1. Ingeniería

¿Cómo realizar cálculos algebraicos con expresiones
polinomiales y racionales en la Class Pad?
Prof. Robinson Arcos
INTRODUCCIÓN:
La Aplicación Principal de la Class Pad dispone de comandos que permiten
desarrollar, factorizar y simplificar expresiones algebraicas, en particular, expresiones
polinomiales y racionales.
Cuando se activa el menú secundario [Transformación ►] de los menús
desplegables [Acción] e [Interactivo], aparece un listado de comandos relacionados
con diversos procesos de transformación de expresiones algebraicas en otras
equivalentes.
Los dos primeros comandos de transformación [simplify] y [expand] presentan
la siguiente sintaxis:
a) Para simplificar una expresión algebraica:
simplify(expresión).
b) Para desarrollar una expresión algebraica:
expand(expresión).
En las siguientes secciones de este material instruccional, encontrará ejemplos
del uso de estos dos comandos:
Figura 1
¿Cómo desarrollar expresiones polinomiales y racionales?
Antes de comenzar es necesario realizar en la Aplicación Principal de la ClassPad las siguientes tareas de
limpieza y configuración:
1.
Operación con la Class Pad.
(1)
(2)
Active la Aplicación Principal tocando el icono
del panel de iconos.
Toque [Edit] [Borrar todo] [Acep.] para limpiar el área de trabajo.
(3)
. Toque dos veces [main]. Aparecerán las variables que
Toque el botón
han sido asignadas en otros cálculos. Si este es el caso, toque [Todo]
[Seleccionar todo] [Edit] [Borrar] [Acep.]. Por último, toque [Cerr.] dos
veces para regresar al área de trabajo.
•
(4)
(5)
Estas acciones limpian el administrador de variables.
. Al desplegarse el
Toque en el Panel de Iconos el icono permanente
menú, toque [Configuración ►] [Formato básico].
En el cuadro de diálogo Formato básico realice las configuraciones indicadas
en Figura 2. Finalmente toque [Def.].
•
Bajo esta configuración obtendrá en pantalla los resultados mostrados en
este ¿Cómo…?
1
Figura 2
2.
Desarrolle cada una de las siguientes expresiones:
a)
(2r 6 s 5 t 10 ) 8 (5r 7 s13 t 5 ) 4
b) 7a(7a + 14)
r , s, t ≠ 0
(6r 8 s12 t 9 ) 3 (10r 19 s 7 t 8 ) 6
c) ( y − z ) 2 + ( z − x ) 2 + ( x − y) 2
En el desarrollo de estos tres ejemplos veremos cómo opera la ClassPad en los procesos de desarrollo y
simplificación de expresiones algebraicas :
3.
Operación con la Class Pad.
Solución a la situación problemática a):
(6)
Oprima la tecla
para activar el teclado virtual y toque la lengüeta
para acceder al teclado de plantillas 2D.
(7)
(8)
.
Toque
Utilice el teclado de variables y el teclado numérico para editar en la línea de
entrada la expresión:
(2r 6 s 5 t 10 ) 8 (5r 7 s13 t 5 ) 4
(6r 8 s12 t 9 ) 3 (10r 19 s 7 t 8 ) 6
Para ello, escriba la expresión en la forma:
(2r ^6s^5 t^10)^8(5r ^7s^13 t^5)^4
(6r ^8s^12 t^9)^3(10r ^19 s^7t^8)^6
(9)
Toque
•
.
Se obtiene la expresión
s14 t 25
1350r 62
Figura 3
.
Observe que en este caso, al editar la expresión en la línea de entrada y confirmar con [Ejec] o [EXE], la
calculadora devuelve, en la línea de salida, una expresión equivalente que corresponde al desarrollo indicado en la
expresión original y su respectiva simplificación. Esta es la forma en que opera la ClassPad frente a cocientes con
factores comunes. Ella devuelve en la línea de salida una expresión simplificada.
Solución a la situación problemática b):
Veamos que ocurre al editar la expresión presentada en el inciso b):
(10) El la línea de entrada edite la expresión 7a(7a + 14) .
(11) Toque
.
•
Observará que se obtiene una expresión equivalente a la original, pero en
ella no se ha realizado su desarrollo. En este caso, ejecute la siguiente
instrucción:
(12) Toque [Acción] [Transformación ►] [expand].
(13) Seguidamente toque
•
y luego toque
.
Se obtiene 49a 2 + 98a que corresponde al desarrollo de la expresión
original, esto es, 7a(7a + 14 ) = 49 a 2 + 98a .
2
Figura 4
El botón
trae a la línea de entrada el contenido en la memoria de respuesta. En la memoria de respuesta
queda guardado el último cálculo efectuado después de tocar
u oprimir [EXE]. El uso de la memoria de
respuesta resulta de mucha utilidad en el cálculo y desarrollo de expresiones.
Solución a la situación problemática c):
(14) El la línea de entrada edite la expresión ( y − z ) 2 + ( z − x ) 2 + ( x − y) 2 .
(15) Toque
.
(16) Toque [Acción] [Transformación ►] [expand].
(17) Seguidamente toque
y luego toque
.
•
Se obtiene el desarrollo completo de la expresión.
•
Para visualizar la parte oculta de una expresión que desborda la pantalla,
toque las flechas ► ◄ que aparecen al final o comienzo de la expresión.
Figura 5
El menú [Interactivo] presenta un cuadro de diálogo que permite elegir el desarrollo de una expresión
algebraica o el desarrollo de una expresión racional en fracciones simples.
¿Cómo realizar desarrollos usando el menú Interactivo?
4.
Encuentre la descomposición en fracciones simples de la expresión racional propia
1 − x + 2x 2
x(x 2 + 1)
.
Observación: La descomposición de la fracción en fracciones simples de la fracción propia exige encontrar
constantes A, B, y C, tales que:
1 − x + 2x 2
x(x 2 + 1)
=
A Bx + C
para x ≠ 0
+
x x2 + 1
Al encontrar estas constantes y sustituirlas en el segundo miembro, se obtiene la descomposición en fracciones
simples de la fracción propia.
Solución a la situación problemática planteada:
(18) Toque
.
(19) En la línea de entrada edite la expresión
(20)
(21)
(22)
(23)
1 − x + 2x 2
x(x 2 + 1)
.
Toque
y luego toque
.
Seleccione con el lápiz táctil la expresión ans (Figura 6).
En la barra de menús toque [Interactivo] [Transformación ►] [expand].
En el cuadro de diálogo toque [Fracción parcial]. En el cuadro Variable: toque
Figura 6
y luego toque [Acep.].
•
Obtendrá
1 − x + 2x 2
x(x 2 + 1)
=
1
x−1
. Aquí A = 1 , B = 1 y C = −1 .
+
x x2 + 1
3
Figura 7
5.
Descomponga la fracción:
1502
como la suma de un entero y una fracción propia.
35
a)
b)
x5 + x3 + 2
x 2 + 5x + 3
como la suma de un polinomio y una fracción propia
Solución a la situación problemática a):
En este caso, debe tenerse presente que una fracción numérica es impropia, cuando el numerador es mayor
que el denominador. Una fracción es propia cuando el numerador es menor que el denominador.
(24) Toque [Edit] [Borrar todo] [Acep.] para limpiar la pantalla.
(25) Toque
y edite la fracción
1502
.
35
(26) Toque
.
(27) Toque [Acción] [Transformación ►] [propFrac] [ans] [Ejec].
•
Obtendrá
1502
32
.
= 42 +
35
35
Figura 8
Solución a la situación problemática b):
En este caso, una expresión racional en una variable (cociente de polinomios en una variable) es impropia
cuando el grado del polinomio numerador es mayor o igual al grado del polinomio denominador. Una expresión
racional es propia cuando el grado del polinomio numerador es menor que el grado del polinomio denominador.
(28) Edite la expresión racional
x5 + x3 + 2
x 2 + 5x + 3
.
(29) Toque
.
(30) Toque [Acción] [Transformación ►] [propFrac] [ans] [Ejec].
•
Obtendrá
x5 + x3 + 2
x 2 + 5x + 3
431x + 302
= x 3 − 5 x 2 + 23x − 100 +
.
x 2 + 5x + 3
Figura 9
¿Cómo simplificar expresiones algebraicas?
Veamos ahora cómo opera el comando [simplify]. Este comando permite simplificar, en algunos casos,
expresiones algebraicas de manera directa. Sin embargo, el proceso de desarrollo y simplificación es, en realidad, el
resultado de combinar varios comandos, de acuerdo a la necesidad o interés en un determinado cálculo algebraico.
6.
Simplifique cada una de las siguientes expresiones algebraicas:
a)
x 2 + 8x + 16
para x ≠ −4
x+4
b)
x 2 + 3x − 2
x 2 − 3x − 10
Solución a la situación problemática a):
4
−
5 x + 13
x 2 − 3x − 10
para x ≠ −2, 5
(31) Edite la expresión racional
x 2 + 8x + 16
.
x+4
(32) Toque
.
(33) Toque [Acción] [Transformación ►] [simplify] [ans] [Ejec].
•
Obtendrá
x 2 + 8x + 16
= x + 4 para x ≠ −4 .
x+4
Figura 10
Solución a la situación problemática b):
(34) Edite la expresión racional
x 2 + 3x − 2
x 2 − 3x − 10
−
5 x + 13
x 2 − 3x − 10
.
(35) Toque
.
(36) Toque [Acción] [Transformación ►] [simplify] [ans] [Ejec].
•
Obtendrá
x 2 + 3x − 2
x 2 − 3x − 10
−
5 x + 13
x 2 − 3x − 10
=
x+3
para x ≠ −2, 5 .
x+2
Figura 11
¿Cómo factorizar expresiones algebraicas?
El menú desplegable [Transformación ►], de los menús [Acción] e [Interactivo] dispone de comandos para
factorizar expresiones algebraicas:
Existen tres comandos [factor], [rFactor] y [factorOut] que presentan la siguiente sintaxis:
c) Para factorizar una expresión algebraica:
factor(expresión).
d) Para factorizar una expresión algebraica hasta sus raíces:
rFactor(expresión).
e) Para una expresión algebraica respecto a un factor especificado:
factorOut(expresión, factor especificado).
Factorice la expresión 6x 2 + 7x + 2
7.
Solución a la situación problemática planteada:
(37) En la línea de entrada edite la expresión 6x 2 + 7x + 2 .
(38) Toque
.
(39) Toque [Acción] [Transformación ►] [factor] [ans] [Ejec].
•
Obtendrá la factorización simple 6x 2 + 7x + 2 = (2x + 1)(3x + 2)
Figura 12
5
Observación: Con este comando se obtiene la factorización simple del polinomio. Observe que las raíces del
1
2
y x = − . Es posible obtener una factorización de este polinomio en términos de estas
polinomio son x = −
2
3
raíces. Eso se logra con el comando [rFactor].
(40) Seleccione el polinomio 6x 2 + 7x + 2 en la antepenúltima línea de entrada y
toque
para copiarlo en el portapapeles.
(41) Ubique el cursor en la línea de entrada y toque
para pegar el contenido del
portapapeles en esta línea. Toque [Ejec].
(42) Toque [Acción] [Transformación ►] [rFactor] [ans] [Ejec].
1 ⎞⎛
2⎞
⎛
(43) Obtendrá 6x 2 + 7x + 2 = 6⎜ x + ⎟⎜ x + ⎟ , que es la factorización completa del
2 ⎠⎝
3⎠
⎝
polinomio.
Figura 13
Factorice la expresión 6a + 3a 2 − ab + 3b tomando como factor la expresión 3a .
8.
Solución a la situación problemática planteada:
(44) Toque
y en la línea de entrada edite la expresión 6a + 3a 2 − ab + 3b .
(45) Toque
.
(46) Toque [Acción] [Transformación ►] [factorOut].
(47) Toque
•
.
1
1
⎞
⎛
Obtendrá 6a + 3a 2 − ab + 3b = 3a⎜ a − b + b + 2 ⎟
3
a
⎠
⎝
Figura 14
¿Cómo realizar operaciones de transformación y simplificación de expresiones racionales?
El menú desplegable [Transformación ►], de los menús [Acción] e [Interactivo] dispone del comando
[combine] que transforma y simplifica expresiones racionales.
Este comando presenta la siguiente sintaxis:
f)
9.
Para transformar y simplificar una expresión algebraica:
combine(expresión).
Transforme y simplifique cada una de las siguientes expresiones racionales:
2p
a)
x−3 x+3
12x
−
+
x + 3 x − 3 x2 − 9
b)
p2 − 1
−
1
p+1
p
p−1
2+
c)
y2 + 4y + 4
y+2
y−4
y 2 − 8 y + 16
+8
y−4
y 2 − 16
6
Solución a la situación problemática a):
. En la línea de entrada edite la expresión
(48) Toque
x−3 x+3
12x
−
+
.
x + 3 x − 3 x2 − 9
(49) Toque
.
(50) Toque [Acción] [Transformación ►] [combine] [ans] [Ejec].
(51)
•
Obtendrá
x−3 x+3
12x
−
+
= 0 para x ≠ −3, 3 .
x + 3 x − 3 x2 − 9
Figura 15
Solución a la situación problemática b):
2p
(52) En la línea de entrada edite la expresión
(53) Toque
p2 − 1
−
1
p+1
p
p−1
.
.
• Aparece una expresión equivalente pero no simplificada.
(54) Toque [Acción] [Transformación ►] [combine] [ans] [Ejec].
2p
•
2
Obtendrá
−
1
p+1
p −1
p
p−1
=
1
para p ≠ 0, − 1, 1 .
p
Figura 16
Solución a la situación problemática c):
2+
(55) En la línea de entrada edite la expresión
y2 + 4y + 4
y+2
y−4
y 2 − 8 y + 16
+8
y−4
.
y 2 − 16
(56) Toque
.
• Aparece una expresión equivalente pero no simplificada.
(57) Toque [Acción] [Transformación ►] [combine] [ans] [Ejec].
2+
•
Obtendrá
y2 + 4y + 4
y+2
y−4
y 2 − 8 y + 16
+8
y−4
= y + 4 para y ≠ −4, − 2, 4 .
y 2 − 16
7
Figura 17
Observación: Cualquier comando puede ser utilizado para transformar parte de una expresión algebraica. En
este caso, primeramente se selecciona la parte de la expresión que se quiere transformar y luego se ejecuta el
comando deseado utilizando el menú [interactivo].
Factorice el numerador y el denominador de la expresión
10.
8z 2 − 16 z
2z 3 − 8 z
y simplifique.
Solución a la situación problemática planteda:
(58) Toque [Edit] [Borrar todo] [Acep.].
(59) En la línea de entrada edite la expresión
8z 2 − 16 z
2z 3 − 8 z
(60) Seleccione el numerador de la expresión editada.
(61) Toque [Interactivo] [Transformación ►] [factor].
•
Se obtiene
.
8 z ( z − 2)
2z 3 − 8z
Figura 18
(62) Seleccione la expresión que se encuentra en la línea de salida y toque
.
(63) Ubique el cursor en la línea de entrada y toque
.
(64) Ahora seleccione el denominador de la expresión.
(65) Toque [Interactivo] [Transformación ►] [factor].
•
Obtendrá la expresión simplificada
8z 2 − 16 z
2z 3 − 8z
=
4
.
z+2
Figura 19
¿Cómo calcular el mínimo común múltiplo y el máximo común divisor de expresiones algebraicas?
Como una de las aplicaciones de la factorización, es el cálculo del mínimo común múltiplo y el máximo común
divisor de una lista de expresiones algebraicas.
11.
Encuentre el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de cada una de las siguientes
listas de expresiones algebraicas:
a) { 756, 84, 231 } .
{
}
b) 4a 2 − 4ab + b 2 , 4a 3b − 4a 2b 2 + ab 3 , 2a 2b 2 c − ab 3 c .
Solución a la situación problemática a):
(66) Borre la pantalla tocando [Edit] [Borrar todo] [Acep.].
(67) Active el teclado virtual matemático tocando la solapa
(68) Toque
.
y edite cada uno de los números separados por comas y
finalmente toque
.
• De esta manera hemos creado una lista.
(69) Seleccione la lista y toque [Interactivo] [Transformación ►] [factor].
•
Se obtiene la misma lista con los números factorizados (Figura 20).
8
Figura 20
•
El mínimo común múltiplo es el producto de los factores comunes y no
comunes con su mayor exponente de los números de la lista factorizada.
(70) En la línea de entrada edite el producto 2 2 × 3 3 × 7 × 11 y toque
.
•
Se obtiene mcm{ 756, 84, 231 } = 8316
•
El máximo común divisor es el producto de los factores comunes con su
menor exponente de los números de la lista factorizada. En este caso
observe que el único factor común con su menor exponente es el 3. En
consecuencia MCD{ 756, 84, 231 } = 3
Figura 21
Solución a la situación problemática b):
{
}
(71) Edite la lista 4a 2 − 4ab + b 2 , 4a 3b − 4a 2b 2 + ab 3 , 2a 2b 2 c − ab 3 c .
(72) Toque
.
(73) Toque [Acción] [Transformación ►] [factor] [ans] [Ejec].
•
{
Se obtiene la lista
deduce que:
{(2a − b)2 , (2a − b)2 ab, (2a − b)ab 2c}. De donde se
}
mcm 4 a 2 − 4 ab + b 2 , 4a 3b − 4a 2b 2 + ab 3 , 2a 2b 2 c − ab 3 c = (2a − b) 2 ab 2 c
{
2
2
3
2 2
3
2 2
3
}
Figura 22
MCD 4 a − 4 ab + b , 4a b − 4 a b + ab , 2a b c − ab c = (2a − b)
El menú desplegable [Cálculo ►] de los menús [Acción] e [Interactivo] dispone de los comandos [gcd] y
[lcm] para el cálculo respectivo del máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de dos expresiones
algebraicas.
12.
Encuentre el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de cada una de las siguientes
listas de expresiones algebraicas:
{
}
b) {a 2 + a − 20, a 2 − 6a + 8, a 2 + 8a + 15 }.
a) 7z 2 − 6 z − 1, 14 z 2 + 2z .
Solución a la situación problemática a):
(74) Borre la pantalla tocando [Edit] [Borrar todo] [Acep.].
(75) Toque [Acción] [Cálculo ►] [gcd].
(76) Seguidamente edite 7z 2 − 6z − 1 toque
(77) Toque
•
.
{
y edite 14z 2 + 2z .
}
Se obtiene MCD 7z 2 − 6 z − 1, 14 z 2 + 2 z = 7z + 1 .
(78) Seleccione en la línea de entrada anterior la lista de las expresiones y toque
.
(79) Ubique el cursor en la línea de entrada y toque [Acción] [Cálculo ►] [lcm].
Figura 23
.
Toque
(80) Toque [Acción] [Transformación ►] [factor] [ans] [Ejec].
•
{
}
Se obtiene mcm 7z 2 − 6 z − 1, 14 z 2 + 2 z = 2 z(7 z + 1)(z − 1) .
Figura 24
9
Solución a la situación problemática b):
(81) Borre la pantalla tocando [Edit] [Borrar todo] [Acep.].
(82) Toque [Acción] [Cálculo ►] [gcd].
(83) Seguidamente edite primeramente a 2 + a − 20 toque
(84) Toque
•
.
{
y edite a 2 − 6a + 8 .
}
Se obtiene MCD a 2 + a − 20, a 2 − 6a + 8 = a − 4 .
(85) Toque [Acción] [Cálculo ►] [gcd].
y edite a 2 + 8a + 15 .
(86) Toque
(87) Toque
•
.
Se obtiene finalmente que
{
}
MCD a 2 + a − 20, a 2 − 6a + 8, a 2 + 8a + 15 = 1 .
•
Para obtener el mínimo común múltiplo se procede de manera análoga.
Continúe usted el problema y obtenga:
{
2
2
2
}
Figura 25
mcm a + a − 20, a − 6a + 8, a + 8a + 15 = (a − 4)(a − 2)(a + 3)(a + 5)
¿Cómo reorganizar expresiones algebraicas respecto a una determinada expresión?
El comando [collect] del menú desplegable [Transformación ►] de los menús [Acción] e [Interactivo]
permite reorganizar expresiones algebraicas respecto de una determinada expresión de interés.
Reorganice la expresión ax + bx − ay − by + a − 1 respecto a la:
13.
a) Variable a
b) Variable b.
c) Expresión a + b.
Solución a la situaciones problemáticas planteadas:
(88) Borre la pantalla tocando [Edit] [Borrar todo] [Acep.].
(89) Edite la expresión ax + bx − ay − by + a − 1 y toque [Ejec].
(90) Seleccione la expresión en la línea de salida y toque
.
(91) Ubique el cursor en la línea de salida y toque [Acción] [Transformación ►]
[collect]
•
.
Se obtiene ax + bx − ay − by + a − 1 = a(x − y + 1) + by − by − 1 .
(92) Toque [Acción] [Transformación ►] [collect]
•
.
Se obtiene ax + bx − ay − by + a − 1 = −b( y − x ) + ax − ay − 1 .
(93) Toque [Acción] [Transformación ►] [collect]
.
•
Se obtiene ax + bx − ay − by + a − 1 = (a + b)(x − y + 1) − b − 1 .
•
Observe en cada uno de estos ejemplos la sintaxis del comando
[collect].
10
Figura 26
¿Cómo evaluar expresiones algebraicas con la ClassPad?
El teclado matemático dispone del operador “⎜” (“with”) que asigna temporalmente un valor a una variable.
Este operador es util en la evaluación de una expresión algebraica.
En cada caso, encuentre el valor correspondiente de la expresión para los valores de las variables
14.
que se indican:
a) ( y + z ) 3 − ( z − x ) 2 − ( x − y) para x = −1 , y = 0 , z = 1 .
a+b+c
.
2
Solución a la situación problemática a):
b) s(s − a)(s − b)(s − c) para s =
(94) Borre la pantalla tocando [Edit] [Borrar todo] [Acep.].
(95) Edite la expresión ( y + z ) 3 − ( z − x ) 2 − ( x − y) y toque [Ejec].
(96) Active el teclado virtual mth y toque
operadores.
para acceder al teclado de
(97) Toque la secuencia de botones
.
•
Se obtiene el valor − 2
Figura 27
Solución a la situación problemática b):
(98) Toque
(99) Toque [Ejec]
y edite la expresión s(s − a)(s − b)(s − c) .
.
(100) Active el teclado virtual mth y toque la secuencia de botones
.
(101) Toque [Acción] [Transformación ►] [combine] [ans] [Ejec].
•
Se obtiene el valor −
(a − b − c)(a − b + c)(a + b − c)(a + b + c)
16
11
Figura 28
15.
PROBLEMAS Y EJERCICIOS:
1. Encuentre el valor correspondiente de cada una de las siguientes expresiones para los valores de las
variables que se indican:
a) s 2 + ( s − b) 2 + ( s − b) 2 + ( s − c) 2 para a = 2 , b = 3 , c = 5 y s =
a+b+c
.
3
b) x + y + z para x = a + 2b − 3c , y = b + 2c − 3a , z = c − 2a − 3b .
c)
4t 2 − 5t
5
para t = − .
4t − 10
2
2. Desarrolle y simplifique cada una de las siguientes expresiones:
a) (a 3 c 7 ) 9
a 4b 8
(b 2 c 4 ) 5 (a 3b 6 c 9 )
b) (2 + 5a − 4b) 2 − ( 4b − 5a − 2) 2
⎛ 5 z 2 − 32z − 21 ⎞ ⎛ 2z 2 − 19z + 35 ⎞
⎟
⎟÷⎜
f) ⎜
⎜ z 2 + 10z + 21 ⎟ ⎜ z 2 + 14 z + 49 ⎟
⎠
⎠ ⎝
⎝
3x − 1
2x 2 − 9x − 5
−
3⎛
2
⎞
⎜ w + 8 w + 16 ⎟
⎜
w 2 − 81 ⎟⎠
⎝
x ( x + z ) + z( x − z )
(z − x )(x + z )
g)
x( x + z ) − z( x − z )
⎛ ( w + 9)( w − 2) ⎞
⎟
e) ⎜⎜
⎟
⎝ w 2 + 2w − 8 ⎠
d) (z − w + x − y)( y − x + z − w )
h)
c) ( x − y + z )((x − y) 2 − y( x − z ) + z 2 )
3
x2 − z2
2x − 1
i)
3x 2 − 14 x − 5
8
3a
3a 2 + 16
+
+
a + 4 4 − a 16 − a 2
3. Factorice cada una de las siguientes expresiones:
a) x 5 − 6x 4 + 9x 3 − 8x 2 + 48 x − 72
b) z 6 − z 4 − 16 z 2 + 16
c) y 5 − 7 y 4 − 2 y 3 + 46 y 2 + 65 y + 25
d) t 5 + 7t 4 − 10 t 3 − 70 t 2 + 9t + 63
4. Descomponga en fracciones simples las siguientes fracciones propias:
a)
4x
(x − 1) 2 (x + 1)
b)
x3 − x − 1
x 2 (x − 1) 3
c)
x 2 + 2x − 1
x3 − x
5. Escriba cada una de las siguientes fracciones impropias como la suma de un polinomio y una
fracción propia:
a)
4x 2 − 3x + 2
4x 2 − 4x + 3
b)
x 3 − 4x − 10
x2 − x − 6
c)
x4 + 1
x(x 2 + 1)
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