1. Educación

Capítulo 13
Transformada Discreta de
Fourier
13.1.
Introducción a la transformada discreta de
Fourier
La Serie Exponencial de Fourier de Tiempo Discreto descompone cualquier
señal discreta y periódica en una combinación lineal de exponenciales complejas.
Tal operación de denomina como “Serie Exponencial de Fourier de Tiempo Discreto” y es mejor conocida como DFT (Discrete Fourier Transform) no obstante,
en las diversas fórmulas que serán tratadas en este capítulo sólo se usará Fe {}.
Hay dos situaciones a considerar en cuanto al uso de la Transformada Discreta
de Fourier::
Sólo sirve para señales potencia del tipo periódico.
La mayoría de las señales a estudiar no son periódicas y sin embargo esta
DTF se usa en su análisis.
13.2.
El fasor
Un fasor es, por definición, la representación gráfica de un número complejo.
Por extensión y mala costumbre, este número complejo también ha adquirido el
nombre de fasor. Así entonces un fasor es una entidad matemática que encapsula
dos señales sinusoidales defasadas entre sí 90 grados. En el presente capítulo se
estudiarán dos tipos de fasores:
Aquellos que representan una oscilación a una frecuencia única: fasor de
tono puro.
Aquellos que representan una amplitud y una fase.
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208
CAPÍTULO 13. TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER
Figura 13.1: Representación gráfica de un fasor.
El producto de ambos fasores es lo que posteriormente se definirá como componente espectral.
13.3.
El fasor de tono puro
El fasor de tono puro es una representación matemática para una oscilación
a una unica frecuencia. La amplitud de esta oscilacion es unitaria.
13.3.1.
Definición de fasor de tono puro
Definición 13.1 El fasor, en notación de Euler,se caracteriza por una magnitud y un ángulo conocido mejor como fase. El fasor que se usa para definir
la Transformada Discreta de Fourier tiene magnitud unitaria y la fase es la
N-ésima fracción de circunferencia. N corresponde con el número de muestras
que se obtuvieron de una señal periódica. Matemáticamente se puede expresar:
2π
ej N n
(13.1)
La figura 13.1 ilustra el fasor de la ecuación 13.1.
13.3.2.
Recorridos del fasor de tono puro
Definición 13.2 El recorrido temporal de un fasor es un conjunto de
de N fasores equidistantes. Este conjunto también representa todas las posibles
posiciones de un fasor sobre una circunferencia. El n-ésimo fasor del recorrido
se representa mediante la variable n, misma que toma valores en el intervalo
0...N − 1.
Las relaciones indicadas en la figura 13.2 muestran las posiciones para N
fasores, en donde N es cualquier entero mayor de 2.
13.3.3.
Nulidad frente a la suma de los recorridos
Teorema 13.1 Nulidad del recorrido frente a la suma. La suma de N fasores equidistantes de un recorrido es nula. Matemáticamente se puede escribir:
13.3. EL FASOR DE TONO PURO
ej
ej
ej
2π
2 n
2π
3 n
2π
4 n
; n = 0, 1
; n = 0, 1, 2
; n = 0, 1, 2, 3
Figura 13.2: Recorridos de fasores para N=2, N=3 y N=4.
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210
CAPÍTULO 13. TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER
N −1
2π
ej N n = 0
(13.2)
∀N ≥ 2
n=0
A modo de demostración, si se observan los recorridos de los fasores, para
cada caso de N , en la figura 13.2, podrán validarse fácilemtne las sumas siguientes:
N −1
N −1
ej
2π
2 n
2π
3 n
ej
=
n=0
n=0
13.3.4.
N −1
ej
=
2π
4 n
=0
n=0
Rapidez de giro
En la serie exponencial de Fourier de tiempo continuo, una señal se compone
de de una combinación lineal de fasores que giran en frecuencias múltiplo. Lo
mismo ocurre en la transformada discreta de Fourier.
Definición 13.3 La rapidez de giro de un fasor se refiere a cuantas vueltas
puede describir un fasor en un recorrido de n = 0 . . . N −1. La máxima cantidad
de giros que puede describir el fasor en un recorrido es N − 1. Matemáticamente
se expresa como:
ejk
2π
4 n
;
(n = 0, 1, . . . N − 1) ˆ (k = 0, 1, . . . N − 1)
(13.3)
Para ilustrar el concepto de cantidad de giros, suponga un recorrido de N = 8
fasores. Las cantidades de giros para k = 0 . . . 7 se ilustran en las figuras 13.3 y
13.4.
13.3.5.
Nulidad de la cantidad de giros frente a la suma
Teorema 13.2 Nulidad de la cantidad de giros frente a la suma. La
suma de de los fasores pata toda cantidad de giros es nula excepto para k = 0.
Matemáticamente se puede escribir que:


k=r
N −1
 N
n
jk 2π
8
∀k = 0 . . . N − 1
(13.4)
=
e


n=0
0
k=r
Escrito de una forma compacta y útil se tiene que:
N −1
ejk
2π
8 n
= N δ (k)
∀k = 0 . . . N − 1
(13.5)
n=0
donde δ (k) es la función pulso unitario.
Como puede observarse en las figuras 13.3 y 13.4, si se suman los fasores
para toda rapidez de giro se encontrará que el total es nulo, excepto para k = 0.
13.3. EL FASOR DE TONO PURO
ej0×
2π
8 ×n
;n = 0...7
ej1×
2π
8 ×n
;n = 0...7
ej2×
2π
8 ×n
;n = 0...7
ej3×
2π
8 ×n
;n = 0...7
211
Figura 13.3: Efectos de las rapideces de giro k = 0 . . . 3 para el caso de N = 8.
212
CAPÍTULO 13. TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER
ej4×
2π
8 ×n
;n = 0...7
ej5×
2π
8 ×n
;n = 0...7
ej6×
2π
8 ×n
;n = 0...7
ej7×
2π
8 ×n
;n = 0...7
Figura 13.4: Efectos de las rapideces de giro k = 4 . . . 7 para el caso de N = 8.
13.3. EL FASOR DE TONO PURO
13.3.6.
213
Periodicidad temporal
Teorema 13.3 Periodicidad temporal. El fasor, al girar circularmente presenta la propiedad de periodicdad temporal, es decir:
2π
2π
ejk N (n+αN ) = ejk N n
(13.6)
αǫZ
Para demostrar la fórmula considérese el siguiente desarrollo.
2π
ejk N (n+αN )
13.3.7.
2π
2π
=
ejk N n+jk N αN
=
ejk N n+jk2πα
=
ejk N n ejk2πα
=
ejk N n
2π
2π
2π
Periodicidad angular
Teorema 13.4 Periodicidad angular. El fasor, al girar circularmente presente la propiedad de periodicidad respecto de la cantidad de giros, es decir:
2π
2π
ej(k+βN ) N n = ejk N n
(13.7)
Para demostrar la fórmula considérese el siguiente desarrollo.
2π
ej(k+βN ) N n
13.3.8.
2π
2π
=
ejk N n+jk N βN
=
ejk N n+jk2πβ
=
ejk N n ejk2πβ
=
ejk N n
2π
2π
2π
Ortogonalidad
2π
2π
Teorema 13.5 Ortogonalidad. Dados los fasores ejk N n y ejk N r , éstos serán
ortogonales si se satisface que el producto punto de sus respectivos recorridos es
nulo para cuando k = r, es decir:
N −1
2π
2π
ejk N n ejk N r =
n=0


 N;
k=r
0;
k=r


(13.8)
Escrito en una manera más compacta y útil se tiene que:
CAPÍTULO 13. TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER
214
N −1
2π
2π
ejk N n ejk N r = N δ (k − r)
(13.9)
n=0
donde δ () es la función pulso unitario.
La respectiva demostración se deja al lector.
13.4.
Deducción de la Transformada Discreta de
Fourier
13.4.1.
Componente espectral
13.4.2.
Fórmula de síntesis de la DFT: transformada inversa
Teorema 13.6 Síntesis de una serie de muestras de una señal peroiódica. Dada una serie discreta y periódica de N números reales x = {x (0) , x (1) , . . . x (N − 1)},
cada muestra se puede expresar como una combinación lineal de fasores con
diferentes cantidades de giros. Matemáticamente se tiene que la n-ésima muestra se calcula como:
N −1
2π
X (k) ejk N n ;
x (n) =
(13.10)
n = 0, 1, . . . N − 1
k=0
siendo:
N el número de muestas en un periodo
X (k) el k-ésimo factor de peso de la combinación lineal. X (k) es un
número complejo.
13.4.3.
Ejemplo:
Desarrolle la serie exponencial para una señal compuesta de 4 muestras.
Siguiendo la ecuación 13.10 se tiene que el desarrollo de la combinación lineal
para la n-ésima muestra es:
x (n) = X (0) ej0
2π
4 n
+ X (1) ej1
2π
4 n
+ X (2) ej2
2π
4 n
+ X (3) ej3
Si ahora se desarrollan todas las posibles series se tiene:
2π
4 n
(13.11)
13.4. DEDUCCIÓN DE LA TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER215
x (0)
=
X (0) ej0
2π
4 0
+
X (1) ej1
2π
4 0
+
X (2) ej2
2π
4 0
x (1)
=
X (0) ej0
2π
4 1
+
X (1) ej1
2π
4 1
+
X (2) ej2
x (2)
=
X (0) ej0
2π
4 2
+
X (1) ej1
2π
4 2
+
X (2) ej2
2π
2π
X (3) ej3
2π
4 0
2π
4 1
X (3) ej3
2π
4 1
2π
4 2
X (3) ej3
2π
4 2
+
2π
2π
x (3) = X (0) ej0 4 3 + X (1) ej1 4 3 + X (2) ej2 4 3
X (3) ej3 4 3
(13.12)
Puede notarse que para aproximar todas las muestra de la señal de estudio
se deben realizar un total N × N de productos complejos.
13.4.4.
Fórmula de análisis: transformada directa
Teorema 13.7 Fórmula de análisis de una señal períodica. Considerea
ahora la secuencia de N números reales x = {x (0) , . . . , x (n) , . . . , x (N − 1)},
los cuales son muestras de una señal analógica y periódica. Tal secuencia debe
transformarse en la secuencia de N números complejos X = {X (0) , . . . , X (k) , . . . , X (N − 1)}
según la fórmula.
N −1
2π
x (n) e−jk N n ;
X (k) =
k = 0, 1, . . . N − 1
(13.13)
n=0
siendo:
N el número de muestas en un periodo
x (n) es la secuencia de muestras de una señal periódica
X (k) es la secuencia de muestras del espectro de una señal periódica
Definición 13.4 Componente espectral en ángulo k 2π
N es una señal compleja cuya magnitud es y cuya fase es Matemáticamente se define como:
2π
X (k) ejk N n
(13.14)
Definición 13.5 Espectro de una señal discreta periódica. es el conjunto
de todas las componentes espectrales de una señal discreta y periódica.
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CAPÍTULO 13. TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER