1. Educación

Funciones. Características - Matemáticas B – 4º E.S.O.
FUNCIONES. CARACTERÍSTICAS
4.1 CONCEPTOS BÁSICOS
3º
4.1.1 DEFINICIONES
3º
Una función liga dos variables numéricas a las que, habitualmente, se les llama
“x” e “y”.
• “x” es la variable independiente.
• “y” es la variable dependiente (depende de la “x”).
3º
La función, que se suele denominar y = f(x), asocia a cada valor de x un único
valor de y : x ⇒ y = f(x)
Para visualizar el comportamiento de una función, recurrimos a su
representación gráfica: sobre unos ejes cartesianos, con sendas escalas,
representamos las dos variables:
• La x sobre el eje horizontal o eje de abscisas.
• La y sobre el eje vertical o eje de ordenadas.
Cada punto de la gráfica tiene dos coordenadas, su abscisa, x, y su ordenada, y.
3º
Se llama dominio de definición de una función, f, y se designa por Dom f o
D(f), al conjunto de valores de x para los cuales existe la función.
3º
Se llama recorrido de f y se designa Rec(f) o R(f), al conjunto de valores que
toma la función. Es decir, al conjunto de valores de y para los cuando hay un x
tal que f(x) = y
4.2 CÓMO SE NOS PRESENTAN LAS FUNCIONES
4º
4º
4º
4º
4.2.1 MEDIANTE SU REPRESENTACIÓN GRÁFICA
Como mejor se puede apreciar el comportamiento global de una función es
mediante su representación gráfica. Por eso, siempre que pretendamos
analizar una función, intentaremos representarla gráficamente, cualquiera que
sea la forma en la cual, en principio, nos venga dada.
4.2.2 MEDIANTE UN ENUNCIADO
Cuando una función viene dada por un enunciado o una descripción, la idea que
nos podemos hacer de ella es, casi siempre, cuantitativamente poco precisa.
Pero si el enunciado se acompaña con datos numéricos, la función puede quedar
perfectamente determinada.
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4º
4º
4º
4º
4.2.3 MEDIANTE UNA TABLA DE VALORES
Con frecuencia se nos dan los datos de una función mediante una tabla de
valores en la cual se obtienen directamente los datos buscados, aunque en otros
casos, hay que efectuar complejos cálculos para obtener lo que se busca.
4.2.4 MEDIANTE SU EXPRESIÓN ANALÍTICA O FÓRMULA
La expresión analítica es la forma más precisa y operativa de dar una función.
Pero requiere un minucioso estudio posterior.
4.3 DOMINIO DE DEFINICIÓN Y EXPRESIÓN ANALÍTICA
4º
4º
4º
4º
4º
4º
4.3.1 DEFINICIÓN
Se llama dominio de definición o simplemente dominio de una función f, y se
designa por D(f) = Dom (f), al conjunto de valores de x para los cuales existe la
función, es decir, para los cuales hay un f(x).
4.3.2 RESTRICCIONES DEL DOMINIO
El dominio de una función puede quedar restringido por una de las siguientes
causas:
• Imposibilidad de realizar alguna operación.
- Valores que anulen el denominador.
- Raíces de índice par de números negativos.
• Contexto real del cual se ha extraído la función.
• Voluntad de quien propone la función.
4.3.3 CÁLCULO DEL DOMINIO DE UNA FUNCIÓN
•
•
•
•
Polinomios: D = R
n(x)
Cocientes : f(x) =
: D = R – {x / d(x) = 0}
d(x )
Raíces de índice impar: D = R
Raíces de índice par: f(x) = n r ( x ) : D = {x/ r(x) ≥ 0}
4.4 RECORRIDO DE UNA FUNCIÓN
4º
4º
4º
4º
4.4.1 DEFINICIÓN
Se llama recorrido de una función f, y se designa por R(f), al conjunto de
valores de y para los cuales existe x, es decir, conjunto de valores que toma la
variable dependiente “y”.
4.4.2 CÁLCULO DEL RECORRIDO
Para calcular el recorrido de una función, se dibuja y luego se estudia sobre el
eje de ordenadas.
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4.5 PUNTOS DE CORTE CON LOS EJES DE COORDENADAS
4º
4.5.1 PUNTOS DE CORTE CON EL EJE DE ABSCISAS, OX
Como el eje de abscisas, tiene de ecuación y = 0, los puntos serán de la forma
(xo,0)
4º
4º
4.5.2 PUNTOS DE CORTE CON EL EJE DE ORDENADAS, OY
Como el eje de ordenadas, tiene de ecuación x = 0, los puntos serán de la forma
(0,yo).
4º
4.6 SIMETRÍA
4º
4.6.1
DEFINICIÓN
Una función es par ó simétrica respecto del eje OY si f(x) = f(-x)
4º
Una función es impar ó simétrica respecto del origen O si f(x) = - f(-x).
Una función que no es par ni impar se dice que es no simétrica.
4.7 DISCONTINUIDADES. CONTINUIDAD
3º
4.7.1
La idea de función continua es la de que puede ser representada con un solo
trazo.
Una función que no es continua presenta alguna discontinuidad.
3º
3º
4º
4.7.2
DEFINICIÓN DE CONTINUIDAD
Una función se llama continua cuando no presenta discontinuidades de ningún
tipo. Una función puede ser continua en un intervalo si solo presenta
discontinuidades fuera de él.
Las funciones con expresiones analíticas elementales son continuas en sus
dominios.
4º
4º
4º
IDEA INTUITIVA
4.7.3
TIPOS DE DISCONTINUIDADES
Varias razones por las que una función puede ser discontinua en un punto:
• Tiene ramas infinitas en ese punto. Es decir, los valores de la función crecen
o decrecen indefinidamente cuando la x se acerca al punto. Se dice que
presenta una discontinuidad inevitable de salto infinito en ese punto.
• Presenta un salto. Se dice que presenta una discontinuidad inevitable de
salto finito en ese punto.
• No está definida (le falta un punto) ó el punto que parece que le falta lo
tiene desplazado. Se dice que presenta una discontinuidad evitable en ese
punto.
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4.8 TENDENCIA Y PERIODICIDAD
3º
4.8.1
Hay funciones en las que, aunque solo conozcamos un trozo de ellas, podemos
predecir cómo se comportarán lejos del intervalo en que han sido estudiadas,
porque tienen ramas con una tendencia muy clara. Estas ramas reciben el
nombre de asíntotas.
Existen tres tipo de asíntotas:
• Asíntotas verticales: x = a
• Asíntotas horizontales: y = b
• Asíntotas oblicuas: y = mx + n
3º
3º
TENDENCIA
4.8.2
PERIODICIDAD
Función periódica es aquella cuyo comportamiento se repite cada vez que la
variable independiente recorre un cierto intervalo. La longitud de ese intervalo
se llama periodo.
3º
4.9 MONOTONÍA, MÁXIMOS Y MÍNIMOS
3º
4.9.1
Una función es creciente cuando al aumentar la x aumenta la y.
Una función es decreciente cuando al aumentar la x disminuye la y.
4º
4º
MONOTONÍA
4.9.2
MÁXIMOS Y MÍNIMOS
4º
Una función presenta un máximo absoluto en un punto cuando es el valor más
alto de su representación gráfica. Este punto debe de ser del dominio.
Una función presenta un mínimo absoluto en un punto cuando es el valor más
bajo de su representación gráfica. Este punto debe de ser del dominio.
3º
Una función presenta un máximo relativo en un punto cuando en dicho punto
la función pasa de creciente a decreciente. Este punto debe de ser del dominio.
Una función presenta un mínimo relativo en un punto cuando en dicho punto la
función pasa de decreciente a creciente. Este punto debe de ser del dominio.
4º
4.9.3
TASA DE VARIACIÓN MEDIA (T.V.M)
4º
Para medir la variación (aumento o disminución) de una función en un intervalo
se utiliza la tasa de variación media.
4º
Se llama tasa de variación media de una función f en el intervalo [a,b] al
cociente entre la variación de la función y la longitud del intervalo.
T.V.M de f en [a,b] =
f ( b ) − f (a )
b−a
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4º
La T.V.M. de f en [a,b] es la pendiente del segmento AB.
4.10 CURVATURA, PUNTOS DE INFLEXIÓN
3º
4º
4.10.1
CURVATURA
Una función es cóncava cuando presenta la siguiente forma: ∩
Una función es convexa cuando presenta la siguiente forma: ∪
4º
4º
4.10.2
PUNTOS DE INFLEXIÓN
Puntos (del dominio) donde la función cambia de curvatura, es decir, pasa de
cóncava a convexa o de convexa a cóncava.
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TEMA 5 – FUNCIONES ELEMENTALES
5.1 DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES LINEALES
3º
5.1.1 - FUNCIONES DE PROPORCIONALIDAD: y = mx
Las funciones de proporcionalidad se representan mediante
rectas que pasan por el origen. Describen una proporción entre
los valores de las dos variables.
La pendiente de la recta es la razón de proporcionalidad.
3º
5.1.2 - FUNCIÓN CONSTANTE: y = n
Se representan mediante una recta paralela al eje X.
Su pendiente es 0.
La recta y = 0 coincide con el eje X.
3º
5.1.3 - FUNCIÓN GENERAL: y = mx + n
Su representación es una recta de pendiente m que corta al eje
Y en el punto (0,n).
Al número n se le llama “ordenada en el origen”.
4º
5.1.4 - ECUACIÓN PUNTO-PENDIENTE: y – y0 = m.(x – x0)
Si conocemos las coordenadas de dos puntos de la recta: P(x1,y1), Q(x2,y2) la pendiente
y − y1
se calcula : m = 2
x 2 − x1
Si de una recta conocemos un punto P(x1,y1) y su pendiente m, la ecuación de la recta
es:
y – y1 = m.(x – x1)
4º
4º
5.1.5 - FUNCIONES LINEALES “A TROZOS”
Es frecuente encontrarnos con funciones cuyas gráficas están
formadas por trozos de rectas.
Para describir analíticamente una gráfica formada por trozos de
rectas, se dan las ecuaciones de los diversos tramos,
enumerando por orden de izquierda a derecha, indicando en
cada uno de los tramos los valores de x para los que la función
está definida.
f1 ( x ) si x ≤ a

Por ejemplo, si tiene tres trozos: f( x) = f 2 ( x ) si a < x < b
f ( x ) si x ≥ b
3
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5.2 PARÁBOLAS Y FUNCIONES CUADRÁTICAS
4º
4º
4º
5.2.1 - FUNCIONES CUADRÁTICAS
Las funciones y = ax2 + bx + c, con a ≠ 0 llamadas
cuadráticas, se representan todas ellas mediante parábolas y
son continuas en todo R.
Cada una de estas parábolas tiene un eje paralelo al eje Y.
Su forma (hacia arriba, hacia abajo, más ancha, más
estrecha,...) depende del coeficiente de la x2 “a”, del siguiente
modo:
• Si dos funciones cuadráticas tienen el mismo coeficiente
de x2, las parábolas correspondientes son idénticas, aunque
pueden estar situadas en posiciones distintas.
• Si a >0 tiene las ramas hacia arriba, es decir, es convexa.
Si a < 0, tiene las ramas hacia abajo, es decir, es cóncava.
• Cuanto mayor sea |a|, más estilizada es la parábola.
4º
5.2.2 - REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES CUADRÁTICAS
4º
Las funciones cuadráticas se representan mediante parábolas y la forma de éstas
depende, exclusivamente, del coeficiente de x2.
Veamos algunos pasos que conviene dar para la representación de: y = ax2 + bx + c
1. Obtención de la abscisa del vértice: Vx = -b/2a
2. Obtención de algunos puntos próximos al vértice: Construcción de una tabla de
valores con el vértice y un par de valores más pequeños y un par de valores más
grandes.
3. Puntos de corte con los ejes:
Con el eje X : y = 0 ⇒ Resolver la ecuación ⇒ Calcular x ⇒ (x0,0)
Con el eje Y : x = 0 ⇒ Sustituir la x por cero y hallar y ⇒ (0,y0)
4. Representación: Escogemos sobre los ejes unas escalas adecuadas que nos
permitan plasmar la información obtenida.
4º
4º
4º
4º
5.2.3 - RECTAS Y PARÁBOLAS
ESTUDIO ANALÍTICO
 y = mx + n
Resolver el sistema: 
2
 y = ax + bx + c
• Si obtenemos dos soluciones: Se cortan en dos puntos ⇒ SECANTES
• Si obtenemos una solución: Se cortan en un punto ⇒ TANGENTES
• Si no obtenemos solución : No se cortan ⇒ EXTERIORES
ESTUDIO GRÁFICO
Se representan las dos funciones en la misma gráfica. Y se clasifican como en el
estudio analítico.
Nota: En algunas funciones a trozos también aparecerán las rectas y las parábolas
conjuntamente.
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5.3 FUNCIONES DE PROPORCIONALIDAD INVERSA
4º
5.3.1 - DEFINICIÓN
4º
Las funciones y = k/x se llaman funciones de proporcionalidad inversa. Se
representan mediante hipérbolas, cuyas asíntotas son los ejes coordenados.
4º
5.3.2 - CÁLCULO DE LÍMITES
±∞ si grado f(x) > grado g(x)
f ( x)  a
lim
=
si grado f(x) = grado g(x) (siendo a y b los coeficientes de mayor grado)
x →∞ g ( x )
b
0 si grado f(x) < grado g(x)
4º
4º
5.3.3 - REPRESENTACIÓN GRÁFICA
4º
•
•
•
Calcular el dominio
Construir una tabla de valores teniendo en cuenta el dominio
Representan teniendo en cuenta las asíntotas.
5.4 FUNCIONES RADICALES
4º
5.4.1 - DEFINICIÓN
4º
Las funciones y =
medias parábolas.
4º
5.4.2 - REPRESENTACIÓN GRÁFICA
4º
•
•
•
f ( x ) se llaman funciones radicales. Su representación gráfica son
Calcular el dominio
Hacer una tabla de valores teniendo en cuenta el dominio, y dando valores a la “x”
de los que sepamos hallar la raíz.
Representación gráfica.
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5.5 FUNCIONES EXPONENCIALES
4º
5.5.1 - DEFINICIÓN
4º
Se llaman funciones exponenciales a las que tienen la ecuación y = ax, siendo la base
a un número real positivo distinto de 1.
4º
Todas ellas son continuas, están definidas en todo R y pasan por los puntos (0,1) y (1,a)
Si a > 1, son crecientes y convexas
Si a < 1, son decrecientes y concavas
4º
5.5.2 - CÁLCULO DE LÍMITES
+ ∞ si a > 1
lim a x = 
x → +∞
si a < 1
0
0
lim a x = 
x → −∞
+ ∞
4º
5.5.3 - REPRESENTACIÓN GRÁFICA
4º
•
•
si a > 1
si a < 1
Tabla de valores : Con valores de x :-∞, -2, -1, 0, 1, 2, +∞
Representación gráfica, teniendo en cuenta las asíntotas.
5.6 FUNCIONES LOGARÍTMICAS
4º
5.6.1 - LOGARITMOS
4º
Se llama logaritmo en base a de b, y se escribe log a b, al exponente al que hay que
elevan la base a para obtener b.
Log a b = c ⇔ ac = b
a > 0, a ≠ 0, b >0
4º
5.6.2 - CÁLCULO DE LOGARITMOS
4º
Los logaritmos en base 10 se llaman logaritmos decimales y se escriben log x
Los logaritmos en base e se llaman logaritmos neperianos y se escriben ln x
Estos son los únicos logaritmos que sabe resolver la calculadora. Para hallar logaritmos
en cualquier otra base, debemos utilizar:
• La definición de logaritmo: log a b = x ⇒ ax = b (Si b es una potencia de a)
log c b log b ln b
• Si b no es potencia de a, la siguiente regla : log a b =
=
=
log c a log a ln a
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4º
5.6.3 - PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS
4º
•
•
•
•
•
4º
5.6.4 - FUNCIONES LOGARITMICAS
4º
Las funciones logarítmicas son inversas de las exponenciales. Es decir son simétricas
respecto de la bisectriz del primer cuadrante.
4º
Descripción de las funciones logarítmicas
• La función logarítmica y = log a x es la inversa o recíproca de la exponencial y = ax
• Su dominio es (0, + ∞) y su recorrido todo R. Tiene una asíntota en x = 0
• Es continua y pasa por los puntos (1,0) y (a,1)
• Si a > 1 es creciente y cóncava. Y si a < 1 es decreciente y convexa
4º
5.6.5 - REPRESENTACIÓN GRÁFICA
4º
Representar gráficamente y = log a x
Loga 1 = 0
Loga a = 1
Log a bc = c. log a b
Log a (b.c) = log a b + log a c
Log a (b:c) = log a b - log a c
Modo 1 :
• Se calcula su función inversa: y = ax
• Se realiza una tabla de valores para la función y = ax
• Se crea una tabla de valores para y = log a x , intercambiando los valores de x e y de
la tabla anterior.
Modo 2 :
Se calcula una tabla de valores con potencias de la base: a-∞, a-2, a-1, a0, a1, a2, a+∞
Modo 3 :
Tabla de valores en su dominio y usar la calculadora.
Se representa sobre unos ejes coordenados con las escalas convenientes.
Funciones elementales - Matemáticas B – 4º E.S.O.
5.7 ECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS
4º
5.7.1 - ECUACIONES EXPONENCIALES
4º
Si no hay sumas:
• Si se pueden poner como potencias de la misma base se igualan los exponentes.
• Si no se pueden poner como potencias de la misma base, se aplica la definición de
logaritmo y se utiliza el cambio de base para calcularlo con ayuda de la calculadora.
4º
Si hay sumas :
• Se quitan las sumas o restas de los exponentes teniendo en cuenta las propiedades
de las potencias: ab+c = ab.ac ; ab-c = ab : ac
• Se realiza el cambio de variable ax = z
• Se plantea la ecuación teniendo en cuenta (a2)x = a2x = z2
• Se resuelve la ecuación en z ⇒ z = z0
• ax = z0 ⇒ Se calcula x como en el caso anterior
4º
5.7.2 - ECUACIONES LOGARÍTMICAS
4º
Aplicando las propiedades de los logaritmos llegaremos a uno de estos dos casos:
• Si log (f(x)) = nº ⇒ Aplicar la definición de logaritmo para obtener una expresión
exponencial.
• Si log (f(x)) = log (g(x)) ⇒ f(x) = g(x) ⇒ Resolver
Nota: Hay que comprobar las soluciones, teniendo en cuenta que las expresiones que
hay dentro de los logaritmos deben ser positivas.
Funciones elementales I - Matemáticas B – 4º E.S.O.
– FUNCIONES ELEMENTALES I
DEFINICIÓN DE FUNCIÓN
Ejercicio 1: Indica cuáles de las siguientes representaciones corresponden a la gráfica de una función.
Razona tu respuesta:
a)
b)
c)
d)
DOMINIO
Ejercicio 2: Calcular el dominio de definición de las siguientes funciones:
1
x
a) y = 2
b) y = 1  2x
c) y = 2
d) y = 2x
x 4
x 6
1
1
1
e) y = 2
f) y =
g) y = 2
h) y = 6  3x
x 4
x  2x
x2
3
x 1
i) y =
j) y = 3 2x  4
k) y =
l) y = x 2  1
2
( x  5)
x
m) y =
x2
x 3
n) y = log2 (x2 – 4)
ñ) y = tag x
PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES DADAS GRÁFICAMENTE
Ejercicio 3 : Observando la gráfica de estas funciones, estudia sus propiedades
a)
b)
c)
d)
Ejercicio 4 : La siguiente gráfica muestra la altura que alcanza una pelota en función del tiempo, desde que
se lanza verticalmente hasta que cae por primera vez al suelo.
a ¿Cuál es el dominio?
b Indica la altura máxima que alcanza y en qué momento.
c ¿Durante cuánto tiempo la altura es superior a 300 m?
d Describe el crecimiento y el decrecimiento de la función y
explica su significado dentro del contexto del problema.
Funciones elementales I - Matemáticas B – 4º E.S.O.
Ejercicio 5 : La siguiente gráfica muestra el recorrido que hizo Cristina durante un día de excursión desde
que salío del albergue hasta que regresó.
a Indica cuál es el dominio.
b ¿Qué distancia máxima se aleja del albergue?
c ¿Cuánto tiempo dedica a descansar?
d Describe el crecimiento y el decrecimiento de la
gráfica y explica su significado dentro del
contexto del problema.
Ejercicio 6 : La siguiente gráfica muestra el volumen de reservas de una cadena hotelera a lo largo de un año:
a ¿Cuál es el dominio?
b ¿En qué mes se produce mayor número
de reservas? ¿Cuántas hay?
c ¿En qué periodo del año las reservas
están por encima de las 15.000?
d ¿En qué mes el número de reservas es
de 5.000?
e Estudia el crecimiento y el
decrecimiento de la función.

Construcción de una gráfica a través de sus propiedades
Ejercicio 7 : La gráfica de una función tiene las siguientes características:
a Dominio de definición: 0, ).
b Crece en 0, 3 y 5, ; decrece en 3, 5.
c El único punto de corte con los ejes es el 0, 0.
d Tiene un máximo relativo en 3, 5 y un mínimo relativo en 5, 1.
e No hay ninguna discontinuidad.
Representa dicha función.

Construcción de gráficas de funciones partiendo de un enunciado
Ejercicio 8 : Marta sale de su lugar de trabajo a las 8 de la tarde en bicicleta y se dirige a un supermercado
situado a 600 m de su trabajo, tardando en llegar 10 minutos. Después de permanecer allí un cuarto de hora,
se va a un restaurante que hay a 1 km del supermercado, tardando 20 minutos en el recorrido. Tras estar 2
horas cenando con unos amigos, se va a su casa situada a 2 400 m del restaurante. Llega a su casa a las 11 y
media de la noche. Representa la gráfica tiempodistancia.
Ejercicio 9 : Pablo y Victor deciden hacer una marcha de 24 km en un día. Salen a las 7 de la mañana del
campamento base y durante 3 h y cuarto andan un trayecto de 12 km a un ritmo constante; deciden descansar
durante media hora para reponer fuerzas. Hasta la una de la tarde continúan andando recorriendo, hasta ese
momento, tres cuartas partes del trayecto total. Dos horas más tarde inician el último tramo del recorrido que
realizan en hora y media, momento en el que descansan 15 minutos. Regresan al campamento base haciendo
una parada de un cuarto de hora a 10 km del final; llegan al campamento a las 8 y media de la tarde.
Representa la gráfica tiempodistancia.
Ejercicio 10 : Un coche tiene que realizar un trayecto de 900 km. Sale del lugar de origen con el depósito
lleno, 44 l. Cuando lleva recorridas dos terceras partes, observa que le queda por consumir la cuarta parte del
depósito y decide repostar, echando 19 l. Nuevamente, a 100 km del final, con la mitad del depósito sin
consumir, vuelve a repostar para tener el depósito lleno. Continúa su trayecto hasta el final, quedándole 3/4
partes de gasolina sin consumir. Representa la gráfica distanciagasolina consumida.
FUNCIONES ELEMENTALES – Matemáticas 4º E.SO.
FUNCIONES ELEMENTALES
RECTAS:
Ejercicio 1 : Representa gráficamente y estudia sus propiedades.
1
3
3
a) y = - x  3 b) 2x + y – 1 = 0 c) y = x  2 d) y = -0,5x + 3,5 e) y =
x 1
2
2
5
Ejercicio 2 : Halla la ecuación de la recta que pasa por (-1,2) y cuya pendiente es -
f) y=
2x  3
4
1
3
Ejercicio 3 : Escribe la ecuación de la recta que pasa por los puntos (3, –4) y (–2, 3).
Ejercicio 4 : Di cuál es la pendiente de cada una de estas rectas: I 2x  y  0
II x  2y  1  0
III y  2
Ejercicio 5 : Escribe la ecuación de la recta cuya gráfica es la siguiente:
a)
b)
c)
Ejercicio 6 : Obtén la ecuación de la recta que pasa por los puntos 2, 1 y 1, 3, y represéntala.
Ejercicio 7 : Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto 1, 3 y tiene pendiente 1.
Ejercicio 8 : Escribe la ecuación de la recta paralela a la recta de ecuación x + 2y = 3 y pasa por el punto
P(2,-3)
PARÁBOLAS:
Ejercicio 9 : Halla el vértice de las siguientes parábolas:
a) y = 2x2 – 10x + 8
b) y = 2x2 – 8x + 2
Ejercicio 10 : Halla los puntos de corte con los ejes de la parábola y = -x2 + 4x
Ejercicio 11 : Representa gráficamente y estudia sus propiedades
a) y = x2 – 3x
b) y = -x2 + 4
c) y = -x2 + 4x – 1
x2
d) f(x) =
e) y = (x + 1)2 – 3
f) f(x) = -2x2 + 4x
 2x  1
2
ESTUDIO CONJUNTO DE RECTAS Y PARÁBOLAS
Ejercicio 12 : Asocia a cada gráfica su ecuación:
a) y = -3x + 5
b) y = (x+2)2
c) y = -
I)
II)
III)
5
x
3
d) y = -4x2
IV)
FUNCIONES ELEMENTALES – Matemáticas 4º E.SO.
Ejercicio 13 : Asocia cada una de estas gráficas con su correspondiente ecuación:
2
a) y = x
b) y = 2x2 – 3
c) y = 3,5x – 0,75
d) y = -x2 + 4
3
I)
II)
III)
IV)
x 2  4 x  y  5
Ejercicio 14 : Resolver analítica y gráficamente a) 
 8 x  y  9
 2 x  3y  6
b)  2
 x  2 x  1
FUNCIONES A TROZOS
3x 2  1 si x  -1

Ejercicio 15 : Halla f 1, f 0 y f 2, siendo: f(x)= x  1 si - 1  x  2
 2
si x  2
x
Ejercicio 16 : Representa gráficamente y estudia sus propiedades
 x
si x  1
 2
 2x  1 si x  1
a) y =  2
b) y = 
c) y =
si x  1
x  2
- x  1 si x  1

2

x

1

si x  - 1
x 2  1 si x  2

d) y = 
e) y =  2
si x  2
3
- x 2
si x  - 1

2 x 2
si x  - 1

2x  4 si x  - 1
PROBLEMAS CON FUNCIONES
Ejercicio 17 : Un cántaro vacío con capacidad para 20 litros pesa 2550 gramos. Escribe la función que nos da
el peso total del cántaro según la cantidad de agua, en litros, que contiene.
Ejercicio 18 : En algunos países se utiliza un sistema de medición de la temperatura distinto a los grados
centígrados que son los grados Fahrenheit. Sabiendo que 10 C  50 F y que 60 C  140 F, obtén la
ecuación que nos permita traducir temperaturas de C a F.
Ejercicio 19 : Con 200 metros de valla queremos acotar un recinto rectangular aprovechando una pared:
a) Llama x a uno de los lados de la valla. ¿Cuánto valen los otros dos lados?
b) Construye la función que nos da el área del recinto.
Ejercicio 20 : El precio por establecimiento de llamada en cierta tarifa telefónica es de 0,12 euros. Si
hablamos durante 5 minutos, la llamada nos cuesta 0,87 euros en total. Halla la función que nos da el precio
total de la llamada según los minutos que estemos hablando.
Ejercicio 21 : El perímetro de un rectángulo es de 30 cm. Obtén la función que nos dé el área del rectángulo
en función de la longitud de la base.
FUNCIONES ELEMENTALES – Matemáticas 4º E.SO.
FUNCIONES RADICALES Y DE PROPORCIONALIDAD INVERSA
Ejercicio 22 : Representa y estudia las propiedades de las siguientes funciones:
a) y = x  1
b) y = - x  2
c) y = 2  x
Ejercicio 23 : Representa y estudia las propiedades de las siguientes funciones:
1
3
2x  3
a) y =
b) y 
2
c) y =
x 1
x4
x3
Ejercicio 24 : Asocia a cada una de las gráficas una de las siguientes expresiones analíticas:
a) y =
1
x4
I)
b) y =
c) y =
x2
II)
1
4
x
d) y =
III)
2x
IV)
Ejercicio 25 : Asocia a cada una de estas gráficas su ecuación:
a) y =
1
x 4
I)
b) y =
c) y =
2x
II)
1
2
x
III)
d) y = -
x 1
IV)
FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS
Ejercicio 26 : Representa gráficamente la siguiente función y estudia sus propiedades
a) y = 3x+1
1
b) y =  
 4
x 2
Ejercicio 27 : Observa la siguiente gráfica:
a)
b)
c) y = 1 – log2 x
c)
a) Halla la expresión analítica de la función correspondiente.
b) Estudia sus propiedades
d) y  log 1 4 x
d)
e) y = 21–x
FUNCIONES ELEMENTALES – Matemáticas 4º E.SO.
ECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS
Ejercicio 28 : Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales y logarítmicas:
a) 2x = 32
b) 3x = 1/9
c) 3x = -1/3
d) (1/3)x = 9
e) log2 16 = x
f) log x 4 = 2
g) log3 1/9 = x
h) log3 x = -2
i) log2 3 = x
j) logx 3 = 2
k) 2x = 5
l) 3x = -2
Ejercicio 29 : Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales y logarítmicas:
a) log(x2 + 1) – log(3x-8) = 1
b) log(20x) + log(2x) = 3
c) log(x + 2) + log(10x +20) = 3
d) log x = log 2 + 2log(x-3)
e) log(3x + 1) – log(2x – 3) = 1 – log 5
f) 4x – 4.2x + 4 = 0
x
1-x
g) 3 + 3 = 42
h) 52x –30.5x + 125 = 0
i) 52x-1 = 25 x  1 4
j) 52x-1 = 25