1. Ciencia

EJEMPLOS RESUELTOS
Ejemplo 1: Supongamos que Ud. Está interesado en comprar una minitienda en
la zona rental de la universidad. El dueño actual afirma que durante los último dos
años el ingreso diario promedio fue de $675 con una desviación estándar de $65.
Con base en esta afirmación se ha fijado el precio de compra del local. Ud. Está
dispuesto a hacer la inversión siempre que sea cierta la afirmación “el ingreso
promedio es de $675”. Es posible que el dueño actual esté exagerando y por lo
tanto Ud. decide llevar a cabo una prueba de hipótesis para verificar la veracidad
de la afirmación hecha por el propietario. Supongamos que dos semanas después,
Ud. tiene información de los ingresos durante 20 días y se observa que el ingreso
promedio de ellos fue de $632. (Use un nivel e significación de 0,05).
a)
b)
c)
d)
e)
¿Cuál es su hipótesis nula?
¿Cuál es la hipótesis alternativa?, ¿por qué?
¿Cuál es el estadístico de prueba?
¿Cuál es la región de rechazo?
Con base en las partes anteriores, ¿qué decisión tomaría?
a) Ho:  = 675
b) Ha:  < 675. En este caso, lo que realmente debe preocuparle es la
posibilidad de que los ingresos promedios diarios no alcancen el valor de
675, puesto que si tomaran un valor mayor que el de la hipótesis nula, sería
más ventajoso aún para usted.
c) El estadístico de prueba viene dado por: Z 
x  μo
σ
n

632  675
65
  2,95
20
d) Como la prueba se plantea con un nivel de significación de 0,05 la región de
rechazo es el intervalo de valores de Z menores que –1,645.
e) Finalmente, la decisión basada en la prueba de hipótesis realizada es que no
debe invertir en ese negocio puesto que existe evidencia de que los
ingresos diarios no alcanzan la cifra de 675 dólares.
Ejemplo 2: Al director de una gran cadena de tiendas de descuento que vende
juguetes le gustaría determinar si debe venderse un cierto juguete, y está
considerando la posibilidad de llevar a cabo una encuesta. Basándose en
experiencias pasadas con juguetes parecidos, el director de comercialización de la
cadena ha decidido que el juguete debe venderse solamente si se tiene evidencia
de que los ingresos por la venta bruta mensual del juguete tengan un promedio
mayor a $10.000, en toda la cadena de tiendas. Basado en su experiencia
anterior, la desviación estándar se estima en $1.000. El director de
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comercialización está dispuesto a correr un riesgo de 0,05 de cometer un error del
tipo I y comercializar el juguete cuando los ingresos promedio mensuales por la
venta del producto no son realmente de más de $10.000.
Una muestra aleatoria de 25 almacenes fue seleccionada para un período de
prueba, resultando una media de $10.420.
a) Estime con una confianza del 95% los ingresos mensuales promedio por la
venta del juguete.
b) Establezca las hipótesis nula y alternativa para tomar una decisión en
cuanto a la venta del juguete.
c) Determine la región de rechazo.
d) Encuentre el estadístico de la prueba.
e) Basado en sus resultados ¿qué decisión debe tomar el director de la
cadena?.
f) Usando el resultado de la parte a), ¿llegaría usted a la misma conclusión
que en e)?.
a) Debemos construir un intervalo de confianza del 95% para la media de los
ingresos
mensuales,
por
lo
que
tendríamos:

X  Error  X  z 
2
 10420  1,96
1000
n
 10420  392
.
En
conclusión
25
tendríamos que la media se estima en 10420 con un error máximo de 392
dólares.
b) Ho:   10000, Ha:  >10000
c) La región de rechazo en este caso estaría constituida por el intervalo de
valores mayores a 1,645.
d) El estadístico de la prueba sería: Z 
x  μo
σ
n

1 0420  10000
1000
 2,1
25
e) Con base en los resultados obtenidos se concluiría que el director debería
comercializar el juguete puesto que no existen evidencias de que los
ingresos promedio mensuales por la venta del juguete sean de 10000
dólares o menores.
f) Efectivamente el valor de la muestra está fuera del intervalo para la media
de los ingresos mensuales por la venta del juguete, por lo que al ser mayor
que la estimación obtenida para la media decidiríamos comercializar el
juguete.
Ejemplo 3: El gerente de producción de una empresa de cereales está
preocupado por el proceso de sellado de las cajas llenas. Cuando el paquete de
cereal que se coloca en la caja está lleno, se supone que éste se sella de modo
que quede hermético. Basándose en la experiencia anterior, se sabe que uno de
cada diez cajas no cumplen con las normas de sellado y deben ser revisados. Para
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modificar esta situación, suponga que el gerente instrumenta un sistema de
sellado que se acaba de desarrollar. Después de un período de prueba, el gerente
toma una muestra de 200 cajas que representan la producción diaria en la planta,
y encuentra, mediante una inspección, que 11 de ellas deben ser vueltas a sellar.
El gerente desea determinar si existe alguna evidencia de que con el nuevo
sistema de sellado, la proporción de paquetes defectuosos ha mejorado. Decida si
puede afirmarse que ha mejorado.
Para dar respuesta a la incógnita planteada, debemos plantearnos una prueba de
hipótesis sobre la proporción poblacional de cajas defectuosas, donde tenemos:
Ho: p  0,1
Ha: p < 0,1
Si suponemos un nivel de significación de 0,05, tenemos una región de rechazo de
Ho constituida por el intervalo para valores de Z de Z < -1,645 y en cualquier otro
caso no se rechaza Ho.
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Nuestro estadístico de prueba viene dado por: Z 
pˆ  p
p(1 - p)
n
o equivalentemente Z 
X  np
np(1 - p)

11  200 ( 0,1)

 0 ,1
200
0,1 (0,9)
  2,12
200
  2,12 . Finalmente, puesto
200 ( 0,1)( 0,9 )
que –2,12 < -1,645, rechazamos Ho, por lo que el gerente puede afirmar que
existe evidencia de que la proporción de cajas defectuosas con el nuevo proceso
es menor a 0,1.
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