1. Espiritual

C´omo lleg´o Planck a la discontinuidad
cu´antica
Emilio Santos
Departamento de F´ısica Moderna
Universidad de Cantabria
April 15, 2008
La historia s´olo puede hacer afirmaciones que est´en apoyadas en pruebas documentales. Sin embargo en el caso de la historia de la f´ısica creo
que es aceptable reconstruir la historia probable de un descubrimiento
te´orico combinando pruebas documentales con conjeturas razonables. En
esta nota tratar´e de argumentar que muy probablemente Planck lleg´o a
la ley hoy denominada de Rayleigh-Jeans antes que estos dos autores.
Esta idea me servir´a como excusa para presentar la l´ınea argumental que
llev´o a Planck a su hip´otesis cu´antica. La historia ha sido contada ya
muchas veces pero el enfoque con el que la presento en esta nota puede
ser de inter´es did´actico. Como es sabido Lord Rayleigh public´o en junio
de 1900 una breve nota en la que deduc´ıa la citada ley, con un factor num´erico err´oneo. El error fu´e subsanado por Jeans en otra nota a´
un
m´as breve en septiembre de 1905 pero antes, en junio de ese a˜
no, Einstein
hab´ıa deducido la expresi´on correcta en el famoso art´ıculo donde introduce la cuantizaci´on de la energ´ıa de radiaci´on (art´ıculo popularmente
conocido como ”del efecto fotoel´ectrico”). La deducci´on de Einstein, que
en su art´ıculo se hace en una l´ınea, se apoya en un resultado anterior de
Planck que ahora comentamos.
El trabajo cient´ıfico de Planck consisti´o inicialmente en el intento de
interpretar el segundo principio de la termodin´amica como una ley absoluta, en contraposici´on con la interpretaci´on estad´ıstica que hab´ıa propuesto Boltzmann. De hecho Planck comparti´o con muchos cient´ıficos la
suspicacia hacia la mec´anica estad´ıstica, la cual no parec´ıa a˜
nadir nada
esencial a la termodin´amica que era una teor´ıa bien fundamentada y
confirmada emp´ıricamente. Se pensaba que si la mec´anica estad´ıstica
se limitaba a dar una interpretaci´on de la termodin´amica sin aportar
1
nuevas predicciones susceptibles de comprobaci´on experimental, entonces
era una mera especulaci´on (filos´ofica) sin inter´es pr´actico. En los u
´ltimos
a˜
nos del siglo XIX la suspicacia hacia la mec´anica est´adistica era mayoritaria entre los f´ısicos consagrados, aunque no entre los j´ovenes. Es bien
sabido que a´
un despu´es de 1900 hubo notables f´ısicos, como Ernst Mach,
y qu´ımicos, como Ostwald (Premio Nobel), que ni siquiera aceptaban la
hip´otesis atomica (la existencia de los ´atomos) como parte de la f´ısica,
sino que la consideraban una mera opini´on sin fundamento cient´ıfico. El
fracaso de Planck en su intento por lograr una interpretaci´on del segundo
principi´o como ley absoluta le llevar´ıa finalmente a la aceptaci´on de las
ideas de Boltzmann, pero esto ocurri´o ya muy cerca del a˜
no 1900.
En 1894 Wilhelm Wien demostr´o, combinando la termodin´amica con
el electromagnetismo de Maxwell, su famosa ”ley de desplazamiento”.
Seg´
un esta ley la energ´ıa, ρ, por unidad de volumen y unidad de intervalo
de frecuencia, de la radiaci´on del cuerpo negro depende de la frecuencia,
ν, y la temperatura absoluta, T , en la forma
ρ (ν, T ) = ν 3 f (ν/T ).
(1)
Esta ley no s´olo simplifica el estudio experimental del espectro del cuerpo
negro, ρ (ν, T ), sino tambi´en su an´alisis te´orico pues reduce una funci´on
de dos variables a otra de una sola, el cociente ν/T. Tambi´en introdujo
Wien una expresi´on concreta para ρ (ν, T ) compatible con la ec.(1) . Por
analog´ıa con la distribuci´on de Boltzmann para las posibles energ´ıas de
un sistema en equilibrio t´ermico a temperatura absoluta T, que contiene
el factor exp(−E/kT ), propuso Wien el siguiente espectro del cuerpo
negro
ρ (ν, T ) = αν 3 exp(−βν/T ).
(2)
Todas las medidas realizadas hasta entonces, y las que se hicieron despu´es
hasta 1900 resultaron en muy buen acuerdo con esta f´ormula de Wien
ec.(2)
Por esta ´epoca comenz´o Planck a interesarse por el problema del
cuerpo negro. Como su intenci´on era usar los m´etodos de la termodin´amica, pens´o que la ley de Wien, ec.(1) , le permitir´ıa estudiar el espectro del cuerpo negro, ρ (ν, T ) , desentendi´endose de la frecuencia para
centrarse en la dependencia con respecto a la temperatura. Con el fin de
estudiar esa dependencia, se propuso eliminar la frecuencia como variable y para ello consider´o, en vez de la radiaci´on, un oscilador arm´onico
el´ectricamente cargado inmerso en ella. As´ı en lugar de la variable ν
va a aparecer ahora una constante, ν0 , que es la frecuencia natural del
oscilador. Usando las frecuencias angulares ω (= 2πν) y ω0 (= 2πν0 ) , lo
2
cual simplifica los c´alculos, la ecuaci´on del movimiento del oscilador en
interacci´on con la radiaci´on se escribe
m
2e2 d3 x
d2 x
2
=
−mω
x
+
eE(t)
−
,
0
dt2
3c3 dt3
(3)
donde e es la carga del oscilador, m su masa y c la velocidad de la
luz. El primer t´ermino del lado derecho es la fuerza de recuperaci´on del
oscilador, el segundo la fuerza debida al campo el´ectrico de la radiaci´on
sobre la carga (la fuerza magn´etica es despreciable si la velocidad es
peque˜
na frente a la de la luz), y el tercer t´ermino es el amortiguamiento
por radiaci´on seg´
un la expresi´on deducida por Lord Rayleigh pocos a˜
nos
antes.
Hoy vemos la ec.(3) como una ecuaci´on diferencial estoc´astica con
un ruido, E(t), de color. Las ecuaciones de este tipo son muy dif´ıciles
de resolver, excepto si son lineales como es nuestro caso. Pero pienso
que Planck no la vi´o as´ı, es decir relacionada con probabilidades (o procesos estoc´asticos), sino como una ecuaci´on diferencial ordinaria donde
el t´ermino E(t) es una funci´on bien definida, aunque desconocida. En
consecuencia Planck dedujo su resultado fundamental trabajando con
promedios temporales, no con promedios de conjunto (estad´ıstico). Utilizando la transformada de Fourier se puede definir el espectro de una
funci´on x(t) (con ciertas condiciones matem´aticas para x(t) que no especificar´e) mediante
Sx (ω) = τlim
→∞
1
4πτ
2
τ
x(t) exp (iωt) dt .
(4)
−τ
Aplicando la transformada de Fourier a la ec.(3) se pueden deducir f´acilmente (m´odulo algunas sutilezas matem´aticas) los espectros de la coordenada x(t) y de la velocidad v(t) = dx/dt a partir del espectro de E(t).
Se obtiene
Sv (ω) = ω 2 Sx (ω) =
e2 ω 2
SE (ω) .
2
m2 (ω 2 − ω02 ) + (2e2 /3c3 )2 ω 6
(5)
Ahora basta usar el teorema de Parseval (igualdad de la integral del
m´odulo al cuadrado de una funci´on con el m´odulo al cuadrado de su
transformada de Fourier) para obtener la energ´ıa media (promedio temporal) del oscilador
1
U (T ) = m
2
∞
0
Sv (ω) +
ω02 Sx
(ω) dω =⇒ ρ (ν0 , T )
3
8πν02
U (T ). (6)
c3
Para llegar a esta expresi´on se ha tenido en cuenta la relaci´on entre la
energ´ıa radiante por unidad de volumen y el valor cuadr´atico medio del
campo electromagn´etico, que es
∞
0
3 E2
3
E2 + H2
=
=
ρdν =
8π
4π
4π
∞
0
SE (ω)dω,
(7)
donde E se refiere a una componente del campo y hay 6 (3 de E y 3 de
H) que contribuyen por igual. La igualdad tambi´en es cierta para cada
frecuencia (es decir, sin integrar en ν ni en ω = 2πν). En las integrales
ec.(6) la contribuci´on mayor corresponde a frecuencias ω ω0 por lo que
se puede aproximar ω por ω0 en todas partes excepto en la diferencia
ω − ω0 y extender el l´ımite inferior de integraci´on hasta -∞. Las dos
aproximaciones son muy buenas porque (2e2 /3mc3 ) ω0 << 1 para los
osciladores que nos interesan.
La relaci´on ec.(5) deducida por Planck permite estudiar la radiaci´on
del cuerpo negro utilizando un sistema termodin´amico m´as simple que
la radiaci´on, el formado por un conjunto (real, no estad´ıstico) de osciladores de igual frecuencia natural, ν0 . Planck los llam´o resonadores y
los consider´o como un modelo de los ´atomos de las paredes de la cavidad
con los que la radiaci´on debe encontrarse en equilibrio t´ermico. Una vez
obtenida la relaci´on ec.(6) me parece impensable que no diese Planck el
paso siguiente: aplicar el principio de equipartici´on de la energ´ıa, que sin
duda conoc´ıa, asignando el valor kT a la energ´ıa promedio U, lo que da
inmediatamente la ley de Rayleigh-Jeans
8πk 2
ν T.
c3
ρ (ν, T )
(8)
Ciertamente Planck no public´o este resultado, probablemente al darse
cuenta de que es absurdo porque conduce a una energ´ıa total, ec.(7) ,
divergente. La deducci´on de ec.(8)que acabamos de presentar aparece en
el famoso art´ıculo de Einstein de 1905, para indicar enseguida el caracter
absurdo del resultado, lo que Paul Eherenfest calificar´ıa m´as tarde como
“la cat´astrofe del ultravioleta”. La verdad es que muy probablemente
tambi´en Rayleigh lleg´o al resultado ec.(8) bastante antes de 1900 y no se
decidi´o a publicarlo por el mismo motivo. De hecho cuando lo public´o
fu´e para adjuntar una interpolaci´on que coincidiera con las f´ormulas (2)
y (8) a frecuencias altas y bajas (o temperaturas bajas y altas) respectivamente, es decir
ρ (ν, T ) = αν 2 T exp(−βν/T ).
4
(9)
Probablemente Rayleigh pens´o que esa f´ormula era la del espectro del
cuerpo negro y ello justificaba publicarla. Como es bien sabido, la expresi´on correcta del espectro del cuerpo negro no es esa sino la que introdujo Planck pocos meses despu´es. Los pasos que le llevaron a ello fueron
los siguientes.
Ya antes de 1900 observ´o Planck que la ec.(2) de Wien, cuando se usa
para expresar la energ´ıa media del resonador, mediante la ec.(8) , tiene
una dependencia con la temperatura del tipo
U (ν, T ) = C exp(−A/T ),
(10)
donde la frecuencia ν aparece englobada en las constantes C y A (recordemos que, para el resonador, ν no es una variable sino una constante, su
frecuencia natural.) Usando la relaci´on termodin´amica
1
dS
= ,
dU
T
(11)
donde S es la entrop´ıa (la derivada es total, no parcial, porque como
hemos dicho la frecuenca ν no es ahora una variable) se ve que
d
d2 S
=
2
dU
dU
1
T
dU
=
d (1/T )
−1
=−
1
,
AU
(12)
que es una expresi´on particularmente simple. Adem´as esta derivada segunda,
d2 S/dU 2 , se relaciona inmediatamente con dos magnitudes de gran inter´es, la temperatura, T , y el calor espec´ıfico, dU/dT , como se comprueba f´acilmente.
El per´ıodo “heroico” de Planck se inicia el domingo 7 de octubre con
la visita a su casa de su amigo y colega Rubens, quien le comunica que las
primeras medidas efectuadas a frecuencias suficientemente bajas indican
que el espectro del cuerpo negro es proporcional a ω 2 en esa regi´on de
frecuencias. El inmediato inter´es que esa noticia despierta en Planck
me hacen pensar que ya ten´ıa en mente la ley ec.(8) , hoy llamada de
Rayleigh-Jeans, aunque la hubiese desechado como absurda. Conociendo
las relaciones (12) es casi inmediato ver que la ley (8) conduce a una
expresi´on sencilla:
d
d2 S
=
2
dU
dU
1
T
dU
=
d (1/T )
−1
=−
1
,
BU 2
(13)
siendo B una constante. Muy probablemente Planck lleg´o enseguida a
la conclusi´on de que las leyes (2) y (8) correspond´ıan a los l´ımites de
5
altas y bajas frecuencias, respectivamente. Entonces es l´ogico tratar de
interpolar entre ellas, y el modo m´as natural le pareci´o usar la expresi´on
dU
d2 S
=
2
dU
d (1/T )
−1
=−
1
.
AU + BU 2
(14)
De aqu´ı es f´acil obtener U como funci´on de T por integraci´on y resulta
U=
A/B
hν
=
,
exp (A/T ) − 1
exp (hν/kT ) − 1
(15)
para la energ´ıa media (temporal) de un resonador. La segunda igualdad
se obtiene tomando las constantes A y B de las f´ormulas de Wien (2) y
Rayleigh-Jeans (8) . Basta multiplicar por 8πν 2 /c3 (v´ease la ec.(6)) para
obtener
8πhν 3 /c3
,
(16)
ρ (ν, T ) =
exp (hν/kT ) − 1
que es la c´elebre f´ormula de Planck para el espectro del cuerpo negro.
En los d´ıas siguientes al citado 7 de octubre de 1900 Rubens y otros
comprobaron que la f´ormula estaba en completo acuerdo con los experimentos, y ello llev´o a Planck a presentar p´
ublicamente su ley el 19 de
octubre. Se ha dicho que con esa f´ormula Planck introdujo en la f´ısica
dos constante nuevas, k y h. La verdad es que la constante de Boltzmann
k se ven´ıa usando ya en la forma R/N , siendo R la constante de los gases
y N el n´
umero de Avogadro. La constante que s´ı introduce Planck, y
lleva justamente su nombre es h, aunque estaba implicita en la β (= h/k)
de la ec. (2) de Wien.
Una vez obtenida la expresi´on correcta del espectro del cuerpo negro,
era necesario interpretarla y a eso dedic´o Planck los dos meses siguientes.
A partir de la expresi´on de la energ´ıa U en funci´on de la temperatura T
es f´acil determinar la entrop´ıa (del conjunto de resonadores) integrando
la ec.(11) . As´ı se obtiene
S=
k
[(U + hν) log (U + hν) − U log U ] + C.
hν
(17)
Al llegar aqu´ı Planck record´o que expresiones como esta aparec´ıan con
frecuencia en los trabajos de Boltzmann. De hecho el producto N log N
proviene de la aproximaci´on de Stirling para los factoriales
log (N !)
N log N − N.
(18)
Planck se propuso deducir la ec.(17) a partir de la idea de que la energ´ıa
total, rU , de r osciladores, todos de la misma frecuencia natural, se debe
6
obtener suponiendo que esa energ´ıa total se puede considerar repartida
entre los osciladores. El problema es calcular cuantos modos de repartir
existen con la condici´on de que la energ´ıa total sea rU. La idea de Planck
fu´e considerar la energ´ıa como formada por n unidades de valor ε tal
que nε = rU y hacer tender ε → 0 al final del c´alculo. El n´
umero de
modos de reparto, W , deber´a relacionarse con la entrop´ıa, S, mediante
la f´ormula de Boltzmann
S = k log W.
(19)
No es muy dificil ver que el n´
umero de modos de reparto, W , corresponde a las combinaciones de n + r − 1 elementos tomados de n en n (o
de r − 1 en r − 1, lo cual es equivalente), es decir
W =
(n + r − 1)!
.
n!r!
(20)
Al tomar logaritmos y usar la aproximaci´on de Stirling, ec.(18) , se obtiene una entrop´ıa total
rS = k [(n + r − 1) log(n + r − 1) − n log n + C.] ,
(21)
donde se tiene en cuenta que r es un dato (n´
umero de resonadores) mientras que n no lo es. Si ahora se introduce el cambio de variable
ε=
rU
,
n
la ec.(21) conduce a una entrop´ıa por resonador
S=
k
[(U + ε) log (U + ε) − U log U ] + C.,
ε
(22)
que coincide que la f´ormula obtenida previamente, ec.(17) , si hacemos
ε = hν. As´ı llega Planck a la cuantizaci´on de la energ´ıa, lo que ´el dijo
fu´e un “acto de desesperaci´on”. Planck present´o esta interpretaci´on el
14 de diciembre de 1900, que ser´ıa llamado por Sommerfeld “el d´ıa del
nacimiento de la teor´ıa cu´antica”.
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