1. Educación

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DEL CHOCÓ
“DIEGO LUÍS CÓRDOBA”
FACULTAD DE EDUCACIÓN
PROGRAMA DE MATEMÁTICAS Y FÍSICA
MODALIDAD DISTANCIA
MODULO II
DIDÁCTICA DE LAS MATEMÁTICAS Y EVALUACIÓN I
PREPARADO POR:
GUILLERMO GÓMEZ PEREA
ESPECIALISTA EN MATEMÁTICAS AVANZADAS
QUIBDÓ 2009
TABLA DE CONTENIDO
Págs.
INTRODUCCION
5
CAPÍTULO I
PANORAMA ACTUAL DE LA ENSEÑANZA DE LA GEOMETRIA
7
TENDENCIAS DE LA GEOMETRIA
10
ALGUNAS ORIENTACIONES PARA LA ENSEÑANZA DE LA
GEOMETRIA.
12
EFECTOS DE LA GEOMETRIA ESTÁTICA
14
LOS MODELOS DE VAN HIELE EN LA ENSEÑANZA DE LA GEOMETRIA
18
ORIENTACIONES PARA EL PROCEDIMIENTO
20
CAPITULO II
1. CONCEPTOS ELEMENTALES DE LA GEOMETRIA BÁSICA QUE REQUEIREN
21
REVISIÓN
22
2. VECINDAD, CERCANIA Y LEJANIA.
3. REFLEXIONES
SOBRE
ALGUNOS
CONCEPTOS
QUE
GENERAN
24
OBSTACULOS DIDÁCTICOS EN GEOMETRIA
4. ACTIVIDADES QUE APORTAN AL MEJORAMIENTO DE LA ENSEÑANZA Y EL
25
APRENDIZAJE DE LA GEOMETRIA.
1
CAPITULO III
31
TRANSFORMACIONES GEOMETRICAS EN EL PLANO.
SIMETRIA Y REFLEXIÓN.
31
TRASLACIÓN.
45
ROTACIÓN
59
HOMOTECIAS
71
ORIENTACIONES
PARA
LA
ENSEÑABILIDAD
DEL
ALGEBRA
DE
BACHILLERATO.
CAPITULO IV
ANÁLISIS SOBRE LO QUE ESTA PASANDO Y DEBERÁ PASAR CON EL
74
ÁLGEBRA DE BACHILLERATO
CAPITULO V
79
TRATADO SOBRE LA ENSEÑABILIDAD DE LAS ECUACIONES
ADIVINANZAS CON NÚMEROS NATURALES
80
ADIVINANZAS CON NÚMEROS ENTEROS
81
83
ADIVINANZAS CON NÚMEROS RACIONALES
OTRAS ADIVINANZAS
84
88
ADIVINANZAS QUE SON SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
ORIENTACIONES PARA TRABAJAR LAS ECUACIONES DE SEGUNDO
GRADO
ADIVINANZAS CUADRÁTICAS PURAS
90
ADIVINANZAS CUADRÁTICAS COMPLETAS
94
2
EJEMPLOS DEL PRIMER CASO
97
105
EJEMPLOS DEL SEGUNDO CASO
EJEMPLOS DEL TERCER CASO
110
115
PARTIR, CUADRAR Y RESTAS
FORMA GENERAL PARA EL PRIMER CASO
117
119
FORMA GENERAL PARA EL SEGUNDO CASO
FORMA GENERAL PARA EL TERCER CASO
120
CAPÍTULO VI
ACOMPAÑANDO
A
LOS
ESTUDIANTES
EN
SUS
EXPERIENCIAS
122
ALGEBRAICAS CONCRETAS UTILIZANDO LOS BLOQUES DE DIENES.
REPRESENTEMOS EXPRESIONES ALGEBRAICAS
124
126
SUMEMOS Y RESTEMOS POLINOMIOS DE PRIMER GRADO
HACIA LA SUMA Y LA RESTA DE POLINOMIOS DE SEGUNDO GRADO
129
130
HACIA LA MULTIPLICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
EXPLORANDO LA FACTORIZACIÓN COMO EXPERIENCIA MATEMÁTICA
134
CONCRETA
ANÁLISIS
Y REPRESENTACIÓN
DE LOS LLAMADOS
PRODUCTOS
145
NOTABLES
BIBLIOGRAFIA
148
3
ENSEÑANZA DE LOS CONCEPTOS CLAVES
DE LA GEOMETRIA BÁSICA
4
INTRODUCCIÓN
Este modulo de didáctica de las matemáticas II es la continuación de la
propuesta plasmada en el modulo I, ya que aborda detalles específicos
del tratamiento metodológico de los estándares básicos de competencias
definidos para algunos grupos de grados de los niveles de educación
básica y media.
El documento plantea estrategias metodológicas creativas desde una
visión activa del aprendizaje sin descartar la generalización formal y
rigurosa a las que deben confluir las construcciones del pensamiento
matemático.
El modulo consta de cuatro capítulos; en el primero se trabaja una
fundamentación sobre la enseñabilidad de la geometría básica. En el
segundo se hace interesantes precisiones teórico–practicas sobre el
tratamiento metodológico de las transformaciones geométricas en el
plano.
El tercero trata sobre la enseñabilidad de las ecuaciones en la educación
básica desde una visión activa y poco convencional que seguramente
moviliza el interés de los estudiantes por el trabajo en estos campos.
5
En el cuarto capítulo se trabaja una propuesta que orienta sobre como
acompañar a los estudiantes en sus experiencias algebraicas utilizando
los bloques de Dienes.
Por último me complace compartir con mucha modestia y agrado este
trabajo (modulo I y II) que lógicamente no es un producto terminal sino la
sistematización de esfuerzos que día a día he realizado en la intensión
de aportar en la solución de los complejos y múltiples dificultades de
aprendizaje que hoy aquejan a esta disciplina.
6
CAPITULO I
FUNDAMENTACIÓN SOBRE LA ENSEÑABILIDAD DE LA
GEOMETRIA
 PANORAMA ACTUAL
La geometría que desde sus principios ha sido considerada ciencia del
espacio por haber sido utilizada para describirlo y medirlo, y que hoy ha
avanzado como teoría de ideas y métodos es ignorada en las
instituciones educativas a pesar de ser reconocida como una potente
“herramienta del entendimiento muy ligada a la realidad con crecientes
niveles de rigor, abstracción y generalización”.
Los procesos de enseñanza y aprendizaje de la geometría están
centrados en la presentación y revisión de nociones elementales de
figuras simples y sus propiedades. En parte todo esto se debe a que
entre 1960 y 1980 se introdujeron importantes cambios en los currículos
de matemática, por ejemplo se introdujo la probabilidad, la estadística y
la computación, entre otras; disminuyendo sustancialmente el número de
horas y el rigor que antes se le asignaba a esta rama de las
matemáticas.
Hoy se reporta un desempeño relativamente pobre por parte de los
estudiantes en esta disciplina a pesar de los “intentos emprendidos por
diversos colectivos institucionales para mejorar su enseñanza y
recuperar el olvido intencional al que la comunidad didáctica lo había
relegado en la década de los sesenta” (Chamorro M. C. 2003)
7
En los diferentes niveles de enseñanza se detectan entre otras las
siguientes deficiencias:
La dificultad para generalizar, que persiste más allá de la
educación básica.
La falta de diferenciación entre los conceptos métricos y los
geométricos
El ausentismo de la geometría activa y proyectiva o topológica
La enseñanza irreflexiva de formulas para el cálculo áreas y
volúmenes.
El uso de un lenguaje que distorsiona el sentido geométrico de los
conceptos desde los más elementales.
Por lo anterior es necesario:
Aumentar el rigor en el planeamiento y estructuración de los
conceptos y competencias a desarrollar en los niños al tiempo que
supere la confusión lingüística y conceptual que presentan.
Erradicar la dependencia que tienen docentes y alumnos del libro
de texto como elemento determinante del currículo con miras a la
mejor planificación de las actividades escolares.
8
El diseño y construcción de materiales didácticas específicas para
la construcción de los conceptos geométricos de modo que el
aprendizaje de esta materia se llene de sentido, consistencia y
rigor.
Reorientar los procesos de enseñanza de la geometría infantil
hacia la formación de bases fuertes para la construcción de
conceptos y manejo del espacio.
Incluir el estudio de la geometría desde los primeros años de
escolaridad
hasta
los
últimos
grados
de
secundaria,
preferiblemente con horario separado.
Fomentar el estudio de la geometría de carácter cualitativo e
informar que asegure la formación de conceptos e imaginación
espacial
Los estudios de geometría deben ser continuos sin periodos de
inactividad.
Diversificar relacionando la geometría bi y tridimensional
9
 TENDENCIAS DE LA GEOMETRIA
Es claro que la enseñanza de la geometría en el nivel de educación
básica ha sufrido cambios significativos con el abandono de la geometría
axiomática de Euclides se han venido desarrollando una combinación de
enfoques que si bien introducen avances importantes tendientes a
desarrollar en los estudiantes el pensamiento espacial sea disminuido
sustancialmente el rigor y la argumentación en los programas
curriculares donde aun conserva un espacio la geometría.
Bien se podría decir que existen dos tendencias; una teórica defendida
por los investigadores y didactas y otra práctica que es la desarrollada
por los docentes respondiendo a su particular decisión de hacer lo que
saben acorde con lo que logran entender de las propuestas planteadas
por las editoriales en los libros de texto. Desde el comienzo de la
renovación curricular el grupo asesor del Ministerio de Educación
integrado entre otros por el Doctor CARLOS E. VASCO y TERESA LEON
PEREIRA se ha venido planteando la necesidad de mejorar las practicas
de enseñanza para la geometría de la educación básica; haciendo
especial énfasis en las transformaciones en el plano (reflexión, traslación,
rotación y homotecias), además del dominio tridimensional del espacio.
Todo desde las perspectivas de la geometría activa, proyectiva y
cartesiana. Para lo cual se planteo organizar los contenidos del área de
matemática a través del concepto de SISTEMAS. De allí que todavía en
algunos textos se hable de sistemas geométricos, métricos, de datos,
10
numéricos, etc. Esto sin querer también ayudo a dejar de lado la
geometría ya que aunque aparece en todos los grados el docente se
considera libre de desarrollar o no estos conceptos y sí los trabaja el
mismo decide sin mucha reflexión el nivel de complejidad o profundidad
que se le dará al proceso.
En la actualidad, aunque los tópicos de geometría ya no están unidos
alrededor del concepto de sistemas sino que son vistos desde la
perspectiva
de
PENSAMIENTO
GEOMETRICO
se
sigue
dando
preponderante importancia a las transformaciones y a la exploración y
manejo del espacio bi y tridimensional que son de incuestionable
importancia para el avance de la humanidad, en una época en que se
espera que la asignatura ayude a describir, entender e interpretar el
mundo real y sus formas.
11
 ALGUNAS ORIENTACIONES PARA LA ENSEÑANZA DE LA
GEOMETRIA
La geometría por ser una rama de las matemáticas, su enseñanza debe
atender algunos criterios u orientaciones generales para la enseñanza
del área; y que entre ellas se destaca “no empezar por los sistemas
simbólicos para tratar de que el alumno construya los sistemas
conceptuales, sino comenzar por los sistemas concretos que el maneja,
así el docente los considere muy elementales, empíricos y pre
matemáticos para que a través de la familiaridad con las regularidades
de esos sistemas concretos vaya construyendo el sistema conceptual
respectivo. Una vez iniciada las construcciones de éste, el mismo alumno
pueda desarrollar los sistemas simbólicos apropiados, aprender los
usuales y traducir de un sistema simbólico a otro” (Vasco U. Carlos E.,
1991)
Ya en el plano de las orientaciones especificas para la enseñanza de los
tópicos de geometría existe la posibilidad de utilizar el enfoque intuitivo o
el formal de acuerdo al nivel de desarrollo intelectual de los niños con
que se trabaje, aunque es recomendable dar un cambio gradual de la
intuición al formalismo durante el desarrollo del programa a lo largo de la
educación básica.
Para Chamorro, Mª (2003) entre las bases fundamentales que sustentan
el desarrollo de una didáctica específica para la geometría se tiene:
12
Una geometría dinámica frente a la geometría tradicional
(Castelnuovo, D’Amore)
Una geometría interfigural e intrafigural frente a la geometría
exfigural propia de la enseñanza tradicional (Piaget y García,
Vecino)
Una geometría que tenga en cuenta el carácter deductivo
intrínseco al razonamiento geométrico pero también el carácter
inductivo que pueden generar los diversos procesos o materiales
propuestos para el desarrollo de la misma (Alsina et al).
Una
geometría
caracterizada
por
los
grupos
invariantes
(topológicos, proyectivos o métricos) considerados de antemano,
sin establecimiento de prelación alguna en las secuencias
didácticas organizadas al alfabeto (vecino, D’Amore)
Una
geometría
fundada
en
procesos
de
percepción,
de
representación, de construcción, de reproducción y de designación
de los entes geométricos considerados en cada caso (Alsina et d.,
castel nuevo)
Dichas didácticas sugeridas suponen el uso de materiales diversos
como: geoplano, tangram, bloques lógicos, polinomios y policubos, entre
otros.
En primer lugar se trata de llevar la geometría a escenarios distintos del
<marcador y tablero> se trata de hacer una geometría con movimientos,
13
formas y mediciones reales que permitan la comprensión de los
conceptos bajo la óptica del análisis y reflexión de lo cotidiano.
 EFECTOS DE LA GEOMETRIA ESTATICA
Una consecuencia de la geometría estática es el predominio de la
concepción de algunos autores llaman geometría grávida en la gente del
corriente, en los estudiantes y aun en un gran porcentaje de los docentes
de los niveles de educación básica del mundo.
Ejemplos de geometría grávida consisten en que se esta inclinado a
pensar que:
L a base de una figura debe ser uno de sus lados, de allí que
pocas veces se observa que un niño dibuje una figura como los
siguientes:
La base de un rectángulo es siempre mayor que la altura, por lo
que pocas veces hacen esta clase de dibujo.
14
Los polinomios siguientes no son iguales porque no identifican uno
como la reflexión del otro.
Esto no es un cuadrado sino un rombo
Estos son los únicos cuadrados que se pueden construir en la figura
siguiente:
15
Siendo que es posible construir mucho mas y desde otras ópticas, por
ejemplo:
Por la misma razón son más las personas que identifican fácilmente la
altura en el triangulo ABC que en el MNO
16
O
C
A
B
M
N
La concepción que conlleva a construir estas clases de figuras desde el
punto de vista estático esta basada en la errada percepción o sensación
de que las figuras se pudieran caer o desmoronar. De allí el nombre de
geometría grávida (la gravedad hace caer las cosas sino logran el
equilibrio, para lo cual es importante el centro de gravedad).
Para VECINO, F (1996) citado por CHAMORRO, M a (2003). La ausencia
de un nivel suficiente de representación intrafigural tiene efectos
generadores de obstáculos didácticos como:
La estaticidad de la figura, causada por la geometría estática que se
propone en el tablero y los libros de textos.
La no consideración de las figuras constituidas de otras vías, que
impiden relacionar distintas figuras atendiendo a criterios de
composición y descomposición.
La independencia de las figuras entre sí, constituyendo cada una un
ente aislamiento de los demás.
17
 LOS NIVELES DE VAN HIELE EN LA
ENSEÑANZA DE LA GEOMETRIA
Otro fundamento teórico importante para mejor el proceso de
construcción de conceptos geométricos, es el modelo de aprendizaje de
Van Hiele con sus respectivos niveles y fases de aprendizaje.
La ventaja de este modelo radica en que las investigaciones señalan que
el docente con los contenidos y las orientaciones del modelo puede
provocar el paso de un nivel a otro en cualquier edad.
Según BRAGA, G. M (2003), los niveles del modelo que permiten la
evolución del pensamiento geométrico de los estudiantes son los
siguientes:
Nivel O (VISUAL): Reconocimiento de figuras o visualización, esto
mediante la percepción y reconocimiento de atributos.
18
Nivel 1 (Descriptivo /analítico): Análisis y razonamiento informal
acerca de las figuras y sus propiedades, involucrando la
representación interna y externa de las figuras.
Nivel 2 (Relacional) clasificación o abstracción de figuras diversas.
Nivel 3 (Deducción) estudio riguroso de la geometría axiomática
Nivel 4 (Rigor)
Este modelo plantea organizar las actividades de enseñanza mediante
las siguientes fases de aprendizaje:
INFORMACIÓN O DISCERNIMIENTO
En esta fase se pone a disposición del alumno el material contexto de
aprendizaje.
ORIENTACIÓN DIRIGIDA
Se selecciona el material y las nociones a trabajar en funciones del nivel
de razonamiento de los alumnos
EXPLICACIÓN
Conduciendo el dialogo en la clase se busca que el alumno se apropie
del lenguaje geométrico pertinente.
ORIENTACIÓN LIBRE
19
Se proporciona al alumno los materiales con varias posibilidades de uso
y el profesor dará instrucciones que permitan diversas formas de
actuación por parte de los alumnos.
INTEGRACIÓN
Se invita a los alumnos a reflexionar sobre sus propias acciones
 ORIENTACIONES PARA EL PROCEDIMIENTO
Se debe partir del hecho de que los estudiantes poseen significativos
conceptos y propiedades de los objetos materiales.
El docente debe partir de la experiencia previa de los alumnos.
Se debe diseñar actividades de enseñanza – aprendizaje en el aula
teniendo en cuenta el nivel lingüístico y razonamiento de los alumnos.
Se debe procurar conocer la forma espontánea en que los alumnos
han estructurado el espacio y a partir de allí incentivar a construir
estructuras visuales geométricas.
Se permitirá trabajar con material concreto solo para construir la
teoría.
20
 REVISIÓN DE CONCEPTOS BASICOS DE LA GEOMETRIA
DESDE UNA PERSPECTIVA DIDACTICA
 RELACIONES ESPACIALES. Las relaciones espaciales se clasifican
en topológicas, proyectivas y métricas.
 RELACIONES TOPOLOGICAS. Son las que se enmarcan en el
ámbito de la TOPOLOGIA “que es la geometría de la distorsión y
estudia las propiedades fundamentales que se encuentran inalteradas
cuando estiramos, retorcemos o cambiamos de cualquier otra manera
el tamaño y forma de un objeto “(Didáctica y matemática 2004).
También se puede decir que la topológica estudia las propiedades
cualitativas de la forma como: región interna y externa, cierre o envoltura
(contorno o frontera).
VEAMOS
Si se tiene una bola de plastilina se puede deformar obteniendo otra
figura geométrica, esto sin hacer rupturas o añadiduras.
Sus cualidades topológicas (invariantes) son superficie o región y
contorno o frontera.
21
FORMA. Es la manera de determinar un espacio uni-bi o
tridimensional,
representándolo
con
objetos,
dibujos
o
abstracciones.
CONTORNO Ó ENVOLTURA. El trazo o cierra que determina la
región interna y externa de una figura.
SEPARACIÓN. Es el trazo interno que separa una pieza de otra
VECINDAD, CERCANIA Y LEJANIA
Cuando dos o mas figuras comparten una separación son vecinos,
cuando hay un punto en común son cercanos, y cuando no tienen punto
en común independiente de la distancia son LEJANOS.
 GRAFO. Es un arreglo sagital compuesto de puntos unidos por
líneas.
Un grafo consta de las siguientes partes:
22
NUDO O VERTICE. Es el punto de donde salen o llegan las líneas
(arista o arco). El nudo es par si a él llega un número par de aristas y
de lo contrario es impar.
Cuando en un grafo todos sus nudos son pares el grafo es par de lo
contrario es impar.
El grafo par es siempre recorrible, se puede salir, recorrer y llegar al
mismo punto.
ARISTA. Es la recta o curva que conecta a los nudos.
REGIÓN. Es el espacio delimitado por aristas
RELACIONES PROYECTIVAS. Las relaciones de tipo proyectivo
consisten en desarrollar habilidades en el saber ver (visualizador) y el
saber representar (dibujar-construir) y es el hemisferio derecho del
cerebro el encargado de estructurar este tipo de relaciones.
RELACIONES METRICAS. Son todas las comparaciones entre
formas de acuerdo al parámetro de cantidad (medir es comparar
variantes cuantificables). Aquí se incluyen los conceptos de la línea de
longitud, área, perímetro, volumen es espacios uni-bi t tridimensional
23
 REFLEXION
SOBRE
ALGUNOS
CONCEPTOS
QUE
GENERAN
OBSTACULOS DIDÁCTICOS EN GEOMETRIA
En geometría como en muchas otras asignaturas tanto de las
matemáticas como de otras áreas se tienen concepciones imprecisas y
faltas de rigor no solo por los estudiantes y gentes del común si no
también por parte de docentes de los niveles de primaria y aun de
secundaria.
Con mucha frecuencia se usan como sinónimos:
 ÁREA Y SUPERFICIE. La superficie es una de las propiedades de las
figuras planas referida a la región delimitada por el contorno; es un
concepto geométrico y que por ser una magnitud es medible y esta
medida bidimensional es el área que es un concepto métrico.
Sino se maneja adecuadamente esta conceptualización y su respectivo
lenguaje, cuando se habla de área o superficie no se sabe si se refiere a
la magnitud o a su medida.
 CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO. La circunferencia es una línea, un trazo
longitudinal que cumple ciertas exigencias y el círculo es una región,
una superficie encerrada por la circunferencia.
 LONGITUD Y DISTANCIA. La longitud es la medida de lo lleno
<presupone medir el objeto> y la distancia es la medida de lo vacío <
presupone medir la separación entre dos objetos o puntos tomados
como referencia>
24
 ACTIVIDADES
QUE
APORTAN
AL
MEJORAMIENTO
DE
LA
ENSEÑANZA Y EL APRENDIZAJE DE LA GEOMETRÍA
Generalmente el profesor de geometría se dedica a enseñar conceptos
como si se tratara de cualquier otra asignatura, pero para los fines que
persigue la tendencia actual de esta rama de las matemáticas el trabajo
se debe orientar desde el hacer los estudiantes que es la manera como
estos pueden desarrollar sus competencias espaciales.
Por lo anterior se recomienda reforzar coherentemente el plan curricular
con actividades que involucren la visualización, representación, relación y
composición de figuras mediante situaciones concretas, graficas y
abstracciones ya que “la educación visual desde edades tempranas tiene
un impacto sobre el pensamiento geométrico en edades posteriores”
Las actividades que se sugieren a continuación solo son guías para que
el docente tome como referencia creativa y a partir de allí desarrolle una
gama de posibilidades didácticas.

SITUACIONES DIDÁCTICAS
Use el geoplano para:
-
Estudiar el principio de conservación de cantidad.
-
Concepto de área de una figura plana
-
Relacionar área con perímetro
-
Polígonos cóncavos y convexos
-
Determinar formular para calcular el área de figuras planas.
25
Use las piezas del tangram para relacionar y componer figuras,
trabajar con ellos conceptos topológicos elementales.
Trabaje en el plano concreto y simbólico situaciones que incluyan el
manejo del espacio uni-bi y tridimensional. Ej.:
Cuerdas (uni) - loterías (bi) – cubo (tri) manipulando y dibujando.
Utilizando plastilina u otro semejante deforme objetos conservando
sus propiedades topológicas.
Haga que los estudiantes analicen y construyan grafos.
Identificando sus características
Use figuras y grafos intra e inter figúrales
Use polinomios y policubos para construir todas las figuras posibles
con un determinado número de fichas.
Haga construir por sus estudiantes las piezas del tangram y que
compongan todas las figuras posibles.
Investigue si sus estudiantes tienen concepciones de geometría
grávida y trabaje con ellos geometría activa; tanto en situaciones
concretas como graficas.
Construya cuadrados con lados irracionales
26
Haga que sus estudiantes a dentro de una figura construyan todos los
triángulos o cuadrados posibles.
Utiliza la formula de pick para deducir el área de una región cualquier
sobre un geoplano, a partir del número de puntos interiores y el
número de puntos del contorno.
FORMULA DE PICK. El área de una región i puntos interiores y c en
contorno es igual a:
C + (i-1) unidades cuadrada
2
Transformar progresivamente figuras representadas en un geoplano
(lamina de latón, aligeres o puntillas fijadas y articuladas, hilo con
nudos corredizos, etc.), se trata de construir superficies geométricas a
partir de un perímetro constante, es decir, deformar superficies
materializada con ayuda de un hilo y una plancha de clavos con
conservación del perímetro.
27

RECURSOS Y MATERIALES
EL GEOPLANO
LAS PIESAS DEL TANGRAN
Se deben componer y descomponer en triángulos isósceles.
Triángulos isósceles para componer todas las piezas del tangran
28
GRAFOS
POLINOMIOS
TRIÁNGULOS INTERIORES
29
30
CAPITULO III
TRANSFORMACIONES GEOMETRICAS EN EL PLANO
Se llama transformaciones geométricas en el plano a los diferentes
movimientos rígidos que una figura geométrica puede hacer tomando
posiciones diferentes.
Estas transformaciones se manifiestan mediante diferentes movimientos
de figuras geométricas en el plano de coordenadas: una figura puede:
reflejarse mediante la reflexión, rotarse mediante la rotación, desplazarse
mediante la traslación y ampliarse o reducirse mediante la homotecia;
que es el mismo caso en el cual la figura sufre modificaciones pero solo
en su tamaño.
 SIMETRÍA Y REFLEXION
 FIGURAS SIMETRICAS.
Si se logra que en una figura se puedan
distinguir dos partes iguales pero contrapuestas entonces se dice que
esa figura es SIMETRICA. Por ejemplo el rostro de una persona se
considera simétrica.
31

IDENTIFIQUEMOS FIGURAS SIMETRICAS Y NO SIMETRICAS
Simetría
No simetría
No simétrico
Simétrica

EJES DE SIMETRÍA EN UNA FIGURA
La recta que permite identificar las figuras simétricas recibe el nombre de
eje de simetría. Y pueden ser desde uno hasta infinito.
32
 REFLEXION. La reflexión es el proceso mediante el cual se puede
obtener una IMAGEN SIMETRICA a la figura, es también llamada
“efecto espejo”. Cuando la reflexión se realiza respecto a una recta
(eje de reflexión) se dice que entre la figura y la imagen existe una
simetría AXIAL. y si se realiza respecto de un punto (centro de
reflexión) se dice que la simetría es CENTRAL. Véase:
 SIMETRÍA AXIAL
El eje es mediatriz de AA´ y AA´ es perpendicular al eje.
 SIMETRÍA CENTRAL
0, es punto medio del segmento AA´ , de CC´ y de BB´
33
SUGERENCIAS DIDACTICAS PARA LA REFLEXION AXIAL
 REFLEXION ACTIVA
● Al colocar un objeto frente a un espejo vertical se observa una imagen
simétrica de este objeto.
● Si se toma una hoja y sobre ella se hace una figura con lápiz, al
doblar la hoja se puede obtener una imagen simétrica de esa figura;
calcando la figura inicial.
● Si se traza una línea recta y a uno de sus lados se traza una figura, al
proyectar los puntos al otro lado de la recta con medidas se consigue
también reflejar la figura.
Las imágenes del objeto o de la figura de los anteriores ejemplos, se han
obtenido por reflexión del objeto; el dobles de la hoja y la cara del espejo
son ejes de reflexión.
Geométricamente la reflexión axial cumple con dos propiedades:
● El segmento que une un punto con su imagen es perpendicular al eje
de reflexión.
● El eje de reflexión divide el segmento descrito anteriormente en dos
partes de igual longitud.
34
Los casos de reflexión en el espejo y el siguiente donde se construye la
figura, seguidamente se dobla la hoja y se calca la figura corresponde a
la forma de reflexión activa en el marco didáctico de la geometría o
transformación ACTIVA.
Acontinuación las actividades se centran en la reflexión con proyecciones
y utilizando el plano cartesiano.
 REFLEXION DESDE LA GEOMETRÍA PROYECTIVA
Construcción Nº 1
● Trace una línea recta en la dirección que desee, y este será el eje de
reflexión.
● Dibuje frente a dicho eje una figura cualquiera y bautice sus vértices.
● Para conservar la dirección de los vértices de la figura; ubique la regla
paralela al eje de reflexión y utilizando la escuadra; hacer escuadra
entre la regla y cada punto para trazar proyecciones desde cada
vértice de la figura.
● Luego se mide la distancia desde cada vértice hasta el eje, utilizando
preferiblemente un lápiz y sobre cada proyección a distancias iguales
se ubican los vértices, imágenes de la figura.
35
● Y para terminar, mediante líneas discontinuas se unen los vértices
imágenes obteniéndose así la imagen simétrica de la figura mediante
la reflexión axial.
Figura Nº 1
Para
las
construcciones
siguientes
se
tendrán
en
cuenta
las
orientaciones ya descritas en el caso anterior.
Construcción Nº 2
● A partir del siguiente esquema hallar la imagen simétrica de la figura o
refleje la figura.
36
Figura Nº 2
Construcción Nº 3
El triangulo PQR (figura Nº
4)
tiene sus
vértices
P(4,8), Q(6,5) y
en
R (2,2).
Grafique su reflexión o halle
su imagen simétrica a través
del eje Y, luego a través del
eje X.
Figura Nº 4
37
REFLEXION SOBRE EL EJE Y
Figura Nº 5
Para reflejar un punto en el eje y (figura Nº 4). Se multiplica la
coordenada del eje X por (-1) y se deja la misma coordenada Y.
Aritméticamente: vértices iniciales P (4,8), Q (6,5) y R (2,2).
Reflejados P´(-4,8) , Q´ (-6,5) y R´ (-2,2).
Algebraicamente: El punto P(x,y) al reflejarse se convierte en P´(-x,y)
38

REFLEXION SOBRE EL EJE X
Para reflejar un punto sobre
el eje X se multiplica la
coordenada del eje Y por (1) y se deja la misma
coordenada en X.
Aritméticamente
iniciales:
vértices
P(4,8),
Q(6,5),
R(2,2) Reflejados:
Algebraicamente: P(x,y) al
reflejarse
se
convierten
P(x,-y).
 SUGERENCIAS DIDACTICAS PARA LA REFLEXION CENTRAL
PROYECTIVA
● Se dibuja la figura que se desee reflejar.
39
● Se sitúa el centro de reflexión mediante un punto ubicado donde se
prefiera.
● Se trazan proyecciones desde cada vértice de la figura, pasando por
el centro de reflexión.
● Sobre cada proyección se determinan los vértices de la figura imagen
o prima, haciendo que el centro de reflexión sea punto medio entre
cada vértice y su imagen o vértice reflejado. Estos nuevos vértices se
bautizan con la misma letra pero prima.
● Mediante trazos discontinuos se unen dichos puntos para conformar
la figura reflejada.
Veamos.
Construcción Nº 4
Grafique las reflexiones centrales que aparecen a continuación.
40
BO
OB´ ;
AO
OA´ ;
DO
OD´ ;
CO
OC´ ;
CONSTRUCCIO Nº 1.5
AO
OA´
Construcción Nº 6
41
Nótese que la reflexión central incluye un giro de 180º.
 COMPOSICION DE REFLEXIONES
Cuando las figuras o polígonos se reflejan consecutivamente varias
veces a partir de diferentes ejes o centros de reflexión se dice que hay
composición de reflexiones. Y se siguen los mismos procedimientos ya
descritos.
Construcción Nº 7
Analizar las composiciones de reflexión que aparecen a continuación.
42
Construcción Nº 8
43
44
TRASLACION
Trasladar una figura es moverla de una posición a otra sin dejarla girar
simultáneamente. En la traslación todos los puntos se mueven en la
misma dirección, sentido y magnitud.
Las líneas que describen la trayectoria siempre son paralelas. De allí que
para trasladar una figura se debe tener en cuenta:
● Hacia a donde se realiza el desplazamiento; derecha, izquierda,
arriba, abajo (SENTIDO)
● El ángulo de desplazamiento con respecto al eje de coordenadas
X (horizontal) ó Y(vertical) que es el
45
LA DIRECCION.
Medida en grados desde cero hasta 360º
● El numero de unidades que se desplaza o se debe desplazar la figura.
46
 SUGERENCIAS DIDACTICAS PARA LA TRASLACION
La traslación como las demás transformaciones es conveniente
trabajarlas inicialmente desde la geometría activa, que involucra
movimientos desde situaciones de la cotidianidad y una vez el estudiante
haya alcanzado un buen nivel de construcción se debe abordar el tema
desde la geometría proyectiva y cartesiana como se orienta a
continuación.
 LA TRASLACIÓN DESDE LA GEOMETRÍA ACTIVA.
Construcción Nº 9
● Desplace objetos de un lugar a otro identificando: sentido, dirección y
magnitud.
● Construya una figura geométrica en una hoja de papel e identifique
mediante un vector o flecha la dirección, sentido y magnitud del
movimiento, luego calque la figura y el vector en otra hoja.
Superponiendo las dos hojas haciendo coincidir figuras y flechas. A
continuación deslice una hoja sobre la otra asegurándose de que el
movimiento no cambia de dirección por que las flechas se desplazan
en paralelo una sobre la otra y cuando el origen de una coincida con
el final de la otra se calca nuevamente la figura, de modo que en la
hoja de abajo se visualicen dos figuras correspondientes una a la
47
posición inicial y la otra a la posición final que se bautiza con letras
primas.
 TRASLACION DESDE LA GEOMETRIA PROYECTIVA
Construcción N° 10
● Dibuje una figura y el vector que indique el sentido, la dirección y la
magnitud del desplazamiento así:
● Ubicando la regla perpendicular al vector y la escuadra paralela al
mismo vector (regla y escuadra en perpendicular) trace proyecciones
desde cada vértice de la figura en la dirección y sentido del vector así:
48
Simetría
Posición regla, escuadra y vector.
● Utilizando un compás mida la magnitud del vector desplazamiento y
hágalo corresponder con cada una de las proyecciones, marcando en
cada caso la medida de la longitud del vector.
49
● Luego construya la figura de la segunda posición con líneas
discontinuas y bautícelas con letras primas así:
50
Así queda ejecutada la traslación planteada.
Construcción Nº 11
● Traslade la figura que aparece a continuación de acuerdo con el
vector desplazamiento adjunto.
51
Solución
 Construcción Nº 12
● Realice la traslación hincada
52
Solución
 COMPOSICIÓN DE TRASLACIONES
Construcción Nº 13
● Trasladar la figura siguiente mediante la composición de traslación
que se indica a continuación.
53
construcción Nº 14
● Realizar la siguiente composición de traslación.
54
Solución
55

LA TRASLACIÓN DESDE LA GEOMETRIA CARTESIANA
En el plano cartesiano una traslación hacia la izquierda ( - X) ó hacia
abajo
( - Y) es NEGATIVA y hacia la derecha (X) o hacia arriba (Y)
es POSITIVA y cuando se trata de trasladar un punto correspondiente a
un par ordenado (x,y), se agrega o se suma la nueva coordenada del
punto trasladado al par ordenado inicial. Así por ejemplo si se desea
trasladar el punto “P” de coordenadas (3,-2) de acuerdo a las unidades
sugeridas por el par ordenado (-2,4) se debe entender que dicho punto
hay que trasladarlo 3 unidades hacia la derecha y 2 unidades hacia
abajo.
Construcción Nº 15
Graficar en el plano cartesiano la figura de coordenada A (3,1), B (4,5), C
(5,2) y trasladar de acuerdo al par ordenado (-5,-4).
Las nuevas coordenadas se pueden conseguir de dos formas:
56
A partir de cada vértice se realiza el conteo de 5 unidades hacia la
izquierda y 4 unidades hacia abajo y se obtiene la traslación.
Sumando en cada punto -5 a la primera componente y - 4 a la
segunda obteniendo.
Construcción N° 16
Traslade la figura dada 6 unidades hacia el oriente y tres unidades hacia
el sur y una las dos figuras, además determine las nuevas coordenadas
mediante la suma.
57
Construcción N° 17
Sí
es uno de los nuevos puntos donde se ha trasladado la figura
que aparece a continuación. Determine los otros puntos de la última
posición de la figura mediante suma.
A
58
E
ROTACIÓN
Rotar una figura equivale a girarla alrededor de un punto fijo, este punto
puede ser interior, exterior o estar en la frontera de la figura y se llama
centro de rotación.
Par rotar una figura es necesario conocer: el centro de rotación, el ángulo
de giro y el sentido del giro que puede ser positivo o negativo según se
realice en el sentido que se movilizan las manecillas del reloj o al
contrario.

SUGERERNCIAS DIDÁCTICAS PARA LA ROTACIÓN
Al igual que la traslación se recomienda trabajar desde la geometría;
activa proyectiva y cartesiana.
 LA ROTACIÓN DESDE LA GEOMETRIA ACTIVA
Se coge un trozo rectangular de papel, puede ser un cuarto de hoja,
se bautizan los vértices con letras mayúsculas y por el centro se
introduce un lápiz de modo que quede apretado y se hace rotar
visualizando los cambios de posición que toman los vértices del papel
59
al tiempo que se identifica el centro de rotación, el sentido y en cada
movimiento el ángulo de giro que puede ser: una vuelta, media
vuelta, un cuarto de vuelta; ¾ de vuelta; etc.
Se pueden tomar también dos trozos de papel rectangulares de
tamaños notoriamente diferentes de modo que el más grande cubra
totalmente al otro y se trazan particiones coincidentes en los dos
papeles de modo que cada cuadrante quede dividido en 2 regiones,
es decir, los papeles queden con 8 regiones iguales de medio
cuadrante.
Luego con la punta del compas o del lápiz se perforan en el mismo
centro y movilizando el de arriba se puede observar en el más grande
que esta por debajo el ángulo de giro que se rote en cada caso.
Se amarra un lápiz a una cuerda y sosteniendo la cuerda con una
mano en un punto fijo se hace girar el lápiz; los estudiantes
reconocen el sentido, centro de rotación indicando si es interior,
exterior o en la frontera.
Se dibuja un diagrama como el siguiente:
60
Se calca en otra hoja completamente y manteniendo las dos hojas una
encima de la otra de modo que coincidan las figuras (use papel
transparente) perforando las dos en su mismo centro de rotación, haga
rotar la de arriba en el sentido que se le indique o prefiera hasta que la
recta “ ” de arriba se superponga en la recta “t” de abajo y allí habrá
rotado la magnitud del ángulo pre-establecido, entonces allí calque la
figura en la hoja de abajo y bautícela con las letras primas.
61
 LA ROTACIÓN DESDE LA GEOMETRIA PROYECTIVA
Construcción Nº 18
Dibuje una figura geométrica, bautícela y situé el centro de rotación
en un punto exterior a la figura.
Desde el centro de rotación trace proyecciones que pasen por cada
uno de los vértices de la figura.
A partir de cada proyección mida el ángulo de giro en el sentido
deseado y trace nuevas proyecciones.
62
Utilizando el compas mida la distancia del centro de rotación hasta
cada vértice de la figura y con esas medidas, situé sobre las nuevas
proyecciones los puntos que correspondieran a la figura rotada.
Luego una todos esos puntos para obtenerla.
63
Construcción Nº 20
Haga rotar la figura que aparece a continuación 180° en el sentido
contrario de las manecillas del reloj.
64
Solución
Construcción Nº 21
Haga rotar la siguiente figura 90° en el sentido de las manecillas del
reloj, sabiendo que el centro de rotación esta en el punto “A”.
65
Solución
Trazo proyecciones de A hacia los otros vértices, así:
Construcción Nº 22
Rotar 120° la figura siguiente en el sentido negativo (contrario a las
manecillas del reloj) con centro de rotación donde se cortan las
diagonales.
66
Solución
 LA ROTACIÓN DESDE GEOMETRIA CARTESIANA
La rotación de figuras en el plano cartesiano por su complejidad es
recomendable restringirla únicamente a giros de 90°, 180°, 270° y 360° y
considerar como único centro de rotación el origen del plano con
coordenadas
como a continuación se ilustran algunos casos.
Esta clase de rotación se efectúa encontrando las coordenadas de la
figura en su nueva posición para lo cual se debe tener en cuenta lo
siguiente:
67
Cuando el giro es de 90° al punto
punto
le corresponderá el
y así sucesivamente a los demás puntos.
Cuando la rotación es de 180°, al punto
punto
le corresponderá el
.
Cuando el giro es de 270°, al punto
le corresponderá el punto
.
Además cuando el giro es contrario a las manecillas del reloj se
invierten las coordenadas así:
.
Construcción Nº 23
Graficar la figura de vértices
;
y
y hágala rotar 90°,
180° y 270° en sentido contrario a las manecillas del reloj con centro de
rotación en el origen.
Solución
A(2,2), B(4,4), C(2,4)
90º
A´(-2,2), B(-4,4), C(-4,2)
180º
A´´(-2,-2), B(-4,-4), C(-2,-4)
270º
A´´´(2,-2), B(4,-4), C(4,-2)
68
Construcción Nº 24
Rotar la figura que aparece en el plano 90º, 180º, 270º en el sentido de
las manecillas del reloj con centro en el origen.
Solución:
Posiciones:
De
los
principios
de
rotación
se
deduce
que:
M(2,1), N(3,1), O(6,3), P(3,4)
- 90º
M´(1,-2), N´(1,-3), O´(3,-6), P´(4,-3)
- 180º
M´´(-2,-1), N´´(-3,-1), O´´(-6,-3), P´´(-3,-4)
- 270º
M´´(-1,2), N´´´´(-1,3), O´´´(-3,6), P´´´(-4,3)
69

CONSTRUCCIÓN ESPECIAL
70
HOMOTECIAS
Una homotecia es una trasformación geométrica que a partir de un punto
fijo multiplica todas las distancias por un mismo factor; que es llamado
factor de conversión o coeficiente de proporcionalidad.
Así:
Dada una figura y un punto exterior
Encontramos mediante proyecciones
Una homotecia que se ha duplicado por que las distancias del punto a la
nueva figura también se duplico con respecto a la inicial
71
De modo que
Que es el factor de conversión ya que la figura al transformarse se ha
duplicado
De otro modo
Dada dos figuras proporcionales pero de diferentes tamaños así.
Tranzamos proyecciones por los respetivos vértices y encontramos
72
Que si una figura es la tercera parte de la otra esa es la misma relación
de la distancia con respecto al punto, es decir, que en la homotecia si la
distancia se dobla la figura también y sí la figura se reduce en cierta
proporción con la distancia al punto fijo ocurre igual.
Es recomendable trabajar las homotecias utilizando el plano cartesiano,
ya este permite mejor visualización y por ende mejor comprensión del
concepto.
73
CAPITULO IV
 ANÁLISIS SOBRE LO QUE HA VENIDO PASANDO CON
EL
ÁLGEBRA DE BACHILLERATO
“La palabra ALGEBRA se ha reducido equivocadamente a la manipulación de
un código de letras y números, exponentes, radicales, igualdades y
desigualdades, etc. Que se aprende como requisito penoso e incomprensible
durante los grados 8º y 9º y que hay que volverlos a aprender cuando se
necesite para la física, la química, la geometría analítica, la trigonometría y el
cálculo. Al llegar a la Universidad, la mayoría de los estudiantes deben volver a
tomar el álgebra. Así se le bautice con el nombre de introducción al cálculo,
precálculo, fundamentos matemáticos o matemáticas básicas. Algo debe estar
pasando si se necesitan cuatro años y medio para dominar un simple juego
simbólico.
En realidad cada rama de las matemáticas tiene su álgebra, sus sistemas
simbólicos que permiten encontrar resultados con la manipulación apropiada de
los códigos, aumentando la rapidez y disminuyendo la posibilidad de
equivocarse, o al menos facilitando la corrección de los errores.
Existe álgebra de la lógica, álgebra de conjuntos, un álgebra para geometría,
etc. El álgebra del que habla el primer libro árabe., “Al-gebr w’al Mugabala” que
podría traducirse como “el paso y el arreglo” o “el puente y el encuentro” o “el
intercambio y el manejo” trata solo de problemas de aritmética., sin ningún
símbolo formal distinto a la numeración arábiga o indo – arábiga.
De esta obra se reconocen tres palabras claves “algebra por el título del libro, y
por el nombre de su autor, Al – Kowarismi., la palabra, Algoritmo que los
74
estudiantes la confunden con logaritmos que posee las mismas letras pero
significado diferente y la ya poco común Guarismo” 1
Como ya se ha dicho, el trabajo con el álgebra de 8º y 9º se ha centrado en la
manipulación apropiada de “Algoritmos”
definidos como procedimiento
simbólico que sirve para encontrar un símbolo del resultado por puro manejo
mecánico del código. Dicho de otro modo, es un instructivo que sirve para
obtener resultados aun sin necesidad de pensar en lo que está pasando “por
debajo de los símbolos” (es una receta).
Para multiplicar un número entre 10 y 99 por 11, uno puede sumar las cifras y
meter la suma en la mitad de las dos, y obtener el resultado correcto sin saber
por qué ni que esta pasando.
21 x 11 = 231 “milagro”.
El problema es que si bien los algoritmos descansan la memoria, la atención,
disminuyen el tiempo que se necesita para obtener un resultado, permiten
corregir errores y además pueden ser programados.
Los alumnos se aprenden los algoritmos de un gran sistema simbólico pero sin
saber el sistema conceptual que están simbolizando, y además no saben
porque funcionan, ni cuando lo deben usar, así no tienen ningún apoyo para
hacer estimaciones, para corregir algún desliz, para inventarse un paso más
largo si se les olvido el más corto, para reconstruir una fórmula en unos
segundos y menos aun para inventar una nueva.
“El álgebra se desarrollo para reversar el camino de operaciones que se habían
ejecutado primero “hacia adelante” piense un momento esta situación bastante
1
VASCO U, Carlos E. MEN..
75
frecuente: Al final del mes pasado pague la mitad de lo que debía; pero
después pedí otro préstamo del doble del primero hoy apenas logre pagar $500
mil y todavía estoy debiendo 2 millones ¿Cuánto debía antes del primer pago?.
Trata de pensar en esta situación sin apuntar nada, y de ver que es lo que va
haciendo en la cabeza. Estas operaciones mentales y la capacidad de
reversarlas, coordinarlas y mantenerlas en la memoria son más importante que
el manejo de los símbolos, esa agilidad mental es la que motiva para que el
alumno sienta la necesidad de un apoyo escrito para operar más fácilmente y
con menos probabilidad de error.
Los mismos alumnos pueden inventar algoritmos y trucos que abrevien las
operaciones y hasta inventar y aprender a manejar sus propios símbolos
personales, pero también deben convencerse por sí mismos de que el
problema es que no pueden ser fácilmente compartidos por otros, y por eso es
bueno conocer los símbolos usuales.
Esas operaciones mentales conforman lo que llamamos algebra mental, que
puede a su vez ser expresado con palabras del lenguaje ordinario.
Nótese también que cuando se resuelven situaciones como la tratada
anteriormente que aquí llamamos álgebra verbal donde puede haber aparecido
la X y desaparecido el signo pesos, no aparecen palabras que correspondan al
signo por o al signo igual (=). Es importante reconocer que para los alumnos
duplicar o sacar la mitad no tiene nada que ver con el signo por (X) o dividido
en (÷), simplemente vuelven a sumar lo mismo., o el signo igual (=) lo suelen
entender en forma activa: “me resulta”, “me queda” y no como relación “es igual
a”.
Por otro lado, antes se creía, que adivinar resultados era un procedimiento
equívoco en matemáticas, pero cada vez se ve con más claridad que estas
76
conjeturas, hipótesis, adivinanzas, intuiciones o chispazos repentinos son los
que producen mejores matemáticos y los que dan una gran satisfacción a los a
los que lo logran. Es importante exhortarles a que traten de adivinar todo lo que
puedan., que hagan las conjeturas que quieran, pero que las ensayen, las
sustenten, las razonen, las verifiquen, las cambien y las descarten cuando no
funcionen.
En síntesis la metodología recomendada para estos fines es de motivar primero
al estudiante para que entre en el juego de resolver problemas de la vida real o
problemas artificiales interesantes y divertidos, tratando de hacerlo por el lado
largo “en la cabeza”, “por aritmética” o como el quiera, para que así pueda
apreciar la importancia de su código abreviado y para que pueda explorar por si
mismo las posibles manipulaciones del
código que le van a servir para
formalizar más tarde los algoritmos.
Es bueno dejar que los estudiantes cometan errores, mientras van
desarrollando estrategias que les permitan después corregirlos por sí mismos.
El profesor logrará mejorar los resultados sino se adelanta a señalar los
errores, sino se apresura a explicar cómo corregirlos, y mucho menos a dar la
solución., sino más bien muy discretamente, poner en duda el resultado
incorrecto para que el alumno piense en donde puede estar el error, de este
modo el aprendizaje del álgebra puede llegar a ser un verdadero pasatiempo.
La mejor manera de saber si el curso está funcionando bien, es por el interés
que manifiestan los alumnos por formular y resolver problemas fuera de clase.
El docente debe sensibilizarse en el sentido de que el objetivo más importante
es que a los estudiantes les gusten las matemáticas para que las practiquen
como diversión en sus ratos y días libres. Ya que si lo hacen así aprenderán
77
más matemáticas que los que les podamos enseñar en unas pocas horas de
clase.
Por último es importante precisar que desde esta perspectiva metodológica de
las matemáticas se da especial importancia a los sistemas conceptuales y sus
relaciones con los sistemas concretos.
Desde estas situaciones reales estructuradas que son los sistemas concretos
salen los conceptos operatorios que corresponden a acciones interiorizadas en
códigos y modelos mentales que al llegar a ser suficientemente complejos
requieran el desarrollo de sistemas simbólicos escritos, estén o no
formalizados.
78
CAPITULO V
 LA ENSEÑANZA DE LAS ECUACIONES EN LA EDUCACION BASICA
Con las ecuaciones matemáticas se debe trabajar desde los primeros años de
la primaria, usándolas como estrategia para contextualizar situaciones
problemas que involucran los conceptos básicos de cada ciclo o nivel;
entendiendo las ecuaciones como igualdad de expresiones matemáticas que
poseen términos desconocidos o no explícitos. Y que pedagógicamente es
pertinente que sean vistas como adivinanzas que hay que resolver. Hasta la
ecuación X = 3, es una adivinanza, lo que ocurre, es que es tan fácil como:
“blanco es, frito se come y la gallina lo pone”. Lógicamente existen otras tan
difíciles que resultan impensables, de allí que los métodos utilizados para
resolverlas deben ser considerados como estrategias alternativas para
convertir las adivinanzas difíciles en otras más fáciles, pero no necesariamente
tan simple, como la que se menciono anteriormente. Ya que por ejemplo en la
ecuación 3X = 12 no hay necesidad de seguirla transformando porque es más
provechoso que los niños, reconozcan la solución de la adivinanza sin seguir
reduciendo la ecuación. Porque así siguen un proceso que promueve la
inventiva, ya que están obligados a determinar el número que multiplicando por
tres(3) da 12 y no necesariamente el recetario y mecánico que sugiere dividir
ambos miembros de la igualdad en 3. Equivalente a despejar a X siguiendo las
reglas de transposición de términos.
En el proceso de solución de ecuaciones es recomendable trabajar:
79

ADIVINANZAS CON NÚMEROS NATURALES
Empezar planteando adivinanzas que interpreten ecuaciones verbales
cuyas soluciones sean números naturales; así por ejemplo.
Cuanto hay que sumarle a 5 para que sea igual a 14.
Qué numero al restarle 8 se convierte en cero.
Por quién hay que multiplicar a 6 para convertirlo en 54.
El triplo de un número aumentado en 5 es 23 ¿Cuál es el número?.
El doble de un número disminuido en la mitad es 12 ¿Cuál es el número?.
Que cantidad al sumarlas 4 veces y restarle 5 da 11.
Así sucesivamente se plantean diversas situaciones problemas para resolver
sin anotar, solo al final y sin sugerencias los niños se apoyaran en la escritura
pero de manera libre y espontánea, donde representaran las incógnitas o
términos desconocidos por los símbolos que quieran, sin que el profesor llegue
a sugerirles; así por ese camino deducirán que las letras o incógnitas en el
álgebra no son caprichos sino que se necesitan para representar las
cantidades o términos que en el momento se desconocen y que ellos pueden
construir y usar cuando ellos lo quieran o necesiten.
Una vez agotada la fase de planteamiento y solución de adivinanzas
verbales se debe proceder a plantear y solucionar adivinanzas escribiendo
normalmente pero sin métodos formales de solución de ecuaciones, donde
80
las soluciones sigan involucrando solamente números naturales, como se
ilustran algunos casos a continuación.
X–3=0
5–X=0
X–3=9
2X – 4 = 0
4X + 3 = 2
8 – 2X = 0
12 = 3X
aX = a

ADIVINANZAS CON NÚMEROS ENTEROS
Adquirida la suficiente habilidad en los casos anteriores se debe continuar
planteando y solucionando adivinanzas verbales que interpretan ecuaciones
cuyas soluciones involucran números enteros que posteriormente se
convertirán en adivinanzas (ecuaciones) escritas. También sin método
formal de solución de ecuaciones. Ejemplos:
¿Cuántos huevos debía si al pagar cinco sigo debiendo uno?.
¿Qué número al restarle 6 el resultado es -10.?
81
¿Qué número se le debe restar a 10 para que el resultado sea 15.?
¿Qué cantidad al multiplicarlo por 2 y sumarle 8 se obtiene como resultado
cero?
Por quién tengo que multiplicar a 5 para que al sumarle 15 se obtenga como
resultado cero.
¿Qué número hay que restarle 1 para que el resultado sea 2?
¿Qué cantidad se le tiene que sumar a 3 para obtener -11.?
4. Ejemplos de adivinanzas expresadas a través de ecuaciones escritas.
X – 8 = –15
6X + 12 = 0
15 – X = – 9
4 – 3X = 7
X+5=–8
8 + 4X = – 4
4X + 3 = – 1
9X = – 18
3X + 3 = 0
9 – 2X = 12
4 + 5X = 9
aX + a = 0
5X – 8 = 7
82

ADIVINANZAS CON NÚMEROS RACIONALES
Continuar con adivinanzas cuyas Soluciones correspondan a los números
racionales, pero atendiendo a la recomendación de trabajo inicialmente de
manera verbal y posteriormente hacerlo por escrito. Ejemplos:
¿Qué número se debe multiplicar por 5 para que el producto sea 6?.
¿Qué cantidad al multiplicarla por 3 se obtiene como resultado 2?
¿Por cuánto tengo que multiplicar a 7 para que al restarle 12 se obtenga cero?.
¿Qué número al sumarle ¼ se convierte en 1?.
5 veces la cantidad de agua que tiene una botella es exactamente 3 botellas
¿Qué cantidad de agua tiene la botella?.
Posteriormente cuando los estudiantes ya no puedan resolver las adivinanzas
verbales se prosigue, interpretando, planteando y resolviéndolas apoyándose en la
escritura. Así:
5X = 6
3X = 2
7X – 14 = 0
X+¼=1
83
5X = 3
9X = 3
2X = 1
aX = b
mX + n = 0
X + 2X = 3/2
Etc.

OTRAS ADIVINANZAS
Otras actividades pertinente para iniciar a los estudiantes en el álgebra mental,
verbal y simbólica son los que se presentan a continuación:
Si X representa un número real expresa algebraicamente.
- Tres veces el número.
- Un cuarto del número.
- El número dividido en 8.
- El número aumentado en 5.
- 12 menos que el número.
- 100 más que el número.
- El doble del número menos 10.
- 6 veces el número dividido en 3 menos 2.
Ana escribió b número de cartas y Yesica escribió 8 veces las mismas cartas,
expresa en términos de b, el número de cartas que Yesica escribió.
Jaime tiene X años, si Darío es 10 años más viejo que Jaime. Expresa la edad
de Darío en términos de X.
84
Sí cada lado de un cuadrado tiene L cm de lado, como se puede expresar el
perímetro del cuadrado.
Juan tiene mil pesos y Yefer tiene un cuarto de la misma cantidad; representa
la cantidad de dinero que tiene Yefer.
Sí, Luís tiene n-años ¿Cómo puede expresar su edad 20 años después?.
Si la diferencia entre dos números es 15 y el minuendo esta representado por
X ¿Cómo se representa el número más grande?.
Julia cumplió 40 años, representa su edad hace X años.
T – representa cierto número. Expresa en términos de b, un número que sea
20 veces más que 4 veces el primer número.
Al final del mes, pague la mitad de lo que debía, luego hice un préstamo del
doble de lo que debía, hoy logre pagar $ 50.000 y todavía debo $200.000
¿cuánto debía antes del primer pago?.
Qué numero desaparece si lo multiplico por 3 y le resto 24.
Realiza las operaciones indicadas en cada caso:
-
Suma 15 con y + 3
-
Suma 25 con 7X
Expresa simbólicamente los enunciados siguientes siendo a y b números
reales.
-
El triple producto de a y b
85
-
El doble de a.
-
El cuadrado de b.
-
La diferencia de a y b
-
La suma de a y b al cuadrado.
-
La diferencia de los cuadrados de a y b
-
La diferencia de a y b al cuadrado.
-
La raíz cúbica entre el cubo de a y el cubo de b.
-
La raíz cuadrada del doble de a al cuadrado.
-
La raíz cuadrada del producto de a y b
-
la raíz cúbica del producto de a por a por a.
Estimado alumno realiza las siguientes operaciones.
-
Piensa en un número.
-
Multiplícalo por 3.
-
Réstale el número que pensaste.
-
Divide el resultado en 6
-
¿Qué número obtuviste?.
-
Piensa un número.
-
Súmale 3.
-
Multiplica el resultado por 2.
-
Réstale 4
-
¿Qué número obtuviste?.
-
Piensa un número.
-
Súmale 2.
86
-
Eleva el resultado al cuadrado.
-
Réstale 4 veces tú número inicial.
-
Dame el resultado y te diré el número inicial.
-
Piensa un número.
-
Elévalo al cuadrado.
-
Réstale tú número el cuadrado
-
Divi8delo por el número inicial menos 1.
-
¿Cuál es el resultado?.
Así sucesivamente.
Una vez agotado el proceso de solución de adivinanzas verbales y apoyándose en
la escritura
se debe proceder a solucionar las ecuaciones lineales con los
métodos formales, haciendo uso de las propiedades como de la tradicional regla
de despeje. Como acontinuación se ilustra.
-
X+3=8
-
X+3–3=8–3
X =8–3
X=5
-
X–2 =1
X=5
-
X–2+2= 1+2
2X = 8
2x/2 = 8/2
X=4
X–2 =1
X = 1+2
X=3
-
X+3=8
X=3
-
2X = 8
X = 8/2
X=4
87
-
3X = 2
-
3X = 2
3x/3 = 2/3
X = 2/3
X = 2/3
Las orientaciones anteriores sirven de guía para iniciar el proceso de
planteamiento y solución de ecuaciones lineales (de primer grado) con una
incógnita, adecuando el nivel de complejidad al nivel de avance o grado al que
correspondan los estudiantes con los que se trabaje; lógicamente previo
diagnostico sobre el dominio que dichos estudiantes tengan sobre los números
naturales, enteros y/o racionales.

ADIVINANZAS QUE SON SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
En el momento que corresponda trabajar los sistemas de ecuaciones lineales 2 x
2 ó 3 x3 es importante iniciar el proceso teniendo en cuenta entre otras las
orientaciones siguientes:
Iniciar con las adivinanzas verbales que involucren naturales y posteriormente
enteros. Así:
-
Dos números que sumados dan 5 y restados dan 3.
-
Encuentre dos números que tanto la suma como la diferencia sea igual a 8.
-
Diga quien es X y Y sí X + y = 1 y X – Y = - 3
Se debe seguir con adivinanzas escritas sin recurrir a los métodos formales
para hallar la solución de las ecuaciones. Ejemplo:
88
-
X+Y=6
X–Y=4
-
X+Y=3
X–Y=7
-
X+Y=3
2X + Y = 4
-
X–Y = 5
X + Y = -1
Cuando ya los estudiantes se den por vencidos y caigan en la cuenta de que
solucionar este tipo de adivinanzas es demasiado difícil e incluso que existirán
algunas imposibles de adivinar por simple inspección, es decir, sin métodos
formales; por ejemplo para algunas soluciones racionales; y es allí donde deben
proponer los distintos métodos conocidos para la solución de ecuaciones lineales,
ya que así los estudiantes consideraran su gran importancia.
89
 ORIENTACIONES PARA TRABAJAR LAS
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

ADIVINANZAS CUADRÁTICAS PURAS
Se debe iniciar impulsando a los estudiantes a que resuelvan adivinanzas
verbales donde se determine el lado de un cuadrado que posee tantas
unidades de área y viceverza. Así por ejemplo:
-
Sí el área de un cuadrado es de 49cm2 ¿Cuánto mide un lado?.
-
Cuanto mide el frente de un terreno cuadrado que su área es 100m2.
-
Qué área tiene una parcela de piña sí se sabe que el terreno es cuadrado y de
ancho mide 12m.
-
Aproximadamente cuanto mide de fondo una superficie cuadrada sí su área es
20m2.
-
Etc.
Aquí el asunto se trata de entender que sí se sabe el área se puede determinar la
medida del lado y viceverza, sin escribir nada, haciéndolo solo en la cabeza.
Inicialmente los alumnos solo pensaran en raíces positivas, pues todos los
cuadrados parecen tener lados de longitudes positivas, solo el cerebro humano
piensa en longitudes negativas y aun así el área sigue siendo positiva; de allí que
sea ese un buen momento para afianzar los enteros y sus operaciones, el valor
absoluto como distancia al origen, etc.
90
Cuando los estudiantes empiecen a tener dificultades con las adivinanzas
difíciles después de venir solucionando las más fáciles con la cabeza, se debe
continuar con las adivinanzas escritas con regiones de áreas o simbólicamente
como las que se presentan a continuación.
Hallar el valor de X ó X2 en:
X
X
A = 144m2
A2=?
X=?
-
X=?
-
X
n
X=?
2
-
X = 16
-
X2 = P
-
X2 + P = 0
X
X
a2
3
X=?
-
X=?
2
X – 25 = 0
X2 – P
X2 = P2 ó
=0
X2 – P2 = 0
Es importante llegar a la claridad sobre el significado de X2 + q2 ya que se tiene
la inclinación a creer de que “+q” es un número positivo; como creyeron los
91
matemáticos desde babilonia hasta finales del siglo XVI por eso nunca plantearon
este tipo de ecuaciones.
Es importante resaltar que en las adivinanzas del tipo X2 + PX = 0 cuando se
excluyen los número negativos, solo puede tener una sola solución “El cero” pero
si acepta la posibilidad de que P ó X sean negativos, tenemos otra solución que es
fácil de hallar por simple inspección X2 = XX y sí XX = PX, la adivinanza es fácil.
Este es un buen momento para explorar los sistemas simbólicos.
Otro tipo interesante de adivinanzas cuadráticas son las que introducen los
coeficientes usuales a,b,c, donde no necesariamente se trabaja con cuadros pero
si con áreas posibles de convertir en cuadrados del mismo lado, utilizando el
coeficiente a, para contar el número de cuadrados, como se muestra a
continuación.
Determinar por simple inspección el valor de X y verificar posteriormente de
manera simbólica.
♣
♣
92
♣
3X2 = 75
♣
2X2 = 32
♣
5X2 = 5
♣
3X2 – 3 = 0
♣
2X2 – 6X = 0
♣
4X2 + 4X = 0
Se puede exigir que representen
mediante áreas de rectángulos las
ecuaciones como las 6 anteriores y como las siguientes que se ilustran a
continuación.
93
3X2 = 75
3(5)2 = 75
X = 5 que se puede verificar
3(25) = 75
en el rectángulo del lado izquierdo
75 = 75
♣
6X2 – 54 = 0
♣
4X2 + 8X = 0
♣
5X2 = 10X
♣
2X2 + 10X = 0
♣
3X2 + 12X = 0
♣
7X2 – 28 = 0

ADIVINANZAS CUADRÁTICAS COMPLETAS
Este tipo de adivinanzas son en su mayoría muy artificiales ya que los ejemplos de
la vida real para estos caso son muy pocos. Afortunadamente cuando se trabaja
este tipo de ecuaciones ya se tiene mucha flexibilidad para la adivinanza; se
puede explorar “cuadralotes” en un terreno; por ejemplo tratar de obtener las
dimensiones de un lote cuadrado que sea igual en área a una franja rectangular
del mismo largo y de anchura fija, más un lote fijo que puede escribirse de la
forma: X2 = PX + q.. y si no se sabe el signo de los coeficientes se escribe:
X2 + PX = q
,
X2 + q = PX
,
X2 + PX + q = 0
94
Esta se llama forma monica de la ecuación cuadrática, porque el coeficiente del
monomio inicial es uno(1).
En la ecuación X2 + PX + q = 0 es difícil ver como sumando áreas, se puede
llegar a cero; esta es una convención muy artificial pero permite escribir todas las
ecuaciones de esta forma con una formato común utilizando coeficientes positivos
y negativos.
Los mejores algebristas de la antigüedad consideraron solo coeficientes y
soluciones positivas y por eso creyeron que las ecuaciones cuadráticas
X2 = rX + n
,
X2 + rX = n
;
X2 + n = rX, eran todos diferentes,
de allí que se inventaron fórmulas para resolver cada una de ellas, fórmulas estas
que constituyen una importante estrategia para integrar el álgebra con la
geometría y explorar con los estudiantes de 8º Y 9º que más que considerarse un
método para resolver ecuaciones es una manera de actuar divertidamente y
motivar a estos estudiantes a que vivan una experiencia algebraica concreta ya
sea utilizando preferiblemente regletas construidas en cartón paja o cartulina o
dibujos de rectángulos como se mostrara más adelante.
Existen personas con buenos niveles de estudios que piensan que solo hay una
única manera de resolver las ecuaciones cuadráticas; la formula usual que todos
aprendimos de memoria probablemente como una serie de palabras sin sentido:
menos be, mas o menos raíz cuadrada de be al cuadrado, menos cuatro a ce
sobre dos a.
“Pura memoria”
Lo bueno es que si uno interpreta bien esta fórmula mágica y realiza bien las
sustituciones y operaciones le resulta uno o dos números que satisfacen la
95
ecuación. Pero como en toda fórmula mágica uno no se puede equivocar en nada,
ni sabe como funciona y si se le olvida, aunque sea una letra no puede salir del
laberinto donde lo introdujo el profesor de matemática al ponerle una ecuación
cuadrática en el examen; situación con la cual es poco probable volverse a
encontrar en la vida cotidiana.
Quien se mueve con un buen nivel en el mundo de las matemáticas conoce que
hay muchas otras formas de búsqueda de solución a las adivinanzas que
interpretan las ecuaciones cuadráticas completas.
Pues es mucho más importante divertirse unos días explorando las adivinanzas,
trucos y técnicas que aprenderse de memoria las formulas y si la reinventa mucho
mejor.
Seguramente que de ese modo es muy difícil que la olvide y así le encontrará
mucho más sentido cuando necesite aprenderla y utilizarla.
Una posible forma de exploración es: la de comparar y cuadrar las áreas de los
lotes o rectángulos para determinar el largo del lado X que constituye la solución
de la adivinanza mediante procesos activos y de experiencia matemática concreta
que se había enunciado.
Como en estos casos se trata de trabajar con distancias que lógicamente incluyen
coeficientes positivos se recomienda tratar de manera diferente cada uno de los
tres tipos de ecuaciones cuadráticas que se presentan a continuación:
1er caso
X2 + 2rX = n
2er caso
X2 = 2rX + n
96
3er caso
X2 + n = 2rX
Que interpretan la comparación entre dos fincas de lado X., otro de lado X pero de
anchura 2r y un pedazo de tierra de área fija n.
Por tratarse esta de una orientación sobre como propiciar experiencias
matemáticas concretas en la solución de adivinanzas (ecuaciones) cuadráticas
se ilustraran aquí primero los casos particulares para después presentar los
casos generales con el objeto de no quedarnos nuevamente en el simbolismo
formal al cual corresponden estos casos.

EJEMPLOS DEL PRIMER CASO.
X2 + 2X – 8 = 0
La expresión en términos positivos es
X2 + 2X = 8
-
Represento a través de áreas de figuras la ecuación.
-
Organizo y junto las distintas regiones de las áreas de cada miembro de la
igualdad.
97
-
Completo los cuadrados adjuntando una unidad cuadrada a cada miembro
de la unidad.
-
Comparo las dos áreas resultantes en los dos miembros de la igualdad.
98
Como los cuadrados son iguales los lados también lo son:
Los lados de uno de los cuadrados miden X + 1 que son iguales a los lados del
otro cuadrado que miden 3 unidades de longitud; significando esto que
X + 1 = 3 de donde se deduce que X = 2 porque, 2 es el número que sumando con
uno(1) es 3. como se aprecia mejor en el siguiente diagrama que se ilustra
mediante una balanza.
X2 + 5X – 6 = 0
Escribo la expresión con términos positivos.
X2 + 5X = 6
99
-
Represento geométricamente la expresión.
-
Junto y organizo las áreas de las figuras en una sola por cada miembro de
la igualdad.
c. Completo y organizo los cuadros de ambos miembros.
100
-
Relacione los lados de los dos cuadrados.
Al responder la adivinanza X + 5/2 = 7/2 se deduce que X = 1.
2X2 + 6X – 20 = 0
2X2 + 6X = 20
-
Divido toda la ecuación en 2 para convertirla en la forma monica.
X2 + 3X = 10
-
Represento la ecuación a través de área.
101
-
Junto y organizo las áreas de los dos miembros de la igualdad y completo
el cuadro.
-
Soluciono la adivinanza.
X + 3/2 = 7/2
102
De donde
X =4/2
X=2
X2 + 2X – 7 = 0
X2 + 2X = 7
-
Represento la ecuación geométricamente.
- Organizo las áreas.
103
-
Completo los cuadros.
-
104
EJEMPLOS DEL SEGUNDO CASO
X2 – 2x – 8 = 0
Re-escribo la ecuación de modo que queden todos los términos positivos.
X2 = 2X + 8
-
Represento la ecuación geométricamente a través de áreas.
-
Organizo las distintas áreas identificando áreas comunes.
-
Cancelamos las áreas comunes en ambos miembros de la igualdad.
105
-
Nos queda.
-
Comparo los lados de los dos cuadrados.
ó
De donde al resolver la adivinanza X – 1 = 3 se encuentra que X = 4
X2 – 2X – 3 = 0
X2 = 2X + 3
106
De donde X = 3
107
X2 – 3X – 4 = 0
X2 = 3X + 4
3
x
2
108
De donde X = 8/2 = 4
X2 – 2X – 2 =0
X2 = 2X + 2
109
De donde
EJEMPLOS DEL TERCER CASO
X2 – 4X + 3 = 0
-
Escribo la ecuación con términos positivos.
4X = X2 + 3
-
Represento geométricamente la ecuación.
- Organiza las distintas áreas identificando las comunes.
110
-
Cancelo las áreas comunes en los dos miembros de la igualdad.
-
Resto tres(3) unidades cuadradas en ambos miembros.
-
Nos queda
Al resolver la adivinanza de la balanza se encuentra que X = 5/2.
111
3X2 – 4X + 1 = 0
La convierto en la forma monica
X2 – (4/3)X + (1/3) = 0 y luego a X2 + (1/3) = (4/3)X
112
Entonces
De donde X = 6/6 = 1
2X2 – 5X + 2 = 0
X2 – (5/2)X + 1 = 0
X2 + 2 = (5/2)X
113
De donde X = 8/4 = 2
2X2 – 4X +1 = 0
114
De donde
Terminado el paseo o recorrido por las exploraciones que involucran la solución de
adivinanzas cuadráticas en los estilos ya descritos; se deben desarrollar también
en los procesos formales de solución de estas ecuaciones; a través de
factorización y ecuación general entre otras. Incluyendo el procedimiento simbólico
que corresponde a la forma geométrica anteriormente tratada., que aunque es
poco conocida resulta interesante por su confiabilidad y brevedad en estos casos.
La técnica será presentada a continuación y es llamada PARTIR, CUADRAR Y
RESTAR.
 PARTIR, CUADRAR Y RESTAR
Para este método tendrás que saber muy bien que:
-
El cuadrado de la mitad de un número impar se calcula con la expresión
siguiente:
115
-
Restar un número negativo equivale a sumarlo a – (-b) = a + b
Ejemplos:
Resolvamos partiendo cuadrado y restando
X2 – 2X – 3 = 0
+1
Partimos en dos el coeficiente del 2º término y le cambiamos el signo
X2 – 2X – 3 = 0
+1
De ese término elevado al cuadrado restamos algebraicamente el término
independiente de la ecuación y se le escribe (más o menos) raíz cuadrada de esa
resta y nos queda.
116
X1 = 1 + 2
X1 = 3
X2 = 1 – 2
X2 = – 1
X2 + 3X – 18 = 0
- 1.5
X1 = – 1.5 + 4.5 = 3
X1 = 3
X2 = – 1.5 – 4.5
X2 = – 6
Nota: Cuando a ≠ 1 se divide toda la ecuación entre a para llevarla a esta forma.
Este método es tomado de Vasco U, Carlos E de nuevo enfoques para la didáctica
de las matemáticas.
Hasta aquí hemos mostrado algún caso particular donde se soluciona una
ecuación cuadrática a través del manejo de áreas de figuras; a continuación se
presenta la generalización de los procesos descritos.
 FORMA GENERAL PARA EL PRIMER CASO.
X2 + 2rX = n
Un lote cuadrado de lado X, más otro lote rectangular de área rX, que es dividido
en dos secciones iguales que son iguales a otro lote de área fija n.
117
de donde
118

FORMA GENERAL PARA EL SEGUNDO CASO
X2 = 2rX + n
119

FORMA GENERAL PARA EL TERCER CASO
X2 – 2rX + n = 0
X2 + n = 2rX
120
x r
r2
n
o sea
x r
r2 n
121
CAPITULO VI
ACOMPAÑANDO A LOS ESTUDIANTES EN SUS EXPERIENCIAS
ALGEBRAICAS UTILIZANDO LOS BLOQUES DE DIENES.
Los bloques de Dienes, son cuadrados y regletas de ciertas dimensiones.
Estos bloques se pueden elaborar en diversos materiales y dimensiones y de
acuerdo a las posibilidades y preferencias; entre ellos cartulina, madera, cartón
paja, plástico, etc.
En la construcción del material es importante asegurarse de que:
El lado del cuadrado pequeño es uno de los lados de la regleta (rectángulos).
La medida de los lados de los cuadrados grandes es la medida del largo de los
rectángulos.
Los rectángulos pueden ser equivalentes a tres cuadrados pequeños.
Los cuadrados grandes pueden ser equivalentes a tres rectángulos grandes.
Se pueden considerar las figuras con colores positivas y las blancas negativas
y viceversa.
122
En los rectángulos, se considera que la longitud de el lado más corto es la
unidad y el otro lado es X, de donde el área es también X.
El cuadrado más grande tiene como medida de sus lados, la medida del lado
mayor del rectángulo, es decir X.
Con este material conocido como bloques de Dienes, se puede:
Representar expresiones algebraicas.
Realizar operaciones de suma, resta y multiplicación de polinomios.
Solucionar ecuaciones cuadráticas.
Interpretar los productos notables.
Resolver algunos casos de factorización de polinomios como proceso inverso
del producto de los mismos.
Etc.
Estos bloques se deben usar para iniciar un proceso de operatividad algebraica de
modo que resulte más activo, entendible y agradable.
123
 REPRESENTEMOS EXPRESIONES ALGEBRAICAS
124
125
 SUMEMOS Y RESTEMOS POLINOMIOS DE PRIMER GRADO
Ejemplo 1.
Ejemplo 2.
126
Ejemplo 3.
127
128
 HACIA LA SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS DE SEGUNDO GRADO
Ejemplo 1.
Ejemplo 2.
129
 HACIA LA MULTIPLICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Ejemplo 1
2 (4X – 3)
Primero que todo representamos los indicado en el paréntesis.
Luego duplicamos como lo indica la constante.
Ejemplo 2.
3 (2X2 – X + 1)
130
Tres veces dicha expresión es:
Ejemplo 3.
(2X + 1) (3X + 2)
131
(2X + 1) (3X + 2) = 6X2 + 7X + 2
Ejemplo 4.
(2X – 1) (X – 3)
(2X – 1) (X – 3) = 2X2 – 7X + 3
132
Ejemplo 5.
(X + 2) (X – 3)
(X + 2) (X – 3) = X2 – X – 6
Ejemplo 6.
(3X – 5) (X + 1)
(3X – 5) (X + 1) = 3X2 – 2X – 5
133
 EXPLORANDO LA FACTORIZACIÓN COMO EXPERIENCIA
MATEMÁTICA CONCRETA
Al reconocer la factorización como la operación inversa del producto de
expresiones algebraicas, es pertinente ilustrar a continuación lo que pudiera
considerarse un posible camino hacia la factorización de expresiones de la forma
aX2 + bX + C., desde la visión “Experiencia matemática concreta”.
Desde esta perspectiva es conveniente iniciar motivando a los estudiantes a
completar un rectángulo con el material entregado, por ensayos y error de cuyos
lados principales se deducen los factores buscados y cuando resulte imposible
completar el rectángulo con las fichas entregadas, se deben utilizar las regletas; 1
por X que sean necesarias pero que en suma algebraica sean equivalentes a las
entregadas inicialmente.
Para empezar reversemos los productos de expresiones algebraicas que se
ilustraron en las páginas anteriores.
Ejemplo 1.
Factorar
6X2 + 7X + 2
Para tal fin se toma:
6 cuadrado de la longitud X de lado.
7 rectángulos de área X por 1.
2 cuadrados pequeños de área 1 X 1.
Nota: Las fichas sombreadas se consideran positivas y las otras negativas.
134
Ejemplo 2.
Factorar
2X2 – 7X + 3
Rectángulo completado
2
Entonces 2X – 7X + 3 = ( X – 3) (2X – 1)
Ejemplo 3.
Factorar
X2 + X – 6
135
Como es imposible completar el cuadrado se toman las regletas 1 por X que se
necesiten pero que sean equivalentes a una X. así:
Se toman 2 positivas y 2 negativas y así se tienen 3 positivas y 2 negativas que
equivalen a una X y se obtiene.
2
Entonces X + X – 6 = (X + 3) (X – 2)
Ejemplo 4.
136
Factorar
3X2 – 2X – 5
De donde 3X2 – 2X – 5 = (X + 1) (3X – 5)
Después de haber trabajado suficientemente por ensayo y error es conveniente
actuar con más premeditación o cálculo previo. Con el objetivo de que se ejercite
el algoritmo mediante la experiencia concreta como se ilustra a continuación, para
lo cual es conveniente no entregar el material, sino que el estudiante exija el que
sea que necesite.
Ejemplo 5.
Factorar
X2 + 4X + 4
Proceso: Analizo el polinomio, como hay cuatro unidades cuadradas 1 X 1,. Y 4
rectángulos X por 1, se que la posición es 2 rectángulos por cada lado del
cuadrado grande.
137
Luego completo con las 4 unidades 1 X 1 así:
De donde
X2 + 4X + 4 = (X + 2) (X + 2)
Ejemplo 6.
Factorar
X2 + 4X + 3
CÁLCULO PREVIO: Son 3 unidades 1 X 1, ya que los múltiplos de 3 son 3 y 1,
entonces, ubico 3 rectángulos por un lado del cuadrado mayor y uno por el otro
lado de ese modo uso los 4 rectángulos y los 3 cuadrados 1 X 1.
138
De donde
X2 + 4X + 3 = (X + 3) (X + 1)
Ejemplo 7.
Factorar
X2 + 5X + 6
Mírese que podría ser, 6 por un lado y 1 por el otro que son factores de 6 porque
se necesitarían 6 rectángulos y 6 cuadrados 1 X 1.
Sino que serian 3 por un lado y 2 por el otro y así coincide con el material
requerido según los datos del polinomio.
139
Debe entenderse que así se exige, que el producto sea 6 y la suma 5, como se
plantea en el algoritmo que debe re-invertirse y generalizarse al final.
Ejemplo 8.
Factorar
X2 + X – 2
El producto de los rectángulos es – 2 y la suma algebraica de los
rectángulos es uno (1).
Entonces necesito:
Un cuadrado X por X
Dos cuadrados pequeños negativos 1 X 1
Dos rectángulos positivos y uno negativo.
140
De donde
X2 + X – 2 = (X + 2) (X – 1)
Ejemplo 9.
Factorar
X2 – 2X – 8
Ubico el cuadrado X por X positivo.
Y los rectángulos son: 4 negativos y 2 positivos para que en el producto sean – 8
que corresponde a los cuadrados 1 X 1 y la suma algebraica sea
- 2
correspondiente a la diferencia entre la cantidad de rectángulos.
141
2
De donde X – 2X – 8 = (X + 2) (X – 4)
Ejemplo 10.
Factorar
X2 – 3x + 2
X2 – 3x + 2 = (X – 2) (X – 1)
Ejemplo 11.
Factorar
X2 – 6x + 5
142
X2 – 6x + 5 = (X – 1) (X – 5)
Ejemplo 12.
Factorar
2X2 + 3X – 2
2X2 + 3X – 2 = (X + 2) (2X – 1)
Ejemplo 13.
Factorar
3X2 + 5X + 2
3X2 + 5X + 2 = (X + 1) (3X + 2)
143
Ejemplo 14.
Factorar
3X2 – 10X + 3
3X2 – 10X + 3 = (X – 3) (3X – 1)
Ejemplo 15.
Factorar
6X2 – 3X – 3
De donde
6X2 – 3X – 3 = (6X + 3) (X – 1)
144
ANÁLISIS Y REPRESENTACIÓN DE LOS LLAMADOS PRODUCTOS
NOTABLES
1.
a2 + b2
2.
a2 – b2
También
145
a2 – b2 = a (a – b) + b(a – b)
= a2 – ab + ab – b2
= a 2 – b2
a2 – b2 = a (a – b) + b(a – b)
= (a – b) (a + b)
3.
(a + b)2
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
4.
(a – b)2
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
146
También
(a – b)2 = a2 –b(a – b) – b(a – b) – b2
= a2 – ab + b2 – ab + b2 – b2
= a2 – 2ab + b2
147
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