1. Educación

1. Una tienda tiene un estacionamiento pequeño adyacente con tres espacios reservados para los clientes. Si la
tienda está abierta, los autos llegan y usan un espacio con una tasa media de 2 por hora. Para n = 0,1,2 y 3 la
probabilidad Pn de que hayan n espacios ocupados es: P0 = 0.2 , P1 = 0.3 , P2 = 0.3 y P3=0.2. Determine las
medidas de desempeño básicas L, Lq, W y Wq para este sistema de colas.
2. La agencia del Banco Mercantil en Terrazas del Avila tiene dos cajeras. Los clientes llegan a las cajas con
una tasa media de 40 por hora. Una cajera requiere, en promedio, 2 minutos para servir a un cliente. Cuando
ambas cajeras están ocupadas el cliente que llega se une a la cola y espera que lo atiendan. Por experiencia se
sabe que los clientes esperan en la cola un promedio de 1,6 minuto antes de pasar a la caja. Determine las
medidas de desempeño básicas Wq, W, Lq y L.
3. Considere un proceso de nacimiento y muerte con las siguientes tasas medias:
= 2 ,  = 3 , =2 ,  = 1 , n = 0 para n > 3
 = 3 ,  =4 ,  = 1 , n = 2 para n > 3
a) Construya el diagrama de tasas
b) Desarrolle las ecuaciones de balance
c) Resuelva las ecuaciones de balance para encontrar la distribución de probabilidad
d) Calcule L, Lq, W y Wq
4. Los trabajos llegan a un centro de procesado de acuerdo a un proceso Poisson, con una tasa media de dos
por días, el tiempo de operación tiene una distribución exponencial con media de 1/4 día. Se cuenta en este
centro con suficiente espacio para material en proceso para acomodar tres trabajos además del que se está
procesando. Los trabajos adicionales se guardan temporalmente en un lugar menos conveniente. ¿Qué
proporción del tiempo será adecuado el espacio que tiene el centro de procesado, para acomodar todos los
trabajos que lleguen?
5. Una gasolinera cuenta con una bomba de gasolina. Los carros que requieren cargar llegan de acuerdo a un
proceso de Poisson con una tasa media de 15 por hora. Sin embargo, si la bomba se está usando, estos clientes
potenciales pueden desistir (ir a otra gasolinera). En particular, si hay n automóviles en la gasolinera, la
probabilidad de que un cliente potencial desista es n/3 para n =1,2,3. El tiempo que se necesita para servir un
auto tiene una distribución exponencial con media de cuatro minutos:
a) Construya el diagrama de tasas para este sistema de colas.
b) Desarrolle las ecuaciones de balance y resuélvalas para encontrar la distribución de probabilidad de
estado estable del número de autos en la gasolinera.
c) Encuentre el tiempo de espera esperado (incluyendo servicio) para los automóviles que se quedan.
6. Los mecánicos que trabajan en una planta de troquelado debe sacar herramientas de un almacén. Llega un
promedio de diez mecánicos por hora buscando partes. En la actualidad el almacén está a cargo de un empleado
a quien se le pagan 6 dólares/h y necesita un promedio de 5 min. para entregar las herramientas de cada
solicitud. Como a los mecánicos se les paga 10 dólares/h, cada hora que un mecánico en el almacén de
herramientas le cuesta 10 dólares a la empresa. Esta debe decidir si vale la pena contratar, a 4 dólares/h, un
ayudante del almacenista. Si se contrata al ayudante, el almacenista sólo tardará un promedio de 4 min. Para
atender las solicitudes de herramientas. Suponga que son exponenciales tanto los tiempos de servicio como el
tiempo entre llegadas. ¿Se debe contratar al ayudante?
7. Una tienda de tipo “minisuper” tiene una sola caja con un cajero de tiempo completo. Los clientes llegan a la
caja de manera “aleatoria” (es decir, un proceso de entradas Poisson) con una tasa media de 30 por hora.
Cuando sólo hay un cliente en la caja, el cajero lo atiende solo, con un tiempo de servicio esperado de 1.5
minutos, pero hay un ayudante que tiene instrucciones: siempre que haya más de un cliente en área de caja
deberá ayudar al cajero a empacar la mercancía. Esta ayuda reduce el tiempo esperado de servicio a un
minuto. En ambos casos, la distribución de estos tiempos de servicio es exponencial.
a) Construya el diagrama de tasas para este sistema de colas.
b) ¿Cuál es la distribución de probabilidad de estado estable del número de cliente en la caja?
c) Obtenga L para este sistema. Utilice esta información para determinar Lq , W y Wq
8. Una estación de servicio cuenta con una bomba de gasolina. Los carros que requieren el servicio que ofrece
el local, llegan de acuerdo a un proceso de Poisson con una tasa media de 20 por hora. Sin embargo, si la
bomba se está usando, estos clientes potenciales pueden desistir (ir a otra gasolinera). En particular, su hay n
automóviles en la gasolinera, la probabilidad de que un cliente potencial que desista es n/4 para n=1, 2,3,4. El
tiempo que se necesita para servir un auto tiene una distribución exponencial con media de seis minutos. Por
otra parte, se sabe que los clientes pueden salirse de la cola, dependiendo del lugar que ocupen en esta. Un
cliente que ya ésta en servicio nunca desiste, pero los clientes en la cola lo hacen. En particular, el tiempo que
un cliente al principio de la cola ésta dispuesto a esperar antes de desistir tiene una distribución exponencial con
media de cuatro minutos. Para un cliente en la segunda posición en la cola, el tiempo que espera antes de
desistir tiene una distribución exponencial con media 0,05 horas. Para un cliente en la tercera posición de la
cola, el tiempo que espera antes de desistir tiene una distribución exponencial con media 2 minutos.
a) Construya el diagrama de tasa para este sistema.
b) Determine la fracción de tiempo en el que la gasolinera está ocupada.
9. Un banco emplea cuatro cajeras para servir a sus clientes. Los clientes llegan de acuerdo con un proceso
Poisson con una tasa media de tres por minuto. Si un cliente encuentra todas las cajas ocupadas, se una a una
cola a la que le dan servicio todas las cajeras, es decir, no hay colas frente a cada cajera, sino que esperan en
una cola la primera cajera que se desocupa. El tiempo para realizar las transacciones entre la cajera y el
cliente tienen una distribución exponencial con media setenta segundos. a) Construya el diagrama de tasas para
este sistema de colas. b) Encuentre la distribución de probabilidad de estado estable para el número de clientes
en el banco. c) Calcule L. d) ¿Cuál es la probabilidad de que haya más de un cliente en la cola? e) ¿Cuál es la
probabilidad de que un cliente pase más de dos minutos en el área de caja?
10. El gerente de un banco debe determinar cuántos cajeros deben trabajar los viernes. Por cada minuto que un
cliente espera en la cola, el gerente supone que se incurre en un costo de 5 c de dólar. Al banco llega un
promedio de 2 clientes por minuto. En promedio, un cajero se tarda 2 minutos en tramitar la transacción de un
cliente. Al banco le cuesta 9 dólares por hora la contratación de un cajero. Los tiempos entre llegadas y los
tiempos de servicio son exponenciales. Para reducir al mínimo la suma de los costos de servicio y los de
demora, ¿Cuántos cajeros deben trabajar el banco los viernes? Para la solución propuesta, ¿cuál es la
probabilidad de que el cliente tenga que esperar en la cola más de 5 minutos?
11. Una instalación de servicio consiste de una persona que puede atender un promedio de 2 clientes por hora.
Los tiempos de servicio son exponenciales. Llega un promedio de 3 clientes por hora y se supone que los
tiempos entre llegadas son exponenciales. La capacidad del sistema es de tres clientes.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que quien atiende, este ocupado?
b) En promedio, ¿cuántos clientes logran entrar al sistema?
c) Calcule L, Lq, W y Wq
12. Una oficina de boletos de una aerolínea tiene tres agentes que contestan las llamadas para las reservaciones.
Se pueden poner en espera hasta dos llamadas, mientras se desocupan algunos de los agentes para tomarlas. Si
las cinco líneas están ocupadas el cliente potencial obtiene tono de ocupado y se supone que llama a otra oficina
de boletos y la venta se pierde. Las llamadas ocurren de acuerdo a un proceso Poisson a una tasa de 20 por
hora. La duración de una conversación telefónica tiene distribución exponencial con media 4 minutos.
a) Encuentre la probabilidad de estado estable de que un cliente puede hablar de inmediato con un agente
b) Determine el número esperado de clientes en el sistema.
13. Considere un sistema de colas con un servidor para el cual n = 20 para n =0, 1, 2, 3,….
n = 25 para n= 1, 2, 3 y n = 40 para n = 4, 5, 6, …..
a) Calcule la probabilidad de que haya por lo menos un cliente en el sistema
b) Calcule L
c) Calcule Wq
14. El gerente de una gran tienda se propone determinar cuántos cajeros deben trabajar los días de mayor afluencia de
clientes. Por cada minuto que un cliente espera en la cola, el gerente estima que se incurre en un costo de Bs 5. Al área de
caja llega un promedio de tres clientes cada dos minutos. En promedio, un cajero se tarda 80 segundos en atender un
cliente. Cuesta Bs 50 por hora, la contratación de un cajero. Los tiempos entre llegadas y los tiempos de servicio son
exponenciales. El gerente quiere reducir al mínimo la suma de los costos de servicio y los de demora
a) ¿Cuántos cajeros debe habilitar los días pico?
b) Para la solución propuesta en a) ¿cuál es la probabilidad de que un cliente tenga que pasar más de 3 minutos en el
área de caja?
15. Un supermercado trata de decidir cuántas cajas deben estar funcionando. Suponga que, en promedio, llegan
al supermercado 18 clientes por hora, y el tiempo promedio de atención al cliente es de 2,4 minutos. Los
tiempos entre llegadas y los tiempos de servicio son exponenciales. El funcionamiento de una caja cuesta 30
dólares por hora y, por otra parte, se tiene un costo de 25 centavos de dólar por cada minuto que el cliente pasa
en la zona de cajas.
a) Llene la tabla de abajo
b) El gerente del supermercado desea saber que conviene más: una caja o dos cajas. Si se quieres minimizar el costo
¿Cuántas cajas debe abrir el supermercado?
s=1

P0
W
P{pasar en área de caja más de un minuto}
s=2