1. Educación

M´
etodos Lineales Multipaso
Relaci´
on 3. An´
alisis Num´
erico. 4 de Matem´
aticas
1) Hallar el l.m.m. de 2 pasos m´as exacto, y calcular el primer t´ermino en su E.L.T.
2) Hallar el orden y la constante de error del m´etodo de Quade:
yn+4 −
8
19
6h
19
(yn+3 − yn+1 ) − yn =
(fn+4 + 4fn+3 + 4fn+1 + fn )
y estudiar su cero-estabilidad.
3) Comprobar que el orden del l.m.m.
yn+2 − yn+1 =
h
12
(4fn+2 + 8fn+1 − fn ) ,
es cero. Aplicar el m´etodo para aproximar la soluci´on del problema y = 1, y(0) = 0 en
x = 1 y comprobar que el m´etodo es divergente.
4) Comprobar que el orden del l.m.m.
yn+2 + (b − 1)yn+1 − byn =
h
4
((b + 3)fn+2 + (3b + 1)fn ) ,
es 2 si b = −1 y es 3 si b = −1. Demostrar que el m´etodo es cero-inestable si b = −1
y comprobar la divergencia al aplicarlo al problema de Cauchy y = y, y(0) = 1 con los
valores iniciales y0 = y1 = 1.
5) Dado un l.m.m. de polinomios caracter´ısticos ρ(z), σ(z), se construye la sucesi´on de polinomios:
ρ1 (z) = ρ(z), ρj+1 (z) = zρ j (z) j = 1, 2 . . .
σ1 (z) = σ(z), σj+1 (z) = zσ j (z) j = 1, 2 . . .
Demostrar que el l.m.m. es de orden p si y solo si:
ρ1 (1) = 0,
ρj+1 (1) = jσj (1) j = 1, 2 . . . , p
ρp+2 (1) = (p + 1)σp+1 (1)
6) Demostrar que un l.m.m. tiene orden p si y solo si:
L [xr ; h] = 0,
r = 0, 1, . . . p,
L xp+1 ; h = 0
Comprobar adem´as que la constante de error Cp+1 est´a dada por:
(p + 1)!hp+1 Cp+1 = L xp+1 ; h
7) Hallar el rango de α para los cuales el l.m.m.
yn+3 + α (yn+2 − yn+1 ) − yn =
(3 + α)
h (fn+2 + fn+1 )
2
es cero-estable. Comprobar que existe un valor de α para el que el m´etodo es de orden
cuatro, pero si el m´etodo es cero-estable el orden no pueda ser mayor que dos.
1
8) Para ρ(z) = z 3 − z 2 +
z
4
− 14 , determinar σ(z) de grado 2 tal que el l.m.m. sea de orden 3.
9) Para σ(z) = z 2 , determinar ρ(z) de grado 2 tal que el l.m.m. sea de orden 2. (Nota: no
exigir α2 = 1.)
10) Suponiendo que el predictor es de orden p∗ y el corrector p, demostrar que puede obtenerse
un estimador parecido al de Milne cuando p∗ > p, pero esto no es posible cuando p∗ < p.
11) Escribir los algoritmos de los m´etodos predictor-corrector usando los m´etodos AdamsBashforth-Moulton de cuarto orden en los modelos siguientes:
a) PEC.
b) PECE.
c) PMEC.
d) PMECE.
P:
yn+4 − yn+3 =
C:
yn+3 − yn+2 =
h
24
h
24
(55fn+3 − 59fn+2 + 37fn+1 − 9fn ) ,
(9fn+3 + 19fn+2 − 5fn+1 + fn ) ,
12) Determinar un m´etodo de 3 pasos y orden 3 con la ra´ız −1 en ρ(z), en funci´on de β3 y β0 .
Dibujar su region de cero-estabilidad y calcular su constante de error.
13) Hallar la clase de los m´etodods de 2 pasos y orden 3 en funci´on del par´ametro β2 . ¿Para
qu´e valores de β2 son los m´etodos cero-estables? Expresar el coeficiente de error como una
funci´on de β2 . ¿Pertenece el m´etodo de Adams-Moulton a esta familia?
14) Se denomina m´etodo de Nystrom de k pasos, al l.m.m. con ρ(z) = z k − z k−2 y expl´ıcito.
a) Estudiar las relaciones que deben verificar los coeficientes del segundo polinomio
caracter´ıstico. ¿Cu´al es el m´aximo orden alcanzable?
b) Encontrar el m´etodo de Nystrom de 2 pasos.
c) Calcular el error de truncatura local del m´etodo obtenido en (b).
d) Estudiar la convergencia del m´etodo obtenido en (b).
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