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ISSN 2007-1957
ESTUDIO ECONOMÉTRICO DE LA PRODUCCIÓN DE ACERO
Ana María Islas Cortes
Instituto Politécnico Nacional, ESIT
[email protected]
Gabriel Guillén Buendía
Instituto Politécnico Nacional, ESIME-Azcapotzalco
[email protected]
Yolanda Montoya Vargas
Instituto Politécnico Nacional, ESIT
[email protected]
Abstract
En el presente estudio se ajustó un modelo logístico a datos de la producción mundial
y de los cinco principales productores de acero. La determinación numérica del
modelo en estudio se realizó a través de su correspondiente transformación
cuadrática, conduciendo a valores de correlación y chi cuadrada significativos al
95% de confianza estadística. Finalmente, el modelo fue optimizado por el método
iterativo Marquardt obteniendo un nivel de significancia del 99% de confianza
estadística.
Palabras clave: Producción mundial de acero, modelo logístico, Marquardt.
El acero es una aleación de hierro y
carbono con diferentes proporciones que
puede llegar a un 2 por ciento de carbono. Sin
embargo la mayoría de los aceros contiene
menos de un 0.5 por ciento de carbono.
Además puede contener agregados e
impurezas naturales como fósforo y azufre. El
acero es un insumo importante para otras
industrias como de la construcción y la
automotriz entre otras [Valencia, 1992].
La producción mundial del acero se
incrementó en 75.5 por ciento entre 2000 y
2011; destacando la producción de países
como China, India y Turquía. Los primeros
cinco productores a nivel mundial en el 2011
fueron China, Japón, EUA, India y Rusia, con
683.3, 107.6, 86.2, 72.2 y 68.7 millones de
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toneladas respectivamente, México ocupó el
décimo tercer lugar con 18.1 millones de
toneladas [Secretaria Economía, 2012].
P
1  A  A  
 P

a
  B P   B 
P

Entonces:
En el presente documento se ajustó el
modelo logístico [Larson, 2014] a los datos
de producción mundial del acero, y de los
principales productores, se incluyó a México,
con fines de comparación.
A
dP
B
P

dP
 k dt
P
1
P

5
Arreglando:

El modelo logístico

dP
dP

 k dt
P
P  P


6
Integrando:
El modelo logístico cumple la siguiente
ecuación diferencial:

dP
P
 k P  1 
dt
P




1
LN
P  P
 k t C
P
Aplicando el número de neper a ambos
lados de la ecuación, y despejando se llega a:
Por separación de variable se escribe:
dP

P
P  1 
P




2
 k dt
Usando fracciones parciales:
1

P
P  1 
 P




A

P
B
1
P
P
3
Multiplicando ambos miembros de la
ecuación por P  1  P  , se llega a:

P 

P 
  B P
4
1  A  1 
P



Para encontrar los valores respectivos de
A y B, tenemos:
P 0 
A 1
Sí P  P :
7
P
P
1  C1 e k t
8
El modelo logístico de base cuadrática es
una modificación del modelo anterior, y
permite un mejor ajuste sobre datos
econométricos, su expresión es:
P
P
1 e
a2 t 2  a1 t  a0
9
En el modelo arriba señalado, el valor
asintótico P representa un valor mayor al
valor máximo de los datos que se pretende
ajustar al modelo logístico, y se obtiene por
extrapolación geométrica sobre la curva de
datos.
Con esto, es posible la transformación del
modelo logístico a una parábola cónica [Islas,
2013], como se señala a continuación:
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Si
a
la
columna
10 
transformación
LN  P Pm 1  se denomina P* , entonces la
ecuación (10) se puede escribir como:
11
P*  a 2 t 2  a1 t  a 0
Las constantes numéricas del modelo
cuadrático anterior se determinan a través de
la técnica de mínimos cuadrados [Wackerly,
2013].
Los datos arriba señalados se graficaron en la
figura 1, donde se apreció un incremento que
la participación de Asia en el año 2011
representó el 64.0 por ciento, Europa produjo
el 21.9 por ciento, América contribuyó con el
11.2 por ciento, y el resto C.I.S., Este Medio,
África y Oceanía.
Producción mundial de acero (2000-2011)
1640
Producción (millones de toneladas)
P

LN    1  a 2 t 2  a1 t  a 0
 Pm

1440
La producción mundial de acero
En las estadísticas de la Secretaría de
Economía del Gobierno de México del año
2012, aparece la producción mundial de acero
y de los principales países productores
durante el periodo 2000 al 2011, mismas que
se indican en la tabla siguiente:
Tabla 1. Producción mundial de acero
en el periodo 2000 al 2011 [Secretaría
Economía, 2012].
No.
Periodo
(año)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
2000
2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
2018
2019
2010
2011
Producción
(millones de
toneladas)
848.9
851.1
904.2
969.2
1071.5
1144.1
1247.3
1346.2
1327.2
1229.4
1413.6
1490.1
1240
1040
840
2000
2002
2004 2006 2008
Fecha (año)
2010
2012
Figura 1.- Gráfica de producción mundial
de acero en el periodo 2000 al 2011.
Ajuste del modelo logístico base cuadrática
a la producción mundial de acero
La tabla 2 muestra los datos codificados
de la tabla que da pie al documento, con la
finalidad de simplificar a los mismos, en
donde t  año 2000y Pm expresa miles de
millones de toneladas de acero.
El valor máximo asintótico P de los
valores codificados de producción mundial de
acero fue de 1.5 mil millones de toneladas
obtenido por extrapolación geométrica. Con
este valor es posible aplicar mínimos
cuadrados a la expresión (10) usando los
datos de la tabla 2
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Pm 
Tabla 2.Producción mundial
codificada de acero en el periodo 2000
al 2011.
No.
t  año  2000
Pm
(codificado)
(mil millones de
toneladas)
0.84890
0.85110
0.90420
0.96920
1.07150
1.14410
1.24730
1.34620
1.32720
1.22943
1.41360
1.49010
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
15
1.43058
1  e  0.0274088t
2
0.0762209 t  0.320188
En la tabla 3 aparecen los valores del análisis
de varianza para el modelo logístico ajustado
por el método de regresión iterativo, y arroja
un nivel de significancia del 99% de
confianza estadística.
Tabla 3.- Análisis de varianza del modelo
logístico por el método iterativo Marquardt.
Fuente
Suma de
Cuadrados
g. l.
Cuadrado
Medio
Modelo
16.485800
4
4.12145000
Residuo
0.0327571
8
0.00409464
Total
16.518600
12
Total (Corr.)
0.5499720
R2
94.043900
2
91.810300
R ajustada g. l.
Resultando el modelo siguiente:
a0   0.3874, a1  0.05, a 2   0.0344
12 
Sustituyendo los valores de P y (12) en
el modelo logístico (9), se llega al modelo
numérico-funcional:
1.50
1 e
0.0344 t 2  0.05 t  0.3874
13
1.64
Los parámetros de correlación y chi
cuadrada del modelo logístico fueron:
r  0.95134572,
Producción mundial de acero (codificada)
χ 2  0.04085332
14 
Producción (codificada)
Pm 
En la figura 2 se ilustra el nivel significativo
de ajuste alcanzado con el modelo logístico
usando el método iterativo sobre los datos
codificados de producción mundial de acero
en el periodo ya mencionado.
1.44
1.24
1.04
Ambos test de bondad de ajuste fueron
significativos al 99% de confianza estadística.
Posteriormente el modelo (13) fue optimizado
usando el método iterativo Marquardt,
resultando:
0.84
0
2
4
6
8
Fecha (codificada)
10
12
Figura 2.- Bondad de ajuste del modelo
logístico a la producción mundial codificada de
acero (método Marquardt).
4
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La ecuación siguiente corresponde al modelo
logístico para los datos codificados de
producción de acero en China en el mismo
periodo:
PChina 
0.709388
1 e
0.0190711 t 2  0.177066 t  1.54818
16
Producción de acero (China)
0.8
Producción (codificada)
PJapón 
para
0.153684
1 e
 0.0104842 t 2  0.115299t  0.71367
la
17
El coeficiente de determinación R2 explica
el 18.8495% de la variabilidad en producción
de acero. En la figura siguiente se indica la
baja bondad de ajuste sobre los datos
codificados de producción de acero por parte
de Japón.
Producción de acero (Japón)
(X 0.001)
127
Producción (codificada)
Su correspondiente R2 explica el
97.5801% de la variabilidad en la producción
de China. En la figura
siguiente se muestra la excelente bondad de
ajuste
significativa la 99% de confianza
estadística.
El modelo numérico-funcional
producción de acero de Japón fue:
117
107
97
0.6
87
0
2
0.4
4
6
8
Fecha (codificada)
10
12
0.2
0
0
2
4
6
8
Fecha (codificada)
10
12
Figura 3.Bondad de ajuste del
modelo logístico a la producción
codificada de China de acero (método
Marquardt).
Figura 4.Bondad de ajuste del
modelo logístico a la producción
codificada de Japón del metal en
estudio (método Marquardt).
El modelo numérico-funcional para la
producción de acero por parte de EUA fue:
PEUA 
0.148899
1 e
0.00591895 t 2  0.0156141 t 0.602093
18
El coeficiente de determinación R2 explica
33.3188% de la variabilidad en producción
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codificada de acero de EUA, y en la figura 5
se indica la baja bondad de ajuste.
Producción de acero (Rusia)
(X 0.001)
73
(X 0.001)
108
Producción (codificada)
70
Producción (codificada)
Producción de acero (EUA)
98
67
64
88
61
78
58
0
2
4
6
8
Fecha (codificada)
10
12
68
Figura 6.Bondad de ajuste del
modelo logístico aplicado a la
producción codificada de acero en
Rusia (método Marquardt).
58
0
2
4
6
8
Fecha (codificada)
10
12
Figura 5.Bondad de ajuste del
modelo logístico a la producción
codificada de EUA del metal en estudio
(método Marquardt).
La ecuación siguiente corresponde al modelo
logístico para los datos codificados de
producción de acero en Rusia en el mismo
periodo:
PIndia 
0.0740172
1 e
 0.025191t 2  0.0484097 t  0.615328
20 
El coeficiente de determinación R2 explica
98.4442% de la variabilidad en producción
codificada de acero de India, y en la figura 7
se indica la excelente bondad de ajuste.
Producción de acero (India)
19 
0.0948222
1 e
0.00805333t
2
 0.128473t  0.410267
2
El coeficiente de determinación R explica
54.9148% de la variabilidad en producción
codificada de acero de Rusia, y en la figura 6
se indica la baja bondad de ajuste.
El modelo numérico-funcional para la
producción de acero por parte de India fue:
Producción (codificada)
PRusia 
(X 0.001)
76
66
56
46
36
26
0
2
4
6
8
Fecha (codificada)
10
12
Figura 7.- Bondad de ajuste del modelo
logístico aplicado a la producción codificada
de acero de India (método Marquardt).
6
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Finalmente,
la
ecuación
siguiente
corresponde al modelo logístico para los
datos codificados de producción de acero en
México en el mismo periodo:
PMéxico 
0.183178
1 e
0.00103944 t
2
 0.0292586 t  2.4685
21
El coeficiente de determinación R2 explica
13.3528% de la variabilidad en producción
codificada de acero de México, y en la figura
8 se indica la baja bondad de ajuste.
Conclusiones
Referencias
Valencia, A. (1992). Tecnología del tratamiento
térmico de los metales. Ed. Universidad de
Antioquia.
Secretaría Economía (2012), Monografía del
sector siderúrgico de México 2011, Dirección
General de Industrias Pesadas y de Alta
Tecnología,
Dirección
de
la
industria
metalmecánica, México, p. 25.
Larson, R. & Edwards, B. (2014). Cálculo, tomo I,
CENGAGE Learning, Décima Edición, p. 419.
Islas, A. M., et al. (2013). Análisis entre regresión
no lineal y técnicas de transformación lineal en
una parábola, Tecnología humanística, ESIQIE
IPN.
Producción de acero (México)
(X 0.001)
19
Producción (codificada)
18
Wackerly, D. C. et al. (2013), Estadística
matemática con aplicaciones, Séptima Edición,
Cengage Learning, pp. 569-571.
17
16
15
14
13
0
2
4
6
8
Fecha (codificada)
10
12
Figura 8.Bondad de ajuste del
modelo logístico aplicado a la
producción codificada de acero en
México (método Marquardt).
Marquardt, D. W. (1963). An Algorithm for LeastSquares Estimation of Nonlinear Parameters,
Journal for the Society of Industrial and Applied
Mathematics, pp. 11:431-41.
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