1. Espiritual

Bolet´ın de la Asociaci´
on Matem´atica Venezolana, Vol. IX, No. 1 (2002)
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LIBROS
El Sentido Num´erico: C´omo la Mente Crea las
Matem´aticas, por Stanislas Dehaene
Rese˜
nado por V´ıctor Padr´on
The Number Sense: How the Mind Creates Mathematics
Stanislas Dehaene, Oxford University Press, 1997. ISBN: 0-19-513240-8
1
En 1954, en pleno auge del constructivismo de Piaget, Tobias Dantzing
escribi´o:
“El ser humano, a´
un en sus estados primarios de desarrollo, posee
una facultad la cual, por no encontrar un nombre mejor, llamar´e
sentido num´erico. Esta facultad le permite reconocer que algo ha
cambiado en una colecci´on peque˜
na cuando, sin su conocimiento
directo, un objeto ha sido eliminado o agregado a la colecci´
on”1
Este punto de vista que proclama la existencia de facultades cognoscitivas
innatas en el cerebro humano, se encuentra en abierta contradicci´
on con la
tesis sustentada por Piaget seg´
un la cual el cerebro humano, partiendo de cero,
construye todas sus estructuras cognoscitivas por medio de un proceso dial´ectico
de interacci´
on con el mundo circundante. Este proceso se llevar´ıa a cabo, a partir
del mismo momento del nacimiento, a lo largo de distintas etapas claramente
diferenciadas. De acuerdo a esta teor´ıa el concepto de n´
umero no comienza a
formarse en el cerebro del ni˜
no antes de los cuatro o cinco a˜
nos. Cabe entonces
preguntarse: ¿Cu´
al de estos dos planteamientos se ajusta mejor a la realidad?
Stanislas Dehaene, un matem´
atico convertido en neuropsic´
ologo, nos da su
respuesta a esta interrogante en el libro“The Number Sense: How the mind
Creates Mathematics”. A partir de un an´
alisis amplio y detallado de experimentos recientes en el campo de la neurolog´ıa, Dehaene apoya el punto de vista
de Tobias Dantzing y se˜
nala que por lo menos este aspecto del constructivismo
de Piaget est´a equivocado.
Dehaene sustenta la tesis de que ciertas facultades num´ericas se encuentran
gen´eticamente impresas en nuestro cerebro las cuales, como nuestra facultad
para distinguir colores, son el resultado de un proceso evolutivo de adaptaci´
on
por selecci´on natural. Este sentido num´erico es el punto de partida para la
construcci´on de un “´
organo cerebral” dedicado a la representaci´
on aproximada
1 Dantzig,
T. (1954). Number: The Language of Science. New York, The Free Press.
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libros : S. DEHAENE, The Number Sense
y geom´etrica de los conceptos num´ericos, el cual sirve de base intuitiva para la
adquisici´
on y manipulaci´
on de las nociones aritm´eticas elementales.
A lo largo de su libro Dehaene aborda algunas de las consecuencias que estos
hallazgos tienen en la pedagog´ıa, pr´
actica y filosof´ıa de la matem´atica. En lo
pedag´
ogico se validan los m´etodos de ense˜
nanza que parten de la formulaci´
on de
ejemplos concretos, con la finalidad de estimular el razonamiento intuitivo del
ni˜
no, para construir progresivamente los conceptos abstractos. Este proceso no
es muy distinto al que se lleva a cabo durante la invenci´
on matem´atica, en donde
la participaci´
on del razonamiento intuitivo ha sido ampliamente documentada.
En el terreno filos´
ofico Dehaene busca una conciliaci´
on entre Platonismo e Intuicionismo a partir de una visi´
on semiemp´ırica de la actividad matem´
atica que
se enmarca en su concepci´on evolucionista del proceso de conocimiento.
2
Los experimentos en neurociencia expuestos a lo largo del libro sustentan la
tesis de que en el dominio de la aritm´etica elemental nuestro cerebro utiliza al
menos dos formatos para representar los n´
umeros.
Un formato simb´
olico, sustentado en nuestras facultades de lenguaje, para
la manipulaci´
on exacta de signos y algoritmos num´ericos; y un tipo de representaci´on independiente del lenguaje, localizado en los circuitos del cerebro
asociados con lo visual y espacial, que es usado para el c´alculo aproximado de
cantidades num´ericas. Nuestras habilidades en aritm´etica elemental ser´ıan el
resultado de una integraci´
on din´
amica de estos dos tipos de representaci´on.
Dehaene destaca que ya von Neuman se hab´ıa adelantado a estos descubrimientos con una visi´
on acertada del cerebro humano como una m´
aquina mixta
an´
alogo-digital:
“...los procesos que se llevan a cabo a trav´es del sistema nervioso
podr´ıan, como lo he se˜
nalado antes, cambiar su car´
acter de digital
a anal´
ogico y de regreso a digital, etc., repetidamente. Los pulsos
nerviosos, es decir la parte digital del mecanismo, podr´ıan controlar
una parte de tales procesos, por ejemplo la contracci´
on de un cierto
m´
usculo o la secreci´on de una sustancia qu´ımica espec´ıfica. Estos
son fen´
omenos pertenecientes a la clase anal´ogica, pero podr´ıa ser
el origen de una cadena de impulsos nerviosos que se originan al ser
´estos percibidos por los receptores internos adecuados”2
La representaci´on de tipo simb´
olico, al estar sustentada en el lenguaje, es
propia de la especie humana y pareciera pertenecer principalmente al dominio
de la mente consciente. La representaci´on anal´
ogica podr´ıa estar relacionada
con las facultades num´ericas que se observan en los reci´en nacidos y en algunos
2 von Neumann, J. (1958). The Computer and the Brain. New Haven, CT: Yale University
Press.
libros : S. DEHAENE, The Number Sense
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animales, est´a ubicada en el plano inconsciente y parece servir de soporte intuitivo a la representaci´
on simb´
olica.
A partir de la descripci´
on de algunos experimentos ingeniosos Dehaene distingue los siguientes estadios en el desarrollo del sentido num´erico del ni˜
no:
1. Los reci´en nacidos r´
apidamente distinguen dos objetos de tres y quiz´
as
tres de cuatro, mientras que sus o´ıdos notan la diferencia entre dos y tres
sonidos.
2. Los bebes de al menos seis meses de edad son capaces de reconocer
n´
umeros peque˜
nos de objetos o sonidos y combinarlos en operaciones elementales de sumas y restas.
3. A los quince meses los bebes empiezan a seleccionar espont´aneamente el
mayor entre dos conjuntos de juguetes, mostrando los primeros rudimentos
de comparaci´on num´erica.
Estos son solamente los primeros pasos en la construcci´on de un “´
organo
cerebral”, ubicado en el l´
obulo parietal inferior de nuestro cerebro, que Dehaene
llama de manera metaf´orica “acumulador num´erico”. Esta met´afora sirve para
significar la naturaleza anal´
ogica y no digital de la representaci´
on num´erica
primitiva que se encuentra en nuestros cerebros. Se caracteriza por un tipo de
codificaci´
on aproximada, m´
as parecida a una balanza mec´
anica que a un reloj
digital.
Dehaene destaca dos caracter´ısticas b´asicas en nuestra representaci´on num´erica primitiva que permiten sustentar su tesis del acumulador num´erico. La
primera, llamada “Efecto de la distancia”, se manifiesta experimentalmente
en un aumento considerable del tiempo, medido en milisegundos, que tomamos
para comparar dos n´
umeros en la medida que los n´
umeros son m´as cercanos. Por
ejemplo, en uno de los experimentos documentados llevados a cabo en adultos
se observa de manera sistem´atica que se toma m´as tiempo en decidir que 71
es m´as grande que 65 que la misma decisi´on entre 79 y 65. Esta discrepancia
no podr´ıa ser explicada satisfactoriamente s´ı nuestra representaci´on num´erica
instintiva fuera de tipo digital. No es dif´ıcil imaginar que cualquier algoritmo
num´erico implementado en una calculadora digital tardar´ıa esencialmente el
mismo tiempo, por peque˜
no que ´este sea, en procesar ambos problemas.
La otra caracter´ıstica, llamada “Efecto de magnitud”, es similar a la anterior
pero est´a asociada con el tama˜
no de los n´
umeros a comparar: para distancias
iguales entre los numerales, el desempe˜
no decrece en la medida que los n´
umeros
a comparar se hacen m´as grandes.
Progresivamente, a partir del an´
alisis cuidadoso de numerosos experimentos
conducidos en animales, ni˜
nos y adultos, Dehaene hace surgir la semblanza
del o´rgano en nuestro cerebro que se especializa en el procesamiento num´erico
intuitivo:
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libros : S. DEHAENE, The Number Sense
1. Sus caracter´ısticas lo conectan inequ´ıvocamente con las habilidades protonum´ericas que se encuentran en los animales y ni˜
nos.
2. Sirve de soporte para nuestra representaci´
on num´erica simb´olica. Cada
vez que al cerebro adulto se le presenta un numeral, r´
apidamente lo convierte en una magnitud anal´
ogica interna que preserva las relaciones de
proximidad entre cantidades.
3. Puede codificar con bastante precisi´
on conjuntos cuya cantidad no exceda
3.
4. Tiende a confundir n´
umeros en la medida en que se hagan m´as grandes y
cercanos.
5. Tambi´en tiende a asociar a las cantidades num´ericas con un mapa espacial,
legitimando as´ı la met´afora mental de la l´ınea num´erica orientada en el
espacio. Debido a la observaci´
on 4) esta l´ınea num´erica pareciera estar
codificada en una escala logar´ıtmica.
3
Las implicaciones pedag´ogicas de estos descubrimientos son enormes. Ponen en evidencia la existencia de un mecanismo bidireccional en el aprendizaje
de las matem´aticas que se mueve entre los niveles de la mente consciente e
inconsciente. Al nivel de la mente consciente el ni˜
no codifica los conceptos aritm´eticos a trav´es del uso del lenguaje simb´olico y la memorizaci´on de algoritmos
num´ericos. Sin embargo existe un substrato, ubicado en la profundidad de la
mente inconsciente, en donde se encuentran representadas nuestras facultades
protonum´ericas. Este acumulador num´erico primitivo soporta la adquisici´
on de
las primeras nociones num´ericas elementales. Permite que su asimilaci´on se realice con naturalidad, al tiempo que los nuevos conceptos se van filtrando desde
la mente consciente hacia el subconsciente. Una vez que estos conocimientos
son codificados en el a´mbito intuitivo pueden servir a su vez de apoyo para la
adquisici´
on de otros conceptos, en un proceso din´
amico, complejo y estimulante
que permite la adquisici´
on progresiva de los conocimientos matem´aticos.
Es lamentable que con el tipo de educaci´
on que com´
unmente reciben los ni˜
nos
en el ´ambito escolar, en donde se hace demasiado ´enfasis en los conceptos abstractos y la memorizaci´on rutinaria de tablas y algoritmos num´ericos, se pierda
la continuidad de este proceso. Se estanca el desarrollo del substrato num´erico
instintivo y con ello se derrumba el soporte intuitivo para la adquisici´
on de los
nuevos conceptos. Esto trae consigo la p´erdida de motivaci´
on por parte del ni˜
no,
al hacerse cada vez m´as dif´ıcil y tediosa la memorizaci´on de los conocimientos.
A partir de aqu´ı el fracaso en el aprendizaje de las matem´aticas est´a asegurado.
Dehaene expresa su adherencia a este punto de vista y aboga por la necesidad
de propiciar un tipo de ense˜
nanza que busque generar una respuesta profunda en
libros : S. DEHAENE, The Number Sense
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el ni˜
no, que le permita tomar contacto con sus recursos intuitivos. Propone que
debemos tratar de fundamentar los conocimientos matem´aticos en situaciones
concretas, con la ayuda de recursos gr´
aficos y geom´etricos, env´es del uso exagerado de conceptos abstractos. En breve, nos dice Dehaene, debemos ayudarlos a
que construyan un repertorio rico de “modelos mentales” en aritm´etica.
Este proceso se puede extrapolar y aplicar en los distintos niveles de la
ense˜
nanza, aprendizaje y pr´
actica de la matem´atica. Ha sido ampliamente documentado por Hadamard3 que al menos una porci´
on significativa del proceso de
invenci´
on en matem´atica se lleva a cabo con la participaci´
on de facultades inmersas en el dominio de la mente inconsciente. Despu´es de analizar los resultados
de las entrevistas realizadas a un grupo selecto de investigadores, Hadamard
concluye que durante los per´ıodos cr´ıticos de actividad creativa la mayor´ıa de
ellos evitan no solo el uso de palabras mentales sino tambi´en el uso de signos
mentales de tipo algebraico u otra forma de simbolog´ıa precisa. T´ıpicamente
sustentan sus exploraciones con un lenguaje de im´
agenes vagas, sonidos y hasta
de movimientos musculares. Los experimentos presentados por Dehaene sustentan fehacientemente algunas de estas evidencias. Sobre todo las que se ubican en
el dominio de la actividad mental pre-consciente, con una participaci´
on casi simult´
anea de los dominios consciente e inconsciente. Por otra parte en cuanto al
proceso conocido como incubaci´on, en donde se supone que por largos per´ıodos
la actividad creativa se realiza de manera independiente por el inconsciente,
las investigaciones presentadas por Dehaene no aportan ning´
un sustento experimental. Sin embargo Dehaene expresa su esperanza de que con las t´ecnicas
modernas de imagen cerebral podamos alg´
un d´ıa detectar e interpretar las trazas
sicol´ogicas de este tipo de actividad inconsciente.
4
El punto de vista esbozado hasta ahora sobre la ense˜
nanza y pr´
actica de
la matem´atica se inserta en la corriente filos´ofica del intuicionismo. Para los
intuicionistas la matem´
atica es una creaci´on de la mente humana que se construye a partir de la formalizaci´
on de ciertas intuiciones f´ısicas, num´ericas,
geom´etricas o l´ogicas. Se diferencia del platonismo en que ´este en lugar de
concebir a las matem´aticas como una actividad de origen humano, considera
que las matem´aticas pertenecen a un mundo suprahumano: el mundo de las
ideas. Para los platonistas los humanos no creamos las matem´aticas, las descubrimos. Otra concepci´on filos´
ofica que en este sentido se encuentra m´as
cerca al intuicionismo pero que al mismo tiempo se le contrapone es el formalismo. Para los formalistas las matem´aticas son puramente un juego de manipulaci´
on de s´ımbolos siguiendo un sistema preciso de reglas formales. Los objetos
matem´aticos como los n´
umeros no tienen ninguna existencia real o intuitiva.
3 Hadamard, J. (1945). The Mathematicians Mind: The Psycology of Invention in the
Mathematical Field. Princeton Science Library. Princeton University Press, Princeton, New
Jersey.
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libros : S. DEHAENE, The Number Sense
A´
un cuando podr´ıamos considerar que para los formalistas es natural concebir
a las matem´aticas como un producto de la creatividad humana, en realidad para
ellos las discusiones sobre el origen de los objetos de la matem´atica carecen de
sentido.
Claramente la teor´ıa de los intuicionistas es la que m´
as se acerca a explicar
los procesos mentales que se llevan a cabo en la formaci´on de los conceptos
num´ericos. La estructura de la teor´ıa de n´
umeros est´a sustentada, al menos en
parte, en las intuiciones que surgen de las facultades protonum´ericas ancladas en
el cerebro humano. “Como humanos”, dice Dehaene, “nacemos con intuiciones
sobre n´
umeros, conjuntos, continuidad, iteraciones, l´
ogica y la geometr´ıa del
espacio. Los matem´aticos luchan con la reformulaci´
on de estas intuiciones y
las transforman en sistemas de axiomas l´ogicamente coherentes, pero no hay
garant´ıa de que esto sea completamente posible”. (P´ag. 245) Luego agrega
“De acuerdo al punto de vista evolucionista que yo defiendo,
las matem´aticas son una construcci´
on humana y por lo tanto constituyen necesariamente una empresa imperfecta y revisable”(P´ag.
247)
Aqu´ı Dehaene adopta una postura filos´
ofica m´as reciente y controvertida,
cuyos principales representantes son Karl R. Popper, en la filosof´ıa de la ciencia,
e Imre Lakatos, en la filosof´ıa de la matem´atica. Esta corriente filos´
ofica se
fundamenta en un concepto semiemp´ırico de la pr´
actica matem´atica que surge
de la epistemolog´ıa evolutiva de Popper.
Manteniendo esta perspectiva, pero sin pretender con ello resolver la controversia filos´
ofica que introduce la interrogante de s´ı el universo est´a dise˜
nado
de acuerdo a leyes matem´aticas, Dehaene propone:
“¿No ser´an m´
as bien nuestras leyes matem´aticas, y los principios
organizativos de nuestro cerebro antes de ellas, las que fueron seleccionadas de acuerdo a que tan cerca ellas se amoldan a la estructura
del universo? El milagro de la efectividad de las matem´
aticas, tan
apreciado por Eugene Wigner, podr´ıa ser explicado por evoluci´
on
selectiva, as´ı como el milagro de la adaptaci´
on del ojo a la visi´
on.
Si la matem´atica de hoy es eficaz, podr´ıa ser quiz´
as porque las
matem´aticas ineficaces de ayer fueron brutalmente eliminadas y reemplazadas”(P´
ag. 251)
A´
un cuando confesamos nuestra inclinaci´
on en adoptar la primera parte de
este planteamiento, no le queda a uno menos que admitir que Dehaene muestra
en su u
´ltima frase una visi´
on un tanto simplista de las matem´
aticas. La validaci´
on de las teor´ıas matem´aticas no se basa exclusivamente en la eficacia de
sus aplicaciones. Si bien es cierto que algunas a´reas de las matem´aticas tienen
un origen estrechamente ligado a las ciencias naturales, en otras este v´ınculo se
libros : S. DEHAENE, The Number Sense
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encuentra bastante diluido. La historia de las matem´
aticas est´a llena de ejemplos de teor´ıas que se originaron a partir de motivaciones puramente formales
o est´eticas, alejadas de toda inspiraci´
on con la realidad, que luego terminaron
convirti´endose en resultados de gran utilidad y eficacia para la explicaci´
on de
algunos fen´
omenos naturales. Sin embargo tambi´en existe mucha matem´atica,
quiz´
as la mayor parte de su edificio te´
orico, que no ha encontrado, y posiblemente nunca encontrar´
a, un camino hacia las aplicaciones. Estas no han sido,
como sugiere Dehaene, brutalmente eliminadas y reemplazadas.
En los u
´ltimos par´
agrafos de su libro Dehaene plantea una posible conciliaci´
on entre platonistas e intuicionistas:
“La hip´
otesis de la adaptaci´on parcial de las teor´ıas matem´aticas
a las regularidades del mundo f´ısico quiz´as proporcione las bases para
la reconciliaci´
on entre platonistas e intuicionistas. El platonismo
toca un elemento innegable de verdad cuando insiste en que la realidad f´ısica est´a organizada de acuerdo a estructuras que anteceden
la mente humana. Sin embargo, yo no dir´ıa que esta organizaci´on
es de naturaleza matem´atica. M´
as bien, es la mente humana que la
traduce en matem´atica”(P´
ag. 251)
El debate sigue abierto y ciertamente Dehaene lo alimenta y estimula con
su libro. Presenta de manera organizada y con sentido cr´ıtico los aportes
de la neuropsicolog´ıa al conocimiento de los procesos mentales en la creaci´on
matem´atica. Con ello invita al estudio de las implicaciones de estos resultados
en la ense˜
nanza, pr´
actica y filosof´ıa de la matem´atica.
´n
V´ıctor Padro
´ticas
Escuela de Matema
Universidad de Los Andes
´rida, Venezuela
Me