1. Educación

Elementos de la topolog´ıa en R. Una topolog´ıa en un conjunto da un criterio para poder
hablar de proximidad entre los elementos de un conjunto. En R hay varias topolog´ıas, y de
ellas s´
olo una est´
a inducida por el orden de R. Se llama topolog´ıa natural o usual de R.
En este cap´ıtulo se van a describir los conceptos y propiedades que tienen en R con esta
topolog´ıa natural.
El elemento b´
asico de esta topolog´ıa en R es el intervalo. Por definici´
on, si a, b ∈ R y a < b
(el caso a = b es trivial y carece de importancia) se definen
(a, b) = {x ∈ R : a < x < b}
[a, b) = {x ∈ R : a ≤ x < b}
(a, b] = {x ∈ R : a < x ≤ b}
[a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b}.
Se suele llamar intervalo abierto a (a, b), intervalo cerrado a [a, b], y semi-abiertos a los
otros dos.
Matemáticas
de
U
to
Para A ⊂ R al conjunto Ac = {x ∈ R : x ∈
/ A} se le llama complementario de A. Tambi´en
se denota como A. Se tienen las relaciones A ∩ Ac = ∅ y A ∪ Ac = R.
Definici´
on. Dados a ∈ R y A ⊂ R se dice que
a) a es un punto interior de A si ∃r > 0 : (a − r, a + r) ⊂ A;
b) a es un punto frontera de A si ∀r > 0
(a−r, a+r)∩A = ∅ y (a−r, a+r)∩Ac = ∅;
c) a es un punto adherente a A si ∀r > 0
(a − r, a + r) ∩ A = ∅;
e
rnand
F
a
r
u
o
d
S
a
m
d) a es un punto de acumulaci´
on de A si ∀r > 0
î
ó
(a − r, a + r) \ {a} ∩ A = ∅;
e) a es un punto aislado de A si ∃r > 0 : (a − r, a + r) ∩ A = {a}.
d
d
a
e Ex
d
i
s
r
e
tre
v
i
n
A
˚
A
∂A
A
A
{2, 4, 6, 8}
∅
{2, 4, 6, 8}
{2, 4, 6, 8}
∅
N
∅
N
N
∅
Q
∅
R
R
R
(0, 1)
(0, 1)
{0, 1}
[0, 1]
[0, 1]
∅
(0, 1] ∪ {2}
(0, 1)
{0, 1, 2}
[0, 1] ∪ {2}
[0, 1]
{2}
{1/n : n ∈ N}
∅
A ∪ {0}
A ∪ {0}
{0}
A
Matemáticas
de
U
to
Departamento de Matemáticas
Universidad de Extremadura
Ejemplos.
z - Departam
e
che
n
án
˚ ∂A, A, A y As a los conjuntos de puntos interiores, fronteras,
Se denotan mediante A,
adherentes, de acumulaci´
on y aislados del conjunto A.
As
{2, 4, 6, 8}
N
∅
Ejercicio. Escribir correctamente qu´e significa cada una de las sentencias siguientes, tal y
como se hace en el primer apartado:
Revisado el 23/10/2014
Topolog´ıa en R – 1
Departamento de Matemáticas
Universidad de Extremadura
d
d
a
e Ex
d
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s
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tre
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i
n
C´
alculo I
z - Departam
e
che
n
án
e
rnand
F
a
r
u
o
d
S 6. Topolog´ıa en R
a
m
e
rnand
F
a
r
u
o
d
S
a
m
˚ ⇔ ∀r > 0
a) a ∈
/A
(a − r, a + r) ∩ Ac = ∅
d
d
a
e Ex
d
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s
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e
tre
v
i
n
d) a ∈
/ A ⇔ ...
e) a ∈
/ As ⇔ . . .
Proposici´
on. Para cualquier subconjunto A ⊂ R se tiene
˚ ⊂ A ⊂ A;
A
˚ ∪ ∂A = A ∪ ∂A = A ∪ A ;
A=A
Si a ∈ A entonces a es interior o es frontera (pero no puede ser las dos cosas a la
˚ ∪ ∂A;
vez), es decir, A ⊂ A
d) ∂A = ∂Ac = A ∩ Ac .
a)
b)
c)
˚ A,... utilizando distancias. Si x ∈ R y A ⊂ R se
Se pueden caracterizar estos conjuntos A,
define
d(x, A) = ´ınf{|x − a|: a ∈ A}
Matemáticas
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U
to
que tiene sentido ya que {|x − a|: a ∈ A} est´
a acotado inferiormente (por 0) y por tanto
tiene ´ınfimo. Adem´
as, d(a, A) = 0 para todo a ∈ A.
Ejercicio. Comprobar que
1)
2)
3)
4)
5)
x ∈ A ⇒ d(x, A) = 0, pero la implicaci´
on contraria no es cierta en general
x ∈ A ⇔ d(x, A) = 0
˚ ⇔ d(x, Ac ) > 0
x∈A
x ∈ A ⇒ d(x, A) = 0, y no es cierta en general la implicaci´
on contraria
c
c
x ∈ ∂A ⇔ d(x, A) = d(x, A ) = 0 ⇔ x ∈ ∂A
z - Departam
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m
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e Ex
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i
n
Hay conjuntos abiertos, conjuntos cerrados, conjuntos que no son ni abiertos ni cerrados;
los conjuntos ∅ y R son los u
´nicos que son abiertos y cerrados. Por ejemplo, N es cerrado
y Q no es ni abierto ni cerrado. El intervalo (3, 7) es abierto, [−2, 4] es cerrado y [0, 6)
no es ni abierto ni cerrado. El conjunto {1 + 1/n : n ∈ N} no es abierto ni cerrado, pero
{1 + 1/n : n ∈ N} ∪ {1} es cerrado.
Proposici´
on. Un conjunto es abierto si y s´
olo si su complementario es cerrado, es decir,
˚c
ˆ
˚ ⇔ Ac = Ac , que tambi´en se puede escribir como A = A ⇔ Ac = A
A=A
.
Demostraci´
on. Hay varias formas de demostralo. Utilizando distancias:
˚ ⇔ [A ⊂ A]
˚ ⇔ [x ∈ A ⇒ x ∈ A]
˚ ⇔ [x ∈ A ⇒ d(x, Ac ) > 0]
A abierto ⇔ [A = A]
⇔ [d(x, Ac ) = 0 ⇒ x ∈
/ A] ⇔ [x ∈ Ac ⇒ x ∈ Ac ] ⇔ [Ac ⊂ Ac ] ⇔ Ac es cerrado.
Matemáticas
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˚ es decir, si todo punto de A es interior. Se
Definici´
on. Se dice que A es abierto si A = A,
dice que A es cerrado si A = A, es decir todo punto adherente a A pertenece a A.
Sin utilizar distancias: si A es abierto entonces todo punto es interior. Se trata de ver que
Ac es cerrado, es decir, Ac = Ac para lo cual basta con probar que Ac ⊂ Ac (el contenido
Topolog´ıa en R – 2
Departamento de Matemáticas
Universidad de Extremadura
c) a ∈
/ A ⇔ ...
z - Departam
e
che
n
án
b) a ∈
/ ∂A ⇔ . . .
e
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Si A es cerrado, se trata de ver que Ac es abierto. Sea x ∈ Ac . As´ı x ∈
/ A, es decir, x ∈
/ A.
c
Eso significa que existe (x − r, x + r) ∩ A = ∅ y por tanto (x − r, x + r) ⊂ A .
En general, mediante el paso al complementario, se pueden expresar relaciones de formas
distintas pero equivalentes. Las expresiones 1 y 1’ coinciden; la 2 y 2’ tambi´en, etc´etera:
1 x∈A
2 (x − r, x + r) ⊂ A
˚
3 x∈A
˚
4 A=A
5 A es abierto
1’
2’
3’
4’
5’
x∈
/ Ac
(x − r, x + r) ∩ Ac = ∅
x∈
/ Ac
Ac = Ac
Ac es cerrado
Definici´
on. Se llama topolog´ıa usual de R a la colecci´
on T formada por el vac´ıo y todos
los subconjuntos abiertos de R. Se escribe
a) ∅, R ∈ T
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Proposici´
on.
A ∈ T ⇔ A es abierto o A = ∅.
b) Ai ∈ T (i ∈ I) ⇒ ∪i∈I Ai ∈ T (la uni´
on de conjuntos abiertos es un conjunto
abierto)
on finita de conjuntos abiertos
c) Ai ∈ T (i ∈ I, I finito) ⇒ ∩i∈I Ai ∈ T (la intersecci´
es un conjunto abierto)
e
rnand
F
a
r
u
o
d
S
a
m
d
d
a
e Ex
d
i
s
r
e
tre
v
i
n
En general la intersecci´
on de infinitos conjuntos abiertos no es un conjunto abierto, como
por ejemplo
å
∞ Ç
1
(0, 1] =
0, 1 +
n
n=1
Proposici´
on. Un conjunto A ⊂ R es abierto si y s´
olo si es uni´
on de intervalos abiertos.
Demostraci´
on. Ya se ha visto que si A es uni´
on de intervalos abiertos entonces A es abierto.
Sea entonces A es un conjunto abierto. Para cada x ∈ A existe un intervalo (x − rx , x + rx )
que verifica (el radio rx var´ıa con cada punto x)
x ∈ (x − rx , x + rx ) ⊂ A.
Por tanto, tomando uniones,
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z - Departam
e
che
n
án
Demostraci´
on. La primera parte es trivial. Para la segunda, si cada Ai es abierto y
a ∈ ∪i∈I Ai entonces para alg´
un valor j ∈ I se tiene a ∈ Aj . Por ser Aj abierto se
tiene a ∈ (a − r, a + r) ⊂ Aj ⊂ ∪i∈I Ai . Por ´
ultimo, dada una cantidad finita de abiertos
A1 , . . . An ∈ T, si a ∈ A1 ∩ . . . ∩ An entonces a ∈ (a − ri , a + ri ) ⊂ Ai , ya que cada Ai es
abierto. Si r = m´ın{r1 , . . . , rn } entonces a ∈ (a − r, a + r) ⊂ A1 ∩ . . . ∩ An .
{x} ⊂
A=
x∈A
(x − rx , x + rx ) ⊂ A
x∈A
Topolog´ıa en R – 3
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z - Departam
e
che
n
án
inverso siempre es cierto). Sea x ∈ Ac . Si fuera x ∈
/ Ac entonces x ∈ A y por tanto
(x − r, x + r) ⊂ A. As´ı (x − r, x + r) ∩ Ac = ∅ y se llega a que x ∈
/ Ac , que no puede ser.
e
rnand
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y A es uni´
on de intervalos abiertos.
d
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n
Ai
i∈I
c
Aci ,
=
i∈I
Ai
i∈I
se tiene que
Aci ,
=
i∈I
a) ∅, R son cerrados,
b) la intersecci´
on de conjuntos cerrado es un conjunto cerrado,
c) la uni´
on finita de conjuntos cerrados es un conjunto cerrado.
Sin embargo, la uni´
on de cerrados puede resultar un conjunto no cerrado, como muestra la
igualdad
ô
∞ ñ
1
, 1 .
(0, 1] =
n=1 n
Matemáticas
de
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to
En cursos posteriores se estudian topolog´ıas en cualquier conjunto. Una topolog´ıa en
un conjunto A es una colecci´on T de subconjuntos de A, T ⊂ P(A), que verifica las
condiciones de la proposici´on anterior: a) ∅, A ∈ T, b) la uni´on de elementos de T es
un elemento de T y c) la intersecci´on finita de elementos de T es un elemento de T.
A los elementos de T se les llama abiertos de la topolog´ıa o, simplemente, abiertos.
Por ejemplo, las topolog´ıas con menos y con m´as abiertos posibles en A se llaman
grosera y discreta. La topolog´ıa grosera s´olo tiene como abiertos a ∅ y A. La topolog´ıa
discreta tiene como abiertos a todos los subconjuntos de A.
En este curso s´olo se estudia una topolog´ıa, la usual, en R.
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z - Departam
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án
ogicos la idea de que
Propiedades topol´
ogicas de R. Se puede expresar en t´erminos topol´
los n´
umeros racionales Q y los n´
umeros irracionales I est´
an por todas partes: en cada
intervalo (a, b) o (a − r, a + r), por peque˜
no que sea, hay n´
umeros racionales e irracionales.
Demostraci´
on. Dados a, b ∈ R con a < b se elige n ∈ N que verifique 1 < n(b − a), es decir
1/n < b − a. La existencia de este n se puede justificar utilizando la propiedad arquimediana.
Sea m ∈ Z verificando
m−1
m
≤a< ,
n
n
es decir, m − 1 ≤ na < m. La existencia de este valor m es f´
acil justificarla.
Se trata de probar que m/n < b y as´ı se tendr´ıa m/n ∈ (a, b). Si fuera m/n > b entonces
m m−1
−
>b−a
n
n
y se llega a una contradicci´
on, 1/n > b − a. Esto prueba que existe m/n ∈ (a, b).
Matemáticas
de
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Departamento de Matemáticas
Universidad de Extremadura
Teorema. En cada intervalo (a, b) hay n´
umeros racionales e irracionales.
Para ver que hay n´
umeros
en (a, b) se considera el mismo razonamiento
anterior
√ irracionales
√
√
aplicado al intervalo (a/ 2, b/ 2). Se encuentra un n´
umero m/n en ´el y as´ı m 2/n ∈ (a, b)
es el n´
umero irracional buscado.
Topolog´ıa en R – 4
Departamento de Matemáticas
Universidad de Extremadura
c
z - Departam
e
che
n
án
Como conjuntos cerrados y abiertos se corresponden mediante el paso al complementario
(A es cerrado ⇔ Ac es abierto), utilizando las leyes de De Morgan,
d
d
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e Ex
d
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v
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z - Departam
e
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n
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Seg´
un este resultado, si a ∈ R, entonces para cualquier r > 0 se tiene (a − r, a + r) ∩ Q = ∅,
y por tanto, a ∈ Q. El mismo razonamiento se puede utilizar para probar que a ∈ I. En
definitiva se tiene Q = R y I = R y se dice que Q e I son “densos” en R. Para una
topolog´ıa en un conjunto A, se dice que B ⊂ A es denso en A si B = A.
Corolario. En cada intervalo (a, b) hay infinitos n´
umeros racionales e infinitos irracionales.
El siguiente resultado es equivalente al teorema fundamental del orden en R. Muestra de
nuevo la diferencia entre Q (donde el teorema es falso) y R.
Teorema (Bolzano). Todo conjunto infinito y acotado de n´
umeros reales tiene alg´
un punto
de acumulaci´
on.
Este resultado no es cierto en el conjunto de n´
umeros racionales. Por ejemplo, A =
{1, 1 4, 1 41, 1 414, 1 4142, . . .} tiene infinitos elementos, est´
a acotado, y no tiene puntos
de acumulaci´
on: ese posible punto de acumulaci´
on no est´
a en el conjunto de n´
umeros
racionales.
Demostraci´
on. Sea A ⊂ R infinito y acotado. En particular A est´
a contenido en un intervalo
A ⊂ [a, b]. Se considera el conjunto
Matemáticas
de
U
to
®
C=
a la derecha de x hay
x ∈ [a, b] :
infinitos elementos de A
´
que es acotado superiormente (por ejemplo b es cota superior) y es no vac´ıo, ya que
a ∈ C. Sea entonces d = sup(C). La demostraci´
on termina probando que d es punto de
acumulaci´
on de A.
e
rnand
F
a
r
u
o
d
S
a
m
Para ello se ver´
a que dado r > 0 se tiene (d−r, d+r)∩A es infinito, con lo que resultar´
a que
d es punto de acumulaci´
on de A. Se tiene
z - Departam
e
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d
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n
a) a la derecha de d − r hay infinitos puntos de A, ya que en caso contrario d − r ser´ıa una
cota superior de C menor que d, y
De a) y b) se sigue que (d − r, d + r) ∩ A es infinito. En particular d es punto de acumulaci´
on
de A.
Conjuntos compactos. Se dice que una colecci´
on de conjuntos {Gi : i ∈ I} es un
recubrimiento abierto de A si cada Gi es abierto y A ⊂ i∈I Gi .
Definici´
on. Un conjunto A ⊂ R se dice compacto si de todo recubrimiento abierto de A
se puede extraer un recubrimiento finito (que se suele llamar subrecubrimiento finito), es
decir,

A⊂
Gi 
⇒ A ⊂ Gi1 ∪ Gi2 ∪ . . . ∪ Gin .
i∈I

Gi abierto ∀i ∈ I
Sea como sea el recubrimiento abierto de A, es suficiente con una cantidad finita para
seguir recubriendo al conjunto A.
Matemáticas
de
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b) a la derecha de d + r hay, como mucho, finitos puntos de A, ya que en caso contrario d
no ser´ıa cota superior de C.
Topolog´ıa en R – 5
Departamento de Matemáticas
Universidad de Extremadura
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S
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m
Ejemplos.
d
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e Ex
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i
n
z - Departam
e
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n
án
1) Todo conjunto finito A = {x1 , . . . , xn } es compacto, ya que de cada recubrimiento de
A elegimos un elemento del recubrimiento que contenga a x1 , otro que contenga a x2 ,
etc´etera.
2) Hay conjuntos infinitos como N que no son compactos: hay recubrimientos
Ç
N ⊂
n∈N
1
1
n− , n+
3
3
å
en los que si se quita alguno de esos conjuntos del recubrimiento entonces ya no es
verdad que siga siendo un recubrimiento de N.
3) Incluso hay conjuntos acotados que no son compactos, como muestran las siguientes
relaciones
Ç
®
´
å
1
1
1
1
1
:n∈N ⊂
− 2
,
+
n
n + n n n2 + n
n∈N n
Å
Ç
ã
0, 1
⊂
1
0, 1 −
n
å
Matemáticas
de
U
to
n∈N
4) R no es compacto
5) En cambio, {1/n : n ∈ N} ∪ {0} s´ı es compacto. Cualquier abierto que contenga a 0
contiene a todos los t´erminos 1/n salvo, a lo sumo, una cantidad finita de t´erminos.
La caracterizaci´
on y propiedades de los conjuntos compactos forman un apartado esencial
en el an´
alisis de una variable real. Una herramienta que simplifica este estudio es:
e
rnand
F
a
r
u
o
d
S
a
m
Lema. Si A ⊂ R, cada recubrimiento abierto de A admite un subrecubrimiento numerable.
Se dice que R es un espacio de Lindel¨
off.
d
d
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e Ex
d
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tre
v
i
n
Cada x ∈ A est´
a en alg´
un Gi , que es un conjunto abierto. Luego x ∈ Hn ⊂ Gi para alg´
un
n. Por tanto A est´
a recubierto por todos los Hn que intervienen en este proceso (que son
una cantidad numerable a lo sumo). A su vez, cada uno de estos Hn est´
a contenido en
alg´
un Gi seg´
un se ha visto antes. Luego A est´
a recubierto por una cantidad numerable de
abiertos Gi .
Como consecuencia, dado un recubrimiento A ⊂ ∪i∈I Gi , siempre se puede conseguir un
subrecubrimiento numerable (A debe estar contenido en la uni´
on de una cantidad numerable
de esos abiertos): A ⊂ Gi1 ∪ Gi2 ∪ Gi3 . . . Ser compacto dice que adem´
as se puede extraer
un recubrimiento finito.
Por este motivo, cuando se habla de un recubrimiento abierto de un conjunto A ⊂ R, es
frecuente suponer que ese recubrimiento es numerable, cosa que puede hacerse por el lema
anterior.
Matemáticas
de
U
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Universidad de Extremadura
z - Departam
e
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n
án
Demostraci´
on. En primer lugar, en R s´
olo hay una cantidad numerable H1 , H2 , H3 , . . . de
intervalos abiertos cuyos extremos son racionales. Sea A ⊂ ∪i∈I Gi un recubrimiento abierto
de A.
Topolog´ıa en R – 6
Departamento de Matemáticas
Universidad de Extremadura
e
rnand
F
a
r
u
o
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S
a
m
e
rnand
F
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o
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S
a
m
Teorema (Heine-Borel-Lebesgue-Bolzano-Weierstrass) Para A ⊂ R son equivalentes
d
d
a
e Ex
d
i
s
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e
tre
v
i
n
Demostraci´
on. La prueba consiste en demostrar las implicaciones 1) ⇒ 3) ⇒ 2) ⇒ 1) y
as´ı se tendr´
a la equivalencia entre todas: 1) ⇔ 2) ⇔ 3).
1) ⇒ 3). Para ello se ver´
a que si A no es cerrado o no es acotado, entonces A no es
compacto.
Si A no es acotado, entonces el recubrimiento abierto de A
Ä
A⊂
− n, n
ä
n∈N
no puede reducirse a un recubrimiento finito, ya que en ese caso se tendr´ıa
m
A⊂
Ä
− n, n
ä
=
Ä
− m, m
Matemáticas
de
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n=1
y A estar´ıa acotado.
ä
Si A no es cerrado, entonces existe un punto a de acumulaci´
on de A que no est´
a en A
(otra forma de decir que A = A). Se consideran los conjuntos
A1 = {x ∈ R : |x − a|> 1}
®
´
= [a − 1, a + 1]c
ñ
d
d
a
e Ex
d
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e
tre
v
i
n
A3
Adem´
as forman un recubrimiento abierto de A
A⊂
An
n∈N
ya que si x ∈ A entonces |x − a|> 0 y as´ı x ∈ An para alg´
un n. De este recubrimiento
no es posible extraer un subrecubrimiento finito. Si A estuviera contenido en una uni´
on
finita de esos conjuntos A ⊂ A1 ∪ . . . ∪ An entonces A estar´ıa contenido en el de sub´ındice
mayor, A ⊂ An . Pero entonces se tendr´ıa |x − a|> 1/n para todo x ∈ A y a no ser´ıa punto
de acumulaci´
on de A. Se llega as´ı a un absurdo, con lo cual A no puede ser compacto.
Matemáticas
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Departamento de Matemáticas
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que son todos abiertos y verifican A1 ⊂ A2 ⊂ A3 ⊂ . . .
z - Departam
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n
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e
rnand
F
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r
u
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A2
ô
1
1
1 c
= x ∈ R : |x − a|>
= a− , a+
2
2
2
®
´
ñ
ô
1
1 c
1
= x ∈ R : |x − a|>
= a− , a+
3
3
3
..
.
3) ⇒ 2). Es el teorema de Bolzano. Por ser A acotado, cualquier subconjunto B ⊂ A
infinito tambi´en lo es. Por el teorema de Bolzano B tiene un punto a de acumulaci´
on que
verifica a ∈ B ⊂ A = A.
Topolog´ıa en R – 7
Departamento de Matemáticas
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z - Departam
e
che
n
án
1) A es compacto
2) Todo subconjunto infinito de A tiene alg´
un punto de acumulaci´
on en A
3) A es cerrado y acotado
d
d
a
e Ex
d
i
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r
e
tre
v
i
n
z - Departam
e
che
n
án
2) ⇒ 1). (la demostraci´
on que aparece aqu´ı es algo distinta a la que se ha hecho en clase:
ahora es m´
as sencilla y m´
as corta, aunque los argumentos son los mismos.) Por reducci´
on
al absurdo, se supone que A no es compacto, es decir, que existe alg´
un recubrimiento
numerable de A ⊂ G1 ∪ . . . ∪ Gn ∪ . . ., que no admite ning´
un subrecubrimiento finito. En
ese caso se tiene que A ⊂ G1 ∪ . . . ∪ Gn para todo n = 1, 2, 3, . . .
En particular, A \ (G1 ∪ . . . ∪ Gn ) debe ser un conjunto infinito: si A \ (G1 ∪ . . . ∪ Gn ) fuese
finito, entonces como
A ⊂ (G1 ∪ . . . ∪ Gn )
∪
Ä
ä
A \ (G1 ∪ . . . ∪ Gn )
se tendr´ıa A ⊂ G1 ∪ . . . ∪ Gm para alg´
un m ∈ N, y esto no puede ocurrir.
Por tanto A\(G1 ∪. . .∪Gn ) es infinito para cada n = 1, 2, 3, . . . Como consecuencia, se puede
elegir una colecci´
on de elementos x1 ∈ A \ G1 , x2 ∈ A \ (G1 ∪ G2 ), x3 ∈ A \ (G1 ∪ G2 ∪ G3 ),
etc´etera, que sean todos distintos. Por ejemplo, en este proceso se consigue que G8 pueda
contener a x1 , x2 , . . . , x7 pero no a x8 , x9 , . . .
Se tiene {x1 , x2 , x3 , . . .} ⊂ A y, por hip´
otesis, tiene un punto de acumulaci´
on a ∈ A. Este
elemento a ∈ A debe estar en alg´
un Gm , es decir, a ∈ Gm para alg´
un m. Pero en ese Gm
s´
olo hay una cantidad finita de elementos xn , como mucho los m − 1 primeros. Esto dice
que a no podr´ıa ser punto de acumulaci´
on de {xn }.
Matemáticas
de
U
to
Esta ´
ultima demostraci´
on del caso 2) ⇒ 1) se puede hacer tambi´en as´ı:
si se supone que A no es compacto, existe alg´
un recubrimiento numerable de A ⊂
G1 ∪ . . . ∪ Gn ∪ . . ., que no admite ning´
un subrecubrimiento finito. En ese caso se tiene
que A ⊂ G1 ∪ . . . ∪ Gn para todo n = 1, 2, 3, . . .
e
rnand
F
a
r
u
o
d
S
a
m
d
d
a
e Ex
d
i
s
r
e
tre
v
i
n
a) Se comienza por un elemento x1 ∈ A. Este elemento verifica x1 ∈ Gn1 para alg´
un n1 .
b) Sea x2 ∈ A con x2 ∈
/ G1 ∪ . . . ∪ Gn1 . As´ı x2 = x1 . Adem´
as ∃n2 > n1 con x2 ∈ Gn2 .
c) Ahora se elige x3 ∈ A con x3 ∈
/ G1 ∪ . . . ∪ Gn2 . As´ı x3 = x2 , x3 = x1 . Sea n3 > n2 con
x3 ∈ Gn3 .
d) Sea entonces x4 ∈ A con x4 ∈
/ G1 ∪ . . . ∪ Gn3 . Con esto se consigue x4 distinto de
x1 , x2 y x3 .
e) etc´etera
z - Departam
e
che
n
án
Se encuentra as´ı un subconjunto infinito {x1 , x2 , x3 , . . .} ⊂ A que, por hip´
otesis tiene un
punto de acumulaci´
on a ∈ A. Este elemento a debe estar en alg´
un Gp . Sin embargo, este
Gp s´
olo contiene finitos elementos del conjunto {x1 , x2 , x3 , . . .} (si p < nk entonces Gp
s´
olo puede contener a x1 , . . . , xk ya que xk+1 , xk+2 , . . . ∈
/ G1 ∪ . . . ∪ Gnk ). Esto contradice
el hecho de que a sea un punto de acumulaci´
on de x1 , x2 , . . ..
Corolario. Son conjuntos compactos la uni´
on finita de compactos, la intersecci´
on de
compactos y los subconjuntos cerrados de compactos.
Definici´
on. Se dice que a es el m´
aximo de A si a = sup(A) y adem´
as a ∈ A. Se dice que
a es el m´ınimo de A si a = ´ınf(A) y adem´
as a ∈ A. Se denotan m´ax(A) y m´ın(A). Por
ejemplo, si A = (0, 1] entonces no existe m´ınimo, ´ınf(A) = 0 y sup(A) = m´ax(A) = 1.
Matemáticas
de
U
to
Departamento de Matemáticas
Universidad de Extremadura
Entonces se puede elegir una colecci´
on de infinitos elementos de A haciendo lo siguiente:
En general, ´ınf(A) y sup(A) son elementos de A o son puntos de acumulaci´
on de A. En
cualquier caso, ´ınf(A), sup(A) ∈ A.
Topolog´ıa en R – 8
Departamento de Matemáticas
Universidad de Extremadura
e
rnand
F
a
r
u
o
d
S
a
m
e
rnand
F
a
r
u
o
d
S
a
m
Proposici´
on. Si A es un conjunto compacto no vac´ıo, entonces A tiene m´
aximo y m´ınimo.
d
d
a
e Ex
d
i
s
r
e
tre
v
i
n
Bernard Placidus Johann Nepomuk Bolzano (Rep. Checa, 1781–1848)
Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (Alemania, 1815–1897)
Heinrich Eduard Heine (Alemania, 1821–1881)
´
´
F´elix Edouard
Justin Emile
Borel (Francia, 1871–1956)
Henri L´eon Lebesgue (Francia, 1875–1941)
Matemáticas
de
U
to
d
d
a
e Ex
d
i
s
r
e
tre
v
i
n
Matemáticas
de
U
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e
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n
án
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m
Topolog´ıa en R – 9
Departamento de Matemáticas
Universidad de Extremadura
z - Departam
e
che
n
án
Demostraci´
on. Como A es acotado y no vac´ıo existen ´ınf(A) y sup(A). Por ser cerrado
ambos est´
an en A.