1. Educación

Geometría Vectorial y Analítica con GEOGEBRA
Fuente Martos, Miguel de la 1
Resumen
Partiendo sólo de un conocimiento muy básico de GEOGEBRA, pretendemos trabajar con
la mayoría de herramientas y comandos que permiten usar los vectores. Veremos también las
altas posibilidades de resolver situaciones típicas o creativas de Geometría Analítica plana
usando comandos en la línea de entrada, para lo que desarrollaremos un buen número de
actividades prácticas seleccionadas para tal fin.
1. Introducción
La mayoría de los programas clasificados como “de geometría dinámica” incorporan
herramientas para el trabajo con vectores, pero la posibilidad de uso de la notación
vectorial para la representación gráfica y tratamiento de los vectores o la traducción
automática de los vectores trazados a coordenadas en la ventana algebraica, es casi
exclusivo de Geogebra. Esta interacción entre la ventana algebraica y gráfica se amplía en
el caso de los puntos a la hoja de cálculo incorporada a Geogebra, lo que proporciona una
multiplicidad de opciones de representación y tratamiento de nociones matemáticas, como,
entre otros, en el caso de las cónicas. Por último la gran cantidad de comandos de que se
disponen facilita el trabajo de construcción y tratamiento vectorial de figuras e imágenes,
de forma que la dinámica de la construcción no oculte el objetivo de la tarea.
2. Contenidos
Los contenidos de este taller están estructurados como una secuencia de tareas dónde
se va desde la exploración básica de las posibilidades de Geogebra en el trabajo con
vectores y puntos, usando tanto las herramientas gráficas como la notación vectorial sobre
la línea de entrada, hasta tareas algo más complejas, pero útiles en nuestras clases, dónde
se mezclan las posibilidades de interacción entre la línea de entrada, la pantalla gráfica y/o
la hoja de cálculo. Algunas tareas podrían hacerse eludiendo el trabajo con vectores o
1
I.E.S. El Tablero de Córdoba.
podrían desarrollarse de otro modo, pero las que aquí se plantean y tal y como se plantean,
permiten ser abordadas de una manera más cómoda y pensamos que no forzada.
Hemos organizado las tareas en 5 apartados 1) a 5), que presentamos y desarrollamos a
continuación:
1) Trabajo básico con vectores:
a) Vectores libres y fijos. Operaciones con vectores.
i)
Representar vectores fijos y libres usando la barra de herramientas o la línea de
entrada:
Barra de herramientas
(Vector entre dos Puntos)
Línea de Entrada
u=Vector[A,B]
v=B-A
w=(2,5)
Acciones
Mover origen o extremo
 Mover vector
 Obtener combinaciones
lineales de dos vectores
ii) Trasladar puntos usando vectores:
Barra de herramientas
Línea de Entrada
u=Vector[A,B]
D=C+v
(Vector desde un Punto)
Barra de
herramientas
(Ángulo)
Línea de Entrada
TAREA 1
Construir un paralelogramo a
partir de tres vértices no
alineados usando vectores (sin
usar rectas paralelas ni simetrías)
TAREA 2
Representar dos
vectores u y v
sin origen
común. Hallar
el ángulo que
forman, usando
el producto
escalar, y
representar
dicho ángulo.
b) Vectores perpendiculares y unitarios. El vector perpendicular a una recta.
Línea de Entrada
TAREA 3
Construir un
cuadrado a partir
de dos vértices
consecutivos
usando vectores
(sin usar rectas
paralelas ni
perpendiculares)
TAREA 4
Construir un cuadrado
a partir de dos vértices
opuestos usando
vectores (sin usar rectas
paralelas ni
perpendiculares)
TAREA 5
Construir un cuadrado
inclinado respecto a
los ejes a partir de uno
de sus vértices y de
lado 3 unidades,
usando vectores.
TAREA 6
 Representar una recta
r inclinada y el vector
perpendicular a ella
con origen en un
punto de la misma.
 Crear un haz de rectas
paralelas a r que
disten entre sí 1’5
unidades.
v=Vector[A,B]
p_{v1}=(x(v),-y(v))
p_{v2}=(-x(v), y(v))
p_v=VectorPerpendicular[v]
u= VectorUnitario[v]
w=VectorUnitarioPerpendicular[v]
TAREA 4
Construir un rectángulo de
proporción k (variable) usando
vectores.
c) División de un segmento en partes iguales usando vectores.
TAREA7: Representar un segmento AB y en él n-1 puntos que lo dividan en n partes
iguales. Usar el comando secuencia para el caso de n variable.
d) La recta definida con vectores: La ecuación vectorial de la recta.
TAREA 8: Representar un vector libre u y un punto A. A partir de ellos construir la
recta que pasa por A y tiene a u como vector dirección.
e) Dibujo vectorial: Las fases de una evolución vectorial en la creación de comics y
caricaturas.
TAREA 9:
 Representar un par de polígonos (Inicial y Final) con el mismo
número de vértices (en la figura inferior son los polígonos en forma de
M y F).
 Crear un deslizador (k) que varíe entre -0.5 y 1.5 con incrementos de
0.1. Asociar cada vértice del polígono Inicial con otro del Final
(AA1, BB1, etc.).
 Determinar en cada segmento AA1, BB1, etc. Un punto A’, B’, etc. de
forma que AA’/AA1=BB’/BB1=... y tal que para k=0 sean A’=A,
B’=B,… y para k=1 sean A’=A1, B’=B1, etc.
 Construir el polígono A’B’C’…, que será un polígono intermedio
(interpolado) entre el Inicial y el Final para 0<k<1, y extrapolado si
k<0 o k>1. En estos últimos casos podríamos considerar que el
polígono construido para k<0 es una caricatura del polígono Inicial
vista por el Final (caricatura de la M desde el punto de vista de la F), y
el construido para k>1 es una caricatura del polígono Final vista por el
Inicial (caricatura de la F desde el punto de vista de la M).
Usando la posibilidad de asignar colores dinámicos, que aparece en la pestaña
“Avanzado” de la ventana “Propiedades” de cada polígono, podemos tratar el color
como un vector tridimensional y lograr también la evolución del color además de la
de la forma. Si asignamos colores al azar a los polígonos Inicial y Final, podemos
contemplar diferentes evoluciones de forma y color pulsando Mayúsculas+F9 y
moviendo el deslizador k.
2) Traslaciones:
a) Traslaciones sucesivas como animaciones.
TAREA 10:Representar dos vectores y elaborar una animación que permita trasladar
una figura (triángulo en la imagen inferior) usando un vector y a
continuación el otro, pero con la ayuda de un único deslizador.
b) Traslaciones repetidas usando secuencias: Aplicación a la creación de decoraciones
periódicas.
TAREA 11:
 Construir un paralelogramo ABDC y encajar dentro de él alguna
imagen2 , insertándola de modo que la Esquina 1 o inicial sea A,
la Esquina 2 sea C y la Esquina 4 sea B (usar para ello la etiqueta
“Posición” en la ventana de “Propiedades” de la imagen
insertada).
 
 Trasladar repetidamente la imagen con los vectores AB y AC para
crear una decoración periódica. Usar para ello la orden Secuencia con
dos variables.
c) Análisis de periodicidad de una decoración previamente digitalizada.
TAREA 12:
 Crear una red de paralelogramos a partir de dos vectores de diferente
dirección. (Usar, si se quiere, la que se tiene creada en el fichero
Trama vectorial.ggb que se proporciona en este taller).
 Crear dos puntos en las esquinas inferiores de la zona gráfica de
Geogebra que estén en la misma horizontal (J y K en la figura que
sigue).
 Insertar una decoración periódica previamente digitalizada (usar
una de las que se proporcionan en este taller) fijando la Esquina 1
y 2 en cada uno de los puntos anteriores.
2
Puede hacerse también (para menor consumo de recursos del ordenador) con un polígono creado con Geogebra y
que tesele el plano por traslaciones, como un hexágono de lados opuestos iguales y paralelos.
 Mover y colocar los puntos A, B y C de forma que la decoración
quede dividida en zonas, lo más pequeñas posibles, congruentes por
traslación.
3) Centro de gravedad de una nube de puntos con coordenadas y sin ellas:
TAREA 13:
 Crear cuatro puntos A, B, C; D y determinar geométricamente el
centro de gravedad Ba dividiendo segmentos sucesivos en 2, 3 y 4
partes iguales, tal y como se muestra en la figura que sigue.
 Pasar las coordenadas de los 4 puntos a la hoja de cálculo y hallar la
media aritmética de sus coordenadas, comprobando que se obtienen
las coordenadas de Ba.
TAREA 14:
Inserta el Mapa de Huelva que se proporciona (Mapa_Huelva.png) en
la zona gráfica de Geogebra fijando su posición y tamaño. Crea unos
20 puntos usando la hoja de cálculo. Coloca los puntos repartidos
sobre la frontera de la provincia y determina su centro geográfico
considerado como el centro de gravedad de dichos puntos.
4) Las matrices como vectores multidimensionales. Transformaciones geométricas con
matrices 2x2:
TAREA 15:
 Consideremos el cuadrado unidad OABC, donde O es el origen de
coordenadas, A=(0,1), B=(1,1) y C=(1,0).
 Construir dos vectores libres u y v representados con origen en O, y a
partir de ellos construir el paralelogramo OA’B’C’, como se muestra
en la figura que sigue3.
 Considerar la matriz M de dimensión 2x2, donde figuran, por filas, las
coordenadas de los vectores u y v. Hallar su determinante Det(M)
usando, si se quiere, la hoja de cálculo.
 Mover los vectores u y v comprobando, con coordenadas, que
O=O*M, A’=A*M, B’=B*M y C’=C*M, es decir que el
paralelogramo OA’B’C’ es el polígono transformado del cuadrado
unidad por la matriz M; y estudiar la relación entre el determinante de
M y el área del paralelogramo OA’B’C’.
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Aunque no es necesario, se puede rellenar dicho paralelogramo con una imagen asociando las esquinas 1, 2 y 4 a
los puntos O, C’ y A’ respectivamente.
5) Algunas tareas con cónicas:
a) Buscando el foco y directriz de una parábola.
TAREA 16:
 Abre el fichero Parábola al azar.ggb y verás una parábola que se ha
generado al azar (Si pulsas Mayúsculas+F9 podrás cambiar de
parábola).
 Con las herramientas y comandos de que se disponen en Geogebra,
pero sin usar directamente el comando Foco, determinar el Foco (F) y
la directriz (d) de dicha parábola.
b) El juego de pinchar tres globos4 (con parábolas y circunferencias)
TAREA 17:
 Abre el fichero Parábola pincha globos.ggb y verás una parábola que
se ha trazado usando la expresión y=a(x-b)2+c, usando valores
concretos de a, b y c; así como tres circunferencias con centros
generados al azar y cuyos radios pueden modificarse con el deslizador
precision. (Si pulsas Mayúsculas+F9 podrás cambiar de posición las
circunferencias).
4
La idea de esta Tarea está tomada de un antiguo juego educativo de ordenador sobre funciones llamado “trece
globos”, en el que aparecían en la pantalla tal número de globos que se rompían cuando la gráfica de una función
definida por el usuario los atravesaba. La puntuación que se conseguía en cada representación gráfica dependía del
número de globos rotos o del número de intentos para romper un número determinado de ellos. Jugando se
conseguía una gran destreza en la influencia de los parámetros en la gráfica para determinadas familias de
funciones.
 Introduce en la línea de comandos valores para a, b y c, de modo que
la parábola toque o corte a las tres circunferencias, y anota el número
de veces que has tenido que introducir valores (número de intentos).
Agradecimientos
Agradecemos al la Consejería de Educación y Ciencia de la Junta de Andalucía,
Universidad de Córdoba, Universidad de Huelva, Diputación Provincial de Huelva,
Ayuntamiento de Huelva, etc., las ayudas prestadas sin la cual no hubiese sido posible la
celebración de estas Jornadas.
Referencias
 CLUB DE LAS IDEAS (2010). “Grabación del programa CLUB DE LA IDEAS de Canal Sur
2 sobre el trabajo con Geogebra en el IES EL TABLERO de Córdoba”.
(http://www.youtube.com/watch?v=s0XmLfpoW-Q)
 DE LA FUENTE, M. (2010). “¿Dónde está?, ¿Dónde estoy?, ¿Dónde estaba?: Tres
Problemas de relaciones de las matemáticas y los mapas resueltos con Geogebra”.
Comunicación en el XIII Congreso THALES de Enseñanza y Aprendizaje de las
Matemáticas. Córdoba. (Pendiente de publicación)
 HOHENWARTER, M.; HOHENWARTER, J. Y SAIDON, L. (2009). “Manual en Castellano de
Geogebra para la versión 3.2” (http://www.geogebra.org/help/docues.pdf)
 LOSADA LISTE, R. (2009) “Materiales del curso virtual del ITE :GeoGebra en la enseñanza
de las Matemáticas” (http://geogebra.es/cvg/index.html)