1. Educación

XXXV JORNADAS NACIONALES DE PROFESORES
UNIVERSITARIOS DE MATEMATICA FINANCIERA
CONCURSO "PREMIO JOSÉ FERNANDO CARRIZO"
Titulo del trabajo:
APLICACIONES DEL CÁLCULO FINANCIERO A LAS FINANZAS
CORPORATIVAS:
LAS PROGRESIONES GEOMÉTRICAS, EL MODELO GORDON –
SHAPIRO Y SUS VARIANTES
Seudónimo utilizado: ESCUELA DE FINANZAS DEL CONO SUR
AÑO: 2014
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El presente trabajo explora algunas variantes propias de la temática de rentas,
tales como las rentas de cuotas variables en progresión geométrica, cuando se
presentan variaciones por intervalos de tiempo en la razón que vincula a cada
termino con el termino siguiente y anterior, o bien cuando se producen variaciones
en las tasas de rendimiento por períodos y se pretende mantener una tasa de
variación en los flujos de fondos. Dichas particularidades poseen implicancias
tanto en el mundo de las Finanzas Personales como tambien Corporativas, tal es
el caso de del Modelo Gordon – Shapiro.
Nos iniciamos haciendo una breve reseña teórica acerca del origen de la formula
de una renta perpetua de cuotas variables en progresión geométrica,
deteniéndonos en determinados puntos referidos a los posibles valores que puede
asumir la razón, puntos a los que la teoría financiera tradicional no ha prestado
demasiada atención, para luego abordar la cuestión mencionada. Finalizando
hacemos mención a la continuación del estudio de estos modelos que llevaremos
adelante en trabajos posteriores.
La idea de publicar el presente material surgió luego de una conversación
sostenida con el profesor Guillermo Lopez Dumrauff, en las XXXIV Jornadas
Nacionales de Profesores Universitarios de Matemática Financiera, llevadas a
cabo en la Universidad Nacional de la Matanza en Octubre de 2013, a quien va
dedicado.
Gracias querido Guillermo
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RENTAS DE CUOTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA
Del análisis tradicional sabemos que el valor actual de este tipo de rentas suele
ser determinado de la siguiente manera:
Pese a que es frecuente encontrarnos con la presente expresión, nosotros
proponemos esta forma de expresión alternativa:
(##)
Simbolizamos con la letra
a lo que denominamos el “factor plural de
actualización de n cuotas variables en progresión geométrica de razón (q) a la
tasa de interés (i)”. Considerando todas las variables lo representamos de la
siguiente mantera:
Utilizamos una letra griega para expresar esta función con el fin de diferenciarla
del tradicional
, factor plural de actualización de n cuotas constantes.
Nótese que en la expresión (# #) ambas fórmulas son similares. Además puede
evidenciarse fácilmente que cuando q=1 ambas funciones resultan ser idénticas,
por coincidir nuestro
con
, específicamente a la fórmula simplificada
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de
. Ahora bien, para poder explotar el potencial que tienen estas rentas
como aplicación a nuestro análisis, nos interesa conocer cuál es el
comportamiento que asume
a perpetuidad, es decir cuando n tiende a
infinito; y en consecuencia determinar la cuota resultante. En otras palabras,
estableceremos el valor actual de una renta perpetua con cuotas variables en
progresión geométrica para luego determinar la forma de cálculo de su cuota
inicial.
DEDUCCIÓN DE LA CUOTA INICIAL DE UNA RENTA PERPETUA DE
CUOTAS VARIABLE EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA
Aplicando a la función del valor actual de este tipo de rentas el límite cuando n
tiende a infinito tenemos:
De inmediato podemos advertir que nuestro factor plural de actualización de n
cuotas variables en progresión geométrica
presentará un comportamiento
diferente a perpetuidad que dependerá del valor que asuma la razón “q”; y por
consiguiente, la determinación del valor de la cuota inicial tambien lo hará. Es
decir:
Aplicando el límite de la función cuando n tiende a infinito y de acuerdo al valor
que asuma la razón “q” tenemos que:
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Nótese que al analizar los posibles valores que asume la cuota inicial de nuestra
renta perpetua con cuotas variables en progresión geométrica, esta arroja
diferentes valores en función del valor que asuma la razón “q”.
Cuando q=1 la renta coincide con una renta perpetua de cuotas constantes, por lo
cual la cuota se determina de la misma manera: (Vv.i)
Esto se debe a que el monto productor de intereses crece de un período al otro,
siendo ese incremento precisamente los intereses ganados durante dicho
período: (Vn.i). Siempre que q=1 las cuotas serán constantes.
Conociendo que los intereses son proporcionales al fondo acumulado podemos
llegar a la conclusión de que este último permanecerá constante, sin variación, lo
que de hecho implica que todo lo generado por dicho monto es consumido. Las
cuotas constantes periódicas que se consumirán no son otra cosa que la totalidad
los intereses periódicos generados por el fondo acumulado (Vv.i). En otras
palabras, los intereses generados en un período representan un incremento que
se puede consumir sin alterar el valor del fondo acumulado, es decir, un consumo
potencial que nos permitirá mantener constante dicho consumo. Consumir la
totalidad de los intereses periódicos generados implica la no existencia de una
decisión de reinvención de los mismos. El monto productivo no crecerá, pero al
consumir únicamente lo producido tampoco disminuirá, se mantendrá siempre
constante. Las cuotas son siempre proporcionales al fondo acumulado, por lo cual
tambien serán constantes, es decir que de mantenerse invariable el monto
productivo, este podrá generar una suma constante de intereses dada una tasa
de interés. Este razonamiento es de hecho el análisis al que se llega cuando se
estudian este tipo de rentas.
Ahora bien, sabemos que la diferencia que experimenta el monto entre un período
y otro esta determinada por el incremento que sufre el mismo en el intervalo de
tiempo en cuestión, que como dijimos es “Vv.i”. Así, el monto acumulado al final
de un período cualquiera se puede obtener en función del valor al que ascendía
dicho monto al inicio multiplicándolo por (1+i).
Tomar la decisión de reinvertir la totalidad de los intereses ganados implicaría
asumir por analogía una conducta de capitalización compuesta de intereses. Todo
esto nos permitiría incrementar el monto de un período a otro en (1+i) veces. Esta
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conducta requiere una abstención de consumo total, por lo que si en nuestro
análisis pretendemos determinar una cuota de consumo, esta situación sería
realizable sólo cuando el consumo sea igual a 0 perpetuamente, situación de muy
difícil, sino imposible aplicación.
Si se desea mantener un consumo, por mínimo que este sea, la razón de la
progresión jamás podrá asumir el valor de (1+i). Tal vez podrá decidirse consumir
una cantidad extremadamente pequeña y reinvertirse el resto. El monto se
incrementará debido a la reinversión de los intereses y tambien las cuotas
experimentarán dicho incremento en forma proporcional. Ese incremento podrá
aproximarse infinitamente al valor (1+i), pero jamás se podrá llegar a asumir dicho
valor.
A medida que el valor de la razón se aproxime a 1 el valor de las cuotas será
cada vez mayor, aproximándose cada vez más al valor de la cuota constante de
una renta perpetua. El mayor valor que irán asumiendo es consecuencia de haber
tomado la decisión de consumir una parte mayor y reinvertir una cantidad menor
de los intereses, por lo que el monto experimentará un incremento más pequeño y
en forma proporcional tambien lo harán las cuotas. Cuanto mas se aproximen las
cuotas al valor de la cuota constante de una renta perpetua, menor será la
reinversión de los rendimientos obtenidos, menor el incremento del moto
productivo y menor el incremento de las cuotas, es decir que cuanto mas se
aproximen las cuotas al valor de la cuota constante de una renta perpetua menor
será el valor de la progresión.
Esta situación en la que 1 < q < (1+i) presenta un muy interesante atractivo para
nuestro análisis, ya que nos permite determinar un consumo menor al consumo
potencial (Vv.i) y reinvertir la diferencia. Esa reinversión incrementará el fondo
acumulado y su consecuencia inmediata será un incremento proporcional del
consumo potencial. De mantener esta conducta en el tiempo, nos permitiría tener
una cuota de consumo creciente en progresión geométrica. Esta es la situación
que luego analizaremos.
Sabemos pues que el consumo potencial que nos permite mantener un consumo
constante esta dado por (Vv.i). Si se adopta la decisión de mantener un consumo
que este por encima de dicho valor, implicaría la necesidad de tener que consumir
una parte del Fondo Acumulado, por lo que el consumo potencial de los próximos
períodos se vería reducido. De mantenerse este comportamiento en el tiempo se
consumirían no solo los intereses, sino tambien el Capital productivo,
disminuyendo cada vez más el consumo potencial y el capital. Tal es la situación
que se presenta cuando 0 < q < 1.
La cuota inicial es superior al consumo potencial, por lo que desde la primera
cuota se consume una parte del capital productivo, lo que nos arroja una suerte
de cuotas decrecientes a perpetuidad, cuyo valor converge en 0. Esta decisión
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implica de hecho consumir la totalidad del capital productivo, obteniendo un
consumo cada vez menor basado en una conducta de desahorro.
El caso mas extremo se presenta cuando q = 0, en donde el valor de todas las
cuotas de la renta será igual a 0, a excepción de la primera, por lo que esta
situación no se condice con el concepto de renta, e implicaría de hecho consumir
todo el fondo acumulado de una sola vez, situación que desecharemos totalmente
de nuestro análisis.
Sobre este tema, cabe destacar que en trabajos anteriores, en nuestro análisis
referido a las posibles aplicaciones del cálculo financiero en la Teoría del Ciclo
Vital del Ahorro, excluimos toda conducta que implique un consumo superior al
potencial. Esto se debe a que, a diferencia de la Teoría de Franco Modigliani,
damos una destacada importancia al papel que juegan las herencias en la
planificación del ciclo de vida. Por tal razón no nos detenemos en el estudio de
rentas vitalicias, propio del cálculo actuarial, sino que basamos toda nuestra teoría
en el estudio de las rentas perpetuas.
De lo expuesto podemos afirmar que la única alternativa de decisión viable, si lo
que se desea es incrementar el consumo efectivo, potencial y la riqueza
acumulada a través del tiempo resulta ser:
Aplicando límite cuando “n” tiende a infinito para este caso, tenemos
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Esta es una alternativa de expresar la tasa de consumo en función de la razón de
la progresión geométrica.
Otra forma es la siguiente:
Reemplazamos “q” por su forma equivalente y simplificamos.
Sea cual fuere la forma de expresar lo mismo, la función es la siguiente:
Veamos un Ejemplo numérico
Supongamos una persona que durante todos sus años de juventud aparto una
parte proporcional y periódica de su ingreso anual (dicho ahorro ascendía a la
suma de $12.000) y constituyo una renta de ahorro durante 15 años, para luego
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depositar todo ese fondo acumulado durante 15 años mas, siendo la tasa anual
que ganaron los fondos ahorrados del 18%. Vencido ese plazo de tiempo y
acaecida la edad jubilatoria decide realizar otra inversión que tambien le ofrece un
18% anual, optando por consumir al momento de cobrar la renta el 8% del capital
ahorrado. Esto supone que al ganar un 18%, se estaría reinvirtiendo el 10%
restante, por lo que el fondo acumulado crecerá indefinidamente a esta tasa y por
consiguiente tambien lo hará la proporción de la renta consumida.
De mantenerse esta conducta de reinversión, el ciclo vital del ahorro, al que
hemos hecho alusión en trabajos anteriores, jamás termina, subsistirá aun en la
vejez, ya que el agente económico en cuestión podrá determinarse un nivel de
consumo significativamente mayor al consumo que tuvo durante toda la vida
laboral y capitalizar los excedentes obtenidos, de manera que tanto el nivel de
consumo como el fondo acumulado presenten un comportamiento geométrico o
exponencial perpetuo.
Determinación del valor final de la renta de ahorro:
Determinación del valor de la renta potencial constante y perpetua:
Determinación de las partes consumidas y reinvertidas
En el siguiente cuadro se presenta la evolución del Fondo acumulado y de la
renta de consumo para los primeros 17 años. La columna correspondiente al
rendimiento periódico obtenido construye un consumo potencial si lo que se
desea es mantener constante a perpetuidad el fondo acumulado y los flujos de
fondos resultantes de la inversión del mismo. Puede observarse que de mantener
esta conducta de reinversión el capital y la renta se van incrementando, y que al
cabo de 10 años, la parte de la renta consumida supera a la renta potencial y
perpetua del año uno.
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Aplicaciones a las Finanzas Corporativas: El Modelo Gordón - Shapiro
También conocido como el modelo de los dividendos crecientes a tasas
constantes, es una variación del modelo de análisis de flujos de fondos
descontados, utilizado por la doctrina y practica financiera en los procesos
destinados para valuar acciones o empresas. Es sin dudas uno de los modelos
más conocidos y utilizados en la actualidad para valorizar empresas que
presentan crecimientos moderados, constantes e ininterrumpidos.
Este modelo establece que valor el teórico de una acción esta determinado por
el valor actual de los dividendos futuros que la misma generara, los cuales
supone crecientes a perpetuidad, siendo la tasa de crecimiento constante en
cada periodo. De esta manera, conociendo o estimando la
tasa de
rentabilidad y de crecimiento de la inversión y el dividendo del año próximo es
posible determinar el valor teórico o precio de una acción o empresa.
Expresando Matemáticamente lo antes mencionado, tenemos:
En donde:
• Pn: es
el
valor
teórico
de
una
acción
para
el
año
n.
• Dn: es el dividendo del año n, que se multiplica por (1+g) para obtener el
dividendo del año próximo.
•g: es la tasa anual y acumulativa de crecimiento de los dividendos. En el
presente trabajo nosotros la hemos simbolizado con la letra griega lambda (  ).
• ke: es la tasa de rentabilidad anual de la inversión.
Nótese que la lógica del modelo es la misma a la planteada al momento de
analizar el valor actual de una serie perpetua de términos variables en progresión
geométrica. Si lo que se desea es obtener un flujo periódico creciente a
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perpetuidad, y por ende un crecimiento constante y permanente de la riqueza
acumulada, la razón de crecimiento de los flujos de fondos (q) deberá ser
necesariamente algún valor contenido entre 1 y (1+i):
O lo que es lo mismo, la tasa de crecimiento de los flujos de fondos (g),
simbolizada por nosotros con la letra (
 ), deberá ser mayor que cero e inferior a
la tasa de rendimiento que gana la inversión, que en el caso de las empresas se
corresponde a la tasa de rentabilidad sobre recursos propios, simbolizada con el
nombre de “ROE”.
No obstante a su gran utilidad, este modelo suele ser criticado por no contemplar
situaciones tales como:

la imposibilidad de las empresas para sostener una tasa de crecimiento (g)
constante a largo plazo, y menos aun cuando ese lapso de tiempo tiende a
ser perpetuo, o bien

que la tasa de rentabilidad esperada (ke) alcance un nivel suficiente como
para cubrir las expectativas de revalorización, ya que si se incrementase
esta tasa esperada se reducirá el valor teórico de las acciones y viceversa.
Ante estos casos, las empresas podrían optar por establecer una política de
dividendos basada en el crecimiento sostenido de los mismos, pero contemplando
situaciones temporales en las que se enfrente ante la imposibilidad de continuar
dicho crecimiento; o incluso contemplar su reducción.
El modelo que presentamos a continuación propone una serie de términos
variables en progresión geométrica, presentando variabilidades en la razón en
determinados intervalos, resultando posible valuar empresas que prevén un
comportamiento de variación geométrica en sus dividendos, variable por
intervalos, sin la necesidad de recurrir a la actualización individual de todos los
flujos generados.
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Análisis de algunas variantes en la temática de rentas – Segunda Parte
Imaginemos la situación en la que una persona desea conocer el valor actual de
una renta cuyas cuotas varían en progresión geométrica.
El análisis tradicional nos presenta la siguiente fórmula para resolver dicha
situación:
Ahora bien, puede presentarse la situación en que una renta de cuotas variables
en progresión geométrica presente además intervalos de tiempos en dónde exista
una variabilidad en la razón. Tal situación requerirá de un análisis más
exhaustivo. Imaginemos el siguiente caso:
Una persona desea determinar el valor actual de una renta de cuotas variables en
progresión geométrica que presenta las siguientes características:




Posee una cuota inicial de $100
Las primeras 8 cuotas presentan un comportamiento creciente,
incrementándose un 20% de un período al siguiente, por lo que la
razón de las mismas es igual a q1= 1,20
A partir de la novena cuota se modifica la razón en la progresión de
las mismas, pasando a ser igual a q2= 0,90 por 12 períodos mas.
Transcurrido ese plazo de tiempo, las cuotas comienzan a
incrementarse un 12% periódicamente, siendo la razón de las mismas
igual a q3= 1,12 durante 9 períodos mas.
SOLUCIÓN:
DATOS:
Al variar la razón de la progresión, la cuota siguiente es
determinada en función de la inmediata anterior, multiplicada
por el nuevo valor de la razón, es decir que el valor de la
novena cuota estará determinado por el valor de la octava
cuota multiplicada por 0,9. Transcurrido el tiempo considerado,
el nuevo cambio en la razón determina igual procedimiento de
cálculo de la cuota número 21.
DETERMINACIÓN DEL VALOR ACTUAL:
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Puede observarse que las cuotas en la los primeros 8 períodos crecen a
una tasa del 20%, hasta llegar al momento numero 9 en que comienzan
a disminuir un 10% en forma periódica, hasta llegar al período 21 en que
nuevamente comienzan a crecer a un ritmo del 12%.
Así las cuotas numeró 9, y 21 pueden calcularse de la siguiente manera:
C9 = C8 . 0,90 = C1 . 1,20 8-1 . 0,90 = 100 . 1,207 . 0,9 = 322,49
C21= C20 . 1,12 = C1 . 1,20
113,34
8-1
. 0,90
12
. 1,12 = 100 . 1,207 . 0,912 . 1,12 =
El valor actual de la renta puede determinarse mediante la suma del
valor actual de cada una de las cuotas.
Esta metodología de cálculo no presenta mayores inconvenientes
siempre que los períodos analizados sean pequeños. Cuando la
cantidad de cuotas adquiera un número considerable será necesario
recurrir a otros métodos calculatorios.
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DETERMINACIÓN DEL VALOR ACTUAL DE UNA RENTA DE CUOTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA CON
VARIABILIDAD EN LA RAZÓN (PARA 3 VARIACIONES)
Dada una renta que presente un comportamiento similar al anterior, podemos determinar su valor actual de la siguiente manea:
Partiendo de:
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El valor actual de la renta estará determinado por la siguiente suma:
Sacando factor común en algunos sus términos, tenemos:
Resolviendo cada una de las progresiones geométricas:
Simplificando:
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Llegamos a la siguiente expresión:
La cual puede expresarse de esta manera:
Sacando factor común tambien podemos expresarla de esta otra forma:
(***)
O bien
Esta función nos permite determinar el valor actual de una renta de “n” cuotas variables en progresión geométrica, en donde la razón de
las mismas experimenta tres variaciones en total. Si observamos con atención podemos advertir en (***) que la función sigue un patrón
determinado, por lo que de comprender este comportamiento podríamos establecer la fórmula necesaria para determinar el valor actual
de rentas cuya razón presente un mayor o menor número de variaciones, pero ese no será nuestro caso, pues no deseamos hacer el
tema mas complejo y extenso aún, no obstante quedará propuesto al lector y será presentado en un trabajo posterior.
VERIFICACIÓN:
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DATOS:
Partiendo de la fórmula que hemos determinado procederemos a resolver la situación antes planteada.
Desde este momento comenzaremos a denominarla a la cuota inicial (C1) simplemente
con la letra “C” con el fin de utilizar una misma nomenclatura, ya que la cuota expuesta a
estas variaciones será desde luego la número 1.
Reemplazando cada variable por su respectivo valor:
Hemos llegado mediante la aplicación de nuestra fórmula al valor actual anteriormente
determinado de la renta. Esta función también resultará ser aplicable aun en aquellas
situaciones en las que la suma de los períodos analizados adquiera valores cuantiosos o
incluso perpetuos.
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Advirtiendo los posibles valores que pueden asumir cada una de las razones,
pueden presentarse a modo de ejemplo algunas rentas cuyas cuotas tendrán los
siguientes comportamientos:
Hace instantes decíamos que la utilidad de esta compleja función radica en que
resultará ser aplicable aun en situaciones en las que la suma de los períodos
analizados adquiera valores cuantiosos e incluso perpetuos.
A continuación analizaremos el comportamiento a perpetuidad de dicha función:
DETERMINACIÓN DEL VALOR ACTUAL DE UNA RENTA PERPETUA DE
CUOTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA CON VARIABILIDAD
EN LA RAZÓN (PARA 3 VARIACIONES)
Partiendo de la formula en estudio:
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Aplicaremos el límite cuando n tiende a infinito:
Ahora bien, sabemos que el período “n” analizado no es otra cosa que la suma de
los tres subperíodos de los que este se compone, por lo que:
Si “n” tiende a infinito significa que el comportamiento a perpetuidad será solo
aquel correspondiente al tercer subperíodo, es decir K 3, ya que los períodos
anteriores presentaran un comportamiento determinado por intervalos de tiempos
finitos, por lo que nuestro análisis deberá centrarse solamente en el estudio del
comportamiento a perpetuidad del factor plural de actualización de n cuotas
variables en progresión geométrica correspondiente al tercer período, a saber:
En este punto sólo nos remitiremos a afirmar todo lo analizado anteriormente en
las paginas dedicadas al estudio a perpetuidad de este particular factor plural de
actualización, reconociendo que la única alternativa posible y viable a perpetuidad
está dada cuando 1 < q < (1+i), situación en la que siempre existiría una tasa de
reinversión positiva que permitirá lograr un crecimiento geométrico en las cuotas.
Siempre que 1 < q < (1+i), el valor actual de este factor analizado a perpetuidad
será:
Por lo que la expresión analizada quedará determinada de la siguiente manera:
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Esta fórmula posee importantísimas aplicaciones a las finanzas personales; y por
analogía además resulta ser aplicable a un sinnúmero de casos y situaciones no
contempladas en el presente trabajo, algunas de ellas serán objeto de trabajos
posteriores.
Como aplicación a las Finanzas corporativas, cabe destacar que resulta ser una
variante del “Modelo Gordon – Shapiro” ya que en función del valor de los
dividendos futuros puede determinarse cual es el valor teórico de una empresa o
acción, contemplando variaciones temporales en el valor de los dividendos
distribuidos, es decir que es posible contemplar que la tasa de crecimiento a largo
plazo (g) presente variaciones. A su vez, partiendo de la siguiente expresión de la
formula:
Podemos contemplar la posibilidad de que además de presentarse una variación
en la tasa de crecimiento de los dividendos, puedan presentarse a su vez
variaciones en la tasa de rentabilidad de las inversiones de la empresa en
cuestión, lo cual afectaría el valor presente de la misma.
Por otra parte, conocido el valor teórico actual de la empresa y su tasa de
rentabilidad o ROE, podemos determinar el comportamiento futuro potencial de
las políticas de dividendos, admitiendo variaciones en los mismos sin alterar su
valor actual, lo que permitiría analizar distintos escenarios posibles.
Para terminar, aclaramos al lector que en el presente material solo se han
considerado variaciones en los flujos de fondos futuros, generados por una renta,
de tipo geométrico. No obstante este tipo de variaciones no son suficientes para
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explicar situaciones en las que los dividendos crecen en forma permanente pero a
un ritmo cada vez menor. En la realidad es frecuente observar que los dividendos
presentan comportamientos crecientes en progresión geométrica durante algún
intervalo o lapso de tiempo, después del cual comienzan a crecer a un ritmo más
desacelerado hasta llegar a un punto en el que tienden a converger en un valor
constante. Esta segunda etapa, analizada desde una óptica funcional, presenta
como primera derivada un valor positivo, lo que implica que es una función
creciente, pero su derivada segunda resulta ser negativa, coincidente con el
crecimiento desacelerado mencionado. En estos casos la función presenta un
punto de inflexión, un cambio en la concavidad de la misma y constituye en
esencia el caso más común que la evidencia empírica ha podido demostrar.
Gráficamente:
Esta última situación que hemos descrito resulta ser un caso muy interesante que
por cuestiones de tiempo y extensión del presente material no hemos podido
incluir. Es un caso en el que resulta ser necesario recurrir a la hibridación de
rentas, es decir, a cuotas que varían mediante la multiplicación y suma de valores
constante, ambas cosas a la vez, resultando ser abarcativo de todos los demás
casos, a modo de formula general. Pero eso no será sino hasta la presentación
del siguiente trabajo.
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