1. Educación

Determinación de módulos de deformación para ser utilizados en análisis
numéricos
Assessment of deformation moduli for numerical analysis
Agustín DEMÉNEGHI1 y Jorge COMPEÁN1
1Facultad
de Ingeniería. Universidad Nacional Autónoma de México
RESUMEN: En este artículo se propone un método iterativo para calcular las propiedades de deformación del suelo, en
función de la presión de confinamiento en campo, o bien en función del tiempo, con la finalidad de alimentar programas
de computadora que emplean procedimientos numéricos, como el de elemento finito o el de diferencias finitas, para el
cálculo de las deformaciones del suelo. Se incluye un ejemplo de aplicación.
ABSTRACT: In this paper we propose an iterative method for calculating soil deformation properties as a function of the
confinement pressure or as a time function, in order to include them in a computer program that uses numerical
procedures, as finite element or finite differences, for the assessment of soil deformations. An example is included.
1 INTRODUCCIÓN
En mecánica de suelos es frecuente calcular el
asentamiento de una estructura usando la fórmula
de Boussinesq, integrada para un área de planta
rectangular, circular o de otra geometría.
Dicha fórmula es válida para un medio semiinfinito, homogéneo, isótropo y linealmente elástico,
por lo que su aplicación es aproximada para los
depósitos de suelo. Cabe destacar que cuando
encontramos un estrato de suelo rígido sobre un
depósito de suelo blando, la solución de Boussinesq
arroja resultados que quedan muy alejados de la
realidad.
Por otra parte, al integrar la fórmula para carga
concentrada a condiciones de fuerzas repartidas,
suele hacerse la hipótesis de que el área cargada es
totalmente flexible, lo cual no ocurre en la mayoría
de la cimentación de estructuras.
Una forma de tratar de acercarnos un poco más a
la realidad consiste en utilizar un método numérico
(como elemento finito o diferencias finitas) para la
solución del estado de esfuerzos y deformaciones en
los depósitos de suelo. Con esto podemos modelar
un medio estratificado y tomar en cuenta además la
rigidez de la estructura de cimentación.
Algunas soluciones numéricas consideran un
medio isótropo linealmente elástico, cuyas propiedades son el módulo de elasticidad E y la relación
de Poisson ν. Desde el punto de vista práctico,
podemos entonces emplear estos métodos
numéricos asignando valores acordes de E y ν para
las condiciones del suelo en el campo.
Pero la mecánica de suelos tiene ecuaciones
constitutivas que difieren de la teoría de la
elasticidad lineal; entonces, ¿cómo podemos ajustar
las propiedades de los suelos para hacer uso de
ellas en los métodos numéricos? En este artículo
presentamos una forma aproximada de obtener las
propiedades E y ν a partir de ecuaciones
constitutivas para arcillas no sensitivas, arcillas
sensitivas y suelos friccionantes, para ser
empleadas en el método numérico correspondiente.
2 ARCILLAS NO SENSITIVAS
2.1 Deformaciones a corto plazo
El cálculo de la deformación a corto plazo (a
volumen constante) de un estrato de arcilla no
sensitiva lo llevamos a cabo usando la ley de Hooke
  zu 
zo
Eu

z
  
x

y

(1)
donde σz, σx y σy son los incrementos de esfuerzo
por la carga de la estructura, obtenidos con una
relación de Poisson ν = 0.5.
SOCIEDAD MEXICANA DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA A.C.
2
Determinación de módulos de deformación para ser utilizados en métodos numéricos
2.2 Deformación a largo plazo
La compresión a largo plazo la obtenemos con las
siguientes expresiones (Juárez Badillo y Rico, 2001;
Zeevaert, 1986; Skempton y Bjerrum, 1957)
  t   
 Pt     St
  Pt    
(2)
 Pcpo U
  Pcpo      Pcon
(3)

ΔδPcpo = asentamiento en el campo, al término de la
consolidación primaria
Ct = deformación por consolidación secundaria, en
un ciclo logarítmico (base 10)
ξ = parámetro de compresión secundaria, que
depende del tipo de curva de consolidación
μ = coeficiente de corrección de Skempton y Bjerrum
cv = coeficiente de consolidación primaria
Δzo = espesor total del estrato de suelo
Δze = espesor efectivo del estrato de suelo
T = factor tiempo
(4)
2.3 Ejemplo
  Pcon

 p 
 1   veo

p veo






z

1
Ap

  z 
o


(5)
Calcular
el asentamiento
inmediato
y el
asentamiento a largo plazo (50 años), bajo el centro
de la zapata corrida de concreto reforzado de la
figura 1.
(σz = incremento de esfuerzo vertical a largo plazo)
 
A Ske  z 
1 
A Ske  x  
y

2
(6)
z
(σz, σx y σy son los incrementos de esfuerzo por la
carga de la estructura, obtenidos con una relación
de Poisson ν= 0.5).
  St  C t log 1   T 

C t  1 


 p veo  


p veo

z




(7)

1
Acs

  z 
o


(8)
Figura 1. Estratigrafía y propiedades. Arcilla no sensitiva.
(σz = incremento de esfuerzo vertical a largo plazo)
T 
cvt
 z e 
(9)
2
En las expresiones anteriores:
Δδt = asentamiento para un tiempo t
ΔδPt = asentamiento para un tiempo t, debido a
consolidación primaria
ΔδSt = asentamiento para un tiempo t, debido a
consolidación secundaria
ΔδPcon = deformación debida a compresión primaria,
obtenida en el laboratorio en una prueba de
consolidación unidimensional
Solución
Asentamiento inmediato
Método convencional
Estrato 1
Los incrementos de esfuerzo a la mitad del estrato
valen
σz = 133.43 kPa
σx = 100.13 kPa
σy = 70.19 kPa
Usamos la ecuación 1
  u1 
0 .6
2316
133 . 43  0 . 5 100 . 13  70 . 19 
SOCIEDAD MEXICANA DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA A.C.
DEMÉNEGHI A. et al.
  u 1  0 . 0125 m  1 . 25 cm
U=1
Estrato 2
Procedemos en forma análoga, y
  Pcpo  0 . 747 1 . 75   1 . 31 cm
  u 2  2 . 17 cm
  St  0 . 223 log 1  5 359 . 4   0 . 73 cm
El asentamiento inmediato bajo el centro de la
zapata vale
  t 1  1 . 31  0 . 73  2 . 04 cm
 u  1 . 25  2 . 17  3 . 42 cm
En forma análoga hallamos para el estrato 2
  t 2  2 . 15 cm
Método numérico
Usando el programa SAP-2000 se obtiene un
hundimiento inmediato bajo el centro de
El asentamiento total a 50 años es
 u  2 . 46 cm
 t  2 . 04  2 . 15  4 . 19 cm
El asentamiento inmediato con el método convencional resulta 39% mayor que el obtenido con el
procedimiento numérico.
Asentamiento diferido
Método convencional
Estrato 1
Con los incrementos de esfuerzo a la mitad del
estrato, con ν = 0.5, calculamos el factor de
corrección de Skempton y Bjerrum (1957)
0 . 3 133 . 43  
1  0 . 3 100 . 13  70 . 19 
2
 
Método numérico
Estrato 1
Con SAP-2000 obtenemos los siguientes incrementos de esfuerzo a la mitad del estrato, con ν =
0.5
σz = 96.67 kPa
σx = 77.84 kPa
σy = 63.38 kPa
µ = 0.811
  Pcon
133 . 43
1



78
14
.
657

133
.
43

 
0 . 6   0 . 0175 m
 1  


14 . 657

 


 0 . 747
pvo' = 16(0.8)+(16-9.81)(0.3) =14.657 kPa
  Pcon
1



78
14
.
657

133
.
43



 1 
  0 . 6 

14 . 657

 


 0 . 0175 m
1


620
14
.
657

133
.
43


C t  1  


14 . 657




 0 . 6 


 0 . 00223 m
T 
3
0 . 00082 1577880000 
 359 . 4  2
60 2
1


620
14
.
657

133
.
43


C t  1  


14 . 657




 0 . 6 


 0 . 00223 m
T 
0 . 00082 1577880000 
 359 . 4  2
60 2
U=1
  Pcpo  0 . 811 1 . 75   1 . 42 cm
  St  0 . 223 log 1  5 359 . 4   0 . 73 cm
  t 1  1 . 42  0 . 73  2 . 15 cm
SOCIEDAD MEXICANA DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA A.C.
4
Determinación de módulos de deformación para ser utilizados en métodos numéricos
El módulo de deformación a largo plazo E1’ lo
hallamos de la siguiente manera

z

1

E'
z 
 z
zo
E'
E1 ' 
1
E'

Con el método numérico se obtiene un asentamiento
a largo plazo, bajo el centro de la zapata, de 3.96
cm, mientras que con el método convencional se
halló un hundimiento de 4.19 cm, 6% mayor que el
primero.
Con los módulos determinados bajo el centro de
la zapata se hallaron con SAP-2000 los esfuerzos
bajo la cuarta parte de la longitud y bajo la orilla
(extremos derecho e izquierdo) del cimiento; con
ellos se calcularon las deformaciones y las
propiedades mecánicas de cada estrato. En la
siguiente tabla se muestran los resultados obtenidos:
z
z
1
E'
zo
 z
z
z
0 .6
0 . 0215
Δδt1 = 1.75 cm
Δδt2 = 2.21 cm
δt = 3.96 cm
Tabla 2. Módulos de deformación E’ del suelo, en kPa.
133 . 43   3724 . 93 kPa
En forma análoga para el estrato 2 hallamos
Estrato
1
2
Centro
2796.29
4375.85
Cuarta parte
2793.92
4385.77
Orilla
3290.11
3905.77
La máxima diferencia entre los módulos (con
respecto al del centro) ocurre en el estrato 1 bajo la
orilla, y es de 18%.
E 2 '  4678 . 01 kPa
Con estas magnitudes de los módulos de deformación, usamos el SAP-2000 para calcular los
incrementos de esfuerzo vertical σz a la mitad de
cada estrato, con los cuales determinamos las
deformaciones Δδt de cada capa, con las
ecuaciones constitutivas del suelo empleadas antes.
El procedimiento se repite hasta que no cambien las
magnitudes de σz y E’. En la siguiente tabla se
muestran los resultados de las iteraciones.
Tabla 1. Resultados de las iteraciones. Arcilla no sensitiva.
Iteración
Estrato
Convencional
1
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
3
4
σz
kPa
133.43
79.26
76.29
66.17
81.72
68.91
81.73
68.92
81.73
68.92
E’
kPa
4327.46
4407.79
2749.88
4293.93
2796.10
4375.55
2796.29
4375.85
2796.29
4375.85
3 ARCILLAS SENSITIVAS
3.1 Deformación a corto plazo
El cálculo de la deformación a corto plazo (a
volumen constante) de un estrato de arcilla sensitiva
es similar al que empleamos en arcillas no
sensitivas, es decir
  zu 
zo
Eu
z
  
x

y

(10)
donde σz, σx y σy son los incrementos de esfuerzo
por la carga de la estructura, obtenidos con una
relación de Poisson ν = 0.5.
3.2 Deformación a largo plazo
La compresión a largo plazo de un estrato la
obtenemos con las siguientes expresiones
(Zeevaert, 1986)
  t   
 Pt     St
  Pt   
Con la última iteración se encuentran las siguientes
deformaciones de los estratos:

P U
(11)
(12)
(σz = incremento de esfuerzo vertical a largo plazo)
SOCIEDAD MEXICANA DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA A.C.
5
DEMÉNEGHI A. et al.
 p 
 Z  z o 
(13)
EP
  St  C t log 1   T 
T 
 Z  z o 
(15)
E cs
C vt
(16)
  z e 2
Figura 2. Estratigrafía y propiedades. Arcilla sensitiva.
3.3 Ejemplo
Calcular el asentamiento inmediato y el asentamiento a largo plazo (50 años), bajo el centro de la
zapata corrida de concreto reforzado de la figura 2.
Los módulos de deformación obtenidos a partir de
pruebas de consolidación unidimensional se exhiben
en las figuras 3, 4 y 5, y en la tabla 2.
Solución
Asentamiento inmediato
Método convencional
Estrato 1
Los incrementos de esfuerzo a la mitad del estrato
valen
σz = 133.43 kPa
σx = 100.13 kPa
σy = 70.19 kPa
MÓDULO Ep
5500.00
5000.00
Módulo Ep, kPa
Ct 
(14)
4500.00
4000.00
3500.00
3000.00
0
10
20
4240
50
60
70
80
90
Figura 3. Módulo de deformación por consolidación
primaria EP. Estrato 1.
MÓDULO Ecs
25000.00
133 . 43  0 . 5 100 . 13  70 . 19 
23000.00
21000.00
Módulo Ecs, kPa
0 .6
40
Presión efectiva pv', kPa
Usamos la ecuación 1
  u1 
30
  u 1  0 . 00683 m  0 . 68 cm
Estrato 2
Procedemos en forma análoga, y
19000.00
17000.00
15000.00
13000.00
11000.00
9000.00
7000.00
5000.00
  u 2  2 . 07 cm
0
10
20
30
40
50
60
70
80
Presión efectiva pv', kPa
Figura 4. Módulo de deformación por consolidación
secundaria Ecs. Estrato 1.
SOCIEDAD MEXICANA DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA A.C.
90
6
Determinación de módulos de deformación para ser utilizados en métodos numéricos
COEFICIENTE DE CONSOLIDACIÓN Cv
Obtenemos el módulo EP interpolando los valores de
éste de la tabla 2
1.80E-03
1.70E-03
Cv, cm2/s
1.60E-03
E P  5111 . 11 
1.50E-03
4050  5111 . 11
85  12
1.40E-03
81 . 372
 12 
 4102 . 74 kPa
1.30E-03
1.20E-03
1.10E-03
1.00E-03
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
 p 
133 . 43 0 . 6 
 0 . 0195 m  1 . 95 cm
4102 . 74
Presión efectiva pv', kPa
Figura 5. Coeficiente de consolidación Cv. Estrato 1.
10000  22222 . 22
E cs  22222 . 22 
85  12
81 . 372
 12 
 10607 . 43 kPa
Tabla 2. Propiedades de deformación a largo plazo. Arcilla
sensitiva.
pv’
kPa
Estrato 1
12
85
Estrato 2
20
92
EP
kPa
Ecs
kPa
Cv
cm2/s
5111.11
4050.00
22222.22
10000.00
1.70x10-3
1.10x10-3
6250.00
5120.00
23420.00
11340.00
1.3x10-3
9.5x10-4
133 . 43 0 . 6 
Ct 
 0 . 00755 m  0 . 755 cm
10607 . 43
C v  0 . 0017 
0 . 0011  0 . 0017
85  12
81 . 372
 12 
 0 . 00113 cm / s
2
T 
El asentamiento inmediato bajo el centro de la
zapata vale
 u  0 . 68  2 . 07  2 . 75 cm
0 . 00113 1577880000
60 
2

 495 . 2  2
  St  0 . 755 log 1  5 495 . 2   2 . 562 cm
  t 1  1 . 95 1  2 . 56  4 . 51 cm
Método numérico
Usando el programa SAP-2000 se obtiene un
hundimiento inmediato bajo el centro de
Procedemos en forma análoga para el estrato 2 y
obtenemos
 u  2 . 46 cm
  t 2  3 . 78 cm
El asentamiento inmediato con el método convencional resulta 12% mayor que el obtenido con el
procedimiento numérico.
El asentamiento diferido a 50 años es
Asentamiento diferido
Método convencional
Estrato 1
pvo' = 16(0.8)+(16-9.81)(0.3) =14.657 kPa
σz = 133.43 kPa
El módulo EP lo calculamos para un esfuerzo normal
vertical igual a
p vo '
z
2
 14 . 657 
133 . 43
 81 . 3372 kPa
 t  4 . 51  3 . 78  8 . 29 cm
Método numérico
Estrato 1
Hallamos los módulos de deformación a largo plazo
para ser utilizados en el SAP-2000
E1 ' 
0 .6
0 . 0451
133 . 43   1774 . 17 kPa
2
SOCIEDAD MEXICANA DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA A.C.
DEMÉNEGHI A. et al.
En forma análoga hallamos
estrato. En la siguiente tabla se muestran los
resultados obtenidos:
E 2 '  2939 . 50 kPa
Tabla 4. Módulos de deformación E’ del suelo, en kPa.
Con estas magnitudes de los módulos de
deformación, usamos el SAP-2000 para calcular el
incremento de esfuerzo vertical a la mitad del estrato
1, que resulta σz = 98.67 kPa. Calculamos nuevamente el esfuerzo vertical medio
p vo '
z
 14 . 657 
2
98 . 67
Tabla 3. Resultados de las iteraciones. Arcilla sensitiva.
Convencional
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
3
4
Centro
2204.40
3037.26
Cuarta parte
2205.22
3035.16
Orilla
1988.23
3166.38
La máxima diferencia entre los módulos (con
respecto al del centro) ocurre en el estrato 1 bajo la
orilla, y es de 10%.
4 SUELO FRICCIONANTE
Con este valor volvemos a estimar las
deformaciones de los estratos con las ecuaciones
constitutivas de los suelos, y con ello determinamos
los nuevos módulos EP, Ecs y cv. En la tabla 3 se
muestran los resultados de las iteraciones
Estrato
Estrato
1
2
 63 . 992 kPa
2
Iteración
7
σz
kPa
133.43
61.88
82.52
69.67
80.53
68.03
80.51
68.01
80.51
68.01
E’
kPa
1774.17
2939.50
2189.14
3022.97
2204.26
3037.09
2204.40
3037.26
2204.40
3037.26
Con la última iteración se encuentran las siguientes
deformaciones de los estratos, usando las
ecuaciones constitutivas de arcillas sensitivas:
Δδt1 = 2.19 cm
Δδt2 = 3.13 cm
δt = 5.32 cm
4.1 Fórmulas utilizadas
Para el cálculo de la deformación de un estrato de
suelo friccionante empleamos las siguientes
expresiones (Deméneghi, 2008)

 f

  z  1  exp  



 x 
f  1   
 z
c  b1  b 2
b1 
1
3
y
 p
 c z 
1 s
co
1  s cAp




x  y
, b2 
z
1 s
1 s
a
   z



(17)
o
(18)
(19)
1
3
El coeficiente Ko se calcula con la siguiente
expresión (Mayne y Kulhawy, 1982)
Ko = (1 – sen φ*)(OCR)sen φ*
Vemos que con el método numérico se obtiene un
asentamiento a largo plazo (a 50 años), bajo el
centro de la zapata, de 5.32 cm, mientras que con el
método convencional se halló un hundimiento de
8.29 cm, 56% mayor que el primero.
Para fines de comparación, con los módulos
determinados bajo el centro de la zapata se hallaron
con SAP-2000 los esfuerzos bajo la cuarta parte de
la longitud y bajo la orilla (extremos derecho e
izquierdo) del cimiento; con ellos se calcularon las
deformaciones y las propiedades mecánicas de cada
  p co 
(20)
donde φ* es el ángulo de fricción interna y OCR es
la relación de preconsolidación del suelo en el
campo.
La relación de Poisson  se obtiene
 
Ko
1 Ko
(21)
El módulo de rigidez promedio Am del suelo se
determina a partir del número de golpes de la
prueba de penetración estándar (SPT), con la
siguiente expresión aproximada
SOCIEDAD MEXICANA DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA A.C.
8
Determinación de módulos de deformación para ser utilizados en métodos numéricos
Am  26 . 25 N
1 . 125
(22)
 
El módulo desfavorable se calcula en función del
nivel de confianza α con
A  Am C
0 . 485
1  0 . 485
 0 . 327
σz = 133.43 kPa
σx = 69.87 kPa
σy = 65.33 kPa
(23)
 69 . 87  65 . 33 
f  1  0 . 327 
  0 . 669
133 . 43


donde

C  exp  0 . 784 t 
1 . 00758  0 . 0152 ln N  2 . 976
2

(24)
tα es una variable t de Student, cuyos valores en
función de α se muestran en la tabla 5. Cabe aclarar
que existe una probabilidad α de que el módulo A
del suelo sea menor que el valor dado por la
ecuación 23.
El módulo de deformación del suelo Es, para ser
usado en el método numérico se calcula
Es 
zo
 z

z
   x  
y

(25)
Tabla 5. Variable aleatoria t de Student.
Nivel de
Confianza 
%
2.5
5
10
15
20
25
30
40
50
t
Figura 6. Estratigrafía y propiedades. Suelos friccionantes.
1.978
1.657
1.288
1.041
0.844
0.676
0.526
0.254
0
c
1

3
1 69 . 87  65 . 33
3
 0 . 671
133 . 43
α = 20%, tα = 0.844

C  exp  0 . 784 0 . 844

1 . 00758  0 . 0152 ln 15  2 . 976
4.2 Ejemplo
 0 . 5145
Calcular el asentamiento inmediato y el asentamiento a largo plazo (50 años), bajo el centro de la
zapata corrida de concreto reforzado de la figura 6.
A m  26 . 25 15 
 552 . 37
A  552 . 37  0 . 5145

Solución
Método convencional
Estrato 1
pvo' = 16(0.8)+(16-9.81)(0.3) =14.657 kPa
Ko
sen 31 
 1  sen 31  OCR 
1 . 125
2
284 . 20


 0 . 669 9 . 624  0 . 671 133 . 43  0 .5  9 . 624

  z  1  exp  
1  0 . 5 0 . 671  284 . 20 101 . 3  0 .5



 0 .5  
 


0 . 6 
 0 . 485
  z 1  1  exp  0 . 004779
SOCIEDAD MEXICANA DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA A.C.

0 . 6   0 . 00286
m
DEMÉNEGHI A. et al.
Procedemos en forma análoga para el estrato 2 y
hallamos
  z 2  0 . 00487 m
 z  0 . 00286  0 . 00487  0 . 00773 m
Método numérico
Para la primera iteración usamos las deformaciones
obtenidas con el método convencional:
E s1 
0 .6
0 . 00286
133 . 43  0 . 327 69 . 87  65 . 33 
 18717 kPa
Con estas propiedades mecánicas entramos al
programa SAP-2000 y calculamos los nuevos
esfuerzos normales, y con ellos valuamos las
nuevas deformaciones; usando la ecuación 25
encontramos las nuevas propiedades Es y ν a la
mitad de cada estrato. El proceso se repite hasta
que ya no cambian ni los esfuerzos ni las
propiedades mecánicas. En la tabla 6 se exhiben los
resultados de las iteraciones.
Tabla 6. Resultados de las iteraciones. Suelo friccionante.
Iteración
Estrato
Convencional
1
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
Centro
15471
19909
Cuarta parte
15412
19836
Orilla
16953
18690
La máxima diferencia entre los módulos (con
respecto al del centro) ocurre en el estrato 1 bajo la
orilla, y es de 10%.
  0 . 313
4
Vemos que con el método numérico se obtiene un
asentamiento bajo el centro de la zapata de 6.65
mm, mientras que con el método convencional se
halló un hundimiento de 7.73 mm, 16% mayor que el
primero.
Con los módulos determinados bajo el centro de
la zapata se hallaron con SAP-2000 los esfuerzos
bajo la cuarta parte de la longitud y bajo la orilla
(extremos derecho e izquierdo) del cimiento; con
ellos se calcularon las deformaciones y las
propiedades mecánicas de cada estrato. En la
siguiente tabla se muestran los resultados obtenidos:
Estrato
1
2
E s 2  20249 kPa
3
Δδz1 = 0.00236 m
Δδz2 = 0.00429 m
δz = 0.00665 m
Tabla 7. Módulos de deformación Es del suelo, en kPa.
En forma análoga
2
9
σz
σx
σy
Es
kPa
133.43
79.26
80.48
69.20
82.63
70.31
82.53
70.27
82.53
70.27
kPa
69.87
25.27
34.43
27.27
36.00
23.61
35.93
23.59
35.93
23.59
kPa
65.33
2.73
28.44
6.03
30.32
5.84
30.24
5.85
30.25
5.85
kPa
18717
20249
15303
19853
15479
19910
15471
19908
15471
19909
Con la última iteración se encuentran las siguientes
deformaciones de los estratos, usando las
ecuaciones constitutivas de suelos friccionantes:
5 CONCLUSIONES
En la práctica de la ingeniería se dispone de
programas de computadora que hacen uso de
métodos numéricos (elemento finito o diferencias
finitas) para resolver el problema del estado de
esfuerzos y deformaciones dentro de un medio
heterogéneo, los cuales se pueden utilizar en
geotecnia para el cálculo de las deformaciones de
una cimentación.
Algunos de dichos programas están basados en
la hipótesis de que el medio es elástico lineal, con
un módulo de elasticidad E y una relación de
Poisson ν. En este artículo hemos presentado un
procedimiento aproximado que consiste en calcular,
por un lado, la deformación de un estrato usando las
ecuaciones constitutivas del suelo y, por otro, la
deformación del mismo estrato empleando los
módulos equivalentes E y ν. Mediante iteraciones se
van ajustando las magnitudes de E y ν, hasta que la
deformación del estrato es la misma con ambos
cálculos.
Para ilustrar el procedimiento, se usó el ejemplo
de una zapata corrida con dos estratos del subsuelo.
Se calcularon las compresiones y los módulos
equivalentes de los estratos bajo el centro de la
zapata.
Las principales conclusiones derivadas del
ejemplo son que: (a) la compatibilidad de deforma-
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10
Determinación de módulos de deformación para ser utilizados en métodos numéricos
ciones entre las ecuaciones constitutivas y los
módulos elásticos equivalentes se alcanza con
cuatro iteraciones, y (b) las diferencias entre los
módulos equivalentes bajo el centro de la zapata
con los módulos equivalentes bajo la cuarta parte y
el extremo del cimiento no superan el 18%. Esto es
aceptable para un método aproximado como el que
aquí se presenta.
REFERENCIAS
Deméneghi, A (2008). “Cálculo del asentamiento de
un cimiento en arena”, XXIV Reunión Nal Mec
Suelos: 301-305, Aguascalientes, Ags, Soc Mex
Mec Suelos
Juárez Badillo, E y Rico, A (2001). Mecánica de
Suelos, tomo 1, cap XIII, Limusa, México, D F
Mayne, P W y Kulhawy, F H (1982). “Ko-OCR
relationships in soil”, Jour Geot Eng Div, ASCE,
Vol 108, N° GT6: 851-872, junio
Skempton, A W y Bjerrum, L (1957). “A contribution
to the settlement analysis of foundations in clay”,
Géotechnique 7(4): 168-178,
Zeevaert, L (1986). “Consolidation in the intergranular viscosity of highly compressible soils”,
Consolidation of Soils: Testing and Evaluation,
ASTM, STP 892: 257-281. R N Yong y F C
Townsend eds, Filadelfia
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