1. Educación

GUÍA TEÓRICA Y PRÁCTICA: FUNCIONES
Objetivo: Comprender y resolver problemas aplicando el concepto de función y
composición de funciones.
Estudiante: ______________________________________________________________________
Curso: 1°______
Fecha: __________________
FUNCIONES:
1. Una función es una relación entre dos variables x e y, que se puede representar o modelar por
una ecuación de manera que a cada valor de x le corresponde un único valor de y.
2. La expresión algebraica de una función es y = f(x) , se interpreta Y en función de X
3. Se llama variable dependiente a aquella cuyos valores dependen de otra variable para
determinar su valor , la que a su vez se denomina variable independiente.
Según la definición anterior, Y sería la variable dependiente y X la variable independiente.
4. Para representar una función, se construye una tabla de valores y se representan sus pares de
valores como puntos en el sistema de coordenadas o plano cartesiano, dando origen al gráfico
de la función.
- Los valores de la variable independiente (x), se representan sobre el eje horizontal o eje de
las abscisas.
- Los valores de la variable dependiente (y), se representan sobre el eje de las ordenadas.
5. Uniendo los puntos marcados, se obtiene el gráfico, que representa la relación entre las dos
variables.
6. Evaluar una función es obtener el valor que la función le asocia a un valor determinado de x.
7. La imagen de un número equivale al resultado de evaluar el número en la función.
8. La pre imagen de un número es el valor que se evaluó en la función para obtener dicho número.
9. El Dominio de una función, que se expresa Dom f, es el conjunto de todos los elementos para
los cuales la función está definida, es decir, los valores que la variable independiente x puede
tomar.
10. El Recorrido de una función, que se expresa Rec f, es el conjunto de valores que toma la
variable dependiente y, es decir, todos los valores que son imagen de algún valor de la
variable independiente x.
EJEMPLO: Si se tiene una función definida como:
y = 3x + 1
(a la variable dependiente Y le corresponderá el resultado del triple de los valores de X, más uno)
Por tanto, si representamos algunos de los valores de esta función en un diagrama sagital, sería:
x
-1
0
1
2
3
.
.
f
y
-2
1
4
7
10
.
.
En caso que x toma el valor -1
f(-1) = 3·(-1) + 1
= -3 + 1
= -2
Observación: La imagen de -1 es -2, por tanto la pre-imagen de -2 es -1
La imagen de 0 es 1, por tanto la pre-imagen de 1 es 0
La imagen de 1 es 4, por tanto la pre-imagen de 4 es 1
La imagen de 2 es 7, por tanto la pre-imagen de 7 es 2
Etc.
En este caso, el proceso podría realizarse infinitamente, por tanto el
Dominio y el Recorrido corresponde a todos los números reales.
Dom (f) = IR
Rec (f) = IR
Gráfica:
COMPOSICIÓN DE FUNCIONES:
En síntesis, es aplicar a los resultados (recorrido) de una función f(x) otra función g(x) la cual
generará nuevos resultados. Ambas se pueden conjugar en una sola la cual se denominará la
“función compuesta” y se escribirá g(x) o f(x) . También se puede expresar como g(f(x))
Ejemplo: Se tiene dos funciones:
f(x) = 2x
y
g(x) = 2x + 1
Al realizar un diagrama sagital de la composición de ambas resulta:
Es importante que percibas que el recorrido de la función
f
debe coincidir, o al menos ser
subconjunto, del dominio de la función g , para poder realizar la composición entre ambas.
Para obtener la expresión algebraica de la composición de ambas, se procede de la manera
siguiente:
Por tanto:
g(f(x)) = 4x -1
Observaciones: a) La composición de funciones no es conmutativa:
gof ≠ fog
b) La composición de funciones cumple la propiedad asociativa:
(g o f) o h = g o (f o h)
ACTIVIDAD:
I.- Determina en cada caso si la relación entre las dos variables corresponde a una función o no.
1. _____ Un número natural y su doble.
2. _____ El nombre de una persona y su edad.
3. _____ El perímetro de un cuadrado y su área.
4. _____ La estatura de una persona y su peso.
5. _____ Un número entero y su antecesor.
6. _____ La dimensiones de una sala de clases y los litros de pintura, para pintarla.
II.- Determina una función que modele cada situación planteada, previamente indica cuál es la
variable dependiente y cuál la independiente.
1. El sueldo de un trabajador depende de las horas que trabaje al mes. Si por cada hora trabajada
le pagan $ 5500, más un sueldo fijo de $150.000, ¿cuál es la función para calcular el dinero que
recibirá a fin de mes?
2. En la feria, don Juan vende a $ 200 el kilógramo de manzanas. ¿Cuál es la función que permite
calcular el precio de cierta cantidad de kilógramos?
3. El auto de Javier rinde 15 kilómetros por cada litro de bencina. ¿Cuál es la función que permite
calcular la cantidad de bencina que ha gastado en recorrer una determinada cantidad de
kilómetros?
4. Determina una función para el cuadrado de un número natural X.
III.- Resuelve los siguientes problemas:
1. Felipe compara las promociones de una pizza napolitana individual en diferentes lugares.
a) ¿Cuánto costarán 3 pizzas en cada lugar?
b) ¿Cuál es la función que modela el precio de x pizzas para cada lugar?
c) Si se quieren incluir 3 ingredientes adicionales, ¿cuánto costarán 5 pizzas en cada lugar?,
¿dónde es más conveniente?
d) ¿Cuál es la función que representa el precio con 3 ingredientes incluidos de x pizzas para cada
lugar?
2. En una panadería se vende diariamente cierta cantidad de pan. Completa la siguiente tabla
que representa la relación entre los kilogramos de pan y su costo.
a) ¿Cuál es precio de un kilogramo?
b) ¿Cuál es la expresión algebraica que modela esta situación?
c) ¿Cuál es la variable independiente y dependiente?
d) ¿Cuántos kilogramos de pan se pueden comprar con $ 10880?
e) Construye en tu cuaderno el gráfico que representa esta situación.
3. Una compañía de telefonía ofrece dos planes mensuales para sus equipos celulares: El plan
tarifa plana que cobra $60 por minuto y el plan flexible que cobra un cargo fijo de $2.000 más
$20 por minuto.
a) ¿Cuál es la variable dependiente y la independiente en este problema?
b) Deduce las funciones que corresponden a cada plan.
c) Completa las tablas de valores correspondientes a cada plan.
Plan Tarifa Plana:
x
0
50
100
150
200
250
300
0
50
100
150
200
250
300
y
Plan Flexible:
x
y
d) Construye en tu cuaderno un gráfico y representa en él las dos rectas correspondientes a ambos
planes, compara y obtén al menos dos conclusiones.
e) Si alguien canceló $8.400 en el plan flexible, ¿Cuántos minutos habló?
f) ¿Cuántos minutos como mínimo debe hablar una persona por celular en el mes, para que le sea
conveniente el plan flexible?
4.- Se tiene la función
a) f(0)=
e) f( n) =
f(x) = 3x + 1 , determina:
b) f(3) =
f) f( 2n - 1) =
c) f(8) =
d) f(-4 ) =
g) f(4) + 2∙ f(-3) =
5.- Completa la siguiente tabla:
6. En tu cuaderno, dibuja un diagrama sagital (de 0 a 5) para cada composición de funciones
planteada, además determina algebraicamente dicha composición.
7. Desarrolla el siguiente problema en tu cuaderno. Dada la función p(x) =
2x
encuentra:
a)
b)
8. Desarrolla el siguiente problema en tu cuaderno. Dos bancos A y B ofrecen distintas
promociones para un depósito a plazo mensual (por sumas mayores a 2 millones), las cuales
se expresan en las siguientes funciones, siendo X la cantidad depositada:
A(x) = 1,2x + 250.000
B(x) = 1,5x
a) Si una persona desea depositar $2.400.000, ¿Qué banco le conviene?
b) Si se deposita primero en el banco A la suma de 3 millones y su resultado se deposita al mes
siguiente en el banco B, ¿cuánto es la cantidad final?
c) Si el proceso anterior se hace en orden inverso, es decir, primero deposita en el banco B y al
mes siguiente en el banco A, ¿el resultado es el mismo?, calcula y justifica.
d) Determina algebraicamente la composición A o B y también la composición B o A
Luego compara resultados.
d) Determina para que cantidad depositada, cualquiera de los dos bancos arroja el mismo
resultado.