1. Educación

(a) Una esfera
que
ycilindro
la
figura
pueden
l1-3)
hacia
ser
consideradas
abajo
como
lasfija.
desde la(filu¡a
parte
coordenadas
superior
de una
(b)se
posición
Larueda
del
plano
l1-2) sobre
elesfera
inclinado
estágeneralizada
completame
que se ha
distancia
por
y
por
(b) Un cilindro que
movido
el
centro
de
masa
el
d que ha
ángulo
rueda sinr,deslizarse
hacia abajo en un plano rugoso inclinado un
ángulo c.
dedor de su eje.
11.2.
EScribir
lasdesliza
ecuaciones
para el sistema del problem
de trasformación
c ) Una partícula que seSi
hacia
abajo sobre la superficie
interior, con coeficienno hay
y
deslizamiento
r d están relacionados, de modo que tan so
te de rozarniento
paraboloide(bien
un
¡r, degeneralizada
de coordenadas.ry
revolución
y son
tiene
sudeslizamiento
ejese
vertical
denada
sea r o que
e). Si
hay
Escojamos
un
sistema
de
como
muest¡a
en necesarias
la figura 1l
su vértice inclinados.
yzlneralizadas
r y e. rectangula¡es de n¿t fiz respectivamente. Entonces
lassecoordenadas
(d) Una (tz,
partícula que
mueve sobre un alambre muy largo siñ !rozamiento, el cual
que
rota mos
con(c)
velocidad
angular
constante alrededor
de
un eje horizontal.
posición de las
0t ! 02,
especifican
Las dos
coordenadas
completamente
11 cos
I1
d1
sen 01
Ut = 11 la
(o)
escleronómico
(las
ecuaciones
no
contienen
y
el
tiempo
se
la
figura
pueden
l1-3)
ú
erplícitamente,¡
ser
consideradas
como 2
las
coordenadas generalizad
Boletín de problemas – Mecánica Teórica (G2) – Curso 014-­‐15 no-holonómico (puesto que la esfera
J1 cosdl
abandona* la l2cosC2
52 que rueda
esfera fija en algrin A2
punto)
= 11 sendl * l2sen02
conservativo (la fuerza gravitatori a se puede obtener de un potencial)
1. Realizar los eecuaciones
jercicios propuestos en las presentaciones de clase del Tema 1 son las
de trasformación
pedidas.
EScribir
las
ecuaciones
para el sistema del proble
de
trasformación
(b) escleronómico
(la ecuación de constricción es la de una línea o un plano)
holonómico
Dar un conjunto de coordenadas generalizadas necesarias pcomo
ara especificar 2. congervativo
Escojamos
un sistema
de coordenadas.ry
se muest¡a en la figura
aP-.
completamente e
l m
ovimiento e
n c
ada u
no d
e l
os c
asos s
iguientes: a
) u
na partícula (c) escleronómico
(tz,
que
yzl las coordenadas rectangula¡es de n¿t ! fiz respectivamente.
Demostrar
Entonce
holonómico
obligada a moverse s
obre u
na e
lipse, b
) u
n c
ilindro q
ue r
ueda h
acia a
bajo e
n un \qo'
mos que
(puesto
que q
las
pueden
se d
obtener
de un apotencial)
plano ino-conservativo
nclinado, c) dos masas ue fuerzas
forman un 11
péndulo oble o
bligadas m
I1 de rozamiento
cosnod1
Utoverse = 11 sen 01
Tenemos
tu
tr(Qbgz, ..., {¡, t). Entonces
=
en (d)
un p
lano (
Spiegel)
reonómico
(las constricciones contienen
erplícitamente
ü)
J1 cosdl *el tiempo
l2cosC2
52
sendl * l2sen0
A2 = 11 oru
holonómico
(la ecuación de constricción es .lg de una línea
dtr. que contiene erplícitamente
el
+
ü)
son lastiempo
ecuaciones
de trasformación pedidas.
Aqrer
conservativo
3. Demostrar que (Spiegel) (
11.2.
11.3.
*0Q"-
, orr. ,
"'-'-ll;q¡tE
ru =
dr,
TRABAJO, ENERGIA CINETICA Y FUERZAS GENERALIZADAS
aP-.
Demostrar que
11.6. Deducir las ecuaciones (5) y (6) para el trabajo\qo'
realizado sobredan
un sistema0qo
de partícu las.
Podemos considerar
resultado
como
una "cancelación de los puntos"
tu este
tr(Qbgz,
=
Supongamos que Tenemos
un sistema erperimenta
inc¡ementos...,
dqr,{¡,
dq",t). ,Entonces
dqn de las coordenadas ge(
Spiegel)
4.
Demostrar q
ue neralizadas. Enüonces la v-ésima partícula experimenta un desplazamiento
dtr.
oru
.
11.3.Así
11.4.
Demostrar que
Así el trabajo total realizado es
288
4
*0Q"-
ru =
9i..
d'u =
4/!IL\
,2r*,oo'
= 0Q"'
dt\aq"/
Aqrer
+
, orr. ,
"'-'-ll;q¡tE
lcAP. rr
ECUACIONES DE LAGRANGE
dr,
dw
r,. at,
(I), =
Tenemos
=
de
del problema 11.3,
=
dan
5. Clasificar los siguientes sistemas s{"i
egún sean ellos: i) e"i+"aa"
sclorónomo o 0qo
":),
partícula
De
acue¡do
con
la
segrnda
la
r-ésima,
tenemos 0¡,
ley
de
Newton
aplicada
a
Arv.
.
reónomo, ii) holónomo o no holónomo y iii) conservativo o no conservativo: , Arv.
Podemos
resultado
considerar
este
como
una
los puntos" (r)
de
"cancelación
donde
ú,
+a
a. Una esfera que rueda hacia abajo esde la pmr'i,
arte =
superior de una esfera fija, = dá".;
afier+
b. Un cilindro que rueda sin deslizar hacia abajo en un plano rugoso inclinado Llamamos th"lafuerzageneralizada, asociadaconlacoordenadagenerarizadaqo.
un ángulo 𝛼, 02t,
02¡u
d2tu
Entonces
que
el
11.4.
Demostrar
*ti,.#
=
\.*
Entonces
c.
Una p
artícula q
ue d
esliza h
acia a
bajo s
obre l
a s
uperficie i
nterior, c
on 11.7. Demostrar que ec = 0W/0q".
0Q"'
coeficiente de rozamiento 𝜇, de un paraboloide de revolución que tiene su eje Ahora, por el problema r1.4,
i".*r(r?)
;".
=11.3,
Tenemos
por
vertical y su vdw
értice inclinados, problem
ir(r".
elproblema
t#oo".También,
=Tenemos
dw:
Entonces
#) a0rL.6,
# ) *ood{,.
de (I), del
O fel d. Una Ahora
partícula que se mueve sobre un alambre m
uy l
argo s
in r
ozamiento, .;,.y;;
Arv.
Arv.
*
o
.
>(*"
== de un eje horizontal. ,(Spiegel) 0¡,
cual rota con velocidad angular constante alrededor afier+
dg" son independientes, todos los coeficientes
02r,
Así, puesto que las
02ru (4)
de dqo deben ser ce¡o, y por02¡u
tanto ó" :
= *(r,.*E)
- 𝜈i,'.*
0W/)qo,
6. Sea 𝐹! la Aeí
fuerza neta externa que i,.dqfu;
actúa sobre la partícula -­‐ésima d
e u
n auauq"
02t,
02¡u
d2tu
sistema demostrar que (deSpiegel)
ya que my es constante,
Entonces
(2) tenemos,
Por tanto,
f 1.8. Sea F, la fuerza neta
actúa sobre
la y-ésima partícula de un sistema.
Demostrar queComo se supuso que r, tiene derivadas parciales continuas de segundo orden,
0í, que de (2) y (3) se llega al resultado pedido.
ción no tiene importancia. De modo
)m,i,'
0
Of
aq"
a todas las partículas r, tenemos
cún respecto
en ambos lados
Sumando
Ahora
El resultado
se puede
interpretar
como un intercambio
en el orden de los operad
ü\
02¡u
02ru
7. Si T es la energía cinética de un sistema de p02r,
artículas, demostrar aque aq"\E
(Spiegel) auauq"
f 1.9. Si ? es la energía cinética de
un sistema de partículas, demostrar que
tiene derivadas parciales continuas de segundo orden
(a) Como se supuso que r,(b)
=
ción no tiene importancia. De modo que de (2) y (3) se llega al resultado pedido.
DE
LOS
CLASIFICACION
puedeSISTEMAS MECANICOS
resultado
se
en el orden de los oper
(o) El
La energía
cinérica
es f = interpretar= como un intercambio
i,. Así
I7^r3
L2^"|".
Así
n,'}}au
¡v =
.i
4
"'+l¡%+E
9i..
4/!IL\
dt\aq"/== t*t*qr*"'+aqiq"c"+acá¡
#{e
d:,\dqu a/a
/|r,\dq,,,.*"'-#)o'"acr\acJEa%\a%)E- ü\a
¡v =
"'+l¡%+E
+ an,aq¡*tr + "' +
= t*t*qr*"'+aqiq"c"+acá¡
*(^,','*) - ^,','* = ','fr
d:,\dqu a
=/|r,\dq,
?','#,
"'acr\acJEa%\a%)E¿/ a\ = /¿I\
¿¡\aq")
) + an,aq¡*tr + "' +
#=1*,r,.*,
11.5.
#
)m,i,.H
Clasificar cada uno de los siguientes
sistemas
ellos sean: (i)
¿/
a\
asegún
Oiu
/¿I\
aT
s
= ¿¡\aq")
y (iii)) conservativos
iry"'ll; = aq"\E
reonómicos, (ii) holonómicosac"
o no-holonómicos
vos.(b)
1 Tenemos por la "cancelación de los puntos" (problena 11.3),
d1'siirs.ot"
= zmr\'ñ
ñ
=
zmu¡u'ld
n
270
15 D’Alembert Principle and Derivation of the Lagrange Equations
find the equation
i
(Fai − p˙ i ) · δri = 0,
where the individual terms can differ from zero; only the sum in (15.6b) van
equation expresses the d’Alembert principle.
8. Determinar la condición de equilibrio del sistema representado en la figura usando el principio de los trabajos virtuales de D’Alambert. Las masas m1 y m2 EXAMPLE
cuelgan de dos poleas fijas concéntricas con radios R1 y R2. Las masas de las poleas pueden despreciarse. (Greiner) 15.1 Two Masses on Concentric Rollers
15.1
Two masses m1 and m2 hang on two concentrically
fixed rollers with th
Virtual Displacements
271
and R2 . The mass of the rollers can be neglected. The equilibrium conditio
determined by means of the principle of virtual work.
For the conservative system under consideration (where no friction ap
total work performed by the constraint reactions vanishes, i.e.,
EXAMPLE
15.2 Two Masses Connected by a Rope on an Inclined Plane
i
Fzi · δri = 0.
friction.
In the setup shown in Fig. 15.2, two masses connected by a rope move without
In the present example, the constraint forces are the string tensions F1z and
15.1. Two masses on con of motion shall be established by means ofFig.
The equation
the
d’Alembert
principle.
For vanishing of i Fzi · δri in the equilibrium state is equivalent to th
The
centric rollers: The string tenz
z
ofu
the
torques
imposed
by the
tensions F1z , F2z through the radii R1 ,
sions F1cand
F2 are parallelpor la figura onectadas na cuerda que se string
mueven the two masses,9.
this En principle
readstenemos dos masas but have different magnitudes
F1zrincipio = D2 = R2 Fd2ze .
D1 =eRl 1p
sin fricción. Establecer la ecuación de movimiento usando D’Alembert. (
Greiner) By means of the constraint, it follows with δz1 = R1 δϕ, δz2 = −R2 δϕ, tha
(15.7)
(Fa1 − p˙ 1 ) · δl1 + (Fa2 − p˙ 2 ) · δl2 = 0.
F z δz1 + F z δz2 = (F z R1 − F z R2 )δϕ = (D1 − D2 )δϕ = 0.
2 15.2. Two
1
2
Fig.
masses
on an
1
inclined
plane
a tensions are equal.
= R2 ), the by
string
In the case of
equal radii
(R1connected
From rope
i
Fai · δri = 0,
it follows that
m1 gδz1 + m2 gδz2 = 0.
The length of the rope is constant (constraint):
10. a) Determinar la Lagrangiana de un péndulo simple, b) obtener la ecuación The displacements
are correlated
by the constraint condition; we have
l. describe su movimiento. (Spiegel) l1 + l2 =que δz2 = −R2 δϕ.
δz1 = R1 δϕ,
Hence, we obtain
This leads to
DE LAGRANGE
lcAP. l1
11. ECUACIONES
Una masa M
2 cuelga de uno de los extremos de una cuerda que pasa sobre (m1 R1 − m2 R2 )δϕ = 0
una polea y que no rota. En el otro extremo de la cuerda hay una l¨1 s=in −rl¨2ozamiento .
δl1 = −δl
2 and
centro
de lacor
y Xznlas
masas
Xtque Sean respectivamente
! Mz por
polea o rdistancias
ota de demlas
asa M1Mt
sobre la debajo
cual del
pasa una uerda que porta las masas m1 polea The
respectivas distancias de m¡ y m2por debajo del centro de la polea mó¡z las are
fija. inertial
Sean ¡r yforces
m2 R2
m1 R
1=
y m2. a) Determinar la Lagrangiana del sistema. b) Hallar la aceleración de M2. vil M1.
Puesto que las ¨cuerdas son de longitud¨fija,
as the equilibrium condition.
p˙ 1 = m1(Spiegel)
l1 and p˙ 2 = m2 l2 .
tt+ü2 = constante = ü
XL+ Xz = constante = 6',
By inserting this into (15.7) and taking into account that the accelerations are parallel to the displacements, we have
Entonces diferenciando con respecto al tiempo
ú,
ir+li, = s o *r- -*,
Y
sin α −=m01 l¨1 )δl
(m=2 g-xr
sin β − m2 l¨2 )δl2 = 0,
(m1 grr+tt2
o 1 +fr2
(m1 g sin α − m1 l¨1 − m2 g sin β − m2 l¨2 )δl1 = 0,
M, - *,
or
Velocidad de M, - *, = -*,
.
.l
sin=α −
m2 sin
rtlβ = Xt 4 rt
Velocidad m
de1rn,
;16r+
g.
l¨1 =
m1 + m2
Así tenemos
Velocidad de
=
*r*r*
12)
=' *, +
i, = *, - i,
,nl
Fig. rl-5
Entonces, Ia energía cinética total del sistema es
(r)
m, (*, - i,\'
* gm¡(*1+i,)zde +LLagrange r =12.twr*i
+l+Mr*1
Usar as ecuaciones para determinar la ecuación diferencial de EXERCISE
La energía potencial
que pasa por el cendel sistema medida con relación al plano horizontal
las mtotal
asas en oscilación de la figura, (Spiegel)
es
v
15.3 Equilibrium
Condition of a Bascule Bridge
e)
= -Tn',oo**',
-:::: -.1"1.;J,i;',;,:":.;:i*',* o
Problem.
Find
by
means
of
the
d’Alembert
principle
the
equilibrium
condition
for
Entonces la lagrangiana es
tro de la polea fija
-,u
L = ofT-V
(a) a lever
length l1 , with a mass m at a distance l2 from the bearing point, and
¡ at¡m¡*r-ir¡z
+ Sml*1*ir¡z
upward
its end; and
with a=force
F1+acting
tMr*1
+M2*1vertically
(3)
-l
mzc(Xt*ü-r1)
mú(Xt*¡r)
M2s@-Xt)
+
MúX,
*
(b) the bascule bridge in Fig. 15.4, with the forces G4and
Q acting.
Las correspondientes ecuaciones de Lagrange para X ¡ j
a
¡
son
d/aL\
a¿ = o,
^ d/aL\ dL
al#;)-#,
a\r;)- r,
De (3) tenemos
Af.
= Mú-Mzg+rnplm2g
= (Mt-Mz*m1lrn2)g
=
o
2 (4'
Fig. 15.3. Lever with mass m
and force Fl
X2=-Xt=g resueltos
Problemas
l1'14' Usar las
de
para determinar la
AS OSCILANTES
Problemas
DE
resueltos
PARTICULAS
en oscilación
del problema
ecuaciones
Lagrange
sas
ecuación diferencial de las ma-
g.1.
s masas iguales mRefiriéndonos
a las figuras 8-T
y 8-g, la energía cinética es
se conectan
por
S
OSCILANTES DE
PARTICULAS
sortes que tienen la
(1)
misma constan_ T = \mil+ grni:l
sx,masas
iguales
Como
losse
alargamientos
m
de ios reso¡tes
conectan
por
g_Z AP, PQ y QB de la figura 8-8 son numéricamente iguales a r¡,
como se
muestra
en
la
figura
xz - xt y 12 respectivamente, la energía potencial del sistema es
ortes
tienen
la misma
que
constan_
modoque
las masas
libres
están
y
r1)2 r lx',?"
e)
x,
g_Z= ¡*r2'-t !r(r2como
se
muestra
en
la
a deslizarse sobre
figura
una
De modo
que la
superficie
lagrangiana
es lisa
que
modo
las
masas
libres
Fig. t-Z
están
B. Los extremos del
L se
resorte
= T-V
- +nxil+t*i,tr-**"1_ t*@r_n112_$rxf,
hallan
(3)
a deslizarse
sobre
una
superficie
os
LasA
ecuaciones
a las paredes
y B.
deDeterminar
Lagrange sonlisa
Ct xi
Fig. t-Z Di rzi
d /aL\ a¿ ^
Los extremos
d /aL\
del resorte del
se hallan
s. ecuaciones
diferenciales
movi_ a''=u' ¿¡l;ilu)
Tr\;l)
s
paredes
a
las
A y B. Determinar
ento de las masas.
Ct xi
Di rzi
y - movi_
Entonces como del
ecuaciones diferenciales
-Krr* x(r2-n1l
= r(r2-Zrr),
0rt Classical
Mechanics
Sean r,i y 12i (figura g_g)CM:
los
desplaza_
ento
de las
lasmasas
masas.
ntos de
AB
AL
desde sus posiciones
de
dn,= -*(n'-e)-Krz = 'c(rt-2'r),
ilibrio
y
C
D'en
cualquier
g_g) los
Sean r,i y 12i
(figura tiempo
f desplaza_
Fis.8-E
ecrraciones (4) se convierten
ntos de las masas las
AB m'iz
(5)
desde
sus posiciones"ndemt, = K(rc2-rrrr,
Chapter 2
.
itla isecuación especially
remember
at composing
the Lagrange
13.Here
Usar de important
Lagrange topara hallar lthat
a ecuación diferencial de un en concordancia
librio C y D'en cualquier
que se obtuvie¡on en el problema g.1.
conf las
tiempo
.
Fis.8-E
equation,
péndulo ompuesto que oscila variables,
en un plano vertical alrededor de un eje horizontal be ctreated
as independent
so that
1r'15' Usar las ecuaciones
de Lagrange para hallar la ecuación diferencial de un péndulo
fijo. (Spiegel)
compuesto que oscila en un plano vertical alrededor de un
L eje horizontal
fijo. L
mR 2 ,
mR 2 2 sin cos
mgR sin ,
Consideremos
que
el plano de oscilación está representado
)
and
ha
(2.
por el plano ry de la figura ll-6, donde O es la inte¡sección
con
el eje de rotación y C es el cent¡o de masa.
Co
que la masa del péndulo es M y su momento
giving
the
equation
of (K
motion
cto a su eje
de rotación
:
es 16 : MK2
de inerc
radio de
istancia OC : h.
Si d es el ángulo instantáneo que hace OC
con el eje vertipasa po¡ O, entonces la energía cinética es ? :
¡tobt :
energía potencial con relación al plano ho¡izontal
que pasa por O es V :
po¡
cos d.
tanto la lagrangiana
cal
que-
lMXz'ez. La
-Mgh
es
L = T-V
Puesto queóL/Oe =
ción de Lagrange es
o
- l2Mlfziz*Mghcose
-Meh sen d y dL/6it = MR26, la
As a sanity check,
at
ecua-
#(#)sea
MK2';*Mghsene = 0
-e
o
=
d
mR 2
dt
2
=
0
Compare con el problema 9.24.
ll'16'
2
sin cos
mgR sin
0.
(2.
0 we get the correct equation of the usual pendulum:
o
T+*""ne
'K2
mR 2
sin
0, where
g
R
1/ 2
.
(2.
Fig.ll-6
explorede the
fullmdynamic
equation
(25) inde more
detail
later, but please note how simp
14.We
Una will
partícula masa se mueve en un campo fuerza conservativo. Una partícula derivation
de masa /n se mueve
en
un
campo
de
fuerza
was,
in
comparison
with
writing
the
Newton
laws
and
then
excluding the reaction force.
conservativo.
(o)
Hallar
Hallar a) la f(b)
unción de Lagrange, b) las ecuaciones de movimiento en coordenadas la función
de Lagrange
las ecuaciones de movimiento en coordenadas cilíndricas
(p, ó, e) (véase el problema LI47). (Spiegel)
cilíndricas (𝜌,Next,
𝜙, 𝑧). though the
Lagrangian formalism was derived from the Newton law for mecha
systems, the resulting equations are applicable to other dynamic systems, especially those for whic
15.kinetic
Repetir el ppotential
roblema aenergies
nterior may
si la pbe
artícula mueve en via
el plano y si el and
readilyse expressed
somexy generalized
coordinates. As
potencial depende únicamente la well-known
distancia al connection
origen. (Spiegel)
of a capacitor with capacitance C
simplest
example,
considerde the
(Fig. 3)
inductive coil with self-inductance L.10 (Electrical engineers frequently call it the LC tank circuit.)
16. Considerar el circuito LC de la figura I
Q
V
C
L
Fig. 2.3. LC tank circuit.
A baja frecuencia podemos usar la siguiente aproximación. Describimos la energía At relatively low frequencies we may use the so-called lumped-circuit approximation,1
del sistema como la suma de dos componentes: describing the energy of the system!as the sum!of two components:
𝑄
𝐿𝐼
𝐸! =
, 𝐸! =
Q 2
LI 2
2𝐶
EC 2
, EL
.
(2.
Como la corriente I y la carga eléctrica Q en el condensador están 2C
2 ligadas por la ecuación de continuidad dQ/dt=I, parece natural declarar la carga como Since current
I and electric
charge Qcomo on the
capacitorgeneralizada. are connectedCby
coordenada generalizada, y la corriente, velocidad on the
esta continuity equation dQ
I, itla isenergía natural etolectrostática declare the E
charge
a generalized coordinate, and the current, the generalized velo
elección, C(Q) podría ser tratada como energía potencial With
this
choice,
the
electrostatic
energy
EC (Q)
be treated
as the potential energy U o
V del sistema, y la energía magnética EL(I), como su eshould
nergía may
cinética T. a) Obtener and the
EL(I), as itsb) kinetic
energy
T. With
this attribution, we get
con la system,
Lagrangiana la magnetic
ecuación energy
de movimiento, discutir porque la elección anterior no garantiza que la cToordenada generalizada sean EC Por EL
T y la Efuerza U únicas. Q
L
LI LQ, el flujo m
0,
(2.
ejemplo, si usamos como coordenada g
eneralizada agnético 𝛷
a
t
ravés de ,
q
I
q
Q
q
Q C
la bobina, relacionada con la caída de voltaje V a través del circuito por la ley de so that the Lagrangian equation of motion is
10
Let me hope that this traditional notation
would not lead to the confusion between the inductance an
3 Lagrange function.
11 See, e.g., EM Sec. 6.5.
276
15
D’Alembert Principle and Derivation of the Lagrange Equations
These equations are called Lagrange equations, and the quantities ∂L/∂ q˙ν are called
generalized momenta. In Newton’s formulation of mechanics, the equations of motions are established15.1
directly.
TheDisplacements
forces are thus put in the foreground; they must be
Virtual
277
specified for a given problem and inserted into the basic dynamic equations
For the potential, we have (conservative system),p˙ i = Fi , i = 1, . . . , N.
Example 15.4
2/2L debería Faraday V=-­‐d𝛷/dt. Ahora, (In-­‐V) es la coordenada generalizada, EL= 𝛷
the Lagrangian formulation the Lagrangian is the central
quantity, and L includes
V = mgyentenderse = mgl sin α. como la energía potencial y E =CV2/2 tratarse como energía cinética. c) both the kinetic energyC T and the potential energy V . The latter one implicitly involves
the forces. After
established,
the Lagrange equations
be established
Si l
os p
arámetros C
y
L
s
on constantes en eLl tisiempo comprobar que el cancircuito se The Lagrangian therefore reads
and solved. Both methods are equivalent to each other, as can be seen by stepwise
!
inversion
of the steps
leading
from
(15.6a) to (15.18).
comporta como un oscilador armónico con una oscilación de frecuencia 𝜔! = (!")! . 1
L = T − V = ml 2 α˙ 2 − mgl sin α.
2
EXAMPLE
We insert L into17.
the Lagrange
equation
Dos bloques de (15.16):
masas iguales están conectados por una barra rígida de mueven sin f15.4
ricción a lo Connected
largo dby
e ua na Two Blocks
Bar trayectoria dada (figura). La d ∂L longitud ∂L
d l y2 se 2
α
˙
)
+
mgl
cos
α
=
0
−atracción = (ml
a lo largo del eje y negativo. La coordenada dt ∂ α˙
∂α
dt de la tierra actúa Two
blocks of equal mass that are connected by a rigid bar of length l move without
generalizada es el ángulo 𝛼friction
(correspondiente a un Fig.
único rado de lof
ibertad del along
along a given path (compare
15.5).gThe
attraction
the earth acts
the negative y-axis.
The generalized
is the angle
to the
sistema). Encontrar la Lagrangiana, la ecuación de coordinate
movimiento, y αla (corresponding
trayectoria del g
cos α =𝛼0,
α¨ + cos α = single
0. degree of freedom of the system).
ml 2 α¨ + mgl
sistema (𝑡). (Greiner) l
and
Fig. 15.5. Two blocks are
connected by a bar
Multiplication by α˙ yields
g
α¨ α˙ + α˙ cos α = 0.
l
These equations can be integrated directly. One obtains
1 2 g
α˙ + sin α = constant = c
2
l
or
x and y of the two blocks, we have
For the relative distances
18. Dos masas m y M están conectadas por una cuerda del longitud total x = l cos α,
y = l sin α.
constante l
=
r
+
s
. L
a m
asa d
e l
a c
uerda e
s muy pequeña comparada con la suma g
The constraint is holonomic and scleronomic. We will determine the Lagrangian
α˙ = 2 m+M. c − sin
α
.
l La masa m puede rotar con la cuerda (con variación parcial de la longitud r) L = T − V.
sobre el plano. La cadena lleva a m a través de un agujero en el plano, donde la Separation of
the
variables
α
and
t
leads
to
the
equation
kinetic energy
of the system is (con la longitud parcial también masa M cuelga de la cuerda The
estirada firmemente α
1e los variable s
=
l
-­‐
r
). D
ependiendo d
v
alores de ω de la rotación de m en el plano, x˙ 2 + y˙ 2 ).
T = m(
dα
dα
2
, deslizarse t − t0 = √
dt = √ el arreglo puede hacia arriba o h.acia abajo. Por lo tanto, la masa M se 2(c − (g/ l) sin α)
(g/ l)we
sinform
α x˙ and y:
For2(c
this −
purpose,
˙
α0 del eje z. Las limitaciones que caracterizan al sistema mueve solamente a lo largo x˙ = −l(sin
α)d
α,
˙ isposición y˙ = l(cos α)α.
˙
son holonómas y esclerónomas. sta The constants
c and
t0 are determined
from the givenEinitial
conditions. tiene dos grados de libertad. Los we get for T generalizadas φ y s que describen dos correspondientes a las Thus,
coordenadas 1
de este sistema 1conservativo. a) Encontrar EXAMPLE unívocamente el estado de mTovimiento = m l 2 (sin2 α)α˙ 2 + l 2 (cos2 α)α˙ 2 = ml 2 α˙ 2 .
2
2
la Lagrangiana del sistema, b) las ecuaciones de movimiento y c) el momento angular. D
iscutir l
os m
ovimientos p
osibles d
el s
istema s
egún que el momento 15.5 Ignorable Coordinate
angular supere o no al valor del momento angular para la posición s0 de equilibrio We will usedel the following
for the Lagrangian formalism to explain the consistema. example
(Greiner) cept of the ignorable coordinate. The arrangement is shown in Fig. 15.6.
Fig. 15.6. Two masses m and
M are connected by a string
4