´
a llena de obras no tan formalizadas como podr´ıa
esperarse. Este es el caso de la obra fundacional de Cantor sobre los n´
umeros
transfinitos, sus famosos Beitr¨
age [36], [37] (traducci´on inglesa [39]).
291 Cantor no hizo ninguna suposici´on acerca de la existencia de conjuntos
infinitos, simplemente dio por sentada la existencia de ’agregados transfinitos’.
En particular, la existencia del ’agregado de todos los cardinales finitos’, cuyo
cardinal es Alef-cero. En la siguiente secci´
on se analizan algunos inconvenientes
de la definici´on de Cantor del primer cardinal transfinito.
97
98 —— Alef-cero
El menor cardinal transfinito
292 ’Contributions to the founding of the theory of Transfinite numbers’ (Beitr¨
age
zur Begr¨
undung der transfiniten Mengenlehre) es el trabajo m´as importante de
Cantor sobre los fundamentos de la aritm´etica transfinita. Los Beitr¨age resumen y
mejoran la mayor´ıa de sus trabajos previos sobre conjuntos y n´
umeros transfinitos
publicados desde 1870. La Secci´
on 6 de los Beitr¨
age empieza as´ı:
Los ’agregados’ con n´
umeros cardinales finitos son llamados ’agregados
finitos,’ todos los dem´
as ser´an llamados ’agregados transfinitos’ y sus
n´
umeros cardinales ’n´
umeros cardinales transfinitos. El primer ejemplo
de agregado transfinito viene dado por la totalidad de los n´
umeros
cardinales finitos ν; llamamos a su n´
umero cardinal ’Aleph cero’ y lo
denotamos por ℵo ; as´ı definimos:
ℵo = {ν}
(1)
293 Est´
a claro, pues, que Cantor defini´o ℵo como el cardinal del conjunto de
todos los cardinales finitos, en notaci´
on moderna:
ℵo = |{1, 2, 3, . . . }| = |N|
(2)
294 Cantor prueba entonces [39, §6] que ℵo no es un cardinal finito. Para ello
demuestra que ℵo = ℵo + 1, mientras que para todo cardinal finito n se verifica:
n 6= n + 1. En consecuencia, ℵo no puede ser un cardinal finito. Como no podr´ıa
ser de otra manera la prueba de que ℵo = ℵo + 1 est´
a basada en una biyecci´on.
En efecto, consid´erense los conjuntos:
N = {1, 2, 3, . . . } (Cardinal ℵo )
A = N ∪ {a}
(Cardinal ℵo +1)
(3)
(4)
La biyecci´on f entre N y A definida por:
f (1) = a
(5)
f (i + 1) = i, ∀i ∈ N
(6)
demuestra que ambos conjuntos son equipotentes, y por tanto que ℵo = ℵo + 1.
295 Por cierto, n 6= n+ 1 porque todos los conjuntos finitos satisfacen el Axioma
del Todo y la Parte. Mientras que ℵo = ℵo + 1 porque los conjuntos transfinitos
violan, por definici´on, ese viejo axioma euclidiano.
296 A continuaci´on Cantor prueba [39, §6] que:
1) ℵo es mayor que todos los cardinales finitos. Prueba: todo cardinal finito
es el cardinal de una parte propia del conjunto de todos los cardinales,
y esa parte no es equipotente con el conjunto de todos los cardinales
finitos.
El menor cardinal transfinito —— 99
2) ℵo es el menor de los cardinales transfinitos. Prueba: Por una lado, todo
conjunto infinito tiene partes propias de cardinal ℵo , y por el otro si
un conjunto tiene cardinal ℵo cualquiera de sus partes infinitas tiene
tambi´en cardinal ℵo .
Por tanto, esas propiedades de ℵo son consecuencias formales de haber sido definido como el cardinal del conjunto de todos los cardinales finitos. No forman
parte de la definici´on de ℵo .
297 Examinaremos ahora de qu´e manera, si es que de alguna, la definici´on de ℵo
est´
a relacionada con la definici´on operativa de los cardinales finitos. Los cardinales
finitos se pueden definir en t´erminos operativos (v´ease el Ap´endice C), por ejemplo
de la siguiente forma:
|{∅}| = 1
(7)
|{∅, {∅}}| = 2
|{∅, {∅}, {∅, {∅}}| = 3
|{∅, {∅}, {∅, {∅}}, {∅, {∅}, {∅, {∅}}}| = 4
(8)
(9)
(10)
...
o incluso:
|{0}| = 1
(11)
|{0, 1}| = 2
(12)
|{0, 1, 2}| = 3
(13)
|{0, 1, 2, 3}| = 4
(14)
...
298 La sucesi´on de definiciones recursivas anterior, y otras muchas similares,
se considera una sucesi´on completa que originan la totalidad completa de los
n´
umeros naturales de acuerdo con la hip´
otesis del infinito actual. No obstante,
y a pesar del hecho de que consiste en un n´
umero infinito de pasos y cada paso
define un n´
umero mayor que su predecesor inmediato, la secuencias no origina
un n´
umero infinito. Origina una sucesi´on infinita de n´
umeros finitos, cada uno
una unidad mayor que su predecesor inmediato, pero siempre finito. ℵo no est´
a,
por tanto, relacionado con esta sucesi´on operativa. Como era de esperar, ℵo no se
define recursivamente a partir de los cardinales finitos.
299 Siendo el menor de los cardinales infinitos mayor que todos los cardinales
finitos, ℵo podr´ıa ser considerado como el l´ımite de la sucesi´on estrictamente
creciente de los cardinales finitos. Pero mientras la distancia entre el l´ımite y los
sucesivos t´erminos de una sucesi´on estrictamente creciente y convergente siempre
100 —— Alef-cero
decrece, en el caso de ℵo esa distancia nunca decrece: o bien es indefinida o bien
es siempre la misma (precisamente ℵo ).
300 Carecemos de una definici´on formal de n´
umero. Pero sabemos lo que queremos decir cuando decimos que el conjunto A = {a, b, c, d, e} tiene cinco elementos:
podemos contarlos; podemos considerarlos sucesivamente; disponemos de instrumentos operativos para identificarlos. Pero ninguno de esos instrumentos operativos es aplicable en el caso de ℵo . Por consiguiente, no solo hemos de asumir que el
conjunto de todos los cardinales finitos existe como una totalidad completa, tambi´en hemos de asumir que esa totalidad tiene un n´
umero cardinal preciso, donde
n´
umero es una noci´
on primitiva no relacionada con ninguna de las definiciones
operativas disponibles del concepto de n´
umero.
301 Por otra parte, la definici´on de Cantor de ℵo podr´ıa ser equivalente a una
definici´on circular. En efecto:
ℵo = |{1, 2, 3, . . . }|
= |{1} ∪ {2} ∪ {3} ∪ . . . |
= |{1}| + |{2}| + |{3}| + . . .
= 1 + 1 + 1 + ...
(15)
(16)
(17)
(18)
y la u
´ltima suma est´
a definida solo si conocemos el n´
umero de sumandos, que es
precisamente el n´
umero que se est´
a definiendo con la suma.
302 Consideremos nuevamente la definici´on original de Cantor de ℵo :
ℵo = |{1, 2, 3, . . . }|
(19)
y llamemos conjunto definidor al conjunto {1, 2, , 3, . . . } usado para definir el
cardinal ℵo . Consideremos tambi´en la siguiente supertarea condicionada: en cada
uno de los sucesivos instantes ti de la sucesi´on ω−ordenada de instantes htn i
del intervalo real finito (ta , tb ) cuyo l´ımite es tb , ret´ırese el primer elemento del
conjunto definidor de ℵo si, y solo si, el cardinal del conjunto definidor resultante
es todav´ıa ℵo :
t1 : Conjunto definidor {2, 3, 4, . . . } : ℵo = |{2, 3, 4, . . . }|
t2 : Conjunto definidor {3, 4, 5, . . . } : ℵo = |{3, 4, 5, . . . }|
t3 : Conjunto definidor {4, 5, 6, . . . } : ℵo = |{4, 5, 6, . . . }|
...
Sea v un cardinal finito cualquiera y supongamos que en el instante tb , una vez
completada la supertarea, tenemos:
tb : ℵo = |{v, v + 1, v + 2, . . . }|
(20)
El menor cardinal transfinito —— 101
Puesto que
ℵo = |{v + 1, v + 2, v + 3, . . . }|
(21)
el n´
umero v tuvo que ser retirado del conjunto definidor en el instante tv . En
consecuencia, la Definici´
on (20) es imposible para todo cardinal finito v. Por tanto
solo podr´ıamos tener:
tb : ℵo = |∅| = 0
(22)
102 —— Alef-cero
17.-Singularidades aritm´eticas de alef zero
´n
Introduccio
303 La discusi´
on que sigue trata con los elementos del conjunto (ω +2)-ordenado
asicas y las
N∗ = {1, 2, 3, . . . , ℵo , 2ℵo }, as´ı como con las operaciones aritm´eticas b´
relaciones de orden entre los cardinales finitos e infinitos introducidas por Cantor
en su trabajo fundacional sobre los n´
umeros transfinitos [39]. Definiciones que, en
lo fundamental, siguen siendo aplicables en las modernas matem´aticas transfinitas.
304 Una vez asumida la existencia del conjunto N de todos los cardinales finitos
(n´
umeros naturales) como una totalidad completa,1 Cantor defini´o ℵo como su
cardinal, demostrando a continuaci´on que ℵo es el menor el cardinal infinito mayor
que todos los cardinales finitos [39, §6].
305 La aritm´etica transfinita permite definir operaciones aritm´eticas con un
n´
umero infinito de operandos. As´ı, no s´olo los operandos, sino tambi´en la sucesi´on
de operaciones pueden ser de cualquier tama˜
no, finita o infinita. En la discusi´
on
que sigue, y por razones de claridad, indexaremos a los sucesivos operandos de
las operaciones aritm´eticas para hacer expl´ıcito, entre otras cosas, el orden de los
operandos.
´ mero primo?
¿Es ℵo un nu
306 La teor´ıa axiom´
atica de conjuntos,2 que se aplica a todos los conjuntos
finitos e infinitos, nos permite disociar el conjunto N de los n´
umeros naturales de
la siguiente manera:
{1, 2, 3, . . . } = {1} ∪ {2, 3, 4, . . . }
(1)
Alef-cero (ℵo ) es, por definici´on, el cardinal3 de N. Teniendo en cuenta que el
cardinal de la uni´
on de dos conjuntos disjuntos es la suma del cardinal de cada
conjunto, tendremos:
ℵo = |{1, 2, 3, . . . }|
= |{1} ∪ {2, 3, 4, . . . }|
1 En
(2)
(3)
t´erminos modernos: hip´
otesis del infinito actual subsumida por el Axioma del Infinito.
ejemplo la axiom´
atica ZFC.
3 Como es habitual, el cardinal de un conjunto X se denotar´
a por |X|.
2 Por
103
104 —— Singularidades aritm´
eticas de alef zero
= |{1}| + |{2, 3, 4, . . . }|
(4)
= 11 + |{2, 3, 4, . . . }|
(5)
donde el n´
umero natural 1 se escribe como 11 para indicar que representa el
cardinal del conjunto {1}, y lo mismo se aplicar´
a a los sucesivos 12 , 13 , 14 , etc
307 Por cierto, la ecuaci´
on (5) ℵo = 1 + |{2, 3, 4, . . . }| sirvi´
o a Cantor para
demostrar que ℵo no era un n´
umero natural (v´ease el Cap´ıtulo 16 sobre Alefcero).
308 Mediante sucesivas disociaciones (S-disociaciones en adelante) de N obtendremos:
ℵo = |{1, 2, 3, . . . }|
(6)
= |{1} ∪ {2, 3, 4, . . . }|
(7)
= |{1}| + |{2, 3, 4, . . . }|
(8)
= 11 + |{2, 3, 4, . . . }|
(9)
= 11 + |{2} ∪ {3, 4, 5, . . . }|
(10)
= 11 + |{2}| + |{3, 4, 5, . . . }|
(11)
= 11 + 12 + |{3, 4, 5, . . . }|
(12)
= 11 + 12 + |{3} ∪ {4, 5, 6, . . . }|
(13)
= 11 + 12 + |{3}| + |{4, 5, 6, . . . }|
(14)
= 11 + 12 + 13 + |{4, 5, 6, . . . }|
(15)
...
Vale la pena destacar que una S-disociaci´
on simplemente disocia un conjunto
en dos subconjuntos disjuntos, (uno de ellos un singleton, un conjunto de un solo
elemento), por lo que el cardinal del conjunto original, es la suma de los cardinales
de los dos conjuntos resultantes.
309 Las sucesivas S-disociaciones estar´
an sometidos a la siguiente:
Restricci´
on 309.-Una S-disociaci´
on se llevar´a a cabo si, y s´olo si,
el resultado es una suma bien definida de cardinales cuyos sumandos
tiene todos un predecesor inmediato, excepto el primero de ellos 11 .
310 Las matem´aticas transfinitas asumen que se pueden llevar a cabo procedimientos de infinitos pasos, como las S-disociaciones sucesivas anteriores. Por otro
lado, es f´acil demostrar, por inducci´on o por Modus Tollens (MT), que para cada
n´
umero natural v es posible realizar las primeras v S-disociaciones sucesivas.
311 La prueba MT es como sigue. Supongamos que fuera falso que para cada
n´
umero natural v las primeras v S-disociaciones sucesivas pueden llevarse a cabo.
Si ese fuera el caso, existir´ıa al menos un n´
umero natural n tal que es imposible
¿Es ℵo un n´
umero primo? —— 105
llevar a cabo las primeras n S-disociaciones sucesivas. Es decir, existir´ıa un n´
umero
n tal que:
ℵo = 11 + 12 + · · · + 1n−1 + |{n, n + 1, n + 2, . . . }|
(16)
y {n + 1, n + 1, n + 3, . . . } ya no se puede S-disociar. Lo cual es falso porque:
ℵo = 11 + 12 + · · · + 1n−1 + |{n, n + 1, n + 2, . . . }|
= 11 + 12 + · · · + 1n−1 + |{n} ∪ {n + 1, n + 2, n + 3, . . . }|
= 11 + 12 + · · · + 1n−1 + |{n}| + |{n + 1, n + 2, n + 3, . . . }|
= 11 + 12 + · · · + 1n−1 + 1n + |{n + 1, n + 2, n + 3, . . . }|
(17)
(18)
(19)
(20)
Nuestra hip´otesis de partida, debe ser, por lo tanto falsa, y entonces podemos
confirmar que para cada n´
umero natural v las primeras v S-disociaciones sucesivas
pueden llevarse a cabo.
312 La prueba inductiva es como sigue. Est´
a claro que la primera S-disociaci´
on
se puede realizar porque:
ℵo = |{1, 2, 3, . . . }|
= |{1} ∪ {2, 3, 4, . . . }|
= |{1}| + |{2, 3, 4, . . . }|
= 11 + |{2, 3, 4, . . . }|
(21)
(22)
(23)
(24)
Supongamos que, siendo n un n´
umero natural cualquiera, las primeras n Sdisociaciones sucesivas se pueden realizar. Tendr´ıamos:
ℵo = 11 + 12 + · · · + 1n + |{n + 1, n + 2, n + 3, . . . }|
(25)
y entonces podemos escribir
ℵo = 11 + 12 + · · · + 1n + |{n + 1} ∪ {n + 2, n + 3, . . . }|
(26)
= 11 + 12 + · · · + 1n + 1n+1 + |{n + 2, n + 3, . . . }|
(28)
= 11 + 12 + · · · + 1n + |{n + 1}| + |{n + 2, n + 3, . . . }|
(27)
lo que significa que las primeras n + 1 S-disociaciones sucesivas tambi´en se pueden
realizar. Hemos probado que la primera S-disociaci´
on se puede realizar y que si,
siendo n un n´
umero natural cualquiera, las primeras n S-disociaciones sucesivas se
pueden realizar, entonces las primeras n + 1 S-disociaciones sucesivas tambi´en se
pueden realizar. Lo que prueba que para todo v en N las primeras v S-disociaciones
sucesivas se pueden realizar.
313 Supongamos ahora que, mientras las sucesivas S-disociaciones puede llevarse
a cabo, se llevan a cabo. Una vez realizada todas las posibles S-disociaciones sucesivas tendr´ıamos una de las dos siguientes alternativas, exhaustivas y mutuamente
excluyentes:
ℵo = 11 + 12 + · · · + 1v + |{v + 1, v + 2, v + 3, . . . }|
(29)
106 —— Singularidades aritm´
eticas de alef zero
ℵo = 1 1 + 1 2 + 1 3 + . . .
(30)
donde v es un cierto n´
umero natural. Puesto que v + 1 es tambi´en un n´
umero natural, la primera de las alternativas ha de ser falsa, de acuerdo con 311 y
312. N´
otese que no se trata de una indeterminaci´on sino de una imposibilidad: la
primera alternativa es imposible para todo v en N, mientras que si fuera indeterminable existir´ıa un conjunto no vac´ıo de posibles soluciones. En consecuencia,
una vez realizadas todas las posibles S-disociaciones sucesivas tendremos:
ℵo = 1 1 + 1 2 + 1 3 + . . .
(31)
314 Vamos a probar ahora que el lado derecho de (31) es una sucesi´on ω−ordenada de sumas. Veamos que as´ı ha de ser. La sucesi´on no puede ser finita porque
la suma de un n´
umero finito de cardinales finitos es tambi´en finita, mientras que
ℵo es el primer cardinal infinito. El lado derecho de (31) ha de tener, por tanto, un
n´
umero infinito de sumandos. Veamos que s´olo puede ser una sucesi´on ω−ordenada de sumandos. Si no lo fuera, ser´ıa por lo menos (ω + 1)-ordenada4 y, entonces
podr´ıamos escribir:
ℵo = 1 1 + 1 2 + 1 3 + · · · + 1 ω + S
(32)
donde S es o bien la suma de un n´
umero finito o infinito del mismo sumando 1,
o bien 0. En cualquier caso, el sumando 1ω estar´
a siempre presente y no tiene
5
predecesor inmediato, Lo que viola la Restricci´
on 309 [PI]. En consecuencia (31)
solo puede ser ω−ordenada.
315 De acuerdo con (31), y teniendo en cuenta la asociatividad de los cardinales
y el hecho, probado por el propio Cantor [39], de que para cualesquiera tres
cardinales a, x e y, se verifica ax × ay = ax+y , podemos escribir:
(33)
2ℵo = 211 +12 +13 +...
= 211 +(12 +13 +... )
=2
11
×2
12 +13 +14 +...
(34)
(35)
donde todos los 11 , 12 , 13 . . . representan al cardinal 1. Aqu´ı (y de ahora en adelante), los sub´ındices simplemente denotan el orden de los sumandos.
316 Las sucesivas disociaciones de 2ℵo (P-disociaciones a partir de ahora) ser´ıan:
2ℵo = 211 +12 +13 +...
= 211 +(12 +13 +... )
4ω
=2
11
=2
11
×2
×2
(37)
12 +13 +14 +...
(38)
12 +(13 +14 +... )
(39)
+ 1 es el menor ordinal infinito mayor que ω.
el l´ımite de la sucesi´
on de todos los ordinales finitos.
5 Es
(36)
¿Es ℵo un n´
umero primo? —— 107
= 211 × 212 × 213 +14 +15 +...
(40)
×2
(41)
=2
11
=2
11
11
×2
×2
12
12
12
×2
13 +(14 +15 +... )
13
13
×2
14 +15 +16 +...
(42)
14 +(15 +16 +... )
(43)
=2 ×2 ×2 ×2
...
Obs´ervese que una P-disociaci´
on es una simple aplicaci´on de una propiedad est´
andar
del producto de potencias.
317 Las sucesivas P-disociaciones estar´
an sometidas a la siguiente:
Restricci´
on 317.-Un P-disociaci´
on se llevar´a a cabo si, y s´olo si, el
resultado es un producto bien definido de potencias cada uno de cuyos
factores tiene un predecesor inmediato, excepto el primero de ellos 211 .
318 Probaremos ahora, por MT (tambi´en es posible una prueba inductiva), que
para cada n´
umero natural v las primeras v P-disociaciones sucesivas puede llevarse
a cabo. Supongamos que es falso que para cada n´
umero natural v las primeras
v P-disociaciones sucesivas puede llevarse a cabo. Existir´ıa entonces al menos un
n´
umero natural n tal que:
2ℵo = 211 × 212 × · · · × 21n−1 × 21n +1n+1 +1n+2 +...
(44)
no puede ser P-disociado. Pero eso es falso porque:
2ℵo = 211 × 212 × · · · × 21n−1 × 21n +1n+1 +1n+2 +...
= 211 × 212 × · · · × 21n−1 × 21n +(1n+1 +1n+2 +... )
=2
11
×2
12
× ···× 2
1n−1
×2
1n
×2
1n+1 +1n+2 +1n+3 +...
(45)
(46)
(47)
Por tanto, nuestra hip´
otesis inicial debe ser falsa y podemos confirmar que para
cada n´
umero natural v las primeras v P-disociaciones sucesivas puede llevarse a
cabo.
319 Supongamos que mientras las sucesivas P-disociaciones puede llevarse a
cabo, se llevan a cabo. Una vez realizada todas las posibles P-disociaciones sucesivas tendremos una de las dos alternativas siguientes, exhaustivas y mutuamente
excluyentes:
2ℵo = 211 × 212 × · · · × 21v−1 × 21v +1v+1 +1n+3 +...
2
ℵo
=2
11
×2
12
×2
13
× ...
(48)
(49)
donde v es un cierto n´
umero natural. De acuerdo con 318, y siendo v un n´
umero
natural, la primera alternativa ha de ser falsa. N´
otese de nuevo que no se trata de
una indeterminaci´on sino de una imposibilidad: la primera alternativa es imposible
para todo v en N, mientras que si fuera indeterminable existir´ıa un conjunto no
vac´ıo de posibles soluciones. En consecuencia, una vez realizadas todas las posibles
108 —— Singularidades aritm´
eticas de alef zero
P-disociaciones sucesivas tendremos:
2ℵo = 211 × 212 × 213 × . . .
(50)
que, obviamente, tambi´en podemos escribir como:
2ℵo = 21 × 22 × 23 × . . .
(51)
320 Probemos ahora que el lado derecho de (51) es una sucesi´on ω−ordenada de multiplicaciones. En efecto, no puede ser finita porque el producto de un
n´
umero finito de factores finitos es tambi´en finito, mientras que 2ℵo es infinito no
contable. El lado derecho de (51) solo puede tener un n´
umero infinito de factores.
Adem´as, debe ser una sucesi´on ω−ordenada de factores porque en caso contrario
ser´ıa como m´ınimo (ω + 1)-ordenada y podr´ıamos escribir:
2ℵo = 21 × 22 × 23 × . . . 2ω × P
(52)
donde P es o bien el producto de un n´
umero finito o infinito del mismo factor 2, o
bien 1. En cualquier caso, el factor 2ω estar´
a siempre presente y no tiene predecesor
inmediato,6 lo que viola la Restricci´
on 317 [PI]. Por tanto el lado derecho de (51)
solo puede ser ω−ordenado.
321 La ecuaci´
on (51), por otra parte, se da por sentada y, como hizo Cantor,
puede ser inmediatamente deducida de la definici´on original que el propio Cantor
dio de la exponenciaci´on de cardinales mediante la noci´on de recubrimiento [39,
§ 4].
322 Las relaciones de orden con cardinales (’mayor que’ y ’menor que’) definidas
por Cantor [39, §2] ser´an usadas ahora para demostrar que 2ℵo es el menor cardinal
transfinito que se puede expresar como un producto de cardinales finitos mayores
que 1. Obviamente, el n´
umero de factores no puede ser finito ya que 2ℵo es infinito
no numerable. Por lo tanto, el n´
umero de factores tiene que ser infinito. Sea α
un ordinal transfinito cualquiera mayor que ω, y sea d = a1 × a2 × a3 · · · × aω ×
. . . el producto de una sucesi´on α-ordenada de cardinales finitos a1 , a2 , a3 ,. . . ,
aω ,. . . todos ellos iguales o mayores que 2. Por inducci´on, y teniendo en cuenta
que ω < α y 2k ≤ ak , para todo k, tendr´ıamos:
∀k < ω : 21 × 22 × · · · × 2k ≤ a1 × a2 × · · · × ak
(53)
2 1 × 2 2 × 2 3 × · · · ≤ a1 × a2 × a3 × . . .
(54)
y entonces:
≤a1 × a2 × a3 × · · · × aω × . . .
6 Es
el l´ımite de todos los 2n
(55)
Alef-cero y la potencia del continuo —— 109
Podemos entonces escribir:
2ℵo = 21 × 22 × 23 × · · · ≤ a1 × a2 × a3 × · · · × aω × . . .
(56)
para toda sucesi´on de cardinales ai iguales o mayores que 2 Esto prueba que 2ℵo es
el menor cardinal infinito que puede expresarse como el producto de una sucesi´on
infinita de factores finitos iguales o mayores que 2.
323 Una consecuencia inmediata de 322 es que ℵo no se puede expresar como
un producto de cardinales finitos mayores que 1. Si el n´
umero de factores es finito
el producto ser´a tambi´en finito, y si el n´
umero de factores es infinito ser´a igual o
mayor que 2ℵo , que a su vez es mayor que ℵo . As´ı, como en el caso de los n´
umeros
primos, ℵo siempre debe formar parte de sus propias factorizaciones.
Alef-cero y la potencia del continuo
324 Escribamos el primer factor 21 en (51) como 11 + 12 . Tendremos:
2ℵo = (11 + 12 ) × 22 × 23 × 24 × . . .
(57)
325 Teniendo en cuenta la asociatividad de la multiplicaci´on de cardinales y
la propiedad distributiva de la multiplicaci´
on sobre la adici´
on de cardinales, podemos duplicar sucesivamente el n´
umero de sumandos del primer factor de (57)
multiplic´andolo por los sucesivos segundos factores de (57):
2ℵo = (11 + 12 ) × 22 × 23 × 24 × . . .
= (11 + 12 ) × (22 ) × (23 × 24 × . . . )
(58)
(59)
= (11 + 12 + 13 + 14 ) × 23 × 24 × 25 × . . .
(60)
= (11 + 12 + · · · + 18 ) × 24 × 25 × 26 × . . .
(62)
= (11 + 12 + 13 + 14 ) × (23 ) × (24 × 25 × . . . )
= (11 + 12 + · · · + 18 ) × (24 ) × (25 × 26 × . . . )
= (11 + 12 + · · · + 116 ) × 25 × 26 × 27 × . . .
= (11 + 12 + · · · + 116 ) × (25 ) × (26 × 27 × . . . )
= (11 + 12 + · · · + 132 ) × 26 × 27 × 28 × . . .
...
(61)
(63)
(64)
(65)
(66)
Llamaremos F-duplicaciones a estas sucesivas duplicaciones del n´
umero de sumandos del primer factor de (57). Las sucesivas F-duplicaciones estar´
an sujetas a
la siguiente:
Restricci´
on 325.-Una F-duplicaci´
on ser´a realizada si, y s´olo si, cada
sumando 1n de la suma resultante tiene un predecesor inmediato 1n−1 ,
excepto el primero 11 .
326 Demostremos, por MT (tambi´en es posible una prueba inductiva), que para
cada natural n´
umero v las primeras v F-duplicaciones sucesivas pueden llevarse
110 —— Singularidades aritm´
eticas de alef zero
a cabo. Para ello, supongamos que es falso que para cada natural n´
umero v los
primeros v F-duplicaciones sucesivas pueden llevarse a cabo. Existir´a entonces
al menos un n´
umero natural n tal que es imposible realizar las primeras n Fduplicaciones sucesivas. Es decir, un n´
umero n tal que:
2ℵo = (11 + 12 + · · · + 12n−1 ) × (2n × 2n+1 × 2n+2 × . . . )
(67)
no se puede F-duplicar. Es inmediato probar que eso es falso porque:
2ℵo = (11 + 12 + · · · + 12n−1 ) × (2n × 2n+1 × 2n+2 × . . . )
= (11 + 12 + · · · + 12n−1 ) × (2n ) × (2n+1 × 2n+2 × . . . )
= (11 + 12 + · · · + 12n ) × (2n+1 × 2n+2 × 2n+3 × . . . )
(68)
(69)
(70)
Nuestra suposici´on inicial ha de ser, por tanto, falsa, y podemos confirmar que
para cada n´
umero natural v es posible realizar las primeras v F-duplicaciones
sucesivas.
327 Supongamos ahora que mientras las sucesivas F-duplicaciones pueden llevarse a cabo, se llevan a cabo. Una vez realizadas todas las posibles F-duplicaciones
sucesivas tendr´ıamos una de las dos alternativas siguientes, exhaustivas y mutuamente excluyentes:
2ℵo = (11 + 12 + · · · + 12v−1 ) × (2v × 2v+1 × 2v+2 × . . . )
2
ℵo
= 11 + 12 + 13 + . . .
(71)
(72)
donde v es un cierto n´
umero natural. Siendo v un n´
umero natural, la primera
alternativa debe ser falsa de acuerdo con 326. De nuevo es necesario notar que no
se trata de una indeterminaci´on sino de una imposibilidad: la primera alternativa
es imposible para todo v en N, mientras que si fuera indeterminable existir´ıa un
conjunto no vac´ıo de posibles soluciones. En consecuencia, una vez realizada todas
las F-duplicaciones sucesivas posibles, tendremos:
2ℵo = 11 + 12 + 13 + . . .
(73)
328 Probaremos ahora que el lado derecho de (73) es una sucesi´on ω−ordenada
de sumas. No puede ser finita porque la suma de un n´
umero finito de sumandos
finitos es tambi´en finita. Por tanto el lado derecho de (73) ha de tener un n´
umero
infinito de sumandos. Adem´as ha de ser una sucesi´on ω−ordenada de sumas, en
caso contrar´ıo ser´ıa como m´ınimo (ω + 1)-ordenada y tendr´ıamos:
2ℵo = 11 + 12 + 13 + · · · + 1ω + S
(74)
donde S es o bien una suma de un n´
umero finito o infinito del mismo sumando
1, o bien 0. En cualquier caso, el sumando 1ω estar´ıa siempre presente y no tiene
Alef-cero y la potencia del continuo —— 111
predecesor inmediato, lo que viola la Restricci´
on 325 [PI]. Se sigue entonces que
el lado derecho de (73) ha de ser ω−ordenado.
329 Teniendo en cuenta (73) y (31) podemos escribir:
2ℵo = 21 × 22 × 23 × · · · = 11 + 12 + 13 + · · · = ℵo
(75)
lo que contradice el teorema de Cantor:
ℵo < 2ℵo
(76)
Comentario 329-1.- Conviene recordar que el argumento 324-329 se basa exclusivamente en definiciones operaciones y propiedades bien establecidas de la
aritm´etica transfinita. Simplemente hace uso de una consecuencia de la hip´otesis
del infinito actual: la existencia de sucesiones ω−ordenadas como totalidades completas, a pesar de que ning´
un u
´ltimo elemento las complete. El argumento es, por
tanto, una consecuencia formal de asumir la compleci´
on de lo incompletable. Esta
suposici´on infinitista hace posible completar cualquier definici´on o procedimiento
formado por una sucesi´on ω−ordenada de pasos sin un u
´ltimo paso que complete
la sucesi´on.
112 —— Singularidades aritm´
eticas de alef zero
18.-Substracci´on de cardinales
´n
Introduccio
330 Al contrario de lo que ocurre con los ordinales, la substracci´
on de cardinales
en la aritm´etica transfinita no siempre est´
a definida, ni siquiera permitida. Sin
embargo, se han dado algunas definiciones indirectas y se han probado algunos
resultados sobre la substracci´
on de cardinales [180, pp. 161-173]. Por ejemplo en
1
ZFC se pueden probar, entre otros, los siguientes resultados:
⊲ Si a y b son dos cardinales, diremos que a − b existe si existe un, y solo un,
cardinal c tal que a = b + c. Podemos entonces escribir: c = a − b (Teorema
de Tarski-Bernstein).
⊲ Si a es un cardinal infinito y b un cardinal (finito or infinito), entonces existe
un tercer cardinal c tal que:
b+c=a⇔ b≤a
(1)
Si b = a entonces c puede tomar infinitos valores (ℵo + n = ℵo y similares).
Si no, tendremos c = a.
⊲ Si ℵo ≤ m entonces 2m − m = 2m (teorema de Tarski-Sierpinski).
⊲ Si existe la diferencia a − b de los cardinales a y b, entonces para cualquier
otro cardinal c tambi´en existe la diferencia (c + a) − b y es igual a c + (a − b)
Pero, en general, y especialmente si los cardinales implicados son alefs, no podemos
escribir cosas como:
a−c=b
(2)
a−a=0
(3)
331 Acabamos de ver algunos ejemplos en los que la sustracci´
on de cardinales
est´
a permitida, en la u
´ltima secci´
on de este cap´ıtulo veremos un caso en el que no
lo est´
a. El estado de la sustracci´
on de cardinales en la aritm´etica transfinita es realmente curioso. Aunque parece razonable declarar como indefinida la sustracci´
on
de dos cardinales cuando no podemos decir nada sobre el resultado de la operaci´on, ¿qu´e pasa con la sustracci´
on de cardinales cuando conducen a resultados
contradictorios? Ser definido o indefinido podr´ıa ser razonable, pero ser definido,
1 En
algunos casos sin la ayuda del Axioma de Elecci´
on
113
114 —— Substracci´
on de cardinales
indefinido o inconsistente seg´
un el caso, parece algo inc´
omodo desde un punto de
vista formal. ¿C´omo diablos puede ser consistente una operaci´
on aritm´etica que
’en algunos casos’ conduce a contradicciones sin haber determinado previamente
cu´ales son esos casos y por qu´e son inconsistentes?
332 En este cap´ıtulo vamos a analizar, al nivel fundacional de la teor´ıa de
conjuntos, las razones por la que la mayor´ıa de las sustracciones de cardinales
transfinitos han de ser prohibidas. En este nivel fundamental de la discusi´
on la
u
´nica operaci´
on disponible es establecer correspondencias entre conjuntos. Hacer uso de la aritm´etica transfinita conducir´ıa argumentos circulares, porque la
aritm´etica transfinita se deriva precisamente de las definiciones y de las hip´otesis
fundamentales que vamos a considerar. Como veremos, esas razones son las consecuencias inmediatas de la definici´on fundacional de los conjuntos infinitos, que,
como sabemos, se basa en la violaci´on del Axioma del Todo y la Parte. En efecto,
la sustracci´
on de cardinales finitos (que cumplen con el viejo axioma eucl´ıdeo) no
plantea ning´
un problema, el problema de la sustracci´
on de cardinales u
´nicamente aparece cuando al menos uno de los cardinales implicados en la operaci´
on es
transfinito. Y como se acaba de indicar, unas veces aparece y otras no, sin que se
hayan podido establecer las razones por los cuales aparece o no aparece.
´ n de cardinales
Problemas con la sustraccio
333 Si A y B son dos conjuntos finitos cualesquiera tales que |B| ≤ |A| y f es
una funci´
on inyectiva de B en A tendremos:
A = (A − f (B)) ∪ f (B)
(A − f (B)) ∩ f (B) = ∅
|A| = |A − f (B)| + |f (B)|
(4)
(5)
(6)
Se podr´ıa esperar, por tanto, que la sustracci´
on de los cardinales |A| y |B| fuera
algo as´ı como:
|A| − |B| = |A − f (B)|
(7)
porque, siendo B y f (B) equipotentes, A − f (B) es el conjunto que resulta de
retirar (restar) de A un n´
umero de elementos igual al cardinal de B. La definici´on
(7) funciona siempre que los conjuntos A y B sean finitos.
334 Como veremos a continuaci´on, en el caso de los conjuntos infinitos actuales,
y debido a la violaci´on del axioma del todo y las partes, la definici´on anterior
sugiere que la sustracci´
on de cardinales (7) no funciona. En efecto, sean A =
{a1 , a2 , a3 , . . . } y B = {b1 , b2 , b3 , . . . } dos conjuntos numerables y ω−ordenados.
Consideremos las siguientes funciones inyectivas de B en A:



f1 (bi ) = ai
(8)
∀i ∈ N f2,n (bi ) = ai+n , ∀n ∈ N


f (b ) = a
3
i
2i
Problemas con la sustracci´
on de cardinales —— 115
donde n as un n´
umero natural cualquiera. Tendr´ıamos:
|A| − |B| = |A − f1 (B)| = |∅| = 0
|A| − |B| = |A − f2,n (B)| = |{a1 , a2 , . . . an }| = n, ∀n ∈ N
|A| − |B| = |A − f3 (B)| = |{a1 , a3 , a5 , . . . }| = ℵo
(9)
(10)
(11)
Por lo tanto, la sustracci´
on de los mismos dos cardinales infinitos origina infinitos
resultados diferentes, dependiendo de la forma particular de emparejamiento de
los elementos de ambos conjuntos: los elementos de B se puede emparejar con los
elementos de A (f1 , por ejemplo) o con los elementos de una parte propia de A
(f2,n o f3 ), como si la parte y el todo fueran la misma cosa.
335 Podr´ıamos incluso demostrar una variante conjuntista del Teorema de las
Series de Riemann: Si A y B son dos conjuntos ω−ordenados entonces la sustracci´on de sus respectivos cardinales |A| y |B| se puede hacer igual a cualquier n´
umero
natural dado. Para demostrarlo, Sean A = {a1 , a2 , a3 , . . . } y B = {b1 , b2 , b3 , . . . }
dos conjuntos ω−ordenados cualesquiera y n cualquier n´
umero natural. Consideremos ahora la inyecci´on f de B en A:
f (bi ) = an+i , ∀i ∈ N
(12)
Tendremos:
f (B) = {an+1 , an+2 , an+3 , . . . }
(13)
|A| − |B| = |A − f (B)| = |{a1 , a2 , . . . an }| = n
(15)
A − f (B) = {a1 , a2 , . . . an }
(14)
336 Como en el caso del Teorema de Riemann que reinterpretaremos en el
Cap´ıtulo 29, la conclusi´
on anterior tambi´en puede ser reinterpretada como una
contradicci´on derivada de los propios fundamentos de la teor´ıa de conjuntos. Para
ello denotemos por:
D: Definici´
on de Dedekind de conjunto infinito.
A: Axioma del Infinito.
Ho : Dos conjuntos tienen el mismo n´
umero de elementos si existe una biyecci´on entre ellos.
De acuerdo con 335 podremos escribir:
D ∧ A ∧ Ho ⇒ (|A| − |B| = n) ∧ (|A| − |B| 6= n)
(16)
que parece algo contradictorio.
337 La posibilidad de obtener el mismo resultado cuando se opera con diferentes
operandos (como es el caso de la adici´
on, multiplicaci´on y exponenciaci´on de cardinales infinitos) podr´ıa ser admisible. Pero la posibilidad de obtener un n´
umero
infinito de resultados diferentes cuando se opera exactamente con los mismos dos
116 —— Substracci´
on de cardinales
operandos (como en el caso anterior de la sustracci´
on de cardinales) parece algo
inc´
omodo. Sin embargo, la segunda posibilidad es una consecuencia de la primera.
Porque si aceptamos que:
b+c=a
(17)
b+d=a
(18)
b+e=a
(19)
etc.
tambi´en deber´ıamos aceptar que:
b−a=c
b−a=d
b−a=e
(20)
(21)
(22)
etc.
La soluci´on a este problema ha sido, no obstante, la ignorancia (m´
as o menos
expl´ıcita) de la sustracci´
on de cardinales.
El argumento de Faticoni
338 En [74], p´
aginas 150-51, podemos leer el siguiente argumento sobre la imposibilidad de la sustracci´
on de cardinales (por cierto un argumento t´ıpico sobre
ese asunto):
1) H1 : Sup´ongase que es posible definir la sustracci´
on ℵo - ℵo (como lo
opuesto a la adici´
on) de modo que:
ℵo − ℵo = 0
2) tendr´ıamos:
1 + ℵo = ℵo
1 + (ℵo − ℵo ) = ℵo − ℵo
(23)
(24)
(25)
1+0=0
(26)
1=0
(27)
3) En consecuencia H1 es imposible
339 Como no pod´ıa ser de otra manera, el argumento de Faticoni assume los
supuestos de la moderna teor´ıa de conjuntos. Se podr´ıa por tanto completar de
la siguiente manera:
D: Un conjunto es infinito si existe una correspondencia uno a uno entre el
conjunto y uno de sus subconjuntos propios.
A: Existe un conjunto infinito2 (Axioma del Infinito).
H0 : Dos conjuntos tienen el mismo n´
umero de elementos si se pueden poner
en correspondencia uno a uno.
2 N´
otese
que D y A establecen la existencia de un conjunto que viola el Axioma del Todo
y las Partes[73].
El argumento de Faticoni —— 117
H1 : Sup´ongase que es posible definir la sustracci´
on ℵo - ℵo (como lo opuesto
a la adici´
on) de modo que:
ℵo − ℵo = 0
(28)
1) Tendr´ıamos:
1 + ℵo = ℵo
(29)
1 + (ℵo − ℵo ) = ℵo − ℵo
(30)
1+0=0
(31)
1=0
(32)
2) Por tanto H1 es imposible.
Resulta ahora evidente que el absurdo (32) tambi´en podr´ıa estar ocasionado por
la inconsistencia de D y A. Podr´ıamos escribir:
Caja BX
D ∧ A ∧ H0 ∧ H1 ⇒ (1 = 0)
(33)
Añadir À0 bolas
0 bolas
À0 bolas
Añadir À0 bolas
Retirar À0 bolas
Retirar À0 bolas
À0 bolas
À0 bolas
Figura 18.1: A˜nadiendo y quitando bolas de una caja.
340 Quiz´
as la sustracci´
on de cardinales sea una operaci´
on imposible. Consideremos, pues, la posibilidad de extraer bolas de una caja que contiene bolas, que
parece estar un poco m´as a mano. Sea BX una caja que contiene una colecci´
on
numerable de bolas rojas. A˜
nadamos a BX una colecci´
on numerable de bolas
azules. En este momento BX tendr´a ℵo bolas rojas m´as ℵo bolas azules, es decir,
ℵo bolas (ℵo + ℵo = ℵo ). Retiremos ahora de BX todas las bolas rojas, es decir,
eliminar ℵo bolas de una caja que contiene ℵo bolas. El resultado ser´a una caja
que contiene ℵo bolas (todas las bolas azules). Finalmente retiremos todas las
118 —— Substracci´
on de cardinales
bolas azules, es decir, retiremos ℵo bolas de una caja que contiene ℵo bolas. El resultado ser´a una caja que no contiene ninguna bola. As´ı, mediante la eliminaci´on
de ℵo bolas de una caja que contiene ℵo bolas, podemos obtener ya sea una caja
que contiene ℵo bolas o una caja que no contiene ninguna bola, una conclusi´
on
que est´
a de acuerdo con 337.
19.-La hip´otesis del continuum
´n
Introduccio
341 En el segundo Congreso Internacional de Matem´
aticas, celebrado en Par´ıs
en el a˜
no 1900, David Hilbert dio una conferencia en la que propuso una lista
de 23 problemas matem´aticos no resueltos, a modo de reto para los matem´aticos
del nuevo siglo. El primero de esos problemas era el llamado ’problema del continuum’, que hab´ıa sido planteado algunos a˜
nos antes por G. Cantor. El problema
en cuesti´on consiste en probar la veracidad o falsedad de la igualdad:
2ℵo = ℵ1
(1)
umeros reales (el continuum) y ℵ1
donde 2ℵo es el cardinal del conjunto de los n´
es, en palabras de Cantor, el cardinal del conjunto de todos los ordinales cuyo
cardinal el ℵo (i.e. el cardinal del conjunto ω1 de todos los ordinales numerables).
342 Durante m´as de treinta a˜
nos el problema fue muy discutido, hasta que
finalmente se demostr´
o la imposibilidad de probar tanto la veracidad como la
falsedad de la hip´
otesis del continuum (ecuaci´on 1) en el marco de las teor´ıas
axiom´aticas de conjuntos, suponiendo la consistencia de esas teor´ıas. Recu´erdese
que el Axioma del Infinito es uno de los fundamentos axiom´aticos de todas las
teor´ıas de conjuntos actuales. Queda claro entonces por qu´e terminamos este parte
sobre aritm´etica transfinita recordando ese viejo problema a´
un no resuelto.
Al borde del abismo
343 En el tercer Congreso Internacional de Matem´
aticas, ahora celebrado en
Heidelberg en el a˜
no 1904, Julius K¨
onig, un m´edico y matem´atico de la Universidad de Budapest, ley´o un art´ıculo en el que demostraba que la potencia del
continuum 2ℵo no pod´ıa ser un alef, y que el continuum nunca podr´ıa ser un
conjunto bien ordenado. Esta u
´ltima conclusi´
on era incompatible con una de las
convicciones infinitistas m´as firmes de Cantor: que todo cardinal transfinito era
un miembro de su lista de alefs.
344 Supongamos que la potencia del continuum es un cierto alef ℵc . K¨onig hab´ıa
demostrado que si s es la suma de una sucesi´on creciente de cardinales transfinitos
entonces se verifica:
(2)
sℵo > s
119
120 —— La hip´
otesis del continuum
Una de esas sumas podr´a ser:
ℵc + ℵc+1 + ℵc+2 + ℵc+3 + · · · = ℵc+ω
(3)
Y entonces tendr´ıamos:
o
ℵℵc+ω
> ℵc+ω
(4)
345 Por otra parte, Felix Bernstein hab´ıa demostrado en su tesis doctoral:
ℵℵµα = ℵµ × 2ℵα
(5)
Reemplazando en (5) ℵµ por ℵc+ω y ℵα por ℵo tendr´ıamos
o
ℵℵc+ω
= ℵc+ω × 2ℵo
= ℵc+ω × ℵc
(6)
(7)
lo que va contra (4).
346 Inmediatamente despu´es, Ernst Zermelo demostr´
o que K¨onig hab´ıa usado
el teorema de Bernstein en un caso en el que ese teorema no era v´alido. K¨onig
acab´
o retirando su pretensi´
on. Pero los infinitistas comprendieron la importancia
de resolver el problema del continuum para evitar nuevos sobresaltos relacionados
con la hip´otesis del infinito actual que fundamenta las matem´aticas infinitistas.
El problema, sin embargo, sigue sin estar resuelto.
347 En el a˜
no 1938 K. G¨
odel demostr´
o que la falsedad de la hip´otesis del continuum (ecuaci´on 1) no se puede deducir de los axiomas de la teor´ıa de conjuntos
[83]. En 1963 P. J. Cohen demostr´
o el resultado complementario: que se veracidad
tampoco se puede deducir de esos axiomas [51]. La hip´otesis del continuum resulta, pues, inocua para la teor´ıa de conjuntos. Pero por muy inocua que resulte,
sigue sin estar resuelta.
348 Tengo la impresi´on de que a lo largo de las p´
aginas de este libro se han demostrado algunos resultados contradictorios que implican al Axioma del Infinito.
Si ese fuera el caso tambi´en se habr´ıa demostrado que:
2ℵo = ℵ1
(8)
2ℵo 6= ℵ1
(9)
y que:
puesto que una vez demostrada una contradicci´on en un sistema formal, se podr´a demostrar cualquier otra contradicci´on en el miso sistema formal.
349 De acuerdo con G¨
odel y Cohen la hip´otesis del continuum no puede ser
demostrada ni refutada en el marco de las teor´ıa axiom´aticas de conjuntos (como
ZF). De acuerdo con las p´
aginas de este libro la hip´otesis del continuum puede ser
demostrada y refutada en los mismos marcos te´oricos conjuntistas. Simplemente
porque el Axioma del Infinito, que forma parte de todas ellos, ser´ıa inconsistente.
Part IV. Argumentos: Superm´aquinas
20.-La l´ampara de Thomson
´n
Introduccio
350 Aunque la cr´ıtica de Benacerraf al argumento de la l´ampara de Thomson
est´
a bien fundada (v´ease m´as abajo), queda muy lejos de ser completa. Como
veremos aqu´ı, es posible considerar una nueva l´ınea argumental, solo incidentalmente considerada por Benacerraf, que se basa exclusivamente en la definici´on
formal de la l´ampara. Esa l´ınea argumental conduce a un resultado contradictorio que compromete la consistencia formal del ω−orden involucrado en todas las
ω-supertareas.
351 Realizar una ω-supertarea (supertarea a partir de ahora) significa realizar una sucesi´on ω−ordenada de acciones (tareas) en un tiempo finito.
Las supertareas son artefactos te´oricos de cierta
utilidad en la filosof´ıa de las matem´aticas, particularmente en la discusiones formales de algunos Figura 20.1: Supertarea de Gregory.
problemas relacionados con el infinito.1 Aunque sus
posibilidades e implicaciones f´ısicas tambi´en han sido discutidas.2 Aqu´ı solo trataremos con supertareas conceptuales.
352 Gregory of Rimini fue probablemente el primero en proponer c´
omo se podr´ıa
realizar una supertarea ([141], p. 53):
Si Dios quisiera hacer crecer una piedra a˜
nadi´endole sucesivos metros
´ s´ı puede hacer- podr´ıa crear una piedra
c´
ubicos de piedra -lo que El
infinitamente grande. Para ello s´olo necesita agregar un pie c´
ubico en
alg´
un instante, otro pie c´
ubico media hora m´as tarde, otro un cuarto
de hora m´as tarde, y as´ı sucesivamente ad infinitum. Entonces tendr´ıa
´ una piedra infinita al final de una hora.
ante El
Pero el t´ermino ’supertarea’ fue introducido por J. F. Thomson en su seminal
art´ıculo de 1954 [198]. El art´ıculo de Thomson fue motivado por el argumento de
Black [23] sobre la imposibilidad de realizar infinitas acciones sucesivas y por las
1 [198],
[26], [49], [160], [18], [210], [160]
[156], [160], [172], [93], [95], [94], [156], [157], [158], [70], [159], [149], [5], [6], [161]
[210], [104], [68], [69], [149], [67], [181]
2 [155],
121
122 —— La l´
ampara de Thomson
subsiguientes discusiones sobre ese argumento realizadas por R. Taylor [197] y J.
Watling [208]. En su art´ıculo, Thomson intent´
o probar la imposibilidad de realizar
supertareas. El argumento de Thomson fue, a su vez, criticado en otro art´ıculo
seminal, en este caso de P. Benacerraf [17]. El ´exito de la cr´ıtica de Benacerraf
finalmente motiv´
o la creaci´on de una nueva teor´ıa infinitista independiente de la
teor´ıa de conjuntos: la teor´ıa de supertareas.
353 Las posibilidades de realizar una infinidad no contable de acciones fueron
examinadas, y descartadas, por P. Clark y S. Read [49]. Las supertareas han sido
tambi´en consideradas desde la perspectiva del an´alisis no est´
andar,3 aunque las
posibilidades de realizar una hipertarea durante un intervalo hiperreal de tiempo
no han sido discutidas, a pesar de que los intervalos finitos hiperreales se pueden
dividir en una infinidad hipercontable de intervalos infinitesimales (particiones
hiperfinitas).4 Pero la mayor´ıa de las supertareas son ω -supertareas, i.e. sucesiones
ω−ordenadas de acciones realizadas durante un intervalo finito (o percibido como
finito) de tiempo. Como no podr´ıa ser de otra manera, todos los argumentos sobre
supertareas asumen el Principio de Independencia (v´ease el Cap´ıtulo 3).
354 La idea b´
asica de la cr´ıtica Benacerraf contra el argumento de Thomson
es la imposibilidad de derivar consecuencias formales sobre el estado final de la
superm´aquina que realiza la supertarea, a partir de la sucesi´on de estados que
la m´aquina atraviesa como consecuencia de la ejecuci´
on de la supertarea. Pero,
como veremos, el an´alisis de Benacerraf del argumento de la l´ampara de Thomson
es incompleto.
355 En efecto, si el mundo continua siendo el mismo mundo que era antes de
la ejecuci´
on de una supertarea, y si se sigue permitiendo pensar en t´erminos
racionales en el mismo marco de las leyes de la l´ogica, entonces el argumento de
Thomson se pueden reorientar hacia la definici´on formal de la m´aquina que realiza
la supertarea. Una definici´on que no depende del n´
umero de tareas realizadas
con esa m´aquina, una definici´on que, por consiguiente, tiene la misma validez
antes durante y despu´es de realizar la supertarea [PI]. Asumimos pues que la
ejecuci´
on de una supertarea no cambia de forma arbitraria una definici´on leg´ıtima
previamente establecida.
´ mpara de Thomson
La la
356 Como hizo Thomson en 1954, en la siguiente discusi´
on usaremos una de
esas:
... l´amparas de lectura que tienen un bot´on en la base. Si la l´ampara
est´
a apagada y se presione el bot´on, la l´ampara se enciende, y si la
l´ampara est´
a encendida y se presione su bot´on la l´ampara se apaga.
3 [136],
4 [194],
[135], [4], [123]
[87], [108], [100], etc.
La l´
ampara de Thomson —— 123
([198], p. 5).
Completemos la definici´on de Thomson con las dos siguientes condiciones sobre
el funcionamiento (te´
orico) de la l´ampara:
1) La l´ampara de Thomson solo tiene dos estados: encendida y apagada
2) El estado de la l´ampara (encendida/apagada) cambia si, y solo si, se
pulsa su bot´on.
3) Cada cambio de estado tiene lugar en un determinado y preciso instante.
4) La pulsaci´
on del bot´on y el correspondiente cambio de estado (encendida/apagada) de la l´ampara son sucesos instant´
aneos y simult´
aneos.
357 Supongamos ahora que se pulsa el bot´on de la l´ampara en cada uno de los infinitos instantes sucesivos ti , y s´olo
en ellos, de una sucesi´on estrictamente creciente y ω−ordenada de instantes htn i definidos dentro de un intervalo
finito de tiempo (ta , tb ), siendo tb el l´ımite de la sucesi´on
htn i. En el instante tb se habr´
a completado una sucesi´on Figura 20.2: La l´ampaω−ordenada hpn i de pulsaciones del bot´on de la l´ampara ra de Thomson apagada (izda) y encendida
(cada pulsaci´on pi ejecutada en el instante ti ), y por tanto (dcha).
se habr´
a completado una sucesi´on ω−ordenada de cambios de estado de la l´ampara. O con otras palabras, en el instante tb se habr´
a completado la supertarea de
Thomson. Recu´erdese que esto es un argumento puramente conceptual, de modo
que no nos preocupan los detalles f´ısicos.
358 Thomson intent´
o derivar una contradicci´on de su supertarea especulando
sobre el estado final de la l´ampara en el instante tb en t´erminos de la sucesi´on de
pulsaciones del bot´on de la l´ampara completada a lo largo de la supertarea ([198],
p. 5):
[La l´ampara] no puede estar encendida, porque nunca la encend´ı sin
volverla a apagar. No puede estar apagada porque la encend´ı la primera vez y luego nunca la apagu´e sin volverla a encender. Pero la
l´ampara debe estar o encendida o apagada. Esto es una contradicci´on.
359 Es importante se˜
nalar que, como se acaba de ver, Thomson bas´
o su argumento en la sucesi´on de acciones llevadas a cabo con la l´ampara: nunca fue
encendida sin apagarla despu´es, y viceversa. Lo que Thomson intentaba hacer es
derivar el estado final de la l´ampara, el estado de la l´ampara en el instante tb , de la
sucesi´on de estados sufridos por la l´ampara durante la supertarea: la raz´
on por la
que la l´ampara no puede estar encendida es porque siempre fue apagada despu´es
de encenderla. Y por la misma raz´
on no puede estar apagada. Esta manera de
argumentar fue severamente criticada por Benacerraf.
360 La cr´ıtica de Benacerraf al argumento de Thomson es la siguiente: ([17], p.
768):
124 —— La l´
ampara de Thomson
Las u
´nicas razones que Thomson da para suponer que su l´ampara
no estar´
a apagada en el instante tb [= 1 p.m.] valen solo para los
instantes de tiempo anteriores a tb . Simplemente, las instrucciones de
Thomson no cubren el estado de la l´ampara en el instante tb , aunque
nos dicen cual deber´
a ser su estado en cada uno de los instantes entre
ta y tb (incluyendo ta ). Ciertamente, la l´ampara debe estar encendida
o apagada (siempre que no haya desaparecido en una bocanada de
humo metaf´ısico), pero nada de lo que se nos dice implica cu´al ha de
ser ese estado. El argumento de que no puede estar en ninguno de ellos
no viene al caso. Suponer que s´ı viene es suponer que una descripci´on
del estado f´ısico de la l´ampara en el instante tb (con respecto a la
propiedad de estar encendida o apagada) es una consecuencia l´ogica
de la descripci´
on de su estado (con respecto a la misma propiedad) en
instantes anteriores a tb .(ta y tb aparecen respectivamente como t0 y
t1 en el art´ıculo de Benacerraf).
361 En resumen, seg´
un Benacerraf, el problema planteado por Thomson no
est´
a suficientemente descrito porque nada se indica sobre lo que sucede en tb [3].
Pero lo u
´nico que ha de ocurrir en tb es que la l´ampara de Thomson siga siendo la
l´ampara de Thomson. O con otras palabras, que la ejecuci´
on de una supertarea no
cambie las definiciones formales de los artefactos te´oricos implicados en ella. Como
veremos, el estado de la l´ampara en el instante tb no es una ’consecuencia l´
ogica
de la descripci´
on de su estado (con respecto a la misma propiedad) en instantes
anteriores a tb ,’ es una consecuencia l´ogica de ser una l´ampara de Thomson [PI].
Y eso s´ı viene al caso. Ser´
a la clave de la argumentaci´on que sigue.
362 Consid´erese el instante tb , el l´ımite de la sucesi´on htn i de instantes en los
que se llevan a cabo la sucesi´on de pulsaciones hpn i del bot´on de la l´ampara que
constituyen la supertarea. Ese instante es, por tanto, el primer instante despu´es de
completar la sucesi´on de encendidos y apagados de la l´ampara. El primer instante
en el que ya no se pulsa el bot´on de la l´ampara. Sea ahora Sb el estado de la
l´ampara en el instante tb . Siendo el estado de una l´ampara de Thomson, s´olo
puede ser encendida o apagada. Y esta conclusi´
on no tiene nada que ver con el
n´
umero de encendidos/apagados que previamente se hayan llevado a cabo. La
l´ampara estar´
a encendida o apagada porque, siendo una l´ampara de Thomson,
s´olo tiene esos dos estados [PI].
363 Algunos infinitistas afirman, sin embargo, que en tb , despu´es de realizar la
supertarea de Thomson, la l´ampara puede estar en cualquier estado desconocido,
incluso en un estado ex´
otico. Pero una l´ampara que puede estar en un estado
desconocido no es una l´ampara de Thomson: los u
´nicos estados posibles de una
l´ampara de Thomson son encendida y apagada. No hay otra alternativa sin violar
arbitrariamente la leg´ıtima definici´on formal de la l´ampara de Thomson. Y suponemos que ninguna teor´ıa formal est´
a autorizada a violar arbitrariamente una
La l´
ampara de Thomson —— 125
definici´on formal, ni, obviamente, a cambiar de forma arbitraria la naturaleza del
mundo [PI]. Ni que decir tiene que si ese fuera el caso, cualquier cosa se podr´ıa
esperar de esa teor´ıa.
364 Otros piensan que el estado Sb es la consecuencia de completar la sucesi´on
ω−ordenada de pulsaciones hpn i del bot´on de la l´ampara, puesto que esa sucesi´on
de pulsaciones, y solo ella, se ha realizado. Pero si completar la sucesi´on de pulsaciones hpn i significa realizar todas y cada una de las infinitas pulsaciones sucesivas
pi , y s´olo ellas, entonces tenemos un problema. El problema de que ninguna pulsaci´on pi de hpn i origina Sb . Ninguna. As´ı es, si pv es una pulsaci´on cualquiera de
hpn i, pv no puede ser la causa de Sb porque en tal caso el bot´on de la l´ampara se
habr´ıa pulsado s´olo un n´
umero finito v de veces. O en otros palabras, si quitamos
de hpn i todas las pulsaciones que no originan Sb , entonces las quitar´ıamos todas.
365 En esas condiciones, ¿c´
omo puede decirse que la compleci´on de la sucesi´on de
pulsaciones hpn i, ninguno de cuyos elementos origina Sb , origina precisamente Sb ?
¿Es la compleci´on de la sucesi´on de pulsaciones una pulsaci´on adicional diferente
a todos los elementos de hpn i? Si ese fuera el caso, la sucesi´on de pulsaciones
realizadas ser´ıa (ω + 1)-ordenada en lugar de ω−ordenada, pero las ω-supertareas
son ω−ordenadas, no (ω + 1)-ordenadas.
366 En este punto algunos infinitistas proclaman que la l´ampara podr´ıa estar
en el estado Sb por razones desconocidas. Pero, una vez m´as, esa conclusi´
on viola
la definici´on formal de la l´ampara: la l´ampara de Thomson cambia de estado
exclusivamente pulsando su bot´on, haciendo clic en su bot´on. Por lo que una
l´ampara que cambia de estado por razones desconocidas no es, por definici´on,
una l´ampara de Thomson [PI].
367 En cualquier caso, la pregunta relevante sobre el estado Sb es: ¿en qu´e instante adquiere la l´ampara de Thomson el estado Sb ? Es inmediato demostrar
que ese instante s´olo puede ser el preciso instante tb . En efecto, sabemos que la
l´ampara est´
a en el estado Sb en el instante tb , pero supongamos que la l´ampara
adquiere el estado Sb en un instante cualquiera t anterior a tb . Puesto que tb es
el l´ımite de la sucesi´on htn i, tendremos:
∃v : tv ≤ t < tv+1
(1)
lo que significa que en el instante t se han realizado s´olo un n´
umero finito v de
pulsaciones. Por lo tanto, y teniendo en cuenta que t es un instante cualquiera
del intervalo (ta , tb ), el instante preciso en el que se origina Sb no pertenece al
intervalo (ta , tb ). En consecuencia, y siendo Sb el estado de la l´ampara de Thomson
en el preciso instante tb , el estado Sb solo puede originarse en el preciso instante
tb .
368 Pero tb no es el instante en el que se completa la sucesi´on de pulsaciones;
126 —— La l´
ampara de Thomson
tb es el primer instante despu´es de completar esa sucesi´on. En realidad no existe
un instante en el que se completa la sucesi´on de pulsaciones5 porque esa sucesi´on
es ω−ordenada y las sucesiones ω−ordenadas no tienen u
´ltimo elemento. En tb la
sucesi´on hpn i de pulsaciones, y por tanto la sucesi´on hSn i de cambios de estado
de la l´ampara, ya han sido completadas. En tb no se pulsa el bot´on de la l´ampara.
En tb no ocurre nada que pueda producir un cambio estado de la l´ampara.
369 No tiene sentido discutir sobre el u
´ltimo t´ermino de una sucesi´on ω−ordenada sencillamente porque no existe el u
´ltimo t´ermino de una sucesi´on ω−ordenada. Por el contrario, s´ı podremos argumentar sobre el l´ımite, siempre que
exista, de esa sucesi´on, que es un objeto bien definido aunque no forme parte
de la sucesi´on. Del mismo modo, mientras que no tiene sentido discutir sobre el
u
´ltimo instante en el que se puls´o el bot´on de la l´ampara de Thomson, el instante
tb est´
a lleno de significado: es el l´ımite de la sucesi´on de instantes en los que se
ejecutan las sucesivas pulsaciones del bot´on de l´ampara de Thomson. Es el primer
instante despu´es de completar la sucesi´on de pulsaciones del bot´on de la l´ampara
de Thomson; es el primer instante en el que ya no se pulsa el bot´on de la l´ampara.
370 De acuerdo con 367-369, no puede afirmarse que Sb resulte de completar
la sucesi´on hpn i de pulsaciones: la l´ampara de Thomson adquiere el estado Sb
justo en el instante tb , pero en el instante tb ya se ha completado la sucesi´on
de pulsaciones; tb es posterior a la finalizaci´on de la sucesi´on de pulsaciones. La
l´ampara de Thomson adquiere el estado Sb en el preciso instante tb , pero nada
ocurre en el preciso instante tb para que la l´ampara adquiera el estado Sb :
a) En el instante tb la sucesi´on de pulsaciones ya ha concluido.
b) En el instante tb no se pulsa el bot´on de la l´ampara.
Sb es entonces un estado imposible, es la consecuencia de suponer que se puede
completar una sucesi´on incompletable de acciones, incompletable en el sentido de
que no existe un u
´ltimo elemento que complete la sucesi´on.
371 El hecho de que se puedan emparejar uno a uno los elementos de dos sucesiones incompletables, como en el caso de las sucesiones anteriores de clics y
de instantes, no prueba que ambas sucesiones existan como totalidades infinitas
completas: podr´ıan ser potencialmente infinitas. La posibilidad de emparejar los
elementos de dos totalidades imposibles, no las hace posibles.
372 En este punto, todo lo que uno puede esperar de los infinitistas es ser
declarado incompetente para entender el significado de la frase: ’el estado de la
l´
ampara en tb es el resultado de completar la sucesi´
on ω−ordenada de pulsaciones
hpn i, un resultado que se manifiesta por primera vez en tb ’. Pero, esperen un
momento, ¿no es Sb el resultado de una pulsaci´on del bot´on de la l´ampara? No
olvide que l´ampara de Thomson s´olo puede cambiar su estado si usted pulsa
5 Lo
que a˜
nade un problema adicional: ¿c´
omo es posible completar una sucesi´
on de acciones
en el intervalo (ta , tb ) si no se puede completar en ninguno de los instantes de (ta , tb )?
La m´
aquina de contar —— 127
su bot´on, si hace clic con ´el. Y que ambos sucesos, la pulsaci´on del bot´on y el
correspondiente cambio de estado, son sucesos instant´
aneos y simult´
aneos por
definici´on.
373 Entonces, si Sb aparece por primera vez en el preciso instante tb y en tb no
se pulsa el bot´on de la l´ampara ¿qu´e origina Sb ? ¿de d´
onde viene Sb ?
374 En definitiva, Sb se ha de originar necesariamente en el instante tb , de lo
contrario s´olo un n´
umero finito de pulsaciones se habr´ıan realizado, seg´
un 367-369.
Pero, por otra parte, no puede originarse en tb porque:
1) El estado de la l´ampara solo cambia cuando se pulsa su bot´on.
2) La pulsaci´
on del bot´on y el correspondiente cambio de estado de la
l´ampara son sucesos instant´
aneos y simult´
aneos que ocurren en un instante determinado y preciso.
3) Siendo la pulsaci´
on del bot´on y el correspondiente cambio de estado
sucesos instant´
aneos y simult´
aneos, y siendo el estado Sb originado en el
preciso instante tb , el bot´on de la l´ampara tuvo que ser pulsado en ese
preciso instante tb
4) Pero el bot´on de la l´ampara no se ha pulsado en tb .
375 Sb s´olo podr´ıa ser, por consiguiente, el imposible u
´ltimo estado de una
sucesi´on ω−ordenada de estados en la que no existe un u
´ltimo estado. El resultado
de asumir la hip´
otesis del infinito actual del que se deriva la existencia de las
sucesiones ω−ordenadas como totalidades completas, a pesar de que ning´
un u
´ltimo
elemento las complete.
376 La l´ampara de Thomson es un dispositivo te´orico deliberadamente ideado
para facilitar una discusi´
on formal sobre la hip´otesis de infinito actual que legitima la existencia de sucesiones ω−ordenadas como totalidades completas [37], [39,
Teorema 15-A]. Las supertareas son un ejemplo de tales sucesiones, y la contradicci´
on 374 sugiere claramente que la hip´
otesis en que la que se basan podr´ıa ser
inconsistente.
´ quina de contar
La ma
377 La m´aquina de contar (CM ) que examinaremos en esta secci´
on plantea
un problema similar al de la l´ampara de Thomson que acabamos de analizar.
Como su nombre sugiere, CM cuenta n´
umeros naturales, y lo hace contando los
sucesivos n´
umeros 1, 2, 3. . . en cada uno de los sucesivos instantes t1 , t2 , t3 . . . de
la sucesi´on htn i anterior. Cuenta cada n´
umero n en el preciso instante tn . Adem´as
la m´aquina dispone de un LED rojo que se enciende cuando, y solo cuando, la
m´aquina cuenta un n´
umero par; y se apaga cuando, y solo cuando, la m´aquina
cuenta un n´
umero impar.
378 La biyecci´on f :
f : htn i 7→ N
(2)
128 —— La l´
ampara de Thomson
f (tn ) = n
(3)
demuestra que en el instante tb nuestra m´aquina habr´
a contado todos los n´
umeros
naturales. De modo que, si despu´es de realizar la supertarea, nuestra m´aquina de
contar CM sigue siendo la misma m´aquina de contar que era antes de comenzar
la supertarea, es decir, si la realizaci´
on de una supertarea no cambia la naturaleza
del mundo ni implica la violaci´on arbitraria de las definiciones formales leg´ıtimas,
como la de nuestra CM , entonces su LED rojo s´olo podr´a estar encendido o
apagado, simplemente porque un LED s´olo puede estar encendido o apagado,
independientemente del n´
umero de veces que haya sido encendido y apagado.
379 Supongamos entonces que el LED rojo se encuentra encendido en el instante tb (un argumento similar se aplicar´ıa si estuviera apagado). Una de las dos
siguientes alternativas, exhaustivas y mutuamente excluyentes, debe cumplirse:
1) El LED rojo est´
a encendido porque CM cont´
o un u
´ltimo n´
umero par.
2) El LED rojo est´
a encendido por cualquier otra raz´
on conocida o desconocida.
La primera alternativa es imposible si todos los n´
umeros naturales se han contado:
cada n´
umero par tiene un inmediato sucesor impar y por tanto no existe un
u
´ltimo n´
umero natural, ni par ni impar. La segunda alternativa implicar´ıa que se
ha violado la definici´on formal de CM : su LED rojo se enciende cuando, y solo
cuando, la m´aquina cuenta un n´
umero par, lo que excluye la posibilidad de ser
encendida por cualquier otra raz´
on, conocida o desconocida [PI].
380 Si la lista ω−ordenada de los n´
umeros naturales existe como una totalidad
completa a pesar de que no existe un u
´ltimo n´
umero que complete la lista, entonces nuestro modesto LED rojo estar´
a y no estar´
a encendido. De otra forma se
tendr´ıa que violar una leg´ıtima definici´on para justificar que nuestro LED pueda
encenderse por cualquier raz´
on diferente de la raz´
on definida como la u
´nica raz´
on
por la cual el LED puede encenderse, a saber la de contar un n´
umero par y solo
la de contar un n´
umero par. Si ese fuera el caso, cualquier cosa se podr´ıa esperar
de la hip´otesis del infinito actual.
381 N´
otese de nuevo que, como en el caso de la l´ampara de Thomson, la conclusi´
on anterior sobre el estado del LED una vez contados todos los n´
umeros
naturales no se deriva de las sucesivas acciones realizadas, sino del hecho de ser
un LED con dos estados precisos y definidos (encendido y apagado) y de tal forma
el LED se enciende si, y solo si, CM cuenta un n´
umero par.
21.-La l´ampara de Thomson formalizada
´n
Introduccio
382 La discusi´
on sobre la l´ampara de Thomson analizada en el cap´ıtulo anterior
se puede formalizar (al menos hasta un cierto punto) introduciendo una simple
notaci´
on simb´
olica que permite definir la l´ampara y su funcionamiento en t´erminos abstractos. La definici´on simb´
olica se puede usar entonces para desarrollar
f´ormulas que representen las leyes de funcionamiento de la l´ampara. Siendo independiente del n´
umero de veces que la l´ampara se enciende o se apaga, esas leyes
representan los atributos universales y el comportamiento universal de una l´ampara de Thomson. Como veremos, algunas de esas leyes son incompatibles con la
hip´otesis de que una l´ampara de Thomson se puede encender y apagar un n´
umero
infinito de veces en un tiempo finito. Esta conclusi´
on demuestra que, como defendi´o su autor, la supertarea de Thomson podr´ıa ser inconsistente. Y por tanto que
el ω−orden y el infinito actual ser´ıan los responsables de esa inconsistencia.
S´ımbolos y definiciones
383 Los s´ımbolos ’*’ y ’o’ se usar´an para representar que la l´ampara est´
a encendida (on) y apagada (off) respectivamente. Las pulsaciones del bot´on (clics)
ser´a representadas por la letra ’c’. Haremos tambi´en uso de los s´ımbolos est´
andar
de la l´ogica y las matem´aticas. As´ı, escribiremos
La l´ampara est´
a on en el instante t: *[t]
La l´ampara est´
a off en el instante t: o[t]
La l´ampara est´
a on durtante el intervalo (ta , tb ): *(ta , tb )
La l´ampara est´
a off durtante el intervalo (ta , tb ): o(ta , tb )
Estando on, se hace clic en el instante t: c{[t], ∗}
Estando off, se hace clic en el instante t: c{[t], o}
Estando on, se hace click al menos una vez durante (ta , tb ): c{(ta , tb ), ∗}
Estando off, se hace click al menos una vez durante (ta , tb ): c{(ta , tb ), o}
No se hace clic desde tb : ¬c{[tb ∞)
129
130 —— La l´
ampara de Thomson formalizada
N´
otense las expresiones ’Estando on’ y ’Estando off’ y recu´erdese que en el continuum espaciotiempo ning´
un instante tiene un inmediato sucesor o un inmediato
predecesor, como el n´
umero natural 4 tiene al n´
umero natural 5 o al 6.
384 Podemos ahora formalizar la definici´on de la l´ampara de Thomson por
medio de los siguiente cuatro axiomas:


c{[t], o} ⇒ ∗[t]





c{[t], ∗} ⇒ o[t]
Thomson’s lamp
(1)


∗[t]
∨
o[t]






¬(∗[t] ∧ o[t])
385 Se pueden establecer ahora algunas leyes b´
asicas de la l´ampara de Thomson,
por ejemplo:
c{(ta , tb ), o} ⇒ ∃t ∈ (ta , tb ) : ∗[t]
c{(ta , tb ), ∗} ⇒ ¬ ∗ (ta , tb )
o[tb ] ⇒ ¬ ∗ [tb , ∞
∗ [ta , tb ] ⇒ ¬c{(ta , tb )}
c{[t], o} ⇒ ¬o{[t, ∞)}
etc.
Discussion
386 Consideremos las dos leyes siguientes:
BT1: c{(−∞, tb ), ∗} ∧ ∗[tb , ∞) ⇒ ∃t ≤ tb : c{[t], o} ∧ ¬c{(t, ∞), ∗}
(2)
BT2: c{(−∞, tb ), o} ∧ o[tb , ∞) ⇒ ∃t ≤ tb : c{[t], ∗} ∧ ¬c{(t, ∞), o}
(3)
La primera ley (BT1) se lee: si el bot´on de la l´ampara ha sido pulsado al menos
una vez en el intervalo (−∞, tb ), estando la l´ampara previamente encendida (on),
y la l´ampara permanece encendida desde tb , entonces existe un instante t igual o
anterior a tb tal que el bot´on de la l´ampara se pulsa en el instante t, estando la
l´ampara previamente apagada, y el bot´on ya no se pulsa m´as desde el instante t.
La segunda ley (BT2) se lee igual pero cambiando on por off y viceversa.
387 Demostremos ahora BT1 (la demostraci´on de BT2 es similar). Sup´ongase
que:
¬∃t ≤ tb : c{[t], o}
(4)
Podemos escribir:
¬c{(−∞, tb ], o}
Teniendo en cuenta el antecedente de BT1 tenemos:
(5)
Discussion —— 131
c{(−∞, tb ), ∗} ⇒ ∃t < tb : c{[t], ∗}
(6)
o[t]
(7)
y entonces:
De (5) y (7), y teniendo en cuenta que t < tb deducimos:
o[tb ]
(8)
¬ ∗ [tb , ∞)
(9)
Por tanto:
que va contra el segundo t´ermino del antecedente de BT1. Por tanto si ese antecedente es verdadero entonces la hip´
otesis (4) es falsa.
388 Supongamos ahora que se verifica:
¬∃t ≤ tb : ¬c{(t, ∞), ∗}
(10)
c{[tb , ∞), ∗}
(11)
Tendremos:
lo que va contra el segundo t´ermino ∗[tb , ∞) del antecedente de BT1. Por tanto,
si ese antecedente es verdadero entonces la hip´otesis (10) ha de ser falsa.
389 La falsedad de las hip´
otesis (4) y (10) demuestran BT1. Es destacable el
hecho de que BT1 no se deriva de los sucesivos clics realizados sino de las leyes
que definen la l´ampara de Thomson. As´ı, y una vez asumido el Principio de la
Invariancia (PI), la ley BT1 se ha de verificar antes, durante y despu´es de ejecutar
cualquier n´
umero finito o infinito de clics.
390 Consideremos la supertarea de Thomson hcn i, siendo cada clic ci realizado
en el preciso instante ti de la sucesi´on estrictamente creciente de instantes htn i
dentro de (ta , tb ) y cuyo l´ımite es tb . Supongamos que el estado Sb de la l´ampara
en el instante tb es encendida (un argumento similar se desarrollar´ıa si fuera
apagada, aunque haciendo uso de BT2 en lugar de BT1). En esas condiciones
el antecedente de BT1 ser´ıa verdadero: el bot´on de la l´ampara se ha pulsado al
menos una vez en el intervalo (∞, tb ) y la l´ampara est´
a encendida desde tb . Por
lo tanto el consecuente de BT1 tambi´en ha de ser verdadero. Probaremos ahora
que, sin embargo, no lo es.
391 En efecto, por una parte si t < tb , y siendo tb el l´ımite de la sucesi´on htn i,
existir´ıa un tv en la sucesi´on htn i tal que:
tv ≤ t < tv+1
(12)
y por consiguiente solo un n´
umero finito v de clics se habr´ıan realizado. Por otra
parte, el instante t no puede ser tampoco el l´ımite tb porque en el instante tb el
132 —— La l´
ampara de Thomson formalizada
bot´on de la l´ampara no se ha pulsado. Por tanto, t no puede ser un elemento de
(ta , tb ]. En consecuencia, realizar la supertarea de Thomson implica la violaci´on
de BT1, lo que va en contra de PI. La supertarea de Thomson parece que es
inconsistente.
22.-La m´aquina de Hilbert
El Hotel de Hilbert
392 En la discusi´
on que sigue haremos uso de una superm´aquina inspirada
en el emblem´atico Hotel de Hilbert. Pero antes vamos a relatar alguna de las
prodigiosas, y sospechosas, habilidades del ilustre Hotel.
aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
Figura 22.1: Una manera infinitista de hacer dinero.
393 Su director, por ejemplo, ha descubierto una fant´
astica manera de hacerse
rico: pide un euro a R1 (el hu´esped de la habitaci´
on 1); R1 recupera su euro
pidiendo un euro a R2 (el hu´esped de la habitaci´
on 2); R2 recupera su euro
pidiendo un euro a R3 (el hu´esped de la habitaci´
on 3); y as´ı sucesivamente. Al
final, todos los hu´espedes recuperan sus euros, porque no hay un u
´ltimo hu´esped
perdiendo su dinero. El astuto director exige entonces un segundo euro a R1 , que
recupera de nuevo su euro pidiendo un euro a R2 , que recupera de nuevo su euro
pidiendo un euro a R3 , y as´ı sucesivamente. Miles de euros procedentes de la nada
(infinitista) hacia el bolsillo del afortunado director.
394 El Hotel de Hilbert es incluso capaz de violar las leyes de la termodin´amica haciendo posible el funcionamiento de un perpetuum mobile: s´olo tendr´ıa que
alimentar la m´aquina adecuada con las calor´ıas obtenidas de las sucesivas habitaciones del prodigioso hotel de la misma manera que su director obtiene sus
euros.
395 Por incre´ıble que parezca, los infinitistas justifican todas esas patolog´ıas
133
134 —— La m´
aquina de Hilbert
absurdas, y muchas otras, en nombre de las peculiaridades del infinito actual.
Prefieren asumir cualquier comportamiento patol´ogico del mundo antes de examinar la consistencia del pat´
ogeno. En la siguiente discusi´
on, sin embargo, obtendremos una contradicci´on que no puede ser f´
acilmente subsumida en la pintoresca
naturaleza del infinito actual.
Figura 22.2: La m´aquina de Hilbert a punto de realizar el primer L-deslizamiento.
Definiciones
396 En la siguiente discusi´
on conceptual haremos uso de un dispositivo te´orico,
inspirado en el emblem´
atico Hotel de Hilbert, al que nos referiremos como m´
aquina
de Hilbert, compuesto por los siguientes elementos (v´ease la Figura 22.2):
1) Un alambre horizontal infinito dividido en dos partes infinitas, la parte
izquierda y la parte derecha:
a) La parte derecha se divide en una sucesi´on ω−ordenada de secciones
adyacentes hSn i de igual longitud que se etiquetan de izquierda a
derecha como S1 , S2 , S3 , . . . Ser´
an referidas como secciones derechas.
b) La parte izquierda est´
a tambi´en dividida en una sucesi´on ω−ordenada de secciones adyacenteshSn′ i iguales y de la misma longitud
que las secciones derechas, ahora etiquetadas de derecha a izquierda
como . . . , S3′ , S2′ , S1′ ; siendo S1′ adyacente a S1 . Ser´
an referidas como
secciones izquierdas.
2) Una sucesi´on ω−ordenada de bolas etiquetadas hbn i ensartadas en el alambre y capaces de deslizarse sobre ´el como las bolas de un ´abaco, estando
cada bola bi inicialmente insertada en el centro de la secci´
on derecha Si .
3) Todas las bolas est´
an mec´anicamente ligadas por un mecanismo de deslizamiento que desliza simult´
aneamente todas las bolas la misma distancia
sobre el alambre.
4) El mecanismo de deslizamiento est´
a ajustado de forma que desliza simult´
aneamente todas las bolas exactamente una secci´
on hacia la izquierda
(L-deslizamientos).
La contradicci´
on de la m´
aquina de Hilbert —— 135
5) La m´aquina tambi´en est´
a equipada con un sensor de bolas que examina si
cada bola est´
a insertada en el alambre despu´es de realizar cada L-deslizamiento, si ese no es el caso se deshace el u
´ltimo L-deslizamiento de modo
que cada bola recupere su posici´on previa, despu´es de lo cual la m´aquina
se detiene.
397 Puesto que las secciones hSi′ i del lado izquierdo del alambre son ω−ordena′
das cada secci´
on Sn′ tiene una sucesora inmediata Sn+1
justo a su izquierda. De
acuerdo con la hip´
otesis del infinito actual todas esas secciones izquierdas existen
como una totalidad infinita completa, a pesar de que no hay una u
´ltima secci´
on
que complete la sucesi´on.
398 Empecemos por demostrar que para cada v ∈ N es posible realizar los
primeros v L-deslizamientos. Supongamos que esta afirmaci´
on es falsa. Habr´a un
n´
umero natural u para el que es imposible realizar los primeros u L-deslizamientos. Pero esto es imposible porque para cada predecesor k del conjunto finito
de predecesores de u es posible realizar el k-´esimo L-deslizamiento: la bola b1
′
se desliza de Sk−1
a Sk′ (o de S1 a S1′ si k = 1) y cada bola bi,i>1 a la secci´
on
previamente ocupada por bi−1 . En consecuencia nuestra suposici´on ha de ser falsa
y para cada v ∈ N es posible realizar los primeros v L-deslizamientos. A la misma
conclusi´
on llegar´ıamos mediante un argumento inductivo.
´ n de la ma
´ quina de Hilbert
La contradiccio
399 Supongamos que mientras los sucesivos L-deslizamientos se pueden realizar,
se realizan. Es entonces inmediato el siguiente:
Teorema 399.-Una vez realizados todos los posibles L-deslizamientos
todas las bolas permanecen ensartadas en el alambre.
Demostraci´
on.-Es una consecuencia inmediata de la definici´on de la M´
aquina de
Hilbert: su sensor de bolas deshar´ıa cualquier L-deslizamiento a consecuencia del
cual una bola quedara fuera del alambre y la maquina se parar´ıa con todas las
bolas insertadas en el alambre. N´
otese que la definici´on de la M´
aquina de Hilbert
se ha de verificar siempre: antes, durante y despu´es de ejecutar todos los posibles
L-deslizamientos [PI].
400 Pero tambi´en es inmediato el siguiente:
Teorema 400.-Una vez realizados todos los posibles L-deslizamientos
ninguna bola queda ensartada en el alambre.
Demostraci´
on.-Supongamos que una vez realizados todos los posibles L-deslizamientos una bola cualquiera bv se encuentra ensartada en la secci´
on derecha Sk .
Debe ser k < v ya que todos los L-deslizamientos son hacia la izquierda, en
la direcci´
on hacia la cual los ´ındices de hSn i disminuyen. Puesto que bv estaba
inicialmente en Sv s´olo un n´
umero finito v − k de L-deslizamientos se habr´ıan
realizado, y por tanto no habr´ıa sido posible realizar los primeros v − k + 1 L-deslizamientos, lo que va en contra de 398 porque v − k + 1 es un n´
umero natural. Un
136 —— La m´
aquina de Hilbert
razonamiento similar puede aplicarse si bv se encuentra finalmente en una secci´
on
izquierda Sn′ , lo que significa que se realizaron v + n − 1 L-deslizamientos; en este
caso los primeros v + n primeros deslizamientos no se habr´ıan podido realizar, lo
que tambi´en va en contra de 398. As´ı, puesto que bv es una bola cualquiera, si
todas los posibles L-deslizamientos se han realizado, ninguna bola permanece ensartada en el alambre. N´
otese que esto no es una cuesti´on de indeterminaci´on sino
de imposibilidad: el conjunto de secciones que podr´ıa estar finalmente ocupando
cualquier bola bv esta vac´ıo.
401 Un punto a destacar del argumento anterior es que no se necesita conocer
si el n´
umero de L-deslizamientos realizados es finito o infinito. Solo hace falta
asumir, bajo la hip´
otesis del infinito actual, que se han realizado todos los Ldeslizamientos posibles.
´n
Discusio
402 Compararemos el funcionamiento de la s' s' s' s' s' s s s s s
3 2 1 1 2 3 4 5
5 4
m´aquina de Hilbert anterior (Hω a partir de
B1 B2 B3 B4 B5
ahora) con el funcionamiento de una versi´
on
finita de la misma (simb´
olicamente Hn ). Esta
Inicio
m´aquina finita tiene un n´
umero finito n tan- Stop
to de secciones derechas como de secciones iz- B1 B2 B3 B4 B5
quierda (Figura 22.3). Una sucesi´on finita de n
Figura 22.3: Una m´aquina finita de 5
bolas se encuentran inicialmente colocadas en secciones.
el lado derecho del alambre, cada bola bi ensartada en el centro de la secci´
on derecha Si . Es inmediato demostrar que Hn
s´olo puede realizar n L-deslizamientos: como no existe una secci´
on de izquierda
′
Sn+1 , el sensor de bolas detiene la m´aquina con cada secci´
on izquierda Si′ ocupada
por bola bn−i+1 y con todas las secciones derechas vac´ıa, y esto es todo. Ninguna
contradicci´on se deriva del funcionamiento de Hn . As´ı, para cualquier n´
umero natural n, la correspondiente m´aquina Hn es un artefacto te´orico consistente. S´
olo
la m´aquina infinita de Hilbert Hω es inconsistente.
403 Lo que la contradicci´on 399-400 prueba no es el funcionamiento inconsistente de una superm´aquina. Lo que demuestra es la inconsistencia del propio
ω−orden (Principio de Independencia). Tal vez no deber´ıamos sorprendernos por
esta conclusi´
on. Despu´es de todo, una sucesi´on ω−ordenada es a la vez completa
(como el infinito actual requiere) e incompletable (no hay un u
´ltimo elemento que
la complete). Por otro lado, y como Cantor demostr´
o [37], [39], el ω−orden es
una consecuencia inevitable de asumir la existencia de conjuntos infinitos como
totalidades completas. Una existencia axiom´aticamente establecida en nuestros
d´ıas por el Axioma del Infinito, en todas las teor´ıas axiom´aticas de conjuntos,
incluyendo sus m´as populares versiones ZFC y BNG [195], [193]. Es por tanto ese
axioma la causa de la contradicci´on 399-400.
23.-Cajas y conjuntos
´n
Introduccio
404 Desde el punto de vista plat´onico (la perspectiva dominante en las matem´aticas contempor´
aneas), todos los intentos de definir el concepto de conjunto
han sido circulares, de modo que ahora se considera una noci´on primitiva, es decir, un concepto que no puede ser definido en t´erminos de otros conceptos m´as
b´
asicos.
405 Desde un punto de vista no plat´onico, sin embargo, es posible definir la
noci´on de conjunto como una elaboraci´
on mental. Por ejemplo, Charles Dogson
(m´
as conocido como Lewis Carroll) propuso el siguiente concepto [44, p. 31]:
La clasificaci´on, o la formaci´
on de clases, es un proceso mental, en el
que imaginamos que hemos reunido, en un grupo, ciertas cosas. Ese
grupo se llama una clase.
La definici´on de Carroll conduce inmediatamente a la siguiente:
Un conjunto es un objeto te´orico que resulta de la agrupaci´
on mental
de elementos arbitrarios previamente definidos.
Puede demostrarse que esta definici´on no es compatible con la autorreferencia,
una fuente importante de inconsistencias en la teor´ıa primitiva (cantoriana) de
conjuntos. Pero este tipo de definiciones no plat´onicas son absolutamente desconocidos en las matem´aticas contempor´
anea. Introduciremos algunas de ellas en el
Ap´endice C.
Vaciando cajas y conjuntos
406 Consideremos una caja BX que contiene una colecci´
on ω−ordenada de bolas
id´enticas, etiquetados como b1 , b2 , b3 , . . . Y consideremos tambi´en un conjunto
ω−ordenado B cuyos elementos son tambi´en una colecci´
on numerable de bolas
etiquetadas como b1 , b2 , b3 ,. . . :
B = {b1 , b2 , b3 . . . }
137
(1)
138 —— Cajas y conjuntos
407 A partir de B definimos la siguiente sucesi´on ω−ordenada hBn i de conjuntos:

B1 = B − {b1 }
(2)
Bi = Bi−1 − {bi }, i = 2, 3, 4, . . .
hBn i es, por tanto, la sucesi´on de conjuntos anidados:
B1 ⊃ B2 ⊃ B3 ⊃ . . .
(3)
cada uno de cuyos miembros Bn = {bn+1 , bn+2 , bn+3 , . . . } es un conjunto numerable.
408 Sea ahora [ta , tb ] un intervalo finito cualquiera de tiempo y htn i una sucesi´on
ω−ordenada y estrictamente creciente de instantes en [ta , tb ], cuyo l´ımite es tb .
Supongamos que en cada instante ti de htn i se retira de la caja BX la bola bi .
Sea BX(ti ) el estado de la caja (la colecci´
on restante de bolas dentro de la caja)
en el instant´
anea ti , sin tener en cuenta la bola bi que est´
a siendo retirada. La
extracci´on de las sucesivas bolas se puede expresar de una forma semejante a (2:)

BX(t1 ) = BX(ta ) − b1
(4)
BX(ti ) = BX(ti−1 ) − bi , i = 2, 3, 4, . . .
409 La biyecci´on f (ti ) = bi demuestra que en el instante tb se habr´
an retirado
todas las bolas de la caja y BX estar´
a vac´ıa. Comparando (2) con (4) tendremos:
BX(ti ) = Bi , ∀i ∈ N
(5)
410 Existe, sin embargo, una diferencia fundamental entre la sucesi´on de conjuntos hBn i y la sucesi´on de estados hBX(ti )i: en cada una de las sucesivas sustracciones de bolas (4) la caja BX es siempre es la misma caja BX, mientras que
los conjuntos definidos por cada una de las sucesivas sustracciones de bolas (2)
son todos ellos diferentes. Como consecuencia tendremos una caja final vac´ıa pero
no un conjunto final vac´ıo. ¿C´omo es esto posible? ¿D´
onde se rompe la simetr´ıa?
Abordamos este problema en el Cap´ıtulo 13.
411 N´
otese que en cada instante t de [ta , tb ) la caja contiene ℵo bolas, y que
en el instante tb est´
a vac´ıa. Veamos que as´ı es, puesto que tb es el l´ımite de la
sucesi´on htn i, tendremos:
∀t ∈ [ta , tb ) : ∃v : tv ≤ t < tv+1
(6)
y entonces en el instante t solo se han retirado de la caja las primera v bolas
b1 , b2 , . . . bv , de modo que en el instante t la caja BX a´
un contiene un n´
umero
infinito de bolas bv+1 , bv+2 , bv+3 ,. . . As´ı pues, en todo instante t de (ta , tb ) la caja
Capturando una falacia —— 139
contiene ℵo bolas. En estas condiciones, la u
´nica forma de que la caja quede vac´ıa
en el instante tb ser´ıa retirando simult´
aneamente un n´
umero infinito de bolas en
el preciso instante tb . ¿C´omo es esto posible si en el instante tb ya no se retira
ninguna bola de la caja? ¿C´omo es posible si las bolas se retiran una a una y
con un intervalo de tiempo mayor que cero entre cada dos sucesivas extracciones?
¿C´omo es posible que en esas condiciones la caja nunca contenga . . . 5, 4, 3, 2, 1,
0 bolas?
412 Aunque no es muy habitual, es absolutamente leg´ıtimo redefinir un conjunto
cualquier n´
umero finito o infinito de veces. Ninguna ley de la l´ogica ni axioma
fundamental de la teor´ıa de conjuntos se viola por la redefinici´on de un conjunto,
de la misma forma que no se violan cuando se redefine una variable. As´ı pues,
consideremos la siguiente sucesi´on de redefiniciones de los conjuntos de X e Y , a
partir de la sucesi´on hBn i:
(
X = Bi
i = 1, 2, 3 . . .
(7)
Y = B2
Mientras que la sucesi´on de redefiniciones del conjunto Y no plantea ning´
un problema, y finalmente tendremos Y = B2 , las sucesivas redefiniciones del conjunto
X plantea el siguiente problema: las redefiniciones 7 s´olo pueden dejar a X definido como el conjunto vac´ıo,1 mientras que ninguno de sus infinitas redefiniciones
lo define como el conjunto vac´ıo, ya que todos los conjuntos Bi son numerables
[P1].
413 En el Cap´ıtulo 12 tuvimos la oportunidad de analizar otro conflicto m´as serio
relacionado con una sucesi´on (finita o infinita) de redefiniciones de un conjunto.
Capturando una falacia
414 En el siguiente argumento conceptual haremos uso de la misma caja BX
con la misma colecci´
on de bolas etiquetadas hbn i. Aunque la caja estar´
a provista
de siguiente:
Mecanismo de cierre 414.-Un sensor de masa es regulado de forma
que cerrar´
a autom´
aticamente la caja si contiene k bolas, siendo k un
n´
umero natural aleatoriamente elegido por el mecanismo de cierre una
vez encendido.
Haremos tambi´en uso de la misma sucesi´on de instantes htn i y supondremos que
el mecanismo de cierre se activa antes de t1 .
415 Supongamos ahora que, mientras la caja est´
a abierta, en cada preciso instante ti de htn i se extrae de la caja la bola bi . Es destacable de esta forma de
retirar las bolas, que entre la extracci´
on de la cada bola bi y la extracci´on de la
1 De
lo contrario s´
olo un n´
umero finito de definiciones se habr´ıan realizado, porque cualquier elemento bn perteneciente a X estar´ıa demostrando que la n-´esima redefinici´
on
(que define a X como {bn+1 , bn+2 , bn+3 , . . . }) no se habr´ıa efectuado.
140 —— Cajas y conjuntos
1
2
t1
t?
3
b1
BX
BX
BX
Figura 23.1: 1.-Extracci´on de bolas de la caja BX. 1.-La caja BX y su cierre autom´atico
en el preciso instante t1 de extraer la primera bola b1 . 2.-La caja se cierra de forma
autom´
atica cuando contiene k bolas. 3.-La caja no se cierra y est´
a vac´ıa en el instante
tb porque todas sus bolas se extrajeron simult´
aneamente.
bola siguiente bi+1 siempre pasa un tiempo mayor que cero (ti+1 − ti ). As´ı pues,
la extracci´on de las bolas se realiza de una en una, una despu´es de la otra y con
un intervalo no nulo de tiempo entre cada dos extracciones sucesivas.
416 Si el mecanismo de cierre 414 funciona como tiene que funcionar entonces,
y teniendo en cuenta que las bolas son extra´ıdas una a una, y con un intervalo
de tiempo no nulo entre cada dos extracciones sucesivas, en el instante tb la caja
BX solo puede estar cerrada con un cierto n´
umero k de bolas en su interior. A
pesar de ello, analizaremos tambi´en la posibilidad de que en el instante tb la caja
est´e vac´ıa y abierta.
417 Analicemos en primer lugar el caso en el que la caja BX est´
a cerrada en el
instante tb . Esta alternativa es posible solo si la caja contiene un n´
umero finito k
de bolas, pero esta conclusi´
on plantea los siguientes problemas:
a) Teniendo en cuenta la forma ω−ordenada en la que las bolas han sido
sucesivamente extra´ıdas una a una (b1 , b2 , b3 , . . . ), las k bolas que quedan
en la caja solo podr´ıan ser las imposibles u
´ltimas k bolas de una colecci´
on
ω−ordenada de bolas etiquetadas hbn i.
b) La caja BX tuvo que cerrarse en un instante t∗ anterior a tb porque
en tb todas las bolas habr´ıan sido extra´ıdas (como probar´ıa la biyecci´on
f (ti ) = bi ).
c) Siendo tb el l´ımite de la sucesi´on ω−ordenada htn i, existe un n´
umero
natural v tal que tv ≤ t∗ < tv+1 . Por tanto en el instante t∗ solo se han
retirado de la caja un n´
umero v de bolas y quedan por retirar un n´
umero
infinito de ellas.
d) Es imposible por tanto que en el instante tb la caja BX est´e cerrada con
un n´
umero finito de bolas.
418 Supongamos ahora que en el instante tb la caja est´
a vac´ıa y abierta. Teniendo
en cuenta que el n´
umero k utilizado por el mecanismo de cierre para determinar
cuando se debe cerrar la caja puede ser cualquier n´
umero natural, esta alternativa
Magia infinitista —— 141
s´olo es posible si la caja nunca contiene un n´
umero k de bolas para cualquier k
en N. Ahora bien, el menor cardinal mayor que todos los cardinales finitos es ℵo ,
que es tambi´en el cardinal de la colecci´
on de bolas; y el menor ordinal infinito
mayor que todo los ordinales finito es ω , precisamente el ordinal de la sucesi´on
ω−ordered de bolas hbn i. Por lo tanto, esta alternativa s´olo puede ocurrir si un
n´
umero infinito de bolas se retiran simult´
aneamente de la caja, lo que va en contra
del hecho de que todas las bolas han sido sucesivamente extra´ıdas, una a una y
con un intervalo no nulo de tiempo entre dos extracciones sucesivas cualesquiera.
419 El argumento 414-418 parece poner en cuesti´on la consistencia de la hip´otesis
del infinito actual de la que se puede inferir que las sucesiones o listas ω−ordenadas existen como totalidades completas a pesar de que ning´
un u
´ ltimo elemento
completa la lista.
Magia infinitista
420 Consideremos de nuevo la colecci´
on de bolas etiquetadas hbn i y, en el lugar
de la caja BX, un cilindro hueco AB capaz de contener todas las bolas de la
colecci´
on hbn i. El hueco del cilindro y las bolas, todas ellas id´enticas, tienen el
mismo di´ametro. Ahora supongamos que en cada uno de los sucesivos instantes ti
de htn i cada una de las sucesivas bolas bi se introduce en AB a trav´es es extremo
izquierdo A, como se muestra en la Figura 23.2.
A
...
B
b3 b2 b1
Figura 23.2: Cada una de las sucesivas bolas bi de hbn i ser´a sucesivamente introducida
en el interior del cilindro AB.
421 En el instante tb la colecci´
on completa de bolas hbn i se habr´
a introducido
en el interior del cilindro AB, como demuestra la correspondencia uno a uno
f (ti ) = bi .
422 Supongamos ahora que, una vez completada la supertarea anterior, el extremo izquierdo A del cilindro se eleva con respecto a su extremo derecho B. El
cilindro se inclinar´a de tal manera que todas las bolas bi de hbn i pueden rodar
libremente en la direcci´
on de A hacia B. Como era de esperar, en estas condiciones
las sucesivas bolas bi de hbn i abandonar´
an sucesivamente el cilindro a trav´es de
su extremo derecho B (Figura 23.3 arriba).
423 Si, por el contrario, es el extremo derecho B del cilindro el que se elevada
con respecto a su extremo izquierdo A, las bolas en el interior del cilindro rodar´
an
libremente en la direcci´
on de B hacia A. Como en 422, una primera bola saldr´
a del
cilindro. Pero cualquiera que sea esta bola, ser´a una bola etiquetada bv , lo que
demostrar´ıa que solo se introdujeron en el cilindro un n´
umero finito v de bolas.
142 —— Cajas y conjuntos
A
B
b3 b b
2 1
B
A
?
Figura 23.3: Al inclinar el cilindro en un sentido las sucesivas bolas bi ir´an abandonando
el cilindro a trav´
es de su extremo derecho B (arriba). Pero, ¿qu´
e pasar´
a si inclinamos el
cilindro en el sentido contrario? (abajo)
La alternativa es que ning´
un bola sale del cilindro, en ese caso todas las bolas que
se introdujeron habr´ıan desaparecido m´agicamente. El problema es que la magia
no pertenece a las ciencias formales (Figure 23.3 abajo).
424 El cilindro y las bolas etiquetadas hbn i conducen a otros conflictos infinitistas. Por ejemplo, si introducimos una varilla r´ıgida por su extremo izquierdo
atravesar´ıamos el cilindro sin golpear ninguna bola, en caso contrario habr´ıamos
golpeado la (imposible) u
´ltima bola de una colecci´
on ω−ordenada de bolas.
24.-Dicotom´ıas de Zen´on
Definiciones introductorias
425 En este cap´ıtulo se introduce una versi´
on formal de la Dicotom´ıa de Zen´on en
sus dos variantes (aqu´ı referidas como Dicotom´ıa I y II) basadas en la sucesividad
del ω−orden (Dicotom´ıa I) y del ω ∗ −orden (Dicotom´ıa II). Cada una de las
versiones formalizadas conduce a una contradicci´on.
426 En la segunda mitad del siglo XX, se propusieron varias soluciones a algunas
de las paradojas de Zen´on con la ayuda de la aritm´etica transfinita de Cantor,
la topolog´ıa, la teor´ıa de la medida y m´as recientemente la teor´ıa interna de
conjuntos1 (una rama del an´alisis no est´
andar). Tambi´en vale la pena destacar las
soluciones propuestas por P. Lynds2 en el marco de la mec´anica cl´asica y en el de la
mec´anica cu´antica. Sin embargo, algunas de estas soluciones han sido contestadas.
Y en la mayor´ıa de los casos, las soluciones propuestas no explican donde fallan
los argumentos de Zen´on. Adem´as, algunas de esas soluciones dieron lugar a una
nueva colecci´
on de problemas tan excitantes como las paradojas originales de
Zen´on.3 En la discusi´
on que sigue se propone una nueva forma de discutir las
dicotom´ıas de Zen´on basada en la noci´
on de ω−orden, el orden inducido por ω,
el primer ordinal transfinito.
427 Como es bien sabido, en una sucesi´on ω−ordenada hay un primer elemento
y cada elemento tiene un sucesor inmediato y un predecesor inmediato, excepto el
primero. Seg´
un la hip´
otesis del infinito actual subsumida en el Axioma del Infinito,
una sucesi´on ω−ordenada es una totalidad completa a pesar de que ning´
un u
´ltimo
elemento la complete.4 La sucesi´on de n´
umeros naturales en su orden natural de
precedencia es un ejemplo de sucesi´on ω−ordenada.
428 Una sucesi´on ω ∗ −ordenada se caracteriza por tener un u
´ltimo elemento
y porque cada elemento tiene un predecesor inmediato y un sucesor inmediato,
excepto el u
´ltimo. Desde la misma perspectiva infinitista, las sucesiones ω ∗ −ordenadas se consideran totalidades completas a pesar de que no hay un primer
1 [91],
[92], [217], [93], [95], [94], [136], [135]
[122]
3 [151], [4], [160], [172], [107] [181]
4 Cantor demostr´
o la existencia de sucesiones ω−ordenadas suponiendo la existencia del
conjunto de todos los cardinales finitos como una totalidad completa [39, Teorema 15-A].
2 [121],
143
144 —— Dicotom´ıas de Zen´
on
elemento por el que comenzar la sucesi´on. La sucesi´on creciente de los enteros
negativos, . . . , -3, -2, -1, es un ejemplo de sucesi´on ω ∗ −ordenada.
429 Consideremos ahora una part´ıcula puntual P movi´endose sobre el eje X
desde el punto -1 hasta el punto 2 a una velocidad v constante y finita (Figura
24.1). Supongamos que P se encuentra en el punto 0 en el preciso instante t0 . En
el instante t1 = t0 + 1/v estar´
a exactamente en el punto 1. Consideremos ahora
la siguiente sucesi´on ω−ordenada de Z-puntos [202] en el intervalo (0, 1) definida
por:
2n − 1
, ∀n ∈ N
(1)
zn =
2n
y la sucesi´on ω ∗ −ordenada de Z*-puntos en el mismo intervalo definida por:
∗
zn∗
=
1
, ∀n ∈ N
2n
(2)
donde zn∗ ∗ representa al n-´esimo elemento por la cola de la sucesi´on ω ∗ −ordenada
de Z*-puntos.
-1
V
0
1/2
1
P
2
X
Z*-puntos
Z-puntos
Figura 24.1: Z-puntos y Z ∗ -puntos.
430 Aunque los puntos del eje X est´
an densamente ordenados, los Z*-puntos
y los Z-puntos no lo est´
an. Entre dos Z-puntos sucesivos cualesquiera zn , zn+1
no hay ning´
un otro Z-punto (ω-sucesividad), y entre ellos existe una distancia
mayor que cero (ω-separaci´
on). Lo mismo ocurre con los Z*-puntos. Debido a
la ω-sucesividad y a la ω-separaci´
on, los Z-puntos y los Z*-puntos solo pueden
ser atravesados en forma sucesiva, uno cada vez, uno tras otro. Y de tal manera
que entre dos Z*-puntos sucesivos, o dos Z-puntos sucesivos, siempre se ha de
atravesar una distancia mayor que cero. Este tipo de sucesividad jugar´a un papel
capital en los siguientes argumentos.
431 A medida que P pasa sobre los puntos del intervalo real [0, 1] debe atravesar
los sucesivos Z*-puntos y los sucesivos Z-puntos. No tiene sentido preguntarse
sobre el instante en el que se empiezan a atravesar los sucesivos Z*-puntos porque
no existe un primer Z*-punto que atravesar. Lo mismo podr´ıa decirse del instante
en el que termina la traves´ıa de los Z-puntos, en este caso porque no existe un
u
´ltimo Z-punto que atravesar. Por esta raz´
on centraremos nuestra atenci´
on en el
n´
umero de Z*-puntos que ya han sido atravesados y en el n´
umero de puntos Z
que a´
un quedan por atravesar en cualquier instante t dentro del intervalo [to , t1 ].
Dicotom´ıa II de Zen´
on —— 145
432 En este sentido, y siendo t un instante cualquiera de [to , t1 ], sea Z ∗ (t) el
n´
umero de Z*-puntos atravesados en el instante t. Y sea Z(t) el n´
umero de Zpuntos que a´
un quedan por atravesar en el instante t. La discusi´
on que sigue
examina la evoluci´
on de Z ∗ (t) y Z(t) a media que P se mueve desde el punto 0
al punto 1. Ambas discusiones son versiones formales de la dicotom´ıa II y de la
Dicotom´ıa I de Zen´on respectivamente.5
433 La estrategia de emparejar los Z*-puntos (o los Z-puntos) con los sucesivos
instantes de una sucesi´on infinita estrictamente creciente de instantes fue originalmente utilizada por Arist´oteles [11] al intentar resolver las dicotom´ıas de Zen´on.
Aunque Arist´oteles termin´
o por rechazar su estrategia original, esa estrategia es
la preferida en la actualidad para resolver ambas paradojas. Como se ver´a, sin
embargo, la sucesividad de los Z*-puntos y de los Z-puntos lleva a una conclusi´
on
conflictiva.
´n
Dicotom´ıa II de Zeno
434 Comencemos analizando la forma en la que P atraviesa los Z*-puntos. Puesto que la sucesi´on de Z*-puntos es ω ∗ −ordenada no existe un primer elemento, y
por tanto tampoco existen los n primeros elementos, para cualquier n´
umero finito
n. En consecuencia, y teniendo cuenta que P est´
a en el punto 0 en el instante t0
y en el punto 1 en t1 , tendremos:
(
t = t0 : Z ∗ (t) = 0
∀t ∈ [t0 , t1 ]
(3)
t > t0 : Z ∗ (t) = ℵo
Por tanto, no existe ning´
un instante t dentro de [t0 , t1 ] en el cual Z ∗ (t) = n, sea
cual sea el n´
umero finito n, de otra forma existir´ıan los primeros n elementos
de una sucesi´on ω ∗ −ordenada. N´
otese que Z ∗ (t) est´
a bien definida en todo el
intervalo [t0 , t1 ]. As´ı, la ecuaci´
on (3) expresa una dicotom´ıa: Z ∗ (t) solo puede
tomar dos valores en todo el intervalo [t0 , t1 ]: 0 ´o ℵo .
435 De acuerdo con 434 y en relaci´
on con el n´
umero de Z*-puntos atravesados,
P puede exhibir solamente dos estados sucesivos: el estado P ∗ (0) en el cual ha
atravesado cero Z*-puntos, y el estado P ∗ (ℵo ) en el cual ha atravesado ℵo Z*puntos (ω-dicotom´ıa). Ahora bien, teniendo en cuenta la sucesividad de los de
Z*-puntos y el hecho de que entre dos Z*-puntos sucesivos cualesquiera existe
siempre una distancia mayor de cero (ω-separaci´
on), para atravesar dos Z*-puntos,
cualesquiera que sean, se ha de atravesar una distancia mayor de cero. Y atravesar
una distancia mayor de cero a la velocidad finita v de P significa que la traves´ıa
ha de durar un tiempo mayor que cero.
436 Aunque es imposible calcular ni la duraci´
on exacta de la transici´on P ∗ (0)∗
P (ℵo ) ni la distancia que P ha de atravesar mientras realiza esa transici´on (no
5 V´
ease,
por ejemplo,, [29], [30], [203], [172], [107], [207], [53], [134].
146 —— Dicotom´ıas de Zen´
on
hay ni un primer momento ni un primer punto en el que comienza la transici´on),
hemos probado en 435 que, por muy indeterminable que sea, esa distancia y esa
duraci´
on tienen que ser mayores que cero. Probaremos ahora que no pueden ser
mayores que cero.
437 Sea d cualquier n´
umero real mayor que 0 y consid´erese el intervalo real
(0, d). De acuerdo con la dicotom´ıa anterior, en cualquier punto x dentro de (0, d)
nuestra part´ıcula P ya habr´
a atravesado ℵo Z*-puntos. En consecuencia d es mayor
que la distancia que P debe atravesar durante la transici´on P ∗ (0)-P ∗ (ℵo ). Ahora
bien, puesto que d es cualquier n´
umero real mayor que cero, debemos concluir que
la distancia que P debe atravesar durante esa transici´on es menor que cualquier
n´
umero real mayor que cero. Lo que solo es posible si esa distancia es nula. La
misma conclusi´
on, y por las mismas razones, se puede deducir para la cantidad
de tiempo durante la cual se realiza la transici´on P ∗ (0)-P ∗ ℵo .
438 De acuerdo con 435 y con 437, P necesita recorrer una distancia mayor
que cero durante un tiempo mayor que cero (ω-separaci´
on) para para realizar la
∗
∗
transici´on P (0)-P (ℵo ), pero ni esa distancia ni ese tiempo pueden ser mayores
que cero porque han de ser menores que cualquier n´
umero real mayor que cero
(ω-dicotom´ıa). N´
otese que esta no es una cuesti´on de indeterminaci´on sino de imposibilidad. Si se tratara de una cuesti´on de indeterminaci´on existir´ıa un conjunto
soluciones posibles, aunque no podr´ıamos determinar cu´ales de ellas es la soluci´on
correcta. En nuestro caso el conjunto de soluciones est´
a simplemente vac´ıo.
439 En resumen:
a) La transici´on P ∗ (0)-P ∗ (ℵo ) tiene lugar (hip´
otesis del infinito actual).
b) La transici´on P ∗ (0)-P ∗ (ℵo ) solo puede ocurrir durante una distancia y un
tiempo mayores que cero (debido a la ω-separaci´
on).
c) La transici´on P ∗ (0)-P ∗ (ℵo ) no puede ocurrir durante una distancia y un
tiempo mayores que cero (debido a la ω-dicotom´ıa).
´n
Dicotom´ıa I de Zeno
440 Examinaremos ahora la forma en la que P atraviesa los Z-puntos entre el
punto 0 y el punto 1. Siendo Z(t) el n´
umero de Z-puntos por atravesar en el
preciso instante t de [t0 , t1 ], ese n´
umero s´olo puede tomar dos valores: ℵo ´o 0.
En efecto, supongamos que existe un instante t en [t0 , t1 ] en el que el n´
umero de
Z-puntos que P a´
un ha de atravesar es un n´
umero finito n > 0. Eso implicar´ıa
la imposible existencia de los u
´ltimos n puntos de una sucesi´on ω−ordenada de
puntos. En consecuencia tenemos una nueva dicotom´ıa:
∀t ∈ [t0 , t1 ]
(
t < t1 : Z(t) = ℵo
t = t1 : Z(t) = 0
(4)
Dicotom´ıa I de Zen´
on —— 147
Por tanto, no existe un instante t en el cual Z(t) = n, sea cual sea el n´
umero finito
n. N´
otese que Z(t) est´
a bien definida en todo el intervalo [t0 , t1 ]. As´ı, la ecuaci´
on
(4) expresa una nueva dicotom´ıa: Z(t) solo puede tomar dos valores: o bien ℵo o
bien 0.
441 De acuerdo con 440 y en relaci´
on con el n´
umero de Z-puntos que a´
un han
de ser atravesados, P s´olo puede presentar dos estados sucesivos: el estado P (ℵo )
en el que ese n´
umero es ℵo y el estado P (0) en el que ese n´
umero es 0. El n´
umero
de Z-puntos que P ha de atravesar disminuye directamente desde ℵo hasta 0, sin
estados intermedios finitos en los que s´olo queden un n´
umero finito de Z-puntos
por atravesar.
442 Teniendo en cuenta la sucesividad de los de Z-puntos y el hecho de que
entre dos Z-puntos sucesivos cualesquiera existe siempre una distancia mayor de
cero (ω-separaci´
on), para atravesar dos Z-puntos, cualesquiera que sean, se ha de
atravesar una distancia mayor de cero. Y atravesar una distancia mayor de cero
a la velocidad finita v de P significa que la traves´ıa ha de durar un tiempo mayor
que cero.
443 Aunque es imposible calcular la duraci´
on exacta de la transici´on P (ℵo )-P (0)
(no existe un u
´ltimo instante en el que acaba la transici´on), hemos probado en
442 que, por muy indeterminable que sea, esa duraci´
on tiene que ser mayor que
cero. Probaremos ahora que no puede ser mayor que cero. Lo mismo puede decirse
de la distancia que P ha de atravesar mientras realiza la transici´on P (ℵo )-P (0).
444 Sea τ cualquier n´
umero real mayor que 0, y consid´erese el intervalo real
de tiempo (0, τ ) y un instante cualquiera x dentro de (0, τ ). El n´
umero de Zpuntos por atravesar en el instante t1 − x es ℵo (ω-dicotom´ıa). En consecuencia,
τ , es mayor que el tiempo que tarda P en realizar la transici´on P (ℵo )-P (0). Ahora
bien, puesto que τ es cualquier n´
umero real mayor que cero, hemos de concluir que
el tiempo necesario para realizar esa transici´on es menor que cualquier n´
umero
real mayor que cero. Lo que solo es posible si ese tiempo es nulo. La misma
conclusi´
on, y por las mismas razones, se pueden deducir para la distancia que P
ha de atravesar mientras realiza la transici´on P (ℵo )-P (0).
445 De conformidad con 442 y 444, el tiempo y la distancia durante la cual se
realiza la transici´on P (ℵo )-P (0) deben ser mayores que cero (ω-separaci´
on), pero
no pueden ser mayores que cero porque son menores que cualquier n´
umero real
mayor que cero (ω-dicotom´ıa). N´
otese de nuevo que no es una cuesti´on de indeterminaci´on sino de imposibilidad. Si se tratara de una cuesti´on de indeterminaci´on
existir´ıa un conjunto soluciones posibles, aunque no podr´ıamos determinar cu´ales
de ellas es la soluci´on correcta. En nuestro caso ese conjunto est´
a simplemente
vac´ıo.
446 En resumen:
a) La transici´on P (ℵo )-P (0) tiene lugar (hip´
otesis del infinito actual).
148 —— Dicotom´ıas de Zen´
on
b) La transici´on P (ℵo )-P (0) solo puede ocurrir durante una distancia y un
tiempo mayores que cero (debido a la ω-separaci´
on).
c) La transici´on P (ℵo )-P (0) no puede ocurrir durante una distancia y un tiempo mayores que cero (debido a la ω-dicotom´ıa).
´n
Conclusio
447 De acuerdo con la hip´
otesis del infinito actual, los Z-puntos y los Z*-puntos
existen como totalidades completas. Por lo tanto las transiciones P ∗ (0)-P ∗ (ℵo )
y P (ℵo )-P (0) tienen lugar. Ahora bien, las transiciones P ∗ (0)-P ∗ (ℵo ) y P (ℵo )P (0) solo pueden ocurrir durante una distancia y un tiempo mayores que cero
(ω-separaci´
on). El problema es que no pueden ocurrir durante una distancia y un
tiempo mayores que cero porque ese tiempo y esa distancia han de ser menores
que cualquier n´
umero real mayor que cero (ω-dicotom´ıa).
448 Las contradicciones anteriores son consecuencias directas del ω−orden y
del ω ∗ −orden que, a su vez, son consecuencias directas de asumir la existencia de
totalidades infinitas completas. Es entonces ese supuesto, la hip´otesis de infinito
actual, la causa u
´ltima de las dos contradicciones.
25.-Divisibilidad del espaciotiempo
El menor ordinal infinito
449 El primer ordinal infinito1 ω es el menor ordinal mayor que todos los ordinales finitos, es el l´ımite de la sucesi´on de todos los ordinales finitos 1, 2, 3,
. . . . El ordinal ω define un tipo de buen orden llamado ω−orden:2 un conjunto o
sucesi´on es ω−ordenada si tiene un primer elemento y cada elemento tienen un
sucesor inmediato3 y un predecesor inmediato, excepto el primero, que no tiene
predecesores. En consecuencia no existe u
´ltimo elemento en una sucesi´on o conjunto ω−ordenado. El conjunto de los n´
umeros naturales en su orden natural de
precedencia {1, 2, 3, . . . } es un ejemplo bien conocido de conjunto ω−ordenado.
450 El ω ∗ −orden es el reflejo sim´etrico del ω−orden: una sucesi´on o conjunto
es ω ∗ −ordenado si tiene un u
´ltimo elemento y cada elemento tiene un predecesor
inmediato y un sucesor inmediato, excepto el u
´ltimo, que no tiene sucesores. En
consecuencia no existe el primer elemento:
ω ∗ −order
∗
∗
∗
ω−order
}|
{z
}|
{
z
. . . t3∗ , t2∗ , t1∗ | t1 , t2 , t3 , . . .
(1)
donde 1 , 2 , 3 , . . . significan primero por la cola, segundo por la cola, tercero
por la cola, etc. El conjunto Z− de los enteros negativos en su orden natural de
precedencia {. . . , −3, −2, −1} es un ejemplo bien conocido de conjunto ω ∗ −ordenado.
451 De acuerdo con la definici´on 449 de ω−orden, cada elemento de un conjunto ω−ordenado tiene un n´
umero finito de predecesores y un n´
umero infinito de
sucesores. En el caso del ω ∗ −orden cada elemento de una sucesi´on ω ∗ −ordenada
tiene un n´
umero finito de sucesores y un n´
umero infinito de predecesores. Esta
inmensa asimetr´ıa en el n´
umero de predecesores y sucesores (ω-asimetr´ıa) es un
1 De
acuerdo con la terminolog´ıa cl´
asica de Cantor [39], los ordinales finitos como 1, 2,
3,. . . , son ordinales de la primera clase, mientras que los ordinales transfinitos, como ω,
ω +1, ω +2, . . . , son de la segunda clase. Un ordinal de la segunda clase es de la segunda
especie si, como ω, es el l´ımite de una sucesi´
on infinita de ordinales; es de la primera
especie si es de la forma α + n, donde α es un ordinal de la segunda clase y segunda
especie y n un ordinal finito.
2 En t´
erminos formales un conjunto es ω−ordenado si est´
a bien ordenado y su ordinal es
ω.
3 Entre un elemento y su sucesor inmediato no existe ning´
un otro elemento de la sucesi´
on.
149
150 —— Divisibilidad del espaciotiempo
hecho bien conocido, aunque suele ser ignorado en la literatura infinitista.
452 La mayor´ıa de los argumentos que usaremos en este cap´ıtulo son similares a los que desarrollaremos en el Cap´ıtulo sobre dicotom´ıas, aunque ahora el
objetivo es analizar la supuesta divisibilidad infinita del espacio y el tiempo. La
discusi´
on podr´ıa ser desarrollada en t´erminos de puntos, en t´erminos de instantes,
y en t´ermino de puntos e instantes. Siendo las tres similares, solo analizaremos el
caso de los instantes. Pero antes de hacerlo, vamos a examinar un extravagante
asimetr´ıa infinitista.
453 Sea htn i una sucesi´on cualquiera estrictamente creciente y ω−ordenada de
instantes definida dentro del intervalo finito real (ta , tb ) cuyo l´ımite es tb . Y sea
S una supertarea cuyas infinitas acciones han i son realizadas en los sucesivos instantes de htn i, cada acci´on ai realizada en el preciso instante ti . En consecuencia,
en el instante tb ya se han realizado todas las acciones han i. N´
otese que no hay
un u
´ltimo instante en el que la supertarea se acaba, sino un primer instante tb en
la que la supertarea ya se ha terminado.
454 Conviene recordar que el l´ımite tb no es el instante en el cual termina S 4 sino
el primer instante despu´es de que S haya terminado, el primer instante despu´es
de que se hayan realizado todas las acciones de han i. Siendo tb el l´ımite de htn i, en
cualquier instante t anterior a tb y arbitrariamente cercano a ´el, solo un n´
umero
finito de acciones se habr´
an realizado, mientras que un n´
umero infinito de ellas
quedan a´
un por realizar (ω -asimetr´ıa).
455 Para comprender la colosal magnitud de la ω-asimetr´ıa anterior, sup´ongase
que el intervalo [ta , tb ] es trillones de veces mayor que la edad del universo y
consid´erese, por otra parte, un intervalo de tiempo τ = 0,000 . . . 001 segundos tan
peque˜
no que ser´ıan necesarios trillones y trillones de p´
aginas de texto est´
andar
para escribir todos los ceros entre la coma decimal y la u
´ltima cifra 1, un n´
ume5
ro de p´
aginas tan inmenso que no cabr´ıan en el universo visible actual . Pues
bien, solo un n´
umero finito de tareas se habr´
a realizado durante los trillones de
a˜
nos transcurridos entre ta y tb − τ , mientras que un n´
umero infinito de acciones,
pr´acticamente todas ellas, tendr´an que ser realizadas durante el inimaginablemente peque˜
no intervalo de tiempo τ . M´
as que antiest´etica, la ω -asimetr´ıa es
repulsiva.
456 Y las cosas pueden empeorar. Supongamos que eliminamos de [ta , tb ] todos
los instantes en los que a´
un quedan por realizar un n´
umero infinito de tareas de
la supertarea S. Habr´ıa que eliminar todos los instantes de [ta , tb ], excepto tb . En
efecto, sea t un instante cualquiera de [ta , tb ] diferente de tb . Puesto que tb es el
4 No
existe un instante en el que S termina porque han i es ω−ordenada y las sucesiones
ω−ordenadas no tienen u
´ltimo elemento.
esfera de 93000 billones de a˜
nos luz.
5 Una
Dicotom´ıas del espaciotiempo —— 151
l´ımite de htn i, tendremos:
∃v ∈ N : tv ≤ t < tv+1
(2)
De modo que en el instante t solo se habr´
an realizado un n´
umero finito v de tareas
de la supertarea S y entonces a´
un quedan por realizar un n´
umero infinito de tales
tareas. Por tanto t ha de ser eliminado de [ta , tb ]. En consecuencia, y siendo t
un elemento cualquiera de [ta , tb ] diferente de tb , todos los instantes de [ta , tb ],
excepto tb , han de ser eliminados de ese intervalo. Por lo tanto, en tb , el primer
instante despu´es de completar la supertarea, a´
un quedan por realizar un n´
umero
infinito de tareas de S.
Dicotom´ıas del espaciotiempo
457 Consid´erese un intervalo finito cualquiera de tiempo [ta , tb ] y dentro de ´el
dos sucesiones de instantes, la sucesi´on ω−ordenada de t-instantes:
hti i : ti = ta +
2i − 1
(tb − ta ), ∀i ∈ N
2i
(3)
cuyo l´ımite superior es tb y la sucesi´on ω ∗ −ordenada de t∗ -instantes:
ht∗i∗ i : t∗i∗ = ta +
1
(tb − ta ), ∀i ∈ N
2i
(4)
cuyo l´ımite inferior es ta y donde i∗ representa el i-´esimo elemento por la cola de
la sucesi´on ω ∗ −ordenada ht∗i∗ ii∈N .
458 Examinaremos ahora la forma en la que transcurren los sucesivos t∗ -instantes de ht∗n∗ i y los sucesivos t-instantes de htn i a medida que el tiempo pasa de ta
a tb , para lo cual consideraremos los dos siguientes funciones:
f ∗ (t) = n´
umero de t∗ -instantes transcurridos en t, ∀t ∈ [ta , tb ]
f (t) = n´
umero de t-instantes por transcurrir en t, ∀t ∈ [ta , tb ]
(5)
(6)
459 De acuerdo con las definiciones de ω ∗ −orden y de ω−orden, podemos escribir:
(
(
0 if t = ta
ℵo if t < tb
∗
f (t) =
f (t) =
(7)
ℵo if t > ta
0 if t = tb
En caso contrario, si siendo n un n´
umero natural, existiera un instante t tal que
∗
f (t) = n, o bien f (t) = n, entonces existir´ıan los imposibles n primeros t´erminos
de una sucesi´on ω ∗ −ordenada, o bien los imposibles n u
´ltimos t´erminos de una
sucesi´on ω−ordenada.
460 De acuerdo con 459, las funciones f ∗ y f est´
an bien definidas para todo t en
[ta , tb ]; hacen corresponder cada elemento de [ta , tb ] con un elemento del conjunto
{0, ℵo }:
f ∗ : [ta , tb ] 7→ {0, ℵo}
(8)
152 —— Divisibilidad del espaciotiempo
f : [ta , tb ] 7→ {0, ℵo}
(9)
461 La funci´
on f ∗ define, por tanto, una dicotom´ıa, (t∗ -dicotom´ıa):
◮ Con relaci´
on al n´
umero de t∗ -instantes transcurridos a medida que el tiempo
pasa de ta a tb solo dos valores son posibles: 0 y ℵo .
La funci´
on f tambi´en define una dicotom´ıa, (t-dicotom´ıa):
◮ Con relaci´
on al n´
umero de t-instantes que quedan por transcurrir a medida
que el tiempo pasa de ta a tb solo son posibles dos valores: ℵo y 0.
À0
0
tb
ta
Prohibido
Prohibido
1
2
3
tb
ta
3
2
1
0
À0
Figura 25.1: t∗ -dicotom´ıa (izquierda) y t-dicotom´ıa (derecha)
462 Con respecto al n´
umero de t∗ -instantes transcurridos desde ta , el paso del
tiempo desde ta a tb solo puede exhibir dos estados: el estado S ∗ (0) en el cual no ha
transcurrido todav´ıa ning´
un t∗ -instante, y el estado S ∗ (ℵo ) en el cual una infinidad
contable (ℵo ) de t∗ -instantes ha transcurrido ya. No son posibles los estados finitos
intermedios S ∗ (n) en los cuales solo hayan transcurrido un n´
umero finito n de t∗ ∗
instantes. El paso del tiempo llega ser S (ℵo ) directamente a partir S ∗ (0). De igual
manera, con respecto al n´
umero de t-instantes a´
un por transcurrir, el paso del
tiempo desde ta hasta tb solo puede exhibir dos estados: S(ℵo ) y S(0), sin estados
finitos intermedios S(n) en los que solo quedaran por transcurrir un n´
umero finito
n de t-instantes. El paso del tiempo alcanza el estado S(0) directamente a partir
de S(ℵo ).
463 Si bien la transici´on S ∗ (0) → S ∗ (ℵo ) no plantea problemas adicionales,
se podr´ıa argumentar que la transici´on S(ℵo ) → S(0) no tiene sentido porque la
resta de cardinales infinitos no siempre est´
a permitida en la aritm´etica transfinita.
Esto es tan absurdo como decir que el tiempo no pasa porque los cardinales
transfinitos no siempre se pueden restar (la sustracci´
on de cardinales transfinitos
puede conducir a contradicciones). En cualquier caso, lo que no tendr´ıa sentido
ser´ıa el an´alisis aritm´etico de esa transici´on. Pero el an´alisis aritm´etico no tiene
nada que ver con el tipo de razonamiento que hemos usado y que seguiremos
usando en la siguiente discusi´
on. Un razonamiento que se basa exclusivamente en
Divisibilidad del espaciotiempo —— 153
una consecuencia del ω−orden y del ω ∗ −orden: que siendo n un n´
umero natural
cualquiera, no existen ni los primeros n elementos de una sucesi´on ω ∗ −ordenada
ni los u
´ltimos n elementos de una sucesi´on ω−ordenada.
464 Si el tiempo pasa, como ha de pasar, de ta a tb , entonces los sucesivos
t-instantes tambi´en pasar´
an, y en el instante tb todos ellos habr´
an pasado. La
transici´on tiene lugar, tengamos o no una definici´on apropiada de la sustracci´
on
de cardinales. Y si tiene lugar, tendr´a una duraci´
on igual o mayor que cero. Eso
es todo lo que necesitaremos saber para llevar a cabo el siguiente an´alisis l´ogico
de la transici´on S(ℵo ) → S(0).
Divisibilidad del espaciotiempo
465 Examinaremos ahora la duraci´
on de las transiciones:
S ∗ (0) → S ∗ (ℵo )
S(ℵo ) → S(0)
(10)
(11)
∗
De acuerdo con (7) el n´
umero de t -instantes transcurridos desde ta y el n´
umero
de t-instantes a´
un por transcurrir desde ta est´
an bien definidos en todo el intervalo
[ta , tb ]. Por otra parte, ambas transiciones han de tener lugar dentro del mismo
intervalo de tiempo [ta , tb ].
466 Aunque el intervalo real [ta , tb ] est´
a densamente ordenado, las sucesiones
an. Estas sucesiones son ω ∗ −ordenadas y
ht∗i∗ i y hti i contenidas en ´el, no lo est´
ω−ordenadas respectivamente, lo que significa que los t∗ -instantes y los t-instantes
son estrictamente sucesivos; es decir, entre cualquier t∗ -instante y su inmediato
sucesor no existe ning´
un otro t∗ -instante; y lo mismo vale para los t-instantes.
∗
De esa forma, los t -instantes y los t-instantes solo pueden transcurrir sucesivamente, uno cada vez, y de tal modo que entre dos cualesquiera de esos sucesivos
instantes t∗n , t∗n+1 siempre transcurre un tiempo mayor que cero, t∗n+1 - t∗n > 0
(ω-separaci´
on). En consecuencia, el n´
umero de t∗ -instantes transcurridos desde
ta solo puede aumentar de uno en uno, desde 0 hasta ℵo . Lo mismo vale para
la forma en la que el n´
umero de t-instantes por transcurrir disminuye desde ℵo
hasta 0. Esta sucesividad jugar´a un papel decisivo en la discusi´
on que sigue.
467 Como consecuencia de la t∗ -dicotom´ıa, el n´
umero de t∗ -instantes transcurridos desde ta debe incrementarse uno a uno desde 0 hasta ℵo sin atravesar la
sucesi´on creciente de n´
umeros naturales 1, 2, 3, . . . . An´alogamente, el n´
umero
de t-instantes por transcurrir debe decrecer de uno en uno, desde ℵo hasta 0 sin
atravesar la sucesi´on decreciente de n´
umeros naturales . . . , 3, 2, 1 (v´ease la Figura
25.2).
468 La duraci´
on de la transici´on S ∗ (0) → S ∗ (ℵo ) es, de acuerdo con 466, el
intervalo de tiempo dentro de [ta , tb ] durante el cual el n´
umero de t∗ -instantes
transcurridos desde ta aumenta, de uno en uno y con un intervalo de tiempo
no nulo entre cada aumento (ω-separaci´
on), desde cero hasta alef-cero. De forma
154 —— Divisibilidad del espaciotiempo
Z-Reloj
ta
t*-instantes
t-instantes
À0
tb
4
FR
1 0 1* 2*
3*
3 2
4
*
…
5*
Número de t*-instantes
transcurridos
…
5
Número de t-instantes
por transcurrir
Figura 25.2: A medida que el tiempo (flecha roja FR) pasa desde ta hasta tb la flecha de
los t∗ -instantes ha de girar en sentido de las agujas del reloj desde 0 hasta ℵo sin pasar
sobre los sucesivos radios 1*, 2*, 3*, . . . . Al mismo tiempo, la flecha de los t-instantes ha
de girar en sentido de las agujas del reloj desde ℵo hasta 0 sin pasar sobre los sucesivos
radios . . . 3, 2, 1.
similar, la duraci´
on de la transici´on S(ℵo ) → S(0) es el intervalo de tiempo dentro
de [ta , tb ] durante el cual el n´
umero de t-instantes que todav´ıa han de transcurrir
disminuye, uno a uno y con un intervalo de tiempo no nulo entre cada disminuci´
on
(ω-separaci´
on), desde alef-cero hasta cero.
469 Puesto que entre dos t∗ -instantes sucesivos siempre transcurre un intervalo
de tiempo mayor que cero (ω-separaci´
on), la transici´on S ∗ (0) → S ∗ (ℵo ) durar´a necesariamente un intervalo de tiempo mayor de cero. La misma conclusi´
on, y por
las mismas razones, se habr´
a de aplicar a la transici´on S(ℵo ) → S(0).
470 Es importante destacar que no estamos calculando la duraci´
on exacta de las
∗
∗
transiciones S (0) → S (ℵo ) y S(ℵo ) → S(0) sino demostrando que ambas han
de ser necesariamente mayores que cero. La duraci´
on exacta de esas transiciones
no se puede calcular porque no existen ni el primer instante en el que se inicia la
transici´on S ∗ (0) → S ∗ (ℵo ) ni el u
´ltimo instante en el que termina la transici´on
S(ℵo ) → S(0). Pero por muy indeterminables que sean, ambas transiciones han de
ser mayores que cero por las razones dada en 469. Probaremos ahora, sin embargo,
que no pueden ser mayores que cero.
471 Supongamos que la transici´on S ∗ (0) → S ∗ (ℵo ) dura un tiempo τ , siendo τ
cualquier n´
umero real positivo. Sea τ ′ cualquier instante del intervalo real (0, τ ).
De acuerdo con la t∗ -dicotom´ıa, el n´
umero de t∗ -instantes transcurridos en el
′
instante ta + τ es ℵo , y por tanto la transici´on S ∗ (0) → S ∗ (ℵo ) ya ha terminado.
En consecuencia, la transici´on S ∗ (0) → S ∗ (ℵo ) dura un tiempo menor que τ . Y
siendo τ cualquier n´
umero real mayor que 0, hemos de concluir que la duraci´on
∗
∗
de S (0) → S (ℵo ) es menor que cualquier n´
umero real mayor que cero. Y eso
Divisibilidad del espaciotiempo —— 155
solo es posible si esa duraci´
on es nula.
472 Un argumento similar a 471 prueba que la transici´on S(ℵo ) → S(0) ha de
ser tambi´en instant´
anea. Se podr´ıa argumentar que la transici´on S(ℵo ) → S(0)
dura un tiempo tb - ta , pero eso es imposible porque en el instante ta + τ , siendo
τ cualquier n´
umero real positivo menor que tb − ta , el n´
umero de t-instantes por
transcurrir es ℵo , y entonces la transici´on S(ℵo ) → S(0) no ha comenzado a´
un.
Por tanto tarda un tiempo menor que tb − ta .
473 De acuerdo con 471 y 472, un n´
umero infinito de t∗ -instantes sucesivos, y
un n´
umero infinito de t-instantes sucesivos han de transcurrir simult´
aneamente.
Pero eso es imposible porque los t∗ -instantes y los t-instantes sucesivos no pueden
transcurrir de forma simult´
anea: entre dos cualesquiera de esos sucesivos t∗ -instantes t∗n , t∗n+1 (o t-instantes tn , tn+1 ) siempre transcurre un intervalo de tiempo
mayor que cero: el intervalo ∆n t∗ :
tb − ta
>0
(12)
∆n t∗ = t∗n+1 − t∗n =
2n+1
o el intervalo ∆n t:
tb − ta
>0
(13)
∆n t = t(n+1) − tn =
2n+1
Las transiciones S ∗ (0) → S ∗ (ℵo ) y S(ℵo ) → S(0) han durar tiempos mayores que
cero pero no pueden durar tiempos mayores que cero (471-472). Tenemos pues dos
contradicciones que prueban la imposibilidad de dividir cualquier intervalo finito
de tiempo en una infinitud actual de partes ω ∗ −ordenadas y en una infinitud
actual de partes ω−ordenadas (v´ease el Z-reloj de la Figura 25.2).
474 Como u
´ltimo recurso, algunos infinitists afirman que no tienen sentido tratar
de calcular la duraci´
on de las transiciones S ∗ (0) → S ∗ (ℵo ) y S(ℵo ) → S(0)
simplemente porque no hay ni primer elemento en las sucesiones ω ∗ −ordenadas
ni u
´ltimo elemento en las sucesiones ω−ordenadas. Pero aqu´ı no hemos estado
tratando de calcular la duraci´
on de esas transiciones, nos hemos limitado a tratar
de demostrar que tienen que durar un tiempo mayor que cero (ω-separaci´
on), pero
que no pueden durar un tiempo mayor que cero (ω-dicotom´ıa).
475 Cualquier partici´
on numerable del tiempo ha de ser α−ordenada o α∗ ordenada, siendo α un ordinal de la segunda clase (y primera o segunda especie).
As´ı, tendremos:
α=ω
(14)
o bien:
α=ω+β
(15)
donde β es un ordinal de la segunda clase (primera o segunda especie). Por tanto,
cualquier partici´
on transfinita del tiempo ha de contener una imposible partici´
on
∗
ω−ordenada (u ω −ordenada). Las particiones numerables del tiempo son, por
156 —— Divisibilidad del espaciotiempo
tanto, imposibles. Y puesto que cualquier divisi´
on no numerable contiene infinitas divisiones numerables, hemos de concluir que el tiempo no es infinitamente
divisible en t´erminos consistentes.
476 Si en lugar del paso del tiempo y de las sucesiones de t∗ -instantes y de t-instantes, hubi´eramos considerado el movimiento linear uniforme de una part´ıcula
puntual atravesando los Z ∗ puntos hzn∗ i y los Z-puntos hzn i definidos en el intervalo [0, 1] de la recta real por:
1
, ∀i ∈ N
2i
(16)
2i − 1
, ∀i ∈ N
2i
(17)
hzi∗∗ i : zi∗∗ =
hzi i : zi =
habr´ıamos llegado a la misma conclusi´
on, y por las mismas razones, sobre la infinita divisibilidad del espacio que a la que hemos llegado sobre la infinita divisibilidad
del tiempo.
477 Las conclusiones anteriores sobre la divisibilidad del espacio y el tiempo
no s´olo se aplican al espacio y al tiempo, sino a la propia noci´on de continuo
densamente ordenado.
26.-Intercambios num´ericos
ω -Intercambios
478 Como veremos en este cap´ıtulo, es posible hacer desaparecer un n´
umero
de una lista de n´
umeros si la lista es ω−ordenada y el n´
umero intercambia sucesivamente su posici´on (fila) en la tabla con el n´
umero situado en la siguiente
fila de la tabla, mientras haya un n´
umero en la siguiente fila de la tabla con el
que intercambiar su posici´on. Este resultado absurdo es una consecuencia inevitable de asumir que las listas ω−ordenadas existen como totalidades completas.
El conflicto desaparece en las listas potencialmente infinitas.
t1
t2
479 Consideremos la tabla ω−ordena1
2
da T de todos los n´
umeros naturales en
2
1
3
3
su orden natural de precedencia, y sean
4
4
r1 = 1; r2 = 2; r3 = 3 . . . sus sucesivas
5
5
filas. Supongamos ahora que intercambia6
6
mos el n´
umero 1 con el n´
umero 2, y luego
7
7
8
8
el n´
umero 1 con el n´
umero 3, y luego el
n´
umero 1 con el n´
umero 4, y as´ı sucesivaFigura 26.1:
mente (Figura 26.1). En s´ımbolos:
t3
2
3
1
4
5
6
7
8
t4
2
3
4
1
5
6
7
8
t5
2
3
4
5
1
6
7
8
t6 …
2
3
4
5
6
1
7
8
Intercambios num´
ericos en la
lista ordenada de los n´
umeros naturales.
i = 1, 2, 3, . . . Ei (1) ≡
(
ri = i + 1
ri+1 = 1
(1)
donde Ei (1) representa el intercambio entre los n´
umeros 1 e i+1 de la tabla T.
El objetivo de la siguiente discusi´
on es analizar el destino del n´
umero 1 una vez
realizados todos los posibles intercambios hEi (1)i definidos por (1).
480 Los sucesivos intercambios hEi (1)i estar´
an sometidos a la siguiente restricci´on:
Restricci´
on 480.-Para cada n´
umero natural n, el intercambio En (1)
se llevar´
a a cabo si, y solo si, deja al n´
umero 1 situado en rn+1 y al
n´
umero n+1 en rn .
481 Es inmediato probar que para cada n´
umero natural v es posible realizar los
primeros v intercambios hEi (1)ii=1,2...v sin violar la Restricci´
on 480. Es evidente
157
158 —— Intercambios num´
ericos
que se puede realizar E1 (1) sin violar la Restricci´
on 480, porque ese intercambio
deja al n´
umero 1 en r2 y al n´
umero 2 en r1 . Supongamos que, siendo n un n´
umero
natural cualquiera, se pueden realizar los primeros n intercambios hEi (1)ii=1,2...n
sin violar la Restricci´
on 480. Una vez realizados, el n´
umero 1 estar´
a situado en
rn+1 y el n´
umero n+1 en rn . En consecuencia se puede realizar En+1 (1), porque
deja al n´
umero 1 situado en rn+2 y al n´
umero (n + 2) en rn+1 . Este razonamiento
inductivo prueba que para todo n´
umero natural v es posible realizar los primeros
v intercambios hE(1)ii=1,2...v sin violar la Restricci´
on 480.
482 Examinaremos las consecuencias de esta conclusi´
on en las dos secciones
siguientes mediante dos argumentos independientes.
Argumento de la supertarea
483 La teor´ıa de supertareas presupone la posibilidad de realizar infinitas acciones en un tiempo finito (ver [160] para m´as detalles y los Cap´ıtulos 20 y 25
de este libro). La breve discusi´
on que sigue analiza esta hip´otesis por medio de
un supertarea condicionada1 elemental cuyas sucesivas acciones (tareas) consisten precisamente en la realizaci´
on de los sucesivos intercambios Ei (1) sujetos a la
Restricci´
on 480. Como consecuencia de esos sucesivos intercambios el n´
umero 1,
originalmente colocado en la primera fila, ser´a sucesivamente colocado en la 2a ,
3a , 4a ... fila de T .
484 Sea htn i una sucesi´on estrictamente creciente y ω−ordenada de instantes en
el intervalo real (ta , tb ) cuyo l´ımite es tb . Supongamos que cada posible intercambio
Ei (1) se realiza en el preciso instante ti de htn i. Es evidente que en el instante tb
se habr´
an realizados todos los posibles intercambios Ei (1). El problema es: ¿en
qu´e fila estar´
a el n´
umero 1 en el instante tb ? Si rv es cualquier fila de T , est´
a claro
que 1 no est´
a en rv porque en tal caso los v primeros intercambios E(1)i=1,2,...v
no se habr´ıan efectuado,2 lo que seg´
un 481 es imposible. Por lo tanto, y siendo rv
una fila cualquiera de T , debemos concluir que en el instante tb el n´
umero 1 ha
desaparecido de la tabla. En tb , por lo tanto, la Restricci´
on 480 ha sido violada, a
pesar de que ninguno de los intercambios realizados la ha violado. Mientras todos
los n´
umeros mayores que 1 permanecen en la tabla, el n´
umero 1 ha desaparecido
misteriosamente en una ’bocanada de humo infinitista’. Una violaci´on de PI.
485 Cabe destacar que la conclusi´
on sobre la desaparici´
on del n´
umero 1 no se ha
derivado de los sucesivos intercambios realizados. Simplemente hemos demostrado
que una vez completada la supertarea, el n´
umero 1 no puede estar en ninguna de
las filas de la tabla T , en caso contrario, si estuviera en una fila rv , no se habr´ıan
realizado los primeros intercambios E(x)1,2,...v , lo que va en contra de 481.
1 En
una supertarea condicional cada tarea sucesiva se realiza si, y s´
olo si, se cumple una
determinada condici´
on, en nuestro caso la Restricci´
on 480.
2 E (1) deja a 1 en la fila r
v
v+1 .
La alternativa del infinito potencial —— 159
Argumento Modus Tollens
486 Consid´erense las dos siguientes proposiciones sobre la ejecuci´
on de todos los
posibles intercambios Ei (1):
p: Una vez realizados todos los posibles intercambios Ei (1), el n´
umero 1 permanece en T .
q: Una vez realizados todos los posibles intercambios Ei (1), el n´
umero 1 permanece en una cierta fila rv of T .
Es claro que p ⇒ q porque si una vez realizados todos los posibles intercambios
Ei (1) el n´
umero 1 est´
a en T , entonces estar´
a en una de sus filas rv , sea cual sea
rv .
487 Probaremos ahora que q es falsa. Sea rv una fila cualquiera de T . Si una vez
realizados todos los posibles intercambios Ei (1) el n´
umero 1 est´
a en rv entonces
Ev (1) no se ha realizado. Pero esto es falso porque:
1) El ´ındice v de Ev (1) es un n´
umero natural.
2) De acuerdo con 481, para cada n´
umero natural v es posible realizar los
primeros v intercambios hEi (1)i1,2,...v .
3) Todos los posibles intercambios Ei (1) se han realizado.
4) Al menos los primeros v intercambios hEi (1)i1,2,...v se han realizado.
5) Ev (1) coloc´
o el n´
umero 1 en la fila rv+1 .
En consecuencia el n´
umero 1 no est´
a en rv . Por tanto, y siendo rv una fila cualquiera, hemos de concluir que q es falsa.
488 Podemos por tanto escribir:
p⇒q
¬q
————
∴ ¬p
(2)
(3)
(4)
lo que significa que una vez realizados todos los posibles intercambios Ei (1) el
n´
umero 1 ya no est´
a en T . O, alternativamente, que es imposible realizar todos
los posible intercambios Ei (1).
La alternativa del infinito potencial
489 Terminaremos este cap´ıtulo analizando el problema de los intercambios
hEi (1)i desde el punto de vista del infinito potencial. Puesto que desde ese punto
de vista s´olo tienen sentido las totalidades finitas (tan grandes como se desee, pero
siempre finitas), consideremos un n´
umero finito n cualquiera y la tabla Tn de los
160 —— Intercambios num´
ericos
primeros n n´
umeros naturales. Los intercambios hEi (1)i ahora se se definen por:

ri = i + 1
i = 1, 2, 3, . . . n − 1. Ei (1) ≡
(5)
ri+1 = 1
y por tanto, solo se realizar´
an un n´
umero finito n−1 de intercambios E(1)1,2,...(n−1) ,
al final de los cuales el n´
umero 1 estar´
a situado en la u
´ltima fila de Tn .
490 As´ı, para todo n´
umero natural n los intercambios (5) en Tn son consistentes.
Solo cuando ocurren en la supuesta tabla completa de todos los n´
umeros naturales
se vuelven inconsistentes. En s´ımbolos:

ri = i + 1
i = 1, 2, 3, . . . n − 1 Ei (1) ≡
(6)
ri+1 = 1
es consistente, mientras que:
i = 1, 2, 3, . . . Ei (1) ≡
es inconsistente.

ri = i + 1
ri+1 = 1
(7)
27.-Infinito uno a uno
´ n unario
El sistema de numeracio
491 Tal vez la forma m´as primitiva de representar n´
umeros [213] es lo que ahora
llamamos el sistema unario de numeraci´
on (SUN). Como su nombre indica, s´olo
se necesita un numeral1 para representar cualquier n´
umero natural. Aqu´ı vamos
a utilizar el numeral ’1’. Los sucesivos n´
umeros naturales se escribir´an entonces:
1, 11, 111, 1111, 11111, 111111, . . .
(1)
492 Aunque, por razones obvias, el SUN no es el m´as adecuado para el c´
alculo
complejo, es el sistema que mejor representa la esencia de los n´
umeros naturales: cada n´
umero natural es exactamente una unidad mayor que su predecesor
inmediato. En consecuencia, la expresi´on unaria de cada n´
umero natural tiene
exactamente un numeral m´as que la expresi´on unaria de su inmediato predecesor.
El SUN sugiere, adem´as, una definici´on aritm´etica recursiva de los n´
umeros naturales: a partir del primero de ellos, el n´
umero 1, a˜
nadir una unidad para definir
el siguiente.
493 De acuerdo con la hip´
otesis del infinito actual, los infinitos n´
umeros naturales existen como una totalidad completa. El resultado de la definici´on de los
sucesivos n´
umeros naturales (todo finitos) mediante la adici´
on de una unidad al
primer n´
umero natural un n´
umero infinito de veces sucesivas, es una infinidad de
n´
umeros finitos cada uno una unidad mayor que su predecesor inmediato, a pesar
de lo cual no se llega a alcanzar un n´
umero infinito. O en t´erminos del SUN, de
acuerdo con la ortodoxia infinitista es posible definir infinitas cadenas finitas de
’1’s cada una con un ’1’ m´as que la anterior, sin originar nunca una cadena con
un n´
umero infinito de ’1’s.
Cabezal de escritura
Cinta
…
…
…
1111
Figura 27.1: La m´aquina unaria de escribir a punto de escribir el quinto numeral.
numeral de un n´
umero no es un n´
umero sino el s´ımbolo que se utiliza para referirse al
n´
umero. As´ı, el n´
umero ’5’ es el s´ımbolo para el n´
umero 5 en el sistema normal (decimal)
de numeraci´
on.
1 El
161
162 —— Infinito uno a uno
494 Pongamos a prueba la hip´
otesis anterior sobre la existencia de una infinitud
actual de n´
umeros finitos, cada uno una unidad mayor que su predecesor inmediato. Para ello, consideremos una m´aquina unaria de escribir (MUE) capaz de
escribir cadenas horizontales de ’1’s de cualquier longitud finita. Ahora hagamos
trabajar a MUE de acuerdo con las siguientes condiciones:
a) En una cinta vac´ıa, MUE escribe un primer numeral ’1’.
b) MUE escribe un nuevo numeral ’1’ a la derecha del u
´ltimo ’1’ previamente escrito si, y s´
olo si, el resultado es una cadena finita de ’1’s, es
decir, la expresi´on unaria de un n´
umero natural. De lo contrario MUE
se detiene.
Comentario 494-1.- Se podr´ıa argumentar que el trabajo condicional de MUE
no puede ser pr´acticamente controlado, pero aqu´ı no necesitamos controles pr´acticos sino consistencia argumentativa. MUE es un dispositivo te´orico expl´ıcitamente
inventado para llevar a cabo una discusi´
on conceptual. Un experimento mental.
Recordemos en este punto el Principio de Independencia seg´
un el cual la consistencia de un argumento no depende del n´
umero de pasos del argumento no de la
existencia real de los objetos intervinientes en el argumento.
495 Es inmediato demostrar por inducci´on el siguiente:
Teorema 495.-Para todo n´
umero natural v, MUE puede escribir una
cadena finita Sv = 11 .(v)
. . 1 de v numerales ’1’.
Demostraci´
on.-Dado que 1 is una cadena finita, MUE puede escribir la primera
cadena S1 = 1. Supongamos que MUE puede escribir la cadena Sn = 11 .(n)
. . 1 de
n numerales ’1’, siendo n cualquier n´
umero natural. Puesto que n + 1 es tambi´en
finito, MUE puede escribir un nuevo numeral ’1’ a la derecha de Sn , i.e. una cadena
finita Sn+1 = 11 (n+1)
. . . 1 de n+1 numerales. As´ı, MUE puede escribir la primera
cadena S1 y si para cualquier n´
umero natural n, puede escribir una cadena Sn =
11 .(n)
. . 1 de n numerales ’1’ tambi´en puede escribir una cadena Sn+1 = 11 (n+1)
... 1
de n + 1 numerales. Esto prueba que para todo n´
umero natural v, MUE puede
escribir una cadena Sv = 11 .(v)
. . 1de v numerales ’1’.
496 Supongamos ahora que mientras MUE pueda escribir un nuevo numeral
’1’ a la derecha del u
´ltimo ’1’ previamente escrito, lo escribe. Sea S la cadena
resultante una vez que todos los numerales posibles han sido escritos. En primer
lugar destaquemos que estamos asumiendo la posibilidad de llevar a cabo todas
las acciones posibles de una sucesi´on de acciones sucesivas, precisamente porque
son posibles. De lo contrario estar´ıamos ante una contradicci´on b´
asica, la de una
posibilidad imposible. Por lo tanto, estamos asumiendo la Primera Ley de la
l´ogica, seg´
un la cual si algo es posible, entonces es posible.
497 La cadena S no puede tener un n´
umero infinito de numerales, porque MUE
escribe un nuevo numeral si, y s´olo si, la cadena resultante tiene un n´
umero finito
de numerales. Pero S tampoco puede tener un n´
umero finito de numerales. En
efecto, supongamos que S tiene v numerales, siendo v cualquier n´
umero natural.
El sistema de numeraci´
on unario —— 163
Esto implicar´ıa que MUE no escribi´
o el (v + 1)−´esimo numeral, lo cual, y siendo
v + 1 un n´
umero finito, es imposible de acuerdo con el Teorema 495, si todos los
posibles ’1’s han sido escritos.
498 El argumento anterior se puede convertir f´acilmente en una supertarea. En
efecto, sea htn i una sucesi´on ω−ordenada y estrictamente creciente de instantes
dentro del intervalo de tiempo finito (ta , tb ) cuyo l´ımite es tb . Supongamos que en
el instante t1 MUE escribe un primer numeral ’1’ en una cinta vac´ıa y despu´es
en cada instante sucesivo ti, i>1 de htn i escribe un nuevo numeral a la derecha del
escrito previamente si, y solo si, la cadena de 1s resultante es finita. En otro caso
MUE se detiene. En el instante tb tendremos una cadena S de numerales que no
puede ser ni finita ni infinita.
499 En efecto, si fuera finita tendr´ıa un n´
umero finito n de numerales y por
tanto MUE habr´ıa sido detenida antes de escribir el (n+1)-´esimo numeral, lo que
no es imposible porque n+1 es tambi´en finito y por tanto MUE tambi´en puede
escribir el (n+1)-´esimo numeral ’1’.
500 Si S es infinita, aparte de violar la condici´on bajo la cual se ha de llevar
a cabo la supertarea, un n´
umero infinito de numerales tuvo que ser escrito en
el instante tb , cuando la supertarea ya hab´ıa terminado. En efecto, en cualquier
instante anterior t del intervalo (ta , tb ) MUE ha escrito s´olo un n´
umero finito de
numerales, teniendo en cuenta que tb es el l´ımite de htn i tendremos:
∃v ∈ N : tv ≤ t < tv+1
(2)
y por tanto, en el instante t MUE solo ha escrito un n´
umero finito v de numerales.
Y as´ı para todos los t en (ta , tb ). Para todos. Por tanto no existe ning´
un instante
en (ta , tb ) en el cual MUE haya escrito un n´
umero infinito de numerales. En
consecuencia, si S es infinita, en el instante tb , el primer instante en el que MUE
se encuentra ya detenida, MUE tiene que escribir un n´
umero infinito de numerales.
501 Los infinitistas defienden que todos los n´
umeros naturales se pueden contar
en un intervalo finito de tiempo: contando cada n´
umero natural n en el preciso
instante tn de la sucesi´on de instantes htn i (Cap´ıtulo 4, 32). Resulta curioso que
todos los n´
umeros naturales puedan ser contados pero no escritos en el SUN,
siendo ambos procesos totalmente equivalentes en t´erminos formales. Excepto en
que la escritura deja un resultado final inc´
omodo en la forma de una cadena de
numerales (S) que no puede ser ni finita ni infinita.
502 Este es el tipo de resultado que uno puede esperar cuando se asume que es
posible a˜
nadir un n´
umero infinito de veces un nuevo ’1’ a una cadena inicial S1
= 1 sin que la cadena se haga infinita. O lo que es lo mismo, cuando se asume
la posibilidad de a˜
nadir un n´
umero infinito de unidades sucesivas a una primera
unidad (el primer n´
umero natural) sin llegar a un n´
umero infinito.
164 —— Infinito uno a uno
503 Hay otra manera m´as expl´ıcita de hacer evidente la falacia de agregar infinitas unidades sucesivas a una primera unidad sin llegar nunca a un n´
umero
infinito. O, alternativamente, la falacia de escribir infinitos numerales ’1’ sucesivos a la derecha de un primer numeral ’1’ sin llegar nunca a una cadena infinita
de numerales ’1’. Es la siguiente supertarea acondicionada.
t1
t2
b1
BX
tb
t3
b2
BX
?
b3
BX
...
BX
Figura 27.2: A˜nadiendo bolas a una caja BX inicialmente vac´ıa.
504 Sea BX una caja vac´ıa, hbn i una colecci´
on ω−ordenada de bolas etiquetadas
y htn i una sucesi´on estrictamente creciente de instantes en el intervalo (ta , tb ) cuyo
l´ımite es tb . Ahora consid´erese la siguiente supertarea condicionada: En cada uno
de los sucesivos instantes ti de htn i a˜
nadir la bola bi si y s´olo si, el n´
umero de
bolas en la caja BX es finito.
505 En el instante tb habr´
a terminado nuestro supertarea y BX contendr´a un
cierto n´
umero de bolas. De acuerdo con la la hip´otesis del infinito actual subsumida
en el Axioma del Infinito, existe una totalidad completa de infinitos n´
umeros
naturales finitos, 1, 2, 3, . . . , cada una unidad mayor que su predecesor inmediato.
La colecci´
on de bolas hbn i y la sucesi´on de instantes htn i tambi´en existen como
totalidades completas. Todas estas colecciones y sucesiones completas de n´
umeros
naturales, de bolas y de instantes son legitimadas por el Axioma del Infinito. A
su vez, esas colecciones y sucesiones legitiman la realizaci´
on de nuestro supertarea
en el intervalo de tiempo (ta , tb ).
506 Consideremos las dos siguientes alternativas, exhaustivas y mutuamente
excluyentes, con respecto al n´
umero de bolas en la caja BX en el instante tb :
1) En el instante tb , la caja BX contiene un n´
umero finito de bolas.
2) En el instante tb , la caja BX contiene un n´
umero infinito de bolas.
507 Sea v cualquier n´
umero natural y supongamos que en el instante tb la caja
BX contiene v bolas. Puesto que v + 1 es tambi´en un n´
umero natural finito, la
bola bv+1 tambi´en fue a˜
nadida a BX en el instante tv+1 . As´ı, en tb la caja BX
no puede contener v bolas, y siendo v cualquier n´
umero natural finito podemos
concluir que en el instante tb la caja BX no puede contener un n´
umero finito de
bolas.
508 En el instante tb la caja BX tampoco puede contener un n´
umero infinito
de bolas. En efecto:
La tabla monaria de los n´
umeros naturales —— 165
1) BX contendr´a un n´
umero infinito de bolas si la condici´on, a˜
nadir una
bola a la caja si, y solo si, la caja contiene un n´
umero finito de bolas,
ha sido violada. O si existe un n´
umero natural finito v tal que v + 1 sea
infinito, lo que obviamente no es el caso.
2) Siendo tb el l´ımite de la sucesi´on htn i, en cada instante t del intervalo
(ta , tb ) la caja BX contienen un n´
umero finito v de bolas:
∃v ∈ N : tv ≤ t < tv+1
(3)
Por tanto, la u
´nica manera de que BX contenga un n´
umero infinito de bolas en
el instante tb es a˜
nadiendo infinitas bolas precisamente en el instante tb , lo que es
imposible porque en el instante tb todas las bolas han sido ya a˜
nadidas a la caja,
como demuestra la biyecci´on f (ti ) = bi . En el instante tb ninguna bola se a˜
nade
a la caja BX.
509 La conclusi´
on sobre la caja y las bolas es, por tanto, muy clara: Si la lista
de los n´
umeros naturales existe como una totalidad infinita y completa, entonces
la caja BX no puede contener ni un n´
umero finito ni un n´
umero infinito de bolas.
´ meros naturales
La tabla monaria de los nu
510 Consideremos ahora la siguiente tabla ω−ordenada T de los n´
umeros naturales en su orden natural de precedencia y escritos en el sistema unario de
numeraci´
on:
Fila F1 : 1
Fila F2 : 11
Fila F3 : 111
Fila F4 : 1111
Fila F5 : 11111
...
La n-´esima fila de T , simb´
olicamente rn , corresponde a la representaci´on unaria
del n´
umero n, estando por consiguiente formada por n numerales ’1’. Seg´
un la
hip´otesis del infinito actual, las infinitas filas de T , una para cada n´
umero natural,
existen todas en el acto, como una totalidad completa.
511 El n´
umero de filas de la tabla T es igual al n´
umero de n´
umeros naturales,
es decir, ℵo , el cardinal del conjunto de los n´
umeros naturales. Seg´
un la ortodoxia
infinitista, ℵo es el menor cardinal infinito, el menor n´
umero mayor que todos los
n´
umeros naturales finitos (v´eanse los Cap´ıtulos 4 y 16 sobre el infinito actual y
alef-cero).
512 La primera columna de T tiene ℵo elementos, uno para cada fila; uno para
cada n´
umero natural. Dado que cada elemento de esta columna pertenece a una
166 —— Infinito uno a uno
fila diferente y ninguna otra columna tiene m´as elementos que ella2 , podemos
decir que esta primera columna define el n´
umero de filas de T en el sentido de que
el primer elemento de cada fila es un elemento diferente de la primera columna, y
por tanto es posible definir una biyecci´on entre las filas hri i de T y los elementos
hc1i i de su primera columna.
f (ri ) = c1i , ∀ri ∈ T
(4)
Sin embargo, mientras que el n´
umero de filas de T est´
a completamente definido
por el n´
umero de elementos de su primera columna, el n´
umero de columnas de T
es mucho m´as problem´
atico, como veremos inmediatamente.
513 Estando cada fila rn compuesta por exactamente n numerales ’1’, y siendo
cada uno de esos numerales un elemento de una columna diferente de T , esa
fila garantiza la existencia de al menos n columnas en T . Es en este sentido que
diremos que rn define exactamente n columnas:
r1 = 1
(r1 define 1 columna )
r2 = 11
(r2 define 2 columnas)
r3 = 111
(r3 define 3 columnas)
r4 = 1111
(r4 define 4 columnas)
...
rn = 111. n. .111
(rn define n columnas)
...
514 Empecemos demostrando que el n´
umero de columnas de la tabla T no puede
ser finito. En efecto, sea n cualquier n´
umero natural. T no puede tener n columnas
porque en ese caso el n´
umero n + 1 no pertenecer´ıa a la tabla: la representaci´on
unaria de ese n´
umero es una cadena de n + 1 numerales ’1’ y, por tanto, una fila
de T que define n + 1 columnas. En consecuencia, cualquiera que sea el n´
umero
n, T no puede tener n columnas.
515 Y ahora probaremos que el n´
umero de columnas de T no puede ser infinito
tampoco. Puesto que cada fila es la expresi´on unaria de un n´
umero natural y
todos los n´
umeros naturales son finitos, cada fila rn consistir´
a en una cadena
finita de n numerales ’1’. Por lo tanto cada fila de T define un n´
umero finito
de columnas. O con otras palabras, ninguna fila de T define un n´
umero infinito
de columnas. Pero si ninguna fila define un n´
umero infinito de columnas, T no
puede tener un n´
umero infinito de columnas, a menos que el n´
umero de columnas
de T est´e definido, no por una fila, sino por un grupo de filas. Examinaremos a
continuaci´on esa posibilidad.
516 Supongamos que el n´
umero infinito de columnas (C de ahora en adelante)
2 Se
podr´ıa demostrar f´
acilmente que cada columna de T tiene ℵo elementos
La tabla monaria de los n´
umeros naturales —— 167
de T no est´
a definido por una fila en particular sino por un grupo de filas, incluso
por toda la tabla. Es evidente que si hace falta un grupo de filas (o toda la
tabla) para definir C, entonces al menos dos de las filas del grupo contribuir´
an
conjuntamente a la definici´on. Donde contribuir conjuntamente significa que cada
fila define columnas que la otra no define y viceversa. Sean rk y rn dos cualesquiera
de esas filas ’contribuyentes’. Si rk y rn contribuyen juntas a definir C, entonces
rk definir´
a algunas columnas que rn no define, y viceversa. En otro caso solo una
de ellas ser´ıa necesaria para definir C.
517 Ahora bien, puesto que k y n son n´
umeros naturales, tendremos o bien
k < n o bien k > n. Supongamos que k < n, en este caso rk define las primeras k
columnas de T y rn las primeras n columnas de T de modo que, aunque rn define
(n − k) columnas que rk no define, todas las columnas definidas por rk tambi´en
est´
an definidas por rn . Esto prueba la imposibilidad de que dos filas diferentes de
un grupo de filas (incluyendo toda la tabla) contribuyan conjuntamente a definir
C.
518 Y las cosas pueden empeorar con respecto a la definici´on del n´
umero de
columnas de T . Sea htn i una sucesi´on ω−ordenada creciente de instantes en el
intervalo real [ta , tb ) cuyo l´ımite es tb , y consid´erese la siguiente supertarea condicionada:
Supertarea 519.-En cada instante ti de htn i elim´ınese de T la fila ri
si, y solo si, las filas restantes definen el mismo n´
umero de columnas
que si ri no se elimina. En otro caso term´ınese la supertarea.
519 En cualquier caso, en el instante tb la supertarea se habr´
a completado, y
tendremos las dos siguientes alternativas, mutuamente excluyentes:
1) En el instante tb no todos las filas han sido eliminadas.
2) En el instante tb todas las filas han sido eliminadas.
De acuerdo con la primera alternativa y teniendo en cuenta la forma sucesiva en la
que se eliminaron las filas, habr´
a una primera fila rn que no se ha eliminado porque
su eliminaci´on habr´ıa cambiado el n´
umero de columnas de T . Pero eso es imposible
porque todas las columnas definidas por rn tambi´en est´
an definidas por rn+1 . La
primera alternativa es por tanto falsa. Debemos concluir, en consecuencia, que la
segunda alternativa es verdadera, lo que significa que ¡T tiene el mismo n´
umero
de columnas que una tabla vac´ıa!
520 Mientras que, de acuerdo con la hip´
otesis del infinito actual subsumida por
el Axioma del Infinito, T es una totalidad completa y bien definida compuesta por
infinitas filas, el argumento 514/519 demuestra que el n´
umero de sus columnas no
puede ser ni finito ni infinito, lo que parece algo contradictorio
168 —— Infinito uno a uno
Part V. Argumentos: A trav´es del infinito
28.-Un viaje a trav´es de Pi
´n
Introduccio
521 El n´
umero pi (π) no necesita introducci´on alguna. Casi todo el mundo sabe
que representa la relaci´
on entre la longitud de una circunferencia cualquiera y el
di´ametro de su correspondiente c´ırculo. . . y muchas cosas mas. Es el m´as ubicuo
de los n´
umeros, π aparece en una lista interminable de f´ormulas matem´aticas y
f´ısicas (v´ease [147] para una breve y amena introducci´on).
522 Pi es un n´
umero real. Un n´
umero irracional y no algebraico, es decir trascendente (trasciende los m´etodos algebraicos seg´
un L. Euler). En consecuencia
tiene una expansi´
on decimal infinita y la u
´nica manera de conocer sus sucesivos
d´ıgitos es calcularlos mediante algoritmos apropiados. Desde un punto de vista
infinitista, sin embargo, los infinitos d´ıgitos de π existen todos a la vez, como una
totalidad completa y acabada.
523 Terminamos el Cap´ıtulo 12 recordando que la existencia de procesos interminables de c´
alculo no implica la existencia de los correspondientes resultados
finales. Por ejemplo, si dividimos 1 por 3 obtenemos un n´
umero racional con una
expansi´
on decimal interminable:
1
= 0,333333333333333333333333333333333333 . . .
(1)
3
y nos podemos preguntar si esa expansi´
on decimal existe como una totalidad
completa y acabada (infinito actual) o como una sucesi´on ilimitada de d´ıgitos,
tan grande como se quiera pero siempre finita (infinito potencial).
524 En el caso de π los algoritmos son algo m´as complicados, por ejemplo el
algoritmo de Ramanujan:
√ ∞
1
2 2 X (4n)!(1103 + 26390n)
(2)
=
π
9801 n=0
(n!)4 3964n
O el de Chudnovsky’s [48]:
∞
X
(−1)n (6n)!(13591406 + 54514034n)
1
= 12
π
(n!)3 (3n)!(6403203)n+1/2
n=0
(3)
El u
´ltimo de ellos ha servido para calcular los primeros 12.1 trillones (americanos,
billones espa˜
noles) de cifras decimales de π en Octubre de 2013 [214]. Por muy
169
170 —— Un viaje a trav´
es de Pi
fant´
asticas que puedan parecer, estas expansiones decimales son min´
usculas (escritas en texto ordinario y debidamente encuadernadas cabr´ıan holgadamente en
una secci´
on de la Biblioteca Nacional de Espa˜
na) comparadas por ejemplo, con
una expansi´
on decimal de 9 ! 9 cifras, que ser´ıa imposible de representar porque
no hay sitio ni part´ıculas subat´omicas en todo el universo para llevar a cabo la
representaci´on. Y ese n´
umero es rid´ıculo comparado, por ejemplo, con 10 ! 100 , que
a su vez es rid´ıculo comparado con 100 ! 1000 etc.
525 A su vez, los n-expofactoriales se pueden usar para definir n´
umeros inconcebiblemente mayores, como los n´
umeros λ-factoriales:
!n
(4)
λ(n)! = (n ! n )!(n ) !
λ(n)! es el factorial del (n ! n )-expofactorial de (n ! n ). Podemos definir n´
umeros
tan grandes, aunque nunca podremos calcular ni siquiera el segundo de ellos λ(2)!:
!2
(5)
λ(2)! = (2!2 )!(2 ) !
¿Puede alguien imaginarse λ(1000)!? El problema es que, siendo finitos, todos
ellos son rid´ıculos comparado con el menor de los cardinales transfinitos, ℵo .
526 A pesar de ello, las matem´aticas infinitistas suponen que los infinitos decimales de π (y de cualquier otro n´
umero con una expansi´
on decimal infinita)
existen como una totalidad completa, como una sucesi´on ω−ordenada de d´ıgitos
en la que cada d´ıgito est´
a precedido por un n´
umero finito de d´ıgitos y seguido
por un n´
umero infinito de d´ıgitos, siendo ℵo el cardinal de la sucesi´on de d´ıgitos.
Veremos ahora que esa hip´
otesis podr´ıa conducir a una contradicci´on.
´ n decimal de π
La expansio
527 Consid´erese la expresi´on de π en el sistema decimal de numeraci´
on:
π = 3,141592653589793238462643383279502884 . . .
(6)
Su expansi´
on decimal .141592653. . . es una sucesi´on ω−ordenada de d´ıgitos cuyo
ordinal es ω, el menor de los ordinales transfinitos. Esta sucesi´on tienen un primer
d´ıgito, en este caso el ’1’, pero no un u
´ltimo d´ıgito, y cada d´ıgito tiene un sucesor
inmediato y un predecesor inmediato (excepto el primero de ellos). En consecuencia cada d´ıgito est´
a precedido por un n´
umero finito de d´ıgitos y sucedido por un
n´
umero infinito de d´ıgitos (ω-asimetr´ıa).
528 Sea hdn i una sucesi´on definida por la expansi´
on decimal de π de modo que
el ith t´ermino di de hdn i sea precisamente el ith d´ıgito de la expansi´
on decimal
de π:
d1 = 1; d2 = 4; d3 = 1; d5 = 5; d6 = 9; . . .
(7)
La expansi´
on decimal de π —— 171
Denotemos por C el conjunto {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} de todos los d´ıgitos del
sistema decimal de numeraci´
on, y sea x una variable cuyo dominio es el conjunto
C.
529 Consideremos ahora la siguiente sucesi´on hDn (x)i de definiciones de x:
Di (x) = di , di ∈ hdn i; i = 1, 2, 3, . . .
(8)
sujeta a la siguiente
Restricci´
on 529.-Cada i-´esima definici´on Di (x) de hDn (x)i se llevar´a a cabo si, y solo si, x resulta definida dentro de su dominio C.
N´
otese que, siendo la sucesi´on de d´ıgitos de la expansi´
on decimal de π ω−ordenada, tambi´en lo ser´an las sucesiones hdn i y hDn (x)i. Y n´
otese tambi´en que las
sucesivas definiciones Di (x) se llevan a cabo sucesivamente, siguiendo el ω−orden
natural de los ´ındices i = 1, 2, 3, . . . .
530 Probaremos ahora el siguiente:
Teorema 530.-Para cada n´
umero natural v es posible realizar las
primeras v definiciones hDn (x)ii=1,2,...v
Demostraci´
on.-Supongamos que existe un n´
umero natural v para el que resulta
imposible realizar las primeras v definiciones hDn (x)ii=1,2,...v . Existir´a un primer
n´
umero natural k ≤ v para el que es imposible realizar Dk (x). Ahora bien, de
acuerdo con (8) tenemos:
Dk (x) = dk
(9)
donde dk es el k-´esimo d´ıgito de la expansi´
on decimal de π, i.e. uno de los elementos
del conjunto C de todos los d´ıgitos del sistema de numeraci´
on decimal. Por lo
tanto, Dk (x) define a x como un elemento de su dominio C, y de acuerdo con la
Restricci´
on 529 se puede realizar. Por consiguiente es imposible que Dk (x) no se
pueda realizar. As´ı, para cada n´
umero natural v es posible realizar las primeras
v definiciones hDn (x)ii=1,2,...v
531 El Principio de Invariancia y el ω−orden nos permiten ahora demostrar los
dos siguientes teoremas.
Teorema 531-1.-Una vez realizadas todas las posibles definiciones
Di (x) de la sucesi´on de definiciones hDn (x)i, y solo ellas, tendremos:
x∈C
Demostraci´
on.-Puesto que cada definici´on Di (x) de hDn (x)i define a x como un
d´ıgito decimal di de la expansi´
on decimal de π, y cada d´ıgito de esa expansi´
on es
un elemento de C tendremos que concluir que todas y cada una de las definiciones
Di (x) de hDn (x)i definen a x como un elemento de su dominio C. Por consiguiente,
una vez realizadas todas las posibles definiciones Di (x) de hDn (x)i, y solo ellas,
tendremos: x ∈ C [PI]. N´
otese que si fuese imposible realizar todas las posibles
definiciones Di (x) de hDn (x)i estar´ıamos frente a una contradicci´on elemental.
172 —— Un viaje a trav´
es de Pi
Teorema 531-2.-Una vez realizadas todas las posibles definiciones
Di (x) de la sucesi´on de definiciones hDn (x)i, y solo ellas, tendremos:
x∈
/C
Demostraci´
on.-Sea ci un elemento cualquiera de C y sup´ongase que una vez realizadas todas las posibles definiciones Di (x) de la sucesi´on de definiciones hDn (x)i,
y solo ellas, tenemos x = ci . Puesto que todas las posibles definiciones Di (x), y
solo ellas, se han llevado a cabo podemos afirmar:
a) Una cierta definici´on Dk (x) de hDn (x)i ha dejado a x definida como ci . Esto
ha de ser as´ı porque solo esas definiciones se han llevado a cabo.
b) Dk (x) = ci solo puede ser la u
´ltima definici´on que ha sufrido x, en caso
contrario x habr´ıa recuperado m´agicamente el valor de una definici´on previa.
Ahora bien, puesto que la expansi´
on decimal de π no tiene un u
´ltimo d´ıgito (es
ω−ordenada), una u
´ltima definici´on de x solo pude significar una u
´ltima definici´on
ante de completar la sucesi´on de definiciones hDn (x)i, que tambi´en es ω−ordenada. Por tanto, cualquiera que sea esa u
´ltima definici´on ser´a un t´ermino Dk (x)
de la sucesi´on de definiciones hDn (x)i. Gracias a la ω-asimetr´ıa de hDn (x)i, todo
t´ermino de esta sucesi´on tiene un n´
umero finito de predecesores. Por tanto k es
finito, y tambi´en lo ser´a k + 1. Evidentemente, si todas las posibles definiciones
se han llevado a cabo sucesivamente y la u
´ltima definici´on realizada es Dk (x)
entonces Dk+1 (x) no se ha realizado, lo que va contra el Teorema 530 porque
k + 1 es finito. En consecuencia es imposible que x = ci una vez realizadas todas
las posibles definiciones hDn (x)i, y solo ellas. N´
otese que la conclusi´
on sobre el
valor de x una vez realizadas todas las posibles definiciones hDn (x)i y solo ellas,
no es una cuesti´on de indeterminaci´on sino de imposibilidad: el conjunto de las
posibles soluciones est´
a vac´ıo. N´
otese tambi´en que este u
´ltimo teorema no se
ha derivado, a la Thomson, de las sucesivas definiciones realizadas sino de las
propiedades intr´ınsecas del ω−orden.
532 La hip´otesis del infinito actual legitima la existencia de listas ω−ordenadas, la existencia de listas ordenadas como totalidades completas sin un u
´ltimo
elemento que complete la lista. La expansi´
on decimal de π es una de esas listas, y
la contradicci´on anterior una simple consecuencia de asumir que existe como una
totalidad completa y acabada.
533 Las cosas son muy diferentes desde la perspectiva del infinito potencial,
simplemente porque desde esta perspectiva solo tienen sentido las totalidades
finitas. La existencia de procesos interminables como el de contar o el dividir 1 por
3 explican la existencia de sucesiones interminables de resultados. Pero no estamos
autorizados a decir que esas sucesiones existen como totalidades completas.
534 Al final, como u
´ltima causa, todas las propiedades de los n´
umeros racionales
vienen del simple hecho de que cada n´
umero natural es una unidad mayor que su
predecesor inmediato. Muchas de esas propiedades pueden ser asombrosas (para
unos m´as que para otros) y sus correspondientes relaciones con esa causa u
´ltima
La expansi´
on decimal de π —— 173
est´
an muy lejos de ser evidentes. Pero todos los n´
umeros racionales se construyen
sobre la u
´nica base de ese atributo universal de los n´
umeros naturales, y por tanto
esa u
´nica base ha de ser la causa final de todas sus propiedades.
535 En el caso de los n´
umeros reales hemos de considerar tambi´en la existencia de
algoritmos interminables de c´
alculo que tienden hacia un l´ımite sin alcanzar nunca
el l´ımite, como es el caso, a t´ıtulo ilustrativo, de la conocida serie de GregoryLeibniz:
1
π
1 1 1 1
+ ··· =
(10)
1− + − + −
3 5 7 9 11
4
De acuerdo con la hip´
otesis del infinito potencial se puede ir tan lejos como se
quiera a trav´es de esas series, pero no es posible completar el viaje. De acuerdo
con la hip´otesis del infinito actual s´ı es posible hacerlo.
536 En ambos caos, el infinito potencial y el actual, las series y sus l´ımites son
dos cosas diferentes. Pero de acuerdo con la hip´otesis del infinito actual podemos
escribir:
∞
X
π
(−1)n
=
(11)
2n + 1
4
n=0
asumiendo que los infinitos sumandos de la serie existen todos en el acto como
una totalidad completa y que se pueden sumar todos ellos, siendo el resultado
de la suma el l´ımite de la serie. Por el contrario, desde la perspectiva del infinito
potencial hemos de escribir:
→
X
(−1)n
π
→
2n
+
1
4
n=0
(12)
lo que significa que nos podemos aproximar al l´ımite cuanto deseemos pero que
nunca lo alcanzaremos, y que la existencia en el acto de todos los sumandos de la
serie como una totalidad completa no tiene sentido alguno.
174 —— Un viaje a trav´
es de Pi
29.-Reinterpretaci´on del teorema de la reordenaci´on de Riemann
Definiciones
537 El teorema de la reordenaci´
on de Riemann (v´ease m´as abajo) afirma que
es posible cambiar el orden de los sumandos de una serie condicionalmente convergente de tal manera que converja a cualquier n´
umero deseado, o al infinito.
Como veremos, el teorema s´olo se aplica si en el reordenamiento est´
an involucrados un n´
umero infinito de t´erminos. En esas condiciones converger y no converger
a un n´
umero dado se podr´ıa reinterpretar como una contradicci´on derivada de la
inconsistencia del infinito actual.
P
538 Una serie ∞
i=0 ai es condicionalmente convergente si es convergente pero
no absolutamente convergente. O con otras palabras, si, y solo si:
a) La serie converge a un n´
umero finito L:
l´ım
n→∞
∞
X
ai = L
(1)
i=0
b) La serie de sus t´erminos positivos (negativos) converge al infinito (positivo o negativo).
∞
X
|ai | = ∞
(2)
l´ım
n→∞
i=0
539 El teorema del reordenamiento de Riemann establece que mediante el reordenamiento adecuado de sus t´erminos, cualquier serie condicionalmente convergente puede hacerse converger a cualquier n´
umero finito dado o al infinito.
´n
Discusio
540 Nos ocuparemos exclusivamente de series condicionalmente convergentes
de n´
umeros reales que pueden converger a diferentes n´
umeros finitos por reordenamientos basados en la aplicaci´on de las propiedades conmutativa, asociativa y
distributiva de las operaciones aritm´eticas elementales en el cuerpo de los n´
umeros
reales. Llamamos R-ordenamientos a estos reordenamientos.
175
176 —— Reinterpretaci´
on del teorema de la reordenaci´
on de Riemann
P∞
541 Sea S = i=0 ai una serie condicionalmente convergente cualquiera y sea v
un n´
umero natural cualquiera. Consideremos la suma de los v primeros t´erminos
de S. Puesto que el n´
umero v de sumandos es finito, el n´
umero de sus posibles Rordenamientos tambi´en ser´a un n´
umero finito n. Sea hRi i1≤i≤n una sucesi´on finita
de R-ordenamientos de los v primeros sumandos de S, siendo cada R-ordenamiento
Ri, i>1 de hRi i1≤i≤n el resultado de aplicar una de las propiedades asociativa,
conmutativa o distributiva a su predecesor inmediato Ri−1 . Sea hSv,i i1≤i≤n la
correspondiente sucesi´on de sus sumas, i.e. cada Sv,i es la suma de los primeros v
sumandos de S reordenados como Ri .
542 Si para un cierto ´ındice i tuvi´eramos:
Sv,i−1 6= Sv,i
(3)
tendr´ıamos que concluir que por una simple aplicaci´on de una de las propiedades
conmutativa, asociativa, o distributiva a una suma compuesta de un n´
umero finito
de sumandos es posible cambiar el resultado de la suma, en cuyo caso la propiedad
aplicada no ser´ıa satisfecha en el cuerpo de los n´
umeros reales, lo que naturalmente
es imposible. La desigualdad (3) es, por tanto, imposible para cualquier n´
umero
natural (y por tanto finito) v.
543
Se verifica entonces el siguiente:
Teorema del reordenamiento consistente.-Para cualquier v en N,
la suma de los primeros v t´erminos de cualquier serie condicionalmente
convergente es siempre la misma, sea cual sea el reordenamiento de
los sumandos.
En consecuencia, podemos confirmar que s´olo cuando el n´
umero de sumandos es
infinito la suma depende el reordenamiento de los sumandos. Debemos concluir
entonces que es el n´
umero infinito de sumandos la causa de la conclusi´
on de
Riemann.
544 De acuerdo con el teorema del reordenamiento de Riemann, si S es cualquier
serie condicionalmente convergente y r cualquier n´
umero real la suma de sus
infinitos t´erminos es y no es igual a r, dependiendo del orden en el que se sumen
los t´erminos. Este es el tipo de resultado que uno podr´ıa esperar si la hip´otesis
del infinito actual fuese inconsistente. El teorema del reordenamiento de Riemann
podr´ıa ser reinterpretado, por lo tanto, como una prueba de la inconsistencia de
la hip´otesis del infinito actual. Y esa posibilidad, tan leg´ıtima como cualquiera
otra, deber´ıa ser expl´ıcitamente declarada en el enunciado del teorema.
30.-Temporizando el infinito
´n
Introduccio
545 Las matem´aticas no suelen ocuparse de la forma en la que las infinitos pasos sucesivos de, por ejemplo, una definici´on recursiva ω−ordenada se podr´ıan de
hecho llevar a cabo. Simplemente supone que son llevados a cabo en su completa totalidad. Pero las definiciones o los procedimientos matem´aticos compuestos
por cualquier n´
umero finito o infinito de pasos sucesivos podr´ıan ser f´acilmente
temporizados mediante una sucesi´on de instantes de la misma ordinalidad que
la sucesi´on de pasos y una correspondencia uno a uno entre ambas sucesiones.
Evidentemente, la correspondencia entre instantes y pasos no tiene ning´
un efecto
sobre el resultado de la definici´on o del procedimiento temporizado. Simplemente
establece los sucesivos instantes en los que cada uno de los sucesivos pasos podr´ıan
tener lugar. Examinaremos aqu´ı la diferencia entre definir una sucesi´on infinita
de objetos sin un u
´ltimo objeto que complete la sucesi´on, y redefinir un n´
umero
infinito de veces el mismo objeto.
Definiciones recursivas
546 Sea han i una sucesi´on ω−ordenada a1 , a2 , a3 , . . . y consid´erese la siguiente
sucesi´on ω−ordenada de definiciones recursivas:
(
A1 = {a1 }
(1)
Ai = Ai−1 ∪ {ai }
De acuerdo con la hip´
otesis del infinito actual, el resultado de la sucesi´on de definiciones (1) es una sucesi´on ω−ordenada hAn i de conjuntos anidados A1 ⊂ A2 ⊂ A3
⊂ . . . que existe como una totalidad completa. Obviamente, eso implica asumir la
compleci´on de los infinitos pasos sucesivos de (1). N´
otese que, siendo recursiva la
definici´on, no es posible definir todos los conjuntos hAn i de una vez. Los conjuntos
de la sucesi´on hAn i han de ser definidos uno a uno, uno tras otro. Simplemente
porque el uno se define en t´erminos del otro. Las definiciones recursivas tienen
ordinalidad. En este caso ω-ordinalidad.
547 Sea ahora (ta , tb ) un intervalo de tiempo cualquiera y htn i una sucesi´on
ω−ordenada y estrictamente creciente de instantes dentro de (ta , tb ) cuyo l´ımite
177
178 —— Temporizando el infinito
es tb , como es, por ejemplo, el caso de la sucesi´on cl´asica:
2n − 1
(2)
2n
La definici´on de htn i supone que el tiempo es infinitamente divisible, lo que podr´ıa,
o no, ser el caso en el mundo f´ısico. Esto no es, sin embargo, un impedimento para
las teor´ıas infinitistas formales, porque podr´ıa suponerse que se desarrollan en un
universo conceptual en que el tiempo se define arbitrariamente como infinitamente
divisible (Principio de Independencia).
tn = ta + (tb − ta )
548 La sucesi´on de definiciones (1) puede ser temporizada por la sucesi´on htn i de
una forma elemental: suponiendo que cada n-´esimo paso tiene lugar en el preciso
instante tn . La correspondencia uno a uno f definida por:
f : hti i ↔ hAi i
(3)
f (ti ) = Ai , ∀i ∈ N
(4)
demuestra que en el instante tb tendremos la misma totalidad ω−ordenada hAn i
definida en (1). N´
otese que cada paso sucesivo de la definici´on (1) define un nuevo
conjunto, y que finalmente tendremos una sucesi´on de infinitos conjuntos sin un
u
´ltimo conjunto que complete la sucesi´on.
´ n conflictiva
Una definicio
549 Temporizar las definiciones matem´aticas compuestas por un n´
umero infinito
de pasos pone de manifiesto algunas insuficiencias importantes en la supuesta
completitud de las totalidades ω−ordenadas implicadas. Examinaremos una de
ellas a continuaci´on.
550 Sean x e y de dos variables naturales (cuyo dominio es el conjunto de
los n´
umeros naturales) y consid´erense las siguientes sucesiones ω−ordenadas de
(re)definiciones de ambas variables hDn (x)i y hDn (y)i
En cada sucesivo instante tn de htn i

Dn (y) = 1
D (x) = n
n
(5)
siendo n la misma en tn que en Dn (x) = n. Evidentemente, y es siempre definida
con el mismo valor 1, mientras que en cada sucesivo instante tn , x es definida
con un valor diferente: el ´ındice n de tn . Puesto que tb es el l´ımite de htn i, en el
instante tb las sucesiones hDn (x)i y hDn (y)i se habr´
an completado. Por tanto, tb
es el primer instante en el cual las variables x e y ya no se vuelven a redefinir.
551 Ahora vamos a probar que x e y permanecen bien definidas en todo el intervalo [t1 , tb ). En efecto, sea t cualquier instante dentro de [t1 , tb ). Evidentemente,
se verifica t1 ≤ t < tb . As´ı que, si t = t1 tendremos x = 1; y = 1. Y si t1 < t,
Una definici´
on conflictiva —— 179
habr´
a un ´ındice v tal que tv ≤ t < tv+1 porque htn i es una sucesi´on ω−ordenada y
estrictamente creciente cuyo l´ımite es tb . En este caso tenemos x = v; y = 1. Esto
demuestra que ambas variables se mantienen bien definidas en todo el intervalo
[t1 , tb ).
552 Puesto que x e y permanecen bien definidas a lo largo del intervalo completo
[t1 , tb ) y ninguna otra definici´on ocurre ni en tb ni despu´es de tb , podemos concluir
que ambas variables permanecen bien definidas en todo el intervalo cerrado [t1 , tb ].
y bien definida
x bien definnida
...
x indefinida
...
...
ta
tb
t
Figura 30.1: Justo en el instante tb la variable natural x resulta indefinida, aunque nada
ocurre en tb que pueda ’indefinir’ a x.
553 Es inmediato demostrar, sin embargo, que x no est´
a definida en tb . Aunque
siempre se defini´o como un n´
umero natural, su valor actual en tb no puede ser un
n´
umero natural, de lo contrario, y teniendo en cuenta que ha sido sucesivamente
definida como los sucesivos n´
umeros naturales en su orden natural de precedencia,
ese n´
umero ser´ıa el imposible u
´ltimo n´
umero de natural, o bien solo un n´
umero
finito de definiciones se habr´
an realizado. Obs´ervese que esta no es una cuesti´on
de indeterminaci´on sino de imposibilidad: no existe ning´
un n´
umero natural v tal
que el valor de x en tb fuera v. Ninguno. Por lo tanto, no sabemos nada sobre el
valor actual de x en el instante tb . Despu´es de infinitas definiciones correctas, x
consigue quedar indefinida en el preciso instante tb . El problema es que en tb no
ocurre nada que pueda dejar a x indefinida.
554 De acuerdo con 552 y 553, tendremos que concluir que, como consecuencia
de haber sido definida correctamente un n´
umero infinito de veces, en el instante
tb la variable x est´
a y no est´
a definida.
180 —— Temporizando el infinito
31.-Teorema del infinito inconsistente
´n
Introduccio
555 A lo largo de las p´
aginas de este libro nos hemos ocupado principalmente
de las colecciones ω−ordenadas (conjuntos y diferentes tipos de tablas, listas y
sucesiones). Desde el punto de vista infinitista esas colecciones existen como totalidades ordenadas completas, como la lista ordenada de los n´
umeros naturales en
su orden natural de precedencia. De acuerdo con la ortodoxia infinitista esas colecciones existen como totalidades completas, incluso sin un u
´ltimo elemento que
complete la lista. En los cap´ıtulos anteriores, y desde la perspectiva de la teor´ıa
de conjuntos, de la aritm´etica transfinita, de la geometr´ıa y de las superm´aquinas
y supertareas, hemos examinado algunas de las consecuencias de asumir que las
colecciones infinitas existan como totalidades completas.
556 La perspectiva de las superm´aquinas y de las supertareas proporciona un
nuevo e interesante instrumento para analizar la consistencia formal de la hip´otesis del infinito actual: el tiempo. As´ı es, por una parte temporizar una sucesi´on
ω−ordenada de pasos o acciones de cualquier tipo no altera el resultado de la
sucesi´on ni la consistencia formal de las correspondientes definiciones, procedimientos, pruebas o argumentos, y por la otra proporciona una nueva forma de
analizar las consecuencias de completar lo incompletable. Y, como hemos visto
en este libro, las consecuencias son m´as bien conflictivas. La siguiente secci´
on
introduce un teorema, precedido de otros dos, que resume todos esos conflictos
formales.
Tres teoremas
557 La palabras ’acci´
on’ y ’tarea’ se han usado en este libro en su sentido m´as
amplio para referirnos a las sucesivas acciones llevadas a cabo en los sucesivos
pasos o etapas de cualquier procedimiento, prueba, argumentaci´on, definici´on,
supertarea, etc. B´asicamente solo hemos considerado sucesiones ω−ordenadas,
suponiendo siempre que las sucesivas acciones se ejecutaban en los sucesivos instantes de una sucesi´on estrictamente creciente de instantes pertenecientes a un
intervalo finito de tiempo cuyo l´ımite es el extremo derecho del intervalo.
558 Terminaremos el libro considerando la misma sucesi´on de acciones con la
181
182 —— Teorema del infinito inconsistente
que empezamos: el contaje1 de los n´
umeros naturales en su orden natural de precedencia. Es la m´as simple y al mismo tiempo la m´as significativa de las sucesiones
infinitas porque la sucesi´on de los n´
umeros naturales sirvi´
o para definir el menor
ordinal transfinito y el menor cardinal transfinito.
559 De acuerdo con la hip´
otesis del infinito actual, la sucesi´on ω−ordenada hni
de los n´
umeros naturales en su orden natural de precedencia existe como una
totalidad completa a pesar de que no existe un u
´ltimo n´
umero que complete la
sucesi´on. Y lo mismo se puede decir de cualquier otra sucesi´on ω−ordenada. Esta
es precisamente la hip´
otesis, la compleci´on de lo incompletable, que este libro ha
estado poniendo en cuesti´on. Los siguientes tres teoremas resumen los resultados
de tal cuestionamiento. Como se ver´
a enseguida, lo que se demuestra en cada
uno de los dos primeros teoremas es una contradicci´on, de la que solo la hip´otesis
del infinito actual puede ser responsable, como se prueba en el u
´ ltimo de esos
teoremas.
560 Asumamos el Axioma del Infinito, y por tanto la existencia de colecciones
infinitas como totalidades completas, incluso si no existe un u
´ltimo elemento que
complete la colecci´
on. En esas condiciones probaremos el siguiente:
Teorema del ordinal inconsistente.-Si los sucesivos n´
umeros naturales 1, 2, 3,. . . de la sucesi´on ω−ordenada hni de n´
umeros naturales
en su orden natural de precedencia son contados en los sucesivos instantes t1 , t2 , t3 ,. . . de una sucesi´on ω−ordenada de instantes htn i en
el intervalo finito de tiempo (ta , tb ) y siendo tb el l´ımite de la sucesi´on,
entonces en el preciso instante tb todos los n´
umeros naturales han sido
y no han sido contado.
Demostraci´
on.-Dado que la sucesi´on hni de n´
umeros naturales y la sucesi´on de
instantes htn i son ω−ordenadas, existir´
a una biyecci´on f (n) = tn entre ambas,
siendo tn el preciso instante en el que se cuenta el n´
umero n. Puesto que tb es el
l´ımite de la sucesi´on htn i, el instante tb es posterior a todos los instantes de la
sucesi´om htn i. Por consiguiente, en el preciso instante tb todos los n´
umeros de la
sucesi´on hni habr´
an sido ya contados, cada n´
umero n en el preciso instante tn ,
siempre anterior a tb . As´ı, en el preciso instante tb todos los n´
umeros naturales
han sido contados.
Sea ahora A el conjunto de todos los instantes en los cuales el contaje de todos
n´
umeros naturales no se ha completado, y sea B el conjunto de todos los instantes
en los cuales el contaje de todos los n´
umeros naturales ya se ha completado.
Teniendo en cuenta que tb es el l´ımite de htn i, podemos escribir:
∀t ∈ (ta , tb ) : ∃tv ∈ htn i : tv < t < tv+1
(1)
De modo que en el instante t, para todo t en (ta , tb ), solo un n´
umero finito v de
1 La
palabra ’contaje’ no existe en el DRAE, pero necesitamos usarla aqu´ı para expresar
la acci´
on de contar n´
umeros naturales.
Tres teoremas —— 183
n´
umeros naturales han sido contados y a´
un quedan por contar un n´
umero infinito
de ellos. Por tanto, en el instante t el contaje de todos los n´
umeros naturales no
se ha completado. Podemos entonces escribir:
∀t ∈ (ta , tb ) : t ∈ A; t ∈
/B
(2)
En consecuencia:
(ta , tb ) ⊂ A
(3)
(ta , tb ) ∩ B = ∅
(4)
Por consiguiente no existe ning´
un instante t anterior a tb tal que en ese instante t
el contaje de todos los n´
umeros naturales haya sido completado. Ninguno. Como
indica la ecuaci´
on 4 esta no es una cuesti´on de indeterminaci´on sino de imposibilidad. As´ı, y siendo tb el primer instante despu´es de (ta , tb ), en el preciso instante
tb no se han contado todos los n´
umeros naturales.
561 Podemos expresar la contradicci´on anterior en la forma del siguiente:
Teorema del Cardinal Inconsistente.-Si los sucesivos n´
umeros naturales 1, 2, 3,. . . de la sucesi´on ω−ordenada hni de n´
umeros naturales
en su orden natural de precedencia son contados en los sucesivos instantes t1 , t2 , t3 ,. . . de una sucesi´on ω−ordenada de instantes htn i en
el intervalo finito de tiempo (ta , tb ) y siendo tb el l´ımite de la sucesi´on,
entonces en el preciso instante tb el n´
umero de n´
umeros naturales contados es y no es infinito
Demostraci´
on.-De acuerdo con el Teorema del Ordinal Inconsistente, en el instante
tb el contaje de los sucesivos n´
umeros naturales ha sido completado. Por tanto, y
teniendo en cuenta que el cardinal del conjunto de todos los n´
umeros naturales es
ℵo , en el instante tb se han contado un n´
umero infinito de n´
umeros naturales. De
nuevo de acuerdo con el Teorema del Ordinal Inconsistente, en el instante tb el
contaje de los n´
umeros racionales no se ha completado. Por tanto, y teniendo en
cuenta que ℵo es el menor de todos los cardinales transfinitos mayor que todos los
cardinales finitos, podemos aseverar que en el instante tb el n´
umero de n´
umeros
naturales contados no es infinito.
562 Como se indic´
o en el Cap´ıtulo 4, el infinito subsumido en el Axioma del
Infinito es el infinito actual. Por lo tanto, y al contrario de la establecido por
la hip´otesis del infinito potencial, ese axioma asume la existencia de las colecciones infinitas como totalidades completas. Y el cardinal y ordinal de las m´as
peque˜
nas de esas colecciones infinitas es ℵo y ω respectivamente. Queda claro,
pues, a qu´e ordinal y a qu´e cardinal se refieren los dos teoremas anteriores. De
acuerdo con esos teoremas ω y ℵo son n´
umeros transfinitos inconsistentes.
563 Para terminar probaremos el siguiente:
Teorema del Infinito Inconsistente.-La hip´otesis del infinito actual subsumida en el Axioma del Infinito es inconsistente.
184 —— Teorema del infinito inconsistente
Demostraci´
on.-Sea k un n´
umero natural cualquiera y consid´erese la sucesi´on
hiii=1,2,...k de los primeros k n´
umeros naturales de hni y la sucesi´on de los primeros
k instantes hti ii=1,2,...k de htn i. Supongamos que cada n´
umero i de hiii=1,2,...k es
contado en el preciso instante ti de hti ii=1,2,...k . El contaje habr´
a terminado en el
instante tk , al contar el u
´ltimo n´
umero k. En consecuencia, para cada n´
umero natural k el contaje de los primeros k n´
umeros naturales no planteaning´
un problema,
no origina ninguna contradicci´on. Solo cuando la sucesi´on de n´
umeros naturales
es considerada como una totalidad completa, tal como requiere la hip´otesis del
infinito actual subsumida en el Axioma del Infinito, aparecen las dos contradicciones anteriores. Hemos de concluir, por tanto, que esas dos contradicciones son
una consecuencia formal de la hip´
otesis del infinito actual.
Ap´endice A
El problema del cambio
´n
Introduccio
564 El cambio es una caracter´ıstica omnipresente de nuestro universo en continua evoluci´
on. Pero el cambio es tambi´en la cuesti´on m´as peliaguda con la que
el hombre se ha enfrentado.1 Tan peliaguda que podr´ıa ser inconsistente, como
se viene reclamando al menos desde los tiempos presocr´aticos.2 Evidentemente,
si ese fuera el caso, la tarea de explicar el mundo en t´erminos consistentes ser´ıa
imposible. En este ap´endice probaremos que, en efecto, el cambio es inconsistente
en el continuum espaciotiempo, aunque podr´ıa encontrar una soluci´on en ciertos
espaciotiempos discretos como los de los aut´omatas celulares.
565 Por sencillez, y para evitar complicaciones innecesarias, discutiremos aqu´ı el
problema de los cambios causales en objetos f´ısicos macrosc´opicos. As´ı, si O es
uno de esos objetos macrosc´opicos, diremos que O cambia del estado Sa al estado
Sb si existe un conjunto de leyes (f´ısicas) L tales que, bajo las mismas condiciones
C y como consecuencia de esas leyes y condiciones, el estado de O es Sa en el
instante ta y Sb en un instante posterior tb . En s´ımbolos:

Sa 7→ Sb
Cambio causal
(1)
L(Sa , C, ta ) = (Sb , tb )
Puesto que u
´nicamente trataremos con cambios causales (1), de ahora en adelante
ser´an referidos simplemente como cambios.
566 El cambio Sa 7→ Sb puede ser directo, sin estados intermedios, en tal caso
hablaremos de cambio can´
onico. Puede ser tambi´en el resultado de una sucesi´on
ordenada de cambios can´
onicos:
{Si } : Sa ≡ S1 7→ S2 7→ S3 7→ . . . 7→ Sn ≡ Sb
(2)
N´
otese que cada elemento Sn de la sucesi´on {Si } ha de tener un predecesor inme1 Para
una visi´
on general del problema v´ease [144], [175] y el punto de vista particular de
H. Bergson en [19], [20]
s´
olo autores presocr´
aticos como Parm´enides o Zen´
on de Elea afirmaron la imposibilidad del cambio, autores modernos como J.E. McTaggart tambi´en defendieron esa
imposibilidad [137]
2 No
185
186 —— A.-El problema del cambio
diato Sn−1 (excepto el primero de ellos S1 ) de modo que Sn pueda ser el resultado
causal de Sn−1 :
∀Sn>1 : L(Sn−1 , Cn−1 , tn−1 ) = (Sn , tn )
(3)
El objetivo de nuestra discusi´
on ser´an exclusivamente los cambios can´onicos, sean
o no parte de una sucesi´on de cambios can´
onicos. Pero antes de centrar nuestra
atenci´
on exclusivamente en los cambios can´
onicos debemos analizar una segunda
posibilidad de que ocurra un cambio.
567 En efecto, seg´
un algunos infinitistas un cambio tambi´en podr´ıa ser el resultado de completar una sucesi´on densamente ordenada de cambios no can´onicos
(una sucesi´on en la que entre dos cambios cualesquiera ocurren un n´
umero infi3
nito de otros cambios ). Por esa raz´
on antes de discutir el problema del cambio
can´onico vamos a demostrar la imposibilidad de que un cambio se produzca como consecuencia de completar una sucesi´on densamente ordenada de cambios.
Recordemos que la infinitud de una sucesi´on densamente ordenada puede ser numerable, como en el caso de los n´
umeros racionales, o no numerable, como en el
caso de los n´
umeros reales y el continuum espaciotiempo donde se supone que
todos los cambios f´ısicos tienen lugar. Por esta raz´
on, en lo que sigue siempre nos
referiremos al orden denso de los n´
umeros reales, cuya cardinalidad es 2ℵo .
568 En primer lugar, es evidente que en una sucesi´on densamente ordenada de
cambios ning´
un cambio puede ser can´
onico. En efecto, si [Sa , Sb ] es una sucesi´
on densamente ordenada de cambios y Sλ es cualquier elemento de la sucesi´on,
entonces es imposible que Sλ resulte del cambio can´onico de un estado Sµ predecesor inmediato de Sλ , simplemente porque en una sucesi´on densamente ordenada
ning´
un elemento tiene un predecesor inmediato. Por lo tanto, Sµ no puede preceder inmediatamente a Sλ , luego el cambio can´onico:
L(Sµ , Cµ , tµ ) = (Sλ , tλ )
(4)
es imposible
569 Supongamos que Sa 7→ Sb ocurre a trav´es de una sucesi´on densamente
ordenada de cambios [Sa , Sb ]. El estado Sb resulta, por tanto, de la compleci´on
de una sucesi´on densamente ordenada y numerable de cambios. As´ı, el estado de
nuestro objeto O ser´a Sa en un cierto instante ta y Sb en otro cierto instante
posterior tb . En esas condiciones, sea f (t), para todo t en [ta , tb ], el n´
umero de
cambios que, en el instante t, a´
un se han de realizar para alcanzar Sb . Es inmediato
que f (t) solo puede tomar dos valores: o bien 2ℵo o bien 0. Si no fuera as´ı, si
f (t) pudiese tomar un valor finito n, entonces existir´ıan los imposibles u
´ltimos n
cambios de una sucesi´on densamente ordenada de cambios.
3 Es
dif´ıcil de explicar en t´erminos f´ısicos qu´e diablos podr´ıa ser una sucesi´
on de cambios
no can´
onicos.
El problema del cambio —— 187
570 De acuerdo con 569, f (t) define una dicotom´ıa: el n´
umero de cambios que
quedan por realizar en cada instante t de [ta , tb ] para llegar a Sb solo puede ser
un instante en [ta , tb ] en el que solo quede un
2ℵo o 0. Por tanto no existe ning´
n´
umero finito de cambios por realizar para que O alcance el estado Sb . Con otras
palabras, ese n´
umero ha de cambiar directamente de 2ℵo a 0. En consecuencia,
un n´
umero infinito de cambios han de ocurrir simult´
aneamente.
571 Probaremos ahora que los cambios instant´
aneos (de una duraci´
on nula)
son imposibles en el continuum espaciotiempo. Como veremos, la raz´on de esa
imposibilidad es que si t es un instante cualquiera de una sucesi´on densamente
ordenada de instantes entonces t no tiene un predecesor inmediato p(t) ni un
sucesor inmediato s(t).
572 Sup´ongase que el cambio Sa 7→ Sb tiene lugar en un cierto instante t del
continuum espaciotiempo. El cambio ser´ıa instant´
aneo si el estado de O es Sa en el
instante t y Sb en un hipot´etico sucesor inmediato s(t) de t, de modo que el tiempo
que transcurre entre t y s(t) fuese nulo. Pero en el continuum espaciotiempo
esto es imposibles porque t no tiene sucesor inmediato s(t), de modo que entra
cada dos instantes diferentes cualesquiera de ese continuum espaciotiempo siempre
transcurre una cantidad no nula de tiempo.
573 Acabamos de probar que los cambios instant´
aneos son imposibles en el
continuum espaciotiempo. Por lo tanto, y de acuerdo con 570, las sucesiones densamente ordenadas de cambios son imposibles en ese continuum.
574 Proponer la coexistencia de Sa y Sb en un determinado instante como
una soluci´on al problema de cambio Sa 7→ Sb significa plantear el problema del
cambio en t´erminos del cambio Sa 7→ (Sa Sb ), donde (Sa Sb ) representa la supuesta
coexistencia de estados. Y lo mismo se aplicar´ıa a los cambios Sa 7→ (Sa (Sa Sb )),
Sa 7→ (Sa (Sa (Sa Sb ))), etc.
El problema del cambio
575 Consideremos un cambio can´
onico cualquiera Sa 7→ Sb de un objeto cualquiera O. Empezaremos probando que ese cambio ha de ser instant´
aneo, es decir
de una duraci´
on nula. Supongamos que durara un tiempo t > 0, siendo t cualquier
n´
umero real positivo. Para todo t′ en el intervalo real (0, t), el estado del objeto
O ser´a o bien Sa o bien Sb . Si fuera Sa entonces el cambio no habr´ıa comenzado
a´
un y su duraci´
on ser´ıa menor que t. Si fuera Sb el cambio ya habr´ıa terminado
y su duraci´
on ser´ıa tambi´en menor que t. Pero O ha de estar en uno de esos dos
estados porque Sa 7→ Sb es un cambio can´
onico. En consecuencia, la duraci´
on del
cambio can´onico Sa 7→ Sb es menor que cualquier n´
umero real mayor que cero. El
cambio ha de ser, por tanto, instant´
aneo.
576 Hasta ahora hemos probado que:
1) Los cambios causales no pueden ocurrir a trav´es de una sucesi´on densa-
188 —— A.-El problema del cambio
mente ordenada de cambios (v´ease 570-573).
2) Los cambios can´
onicos tienen lugar instant´
aneamente (v´ease 575).
3) Los cambios instant´
aneos son imposibles en el continuum espaciotiempo
(v´ease 572).
Hemos de concluir por tanto:
Teorema del cambio.-El cambio es consistentemente imposible en
el continuum espaciotiempo.
577 Siendo el cambio tan omnipresente en nuestro universo actual, el teorema
del cambio podr´ıa estar indicando que el continuum espaciotiempo no es la mejor
representaci´on del espacio y del tiempo. El espacio y el tiempo, de hecho, podr´ıan
ser de car´
acter discreto. En la siguiente secci´
on analizaremos la posibilidad de que
el cambio pueda ocurrir en los espaciotiempos discretos.
Figura A.1: El problema del cambio.
578 Antes de analizar la posibilidad del cambio en espaciotiempos discretos,
vamos a resumir el argumento anterior 567-576 en t´erminos espaciales (el espacio
est´
a tambi´en involucrado en muchos cambios f´ısicos, por ejemplo en el movimiento o cambio de posici´on). En el continuo espaciotiempo, los puntos del espacio
no tienen sucesor inmediato y esto plantea una dificultad adicional al problema
del cambio. En efecto, el argumento 567-576 puede ser completamente reescrito
en t´erminos geom´etricos mediante la sustituci´on del concepto de instante por el
concepto de punto y del concepto de instantaneidad temporal por el concepto de
extensi´
on espacial nula.
579 Consideremos un cambio de posici´on realizado por una masa puntual P a
una velocidad finita v desde el punto a hasta el punto b a trav´es del intervalo
real [a, b] del continuum espacial. Puesto que ning´
un punto en [a, b] tiene sucesor
inmediato, el recorrido desde a y b s´olo puede tener lugar a trav´es de una sucesi´on
densamente ordenada (y no numerable) de puntos. Sea f (x) el n´
umero de puntos
que a´
un le quedan por atravesar a P en cualquier punto x dentro de [a, b] para
Un modelo discreto: aut´
omatas celulares —— 189
llegar a b. Esta funci´
on s´olo puede tomar dos valores:
f (x) = 2ℵo para todo x en [a, b)
(5)
f (x) = 0 en el punto b
(6)
580 De acuerdo con 579, f (x) est´
a bien definida a lo largo de todo el intervalo
[a, b] y por tanto define una dicotom´ıa: el n´
umero de puntos por recorrer en cada
punto x de [a, b] para llegar al punto b, s´olo puede ser 2ℵo ´o 0. En consecuencia, no
hay ning´
un punto x en [a, b] en el que s´olo quede un n´
umero finito, o numerable
infinito, de puntos por atravesar para alcanzar b. O en otras palabras, ese n´
umero
umero
tiene que cambiar directamente desde 2ℵo a 0. Por lo tanto, con respecto al n´
de puntos que a´
un ha de atravesar para alcanzar b, la masa puntual P solo tiene
umero es 2ℵo , y el estado P (0) en el
dos estados: el estado P (2ℵo ) en el que ese n´
que ese mismo n´
umero es 0.
581 Supongamos que la transici´on desde P (2ℵo ) a P (0) tiene lugar a lo largo
de una distancia d, siendo d cualquier n´
umero real positivo, incluyendo b − a.
En cualquier x del intervalo (0, d) el n´
umero de puntos que quedan por atravesar
para alcanzar b s´olo puede ser 2ℵo (dicotom´ıa de f (x)) y entonces la transici´on
no ha comenzado. Por tanto, la transici´on de P (2ℵo ) a P (0) ocurre a lo largo de
una distancia menor que d, y por consiguiente menor que cualquier n´
umero real
mayor que cero. En consecuencia ocurre a lo largo de una distancia nula.
582 Por la misma falta de sucesividad que en el caso de los intervalos de tiempo,
todos los intervalos de espacio entre dos puntos diferentes tienen siempre una
longitud mayor que cero. Por tanto los intervalos de extensi´
on nula entre dos
puntos diferentes son imposibles en el continuum espacial. Por consiguiente, el
cambio de posici´on a una velocidad finita desde el punto a hasta el punto b es
consistentemente imposible en el continuum espacial.
583 N´
otese que no hemos estado tratando de calcular la distancia exacta a lo
largo de la cual ocurre la transici´on de P (2ℵo ) a P (0). Hemos estado tratando de
demostrar que ese distancia ha de ser nula (dicotom´ıa 2ℵo ´o 0) y que los distancias
nulas entre dos puntos distintos del continuum espacial son imposibles.
´ matas celulares
Un modelo discreto: auto
584 Los modelos similares a los aut´
omatas celulares (cellular automata like model, CALM) proporcionan una nueva e interesante perspectiva para analizar la
forma en la que el universo podr´ıa estar evolucionando. En particular proporciona un espaciotiempo discreto en el que ser´ıa posible un nuevo an´alisis de algunos
de los problemas aparentemente irresolubles o parad´ojicos de la f´ısica contempor´anea. Como veremos en la breve discusi´
on que sigue, veintisiete siglos despu´es
de que fuera planteado, el viejo problema del cambio podr´ıa encontrar una primera
soluci´on consistente en el marco discreto del espaciotiempo de los CALMs.
190 —— A.-El problema del cambio
Espacio continuo
Espacio discreto
Cada qusit tiene un
sucesor inmediato
Ningún punto tiene
sucesor inmediato
a
b
Entre dos puntos cualesquiera siempre existe una
distancia mayor que cero.
ab
c
Distancia ab = 0
Distancia ac = 5
Distancia bc = 4
Figura A.2: Espacio discreto versus espacio continuo.
585 En los CALMs el espacio est´
a exclusivamente formado por unidades m´ınimas
indivisibles: qusits (quantum space units)). El tiempo tambi´en est´
a compuesto
por una sucesi´on de unidades m´ınimas indivisibles: qutits (quantum time units).
No existe ninguna extensi´
on espacial entre un qusit y su sucesor inmediato en
cualquier direcci´
on espacial. De forma similar, ning´
un tiempo pasa entre un qutit
y su sucesor inmediato. Cada qusit puede exhibir diferentes estados, definidos
cada uno de ellos por un cierto conjunto de variables. El estado de todos los
qusits cambia simult´
aneamente en los sucesivos qutits de acuerdo con las leyes
que dirigen la evoluci´
on del aut´
omata. Una vez cambiado, el estado de cada qusit
permanece inalterado durante un qutit. En lo que sigue asumiremos que este es
el caso, aunque en el lugar de un qutit el estado de cada qusit podr´ıa mantenerse
durante un cierto n´
umero (entero) de qutits.
586 Sean u, v, c, . . . z las variables que definen el estado de los qusits de un
cierto CALM A. Representemos el n-´esimo estado de cada qusit σi de A por
σi (un , vn , . . . zn ), donde un , vn . . . zn son los valores particulares de las variables
de estado en el n-´esimo qutit. Sea finalmente L el conjunto de leyes que controlan
la evoluci´
on del aut´
omata. L determina la forma en que el estado de cada qusit σi
cambia de un qutit al siguiente, teniendo para ello en cuenta el estado previo de
σi y el de cualquier otro qusit que interaccione con ´el, lo que puede incluir a todos
los qusits del aut´
omata. Los estados de todos los qusits σi definen las condiciones
Ci bajo las cuales operan las leyes L.
587 El ’motor’ del aut´
omata cambia simult´
aneamente el estado de cada uno
de los qusits en cada qutit sucesivo, y lo mantiene en ese estado exactamente un
qutit. As´ı, para cada σi particular podremos escribir:
L(σi (ui,n . . . , zi,n ), Cn , τn ) = (σi (ui,n+1 . . . , zi,n+1 ), τn+1 )
L(σi (ui,n+1 . . . , zi,n+1 ), Cn+1 , τn+1 ) = (σi (ui,n+2 . . . , zi,n+2 ), τn+2 )
L(σi (ui,n+2 . . . , zi,n+2 ), Cn+2 , τn+2 ) = (σi (i, un+3 . . . , zi,n+3 ), τn+3 )
L(σi (ui,n+3 . . . , zi,n+3 ), Cn+3 , τn+3 ) = (σi (ui,n+4 . . . , zi,n+4 ), τn+4 )
...
588 Siendo discretos tanto el espacio como el tiempo, cada qutit τn tiene un
Un modelo discreto: aut´
omatas celulares —— 191
predecesor inmediato τn−1 y un sucesor inmediato τn+1 , de modo que ning´
un
otro qutit pasa entre τn−1 y τn y tampoco entre τn y τn+1 . O con otras palabras:
ning´
un tiempo transcurre entre dos qutits sucesivos. Esta simple caracter´ıstica de
los CALMs es suficiente para resolver el problema del cambio: el espaciotiempo
discreto permite los cambios instant´
aneos, el estado An en el qutit τn cambia
al estado An+1 en el siguiente qutit τn+1 . Y eso es posible porque el estado de
cada qusit se redefine en cada qutit y es mantenido durante un qutit. Podr´ıamos
decir, como m´ınimo, que en los modelos del tipo aut´omata celular, el problema
del cambio no se plantea.
589 No olvidemos que nuestra percepci´
on sensorial del mundo es absolutamente
continua. Por eso estamos acostumbrados a pensar en t´erminos de un espaciotiempo continuo. Pr´
acticamente la u
´nica forma de pensar en los u
´ltimos veintisiete
siglos. Todos nuestros modelos del mundo f´ısico han supuesto que su naturaleza
era continua. Es entonces casi inevitable extrapolar esta forma de pensar al nuevo paradigma discreto, lo que obviamente ser´ıa catastr´
ofico. Pensar en t´erminos
f´ısicos discretos seguramente requerir´
a un largo proceso de reeducaci´on.
A
590 Un electr´on, por ejemplo, puede estar en el estado
B
S1 en un cierto instante t1 y en el estado S2 en otro
D
instante posterior t2 , sin pasar por estados intermedios t2
A
B
entre S1 y S2 (salto cu´antico). Se trata, pues, de un
D
cambio can´onico. En el continuum espaciotiempo, el
intervalo (t1 , t2 ) debe ser siempre mayor que cero y
B
A
durante ese tiempo el electr´on no puede estar ni en S1
D
ni en S2 . Durante ese tiempo el electr´on simplemente
t
1
no puede existir. Debe desaparecer en t1 y reaparecer
en t2 . En el espacio-tiempo digital de un CALM todo Figura A.3: En el espalo que tendr´ıamos que hacer es considerar dos qutits ciotiempo discreto de un
CALM, el disco D cambia de
sucesivos, τ1 y τ2 . En τ1 nuestro electr´on estar´ıa en el A a B sin pasar entre A y B
(pi´
ensese, por ejemplo, en un
estado S1 , y en τ2 en el estado S2 .
salto cu´
antico).
591 A t´ıtulo de ejemplo, sup´
ongase que:
- El universo tiene 2,66 × 10185 qusits.
- El universo contiene 1080 part´ıculas elementales.
- Cada part´ıcula est´
a definida por p variables.
- Cada part´ıcula est´
a, de alguna manera, presente en cada qusit.
Sea U-CALM un 3D-CALM de 2, 66×10185 qusits en el que el estado de cada qusit
se define por p × 1080 variables de estado. Si fuera posible construir U-CALM,
quiz´as podr´ıamos observar la autoorganizaci´
on y evoluci´
on de un objeto similar
a nuestro universo.
592 El problema es que U-CALM no se puede construir dentro del universo
192 —— A.-El problema del cambio
ni haciendo uso de todas sus part´ıculas elementales. Otra cosa ser´ıa su an´alisis
te´orico, U-CALM ser´ıa incomparablemente menos complejo que, por ejemplo,
cualquier matriz de infinitos elementos (que son usuales en matem´aticas y en f´ısica
te´orica). Se podr´ıa modelar el universo siempre que conoci´eramos las leyes b´
asicas
que lo hacen autoorganizarse y evolucionar. En estas circunstancias, simular no
significa reproducir la historia exacta del universo: las interacciones recursivas de
los qusits y las din´
amicas no lineales resultantes abrir´ıan la puerta de lo inesperado
y de la creatividad, como ocurre con la biosfera terrestre.
593 En cualquier caso, y como indic´
abamos
en 592, podr´ıamos teorizar sobre U-CALM,
podr´ıamos usarlo como un referente te´orico para comprender la esencia, la magnitud y las posibilidades de los universos reales. Con todo lo
colosal que pueda parecer, U-CALM ser´ıa un
objeto finito y por tanto formado por un n´
umero de elementos incomparablemente menor que
el n´
umero de puntos (2ℵo ) de un simple intervalo tan peque˜
no como (0, 1) en el continuum
espaciotiempo. Adem´as, mientras que los pun- Figura A.4: Si fuera posible, un 3DCALM podr´ıan servir para simular la
tos de (0, 1) no tienen significado f´ısico alguno, auto-organizaci´on y la evoluci´on del
cada elemento de U-CALM rebosar´ıa significa- universo.
ci´on f´ısica.
594 Para finalizar esta cap´ıtulo, imaginemos que construimos un juego de ordenador muy avanzado en el que los personajes evolucionan hasta hacerse conscientes
de su propia inteligencia. Si intentaran explicar su universo digital, seguramente
tendr´ıan el mismo tipo de problemas que tenemos nosotros cuando pretendemos
explicar los incesantes cambios que observamos en el nuestro.
Ap´endice B
El infinito y la f´ısica
´n
Introduccio
595 A la hora de explicar las (aparentemente) enigm´
aticas relaciones entre las
matem´aticas y el mundo f´ısico deber´ıamos tener en cuenta al menos los siguientes
puntos:
a) Las neurociencias contempor´
aneas han dejado claro que nuestro cerebro,
y por tanto todas nuestras habilidades l´ogicas, crecen y se desarrolla a
trav´es de nuestras propias acciones y experiencias con el mundo f´ısico
(incluyendo sus componentes biol´ogicos).
b) El mundo f´ısico parece funcionar de acuerdo con ciertas relaciones y
regularidades universales (leyes f´ısicas).
c) Hemos desarrollado una ciencia de regularidades y relaciones abstractas
(matem´
aticas).
d) Si nuestras habilidades mentales son modeladas por el mundo f´ısico, a
trav´es de nuestras acciones y experiencias con ese mundo f´ısico, ¿no deber´ıa ser natural que nuestras matem´aticas reflejasen de alguna manera
la l´ogica del mundo f´ısico?
La consideraci´on de estos puntos, entre otros, deber´ıa abrir una nueva v´ıa de
interpretaci´
on de las matem´aticas desde la perspectiva de las ciencias naturales.
596 El Principio de Indispensabilidad, por otra parte, refleja la idea de que
las matem´aticas son verdaderas porque sirven para construir teor´ıas que explican
adecuadamente el mundo f´ısico. Pero con frecuencia se olvida que esas mismas matem´aticas tambi´en se han usado para desarrollar teor´ıas err´oneas sobre el mundo
f´ısico, y no por ello concluimos que son falsas. Parece razonable sospechar que las
matem´aticas pueden ser apropiadas para explicar el mundo precisamente porque
vienen, v´ıa cerebro humano, del mismo mundo que tratamos de explicar.
597 Hay otro asunto interesante que se deber´ıa destacar en estas palabras introductorias porque apunta directamente al objetivo principal de esta cap´ıtulo.
Me refiero a la forma en la que percibimos sensorialmente el mundo f´ısico y a
su relaci´on con el paradigma continuo (anal´ogico) que siempre hemos usado para
explicar la realidad f´ısica.
193
194 —— B.-El infinito y la f´ısica
598 Por razones obvias, los seres vivos percibimos el mundo a escalas que necesariamente han de ser compatibles con la vida. En nuestro caso de seres humanos,
percibimos el mundo, incluyendo todos sus objetos materiales y todos sus procesos, de una forma esencialmente continua. En particular, el movimiento (el m´as
ubicuo y com´
un de todos los procesos naturales) es percibido como un proceso
continuo, y todas las teor´ıas sobre el movimiento, al menos desde Arist´oteles,
consideran que en efecto se trata de un proceso continuo.
599 Pero parece conveniente recordar que el movimiento en una pel´ıcula tambi´en se percibe como un proceso continuo, aunque es una simple consecuencia
de observar una sucesi´on de im´
agenes discontinuas. La visi´on humana tambi´en
est´
a basada en este fen´omeno (fen´
omeno phi): cada imagen percibida necesita
un tiempo no nulo de procesamiento neuronal, de modo que solo podemos percibir im´
agenes discontinuas de los procesos naturales, aunque el fen´omeno phi los
hace aparecer como continuos. Como se ver´a en este cap´ıtulo, el mundo f´ısico
podr´ıa ser tambi´en explicado en similares t´erminos de discontinuidad. Y lo que
es m´as interesante, esas explicaciones discretas son mucho m´as simples que sus
correspondientes alternativas (cl´
asicas) continuas.
600 Durante los dos u
´ltimos siglos, la evidencia de los hechos revelados por la
ciencia moderna ha demostrado con toda claridad que el mundo f´ısico, al menos en
lo que se refiere a la materia ordinaria y a la energ´ıa, es esencialmente discontinuo.
Por el contrario, el espacio y el tiempo son a´
un considerados como entidades continuas (infinitamente divisibles) por la mayor´ıa de los cient´ıficos contempor´aneos.
Las cosas est´
an, sin embargo, empezando a cambiar tambi´en en este asunto y el
n´
umero de f´ısicos que creen en una naturaleza granular del espacio y del tiempo
est´
a creciendo r´apidamente. En palabras de Martin Rees [164, p 12]
El espacio no puede dividirse indefinidamente. Los detalles son a´
un
misteriosos, pero la mayor´ıa de los f´ısicos sospechan que existe una
especie de granularidad a la escala de 10?33 cm. [longitud de Planck]
601 La hip´otesis del infinito actual est´
a ´ıntimamente implicada en esta discusi´
on.
Ni que decir tiene que si fuera una hip´
otesis inconsistente nos ver´ıamos obligados a
reemplazar el paradigma anal´ogico actual por un modelo digital de la naturaleza,
en el que el espacio y el tiempo solo podr´ıan ser de naturaleza discreta, con
m´ınimos indivisibles. Discutiremos algunos aspectos de este cambio de paradigma
en las dos siguientes secciones.
Digital versus analog
602 El continuum es infinitamente divisible: entre cada dos n´
umeros reales (punumeros reales (puntos, instantes) difetos, instantes) siempre existen otros 2ℵo n´
rentes. Y lo que es m´as importante, todos esos puntos existen en el acto, como
una totalidad completa. Como consecuencia, un segmento de recta con la longitud
Digital versus analog —— 195
de Planck (≈ 10−33 cm) tiene el mismo n´
umero de puntos que todo el universo
tridimensional. Por lo tanto, tendr´ıamos que admitir ese min´
usculo segmento crea
el mismo n´
umero de part´ıculas cu´anticas virtuales que todo el universo si, como
parece ser, en cada punto del espacio f´ısico pueden crearse tales part´ıculas. Este
continuum se considera un modelo apropiado para el espacio y el tiempo f´ısicos.
Discutiremos ahora algunas consecuencias de esa consideraci´on.
603 Desde principios del siglo XX hasta nuestros d´ıas, la hegemon´ıa de las matem´aticas infinitistas ha sido absoluta. Por consiguiente, y como no podr´ıa ser de
otra manera, la f´ısica est´
a hecha con esas matem´aticas infinitistas: las matem´aticas fundadas en la creencia de que los conjuntos infinitos existen como totalidades
completas; en la creencia de que la lista de los n´
umeros naturales existe como una
totalidad completa a pesar de que no existe un u
´ltimo n´
umero que complete la
lista; en la creencia, en fin, de que es posible completar lo incompletable.
604 Pero, al contrario que en las matem´aticas, las teor´ıas f´ısicas han de ser
comprobadas experimentalmente. Y la f´ısica experimental es finitista: todas las
observaciones y medidas producen siempre un n´
umero finito (y en realidad muy
peque˜
no) de cifras decimales. Imagine, por otra parte, una constante f´ısica con 9 ! 9
decimales (y no digamos con infinitos decimales). No habr´ıa sitio en todo el universo para representar apropiadamente todas sus cifras. Ser´ıa un n´
umero m´as bien
grotesco. Y lo mismo ser´ıa el universo si el universo necesitara esos monstruosos
n´
umeros para explicar su funcionamiento y evoluci´
on. Un peque˜
no n´
umero finito
de decimales deber´ıa ser suficiente. Sospecho que W. Ockham llegar´ıa a la misma
conclusi´
on
605 Un m´etodo com´
un para resolver problemas f´ısicos utilizando las matem´aticas infinitistas (por ejemplo, el c´
alculo diferencial e integral) consiste en ensayar soluciones discretas para hacer luego tender a cero la discreci´on y encontrar
all´ı (en el escenario del continuum) la soluci´on correcta. Este el m´etodo que estaba utilizando M. Planck para resolver la cat´
astrofe del ultravioleta, un problema
aparentemente irresoluble en aquellos d´ıas, a principios del siglo XX. Fue sorprendente que la soluci´on apareciera mucho antes de que la discreci´on hubiera
desaparecido en el escenario infinitista del continuum. El principal factor involucrado, conocido ahora como constante de Planck, dio la soluci´on correcta para el
valor 6,626068 × 10−34 m2 Kgs−1 .
606 Aunque la soluci´on discreta de Planck a la cat´
astrofe ultravioleta se tom´o inicialmente como provisional, inmediatamente condujo al nacimiento de la mec´anica
cu´antica, la ciencia m´as precisa jam´
as desarrollada por el hombre. Pero la mec´anica cu´antica, la ciencia de la discreci´on por excelencia, la ciencia en la que los
m´ınimos indivisibles juegan un papel capital, est´
a tambi´en hecha de matem´aticas
infinitistas, las matem´aticas del continuum en el que los m´ınimos indivisibles no
tienen sentido. Esta incompatibilidad es seguramente la causa de otro problema
196 —— B.-El infinito y la f´ısica
aparentemente irresoluble: la incompatibilidad entre la mec´anica cu´antica y la
teor´ıa general de la relatividad [126, p 73]:
La hip´otesis del continuum sobre el espacio y el tiempo parece ser la
ra´ız de nuestros problemas con la gravedad cu´antica.
607 Aunque la escala de Planck fue inicialmente concebida para proporcionar
una referencia m´etrica universal independiente de nuestras elecciones arbitrarias
de unidades de masa, longitud y tiempo, finalmente sirvi´
o para descubrir los
l´ımites m´as all´a de los cuales la leyes f´ısicas pierden todo su sentido. Pero si las
leyes f´ısicas pierden todo su sentido a la escala de Planck, entonces el continuum
resulta completamente in´
util para la f´ısica.
608 Y no solo in´
util. Cuando el infinito aparece en sus ecuaciones, los f´ısicos
se ven obligados a eliminarlo de ellas debido a los problemas irresolubles a los
que inevitablemente conduce. Una eliminaci´on que usualmente requiere una gran
cantidad de tediosos c´
alculos, como ocurre en la renormalizaci´
on de la electrodin´amica cu´antica. No todas las teor´ıas f´ısicas son renormalizables, por ejemplo
si los fotones tuviese masa en reposo, por min´
uscula que fuera, entonces la electrodin´amica cu´antica (una parte de el Modelo Est´
andar de Part´ıculas) perder´ıa
su simetr´ıa gauge y se convertir´ıa en no renormalizable. Por lo tanto, la hip´otesis del infinito actual impone finalmente restricciones severas a las teor´ıas f´ısicas,
restricciones que son f´ısicamente significativas.
609 Los f´ısicos nunca cuestionan la consistencia formal del infinito actual, como
si esa consistencia fuera un hecho probado. Lo que no es el caso, por eso necesitamos el Axioma del Infinito. La hip´
otesis del infinito actual, la creencia de que
los conjuntos infinitos existen como totalidades completas, es solo una hip´otesis.
Brouwer, Poincar´e o Wittgenstein, entre otros, la rechazaron. Lo que sorprende
aqu´ı es que mientras gastamos grandes cantidades de tiempo y de dinero en liberar de los infinitos a las ecuaciones de la f´ısica, no hacemos ning´
un esfuerzo en
examinar las posibilidades de liberar a las matem´aticas del infinito actual.
610 Pero si hay una teor´ıa f´ısica comprometida con el infinito actual, esa es la
teor´ıa especial de la relatividad, una teor´ıa sobre el continuum espaciotiempo. La
siguiente secci´
on reproduce, levemente modificado, un cap´ıtulo de [116] dedicado a la confrontaci´on de las interpretaciones anal´ogica (cl´
asica) y digital de la
relatividad especial.
Dos interpretaciones de la relatividad especial
611 Confrontaremos ahora algunos aspectos singulares de la teor´ıa de la relatividad especial desde el punto de vista de su interpretaci´
on cl´asica (anal´ogica) y
desde el punto de vista de la alternativa digital que fue introducida en [116]. En
esta u
´ltima interpretaci´
on tanto el espacio como el tiempo se suponen de naturaleza discreta, con m´ınmos indivisibles de espacio (qusit, quantum space unit) y
Dos interpretaciones de la relatividad especial —— 197
de tiempo (qutit, quantum time unit).
612 La caracter´ıstica m´as destacable de la alternativa digital es su compatibilidad con todas las observaciones y mediciones relativistas. Lo cual se podr´ıa
explicar porque en ella solo se reemplaza el continuum espaciotiempo de la teor´ıa
de la relatividad por un modelo discreto en el que tambi´en existe una velocidad
m´axima insuperable, aunque en este caso no como un principio axiom´atico sino
como una consecuencia inevitable de la existencia de m´ınimos indivisibles de espacio y de tiempo (discreci´
on del espaciotiempo). En efecto, si nada puede durar
menos que un qutit entonces existir´ıa una velocidad m´axima de un qusit por qutit (si se pudieran atravesar varios qusits en un solo qutit entonces un qutit ser´ıa
atravesado en un tiempo menor que un qutit).
613 Otros problemas relativistas, como la imposibilidad de observar y medir
velocidades absolutas, se resuelven considerando la naturaleza preinercial de los
fotones [Decimos que un objeto es preinercial si hereda la velocidad relativa del
sistema de referencia en el que es puesto en movimiento]. De este modo, preinercia
y un modelo digital de espaciotiempo es todo lo que se necesita para explicar en
t´erminos f´ısicos todos los enigmas y las rarezas que se derivan de la teor´ıa especial
de la relatividad.
614 En cada uno de los p´
arrafos siguientes se confronta un aspecto de la interpretaci´
on cl´
asica (CI) de la relatividad con su correspondiente interpretaci´
on
digital (DI).
615 CI se fundamenta en el continuum espaciotiempo: entre dos puntos cualesquiera existen otros 2ℵo puntos diferentes. En este continuum todas las ´areas y
vol´
umenes tienen el mismo n´
umero de puntos, de modo que un intervalo lineal de,
por ejemplo, la longitud de Planck, tiene el mismo n´
umero de puntos que todo
el universo tridimensional. DI supone la existencia de partes m´ınimas indivisibles
de espacio (qusits) y de tiempo (qutits). En este modelo las regiones de diferente extensi´
on tienen diferentes n´
umero de qusits (qutits), y el universo completo
tendr´ıa un n´
umero finito de tales qusits.
616 La consistencia formal de CI depende de una hip´otesis matem´atica externa:
la hip´otesis del infinito actual, que, por otra parte, podr´ıa ser inconsistente (estoy
firmemente convencido de que ese es el caso). La consistencia formal de DI no
depende de ninguna hip´
otesis matem´atica externa.
617 Los puntos del continuum espaciotiempo son conceptos primitivos abstractos desprovistos de significado f´ısico, a pesar de lo cual los f´ısicos se ven forzados
a tratar con masas puntuales, cargas puntuales etc. Qutits y qusits est´
an llenos
de sentido f´ısico puesto que son partes f´ısicas indivisibles del espacio y del tiempo.
618 El continuum espaciotiempo no es (consistentemente) compatible con el
cambio (v´ease el Ap´endice A). Los espaciotiempos discretos son formalmente com-
198 —— B.-El infinito y la f´ısica
patibles con el cambio
619 La existencia de una velocidad m´axima insuperable es un requerimiento
axiom´atico de CI (Segundo Principio de la relatividad). En DI, la existencia de
una velocidad m´axima insuperable es una consecuencia natural de la existencia
de m´ınimos indivisibles de espacio y de tiempo.
620 La imposibilidad del movimiento absoluto es una consecuencia formal (axiom´atica) del Primer Principio de la relatividad en CI. En DI es posible el movimiento absoluto a trav´es de la trama f´ısica de qusits. En DI la imposibilidad
de detectar el movimiento absoluto es una consecuencia f´ısica de la preinercia,
incluyendo la preinercia de los fotones.
621 En CI, la inclinaci´
on de la trayectoria relativa de un fot´on (vertical en el
sistema de referencia propio de su fuente emisora) solo puede ser explicada en
t´erminos axiom´
aticos (Primer y Segundo Principio de la relatividad) En DI, esa
inclinaci´on se explica en t´erminos f´ısicos por la preinercia de los fotones.
622 En CI, la universalidad de las leyes f´ısicas necesita hacer referencia a sistemas de referencia abstractos. En DI esa referencia no es necesaria.
623 In CI, los dos principios de la relatividad son necesarios. En DI no se necesita
ning´
un principio particular, una vez asumida la universalidad de las leyes naturales
como un principio fundamental de todas las ciencias.
624 En CI, rayo l´aser vertical reflejado horizontalmente en el sistema de referencia propio de su fuente emisora no cumple la Segunda Ley de la reflexi´on de
la luz cuando se observa en movimiento relativo en la misma direcci´
on horizontal.
Esta y todas las dem´
as inconveniencias relativistas analizadas en [116] no ocurren
en DI.
625 En CI, la gravedad es explicada en t´erminos geom´etricos. Ninguna raz´
on
f´ısica ha sido dada nunca para explicar por qu´e la materia curva el espaciotiempo. DI ofrece la posibilidad de una explicaci´
on f´ısica de la gravedad y de otros
fen´omenos de la relatividad general:
Por una parte, un objeto ser´ıa un conjunto particular de qusits definidos por los valores de un cierto n´
umero de variables de estado. Por la
otra, los valores de las variables de estado de los qusits circundantes
ser´ıan de alguna forma modificados por el objeto. Esta modificaci´on y
la forma peri´odica y sincronizada de algunos modelos discretos, como
los CALMs (Cellular Automata Like Models, v´ease el Ap´endice A),
podr´ıan ser suficientes para construir una teor´ıa puramente f´ısica de la
gravedad. El entrelazamiento y la sincronicidad podr´ıan ser tambi´en
explicados en esos t´erminos f´ısicos (v´ease la secci´
on sobre aut´omatas
celulares en el Ap´endice A).
626 En CI, la luz se dobla gracias a la curvatura gravitacional del espaciotiempo.
Dos interpretaciones de la relatividad especial —— 199
En DI, una simple fuerza atractiva, en el sentido dado en 625, entre los objetos
preinerciales ser´ıa suficiente para explicar el doblamiento gravitacional de la luz,
sin necesidad de deformar el espaciotiempo.
627 Por todas las razones anteriores, parece razonable empezar a considerar la
posibilidad de un paradigma discreto, digital. El objetivo de [116] fue sugerir la
conveniencia de esa consideraci´on, sin proponer un modelo particular y detallado.
200 —— B.-El infinito y la f´ısica
Ap´endice C
Sugerencias para una teor´ıa natural de conjuntos
´n
Introduccio
628 En mi opini´
on, las teor´ıas modernas de conjuntos son excesivamente tortuosas y complicadas principalmente debido a las tres razones siguientes:
1) El escenario plat´onico donde todas ellas se han fundado y desarrollado,
lo que significa que los conjuntos son considerados objetos plat´onicos que
existen con independencia de la mente humana.
2) Las restricciones necesarias para evitar la autorreferencia, otra asunci´
on
plat´onica de origen presocr´
atico. Asumir la autorreferencia sem´antica implica asumir la existencia de autolenguajes, de lenguajes con la capacidad
de referirse a s´ı mismos. Desde la perspectiva no plat´onica, por el contrario, solo el hombre puede referirse a otros objetos, incluy´endose a s´ı mismo.
Desde esta perspectiva la autorreferencia es una habilidad exclusivamente
humana y, en consecuencia, solo se consideran el lenguaje y los sucesivos
metalenguajes.
3) La hip´
otesis del infinito actual subsumida en el Axioma del Infinito, de
acuerdo con la cual los conjuntos infinitos existen como totalidades completas.
Este ap´endice sugiere otra alternativa fundacional lejos del escenario plat´onico: el
escenario natural de de las actividades intencionales de la mente humana.
629 La discusi´
on que sigue se fundamenta de hecho en una definici´on natural (no
plat´onica) de conjunto. Tambi´en introduce el concepto de sucesi´on incompletable,
a trav´es de la definici´on de conjunto sucesor. Las sucesiones incompletables de
conjuntos sucesores se utilizan entonces para definir la sucesi´on de cardinales
finitos y la de conjuntos potencialmente infinitos.
´ n natural de conjunto
Una definicio
630 Suponemos aqu´ı que los conjuntos y los n´
umeros naturales son objetos
te´oricos elementales que resultan de nuestra actividad mental intencionada. Por
lo tanto no tienen existencia independiente de la mente.
201
202 —— C.-Sugerencias para una teor´ıa natural de conjuntos
631 Tal vez el proceso intencional m´as b´
asico de nuestra mente consista en considerar (centrar nuestra atenci´
on en) cualquier objeto o grupo de objetos. Existen,
a su vez, dos formas b´
asicas de considerar objetos: o sucesiva o simult´
aneamente. La primera lleva al concepto de n´
umero natural; la segunda al concepto de
conjunto.
632 Cuando consideramos sucesivamente diferentes objetos, en cierto modo los
estamos contando. Un n´
umero natural es una especie de medida de la cantidad de
objetos considerados sucesivamente (v´ease m´as abajo). Por otro lado, si consideramos esos objetos de forma simult´
anea los estamos agrupando en una totalidad
que es un nuevo objeto diferente de cada uno de los objetos considerados. En consecuencia, vamos a proponer la siguiente definici´on natural de conjunto en cierta
forma sugerida por por Lewis Carroll [45]:
Definici´
on de conjunto.-Un conjunto es el objeto te´orico que resulta de un agrupamiento mental de objetos arbitrarios previamente
definidos.
Obviamente el mundo f´ısico est´
a lleno de grupos naturales de objetos, por ejemplo
el conjunto de todos los iones de un cierto cristal de pirita. La mente humana tiene
la habilidad de reconocer esos grupos naturales, pero tambi´en tiene la capacidad de
definir otros muchos grupos que pueden incluir objetos abstractos e imaginarios.
633 Obviamente, la Definici´
on 632 es de tipo constructivo: s´olo indica la forma en la que se construyen los conjuntos: por agrupamiento mental de objetos
arbitrarios. Al ser constructiva, la definici´on no es sem´anticamente circular. Los
conjuntos se definen como objetos te´oricos porque la mente humana s´olo puede
construir objetos te´oricos. Adem´as, la Definici´on 632 requiere que los elementos
que se van a agrupar han de estar previamente definidos (ya sea por enumeraci´
on
o por comprensi´
on). Parece un requisito razonable, de lo contrario no sabr´ıamos
qu´e estamos agrupando, qu´e estamos definiendo.
634 Por otra parte, ese simple requisito (ser definidos antes de ser agrupados)
invalida a los conjuntos autorreferentes. En efecto, de acuerdo con ´el un conjunto
no puede pertenecerse a s´ı mismo, ya que no existe como un elemento que se pueda
agrupar hasta que el conjunto se haya definido. Paradojas como la de Cantor
(conjunto de todos los cardinales), Burali-Forti (conjunto de todos los ordinales)
y Russell (conjunto de todos los conjuntos que no pertenecen a s´ı mismos), ni
siquiera se plantean porque sus correspondientes conjuntos son inmediatamente
descartados como consecuencia de la propia definici´on 632.
635 Comparemos ahora esta definici´on constructiva de conjunto de los dos siguientes intentos plat´onicos de G. Cantor:
a) Por un ’conjunto’ o ’agregado’ por lo general entiendo una multiplicidad
que puede ser pensada como una unidad, es decir, cualquier totalidad
de elementos definidos que, mediante una ley, se pueden poner en una
Una definici´
on natural de conjunto —— 203
totalidad, y creo que en esto estoy definiendo algo que est´
a relacionado
con el eidos plat´onico o idea. ([40, page 93])
b) Por un ’conjunto’ (Menge) hemos de entender cualquier colecci´on en una
totalidad M de objetos m definidos y separados de nuestra intuici´
on o
nuestro pensamiento. ([36, p. 481], [39, . 85])
636 Puesto que ’multiplicidad’ y ’colecci´on’ son sin´
onimo de ’conjunto’ ambas
definiciones son circulares. La circularidad tampoco pudo evitarse en los intentos
posteriores de definir la noci´
on plat´onica de conjuntos, que fue finalmente declarada como no definible, i.e. como un concepto primitivo que no puede definirse en
t´erminos de otros conceptos m´as b´
asicos. La imposibilidad de definir conjuntos
plat´onicos probablemente indica que los conjuntos no son los objetos plat´onicos
que se hab´ıan supuesto, sino productos de nuestra actividad mental intencionada.
637 Afortunadamente, la mayor´ıa de los s´ımbolos, convenciones y operaciones de
las teor´ıas axiom´
aticas de conjuntos pueden mantenerse en las teor´ıas no plat´onicas de conjuntos. Particularmente las nociones de pertenencia, subconjunto, conjunto vac´ıo, uni´
on, intersecci´on, correspondencias y similares. Por el contrario,
la mayor´ıa de los axiomas necesarios en las teor´ıas plat´onicas de conjuntos son
innecesarios en las teor´ıas no plat´onicos.
638 Como veremos en este ap´endice, uno de los conceptos m´as importantes
en una teor´ıa constructiva de conjuntos es el de conjunto sucesor, que se deriva
de forma inmediata de la Definici´
on 632. En efecto, es inmediato demostrar el
siguiente:
Teorema del conjunto sucesor.-Cada conjunto A define un conjunto nuevo, su conjunto sucesor s(A), del cual ´el es un elemento.
Demostraci´
on.-Una vez definido un conjunto A, tendremos a nuestra disposici´on
un nuevo objeto, el conjunto A, y seg´
un la Definici´on 632, podremos agruparlo con
otros elementos arbitrarios previamente definidos. Por ejemplo con los elementos
que se utilizaron para definir A. As´ı podremos definir un nuevo conjunto s(A) de
la forma:
s(A) = A ∪ {A}
(1)
s(A) es el conjunto sucesor del conjunto A. Como veremos el concepto de sucesor
puede utilizarse para definir, tambi´en en t´erminos constructivos, los sucesivos
n´
umeros naturales.
639 Por incompletable entendemos aqu´ı algo que no solo es incompleto sino que
adem´as no se puede completar. En consonancia con esa idea, definiremos la noci´on
de sucesi´
on incompletable de la siguiente manera:
Definici´
on 639.-Una sucesi´on incompletable es aquella que no puede
ser considerada como una totalidad completa, en el sentido de que
siempre podemos incrementar la sucesi´on de elementos considerados
a˜
nadiendo nuevos elementos.
204 —— C.-Sugerencias para una teor´ıa natural de conjuntos
640 El concepto de conjunto sucesor permite definir sucesiones incompletables
de conjuntos. En efecto, supongamos que las sucesivas definiciones de conjuntos
sucesores de un conjunto inicial A:
A, s(A), s(s(A)), . . . s(s(s(. . . (A) . . . ))
(2)
conducen a un conjunto final X:
X = s(s(s(s(s(. . . (A) . . . )))))
(3)
cuyo sucesor s(X) no se puede definir. Cualquiera que sea el conjunto X, ser´a un
objeto bien definido y, de acuerdo con la Definici´on 632, lo podremos agrupar con
cualquier grupo de elementos previamente definidos, incluyendo los propios elementos de X, para formar un nuevo conjunto. En consecuencia, podemos definir:
s(X) = X ∪ {X} = s(s(s(s(s(s(. . . (A) . . . ))))))
(4)
Por lo tanto, es falso que el conjunto sucesor de X no pueda ser definido. As´ı,
la sucesi´on de los sucesivos sucesores del conjuntos A es de hecho incompletable
porque siempre se puede aumentar la sucesi´on de conjuntos considerados considerando un nuevo elemento, a saber, con el conjunto sucesor del u
´ltimo conjunto
definido. Podemos por tanto establecer el siguiente:
Teorema de la sucesi´
on de sucesores.-La sucesi´on de conjuntos
sucesores de un conjunto cualquiera es incompletable.
´ meros
Conjuntos y nu
641 Aunque se han llevado a cabo varios intentos constructivos y formales para
definir el concepto de n´
umero, este concepto podr´ıa ser de hecho primitivo, no
definible en t´erminos de otros conceptos m´as b´
asicos. En cualquier caso, podemos asumir que dos conjuntos tienen el mismo n´
umero de elementos si se puede
establecer entre ellos una correspondencia uno a uno. Todos los conjuntos que
se pueden poner en una correspondencia uno a uno entre s´ı definen una clase de
conjuntos, y por tanto un n´
umero: el cardinal de todos los conjuntos de esa clase.
El cardinal de un conjunto A se suele representar por |A|.
642 Contar los elementos de un conjunto A significa finalmente considerar sucesivamente cada uno de sus elementos sucesivos. Podr´ıamos definir un n´
umero
(nombre, n´
umero y caracter´ısticas) cada vez que consideramos un nuevo elemento
de A como una indicaci´
on de la cantidad de los elementos considerados, como una
indicaci´
on del tama˜
no del conjunto. Aunque en este contexto, n´
umero, cantidad
y tama˜
no son sem´anticamente indistinguibles, y por tanto el intento de definici´on
tambi´en es circular. Despu´es de todo, quiz´
as solo sean posibles las definiciones
operativas del concepto de n´
umero. Presentaremos inmediatamente una de ellas.
Conjuntos y n´
umeros —— 205
643 Uno de las sucesiones incompletables mejor conocida es la siguiente, basada
en la noci´on de conjunto vac´ıo ∅:
∅=∅
(5)
s(∅) = ∅ ∪ {∅} = {∅}
(6)
s(s(s(∅))) = {∅, {∅}} ∪ {{∅, {∅}}} = {∅, {∅}, {∅, {∅}}}
(8)
s(s(∅)) = {∅} ∪ {{∅}} = {∅, {∅}}
(7)
...
644 Llamamos cardinales finitos, o n´
umeros naturales, a los cardinales de los
conjuntos (definici´
on de Von Neumann de 1923 [148]):
|∅| = 0
(9)
|{∅}| = 1
(10)
|{∅, {∅}}| = 1 + 1 = 2
|{∅, {∅}, {∅, {∅}}| = 2 + 1 = 3
|{∅, {∅}, {∅, {∅}}, {∅, {∅}, {∅, {∅}}}}, | = 3 + 1 = 4
(11)
(12)
(13)
...
donde escribimos +1 para indicar que un nuevo elemento se ha a˜
nadido al conjunto
precedente para definir el nuevo conjunto y su correspondiente nuevo cardinal
finito. Por claridad escribiremos la anterior sucesi´on de cardinales como:
|∅| = 0
(14)
|{∅}| = |{0}| = 1
(15)
1
|{∅, s (∅)}| = |{0, 1}| = 1 + 1 = 2
1
2
1
2
|{∅, s (∅), s (∅)}| = |{0, 1, 2}| = 2 + 1 = 3
3
|{∅, s (∅), s (∅), s (∅)}| = |{0, 1, 2, 3}| = 3 + 1 = 4
...
(16)
(17)
(18)
(19)
donde s2 (∅) es s(s(∅)), s3 (∅) es s(s(s(∅))) y as´ı sucesivamente. N´
otese que cada
cardinal n se define recursivamente en t´erminos del u
´ltimo cardinal definido n − 1,
excepto el primero de ellos 0.
645 N´
otese tambi´en que la definici´on anterior de los sucesivos cardinales finitos,
o n´
umeros naturales, es s´olo una definici´on operativa. En consecuencia seguimos
sin tener una definici´on apropiada de n´
umero. Por lo tanto, decir que el cardinal de un conjunto es el n´
umero de sus elementos es no decir nada desde un
punto de vista estrictamente formal. Pero tenemos que definir el cardinal de un
conjunto como el n´
umero de sus elementos, aun cuando el concepto de n´
umero
no est´e apropiadamente definido, sino aceptado como un concepto primitivo que
admite definiciones operativas.
206 —— C.-Sugerencias para una teor´ıa natural de conjuntos
646 De acuerdo con 639 la sucesi´on anterior (14)-(19) es incompletable, de modo
que no existe un u
´ltimo cardinal finito. En efecto, cualquiera que sea el cardinal
finito n que consideremos tendremos:
n = |{∅, s1 (∅), s2 (∅), . . . sn−1 (∅)}|
(20)
y puesto que la sucesi´on de conjuntos sucesores es incompletable de acuerdo con
640, el conjunto sucesor de sn−1 (∅) existe, y entonces podemos escribir:
sn (∅) = sn−1 (∅) ∪ {sn−1 (∅)}
1
2
= {∅, s (∅), s (∅), . . . s
n−1
(21)
n
(∅), s (∅)}
(22)
De acuerdo con (14)-(19) el conjunto sn (∅) define el cardinal finito n + 1:
|sn (∅)| = |{∅, s1 (∅), s2 (∅), . . . sn (∅)}| = |{0, 1, 2, . . . n}| = n + 1
(23)
Podemos por tanto afirmar que siendo n un cardinal finito (n´
umero natural) de la
sucesi´on incompletable (14)-(19), n+1 es tambi´en un cardinal finito de la sucesi´on
incompletable (14)-(19). Podemos, por consiguiente, escribir:
Teorema de la sucesi´
on de cardinales.-Si n es un n´
umero natural
finito, y por tanto el cardinal de un conjunto de la sucesi´on incompletable de sucesores del conjunto vac´ıo, entonces n + 1 es tambi´en
un n´
umero natural finito y el cardinal de un conjunto de esa misma
sucesi´on de sucesores del conjunto vac´ıo.
647 Vale la pena se˜
nalar que esta forma constructiva de definir los n´
umeros
naturales basada en la definici´on 632 no plantea ning´
un problema de existencia y,
por consiguiente, no es necesaria la ayuda de axiomas auxiliares (como los axiomas
de Peano). Esto es as´ı porque no estamos tratando de definir el conjunto de los
n´
umeros naturales como una totalidad completa e independiente de la mente, sino
como una sucesi´on incompletable y operacional de t´erminos sucesivos.
648 Dado que todos los conjuntos de la misma cardinalidad son equipotentes,
podemos decir que un n´
umero natural n es el sucesor inmediato de otro n´
umero
natural m (o m el predecesor inmediato de n) si n es el cardinal del conjunto
sucesor de cualquier conjunto cuyo cardinal sea m. O en otros palabras, si n =
m + 1. Es evidente que si n es el sucesor inmediato de m entonces es tambi´en
sucesor (aunque no inmediato) de todos los predecesores de m. Ser sucesor de
induce una relaci´
on de orden < en el conjunto de los cardinales finitos que coincide
con el orden natural de precedencia de los n´
umeros naturales (el orden natural de
contar): m < n si y s´olo si n es un sucesor de m.
649 Consideremos ahora el conjunto Nn de los primeros n n´
umeros naturales:
Nn = {1, 2, 3, . . . n}
(24)
Conjuntos finitos —— 207
y demostremos el siguiente:
Teorema 649.-El cardinal del conjunto Nn de los n primeros n´
umeros
finitos es precisamente n
Demostraci´
on.-Por definici´on, n es el cardinal del conjunto
A = {∅, s1 (∅), s2 (∅), . . . sn−1 (∅)}
Sea f una funci´
on de Nn en A definida por:
(
f (1) = ∅
f (i) = si−1 (∅), i = 2, 3, 4, . . .
(25)
(26)
Es claro que f es una biyecci´on. Por tanto Nn y A son equipotentes, i.e. el cardinal
de Nn es n.
650 Como consecuencia de la forma recursiva en la que son definidos, los elementos de Nn exhiben un tipo de orden al que llamaremos orden natural y que
denotaremos por n-orden, cuyas principales caracter´ısticas son:
1) Existe un primer elemento: el u
´nico sin predecesores (1).
2) Existe un u
´ltimo elemento: el u
´nico sin sucesores (n).
3) Cada elemento k tiene un sucesor inmediato k + 1, excepto el u
´ltimo de
ellos.
4) Cada elemento k tiene un predecesor inmediato k−1, excepto el primero.
N´
otese que el n-orden es lo mismo que el ω−orden, excepto que en el ω−orden no hay un u
´ltimo elemento. As´ı, los conjuntos ω−ordenados son totalidades
completas (como exige el infinito actual) aunque no exista un u
´ltimo elemento
que los complete. Evidentemente ese no es el caso de los conjuntos n-ordenadoa.
Conjuntos finitos
651 Como es bien sabido, la hip´
otesis del infinito actual subsumida en el Axioma
del Infinito afirma la existencia de un conjunto equipotente con el conjunto de
todos los cardinales considerado como una totalidad completa, como si la sucesi´on
anterior (5)-(8) pudiera, en efecto, ser realmente completada. Por el contrario, en
una teor´ıa no-plat´onica de conjuntos esa sucesi´on es incompletable y entonces no
puede ser considerada como una totalidad completa. Esa sucesi´on es un ejemplo de
objeto potencialmente infinito. En la secci´
on siguiente nos ocuparemos de ellos.
En esta centraremos nuestra atenci´
on en los conjuntos finitos. Para empezar,
consideremos la siguiente definici´on elemental, basada en las sucesiones anteriores
de conjuntos sucesores y cardinales finitos:
Definici´
on 651.-Un conjunto es finito si y s´olo si, tiene un cardinal
finito.
Los teoremas y definiciones anteriores permiten demostrar los siguientes resultados sobre los conjuntos finitos.
208 —— C.-Sugerencias para una teor´ıa natural de conjuntos
652 Teorema del ordenamiento finito 1.-Todo conjunto finito puede ser
n-ordenado.
Demostraci´
on.-Sea A ser un conjunto finito. De acuerdo con la Definici´on 651
habr´
a un cardinal finito n tal que |{A}| = n. Siendo A equipotente con todos los
conjuntos de la misma cardinalidad ser´a equipotente con el conjunto n-ordenado
Nn de los n primeros cardinales finitos, cuyo cardinal es n, de acuerdo con 649.
Por tanto existe una correspondencia de uno a uno f entre el conjunto Nn y A.
Por consiguiente, podemos escribir:
A∗ = {f (1), f (2), f (3), . . . , f (n)}
(27)
que es la versi´
on n-ordenada del conjunto A.
653
do.
Teorema del ordenamiento finito 2.-Todo conjunto finito es n-ordena-
Demostraci´
on.- De acuerdo con el teorema del ordenamiento finito 1, cualquier
conjunto finito A de cardinal n puede ser n-ordenado mediante una biyecci´on f
entre Nn y A, de modo que podemos escribir:
A∗ = {f (1), f (2), . . . , f (n)}
(versi´
on n-ordenada de A)
(28)
Puesto que la sucesi´on f (1), f (2),. . . f (n) contiene todos los elementos del conjunto A, el ordenamiento de este conjunto solo puede ser uno de los posibles reordenamientos de f (1), f (2),. . . f (n), i.e una de las n! permutaciones de f (1), f (2),. . . f (n).
Puesto que cada permutaci´
on de f (1), f (2),. . . f (n) cambia los elementos indexados pero no el conjunto n-ordenado de ´ındices {1, 2, . . . n}, cada permutaci´on
ser´a n-ordenada. Por tanto A es un conjunto n-ordenado.
654 Teorema del siguiente cardinal.-Si A es un conjunto finito de cardinal
n, entonces su conjunto sucesor S(A) = A ∪ {A} es un conjunto finito de cardinal
n + 1.
Demostraci´
on.-Puesto que el cardinal de A es n y, seg´
un 649, el cardinal de Nn
tambi´en es n, existir´
a una biyecci´on f entre A y Nn = {1, 2, 3, . . . n}. La biyecci´on
g definida por:
g : A ∪ {A} 7→ {1, 2, 3, . . . n, n + 1}
∀a ∈ A : g(a) = f (a)
g(A) = n + 1
(29)
(30)
(31)
prueba que S(A) es un conjunto finito cuyo cardinal es n + 1.
655 Teorema de la extensi´
on finita.-Si A es un conjunto finito y b un
elemento que no pertenece a A entonces el conjunto A ∪ {b} es tambi´en finito.
Demostraci´
on.-Sea f una correspondencia entre los conjuntos A ∪ {b} y s(A)
Conjuntos potencialmente infinitos —— 209
definida por:
f (a) = a, ∀a ∈ A
f (b) = A
(32)
(33)
Evidentemente f es una biyecci´on entre A∪{b} y s(A). Por tanto ambos conjuntos
tienen la misma cardinalidad. Sea n el cardinal de A, de acuerdo con el teorema
654 del siguiente cardinal, el cardinal de s(A) es el cardinal finito n+1. El cardinal
de A ∪ {b} ser´a tambi´en n + 1. En consecuencia A ∪ {b} es un conjunto finito.
656 Teorema de la uni´
on finita.-Si A y B son dos conjuntos finitos entonces
el conjunto A ∪ B es tambi´en finito.
Demostraci´
on.-Es una consecuencia inmediata del teorema 655 de la extensi´
on
finita. Siendo B finito ser´a n-ordenado y sus elementos se pueden escribir b1 , b2 ,
. . . bk . De acuerdo con 655 los sucesivos conjuntos:
A ∪ {b1 }
A ∪ {b1 } ∪ {b2 }
(34)
(35)
..
.
(36)
A ∪ {b1 } ∪ {b2 } · · · ∪ {bk } = A ∪ B
(37)
son todos ellos finitos.
657 Teorema del infinito.-El conjunto N de los cardinales finitos definido
seg´
un (14)-(19) no es finito.
Demostraci´
on.-Supongamos que es finito. De acuerdo con la Definici´on 651 tendr´a un
cardinal finito n, que es tambi´en el cardinal del (n−1)th conjunto sucesor sucesivo
de {∅} en (5)-(8). De acuerdo con 646 esta sucesi´on es incompletable de modo
que su n-´esimo t´ermino, y por tanto el cardinal finito n + 1, tambi´en existen. Por
tanto n no es el cardinal de N. Lo que prueba que ning´
un cardinal finito n puede
ser el cardinal del conjunto N. Por tanto N no es finito.
Conjuntos potencialmente infinitos
658 Hasta donde yo s´e, los conjuntos potencialmente infinitas nunca han merecido la atenci´
on de los matem´aticos. Probablemente porque las teor´ıas de conjuntos son teor´ıas infinitistas, fundadas y desarrolladas por infinitistas que asumen la hip´otesis del infinito actual. Desde el punto de vista constructivo anterior
podr´ıamos considerar la capacidad de nuestra mente para llevar a cabo procesos
sin fin, incompletables, como el de contar o definir en t´erminos recursivos. Los
objetos resultantes de esos procesos incompletables podr´ıan ser utilizados para
definir conjuntos en el sentido de la Definici´on 632. Pero esos conjuntos nunca
podr´ıan ser considerados como totalidades completas y acabadas, como es el caso
210 —— C.-Sugerencias para una teor´ıa natural de conjuntos
de los conjuntos finitos. Esas totalidades incompletables representar´ıan la versi´
on
te´orico-conjuntista del infinito potencial introducido por Arist´oteles hace veinticuatro siglos [11, Libro VIII].
659 La siguiente, podr´ıa ser una definici´on operativa de conjunto potencialmente
infinito:
Definici´
on 659.-Un conjunto X es potencialmente infinito si para
cualquier conjunto finito A existe un subconjunto B de X tal que
|A| < |B|.
660 Una consecuencia inmediata de la Definici´on 659 es el siguiente
Teorema 660.-Los conjuntos potencialmente infinitos no tienen cardinal definido.
Demostraci´
on.-Sea X es un conjunto potencialmente infinito cualquiera. Supongamos que tiene un cardinal finito n. Consideremos el conjunto Nn de los primeros
n cardinales finitos, cuyo cardinal es n de acuerdo con 649. De acuerdo con la
Definici´on 659 y siendo Nn finito, existir´
a un subconjunto finito B de X tal que
|Nn | < |B|. Por lo tanto, n no puede ser el cardinal de X. En consecuencia, ning´
un
cardinal finito n es el cardinal del conjunto potencialmente infinito X.
661 En el universo de los conjuntos no plat´onicos, un conjunto s´olo puede ser
finito (con un cardinal finito) o potencialmente infinito (sin cardinal definido). El
teorema del infinito prueba que el conjunto de los cardinales finitos no es finito.
Veamos ahora que es potencialmente infinito.
Teorema 661.-El conjunto de los cardinales finitos es potencialmente
infinito
Demostraci´
on.-Sea A un conjunto finito cualquiera y sea n su cardinal. El conjunto
B de los primeros n + 1 cardinales finitos verifica:
B = {1, 2, . . . , n, n + 1} ⊂ {1, 2, . . . , n, n + 1, n + 2}
(38)
es, por tanto, un subconjunto propio de N. Y evidentemente |A| < |B|. Por consiguiente, y de acuerdo con la Definici´
on 659, N es potencialmente infinito.
662 Finalmente probaremos el siguiente resultado b´
asico:
Teorema 662.-Si X es un conjunto potencialmente infinito y A cualquiera de sus subconjuntos finitos entonces el conjunto X − A tambi´en
es potencialmente infinito.
Demostraci´
on.-Evidentemente, tendremos:
X = A ∪ (X − A)
(39)
De modo que si X − A fuera finito, y teniendo en cuenta el teorema 656 de la
uni´on finita, el conjunto X tambi´en ser´ıa finito. En consecuencia X − A ha de ser
potencialmente infinito.
Ap´endice D
Platonismo y biolog´ıa
Los seres vivos como objetos extravagantes
663 En 1973, Dobzhansky public´
o un famoso art´ıculo cuyo t´ıtulo resume el
pensamiento biol´ogico contempor´
aneo [65]:
Nada en biolog´ıa tiene sentido si no es bajo el prisma de la evoluci´
on
Creo que hubiera sido m´as apropiado escribir reproducci´
on en lugar de evoluci´
on.1
Y no s´olo porque la evoluci´
on es alimentada por la reproducci´on. Es porque solo
la reproducci´on puede dar cuenta de las extravagancias de los seres vivos.
664 Los seres vivos son, en efecto, objetos extravagantes, es decir, objetos con
propiedades que no pueden ser derivadas exclusivamente de las leyes f´ısicas. Tener
plumas rojas, o plumas amarillas, o saltar para moverse, o o ser devorado por la
hembra a cambio de copular con ella, son algunos ejemplos (y la lista ser´ıa interminable) de propiedades que no pueden ser derivadas exclusivamente de las leyes
f´ısicas, sino de la peculiar historia competitiva y reproductiva de cada organismo.
As´ı, los seres vivos est´
an sometidos a una ley biol´ogica que domina sobre todas
las leyes f´ısicas, la Ley de la Reproducci´on: Reprod´
ucete como puedas.
665 La naturaleza informada de los seres vivos [115] y la ley de la reproducci´on
permiten la fijaci´on de extravagancias arbitrarias. El ´exito en la reproducci´on
depende de ciertas caracter´ısticas de los seres vivos que con frecuencia nada tienen
que ver con la eficacia en el cumplimiento de las leyes f´ısicas sino con preferencias
arbitrarias como cantar, o bailar o tener colores brillantes. Aunque, por otro
lado, para lograr la reproducci´on es necesario previamente estar vivo, lo que a
su vez implica un mont´
on de capacidades funcionales relacionadas con el nicho
ecol´ogico particular de cada ser vivo. Pero esto en realidad es secundario: por muy
adaptado y eficaz que sea un organismo, si no se reproduce, toda su excelencia
f´ısica ser´a inmediatamente eliminada de la biosfera. La Ley de Reproducci´on abre
la puerta a las innovaciones en los seres vivos, y a partir de ah´ı se puede esperar
1 Por
supuesto, la evoluci´
on es un proceso natural y negarlo es tan est´
upido como negar
la fotos´ıntesis o la glucolisis. Otra cosa es su explicaci´
on te´
orica. Como cualquier teor´ıa
cient´ıfica, la teor´ıa de la evoluci´
on org´
anica no est´
a terminada, existen, por el contrario,
un buen n´
umero de discusiones abiertas. V´ease, por ejemplo [186], [24], [191], [167], [174],
[130], [71], [166], [47], [89], [173], [46] etc.
211
212 —— D.-Platonismo y biolog´ıa
casi cualquier cosa. Incluso escribir esto.
Conocimiento abstracto y biolog´ıa
666 Los seres vivos son invariablemente definidos como sistemas eficientemente
adaptados a su entorno. Generalmente no se presta atenci´
on a su naturaleza extravagante, aunque ser extravagante es una caracter´ıstica muy notable. Nosotros,
los seres vivos, somos los u
´nicos objetos extravagantes (conocidos) en el universo. Por cierto, esas extravagancias s´olo podr´ıan ser el resultado de una evoluci´
on
caprichosa, no de un dise˜
no inteligente como defienden los creacionistas. Evoluci´on caprichosa restringida por las leyes f´ısicas que rigen el mundo. Uno de las
m´as recientes extravagancias aparecidas en la biosfera es la conciencia exhibida
por la mayor´ıa de los seres humanos. Seguramente esa sensaci´
on de subjetividad
individual es responsable de algunas formas peculiares de interpretar el mundo,
como es el caso del esencialismo plat´onico, la creencia de que las ideas existen
independientemente de la mente que las elabora.
667 Los animales tienen la capacidad de componer representaciones abstractas
de su entorno, particularmente de todos aquellos objetos y procesos que intervienen en su supervivencia y reproducci´on. Un leopardo, por ejemplo, tiene en
su cerebro la idea (abstracta) de gacela, sabe qu´e hacer con una gacela (como
muy bien saben las gacelas), cualquiera que sea la gacela particular con la que se
encuentre. La idea abstracta de gacela y la de cualquier otra cosa, se elabora en el
cerebro por medio de diferentes componentes (los llamados ´atomos de conocimiento) que no s´olo sirven para formar la idea de gacela, sino de muchas otras ideas
abstractas. Y no s´olo ideas, las percepciones sensoriales tambi´en son elaboradas
en t´erminos at´omicos y abstractos por un proceso similar,2 lo que seguramente
tambi´en sirve para filtrar los detalles irrelevantes e in´
utiles de la informaci´on altamente variable que llega desde el mundo f´ısico, y as´ı para identificar con seguridad
suficiente los objetos y procesos (biol´
ogicamente) significativos que forman parte
de sus nichos ecol´ogicos.
668 Tener la habilidad de componer representaciones abstractas del mundo es indispensable para los animales a fin de sobrevivir y
reproducirse, Y un error en este asunto puede
costar el m´as elevado de los precios. Una pelota
rodando hacia un precipicio no se detendr´
a para evitar caer; pero el perro que corre detr´as
de ella s´ı lo har´
a; los perros conocen gravedad Figura D.1: El perro conoce la l´ogica
y sus consecuencias. Los animales interact´
uan del mundo f´ısico. La bola no.
con su entorno y necesitan conocer sus singularidades, su forma peculiar de ser y
evolucionar, es decir, su l´ogica f´ısica; y a´
un su l´ogica matem´atica.3
2 [218],
3 Los
[142].
primates y los seres humanos podr´ıan disponer de redes neuronales para tratar con
Conocimiento abstracto y biolog´ıa —— 213
669 Los animales necesitan representaciones abstractas del mundo f´ısico, lo que
no es un detalle sin importancia (el mantenimiento y el funcionamiento continuo
de esta representaci´on interna del mundo gasta hasta el 80 % de la energ´ıa total
consumida por un cerebro humano [163].) Debe ser una representaci´on precisa y
eficiente, si no ser´ıa imposible la vida animal. Es a trav´es de sus propias acciones y
experiencias, incluyendo la imitaci´on e innovation4 como los animales desarrollan
su representaci´on neurobiol´ogica del mundo en t´erminos simb´
olicos y abstractos.
El funcionamiento del cortex cerebral depende m´as de las conexiones neuronales
desarrolladas a trav´es de la historia de los est´ımulos recibidos por cada individuo
que de la intervenci´on de tal o cual gen en tal o cual ´area de su cerebro [72], [114].
Resulta, pues, indiscutible que:
El conocimiento abstracto construido sobre la acci´on y experiencia de
los individuos es indispensable para la vida animal.
670 Percepci´
on y cognici´
on son procesos neuronales constructivos en el que
participan unidades elementales de conocimiento abstracto. Los procesos tienen
lugar en zonas diferentes del cerebro, como ahora estamos empezando a conocer
con cierto detalle.5 Este modo de funcionamiento parece incompatible con el esencialismo plat´onico. En consecuencia, los conceptos e ideas parecen elaboraciones
cerebrales m´as que entidades trascendentes con las que tenemos la capacidad de
contactar. A trav´es de nuestras acciones y experiencias cognitivas personales (que
adem´as tienen car´
acter acumulativo transpersonal a trav´es de la herencia cultural
y de las redes culturales) hemos finalmente desarrollado el gran sistema cognitivo
que llamamos ciencia.
671 La consciencia de las ideas y la capacidad de pensamiento recursivo (quiz´
as
una capacidad exclusivamente humana6 ) podr´ıan haber promovido el nacimiento
y la persistencia del esencialismo plat´onico. Pero esa forma de pensar es simplemente incompatible con la biolog´ıa evolutiva [133] y con la neurobiolog´ıa. Parece
razonable que Plat´on fuera plat´onico en tiempos de Plat´on, pero ciertamente
sorprende la persistencia de esa vieja manera de pensar en la comunidad de matem´aticos contempor´
aneos. Aunque, como podr´ıa esperarse, tambi´en existe un
cierto nivel de desacuerdo sobre este asunto.7 Es notable el hecho de que muchos
autores no plat´onicos, como Wittgenstein, estuviesen en contra tanto del infinito
actual como de la autorreferencia [131], dos conceptos capitales en la historia de
las matem´aticas plat´onicas.
672 El lector puede llegar a sus propias conclusiones sobre las consecuencias que
la anterior cr´ıtica biol´ogica de esencialismo plat´onico podr´ıa tener sobre la autolos n´
umeros [62], [63], [98].
[82], [168], [211]
5 [169], [55], [185], [56], [111], [57], [179]
6 [54], [98]
7 [124], [117], [125], [13]
4 [110],
214 —— D.-Platonismo y biolog´ıa
rreferencia y el infinito actual. Aunque, evidentemente, tambi´en puede mantener
que no conoce a trav´es de redes neuronales y persistir en sus h´
abitos plat´onicos.
Pero para aquellos de nosotros que creemos en la naturaleza org´
anica de nuestro
cerebro y en su capacidad de percibir y conocer modelada a trav´es de m´as de
3600 millones de a˜
nos de evoluci´
on org´
anica, el platonismo ya no tiene sentido.
El infinito actual y la autorreferencia podr´ıan perder todo su significado fuera del
escenario plat´onico
673 En mi opini´
on, la hip´
otesis del infinito actual no es solo in´
util para explicar
el mundo natural, tambi´en es muy molesta en ciertas disciplinas como la gravedad
cu´antica o la electrodin´
amica cu´antica (renormalizaci´on8). La f´ısica9 e incluso las
10
mathematicas podr´ıan funcionar sin ella.11 Las ciencias experimentales como la
qu´ımica, la biolog´ıa y la geolog´ıa nunca han estado relacionadas con el infinito
actual. El infinito potencial es suficiente.12 Incluso el n´
umero de sitios distinguibles
en el universo podr´ıa ser finito [103]. La materia, la energ´ıa o la carga el´ectrica
parecen ser entidades discretas con m´ınimos indivisible; el espacio y el tiempo
tambi´en podr´ıan ser de naturaleza discreta, como se sugiere en algunas ´areas de
la f´ısica contempor´
anea.13
674 M´
as all´a de la escala de Planck la naturaleza parece perder todo su sentido f´ısico. Como la autorreferencia y el infinito actual, el espaciotiempo continuo
podr´ıa ser s´olo un recurso ret´
orico in´
util. Finalmente, el lector puede imaginar la
enorme simplificaci´
on de las matem´aticas y la f´ısica, una vez liberada de la carga
del infinito actual y de la autorreferencia. Tal vez debi´eramos dar una oportunidad
a la navaja de Ockham.
8 [79],
[106], [120], [215], [177], [189], [8].
[184]
10 [146], [183]
11 Excepto la aritm´
etica transfinita y otras ´
areas relacionadas, la mayor parte de las matem´
aticas contempor´
aneas son compatibles con el infinito potencial, incluyendo conceptos clave como los de l´ımite o integral
12 Algunos teor´
ıas cosmol´
ogicas contempor´
aneas, como la teor´ıa de los multiversos [59] o
la teor´ıa del Universo c´ıclico [192], hacen uso del infinito, pero de una manera bastante
imprecisa
13 [?], [?] [201], [76], [187], [12] [188], [7], [126], [196], [16], [119], [16], [196]
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´Indice alfab´etico
´
Ultimas
causas aritm´eticas, 172
0-Intervalo, 62
Alef-cero, 22, 23
Como un n´
umero primo, 109
Definici´
on, 98
Propiedades, 99
Alef-cero y la potencia del continuo,
109–111
Algoritmo de Chudnovsky, 169
Algoritmo de Ramanujan, 169
Antidiagonal de Cantor, 52
Antidiagonales racionales, 53–57
Argumento de Faticoni, 116
Argumento de la curva de Koch, 94–95
Argumento de la m´
aquina de Hilbert,
135–136
Argumento de Thomson, 123
Argumento del siguiente racional, 39–41
Argumentos inductivos
El copo de Koch, 94
El siguiente racional, 40
Intercambio de n´
umeros, 157
La m´
aquina de escribir unaria, 162
S-Disociaciones, 105
Variaci´
on del argumento de Cantor
de 1874, 48
Argumentos Modus Tollens
Antidiagonales racionales, 55
Diagonal de Cantor, 52
Expansi´
on decimal de π, 171
F-Duplicaciones, 109
Intercambio de n´
umeros, 159
La m´
aquina de Hilbert, 135
P-Disociaciones, 107
Permutaci´
on P , 55
S-disociaciones, 104
Arist´
oteles, 13, 17, 18, 194, 210
Arist´
oteles y las biyecciones, 145
Autorreferencia, 37, 201
Axioma del Infinito, 3, 5, 21, 103
Axioma del infinito, 119, 120
Axioma del Todo y la Parte, 27, 98
Axiomas, 97
Benacerraf, P., 13, 121, 122
Bergson, H., 185
Bernstein, F., 120
Black, M., 121
Bolzano, B.P.J.N., 18
Prueba del infinito actual, 20
Brouwer, L., 196
Brouwer, L.E.J., 22
Los cambios instant´
aneos son imposibles
en el continuum espaciotiempo,
187
CALMs, 198
Cambios causales, 185
Cambios en CALMs, 191
Cambios instant´
aneos, 187
Cambios instant´
aneos en CALMs, 190
Cantor y G¨
odel, 1
Cantor, G., 18, 20, 119
ℵo es el cardinal menor infinito, 103
Argumento de 1874, 43–45
Argumento de 1885, 63
Argumento de la diagonal, 52–53
Beitr¨
age, 97
Definici´
on de conjunto, 202
El menor cardinal finito, 23
Paradoja del m´
aximo cardinal, 31,
33–34
Prueba del infinito actual, 21
Pruebas pendientes, 64
Teorema 15 A, 143
Teorema 16-F, 25
Teorema de la intersecci´
on, 81
Teoremas sobre alef-cero, 23
Totalidad de los cardinales finitos, 23
Capturando una falacia, 139–141
Cardinales transfinitos, 23
Sucesiones crecientes, 25
Carroll, L., 137
Cat´
astrofe del ultravioleta, 195
Clark, P., 122
Cohen, P., 120
Completo e incompletable, 57
Concepci´
on no plat´
onica de n´
umero, 79
Concepci´
on plat´
onica de n´
umero, 78
227
228 ——- ´Indice alfab´
etico
Conceptos primitivos, 22, 97
Conclusi´
on de la antidiagonal de Cantor,
53
Conjunto bien ordenado, 24
Conjunto densamente ordenado, 39
Conjunto sucesor, 203
Conjunto universal, 34
Conjuntos autorreferentes, 202
Conjuntos difusos, 21
Conjuntos finitos
Definici´
on, 207
Propiedades, 208–209
Conjuntos plat´
onicos, 137
Conjuntos potencialmente infinitos,
210–211
Constante de Planck, 195
Continuum espaciotiempo, 79
Copo de Koch, 91
Construcci´
on, 91
Construcci´
on condicional, 94
Contradicci´
on, 95
Dimensi´
on fractal, 93
Discreci´
on, 92
L´ıneas, 92
Lados, 92
Longitud de las l´ıneas, 92
Longitud de los lados, 93
N´
umero de l´ıneas, 93
ω-asimetr´ıa, 92
Propiedades generales, 93
Sucesor y predecesor inmediato, 92
Y el infinito potencial, 95
Correspondencias uno a uno, 18
Cr´ıtica de Benacerraf de la l´
ampara de
Thomson, 13, 123
Curva de Koch, 91
Curvas de Jordan, 88
F-Duplicaciones de un producto infinito,
109
P-Disociaciones de potencias, 106
S-Disociaciones de conjuntos numerables,
104
Dedekind, J.W.R., 18, 20
Definici´
on de conjunto infinito, 17,
18, 28, 30
Prueba del infinito actual, 20
Definici´
on de Dedekind de los conjuntos
infinitos, 20
Definici´
on de Von Neumann de los
n´
umeros naturales, 205
Definici´
on natural de conjunto, 202
Definici´
on no plat´
onica de conjunto, 137
Definici´
on operativa de cardinales finitos,
99
Definici´
on recursiva de los n´
umeros
naturales, 73, 161
Definiciones circulares de conjunto, 203
Definiciones operacionales, 97
Diagonal de Cantor, 52
Dicotom´ıa cero o alef-cero, 82
Dicotom´ıas del espaciotiempo, 151–153
Diferencias entre cajas y conjuntos con
infinitos elementos, 138
Diogenes Laertius, 17
Divisibilidad del espaciotiempo, 153–156
Dobzhansky, T., 211
Dogson, C., 137
¿Es Alef-cero un n´
umero primo?, 103–109
h-Expansiones de n´
umeros racionales, 73
El Hotel de Hilbert, 133
Una forma de violar las leyes f´ısicas,
133
El mundo f´ısico y las matem´
aticas, 193
El problema del cambio, 1, 185
Elementos de Euclides, 97
Emparejando racionales con irracionales,
74–78
Entrelazamiento y sincronicidad, 198
Escala de Planck, 196, 214
Escol´
asticos medievales, 18
Esencialismo plat´
onico, 212
Espaciotiempo continuo, 1
Estado actual de la hip´
otesis del
continuum, 120
Estado final de la l´
ampara de Thomson,
124–127
Estrategia inadmisible, 57
Euclides, 27
Euler, L., 169
Expansi´
on decimal de π, 170
Expansi´
on decimal infinita, 73
Extensi´
on del argumento de Cantor de
1874, 45–48
Fen´
omeno phi, 194
Fila D-modular, 54
Fila n-modular, 54
Filopon, 27
Fractal de Koch, 91
Frege, G., 18
Funci´
on inyectiva, 27
Gauss, C.F., 17
Grosseteste, R., 27
Guerra de los infinitos, 3
G¨
odel, K., 120
Hegel, H.W.F., 1
Hegemon´ıa del infinito actual, 18, 20
´Indice alfab´
etico ——- 229
Hegemon´ıa del infinito potencial, 18
Hilbert, D., 18, 119
Lista de 23 problemas, 119
Hip´
otesis del continuum, 25, 119
Hodges, W., 57
Imposibilidad del movimiento absoluto,
198
Incompatibilidad entre la mec´
anica
cu´
antica y la relatividad
general, 196
Inconsistencia de Galileo, 30
Inconsistencia de los conjuntos anidados,
84–86
Inductive arguments
Redefinitions of a rational interval,
62
Infinitismo naif, 20
Infinito absoluto, 34
Infinito actual, 18
Infinito actual y potencial, 18–21
Infinito potencial, 19, 20, 37, 159, 210
Interpretacion natural de las
matem´
aticas, 193
Intervalos racionales
Segunda contradicci´
on, 62
Inyecci´
on exhaustiva, 28
Kleene, S., 22
Koch, H. von, 91
Kronecker, L., 22
K¨
onig, J., 119
λ-factoriales, 170
L´
ampara de Thomson, 122, 129
Axiomas, 130
Definici´
on formal, 130
Discusi´
on formalizada, 130–132
Leyes BT1 y BT2, 130
Leyes derivadas, 130
S´ımbolos, 129
La m´
aquina de contar, 127
La m´
aquina de escribir unaria, 162
Ley de la Reproducci´
on, 211
Leyes fundamentales, 97
Longitud de una curva, 88
Los animales y el conocimiento abstracto,
212, 213
Los n´
umeros racionales son y no son
numerables, 48–50, 78
Los seres vivos como sistemas informados,
211
Lynds, P., 143
M´
aquina de Hilbert finita, 136
Magia infinitista, 141, 142
Mandelbrot, B., 91
Maxwell, C., 1
McTaggart, J.M.E., 1, 185
Mec´
anica cu´
antica, 195
Met´
afora del perro y la bola, 212
Modelo Est´
andar de Part´ıculas, 196
Movimiento como proceso continuo, 194
N´
umero como concepto primitivo, 204
N´
umeros λ-factoriales, 170
N´
umeros algebraicos, 43
N´
umeros cardinales, 204
N´
umeros expofactoriales, 71
N´
umeros n-expofactoriales, 72
N´
umeros racionales
Primera contradicci´
on, 50
Segunda contradicci´
on, 56
Tercera contradicci´
on, 69
Cuarta contradicci´
on, 78
Naturaleza discreta, 3
Naturaleza granular del espacio y del
tiempo, 194
Navaja de Ockham, 195
Necesidad del Principio de Invariancia, 15
Numeral de un n´
umero, 161
ω El primer ordinal infinito, 24, 149
ω-Asimetr´ıa, 87, 150, 170
ω-Asimetr´ıa de las supertareas, 150
ω-Asimetr´ıa espacial, 87
ω-Sucesividad, 144
omega-Separaci´
on, 144
Objetos ω-ordenados, 25
Objetos ω ∗ -ordenados, 26
Obra fundacional de Cantor, 97
Ockham, W. of, 27
Operadores de conjuntos, 75
Orden denso de los n´
umeros racionales, 59
Orden inducido por el conjunto sucesor,
206
Orden natural, 207
Orden natural versus ω-orden, 207
Ordinales de la primera clase, 24
Ordinales de la segunda clase, 24
Ordinales finitos, 24
Ordinales transfinitos, 23–26
Primera especie, 24
Segunda especie, 24
Ortodoxia infinitista, 74
Para´ıso del infinito actual, 28
Para´ıso infinitista, 18
Paradoja de Burali-Forti, 31, 33, 202
Paradoja de Cantor, 34, 202
Paradoja de Galileo, 27
Paradoja de Richard, 3
230 ——- ´Indice alfab´
etico
Paradoja de Russell, 37, 202
Paradoja del mentiroso, 3
Paradojas de la autorreferencia, 3
Paradojas de la reflexividad, 27–31
Parm´enides, 17, 185
Parmenides, 1
Partici´
on al modo de Cantor, 60
Partici´
on infinita de una curva de Jordan,
88–90
Particiones ω-ordenadas, 87
Particiones en la recta real, 67–69
Percepci´
on sensorial del espacio y del
tiempo, 194
Pi, π, 169
Planck, M., 195
Plat´
on, 17
Platonismo y biolog´ıa, 213
Poincar´e, H., 22
Poincar´e, H., 196
Potencia del continuum, 23
Preinercia, 197
Primer teorema de incompletitud de
G¨
odel, 3
Principio de Identidad, 13
Principio de Independencia, 16
Principio de Indispensabilidad, 193
Principio de Invariancia, 15
Problema de la parada de Turing, 37
Problema del continuum, 119
Proclus, 27
Pruebas del infinito actual, 20, 21
Qusit, 196
Qusits (quantum space units, 190
Qutit, 197
Qutits (quantum time units), 190
Racionalidad de la diagonal de Cantor, 53
Read, S., 122
Rees, M., 194
Regresi´
on infinita, 22
Regresi´
on infinita de argumentos, 97
Reinterpretaci´
on del argumento de
Faticoni, 116
Renormalizaci´
on, 79, 196
Rimini, G. of, 27, 121
Seres vivos como objetos extravagantes,
211
Serie condicionalmente convergente, 175
Series y l´ımites, 173
Simetr´ıa gauge, 196
Simplicius, 17
Sistema unario de numeraci´
on, 161
Soluciones a las paradojas de Zen´
on, 143
Sucesi´
on de cardinales infinitos, 23
Sucesi´
on de conjuntos sucesores, 204
Sucesi´
on densamente ordenada de
cambios, 186
Sucesiones α-ordenadas, 25
Sucesiones incompletables, 203
Sucesiones racionales a partir de un
n´
umero irracional, 73
Supertareas
Antidiagonales racionales, 57
Capturando una falacia, 139
Concepto, 121
Contando los n´
umeros naturales, 19
Definiendo ℵo , 100
Eliminando filas de una tabla, 167
Intercambio de n´
umeros, 158
La caja y las bolas, 164
La m´
aquina de contar, 127
La m´
aquina de escribir unaria, 163
ω-Asimetr´ıa, 150
permutaci´
on P, 56
Supertarea de Gregory, 121
Supertarea de la l´
ampara de
Thomson, 123
Vaciando cajas, 138
Y el an´
alisis no est´
andar, 122
Y el infinito no contable, 122
Tabla unaria de los n´
umeros naturales,
165
Taylor, R., 122
Temporizar procedimientos infinitos, 177
Teor´ıa de supertareas, 122
Teor´ıa especial de la relatividad, 196
Teor´ıa informal de conjuntos, 34
Teor´ıas axiom´
aticas de conjuntos, 36
Teorema de Bernstein, 120
Teorema de K¨
onig, 119
Teorema de la extensi´
on finita, 208
Teorema de la intersecci´
on vac´ıa, 81
Teorema de la Paradoja de Cantor, 36
Teorema de la reordenaci´
on de Riemann,
32, 175
Teorema de la sucesi´
on de cardinales, 206
Teorema de la sucesi´
on de sucesores, 204
Teorema de la uni´
on finita, 209
Teorema de los conjuntos anidados, 81
Teorema de los ordinales finitos, 93
Teorema de Tarski-Bernstein, 113
Teorema de Tarski-Sierpinski, 113
Teorema del cambio, 188
Teorema del Cardinal Inconsistente, 183
Teorema del infinito, 209
Teorema del Infinito Inconsistente, 183
Teorema del n-´esimo decimal, 51
Teorema del ordenamiento finito 1, 208
Teorema del ordenamiento finito 2, 208
´Indice alfab´
etico ——- 231
Teorema del Ordinal Inconsistente, 182
Teorema del reordenamiento consistente,
176
Teorema del reordenamiento de Riemann,
175
Teorema del siguiente cardinal, 208
Teorema KA, 95
Teorema KB, 95
Teoremas sobre sustracci´
on de cardinales,
113
Thabit ibn Qurra al-Harani, 27
Thomson, J.F., 121
Totalidades completas, 19
Tragedia del infinito, 4
U-CALM, 191
Un intervalo racional menguante, 62
Un viaje a trav´es de π, 170
Un viaje a trav´es de π, 172
Una sospechosa diferencia, 84
Universo grotesco, 195
Validez de los argumentos, 15
Velocidad m´
axima insuperable, 197
Versi´
on conjuntista del teorema de
Riemann, 115
Versi´
on f´ısica del teorema de la
intersecci´
on vac´ıa, 82
Von Neumann, J., 23
Watling, J., 122
Wittgenstein, L., 22, 196
Z-puntos y Z*-puntos, 144
Z-reloj, 154
Zen´
on de Elea, 17, 185
Zermelo, E., 120