1. Educación

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PUERTO VALLARTA, JALISCO, MÉXICO, OCTUBRE 2014
PERFILES DE FLUJO MEDIANTE FUNCIONES EQUIVALENTES
Lizárraga Estrada Natalie del Rosario1, García Villanueva Nahún Hamed2 y
Barrera Rodríguez Aldo Leonardo1
1
Posgrado, Facultad de Ingeniería, Universidad Nacional Autónoma de México.
Paseo Cuauhnáhuac No. 8532, Col. Progreso, Jiutepec, Morelos, México. CP 62550
2
Instituto Mexicano de Tecnología del Agua. Paseo Cuauhnáhuac No. 8532, Col. Progreso, Jiutepec, Morelos,
México. C.P. 62550
[email protected], [email protected], [email protected]
Introducción
En la práctica profesional, por efecto de su no linealidad, la
ecuación diferencial del flujo gradualmente variado se
resuelve numéricamente mediante técnicas de discretización
espacial, predominando la aplicación de métodos en
diferencias finitas. No obstante, por el interés académico del
tema, desde hace más de cien años, diversos investigadores
han trabajado en el desarrollo de soluciones exactas o semiempíricas. Así por ejemplo se cuenta con las propuestas
desarrolladas por Bakhmeteff (1932), Chow (1959),
Henderson (1966), Chaudrhry (1985), Schulte y Perkins
(1987)y C. D. Jan (2014), entre otros; pero dado que su
aplicación tiene un cierto grado de complejidad, además de un
conjunto de restricciones, resulta que no son de uso y
aplicación general, prevaleciendo por consecuencia el uso de
los métodos numéricos.
El objetivo de este trabajo es desarrollar y validar un conjunto
de funciones, numéricamente equivalentes e integrables
analíticamente, para reemplazar a la ecuación de flujo
gradualmente variado, y a través de las mismas obtener una
solución “directa” de los perfiles de flujo permanente que se
generan ante diferentes condiciones de frontera en canales
prismáticos.
Ante este escenario y dado que persiste entre la comunidad
científica y académica el interés por las soluciones analíticas y
semi-empíricas se propone el desarrollo y validación de un
conjunto de funciones, numéricamente equivalentes e
integrables analíticamente, para obtener una solución “directa”
a la ecuación dinámica.
El flujo gradualmente variado es el flujo permanente cuya
profundidad varía de manera gradual a lo largo de la longitud
del canal (Chow, 1994)
El flujo uniforme en un canal satisface la condicion ideal de
equilibrio dinámico entre el componente de la fuerza de peso del
líquido en la direccion del movimiento y la fuerza de friccion
generada sobre la frontera sólida de la conducción, lo que
equivale a la igualdad de la pérdida por fricción entre dos
secciones cualesquiera con el desnivel entre ellas . Esto se logra
cuando la velocidad del flujo se mantiene constante a lo largo del
canal, lo que es posible unicamente si las dimensiones de la
seccion y el tirante son constantes (Sotelo, 2002). Bajo estas
condiciones el flujo, que también se conoce como flujo
normalizado, presenta un tirante constante al cual se le denomina
tirante normal.
En el tratamiento del flujo gradualmente variado se considera
que ocurren cambios pequeños del tirante en la direccion del
movimiento, si se comparan con la distancia en que se producen
(Sotelo, 2002), y por lo general los perfiles de flujo tienden a
normalizarse en la medida en que se desarrollan en el espacio;
por lo que es común mantener el tirante normal como una de las
condiciones de frontera.
La ecuación que describe éste tipo de flujo es la ecuación
dinámica:
⁄
) ⁄(
(
)
(1)
Donde dy/dx representa la variación del tirante
en la
dirección del movimiento , S0 es la pendiente del fondo, Sf es
la pendiente de fricción y Fr es el número de Froude.
Debido a que la ecuación dinámica es altamente no lineal no
puede ser integrada analíticamente, salvo en casos muy
particulares, y en consecuencia se recurre a soluciones
numéricas como lo son diferencias finitas, entre ellas destacan
el método del paso estándar y el de Runge-Kutta, que son de
los más usados, por mencionar algunos.
En el segundo miembro de la ecuación dinámica (1) se tiene
un cociente, en el que el numerador es la diferencia entre la
pendiente del fondo del canal y la pendiente de fricción; y el
denominador es la unidad menos el número de Froude y cada
diferencia puede ser positiva, nula o negativa. Esta
combinación da como resultado una serie de curvas conocidas
como perfiles de remanso que son clasificadas como: curvas
suaves tipo M en régimen subcrítico, curvas C para canales
con pendiente crítica, curvas S para régimen supercrítico,
curvas H en canales horizontales y curvas A cuando la
pendiente es negativa.
Metodología
Puesto que la ecuación (1) se puede expresar de forma
equivalente como (Chow, 1994):
⁄
(
⁄
) (
)⁄(
)
(2)
donde Q es el gasto del flujo gradualmente variado para el
tirante actual y; Qn es el gasto normal correspondiente al
tirante yc; y Qc es el gasto crítico para el tirante igual a yn; por
analogía, en este trabajo se ha supuesto, para un gasto y
geometría dada en un canal, que la ecuación dinámica del flujo
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gradualmente variado (1) también se puede expresar en
función del tirante y, tirante normal yn y el tirante crítico yc,
con la forma en que se muestra a continuación:
⁄
[(
)⁄(
)]
A partir de este arreglo, para construir la función equivalente,
se adoptó
, resultando:
⁄
[
][(
)⁄(
)]
(3)
Resultados y Análisis
A continuación se presentan los resultados de la función
equivalente para un perfil M2 en un canal prismático, los
datos para éste fueron: ancho de la base b=10 m, talud k= 1,
coeficiente de Manning n = 0.02, gasto Q = 100 m3/s y
pendiente del fondo del canal So = 0.0005.
El tirante crítico resultó, yc = 2.02 m y el tirante normal yn =
3.624 m.
Para este caso se obtuvieron los parámetros de ajuste:
a=196.4889 y b=385.5132, con un coeficiente de correlación
entre la ecuación dinámica y la función equivalente de
r2=0.998 (ilustración 1).
Siendo
constantes a determinar para cada perfil de flujo
a estudiar. Dichas constantes se obtienen mediante un
procedimiento de correlación lineal, dentro de un rango
determinado de valores de y, entre esta función equivalente y
la ecuación dinámica expresada en su forma:
⁄
(
) (
)
(4)
La ecuación (3) tiene la gran ventaja, respecto de la ecuación
(4), de que se puede integrar de forma analítica. De esta
manera partiendo de una condición de frontera conocida (xi,
yi), la posición xi+1 asociada a un determinado tirante yi+1, está
dada por:
∫
[
][(
)⁄(
)]
Los límites de integración de la ecuación (5) se establecen en
función del problema a tratar. Como ya se comentó, el límite
inferior de la integral representa un valor conocido del tirante;
su valor inicial corresponde a una condición de frontera o
punto de control, que para casos prácticos, puede ser el tirante
crítico o el tirante en algún punto de interés del canal. El
límite superior final teórico puede estar limitado por el tirante
normal o el tirante crítico, pero en la práctica su límite estará
definido por estructuras o por conveniencia.
De esta manera para el caso de un perfil M2, cuyo punto de
condición de frontera es (0, yc), la integral de la ecuación (5)
resulta ser:
{ [(
{ (
(
)}
)|}
) (
{ (
(
)
)(
(
))]}
)}{ |(
Ilustración 1. Gráfica de la función de ajuste perfil M2.
(5)
La integral de la función equivalente que describe el perfil de
flujo para esas condiciones de frontera es:
|
[(
⁄(
)⁄(
)|
)]
En la ilustración 2 se puede observar que la distancia a la que
se presenta un tirante y = 0.995yn, con respecto a la posición
en que se encuentra el tirante crítico yc (punto donde inicia el
perfil de flujo, xc=0), es x=4,710.9 m.
)
(6)
En esta expresión representa la distancia en la que se
presentará el tirante , con la restricción
, ya
que se trata de un perfil M2 (para fines prácticos se
recomienda un límite de
, ya que el tirante normal
se presenta en
).
Dado que la forma de la función equivalente es única,
expresiones similares se obtienen para otros perfiles de flujo,
pero se debe tener cuidado de hacer la adecuada sustitución de
las condiciones de frontera (xi, yi).
(7)
Ilustración 2. Gráfica del perfil M2 resultado de la función
equivalente.
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Al comparar este resultado con el derivado de la aplicación
de los métodos del paso estándar y el de Runge-Kutta. Para
el mismo tirante y = 0.995yn , con el del paso estándar se
obtiene x= 7,500 m (Ilustración 3), mientras que con el de
Runge-Kutta de cuarto orden se obtiene x= 4,900 m
(ilustración 4).
Por otra parte y como ejemplo adicional, para un perfil S2,
que es una curva de flujo supercrítico, se realizó la aplicación
del método propuesto con los datos siguientes: b =10 m, k = 1,
n = 0.02, Q = 100 m3/s y So = 0.02. En la ilustración 5 se
muestra la función de ajuste considerando como condición de
frontera, aguas arriba, el tirante crítico. Los parámetros de
ajuste obtenidos son: a=-14.07 y b=105.2, con un coeficiente
de correlación r2= 0.997.
Ilustración 3. Grafica del perfil M2 resultado del método directo
por pasos.
Ilustración 5. Gráfica de la función de ajuste perfil S2.
La expresión (8) representa la función que describe el perfil de
flujo y la Ilustración 6 muestra la curva del perfil:
|
⁄(
[(
)⁄(
)|
)]
(8)
Ilustración 4. Gráfica del perfil M2 resultado del método
numérico Runge-Kutta.
Para el perfil M2 con los datos de geometría y condiciones de
frontera establecidos para el ejemplo se puede observar que
entre el método de la función equivalente y el método directo
por pasos existe una diferencia significativa (60%) en la
determinación de la distancia a la que se presenta y = 0.995yn,
mientras que con respecto al de Runge_Kutta la diferencia es
del orden del 4%. Si bien se podría mejorar la precisión del
método paso a paso, la desventaja que tiene, al igual que la
mayoría de los métodos numéricos, es que el valor de los
incrementos debe ser muy pequeño para que el resultado sea
mejor; situación que siempre quedará a criterio del calculista.
En contraste, con el método propuesto, desde que se conoce la
calidad de la correlación de la ecuación equivalente, se tendrá
la certeza de la calidad de la solución; en este sentido todas las
pruebas hasta ahora realizadas arrojan coeficientes de
correlación superiores a r2=0.99.
Ilustración 6. Gráfica del perfil S2 resultado de la función
equivalente.
Como se aprecia en la ilustración 6, el tirante y=1.005yn se
presenta a una distancia x = 370 m.
Para el método directo se tiene un desplazamiento de 305
metros en régimen permanente hasta que tiende al tirante
normal (ilustración 7) y para el método Runge-Kutta 650
metros (ilustración 8).
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Ilustración 9. Gráfica comparativa entre el Método Directo por
pasos y el Método de la Función Equivalente para un perfil M2.
Ilustración 7. Grafica del perfil S2 resultado del método directo
por pasos.
Ilustración 10. Gráfica comparativa entre el Método Directo por
pasos y el Método de la Función Equivalente para un perfil S2.
Estos resultados muestran la importancia de contar con un
método que de origen aporte información sobre la calidad de
la solución, por lo que se insiste en la ventaja de la opción que
aquí se presenta ya que parte de conocer la calidad de la
correlación entre la función equivalente y la ecuación de flujo
gradualmente variado.
Ilustración 8. Gráfica del perfil S2 resultado del método
numérico de Runge-Kutta.
Para el perfil S2 los desplazamientos entre la condición crítica
aguas arriba hasta el tirante normal fueron 375 m, 305 m y
650 m para los métodos de la función equivalente, paso
estándar y Runge-Kutta respectivamente.
A modo de resumen se muestran las gráficas (ilustraciones 9 y
10) de comparación entre el método directo por pasos que es
el más utilizado para el cálculo del flujo gradualmente variado
y el método de las funciones equivalentes.
Como se mencionaba anteriormente para el primer caso de un
perfil M2 se tiene que el desplazamiento del flujo en el
espacio entre las dos condiciones de contorno es casi el doble
en el método directo que en la función equivalente con la
misma cantidad de puntos-división del rango- entre los tirantes
normal y crítico, a medida que se divide más el rango en el
método directo los resultados tienden a aproximarse al de la
función equivalente. Lo mismo sucede con el perfil tipo S2,
sólo que en éste la diferencia de desplazamiento entre un
método y otro es del 4%, de igual forma entre más se
discretice el dominio del rango las dos soluciones tienen
resultados similares.
Conclusiones
La concepción y obtención de la función equivalente es simple
y permite describir con precisión el flujo gradualmente
variado para condiciones de frontera particulares; ofrece la
ventaja de ser una solución analítica por lo que facilita su
interpretación y solución directa. Si bien se requiere llevar a
cabo un ejercicio de correlación, para obtener los valores de
los coeficientes
de la ecuación equivalente, este esfuerzo
se justifica al contar con un parámetro de calidad en solución,
como lo es el coeficiente de correlación. Para garantizar una
solución confiable, se recomienda hacer el ajuste con un
número de puntos–división del rango de tirantes dentro de los
cuales se desarrolla el perfil de flujo- tal que r2> 0.99,
condición que, de acuerdo con las pruebas hasta ahora
realizadas, se supera sin problemas.
Referencias Bibliográficas
SOTELO, G. Hidráulica de Canales. Primera edición. México,
D.F. Ciudad Universitaria. 2002, 393 pp.
CHOW, V. Hidráulica de Canales Abiertos. Editorial
McGraw-Hill. Santa Fé de Bogotá, Colombia. 349-352 pp.