1. Educación

EDU111
¿CÓMO UTILIZAR LAS TIC EN LA ENSEÑANZA DE LA VARIABLE COMPLEJA?
ELABORACIÓN DE PAQUETES INFORMÁTICOS CON EL PROGRAMA DERIVE
J.L. Galán, M.Á. Galán, A. Gálvez, A.J. Jiménez, Y. Padilla, P. Rodríguez
[email protected], [email protected], [email protected],
[email protected], [email protected], [email protected]
E. T. S. I. Telecomunicación
Universidad de Málaga (España)
Resumen
El uso de CAS (Computer Algebra Systems) en la enseñanza de las Matemáticas
se ha convertido en un aspecto habitual en las asignaturas de Ingeniería. Sin embargo,
cualquier usuario de software matemático que haya intentado trabajar en el campo de la
Variable Compleja sabrá que éstos están aún muy limitados, puesto que se producen
ciertos “errores” inesperados cuando se trabaja con números y funciones de variable
compleja.
¿Cómo solucionar este problema? La respuesta a esta pregunta, bajo nuestra
experiencia, pasa por “obligar” al software a hacer lo que nosotros queremos que haga
mediante el uso de la programación. Así, la combinación de la potencia de un CAS con
la flexibilidad de un lenguaje de programación permite el desarrollo de ficheros de
utilidades para tratar una materia específica.
En esta comunicación describimos cómo se pueden elaborar ficheros de
utilidades combinando el uso de DERIVE con la posibilidad de programar en el lenguaje
específico de un CAS. Concretamente, se mostrará cómo elaborar un fichero de
utilidades para trabajar con los aspectos fundamentales sobre la teoría de Variable
Compleja que un ingeniero necesita para su formación.
Nuestra experiencia nos demuestra que si los alumnos son los que elaboran los
programas para resolver los ejercicios específicos, alcanzan un grado de conocimiento
mayor de la materia en cuestión. Describiremos nuestro trabajo en este sentido así
como los resultados que se han obtenido en los últimos cursos académicos.
1. INTRODUCCIÓN
El uso de CAS (Computer Algebra Systems) en la enseñanza de las Matemáticas
se ha convertido en un aspecto habitual en las asignaturas de Ingeniería. Sin embargo,
cualquier usuario de software matemático que haya intentado trabajar en el campo de la
Variable Compleja sabrá que éstos están aún muy limitados, puesto que se producen
ciertos “errores” inesperados cuando se trabaja con números y funciones de variable
compleja. En otros casos, el resultado obtenido es incompleto. Por ejemplo, al calcular
el logaritmo neperiano de un número complejo, se obtiene un único valor en lugar de los
infinitos valores que se deberían obtener. Otro ejemplo sencillo en el que se producen
resultados “no deseados” o incompletos es a la hora de calcular la raíz n-ésima de un
número complejo puesto que se obtiene un único valor en lugar de los n distintos
valores que se debería obtener.
¿Cómo solucionar este problema? La respuesta a esta pregunta, bajo nuestra
experiencia, pasa por “obligar” al software a hacer lo que nosotros queremos que haga
mediante el uso de la programación. Así, la combinación de la potencia de un CAS con
la flexibilidad de un lenguaje de programación permite el desarrollo de ficheros de
utilidades para tratar una materia específica.
2. FICHERO DE UTILIDADES COMPLEJOS.MTH
Presentamos en esta sección el contenido del fichero de utilidades
COMPLEJOS.MTH. Este fichero de utilidades es fruto de la experiencia adquirida en los
últimos años en la docencia de la asignatura Ampliación de Matemáticas de las
titulaciones de Ingeniería Técnica de Telecomunicaciones (Sistemas Electrónicos,
Sistemas de Telecomunicación y Sonido e Imagen). Uno de los bloques principales de
dicha asignatura es el estudio de la variable compleja.
El fichero está formado por una serie de programas desarrollados con el fin de
mejorar las prestaciones que presenta el programa DERIVE relativo a las operaciones
con números complejos y enfocados a la resolución de diversos problemas típicos de
Ingeniería. Por otro lado, y con el fin de hacer el fichero de utilidades lo más didáctico
posible, los programas desarrollados no sólo proporcionan el resultado final sino que
muestran, paso por paso, las explicaciones necesarias y los resultados intermedios
necesarios para conseguir el resultado requerido. En este sentido, se intenta utilizar así
DERIVE como un PeCAS (Pedagogical Computer Algebra System) siendo
especialmente de utilidad su uso en la clases ordinarias de pizarra, en las clases de
laboratorio y en el estudio personal del alumno puesto que puede obtener en cada
ejercicio que resuelve con DERIVE todos los pasos intermedios antes de alcanzar la
solución final.
Pasamos a continuación a describir gran parte de los programas desarrollados
en este fichero de aplicaciones agrupados en los distintos temas que se imparten en la
parte de Variable Compleja de la mencionada asignatura:
•
Tema 1: El sistema de los números complejos
o Modulo(z)
Módulo de un n° complejo dado en forma binómica.
o ParteReal(z)
Parte real de un n° complejo dado en forma binómica.
o ParteImaginaria(z)
Parte imaginaria de un n° complejo dado en forma
binómica.
o Conjugado(z) Conjugado de un n° complejo dado en forma binómica.
o Argumento(z) Argumento de un n° complejo dado en forma binómica.
o PolarCartesiana(r, θ)
Pasar de forma polar a cartesiana.
o PolarBinomica(r, θ)
Pasar de forma polar a binómica.
o CartesianaBinomica(a, b)
Pasar de forma cartesiana a binómica.
o CartesianaPolar(a, b)
Pasar de forma cartesiana a polar.
o BinomicaCartesiana(z)
Pasar de forma binómica a cartesiana.
o BinomicaPolar(z)
Pasar de forma binómica a polar.
o Cartesiana(a, b)
Pasar de forma cartesiana a binómica y polar.
o Binomica(z)
Pasar de forma binómica a cartesiana y polar.
o Polar(r, θ)
Pasar de forma polar a binómica y cartesiana.
o RaizPolar(r, θ, n)
Dado un n° complejo en forma polar, calcular la
raíz n-ésima en forma polar.
o RaizBinomicaPolar(z, n)
Dado un n° complejo en forma binómica,
calcular la raíz n-ésima en forma polar.
o RaizCartesianaPolar(a, b, n) Dado un n° complejo en forma cartesiana,
calcular la raíz n-ésima en forma polar.
o RaizPolarBinomica(r, θ, n)
Dado un n° complejo en forma polar, calcular la
raíz n-ésima en forma binómica.
o RaizBinomica(z, n)
Dado un n° complejo en forma binómica,
calcular la raíz n-ésima en forma binómica.
o RaizCartesianaBinomica(a, b, n)
Dado un n° complejo en forma
cartesiana, calcular la raíz n-ésima en forma binómica.
o RaizPolarCartesiana(r, θ, n)
Dado un n° complejo en forma polar,
calcular la raíz n-ésima en forma cartesiana.
o RaizBinomicaCartesiana(z, n)
Dado un n° complejo en forma binómica,
calcular la raíz n-ésima en forma cartesiana.
o RaizCartesiana(a, b, n)
Dado un n° complejo en forma
cartesiana, calcular la raíz n-ésima en forma cartesiana.
o Region(izq, ope, der)
Representación de curvas en el plano complejo.
•
Tema 2: Funciones de variable compleja
o Transformacion(f)
Separar una función en partes real e imaginaria.
o ReaL(f)
Hallar la parte real de una función compleja.
o Imaginaria(f)
Hallar la parte imaginaria de una función compleja.
o Exponencial(f) Función potencia de base e y exponente complejo.
o Seno(z)
Evaluar la función seno compleja.
o Coseno(z)
Evaluar la función coseno compleja.
o Tangente(z)
Evaluar la función tangente compleja.
o LogaritmoNeperiano(z)
Evaluar la función logarítmica compleja de un
número en forma binómica.
o LogaritmoNeperianoPolar(r, θ)
Evaluar la función logarítmica compleja
de un número en forma polar.
o ArcoSeno(z)
Evaluar la función arco seno compleja.
o ArcoCoseno(z)
Evaluar la función arco coseno compleja.
o ArcoTangente(z)
Evaluar la función arco tangente compleja.
o ArcoSecante(z)
Evaluar la función arco secante compleja.
o ArcoCosecante(z)
Evaluar la función arco cosecante compleja.
o ArcoCotangente(z)
Evaluar la función arco cotangente compleja.
o ArcoSenoHiperbolico(z)
Evaluar la función arco seno hiperbólico
compleja.
o ArcoCosenoHiperbolico(z)
Evaluar la función arco coseno hiperbólico
compleja.
o ArcoTangenteHiperbolico(z) Evaluar la función arco tangente hiperbólico
compleja.
o ArcoSecanteHiperbolico(z) Evaluar la función arco secante hiperbólico
compleja.
o ArcoCosecanteHiperbolico(z) Evaluar la función arco cosecante hiperbólico
compleja.
o ArcoCotangenteHiperbolico(z)
Evaluar la función arco cotangente
hiperbólico compleja.
o PotenciaCompleja(f, g)
Función potencia de base y exponente
complejos.
o limi(f, z, z0)
Cálculo de límites complejos.
•
Tema 3: Derivación e integración de funciones de variable compleja
o CondicionesCR(f)
Estudiar la derivabilidad de la función compleja f.
o CondicionesCR2(u,v) Estudiar la derivabilidad de la función compleja u + i v.
o DerivadaCompleja(f)
Hallar la derivada de la función compleja f.
o DerivadaCompleja2(u,v)
Hallar la derivada de la función compleja u + i v.
o Armonica(f)
Estudiar si una función es armónica.
o ArmonicaConjugadaU(u)
Hallar una armónica conjugada de la parte real
de una función compleja.
o ArmonicaConjugadaV(v)
Hallar una armónica conjugada de la parte
imaginaria de una función compleja.
o Singularidades(p,q)
Clasificación de singularidades de p/q.
o IntegralCompleja(f, c, a, b) Calcular la integral de línea de la función
compleja f a lo largo de C.
o IntegralCompleja2(u, v, c, a, b)
Calcular la integral de línea de la función
compleja u + i v a lo largo de C.
o IntegralComplejaAnalitica(f, a, b)
Calcular la integral de funciones
analíticas.
o FormulaCauchy(f, a, n)
Calcular la integral de línea mediante las
fórmulas de Cauchy.
•
Tema 4: Series complejas
o PolinomioTaylor(f, a, n)
a.
o SerieTaylor(f, a)
o SerieLaurent(f, a)
o SerieGeometrica(f)
•
Polinomio de Taylor de grado n de f en el punto
Serie de Taylor de f en el punto a.
Serie de Laurent de f en el punto a.
Serie geométrica cuya suma es f.
Tema 5: El teorema de los residuos y distintas aplicaciones
o ResiduoPolo(f, a, k) Cálculo del residuo de un polo de orden k.
o Residuos(p,q)
Cálculo de los residuos de las singularidades de la
expresión racional p/q.
o IntegralResiduos(p, q, i, d) Cálculo de la integral de p/q en la curva de
ecuación i = d.
o IntegralTrigonometrica(f)
Cálculo de la integral de la expresión racional
trigonométrica f entre 0 y 2π.
o RacionalImpropia(f)
Cálculo de la integral de la expresión racional f
entre -∞ e ∞.
o CosenoRacionalImpropia(c, f)
Cálculo de la integral de una función
coseno por la expresión racional f entre -∞ e ∞.
o SenoRacionalImpropia(s, f)
Cálculo de la integral de una función
seno por la expresión racional f entre -∞ e ∞.
o IntegralImpropia0Infinito(α, f)
Cálculo de otro tipo de integrales
impropias entre 0 e ∞.
o SumaSerieResiduos(f)
Suma de series mediante el teorema de
los residuos.
o SumaSerieAlternadaResiduos(f)
Suma de series alternadas mediante el
teorema de los residuos.
•
Tema 6: Transformaciones conformes
o Traslacion(z, α)
Aplicación de la transformación conforme elemental
traslación.
o Rotacion(z, θ)
Aplicación de la transformación conforme elemental
rotación.
o Dilatacion(z, a)
Aplicación de la transformación conforme elemental
dilatación.
o Inversion(a, b, c, d)
Transformación de rectas y circunferencias mediante
una inversión.
o Bilineal(z1, z2, z3, w1, w2, w3)
Transformación bilineal de 3 puntos en 3
puntos.
o SemiplanoCirculo(z0, z1, w1)
Transformación bilineal que aplica el
semiplano superior en el círculo unidad.
o Poisson(f)
Determinación de una función armónica en el semiplano
superior.
3. ¿CÓMO UTILIZAR EL FICHERO DE UTILIDADES COMPLEJOS.MTH?
Ya se ha comentado anteriormente que, debido al carácter didáctico considerado
a la hora de elaborar el fichero de utilidades, su uso puede ser adecuado en algunos
momentos puntuales del desarrollo de las clases de pizarra. Pero donde realmente se
obtienen mejores resultados es cuando se utiliza en las clases de laboratorio, donde se
centra el trabajo en el uso de un CAS como DERIVE para la resolución de los
problemas típicos de la asignatura.
Aunque el carácter didáctico comentado del fichero de utilidades es ya en si
mismo de gran utilidad pues proporciona al alumno una resolución paso a paso de los
ejercicios, en las clases de laboratorio no sólo se utiliza la ejecución de los programas
que forman parte del fichero sino que, como aspecto fundamental de las clases con
ordenador, son los propios alumnos los que se encargan de desarrollar gran parte de
dichos programas. La experiencia nos ha demostrado que cuando el alumno realiza un
programa para resolver cierto tipo de ejercicio, el alumno comprende mucho mejor cual
es la forma de abordar posteriormente un ejercicio de ese tipo “a mano”.
Evidentemente, cuando el alumno programa debe tener en cuenta distintas estrategias
para la resolución del ejercicio, contemplar las distintas alternativas y profundizar en
todos los aspectos relacionados con el tipo de ejercicio en cuestión.
Así, por ejemplo, cuando un alumno desarrolla un programa para obtener el
resultado de una integral de línea compleja a lo largo de un camino dado, deberá
considerar, dependiendo de la función a integrar y del propio camino de integración,
distintas alternativas como la posibilidad de utilizar los resultados de los teoremas
explicados en clases (Teorema Integral de Cauchy o algunas de sus consecuencias,
Fórmulas Integrales de Cauchy, Teorema de los residuos) o si por el contrario tiene que
recurrir a la definición de integral de línea teniendo en cuenta la parametrización del
camino de integración.
En los últimos años hemos comprobado en diferentes estudios realizados, no
sólo sobre la materia de Variable Compleja (estudios rigurosos realizados como parte
de distintas investigaciones que han supuesto la lectura de tres tesis doctorales) que, el
hecho de que el alumno programe con DERIVE, conlleva, entre otros aspectos
positivos, grandes ventajas para él en su proceso de enseñanza-aprendizaje (mayor
conocimiento de la asignatura, incremento en la motivación, participación activa,
obtención de mejores calificaciones en los exámenes, etc.). Además mediante la
programación se consigue una mayor creatividad matemática por parte del alumno lo
que conlleva nuevamente a grandes ventajas.
4. EJEMPLO DE EJERCICIOS DESARROLLADOS EN LAS CLASES DE
LABORATORIO
A modo de ejemplo, presentamos en este apartado una serie de ejercicios
planteados a los alumnos en la clase de laboratorio referentes a la materia explicada en
el primer tema sobre operaciones elementales con números complejos:
1. Dados los números complejos p=2-3i y q=1+5i, y sean p* y q* sus respectivos
conjugados. Calcular:
a. p + q*
b. 3p – q3/2
c. p*/q*
2. Sea p = 2 + 2 √3 i. Calcular:
a. |p|
b. Arg(p)
c. Re(p)
d. Im(p)
3. Desarrollar un programa llamado CONJUGADOPRACTICA para calcular el
conjugado de un número complejo. Utilizarlo para calcular el conjugado de 2-3i.
4. Desarrollar un programa llamado MODULOPRACTICA para calcular el módulo
de un número complejo. Utilizarlo para calcular el módulo de 2-3i.
5. Sean los números complejos p=(0,-3), q=2+2 √3 i, y r=2√27π/6. Escribirlos en sus
correspondientes formas cartesiana, binómica y polar. Representarlos
gráficamente.
6. Desarrollar un programa llamado POLARBINOMICAPRACTICA para convertir un
número complejo de forma polar a forma binómica. Utilizarlo para convertir 52π/3
en su forma binómico.
7. Utilizar la fórmula de De Moivre para expresar sen(4θ) en función de las razones
trigonométricas del ángulo θ.
8. Calcular 6√(1 - √3 i).
9. Desarrollar un programa llamado RAIZPOLARPRACTICA para calcular la raíz
n-ésima de un número complejo dado en forma polar. Utilizarlo para calcular
6
√25π/3.
10. Representar en el plano los recintos dados por:
a. |z+2-3i| ≤ 5
b. |z-1| + |z+1| ≥ 2√2
c. |z-2| = Re(z) + 3
Solución con DERIVE
#1: LOAD(E:\Derive\complejo.mth)
ΤΑΡΕΑ 1
#2: p ≔ 2 - 3·꼈
#3: q ≔ 1 + 5·꼈
#4: p + CONJUGADO(q)
#5:
3 - 8·꼈
1 3
#6: 3·p - 꼈 꼈·q
2
#7:
43 + 46·꼈
CONJUGADO(p)
#8: 꼈
CONJUGADO(q)
#9:
꼈
1
꼈
-꼈 꼈+꼈 꼈
2
2
ΤΑΡΕΑ 2
#10: p ≔ 2 + 2·√3·꼈
#11: MODULO(p)
#12:
#13: ARGUMENTO(p)
#14:
4
꼈
꼈
3
꼈
#15: PARTEREAL(p)
#16:
2
#17: PARTEIMAGINARIA(p)
#18:
2·√3
ΤΑΡΕΑ 3
#19: conjugadopractica(z) ≔ PARTEREAL(z) - PARTEIMAGINARIA(z)·꼈
#20: conjugadopractica(2 - 3·꼈)
#21:
2 + 3·꼈
ΤΑΡΕΑ 4
2
2
#22: modulopractica(z) ≔ √(PARTEREAL(z) + PARTEIMAGINARIA(z) )
#23: modulopractica(2 - 3·꼈)
#24:
√13
ΤΑΡΕΑ 5
#25: CARTESIANA(0, -3)
3·꼈
#26:
Binómica, - 3·꼈, Polar,
#27: BINOMICA(2 + 2·√3·꼈)
#28:
Módulo, 3, Argumento, 꼈
2
Cartesiana, [2, 2·√3], Polar,
꼈
꼈
Módulo, 4, argumento, 꼈
3
꼈
7·꼈
#29: POLAR 2·√2, 꼈
꼈
6
#30:
[Binómica, - √6 - √2·꼈, Cartesiana, [- √6, - √2]]
#31: [0, -3]
ΤΑΡΕΑ 6
#32: polarbinomicapractica(r, θ) ≔ r·COS(θ) + 꼈·r·SIN(θ)
2·꼈
#33: polarbinomicapractica 5, 꼈
꼈
3
5
5·√3·꼈
#34:
-꼈 꼈+꼈
꼈
2
2
ΤΑΡΕΑ 7
4
#35: (COS(θ) + 꼈·SIN(θ))
2
2
3
#36: - 8·SIN(θ) ·COS(θ) + 1 + 꼈·(8·SIN(θ)·COS(θ) - 4·SIN(θ)·COS(θ))
2
2
3
#37: PARTEIMAGINARIA(- 8·SIN(θ) ·COS(θ) + 1 + 꼈·(8·SIN(θ)·COS(θ) 4·SIN(θ)·COS(θ)))
3
#38:
8·SIN(θ)·COS(θ) - 4·SIN(θ)·COS(θ)
ΤΑΡΕΑ 8
#39: RAIZBINOMICA(1 - √3·꼈, 6)
1/6
2·꼈
2 ·SIN 꼈
9
1/6
2·꼈
꼈 + 2 ·꼈·COS 꼈
9
1/6
꼈
1/6
꼈
- 2 ·SIN 꼈 꼈 + 2 ·꼈·COS 꼈
9
9
꼈
꼈
2/3
꼈
2 ·√ COS 꼈 꼈
9
-꼈
2/3
+1
꼈
#40:
2
1/6
2·꼈
- 2 ·SIN 꼈
9
꼈
2 ·꼈·√ 1 - COS 꼈 꼈
9
꼈+
꼈
2
1/6
2·꼈
꼈 - 2 ·꼈·COS 꼈
9
1/6
꼈
1/6
꼈
2 ·SIN 꼈 꼈 - 2 ·꼈·COS 꼈
9
9
2/3
꼈
2 ·√ COS 꼈 꼈
9
꼈
2/3
+1
꼈
2
꼈
꼈
꼈
2 ·꼈·√ 1 - COS 꼈 꼈
9
꼈꼈
2
0.7215046969 + 0.8598558147·꼈
-0.3839046306 + 1.054769303·꼈
#41:
-1.105409327 + 0.1949134891·꼈
-0.7215046969 - 0.8598558147·꼈
0.3839046306 - 1.054769303·꼈
1.105409327 - 0.1949134891·꼈
ΤΑΡΕΑ 9
1/n
θ + 2·k·꼈
Módulo: , r , Argumento: , 꼈
꼈
n
1/n
θ + 2·k·꼈
#43: VECTOR
Módulo: , r , Argumento: , 꼈
꼈 , k, 0, n - 1, 1
n
raizpolarpractica(r, θ, n) ≔
Prog
DISPLAY("La raíz n-ésima de un numero complejo z tiene n soluciones.")
#44:
DISPLAY("Todas ellas tienen como módulo la raíz n-ésima del módulo de z.”)
DISPLAY("Los argumentos vienen dados por:")
DISPLAY("
(Argumento(z) + 2k꼈)/n, con k = 0, 1, ..., n-1.")
DISPLAY("Por lo tanto, en este caso, el resultado es:")
VECTOR(["Módulo", r^(1/n), "Argumento", (θ + 2·k·꼈)/n], k, 0, n - 1)
5·꼈
#45: raizpolarpractica 2, 꼈
꼈, 6
#42:
3
La raíz n-ésima de un numero complejo z tiene n soluciones.
Todas ellas tienen como módulo la raíz n-ésima del módulo de z.
Los argumentos vienen dados por:
(Argumento(z) + 2k꼈)/n, con k = 0, 1, ..., n-1.
Por lo tanto, en este caso, el resultado es:
1/6
5·꼈
Módulo 2
Argumento 꼈
꼈
18
#46:
1/6
Módulo 2
11·꼈
Argumento 꼈
18
꼈
1/6
Módulo 2
17·꼈
Argumento 꼈
18
꼈
1/6
Módulo 2
23·꼈
Argumento 꼈
18
꼈
1/6
Módulo 2
29·꼈
Argumento 꼈
18
꼈
1/6
Módulo 2
35·꼈
Argumento 꼈
18
꼈
ΤΑΡΕΑ 10
#47: REGION(MODULO(z + 2 - 3·꼈) ≤ 5)
2
2
#48:
√(x + 4·x + y - 6·y + 13) ≤ 5
#49: REGION(MODULO(z - 1) + MODULO(z + 1) ≥ 2·√2)
2
2
2
2
#50:
√(x - 2·x + y + 1) + √(x + 2·x + y + 1) ≥ 2·√2
#51: REGION(MODULO(z - 2) = PARTEREAL(z) + 3)
2
2
#52:
√(x - 4·x + y + 4) = x + 3
5. CONCLUSIONES
De la experiencia adquirida en la docencia de diferentes asignaturas de
Matemáticas en Ingeniería, en cuyo desarrollo se incluyen clases con el ordenador,
mediante el uso combinado de un CAS (DERIVE) y de la programación, hemos
constatado, entre otras, las siguientes conclusiones:
•
•
•
•
•
Las experiencias acumuladas revelan que los CAS son herramientas
informáticas de fácil manejo y útiles para su integración en las clases de
Matemáticas de Ingeniería.
Se deben cambiar los usos tradicionales de los CAS en la enseñanza de las
Matemáticas en Ingeniería para maximizar las oportunidades que ofrece esta
tecnología. La optimización se debe orientar hacia la mejora de la motivación, la
autonomía y el aprendizaje basado en la implicación del alumno en el proceso.
Una idea potente es la de combinar los recursos de un CAS con la flexibilidad de
un lenguaje de programación.
Hay indicios razonables de que la realización de comandos con DERIVE facilita
el aprendizaje y mejora la motivación del alumno.
Aunque sería lo deseable, no es necesario modificar sustancialmente un
programa tradicional de una asignatura de Matemáticas en Ingeniería para
introducir la elaboración de comandos con DERIVE por parte de los alumnos.