1. Educación

En el mundo hay objetos, situaciones y eventos
que, a menudo, debemos medir; para hacerlo,
necesitamos los números. Al conocer la estatura
o edad de una persona, compartir el número de
celular a un amigo, determinar el consumo eléctrico
en la casa, comprender la economía del país o
desarrollar una investigación científica —por
mencionar algunos casos— los utilizamos. Incluso
en áreas como la música, es posible expresar el
ritmo con números enteros o fracciones. Por eso,
es importante reconocerlos y saber usarlos; si
deseamos precisar cuándo un número es divisible
entre otro, por ejemplo, requerimos no solo dividir,
sino también distinguir con cuáles se relaciona,
es decir, obtener su familia de números primos
para hallar la respuesta. En el estudio de la
naturaleza, los números y la geometría nos ayudan
a interpretar las formas y figuras; por ejemplo en
una estrella de mar de cinco picos observamos una
forma pentagonal y los ángulos que se forman
entre las líneas que unen los extremos de sus
brazos y centro es de 72º aproximadamente.
Bloque 2
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Aprendizajes esperados
1. Resuelve problemas utilizando el máximo común divisor
y el mínimo común múltiplo.
2. Resuelve problemas geométricos que impliquen el uso de las
propiedades de las alturas, medianas, mediatrices y bisectrices
en triángulos y cuadriláteros.
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Lección 14 Criterios de divisibilidad I
Eje: sentido numérico y pensamiento
algebraico
Tema: números y sistemas de
numeración
Contenido
Formulación de los criterios de
divisibilidad entre 2, 3 y 5. Distinción
entre números primos y compuestos.
Los chocolates: divisores de un número
Cristina trabaja en una empresa empacadora de chocolates; hoy debe empaquetar 2 250
en cajas de 25 piezas.
1. ¿Cuántas cajas empacará hoy?
90 cajas.
2. Explica el procedimiento que usaste para responder la pregunta anterior.
R. P.
3. Si solo hubiera cien chocolates, ¿cuántas cajas podría empacar?
Cuatro.
4. Reúnete con un compañero. Lean el planteamiento y contesten las preguntas.
Más tarde, le pidieron a Cristina que empacara treinta chocolates de menta en bolsas; sin embargo,
el supervisor olvidó indicarle cuántos deberían ir en cada una.
a) Si las bolsas deben tener el mismo número de piezas, ¿cuántas necesitará y con qué cantidad
de chocolates? Escribe una posible respuesta.
15 bolsas con 2 chocolates.
b) ¿Cuántas posibilidades tiene para empaquetar los chocolates? Consideren cuántos son y recuerden
Oriéntate
Recuerda las partes de la
división.
Cociente
Divisor
Dividendo
Residuo
que cada bolsa debe tener la misma cantidad. 30 bolsas con 1 chocolate, 15 de 2, 10
de 3, 6 de 5, 5 de 6, 3 de 10, 2 de 15 y 1 de 30.
c) Redacten el procedimiento que siguieron para obtener las respuestas anteriores.
R. P.
d) Si hubiera diez chocolates, ¿de cuántas maneras podría empacarlos en bolsas con la misma
cantidad de piezas?
10 bolsas de un chocolate, 5 de 2, 2 de 5 y 1 de 10
e) Si solo hubiera cinco chocolates, ¿de cuántas maneras podría empacarlos en bolsas con el mismo
número de piezas?
5 bolsas de chocolate o una bolsa de 5 chocolates
f) Analicen de manera grupal sus respuestas, comparen sus procedimientos e identifiquen dudas y
cómo resolverlas.
78
Bloque 2 Lección 14
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Lección 14
Un paso adelante
Con cincuenta chocolates se pueden empacar dos cajas de 25 piezas cada una porque 50 ÷ 25 = 2;
pero también es posible empacar 25 cajas con dos chocolates cada una porque 50 ÷ 2 = 25.
Como las divisiones anteriores no tienen residuo sabemos que 25 es divisor de 50, pero también 2
es divisor de 50.
El divisor de un número es aquel con que, al efectuar la división, el residuo es cero. Se dice que a es
divisor de b si existe un entero c tal que b = ac, donde a, b y c son enteros. Al buscar un divisor, se
encuentra otro en el cociente; por ejemplo: 35 ÷ 7 = 5, entonces 5 y 7 son divisores de 35.
5. Encuentra dos divisores de los números y escríbelos en tu cuaderno.
720 2, 360
150 2, 75
No.
6. ¿El divisor de 199 es 7?
39 3, 13
27 3, 9
Explica cómo puedes comprobarlo.
La división 199 entre 7 no tien residuo cero.
7. ¿Hay algún número que sea divisor de todos los demás?
Sí.
¿Cuál es? El uno.
8. Reúnete con dos compañeros y contesten las preguntas.
a) ¿Cuáles son los divisores de los números?
2:
1
1
3:
5:
1
7:
1
11:
1
b) Observen la cantidad de divisores que tienen los números anteriores.
¿Cuántos son para cada uno?
Oriéntate
Dos.
Los divisores de 8 son 1, 2,
4 y 8.
c) ¿Cuáles son los divisores de los números?
4:
1, 2, 4
6:
1, 2, 3, 6
15:
1, 3, 5, 15
20: 1, 2, 4, 5, 10, 20
Profundiza
Los números primos son aquellos que no tienen más divisores que ellos mismos y la unidad.
Por ejemplo: 2, 3, 5 y 7.
Los números compuestos son aquellos que tienen más de dos divisores. Por ejemplo: 10, pues sus
divisores son 1, 2, 5 y 10.
9. Reúnete con un compañero. Escriban en su cuaderno los primeros quince números primos
ubicados entre 1 y 100. Redacten qué procedimiento usaron para encontrarlos.
2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47
10. Comparen las respuestas de los ejercicios 5 al 9 con las de sus compañeros. Comenten
sus procedimientos y redacten una breve conclusión.
Lección 14 Bloque 2
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Lección 14 Criterios de divisibilidad I
11. Reúnete con dos compañeros y contesten las preguntas.
a) ¿Cuáles son los divisores de los números? Escríbanlos en sus cuadernos.
i. 2 1, 2
4 1,2,4
16 1,2,4,8,16
28 1,2,4,7,14,28 40 1,2,45,8,10,20,40
ii. 501,2,5,10,25,50 32 1,2,4,8,16,32 14 1,2,7,14
76 1,2,38,76
38 1,2,19,38
2
b) Además del 1, ¿qué otro número es divisor común de los anteriores?
0,2,4,6,8.
c) ¿En qué dígitos terminan los números anteriores?
cifra par
Escriban una característica que compartan.
d) Redacten, con base en la información anterior, una regla para determinar cuándo un número
R. P.
es divisible entre 2.
e) Escriban en sus cuadernos todos los divisores de los números.
i. 3
9
12
27
42
ii. 60
72
84
96
18
3
f) Además del 1, ¿qué otro número es divisor común de los anteriores?
g) Sumen los dígitos de cada número y escriban el resultado en la línea. Observen el ejemplo.
i. 3:
27:
ii. 60:
96:
3
6
6
9:
9
42:
9
72:
9
12:
3
84: 8 + 4 = 12, 1 + 2 = 3
18:
h) Observen los resultados anteriores; se darán cuenta de que esos números comparten una
característica, pues están relacionados con 3. ¿Cuál es?
múltiplos de 3
i. Redacten, en sus cuadernos, una regla para determinar cuándo un número es divisible entre 3.
ii. Compartan la regla con sus compañeros. En grupo y con ayuda de su profesor comenten las
reglas que escribieron, verifiquen si funcionan y redacten, en sus cuadernos, una conclusión.
iii. Comenten y registren las dificultades que tuvieron. Comenten, con ayuda de su profesor, cómo
resolverlas.
Un criterio de divisibilidad es la característica que expresa cuándo un número es divisible entre otro.
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Bloque 2 Lección 14
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Lección 14
Todo número es divisible entre 2 si termina en 0 o cifra par (2, 4, 6, 8); por ejemplo, 2 876, porque
termina en 6 (cifra par).
Todo número es divisible entre 3 si la suma de sus cifras es múltiplo de 3; por ejemplo, 3 192,
porque 3 + 1 + 9 + 2 = 15, 1 + 5 = 6, y este resultado es múltiplo de 3.
12. Completa la tabla.
Número
Divisores
¿Es primo o compuesto? ¿Es divisible entre 2? ¿Es divisible entre 3?
6
1,2,3,6
Compuesto
Si
Si
33
1,3,11,33
Compuesto
No
Si
23
1,23
Primo
No
No
88
1, 2, 4, 8, 11,
22, 44 y 88
Compuesto
Si
No
96
1, 97
Primo
No
No
13. Retoma el problema inicial de la lección y responde las preguntas en tu cuaderno.
a) ¿Es posible que Cristina empaque los 2 250 chocolates en paquetes de dos chocolates sin que le
sobren? ¿Cómo podrías determinarlo? Redacta el procedimiento que te permita averiguar si es posible.
Sí, termina en cero.
b) ¿Podría empacarlos en bolsas de tres chocolates sin que sobren?
Sí.
c) ¿Cuántas bolsas de tres chocolates podría empacar?
750 bolsas.
d) ¿Cuántos paquetes de dos chocolates podría armar sin que sobren?
1125 bolsas.
e) Comparte tus respuestas con tus compañeros. Identifiquen dudas y comenten, con ayuda de su
profesor, cómo resolverlas.
f) Sostengan un debate grupal sobre el uso de la multiplicación y la división al calcular los divisores
de un número.
TIC
Explora www.e-sm.com.mx/matret1-081a, donde se encuentra una actividad para calcular divisores.
Explora www.e-sm.com.mx/matret1-081b, donde se muestra la tabla de números primos entre 1 y 100.
Consulta el video www.e-sm.com.mx/matret1-081c, donde se explica el uso de los divisores
y los números primos en un problema.
Para la bitácora
Resuelve las actividades correspondientes a la lección 14 en la bitácora de la página 114.
Lección 14 Bloque 2
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Lección 15 Criterios de divisibilidad II
Eje: sentido numérico y pensamiento
algebraico
Te m a : números y sistemas
de numeración
La tabla de multiplicar: divisores de un número
A Julián le dejaron como tarea estudiar la tabla del 5.
Contenido
Formulación de los criterios de divisibilidad entre 2, 3 y 5. Distinción entre
números primos y compuestos.
5×1=5
5 × 6 = 30
5 × 2 = 10
5 × 7 = 35
5 × 3 = 15
5 × 8 = 40
5 × 4 = 20
5 × 9 = 45
5 × 5 = 25
5 × 10 = 50
1. Observa el dígito con que termina cada resultado. ¿Qué regularidad hay en las cifras?
0y5
2. Reúnete con un compañero y contesten las preguntas.
a) ¿Cuáles son los divisores de los siguientes números? Escríbanlos en su cuaderno.
i. 5
1,5
ii. 35
1,5,7,35
20
15
1,2,4,5,10,20
1,3,5,15
70
1,2,5,7,10,14,35,70
65
90
1,5,13,65
25
1,2,4,5,8,10,20,40
40
1,2,3,5,6,9,10,15,18,30,45,90
100
1,2,4,5,10,20,25,50,100
b) Observen que hay varios divisores. ¿Cuál es el mayor divisor común de los números anteriores?
5
c) Redacten una regla para saber cuándo un número es divisible entre 5. Para ello, consideren
la tabla anterior.
R. P.
Un paso adelante
3. Al comenzar la clase de Matemáticas, Julián debía resolver el siguiente problema.
Beatriz compró 32 manzanas y desea repartirlas entre cinco niños en partes iguales. ¿Cuántas recibirá
cada uno?
a) ¿Le corresponde una cantidad entera a cada niño?
dimiento que seguiste para resolver el problema.
No.
Explica, en tu cuaderno, el proce-
b) ¿Cuál es el mínimo de manzanas que Beatriz puede quitar para repartir cantidades enteras
entre los niños?
2
c) Compara tus respuestas con las de tus compañeros. Entre todos escriban una estrategia para
resolver el problema.
82
Bloque 2 Lección 15
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Lección 15
La formación: divisores de un número
4. La profesora Lupita, de sexto grado, tiene 42 alumnos y desea formarlos en el patio
de manera que haya el mismo número de personas en cada fila.
a) Escribe, en tu cuaderno, una opción para formar a los estudiantes como se indica.
6 filas de 7 alumnos.
b) ¿Cuántas opciones para formar a sus alumnos tiene la profesora? Considera que las filas deben
ser iguales.
1 fila de 42 alumnos, 2 de 21, 3 de 14, 6 de 7, 7 de 6,14 de 3, 21 de 2 y 42 de 1.
5. Reúnete con dos compañeros y efectúen lo que se indica.
a) Escriban todos los divisores de estos números.
1,2,7,14
35:
1,2,5,7,10,14,35,70
28:
i. 14:
70:
1,5,7,35
1,2,4,7,14,28
140:1,2,4,5,7,10,14,20,28,35,70,140
1,7,49
7:
1,7
84: 1,2,3,4,6,7,12,14,21,28,42,84
21:
1,3,7,21
ii. 49:
56:
1,2,4,7,8,14,28,56
b) Además del 1, ¿cuál es el divisor común de los números anteriores?
7
6. En conclusión, ¿cómo obtendrían el divisor común de un grupo de números?
R. T. Sacando sus divisores y observando cuáles se repiten en ambos números.
Un paso adelante
7. Reúnete con un compañero y hagan lo que se pide.
a) Escriban diez números divisibles entre 7.
7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70
b) ¿Qué característica cumplen esas cantidades?
R. P.
c) Comenten con sus compañeros sus respuestas y escriban una conclusión de manera grupal.
Lección 15 Bloque 2
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Lección 15 Criterios de divisibilidad II
Profundiza
Todo número es divisible entre 5 si termina en 0 o 5. Por ejemplo, 1 425 es divisible entre 5 porque
termina en 5.
8. Contesta las preguntas y haz lo que se pide.
a) ¿El 325 es divisible entre 5?
Si.
Escribe todos sus divisores.
b) ¿El 100 es divisible entre 5?
Sí.
Escribe todos sus divisores.
1, 5, 65, 365
1,2,4,5,10,20,25,50,100
c) ¿El 32 es divisible entre 5?
No,
Escribe todos sus divisores.
1,2,4,8,16,32
Un número es divisible entre 7 cuando, al separar la última cifra de la derecha, multiplicarla por 2
y restarla de las demás cifras, la diferencia es igual a 0 o a un múltiplo de 7. Por ejemplo: 8 918 es
divisible entre 7 porque 891 – (8 × 2) = 875, 87 – (5 × 2) = 77, y el resultado es múltiplo de 7.
9. Comprueba, con el método anterior, que las cantidades sean divisibles entre 7.
a) 2 205
2205 = 220 – 10 = 210
21 – 0 = 21 y 21 es múltiplo de 7
b) 4 928
4928 = 492 – 16 = 476
47 – 12 = 35 y 35 es múltiplo de 7
c) 16 478
16478 = 1647 – 16 = 1631
163 – 2= 161
16 – 2 = 14 y 14 es múltiplo de 7
10. Reúnete con un compañero y contesten las preguntas.
a) ¿El 105 es divisible entre 7?
b) ¿El 84 es divisible entre 7?
Sí.
Sí.
Escribe todos sus divisores.
1,3,5,7,15,21,35,105
Escribe todos sus divisores.
1,2,3,4,6,7,12,14,21,28,42,84
c) ¿El 168 es divisible entre 5?
Sí.
Escribe todos sus divisores.
1,2,3,4,6,7,12,14,21,28,42,84, 168
84
Bloque 2 Lección 15
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Lección 15
11. Completa la tabla. Escribe SÍ o NO.
Número
¿Es divisible
entre 2?
¿Es divisible
entre 3?
¿Es divisible
entre 5?
¿Es divisible
entre 7?
15
No
Si
Si
No
210
Si
Si
Si
Si
70
Si
No
Si
Si
14
Si
no
no
Si
1 890
Si
Si
Si
Si
12. Reúnete con dos compañeros, lean la situación y contesten las preguntas.
Estefanía trabaja en una dulcería. Hoy recibió un pedido de 120 chocolates blancos y 300 amargos, y
desea empacarlos en cajas con el mismo número de piezas. ¿Cuántos debe haber en cada una para
que no sobren?
a) ¿Pueden usar la divisibilidad para resolver el problema? Expliquen cómo lo harían.
Sí. R. P.
b) ¿De cuántas maneras puede empaquetar los chocolates para que las cajas tengan igual número de
piezas y no haya sobrantes?
De 2, 3, 5, 4, 12, 6, 60, 10, 8, 15 …
c) Redacten, en su cuaderno, un problema donde se requiera la divisibilidad para solucionarlo.
Compártanlo con sus compañeros.
13. Sostengan un debate grupal analizando el siguiente planteamiento: "Todo número
entero tiene al menos dos divisores". Analicen casos y escriban sus conclusiones.
TIC
Explora www.e-sm.com.mx/matret1-085a, donde se encuentra una actividad de divisores.
Explora www.e-sm.com.mx/matret1-085b, donde se muestra una actividad de números primos
y divisibilidad.
Consulta el video www.e-sm.com.mx/matret1-085c, donde se explican los criterios de divisibilidad.
Consigue un calendario y
ubica el mes actual. Marca
con un círculo los divisores
de 24 y con un cuadro
los divisores de 28. ¿Qué
regularidad observas?
Para la bi†ácora
Resuelve las actividades correspondientes a la lección 15 en la bitácora de la página 114.
Lección 15 Bloque 2
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Lección 16 MCD y mcm
Eje: sentido numérico y pensamiento
algebraico
Tema: números y sistemas de
numeración
Contenido
Resolución de problemas que impliquen el cálculo del máximo común
divisor y el mínimo común múltiplo.
Los libros: Máximo Común Divisor
Luis se está mudando de oficina; empacará 24 libros en español en cajas azules y 18 libros en inglés
en cajas amarillas. Sin embargo, quiere guardar el mismo número de libros en cada una.
1. Reúnete con un compañero y efectúen lo que se indica.
a) Luis dispone de las cajas necesarias, así que no hay problema si empaca un libro por caja. Escriban
otra opción que tiene para empacar sus libros. Consideren que las cajas deben tener la misma
cantidad sin que sobre alguno.
4 cajas azules con 6 libros y 3 cajas amarillas con 6 libros
i. ¿Cuál es el mayor número de libros que puede colocar en cada una?
Compartan su respuesta con el grupo.
6 libros
ii. ¿Cuántas cajas de cada color son suficientes para empacar los libros?
Azules:
4 azules
Amarillas:
3 amarillas
iii. Describan en su cuaderno el procedimiento que siguieron para encontrar las respuestas anteriores.
b) Luis tiene en su oficina seis figuras de porcelana y ocho de madera. Desea envolver las primeras
en papel blanco y las segundas en papel de color café, pero quiere distribuir la misma cantidad
de figuras en cada pliego.
i. ¿Cuál es el mayor número de figuras que puede envolver con cada pliego de papel?
Consideren que cada envoltorio debe tener la misma cantidad sin que sobren.
Oriéntate
Los divisores de un
número son aquellos que lo
dividen exactamente, es decir,
con los que la división tiene
residuo cero. Por ejemplo,
los divisores de 16 son 1, 2,
4 y 8.
2
ii. ¿Cuántos pliegos de papel de cada color requiere para distribuir las figuras? 3 blanco y
4 café
Un paso adelante
2. Haz lo que se pide y contesta las preguntas en tu cuaderno.
a) Escribe los divisores de 18.
b) Escribe los divisores de 24.
1, 2, 3, 6, 9, 18
1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
c) ¿Qué divisores tienen en común 18 y 24? 1, 2, 3, 6
Oriéntate
Los divisores comunes a
varios números son aquellos
divisores que se repiten en
todos ellos.
d) ¿Cuál de los divisores comunes de 18 y 24 es el mayor? 6
e) Explica qué entiendes por máximo común divisor.
R.P.
f) Comparte las respuestas con tus compañeros. Analicen los diferentes argumentos y
escriban en su cuaderno una conclusión.
3. Encuentra el máximo común divisor de 6 y 8, y escríbelo en tu cuaderno; apóyate
en el procedimiento de la actividad 2. 2
86
Bloque 2 Lección 16
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Lección 16
Los amigos: mínimo común múltiplo
Tres pilotos se conocieron en la Ciudad de México y se hicieron amigos. Como desean reunirse
de nuevo, han revisado sus itinerarios de vuelo para fijar la fecha: Juan vuela a la ciudad cada tres
días; Pedro, cada cinco; y Jerónimo, cada dos.
4. Reúnete con un compañero y contesten las preguntas.
15 días
a) ¿En cuántos días Juan y Pedro coincidirán en la Ciudad de México?
b) ¿En cuántos días Juan y Jerónimo coincidirán en la Ciudad de México?
6 días
c) ¿En cuántos días Pedro y Jerónimo coincidirán en la Ciudad de México?
10 días
30 días
d) ¿En cuántos días los tres amigos coincidirán en la Ciudad de México?
e) Copien la tabla en su cuaderno y agreguen las columnas necesarias hasta que encuentren
un múltiplo que sea común a los tres números de la primera columna.
×
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
3
3
6
18
30
12
27
30
10
15
25
10
24
5
2
12
20
8
21
5
9
15
14
16
18
20
2
4
6
11
…
Oriéntate
22
f) Describan en su cuaderno el procedimiento que desarrollaron para encontrar las respuestas
del inciso a) al e). Compártanlas con sus compañeros de grupo y analicen la utilidad de la tabla
anterior para contestar las preguntas.
Un paso adelante
4 × 1 = 4, 4 × 2 = 8,
4 × 3 = 12, 4 × 4 = 16;
5. Efectúa lo que se pide y contesta las preguntas.
a) Escribe los primeros diez múltiplos de 3:
b) Escribe los primeros diez múltiplos de 5:
Se denomina múltiplo de
un número a aquel que se
obtiene al multiplicar ese
número por otro. En general,
se encuentra multiplicando
por 1, después por 2 y así
sucesivamente. Por ejemplo:
3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30
por lo tanto, 4, 8, 12 y 16
son los primeros cuatro
múltiplos de 4.
5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50
c) Escribe los primeros quince múltiplos de 2: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30
d) ¿Cuál es el primer múltiplo en que coinciden 3 y 5?
15
e) ¿Cuál es el primer múltiplo en que coinciden 3 y 2?
6
Oriéntate
f) ¿Cuál es el primer múltiplo en que coinciden 5 y 2?
10
Un múltiplo común es
aquel compartido por dos
o más números. Por ejemplo,
4 es múltiplo común de 2 y 4.
30
g) ¿Cuál es el primer múltiplo en que coinciden 3, 5 y 2?
h) ¿Estos pasos son útiles para resolver el ejercicio 4?
Si.
Argumenta tu respuesta.
R.P.
Lección 16 Bloque 2
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Lección 16 MCD y mcm
Profundiza
6. Contesta las preguntas mediante el uso de las tablas.
a) Completa la tabla.
Números
Divisores
Divisores comunes
Mayor divisor común
14 y 21
14 = 1, 2, 7, 14
21 =1, 3, 7, 21
21 = 1, 3, 7, 21
28 = 1, 2, 4, 7, 14, 28
14 = 1, 2, 7, 14
28 = 1, 2, 4, 7, 14, 28
1y7
7
1y7
7
1, 2, 7 y 14
14
21 y 28
14 y 28
7
b) ¿Cuál es el mayor divisor común de 14, 21 y 28?
El Máximo Común Divisor (MCD) de dos o más números es el mayor de los divisores comunes.
c) Completa la tabla.
×
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
2
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
3
3
6
9
12
15
18
21
24
27
30
33
36
4
4
8
12
16
20
24
28
32
36
40
44
48
d) ¿Cuál es el primer múltiplo en que coinciden 2, 3 y 4?
12
El mínimo común múltiplo (mcm) de dos o más números es el menor múltiplo común distinto de cero.
7. Reúnete con un compañero y resuelvan los problemas. Desarrollen los procedimientos
en su cuaderno.
a) Abigail atiende una mercería y organiza sus productos en bolsitas que almacena en cajas.
En una caja azul, hay bolsitas con doce seguritos; en una verde, bolsitas con 24 seguritos; y en
una amarilla, bolsitas con diez seguritos.
i. Si en las tres cajas guarda la misma cantidad de seguritos, ¿cuántos habrá como mínimo en cada una?
120 seguritos
b) Elvira y Joel elaboran collares de cuentas. El día de hoy tienen 56 cuentas blancas, 35 azules y 21
rojas, y quieren producir el mayor número de collares iguales sin que sobre ninguna cuenta.
i. ¿Cuántos pueden elaborar?
7 collares
ii. ¿Cuántas cuentas de cada color tendrá un collar? 8 blancas, 5 azules y 3 rojas
88
Bloque 2 Lección 16
6²(;3B0B%B²LQGG
$0
Lección 16
c) En una ciudad, tres rutas de autobuses que salen de la misma terminal prestan servicio público:
la ruta 1 solo se detiene cada 3 km; la ruta 2, cada 2 km; y la ruta 3, cada 4 km.
i. ¿En qué kilómetro más cercano a la terminal coinciden las tres?
12 kilómetros
ii. ¿Cuál es el kilómetro mínimo más cercano a la terminal en que se detienen las rutas 1 y 2?
Kilómetro 6
d) Sara y Leticia están decorando un mantel para Navidad: Sara cose una flor de Nochebuena cada
5 cm y Leticia coloca una estrella cada 7 cm. En el mantel bordaron campanas separadas a una
distancia de 8 cm y en el centímetro 0 hay una flor, una campana y una estrella.
i. ¿Cuál es el punto más próximo donde coinciden de nuevo los tres adornos?
280 cm
ii. ¿Cuál es el punto más próximo donde coinciden la campana y la flor de Nochebuena? 35 cm
e) Mauricio es profesor y desea dar a sus alumnos bolsas de dulces. Compró 96 chocolates, 160
chicles, 128 paletas y 64 mazapanes.
i. ¿Cuántas bolsas con la misma cantidad de dulces puede formar como máximo?
32
ii. ¿Qué cantidad de cada dulce puede colocar en las bolsas? 3 chocolates, 5 chicles, 4
paletas y 2 mazapanes
f) Las señoras de la Asociación de Padres de Familia desean cortar boletos rectangulares que no
tengan medidas decimales ni fraccionarias para la kermés. En ellos debe caber un sello que mide
1.5 cm × 1.8 cm. Han comprado 1 m de papel que mide 1.5 m de ancho y no quieren desperdiciarlo.
i. ¿Cuál es la mayor cantidad de boletos que pueden cortar?
ii. ¿Cuánto debe medir cada boleto?
2500 boletos
3 cm por 2 cm
8. Analiza con tu grupo qué otra estrategia se puede emplear para determinar el
MCD y el mcm. Escriban en su cuaderno las conclusiones.
TIC
Explora www.e-sm.com.mx/matret1-089a, donde se encuentra una actividad en la que se usa el
mínimo común múltiplo.
Explora www.e-sm.com.mx/matret1-089b, donde hay una actividad sobre el máximo común divisor.
Consulta el video www.e-sm.com.mx/matret1-089c, donde se explica cómo calcular el mínimo común
múltiplo.
Consulta el video www.e-sm.com.mx/matret1-089d, donde se expone cómo calcular el máximo
común divisor.
Para la bitácora
Resuelve las actividades correspondientes a la lección 16 en la bitácora de la página 114.
El MCD también nos ayuda
a optimizar materiales.
Mide las dimensiones de
una cartulina. ¿Cuánto
deben medir los cuadrados
más grandes que es
posible trazar sobre ella,
de tal forma que no sobre
espacio?
Lección 16 Bloque 2
6²(;3B0B%B²LQGG
89
$0
Lección 17 Adición de números fraccionarios y decimales
Eje: sentido numérico
y pensamiento algebraico
Tema: problemas aditivos
Contenido
Resolución de problemas aditivos en
los que se combinan números fraccionarios y decimales en distintos
contextos, empleando los algoritmos
convencionales.
Los quesos: problemas de estimación de fracciones
El chef Andrés hizo un inventario en la cocina. Al contar la cantidad de alimentos, encontró que había
cuatro piezas de queso manchego cortadas como se muestra.
Figura 1
Figura 2
Figura 3
Figura 4
1. Contesta las preguntas.
a) Por su tamaño, ¿cuál de los quesos es casi una rueda entera?
b) Por su tamaño, ¿cuál es casi __12 ?
3
4
c) Por su tamaño, ¿cuál es casi __14 ?
2
d) El formato del inventario que estaba usando el chef Andrés solo registraba estos números: 0,
1
4
, 1 , 3 , 1, 1 1 , 1 1 … Si utilizó cantidades aproximadas, ¿qué cantidad de queso registró en total?
2
4
4
2
4
e) Describe o explica el procedimiento que usaste para determinar el total.
R. P.
Un paso adelante
2. Resuelve el problema en tu cuaderno.
Ernesto trabaja como jefe de mantenimiento en una escuela y le encargaron perforar una pared para
pasar un cable. Esta tiene un grosor de 10 1 cm de concreto, 3 1 cm de aislante y 4 4 cm de
2
4
5
cubierta de madera.
a) Las brocas que venden en la ferretería son de diversa longitud en centímetros (10, 11, 12, 13, 14,
15, 16, 17, 18 y 19). ¿Cuánto debe medir la broca que utilizará para perforar la pared?
18 cm
b) En la ferretería, le dijeron que necesita una broca especial para perforar solo la parte de concreto.
¿Cuánto debe medir la que requiere?
11 cm
c) Una vez perforado el concreto, debe usar otra broca diferente para perforar únicamente el
aislante. ¿Cuánto debe medir la que necesita?
14 cm
d) Comparte las respuestas con tus compañeros.
3. Analiza con tu grupo las estrategias de solución que propusieron en los ejercicios 1 y 2.
Escriban en su cuaderno las conclusiones a las que lleguen.
90
Bloque 2 Lección 17
6²(;3B0B%B²LQGG
$0
Lección 17
La cerca: adición de números decimales
4. Lee los planteamientos y contesta las preguntas.
a) Cristóbal es dueño de tres terrenos que quiere cercar para convertirlos en gallineros; sin embargo,
2.9 m
5.7 m
12.4 m
6.9 m
3.7 m
solo tiene un rollo de malla metálica de 25.5 m de largo y 1.25 m de alto.
10.3 m
Terreno 2
7.8 m
Terreno 1
8.1 m
Terreno 3
i. ¿Qué terreno puede cercar con la malla metálica que tiene?
El terreno 1.
ii. Escribe el procedimiento que seguiste para responder la pregunta anterior. R. T. Sumar la
medida de los lados.
b) Cristóbal necesita colocar un poste en cada vértice del terreno para que sostenga la malla metálica,
pero en la ferretería solo venden postes de 0.45 m y 0.9 m.
i. Si une dos de 0.45 m, ¿qué altura alcanzará el nuevo poste?
0.90 m
ii. Si une dos de 0.9 m, ¿qué altura tendrá el nuevo poste?
1.8 m
iii. Si une un poste de 0.45 m y otro de 0.9 m, ¿cuánto medirá el nuevo poste?
1.35 m
iv. ¿Cuál de los postes nuevos tiene una longitud más cercana a la altura de la malla metálica?
El de 0.45 m + 0.90 m = 1.35 m
5. Comparte con tus compañeros las respuestas del ejercicio 4. Con ayuda de su
profesor, comenten y analicen las diferentes estrategias de solución.
4.67 + 2.8 + 7.47
Un paso adelante
4.67
6. Resuelve el problema.
+ 2.80
Miriam lleva el registro de la estatura de su hija Mariana. En enero de 2004, la niña medía 1 m;
al año siguiente, 1.08 m; y al otro año, 1.15 m.
c) ¿En qué año creció más?
7.47
0.15 m
a) ¿Cuánto creció Mariana de 2004 a 2006?
b) ¿Cuánto creció de 2005 a 2006?
Oriéntate
Para sumar números con una
cantidad distinta de cifras
decimales, deben alinearse
de tal manera que coincidan
tanto la posición de los
puntos como cada una de
las cifras. En las posiciones
decimales con espacios a la
derecha se puede añadir un
cero. Por ejemplo:
0.07 m
2005
d) Si de 2006 a 2007 Mariana creció lo mismo que el año anterior, ¿cuánto medía en enero de 2007?
1.22 m
Lección 17 Bloque 2
6²(;3B0B%B²LQGG
91
$0
Lección 17 Adición de números fraccionarios y decimales
Profundiza
7. Reúnete con un compañero, lean los planteamientos y contesten.
a) Estela pesa 43.38 kg y su amiga Andrea, 30.07 kg. Si ambas se suben al mismo tiempo a una
Oriéntate
Al dividir o multiplicar el
numerador y el denominador
por un mismo número,
obtienes una fracción
equivalente.
a
ac
c· b = b
Observa que ac indica el
producto del numerador y
bc señala el producto del
denominador.
73.45 kg
báscula, ¿qué peso se marcará?
b) Sandra fue a la tienda y compró un atún de $8.30, una mayonesa de $7.50, una lata
de verduras de $4.80 y un paquete de galletas saladas de $3.60. ¿Cuánto pagó?
$24.20
c) Elijan uno de los problemas anteriores y redacten el procedimiento que siguieron para resolverlo.
R. P.
8. Resuelve los problemas.
a) Carmina compró 1 kg de crema y 1 kg de fresas; y Karla, 1.250 kg de fresas y 3 kg de crema.
4
Oriéntate
La forma general para
a
expresar una fracción es b ,
donde a y b, son números
enteros cualesquiera, con b
diferente de cero.
Cuando escribimos la
expresión
a
c
ad + bc
b + d =
bd
indicamos la forma general
de una suma de fracciones.
Observa que bd señala
el producto de los dos
denominadores.
2
4
i. ¿Cuántos kilogramos de fresas compraron entre las dos?
1.750 kg
ii. ¿Cuántos kilogramos de crema compraron entre las dos?
1 kg
2.750 kg
iii. Si colocaron todo en una bolsa, ¿cuánto pesó en total?
b) En la escuela “Miguel Hidalgo” se llevó a cabo la actividad “El kilómetro del libro”. Las donaciones
de los grupos se registraron en la tabla.
Grupo
1° A
2° A
3° B
4° B
5° A
6° B
Donación
(m)
1
3 2
2
1 3
4
4 5
1
2 2
6
3
1 5
¿Cuál fue la longitud total?
1
2
15 __3 = 16.6666...
c) Comparte tus respuestas con las de tus compañeros y formulen una estrategia para determinar
la longitud total.
La suma de fracciones con igual denominador se lleva a cabo de esta forma: a + c = a + c .
b
a
b
c
La suma de fracciones con diferente denominador se efectúa de este modo: b + d =
b
ad + bc
bd
.
Una fracción mixta se convierte en fracción común de la siguiente manera: a bc = ac c+ b .
9. Reúnete con un compañero y resuelvan los problemas.
a) De cada 2.4 t de materiales reciclables que se producen en la Ciudad de México, solo se reciclan
0.528 t en los hogares, 0.95 t en los camiones de basura y 0.34 t en los depósitos.
92
Bloque 2 Lección 17
6²(;3B0B%B²LQGG
30
Lección 17
i. ¿Cuántas toneladas de basura se reciclan en total? 1.818 toneladas
ii. ¿Cuántas se reciclan en los hogares y en los depósitos? 0.868 toneladas
iii. ¿Cuántas toneladas de materiales reciclables se tiran a la basura? 0.582 toneladas
iv. ¿Qué cantidad de materiales no se reciclan en casa? 1.872 toneladas
b) La asociación Vamos de la Mano recolecta donativos destinados a los afectados de desastres naturales.
Este año se propuso construir un albergue y, gracias a diversas aportaciones, logró reunir un millón
de pesos: la familia Sánchez donó $10 000.00; el gobierno, 14 de millón; los centros comerciales
$300 000.00; las escuelas, $120 000.00; las empresas, 15 parte del total recaudado; y un banco
aportó la diferencia para completar el millón.
i. ¿Cuánto dinero aportaron las empresas?
$136000.00
$816000.00
ii. ¿Qué cantidad se juntó sin tomar en cuenta la aportación del banco?
$184000.00
iii. ¿Cuánto donó el banco?
10. Reúnete con tres compañeros. Lean el planteamiento, analícenlo y contesten las preguntas
en su cuaderno.
Nicolás trabaja en un expendio donde se vende café en grano al menudeo. Al terminar la semana,
sobran varios costales vacíos y otros con diferente peso. Todos tienen una capacidad máxima de 50 kg.
9
17
1
25
17
18
12
23
Costal 1
Costal 2
Costal 3
Costal 4
a) Nicolás desea empacar el café sobrante en bolsas de 1 kg. ¿Cuántas obtendrá? 101
b) Si empacara el café en bolsas de 5 kg, ¿cuántas obtendría? 20
c) Compara las respuestas con tus compañeros, analicen las diferentes estrategias utilizadas y
elaboren una conclusión.
11. Organiza con tu grupo un debate acerca de la diferencia entre suma de enteros
y suma de fracciones. Escriban en el cuaderno sus conclusiones.
TIC
Explora www.e-sm.com.mx/matret1-093a, donde hay actividades para sumar y restar decimales.
Explora www.e-sm.com.mx/matret1-093b, donde se encuentran actividades de suma y resta de decimales.
Consulta el video www.e-sm.com.mx/matret1-093c, donde se explica el origen del sistema decimal
y su uso en la vida cotidiana.
Para la bitácora
Resuelve las actividades correspondientes a la lección 17 en la bitácora de la página 114.
Los números decimales se
usan en diversas situaciones
de la vida cotidiana.
Consigue una nota de
compra del supermercado.
Suma los productos y
comprueba el total que
se indica. Pégala en tu
cuaderno.
Lección 17 Bloque 2
6²(;3B0B%B²LQGG
93
$0
Lección 18 Multiplicación y división con números fraccionarios I
Eje: sentido numérico
y pensamiento algebraico
Tema: problemas multiplicativos
Contenido
Resolución de problemas que impliquen la multiplicación y división con
números fraccionarios en distintos
contextos, utilizando los algoritmos
usuales.
Los gastos: multiplicación de fracciones
1
1
El papá de Eusebio tiene una hortaliza rectangular que mide 1 2 m de largo y 2 3 m de ancho,
en la que sembró cebollas y lechugas. Como se avecina el temporal de lluvias con posibilidad
de granizo quiere proteger su hortaliza, así que le colocará una cubierta de plástico.
1. Contesta las preguntas.
3__2 m2
1
a) ¿Cuánto mide el área de la hortaliza?
b) ¿Cuánto plástico necesita para cubrir la superficie de la hortaliza? Escribe el procedimiento que
3__2 m2
1
seguiste para responder la pregunta.
Oriéntate
Recuerda que una fracción
mixta se puede convertir en
una fracción impropia.
Cuando escribimos la
expresión
a b = (ac) + b ,
c
c
a, b y c son números
diferentes de cero.
Por ejemplo, en
(5 ∙ 7) + 2 37
2
5 7 = _= 7 .
7
observa que
2
2
5 7 ≠ 5∙ 7
2
porque 5 7 es una fracción
2
mixta, mientras que 5∙ 7
indica una multiplicación
de 5 por __27 .
2. Resuelve los problemas.
a) Raúl repara automóviles. Para ajustar una pieza del sistema eléctrico, estaba usando una llave
de __18 de pulgada. Sin embargo, su jefe le dijo que debería usar una tres veces más grande.
¿Cuánto debe medir esa llave?
3
__
8
b) En un supermercado, una bolsa de manzanas empacadas pesa 2 __12 kg.
¿Cuánto pesarán 4 1 bolsas?
2
11__4 kg
1
c) Antonia compró dos trozos de tela para confeccionar almohadas. El primer
trozo que midió 1 m costaba $10.00 por metro, y el segundo de 1 1 m tenía un costo de $5.00 por
3
4
$29
metro. ¿Cuánto gastó y qué cantidad de tela compró?
7
__
12
d) Un reloj no funciona adecuadamente, pues se adelanta __1 min cada hora.
3
¿Cuánto se adelantará en
1
2
h?
__1 de minuto
6
3. Reúnete con un compañero. Elijan uno de los problemas anteriores y redacten,
en su cuaderno, el procedimiento que siguieron para solucionar el problema anterior, así como una
conclusión al respecto.
Para multiplicar dos fracciones, se multiplican los numeradores entre sí y los denominadores entre sí.
a
c
ac
Para las fracciones b y d , donde b y d ≠ 0, ba ∙ dc = bd
.
b
ab
Para un entero y una fracción, a y b respectivamente, donde c ≠ 0, a ∙ c = c .
c
94
Bloque 2 Lección 18
6²(;3B0B%B²LQGG
$0
Lección 18
Un paso adelante
4. Calcula el área de las figuras geométricas.
b)
a)
2
7
8
30
Área =
9
11
16
___
225
18
___
77
Área =
7
5
c)
5
7
Área =
__1
2
d) Compara tus respuestas con las de tus compañeros, registra tus dudas y comenten de manera
grupal cómo resolverlas.
5. Resuelve los problemas en tu cuaderno.
a) Los martes en la pastelería Dulce Alianza se venden paquetes con rebanadas de diferentes
1
1
pasteles. Esta semana, un paquete está formado por 2 kg de pastel de chocolate, 4 kg de pastel
1
1
de zanahoria, 4 kg de pastel de queso y zarzamora y 4 kg de pastel de durazno. Si el kilogramo
cuesta $60.00, ¿cuál será su precio?
$75
6
b) Óscar desea comprar una mochila. Contó sus ahorros y solo tiene $200.00. La mochila cuesta 5
de lo que tiene ahorrado. ¿Cuál es su precio? Si su hermano le presta el resto del dinero para que
la compre, ¿cuánto le dará?
El precio es de $240, su hermano le presta $40
1
c) El abuelo de Juan le heredó la mitad de un terreno, pero Juan decidió vender 3 de
su herencia. ¿Qué parte del terreno vendió?
__1
6
¿Y qué parte sobró?
__1
3
6. Elige con tu grupo y el profesor uno de los problemas del ejercicio anterior, compartan
sus respuestas, analicen dudas y dificultades. Escriban en su cuaderno las conclusiones
sobre la forma de resolver el planteamiento.
Lección 18 Bloque 2
6²(;3B0B%B²LQGG
95
$0
Lección 18 Multiplicación y división con números fraccionarios I
Profundiza
7. Reúnete con dos compañeros, lean los planteamientos y respondan las preguntas
correspondientes.
3
3
___
1
a) Una lámpara consume 4 L de aceite al día. ¿Cuánto consumirá en 8 de día?
32
b) El gobierno de un país debate en el Congreso el cambio de billetes por monedas con la finalidad
de ahorrar en su producción.
4
i. Producir una moneda cuesta 80 ¢ y un billete, 5 de lo que cuesta hacer una moneda. ¿Cuánto
cuesta producir un billete?
64 centavos.
1
1
ii. Un billete dura en promedio 1 3 años y una moneda, 21 2 veces más que este. ¿Cuántos
años en promedio dura una moneda?
2
28 __3 años.
Monedas
iii. ¿Qué es más económico producir, monedas o billetes?
Costo de producción y duración.
iv. ¿Por qué?
c) Escriban una multiplicación que represente cada enunciado y calculen el producto correspondiente.
i. Dos quintos de tres séptimos:
ii. Cuatro quintos de tres cuartos:
iii. Un tercio de dos sextos:
iv. Dos sextos de un tercio:
2
6
3
__
× __7 = ___
5
35
12
4
3
__
× __4 = ___
5
20
2
2
__1 × __
= __
3
6
18
2
2
1
__
× __3 = __
18
6
d) El oro de ley es una aleación de oro puro y otros metales como la plata y el cobre. Para que
sea considerado como tal debe tener al menos 18 quilates. Cada quilate significa 1 de la aleación.
24
i. Expresa en fracción la cantidad mínima de oro puro que debe existir en el oro de ley.
3
__
4
ii. ¿Cuál es el peso de oro puro en 36 g de oro de 18 quilates?
27 g
iii. Una moneda es de 14 quilates y pesa 20 g. ¿Cuánto oro puro tiene?
11__3 g
2
iv. Un collar de 18 quilates tiene 45 g de oro puro. ¿Cuál es su peso?
60 g
8. Analiza con tu grupo y el profesor los procedimientos usados en el ejercicio anterior, y
escriban una conclusión.
96
Bloque 2 Lección 18
6²(;3B0B%B²LQGG
$0
Lección 18
9. Resuelve los problemas en tu cuaderno.
a) En una caja hay varios lapiceros. Iván tomó la mitad de los 34 y Valentina, la tercera parte
2
de los
3
.
i. ¿Qué fracción de lapiceros tomó Iván?
3
__
8
ii. ¿Qué fracción de lapiceros tomó Valentina?
2
__
9
iii. ¿Quién tomó más lapiceros? Iván
iv. En la caja sobraron 29 lapiceros. ¿Cuántos había en total? 72
v. ¿Cuántos lapiceros tomó Iván? 27
vi. ¿Y cuántos Valentina? 16
b) El esquema de la derecha representa un
jardín con un triángulo de cemento en el
centro. Si solo se requiere pasto para la parte sombreada, ¿cuántos metros cuadrados
de pasto se deberán comprar?
A
2 m
3
1__8 metros cuadrados
1
9 m
3
c) En la escuela secundaria "Héroes de la Independencia" se construirán un laboratorio y una
nueva área verde. Para este proyecto se usará la mitad de la superficie del estacionamiento
que actualmente ocupa 16 del área total. Si de esa mitad usada, solo 14 será área verde,
3
¿qué fracción de la superficie total se destinará al laboratorio? ___
48
10. Compara tus respuestas del ejercicio anterior con las de tus compañeros. Registren las
dificultades que tuvieron, analicen los procedimientos y escriban en su cuaderno una
conclusión al respecto.
11. Organiza con tu grupo un debate acerca de las diferencias y similitudes entre la
multiplicación de enteros y la de fracciones. Redacten las conclusiones en su cuaderno.
TIC
Explora www.e-sm.com.mx/matret1-097a, donde se encuentra una actividad de multiplicación
de fracciones.
Explora www.e-sm.com.mx/matret1-097b, donde hay una actividad de multiplicación de fracciones.
Consulta el video www.e-sm.com.mx/matret1-097c, donde se explica el uso de las fracciones
en la vida cotidiana.
Para la bitácora
Acude a un mercado e
investiga cuánto pesa
una caja de jitomates,
cuántos kilogramos hay
en siete cajas y cuántos en
la mitad de una. Registra
los datos en tu cuaderno y
compártelos con el grupo.
Resuelve las actividades correspondientes a la lección 18 en la bitácora de la página 115.
Lección 18 Bloque 2
6²(;3B0B%B²LQGG
97
$0
Lección 19 Multiplicación y división con números fraccionarios II
Eje: sentido numérico
y pensamiento algebraico
Tema: problemas multiplicativos
Contenido
Resolución de problemas que impliquen la multiplicación y división con
números fraccionarios en distintos
contextos, utilizando los algoritmos
usuales.
Las reparticiones: división de números fraccionarios
La señora Josefina horneó un pastel que pesaba 4 __21 kg y lo repartió entre sus vecinos como se muestra
en la ilustración.
Familia García
Familia Garza
Familia Mendoza
Familia Sánchez
Familia Jiménez
1. Contesta las preguntas; utiliza fracciones en las respuestas.
__1
a) ¿Qué parte del pastel le dio a la familia Jiménez?
b) ¿Qué porción le repartió a la familia Mendoza?
4
__1
8
c) ¿Cuánto pesaba el pedazo de pastel que le dio a la familia Sánchez?
1__8 kg
1
9
__
kg
16
d) ¿Cuánto pesaba la rebanada que le repartió a la familia García?
e) La familia García está integrada por cuatro personas y repartieron la rebanada de manera
Oriéntate
Uno de los significados de la
división es distribuir o repartir.
1
___
equitativa. ¿Qué fracción del total de pastel le correspondió a cada una?
f) ¿Cuánto pesa la porción que recibió cada integrante de la familia García?
32
9
___
kg
64
g) La familia Sánchez tiene tres integrantes; si reparten de forma equitativa su pedazo,
¿qué fracción del total le corresponde a cada uno?
1
__
12
9
___
kg
24
h) ¿Cuánto pesa la porción de un integrante de la familia Sánchez?
__1 kg cada una o 2__1
8
4
i) ¿Cuánto pesan las rebanadas de las familias Sánchez y Jiménez? 1
2. Reúnete con un compañero y hagan lo que se indica.
a) Elijan una de las preguntas anteriores y expliquen el procedimiento que siguieron para encontrar
la respuesta.
R. P.
98
Bloque 2 Lección 19
6²(;3B0B%B²LQGG
30
Lección 19
Un paso adelante
3. Resuelve el problema.
1
1
El papá de Julián desea sembrar en 4 de su hortaliza dos variedades de jitomate: en 3 de esa
fracción cultivará jitomate saladet y, en el resto, jitomate bola.
a) ¿Qué parte de la superficie total de la hortaliza destinará al jitomate saladet?
1
__
12
b) ¿En qué parte de la superficie total de la parcela cultivará jitomate bola? Para responder esta
pregunta, usamos las siguientes expresiones.
1
4
2
2
1
· 3 = 12 ó 6
1
i. ¿Qué representa la fracción 4 ? La parte de la parcela destinada a sembrar jitomate.
ii. ¿Qué representa 3 en el denominador? Los tercios del cuarto de parcela.
iii. ¿Qué representa 2 en el numerador? Las dos partes del cuarto de la parcela destinadas
a sembrar jiotomate bola.
4. Reúnete con dos compañeros. Lean los planteamientos, resuélvanlos y efectúen
lo que se indica.
La división.
a) ¿Cuál es la operación inversa de la multiplicación?
2
b) Para el caso de la fracción 5 , ¿qué indica 5 en el denominador?Indica las partes en que se
divide el entero
¿Qué indica 2 en el numerador? indica las partes que se toman.
c) Si se escribe la fracción inversa a
2
5
se obtiene
5
2
. ¿Qué indica el 2 del denominador?
Indica las-
partes en que se divide el entero
¿Y el 5 del numerador? indica las partes que se toman.
d) Si multiplican la fracción propuesta en el inciso b) por la obtenida en el inciso c),
¿cuál será el resultado?
1
e) Redacten sus conclusiones sobre la multiplicación de una fracción por su inverso;
consideren los aspectos de los incisos anteriores.
Oriéntate
Una fracción inversa
de otra es aquella que
tiene los mismos términos
que la primera fracción,
pero invertidos. Es decir,
el numerador de una es el
denominador de la otra y
viceversa. Por ejemplo, la
fracción inversa de 3 es 5 .
5
3
R. P.
5. Resuelve el planteamiento.
3
Si tres albañiles que trabajan juntos al mismo ritmo construyen 42 4 m de una obra durante una
jornada de 8 h, ¿cuánto construye cada uno en ese tiempo? 14__1
4
a) Redacta en tu cuaderno el procedimiento con el cual se puede responder lo anterior.
b) Compara tu procedimiento con el de tus compañeros.
c) Registra dificultades, y con ayuda del profesor, resuélvelas.
d) Registra en tu cuaderno una conclusión grupal.
Lección 19 Bloque 2
6²(;3B0B%B²LQGG
99
30
Lección 19 Multiplicación y división con números fraccionarios II
Profundiza
Para dividir dos fracciones a y c , donde b y d son diferentes de cero, se efectúa una multiplicación
b
d
cruzada.
a ÷ c = ad
d bc
b
Puesto que la división es la operación inversa de la multiplicación, se cumple que
a
b
÷ c = a · d
d
b
c
por tanto, para dividir entre una fracción basta multiplicarla por su inverso.
6. Responde las preguntas.
7
__
2
a) ¿Cuál es el inverso multiplicativo de 7 ?
b) Si multiplicas
2
7
2
por su inverso, ¿qué resultado obtienes?
1
__1
6
c) ¿Cuál es el inverso multiplicativo de 6?
d) Toda fracción multiplicada por su inverso da como resultado
e) Explica por qué se obtiene la respuesta anterior.
1
R. P.
7. Reúnete con un compañero. Analicen el uso de la fracción inversa en la división
de fracciones. Escriban en su cuaderno una conclusión de su utilidad.
8. Resuelve los problemas.
1
a) Pagué $240.00 por 2 2 kg de queso manchego. ¿Cuánto costaba el kilogramo?
$96.00
b) Sergio González heredó una hacienda a sus hijos Bernardo y Javier en partes iguales. El primero
dejó su porción a sus hijos Abraham, Jesús y José; y el segundo, a su hija Beatriz. Después, ella
distribuyó su herencia a sus hijas Camila y Hortensia en partes iguales.
i. ¿Quién tiene mayor parte de la hacienda, Jesús o Camila?
__1
ii. ¿Qué parte de la hacienda tiene José?
iii. ¿Y qué parte tiene Hortensia?
Camila
6
__1
4
c) En la empresa El Formal se confeccionan uniformes escolares; si para una falda talla 10 se utiliza
1 15 m de tela, ¿cuántas faldas de la misma talla se confeccionarán con 48 m?
40 faldas
100 Bloque 2 Lección 19
6²(;3B0B%B²LQGG
30
Lección 19
d) Para evaluar el patrón de consumo de refrescos embotellados en la Ciudad de México se
entrevistó a personas mayores de 10 años de edad durante septiembre a octubre de 1993.
El promedio de consumo de cada persona era de 1 7 L de refresco al día. Con esta proporción,
10
¿cuántos días durarían 51 L de refresco?
30 días
9. Responde las preguntas.
a) Al dividir cinco naranjas, cada una en tres partes iguales, ¿cuántos tercios se obtienen?
15
b) Al dividir cinco naranjas, cada una en cinco partes iguales, ¿cuántos quintos se consiguen?
25
c) Al dividir siete naranjas, cada una en cuatro partes iguales, ¿cuántos cuartos resultan?
28
d) Al dividir tres naranjas y media en cuatro partes iguales, ¿cuántos cuartos se obtienen?
14
e) Al dividir dos naranjas, cada una en siete partes iguales, ¿cuántos séptimos se consiguen?
14
f) Si se dividen las naranjas en partes iguales, ¿cuántas se necesitarán para obtener 18 cuartos?
4__2
1
g) Si se dividen las naranjas en partes iguales, ¿cuántas se necesitarán para conseguir 19 cuartos?
4__4
3
10. Sostén un debate grupal en que analicen el significado de la división de números
fraccionarios. Escriban las conclusiones en su cuaderno.
TIC
Explora www.e-sm.com.mx/matret1-101a, donde hay varias actividades para dividir y multiplicar
fracciones en el sistema Wiris.
Explora www.e-sm.com.mx/matret1-101b, donde se encuentra una actividad de división de fracciones.
Consulta el video www.e-sm.com.mx/matret1-101c, donde se explica el procedimiento para dividir
fracciones.
Si en un costal hay 45
naranjas y para obtener un
vaso de jugo se necesitan
5 __12 naranjas, ¿cuántos
vasos se conseguirán con las
naranjas del costal?
Para la bitácora
Resuelve las actividades correspondientes a la lección 19 en la bitácora de la página 115.
Lección 19 Bloque 2 101
6²(;3B0B%B²LQGG
30
Lección 20 Mediatriz y bisectriz
Eje: forma, espacio y medida
Tema: figuras y cuerpos
Contenido
Resolución de problemas geométricos
que impliquen el uso de las
propiedades de la mediatriz de un
segmento y la bisectriz de un ángulo.
La gasolinera: mediatriz de un segmento
y bisectriz de un ángulo
En el poblado San Pedro desean construir una gasolinera. Los vecinos han pedido que, por seguridad,
se sitúe a 500 m del hospital y a 500 m de la escuela. Entre ambos lugares hay una distancia de 600 m.
E
H
G
1. ¿Dónde se debe ubicar la gasolinera para que cumpla con las restricciones de los vecinos?
Dibuja un esquema que represente la ubicación de la gasolinera (G), el hospital (H) y la
escuela (E). Compara tu trazo con el de tus compañeros.
R. P.
2. Reúnete con un compañero y resuelvan el problema.
a) El plano de la gasolinera tiene la forma que se muestra en la imagen. Se desea colocar la bomba principal
a la misma distancia de los puntos A, B y C, ya que la distancia AB es igual a la BC.
R. P.
A
D
B
C
i. Indiquen con un punto el lugar donde debe colocarse la bomba.
ii. Describan, en su cuaderno, el procedimiento para localizar el punto indicado. Compártanlo con
sus compañeros. Comenten dificultades y trabajen juntos para resolverlas.
102 Bloque 2 Lección 20
6²(;3B0B%B²LQGG
30
Lección 20
Un paso adelante
3. Resuelve los problemas.
a) En la casa de Ana hay un espacio triangular cuyas medidas son 140 cm, 80 cm y 110 cm de lado.
Ella desea colocar ahí un tinaco cilíndrico del mayor diámetro posible.
1
i. Reproduce, en tu cuaderno, el triángulo correspondiente a la escala 1 cm: 10 cm o 10 .
ii. ¿Qué debes trazar dentro del triángulo, mediatrices o bisectrices?
Oriéntate
Bisectrices.
iii. Argumenta tu respuesta. Donde se cortan las bisectrices de un triángulo se de-
fine el incentro que es el centro de una circunferencia inscrita al triángulo.
iv. Efectúa los trazos correspondientes y dibuja el círculo que representará el tinaco cilíndrico.
v. ¿Cuál es el diámetro del tinaco?
Punto de concurrencia
Incentro
R. P.
b) Verónica elaboró un vitral triangular que mide 120 cm, 60 cm y 90 cm de lado, y se lo regaló a su
mamá, quien desea colocarlo encima de una mesa circular. Para que el vitral se sujete bien, sus
vértices deben coincidir con la circunferencia de la mesa.
1
i. Reproduce, en tu cuaderno, el triángulo correspondiente a la escala 1 cm: 10 cm o 10 .
ii. Traza una circunferencia que represente la mesa de jardín.
iii. ¿Cuál es el radio de la circunferencia?
6.2 cm = medida real 62 cm.
c) Patricia desea colocar un mantel redondo encima de una mesa cuadrada.
i. Si la mesa mide 2 m de lado, ¿cuál es la mayor medida posible que debe tener el mantel
para que toque los bordes de la mesa?
Punto de concurrencia
Circuncentro
1 m de radio
ii. ¿Cuánto debe medir el mantel para que toque los cuatro vértices de la mesa?
1.41 m
iii. Traza los manteles en el cuadrado.
1.41 cm
1 cm
4. Comenta tus respuestas y procedimientos con el grupo. Confronten sus argumentos e
ideas, y escriban una conclusión en su cuaderno.
Lección 20 Bloque 2 103
6²(;3B0B%B²LQGG
30
Lección 20 Mediatriz y bisectriz
Profundiza
5. Analiza la información y contesta las preguntas.
a) Los puntos que conforman la mediatriz están a la misma distancia de los extremos del segmento.
Por ejemplo, la distancia AM es igual a la MB.
M
6.01 cm
A
6.01 cm
M
A
A
B
4.24 cm
4.24 cm
B
4.60 cm
M
4.60 cm
B
En el problema inicial de la lección era posible seguir este procedimiento y situar la gasolinera de dos maneras.
Gasolinera
500 m
E
600 m
Escuela
H
500 m
Hospital
600 m
500 m
500 m
Gasolinera
400 m
i. ¿A qué distancia del punto medio de EH se encuentra la gasolinera?
b) Los puntos que conforman la bisectriz están a la misma distancia de ambos lados del ángulo.
Por ejemplo, la distancia AB es igual a la BC, y la distancia AO es igual a la OC.
8 cm
A
A
B
A
2.89 cm
3.99 cm
B
B
8 cm
2.89 cm
3.99 cm
O
O
C
C
O
C
Es posible aplicar la propiedad de la bisectriz para ubicar la bomba de la gasolinera en el problema inicial.
Explica cómo se hace.
A
R. P.
D
Bomba
B
C
6. Comparte la explicación anterior con tus compañeros. Escriban en su cuaderno una
conclusión al respecto.
104 Bloque 2 Lección 20
6²(;3B0B%B²LQGG
30
Lección 20
7. Reúnete con un compañero. Resuelvan, en su cuaderno, los problemas aplicando
las propiedades expuestas. Lleven a cabo las actividades y respondan las preguntas.
A
a) Localicen el punto C si m es la bisectriz del ángulo ABC.
m
i. Escriban el procedimiento que siguieron.
b) Construyan, a partir de los siguientes datos un rombo: el segmento AB mide 4 cm; la bisectriz
C
AC = 6.9 cm; y el ángulo CAB = 30°.
i. Describan el procedimiento desarrollado.
A
m
1c
6.9
30.2°
B
4 cm
B
c) En la costa se anclaron dos barcos a una distancia de 1 200 m entre sí. Un tercer barco se encuentra
a 1 000 m de cada uno.
i. Tracen un diagrama que represente la ubicación de los barcos.
10.01 cm
8.01 cm
ii. ¿Qué distancia deberá recorrer el tercer barco para situarse exactamente a la mitad de los otros
dos? 800 m
12.00 cm
d) Tracen las mediatrices y las bisectrices de los polígonos.
i. ¿Qué diferencias o similitudes observan entre polígonos regulares e irregulares?
En los polígonos regulares las mediatrices y bisectrices se cortan en el mismo punto.
e) Compartan su respuesta con el grupo y redacten una conclusión en su cuaderno.
8. Sostén un debate con tu grupo sobre el siguiente planteamiento: "El circuncentro
de un triángulo es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo". Planteen
y verifiquen varios casos para comprobarlo. Analicen términos utilizados y aclaren dudas.
Escriban las conclusiones a las que lleguen en su cuaderno.
TIC
Explora www.e-sm.com.mx/matret1-105a, donde se encuentra una actividad para trazar la mediatriz
de segmentos.
Explora www.e-sm.com.mx/matret1-105b, donde hay una actividad para el trazo de la bisectriz
de un ángulo.
Consulta el video www.e-sm.com.mx/matret1-105c, donde se explica cómo trazar la bisectriz
de un ángulo.
Para la bitácora
Resuelve las actividades correspondientes a la lección 20 en la bitácora de la página 115.
Hay una relación estrecha
entre la geometría y el arte.
Para comprobarlo, construye 20 círculos de 5 cm de
radio, recórtalos, traza un
triángulo equilátero dentro
de ellos y pega cinco piezas
con los dobleces hacia
afuera.
Lección 20 Bloque 2 105
6²(;3B0B%B²LQGG
30
Lección 21 Perímetro y área de polígonos regulares
Eje: forma, espacio y medida
Tema: medida
Contenido
Justificación de las fórmulas de perímetro y área de polígonos regulares,
con apoyo de la construcción y transformación de figuras.
Las sombrillas: perímetro de polígonos regulares
Marina confecciona sombrillas decorativas de diversos materiales. Hoy debe entregar un modelo como
el que se observa en la imagen.
30 cm
30 cm
Sin embargo, el cliente le pidió que agregara un
listón rojo en el contorno. El tejido tiene la forma
y las medidas que se indican a continuación.
30 cm
30 cm
1. ¿Cuánto mide la orilla de la sombrilla?
240 cm
R. P.
2. Explica la estrategia que usaste para responder la pregunta.
3. Analiza las figuras y contesta las preguntas.
4 cm
4 cm
3.5 cm
4.4 cm
Figura 1
Figura 2
4.0 cm
4 cm
4 cm
4.4 cm
4 cm
a) ¿Cuántos lados tiene la figura 1?
3.7 cm
Cinco.
b) ¿Cuántos lados tiene la figura 2?
Cinco.
Oriéntate
c) ¿Cuál es el perímetro de la figura 1?
20 cm
El perímetro es la medida
del contorno de una figura.
d) ¿Cuál es el perímetro de la figura 2?
20 cm
e) ¿Qué diferencias, en cuanto a la forma, observas entre la figura 1 y la 2?
R. P.
f) De acuerdo con su forma, ¿qué nombre recibe la figura 1?
Pentágono regular.
g) De acuerdo con su forma, ¿qué nombre recibe la figura 2?
Pentágono irregular.
h) Explica el procedimiento para calcular el perímetro de cada figura.
R. P.
i) Comenta tus procedimientos con tus compañeros y, entre todos, redacten uno en sus cuadernos.
106 Bloque 2 Lección 21
6²(;3B0B%B²LQGG
30
Lección 21
Más sombrillas: área de polígonos regulares
Marina debe elaborar una sombrilla de material plastificado
de colores.
30 cm
30 cm
30 cm
36.2 cm
30 cm
Un cliente le ha pedido un presupuesto para una
sombrilla con las dimensiones indicadas.
30 cm
30 cm
30 cm
Al desbaratar la sombrilla, se obtienen las figuras que se ilustran.
Figura 1
Figura 2
30 cm
Figura 3
Figura 4
4. La sombrilla está formada por ocho triángulos iguales. ¿Cuál es el área de cada uno?
543 cm2
5. Describe el procedimiento que usaste para calcular el área de cada triángulo.
R. T. Base por altura entre dos.
6. ¿Cuál es el área de la sombrilla?
4344 cm2
7. ¿Qué procedimiento utilizaste para calcular el área?
R. T. Sumar ás áreas de
los triángulos.
8. Si el material plastificado cuesta $0.02 por 1 cm2, ¿cuál será el precio de la sombrilla?
$86.88
9. Lean y analicen grupalmente los procedimientos de cada compañero, discutan diferencias
y semejanzas y por último redacten, en su cuaderno, una conclusión sobre el procedimiento más adecuado.
Un paso adelante
10. Reúnete con un compañero. Analicen las figuras y contesten las preguntas en su
cuaderno.
Oriéntate
apotema
Figura 1
Figura 2
lado
Lección 21 Bloque 2 107
6²(;3B0B%B²LQGG
30
Lección 21 Perímetro y área de polígonos regulares
Oriéntate
La apotema es el segmento
perpendicular que va del
punto medio de un lado
del polígono a su centro.
a) ¿Qué nombre recibe la figura 1? ¿Qué nombre recibe cada una de las piezas de la figura 2?
Octágono regular. Triángulo isósceles.
b) ¿Cómo se denomina el segmento azul de la figura 1? ¿Cómo se denomina el segmento azul
de la figura 2? Apotema.
c) ¿Tienen la misma medida el segmento azul de la figura 1 y el de la figura 2? Sí.
d) De acuerdo con la respuesta anterior, expliquen por qué los segmentos son similares.
e) ¿Qué nombre recibe el segmento verde de la figura 1? ¿Qué nombre recibe el segmento verde
de la figura 2? Lado.
f) ¿Por qué el segmento verde tiene la misma medida en ambas figuras?
Profundiza
11. Reúnete con un compañero. Analicen las figuras y contesten las preguntas.
Figura 1
Figura 2
a) Al desarmar el octágono e insertar otro de manera que se encuentren los triángulos (figura 1),
.
recortar
por la altura uno de los extremos y colocarlo en el otro (figura 2), ¿qué figura se forma?
Rectángulo.
b) Si cada lado del octágono mide 30 cm, ¿cuál será la medida de la base en la nueva figura?
240 cm
c) Si la apotema del octágono mide 36.2 cm, ¿cuál será la medida de la altura en la nueva figura?
36.2 cm
d) ¿Cuál es el área de la nueva figura?
868.8 cm2
e) Compartan sus procedimientos con sus demás compañeros y escriban, en su cuaderno, una conclusión.
En el ejemplo, el área del rectángulo está formada por el área de dos octágonos. Este comportamiento
se da en todo polígono regular.
La fórmula para calcular el área de un rectángulo es A = bh (base por altura). Como se ha
analizado, la base del rectángulo es igual al perímetro del polígono; al sustituirla, se obtiene
A = ph (perímetro del polígono regular por altura).
La altura del rectángulo es igual a la apotema del polígono regular, por lo tanto, A = pa (perímetro
del polígono regular por apotema).
Para formar un rectángulo, se necesitan dos polígonos regulares; por consiguiente, para obtener
el área del polígono regular, se debe dividir el área del rectángulo entre dos.
Así, la fórmula para calcular el área de cualquier polígono regular es A = pa
2
108 Bloque 2 Lección 21
6²(;3B0B%B²LQGG
30
Lección 21
12. Calcula el perímetro y el área de los polígonos regulares.
5.19 cm
3.19 cm
Perímetro =
4.64 cm
Área =
Perímetro =
23.2 cm
37.004 cm2
Área =
5 cm
35 cm
90.825 cm2
2.43 cm
Perímetro =
3.50 cm
Área =
42 cm
51.03 cm2
Perímetro =
3.46 cm
Área =
12 cm
36 cm
62.28 cm2
13. Calcula el área de la zona sombreada.
60 cm
60 cm
5 cm
3.5 cm
37.3 cm
m
6.53 c
Área sombreada = 6399 cm2
10 cm
m
5.41 c
Área sombreada = 41.3092 cm2
14. Retoma, de manera grupal, una figura de la actividad 12; registren dudas y coméntenlas para resolverlas con apoyo de su profesor.
15. Hagan un debate grupal sobre qué es el área. Escriban, en su cuaderno, sus conclusiones.
TIC
Explora www.e-sm.com.mx/matret1-109a, donde se encuentran actividades para calcular áreas
de figuras.
Explora www.e-sm.com.mx/matret1-109b, donde hay una actividad para formar polígonos con el
tangram.
Consulta el video www.e-sm.com.mx/matret1-109c, donde se analizan las figuras geométricas y sus
superficies.
Para la bitácora
Resuelve las actividades correspondientes a la lección 21 en la bitácora de la página 115.
Al doblar sucesivamente un
cuadrado y hacer un corte
recto, se forman simetrías.
Consigue un cuadrado de
papel que mida 12 cm de
lado, dóblalo las veces que
sea necesario para obtener
un octágono, recórtalo
y obtén su superficie.
Lección 21 Bloque 2 109
6²(;3B0B%B²LQGG
30
Lección 22 Proporcionalidad directa del tipo “valor faltante”
Eje: manejo de la información
Tema: proporcionalidad
y funciones
Las fotografías de la boda: proporcionalidad
Contenido
Identificación y resolución de
situaciones de proporcionalidad
directa del tipo “valor faltante” en
diversos contextos, con factores
constantes fraccionarios.
Fabiola llevó a imprimir una fotografía que tomó con su cámara digital en la boda de su prima Jessica.
En el estudio al que acudió, le explicaron que era posible imprimirla en diferentes tamaños.
Tamaños disponibles para las impresiones de fotografías (en pulgadas)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
1
2
3
f1 f2
f1
f3
f4
f5
f6
f7
f2
4
6
Oriéntate
7
f6
f4
5
f3
8
La pulgada es una medida
antropométrica, es decir,
proviene de la medición
de una parte del cuerpo
humano: el pulgar. Equivale
a 2.54 cm.
9
f5
10
11
12
13
f7
14
15
16
Figura 1
1. Reúnete con un compañero. Efectúen lo que se indica y contesten las preguntas.
a) Tracen los rectángulos de la figura 1 en papel periódico, recórtenlos y escriban un nombre
A
B
en cada uno para identificarlos: f1 para el más pequeño, f2 para el que le sigue, etcétera.
Los rectángulos tienen cuatro vértices A, B, C y D como se muestra a la izquierda.
b) Acomódenlos como se muestra en la figura 1 y sujétenlos con un clip. Observen que todos coinciden
en el vértice A.
D
C
i. Tracen una recta desde el vértice A del rectángulo f1 hasta el vértice C del rectángulo f7.
ii. Observen que la recta pasa por el vértice C de los rectángulos f3, f5 y f7, los cuales agruparán
en una familia de rectángulos.
iii. Completen la tabla: determinen las medidas de otros dos rectángulos que pertenezcan a esta
familia.
Rectángulo
f3
f5
f7
f8
f9
Base (pulgadas)
10
Altura (pulgadas)
8
15
12
20
16
25
20
30
24
iv. ¿Cómo determinaron las medidas de los rectángulos f8 y f9? Explíquenlo en su cuaderno
y compártanlo con el grupo.
v. Calculen la altura sobre la base para cada rectángulo y completen la tabla.
Rectángulo
f3
f5
f7
f8
f9
altura
base
8
10
4
8
__
o __
5
10
4
8
__
o __
5
10
4
8
__
o __
5
10
4
8
__
o __
5
10
110 Bloque 2 Lección 22
6²(;3B0B%B²LQGG
30
Lección 22
Un paso adelante
2. Reúnete con un compañero. Desarrollen los trabajos indicados y contesten las preguntas
en su cuaderno.
a) Tracen una recta del vértice A del rectángulo f1 al vértice C del rectángulo f6.
i. La diagonal toca tres vértices C, ¿de qué rectángulos son?
b) Completen la tabla con las medidas correspondientes de los rectángulos mencionados.
Rectángulo
F1
F6
Base (pulgadas)
6
18
Altura (pulgadas)
4
12
base
altura
2
__
2
__
3
3
base
c) ¿Qué característica comparten los valores que obtuvieron en la última fila ( altura ) de la tabla?
d) ¿Por qué hay ese comportamiento en la última fila?
e) ¿Cómo es la altura respecto a la base, más pequeña o más grande? En grupo, analicen
el porqué de la respuesta anterior.
altura
Cuando se escribe base se indica que la base está relacionada con la altura. En los rectángulos
trabajados, la base es más grande que la altura.
8
En el caso del rectángulo f3, basta multiplicar la medida de la base por 10 para obtener su altura.
En los rectángulos f1, f4 y f6, la última fila de la tabla muestra cómo la altura se relaciona con la base:
la primera es más pequeña que la segunda, por lo tanto, se debe multiplicar la altura del rectángulo
f1 por 6 para conseguir la medida de su base.
4
3. Determina los valores faltantes en esta familia de rectángulos.
Rectángulo
r1
r2
r3
r4
r5
r6
r7
r8
Base (pulgadas)
10
20
30
40
70
100
150
200
Altura (pulgadas)
7
14
21
28
49
70
105
140
altura
base
7
__
14
___
21
___
28
___
49
___
70
___
105
___
140
____
base
altura
10
__
20
14
30
___
40
___
70
___
100
___
150
___
200
____
10
7
20
30
21
40
28
70
49
100
70
150
105
200
140
Lección 22 Bloque 2 111
6²(;3B0B%B²LQGG
30
Lección 22 Proporcionalidad directa del tipo “valor faltante”
Profundiza
Una razón es la comparación de dos magnitudes. Por ejemplo, la base de un rectángulo está a razón de
10
= 420
respecto a su altura. Si la altura midiera 42 cm, entonces la base mediría 60 cm (42 · 10
).
7
7
7
Es posible representar la razón por medio de una fracción: si esta es propia, significa que el valor
buscado será menor que el conocido; en cambio, si es impropia, el valor será mayor que el conocido.
En el ejemplo anterior, la razón era una fracción impropia, por lo tanto, el valor buscado (base) fue
mayor que el conocido (altura).
En la actividad 2, la familia de rectángulos estaba dada, es decir, estos cumplían con la misma razón
de la altura respecto a la base o viceversa.
4. Reúnete con un compañero. Analicen el planteamiento, contesten las preguntas
y completen la tabla.
En una tienda de autoservicio, se ha propuesto crear un fondo de ayuda humanitaria, así que por cada
$10.00 de consumo de los clientes, la tienda donará $1.00.
a) ¿Cuál es la razón del consumo respecto a la donación? Recuerda que debe ser una fracción
propia porque el consumo es mayor que el donativo.
1
__
10
b) Completa la tabla de acuerdo con la razón anterior (multiplica el consumo por la razón).
Consumo
10
12
15
20
32
50
75
80
100
Donativo
1
1.2
1.5
2
3.2
5
7.5
8
1
La proporción es la igualdad de dos razones. Para que haya una relación proporcional, se necesitan
1
2
razones equivalentes; por ejemplo, 10
= 20
. Según el contexto del problema, esta proporción significa
que por cada $10.00 de consumo se donará $1.00 y por cada $20.00 se donarán $2.00.
Al resolver problemas de proporcionalidad, una razón se denomina factor constante
de proporcionalidad.
Para obtener un valor faltante, se multiplica la cantidad dada por la constante de proporcionalidad.
1
Por ejemplo, en un consumo de $30.00 se donarán $3.00 porque 30 · 10
= 30
= 3.
10
c) ¿Qué cantidad se donará por un consumo de $5.00?
$0.50
112 Bloque 2 Lección 22
6²(;3B0B%B²LQGG
30
Lección 22
5. Resuelve las actividades y contesta las preguntas en tu cuaderno.
a) En la colonia donde vive Juan están promoviendo el reciclaje.
i. Esta semana han estado entregando a los habitantes dos cuadernos por cada 5 kg de periódico
que recolecten y entreguen en el módulo. ¿Cuál es el factor constante de proporcionalidad?
Si Juan juntó 15 kg de periódico, ¿cuántos cuadernos obtendrá?
0.4
6 cuadernos.
ii. Aproximadamente 73 latas pesan 1 kg de aluminio. ¿Cuál es el factor constante
de proporcionalidad? Si juntaras 34 latas, ¿qué peso tendrían?
0.46 kg
iii. En el modulo de reciclaje, pagan $70.00 por 73 latas, ¿cuánto te darían por las 34 latas?
$32.60
iv. ¿Cuál es el factor constante de proporcionalidad de las latas respecto al precio?
70
___
73
v. Se necesitan 3.3 kg de madera para fabricar 1 kg de papel de calidad superior. ¿Cuál es
el factor constante de proporcionalidad? ¿Qué cantidad de papel se producirá con 100 kg
de madera?
0.3030…
30.30 kg
vi. Describe el procedimiento que seguiste para encontrar la respuesta anterior.
b) Para preparar un pastel para seis personas se requieren 450 g de harina, 150 g de mantequilla,
seis huevos y cuatro tazas de leche.
i. Si se desea preparar un pastel para ocho personas, ¿cuál será el factor constante
de proporcionalidad respecto al número de ellas?
6
__
8
ii. ¿Qué cantidad de cada ingrediente se requiere?
Harina
Mantequilla
8
= 600
450 × __
6
8
= 200
150 × __
6
Huevos
6×
8
__
=8
6
Leche
3×
8
__
=4
6
iii) Compara tus respuestas con las de tus compañeros, confronten y lleguen a un consenso.
Escriban una conclusión sobre el procedimiento utilizado.
6. Describe con tu grupo una situación de vida diaria cuyos valores estén en proporción directa.
TIC
Explora www.e-sm.com.mx/matret1-113a, donde se encuentran actividades de proporcionalidad.
Explora www.e-sm.com.mx/matret1-113b, donde hay problemas de proporcionalidad.
Para una tarta se necesitan
4 __12 manzanas frescas.
Consulta el video htwww.e-sm.com.mx/matret1-113c, donde se explica el uso de la proporcionalidad
en la vida cotidiana.
¿Cuántas tartas se pueden
preparar con 48 manzanas?
Para la bitácora
Resuelve las actividades correspondientes a la lección 22 en la bitácora de la página 115.
Lección 22 Bloque 2 113
6²(;3B0B%B²LQGG
30
Bitácora
Lecciones 14 y 15
a) Analiza la tabla y contesta las preguntas en tu cuaderno.
501
511
521
531
541
502
512
522
532
542
503
513
523
533
543
504
514
524
534
544
505
515
525
535
545
506
516
526
536
546
507
517
527
537
547
508
518
528
538
548
509
519
529
539
549
510
520
530
540
550
i. Escribe los números primos que se encuentran entre 500 y 550.
503, 509, 521, 523, 541 y 547
ii. ¿Cuáles son los primeros diez números compuestos que se encuentran entre 500 y 550?
501, 502, 504, 505, 506, 507, 508, 510, 511 y 512
iii. Anota cuatro divisores de 501.
1, 3, 167, 501
b) Efectúa lo que se pide con base en los números de la tabla anterior.
R. T 502, 504, 506, 508 y 510
i. Escribe cinco números divisibles entre 2.
R. T. 501, 504, 507, 510 y 513
ii. Escribe cinco números divisibles entre 3.
R. T. 505, 510, 515, 520, 525, 530, 535, 540, 545 y 550
iii. Escribe cinco números divisibles entre 5.
R. T. 504, 511, 518, 525, 532, 539, 546, 553, 560 y 567
iv. Escribe cinco números divisibles entre 7.
Lección 16
Juan tiene tres sapitos de juguete. Al darles cuerda, los tres saltan al mismo tiempo, pero
recorren diferentes distancias en cada salto: el primero avanza 3 cm; el segundo, 5 cm;
y el tercero, 4 cm.
a) Si se colocan en el mismo lugar después del punto de salida, ¿a qué distancia coincidirán de
60 cm
nuevo por un mismo punto?
b) ¿Cuántos saltos da cada uno?
20 saltos, 12 saltos y 15 saltos.
Sergio tiene 24 monedas de $10.00, treinta de $5.00 y cincuenta de $1.00, y desea acomodarlas en montones con igual cantidad de monedas de cada denominación.
a) ¿Cuál es el máximo número de montones que puede formar con igual cantidad de monedas
de cada denominación?
2 montones
b) ¿Cuál es el mayor número de monedas que puede colocar en cada montón? 12 monedas de
$10, 15 monedas de $15 y 25 monedas de $1
Lección 17
María fue al mercado y compró 12 kg de jitomate, __14 kg de chile, 800 g de cebolla, 700 g
de tomate, 3 34 kg de naranja y 1.250 kg de manzana. Si metió lo que
compró en su bolsa, ¿cuánto pesó?
114
7__4 0 7.25 kg
1
Bloque 2
6²(;3B0B%B²LQGG
$0
Bitácora
Lección 18
16
Sandra ganó un premio de $50 000.00, pero debe pagar 100
de impuestos. Repartirá el
resto entre sus hijos de esta manera: 12 para el que está estudiando Medicina, 13 para el
que ya se casó y lo demás para el que acaba de ser padre.
$8000
a) ¿Qué cantidad pagó de impuestos?
b) ¿Cuánto le dio a cada hijo? $21000 (estudia medicina), $14 000 (casado) y
$7000 (padre).
Lección 19
Ocho obreros construyen 17 35 m de una obra en 1 h.
2.2 m
a) ¿Cuántos metros construye cada uno en 1 h?
b) A ese ritmo de trabajo, ¿cuánto construirá un obrero en 2 34 h?
6.05 m
Lección 20
a) Traza la mediatriz de cada segmento marcado en un círculo.
i. ¿Dónde se unen las mediatrices? En el centro del círculo
b) Tres amigos cooperaron para comprar una pizza y se la dividieron en partes iguales.
i. Traza una rebanada de pizza y divídela en dos pedazos iguales.
Lección 21
Copia el pentágono en una hoja, recórtalo y pégalo como creas conveniente para justificar
la fórmula de su área.
pa
A= 2
Lección 22
Marcela estudia Arquitectura; le pidieron de tarea una maqueta de un edificio cilíndrico que
mide 30 m de diámetro y 60 m de altura. Cada metro real es igual a 1 cm en la maqueta.
30 cm
a) ¿Qué diámetro tendrá el edificio en la maqueta?
b) ¿Cuál es la razón de proporcionalidad?
1
___
100
Bloque 2
6²(;3B0B%B²LQGG
115
$0
Laboratorio de matemáticas
¿Tienes amigos?
Los números amigos son parejas de números naturales que cumplen una condición: la suma
de los divisores (excepto ellos mismos) de uno debe dar como resultado el otro y viceversa.
Por ejemplo, los números 1 184 y 1 210 son amigos porque
• los divisores de 1 184 son 1, 2, 4, 8, 16, 32, 37, 74, 148, 296 y 592; (además de 1 184)
• los divisores de 1 210 son 1, 2, 5, 10, 11, 22, 55, 110, 121, 242 y 605; (y 1 210)
• la suma de los divisores de 1 184 es 1 210, y
• la suma de los divisores de 1 210 es 1 184.
1. Reúnete con un compañero y efectúen lo que se pide.
a) Comprueben si 220 y 284 son números amigos.
i. Divisores de 220: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 40, 55, 110, (y 284)
ii. Divisores de 284: 1, 2, 4, 71, 142 (y 184)
iii. Suma de los divisores de 220: 284
iv. Suma de los divisores de 284: 220
v. ¿220 y 284 son números amigos?
Sí
b) ¿Por qué consideran que se les denomina números amigos? R. P.
c) Investiguen quién descubrió los números amigos.
d) Compartan sus conclusiones con el grupo.
116
Bloque 2
6²(;3B0B%B²LQGG
$0
En el tintero
Las ramas de un árbol: números expresados
como producto de primos
Es posible expresar cualquier número como producto de sus divisores o factores primos.
1, 3, 5, 15
1. ¿Cuáles son los divisores de 15?
2. De los divisores de 15, ¿cuáles son primos?
3, 5
3. Observa cómo se construye en forma de árbol la descomposición de factores primos
del número 15.
3
15
5
a) ¿Qué resultado obtienes al multiplicar los números primos de los extremos finales de cada rama?
15
4. Completa los árboles de factores como en el ejemplo.
2
2
Ejemplo
a)
4
6
2
2
24
48
2
2
8
6
2
4
3
2
3
b)
c)
9
5
3
108
30
3
12
2
2
6
4
2
3
Bloque 2
6²(;3B0B%B²LQGG
117
$0
Bloque 2 Evaluación
Lee los planteamientos, elige la respuesta
correcta y márcala en la sección de respuestas.
1. Un número es divisible entre 2 si
A) la suma de sus cifras es múltiplo de 3.
B) su último dígito es 0 o 5.
C) su último dígito es par.
D) su último dígito es 0, 2, 4, 5, 6 u 8.
2. Un número es divisible entre 3 si
A) la suma de sus cifras es múltiplo de 3.
B) su último dígito es 0 o 5.
C) su último dígito es par.
D) su último dígito es 0, 2, 4, 5, 6 u 8.
3. ¿Qué número es divisor de 5 880?
A) 2
B) 3
C) 7
D) Todos los anteriores.
4. El número 58 123 es
A) número primo. B) divisible entre 3. C) múltiplo de 7. D) ninguna de las anteriores.
5. Adriana tiene 24 collares y 18 pulseras; si desea acomodar el mayor número de los
primeros en pequeñas cajas y la mayor cantidad de las segundas en bolsas (con el mismo
número de productos en cada caja o bolsa). ¿Cuántas pulseras o collares debe haber en
cada una?
A) 6
B) 4
C) 3
D) 2
C) 3
D) 2
C) 3
D) 2
6. ¿Cuántas cajas utilizará?
A) 6
B) 4
7. ¿Cuántas bolsas empleará?
A) 6
B) 4
8. Tres amigas acuden al mismo dermatólogo y hoy coincidieron en el consultorio. Si la
primera va cada cinco días; la segunda, cada siete; y la tercera, cada nueve, ¿en cuántos
días se verán de nuevo?
A) 35
B) 63
C) 45
D) 315
1
1
9. Gabriel compró 2 m de listón, 0.90 m de estambre, 0.60 m de espiguilla y 4 m de encaje.
Si usó el material para pegarlo en el marco de un cuadro, ¿qué perímetro cubrió?
A) 2.25 m
B) 94 m
C) 2 14 m
D) Cualquiera de los anteriores.
118 Bloque 2 Evaluación
6²(;3B0B%B²LQGG
$0
Bloque 2 Evaluación
1
1
10. Simón compró en el centro comercial 1 5 kg de plátanos. Si el kilogramo cuesta $13 2 ,
¿cuánto pagó?
A) $14 7
B) $16 15
10
2
C) $14 10
D) $13 15
1
1
11. Andrés compró 6 2 kg de cacahuates y desea empacarlos en bolsas de 5 o 200 g. ¿Cuántas
podrá formar y cuánto le sobrará?
A) 13 bolsas; no sobra.
C) 32 bolsa; sobra
1
2
B) 32 bolsas; no sobra.
kg.
D) 32 bolsas; sobran 100 g.
12. En un museo hay tres pinturas representadas con los puntos X, Y y Z. Si la distancia XY
es igual a la YZ, ¿en qué punto se podrá colocar una lámpara para que se encuentre
a la misma distancia de las tres?
x
A) Punto A.
A
B) Punto B.
B
C
Y
C) Punto C.
D) En cualquiera de los anteriores.
Z
13. ¿En qué polígono las bisectrices de sus ángulos son sus diagonales?
A) Rectángulo.
B) Romboide.
C) Cuadrado.
D) Trapecio.
14. ¿Cómo son los seis triángulos que conforman un hexágono?
A) Rectángulos.
B) Isósceles.
C) Equiláteros.
D) Escalenos.
15. Un kilogramo de limón cuesta $6.65; tres, $19.95; cinco, $33.25; y nueve, $59.85. ¿Cuál
es el factor constante de proporcionalidad de su peso-costo?
A) 0.95
B) 6.65
C) 0.96
D) 6.64
Respuestas de la evaluación correspondiente al bloque 2
1. A
B
C
D
5. A
B
C
D
9. A
B
13. A
B
C
D
2. A
B
C
D
6. A
B
C
D
10. A
B
C
D
14. A
B
C
D
3. A
B
C
D
7. A
B
C
D
11. A
B
C
D
15. A
B
C
D
4. A
B
C
D
8. A
B
C
D
12. A
B
C
D
C
D
Evaluación Bloque 2 119
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