SENTIDO NUMERICO E INICIACION AL ALGEBRA - dgespe

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SENTIDO
NUMERICO
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E INICIACION AL ALGEBRA
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SEGUNDA EDICION
Tenoch E. Cedilla A.
Colaboradora:
Gloria Saynez Mendoza
Sentido numérico
Segunda edición
e iniciación
al álgebra
D. R. © 1999 por Grupo Editorial Iberoamél'ica, S. A. de C. V.
Ninguna parte de este libro puede ser reproducida, archivada o transmitida en forma
alguna o mediante algún sistema, ya sea electrónico, mecánico. de fotorreproducción.
de almacenamiento
en memoria o cualquier otro. sin el previo y expreso permiso por
escrito de Grupo Editorial Iberoamérica.
Autor:
Ca laborado res :
Captura y diseño:
Tenoch ECedillo A.
Profesor titular, Universidad Pedagógica Nacional
Pro/a. Gloria Sayne: Mendo:a
Facultad de Ciencias de la UNAM
Prof Valentin Cru: Oliva
Escuela Normal Superior de México
f Tadimir L. Cedillo Miranda
Facultad de Ingeniería. UNAM
Editor:
ProdUcción:
Disei'lo de Cubierta:
Nicolás Grepe Philp
Ruben Ruiz V.
Ricardo Lápe: G.
ISBN 970-625-219-3
Grupo Editorial Iberoamérica, S. A. de C.
Nebraska 199. Col. Nápoles
C. P. 03810 México. D. F.
Teléfono: 523 09 94. Fax: 543 1 I 73
e-rnail [email protected]
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Reg. CAN1EM 1382
Impreso en MéxicolPrinted
in Me:tico
v.
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006134
LA CALCULADORA
EN EL AULA
Esta serie editorial tiene como propósito poner a disposición de los investigadores y profesores materiales de enseñanza para el uso de la calculadora en
el aula que se han derivado de la investigación. En los países desarrollados la
calculadora es ampliamente utilizada por los profesores en la clase de matemáticas, sin embargo, en nuestro país aún estamos en una etapa inicial a
este respecto. En los últimos años se ha observado que hay cada vez más
profesores e investigadores mexicanos que están desarrollando propuestas
para el uso de la calculadora, esta situación se ha hecho palpable en los
distintos eventos sobre la enseñanze de las matemáticas que se llevan a
cabo en México. Esas iniciativas son indicadores claros de un creciente interés por conocer y explotar de mejor manera los nuevos recursos tecnológicos
como un medio de apoyo en la enseñanza.
Existen revistas de enseñanza y de investigación que incluyen actividades
para el uso de la calculadora en la clase de matemáticas en el nivel básico,
desafortunadamente
la mayor parte de estos trabajos no se han divulgado
aún en revistas en español. Otro problema a este respecto es que a pesar de
que muchas de estas iniciativas presentan actividades e ideas interesantes,
lo que ofrecen es una muestra reducida de actividades para la enseñanza
que es insuficiente para delinear un enfoque didáctico en el que el profesor
se pueda apoyar para abordar el currículum oficial.
Recientemente se han editado valiosos materiales en español sobre el uso de
la calculadora, sin embargo, los materiales para la educación básica aún son
escasos. La primera etapa de esta serie editorial se propone, con el tiempo,
llenar ese vacío.
La Calculadora en el Aula representa un esfuerzo para propiciar la construcción de una cultura didáctica en el uso de nuevos recursos tecnológicos, esta
tarea exige la participación de muchos educadores y la búsqueda de un enfoque didáctico que permita ofrecer alternativas acordes al estilo y tradiciones de enseñanza en las escuelas mexicanas. En consecuencia, una condición que se ha impuesto a los materiales de esta serie es que sean el producto de cuidadosas revisiones a partir de resultados de investigación obtenidos en el aula.
Finalmente, deseo reiterar nuestra convicción de que serán los profesores en
servicio quienes tendrán la última palabra en cuanto a la pertinencia y utilidad de esta serie, por lo que sus comentarios o críticas siempre serán bienvenidos. Asimismo, se hace una cordial invitación a todos aquellos educadores que deseen publicar materiales sobre el uso de la calculadora para que
los propongan a la coordinación editorial de esta serie.
Tenoch Cedilla
Coordinador Editorial
[email protected]
RECONOCIMIENTOS
Quiero agradecer la participación de la Profesora Gloria Saynes Mendoza, cuya colaboración
hizo posible incluir la sección Exponentes y Simbolización.
Asimismo. Debo manifestar mi reconocimiento a los profesores Valentín Cruz
Oliva y Martín Reyes Arellano por su colaboración en la puesta a prueba de
estos materiales en las secundarias diurnas Soledad Anaya Solórzano y República de Panamá en el D.F., respectivamente.
De manera especial deseo expresar mi agradecimiento
al Dr. Eugenio Filloy
Yagüe por el apoyo decidido que me ha brindado para trabajar con alumnos
de primaria y secundaria en el Centro Escolar Hermanos Revueltas. Agradezco a Texas Instruments
de México, las facilidades que me ha brindado para
contar con calculadoras durante diferentes fases de aplicación de los materiales de enseñanza que conforman este volumen.
CONTENIDO
Reflexiones teóricas
Investigación
Referencias bibliográficas
Recomendaciones para la enseñanza
Guía didáctica
Actividades para la enseñanza
Hechos numéricos básicos
1
S
16
18
22
29
iSe descompuso la tecla para sumar!
32
33
34
35
iSe descompuso la tecla para restar!
36
Del cero al 100 sólo con cuatro "cuatros"
Valor posicional
Lectura y escritura de números
Equivalencia numérica
IAI cero en cinco pasos!
37
38
¿Qué números dividen a otros?
39
¿Qué números se dividen entre 7 y 11?
40
41
¿Esos
"numerotes" son divisIbles entre todo eso?
Números decimales y sus operaciones
Suma y estimación
43
Resta y estimación
44
Multiplicación y estimación
45
iSe descompuso la tecla para multiplicar!
46
División y estimación
47
iSe descompuso la tecla para diVIdir!
48
Lectura y escritura de números decimales
49
Lectura y escritura de medidas de longitud
SO
Lectura y escritura de medidas de peso
51
Transformaciones
52
en un solo paso
iSe descompuso la tecla del punto decimal!
Fracciones decimales
53
54
Fracciones comunes y sus operaciones
Noción de fracción
Fracciones equivalentes
Fracciones como razones
Fracciones como operadores
¿Cuáles son las fracciones que faltan?
«Como encuentro esas fracciones'?
Un poco de fracciones y restas
i Multiplicar con fracciones es bastante fáCIl!
¿Cuál fracción es la mayor?
¿Qué fracciones dan la suma mayor?
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
•••••
Números con signo y sus operaciones
¿Cómo sumamos números con signo?
Algo más sobre sumas
67
68
69
70
71
72
73
¿Cómo restamos números con signo?
¿Cómo multiplico números con signo?
Algo más sobre multiplicación de números con signo
«Corno divido números con signo?
Potencias de números con signo
¿Sirven para algo los números con signo?
Exponentes y aproximación
74
¿Que es eso de exponentes fraccionarios?
iTambién hay exponentes negativosf
iSe descompuso la tecla de la raíz cuadradaf
76
77
Como me aproximo ... epo: abajo o por arriba?
Exponentes y simbolización
79
78
Potencias y simbolización (1)
Potencias y simbolización (2)
Potencias y simbolización (3)
Potencias y simbolización (4)
¿qué es eso de "elevar a la menos 1?
Leyes de los exponentes (1)
Leyes de los exponentes (2)
¿Una potencia que siempre da por resultado 1?
Simbolización: números consecutivos
Términos semejantes (1)
Términos semejantes (2)
Términos semejantes (3)
Términos semejantes (4)
Equivalencia algebraica
Simbolización: problemas algebraicos
/Esto s/ está d/f/ClZ!
Solución de ecuaciones: Estrategias no convencionales
Incógmtas/ ecuaciones/ ... ¿Qué es todo eso?
Números perdidos
¿Ecuaciones con más de una solución?
¿Ecuaciones distintas que tienen la misma solución?
¿Qué es eso de ecuaciones equivalentes?
¿Resolver ecuaciones por tanteos?
¿Puedo hacer que esas ecuaciones sean más simples?
¿Qué es eso de deshacer operaciones?
iEsto de las ecuaciones no es tan dif/cil!
Manual básico: para el uso de la calculadora
Jerarqu/a de operaciones
Uso de paréntesis
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
98
99
100
101
102
103
104
105
106
108
--
----
_._--
--
Notación científica
Tecla para la operación de restar y tecla del signo negativo
109
La tecla AN5
110
Fracciones
Potencias
«como se edita
un programa en calculadoras TI-89
y TI-92
Modelos TI-7~ 80, 81, 82, 83 Y 85
ecomo
se
"corre" un programa? Modelos TI-7J, 80, 81, 82,83 Y 85
¿Cómo se edita un programa en calculadoras Casio?
ecomo
se
"corre" un programa en calculadoras Casio?
111
112
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115
116
La calculadora
en el aula Volumen
Sentido Numérico
REFLEXIONES
e Iniciación
1
1:
Reflexiones
al Álgebra
teóricas
TEÓRICAS
El sustento teórico del modelo didáctico que se presenta en este volumen se
conformó a través de una constante interacción entre teoría y práctica. Este
proceso se originó en un estudio exploratorio sobre el potencial de la calculadora programable como herramienta cognitiva; el estudio se llevó a cabo
con estudiantes de 11-12 años de edad que no habían recibido instrucción en
álgebra (Cedillo, 1994), y el trabajo de campo tuvo una duración de diez
sesiones de 50 minutos. Las actividades con las que se experimentó en el
aula se basaron en pedir a los estudiantes que identificaran las reglas que
gobiernan ciertos patrones numéricos y, una vez que lo lograban, se les pedía que construyeran un programa en la calculadora que reprodujera esos
patrones. En términos matemáticos, estas actividades requieren a los estudiantes que expresen mediante una función lineal la forma en que ellos describen verbalmente las reglas que generan un patrón numérico. Por ejemplo,
la regla que genera la siguiente tabla puede expresarse mediante la función
y=2x-1.
Número de
entrada
Número
de salida
1
1
4
7
6
11
9
17
Como se esperaba, la reacción espontánea de los estudiantes para enfrentar
esas actividades fue expresar verbalmente la regla que genera una tabla
como la anterior, por ejemplo, "multiplicar por 2 y restar 1", o "sumar el
número consigo mismo y restar uno". Una vez que introducían en la calculadora una función lineal que creían que representaba esa regla, asignaban
valores numéricos a la variable para así verificar la validez de sus respuestas.
Debe mencionarse que en este estudio no se incluyó instrucción alguna acerca de nomenclatura o conceptos algebraicos, para los estudiantes esas expresiones algebraicas sólo eran programas que permitían que la calculadora
"entendiera" lo que ellos querían hacer.
La posibilidad que brinda la calculadora para editar expresiones algebraicas
va más allá de sólo poder registrarlas, como puede hacerse en el ambiente
del lápiz y el papel o en un pizarrón electrónico. Realmente, el recurso importante que ofrecen esas máquinas es que hacen posible usar las expresiones algebraicas, por ejemplo, obtener su valor numérico para un valor específico de la variable, o construir tablas y gráficas para subsiguientes exploraciones. Esto aunado a la retroalimentación inmediata que proporciona al
usuario.
Los resultados de ese estudio sugirieron que los recursos que ofrece la calculadora programable son lo que dieron lugar a que los estudiantes abordaran las actividades mediante estrategias no convencionales que generaban al
seguir sus propias formas de razonamiento (Cedillo, 1994). Las respuestas
de los estudiantes mostraron que el uso de la calculadora permitió que los
estudiantes plantearan conjeturas y las evaluaran por sí mismos, lo cual les
Tenoch E. Cedillo A.
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La calculadora
en el aula Volumen 1:
Sentido Numérico e Iniciación al Álgebra
Reflexiones
teóricas
estimuló a que se aventuraran siguiendo estrategias propias, sin necesidad
de que acudieran constantemente al profesor para pedir su aprobación o
para recordar procedimientos convencionales previamente aprendidos. En
lugar de hacer ese tipo de preguntas, las participaciones de los estudiantes
se centraron en proponer soluciones, cuyas formas de validación eran discutidas con el profesor. Esto, en teoría, brinda al profesor la posibilidad de
conducir a sus estudiantes hacia un nivel más alto de aprendizaje. Por ejemplo, el simple hecho de que en general cada estudiante elegía una literal
distinta para editar sus programas, como P+4 y B+4; o cuando uno de ellos
construía el programa A+A-1, y otro el programa 2xB-1, daban lugar a sustanciosos debates con el grupo sobre cuestiones relacionadas con equivalencia algebraica.
El ambiente de trabajo que se generó durante ese estudio podría describirse
como un escenario en el que, esencialmente a través de la exploración numérica orientada a la consecución de un fin claramente establecido, los estudiantes iban asignando significados al código algebraico a partir de las formas en que lo usaban, sin requerir previamente del conocimiento de definiciones y reglas de transformación algebraica. Esta forma de trabajo sugirió
que los estudiantes estaban aprendiendo álgebra a partir de su uso, lo cual
condujo a la búsqueda de elementos teóricos que permitieran explicar y analizar lo que ahí se había observado.
El mejor ejemplo de aprendizaje a través del uso lo proporciona el lenguaje
natural: la lengua materna se aprende fundamentalmente
a través de su
uso, sin necesidad de conocer previamente aspectos gramaticales o reglas
sintácticas. Las similitudes que se presentaron en ese estudio exploratorio
entre el aprendizaje del álgebra y el del lenguaje natural, condujeron a la
idea de proponer la enseñanza del álgebra como un código cuya función es
comunicar ideas matemáticas. Cabe mencionar que, bajo perspectivas distintas, esta postura ha sido anteriormente abordada por Papert (1980) y
Mason (1984). La forma en que se avanzó en el desarrollo de estas ideas se
discute en la siguiente sección.
Principios teóricos
El estudio que sucintamente se describió en la sección anterior dio lugar a
cuestionar un principio teórico que subyace en un enfoque de enseñanza
ampliamente empleado en matemáticas. El principio teórico que aquí se
menciona se puede resumir como sigue:
Los significados determinan los distintos usos del lenguaje
Muchos libros de texto ejemplifican este principio, se inicia con definiciones,
ejemplos y reglas sintácticas (significadoS); después de esto, el capítulo se
cierra con una serie de problemas que requieren la aplicación de las definiciones, reglas y ejemplos que les antecedieron (usoS). Indudablemente este
enfoque teórico funciona, de esa manera han aprendido matemáticas muchas generaciones. Pero también sabemos que para una gran mayoría de
esos estudiantes las matemáticas han resultado algo muy difícil de comprender, y en muchos casos un obstáculo insuperable (ver, por ejemplo, Küchemann, 1981; Booth, 1984; Lee y Wheeler, 1988). Los resultados poco satisfactorios que se han obtenido aplicando ese enfoque hacen plausible la búsqueda de alternativas, como la que se discute a continuación.
Tenoch E. Cedillo A.
La calculadora
en el aula Volumen 1:
Sentido Numérico e lnlclación al Álgebra
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Reflexiones teóricas
La contraparte de ese principio teórico se ajusta en buena medida a lo observado en el estudio exploratorio anteriormente expuesto, éste puede resumirse como sigue:
Los usos del lenguaje determinan sus significados
Este enfoque teórico concuerda con el trabajo desarrollado por Bruner (1980,
1982, 1983, 1985), quien realizó una extensa investigación sobre la adquisición del lenguaje materno. Su estudio se centró en indagar cómo es que los
niños, aparentemente sin esfuerzo, aprenden algo tan complejo como el
lenguaje natural. Una parte central de su trabajo se condujo a estudiar qué
es lo que hace posible que el lenguaje natural sea aprendido por cualquier
persona con una inteligencia normal, mientras que, en general, otros campos
de conocimiento presentan una situación bastante distinta a este respecto.
¿Por qué no todos aprendemos matemáticas, filosofía, geografía o historia y
sí aprendemos con un aceptable nivel de dominio el lenguaje natural?
La investigación de Bruner cuestiona sensiblemente posiciones teóricas
planteadas con anterioridad. Entre éstas deben destacarse las propuestas
por Piaget y Chomsky.
Piaget (1985, 1988), planteado sucintamente, propone que el desarrollo del
lenguaje es un subproducto del desarrollo de operaciones cognitivas no lingüísticas. Bajo esta perspectiva, el lenguaje es simplemente un síntoma de la
semiotización automática de las operaciones cognitivas del desarrollo. Un
problema con esta posición teórica es que no especifica a través de qué medios concretos estas operaciones cognitivas no lingüísticas propician la capacidad para reconocer y emplear la gramática de predicados, o el sistema de
marcadores lingüísticos definido-indefinido de la anáfora, o la capacidad para
generar únicamente frases bien formadas, confiando así, con una fe ciega,
en la inevitabilidad del progreso. Un ejemplo claro de la inconsistencia de
esta posición es que no ofrece una respuesta plausible a cómo es que un
niño, situado claramente en una fase egocéntrica, puede dominar el uso de
pronombres de cambio de persona como "yo" y "tú", cuando se supone que
el desarrollo intelectual que ha alcanzado no le permite adoptar la perspectiva de alguien más (Bruner, 1982).
Otra importante perspectiva teórica sobre la adquisición del lenguaje es la
desarrollada por Chomsky (1957), quien propone que los seres humanos
nacemos equipados con un poderoso sistema neurológico que nos permite
decodificar la gramática del lenguaje natural. Esta concepción sugiere que la
adquisición de la estructura sintáctica formal del lenguaje es completamente
independiente del conocimiento del mundo, o de una interacción social privilegiada con los hablantes del lenguaje. Según esta postura, la cuestión de los
detalles de la adquisición del lenguaje es, sobre todo, un problema de desempeño, más que de competencia, que es innata. De acuerdo con
Chomsky, el desarrollo del desempeño depende totalmente del desarrollo de
otros procesos, como la amplitud de atención y la capacidad de procesamiento de información.
La investigación de Bruner ofrece una alternativa que va mas allá de las concepciones planteadas por Piaget y Chomsky. Los resultados de su investigación sugieren que el lenguaje natural no es sólo una consecuencia del desarrollo intelectual, o sólo un resultado del asombroso sistema neurológico con
Tenoch E. Cedilla A.
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La calculadora
en el aula Volumen 1:
Sentido Numérico e Iniciación
al Álgebra
Reflexiones
teóricas
el que estamos dotados los seres humanos. Entre sus principales resultados,
retomamos para este estudio que él encontró que el lenguaje natural se
enseña, que el adulto arregla artificialmente el ambiente de manera que
sintonice con las posibilidades de comprensión del niño (Bruner, 1983).
Ese referente teórico mostró proporcionar un buen sustento para abordar la
enseñanza del álgebra (Cedilla, 1994, 1995, 1996). Los resultados de esos
estudios resaltaron la necesidad de establecer una relación más estrecha
entre la enseñanza de la aritmética y el álgebra (Cedilla, 1995, 1997) Y sugirieron que una manera de fortalecer esa relación es logrando que los estudiantes generen significados para los números y sus operaciones que les
permitan ir más allá de aplicar los algoritmos de las operaciones aritméticas
eficientemente, de manera que empiecen a trabajar con "lo aún desconocido" en un contexto numérico.
El referente teórico en que se sustentan los materiales para la enseñanza
que se incluyen en este volumen, consiste en concebir la aritmética como un
sistema de signos que los sujetos pueden usar para comunicar y manipular
ideas matemáticas. Bajo esta premisa, se asigna a la calculadora el papel de
un ambiente en el que los sujetos pueden producir expresiones matemáticas
empleando el lenguaje de la aritmética. Un aspecto crucial en este planteamiento teórico, es que la producción de esas expresiones se da como una
forma de comunicación entre el sujeto y la máquina, lo cual se basa en un
uso de la calculadora para realizar actividades que promueven que el sujeto
anticipe una respuesta antes de acudir a la máquina, cuando se ejecuta el
procedimiento mediante el que el usuario expresa su estrategia, la respuesta
de la máquina le ofrece retroalimentación inmediata que le indica si sus
mensajes fueron emitidos y recibidos con la intención y el significado que él
quería darles.
Las actividades de aprendizaje que se presentan en este volumen fueron
diseñadas para orientar la enseñanza de la aritmética a través de su uso.
Guardadas las proporciones, pudiera considerarse que este proceso intenta
simular la forma en que aprendemos el lenguaje materno. Este referente
teórico puede resumirse en algunos principios, entre los que se destacan los
síquíentes':
•
•
I
El uso del código aritmético es el vehículo que promueve que los estudiantes asignen significados a los números y sus operaciones. Este principio contrasta notablemente con el que consiste en asumir que los significados (definiciones y reglas) son los que determinan la forma en que
posteriormente se aplicará el sistema de signos de la aritmética.
De acuerdo con el principio anterior, este enfoque teórico no propone
sustentar la enseñanza de la aritmética en el aprendizaje de reglas y definiciones, sino en realizar actividades que favorezcan que el estudiante,
a través del uso del código aritmético, asigne significados a los números
y sus operaciones que le permitan usar con propiedad ese código en distintos contextos.
Puede encontrarse una versión detallada de este referente teórico en Cedilla, 1999.
Tenoch E. Cedillo A.
La calculadora
en el aula Volumen 1:
Sentido Numérico e Iniciación
al Álgebra
5
Investigación
INVESTIGACIÓN
Introducción
En los actuales planes y programas de estudio de matemáticas para la escuela secundaria se hace énfasis en que el trabajo en clase deberá "favorecer la comprensión de las nociones aritméticas a partir de la solución de problemas muy diversos y permitirá el desarrollo de estrategias de conteo, cálculo mental, estimación de resultados y el uso inteligente de la calculadora'".
En cuanto a la enseñanza del álgebra, se recomienda "aprovechar las oportunidades que ofrecen la aritmética y la geometría para que los estudiantes
se inicien gradualmente en el uso de las literales y otros temas que preparan
el acceso al álgebra". Respecto a la incorporación de nuevos medios, se recomienda "utilizar la calculadora como un auxiliar en la solución de problemas" (Libro para el Maestro de Educación Secundaria, SEP, 1993, pág. 19).
Estos principios y recomendaciones alientan por primera vez el uso de la calculadora desde el ámbito oficial en México, y resumen dos finalidades centrales para la enseñanza de la aritmética, por una parte se destaca su carácter instrumental como herramienta para comprender y manejar información de tipo cuantitativo; por otra parte, se señala la función propedéutica de
la enseñanza de la aritmética como un elemento que proporcione bases para
el estudio del álgebra y la geometría tanto en la escuela secundaria, como
posteriormente en el bachillerato. Estas finalidades concuerdan ampliamente
con los propósitos de los profesores de matemáticas, a la fecha aún no conozco a algún profesor que no pretenda que sus alumnos usen las matemáticas escolares como una herramienta que les permita plantear y resolver problemas, y que ese conocimiento sea la base sobre la que sostenga un sólido
avance en estudios posteriores. El problema que aún debemos intentar solucionar es cómo llevar a buen término esos propósitos con un mayor número
de alumnos. Éste es el ámbito en que se ubica la investigación que aquí se
reporta.
La reforma curricular de 1993 propone una alternativa a una tradición de enseñanza que se cultivó durante mucho tiempo, en la que el énfasis se otorgaba al dominio de la ejecución de las operaciones aritméticas básicas, lo
cual se tradujo en una gran inversión de tiempo y esfuerzo por parte de los
profesores para que los estudiantes lograran un manejo aceptable de los algoritmos para hacer esas operaciones. Quizás la mayor crítica a este enfoque
es que propiciaba un aprendizaje mecanicista que parece no favorecer la
comprensión de conceptos, ni un uso eficiente de la aritmética como herramienta para resolver problemas. A este respecto, la reforma curricular de
1993 disminuye notablemente el énfasis en la enseñanza de los algoritmos
de las operaciones aritméticas y otorga especial atención a que los alumnos
desarrollen estrategias no convencionales. Este planteamiento didáctico se
apoya en cuidadosas recomendaciones para el profesor y en los libros de
texto, en los que se incluyen actividades donde las operaciones básicas se
introducen en el marco de la resolución de problemas.
Esa alternativa para la enseñanza de la aritmética ofrece una perspectiva
más alentadora, parece sensato pensar que la función de las operaciones de
la aritmética, y los conceptos que éstas involucran, podrían comprenderse
I
Educación Básica, Secundaria. Plan y Programas de Estudio 1993, SEP, pág. 38.
Tenoch E. Cedillo A.
6
La calculadora en el aula Volumen 1:
Sentido Numérico e Iniciación al Álgebra
Investigación
mejor si su enseñanza se ubica en un contexto en donde la finalidad no sea
simplemente ejecutar bien las operaciones básicas, sino usarlas como un
medio para resolver problemas. Sin embargo, el diseño de actividades para
una enseñanza basada en la resolución de problemas es una de las grandes
dificultades aún no superadas. Aún persiste el debate sobre cuáles problemas son más adecuados: los problemas basados en "situaciones de la vida
real", que acuden a la experiencia cotidiana del estudiante como apoyo para
el aprendizaje de situaciones más complejas y abstractas, o los problemas
diseñados para recrearse en situaciones de orden meramente matemático,
que acuden a la curiosidad intelectual y la creatividad del estudiante. La investigación realizada a la fecha confirma que los estudiantes presentan distintos tipos de acercamiento y distintas habilidades en la resolución de problemas, por lo que considero que ambos tipos de problemas debieran incluirse como punto de partida en la enseñanza de las matemáticas.
El uso de la calculadora en la clase de matemáticas es otro aspecto que requiere de un estudio cuidadoso para dar un mejor apoyo al logro de las metas propuestas. La incorporación de la calculadora en el aula introduce nuevos elementos que implican, entre otros aspectos, el diseño de actividades
de aprendizaje acordes a esa nueva herramienta, y por lo mismo, en consonancia con nuevas formas de enseñanza y de aprendizaje.
En esta década se han realizado un buen número de investigaciones que han
aportado evidencia de los beneficios que pueden obtenerse del uso de la calculadora en la clase de matemáticas; esos estudios han ayudado a despejar
muchas dud~s de los profesores y padres de familia sobre la pertinencia del
empleo de la calculadora en el aula. Por ejemplo, actualmente ya no se puede sostener la creencia de que el uso de la calculadora puede inhibir el desarrollo de habilidades aritméticas básicas (Hembree y Dessart, 198ó, 1992;
Shuard, 1992; Ruthven, 1992; Brolin, 1992). Otros estudios han mostrado el
potencial del uso de la calculadora como apoyo en la resolución de problemas, en particular, se ha encontrado que el uso de la máquina favorece que
los estudiantes se concentren en los procesos de solución al hacer descansar
el cálculo aritmético en la calculadora. Otro aspecto favorable a este respecto
es que la disponibilidad de la calculadora en el aula permite que los problemas propuestos sean "más realistas", ya que el apoyo que brinda la máquina
ayuda a que el profesor introduzca en e: planteamiento de problemas datos
numéricos que no se restringen al manejo de números enteros, aspecto que
en el ambiente del lápiz y el papel lrnita artificialmente las situaciones que
dan contexto a un problema matemático (Shumway, 1990; Shuard, 1992).
La investigación que aquí se reporta se propone estudiar qué es lo que
aprenden los alumnos cuando el ambiente de aprendizaje se basa en el uso
de la calculadora, en otras palabras, el interés central de esta investigación
es analizar las nociones y estrategias numéricas que desarrollan los estudiantes en un ambiente de trabajo donde la ejecución de las operaciones
a.ritméticas no es un fin, sino el medio que permite explorar y generar soluciones a problemas matemáticos; otro propósito que orienta esta investigación es estudiar cómo influye en el aprendizaje de los estudiantes el hecho
de que el trabajo de cálculo aritmético esté a cargo de una máquina. Uno de
los productos esperados de este trabajo es la formación de un banco de actividades de enseñanza en el que la calculadora no se use solamente como un
Tenoch E. Cedillo A.
La calculadora
en el aula Volumen 1:
Sentido Numérico
e Iniciación
7
al Álgebra
auxiliar en el cálculo aritmético,
aprendizaje de los estudiantes.
Investigación
sino como una herramienta
que medie el
En lo que resta de este reporte se abordan cuestiones de orden metodológico, se discuten los resultados obtenidos y, por último, se plantean algunas
implicaciones hacia la enseñanza.
Aspectos metodológicos
Preguntas de investigación
La investigación se orientó a obtener datos que permitieran dar respuesta a
las siguientes preguntas:
•
¿Qué nociones y estrategias aritméticas desarrollan los estudiantes
cuando enfrentan situaciones donde las operaciones aritméticas son el
vehículo para obtener respuestas o soluciones, y la ejecución de las
operaciones se deja a cargo de la calculadora?
•
¿Cuáles son las limitaciones y las bondades de las actividades basadas en
la exploración numérica mediante el uso de la calculadora?
•
¿Cuál es la actitud de los estudiantes hacia esta forma de enseñanza?
Método
Dado que una meta importante de esta investigación es estudiar lo que
aprenden los alumnos, se adoptó el método de análisis cualitativo como instrumento de investigación, en particular, el método de estudio de casos (Miles y Huberman, 1984). Esta forma de análisis permite inquirir y conocer de
manera más detallada los procesos de solución que emplean los estudiantes,
lo cual proporciona un esquema más fiel de los alcances y limitaciones de sus
aprendizajes. Las fases previstas para realizar esta investigación son un estudio piloto y un estudio principal, en ambas fases las principales fuentes de
datos son el trabajo escrito de los estudiantes (36 hojas de trabajo realizadas
en clase y dos cuestionarios), y dos entrevistas individuales con seis alumnos
previamente seleccionados de acuerdo con su desempeño en matemáticas,
dos alumnos con un rendimiento por abajo del promedio, dos alumnos con
rendimiento promedio, y dos alumnos con rendimiento arriba del promedio.
Las entrevistas fueron estructuradas con base en los procesos de solución
que emplearon esos alumnos para abordar las hojas de trabajo durante las
sesiones de clase.
En este reporte sólo se aborda la parte correspondiente al análisis de los
datos obtenidos del trabajo escrito de los alumnos, posteriormente se reportará la siguiente fase de investigación, en la que se incluirán los datos
arrojados por entrevistas individuales.
Sujetos
El trabajo de campo se llevó a cabo con un grupo escolar que cursa el primer
grado de la escuela secundaria (11-12 años de edad)". El grupo consta de 20
alumnos y se trabajó con ellos durante 16 sesiones de 50 minutos cada una,
dos sesiones por semana, durante ocho semanas. El trabajo se desarrolló
como una parte del curso regular que se imparte en la escuela.
2
Centro Escolar Hermanos Revueltas, Coyoacán, México, D.F.
Tenoch E. Cedillo A.
po
8
La calculadora
en el aula Volumen 1:
Sentido Numérico e Iniciación al Álgebra
Investigación
Ambiente de trabajo
El investigador se incorporó como profesor del curso de matemáticas, su
participación se centró en observar y hacer registros sobre el trabajo realizado por los alumnos. Esto fue factible debido a que la actividad en la clase se
desarrolló con base en hojas de trabajo previamente preparadas que se proporcionaban a los alumnos al inicio de cada sesión. Esta forma de trabajo
permitió que: (i) las actividades no dependieran de la exposición del profesor, (ii) que los alumnos pudieran avanzar a su propio ritmo, y (iii) que el
profesor tuviera la posibilidad de atender las preguntas que individualmente
planteaban los alumnos.
Se dedicaron al trabajo de campo dos de las cinco sesiones semanales de
que consta el curso regular. La actividad durante esas sesiones de clase se
organizó como sigue:
•
•
•
•
Al iniciar la clase los alumnos recibían un sobre que contenía las hojas de
trabajo sobre un tema determinado. Los alumnos tomaban su calculadora e iniciaban el trabajo. Se pedía a los alumnos que hicieran su mejor
esfuerzo y avanzaran tanto como les fuera posible. Al finalizar la sesión
entregaban su sobre al profesor (investigador), en la siguiente clase recibían su sobre con las hojas de trabajo que habían completado revisadas por el profesor, y las hojas que aún no habían abordado. Los estudiantes debían retomar su trabajo haciendo las correcciones señaladas
en las notas que el profesor había escrito al revisar los trabajos. Una vez
hecho esto podían abordar nuevas hojas de trabajo.
Los alumnos podían elegir trabajar en grupo o individualmente.
Los alumnos podían completar tantas hojas de trabajo como les fuera
posible en cada sesión, la única regla era que no podían entregar su trabajo en blanco, si no entendían algo debían acudir al profesor o a cualquiera de sus compañeros.
Ei profesor observaba cómo trabajaban los estudiantes y atendía las preguntas que individualmente le planteaban.
Actividades de enseñanza.
Las actividades se organizaron en paquetes de hojas de trabajo que corresponden a los siguientes temas: Números naturales y sus operaciones (8 hojas de trabajo), Decimales y sus operaciones (12), Fracciones comunes y sus
operaciones (8), y Números con signo y sus operaciones (8). En la sección
"Actividades para la Enseñanza" pueden encontrarse las actividades que se
emplearon durante el trabajo de campo.
Toma de datos
Con el fin de documentar el trabajo de los alumnos, las actividades de enseñanza se diseñaron como hojas de trabajo y se reprodujeron para ser entregadas a cada estudiante. Esto proporcionó datos que posteriormente fueron
analizados. Al término de cada sesión se recogían las hojas de trabajo que
habían completado los estudiantes. Esas hojas eran revisadas por el investigador y se llevaba un registro del avance de cada estudiante. Estos registros
se centraron en las siguientes categorías: (i) los aciertos de los estudiantes,
(ii) los errores que cometieron, (iii) las estrategias no convencionales que desarrollaron, y, (iv) las dificultades que tuvieron y la forma en que las superaron (con ayuda del profesor o por sí mismos).
Tenoch E. Cedillo A.
La calculadora
en el aula Volumen 1:
Sentido Numérico
e Iniciación
al Álgebra
9
Investigación
Las notas que tomó el investigador al término de cada sesión constituyeron
otra fuente importante de datos. Finalmente se aplicaron dos cuestionarios a
manera de exámenes que permitieron estudiar los logros individuales y las
estrategias que desarrollaron los estudiantes.
Resultados
Nociones y estrategias: Transición de lo particular a lo general.
Un resultado importante de este estudio está relacionado con indicios de
procesos de generalización mostrados por los estudiantes. A pesar de que las
actividades de enseñanza consistieron en manipulaciones numéricas, y por lo
mismo se centran en el tratamiento de casos específicos, las estrategias que
desarrollaron los estudiantes mostraron una notoria tendencia hacia la generalización de procedimientos. Esta forma de trabajo de los estudiantes
puede ser un antecedente importante en el paso de la aritmética al álgebra.
Los datos recabados muestran que hubo dos factores determinantes en las
estrategias que desarrollaron los alumnos en torno a procesos de generalización: (i) el cálculo numérico se hizo descansar en la calculadora, lo cual favoreció que los estudiantes se concentraran en el establecimiento de las relaciones relevantes en la solución de un problema; (ii) el cálculo numérico
nunca fue el objetivo final de las actividades, sino un medio para realizarlas.
Las actividades así diseñadas y el apoyo de la calculadora, propiciaron que
los estudiantes exploraran tantas estrategias como les fue posible sin que
eso agotara sus esfuerzos, lo cual parece haber favorecido que en muchas
ocasiones encontraran más de una forma de resolver un problema. Este hecho ayudó que los estudiantes rompieran el esquema de respuesta única y se
iniciaran en la búsqueda de estrategias más generales y más eficientes. En lo
que sigue se presentan algunos episodios del trabajo de los estudiantes que
proporcionan evidencia de esto.
"La tecla descompuesta" es una actividad en la que se requería a los estudiantes que encontraran formas para ejecutar las operaciones aritméticas sin
usar las tecla correspondientes a la ejecución de una operación. Atahualpa
(alumno de 12 años de edad), encontró mediante exploraciones numéricas
que para sumar dos números sin usar la tecla de la suma, podía \\duplicar el
mayor de los números y a eso restarle el resultado de restar a ese número el
otrd", Su explicación puede describirse mediante la identidad
a+b=2a-(a-b),
cabe mencionar que Atahualpa no cuenta con elementos de
álgebra que le permitan expresar y manipular esas relaciones mediante esa
identidad. Él no pudo explicar con claridad cómo encontró ese método, no
obstante, el argumento que utilizó para sostenerlo fue retar a sus compañeros a que encontraran un par de números que no pudieran ser sumados de
esa manera, lo cual también corresponde a un procedimiento general para
mostrar la no validez de una proposición. Algunos estudiantes se esforzaron
para encontrar un ejemplo que contradijera la estrategia de Atahualpa, al no
poder hacerlo se propusieron encontrar cómo explicar su validez y obtuvieron, mediante doblado de papel el siguiente diagrama, donde los rectángulos
A y B representan a los números que "quieren sumar sin sumar".
De aquí en adelante, el texto entre comillas y letra cursiva corresponde a transcripciones de expresiones de los estudiantes.
3
Tenoch E. Cedillo A.
r
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La calculadora
en el aula Volumen 1:
Investigación
Sentido Numérico e Iniciación al 'Igebra
A+B:
A "A" le restas "B"
I
t
[;J
A
I
A-B
~
B
I
I
I
Duplicas "A"
A
Si a "A+A" le quitas lo
que dio de
"A-B", te queda "A+B"
A
A+B
A-B
¡; ,
Otros tres estudiantes intuyeron que el método de Atahualpa se podía aplicar
al caso de "restar sin usar la tecla de la resta" (el investigador los alentó para
que no abandonaran esa idea). Finalmente encontraron el siguiente procedimiento: "multiplica por dos el primer número ya eso le restas el resultado
de sumar los dos números', lo cual corresponde a la identidad
a-b=2a-(a+b). Cabe mencionar que aunque no pudieron evitar el uso de la
resta, esos estudiantes lograron retomar la estrategia que les había funcionado para la suma y extenderla para el caso de la resta,
Otros alumnos respondieron a la actividad de la tecla descompuesta haciendo una estimación de la suma de los dos números dados, y luego restaban a
esa estimación uno de los números hasta obtener el otro mediante un proceso de ensayo y error. Erick generó otra estrategia interesante, él encontró
que podía hacer la suma sin usar la tecla de sumar "restándole al primer
número el otro/ pero su negativd', lo cual corresponde a la identidad
a-(-b}=a+b. Al explorar con la calculadora él había observado que "restar
un número negativo es lo mismo que sumar/d', claramente Erick no podía
explicar por qué ese procedimiento funcionaba, su único argumento era la
validación empírica que le proporcionaba la máquina.
Las actividades del tipo "encuentra dos números que multiplicados (sumados,
restados o divididos) den 8.956" fueron otras situaciones que propiciaron la
generación de estrategias generales por parte de los alumnos. La estrategia
más frecuente fue el uso de la relación inversa entre operaciones. Por ejemplo, Mariana planteó: "eliges un número. el que quiera~ entonces diVides el
número que te dan entre el número que elegist~ el resultado de esto y el
número que elegiste son dos números que multiplicados te dan el número
que se pidé'.
Generalizacióny eficiencia
Se propició que los alumnos discutieran los diversos métodos que habían generado y ellos se propusieron dilucidar" cuál método es metor'. En esta discusión pusieron en juego argumentos relacionados con la eficiencia y la generalidad del método. Finalmente fueron capaces de concluir que las distintas estrategias que habían generado tenían el mismo nivel de generalidad
"porque cualquiera de esos métodos se podía usar con los números que
fenoch E. Cedillo A.
-- ---_.=...-.=::::-~
La calculadora
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en el aula Volumen 1:
Sentido Numérico e Iniciación
al Álgebra
Investigación
quieras', pero los métodos de Atahualpa y Erick fueron reconocidos como
más eficientes "porque no necesitas hacer tanteos'.
.
Salvo en el caso de la estrategia de ensayo y error, los alumnos no podían
explicar con claridad por qué los procedimientos que desarrollaron eran válidos, sin embargo, estos episodios muestran cómo los estudiantes empezaron
a formular generalizaciones en un ámbito de trabajo que partió del manejo
de casos específicos. Otro aspecto relevante es el hecho de que los estudiantes condicionaron la validez de los procedimientos que generaron en
tanto no encontraran un ejemplo que mostrara lo contrario. Estos hallazgos
sugieren que la calculadora puede usarse para apoyar el paso de lo particular
a lo general. De acuerdo con lo observado en este estudio, parece poco probable que el conocimiento adquirido por los estudiantes con base en la validación empírica que ofrece la calculadora pudiera representar un obstáculo.
Más bien, estos resultados sugieren que ese conocimiento basado en lo empírico puede ser un antecedente favorable para abordar posteriormente el
estudio de métodos de validación formales.
Resolución de ecuaciones
Las ecuaciones que se incluyeron en el paquete de actividades son de las
formas x+b=c, bx=c, y b+-x=c(a, by c, constantes), esas ecuaciones pueden resolverse aritméticamente "deshaciendo operaciones". Sin embargo,
para una mejor apreciación del trabajo desarrollado por los estudiantes debe
tenerse en cuenta que no se les dio ninguna instrucción sobre qué es una
ecuación, qué es una incógnita, o cómo se resuelve una ecuación. También
hay que considerar que los valores numéricos que se usaron en las ecuaciones son bastante sofisticados (fracciones decimales, fracciones comunes y
números negativos). La ausencia de instrucción sobre este tema y la complejidad de los valores numéricos que se incluyeron se debe al propósito de observar en qué medida el uso de la calculadora podía apoyar a los alumnos en
la solución de ese tipo de situaciones, por lo que la única indicación que se
les dio fue "encuentra los números que faltan".
Las respuestas de los alumnos a estas actividades señalan varios resultados
importantes, entre éstos cabe destacar los siguientes:
•
•
•
Para ninguno de los estudiantes representó alguna dificultad la abrupta
inclusión de literales en el contenido de expresiones aritméticas.
Todos los estudiantes pudieron resolver correctamente las ecuaciones de
las formas x± a= 4 ax= 4 y x+ a= b.
Quince alumnos pudieron resolver las ecuaciones de la forma a -i- X = b,
doce de ellos lo lograron mediante el procedimiento de ensayo y error,
tres de ellos pudieron desarrollar métodos que muestra que fueron capaces de empezar a operar con "lo aún desconocido". Sus respuestas
muestran una versión del proceso denominado operar con la incógmta
(Filloy y Rojano, 1984, 1989).
Los datos recabados sugieren varias explicaciones con relación a la aceptación por parte de los alumnos del uso de literales en expresiones matemáticas. Para algunos alumnos la instrucción "encuentra los números que faltan"
fue suficiente para que entendieran que las literales que se incluyeron en las
ecuaciones representaban "un número que falta". Para otros alumnos lo que
se les pedía era claro porque" cuando usamos la calculadora siempre se nos
Tenoch E. Cedillo A.
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La calculadora
en el aula Volumen 1:
Sentido Numérico e Iniciación al Álgebra
Investigación
pide que encontremos números que faltan ... aqu/ era más claro/ en lugar del
número que falta habla una letrá'. Ciertamente, en la mayor parte de las actividades precedentes a las de ecuaciones se pide a los alumnos que encuentren números que satisfacen condiciones dadas, por ejemplo, "encuentra dos números que divididos den 3.0567". Otros alumnos manifestaron que
las letras incluidas en expresiones matemáticas no les sorprendieron porque
en la primaria y otras clases de la secundaria usan fórmulas.
Estas respuestas de los alumnos parecen explicar satisfactoriamente
su
aceptación para trabajar con expresiones que contienen literales. Cabe destacar que hay estudios en los que se ha encontrado que una alta proporción
de alumnos de esas edades han mostrado un rechazo al uso de literales como símbolos matemáticos y que su experiencia en el nivel elemental con las
letras los ha conducido a desarrollar concepciones erróneas para el uso estos
símbolos en el álgebra (Küchemann, 1981). El contraste entre los resultados
del estudio que aquí se reporta y los obtenidos por Küchemann resaltan la
importancia de que nuestros alumnos no hayan presentado indicios de ese
tipo de problemas, lo cual parece haberse dado fundamentalmente
por el
contexto numérico en que se presentaron las actividades prealgebraicas.
En cuanto al éxito alcanzado por los alumnos en la resolución de ecuaciones,
una explicación plausible son las acciones que realizaron cuando enfrentaron
las actividades del tipo de "la tecla descompuesta" y "encuentra dos números
que sumados den un número dado". En estas actividades la estrategia más
empleada por los alumnos fue acudir a las operaciones inversas. Es muy
probable que los estudiantes conocieran la relación inversa entre la suma y la
resta o la multiplicación y la división, sin embargo, los datos recabados
muestran que ellos no estaban conscientes de que esta relación pudiera emplearse como herramienta para resolver problemas aritméticos, cuestión que
fue más evidente cuando enfrentaron la solución de ecuaciones.
Otro elemento que influyó notablemente en el éxito de los alumnos fue la
disponibilidad de la calculadora, lo cual favoreció que pudieran verificar sus
respuestas ágilmente. Un buen número de alumnos "pensaba en voz alta" o
comentaban entre ellos mientras realizaban las actividades, una expresión
que se escuchaba frecuentemente era" oueao. ya estti veamos si está bierf'.
En muchos casos, expresiones como ésta precedían la verificación de los cálculos mediante la calculadora. La complejidad de los valores numéricos incluidos en las ecuaciones también desempeñó un papel importante en el desarrollo de esta predisposición de los estudiantes para verificar sus resultados, cuando se les preguntó a este respecto varios de ellos contestaron" en
general los resultados son números muy complicados ... difícilmente puedo
saber a simple vista si estoy bien ... lo bueno es que con la calculadora es
muy fácil checar si estoy bien o nd'. A este respecto debe notarse la disponibilidad de la calculadora induce en los estudiantes la idea de que ahora "le es
fácil checar los resultados", pero lo que están haciendo vas más allá de usar
inteligentemente la calculadora, ellos están logrando algo que la investigación ha mostrado que en general le es difícil en el ámbito de la resolución de
ecuaciones: dar sentido a lo que están haciendo y saber qué es lo que están
buscando. La consciencia de lo que están haciendo y lo que deben obtener
es lo que les indujo a verificar sus resultados y a contar con criterios que les
permitían valorar si sus respuestas eran correctas o no.
Tenoch E. Cedillo A.
La calculadora
en el aula Volumen 1:
Sentido Numérico
e Iniciación
al Álgebra
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Investigación
Al inicio de la sección de resultados relacionados con resolución de ecuaciones se mencionó que algunos estudiantes desarrollaron estrategias que involucraron cierta manipulación sobre "lo aún desconocido". Esto se presentó
cuando estaban resolviendo ecuaciones de la forma a+x=b. Algunos estudiantes pudieron hacerlo mediante ensayo Y error, pero otros acudieron a
reinterpretar la ecuación como se describe a continuación. Silvia (alumna de
12 años de edad) explicó cómo resolvió la ecuación 1.267 +- q = 100.412
como sigue:
"Se trata de encontrar entre qué número debes dividir a 1.267para
que el resultado sea 100.412 ... no lo pude encontrar tanteando con
distintos números; entonces me di cuenta que si ya supiera qué
número es: al multiplicarlo por 100.412 me debená dar 1.26~ es decir gx100,412=1.267 ... As/me di cuenta que el número que buscaba es el resultado de dividir 1.267 entre 100.41~ eso me dio
0.0126180 ... lo comprobé con la calculadoray está bierf'.
Otros dos estudiantes ofrecieron explicaciones similares, aunque no tan claramente como lo hizo Silvia, sin embargo es importante hacer notar cómo el
trabajo que han realizado con la calculadora les ha permitido, por una parte,
enfrentar la solución de ecuaciones que difícilmente se podrían pensar como
los primeros casos que se propondrían a niños de esas edades; por otra
parte debe destacarse el tipo de transformaciones de orden algebraico que
esos niños han podido efectuar con base en una experiencia totalmente basada en el tratamiento de casos numéricos.
Actitud de los estudiantes
Durante la ya larga experiencia que he tenido como profesor de matemáticas
he probado diversos materiales para apoyar la enseñanza, con toda certeza
puedo afirmar que ninguno de los recursos que he empleado ha producido
una motivación tan evidente y tan sostenida en el tiempo como la que produce el uso de la calculadora. El uso de la calculadora en la clase introduce
por sí mismo un elemento que motiva curiosidad en los estudiantes, esta curiosidad se manifiesta en un notorio interés en la clase de matemáticas. QUizás el indicador más evidente que debo mencionar es que los estudiantes
expresaban una seria molestia si por alguna razón dejaban de tener una da-
se.
La motivación de los estudiantes puede estar relacionada con la novedad del
uso de la máquina en la clase, otro factor que puede influir en ese interés es
que las actividades están planteadas en el esquema de un juego, en la actualidad los juegos son quizás el uso más común de las máquinas entre los
jóvenes. A este respecto, la ventaja que ofrece la calculadora es que cualquier cosa que se haga al usarla está inmersa en una actividad matemática,
por esto, si la actividad con la calculadora es un juego entonces es un juego
matemático. El asunto que debemos estudiar con más cuidado es lo que
aprenden los estudiantes a través de estos juegos basados en el uso de la
calculadora.
Otro aspecto importante es el fortalecimiento de la auto estima de los estudiantes. Los datos aportados en este estudio indican que el uso de la calculadora favorece este aspecto. Una de las primeras cosas que aprenden los
estudiantes es que la calculadora puede realizar los cálculos con mayor velocidad que ellos, pero que la calculadora no puede actuar por sí misma, ni
Tenoch E. Cedillo A.
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La calculadora
en el aula Volumen 1:
Sentido Numérico e Iniciación al Álgebra
Investigación
elegir qué operaciones deben realizarse para resolver un problema; eso es
algo que ellos sí pueden hacer. Los estudiantes aprenden pronto a usar la
calculadora para poner a prueba sus conjeturas, con el apoyo de la máquina
ellos son capaces de contestar por sí mismos muchas de las preguntas que
usualmente planteaban al maestro o a compañeros más competentes. La posibilidad de avanzar por sí mismos refuerza notablemente su auto estima. El
siguiente episodio con un alumno cuyo desempeño en matemáticas es notablemente más bajo que el del resto de sus compañeros ilustra esta situación.
Él estaba buscando dos números que sumaran 0.321, su primer intento fue
con los números 0.320 y 1, al hacerlo con la calculadora se sorprendió que el
resultado fuera 1.320. Entonces intentó con 0.301 y 2, Y se encontró una situación similar. A pesar de que esos intentos mostraban un fracaso evidente,
él se acercó orgullosamente Cl comentarme su éxito: "Por fin entendí por qué
me deaán que debo alinear los números para sumar ... los decimales nunca
me salieron bien, pero ahora me di cuenta por qué 0.320 más 1no da 0.32l.
iQué tooto/: ¿No? Pero ya me di cuenta de que lo que deb/á sumar no es 1
sino o. 001, es decir; más un milésimd'. Este episodio es un buen ejemplo de
cómo la interacción con la máquina puede favorecer un cambio de actitud
hacia las matemáticas, ahora ese alumno ya puede hablar de sus dificultades, en particular, porque las está superando por sí mismo.
Durante el desarrollo de esta investigación se observó que un buen número
de alumnos declaran cosas como la siguiente: "yo nunca he sido bueno en
matemáticas, nunca pude hacer bien las restas ni las divisiones, las fracciones nunca las entendt; pero con la calculadora me gustan las cosas que hago
porque las entiendo mejor ... me habtán dtcho no tentá sentido hacer las cosas con la calculadora porque eso no me haaá pensar; eso no es cierto, para
hacer algo con la calculadora necesito antes pensar para ver qué vaya ha-
ce/'.
Probablemente esas expresiones se deben a experiencias desfavorables debido a una falta de destreza para calcular, cuestión que queda en un segundo plano al incorporar la calculadora. Sin embargo, el asunto que parece importante es que el desempeño de los estudiantes en la clase de matemáticas
mejora notablemente con el apoyo de la calculadora, lo cual cuestiona fuertemente el hecho de que los cursos de matemáticas se centren en el dominio
de destrezas de cálculo (en el caso de la aritmética), y en el dominio de la
manipulación simbólica (en el caso del álgebra), en lugar de promover el uso
de las operaciones en la resolución de problemas.
Comentarios finales
El trabajo desarrollado por los alumnos indica que en muchas ocasiones no
pudieron responder al primer intento, sin embargo difícilmente se rendían
ante una tarea porque podían seguir poniendo a prueba sus conjeturas con
el apoyo de la calculadora. Al principio parecía que sólo intentaban estrategias de ensayo Y error, sin embargo, después de algunos intentos llegaban a
bosquejar estrategias que les conducían sistemáticamente a una solución
correcta. Los datos recabados muestran que al dar respuesta a ese tipo de
actividades, los alumnos no estaban aprendiendo cómo realizar las operaciones, lo que estaban aprendiendo es qué son y para qué sirven las operaciones, además, estaban desarrollando una noción de número a través de las
acciones que realizaban con ellos.
Tenoch E. Cedillo A.
•.....
_-~ ....._.-
. -.----
-
La calculadora
en el aula Volumen 1:
Sentido Numérico e Iniciación
al Álgebra
15
Investigación
El tipo de actividades que se usaron en este estudio contrastan fuertemente
con aquéllas en las que el énfasis se pone en el dominio ce los algoritmos
para ejecutar las operaciones aritméticas. Las actividades que se emplearon
en esta investigación se centran en el uso de las operaciones y no en cómo
se ejecutan los cálculos, esto último puede hacerlo la calculadora, pero la
calculadora no puede elegir qué operaciones son pertinente~ ni la manera
en que éstas se usan para resolver un problema. Los resultados de este estudio sugieren que la calculadora puede emplearse para favorecer que los
estudiantes aprendan cómo emplear sus conocimientos de aritmética en la
solución de problemas. Este aspecto es crucial, porque saber cómo usar las
operaciones es un factor determinante en el éxito que los estudiantes puedan alcanzar en sus estudios futuros. En última instancia, parece que todos
estaríamos de acuerdo en que el propósito más importante en la enseñanza
de la aritmética es que ésta sirva como herramienta para plantear y resolver
problemas. Las respuestas de los estudiantes que se han discutido en este
reporte sugieren que la calculadora desempeñó el papel de un interlocutor
con el que los ellos pueden interactuar mediante el lenguaje de la aritmética,
este hecho ubica a la aritmética en un contexto pragmático que contrasta
notablemente con el papel que se le otorga al concebirla solamente como un
conjunto de reglas para realizar cálculos numéricos.
Los resultados de esta investigación indican que el hecho de que la calculadora se emplee para promover que los alumnos aprendan para qué sirven los
números y sus operaciones no significa que ellos no aprendan cómo hacerlas. Los datos recabados muestran que al trabajar con la calculadora los
alumnos no sólo aprenden sobre el significado de las operaciones, sino que
desarrollan estrategias no convencionales para realizarlas, sobre todo, estrategias de cálculo mental. Estos resultados sugieren que una vez que los
alumnos han comprendido cómo pueden ser utilizadas las operaciones, parecen estar en una situación más favorable para aprender, -si se considera necesario, la ejecución de los algoritmos convencionales.
En cuanto a la enseñanza del álgebra, los resultados de este estudio muestran hallazgos promisorios que sugieren que la calculadora puede explotarse
para promover que los estudiantes desarrollen nociones y estrategias numéricas que pueden ser una apoyo importante en la transición de la aritmética
al álgebra.
Tenoch E. Cedillo A.
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La calculadora
en el aula Volumen 1:
Sentido Numérico e Iniciación
REFERENCIAS
Booth,
Brolin,
Bruner,
Bruner,
Bruner,
Bruner,
Cedillo,
Referencias
al Álgebra
BIBLIOGRÁFICAS
L., 1984. Algebra: Childrens Strategies and Errors in Secondary
Mathematics Project NFER-NELSON, London.
H., 1992. Introducing Calculators in Swedish Schools. Calculators in
Mathematics Education. NCTM Yearbook, Reston, Virginia.
J., 1980. 'The social context of language acquisition'.
Witkin
Memorial Lecture, Educational Testing Service, Princeton, New
Jersey.
J., 1982. "The formats of Language Acquisition". American Journalof
Semiotics, Vol. 1, No. 3,1- 16.
J., 1983. Child's talk. New York: Norton.
J., 1985. Vygotsky: a historical and conceptual perspective. In J. V.
Werstch (Ed), Cultur~ Communication and Cognition: Vygotskian
perspectives. Cambridge University Press.
T., 1994. 'Introducing
algebra with programmable
calculators'.
Proceedings of the 16th Annual Meeting. North American Chapter of
the International Group for the Psychology of Mathematics
Education. Vol. 1, p. 145-151. Lousiana State University, Batan
Rouge, Lousiana, USA.
Cedillo, T., 1995. 'Introducción al Álgebra Mediante su Uso: Una alternativa
factible con calculadoras gráficas'. Educación Matemática, Vol. 7, pp.
106-121. Grupo Editorial Iberoamérica, México.
Cedilla, T., 1996. 'Number Patterns: A Milieu Where Students May Extend
Their Algebraic Achievements To Problem Solving'. XIX Annual
Conference of the International Group for the Psychology of
Mathematics Education. Valencia, España.
Cedillo, T., 1997. Calculadoras: Introducción al Álgebra. Grupo Editorial
Iberoamérica, cuadernos didácticos, Vol. 7. México.
Cedillo, T., 1997a. Exploring Algebra as a Language in-use.
XX Annual
Conference of the International Group for the Psychology of
Mathematics Education. Lathi, Finlandia.
Chomsky, N., 1957. Learning and the Structure of Language. University of
Chicago.
Filloy, E., y Rojano, T., 1984. 'From an Arithmetical to an Algebraic Thought'
(a c1inical study with 12-13 year olds). NorthAmerican Chapterofthe
International Group for the Psychology of Mathematics Education.
Madison, Wisconsin.
E., y Rojano, T., 1989. Solving equation: The Transition from
Arithmetic to Algebra. For the Learning of Mathematics, Vol. 9, No. 2,
FML Publishing Association, Canada.
Hembree, Ray, and Donald J. Dessart, 1986. "Effects of Hand-held
Calculators in Precollege Mathematics Education: A Meta-Analysis".
Journal of Researchin Mathematics Education, 17: 83-99.
Hembree, Ray, and Donald J. Dessart, 1992. "Research on Calculators in
Mathematics Education". In J. T. Fey and C. R. Hirsch (Eds.),
Calculators in Mathematics Education/ Yearbook. National Council of
Teachers of Mathematics, Restan, VA.
Küchemann, D.E., 1981. Algebra. In K. Hart, (Ed.) Children's Understanding
of Mathematics: 11-16. London: Murray.
Lee, L., and Wheeler, D., 1989. "The arithmetic connection". Educational
Studies in Mathematics. Kluwer Academic Publisher, 20,41-54.
Filloy,
Tenoch E. Cedillo A.
La calculadora
en el aula Volumen 1:
Sentido Numérico e Iniciación
al Álgebra
17
Referencias
Mason, J.; Burton, L; and Stacey, K., 1984. Thinking Mathematical/y. Addison
Wesley, London.
Miles, M. and Huberman, A., 1984. Qualitative Data Analysi~ a Sourcebook
of New Methods. SAGE Publications, London.
Papert, S., 1980. Mindstorms. The Harvester Press Limited, Sussex, UK.
Piaget, J., 1985. La construcción de lo real en el niño. Grijalbo, México.
Piaget, J., 1988. La psicologlá de la Inteligencia. Grijalbo, México.
Ruthven, K., 1992. Personal Technology and Classroom Change. Calculators
in Mathematics Education. NCTM Yearbook, Reston, Virginia.
Shuard, H., et. al., 1992. CAN: Calculator Use in the Primary Grades in
England and Wales. Calculators in Mathematics Education. NCTM
Yearbook, Reston, Virginia.
Shumway, R., 1990. "Supercalculators and the Curriculum". For the Learning
of Mathematics, 10(2), 2-9.
Tenoch E. Cedillo A.
18
La calculadora
en el aula Volumen
Sentido Numérico e Iniciación
Recomendaciones
1:
al Álgebra
Recomendaciones
para la enseñanza
para la enseñanza
B papel de la calculadora
La construcción de ese planteamiento teórico parte de un reconocimiento
explícito de las qrandes diferencias que existen entre el lenguaje natural y el
código algebraico. Entre las más relevantes se destaca la demanda social
sobre el uso del lenguaje, que hace de éste no sólo un importante campo de
conocimiento, sino lo ubica en el nivel de un medio para la supervivencia,
característica que evidentemente no puede atribuirse a las matemáticas. Por
naturaleza el ser humano es un ser social y establece sus relaciones en la
sociedad a través del lenguaje, el uso continuo e intenso del lenguaje natural
es una de las características que lo distinguen de otras áreas de
conocimiento y lo convierte en un conocimiento indispensable para la vida en
sociedad.
La calculadora, adecuadamente empleada, puede simular un microcosmos en
el que el lenguaje que "se habla" es el lenguaje de las matemáticas, más
concretamente, los códigos de la aritmética, el álgebra y la geometría. Una
vez que se presiona la tecla que activa la calculadora, cualquier otra cosa
que se quiera hacer con la máquina es a través del código matemático. Esto
conduce a pensar en crear un ambiente de enseñanza basado en el uso de la
calculadora, donde la máquina desempeña el papel de una comunidad que
exige el uso del lenguaje de las matemáticas. El diseño de ese ambiente de
trabajo debe proponerse que los estudiantes participen activamente, un
ambiente que capte su interés y estimule su creatividad intelectual, a la vez
que favorece el desarrollo de habilidades matemáticas básicas orientadas a
un uso apropiado del código matemático, particularmente
habilidades
relacionadas con la resolución de problemas. Este planteamiento concuerda
con lo propuesto por Papert (1980) con relación al ambiente de trabajo
empleando el lenguaje de programación
Logo. Papert concebía las
matemáticas como un lenguaje y al Logo como un ambiente que exige el uso
del lenguaje matemático, para describir esto empleaba la metáfora "si
realmente quieres aprender francés, hazlo en Francia".
Han pasado ya cerca de treinta años desde que se empezó a introducir la
calculadora en las clases de matemáticas. La calculadora se introdujo al
mercado como una simple herramienta para facilitar los cálculos aritméticos,
de la calculadora de cuatro operaciones se pasó rápidamente
a la
'calculadora científica', que incluye funciones matemáticas mucho más
sofisticadas y la posibilidad de editar y correr programas de cómputo; a
mediados de los 80's se pusieron a disposición del público las primeras
'calculadoras gráficas', que además de las funciones que ofrecen las
calculadoras científicas, cuentan con una pantalla de ocho líneas que permite
editar tablas y gráficas de funciones. A inicios de los 90's tuvo lugar el
advenimiento de las calculadoras con capacidad de manipulación algebraica,
que incluyen nuevos recursos que facilitan la edición y captura de datos. Una
notable diferencia entre las modernas calculadoras y los modelos que las
precedieron, es que el código que emplean se rige estrictamente por las
formas convencionales de la notación y sintaxis algebraica. Estos hechos han
ocasionado
que los usos de la calculadora
hayan
evolucionado
sensiblemente, de ser sólo un auxiliar para el cálculo aritmético y algebraico,
actualmente se emplea como un recurso para mediar el conocimiento
(Ruthven, 1996).
Tenoch E. Cedillo A.
La calculadora
en el aula Volumen
Sentido Numérico
e Iniciación
1:
al Álgebra
19
Recomendaciones
para la enseñanza
Otra notable diferencia entre la adquisición del lenguaje y el aprendizaje de
la aritmética, es la privilegiada relación uno a uno en que se fundamenta la
enseñanza del lenguaje natural. No obstante, es factible explotar los recursos
que ofrecen las modernas calculadoras para diseñar una estrategia didáctica
orientada a proponer el aprendizaje de la aritmética a través de su uso, sin
necesidad de partir de una enseñanza basada en reglas, ejemplos y
definiciones. Esta hipótesis se fortalece con los resultados de investigación
que se discuten más adelante.
La calculadora permite el acceso. individual a poderosos procesadores
matemáticos, esta característica favorece que los estudiantes trabajen en
forma más privada, el tamaño de la pantalla, aún en el caso de los modelos
que disponen de las pantallas de mayor tamaño, hace que sólo sea posible
ver lo que un estudiante está haciendo en la máquina si él lo permite. La
privacidad que brinda la calculadora alienta a los estudiantes a explorar
distintos acercamientos
a la solución de un problema, a afinar sus
plantearrúentos y hacerlos público su trabajo cuando ellos lo deciden.
Contrario a le que podría esperarse, la forma individual de trabajo que
induce el uso de la calculadora no inhibe que se dé el trabajo colaborativo; la
retroalimentación inmediata que da la calculadora y la posibilidad que brinda
a los estudiantes de explorar soluciones siguiendo sus propias formas de
razonamiento, da lugar a la producción de distintas y originales soluciones a
un mismo problema, lo cual les estimula a compartir y discutir sus hallazgos
con sus compañeros y con el profesor (Cedilla, 1999). Desde luego, esta
manera de aproximarse al estudio de las matemáticas no depende solamente
del uso de la calculadora, el tipo de las actividades de enseñanza y la
participación
del profesor
desempeñan
papeles determinantes.
Las
actividades deben diseñarse de manera que no exista una única manera de
obtener o de expresar una solución, y el profesor debe mantener una actitud
favorable para entender formas de solución que él antes no había concebido
y estar siempre alerta para explotar de mejor manera las contribuciones de
los estudiantes.
Organización del trabajo en la clase
El ambiente de enseñanza puede arreglarse de manera que el profesor
atienda individualmente a sus alumnos, lo cual no significa un impedimento
para el trabajo colaborativo en pequeños grupos, sino un recurso para
favorecer una interacción más productiva entre alumno y profesor, y una
participación más creativa de los estudiantes. La organización de las
actividades de enseñanza como hojas de trabajo es un recurso de alta
utilidad a este respecto.
Una hoja de trabajo es, en extensión, una página. Su contenido debe incluir
situaciones en las que el fin que se persigue esté claramente establecido
para propiciar que el estudiante inicie de inmediato su trabajo haciendo algo
que se concrete en una producción propia. Para esto, es conveniente que la
hoja de trabajo proponga un reto intelectual al estudiante, con la condición
de que haga posible que perciba desde el principio que puede abordar la
actividad, y que le sea claro que lo único que todav/á no sabe es cómo
organizar lo que ya sabe para empezar a hacer lo que se le está planteando.
Tenoch E. Cedillo A.
20
La calculadora
en el aula Volumen 1;
Sentido Numérico e Iniciación al Álgebra
Recomendaciones
para la enseñanza
Se asume que en este proceso de estructuración/reestructuración
de sus
ideas, el estudiante estará siempre en la posibilidad de aprender algo nuevo.
El uso de las hojas de trabajo permite que el profesor no tenga que estar al
frente del grupo dando una lección y le libera tiempo para atender las
preguntas e intervenciones de los estudiantes individualmente. Las hojas de
trabajo facilitan que los estudiantes inicien la actividad sin requerir una
presentación preliminar por parte del profesor. Desde luego, la eficacia de
una hoja de trabajo depende de su diseño, una buena hoja de trabajo debe
hacer factible que los estudiantes desarrollen su creatividad matemática
siguiendo sus propias formas de razonamiento. Esta forma de trabajo
propicia que los estudiantes logren producciones originales, de manera que
cuando consultan algo con el profesor, éste se ve obligado a seguir la línea
de razonamiento del estudiante. La originalidad de las respuestas de los
estudiantes obliga que el profesor, para entenderlas, tenga que dialogar con
ellos y tomar ese diálogo como punto de partida para continuar la discusión
con el estudiante. Esto da lugar una rica interacción entre pares, donde uno
de ellos es experto, y el otro, aún en su calidad de aprendiz, está sometiendo
al criterio del experto conjeturas que puede defender con argumentos
basados en una previa validación lograda por los rudimentarios medios a su
alcance.
Sincromá entre la propuesta del profesor y el avance del estudiante.
La sintonía entre la propuesta de enseñanza y el avance del estudiante es
crucial y su logro implica un esfuerzo notable por parte del profesor. Una
adecuada organización de la actividad en el aula puede facilitar que el
profesor esté siempre al tanto del avance de cada uno sus alumnos, lo cual
es un elemento central en el logro de dicha sintonía.
Las hojas de trabajo desempeñan un papel fundamental para conseguir lo
anterior. Un punto fundamental en el esquema didáctico es tener en cuenta
que cada individuo tiene un ritmo distinto para aprender. Puede respetarse el
paso de cada estudiante si no se le proporciona sólo una hoja de trabajo
para completar en una sesión de clase, sino un paquete con cuatro o cinco
hojas de trabajo. La instrucción del profesor puede ser: "estas actividades
son las que deben completar en esta clase, algunos las harán todas, y
algunos no completarán algunas, eso no es lo más importante, lo que
realmente importa es que el trabajo que entreguen sea el resultado de su
máximo esfuerzo".
El uso de paquetes de hojas de trabajo permite que los estudiantes que
avanzan a un ritmo más rápido no detengan su progreso, y que los
estudiantes que avanzan más lentamente puedan acudir a la ayuda del
profesor para aclarar sus dudas, o mantener su ritmo si trabajan sin
tropiezos. La única restricción, que se recomienda enfáticamente como una
regla a seguir, es que ningún estudiante puede entregar su trabajo en blanco
al término de una sesión de clase, en caso de que agoten sus esfuerzos y no
puedan avanzar, los estudiantes tienen la obligación de consultar al profesor
o a alguno de sus compañeros. La obligación de consultar, adecuadamente
manejada, conduce a los estudiantes a plantear preguntas más atinadas que
simplemente "no entiendo nada", porque las respuestas a esas preguntas
Tenoch E. Cedillo A.
La calculadora
en el aula Volumen 1:
Sentido Numérico
e Iniciación
deben ser instrumentales
problemas.
al Álgeb,a
21
Recomendaciones
para la enseñanza
para el logro de la actividad con la que han tenido
.
Una aparente desventaja de respetar el avance individual de los estudiantes
es que al término de unas cuantas sesiones de clase el profesor tiene ante sí
un grupo con logros individuales muy heterogéneos. Esto es aparente por al
menos dos razones, primero porque independientemente de la estrategia de
enseñanza, el avance individual de los estudiantes es distinto, y segundo,
porque esa heterogeneidad puede ser aprovechada para generar fructíferas
sesiones en las que el profesor puede organizar un debate con el grupo
sobre los aspectos más relevantes de un bloque de actividades. En esas
sesiones el profesor puede centrar la atención de los estudiantes en las
respuestas correctas que han producido, discutir por qué son correctas y
analizar rigurosamente las formas de validación que generan los estudiantes
para sus respuestas; además, y quizás más importante, el profesor puede
discutir los errores que se hayan presentado, y sobre todo, discutir los
criterios que permiten decidir que esas respuestas son incorrectas.
Tenach E. Cedilla A.
22
Lo
La calculadora en el aula Volumen 1:
S
Guía didáctica
Sentido Numérico e Iniciación al Álgebra
Ha
GUíA DIDÁCTICA
9
Hoja de Trabajo
Tema
1
Valor posicional
Valor posictonal
2
Lectura y escritura de
números
Lectura y escritura de
números naturales
Equivalencia
numérica
Equivalencia numérica
3
Temas
explícito
•
•
Lectura de números naturales y decimales
Resta con números naturales v decimales
Uso de operaciones con números
naturales y decimales.
•
•
•
4
Estrategias no convencionales para sumar.
¡Se descompuso la tecla
para restar!
Estrategias no convencionales para
restar.
•
•
Del cero al
100 sólo con
cuatro cuatras.
Uso de las operaciones aritméticas básicaso
•
I
5
6
•
•
•
•
•
iSe descompuso la tecla
para sumar!
1
implícitos
•
~
•
•
•
Uso de las operaciones aritméticas básicas.
Estimación.
Descomposición de un números en sumandos y factores.
Cálculo mental.
Uso de la resta como operació n inversa de la suma.
Estimación.
Cálculo mental.
Iniciación a la resolución de
ecuaciones de la forma
X+A=B.
Uso de la suma como operación inversa de la resta.
Ir:iciación a la resolución de
ecuaciones de la forma
X+A=B.
Introducción del exponente
cero y la raíz cuadrada.
Distintas representaciones
de la unidad.
Uso del paréntesis y la prioridad de las operaciones.
Introducción a la producción
de cadenas de expresiones
numéricas.
Estimación.
Cálculo mental.
I
7
iAI cero en
cinco pasos!
Divisibilidad
•
+
•
8
¿Qué números dividen a
otros?
Divisibilidad
•
•
•
•
Tenoch E. Cedilla A.
Noción de número primo.
Estimació"n.
Cálculo mental.
Noción de número primo.
Descomposición de números
en factores.
Construcción de números
con un números de divisores
dados.
Cálculo mental.
Observaciones
Una sesión de 50 minutos.
Una sesión de 20 minutos. En los 30 minutos
restantes ei profesor puede conducir una dlscusión en la que se revisen las dificultades
que encontraron los estudiantes y las formas
eficientes que encontraron
para aprovechar
mejor los recursos de la calculadora
Dos sesiones de 50 minutos. Una para que
los estudiantes aborden la actividad y una
para la puesta en común de las distintas
respuestas de los estudiantes.
I
~
Dos sesiones de 50 minutos. Una para que
los estudiantes aborden la actividad por sí
mismos y una para la puesta en común de
las distintas respuestas de los estudiantes.
O una sesión grupal de 50 minutos en la que
el profesor dirige la actividad de los alumnos
a partir de las respuestas que ellos ofrecen.
Dos sesiones de 50 minutos. Una para que
los estudiantes aborden la actividad por sí
mismos y una para la puesta en común de
las distintas respuestas de los estudiantes.
O una sesión grupal de 50 minutos en la que
el profesor dirige la actividad de los alumnos
a partir de las respuestas que ellos ofrecen.
Dos sesiones de 50 minutos. Una para que
los estudiantes aborden la actividad por sí
mismos y una para la puesta en común de
las distintas respuestas de los estudiantes.
O una sesión grupal de 50 minutos en la que
el profesor dirige la actividad de los alumnos
a partir de las respuestas que ellos ofrecen.
Puede resultar de gran ayuda que el profesor aborde esta actividad con un sólo número, por ejemplo, el 5. Ahí puede introducir
nuevos conceptos como el uso de paréntesís, el exponente cero y la raíz cuadrada. A
partir de esto se puede asignar a cada
alumno un número distinto o series de números para cada equipo de trabajo.
Debe considerarse que no todos los números
del O al 100 pueden expresarse con sólo
cuatro cuatros.
Dos sesiones de 50 minutos. Una para que
los estudiantes aborden la actividad por sí
mismos y una para la puesta en común de
las distintas respuestas de los estudiantes.
O una sesión grupal de 50 minutos en la que
el profesor dirige la actividad de los alumnos
a oartir de las respuestas que ellos ofrecen.
Dos sesiones de 50 minutos. Una para que
los estudiantes aborden la actividad por sí
mismos y una para la puesta en común de
las distintas respuestas de los estudiantes.
O una sesión grupal de 50 minutos en la que
el profesor dirige la actividad de los alumnos
a partir de las respuestas que ellos ofrecen.
11
\
~
La calculadora
en el aula Volumen
Sentido Numérico
Hoja de Trabajo
¿Qué núrne9
ros se dividen
entre 7 y 11?
e Iniciación
1:
23
al Álgebra
Tema explícito
Divisibilidad entre 7 y
11
Guía didáctica
-
•
•
•
I
I
10
¿Esos "numerotes" son
divisibles entre todo eso?
Divisibilidad entre 7,
11 y 13.
•
•
•
•
11
Suma yestimación.
Suma y estimación
con números decimales.
•
•
•
•
I
12
Resta y estímación.
Resta y estimación
con números dedmales.
•
•
•
13
14
15
Multiplicación
y estimación.
Multiplicación y estimación con números
decimales.
Se descompuso la tecla
para multiplicaro
Estrategias no convencionales para
multiplicar.
División y es·
timación
División y estimación
con decimales
'"Y)
~
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Temas implícitos
Noción de divisor.
Relación entre factores de
un números y sus divisores.
Primeras reglas de divisibilidad: "Si un número es divisible entre otros dos tarnbién es divisible entre su
producto". "Si un número a
es divisible entre otro número b, entonces a es divisible entre cualquiera de los
factores de b",
Noción de divisor.
Relación entre factores de
un números y sus divisores.
Primeras reglas de divisibilidad: "Si un número es divisible entre otros dos también es divisible entre su
producto". "Si un número a
es divisible entre otro número b, entonces a es divisible entre cualquiera de los
factores de b",
Relación entre el algoritmo
de la multiplicación con números enteros y la propledad distributiva del producto.
Descomposición de números
decimales en sumandos.
Valor posicional con núrneros decimales.
Cálculo mental.
La resta como operación inversa de la suma.
Valor posicional con números decimales.
Cálculo mental.
La suma como operación inversa de la resta.
Valor posicional con números decimales.
Cálculo mental.
La división como operación
inversa de la multiolicación.
El producto como suma de
sumandos iguales.
La división como operación
inversa del producto.
Iniciación a la resolución de
ecuaciones de Ia forma
AX=B.
Estrategias no convencionales para dividir.
El producto como operación
inversa de la división.
Iniciación a la resolución de
ecuaciones de la formas
X/A=B v A/X=B
Observaciones
Se recomienda especial atención del profesor para aprovechar las estrategias originales de los estudiantes. En particular resulta
importante que el profesor los aliente a justificar sus respuestas y a que traten de generalizar algunas de sus conjeturas.
Se recomienda especial atención del profesor para aprovechar las estrategias originales de los estudiantes. Si se les permite a los
alumnos enfrentar el problema con sus propios medios producen soluciones que pueden explotarse para enriquecer las nociones
que ellos desarrollan. Por ejemplo, algunos
alumnos han llegado al número 1001 como
el "menor número distinto de cero que puedo construir al repetir un número de tres dígitos: 001001. Mientras otros lo han obtenido como el producto de 7, 11 Y 13. Este tipo
de "encuentros" les ha permitido avanzar
hacia la justificación que se pide en la actividad.
Dos sesiones de 50 minutos. Una para que
los estudiantes aborden la actividad por sí
mismos y una para la puesta en común de
las distintas respuestas de los estudiantes.
Dos sesiones de 50 minutos. Una para que
los estudiantes aborden la actividad por sí
mismos y una para la puesta en común de
las distintas respuestas de los estudiantes.
Dos sesiones de 50 minutos. Una para que
los estudiantes aborden la actividad por sí
mismos y una para la puesta en común de
las distintas respuestas de los estudiantes.
Dos sesiones de 50 minutos. Una para que
los estudiantes aborden la actividad por sí
mismos y una para la puesta en común de
las distintas respuestas de los estudiantes.
Dos sesiones de 50 minutos. Una para que
los estudiantes aborden la actividad por sí
mismos y una para la puesta en común de
las distintas respuestas de los estudiantes.
Tenoch E. Cedilla A.
La calculadora
24
_ Temas
Tema explícito
•
Estrategias no convencionales para dividlr.
•
l.
I
Lectura y escritura de
números decima les
Lectura ~' escritura de
medidas de
longitud.
17
18
I
Lectura y escritura de
números decimales
?
1+
¡
I
I
Lectura y escritura de
medidas de
peso.
Lectura y escritura de
medidas de peso.
Transformaciones en un
solo paso
Operaciones que involuéran potencias de
Se descompuso la tecla
del punto decimal
Operaciones que involucran potencias de
Fracciones
decimales
Noción de fracción
decimal come representación de particiones de la unidad ..
I
21
22
I
23
10.
Noción de
fracción
26
1
Fracciones
equivalentes
•
•
•~
l.
•
Noción de fracción
común como representación de partidones de la unidad.
Equivalencia de frac-
clones
•
•
•
•
•
Fracciones
como razones
Uso de las fracciones
para expresar la retación entre dos magnitudes.
•
Fracciones
como operadores
Uso de las fracciones
para obtener partes
determinadas de
cantidades dadas.
•
•
l
Tenoch E. Cedilla A.
Observaciones
implícitos
La división como una resta
iterada.
Relación entre producto y
m~!t¡piicación como operaclones inversas.
Estimación.
Cálculo mental.
Valor posicional.
Dos sesiones de 50 minutos. Una para que
los estudiantes aborden la actividad por sí
mismos y una para la puesta en común de
las distintas respuestas de los estudiantes.
Relación entre el sistema
decimal de numeración y el
sistema decimal de medidas
de peso.
Cálculo mental.
Resolución de problemas
que involucran distintas unídades de medida.
Relación entre el sistema
decimal de numeración y el
sistema decimal de medidas
de peso.
Cálculo mental.
Resolución de problemas
que involucran distintas unidades de medida.
Cálculo mental.
Estimación.
Dos sesiones de 50 minutos. Una para que
los estudiantes aborden la actividad por sí
mismos y una para la puesta en común de
las distintas respuestas de los estudiantes.
Cálculo mental.
Estimación.
10.
i
25
I
I
•
I
¡Z4
•
•
•
I
20
SE
Una sesión de 50 minutos.
F
I
I
Lectura y escriture ce ,~
medidas de lon91 id.
+
+
19
Guia didáctica
al Álgebra
I
Hoia de Trabajo
Se descorn16
puso la tecla
1
para dividir
Lo
en el aula Volumen 1:
Sentido Numérico e Iniciación
•
Partición de la unidad y formas de representación.
El número 1 como suma de
las partes de la unidad.
Nociones básicas de probabilidad y frecuencia relativa.
Partición de la unidad y formas de representación.
El número 1 como suma de
las partes de la unidad.
Nociones básicas de probabilidad y frecuencia relativa.
Suma de fracciones.
Conversión de dos o más
fracciones a fracciones equivalentes con un mismo denominador.
Fracciones equivalentes
Resolución de problemas.
Relación entre la división y
el producto de fracciones.
Resolución de problemas.
I
~
2S
Dos sesiones de 50 minutos. Una para que
los estudiantes aborden la actividad por sí
mismos y una para la puesta en común de
las distintas respuestas de los estudiantes.
Una sesión grupal de 50 minutos en la que
el profesor dirige la actividad a partir de las
respuestas de los alumnos. El profesor debe
estimular a los alumnos para que produzcan
varias respuestas distintas para cada actividad.
Una sesión grupal de 50 minutos en la que
el profesor dirige la actividad a partir de las
respuestas de los alumnos. El profesor debe
estimular a los alumnos para que produzcan
varias respuestas distintas para cada actividad.
Una sesión grupal de 50 minutos, 25 minutos para que los alumnos aborden la actividad por sí mismos, y 25 minutos en los que
el profesor dirige la actividad a partir de las
respuestas de los alumnos.
Una sesión grupal de 50 minutos, 25 minutos para que los alumnos aborden la actividad por sí mismos, y 25 minutos en los que
el profesor dirige la actividad a partir de las
respuestas de los alumnos.
Una sesión grupal de 50 minutos, 25 minutos para que los alumnos aborden la actividad por sí mismos, y 25 minutos en los que
el profesor dirige la actividad a partir de las
respuestas de los alumnos.
Una sesión grupal de 50 minutos, 25 rninutos para que los alumnos aborden la actividad por sí mismos, y 25 minutos en los que
el profesor dirige la actividad a partir de las
respuestas de los alumnos.
Dos sesiones de 50 minutos. Una para que
los estudiantes aborden la actividad por sí
mismos y una para la puesta en común de
las distintas respuestas de los estudiantes.
E:(,;UEl~ IOR,;1AL SUPEHi0R VERACRUZ.~¡!A
"Dr. M::.nuel Suárez Trujillo''
la
A
T
r
I
La calculadora
Sentido
en el aula Volumen
Numérico
Hoja de Trabajo
27
¿Cuáles son
las fracciones
que faltan?
e Iniciación
Tema
1:
25
al Álgebra
Guia didáctica
explícito
Suma y resta con
fracciones comunes
Temas
•
•
•
I
•
•
i
I
28
29
¿Cómo encuentro esas
fracciones?
Un poco de
fracciones y
restas
Suma y resta con
fracciones comunes
Suma y resta con
fracciones comunes
<-
•
•
•
•
•
I 30
31
•
iMultiplicar
con fracciones es bastante fácil1
Producto con fracciones
¿Cuál fracción
es la mayor?
Orden en el conjunto
de las fracciones.
•
•
•
I
•
•
;-
32
¿Qué fraccíones dan 1"
suma mayor?
33
34
I
I
¡
Orden en el conjunto
de las fracciones.
¿Cómo sumamas números con
signo?
Suma de números
con signo.
Algo más sobre sumas
Suma con números
con signo.
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
implícitos
Cálculo mental con fracciones.
Estimación con fracciones
Relación entre !a suma y ia
resta como operaciones inversas.
Dada una fracción obtener el
complemento a la unidad.
Resolución de ecuaciones
que contienen fracciones.
Descomposición de freccíones en un número de sumandos dado.
Cálculo mental con fracciones comunes.
Fracciones equivalentes.
Descomposición de fracciones en un número de sumandos dado.
Cálculo mental con fracciones comunes.
Fracciones equivalentes.
Resolución de ecuaciones
que contienen fracciones.
El producto como una forma
de obtener fracciones equívalentes.
Resolución de ecuaciones
que contienen fracciones.
La relación inversa entre
producto y división con fracciones.
La equivalencia como una
forma de comparación entre
fracciones.
La resta como una forma de
comparación entre fraccíones.
Densidad en el conjunto de
las fracciones.
Construcción de criterios
para determinar, qué fracción es menor.
Cálculo mental con fracciones.
Fracciones equivalentes.
Estrateolas de conteo.
Usos de los números con
signo como formas de representación de magnitudes.
Estimación de sumas con
números con signo.
Cálculo mental con números
con sicno.
Cálculo mental.
Estimación.
Primeras nociones orden en
el conjunto de los números
negativos.
Resolución de ecuaciones
que contienen números ne-
Observaciones
Tres sesiones de 50 minutos. Una para que
los estudiantes aborden la actividad por sí
mismos, una para la puesta en común de las
distintas respuestas de los estudiantes, y
una en la que el profesor puede ampliar la
perspectiva de los alumnos, por ejemplo, el
cálculo mental con fracciones (suma y resta).
Dos sesiones de 50 minutos. Una para que
las estudiantes aborden la actividad por sí
mismos y una para la puesta en común de
las distintas respuestas de los estudiantes.
Dos sesiones de 58 minutos. Una para que
las estudiantes aborden la actividad por sí
mismos y una para la puesta en común de
las distintas respuestas de los estudiantes.
Dos sesiones de 50 minutos. Una para que
los estudiantes aborden la actividad por sí
mismos y una para la puesta en común de
las distintas respuestas de los estudiantes.
Tres sesiones de 50 minutos. Una para que
los estudiantes aborden la actividad por sí
mismos, una para la puesta en común de las
distintas respuestas de los estudiantes, y
una en la que el profesor puede ampliar la
perspectiva de los alumnos, en particular en
encontrar estrategias para obtener cualquier
número de fracciones que estén entre dos
fracciones dadas. Otro aspecto importante
es la aplicación de la noción de orden en la
solución de problemas.
Dos sesiones de 50 minutos. Una para que
los estudiantes aborden la actividad por sí
mismos y una para la puesta en común de
las distintas respuestas de los estudiantes.
Dos sesiones de 50 minutos. Una para que
los estudiantes aborden la actividad por sí
mismos y una para la puesta en común de
las distintas respuestas de los estudiantes.
Dos sesiones de 50 minutos. Una para que
los estudiantes aborden la actividad por sí
mismos y una para la puesta en común de
las distintas respuestas de los estudiantes.
catívos.
Tenoch
006134
E. Cedillo A.
26
La calculadora
en el aula Volumen 1:
Sentido Numérico e Iniciación
Hoja de Trabajo
zcórno restamos números con
I
35
Temas
Tema explícito
Resta con números
con signo.
siqno?
•
•
•
•
(-
•
36
¿Cómo multiplica números
con signo?
Producto con números con signo.
•
•
37
1
38
Algo más sobre multiplicación de
números con
signo
¿Cómo divido
números con
signo?
Producto con números con signo.
1"
•
División con números
con signo.
•
•
•
39
Potencias de
con números
con signo
Potencias de números
con signo.
•
~
•
•
40
1
i
41
42
¿Sirven para
algo los números con
signo?
Resolución de problemas que involucran números con
signo.
¿Que ES eso
de exponentes fraccionarios?
iTambién hay
Exponentes
negativos!
Estimación, aproxirnación y redondeo
con números decímales.
Estimación, aproximación y redondeo
con números decimales.
Guia didáctica
al Álgebra
•
•
•
~
•
•
•
•
implícitos
Observaciones
Introducción al uso de signos concatenados (+-.-).
Resolución de ecuaciones
que contienen números negativos.
Resolución de ecuaciones
que involucran signos concatenados (--).
Introducción de -1 como
coeficiente implícito.
Resolución de problemas
que involucran operaciones
con números con signo.
Relación inversa entre la
suma y la resta.
Comparación entre el produeto con números posítívcs
y con números negativos.
Propiedad conmutativa del
producto.
Tres sesiones de 50 minutos. Una para que
los estudiantes aborden la actividad por sí
mismos, una para la puesta en común de las
y
distintas respuestas de los estudiantes,
una en la que el profesor puede ampliar la
perspectiva de los alumnos, en particular sobre las similitudes entre operar con números
positivos y números negativos y el uso de -1
como coeficiente implícito.
Producto con más de dos
factores.
Determinación del signo del
producto a partir del número
de factores negativos.
Propiedad asociativa del
producto.
Comparación entre el cocíente con números positivos
y el cociente con números
negativos.
No conmutatividad del co-
Dos sesiones de 50 minutos. Una para que
los estudiantes aborden la actividad por sí
mismos y una para la puesta en común de
las distintas respuestas de los estudiantes.
dente.
Los casos de _an y (-a)"
Determinación del signo de
la potencia a partir del signo
de la base y de la paridad
del exponente.
Propiedad asociativa del
producto.
Estrategias para efectuar
multiplicaciones iteradas sin
usa la calculadora.
Operaciones con números
con signo.
Valor numérico de expresiones algebraicas.
Signo del valor numérico de
x.
Introducción numérica de
exponentes variables.
Antecedentes a la noción de
locarítrno,
Introducción numérica a la
relación entre exponentes
fraccionarios y radicales.
Nociones de aproximación
"por arriba" y "por abajo".
Orden en el conjunto de los
números decimales.
Dos sesiones de 50 minutos. Una para que
los estudiantes aborden la actividad por sí
mismos y una para la puesta en común de
las distintas respuestas de los estudiantes.
Dos sesiones de 50 minutos. Una para que
los estudiantes aborden la actividad por sí
mismos y una para la puesta en común de
las distintas respuestas de los estudiantes
incorporando lo que han visto con las operaclones de suma y resta (por ejemplo, el producto como suma iterada y el cociente como
resta iterada).
Dos sesiones de 50 minutos. Una para que
los estudiantes aborden la actividad por sí
mismos y una para la puesta en común de
las distintas respuestas de los estudiantes; el
profesor debe enriquecer la experiencia de
los estudiantes incluyendo actividades del tipo abn, con a y b variando el signo de a y b.
La e
Sen
-
Hoja
43
44
45 Y
46
47
\ 48 Y
49
r
51
57
é
Dos sesiones de 50 minutos. Una para que
los estudiantes aborden la actividad por sí
mismos y una para la puesta en común de
las distintas respuestas de los estudiantes.
Dos sesiones de 50 minutos. Una para que
los estudiantes aborden la actividad por sí
mismos y una para la puesta en común de
las distintas respuestas de los estudiantes.
Dos sesiones de 50 minutos. Una para que
los estudiantes aborden la actividad por sí
mismos y una para la puesta en común de
las distintas respuestas de los estudiantes.
58
\
I
L
Tenoch E. Cedilla A.
La calculadora
en el aula Volumen
Sentido Numérico
e Iniciación
Hoja de Trabajo
Tema explícito
iSe descompuso la tecla
de la raíz
cuadrada!
Noción de raíz cuadrada.
43
27
1:
al Álgebra
Guia didáctica
Temas implícitos
•
•
I
•
I
44
Como me
aproximo
épor abajo o
por arriba?
oo'
Noción de raíz cuadrada.
•
•
•
45 y
46
Potencias y
simbolización
Iniciación al uso de
literales
•
•
47
¿Elevar a la
menos "menos 1"?
Notación exponencial.
•
•
•
48 y
49
Leyes de los
exponentes
Iniciación
literales
al uso de
50
LUna potencia que da
por resultado
1?
Significado del exponente cero.
•
I
•
Primeras reglas de
escritura algebraica.
51 a
57
•
•
•
•
•
58
Recursividad:
La tecla ANS
Iniciación al uso de
literales
•
•
I
I
~
Relación inversa entre elevar
a cuadrado y obtener la raíz
cuadrada de un número.
Nociones de aproximación
"por arriba" y "por abajo".
Orden en el conjunto de los
números decimales.
Relación inversa entre elevar
a cuadrado y obtener la raíz
cuadrada de un número.
Nociones de aproximación
"por arriba" y "por abajo".
Orden en el conjunto de los
números decimales.
Introducción a la representación de generalizaciones
usando el código algebraico.
Reconocimiento de patrones
numéricos generados al elevar distintos números a una
misma potencia.
Significado instrumental del
exponente -1.
Introducción a la representación de generalizaciones
usando el código algebraico.
Reconocimiento de patrones
numéricos generados al elevar distintos números a una
misma potencia.
Introducción numérica a las
leyes de los exponentes para
el producto con expresiones
aloebraícas no lineales.
Introducción a la representación de generalizaciones
usando el código algebraico.
Reconocimiento de patrones
numéricos generados al elevar distintos números a una
misma potencia.
Sistemas de numeración.
Introducción a la representación de generalizaciones
usando el código algebraico.
Reconocimiento de patrones
numéricos generados al elevar distintos números a una
misma potencia.
Uso del código algebraico
para plantear y resolver
problemas.
Introducción instrumental al
uso de la noción de recursividad
Reconocimiento de patrones
numéricos generados al aplicar recursivamente una
misma secuencia de operadones a distintos números.
Introducción a la representación de generalizaciones
usando el códíoo alqebraico.
Observaciones
Dos sesiones de 50 minutos. Una para que
los estudiantes aborden la actividad por sí
mismos y una para la puesta en común de
las distintas respuestas de los estudiantes.
Se recomienda que esta actividad se retome
posteriormente varias veces en el desarrollo
del curso.
Dos sesiones de 50 minutos. Una para que
los estudiantes aborden la actividad por sí
mismos y una para la puesta en común de
las distintas respuestas de los estudiantes.
Se recomienda que esta actividad se retome
varias veces durante el desarrollo del curso.
Dos sesiones de 50 minutos. Una para que
los estudiantes aborden la actividad por sí
mismos y una para la puesta en común de
las distintas respuestas de los estudiantes.
Dos sesiones de 50 minutos. Una para que
los estudiantes aborden la actividad por sí
mismos y una para la puesta en común de
las distintas respuestas de los estudiantes.
Dos sesiones de 50 minutos. Una para que
los estudiantes aborden la actividad por sí
mismos y una para la puesta en común de
las distintas respuestas de los estudiantes.
Una sesión grupal de 50 minutos, 25 minutos para que los alumnos aborden la actividad por sí rnlsrnos.iy 25 minutos en los que
el profesor dirige la actividad a partir de las
respuestas de los alumnos.
Tres sesiones de 50 minutos. Dos para que
los estudiantes aborden la actividad por sí
mismos y una para la puesta en común de
las distintas respuestas de los estudiantes.
Dos sesiones de 50 minutos. Una para que
los estudiantes aborden la actividad por sí
mismos y una para la puesta en común de
las distintas respuestas de los estudiantes.
Tenoch E. Cedilla A.
--
ACTIVIDADES
-
PARA LA E SENANZA
---- -_.~
La calculadora
------- --- -
---_._----~----
en el aula Volumen 1:
Sentido Numérico e Iniciación
al Álgebra
HECHOS NUMÉRICOS
31
Hechos numéricos
básicos
BÁSICOS
Además de abordar aspectos importantes sobre el manejo de los números naturales, esta sección tiene como propósito que el estudiante se familiarice con el teclado de la calculadora y sus formas de funcionamiento,
en el contexto de un ámbito numérico que le es más familiar que el trabajo con otro tipo de números. De acuerdo con lo anterior, las actividades de esta sección se han diseñado para que el profesor vaya introduciendo gradualmente algunos detalles sobre el manejo de la máquina en
el contexto del trabajo de la clase de matemáticas.
Las actividades que aquí se incluyen pueden realizarse con una calculadora simple de cuatro operaciones. Si se cuenta con una calculadora
científica o una calculadora gráfica se tendrá la ventaja de que esas máquinas respetan la prioridad de las operaciones, aspecto que resulta fundamental como antecedente para la introducción al álgebra. Además, si
se cuenta con una calculadora gráfica se tendrá la ventaja de poder editar en varias líneas y usar el cursor para hacer modificaciones en las expresiones que se han editado.
Las pruebas a que se ha sometido este material han mostrado que la
hoja de trabajo Sólo cuatro "castros" propicia que los estudiantes se
enfrenten con aparentes contradicciones porque no tienen en cuenta la
prioridad de las operaciones. Por ejemplo, algunos estudiantes creen que
la calculadora se descompuso porque al realizar 4+4+4 ..;-4, obtienen 9
como resultado, y ellos esperaban obtener 3. Se recomienda que el profesor aproveche momentos como ése para introducir el uso de paréntesis. Esas situaciones son más propicias para hacer ver a los alumnos la
función que desempeñan los paréntesis como signos de agrupación, ya
que esos nuevos recursos surgen como una respuesta a sus propias iniciativas.
Respecto a la resolución de ecuaciones, es crucial que los estudiantes
desarrollen el hábito de verificar sus respuestas. Se ha observado que a
pesar de que en la actividad se pide a los estudiantes que comprueben
sus soluciones, algunos de ellos no lo hacen, por lo que se hace necesario que el profesor esté alerta a este respecto. Por último, se recomienda
al profesor que permita que sus estudiantes acudan a estrategias informales y que se recreen en ellas tanto como sea posible antes de introducir las formas convencionales de resolución de ecuaciones. Recomendamos enfáticamente que el profesor aborde las formas convencionales
para la resolución de ecuaciones una vez que los alumnos hayan completado las actividades sobre ecuaciones que se proponen en este volumen.
Primer grado de secundaria
La calculadora
32
en el aula, Volumen 1:
Sentido numérico
e iniciación
Hechos numéricos
al álgebra
básicos
Fecha:
_
HOJA DE TRABAJO 1
VALOR POSICIONAL
Escribe en la calculadora el número 796182453. Supongamos
que los nueve dígitos que forman ese número son "invasores espaciales". Para salvar al planeta debes "eliminarlos"
convirtiéndolos
uno por uno
en cero haciendo una sola operación con el nú-
mero 796182453 y otro número que tú propongas. Por ejemplo,
eliminar al "1" quiere decir que hagas una operación para que el
número 796182453 cambie a 796082453. Después de que elimines al 1 debes eliminar al 2, luego el 3, Y así sucesivamente.
1. Completa la siguiente tabla para mostrar cómo eliminaste a cada "invasor".
Dígito i
Operación que hiciste en la calculadora
¡
Resultado
--------f-----T--------------------------------------------------------------------------------------------------------r-----------------i96-Ü-S-24-5j·-----------------------2-------T------------------------------------------------------------------------------------------------------T----------------i96-Ü-S-Ü45j----------------
::::::::~::::::::C::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::L::::::::::::::tª:§:Q§:Q4:§:Q::::::::::::::-::
________
~ L
5
L
}_ª_§_º_ª_º_º_~_º
[
796080000
¡
_
--------6--------1--------------------------------------------------------------------------------------------------------T----------------i9-Ü-Ü-S-ü-ü-ü-ü-----------------1
~F~F:~:::·::·:::~~·:::::::···::::·::::·······::·:··········:::t:::::::····:·:·::~~~~~~~~····:··:::·
--------g-------r-------------------------------------------------------------------------------------------------------r----------------------------ü------------------
2. Ahora elimina uno por uno cada uno de los dígitos del número 4983.26715.
siguiente tabla para mostrar cómo eliminaste a cada "invasor".
o
.-----
Completa la
Dígito ¡
Operación que hiciste en la calculadora,
Resultado
------------------,---------------------------------------------------------------------------------------------------------+-----------------------.----------------------_·_---·_··-1
1
i
¡
I
4983.26705
·j:T~~·~:·~=~~:~~~:~!~~~¡~;~
5
¡
i
980.0670
--------6-------T-------------------------------------------------------------------------------------------------------r------------------------9-S-o-:0070------------
j
------------------;--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
- - I
7
¡
::~·F:~:··~:~~~~F:~ii~
Primer grado de secundaria
,
980
Tenoch E_Cedilla A.
I
;
La calculadora
33
en el aula, Volumen 1:
Sentido numérico
e iniciación
Hechos numéricos
al álgebra
Fecha:
básicos
-----------
HOJA DE TRABAJO 2
LECTURA Y ESCRITURA DE NÚMEROS
1. Escribe en la calculadora los números que están descritos con palabras. Cuando vayas escribiendo los números ve haciendo con la calculadora las sumas que se indican. Si leíste y escribiste correctamente
cada cantidad obtendrás el total que se indica. Si el total que obtuviste
es diferente
del que se indica, busca y corrige el error que cometiste. Cuando hayas producido los números correctos escríbelos en el cuadro de la derecha.
CANTIDADES
a)
o
:+
_
más doce mi I uno,
;+
más trescientos
:+
_
_
~~o:oo
.
r-r-r-ro-o
cuarenta y cinco mil ochenta y siete.
o-o o-o 0-' o-o ,-, ,-, ,-o 0-'-' ,-, ,-, ,-, ,-o 0-' o-o ,-, o-o o-o 0-' o-o e-r-o-o -oo-o ,-o o o o joT'?,~
,
trece mi I noventa y nueve
más veinticinco millones ciento cinco,
más ciento veintiocho
más trescientos
TOTAL:
__ ~
d)
CON NÚMEROS
siete millones setecientos ochenta mil cuatro,
más ciento veinticinco mil cinco,
!~!
b)
e)
CANTIDADES
EN PALABRAS
~_~~~~??,
oo_
o, ..
:+
,_
_
_
_
:+
,+
millones ochenta y seis,
cinco mil uno.
: TOTAL:
treinta
153318291
y seis mi I cien,
más un millón dos mil,
:+
más quinientos
:+
mil veinte,
más trescientos
TOTAL:
o~oii
.,o
-o--o.--_--o,--.--oo--,--oo--,--,o--,--,,--,,--,--,,--,--"--,--"--'--'0--00--0-.. --'--'0--0--0'--'--"--"--0--0'· __ . __ ~---------------------------------------_---
cuatrocientos
o .. 'd;~o;
~~
: + -----------; TOTAL: 2238150
mil treinta.
i~~'~~
o ~~'~:o,
o o o o o -- -- - ---'"
"""
o --"
- -- -, - o' - o, - o - ~- - '"
cuarenta
-- - - ----
-- - -, - -, - -"'"
-"
- - - - - - -, - - --
:+
-----------:+
_
más dos millones cien,
más treinta y siete mil uno,
más quinientos
TOTAL:
-----------_
:+
; TOTAL:
mil diez.
_
12577112
2. Inventa una suma con cuatro sumandos como las anteriores. Usa números tan complicados
como te sea posible. Verifica que el total que obtienes es el mismo que el que se indica.
CANTIDADES EN PALABRAS
CANTIDADES CON NÚMEROS
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - _. - - _. - - - .,. - - _. - - - - - - - - - - - - - - - - . - - - - - - - - - - - - - - - - - . - - más
_
más
más
_
_
TOTAL:
Primer grado de secundaria
_
:-l-
--------------------, ,
, ----------: TOTAL: 4000136
.T
Tenoch E. Cedillo A.
34
La calculadora
en el aula, Volumen 1:
Hechos numéricos
Sentido numérico e iniciación al álgebra
Fecha:
básicos
-----------
HOJA DE TRABAJO 3
EQUIVALENCIA
1. En cada recuadro
construye
una representación
del 5 y el 9. Intenta
puedes usar las teclas
operaciones distintas.
NUMÉRICA
distinta
del número quinientos nueve. No
usar en cada una de tus respuestas cuatro
Usa tu calculadora para comprobar tus respuestas.
~II_II
__ II-
_1: __ 11_11"---_
2. En cada recuadro
distintas
construye
el número trescientos
doce. Debes usar cuatro
operaciones
y no puedes usar las teclas del 3 y el 1. Encuentra tantas formas distintas co-
mo te sea posible y escríbelas en los siguientes espacios.
~I_I
_11__ 11-
_11 __
11
11__
__
3. Construye en la calculadora el número mil doscientos veintidós.
ciones distintas
Debes usar cuatro
opera-
y no puedes usar las teclas del 1 y el 2. En cada recuadro escribe al me-
nos dos representaciones
distintas de ese número.
_II_II~ ~I_I_11_11_114. En cada recuadro construye al menos una representación
uno sin usar las teclas del 4 y el 1.
distinta
del número cuatrocientos
I_II~II_II~I II~ _11
__ 11_
Primer grado de secundaria
Tenoch E. Cedilla A.
La calculadora
Sentido
en el aula, Volumen
numérico
e iniciación
1:
35
al álgebra
Hechos numéricos
básicos
Fecha:
_
HOJA DE TRABAJO 4
¡SE DESCOMPUSO
LA TECLA PARA SUMAR!
¡Se descompuso la tecla para sumar!
El reto que presenta esta hoja de trabajo
consiste en
que encuentres cómo realizar las siguientes sumas empleando la calculadora, pero sin usar para nada la tecla
para sumar.
1. ¿Puedes hacer la operación 438+725 sin usar la tecla para sumar y sin sumar mentalmente ni con lápiz y papel? Describe cómo lo hiciste
_
2. Compara tu método con el de los compañeros que estén cerca de ti. ¿Alguien encontró
un método distinto del tuyo?
¿En qué consiste?
_
¿Cuál método es mejor, el tuyo o el de algunos de tus compañeros?
¿Por qué?
3. ¿Puedes hacer la operación 1536+489+39.83,
_
_
sin usar la tecla para sumar y sin sumar
mentalmente ni empleando lápiz y papel? Explica cómo lo hiciste, hazlo de manera que
cualquiera de tus compañeros lo pueda entender.
_
4.
Encuentra
los números que faltan. Escribe en cada espacio las operaciones que uses
para obtener una solución.
a) 487+x=798
Primer grada de secundaria
b) y+1761+89=2346
! e) 7A+z+125.97=784.88
Tenach E. Cedilla A.
36
La calculadora
en el aula, Volumen 1:
Hechos numericos
Sentido numérico e iniciación al álgebra
Fecha:
basrcos
-----------
HOJA DE TRABAJO 5
¡SE DESCOMPUSO
LA TECLA PARA RESTAR!
¡La tecla para restar
se descompuso!
El reto que presenta esta hoja de trabajo consiste en
que encuentres una manera de restar usando la calculadora, pero sin usar en absoluto la tecla para restar.
1.
¿Puedes encontrar
un método para hacer la operación 1585-427
sin usar la tecla pai'o
restar y sin hacer la resta mentalmente ni con lápiz y papel?
_
2.
Explica cual es el método que encontraste,
pañeros lo puede entender.
3.
Compara tu método con el de los compañeros que estén cerca de ti. cAlquien encontró
un método distinto
hazlo de manera que cualquiera de tus com_
del tuyo?
¿En qué consiste ese otro
método)
¿Cuál método es mejor, el tuyo o el de algunos de tus compañeros?
¿Por qué?
4.
¿Puedes hacer la operación 453.75-128.29
sin usar la tecla para restar y sin hacer la
resta mentalmente ni con lápiz y papel?
contraste,
5.
_
._
Explica cual es el método que en-
hazlo de manera que cualquiera de tus compañeros lo pueda entender.
Encuentra los números que faltan. Escribe las operaciones que hiciste en los especies.
a)
x-487=798
Primer grado de secundaria
b) y-1761+89=2346
C)
2-7.4+125.97
= 784.88
Tenoch E. Cedillo A.
La calculadora
en el aula, Volumen 1:
Sentido numérico
e iniciación
37
Hechos numéricos
al álgebra
básicos
Fecha:
_
HOJA DE TRABAJO 6
DEL CERO AL CIEN
SÓLO CON "CUATROS"
Una alumna encontró que puede construir con la calculadora los
números del cero al cien usando sólo el número 4
y las teclas
B888QJ
Por ejemplo, el cero puede construirse
puede construirse
4+4
como sigue:
como sigue: 4.;.4-4.;.4. El 10
+ J4.
El 3 puede obtenerse
como (4+4+4)-A. Otra regla de este juego es que no es válido escribir
1.
números como 44+44=88.
El cero y el diez están en la siguiente
misma manera, intenta
"cuatros"
encontrar
lista, encuentra
otras formas
al menos dos formas distintas
de escribirlos.
de escribir
De la
sólo con cuatro
los demás números de la lista. Los casos que te parezcan más difíciles
resuélvelos
usando más de cuatro "cuatros".
Núm.:
RESPUESTAS
O :
.... 2'"
.¡
-
-
-
-
-
-
-
-
-
: Núm.
RESPUESTAS
- .. - - -. -. - '1"" 27
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•
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Núm.
RESPUESTAS
: 58
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_
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••
5'2'00
-.
J.
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49 :
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---.
-
•
o
••
-
••
-
0-'
-
-
-
-
o
••
o.
-
--
2. Un alumno dice que 4+4+4..,.4=3. Uno de sus compañeros dice que eso no está bien, que el resultado
3.
¿Qué
correcto
es 9. ¿Estás de acuerdo
resultado
produce
la
Explica
4.
con alguno de ellos? Justifica
calculadora
por
si
qué obtienes
realizas
la
ese resultado
Sin cambiar ninguna operación ni ningún número, cpuedes "arreglar"
para que dé como resultado 3,? ¿Cómo lo harías?
Primer grado de secundaria
tu respuesta.
operación
4..,.4+4><4?
con la calculadora.
la operación 4+4+4..,.4
_
Tenoch E. Cedilla A.
La calculadora
38
en el aula, Volumen 1:
Sentido numérico e iniciación
Hechos numéricos
al álgebra
Fecha:
básicos
-----------
HOJA DE TRABAJO 7
¡AL CERO EN CINCO PASOS!
Esta hoja presenta juego matemático que consiste en lo siguiente:
Se trata de reducir a cero un número que esté entre cero y mil. Puedes hacer esto mediante sumas, restas, multiplicaciones o divisiones.
Puedes repetir una operación las veces que quieras.
Las operaciones deben hacerse con el número que se da y otro número
entero que tú elijas. El número que elijas debe ser uno de los siguientes:
1, 2, 3,4, 5, 6, 7, 8, o 9. Puedes usar el número que elijas las veces que
quieras.
Cada operación que hagas se cuenta como un paso y el resultado
de cada operación que hagas debe ser un número entero.
Ganas el juego si, a lo más en cinco pasos, puedes reducir a cero cada uno de los siguientes números.
EJEMPLO: REDUZCAMOS A CERO EL NÚMERO 869.
Paso 1:
Paso 2:
869 - 5 = 864
864 -;. 9 = 96
96 -;. 8
12
12 -i- 6= 2
=
Paso 3:
Paso 4:
Paso 5:
2-2=0
Usa la calculadora para encontrar distintas
meros:
maneras de reducir a cero los siguientes nú-
a) 789
b) 629
e) 823
Paso 1:
Paso 1:
Paso 1:
Paso 2:
Paso 2:
Paso 2:
Paso 3:
Paso 3:
Paso 3:
Paso 4:
Paso 4:
Paso 4:
Paso 5:
Paso 5:
Paso 5:
d) 952
e)
f)
Paso
Paso
Paso
Paso
Paso
Paso
Paso
Paso
Paso
Paso
1:
2:
3:
4:
5:
Primer grado de secundaria
997
1:
2:
3:
4:
5:
I
I
857
Paso
Paso
Paso
Paso
Paso
I
1:
2:
3:
4:
5:
I
I
I
I
Tenoch E. Cedillo A.
La calculadora
en el aula, Volumen
Sentido numérico
e iniciación
39
1:
Hechos numéricos
al álgebra
básicos
Fecha:
_
HOJA DE TRABAJO 8
¿QUÉ NÚMEROS DIVIDEN A OTROS'?
1.
Un alumno dice que cualquier número entero,
ro, puede dividirse
¿Es cierto
2.
lo que dice ese compañero?
Haz en tu calculadora
4.
6.
¿Por qué?
y tus compañeros y
_
¿Puedes encontrar un número entero que esté entre 50 y 60 Y que sólo pueda dividirse
tre sí mismo y el 1? ¿Cuál es ese número?
Una compañera dice que encontró
pueden dividirse
números?
5.
el ce-
residuo.
la operación 570 y observa qué pasa.
Discute este resultado con tu profesor
anota tus conclusiones.
3.
excepto
entre sí mismo y el 1 sin dejar
diez números enteros
entre sí mismos y el 1. ¿Es cierto
Otro alumno dice que entre
que están entre
80 y 120 que sólo
lo que dice esa alumna? ¿Cuáles son esos
_
el 120 y el 130 no hay números que sólo puedan dividirse
residuo.
en_
¿Es cierto
lo que él dice?
entre
sí mismos y entre
el 1 sin dejar
¿Por qué?
¿Puedes encontrar
número?
cinco números que sólo se puedan dividir entre sí mismos, el 1, y otro
¿Qué números con esas características
encon-
traste?
7. ¿Puedes encontrar
mos, el 1 y otro
8.
Encuentra
un método para inventar números que sólo puedan dividirse
número?
Describe
a continuación
cinco números que sólo puedan dividirse
ros más. ¿Qué números encontraste?
9.
tu método
._.
.
..
....
un método para inventar números que sólo puedan dividirse
mos, el 1, y otros
dos números?
10. ¿Puedes encontrar
un método
a continuación
para construir
_
entre sí mismos, el 1, y otros dos núme-
¿Puedes encontrar
Describe
entre sí mis-
.__ .
entre sí mis-
tu método
_
números que sólo puedan dividirse
entre
sí
mismos, el 1, y otros tres números? Haz una lista de diez números con esas características.
Primer grado de secundaria
Tenoch E. Cedillo A.
40
La calculadora
en el aula, Volumen 1:
Hechos numéricos
Sentido numérico e iniciación al álgebra
Fecha:
básicos
_
HOJA DE TRABAJO 9
¿NÚMEROS QUE SE DIVIDEN
ENTRE 7 Y 11?
Lee con atención lo siguiente:
10 es divisible entre 5 y entre 2 porque
5x2=10; 56 es divisible entre 7 y entre 8 porque 7x8=56.
1. Da otros tres ejemplos de números que sean divisibles
entre 7.
_
2. Construye tres números enteros que estén entre 100 y
300, Y que sean divisibles entre 7. Escribe a continuación los números que construiste.
_
3. Construye tres números enteros que estén entre 1000 y 1300, Y que sean divisibles
entre 7. Escribe a continuación los números que construiste.
_
4.
Describe con un ejemplo cómo construiste
de manera que cualquiera
números que son divisibles
de tus compañeros
entre 7. Hazlo
lo entienda.
5. Construye tres números mayores que 200 y menores que 300 que sean divisibles entre
11. Escribe los números que construiste a continuación.
_
6. ¿Encontraste
algún método para construir
números que son divisibles
entre 11? Des-
cribe tu método con un ejemplo, hazlo de manera que cualquiera de tus compañeros lo
entienda.
_
7. Encuentra un método para construir
números que sean divisibles entre 11 y entre 13.
Describe a continuación tu método usando dos ejemplos, hazlo de manera que cualquiera de tus compañeros te pueda entender.
_
Primer grado de secundaria
Tenoch E. Cedilla A.
La calculadora
en el aula, Volumen
Sentido numérico
e iniciación
41
1:
Hechos numéricos
al álgebra
Fecha:
básicos
------------
HOJA DE TRABAJO 10
¿ESOS "NUMEROTES" SON DIVISIBLES
ENTRE TODO ESO?
Este es un juego matemático.
por qué pasa lo que enseguida observcrér.
explicar
1.
Escribe
2.
Repite
un número entero
Escribe
de tres cifras,
ese número a continuación
entonces
cifras
Ganas el juego si puedes
un número de seis cifras,
son idénticas
a las tres
el que tú pr-efieres.
del que ya tienes.
Tendrás
en el que las tres primeras
últimcs. Por ejemplo,
324324.
el número que constr •.•'<te a continuación.
3.
¿Crees que el número de seis cifras
tu respuesta y di qué observas.
que construiste
sea divisible entre 7? __
Comprueba
_
4.
¿Crees que el número de seis cifras
ba tu respuesta y di qué observas.
que construiste
sea divisible entre 11? __
Comprue_
5.
¿Crees que el número de seis cifras
ba tu respuesta y di qué observas.
que construiste
sea divisible entre 13? __
Comprue_
6.
Discute lo que observaste con tus compañeros. ¿Ellos encontraron
¿Cuáles son tus conclusiones?
7.
Construye
otros números de seis cifras
es siempre
divisible
compañeros
la pueda entender.
este
entre
7,
número de seis cifras
11 Y 13? Da tu respuesta
Tu profesor
cifras
entre 7, 11 Y l3?
Esta es la clave del juego, si puedes dar una respuesta
habrás ganado. ¿Por qué cualquier
_
de manera que las tres primeras
a las tres últimas. ¿Esos números son divisibles
comprobar tu respuesta?
8
lo mismo que tú? __
decidirá
correcta
sean iguales
¿Qué hiciste
a la siguiente
que construyas
para
_
pregunta
de esa manera
de manera que cualquiera
de tus
quién o quienes son los ganadores en
juego.
Primer grado de secundaria
Tenoch E. Cedilla A.
42
La calculadora
en el aula Volumen 1:
Sentido Numérico
e Iniciación
al Álgebra
Decimales y sus operaciones
NÚMEROS DECIMALES Y SUS OPERACIONES
Comentarios y sugerencias para el profesor
Si se están usando calculadoras científicas o gráficas, debe tenerse en
cuenta que estas máquinas pueden configurarse para trabajar con un
número de cifras decimales predeterminado. En esta sección es crucial
que el profesor cuide que las calculadoras de los estudiantes se arreglen
de manera que desplieguen el mismo número de dígitos en la pantalla,
de otra manera puede ocasionar confusión en los alumnos el que sus
compañeros obtengan resultados distintos a los suyos. Desde luego este
hecho puede explotarse, el profesor puede deliberadamente buscar que
los alumnos obtengan distintos resultados a pesar de que estén usando
los mismos procedimientos, esto le permitirá discutir cuestiones relacionadas con redondeo y números truncados.
En las actividades que incluyen la resolución de ecuaciones, se recomienda que el profesor revise que los estudiantes verifiquen sus respuestas
usando la calculadora. Esto propiciará que los alumnos vayan siendo cada vez más independientes en la realización del trabajo y que incorporen
cada vez más la calculadora como un instrumento que les permite explorar y generar estrategias originales para resolver ecuaciones. Estas
experiencias favorecerán que los alumnos valoren de mejor manera los
procedimientos convencionales que posteriormente deberán aprender.
Primer grado de secundaria
Tenoch E. Cedillo A.
La calculadora
Sentido
en el aula Volumen
Numérico
e Iniciación
43
1:
Decimales y sus operaciones
al Álgebra
Fecha:
_
HOJA DE TRABAJO 11
SUMA Y ESTIMACIÓN
1. En cada inciso escribe dos números tal que al
sumarlos den por resultado el número que se
indica.
0.321
0.457
1.305
a)
: d)
:g)
b)
~e)
: h)
e)
:f)
: i)
----------------------------- ------
0.4056
j)
.
-:- - - - - - - - - - - :
~m)
-
.
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -:-
1.00506
-
------
:
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - _ .._.
3.040578
: o)
:
k)
: n)
: p)
1)
~ñ)
:q)
:
2. ¿Qué hiciste para obtener los números que se piden en el inciso P Describe tu método de manera que cualquiera de tus compañeros lo entienda. Si quieres hazlo con un
ejemplo
3.
En cada inciso escribe tres números tal que al sumarlos den por resultado el número
que se da. Los números que uses en cada inciso deben ser distintos y ninguno de los
sumandos debe ser cero. Usa la calculadora para comprobar tus respuestas, no debes
tener ningún error.
0.7101
0.3015
0.2003
a)
d)
g)
b)
e)
h)
e)
f)
i)
Primer grado de secundaria
Tenoch E. Cedilla A.
44
La calculadora
en el aula Volumen
Sentido Numérico
e Iniciación
1:
Decimales y sus operaciones
al Álgebra
Fecha:
_
RESTA Y ESTIMACIÓN
1. En cada inciso escribe
restar
dos números tales que, al
uno del otro, den por resultado
el número
que se da.
2.0056
0.307
0.425
a)
id)
g)
b)
¡ e)
h)
e)
j f)
i)
------_.-------------------------------;---------------------------------------
3.05608
0.509
¡ m)
j)
-------------------.--------------------
19.50807
o)
:
¡ n)
k)
p)
,
¡ ñ)
1)
q)
2. ¿Qué hiciste para encontrar los números que se piden en el inciso 1? Describe tu método de manera que cualquiera de tus compañeros lo entienda. Si quieres hazlo con un
ejemplo
_
3. Encuentra los números que faltan en cada inciso. Escribe en cada espacio las operaciones que hagas para obtener tus respuestas. Usa la calculadora
respuestas, no debes tener ningún error.
a) x -0.01012=4.576
Primer grado de secundaria
b) y-0.1 0203=1.079
para comprobar tus
e) 0.30076-w=3.45
Tenoch E. Cedilla A.
La calculadora
en el aula Volumen
Sentido Numérico e Iniciación
45
1:
Decimales y sus operaciones
al Álqebra
Fecha:
HOJA DE TRABAJO 13
MULTIPLICACIÓN y ESTIMACIÓN
1. En cada inciso escribe
dos números
que multiplicados den por resultado el
número que se da. Los números que
uses en cada inciso deben ser distintos.
0.001
0.765
0.206
a)
d)
g)
b)
e)
h)
e)
_________________________________
...•..i)
f)
-------------
w._.
0.784
_
3.519
19.873
j)
1m)
o)
k)
i n)
p)
1)
!ñ)
q)
2. ¿Qué hiciste para encontrar
los números que se piden en el inciso 1?
Describe
tu método de manera que cualquiera de tus compañeros lo entienda. Si quieres hazlo
con un ejemplo
3. En cada inciso escribe tres números que multiplicados den por resultado el número que
se da.
0.1003
7.30078
5.10207
a)
d)
g)
b)
e)
h)
e)
f)
i)
Primer grado de secundaria
Tenoch E. Cedilla A.
La calculadora
46
en el aula Volumen 1:
Decirr
Sentido Numérico e Iniciación al Álgebra
Fecha:
_
HOJA DE TRABAJO 14
¡SE DESCOMPUSO
LA TECLA PARA MULTIPLICAR!
íl,c tecla para multiplicar se descompuso!
El trabajo
que harás en esta hoja se basa en un juego. El
juego consiste en que encuentres una forma para multiplicar con la calculadora sin usar la tecla para multiplicar
ni hacer de ninguna manera una multiplicación.
l.
¿Puedes hacer la siguiente multiplicación
tecla para multiplicar
sin usar la
y sin hacer ninguna multiplica-
ción mentalmente ni con lápiz y papel?
84x37
2. Explica cual es el método que encontraste,
pañeros lo pueda entender.
haz lo de manera que cualquiera de tus com_
3. Compara tu método con el de los compañeros que estén cerca de ti. cAlquien encontró
un método distinto del tuyo?
¿En qué consiste ese otro método? _
¿Cuál método es mejor, el tuyo o el de algunos de tus compañeros?
¿Por qué?
_
_
4. ¿Puedes hacer la operación 95.Sx36.5 sin usar la tecla para multiplicar y sin hacer la
multiplicación mentalmente ni con lápiz y papel?
Explica cómo lo hiciste, hazlo
5.
de
manera
que
cualquiera
de
tus
compañeros
lo
pueda
entender.
Encuentra los números que faltan. Escribe en cada espacio las operaciones que uses
para obtener una solución. Comprueba tus respuestas usando la calculadora.
a) 48.7 x d=695.4
Primer grado de secunda,
b) e x 17.68=23.46
e) 7D48x z = 1.45
Tenoch E. Cedilla A.
La calculadora
Sentido
en el aula Volumen
Numérico
e Iniciación
47
1:
Decimales y sus operaciones
al Álgebra
Fecha:
_
HOJA DE TRABAJO 15
DIVISIÓN Y ESTIMACIÓN
1.
En cada inciso escribe
tales
que, al dividir
dos números
uno entre
el
otro, den por resultado un número
que esté entre los dos números que se
dan.
0.405 Y 0.407
0.728 Y 0.734
a)
d)
b)
e)
0.79 Y 0.8
I g)
1
h)
~L-O:791yo.792-¡f)---4jí57Y;¡:859----I'!---iÜ¡43Y2Ü¡5j)
1m)
lO)
k)
in)
Ip)
1)
iñ)
iq)
2. ¿Qué hiciste
para encontrar
los números que se piden en la pregunta anterior?
Des-
cribe tu método de manera que cualquiera de tus compañeros lo entienda. Si quieres
hazlo con un ejemplo.
_
3.
Encuentra el número que falta en cada uno de los siguientes incisos. Usa la calculadora
para comprobar tus respuestas, no debes tener ningún error.
a) r
-i-
0.536 = 4.715
r=
4.
b) P -i- 0.318 = 0.0032
p=
¿Encontraste un método para responder
mediante un ejemplo.
_
Primer grado de secundaria
e) 1.267-:-q=100.412
q=
la pregunta anterior?
Describe tu método
Tenoch E. Cedilla A.
La calculadora
48
en el aula Volumen
1:
Decimales y sus operaciones
Sentido Numérico e Iniciación al Álgebra
Fecha:
HOJA DE TRABAJO 16
El trabajo que harás en esta hoja se basa en un juego que consiste en
que encuentres una forma para hacer divisiones con la calculadora sin
usar la tecla de la división y sin hacer ninguna división.
1. ¿Puedes hacer la operación 94-.0-28 sin usar la tecla para dividir y
sin hacer
_____
la división mentalmente
ni con lápiz y papel?
Explica qué hiciste para contestar la pregunta ante-
rior. Escribe tu explicación de manera que cualquiera de tus compañeros la pueda entender.
_
2. Compara tu método con el de los compañeros que estén cerca de ti. ¿Alguien encontró
un método distinto del tuyo?
¿En qué consiste ese otro método?
¿Cuál método es mejor, el tuyo o el de algunos de tus compañeros?
¿Por qué?
_
_
3. ¿Puedes hacer la operación 96.8732.5 sin usar la tecla para dividir y sin hacer la división mentalmente ni con lápiz y papel?
Explica el método que usaste para dividir sin usar la tecla de la división, haz lo de manera que cualquiera de tus compañeros lo pueda entender.
_
4. Encuentra el número que falta en cada uno de los siguientes incisos. Escribe en cada
espacio las operaciones que hiciste para obtener tus respuestas y compruébalas con la
calculadora.
a) x+O.125=
1
x=
Primer grado de secundaria
b) y+O.318=O
e) 10+z=20
y=
z=
Tenoch E. Cedillo A.
La calculadora
en el aula Volumen 1:
Sentido Numérico e Iniciación
49
Decimales y sus operaciones
al Álgebra
Fecha:
HOJA DE TRABAJO 17
LECTURA Y ESCRITURA DE NÚMEROS DECIMALES
1. Escribe en la calculadora los números que están descritos con palabras. Cuando vayas escribiendo los números ve haciendo con la calculadora las sumas que se indican. Si leíste y escribiste correctamente
cada cantidad obtendrás el total que se indica. Si el total que obtuviste
es diferente
del que se indica, busca y corrige el error que cometiste. Cuando hayas producido los números correctos escríbelos en el cuadro de la derecha.
CANTIDADES
EN PALABRAS
CANTIDADES CON
NÚMEROS
-~)-------U~-~~t~~;--~-~~t~~--~-;~t~~~-~~:-------------------------------------------------------------T-----------------------------------------.-.-.-. --..1
i+
i+
i+
más tres milésimos,
más dos enteros
más veinticinco
setenta
milésimos,
milésimos.
_
_
_
tTOTAL: 3.138
TOTAL:
-b)--------M-¡I-~~--~~t~-~-~-~--~~--~;~t~~;-~-~:---------------------------------------------------------------r-----------------------------------------------------f·'
más dos mil noventa y nueve enteros diez centésimos,
más cuarenta
mil siete enteros un diez milésimo,
más veinte tres mil diez enteros diez milésimos.
¡+
_
i
T
_
i+
_
¡TOTAL: 66117.1201
TOTAL:
-~j--------T~-;¡~t~-y--¿-~h;--~-i-í-~~;~-t~--~~t~~;~-~;i-~t-;-~;I~~-i-~;~:·-----·-·----··-------·-r-------------------------------------.--------------más treinta
mil tres enteros treinta
más cuarenta y dos mil treinta
más un entero dos milésimos.
y siete diez milésimos,
y un enteros treinta
milésimos,
!+
!+
!+
_
_
_
¡TOTAL: 110055.05:7
TOTAL:
-d)--------D¡~-;-~¡i-I¿-~~~--~-~-;:-------------------------------------------------------------------------------------l---------------------------------------------------------
i+
más dos millones cien,
más treinta
más quinientos
_
i+
¡+
y siete mil uno,
cuarenta mil diez.
_
_
¡TOTAL: 12577112
TOTAL:
'----2. Inventa
una suma con cuatro
como te sea posible. Verifica
sumandos como las anteriores.
que el total
que obtienes
Usa números tan complicados
es el mismo que el que se indica.
CANTIDADES EN PALABRAS
i
CANTIDADES CON NÚMEROS
----------------------------------- --------------------------------- --------------------------_._--------¡----------------------------------------------------.-------------------
-------------------,
¡
-------------
¡
más
, +
_
más
"! +
_
;~TAL:
"1
Primer grado de secundaria
+
TOTAL: 38001.036
Tenoch E. Cedilla A.
50
La calculadora
en el aula Volumen 1:
Sentido Numérico
e Iniciación
Decimales y sus operaciones
al Álgebra
Fecha:
_
HOJA DE TRABAJO 18
LECTURA Y ESCRITURA DE MEDIDAS DE LONGITUD
1.
Usa números decimales para escribir en la calculadora las medidas que están descritas con palabras. Cuando vayas escribiendo los números ve haciendo con la calculadora las sumas que se indican. Si leíste y escribiste correctamente cada cantidad obtendrás el total que se indica. Si el
total que obtuviste es diferente del que se indica, busca y corrige el error que cometiste. Cuando hayas producido los números correctos escríbelos en el cuadro de la derecha.
MEDIDAS EXPRESADAS
CON PALABRAS
MEDIDAS
EXPRESADAS
CON
NÚMEROS
------r---------- ------ ------- -------------------------------- --------
___________________________________________________
._.---.----.------------------------------------------------------.
a)
Un metro dos centímetros,
más tres milímetros,
¡+
¡+
más dos centímetros,
más tres centímetros dos milímetros.
i+
! TOTAL:
TOTAL:
1.075 metros
-b)""""""""-T;"~¡~t~"~~t~~~"~~~~~~t~"";"~~"t"í";;;~t;"~";":""""""""""""""""""""""""""""""""""""""T""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""
más dos kilómetros veinticinco metros cuatro centímetros, i +
más tres metros cuatro milímetros,
i+
más cuatro metros treinta y dos centímetros un milímetro.
TOTAL:
¡+
! TOTAL:
2062.765
metros
----------------._------. __.-------------------_.--._----.--.--------------------------.-----------------------------------+--------------------------------------------------------------e)
Seis kilómetros ocho metros,
más dos hectómetros
+
+
cinco metros tres centímetros,
más dos decámetros cuarenta y ocho milímetros,
más veintiséis metros treinta y siete milímetros.
+
TOTAL:
d)
TOTAL: 6259.115 metros
Cien kilómetros diez metros cuarenta y ocho centímetros,
más cincuenta kilómetros dos metros nueve milímetros,
más cuarenta y nueve kilómetros y medio,
más dos kilómetros
TOTAL:
+
+
y medio treinta y seis milímetros.
+
TOTAL:
202012.525
metros
2. Inventa una suma con cuatro sumandos como las anteriores. Usa medidas de longitud tan complicadas como te sea posible. Verifica que el total que obtienes es el mismo que el que se indica.
MEDIDAS EXPRESADAS
CON PALABRAS
MEDIDAS
CON NÚMEROS
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------~_---------------------------------------------------------------------más
_
más
------------------más
_
TOTAL:
Primer grado de secundaria
_
-
+ ------------+
+
------------TOTAL:
38001.036
metros
Tenoch E. Cedilla A.
-
La calculadora
51
en el aula Volumen 1:
Sentido Numérico e Iniciación
Decimales y sus operaciones
al Álgebra
Fecha:
_
HOJA DE TRABAJO 19
LECTURA Y ESCRITURA DE MEDIDAS DE PESO
1.
Usa números decimales para escribir en la calculadora las medidas que están descritas
con palabras. Cuando vayas escribiendo los números ve haciendo con la calculadora las
sumas que se indican. Si leíste y escribiste correctamente cada cantidad obtendrás el
total que se indica. Si el total que obtuviste es diferente del que se indica, busca y corrige el error que cometiste. Cuando hayas producido los números correctos escríbelos en el cuadro de la derecha.
MEDIDAS EXPRESADAS
CON PALABRAS
i
MEDIDAS EXPRESADAS
¡
NÚMEROS
-;)-------------M~d-i-~--k¡í~~---------------------------------------------------------------------------------r-----------------------------·---------------------
CON
-----__
o.
más cuarenta y siete gramos,
i+
_
más dos ki los ocho gramos,
!+
i+
! TOTAL:
_
_
más cuarenta kilos veinticinco gramos.
---
TOTAL:
42.58 kilos
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------~-----------------------------------------------------------------b)
Dos toneladas doce ki los cuarenta gramos,
más cien toneladas dieciséis kilos y medio,
+
más dos mil treinta y siete gramos,
más seis toneladas y media doscientos gramos.
TOTAL:
---------------------------------------------------------------------------------------------------------.----.------e)
Dos kilos tres cuartos,
+ -----------+ ------------
TOT AL: 108530.777 kilos
..------------------------------------------------------------------
más cuatro mil doscientos cincuenta gramos,
!+
más un kilo y cuarto,
más diez kilos cien gramos.
!+
¡+
_
_
_
-~l"j-------~~:~~~~--t-~-~-~i~d~~-t~~~-~~~-~t~~~-----------------------------------------------I-!-~-!-~~-:--~~-:~-~--~~!~:--más veintiocho toneladas un cuarto,
i+
_
más quince toneladas dos kilos,
más siete mil cinco gramos.
!+
¡+
! TOTAL:
_
TOTAL:
2.
_
48009.005
kilos
Usa números decimales para expresar las siguientes cantidades en kilos. Emplea la
calculadora para sumar los números que escribiste. Si tus respuestas son correctas la
suma te deberá dar la cantidad que se indica. Si no te da ese resultado revisa tus respuestas y corrige los errores que hayas cometido.
MEDIDAS EXPRESADAS
CON PALABRAS
MEDIDAS CON NÚMEROS
Tres toneladas tres cuartos,
más Cuatrocientos
cincuenta qramos,
más tres cuartos de ki lo,
más Cuatro mil ochocientos oremos,
más cuarenta toneladas cincuenta kilos veinte qramos.
SUMA: 43806.02
Primer grado de secundaria
kilos
Tenoch E. Cedillo A.
52
La calculadora
en el aula Volumen 1:
Decimales y sus operaciones
Sentido Numérico e Iniciación al Álgebra
Fecha:
_
HOJA DE TRABAJO 20
TRANSfORMACIONES
EN UN SOLO PASO
Encuentra al menos dos formas para obtener los números de abajo a partir del número de arriba.
1.
19.0IxO.Ol
19-0-100
2.
3.
4.
Una alumna dice que 1.5 es igual 1.5000. cTiene razón?
Primer grado de secundaria
¿Por qué?
_
Tenoch E. Cedillo A.
La calculadora
en el aula Volumen 1:
Sentido Numérico e Iniciación
53
Decimales y sus operaciones
al Álgebra
Fecha:
------
HOJA DE TRABAJO 21
¡SE DESCOMPUSO
LA TECLA DEL PUNTO DECIMAL!
Supongamos que la tecla del punto decimal se descompuso. Encuentra
tintas
de producir
los siguientes
al menos dos maneras
con la calculadora cada uno de
números sin usar la tecla del punto
decimal. En cada cuadro escribe
la calculadora para obtener
a)
0.5
dis-
¡ e)
1.5
lo que hiciste en
lo que se indica.
0.3
¡
1342.58
---------- ----------------
--- -- --- -.--- -- -- -- --- --_.- -_.. ----1-- --- ----------- ----- ------- -------- -------
g) 19876.035
I h) 10003.002
o
__
o
_
••
__
o
.···_f-.·-.··.-.-_._-------.-.-.--------------------.-----_.----_..
i) 0.00034
I
¡
¡
¡
i
¡
1
3.25
Primer grado de secundaria
Tenoch E. Cedilla A.
54
La calculadora
en el aula Volumen 1:
Decimales y sus operaciones
Sentido Numérico e Iniciación al Álgebra
Fecha:
_
HOJA DE TRABAJO 22
FRACCIONES
DECIMALES
1. La siguiente figura muestra una tira de papel que ha sido dividida en varias partes.
Dentro de cada parte escribe el número decimal que la represente.
Suma los números que escribiste en cada parte. Si tus respuestas
suma debe darte 1. cl,o suma que hiciste te dio l?
son correctas la
Si no fue
así, encuentra los errores que cometiste e intenta de nuevo.
0.25
2. ¿Que fracciones decimales corresponden a cada una de las partes en que se ha dividido
la unidad en la siguiente figura?
Suma los números que escribiste
correctas
la suma debe darte
Si tus respuestas
son
1. cl,c suma que hiciste te dio l?
Si
no fue así, encuentra los errores que cometiste e intenta de nuevo.
3. ¿Que fracciones corresponden a cada una de las partes en que se ha dividido la unidad
en la siguiente figura? Escribe en cada parte la fracción común y la fracción decimal
que la represente.
-----------------------------¡------------------------------1
:------------------------------1
~ + 2- + ~ = 3 = 0.25
12
12
12
12
¡--------------1
¡------------------------------'------- ----- -'---------
¡
r-------- ----------------------------------------- ------------r--------------¡-- -------------------- --------------- ---------
"
,
4. ¿Puedes asegurar que tus respuestas son correctas?
Primer grado de secundaria
¿Por qué?
,
_
Tenoch E. Cedilla A.
La calculadora
55
en el aula Volumen 1:
Sentido Numérico e Iniciación
FRACCIONES
al Álgebra
Fracciones comunes y sus operaciones
COMUNES Y SUS OPERACIONES
Comentarios y sugerencias para el profesor
El principal propósito de esta sección es que los estudiantes desarrollen
nociones y estrategias que les permitan usar las fracciones comunes en
la solución de problemas. Se pretende que esas nociones les apoyen en
la comprensión de información basada la noción de proporcionalidad.
El tema sobre el valor decimal de la fracciones comunes no se aborda en
esta sección con la finalidad de no distraer la atención de los alumnos en
el tratamiento de un tema que se sabe es de alta dificultad. Por esta razón se recomienda que el profesor incorpore ese tema en los momentos
que considere más adecuados durante el trabajo que aquí se propone.
Como en las secciones anteriores, se recomienda al profesor que verifique que los alumnos comprueben sus respuestas empleando la calculadora.
Las actividades que se incluyen en esta sección requieren el uso de calculadoras que permitan editar y hacer operaciones con fracciones comunes. Actualmente existen muchos modelos de calculadoras científicas que
ofrecen esos recursos. Las posibilidades que ofrece cualquier tipo de calculadora gráfica a este respecto son superiores, entre otras cosas, algunas calculadoras gráficas permiten editar fracciones en la forma en que
usualmente lo hacemos con lápiz y papel, por ejemplo, 314, o algunas
admiten expresiones como
t. Esto contrasta
con la notación de parejas
ordenadas que emplean otras calculadoras, por ejemplo: la expresión
3,4, para representar la fracción tres cuartos, lo cual requerirá que el
profesor proporcione la información pertinente.
La calculadora
56
en el aula Volumen 1:
Sentido Numérico e Iniciación
Fracciones comunes y sus operaciones
al Álgebra
Fecha:
_
HOJA DE TRABAJO 23
NOCIÓN DE FRACCIÓN
1. La figura de abajo representa una tira de papel que se ha dividido en algunas partes. La
tira de papel completa representa a la unidad. En cada parte del rectángulo escribe la
fracción correspondiente.
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
.
1
8
1
,
que escribiste
Si tus respuestas
correctas la suma debe darte 1. cl,c suma que hiciste te dio 1?
son
Suma las fracciones
_
Si no fue así, trata de encontrar los errores que cometiste e intenta de nuevo.
¿Qué fracciones
I
corresponden a cada una de las partes en que se ha dividido la tira de
papel que se muestra en la siguiente figura? Escribe en cada parte la fracción
pondiente.
.
1
1
1
1
1
1
1
1
I
I
I
1
I
I
I
I
I
1
1
1
J
Suma las fracciones
1
9
J
1
I
1
1
1
1
I
1
I
J
1
1
1
I
1
I
1
I
1
corres-
1
1
1
1
1
I
I
1
1
1
I
1
I
I
1
J
1
I
1
1
1
1
I
J
I
1
1
I
I
Si tus respuestas
que escribiste
son correctas la suma debe darte 1. cl,c suma que hiciste te dio 1?
Si
no te dio 1, trata de encontrar el error que cometiste e intenta de nuevo.
3. ¿Que fracciones
corresponden a cada una de las partes en que se ha dividido la tira de
papel que se muestra en la siguiente figura? En cada parte escribe la fracción
rresponda.
1
-
-
-
-
-
-
-
-
-
- - - - -
-
-
-
-
1
I
l. _
_
_1 _
1
I
I
L __
I
I
~ __
1
~
_
_ 1_
que co-
1
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
.l. _
_
_
_
_
_
_
1
1
I
Á
1
1
1
1
1
J
I
1
1
4. ¿Cómo puedes usar la calculadora
tas?
para verificar
_
_
_
_
_
.l. _
1
Á __
_
_, _
J
'
1
1
1 __ J
1
1
1
,
que tus respuestas
_
_
_
_
son correc-
-------------------------------------
Primer grado de secundaria
Tenoch E. Cedilla A.
La calculadora
en el aula Volumen
Sentido Numérico
e Iniciación
1:
57
al Álgebra
Fracciones
comunes y sus operaciones
Fecha:
_
HOJA DE TRABAJO 24
FRACCIONES EQUIVALENTES
1. Usa la calculadora para realizar las siguientes operaciones.
1
a)
1
,:
"2+3=
.b)
4
1
:
8+3"=
¡c)
5
1
10+"3=
4
1
6+"3=
id)
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ~ - - - ~ - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - .,. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -r- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - --
e)
8
16
-+-=
1
3
¡f)
¿Qué observas?
2
4
1
3
-+-=
:g)
7
14
-+-=
1
3
'16
:h)
1
3
-+-=
32
_
¿Por qué crees que esté pasando eso?
_
2. Ahora inventa otras cinco operaciones que den el mismo resultado que
2
:
: b¡
a)
2. + 2.
e)
d¡
:
3
e)
:
3. En cada inciso, construye tres fracciones equivalentes a la fracción que se da.
2
a) 3
3
4
I
I
lb) I
4. Encuentra
I
I
9
I
I
I
I
I
I
I
I
-
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
fracciones
equivalentes
a las fracciones
3
le) I
15
I
que se muestran en cada inciso.
deben cumplir la condición de tener el mismo denominador. Por ejem-
111 - y
pro.
se pued en expresar
4
5
=
4
20
I
Id)
I
Esas fracciones
1
2
c) -
.
con e " mismo denomincd
enomrno or como sigue:
15 __
_=
4
y
20
4
5 20
2 3
a) - y3 8
2 3
lb) - yI
5 7
I
I
I
I
3 2
e) -y4 3
I
5
Id)
-
I
6
y2
1
le) 5y-
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
Primer grado de secundaria
3
Tenoch E. Cedilla A.
La calculadora
58
en el aula Volumen 1:
Sentido Numérico
e Iniciación
Fracciones
y sus operaciones
comunes
al Álgebra
Fecha:
_
HOJA DE TRABAJO 25
FRACCIONES Y RAZONES
1. Observa la figura de la derecha para contestar
a) ¿Qué fracción corresponde
puntos que están totalmente
lo que se indica en cada inciso.
a la cantidad de
dentro del trián-
gulo respecto al total de puntos que aparecen
en la f igu ro?
•
•
b) ¿Qué fracción representa la cantidad de puntos que están adentro del rectángulo respecto
al total de puntos que hay en la figura?
c) Hay unos puntos que están en la parte en que se d) ¿Qué fracción corresponde a
los puntos que están afuera
empalman el rectángulo y el triángulo. Qué
del triángulo, pero dentro del
fracción representa esa cantidad de puntos
respecto al total de puntos que hay en la figura?
_
2.
rectángulo,
como parte
del
total de puntos que hay en la
figura?
_
Una alumna dice que las siguientes fracciones son equivalentes. Usa la calculadora para
revisar sus respuestas y corrige las que no sean correctas. Escribe en cada cuadro las
operaciones que usaste para contestar.
a)
27 3
=45 5
60 = 55
72 67
:c)
! b) --
90
3
120
4
-=-
_._---------------_.---------_.-------~--------------------------------------~--------------------------------------:
84 12
:
630
O
ie) 91=1"3
d) 68=0
if)
530
2520=2420
3. El Profesor González y el Profesor Pérez aplicaron el mismo examen a sus alumnos. En
el grupo del Profesor González 20 de 25 estudiantes
aprobaron el examen. En el grupo
del Profesor Pérez 24 de 30 estudiantes aprobaron el examen. Uno de esos estudiantes se enteró de esos resultados y afirma que los grupos salieron iguales. cl,o que dice
ese estudiante
es correcto?
Justifica
tu respuesta. --------------------------
Tenoch E. Cedillo A.
Primer grado de secundarla
La calculadora
en el aula Volumen
Sentido Numérico e Iniciación
59
1:
Fracciones comunes y sus operaciones
al Álgebra
Fecha:
~
HOJA DE TRABAJO 26
FRACCIONES
COMO OPERADORES
1. Una alumna dice que para obtener la mitad de 1784 le da lo
mismo hacer la operación 1784-'-2, que hacer la operación
.2.. ¿Estás
1784 x
de acuerdo
con ella?
Si tu
2
respuesta
muéstralo
2.
es afirmativa di por qué. Si no estás de acuerdo
con un ejemplo.
_
Un alumno dice que para obtener
le da lo mismo dividir
tás de acuerdo
entre
la tercera
3 que multiplicar
con él?
parte de 891
1
¿Es3
por -
Si tu respuesta
es
afirmativa di por qué. Si no estás de acuerdo muestra con
un ejemplo por qué.
_
3.
Otro alumno dice que para sacar dos quintas partes de 340 puede hacer cualquiera de estas
340 x ~ o 340 x 2 . ¿Estás de acuerdo con él?
dos operaciones:
afirmativa
4.
5
di por
Usa fracciones
5
qué. Si no estás
para encontrar
de acuerdo
muestra
--
Si tu respuesta es
con un ejemplo
por
lo que se pide en cada caso. Escribe las operaciones
qué.
que hi-
ciste en los espacios correspondientes.
a)
e)
La onceava
par-i
b)
La quinceava
11040.
te de 6457.
I
parte
Tres veintavos
! f)
Cuatro
quintas
de 11740.
i
partes
de
de
Un quinto de
350.
¡ g)
Ocho séptimos
i
4109.
195. i d) Dos décimos
de 7830.
de
i h)
Siete
[
de 3708.
I
j
I¡
I¡
!
!
!
i
i
i
Primer grado de secundaria
novenos
Tenoch E. Cedillo A.
La calculadora
60
en el aula Volumen 1:
Fracciones comunes y sus operaciones
Sentido Numérico e Iniciación al Álgebra
Fecha:
HOJA DE TRABAJO
27
¿CU ÁLES SON LAS FRACCIONES
l. Usa la calculadora para encontrar
:
.b)
1
1
3
5
--+-+c=l
:
¡ La fracción que falta es:
_
:
211
: d) . +
1 1
e)··+-+f=l
7 4
:
f=
:h=
- - - - - - - - - - - _. - - -.-
3
_
+ -+ h = 2
5
4
-- - - - - - - _ •• - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - -r - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - _ •• -_.
211
:,'f)
p=
: m=
pura contestar
- - - - - - - - - --
23
11
1- + 2 -- + m + 3 - = 11 -
e) 1-- + 2 ---+ 3 -. + p = 10
346
2. ¿Qué hiciste
QUE FAL TAN?
las fracciones que faltan.
2
a) -+8=1
5
La fracción que falta es:
- - - _ •••
-----
54
las preguntas
62
anteriores?
3. Usa la calculadora para encontrar las fracciones que faltan.
2
3
:
: b)
1
5
- - X =-
a)
,
.
--
-
-
---
-
-
-
-
-
--
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
_
••
-
--
-
---
-
-
-
--
-
--
3
3-m = .'
7
La fracción que falta es:
c)
3
! La fracción que falta es:
La fracción que falta es:
-
3
4'- y =8
-
-
-
r
r
>
-
:
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
5
¡ d) 8
-8
-
-
=
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
e)
:
La fracción que falta es:
4. ¿Encontraste
un método para contestar
Primer grado de secundaria
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
--
! La fracción que falta es:
:
: f)
._--- q = 6
4
-
S'
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - r - - . - - - - - - - . - - - - - - - - - - - - - - - - - ..
27
-
1
1
. -- --.--
.
1
- - b- e=3
4
: La fracción que falta es:
las preguntas anteriores?
¿Cuál es tu método?
Tenoch E. Cedilla A.
La calculadora
Sentido
en el aula Volumen
Numérico
e Iniciación
61
1:
Fracciones comunes y sus operaciones
al Álgebra
Fecha:
_
HOJA DE TRABAJO 28
¿CÓMO ENCUENTRO
ESAS FRACCIONES?
1. En cada inciso encuentra dos fracciones cuya suma dé como resultado 3
4
lo}
lb}
Id}
le)
I
le)
I
I
___J
2. En cada inciso encuentra tres fracciones cuya suma dé como resultado ~.
8
3. En cada inciso encuentra tres fracciones que al sumarlas den como resultado
25
3
I
I
_!
4.
En cada inciso encuentra tres fracciones que al sumarlas den como resultado 3 ~ .
5
En cada inciso encuentra tres fracciones que al sumarlas den como resultado ~ .
12
I o}
lb}
1
e}
1
d}
Primer grado de secundaria
Tenoch E. Cedilla A
i
62
La calculadora
en el aula Volumen 1:
Sentido Numérico
e Iniciación
Fracciones
al Álgebra
com
Fecha
HOJA DE TRABAJO 29
UN POCO DE FRACCIONES Y RESTAS
1. En cada inciso encuentra
dos fracciones
de manera que al restar
una de la otra obtengas
2
5
d)
e)
b)
a)
2. En cada inciso encuentra
dos fracciones
de manera que al restar
3. En cada inciso escribe dos fracciones
1
todo 3 -
I
una de la otra obtengas ~
7
e)
b)
a)
e)
d)
de manera que al restar
una de la otra dé como resul-
3
4. Encuentra
e)
b)
a)
las fracciones
d)
que faltan.
3 m
b) -----
7
n
p
q
1
=-
24
e)
2: _ ¡__
~
1
3
5 P a
1
d) - - - - -=8 q b
12
5. Un pasajero inició su jornada y justo a la mitad de su viaje se quedó dormido. Al despertar
se dio cuenta que todavía tenía que viajar la mitad de la distancia que había viajado mientras
dormía. ¿Qué parte de toda la jornada permaneció dormido?
Escribe
las
operaciones
que
hiciste
para
obtener
ese
resultado
Primer grado de secundaria
Tenoch E_ Cedilla A.
La calculadora
en el aula Volumen 1:
Sentido Numérico
e Iniciación
63
al Álgebra
Fracciones comunes y sus operaciones
Fecha:
-----
HOJA DE TRABAJO 30
¿QUÉ FÁCIL ES MULTIPLICAR CON FRACCIONES!
1. Realiza las siguientes
21
37
a) -x-=
3
operaciones usando la calculadora.
.b) -x-=
5
:
4
34
:c)
8
:
7
1
a
3
b
las fracciones
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
e
¡ e)
ib) -x-=1
4 d
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
2r
-
-1-
-
-
-
:
e) --x-=1
5 s
:f)
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
9
m
10
n
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
•. -
-
-
-
:
--x-=1
7
d
8
f
:g)
-
-
-
-
-
-
De las siguientes
¡
4
8
a) 12
i b)
e) 120
! f) 72
-
encierra
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
.•. -
7
-
-
:h)
y
4
5
-
:
-
-
-
-
con esos
_
Justifica
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
•
--
y
12x-=1
z
3
le permite construir
3
- x--
¿Si mu Itip Iicorc
equivalente?
fracciones
-
-x--=1
S.
una fracción
-
5x
. Iente a 4'L e o que diIce es cierto.
'?
eqUlva
4.
11
- x _.- = 1
3. Una alumna de otra escuela dice que la operación
obtendría
9
crees que hizo la calculadora
que faltan.
3
a) -x-=1
id) -x-=
5
Observa los resultados que obtuviste. ¿Qué operaciones
números para realizar las operaciones cnter-iores)?
2. Encuentra
25
-x-=
-S4
una fracción
6-
por 6 tam bilen
tu respuesta
_
en un círculo las que sean equivalentes a -~
24
!
¡
1
i c) -
16
d) 24
I 12
¡ 3
·---------4-0--------------------------------:------4-8------------------------------t--------4-----------------------------------¡-------3-2---------------------------------
5.
rlllllCI
Describe
.!::fIOUU
¡
!
detalladamente
1
g)
¡
¡
el método que utilizaste
ir:::
"6
! h) 60
para responder
¡
¡
la pregunta anterior.
de secundaria
Tenoch E. Cedillo A.
La calculadora
64
en el aula Volumen 1:
comunes y sus operaciones
Fracciones
Sentido Numérico e Iniciación al Álgebra
Fecha:
_
HOJA DE TRABAJO 31
¿QUÉ FRACCIÓN
1. En cada inciso encierra
2
3
3
4
3
4
5
6
a)
-y.
f)
--y-
en un círculo el número que creas que es el mayor.
3 4
..y8 9
b)
ES MAYOR?
11
7
12
8
g) -y-
e)
h)
3 2
5Y
1
1
3
2
-y-
2_.y 3.
d)
i
8
7
5 5
-y 8 9
i)
4
y ..
3 5
2
e)
4 5
. y _.
5 6
j)
2. ¿Cómo podrías usar la calculadora para verificar si las respuestas
son correctas?
Describe el método que encontraste.
que diste a la pregunta
3. Una alumna de otra escuela dice que para saber cuál es el número mayor resta
números del otro,
pero que a veces le da un número negativo y se confunde.
--32 - 43.- = - 12
-l· .¿Cuál
4. Otro
es el número mayor en este caso?
alumno dice que él no usó la calculadora.
¿Por qué?
fracciones
equivalentes.
4 con 5,
._.
- ,e I 1 as trans formó
ormo en-· 24 y 25
-- respectivamente.
5
6
30 30
qué hizo después para decidir cuál es la fracción mayor?
ejemp 1 o, para comparar
explicar
uno de los
Por ejemplo,
---------------
Él encontró
1
Por
¿Pued es
_
5. Ordena de mayor a menor los números que se muestran en cada inciso.
a)
215
-
.-
234
b) -- -,-
3'8
538
6. ¿Qué el método
a)
11
..
y .-
23
para responder
una fracción
!
i b)
i
, 5'6
5
empleaste
7. En cada caso encuentra
e)
4
- y _.
5 5
i
¡ f)
11
-- Y -
45
i
l
6 7
- Y8 8
la pregunta
.-- --- --
;::e)
23
-
y .-
34
'34
1::
d)
,45
----------- ----- ------------------------¡--------
¡
¡ g)
l
¡
7
8
- y 9 9
8
6
..
9
3?
que esté entre las dos fracciones
._-----------------_._---------------------------~---------------------------------------~
3
11 12 13 13 18
d)-
i
¡ h)
!
que se dan.
y
------ ------------ ----- ------------
11 12
.. y -.
24 24
Primer grado de secundaria
Tenoch E. Cedilla A.
La calculadora
Sentido
en el aula Volumen
Numérico
e Iniciación
1:
65
Fracciones
al Álgebra
comunes
y sus operaciones
Fecha:
_
HOJA DE TRABAJO 32
¿QUÉ FRACCIONES
DAN LA SUMA MAYOR?
3
1. Hay
once
fracciones
que pueden
3,4,5
(observa
construirse
¡
5
¡2
¡
.4 y (3
a
con los números
Y 6. ¿Cuáles son esas fracciOneS?!
3
4
3
456
que - = -- =
5
a) ¿Cuál de las parejas
construiste
3.
distintas
produce
6
=-
pueden construirse
6y8?
las trece
que pueden construirse
2, 3, 6, 8. Escríbelas
a) Sin hacer
de fracciones
pareja
nor.
que
suma menor?
distintas
con los números
fracciones
distintas
con los números
en el espacio
de
abajo.
= 1).
¿Cuáles son las fracciones
Forma
que
4.
2,3,
que crees
las fracciones
construir
indica
que dará
Ahora tú elige cuatro
y forma
_
las sumas
cuál es la
la suma me_
números enteros
que se pueden
con ellos. Escribe
esas frac-
ciones en el espacio de abajo.
a) Sin hacer
reja
las sumas indica cuál es la pa-
que crees
que dará
a) Sin hacer
la suma menor.
pareja
b) Sin hacer
las sumas indica cuál es la pa-
i
las sumas
que crees
indica
que dará
cuál es la
la suma me-
nor. --------------
__~~::u~_:re~::e~a~:I:::~a::~~r_~;~~~:~::::
5.
Elige cuatro
de los números
las dos fracciones
6.
¿Encontraste
9, 10, 13, 14, 15 Y 26 de manera que con ellos se formen
cuya suma se la menor
un método
para saber
mayor y cuál dará la suma menor?
tus compañeros
lo entienda.
posible.
cuál pareja
Describe
¿Cuáles son esas dos fracciones?
o terna
tu método
de fracciones
dará la suma
de manera que cualquiera
de
_
Primer grado de secundaria
Tenoch E. Cedilla A
66
La calculadora en el aula Volumen 1:
Sentido Numérico e Iniciación al Álgebra
Números con signo y sus operaciones
NÚMEROS CON SIGNO Y SUS OPERACIONES
El propósito de esta sección es presentar una forma alternativa para la
enseñanza de las primeras nociones sobre números negativos. La intención es explotar los recursos que ofrece la calculadora para introducir un
acercamiento empírico a las leyes de los signos y propiciar el desarrollo
de nociones acerca las operaciones y el orden en los números negativos.
De acuerdo con ese propósito, se recomienda al profesor que permita
que los estudiantes trabajen con base en tas nociones no convencionales
que desarrollarán durante el trabajo en esta sección. Las distintas aplicaciones de este material han permitido observar que las nociones y estrategias informales que desarrollan los alumnos son un antecedente que
favorece una mejor comprensión de los aspectos formales del estudio de
números con signo, los cuales pueden introducirse posteriormente.
El trabajo en esta sección puede abordarse con calculadoras científicas o
con calculadoras gráficas. Las calculadoras científicas permiten realizar
operaciones con números negativos mediante el comando "cambio de
signo". Las calculadoras gráficas cuentan con dos teclas para el signo
"menos", una tecla para realizar sustracciones y otra para indicar que el
número que se introduce es negativo. Este recurso ofrece la ventaja de
editar expresiones que contienen dos signos de operación consecutivos,
por ejemplo, 2+-3, 2- -3, o 2x-3. Esto permite emplear una notación
similar a la que se usa en los libros de texto, lo cual indudablemente facilitará el paso del ambiente de la calculadora al del lápiz y el papel.
La calculadora
Sentido
en el aula Volumen
Numérico
e Iniciación
1:
67
Números con signo y sus operaciones
al Álgebra
Fecha:
HOJA DE TRABAJO 33
¿CÓMO SUMAMOS NÚMEROS CON SIGNO?
En estas hojas de trabajo
números negativos.
negativos,
aprenderás
cosas importantes
el cero no es positivo ni negativo. Los números positi-
vos los conoces bastante
bien.
Los números negativos se usan para referirse
Por ejemplo,
sentarse
también
sobre los
Los números con signo pueden ser positivos o
la temperatura
mediante
se usan para referirse
expresión
-1000
situaciones.
"siete grados bojo cero" puede repre-
la expresión
sona debe $1000.00,
a ciertas
-7 grados. Los números negativos
a deudas, por ejemplo, si una per-
esa deuda puede representarse
mediante
la
pesos (se lee "menos mil pesos").
¿Puedes dar otro ejemplo de una situación en que puedan usarse los
números
1.
Usa la calculadora
para realizar
dos signos que representan
restar,
negativos?
las siguientes
actividades.
Nota que en la calculadora
"menos". Uno de esos signos sirve para efectuar
el otro, el signo (-), es el que debes usar para escribir
hay
la operación de
un número negativo en la cal-
culadora .
.~}..~! ¿-.~.=::
j.~}..~~-:.~?~ _._
e) -30+-50=
!f)
2.
¿Qué operaciones
0.5+-2=
!.~),..~~~?=::
-19+-30=
!g)
. _.:.?J. _~.1~-:'~.1!=:.
__..
ih) -72+30=
hizo la calculadora
para sumar un número negativo con un número positi-
hizo la calculadora
para sumar un número negativo con otro número nega-
vo?
3.
¿Qué operaciones
tivo?
4.
¿Qué hace la calculadora
5.
En cada inciso encuentra
indica. Verifica
para saber qué signo le pone al resultado
tres parejas
tus respuestas
de esas operaciones?
de números que al sumarlos den el resultado
que se
usando la calculadora.
a)
Resultado: -32
b) Resultado: -45
e) Resultado: -27
d) Resultado: -40
e)
Resultado: -55
f)
g)
h) Resultado:-1
Primer grado de secundaria
Resultado: -78
Resultado: O
Tenoch E. Cedillo A.
68
La calculadora
en el aula Volumen 1:
Sentido Numérico e Iniciación
Números con signo y sus operaciones
al Álgebra
Fecha:
_
HOJA DE TRABAJO 34
ALGO MÁS SOBRE SUMAS
1.
¿Puedes encontrar tres números que al sumarlos den por resultado cero? ¿Cuáles son?
_
2
¿Puedes encontrar cuatro números que al sumarlos den por
resultado -l? ¿Cuáles son?
_
3.
¿Puedes encontrar cinco números que al sumarlos den por
resultado -27? ¿Cuáles son?
_
4.
Construye una suma con tres sumandos de manera que el resuItado sea -0.25.
_
5.
Construye una suma con cuatro sumandos, dos positivos y
dos negativos,
-0.763.
de
manera
que
el
resultado
sea
_
6. Construye una suma con cinco sumandos, dos negativos y tres positivos, de manera que
el resultado sea 38.5.
_
7. Construye una suma con cinco sumandos, cuatro negativos y uno positivo, de manera
que la suma sea -7.328.
_
8.
Encuentra los números que faltan. Verifica
tus respuestas con la calculadora, no de-
bes tener ningún error.
a) -15+13+m
m=
d) -2.5+q+-12
q=
=O
= 7.8
g) -1.3+t+-2.4=-10
t=
17+-20+n
n=
:e)
¡h)
= -75
¡ e) p+18+-35 = -100
p=
1
1
.. +r+---=-2
3
9
r=
7.45+-12.8+u=
u=
1
3
- _·+s+ - = O
5
8
s=
15
~i)
3
-v+-+-=O
1
4 6
v=
Primer grado de secundaria
Tenoch E. Cedilla A.
La calculadora
en el aula Volumen
Sentido Numérico
e Iniciación
1:
69
al Álgebra
Números con signo y sus operaciones
Fecha
HOJA DE TRABAJO 35
¿CÓMO RESTAMOS NÚMEROS CON SIGNO?
También podemos hacer restas
tu calculadora
con números negativos. Por ejemplo, haz en
la siguiente operación 9 - - 8.
Nota que el primer signo "menos" (-)
segundo signo "menos" (-)
es el que se usa para restar,
es el que se usa para escribir
y que el
números negativos
en la calculadora.
1.
¿Qué resultado
da la calculadora
_________
2
Teclea en la calculadora
según corresponda.
calculadora
nos"?
3.
a)
10-
¿Qué resultado
Realiza las siguientes
9- -10
¿Por qué crees que se obtiene
la expresión
cuando tecleas,
cuando haces la operación
-6
9 - - 8?
ese resultado?
Y luego presiona la tecla "ENTER" O "EXE"
da la calculadora?
uno enseguida del otro,
¿Qué crees que hace la
los dos signos para la expresión
"me_
operaciones usando la calculadora.
=
:b)
14- -14
=
1
1
2
2
-- - --
.c)
=
- - - - - - - - ..-. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ~- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - _ .. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -. -. - - -d)
1
-
1
3
-100--48 =
3
4.
Explica
5.
Encuentra
a)
=
-18--14
--._lo
que
crees
que
hace
el número que falta.
la
calculadora
Usa la calculadora
1
2
4-a = 10
----b=-
a=
para
restar
para verificar
un número
tus respuestas.
3
4
1
1
- ._-- e = --
3
b=
ci)---~ 18~ét-;-2-0------ -------_._.. -....
negativo.
2
c=
,
,
¡-e). - --=-40~e·; 50·· -.. --------. --------- -iF --- -Ú3~f-;-40 ---_.----------_.-
e=
f=
,
- -,- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -,- - - - - - ;.- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -: - - - - - - .- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - _. - -d=
,
g]
-17.5-g
= -19.4
:n¡
'h=
g=
6.
En el laboratorio
una substancia
ratura
38.7-h
= 62.4
-17.9-k= 100
k=
de química un alumno observó que cada 60 segundos la temperatura
disminuía la misma cantidad
de esa substancia
ese alumno observó que la temperatura
las dos substancias
Primer gr<'ldo de secundaria
de grados. Al iniciar el experimento
era 36°C y seis minutos después era -24°C.
de otra substancia
cada minuto. Si él inició los dos experimentos
tos
:1)
tendrán
era -30°C
de
la tempe-
En otro experimento
y que disminuía 4°C
al mismo tiempo, cdespués de cuántos minu-
la misma temperatura?
¿Cuál es esa temperatura?
Tenoch E Cedillc c...
La calculadora
70
L
en el aula Volumen 1:
Sentido Numérico e Iniciación
Números con signo y sus operaciones
al Álgebra
S
Fecha:
HOJA DE TRABAJO 36
¿CÓMO MULTIPLICO NÚMEROS
El trabajo
que realices
multiplicaciones
en esta
con dos números
hoja te ayudará
CON SIGNO?
a aprender
1
cómo hacer
negativos.
a
1.
Efectúa
las siguientes
a) -8x6 =
_________
e)
j
- - - - - - - - - - - - - - -,-
5x-7
,
,
=
operaciones
b) -3x4 =
usando la calculadora:
:e) Sx(-6) =
- - - - - - - - - - - - - - - - - _.
- -,-
,
,
,
,
: f) 8x(-4) =
j
j
d) -9x3 =
e
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - r - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - --
,
,
,
i)
g) 10x(-10)=
2
2.
Explica lo que crees que hace la calculadora
número negativo.
para multiplicar
un número
positivo
por un
_
2
3. Un alumno dice que -7x13 da el mismo resultado
es correcto?
Justifica
que
13x(-7). cl,o que dice ese alumno
tu respuesta
_
E
--.,
1)
4.
Efectúa
las siguientes
operaciones
sin usar la calculadora.
=
-e)---6~-~7-~-·----.-----'!f)- --9~-(~9Y~-----------:-~j)"--]";( ~ij; -------------1-h) --~1-;9--~--------------a)
5.
-9x7 =
Ahora
6.
tus
:d) -10xS
,
,
usa la calculadora
cTodcs
___
¡ e) 7x(-4) =
,
,
respuestas
para revisar
fueron
,
,
las respuestas
que diste
correctas?
¿Cometiste
algunos
Exploremos
errores?
_
ahora como multiplicar
operaciones
dos números
negativos.
Para hacer
esto realiza
las
a;
usando la calculadora.
=
-e)-- ~5-~(~7)-;
-----------:-f)--- -~4~~9-~--------------1-9)·· ~8-;(~8)·;-8x(-S) = __
¡:
anterior.
¿En qué consistieron?
siguientes
a)
en el inciso
~b) -7x-9 =
_
: e)
: d)
-6x(-6)
,
,
,
,
-10x-4 = __
---¡- h} _.~1~~-1-ó·~
-i)
7.
Explica qué hace la calculadora
negativo.
8.
Un alumno de otra
que dice
para multiplicar
escuela dice que
ese alumno
un número
-4x(-12) da el mismo resultado
Primer grado de secundaria
por otro
que
j)
k)
1)
é
¿Por
Otra
a la operación
número
_
-12x(-4). cl,o
es correcto?
qué?
-(-7) es equivalente
negativo
-lx-7.
¿Estás
alumna dice que la expresión
de acuerdo
con ella?
Por qué?
Tenoch E. Cedilla A.
F
La calculadora
Sentido
en el aula Volumen 1:
Numérico
e Iniciación
71
al Álgebra
Números con signo y sus operaciones
Fecha:
HOJA DE TRABAJO 37
ALGO MÁS SOBRE MULTIPLICACIÓN
1. Veamos ahora cómo hacer multiplicaciones
realiza
a)
-
-
-
las siguientes
2x4x(-5)
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
: b)
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
con más de dos números con signo. Para esto
operaciones usando la calculadora.
=
-
DE NÚMEROS CON SIGNO
_ •• -
-
-
-2x4x(-5)
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
: e)
=
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
_ •• -
-
-
-2x(-4):.«-5}
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
=
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-1-
_
e) 3x(-2)x(-4)
=
¡ f} 3x(-2)x4 =
¡ g) -3x(-2)x(-4) =
¡ h)
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -:- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -.:
- .- - - - - - - - - - _. - .. - - - - - - - .:- _.
,
,
3x2x4 =
i)
5x3x(-4)
5x3>'4 =
2.
¿De qué depende el signo del resultado
3.
Realiza las siguientes
- -
=
- -
: j)
-5x(-3)x
4) =
-
: k)
-
- -
-5x(-3)x
cuando multiplicas
(-4) =
: 1)
tres números?
_
operaciones sin usar la calculadora.
a) 3x5x( -4) =
¡ b) -4x4x(-2) =
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -:- - - - - - - - - - - - - - - - - -
,
-
: e)
-
--
-
-
-
-
- - - -
-: -
,
-
-
-2x(-3)x(-3)
- -
-
-
--
- - - -
-
- -
=
: d)
- - - - - - - - - - - - - - - - .,. - -
,
3x4x3 =
-
---
- -
-
- - - -
-
- - -
e) 4x(-1)x(-3)=
:f)
5x(-1)x2=
:g) -6x(-2)x(-4)=
:h) 4x3x6=
,
,
,
- - . - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ~- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - .. - -. - - - _. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ...• _. - . - - _. - ....
i) 6x2x(-1) =
:j) -3x(-4)x5) =
: k) -5x(-2)x (-1) =
: 1) 5x5x4 =
- -
4.
Ahora usa la calculadora
respuestas
fueron
para revisar
¿En qué
5.
La siguiente
sultado.
las respuestas
correctas?
actividad
=
e)
-6.4x(-3.2)x-1
=
d)
-4.6 x 2.7x 5.9 =
~
dentro del cuadro ,correspondiente.
100
18
¡ e)
:f)
-7x (-8) x (-0.2) =
-1.7xO.8x-2=
20.48
:g)
-1.3x(-3.8)x5.1
73.278
¡ h)
4.5 x 5.7 x 9.3 =
x -1.2=
~
25.194
238.545
: m) -1.7x2.3)x(-5.6);,;3.3
=
-8.5x(-2.5)x(-5.4)x-1.8
=
206.55
: n)
7.5x(-2)x(-5.4)x-1.6
=
k)
-9x
10.2x(-5.1)x4.5
=
¡a)
-1.2x(3.4)x(-6.1)x-3=
1)
-8.5x(-1.1)x(-2.1)x-1.4
=
2106.81
27.489
: p)
-2.5x(-4.8)x6.4x1.2
Usa la calculadora
poro revisar
21'114
~
fueron
correctas?
¿En qué consistieron
las respuestas
respuestas
72'2568
1296
74.664
=
92.16
~
que diste al inciso anterior.
¿Cuáles de tus
tus errores?
11 2
2.;2
=
-1.5x(-2.3)x
Primer grado de secundaria
Todcs tus
_
i)
puestas
_____
é
-
incorrectas?
errores?
j)
6.
(-5.1)
fueron
...
en que digas cuál es el signo del resultado sin hacer ninguno
operación. Escribe el signo del resultado
-10 x 2x (-5)
-1.5x(-2)x(-6)=
tus
respuestos
_
es un juego. Las operaciones están hechos y sólo falta el signo del re-
El juego consiste
a)
b)
que diste al inciso anterior.
¿Cuáles de tus
consistieron
-
-
¿Todas tus res-
fueron
incorrectas?
_
Tenoch E. Cedilla A.
72
La calculadora
pn
aula Volu
el
1"f'11 ~:
Números
Sentido Numérico e Iniciación al Álgebra
con signo y sus operaciones
Fecha:
_
liOJA OE TR BAJO 38
¿CÓMO DIVIDO NÚMEROS CON SIGNO?
1.
Efectúa
a)
-872 =
las siguientes
operaciones usando la calculadora.
~b) -1274 =
:C)
,
'
~)----1-5:;(~5-)-~----------- rf-)---
187(-6) =
~d) -973 =
.
-8:;{~4)-;; ----------- \Jj ---1 O-~(~-1-0-)';'------------- -¡-h) - - - ~-1-~8;;- -----_.------
,,
2.
,'
Explica mediante un ejemplo qué crees que hace la calculadora
números con signo.
para hacer divisiones
Un alumno de otra escuela dice que -8720 da el mismo resultado
que 207(-8). el.o que dice
J
ese alumno es correcto?
4.
Efectúa
las siguientes
:b\
-9177 =
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
67(-7) =
5.
Usa la calculadora
fueron
,
,
¿Por qué?
operaciones sin usar la calculadora.
.:c)
-8075 =
707(-4) =
•.•
97(-9) =
:9)
77 (-7 )=
¿Cuáles
Exploremos
ahora como dividir
_
;h)
para revisar tus respuestas a la pregunta anterior.
correctas?
-1075 =
~
-179 =
c Todcs tus repuestas
respuestas
¿En qué
6.
:d)
,
,
,
-1-
:f
con
_
fueron
consistieron
correctas?
tus
errores?
un número negativo entre otro número negativo. Para hacer
esto realiza las siguientes operaciones usando la calculadora.
a,
-87(-5) =
____________________________
;:»
-57(-7) =
.b)
-77(-9) =
.'.
;;)
:C)
-67(-6) =
.1.
-47(-9) =
¡g;
J.
.
,
Explica mediante un ejemplo qué crees que hace la calculadora
tivo entre otro número negativo.
8
Un alumno de otra escuela dice que -47(-12) da el mismo resultado
dice ese alumno es correcto?
¿Por qué?
entre
la multiplicación
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
•
•
_
-17(-10) =
,
7.
¿Qué semejanza encuentras
_
¡r)
-87(-8)=
,
9
-107(-4) =
;0)
~
para dividir
un número nega_
que -127(-4).
el.o que
_
y la división con números positivos
y ne-
gativos?
Tenoch E. Cedilla A.
La calculadora
Sentido
en el aula Volumen
Numérico
e Iniciación
73
'¡.
al Álgebra
Fecha:
HOJA DE
RABAJO 39
POTENCIAS DE NÚMEROS CON SIGNO
Un alumno de otra escuela dice que 52=5x2=1O. ¿Es correcto lo que dice
ese alumno?
¿Por qué?
¿Qué resulta-
..
do da la calculadora
.....
si haces la operación 52?
2
Haz las siguientes
3
¿Qué resultado
b)?
4
operaciones
a) _62
obtuviste
con la calculadora:
y
b) (_6)2
en el inciso a)?
¿Cómo "interpreta"
terpreta"
la calculadora
¿Qué debes escribir
en la calculadora
debes
escribir
________
tado
6
en la calculadora
Si escribiste
-116.
Si
Haz las siguientes
tu
respuesta
si
quieres
correctamente
no fue
_73=
- - - - - - - - - - -:J- - - - - - - - - - - - -- - -- - - - - - - - - - -:-- - - - - - - - - - 6-di -4 =
: e -2 =
restar
corrígela
"seis
esa expresión
no fue correcta,
_
al
cubo
debes obtener
y escríbela
de
lOO"?
como resul-
a continuación.
- - - - -- - - - - - - -- -- - - - - - -- - -:-- - - - - - - - - - ,( - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - --
:,
,
7. Usa la calculadora
para revisar
obtuviste?
las respuestas
¿Cometiste
actividad
algunos
0125
05764801
obtuviste?
Primer grado de secundarla
-5
=
errores?
¿En qué
te
equivocaste?
es un juego. Las operaciones ya se están hechas y al resultado
el signo. El juego consiste en que encuentres
Usa la calculadora
•
que diste en el inciso 3. ¿Cuántos aciertos
el signo del resultado
operación con los números. Escribe el signo del resultado
9
Si tu respuesta
esa expresión
correcta,
menos siete al
correctamente
D
I
falta
si quieres "elevar
operaciones sin usar la calculadora.
a. _52=
8. La siguiente
(_6)2?
Si escribiste
debes obtener como resultado -343.
corrígela y escríbela a continuación.
¿Qué
¿Yen el inciso
la expresión _62?
¿Cómo "in-
la calculadora
la expresión
cubo"?
5.
_
'
para revisar
en el espacio correspondiente.
b )(_3)6
=
D729
r
e )(_8)4
=
04096
f)_(_5)4
las respuestas
¿Cometiste
algunos
sólo le
sin hacer ninguna
1(_9)5
=
=
n
59049
0625
que diste en el inciso 8. ¿Cuántos aciertos
errores?
¿En qué
te
equivocaste?
_
74
La calculadora
en el aula Volumen 1:
Sentido Numérico e Iniciación
Números con signo y sus operaciones
al Álgebra
Fecha:
HOJA DE TRABAJO 40
¿SIRVEN PARA ALGO LOS NÚMEROS CON SIGNO?
1.
Escribe una suma de números con signo que corresponda
a
cada una de las siguientes situaciones.
a) En una ciudad la temperatura
a las 10 de la noche era 16°C. A
partir de esa hora la temperatura disminuyó 1°C cada diez
minutos. ¿Cuál era la temperatura a las 5:00 AM del siguiente día?
_
b) Un equipo de fútbol americano perdió 2 yardas en la primera
oportunidad, en la segunda oportunidad ganó 7 yardas, en la
tercera logró cero yardas, y en la última perdió 9 yardas.
¿Cuál fue el resultado de sus intentos en las cuatro oportunidades?
_
c) Colón descubrió América en 1492. Roma fue fundada 2275 años antes. ¿En qué año tuvo lugar la fundación de Roma?
_
d) Completa el siguiente cuadrado escribiendo en cada cuadro uno de los siguientes números: -13, -10, -7, -4,2,5,8
Y 11. La condición que debe cumplir tu cuadrado mágico
es que cualesquiera tres números colocados en línea recta deben sumar lo mismo.
-\
Primer grado de secundaria
cJ+2a +5, si a= -3.
2.
¿Cuál es el valor numérico de la expresión
3.
¿Cuál es el valor numérico de -m, si m
4.
Si x representa a un número positivo, ccudl es el signo del valor
numérico de -x?
_
5.
Si x representa un número negativo, ccudl es el signo del valor
numérico de -x?
=
-9.5?
_
Tenoch E. Cedillo A.
La calculadora
en el aula Volumen 1:
Sentido Numérico e Iniciación al Álgebra
75
Exponentes
y decimales
EXPONENTES Y DECIMALES
El propósito de esta sección es aprovechar los recursos de la calculadora
para explotar el contexto que ofrecen los exponentes en la recreación de
los conceptos de aproximación y redondeo con números decimales. Se
ha observado con amplias poblaciones de estudiantes que la novedad
que ofrece el acercamiento empírico a los exponentes negativos y fraccionarios favorece su curiosidad inteiectual. Un propósito secundario de
esta sección de actividades es introducir las nociones de exponentes
fraccionarios y exponentes negativos en el contexto de la estimación y
aproximación.
Los temas sobre exponentes fraccionarios y exponentes negativos no
están incluidos en el curriculum de matemáticas de educación básica, sin
embargo, las aplicaciones de este material han proporcionado evidencia
de que el conocimiento que poseen los estudiantes sobre números decimales y exponentes resulta fortalecido por las actividades que se proponen en esta sección. También se ha observado que las nociones que
desarrollan los alumnos a través de estas actividades pueden ser un
antecedente importante para la comprensión del concepto de logaritmo
y sus aplicaciones.
La noción de aproximación puede resultar difícil para algunos estudiantes. Se ha observado que para un buen número de alumnos la noción de
aproximación se restringe al caso de "aproximarse por abajo", lo cual limita sensiblemente sus posibilidades para que comprendan los procesos
de aproximación. Esto, entre otros aspectos, es fundamental para un
manejo eficiente de información en la que se ha redondeado o truncado
la expansión decimal de los datos involucrados. Por lo anterior, se recomienda que el profesor otorgue especial atención a las respuestas de
sus alumnos en las actividades en que se les pide obtener la mejor aproximación con un número de cifras decimales dado.
Las actividades de esta sección requieren al menos de una calculadora
científica. A este respecto, las calculadoras gráficas presentan la ventaja
de que, una vez que se ha editado una expresión numérica y se ha ejecutado la operación correspondiente, el usuario puede regresar al renglón anterior para hacer modificaciones, lo cual le ahorra el trabajo de
volver a editar y ejecutar operaciones desde el inicio. Esta ventaja adquiere particular relevancia en actividades que requieren la edición de
expresiones numéricas con un número grande de cifras decimales, que
es precisamente el caso que se presenta en procedimientos que incluyen
aproximaciones sucesivas.
Primer grado de secundaria
Tenoch E. Cedillo A.
La calculadora
76
en el aula Volumen 1:
Sentido Numérico
e Iniciación
Exponentes
al Algebra
y Jecimales
Fecha:
_
HOJA DE TRABAJO 41
¿QUÉ ES ESO DE EXPONENTES FRACCIONARIOS?
1. Una alumna de otra escuela dice que entre 4.378 y 4.379 no hay
ningún número decimal. cl,o que dice esa alumna es cierto?
_
•
Si estás de ocuerdo con elle expllcc
por qué.
_
•
Si no estás de acuerdo con esa alumna da un ejemplo que
justifique tu respuesta.
_
Un alumno de otro grupo dice que 42=16 y 43=64. ¿Es cierto lo
que dice ese alumno?
¿Por qué?
_
3. ¿Hay alguna potencia a la que se pueda elevar el 4 de manera que el resultado sea
aproximadamente 29?
Explora posibilidades con tu calculadora y encuentra
cuál es esa potencia
Compara tu respuesta con las de tus
compañeros, gana el que haya logrado una mejor aproximación.
4. ¿Cuál es la mejor aproximación con cuatro
manera que 4x se aproxime a 29?
cifras
asegurar que la aproximación que encontraste
decimales para el valor de x, de
¿Por qué puedes
es la mejor?
_
5 ¿Cuál es el valor con seis cifras decimales para k, de manera que el valor de 6k sea la
mejor aproximación para 5000?
¿Por qué puedes asegurar que la
aproximación que encontraste es la mejor?
_
o ¿Cuál es el valor con ocho cifras
aproxi moción para 32?
decimales para x, de manera que 5x sea la mejor
_
7. En cada uno de los siguientes co;sos encuentra la mejor aproximación con tres cifras
decimales para el valor de x(el simbolo ">." significa: "es aproximadamente" ..).
a 7x
I
x
:::::135
=
PrifTl&1' ~raJo
_
.:L scc :nct,.l(ia
x
=
_
x=
x =
_
SI och E C-edill0 A
L<,calculadora en el aula VA umen '1:
Sentido Numél'lco e Inicia_ión
77
Exponentes
al Álg(;bio
y decimales
Fecha:
HOJA DE T
BAJ
42
¡TAMBIÉN HAY EXPONENTES NEGATIVOS!
1 Haz con la calculadora la operación 5-1. Un alumno de otra
escuela dice que 5-1=0.2, y una de sus compañeras dice que
5-1 = .~ . ¿Cuál de los dos está en lo correcto?
¿Por
5
qué?
_
2. Otro alumno dice que 10-3=0.001. ¿Es correcto ese resultado?
___
¿Por qué?
_
3, ¿A qué potencia debe elevarse 10 para obtener como resultado 0.00000l?
4. ¿A que potencia puedo elevar 10 para obtener una buena aproximación al valor 0.5?
5. ¿Cuál es la mejor aproximación con cuatro cifras decimales para y, de manera que
10Y ~0.38?
6, ¿Cuál es la mejor aproximación con tres cifras decimales para r. de manera que
10r ~ 2000?
6. ¿Cuál es la mejor aproximación
10x ~ 0.0258?
con cuatro cifras decimales para x, de manera que
_
1
8. Una alumna de otra escuela dice que 252'= 25°5 = ...-'25 . ¿Es correcto
alumna?
¿Cómo puedes verificar
si lo que dice esa alumna es correcto
9. Encuentra el valor de x , de manera que 64 x = 3)64.
x=
10 Encuentra el valor de x de manera que 32x
x=
Primer grado de SeClIl10a, tél
lo que afirma esa
=
~¡32.
o no?
Tenoch E. Cedilla A
78
La calculadora
en el aula Volumen 1:
Sentido Numérico e Iniciación
Exponentes
al Álgebra
y decimales
Fecha:
_
HOJA DE TRABAJO 43
¡SE DESCOMPUSO
1.
Supongamos
cuadrada
que
la
tecla
LA TECLA DE LA RAíz
de
se descompuso.
¿Qué
la
CUADRADA!
raíz
podrías
hacer, sin usar la tecla de la raíz cuadrada,
para contestar
las siguientes preguntas?
a) ¿Cómo puedes encontrar
b) ¿Cómo puedes encontrar
la raíz cuadrada
la raíz cuadrada de Sl?
_
d) ¿Cuál es el número entero que mejor se aproxima a la raíz cuadrada de 75?
_
para la raíz cuadrada de 133 con un número entero y
_
f) ¿Puedes encontrar una mejor aproximación
entero y tres cifras decimales? ¿Cuál es?
g) ¿Puedes encontrar
una mejor aproximación
de 133 cuatro cifras
Podemos tener
es decir,
mejor
a un número
"por arriba".
"por
"por
aproximación que encontraste
para la raíz cuadrada de 72.
abajo"
para
decimal,
el
Observa que 7.1 es una
arriba"?
y una cifra
Primer grado de secundaria
"por abajo" o "por
que 7-6.7=0.3.
del 7 que 6.7. ¿Puedes encontrar
¿Cuál
Sin usar la tecla de la raíz cuadrada encuentra
número entero
aproximación?
para la raíz cuadrada
_
que 6.7, porque 7.1-7=0.1, mientras
7.1 está "más cerca"
aproximación
que las que has obtenido
6.7 es una aproximación
número 7, y 7.1 es una aproximación
mejor aproximación
para la raíz cuadrada de 133 con un número
_
decimales? ¿Cuál es?
una aproximación
arriba". Por ejemplo,
3.
_
c) ¿Cuál es el número entero que mejor se aproxima a la raíz cuadrada de 53?
e) ¿Puedes encontrar una aproximación
una cifra decimal? ¿Cuál es?
2.
de 25?
una
es?
la mejor aproximación
"por abajo",
con un
para la raíz cuadrada del número 72. ¿Cuál es esa
Explica qué es lo que te permite afirmar que la
es la mejor aproximación
"por abajo" con una cifra
decimal
_
Tenoch E. Cedilla A.
La calculadora
en el aula Volumen
Sentido Numérico
e Iniciación
1:
79
al Álgebra
Exponentes
y decimales
Fecha:
HOJA DE TRABAJO 44
CÓMO ME APROXIMO '" ¿POR ABAJO O POR ARRIBA?
1. Encuentra
la me jor aproximación
"por
abajo" para cada una de las siguientes
raíces cuadradas. Tu aproximación debe
tener dos cifras decimales, Para hacer
esto no debes usar la tecla de la raíz
cuadrada.
m
a)
-------
b)
-- --- -- -- ---- --- ---
--
--- --- --.-
d) ~90
- - -- - - - - - - - - - - --
g)
·197
-- ----.
-. -
e) 1108
-
-
-
--------------
-------
-. - -
------------
-- - --
----
- -.
--- - - - - --- -- ---
e) J134
-
-
-
-- -- - - - - - - - - - -
--
---
-1452
-------
-
---
- - - - - - - -----
-------
-
----
- - - ..• - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - -. - - - - - - - - - - - - - _.
,
h) )725
i
i) ')927
2. Encuentra la me jor aproximaclon
por
arriba" para cada una de las siguientes
raíces cuadradas. Tu aproximación debe
tener tres cifras deci_males, y no debes
usar la tecla de la raíz cuadrada.
a)
-.
,[48
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
b)
-)227
i e)
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
e) .)618
- - - - - - - - - - -. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -.
g) ,.958
--- - -. - - - -
! f)
• _.
•
/853
.. - - - - - - - - - - - -. - - - - -- - - - --
i i)
h) /1104
/326
.J
-
-
--
_.
-
------
'oho05
3. Encuentra la me jor aproximación "por arriba" y
la mejor aproximación "por abajo", con tres
cifras decimales, para el número /2.
--------
<,/2<
-------
Primer grado de secundaria
Tenoch E. Cedilla A.
_.
so
La calculadora
en el aula Volumen 1:
Sentido Numérico e Iniciación
al Álgebra
EÁPONENTES
Exponentes
y simbolización
y SIMBOLIZACIÓN
El propósito de esta sección es aprovechar el código de programación de
la calculadora para introducir el uso del simbolismo algebraico para expresar y justificar generalizaciones. Esta sección está estrechamente relacionada con la anterior, en la que se abordan los conceptos de exponente y potencia en el contexto de la estimación y aproximación numéri-
ca.
Las actividades que aquí se presentan se basan en el reconocimiento de
patrones numéricos que fueron generados por funciones de las formas
f(x)=x y f(x)=¡ff. Una vez que los alumnos pueden identificar esos patrones se les pide que los reproduzcan empleando la calculadora, lo cual
implica que generen expresiones algebraicas equivalentes a la regla de
correspondencia de la función involucrada. Posteriormente se extienden
esas actividades al caso de la equivalencia algebraica entre expresiones
que se obtienen al operar con potencias de una variable. Estas actividades están orientadas a ofrecer un acercamiento empírico a las leyes de
los exponentes. Algunas de las actividades de esta sección incluyen problemas que requieren el uso de expresiones algebraicas para representar
las relaciones que conducen a su solución.
En las distintas aplicaciones a que se ha sujetado este material se ha observado que los estudiantes construyen expresiones algebraicas distintas
como respuesta a una misma actividad. Se recomienda al profesor que
explote este hecho para discutir con el grupo las distintas soluciones que
se obtuvieron, y en particular que se aprovechen esas respuestas para
abordar el tema de equivalencia algebraica. Se recomienda que el profesor ponga en juego sus recursos didácticos para enriquecer la discusión a
partir de los distintos argumentos que presentan los estudiantes y de la
forma en que defienden sus respuestas. En particular, el profesor podrá
observar cómo aprenden los alumnos al analizar colectivamente sus respuestas, especialmente en el caso de las respuestas incorrectas.
Las actividades de esta sección requieren una calculadora que permita
editar expresiones algebraicas y calcular su valor numérico para valores
específicos de la variable. Las máquinas más simples con estas características son las calculadoras científicas programables. Las calculadoras
gráficas ofrecen mejores recursos de edición y de cálculo que las calculadoras científicas programables.
La calculadora
Sentido
en el aula Volumen
Numérico
e Iniciación
1:
8]
al Álgebra
Exponentes
y simbolización
Fecha:
_
HOJA DE TRABAJO 45
POTENCIAS
Núm. de
entrada
Núm. de
salida
2
4
3
9
5
25
7
49
8
64
¿Puedes construir
1.
Y SIMBOLIZACIÓN
En mi calculadora
siguiente tabla.
escribí
(1)
A2, lo corrí y produjo la
el programa
otro programa que haga lo mismo que el mío?
_
Escri be aquí tu programa
2.
_
Ahora, sin borrar nada de lo ya escrito,
produzca los siguientes resultados:
Núm. de
entrada
quiero corregir
A2 para que
Núm. de
salida
2
8
3
27
5
125
7
343
8
512
Escribe cómo quedó tu programa:
3
el programa
Escribe otro programa
Primer grado de secundaria
_
que haga lo mismo que el anterior.
Ten0LI) E. Cedilla /J..
82
La calculadora
Sentido
en el aula Volumen 1:
Numérico
e Iniciación
al Álgebra
y simbolización
Exponentes
Fecha:
_
HOJA DE TRABAJO 46
POTENCIAS Y SIMBOLIZACIÓN
(2)
En mi calculadora escribí un programa que hace lo siguiente:
1. ¿Puedes escribir
es?
Núm. de
entrada
Núm. de
salida
1
1
2
16
5
625
7
2401
10
10000
un programa que haga lo mismo que el mío?
2. Ahora, sin borrar nada de lo ya escrito,
talo para que haga lo siguiente:
complé-
¿Cuál
_
Núm. de
entrada
Núm. de
salida
1
1
2
64
5
15625
7
117649
10
¿Cómo quedó tu programa? Escríbelo.
_
3. Construye otro programa que haga lo mismo que éste último:
Primer grado de secundaria
Tenoch E. Cedillo A.
La calculadora
Sentido
en el aula Volumen
Numérico
e Iniciación
1:
83
Exponentes y simbolización
al Álgebra
Fecha:
-----
HOJA DE TRABAJO 47
POTENCIAS Y SIMBOLIZACIÓN (3)
Núm. de
entrada
Núm. de salda
1
10
2
100
4
10000
6
1000000
8
100000000
1. ¿Puedes hacer
________
2.
Construí un programa que hace lo siguiente:
un programa que produzca
¿Cuál es?
los mismos resultados
Ahora, sin borrar nada de lo ya escrito, corrígelo para que
haga lo siguiente:
Núm. de
entrada
que el mío?
Núm. de salida
1
10
2
1000
4
100000
6
10000000
8
1000000000
¿Cómo quedó escrito tu programa?
3.
Escribe otro programa que haga lo mismo que éste último:
Primer grado de secundaria
Tenoch E. Cedilla A.
84
La calculadora
Sentido
en el aula Volumen
Numérico
e Iniciación
1:
Exponentes
al Álgel:Jr<l
y sírnbouzaclón
Fecha:
H .
8
POTENCIAS Y SIMBOLIZACIÓN
1.
_
(4)
Hice un programa que produce los siguientes resultados:
Núm. de
entrada
Núm. de
salida
1
1
2
16
3
81
5
625
10
10000
¿Puedes hacer un programa que haga lo mismo que el mío?
_
¿Cuál es?
2.
Ahora, sin borrar nada de lo ya escrito, corrígelo para que haga
lo siguiente:
Núm. de
f)"tr3cla
~~úm. de
salida
1
1
2
4
3
9
5
25
10
100
¿Cómo quedó escrito tu programa?
3.
_
Escribe otro programa que haga lo mismo que éste último.
Primer grade de secundaria
Tenoch E. Cedillo
,o...
La calculadora
en el aula Volumen
Sentido Numérico
e Iniciación
1:
85
al Álgebra
Exponentes y simbolización
Fecha:
HOJA DE TRABAJO 49
¿QUÉ ES ESO DE "ELEVAR A LA MENOS
Construí un programa que hace lo siguiente:
1. ¿Puedes escribir un programa que haga lo mismo que el mío?
Escríbelo:
1"?
Núm. de
entrada
Núm. de
salida
1
1
2
0.5
4
0.25
5
0.2
10
0.1
2. Ahora escribe en tu calculadora el programa A'" -1 Y córrelo con los valores dados en
la tabla anterior. ¿Qué observas?
_
3. Una alumna dice que el programa l..,.A da los mismos resultados que el programa A'" -1.
cestds de acuerdo con ella?
Núm. de
entrada
Núm. de
salida
1
1
2
0.25
5
0.04
10
0.01
100
0.0001
(l.E 04)
Justifica
tu respuesta mediante un ejemplo.
4. ¿Puedes escribir un programa que
haga lo mismo que éste?
Escríbelo en este espacio.
5. Escribe en tu calculadora el programa NA -2 Y córrelo con los valores dados en la tabla
anterior. ¿Qué observas?
_
Primer grado de secundaria
Tenoch E. Cedillo A.
86
La calculadora
en el aula Volumen 1:
Sentido Numérico e Iniciación
Exponentes
al Álgebra
y simbolización
Fecha:
_
HOJA DE TRABAJO 50
LEYES DE LOS EXPONENTES (1)
1. Una alumna hizo el siguiente programa: R.....
3xR .....
4. Lo corrió para varios valores y, después de observarlos, afirmó que ese programa produce los mismos resultados que R.....
l.
¿Estás de acuerdo con ella?
¿Por qué?
_
Escribe ambos programas en tu calculadora y pruébalos. ¿Qué piensas ahora?
_
2. Un alumno, al ver el programa X .....
3+X .....
2, comentó que éste producía los mismos resultados que el programa X .....
5.
¿Estás de acuerdo con él?
3. Ahora
escribe
ambos
¿Por qué?
programas
en
tu
_
calculadora
y
córrelos,
cqué
obser-
vas?
----------------------------------------------------------------
4. Construye cuatro programas equivalentes a X .....
S. Comprueba tus respuestas usando tu
calculadora, no debes tener
conti nuación.
Primer grado de secundaria
ningún error.
Escribe
los programas que construiste
a
Tenoch E. Cedillo A.
La calculadora
Sentido
en el aula Volumen
Numérico
e Iniciación
1;
87
al Álgebra
Exponentes
y simbolización
Fecha:
-----
HOJA DE TRABAJO 51
LEYES DE LOS EXPONENTES (2)
Un profesor
escribió en el pizarrón la siguiente expresión:
Les pidió a sus alumnos que la escribieran
más breve, pasaron dos de ellos y escribieron
lo
siguiente:
Primer alumno
Segundo alumno
1. ¿Ambas respuestas son correctas?
Da dos ejemplos que justifiquen
tu
respuesta.
¿Sólo estás de acuerdo con uno de ellos?
Muestra dos ejemplos que justifiquen
¿Con cuál estás de acuerdo?
tu respuesta.
Escribe los programas en tu calculadora para que verifiques tus respuestas.
2. Un alumno hizo el programa N2+N2 y retó a sus compañeros a que lo escribieran
más
breve, estas fueron sus respuestas:
Primera respuesta: N4
éEstds de acuerdo con alguna de estas respuestas?
Explica por qué:
Segunda respuesta: 2N2
¿Con cuál?
_
88
La calculadora
en el aula Volumen 1:
Sentido Numérico e Iniciación
Exponentes
al Álgebra
y simbolización
Fecha:
_
HOJA DE TRABAJO 52
¿UNA POTENCIA
Un estudiante
QUE SIEMPRE DA POR RESULTADO
escribió un programa que le pareció muy curioso
porque siempre que ingresó un número diferente
resultado le dio 1.
de cero, el
1?
Núm. de
entrada.
Núm. de
salida
5
1
10
1
435
1
-12
1
8.3
1
-0.5
1
El problema es que se le olvidó qué fue lo
que escribió, sólo recuerda que el inicio era
algo como lo siguiente
¿Puedes ayudarlo a completarlo? Verifica que tus resultados coincidan con los de él.
Primer grado de secundaria
Tenoch E. Cedillo A.
La calculadora
en el aula Volumen
Sentido Numérico
e Iniciación
1:
89
al Álgebra
Exponentes y simbolización
Fecha:
HOJA DE TRABAJO 53
SIMBOLIZACIÓN:
NÚMEROS CONSECUTIVOS
1. ¿Qué tipo de números obtienes si sumas
dos números consecutivos? Escribe algunos ejemplos en los siguientes cuadros.
,
.
:
¿Puedes programar la calculadora de manera que te permita sumar dos números consecutivos? ¿Cuál es ese programa?
_
2. ¿Qué tipo de números obtienes si sumas tres números consecutivos? Escribe algunos
ejemplos en los siguientes espacios.
¿Puedes programar la calculadora de manera que te permita sumar tres números consecutivos? ¿Cuál es ese programa?
_
3. ¿Qué tipo de números obtienes si sumas cinco números consecutivos? Escribe algunos
ejemplos en los siguientes espacios.
éPuedes programar la calculadora de manera que te permita sumar cinco números consecutivos? ¿Cuál es ese programa?
_
Primer grado de secundaria
Tenoch E. Cedilla A.
90
La calculadora en el aula Volumen 1:
Exponentes y simbolización
Sentido Numérico e Iniciación al Álgebra
Fecha:
_
HOJA DE TRABAJO 54
TÉRMINOS SEMEJANTES (1)
En mi calculadora escribí el siguiente programa:
3X + 4X
1. Escríbelo en la tuya y completa la siguiente tabla:
7
2
Núm. de entrada.
12.5
152.9
Núm. de salida
100
30.7
1754.
490
¿Puedes escribir otro programa, más breve, que haga lo
mismo? Escríbelo.
2. Escribe el siguiente programa en tu calculadora -7X + X y completa la tabla:
Núm. de entrada.
5
7
13.6
25
30.7
100
135
Núm. de salida
454.2
¿Puedes escribir otro programa, más breve, que haga lo
mismo? Escríbelo
Una vez que hayas verificado
crees que es así:
Primer grado de secundaria
que tus programas funcionan como los míos, explica por qué
_
Tenoch E. Cedillo A.
La calculadora
Sentido
en el aula Volumen
Numérico
e Iniciación
91
1:
Exponentes
al Álgebra
y simbolización
Fecha: __ ----------, HOJA DE TRABAJO 55
TÉRMINOS SEMEJANTES (2)
1.
Escribe en tu calculadora el programa 38+2+48
y úsalo para completar la siguiente ta-
bla.
Núm. de entrada.
4
1
12.5
30
57.9
1206
962
Núm. de salida
2.
101.0
Un alumno de otra escuela dice que ese programa hace lo mismo que el programa 9x8,
¿Por qué?
----
cestés de acuerdo con él?
3.
¿Puedes escribir
verifica
los siguientes programas en forma más breve? Después de hacerlo,
corriéndolos
en tu calculadora.
Programa original
Programa más breve
-3X + 7X
- - - - - - - - - - - - - - - - --
_. -- - - - - - - - - -- - - - - - - - _.-
--- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - ~- ...- - - - - ----_ ..
- - - - - - - - - --
5A + 2A + 4
- - .- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
"
- -- -- -- -- ----- - ---- - - --- ---- -- - -- -- -- - - -- ------ - - - -
4N + N + 3N
-
- - - - -- - -
-- - - -- - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - .. - - - -- - - - - - - - - -- - - - - - -- - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - -8X - 2X + 4X
-
J
- - _.
- - - - - - - _.
- --
5T -7T + 2 + 3T
¿Comprobaste tus respuestas con la calculadora? ~. _
tas no fueron correctas? cEn qué consistieron
Primer grado de secundaria
.... ~_
tus errores? __ ~
¿Algunas de tus respues------
Tenoch
E. Cedillo A.
92
La calculadora
La e
en el aula Volumen 1:
Sentido Numérico e Iniciación
Exponentes
al Álgebra
Fecha:
y simbolización
Sen
------
HOJA DE TRABAJO 56
TÉRMINOS SEMEJANTES (3)
d
fi
Escribí en mi calculadora el siguiente programa:
..
"
'~~"
r
'.;
.,.',
3A + 28 + 2A + 38
1. Escríbelo en la calculadora y úsalo para completar la siguiente tabla.
1
Núm. de entrada.
2
4
3
5
5
0.5
2.5
2
8
10
5
Núm. de salida
¿Puedes explicar qué hace el programa?
_
•.
2. Ahora escríbelo en forma más breve:
Corre este último programa con los valores de la tabla. ¿Obtienes
dos?
Escribe tus conclusiones.
los mismos resulta-
-------------------
Tenoch E. Cedilla A.
La calculadora
Sentido
en el aula Volumen
Numérico
e Iniciación
1:
93
al Álgebra
Exponentes
y simbolización
Fecha:
------
HOJA DE TRABAJO 57
TÉRMINOS SEMEJANTES (4)
¿Puedes escribir
los siguientes programas en forma más breve? Después de hacerlo, veri-
fica tus respuestas corriendo tus programas en la calculadora.
Programa original
2
Programa más breve
2
3X + -2X
.
[JA2 + -2A + 4
-4NxN
8X-2X + 4X2
2
5T
-
3
7T + 2 + 3T2
3X2 + 2X - 7X +X2
4Y
3
- 3Y + 3 - 5Y
Escribe tus conclusiones
Primer grado de secundaria
J
3
+9- Y
--------------------------
Tenoch E. Cedilla A.
94
La calculadora
Sentido
en el aula Volumen
Numérico
e Iniciación
1:
Exponentes
al Álgebra
Fecha:
y simbolización
-----
HOJA DE TRABAJO 58
EQUIV ALENCIA ALGEBRAICA
Anota en el paréntesis Vo F según consideres si la proposición que se plantea es verdadera o falsa. Justifica
cada una de tus respuestas mostrando dos o tres ejemplos.
JUSTIFICACION
I
= 2 (A+8)
2A + 28
(
.
--------------------------------------------------------------------------r-----------------------------l-------------------------------------------------------------------
i
3M + L + 6M = 9M + L
(
)
i
--------------------------------------------------------------------------t-------------------------------t--------------------------------------------------------------------
2P + 2Q + 4P + 3Q = 11(P+Q)
---------------------
¡
¡
(
)
j
!
.. -------------------------------------------------t--------------------------------t-----------------------------------------------------------------
7A - 2A + 48 + 8
¡!
= 5(A+8)
(
)!
l
i
:
----------------------------------------------------.-------------------t-----------------------------t----------------.--------------------------------------------------
5A2 + 2A2
-
-------------------------------------.------.-
!
¡
3A2 = 10A2
¡
(
)
¡
!
!
..--------------------------t-----------------------_·----t-------------------------------------------------------------------
8X3 + 2y3 + y3 _ 2X 3= 6X3 + 3y3
1
(
)
¡
I
!
------------------------------------------ ------------------ ------------- ---1': -- ------------- --------------1': -------------- --------------------- ------------------- ----------4R + 25 + 2R + 35 = 6R + 55
i
¡
------------- 00------------------------- ----------------------- - --------------r----2
2N
3
s
+ 3N = 5N
--------------------------------------.-------.2
2
¡
(
)
¡¡
-------------- ------------r-------- --------------------------- ------------------------------ ---
(
)
i
!
¡
.. ------------------------------r--------------------------------t-------------------------------------------------------------------2
4A + 2A + 2A + 4 A = 6A + 6A
i
:
(
)
i
:
-------------:::-~:~-;--------------t~----)---t----------------¡
¡
Primer grado de secundaria
:
!
Tenoch E. Cedilla A.
La calculadora
Sentido
en el aula Volumen
Numérico
e Iniciación
1:
95
al Álgebra
Exponentes
y simbolización
Fecha:
HOJA DE TRABAJO 59
SIMBOLIZACIÓN:
La Directora
PROBLEMAS ALGEBRAICOS
de una escuela necesita que le pinten varios salones, lo cual incluye las pare-
des y el techo. Le pide a un pintor un presupuesto y le da la siguiente información: todos
los salones son rectangulares, con diferentes medidas pero todos tienen la misma altura,
3 metros. Después de tomar medidas en los salones de la escuela, el pintor le dice que él
cobra $7.00 por pintar un metro cuadrado y le entrega el presupuesto total: $ 17,742.00.
1. ¿Puedes escribir en tu calculadora un programa que le ayude a la Directora
cuántos metros cuadrados consideró el pintor en su presupuesto?
a verificar
_
Escribe tu programa y después úsalo para completar la tabla:
Salón 1
4mx8m
Salón 2
Salón 3
Biblioteca
3.5 m x 4.5 m
5.75 m x 7 m
12 m x 18.5 m
Salón de Maestros
3.25 m x 6.45 m
m2
$
¿El total te salió igual al del pintor?
2.
_
El pintor afirma que él solamente tomó las medidas de uno de los salones y que a partir
de eso calculó cuántos metros cuadrados debería pintar si incluía los cinco locales. De
acuerdo con el presupuesto que presentó el pintor, ccuél de los salones eligió para hacer sus cálculos?
Explica qué hiciste para responder esta
pregunta.
Primer grado de secundaria
Tenoch E. Cedilla A.
96
La calculadora
en el aula Volumen 1:
Sentido Numérico e Iniciación
Exponentes
al Álgebra
Fecha:
y simbolización
-----
HOJA DE TRABAJO 60
¡ESTO
Escribe
sí
ESTÁ DIFÍCIL!
en la calculadora
el número 2 y presiona
la tecla
[ENTER] o [EXE] (eso depende del modelo de tu máquina). Luego
activa la función [AN5].
1. Escribe a continuación x2 (o AN5x2 si tu máquina así lo requiere).y presiona la tecla [ENTER] O [EXE] cuatro
seguidas. ¿Qué observas?
veces
_
2. Borra todo, escribe el número 3 y presiona [ENTER]. Ahora
teclea la expresión AN5+2 y presiona [ENTER] cinco veces
seguidas. ¿Qué observas?
_
Explica lo que crees que hace la tecla [AN5].
_
3. Usa la tecla AN5 para producir las siguientes sucesiones numéricas. Escribe en cada
línea el programa que construiste
con la tecla AN5. Intenta
construir
más de un pro-
grama que p'roduzca cada sucesión.
--~Y-2 :--4-,--6~--8-:--1o~--1-i:-1-4-:--1-6~--:-.-:----------------------------Tb)--1-o-Ü-:--so:--is-:--1-2-:S:--6-.-2-S-:--3:-1-2S:------------i 1.5625,
PROGRAMA:
...
IPROGRAMA:
--~Y-2-:-4-:-8~-1-6-:-32-:--64~--1-2"8-:-:-::---------------------------------Td-)-2:--4-:--1-0~--2-8-:-82-:--244~--7j-6~--:-.-:-----------------
:_~:R:::___________i:~::R:MA__i
e) 3,5,9,
17,33,65,129,257,
...
i f) -1,
-3, -7, -15, -31, -63, -127, ...
I PROGRAMA:
PROGRAMA:
------O~1-:--6-:-1-:--Ü-:--1":--Ü-:--1-~--O:1~~::------------------------------·j--h)"2:--Ü-:-2~-Ü-:--2-:-0-~--2-:-(f-:-.-~-------------------------------
:~::_~_:::
i) 2,1,2,1,2,1,2,1,
PROGRAMA:
Primer grado de secundaria
...
C:::A::
_
ij) 3, -3,3, -3, 3, -3,3, -3, ...
! PROGRAMA
Tenoch E. Cedilla A.
La calculadora
en el aula Volumen 1:
Sentido Numérico e Iniciación al Álgebra
SOLUCIÓN
DE ECUACIONES:
Solución
Estrategias
ESTRATEGIAS
de ecuaciones
97
no convencionales
NO CONVENCIONALES
En esta sección se abordan estrategias no convencionales de solución para
ecuaciones de primer grado. Este material se generó a partir de observar las
estrategias que empleó un amplio grupo de estudiantes de primer grado de
secundaria que no habían recibido instrucción sobre métodos convencionales
para resolver de ecuaciones. Después que los estudiantes se recrearon generando sus propias estrategias, se les enseñaron los métodos convencionales para abordar la solución de ecuaciones.
Entre los principales resultados de ese estudio cabe destacar que los estudiantes con desempeño alto en matemáticas no tuvieron dificultad en dominar los métodos convencionales, pero sólo acudían a ellos cuando sus propios métodos resultaban poco prácticos para resolver determinado tipo de
ecuaciones. Los estudiantes con desempeño promedio tendían a usar indistintamente los métodos que habían generado y los convencionales.
Con los estudiantes de bajo desempeño se observó una situación importante
(muchos de ellos con un historial previo poco exitoso en matemáticas). Estos
estudiantes tendieron a no abandonar sus propios métodos, los cuales llegaron a dominar con un nivel de éxito aceptable, y presentaron serias dificultades para dominar los métodos convencionales. De hecho, la mayor parte
de ellos nunca pudo llegar a dominar los métodos convencionales.
Por las razones antes expuestas se sugiere al profesor que aliente a sus estudiantes a que se recreen en el uso de los métodos no convencionales que
aquí se presentan, y, de ser posible, que cultiven otras estrategias que seguramente generarán. Posteriormente puede abordarse-el estudio de métodos convencionales, los cuales, si se mantienen las tendencias que aquí se
reportan, serán una herramienta útil para los estudiantes avanzados y los
estudiantes promedio y no serán un obstáculo para que los estudiantes con
un desempeño más bajo puedan resolver ecuaciones.
En esta sección se incluyen ecuaciones de segundo grado. Debe mencionarse
que debido al carácter numérico de las formas de solución que aquí se proponen, la inclusión de ese tipo de ecuaciones no trastoca lo planteado en los
programas oficiales. Los alumnos abordan las ecuaciones de segundo grado
de la misma manera en que lo hacen con las ecuaciones de primer grado con
una incógnita, o las ecuaciones exponenciales que se incluyen en la sección
"Exponentes y aproximación". Debido al enfoque que aquí se emplea, la naturaleza de esas ecuaciones no implica ninguna diferencia para los estudiantes, en todos los casos se trata de encontrar "los números que faltan". En
cambio, el contexto que ofrece la solución de un amplio rango de ecuaciones
proporciona un ámbito de trabajo que enriquece la experiencia aritmética de
los estudiantes, y, además, les aproxima en un contexto empírico a nuevas
formas de simbolización algebraica.
La calculadora
98
Solución
en el aula Volumen 1:
Sentido Numérico e Iniciación
Estrategias
al Álgebra
de ecuaciones:
no convencionales
Fecha:
_
HOJA DE TRABAJO 61
INCÓGNITAS,
ECUACIONES,
... ¿QUÉ ES TODO ESO?
1. En las siguientes expresiones se ha usado una letra para representar
falta. El reto es que en cada inciso encuentres
de tus respuestas sea incorrecta.
a)
Usa tu calculadora para verificar
¡ b) m - 1.67
b+1.03=24.7
= 30.25
y que ninguna
tus respuestas.
i e) p -12.22
= 4.05
p=
m=
b=
a un número que
el número que falta
,
'
-d-)--4~8-~-;::;-3-.5----. -------------:-~;-'-5.?-~-~--.--... -.. ----------- . -¡-h -- 'bs:'b-~ 'r"~'29 --.. --.-r=
g)
k
:
:
n
n=
:
c=
:
:
~'i.'5-~'6-.-2----------.. ,"- -rh)'--2-~-c-~-ü-------------.------ri)' --j-~'E;+ j -~ l-il- -.-----.-----.-.
~
a=
2. ¿Hay alguna forma que te permita verificar que tus respuestas son correctas?
esto con tus compañeros y anota el método que te parezca más eficaz.
3. Una alumna dice que el número que falta en 4 x d + 2
ella? ¿Por qué?
4. Otro alumno dice que el número que falta en 2 x e
=
=
Discute
_
4 es 0.5. ¿Estás de acuerdo con
_
11 es 5.5, y una alumna dice que es
11 . ¿Quién de los dos tiene razón? el.os dos están equivocados? el.os dos respuestas
2
son
correctas?
Discute
esto
con
tus
compañeros
y anota
tus
conclusiones.
Resumen
A expresiones como las anteriores, por ejemplo, 3 x b -i- 2 = 14, les llamaremos ecuaciones, y a
la letra que aparece en una ecuación le llamaremos incógnita. Podemosusar cualquier letra del
alfabeto para representar una incógnita.
En una ecuación puedes sustituir una incógnita con cualquier valor numérico, por ejemplo, en la
ecuación 3 x b + 2 = 14 podemos decidir que b valga 5, por lo que 3 x b + 2 = 3 x 5 + 2 = 17 . Sin
embargo, la condición impuesta por la ecuación es que el valor numérico de 3 x b + 2 sea 14,
por lo que b = 5 no es el número que buscamos. Observa que sólo cuando b = 4, 3xb+2 es igual
a 14. Por esto, diremos que b 4 es la solución de 3 x b + 2 = 14.
=
Primer grado de secundaria
Tenoch E. Cedillo A.
La calculadora
Sentido
en el aula Volumen
Numérico
e Iniciación
1:
Solución
al Álgebra
Estrategias
de ecuaciones:
99
no convencionales
Fecha:
-----
HOJA DE TRABAJO 62
NÚMEROS PERDIDOS
1. ¿Puedes encontrar
las soluciones de las siguientes ecuaciones? El reto
que ninguna de tus respuestas
culadora.
2
a)
x
1
a- - =1
3
;b)
--- --- -- - -- -- - - - - - - -- - - --- ------ - -- - - - ~- - -
5
1
7
4
--b =-
d)
;e)
sea incorrecta.
Verifica tus resultados usando tu cal-
18=5xa+3
-
: e)
-- - ----
-- -_. - - - - - ----
consiste en
--
------
-
27 = 18 x
a
+9
- -- ~---- -- - - ------ -- - - - -- - -. -- - - -- -- -- -- -_.
3.4=c+1.2
1
8
dx4-----=
7
-8
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ..., - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -. - - - - - .., - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -. - - - - - - - - - --
»
356 + 2 x x = 376
g)
! i)
457=25+2xy
18 + 3 x y = 45
2. ¿Encontraste un método para resolver las ecuaciones anteriores?
de manera que cualquiera de tus compañeros lo pueda entender.
Describe tu método
_
3. Auxíliate de tu calculadora para encontrar los números que faltan y comprobar que tus
respuestas sean correctas. Anota en cada espacio las operaciones que hiciste.
¿+3x m
a)
=
2x m+7
b)
m=
-----
e)
25+3xY=8xy+5
y=
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - _.
120 + 5 x P = 10 x p + 85
d) 18 x q -1 = O
p=
---------
q=
- - - -- -- --- --- - - -- --- - - --- - - ----- ----- ---- ----- - -- ---- ---- - - - --- - - ---- - - - ----- - - - - - - - -f)
- --
- -- - - - - - -- - - --- -_.
3
b +2xb=12
b=
--- --------
-- --- - - -- --- - ----- - - -. -- --_.
x=
Primer grado de secundaria
I
-- - ----
- --- ---
--
- -- - ----- ---- - - --- --- - -- ------- --- - --- - -- -- ------- - _. - - - -_. _.
x=
Tenoch E. Cedilla A.
La calculadora
100
Solución de ecuaciones:
en el aula Volumen 1:
Sentido Numérico e Iniciación
Estrategias
al Álgebra
no convencionales
Fecha:
HOJA DE TRABAJO 63
¿ECUACIONES CON MÁS DE UNA SOLUCIÓN?
1. Una alumna dice que la ecuación x2=25 tiene dos soluciones:
Xl
=5 Y
xz=-5. ¿Estás de
acuerdo con ella? ¿Por qué? Escribe tus conclusiones en tu cuaderno de manera que
cualquiera de tus compañeros las pueda entender.
_
2. Un alumno encontró dos soluciones para la ecuación x2+x=O. eTú también las puedes
encontrar? Escribe a continuación tu respuesta y explica cómo razonaste para resolver
esa ecuación.
_
3. Otra alumna dice. encontró dos soluciones para la ecuación x2+x=20. Una es x=4 y la
otra es x=-5. ¿Estás de acuerdo con ella? ¿Por qué? Escribe tus conclusiones y compáralas con las de tus compañeros.
4.
Las siguientes ecuaciones tienen dos soluciones. Encuéntralas y verifica
usando tu calculadora. No debe haber ningún error en tus respuestas.
tus respuestas
1=400
x2-x=90
- -- -----
-- -- ----
--- -
-_._----
---------
--- --- - -- -----
-- - ----
-
-_. - ---
- - --- - ---
-------------------------------------_.
2
c -3xc=10
Primer grado de secundaria
Tenoch E. Cedilla A.
La calculadora
en el aula Volumen 1:
Sentido Numérico
e Iniciación
Solución
al Álgebra
de ecuaciones:
101
Estrategias no convencionales
Fecha:
------
HOJA DE TRABAJO 64
¿ECUACIONES DISTINTAS
QUE TIENEN LA MISMA SOLUCIÓN?
La solución de la ecuación
2x
y - 4 = 8 es y = 6, porque
2 x 6 - 4 = 8. ¿Estás de acuerdo en que 6 también es la solución de la ecuación 5 x a + 4 = 34 ?
_
1. Construye otras
también sea 6
2. Construye
y =-4.
tres
ecuaciones distintas
tres
ecuaciones distintas
cuya solución
_
que cuya solución sea
3. Construye tres ecuaciones distintas cuya solución sea b = 2
3
Pide a uno de tus compañeros que las resuelva para verificar
tus respuestas.
_
2 x (3x + 4) = x + 2 . ¿Estás de
4 . Un a Iumno diIce que x= 2 es Ia so luci
uClon di"
e a ecuaclon ---3
acuerdo con él?
Explica a continuación por qué.
_
5. Construye tres ecuaciones como la de la pregunta anterior que tengan por solución x=2.
Intercambia
con algún compañero(a) tus ecuaciones y resuélvanlas para que verifiquen
que todas las ecuaciones que están proponiendo tienen por solución x=2.
_
6. ¿Encontraste un método para construir ecuaciones a partir de una solución que ya conoces") Describe ese método de manera que cualquiera de tus compañeros pueda entenderlo.
Primer grado de secundaria
Tenoch E. Cedilla A.
La calculadora
102
Solución de ecuaciones:
en el aula Volumen 1:
Estrategias no convencionales
Sentido Numérico e Iniciación al Álgebra
Fecha:
-----
HOJA DE TRABAJO 65
¿QUÉ ES ESO DE ECUACIONES EQUIVALENTES?
1. A las ecuaciones que tienen la misma solución se les llama
ecuaciones
equivalentes.
Por ejemplo,
las ecuaciones
7 x y - 5 = 51 Y 5 x m + 3 = 43 son equivalentes porque ambas
tienen la misma solución. ¿Cuál es su solución?
------
2.
De la siguientes ecuaciones encuentra las que son equivalentes. Justifica
tas.
a)
4 x a - 2 = 34
b)
7 x 5 - 3 = 32
e)
12+4xa=14
d)
15+6xy=18
e)
2 x m + 11-= 15
f)
5xb-1=44
g)
28 - 5 x P = 3
h)
23-12xr=17
i)
21+8xk=25
j)
3
k)
20 - 2 x
1)
42 + 4 x n = 62
3.
Unos alumnos resolvieron las ecuaciones que se muestran a continuación. Revisa sus
respuestas, si encuentras respuestas incorrectas corrígelas y muestra la respuesta
correcta.
a)
3 x a + 5 = 41, a = 12
d)
20
x
y +1= O
m
=2
b) 4 x P - 2 = 20, P = 7
5
= __
k =4
e) 2xn+5=5;
n=O
o
k'
- - - - --- - - -- -- - ---- ----- - ----- ---- --------
g)
(b
+ 3) x 2 - 4 = 8; b = 3
-- -- ---h)
--- - - ------
7=
--
(2xb+3)x5-1=34;
Primer grado de secundaria
b=3
k)
16-r=O,
f)
2xa+1
...
--5-----
--- --.- -- --- - - - -- --- --- - --- - - - - -- - --
=
3; a = 7
--- - - -- - -. -- - -- --
--- ------ -- - --- --------
- ---- - -- ---- ---
3xy+1
(2 + 3 x x) x 4 = 20; x
r=-16
--
"--4'--- ; y=9
i)
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - ----- ---- - -- --- ---------
j)
e)
tus respues-
=
1
1)
2xx-1
-
-
4-x
=
5' x
'
=
3
Tenoch E. Cedilla A.
La calculadora
Sentido
en el aula Volumen
Numérico
e Iniciación
1:
Solución
de ecuaciones:
103
Estrategias no convencionales
al Álgebra
Fecha:
_
HOJA DE TRABAJO 66
¿RESOLVER ECUACIONES
POR TANTEOS?
En esta hoja de trabajo te mostraremos la estrategia que usó Rodrigo para resolver ecuaciones. Muy probablemente tú usaste alguna
estrategia como la de Rodrigo cuando resolviste ecuaciones. Sin
embargo, conocer otras formas para resolver ecuaciones enriquecerá lo que ya sabes. Llamaremos "tanteo y refinamiento" a la estrategia que él usó.
A Rodrigo se le pidió que resolviera la ecuación x2-9=55. La estrategia que empleó se puede
describir como se hace a continuación:
•
Empezó por preguntarse, cqué significa x2? Finalmente su respuesta fue "x2 representa un
cierto número que se va a elevar al cuadrado".
•
Después de esto intentó dándole varios valores a x, primero probó con x=5, y obtuvo que
x2=5x5=25. Pero 25-9=16, y el resultado que quería es 55.
•
Entonces intentó con un número más grande, x=9. Pero x2=81, y 81-9 no da 55.
•
Finalmente encontró la solución: x.: 8. Él estaba seguro de que esa es la solución porque
82=64-9=55. Como (-8)2=(-8)x(-8)=64, entonces también x.:-8 es solución de esa ecuación.
¿Cuándo resolviste ecuaciones en las hojas de trabajo anteriores pensaste de manera parecida
a como lo hizo Rodrigo?
¿Entendiste cuál es su estrategia?
Si tu respuesta
es afirmativa resuelve las siguientes ecuaciones usando la estrategia que él empleó.
a) ~+15=31
e)
1-10=54
Primer grado de secundaria
b) ~+31=40
d) l-1=15
Tenoch E. Cedillo A.
104
Solución de ecuaciones:
La calculadora en el aula Volumen 1:
Estrategias no convencionales
Sentido Numérico e Iniciación al Álgebra
Fecha:
------
HOJA DE TRABAJO 67
¿PUEDO HACER QUE ESAS ECUACIONES SEAN MÁS SIMPLES?
En esta hoja de trabajo te mostraremos la estrategia que usó
Mariana. A ella se le pidió que resolviera
la ecuación
5x(a+2)+4=59. Su estrategia consistió en ver a la ecuación
completa y reducirla sistemáticamente
a una ecuación más
sencilla. La estrategia de Mariana la llamaremos "construcción
de ecuaciones más simples". La forma en que ella razonó se
describe a continuación.
Primero se preguntó qué significaba la expresión 5x(a+2), y se dio cuenta que 5x(a+2) significa que 0+2 se debe multiplicar por 5. El problema es que ella que no sabía cuál es el
valor de 0+2. Después de algunos intentos encontró que no es difícil resolver esa ecuación.
Ella razonó como sigue:
•
•
Como 5x(a+2)+4=59, entonces 5x(a+2) debe valer 55, porque 55+4=59. Esto le permitió
construir una ecuación más simple: 5x(a+2)=55.
De la misma manera encontró que (0+2) debe valer la quinta parte de 55, es decir 11.
Eso le permitió reducir la aparentemente difícil
más sencilla: 0+2=11, cuya solución es 0=9.
ecuación 5x(a+2)+4=59, a una mucho
1. Comprueba que 0=9 es la solución de la ecuación 5x(a+2)+4=59.
_
2. Resuelve las siguientes ecuaciones usando el método de Mariana. Recuerda que no debes tener errores porque siempre puedes comprobar tus respuestas.
a)
4(x+12)+ 7=87
:b)
10+3(y-8)=31
,
- - - - - - - - - - - - - .- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - .- - - - - .- - - -;- - - - - - - - - - - .- - - - - - - - - - - - - - ..- - - - - - - - - - .- - ...- - - - - - - - - - - - - - c)
34-2(a-1 )=18
e)
22+ p+8
: d) 7(b+3)-5=51
=28
3
Primer grado de secundarla
Tenoch E. Cedilla A.
La calculadora
en el aula Volumen
Sentido Numérico
e Iniciación
1:
Solución de ecuaciones:
al Álgebra
105
Estrategias no convencionales
Fecha:
HOJA DE TRABAJO
-----
68
¿QUÉ ES ESO DE DESHACER OPERACIONES?
Gerardo y Silvia resolvieron la ecuación 5x(a+2)+4=59
"deshaciendo operaciones". Su estrategia consistió en usar
operaciones inversas a las que se muestran en la ecuación.
La manera en que razonaron se describe a continuación.
•
Primero notaron que si 5x(a+2)+4=59, entonces el valor
de 5x(a+2) lo podían obtener "deshaciendo sumar 4" a
través de restar
5x(a+2)=55.
•
4. Esto lo condujo a la ecuación
La ecuación 5x(a+2)=55 para hacerla más sencilla "deshicieron multiplicar por 5" dividiendo entre 5. Con esto obtuvieron la ecuación a + 2 = 11, porque a + 2 es la quinta
parte de 5 x (a + 2) Y la quinta parte de 55 es 11.
r
•
Por último resolvieron la ecuación a + 2 = 11 , "deshicieron sumar 2" restando 2. Así
encontraron que a = 9 es la solución de la ecuación 5 x (a + 2) + 4 = 59 .
cEntendiste la estrategia que usaron Gerardo y Silvia? Si tu respuesta es afirmativa resuelve las siguientes ecuaciones como ellos lo hicieron. Usa tu calculadora para realizar
esta actividad. Verifica tus respuestas, recuerda que sólo debes producir respuestas correctas.
a) 7(a-S)+25=39
- ---- ----
e)
- - - - - - --- -. - -. - - ---- - ----- - -- - -. - -- - -- -- - - --- - - - - -- - -----
2
S+5(b-1)=S
- - --- -----
e)
-
b) 1S+S(b+4)=94
-
52
d)
-- - - -- - --- - - --- - ------ - --- - ---- - -. --------
15 + y + 12
3
=
22
- ---- -- --- - - - -- - - - --. - - --------
- --- - - - - - --
_ ..
2
- ---- - --------
f)
- - --
x-s
---2=5
- ----. --- ---- -. ----- ---- ------------
--
- ------ - -_.
x-O.5 +5= 93
S
16
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -. --
g)
4(X-5)_6=_2
3
Primer grado de secundaria
h)
5(x + 3) + 12 = 17
7
Tenoch E. Cedillo A.
»
106
La calculadora
Solución
en el aula Volumen 1:
Sentido Numérico e Iniciación
Estrategias
al Álgebra
de ecuaciones:
no convencionales
Fecha:
_
HOJA DE TRABAJO 69
¡ESTO DE LAS ECUACIONES NO ES TAN DIFÍCIL!
1.
Construye
cuatro
5(x + 3) + 12
7
= 17
ecuaciones
parecidas
a
la
. Una vez que las hayas resuelto
bado, pídele a un compañero(a)
ecuación
y compro-
que las resuelva y tú resuelves
las que él(elia) inventó.
¡Gana el que haya resuelto
las ecuaciones del otro sin cometer
ningún error!
¡ e)
b)
a)
2.
Inventa
tres
d)
ecuaciones
distintas
número de lista. La primera
paréntesis,
que tengan
de tus ecuaciones
la segunda debe incluir paréntesis,
cluir una barra
de división y paréntesis,
los incisos g) y h) de la hoja anterior.
suelto y comprobado
como solución
tu
no debe contener
la tercera
debe in-
como las ecuaciones
de
Una vez que las hayas re-
pídele a un compañero(a)
que las resuelva y
tú resuelve las él(ella) construyó.
¡Gana el que construya
correctamente
sus ecuaciones y resuel-
va las ecuaciones del otro sin cometer
ningún error!
¡ e)
a)
3. Construye
comprobado
tres
ecuaciones que tengan dos soluciones.
Una vez que las hayas resuelto
pídele a un compañero(a) que las resuelva. Gana el que resuelva
del otro sin cometer
a)
Primer grado de secundaria
y
las ecuaciones
ningún error.
b)
e)
Tenoch E. Cedillo A.
,
MANUAL BA5ICO:
PARA EL USO DE LA CALCULADORA
108
La calculadora
en el aula Volumen 1:
Sentido Numérico e Iniciación
al Álgebra
Manual básico: para el uso de la calculadora
Todas las calculadoras por muy sofisticadas que sean, contienen un ambiente de cálculo numérico. Resultaría
muy ambicioso querer describir la forma en que opera el ambiente numérico de todas las marcas y modelos de
calculadoras, porque incluso, hasta una calculadora que utiliza un comerciante para hacer sus cuentas, tiene su
propia sintaxis.
Sin embargo, lo que sí podemos hacer es mostrar algunas situaciones relevantes, para este texto, que se
presentan en el ambiente numérico de algunas calculadoras, y mencionar posibles errores que podrían
cometerse al realizar cálculos numéricos en otras máquinas.
Para ilustrarlas, se utilizarán las pantallas de una calculadora gráfica, la cual cuenta con siete renglones para
edición, sin embargo esto no significa que para resolver las actividades de este libro, no pueda ser usada una
calculadora científica o sólo aritmética.
Antes de ejemplificar lo anterior, convendría decir que en las calculadoras sencillas, la tecla para obtener los
resultados es la tecla del signo =, en modelos más recientes, incluyendo calculadoras científicas, se utiliza la
tecla ENTER ó EXE.
Jerarquía de operaciones
Cuando en la calculadora se quiere encontrar el resultado de la
operación 4+4x4, figura 1, podríamos esperar como resultado 32,
sin embargo el correcto es 20. Esto se debe a que este tipo de
calculadoras respeta la jerarquía de operaciones, así que es
importante que sí se utiliza una calculadora que no respeta la
jerarquía, se haga notar esto a los estudiantes, para que realicen
las operaciones en el orden adecuado. Por ejemplo en la figura 1,
primero se resuelve 4x4 y al resultado se le suma 4.
Figura 1
4+4:+:4
20
Uso de paréntesis
En el caso que se quisiera que el resultado de la operación anterior
sea 32, entonces puede hacerse uso de los paréntesis, quienes
rompen con la jerarquía de las operaciones, como se ilustra en la
figura 2. En esta ocasión, la operación que primero se realiza es la
que está en los paréntesis y el resultado se multiplica por 4.
En una calculadora científica es posible usar paréntesis, aunque
deben antes hacerse pruebas para observar cómo es que
funcionan. En el caso de que la calculadora no cuente con la
herramienta de paréntesis, es necesario explicar a los estudiantes
el orden en que deben realizar las cuentas en su calculadora.
Figura 2
4+4:+:4
o:: 4+4):+:4
•
Notación científica
Los resultados de algunos ejercicios que aquí se proponen, pueden ser desplegados en la calculadora en una
notación poco familiar para los estudiantes, ésta es la notación científica, incluso aunque en clase se haya
estudiado, la forma en que la calculadora la representa no es como el profesor la escribe en el pizarrón, es por
ello que debe tenerse en cuenta esta situación, la cual se ilustra a continuación.
Por ejemplo si se realiza la operación 735xl0000 el resultado que la
calculadora proporcione, puede no ser 7350000, sino que despliega un
resultado como el de la figura 3. Esta notación puede interpretarse si se
considera 7.35E6 equivalente a 7.35x106, por lo que el punto decimal se
recorre a la derecha seis espacios, completando con ceros los espacios
vacíos, con lo que entonces se obtiene 7350000.
Las calculadoras científicas utilizan otras notaciones, una por ejemplo es
73504, esto se puede interpretar como 735x104, calculadoras más sencillas
no utilizan notación científica, y sus resultados están limitados a los dígitos
que soporta su pantalla.
Primer grado de secundaria
Figura 3
735:+: 100~X1
Tenoch E. Cedillo A.
La calculadora
Sentido
en el aula Volumen
Numérico
e Iniciación
1:
al Álgebra
109
Manual básico: para el uso de la calculadora
Otro ejemplo como el anterior, pero cuando se utilizan números
decimales, es el que se ilustra en la figura 4, el resultado esperado
de multiplicar .03x.OS es .0015, sin embargo la calculadora
despliega l.SE-3, el cual debe interpretarse como 1.5xlO'3, de este
modose recorre el punto decimal a la izquierda tres espacios.
Figura 4
.~33:+:.ü5
Las calculadoras gráficas y científicas pueden ajustar su modo de
operación, la forma de hacerlo dependerá de cada modelo, sin
embargo la mayoría tienen opciones como: Normal, Sci y Float,
como se muestra en la figura S.
El modo Normal, despliega las cantidades como se introducen, a
menos que sea demasiado grande y entonces utiliza notación
científica.
Por otra parte, Sci despliega en notación científica cualquier
cantidad que se escriba en la calculadora.
Figura 6
Por último, en Float, se especifican hasta en cuantas cifras
decimales serán desplegadas las cantidades, en caso de que se
rebasen, la calculadora efectúa un redondeo, figura 6.
Tecla para la operación de restar y tecla del signo negativo
La mayoría de los modelos de calculadoras cuentan con una tecla de restar, la cual se identifica porque tiene el
signo de resta, y con una tecla con la que puede asignársele el signo negativo a un número y que está
identificada como (-) ó + /Un ejemplo que ilustra el uso de estas teclas es el que se muestra
en la figura 7, en ocasiones al realizar una resta, en vez de utilizar
la tecla de restar se utiliza la tecla que asigna el signo negativo a
un número, lo cual produce un error, que se corrige utilizando la
tecla de restar.
También cuando
10, hay algunos
el signo negativo
error, por lo que
se quiere resolver una operación como -3+4+2modelos de calculadora en que si al 3 se le asigna
con la tecla de restar, la calculadora señala un
debe usarse la tecla del signo negativo, figura 8.
En calculadoras que cuentan con una tecla +/- para asignar signo
negativo a las cantidades, en algunos modelos debe escribirse
primero la cantidad y entonces se teclea la tecla de signo negativo.
Primer grado de secundaria
Figura 7
2 -5
2-5
Er-r-or-3
Figura 8
-3+4+2-10
-3+4+2-10
•
Error
-7
Tenoch E. Cedilla A.
110
La calculadora
en el aula Volumen 1:
Sentido Numérico e Iniciación
al Álgebra
Manual básico: para el uso de la calculadora
La Tecla AN5
Esta opción la tienen por lo general calculadoras científicas y gráficas, y su función es recuperar la última
cantidad desplegada en la calculadora, incluso después de haberla apagado y vuelto a encender. Pocos
modelos tienen una tecla directa para ANS, en la mayoría se tiene como una segunda función de una tecla.
Para activarla, se debe oprimir antes la tecla de segunda función (2nd ó Shift), y entonces se oprime la tecla
con la que está asociada ANS.
Un ejemplo del uso de ANS, es el que se muestra en la figura 9, en
donde después de obtener el resultado de la suma de 2+5, éste es
recuperado con ANS para sumárselo a 3.
Figura 9
2+5
Ans+3
7
HZ!
•
Algunas de las actividades que contiene este texto, se utiliza ANS
para desplegar sucesiones de números, por ejemplo, si se quiere a
partir del 1 obtener una sucesión que vaya de dos en dos, se debe
primero teclear 1 y después =, ENTER ó EXE, según la
calculadora, lo cual registra al número 1, entonces se activa ANS y
se le suman 2 unidades, de ahí en adelante será suficiente con
oprimir repetidamente la tecla =, ENTER ó EXE, para reproducir la
sucesión deseada, como se muestra en la figura 10.
Figura 10
1
Ans+2
Ans+2
At"ls+2
At"ls+2
An::.+2
1
"5
7
9
11
Fracciones
Algunos modelos de calculadoras cuentan con teclas específicas
para escribir fracciones, como se muestra en la figura 11. En otros
se puede utilizar la tecla de división.
Figura 11
11
1~
•
Potencias
En calculadoras científicas y gráficas, existen algunas teclas y
funciones específicas para escribir potencias, por ejemplo, si se
desea obtener el resultado de 34, las calculadoras gráficas cuentan
con una tecla que tiene el símbolo: /\ Un ejemplo se muestra en la
figura 12.
Las calculadoras científicas tienen una función que aparece en
algunos casos con una tecla específica y en otros asociado con
una tecla principal, su símbolo es
la cual puede funcionar
escribiendo primero la base de la potencia, en seguida se activa
se escribe el exponente, y finalmente se oprime =, o la tecla
de ejecución.
En calculadoras más sencillas es necesario desarrollar la potencia
para obtener el resultado.
Figura 12
•
:31
y,
y,
Primer grado de secundaria
Tenoch E. Cedilla A.
La calculadora
Sentido
en el aula Volumen
Numérico
e Iniciación
111
1:
al Álgebra
Manual básico: para el uso de la calculadora
¿Cómo se edita un programa en calculadoras TI-89 Y TI-92
a)
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
b)
c)
Los programas se escriben en el ambiente HOME de la
Figura 1
calculadora, el cual presenta una pantalla como la que se
muestra en la figura 1. La pantalla está dividida en
cuatro secciones:
-5+3-2'9
La parte superior es la barra de herramientas.
La sección que tiene mayor área es donde se - so 1ve( x + 3 = 5 , x)
-fac.tor(2·x2+3·x)
registra el historial de lo que se realiza.
-a+3'a-8'a+5',a
Enseguida está la línea de edición, en este espacio
se editan las expresiones aritméticas o algebraicas que -J2+3+4
_ 62 + 32
se van a usar.
En el último renglón se encuentra la barra de (6+3)*4+3
t1tilN
DEGftPpp'O:{
estado, que muestra especificaciones sobre el
funcionamiento de la calculadora.
Con el teclado alfanumérico se escribe el programa que
se desea escribir como se muestra en la figura 2.
1.5)
a
3.
45.
rUNe 7/~~
Figura 2
1~L
F2"
.*2+11
a.=?
TJ)"
L F~"
T. F~
.L
F6
•. ~IAlgebraICalc.IOtherIPrgr~IOICleat'
a-z ...
Después de haber escrito el programa se oprime SHIFT
y enseguida la tecla de la letra K, con lo cual se
despliega una barra (1) que se puede interpretar como
"tal que". Enseguida de la barra "tal que" se asigna un
valor a la letra que se está usando en el programa, como
se muestra en la figura 3. La TI-89 tiene esta barra
como una tecla directa.
EIlI!iC......O.L.l_.
MeliTO
d)
2. ·x'(x+
Después de esto se oprime la tecla ENTER y en el lado
derecho de la pantalla se despliega el resultado, como se
muestra en la figura 4. Del mismo modo se pueden
asignar otros valores a la letra utilizada.
Figura 4
a'2+1Ia=7
-l!L----BJ!_Q
e)
Se pueden asignar a la vez más de un valor a la letra
que se esté utilizando. Esto se logra mediante el uso de
llaves (ver figura 5). Los resultados también se
despliegan entre llaves.
rUNC"$O
8_III_D
Figura 5
¡,'2+11,;¡=Cl
2
3
4
7}
<3
Primer grado de secundaria
5
7
9
15:
Tenoch E. Cedilla A.
112
La calculadora
en el aula Volumen 1:
Sentido Numérico e Iniciación
Manual básico: para el uso de la calculadora
al Álgebra
Modelos TI-73, 80, 81, 82, 83 Y 85
a)
En estos modelos se accede al ambiente de
programación oprimiendo la tecla PRGM, la cual
despliega las opciones EXEC, EDIT y NEW,
como se muestra en la figura 6.
Figura 6
~
EDIT
1IIE'~:O (31
:¿ : F'F::0I32
HEI...t
3: F'F::0I33
b)
La opción NEW permite escribir un programa
nuevo.
Después de seleccionarla
y oprimir
ENTER, se debe dar un nombre al nuevo
programa que se va escribir, se muestra un
ejemplo en la figura 7. Enseguida se vuelve a
presionar la tecla ENTER.
Figura 7
F'F.~OGF.~At'1
t·~·::tro·le=F'F.:OG4
Figura 8
En muchos modelos las letras se obtienen después de oprimir la
tecla ALPHA y enseguida la tecla con la que esta asociada la letra
que se quiere escribir. Un caso aparte es la calculadora TI -73, en
donde se debe oprimir primero 2nd y enseguida la tecla con la que
está asociada la función TEXT, con lo cual se despliegan en la
pantalla las letras y otros caracteres (figura 8), se selecciona con el
cursor cada letra y se oprime ENTER para registrarla. Una vez que
se terminó de escribir el texto deseado, se selecciona Done y se
oprime ENTER para confirmar que ese es el texto que se quiere.
ti E:
(
~: L
H
M ,',
U
','
[1
E
n [[]
11
:F .".
,'
~:-
','
....'.
r
Ij H 1 J
r;¡
F'
Fi -: T
:=: • ••
-c, 'lf"j
.r
11
':.t"
Done
PP.
Después de asignarle un nombre al nuevo programa, se oprime la tecla PRGM, la cual despliega una pantalla
como la que se muestra en la figura 9. Con el cursor se selecciona la opción l/O y enseguida el número 1:
Input, entonces se oprime ENTER y queda escrito en la primer línea del programa la palabra Input, como se
ilustra en la figura 10.
Figura 9
CTL
tal:
lIJln'PUt.
:¿:
3:
4:
5:
6:
E;:-::EC
Figura 10
PF.~OGPAt'1:PROG4
: InF'ut.. •
F't-·oP)F't..
Di ;:.F'
Di sF'Gt-'aF'h
Di ;:.F' Tab 1e
OJ.~t..F'J.~t..(
7,!,'~et..Ke'::l
c)
Enseguida de Input se escribe la letra a la que se le va asignar el
valor de entrada del programa (figura 11), y se oprime ENTER
para pasar al siguiente renglón.
Primer grado de secundaria
Figura 11
F'ROGF.~At'1: PROG4
: InF'ut A
Tenoch E. Cedilla A.
La calculadora
en el aula Volumen
Sentido Numérico e Iniciación
1:
al Álgebra
Manual básico: para el uso de la calculadora
d)
Se vuelve a oprimir la tecla PRGM
y
con el cursor se seleccionan la opciones l/O
y
113
el número 3: Disp
(figura 12), después de esto se oprime ENTER y queda escrito en el segundo renglón del programa Disp
(ver figura 13).
Figura 13
PPOr:J~~At'1:PPOr:J4
: Input.. A
: Di;;.p
e)
•
Delante de Disp se anota el programa que se quiere escribir (figura
14).
Figura 14
PP0I3PAt'1: PP0134
: 1 nr-ut, A
: DisF" A:+:2+1
f)
El modelo TI-73 requiere un tercer renglón en el que se despliegue
PAUSE. Para ello se debe oprimir PRGM, elegir CTL y la opción 8:
PAUSE. Después de esto debe oprimirse ENTER (figura 15).
Figura 15
MO
1.····0E::-~EC
3TEl::.e
4: Forc
5: I.rJhile
6: F.:eF'e,:¡t.
?:End
mF'.~u::.e
9TLbl
g)
Una vez que se ha escrito el programa se oprime la tecla 2nd. Para salir de la edición del programa y
dejarlo escrito, se oprime la tecla con la que se asocia QUIT (en algunos modelos es la tecla MODE). A
partir de este momento el programa está listo para usarse.
Primer grado de s cundaria
Tenoch E. Cedillo A.
114
La calculadora
en el aula Volumen 1:
Sentido Numérico
e Iniciación
al Álgebra
Manual básico: para el
LISO
de la calculadora
¿Cómo se "corre" un programa? Modelos TI-73, 80, 81, 82, 83 Y 85
a)
Para usar un programa ("correrlo") se debe oprimir la tecla PRGM, con el cursor se seleccionan la opción
EXEC y el programa que se desea ejecutar, y entonces se presiona ENTER, desplegándose en la pantalla
de la calculadora el nombre del programa a ejecutar (figuras 16y 17).
Figura 17
Figura 16
~
EDIT
rrPR05
2:PROGl
3:PROG2
4:PROG3
~PROG4
b)
c)
t~Eld
Ya que se ha desplegado el nombre del programa
se oprime ENTER y entonces aparece una signo
de interrogación (¿) en la pantalla, solicitándonos
el valor de entrada, se escribe un número y se
oprime ENTER obteniendo el resultado para
dicho valor, se oprime ENTER tantas veces como
se deseen dar valores de entrada, figura 18.
Cuando se desee modificar un programa se
oprime la tecla PRGM, se selecciona EDIT y el
programa que se desea modificar (figura 19).
Entonces se oprime ENTER, desplegándose en la
pantalla el programa que se va modificar.
pr9!"'1PROG41
Figura 18
?4
Figura 19
EXEC ~
l:PROS-2:PROGl
3:PROG2
4:PROG3
t~EI.~
~PROG4
Primer grado de secundaria
Tenoch E. Cedilla A.
1
La calculadora
Sentido
en el aula Volumen
Numérico
e Iniciación
1:
115
al Álgebra
¿Cómo se edita un programa
calculadoras Casio?
Manual básico: para el uso de la calculadora
en
Para la escritura de programas en los diferentes modelos de
CASIO se utiliza la misma sintaxis, aunque cambia la forma
de acceder al ambiente de programación. A continuación
ilustraremos un modelo en el que la pantalla inicial es como
la que se muestra en la figura 20. Esta pantalla (MAIN
MENU) varia según el modelo.
Figura 20
a)
Figura 21
b)
c)
Con el cursor se selecciona el icono de PRGM (como
se muestra iluminado en la figura 20) y se oprime
EXE, con lo cual entramos a una pantalla como la que
se muestra en la figura 21 (esta pantalla varía de
acuerdo al modelo, algunos entran directamente a la
lista de programas existentes).
En la pantalla de la figura 21 se selecciona la opción de
PROGRAM (oprimir la tecla f1). Con esto se tiene
acceso a una pantalla como la que se muestra en la
figura 22. En esta pantalla se despliega la lista de
programas, las áreas de programación Prog O: y Prog
1: tienen programas escritos, en cambio Prog 2: y
Prog 3:, que muestran la leyenda empty, son áreas
de programación vacías (en otros modelos se les
puede asignar un nombre a los programas y entonces
en esta pantalla aparecen enlistados los programas por
su nombre).
Con el cursor se selecciona el área de programación en
que se quiere editar un programa, por ejemplo en la
figura 22 se seleccionó Prog 2:. Una vez hecha la
selección se oprime EXE y se entra a una pantalla
vacía en la que el cursor está parpadeando (en otros
modelos se oprime la tecla asociada a NEW y se
asigna un nombre al nuevo programa). Enseguida se
debe desplegar la barra de herramientas de
programación, lo cual se hace oprimiendo la tecla
SHIFT (tecla amarilla) y enseguida la tecla con la que
esté asociada la opción de PRGM (en algunos modelos
es la tecla del número 7), desplegándose la barra que
se muestra en la figura 23.
Primer grado de secundaría
Fr'e€'
1: PF~OGRA~1
2: E[)ITOR
Figura 22
23173 Bytes Free
Pro9
0:?~A:?~8:?~C:
Pro9 1:?~A:?~8:?~C:
Pro9 2:ert'lpty
Pt-'09
Fi:Ut
3: empt.y
I
Figura 23
•
Tenoch E. Cedilla A.
116
La calculadora
en el aula Volumen 1:
Manual básico: para el uso de la calculadora
Sentido Numérico e Iniciación al Álgebra
d)
e)
Para iniciar la escritura del programa, se debe escribir
el signo de interrogación ?, para lo cual se oprime la
tecla que le esté asociada (en algunos modelos es F6 y
en otros F4), enseguida se oprime tecla de la flecha de
asignación ~ (en algunos modelos se encuentra cerca
de la tecla AC/ON). A continuación se teclea la letra
que se va utilizar, para ello se oprime primero ALPHA
y enseguida la tecla con la que esté asociada la letra
que se haya elegido; a continuación se escriben dos
puntos (:), los cuales se despliegan oprimiendo la tecla
que le está asociada (en algunos modelos es F6).
Enseguida de todo esto se anota el programa, esto se
ilustra en la figura 24.
Figura 24
.,~
Figura 25
Una vez que se ha escrito el programa se oprime la
tecla EXIT para quitar de la pantalla la barra de
herramientas de programación. Se vuele a oprimir
EXIT para regresar a la pantalla inicial de PRGM en
donde se observa registrado el programa que se
escribió (figura 25).
."";'--::"
1 1-'-4 El -, ,t.01::'=.
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.",:,..",:,
..:...
:.
•
e», ..:..
l. :-..,_".
3:emF'ty
é.Córno se "corre"
a)
b)
un programa
en calculadoras
Para correr el programa se debe activar la opción
RUN, que aparece en la parte inferior de la pantalla
como se ve en la figura 2S (en otros modelos en vez
de RUN es EXE). Esta opción se activa con la tecla
Fl, enseguida la calculadora muestra un signo de
interrogación,
lo que es señal de que espera un
número de entrada, después que se teclea ese número
se oprime EXE y el resultado es desplegado a la
derecha del siguiente renglón, se debe oprimir EXE si
se desea introducir otro valor (figura 26).
Cada vez que se requiera "correr" un programa se
puede oprimir la tecla MENU, se selecciona el icono de
PRGM, se accede a la lista de programas, se elige el
programa que se desea utilizar y se activa dicho
programa con RUN (ó EXE según el modelo) con la
tecla Fl.
Primer grado de secundaria
Casio?
Figura 26
..'
1
-:r
-'
-::-
7
También se puede modificar un programa
seleccionándolo desde la lista de programas,
una vez que se hacen las modificaciones se
oprime
EXIT para salir del área de
programación.
Tenoch E. Cedillo A.