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¿Cómo hacer y entender
demostraciones?
José Manuel Gómez Soto
Matemáticas Discretas
26 Marzo, 2010
J.M. Gómez Soto
Lógica
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¿Porque las demostraciones son
necesarias?
Teorema de Pitágoras
c2 = a2 + b2
• ¿Cómo se sabe que es verdadera?
• Podemos probar para muchos casos pero. ¿Cómo
sabemos que es verdad?
J.M. Gómez Soto
Lógica
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¿Porque las demostraciones son
necesarias?
Conjetura China sobre los números primos
n
n es un número primo si 2 n−2 = d, donde d es un número
entero.
J.M. Gómez Soto
Lógica
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¿Porque las demostraciones son
necesarias?
Conjetura China sobre los números primos
n
n es un número primo si 2 n−2 = d, donde d es un número
entero.
• Funciona para los primeros 340 números enteros, pero..
J.M. Gómez Soto
Lógica
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¿Porque las demostraciones son
necesarias?
Conjetura China sobre los números primos
n
n es un número primo si 2 n−2 = d, donde d es un número
entero.
• Funciona para los primeros 340 números enteros, pero..
341
• Con n = 341, 2 n−2 da un número entero y 341 no es
primo ya que 341 = 11 × 31
• Por lo tanto la conjetura es falsa!
J.M. Gómez Soto
Lógica
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¿Porque las demostraciones son
necesarias?
Conjetura de GoldBach
Todo número par mayor que 2 puede escribirse como suma de
dos números primos.
J.M. Gómez Soto
Lógica
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Axiomas, Teoremas, Lemas,
Corolarios, Proposiciones...
• Axioma: Es una verdad que no necesita demostración
J.M. Gómez Soto
Lógica
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Axiomas, Teoremas, Lemas,
Corolarios, Proposiciones...
• Axioma: Es una verdad que no necesita demostración
• Teorema: Es una firmación que requiere demostración.
Generalmente se trata una afirmación importante que es
de interés independiente.
J.M. Gómez Soto
Lógica
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Axiomas, Teoremas, Lemas,
Corolarios, Proposiciones...
• Axioma: Es una verdad que no necesita demostración
• Teorema: Es una firmación que requiere demostración.
Generalmente se trata una afirmación importante que es
de interés independiente.
• Lema: Es un resultado auxiliar. Se trata de un resultado
importante e independiente que vale la pena enfatizar pero
que no amerita ser un teorema.
J.M. Gómez Soto
Lógica
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Axiomas, Teoremas, Lemas,
Corolarios, Proposiciones...
• Axioma: Es una verdad que no necesita demostración
• Teorema: Es una firmación que requiere demostración.
Generalmente se trata una afirmación importante que es
de interés independiente.
• Lema: Es un resultado auxiliar. Se trata de un resultado
importante e independiente que vale la pena enfatizar pero
que no amerita ser un teorema.
• Proposición: Tiende a ser usado para presentar un
teorema menor.
J.M. Gómez Soto
Lógica
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Axiomas, Teoremas, Lemas,
Corolarios, Proposiciones...
• Axioma: Es una verdad que no necesita demostración
• Teorema: Es una firmación que requiere demostración.
Generalmente se trata una afirmación importante que es
de interés independiente.
• Lema: Es un resultado auxiliar. Se trata de un resultado
importante e independiente que vale la pena enfatizar pero
que no amerita ser un teorema.
• Proposición: Tiende a ser usado para presentar un
teorema menor.
J.M. Gómez Soto
Lógica
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Axiomas, Teoremas, Lemas,
Corolarios, Proposiciones...
• Corolario: Un corolario es una consecuencia directa y fácil
de un lema, teorema o proposición.
J.M. Gómez Soto
Lógica
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Axiomas, Teoremas, Lemas,
Corolarios, Proposiciones...
• Corolario: Un corolario es una consecuencia directa y fácil
de un lema, teorema o proposición.
• Conjetura: Es una afirmación que el autor cree que es
verdad pero que no ha podido demostrar su false
veracidad o falsedas. Generalmente el autor tienen fuerte
evidencia de que es verdad.
J.M. Gómez Soto
Lógica
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Axiomas, Teoremas, Lemas,
Corolarios, Proposiciones...
• Corolario: Un corolario es una consecuencia directa y fácil
de un lema, teorema o proposición.
• Conjetura: Es una afirmación que el autor cree que es
verdad pero que no ha podido demostrar su false
veracidad o falsedas. Generalmente el autor tienen fuerte
evidencia de que es verdad.
• Hipótesis: Es una afirmación que es tomada como base
para mayor razonamiento, usualmente una demostración,
por ejemplo la hipótesis de inducción.
J.M. Gómez Soto
Lógica
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Axiomas, Teoremas, Lemas,
Corolarios, Proposiciones...
• Corolario: Un corolario es una consecuencia directa y fácil
de un lema, teorema o proposición.
• Conjetura: Es una afirmación que el autor cree que es
verdad pero que no ha podido demostrar su false
veracidad o falsedas. Generalmente el autor tienen fuerte
evidencia de que es verdad.
• Hipótesis: Es una afirmación que es tomada como base
para mayor razonamiento, usualmente una demostración,
por ejemplo la hipótesis de inducción.
J.M. Gómez Soto
Lógica
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Proposición
Una proposición es una afirmación que siempre es falsa o
verdadera.
J.M. Gómez Soto
Lógica
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Demostración
Para poder hacer una demostración debemos saber
exactamente lo que significa demostrar que “Si A es verdadero
entonces B es verdadero ".
La proposición A se llama hipótesis y el postulado B se llama
conclusión.
Otras formas de escribirlo son:
• Si A entonces B
• A implica B
• A⇒B
J.M. Gómez Soto
Lógica
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Demostración
Parece razonable que las condiciones bajo las cuales “A
implica B" es verdadero depende de si A y B son verdaderos.
Recuerde que existen cuatro posibiilidades:
• Si A es verdadero y B es verdadero → Verdadero
• Si A es verdadero y B es falso → Falso
• Si A es falso y B es verdadero → Verdadero
• Si A es falso y B es falso → Verdadero
J.M. Gómez Soto
Lógica
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Demostración
Para entender porque la tabla de verdad anterior es de esa
forma.
Suponga que alguien ha afirmado “Si llueve entonces María
trae su paraguas"
Para determinar cuando es falsa proposición “A implica B" hay
que preguntarnos en cual de los cuatro casos llama´riamos
mentiroso al que hizo la afirmación
• Si A es verdadero y B es verdadero → Ha dicho la verdad
• Si A es verdadero y B es falso → Mintió
• Si A es falso y B es verdadero → No podríamos decir que
mintió
• Si A es falso y B es falso → No podríamos decir que mintió
J.M. Gómez Soto
Lógica
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Demostración
“A implica B" no es un intento de verificar si A y B son
verdaderas, sino demostrar que B es una consecuencia lógica
de haber supuesto que A es verdadera.
J.M. Gómez Soto
Lógica
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Ejercicios para identificar
proposiciones:
De los siguientes ejercicios diga cuales son proposiciones:
• ax2 + bx + c = 0
J.M. Gómez Soto
Lógica
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Ejercicios para identificar
proposiciones:
De los siguientes ejercicios diga cuales son proposiciones:
• ax2 + bx + c = 0
• (−b ±
√
b2 −)
J.M. Gómez Soto
Lógica
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Proposición
Identificar Hipótesis y conclusión
J.M. Gómez Soto
Lógica
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Métodos de demostración
• Método progresivo-regresivo
• Método contrapositivo
• Método por contradicción
• Método por construcción (Cuantificadores)
• Método por selección (Cuantificadores)
• Método por inducción (Cuantificadores)
J.M. Gómez Soto
Lógica
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Método progresivo-regresivo
Proposición 1: Si el triángulo rectángulo XYZ con catetos de
longitudes x y y e hipotenusa de longitud z tiene área z 2 /4,
entonces el triángulo XYZ es isósceles.
J.M. Gómez Soto
Lógica
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Método progresivo-regresivo
Proposición 1: Si el triángulo rectángulo XYZ con catetos de
longitudes x y y e hipotenusa de longitud z tiene área z 2 /4,
entonces el triángulo XYZ es isósceles.
J.M. Gómez Soto
Lógica
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Método progresivo-regresivo
Afirmación
J.M. Gómez Soto
Razón
Lógica
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Demostración condensada
Demostración de la proposicion 1: Por la hipótesis y el teorema
de Pitágoras se obtiene x2 + y 2 = 2xy, de donde (x − y)2 = 0.
Por lo tanto el triángulo es isósceles. Q.E.D.
J.M. Gómez Soto
Lógica
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Demostración condensada
Porque es complicada la lectura de una demostración
condensada
• Los pasos no siempre se presentan en el mismo orden en
que se realizaron cuando se hizo la demostración.
• Con frecuencia se omite el nombre de las técnicas.
• Es común combinar varios pasos de la demostración en un
sólo enunciado con casi ninguna explicación.
J.M. Gómez Soto
Lógica
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Demostración condensada
¿Cómo leer una demostración condensada?
• Se determinan las técnicas que se utilizaron.
• Se verifica cada paso completando los detalles faltantes.
J.M. Gómez Soto
Lógica
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Ejercicios sobre preguntas
abstractas:
Resolver en clase los ejercicios:
• 2.1
• 2.3
• 2.5 a y c
• 2.11
De tarea los siguientes ejercicios
• 2.5 b
• 2.6 b
• 2.7 d
• 2.8
• 2.9
• 2.10
J.M. Gómez Soto
Lógica
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