MATEMÁTICAS. CURSO DE ACCESO A CICLOS FORMATIVOS DE GRADO SUPERIOR UNIDAD 1 SOLUCIONES EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS El conjunto de los números reales Ejercicios complementarios Estos ejercicios te pueden servir para preparar la realización de las tareas. Es importante que intentes resolverlos sin mirar la solución. Si después de consultar el desarrollo y la solución te quedan dudas pregúntaselas a tu tutor. No es necesario que imprimas estas hojas. Recuerda que las matemáticas no se estudian leyendo papeles sino practicando. Lo importante es que intentes los ejercicios y los resultados sólo los consultes para comprobar la solución. 1.- Realiza las siguientes operaciones: Para hacer estas operaciones con números enteros y racionales hay que tener presente la jerarquía de operaciones: Realizar los paréntesis y corchetes y sustituirlos por su resultado Hacer productos y divisiones Hacer sumas y restas a) 3 4 2 2 3 4 En este caso se hace primero el paréntesis 2 – (-3)·4 = 2 – (-12) = 2+ 12 = 14 Se sustituye el paréntesis por -14 y la operación quedaría: (-3)·4 – 2 · 14 Ahora se hacen los productos y quedaría: -12 - 28 El resultado es: - 12 – 28 = - 40 b) 6 2 2 3 4 2 Se hace el paréntesis 2.(-3) + (-4)·(-2) = -6 + 8 = 2 Se sustituye el paréntesis por 2: 6 – (-2)·2 Se hace el producto: 6 – (-4) El resultado es: 6 + 4 = 10 c) 7 6 3 2 4 4 3 En este ejercicio el m.c.m (3, 4, 6)=12 Por tanto quedaría: Y el resultado es: d) 14 12 9 12 24 12 16 12 13 12 4 2 3 1 + 2 + 3 3 3 2 6 En este caso se hacen antes los paréntesis: 2 3 + 3 2 4 6 9 6 13 1 6 6 +3 1 6 18 6 19 6 Página 1 de 9 MATEMÁTICAS. CURSO DE ACCESO A CICLOS FORMATIVOS DE GRADO SUPERIOR UNIDAD 1 SOLUCIONES EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS El conjunto de los números reales Si se sustituyen los paréntesis por sus resultados resulta: Se hacen los productos: 52 38 18 Y por último se hace la suma: 4 13 19 2 3 6 6 6 52 18 114 62 18 31 18 9 2 3 1 1 3 ( ) + 2 6 3 e) 3 En este caso hay una operación entre paréntesis que se resuelve lo primero: 2 3 1 2 1 3 3 3 3 Si sustituimos el resultado anterior en la operación quedaría: 3 1 3 3 ( 3 )+ 2 1 6 Ahora se harían los productos: 3 9 3 1 + 2 6 Por último se hacen las sumas y restas siendo el mínimo común múltiplo de los denominadores el número 6: 6 6 f) 27 1 + 6 22 6 6 11 3 3 1 2 4 5 + . + + 4 2 6 3 6 En este caso hay dos operaciones entre paréntesis que se resuelven lo primero: 2 5 3 1 3 + 4 4 4 2 4 8 10 5 2 4 2 + 6 3 6 6 6 3 Si sustituimos los resultados anteriores en la operación queda: 5 4 5 5 + 3 6 Ahora se hace el producto: 25 + 12 5 6 Por último se hace la suma, el denominador común es el 12 25 12 g) 10 12 35 12 2 1 7 5 3 + 2 3 2 3 2 En este caso hay dos operaciones entre paréntesis que se resuelven lo primero: Página 2 de 9 MATEMÁTICAS. CURSO DE ACCESO A CICLOS FORMATIVOS DE GRADO SUPERIOR UNIDAD 1 SOLUCIONES EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS El conjunto de los números reales 1 6 1 7 3+ 2 2 2 2 14 29 5 7 15 2 3 6 6 6 Si sustituimos los resultados anteriores en la operación queda: 2 3 7 (2) 29 2 6 Ahora se hacen los productos: 14 58 6 14 6 58 6 6 72 12 6 2.- Un trabajador solicita un anticipo de 2/7 de su sueldo. Si recibe 280 euros, ¿cuánto es su sueldo mensual? Este ejercicio se puede razonar de varias formas, una forma muy sencilla es con una regla de tres. 7 2 280 x El resultado será: x= 280 7 2 980 euros 3.- En una explotación agraria 2/5 del terreno se dedican al cultivo de frutales. Del resto 1/3 se dedica al cultivo de hortaliza y el resto, 1600 m2, se dedica al cultivo de vid. ¿Qué extensión tiene la explotación? De frutales se cultivan 2/5 del terreno, por tanto, de otros cultivos se tendrá 3/5. De ellos 1/3 se dedica al cultivo de hortaliza, por tanto del total será: 1 3 3 5 3 15 (es la fracción del total dedicada a hortaliza) Por tanto entre frutales y hortaliza se cultivan: 2 5 3 15 De ello se deduce que a la vid se cultiva el resto: 1 6 15 9 15 3 15 15 9 15 9 15 6 15 Como el enunciado señala que a la vid se dedican 1600 m 2, por una regla de tres podemos deducir la extensión total: 6 15 1600 x x 1600 15 6 4000 m2 4.- Una fábrica produce botellas de agua de cuatro tamaños. De ellas 1/10 son botellas de 0´25 litros, 1/4 botellas de 0´5 litros y 2/5 son botellas de 1´5 litros. ¿Qué porcentaje de las botellas que fabrica son de 2 litros? Página 3 de 9 MATEMÁTICAS. CURSO DE ACCESO A CICLOS FORMATIVOS DE GRADO SUPERIOR UNIDAD 1 SOLUCIONES EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS El conjunto de los números reales Si sumamos las botellas de 0,25 litros más las de 0,5 litros más las de 1,5 litros se tiene: 1 10 1 2 4 5 20 15 Por tanto las botellas de 2 litros serán: 1 2 20 5 8 20 20 15 20 5 20 Para calcular el porcentaje se transforma la fracción en otra con denominador 100: 5 20 25 100 = 25% 5.- Un depósito está lleno hasta 1/6 de su capacidad, si se llena con 10 litros más y todavía queda por llenar 1/3 del depósito ¿Qué capacidad tendrá el depósito? Si el depósito estaba lleno 1/6 y queda por llenar 1/3 si sumamos se tiene: 1 6 1 3 1 2 6 3 6 1 2 Esto significa que los 10 litros que hemos echado en el depósito representan 1/2 de su capacidad. Por tanto como 10 litros es la mitad del depósito el total será el doble de 10. La respuesta es 20 litros. También te puede resolver haciendo una regla de tres: 1 2 10 x X = 20 litros tiene el depósito 6.- Una empresa gasta 3/4 de su presupuesto de publicidad en televisión, del resto dedica 1/5 a la publicidad en radio y la misma cantidad en prensa. Si dedica 5700 euros a la publicidad en otros medios, ¿qué presupuesto total tiene para publicidad? En televisión se gastan 3/4 del presupuesto, por tanto, en el resto se gastarán 1/4. De ellos 1/5 se dedica a la radio, por tanto del total será: 1 5 1 4 1 20 (es la fracción del total dedicada a radio) La misma cantidad se dedica a prensa: : 1 20 Por tanto entre televisión, radio y prensa se dedica: 3 4 1 20 De ello se deduce que a otros medios se dedica el resto: 1 1 20 17 20 17 20 20 17 20 3 20 Página 4 de 9 MATEMÁTICAS. CURSO DE ACCESO A CICLOS FORMATIVOS DE GRADO SUPERIOR UNIDAD 1 SOLUCIONES EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS El conjunto de los números reales Como el enunciado señala que a otros medios se dedican 5700 euros, por una regla de tres podemos deducir el presupuesto total de publicidad 3 20 5700 x x 5700 20 3 38000 euros 7.- Si en un viaje de un tren AVE entre Huesca y Madrid 3/5 de los viajeros se bajan en Zaragoza y del resto 3/10 se bajan en Calatayud, ¿qué porcentaje de los viajeros que salieron de Huesca llegan a Madrid? Si 3/5 se bajan en Zaragoza significa que continúan el viaje 2/5 de los viajeros.. De ellos 3/10 se bajan en Calatayud, por tanto del total será: 3 10 2 6 5 50 3 25 (es la fracción del total que se baja en Calatayud)) 3 Por tanto entre ambas estaciones se bajan: 5 De ello se deduce el resto llega a Madrid : 1 3 25 18 25 15 25 25 18 25 3 25 18 25 7 25 Para calcular el porcentaje se transforma la fracción en otra con denominador 100: 7 25 28 100 = 28% 8.- Redondea los siguientes números a milésimas (3 decimales) a) 0´9385345 En este caso como el cuarto decimal es 5 o mayor que 5 se suma uno al tercer decimal y el número sería: 0´939 b) 1´38534556 En este caso como el cuarto decimal es menor que 5 se deja el tercer decimal igual y el número sería: 1´385 c) 56´2987 En este caso como el cuarto decimal es 5 o mayor que 5 se suma uno al tercer decimal y el número sería: 56´299 b) 239´000876 En este caso como el cuarto decimal es 5 o mayor que 5 se suma uno al tercer decimal y el número sería: 239´001 Página 5 de 9 MATEMÁTICAS. CURSO DE ACCESO A CICLOS FORMATIVOS DE GRADO SUPERIOR UNIDAD 1 SOLUCIONES EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS El conjunto de los números reales Para recordar: Para hacer las raíces de grado mayor que 2 en las calculadoras científicas se tiene la función y x 1 x y dependiendo del modelo de calculadora que tengas. Recuerda que si esta función está en otro color encima de la tecla para poder hacerla tienes que pulsar antes la tecla de SHIFT ( o INV). 9.- Realiza las siguientes operaciones con una calculadora científica y redondea el resultado con cuatro decimales: a) = b) 5 = c) 3 17 = d) 5 45 = Para redondear a cuatro decimales hay que tener en cuenta el valor del quinto decimal. Si es mayor o igual que 5, aumentamos en una unidad el cuarto decimal, en otro caso, dejamos tal y como está la cifra. a) =3´1416 c) 3 17 =2´5713 b) d) 5 45 5 = 2´2361 =2´1411 10.- Realiza las siguientes operaciones con la calculadora científica y redondea el resultado con 2 decimales: a) 5 340 El resultado redondeado a dos decimales es: 3´21 b) 4´2 7 Para hacer las potencias de grado mayor que 2 en las calculadoras científicas se tiene la y función x .Recuerda que si esta función está en otro color encima de la tecla para poder hacerla tienes que pulsar antes la tecla de SHIFT ( o INV). El resultado redondeado a dos decimales es: 23053´93 c) 1´ 23 5 El resultado redondeado a dos decimales es: 2´82 3 d) 47 7 Página 6 de 9 ó MATEMÁTICAS. CURSO DE ACCESO A CICLOS FORMATIVOS DE GRADO SUPERIOR UNIDAD 1 El conjunto de los números reales SOLUCIONES EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS En primer lugar se eleva al cubo el número 47, el resultado es 103823 y al resultado se le hace la raíz séptima. El resultado redondeado a dos decimales es: 5´21 Para recordar: Un intervalo es el conjunto de números entre dos límites: Por ejemplo el intervalo entre 2 y 5 son todos los números entre el 2 y el 5. La forma de representación depende de si los límites se incluyen o no. (2,5) son los número mayores de 2 y menores de 5 . No se incluyen los límites. [2,5] son los números mayores o iguales que 2 y menores o iguales que 5. Incluye los límites [2,5) son los números mayores o iguales que 2 y menores que 5. Incluye el 2 pero no el 5. 11.- Expresa en forma de intervalos los siguientes conjuntos: a) Los números mayores que 4 y menores que 5 En este caso será un intervalo abierto ya que no están incluidos los números 4 ni 5. Recuerda que la expresión de un intervalo abierto es con paréntesis. El intervalo sería: (4,5) b) Los números mayores o iguales que 4 y menores o iguales que 5 En este caso será un intervalo cerrado ya que están incluidos los números 4 y 5. Recuerda que la expresión de un intervalo abierto es con corchetes. El intervalo sería: [4,5] c) A ={xR |3 x 7} En este caso son todos los números mayores o iguales que 3 y menores o iguales que 7. El intervalo sería: [3,7] d) A={xR | 1<x3} El valor En este caso son todos los números mayores 1 y menores o iguales que 3. El intervalo sería: (1,3] 12.- Expresa los siguientes números en notación científica: a) 29000000 = 2´9 · 107 c) 2560000 = 2´56 · 106 d) 45000000000 = 4´5 · 1010 e) 0´001002 = 1´002 · 10-3 f) 0´0000002001 = 2´001 · 10-7 g) 280 ·105 = 28000000 = 2´8 · 107 h) 0´000098 = 9´8 · 10-5 i) 0´034 · 10-4 = 0´0000034 = 3´4 · 10-6 Página 7 de 9 MATEMÁTICAS. CURSO DE ACCESO A CICLOS FORMATIVOS DE GRADO SUPERIOR UNIDAD 1 SOLUCIONES EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS El conjunto de los números reales 13.- Calcular las siguientes expresiones. 1 a) 5 3 5 1 3 125 1 b) ( 2 ) 4 (2) 3 1 1 c) 5 1 5 16 1 1: 3 2 7 3 5 1 d) 1 4 7 3 125 3 2 2 (7) 1: 3 9 2 49 14.- Realiza las siguientes operaciones entre potencias aplicando las propiedades de las mismas: 5 a) 2 ·2 3 4 7 2 ·2 b) 5 5 3 3 3 d) 8 2 8 7 2 5 2 5 3 3 3 g) 2 3 i) 10 10 10 7 3 5 l) 5 10 4 10 5 10 2 10 7 4 7 10 2 10 6 10 2 5 10 7 3 10 3 100000 3 10 4 10 10 3 8 24 10 0´0000001 3 10 k) 9 10 3 . 0´00005 20000 5 9 94 5 3 5 ( 9 ) 8 5 3 6 ( 6 ) 5 6 3 3 6 3 3 10 4 10 2 10 10 5 8 5 23 3 3 100 10 10 j) 4 3 8 3 9 ( 3) 6 3 14 3 12 8 2 3 4 1000 10 10 h) 35 3 3 63 27 4 5 3 5 643 3 8 3 3 9 5 47 3 8 4 5 4 5 3 3 2 11 5 3 3 2 2 f) 4 6 8 e) 4 7 4 5 5 6 c) 2 5 8 2 10 3 7 10 3 10 10 3 1 10 1 10 8 5 6 10 2 5 10 7 10 3 ( 1) 10 2 5 10 21 10 3 10 10 10 5 3 4 2 10 0 10 27 10 10 10 ´5 10 5 10 2 10 8 ( 5) 5 4 10 1 10 9 10 ´5 10 30 10 7 10 10 3 13 3 10 7 ( 3) 3 10 4 Página 8 de 9 MATEMÁTICAS. CURSO DE ACCESO A CICLOS FORMATIVOS DE GRADO SUPERIOR UNIDAD 1 SOLUCIONES EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS El conjunto de los números reales 15.- Realiza las siguientes operaciones simplificando al máximo el resultado a) 4 10 2 4 10 c) d) 2 10 3 4 10 16 10 2 10 b) 3 10 0´00004 7 30000 2 10 3 10 2 4 10 3 5 2 10 2 2 10 5 10 0´000004 3 4 10 3 10 4 3 10 2 . 0´0005 6 10 3 16 10 2 20000 5 2 7 2 10 4 10 5 2 10 4 5 2 10 4 10 5 ( 2 ) 2 3 8 8 10 11 1 6 10 0 3 4 7 8 10 6 10 5 10 5 10 16 10 10 6 10 4 10 10 19 1 2 6 120 10 20 10 9 3 6 10 6 16.- Si el radio del planeta Júpiter es 71492 Km y su masa 1´899·10 27 kg, ¿cuánto será su densidad en kg/m3? (utilizar tres decimales y redondear) El radio de Júpiter en metros será 71492000 m. Si aplicamos la fórmula del volumen de una esfera V 4 R 3 3 Se tiene que hacer la operación: V 4 71492000 3 1´531 10 24 m 3 3 Como ya se conoce la masa en kg y el volumen en m 3 se aplica la fórmula de la densidad: densidad m V 1´899 10 1´531 10 27 24 kg m 3 1240 ´366 kg m 3 = Página 9 de 9
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