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Universidad de Sevilla
Escuela Superior de Ingenieros
DEPARTAMENTO DE
INGENIERÍA ELECTRÓNICA
APUNTES DEL PRIMER PARCIAL DE LA ASIGNATURA
“Tecnología y Componentes
Electrónicos y Fotónicos”
Francisco Colodro Ruiz
Juan García Ortega
Carlos Janer Jiménez
2
Tabla de contenidos:
CAPÍTULO 1 ...................................................................................................................... 5
INTRODUCCIÓN A LOS SÓLIDOS CRISTALINOS.................................................. 5
1.1
SÓLIDOS CRISTALINOS. MATERIALES SEMICONDUCTORES ....................................... 5
1.2
EL ÁTOMO DE HIDRÓGENO. NÚMEROS CUÁNTICOS. ................................................. 8
1.3
ÁTOMOS COMPLEJOS.............................................................................................. 11
1.4
BANDAS DE ENERGÍA ............................................................................................. 13
1.5
PORTADORES DE CARGA EN UN SEMICONDUCTOR: ELECTRONES Y HUECOS ........... 16
CAPÍTULO 2 .................................................................................................................... 19
CONCENTRACIONES DE PORTADORES EN EQUILIBRIO TÉRMICO ........... 20
2.1
DENSIDAD DE ESTADOS EN LAS BANDAS DE VALENCIA Y CONDUCCIÓN............... 21
2.2
PROBABILIDAD DE OCUPACIÓN DE ESTADOS ......................................................... 22
2.3
CONCENTRACIÓN DE ELECTRONES Y HUECOS EN EQUILIBRIO TÉRMICO ............... 24
2.4
SEMICONDUCTORES EXTRÍNSECOS EN EQUILIBRIO TÉRMICO. ................................ 29
CAPÍTULO 3 .................................................................................................................... 35
PROCESOS DE TRANSPORTE DE CARGA.............................................................. 36
3.1
MECANISMOS DE DISPERSIÓN DE PORTADORES..................................................... 38
3.2
CORRIENTE DE ARRASTRE ...................................................................................... 40
3.3
EFECTO DE LA TEMPERATURA Y EL DOPADO SOBRE LA MOVILIDAD. EFECTO DE
SATURACIÓN EN LA VELOCIDAD DE ARRASTRE............................................................................. 44
3.4
DIFUSIÓN DE PORTADORES. ................................................................................... 46
3.5
COMPONENTES DE CORRIENTE EN UN SEMICONDUCTOR........................................ 48
3.6
EFECTOS DEL CAMPO ELÉCTRICO EN LAS BANDAS DE ENERGÍA .............................. 50
CAPÍTULO 4 .................................................................................................................... 51
GENERACIÓN Y RECOMBINACIÓN DE PORTADORES DE CARGA EN
DESEQUILIBRIO .......................................................................................................................... 52
3
4.1
CUASINIVELES DE FERMI. ...................................................................................... 53
4.2
TIEMPO MEDIO DE EXISTENCIA DE PORTADORES EN DESEQUILIBRIO.................... 56
4.3
TIPOS DE RECOMBINACIÓN. ................................................................................... 57
4.3.1
Recombinación entre Bandas. ........................................................................ 58
4.3.2
Recombinación en Centros de Captura.......................................................... 59
4.3.3
Recombinación superficial ............................................................................. 59
CAPÍTULO 5 .................................................................................................................... 60
ECUACIONES DE CONTINUIDAD ............................................................................. 60
5.1
ECUACIONES DE CONTINUIDAD. ............................................................................ 61
5.2
HIPÓTESIS SIMPLIFICADORAS. ................................................................................ 65
5.3
ECUACIÓN DE DIFUSIÓN DE LOS PORTADORES....................................................... 66
CAPÍTULO 6 .................................................................................................................... 69
EL DIODO DE UNIÓN PN ............................................................................................. 69
6.1
LA UNIÓN P-N EN EQUILIBRIO TÉRMICO.................................................................. 69
6.2
LA UNIÓN P-N POLARIZADA.................................................................................... 73
6.3
CARACTERÍSTICA ESTÁTICA DEL DIODO DE UNIÓN ................................................ 76
6.3.1
Procedimiento de cálculo ............................................................................... 76
6.3.2
Característica estática I-V.............................................................................. 78
6.3.3
Corrientes de generación y recombinación en la RCE .................................. 81
6.3.4
Dependencia de la característica con la temperatura ................................... 82
6.3.5
Corrientes de portadores en las regiones neutras.......................................... 83
6.3.6
Breve ejemplo de polarización ....................................................................... 84
6.4
POTENCIALES Y CAMPOS EN LAS CERCANÍAS DE UNA UNIÓN P-N ........................... 86
6.5
MECANISMOS FÍSICOS DE RUPTURA EN LAS UNIONES P-N ....................................... 89
6.6
EFECTOS CAPACITIVOS DE LA UNIÓN P-N. .............................................................. 91
6.6.1
Dinámica de la unión...................................................................................... 91
6.6.2
Capacidad de Transición................................................................................ 92
6.6.3
Capacidad de difusión .................................................................................... 93
6.6.4
Corriente total por un diodo........................................................................... 95
4
6.7
RESPUESTA EN CONMUTACIÓN Y TIEMPO DE ALMACENAMIENTO ........................... 96
CAPÍTULO 7 .................................................................................................................... 98
EL TRANSISTOR BIPOLAR......................................................................................... 98
7.1
ESTRUCTURA DEL TRANSISTOR BIPOLAR DE UNIÓN (BJT)....................................... 98
7.2
DIAGRAMA DE CORRIENTES EN UN BJT ................................................................. 99
7.3
GANANCIAS DE CORRIENTE CONTINUA DEL TRANSISTOR ..................................... 102
7.4
MODELOS ESTÁTICOS Y GRAN SEÑAL DEL BJT .................................................... 105
7.4.1
Modelo de Ebers-Moll .................................................................................. 105
7.4.2
Modelo simplificado ..................................................................................... 108
7.5
CARACTERÍSTICA ESTÁTICA EN EMISOR COMÚN .................................................. 110
CAPÍTULO 8 .................................................................................................................. 115
DISPOSITIVOS FOTÓNICOS..................................................................................... 115
8.1
EL DIODO EMISOR DE LUZ (LED) ......................................................................... 116
8.1.1
Mecanismos de recombinación de portadores ............................................. 117
8.1.2
Semiconductores de Transición Directa e Indirecta. ................................... 118
8.1.3
Materiales semiconductores emisores de luz. .............................................. 120
8.1.4
Característica de los dispositivos semiconductores emisores de luz ........... 121
8.2
DISPOSITIVOS FOTODETECTORES......................................................................... 121
8.2.1
Fotoconductores ........................................................................................... 123
8.2.2
El Fotodiodo PIN......................................................................................... 125
8.2.3
El fotodiodo de Avalancha (APD) ................................................................ 128
8.2.4
El fototransistor ............................................................................................ 128
8.3
LA FIBRA ÓPTICA ................................................................................................ 128
5
CAPÍTULO 1
INTRODUCCIÓN A LOS SÓLIDOS
CRISTALINOS
1.1
SÓLIDOS CRISTALINOS. MATERIALES SEMICONDUCTORES
Las sustancias sólidas que se encuentran en la naturaleza pueden clasificarse según el
modo como se organizan los átomos que las constituyen. En los sólidos cristalinos, los átomos se
organizan siguiendo un patrón de regularidad que se repite en todo el espacio ocupado por el
cuerpo (Figura 1). En los sólidos policristalinos existen también determinados patrones de
regularidad que se repiten en regiones locales del cuerpo y que pueden variar de una de estas
regiones a otra. Y por último existen sólidos llamados amorfos donde los átomos constituyentes
están localizados de una manera arbitraria, no pudiéndose encontrar ningún patrón de regularidad.
En la actualidad todos los dispositivos electrónicos están construidos sobre sustratos de material
semiconductor cristalizado. Por ello, desde el punto de vista de la ingeniería electrónica, sólo los
sólidos cristalinos tienen interés. El resto de este apartado se dedica a resumir brevemente algunas
características de éstos.
Los sólidos cristalinos tienen una estructura muy regular. Los átomos que los constituyen
están ordenados en el espacio de una manera periódica casi perfecta, de forma que el sólido puede
verse como un “mosaico”, en el que existe un bloque elemental que se repite regularmente. En la
Figura 2 se muestran distintos ejemplos, donde se observa que la red puede describirse por medio de
un paralelepípedo elemental (celdilla elemental) que se repite periódicamente en el espacio
construido sobre los tres vectores de translación asociados a sus aristas. Esta estructura lleva a que
los cristales sean sustancias anisótropas, es decir, sustancias cuyas propiedades dependen de la
6
dirección o el plano en que se midan. No es difícil convencerse de esto si se observa que existen
direcciones y planos esencialmente distintos, donde la periodicidad en la repetición de átomos es
distinta.
Figura 1. Ilustración de los diferentes tipos de sólidos para un cuerpo bidimensional: (a) cristalino, (b)
policristalino y (c) amorfo
Figura 2. Algunos ejemplos de celdas elementales
7
Los cristales poseen numerosas simetrías, es decir, existen distintas direcciones no
paralelas y planos no paralelos estructuralmente idénticos unos a otros. Estas propiedades de
simetría tienen una influencia importante en las propiedades de los sólidos, ya que el diagrama de
bandas del sólido (se introducirá más tarde) refleja estas simetrías. Todas las propiedades físicas de
los sólidos cristalinos y, entre ellas, las propiedades eléctricas, dependen del comportamiento
colectivo de los átomos que los forman, átomos que, como se ha dicho anteriormente, están
ordenados en una red tridimensionalmente periódica.
La mayoría de los materiales que poseen propiedades semiconductores o que se combinan
con otros para la fabricación de semiconductores pueden encontrarse en los grupos II B, III A, IV A,
V A y VI A de la Tabla Periódica de los Elementos Químicos (ver Tabla 1). La columna IV tiene un
especial interés por encontrarse los semiconductores elementales. En los primeros años del
desarrollo de la electrónica de estado sólido, el material más usado fue el Ge. Sin embargo, en la
actualidad la mayoría de dispositivos y componentes electrónicos que se comercializan están
construidos sobre Si. Una de las características de estos dos materiales es que no son fotoemisivos.
Tabla 1. Recuadrados los elementos utilizados en la fabricación de semiconductores
II B
III A
IV A
VA
VI A
B (Boro)
C (Carbono)
N (Nitrógeno)
O (Oxígeno)
Al (Aluminio)
Si (Silicio)
P (Fósforo)
S (Azufre)
Zn (Zinc)
Ga (Galio)
Ge (Germanio) As (Arsénico)
Cd (Cadmio)
In (Indio)
Sn (Estaño)
Hg (Mercurio)
Tl (Talio)
Pb (Plomo)
Se (Selenio)
Sb (Antimonio) Te (Teluro)
Bi (Bismuto)
Po (Polonio)
A diferencia de ellos, la mayoría de los compuestos binarios formados por elementos de
los grupos III y V de la tabla tienen la propiedad de poder emitir radiación óptica en el intervalo
espectral del infrarrojo cercano y luz visible. Algunos de estos son: GaAs, InP, InSb, ... El GaAs
es un material semiconductor con especial relevancia en las comunicaciones por fibra óptica, pues
fue el material más empleado en los comienzos de éstas para la realización de dispositivos emisores
8
de luz (λ=0.85 μm). También por algunas de sus características1 se emplea en la generación de
microondas para la telecomunicación. En la actualidad se están usando también en el terreno de las
comunicaciones ópticas compuestos ternarios y cuaternarios (Ej: AlGaAs, InGaAsP, ... ) El
compuesto GaP permite la realización de dispositivos fotoemisores que irradian luz visible, y
dependiendo de las impurezas2 con que se dope, se puede conseguir luz verde o roja. El compuesto
ternario GaAsP también emite luz visible.
1.2
EL ÁTOMO DE HIDRÓGENO. NÚMEROS CUÁNTICOS.
Las propiedades eléctricas y térmicas de los sólidos están caracterizadas por la estructura de
las bandas de energía de los mismos. La formación de estas bandas surge por la interacción de los
electrones de los átomos constituyentes del sólidos y por la naturaleza cuántica de los mismos. Por
ello, será necesario en este apartado introducir algunos de los resultados más importantes de la
rama de la física conocida como Mecánica Cuántica. La Mecánica Cuántica estudia el mundo
subatómico, y en particular la interacción de las partículas que forman a los átomos y las fuerzas de
enlace de los sólidos. Para ilustrar la presentación de los resultados que tienen interés para nosotros,
utilizaremos como ejemplo el sistema físico constituido por un protón y un electrón, es decir, un
átomo de hidrógeno.
Según el modelo del átomo de hidrógeno clásico, el protón, que tiene una masa 1836 veces
mayor que la del electrón, permanece en reposo, mientras el electrón gira a su alrededor. El sistema
permanece en equilibrio dinámico3 cuando se iguala la fuerza eléctrica de atracción entre ambas
partículas con la fuerza centrífuga del electrón. El estado del sistema está caracterizado por la
posición y la velocidad del electrón en cualquier instante de tiempo. El sentido físico de ambas
magnitudes es bien conocido por el alumno. Ahora bien, según el Principio de Incertidumbre de
Heisenberg, es imposible medir simultáneamente la posición y el momento lineal de una partícula,
1
Como se vera en capítulos posteriores presenta una resistencia de pequeña señal negativa para ciertos valores de
polarización
2
Por impurezas en este caso entendemos átomos diferentes al Ga y al P que se insertan en la red cristalina del
compuesto GaP de una manera controlada. El GaP es un semiconductor de transición indirecta, esto quiere decir que
por si sólo no es un material fotoemisor, por ello la necesidad de utilizar impurezas
3
En realidad, según la mecánica clásica, el electrón es una particula acelerada que irradia energía electromagnética y
que por tanto acaba precipitándose sobre el protón. Es un sistema inestable.
9
es decir, no es posible saber simultáneamente la posición y la velocidad de la partícula. Por tanto,
para definir el estado del electrón, y así estudiar el átomo de hidrógeno como un ente cuántico, hay
que renunciar a las ideas clásicas. En mecánica cuántica, el estado de una partícula4 es definido por
la función de onda ψ (rr ) . El sentido físico de la función de onda es dado por la interpretación de la
cantidad | ψ (rr ) | 2 ∂V como la probabilidad de encontrar al electrón en el pequeño volumen de valor
r
∂V situado en el punto del espacio r .
Figura 3. Funciones de densidad de probabilidad del átomo de hidrógeno.
Una de las conclusiones inmediatas que se pueden obtener es que el electrón ya no se
puede considerar como una partícula localizada en un punto determinado, sino que se encuentra
localizado en una región difusa en torno al núcleo. A esta región se conoce con el nombre de
4
Entendemos por estado en este caso todo lo que físicamente se puede conocer de la partícula.
10
orbital5 y la probabilidad de encontrar al electrón en la misma es alta. En la Figura 3 se representa la
apariencia tridimensional del módulo al cuadrado de varias funciones de onda de un electrón
perteneciente a un átomo de hidrógeno aislado. Las regiones sombreadas indican dónde existe una
probabilidad mayor de encontrar al electrón.
Uno de los resultados de la Mecánica Cuántica es que no siempre las magnitudes físicas
pueden tomar infinitos valores de un intervalo continuo. Por ejemplo, la energía del electrón en el
átomo de hidrógeno, según las ideas clásicas, era una función continua de la distancia al núcleo, es
decir, E = E (r ) . Como r toma valores en el intervalo (0,+∞) , E toma también valores en otro
intervalo continuo. Sin embargo, la teoría cuántica nos dice que en la realidad la energía del
electrón sólo puede tomar valores de un conjunto discreto, es decir, E = E n
n = 1,2,3,... En
la Figura 4 se muestran los diferentes valores de energía que puede tomar el átomo de hidrógeno.
Como se observa, en el estado fundamental ( n = 1 ), la energía es E1 = −13.6eV . Por tanto, para
ionizar al átomo es necesario suministrar externamente al átomo la energía de 13.6 eV. Cada vez
que el electrón pasa de un nivel de energía superior a uno inferior, la diferencia de energía se emite
como un fotón. Si ocurre el proceso contrario, es decir, un electrón pasa de un nivel energético
inferior a uno superior, el átomo absorbe un fotón. La relación entre la energía del fotón y su
frecuencia es dada por la ley de Planck, E = hf , donde h = 6.625 ⋅ 10 −34 Js es la constante de
Planck. El índice n utilizado para enumerar los diferentes valores de energía del átomo se conoce
por número cuántico principal y toma valores desde 1 hasta + ∞ .
Cada nivel de energía se corresponde con un estado electrónico6, teniendo asociado una
función de onda (o un orbital). Sin embargo, en el átomo existen otras magnitudes físicas que se
conservan, que toman valores discretos y que pueden ser medidas simultáneamente junto con la
energía. Por tanto, los valores que estas magnitudes toman están indexados por variables enteras l
y m . El número cuántico orbital l nos indica el valor del módulo del momento angular alrededor
5
En la mecánica clásica el electrón recorría una trayectoria perfectamente definida y era posible predecir donde estaría
en instantes futuros de tiempo. Por ello se hablaba de órbita, concepto acuñado por la similitud del átomo con un
sistema planetario. Como en realidad no es posible predecir la posición del electron, se ha acuñado el concepto de
orbital.
6
En la realidad, el átomo de hidrógeno es degenerado, es decir, diferentes estados electrónicos pueden tener el mismo
valor de energía. Este hecho se observa en la Figura 3, donde diferentes orbitales poseen el mismo número n .
11
del núcleo que puede tomar un electrón en un determinado estado y el número cuántico magnético
m nos indica el valor que puede tomar la proyección del momento angular del electrón alrededor
del núcleo sobre una dirección arbitraria del espacio. Para un valor determinado n del número
cuántico principal, los valores que puede tomar el número cuántico orbital son l = 0,1,..., n − 1 . Y
para un valor determinado l , los posibles valores que puede tomar el número cuántico magnético
son m = −l ,...,0,..., l .
Figura 4. Los cinco niveles menores de energía del átomo de hidrógeno y el nivel de ionización.
Existe un cuarto número cuántico conocido como spin, que sólo puede tomar dos valores
s = −1 / 2,+1 / 2 y que está relacionando con las dos únicas orientaciones de giro del electrón
entorno a sí mismo. Por tanto, podemos concluir, que para definir el estado electrónico de un
electrón en el átomo, es necesario indicar cuatro números cuánticos. O dicho de otra manera, la
r
función de onda del electrón en un estado estacionario es función del vector de posición r y de
r
cuatro parámetros que son números enteros ψ = ψ n, l , m, s (r ) .
1.3
ÁTOMOS COMPLEJOS
El átomo de hidrógeno es el más sencillo de analizar por tener un sólo un electrón. Sin
embargo, muchas de las conclusiones a las que se han llegado en el apartado anterior siguen siendo
válidas para átomos con un número mayor de electrones. Concretamente, los valores energéticos
12
que pueden tomar los electrones son discretos y cada estado electrónico es definido por los cuatros
números cuánticos. Se dice que todos los electrones que ocupan estados con el mismo número
cuántico principal constituyen una capa. Dentro de una capa, todos los electrones con el mismo
número cuántico orbital forman una subcapa. A cada valor de l se le asigna una letra, tal y como se
muestra en la Tabla 2. Así pues, una subcapa se puede identificar indicando los números cuánticos
n y l . Por ejemplo, la notación 3 p 3 indica que en la subcapa l = 1 de la capa n = 3 , sólo hay tres
estados electrónicos ocupados de los 6 estados totales. El número máximo de electrones que puede
haber en una subcapa figura también en la Tabla 2 y se deja como ejercicio que el alumno
compruebe de donde se obtienen los mismos.
Tabla 2 Letras asignadas al número cuántico orbital y número máximo de electrones en cada subcapa
Número cuántico orbital
0
1
2
3
Letra
s
p
d
f
Número máximo de electrones
2
6
10
14
La ocupación de los estados electrónicos de un átomo con un número determinado de
electrones se rige por dos principios físicos fundamentales7. Estos son:
1. Principio de la mínima energía. Todos los electrones tienen la tendencia natural de ocupar
los estados de menor energía.
2. Principio de Exclusión de Pauli. No puede haber dos o más electrones con los cuatro
números cuánticos iguales. Si esto fuera posible, todos los electrones de un átomo ocuparían
el estado fundamental o de menor energía.
Por tanto, los electrones ocupan los estados electrónicos de menor a mayor energía sin
poder haber más de un electrón en el mismo estado. La configuración electrónica de un átomo
7
En realidad sería necesario una tercera regla de ocupación, el principio de máxima multiplicidad o regla de Hund.
Pero en nuestro caso no tiene interés.
13
nos indica como los electrones se distribuyen por las diferentes subcapas del mismo. Como ejemplo
pondremos algunos elementos semiconductores del grupo IV A de la tabla periódica.
•
El número de electrones del Si es 14 y su configuración electrónica es:
1s 2 2s 2 2 p 6 3s 2 3 p 2 .
•
El Ge tiene 32 electrones y por tanto: [ Ar ]3d 10 4 s 2 4 p 2 . El símbolo [Ar ] refiere la
configuración electrónica del gas noble argón.
Las propiedades eléctricas de los sólidos están íntimamente relacionadas con los electrones
de la última capa de los átomos constituyentes. Para el caso de los semiconductores del grupo IV A,
en su última capa ( n = 3 para el Si y n = 4 para el Ge) hay cuatro electrones.
1.4
BANDAS DE ENERGÍA
En este apartado y el siguiente se pretende describir, de una forma aproximada, el
comportamiento de aquellos electrones de un sólido que son responsables de sus propiedades
eléctricas, es decir, su mayor o menor capacidad para conducir la electricidad. Si se consideran los
átomos aislados, antes de formar el sólido cristalino, resulta que son los electrones de la última
capa los que, al formarse el sólido, determinan las propiedades eléctricas de éste. Se tendrá, pues,
que para conocer las propiedades eléctricas de un sólido es preciso describir el comportamiento de
N × m objetos cuánticos (electrones), donde N es el número de átomos del sólido y m el número de
electrones de la última capa del átomo aislado.
La extensión espacial de la función de onda asociada a los electrones de un átomo es tanto
mayor cuanto mayor sea el nivel energético del electrón. Por ello, son precisamente las funciones
de onda de los electrones de valencia las que en mayor medida interaccionan entre sí cuando se
forma el sólido cristalino. Esto justifica el considerar separadamente el conjunto formado por el
núcleo del átomo y los electrones internos, por un lado, y los electrones de valencia por otro.
Cuando dos átomos están lo suficientemente separados, los electrones de uno y otro no
interaccionan entre sí. Las regiones sombreadas de la Figura 3 correspondientes a electrones
equivalentes de estos dos átomos no se solapan. Aquellos electrones que ocupan niveles similares
14
en ambos átomos tienen la misma energía y están descritos por funciones de onda iguales (mientras
no haya interacción entre ambos). Sin embargo, a medida que se aproximan dos átomos, las
funciones de onda que describen el comportamiento de dos electrones comienzan a solaparse con lo
que se ven perturbadas, es decir, se modifican ambas funciones. Cualitativamente se observa un
desplazamiento en los niveles energéticos de ambos electrones de forma que éstos no coincidan.
Esto es debido a que los electrones son un tipo particular de entes cuánticos, los fermiones, que
poseen una característica muy especial: dos o más fermiones no pueden ocupar un mismo estado
cuántico8. Por este motivo se separan los niveles energéticos de los electrones al aproximarse para
formar la red cristalina.
Figura 5. Formación de las bandas de valencia y conducción de un cristal de carbono.
En la Figura 5 se observa lo que ocurre a medida que se acercan los N átomos de una red
cristalina de carbono. Los 2N niveles energéticos 2s de los átomos, así como los 6N niveles 2p,
empiezan a separarse, formando, inicialmente, dos “bandas” de niveles energéticos, una
correspondiente a los niveles 2s de los átomos y otra correspondiente a los niveles 2p. Si el
acercamiento entre átomos continúa, las dos bandas se funden en una sola. Si la aproximación
8
Es una forma diferene de enunciar el principio de exclusión de Pauli.
15
continúa, esta banda se divide en dos, cada una de las cuales contiene 4N niveles energéticos. La
banda inferior recibe el nombre de banda de valencia y la superior banda de conducción. En la
figura se ha representado también la distancia de separación entre átomos en la red del diamante, es
decir, la distancia para la cual la energía total del sistema se hace mínima. El intervalo de
separación entre ambas bandas recibe el nombre de banda prohibida y la diferencia de energía
entre ellas anchura de la banda prohibida.
A una temperatura igual a 0K, los electrones ocupan los niveles de energía más bajos. El
diamante cuenta con cuatro electrones en su última capa, por lo que la banda de valencia estará
totalmente ocupada, mientras que la banda de conducción estará totalmente vacía. Para que un
electrón pueda desplazarse como una partícula a lo largo de la red cristalina (condición
indispensable para que sea conductor de la electricidad) debe tener estados de energía superiores
accesibles (vacíos) dentro de la banda a la que pertenece. Por ello se puede deducir que a 0K el
diamante es un aislante perfecto. A temperaturas superiores a 0K los electrones no tienen por qué
ocupar necesariamente los niveles energéticos más bajos posibles y existe una probabilidad no nula
de que un electrón ocupe un estado energético de la banda de conducción. La probabilidad de que
un electrón que a 0K ocupa la banda de valencia pueda ocupar la banda de conducción, depende
tanto de la temperatura como de la anchura de la banda prohibida. En el diamante la anchura de la
banda prohibida es lo suficientemente grande como para que a temperatura ambiente la
probabilidad de que esto ocurra sea ínfima. Por ello el diamante es una excelente aislante incluso a
temperaturas altas.
Figura 6. Diferencias entre metales, metales de transición, dieléctricos y semiconductores.
16
Los metales son buenos conductores de la electricidad debido a que la banda de conducción
no está vacía sino que se encuentra parcialmente llena, o bien puede ocurrir que la banda de
valencia y la banda de conducción se solapen entre sí (este es el caso de los metales de transición),
tal como se muestra en la Figura 6.
Hay determinados sólidos cristalinos que presentan características de conducción eléctrica
intermedias entre las de los aislantes y los metales. Son los semiconductores, entre los que cabe
destacar el Silicio, el Germanio y el Arseniuro de Galio. En estos materiales la anchura de la banda
prohibida es lo suficientemente pequeña para que a temperatura ambiente haya una concentración
no despreciable de electrones en la banda de conducción. Este tipo de materiales es aislante a
temperaturas bajas y su conductividad eléctrica crece a medida que aumenta la temperatura. En el
siguiente apartado se discutirá con mayor detalle el proceso de conducción de corriente en un
semiconductor.
1.5
PORTADORES DE CARGA EN UN SEMICONDUCTOR: ELECTRONES Y
HUECOS
Antes de introducir el concepto de huecos es conveniente recordar la naturaleza del enlace
covalente. Como se sabe de química, la tendencia natural de todo átomo que se combina consigo
mismo o con otros elementos de la tabla periódica para formar una molécula o un sólido es alcanzar
la configuración electrónica de un gas noble. Los gases nobles son elementos no reactivos, es decir,
no se combinan con ningún otro elemento, debido a que su última capa está cerrada. Por capa
cerrada entendemos la existencia de ocho electrones, y su configuración electrónica es ns 2 p 6 ,
donde n es el número cuántico principal. Un ejemplo muy ilustrativo es el enlace iónico de la sal
común o cloruro sódico NaCl. El Na tiene en su última capa sólo un electrón y el Cl le falta uno
para completar la capa 3sp. Por tanto, el Na ([Ne]3s1) entrega su electrón de valencia al Cl
([Ne]3s23p5) y ambos átomos se quedan con la configuración electrónica del Ar y Ne,
respectivamente. Como consecuencia de ello, el átomo de Na queda ionizado positivamente y él de
Cl negativamente, formándose el sólido por atracción electrostática.
Sin embargo, las sustancias semiconductoras se unen mediante el enlace covalente.
Recordamos que el silicio ( [Ne]3s 2 p 2 ) tiene en su capa de valencia cuatro electrones. Cuando este
17
elemento se combina para formar el sólido, el átomo comparte sus cuatro electrones de valencia
con los cuatro electrones situados a su alrededor. A su vez estos comparten con el átomo uno de sus
electrones. Como se observa en la Figura 7, el átomo A1 comparte sus electrones con los átomos
vecinos, de tal modo que los dos electrones de un enlace covalente pertenecen por igual a los dos
átomos unidos por ese enlace. De esta manera, cada átomo tiene ocho electrones en su última capa
formando un sistema estable.
A la temperatura del cero absoluto (0K), sin presencia de ninguna excitación externa, todos
los electrones de la red están “localizados” en sus respectivos enlaces covalentes. Por tanto, el
semiconductor se comporta como un aislante. Por ejemplo, ninguno de los dos electrones del
enlace A6-A7 (enlace entre el átomo A6 y el A7) puede ubicarse en los estados del enlace A6-A1
porque, al estar estos últimos ocupados, lo impide el principio de exclusión de Pauli. Esta situación
se correspondería con la banda de valencia completa y la banda de conducción vacía. Sin
embargo, como se observa en el átomo A2 de la figura, cuando la temperatura del material es
superior al cero absoluto, algunos electrones adquieren suficiente energía térmica para liberarse del
enlace. Este caso se correspondería con la generación térmica de un par electrón-hueco, que
visto en la estructura de bandas de energía, supondría una transición de un electrón desde la banda
de valencia a la banda de conducción (Figura 8). Al enlace “roto” en A2 se le llama hueco. Si ahora
se aplica un campo eléctrico externo, el electrón de la banda de conducción se movería en el
sentido contrario al campo, generándose corriente eléctrica. En la banda de valencia también se
generaría corriente, puesto que ahora sí hay estados electrónicos desocupados. Este proceso se
ilustra en la Figura 7 donde por acción térmica se generó un par e-h en el átomo A5. El electrón es
desplazado hacia la izquierda (proceso en la banda de conducción) mientras que un electrón de un
enlace vecino pasa a ocupar el hueco generado. El proceso de transferencia de un electrón de un
enlace completo a un enlace roto continúa hasta que finalmente el hueco acaba en el átomo A3.
Nótese que la ausencia de un electrón en un enlace supone que el átomo se queda ionizado
positivamente y con el desplazamiento del hueco desde A5 hasta A3 se ha producido un
desplazamiento neto de una carga positiva hacia la derecha. Por tanto, podemos concluir que a
efectos prácticos un enlace roto se comporta como una partícula de carga positiva, libre (se
puede desplazar por la red cristalina) y de valor igual a la carga del electrón.
18
Tanto los electrones como los huecos en el interior de la red cristalina no son partículas
libres ni clásicas. Sin embargo, se puede demostrar que en los extremos de las bandas9 ambas
partículas obedecen las leyes de Newton ante la excitación de un campo eléctrico o magnético
externo con tal que redefinamos el valor de sus masas inerciales. A los nuevos valores los
llamaremos masas efectivas. A lo largo de esta asignatura utilizaremos la siguiente notación:
•
me masa efectiva del electrón
•
mh la masa efectiva del hueco
Una justificación rigurosa de este hecho no se dará en esta asignatura por la complejidad de
la misma, pero si podemos justificarlo diciendo que el electrón (o el hueco) no sólo se ve sometido
a la fuerza del campo aplicado externamente, sino también a las fuerzas internas del cristal (núcleos
atómicos, impurezas ionizadas, otros electrones de la red, ...). Para no incluir las fuerzas internas en
nuestros análisis y considerar sólo las fuerzas externas, debemos modificar el valor de la masa.
Figura 7. Representación bidimensional del enlace covalente en el silicio. Generación térmica de un par e-h en el
átomo A2. Desplazamiento por un campo eléctrico del par e-h generados térmicamente en el átomo A5 (Flechas
de trazo continuo: Movimiento de portadores. Flechas de trazo discontinuo: Generación de pares de e-h
9
Electrón en el mínimo de la BC y el hueco en el máximo de la BV
19
Por último aclaramos que cuando se genera un par e-h, el electrón tiende a ocupar los
estados de menor energía, es decir, aquellos que están entorno al mínimo de la banda de
conducción (BC). Sin embargo, con los huecos ocurre lo contrario. El hueco es un estado
electrónico vacío, por lo que tiende a estar en los valores más altos de energía, como una burbuja de
aire en una botella de agua tiende a estar siempre arriba.
Figura 8. Generación de un par e-h. Por acción térmica, un electrón de la banda de valencia es transferido a la
banda de conducción.
20
CAPÍTULO 2
CONCENTRACIONES DE
PORTADORES EN EQUILIBRIO
TÉRMICO
A la temperatura de 0K el sólido cristalino posee una energía mínima. A medida que
aumenta la temperatura la energía del sólido crece, de forma que los elementos que lo componen,
núcleos de la red cristalina y electrones de la banda de conducción, adquieren energías cada vez
mayores. Los núcleos de la red comienzan a vibrar alrededor de sus posiciones de equilibrio. Por
otro lado, los electrones, que a 0K ocupaban todos los estados energéticos de la banda de valencia y
ninguno en la banda de conducción, empiezan a ocupar estados cuánticos de la banda de
conducción (que son más energéticos).
Se observa, pues, que las propiedades eléctricas de los semiconductores dependen de la
temperatura, ya que la concentración de portadores de carga, electrones y huecos, es función de la
temperatura. La dependencia de los estados vibratorios de los núcleos de la red con la temperatura
también hace que las propiedades eléctricas de los semiconductores cambien con ella ya que, según
se verá en otro tema, uno de los mecanismos de dispersión de los portadores de carga es la
interacción de éstos con los núcleos de la red cristalina; esta interacción es tanto más probable
cuanto mayor sea la energía de vibración de los núcleos de la red.
En esta lección se pretende determinar la concentración de portadores de carga (electrones y
huecos) que, a una temperatura dada, existe en un semiconductor. En primer lugar se centrará el
estudio sobre los semiconductores intrínsecos, es decir, aquellos en los que electrones y huecos se
crean exclusivamente mediante excitación térmica. Los portadores de carga creados de esta manera
21
reciben el nombre de portadores intrínsecos y la conductividad debida a estos portadores (la única
que existe en los semiconductores intrínsecos), conductividad intrínseca. En un semiconductor
intrínseco el número total de electrones en la banda de conducción es igual al número total de
huecos en la banda de valencia ya que, al pasar un electrón de la banda de valencia a la de
conducción, éste deja un hueco en la banda de valencia. Para hallar la conductividad de un
semiconductor hay que determinar previamente dos cosas: La densidad de estados energéticos en
las bandas de conducción y valencia y la probabilidad de ocupación, a una temperatura dada, de
los niveles energéticos.
A partir del análisis hecho para los semiconductores intrínsecos, se estudiarán los
semiconductores extrínsecos, es decir, aquellos cuyas propiedades eléctricas dependen de unas
impurezas que se añaden al semiconductor.
2.1
DENSIDAD
DE
ESTADOS
EN
LAS
BANDAS
DE
VALENCIA
Y
CONDUCCIÓN.
Figura 9. Discretización de estados energéticos dentro de las bandas de valencia y conducción
Los niveles de energía permitidos en un sólido cristalino son discretos, aunque están
separados entre sí por saltos de energía extremadamente pequeños (Figura 9). Por esta razón, en
general, se supone que los niveles energéticos forman una banda continua. Para definir el concepto
de densidad de estados se considerarán niveles discretos, ya que la definición resulta más intuitiva.
22
Considérese un nivel de energía situado en la banda prohibida. Según se dijo en apartados
anteriores, un electrón de un semiconductor ideal no puede tener ese valor de energía y, por tanto,
si consideramos un intervalo de energías alrededor de ese valor, resulta que el número de estados
energéticos accesibles para un electrón en dicho intervalo es 0 y, por consiguiente, la densidad de
estados, es decir el número de estados accesibles dividido por la anchura del intervalo considerado,
es 0 en la banda prohibida. Si se considera una energía superior al mínimo de la banda de
conducción, resulta que ese estado sí es accesible para un electrón y, por consiguiente, la densidad
es mayor que 0.
La separación entre estos niveles no es constante, sino que es menor para niveles más
separados de la banda prohibida. Es decir, la densidad de niveles energéticos aumenta cuanto
mayor es la energía en la banda de conducción o menor en la banda de valencia. Las expresiones de
las densidades de estados de los electrones en la banda de conducción y de los huecos en la banda
de valencia son:
Ecuación 1
Ne (E) =
N h (E) =
8π 2
h
3
h
3
8π 2
me 3 / 2 E − Ec
E > Ec
mh 3 / 2 Ev − E
E < Ev
donde Ec es la energía del mínimo de la banda de conducción y Ev es la energía del máximo
de la banda de valencia. Por tanto, a medida que nos adentramos en la banda de conducción, el
número de estados accesibles para los electrones crece con la raíz cuadrada de la energía. La
afirmación análoga es cierta para los huecos en la banda de valencia. El coeficiente de
proporcionalidad no es en ambos casos el mismo ya que, en general, las masas efectivas de
electrones y huecos no son iguales.
2.2
PROBABILIDAD DE OCUPACIÓN DE ESTADOS
Para determinar el número de portadores de carga en la banda de conducción y en la banda
de valencia se necesita conocer, además de la densidad de estados energéticos N(E), la probabilidad
de que el estado de energía E esté ocupado. Esta característica viene definida por una función f(E,T)
23
de distribución donde E varía de -∞ a +∞. El sentido de esta función es claro. Supóngase un estado
de energía E*; supuesto que este valor de energía pertenece a la banda de conducción (estado
accesible de energía) la probabilidad de que esté ocupado por un electrón es f(E*,T).
La expresión de f(E,T) es la siguiente:
Ecuación 2
f ( E,T ) =
1
1+ e
( E − E f ) / kT
donde la constante k=1.38x10-23 J/K es la constante de Boltzmann. Esta función recibe el
nombre de función de distribución de Fermi-Dirac y describe el comportamiento estadístico de
cualquier población de fermiones y, en particular, de los electrones y huecos en un sólido cristalino.
Ef es una “constante” en el sentido de que no es función de E, pero depende, aunque sea
débilmente, de la temperatura. Ef recibe los nombres de potencial químico, nivel de Fermi o
energía de Fermi.
Figura 10. Función de distribución de Fermi-Dirac a 0K y a T > 0k
En la Figura 10 se ha representado la función de distribución de Fermi-Dirac para distintas
temperaturas. En ella se observa que a 0K los estados de energía E > Ef tienen una probabilidad
nula de estar ocupados, mientras que si la energía es inferior a Ef la probabilidad es 1. A
temperaturas superiores a 0K un estado de energía igual al nivel de Fermi tiene una probabilidad
24
0.5 de estar ocupado. A temperatura ambiente de funcionamiento en los materiales
semiconductores, la función de Fermi tiene una apariencia no excesivamente distinta de la que tiene
a 0K, ya que tiene un comportamiento exponencialmente decreciente para energías superiores al
nivel de Fermi. En una sección posterior se verá cómo se determina Ef y cómo depende de la
temperatura.
2.3
CONCENTRACIÓN DE ELECTRONES Y HUECOS EN EQUILIBRIO
TÉRMICO
La concentración de electrones en la banda de conducción, es decir, el número de electrones
que hay por unidad de volumen en un intervalo infinitesimal de energía (E,E+dE), se obtiene
multiplicando la función de densidad de estados en la banda de conducción por la probabilidad de
que dichos estados estén ocupados, es decir, por la función de distribución de Fermi-Dirac f(E,T).
Integrando este producto para energías superiores al mínimo de la banda de conducción se obtiene
la concentración total de electrones libres en la banda de conducción (no). El subíndice o refiere la
condición de equilibrio térmico. La concentración de huecos en la banda de valencia se obtiene
multiplicando la función de densidad de estados en la banda de valencia por la probabilidad de que
dichos estados no estén ocupados (ésta es la probabilidad de que exista un hueco), es decir 1-f(E,T).
Integrando este producto para energías inferiores al máximo de la banda de valencia se obtiene la
concentración total de huecos libres en la banda de valencia (po). Esto es:
Ecuación 3.
+∞
no =
∫
Ec
Ev
po =
N e ( E ) ⋅ f ( E , T ) ⋅ dE =
+∞
∫
Ec
Ev
∫ N h ( E ) ⋅ [1 − f ( E ,T )]⋅ dE = ∫
−∞
−∞
8π 2
h
3
8π 2
h3
me3 / 2 E − Ec ⋅
1
1+ e
mh 3 / 2 Ev − E ⋅ (1 −
( E − E f ) / kT
⋅ dE
1
1+ e
( E − E f ) / kT
) ⋅ dE
25
Figura 11. Concentración de electrones y huecos en las bandas de un semiconductor intrínseco.
La interpretación gráfica de las integrales de la Ecuación 3 se ilustra en la Figura 11 donde se
representan las funciones de densidad de estados en ambas bandas y la función de Fermi-Dirac. La
concentración de electrones no en la banda de conducción se corresponde con el área de la región
rayada de la figura en el intervalo energético E > Ec. Esta región está delimitada por el eje vertical
de la energía y el producto de funciones N e ( E ) ⋅ f ( E , T ) . De igual manera la concentración de
huecos se corresponde con el área de la región delimitada por el eje y el producto de funciones
N h ( E ) ⋅ [1 − f ( E , T )] .
Las integrales de la Ecuación 3 no tienen solución analítica y su solución requiere
de técnicas numéricas. Sin embargo, en la mayoría de los casos prácticos el nivel de Fermi se
encuentra en la banda prohibida y alejado de Ec y Ev varias veces la cantidad kT (a temperatura
ambiente, T=298K, kT=0.026eV )10. En tal caso se puede hacer la aproximación de MaxwellBoltzmann:
10
Por definición 1 eV es la energía que libera o se comunica a un electrón en un desplazamiento entre dos puntos con
una caida de potencia de 1V. Id. 1 eV=1.609x10-19J
26
Ecuación 4. Aproximación Maxwell-Boltzmann
f (E,T ) =
1
1+ e
1 − f (E,T ) =
( E − E f ) / kT
≈e
1
1+ e
− ( E − E f ) / kT
− ( E − E f ) / kT
≈e
E − E f >> kT
si
+ ( E − E f ) / kT
E f − E >> kT
si
Si sustituimos la Ecuación 4 en la Ecuación 3 las integrales se resuelven analíticamente y las
concentraciones de portadores toman el valor
Ecuación 5. Concentraciones de un SC en equilibrio térmico
no = U c ⋅ e
po = U v ⋅ e
− ( Ec − E f ) / kT
− ( E f − Ev ) / kT
; U c = 2(
; U v = 2(
2πme kT
2
h
2πmh kT
h
2
)3 / 2
)3 / 2
donde los coeficientes Uc y Uv reciben el nombre de densidades efectivas de estados en la
banda de conducción y de valencia, respectivamente. La aproximación de Boltzmann tiene una
interpretación: la estadística de electrones y huecos pasa de ser una estadística cuántica a ser una
estadística clásica11.
Semiconductores intrínsecos
Se dice que un semiconductor es intrínseco si en su red cristalina no hay impurezas ni
irregularidades. Como se verá en el apartado posterior, hay veces que interesa sustituir átomos
nativos del semiconductor por otro tipo de átomos, que se introducen en la red cristalina de una
manera controlada. En tal caso, se dice que el semiconductor es extrínseco. También pudiera
ocurrir que en la red cristalina haya irregularidades (microfracturas, vacantes –posiciones en la red
donde no hay átomo-, ...) o átomos de impurezas que se introducen en al red, de una manera no
controlada, durante el proceso de fabricación o por el entorno en el que se encuentra el
semiconductor. En un semiconductor intrínseco todos los electrones de la banda de conducción
11
Las concentraciones de portadores en los extremos de las bandas son mucho menores las concentraciones de estados.
Por ello, un electrón (hueco) encuentra a su alrededor muchos estados libres en los que alojarse y el principio de
exclusión de Pauli no tiene efecto.
27
provienen de la banda de valencia por generación térmica (id. Los electrones que se mueven libres
por la red cristalina provienen de la ruptura de enlaces covalentes). Por ello el número de electrones
es igual al de huecos (id. no = po = ni). Por definición la concentración intrínseca ni es el valor
de la concentración de portadores (electrones o huecos) en un semiconductor intrínseco. Por
el contrario, en un semiconductor extrínseco las concentraciones de portadores no tienen porque ser
iguales.
Si mh y me son exactamente iguales, las curvas de densidad de estados en las dos bandas son
totalmente simétricas, por lo que la energía de Fermi queda exactamente en el centro de la
banda prohibida en un semiconductor intrínseco (ver Figura 11). Si no fuera así, la población de
electrones en la banda de conducción y la de huecos en la banda de valencia no coincidirían. Si mh
y me no son iguales (y esto suele ocurrir en la realidad), el nivel de Fermi debe desplazarse
ligeramente hacia arriba o hacia abajo de forma que al efectuar las integrales se obtengan valores
iguales de las concentraciones. En este caso, el nivel de Fermi se desplaza ligeramente desde el
centro de la banda prohibida a la banda de portadores con menor masa efectiva. Este hecho se
muestra en la Figura 11 para el caso mh > mn , donde Ef se desplaza hacia el mínimo de la banda de
conducción Ec.
Si en la Ecuación 5 se igualan las expresiones de las concentraciones puede obtenerse la
dependencia del nivel de Fermi, para un semiconductor intrínseco, con la temperatura. Se aconseja
al alumno que demuestre la siguiente expresión:
Ecuación 6. Nivel intrínseco de un semiconductor
E i = E f , SC int =
Ec + Ev 3
m
+ ⋅ k ⋅ T ⋅ ln h
2
4
mn
Ei recibe el nombre de nivel intrínseco y por definición es el nivel de Fermi en un
semiconductor intrínseco.
A continuación se demuestra que el producto no · po es una función de la anchura de la banda
prohibida, las masas efectivas y la temperatura, siendo independiente del nivel de Fermi. Los
semiconductores extrínsecos pueden describirse (ver el próximo apartado) considerando que su
nivel de Fermi está desplazado con respecto del nivel intrínseco Ei. Por no depender no·po del nivel
28
de Fermi, la expresión que sigue, calculada tomando no= ni y po= ni, es válida también para los
semiconductores extrínsecos.
Ecuación 7. Ley de acción de masas
no ⋅ po = ni = 4(
2
2πkT
h
2
3
) ( me m h )
3/ 2
−
e
Eg
kT
El hecho de que el producto de la concentración total de electrones y huecos sea
independiente de la cantidad de impurezas en un semiconductor extrínseco, va a ser utilizado con
profusión por lo que debe tenerse siempre en mente. La relación dada por la Ecuación 7 recibe el
nombre de Ley de Acción de Masas y se cumple en semiconductores que verifican la
aproximación Maxwell-Boltzmann en ambas bandas bajo las condiciones de equilibrio térmico.
También de la Ecuación 7 se obtiene la dependencia de la concentración intrínseca con la
temperatura ( ni ∝ T
3/ 2
−
e
Eg
2 kT
).
Figura 12. Concentración intrínseca en función de la temperatura.
29
En la Figura 12 se representa la concentración intrínseca en función de la temperatura para
distintos materiales semiconductores. Se observa que si aumenta la temperatura aumenta la
concentración (hay mayor energía térmica para la generación de pares e-h). También destacamos
que los semiconductores con menor anchura de banda prohibida (Eg) tienen mayor concentración
de portadores (la energía mínima para romperse un enlace covalente es menor).
2.4
SEMICONDUCTORES EXTRÍNSECOS EN EQUILIBRIO TÉRMICO.
Se puede introducir cantidades muy pequeñas de sustancias como arsénico, antimonio u
otros elementos pertenecientes al grupo V de la tabla periódica, en cristales puros de silicio o
germanio, como impurezas de sustitución, es decir, como átomos de impurezas que ocupan
posiciones de la red cristalina que normalmente estarían ocupados por átomos del semiconductor.
Los átomos del grupo V tienen cinco electrones de valencia. Cuatro de ellos se usan para formar
enlaces covalentes con átomos vecinos del semiconductor y el quinto se enlaza al átomo de
impureza con fuerzas electrostáticas muy débiles. El enlace es tan débil que, incluso a
temperaturas muy bajas (entorno a 20K), la energía de agitación térmica de la red es suficiente
para ionizar el átomo de impureza, liberándose el quinto electrón del núcleo de la impureza. Este
electrón ya puede circular libremente por la red cristalina y por tanto se encuentra en la banda de
conducción. Nótese que en este proceso no se ha generado un hueco en la banda de valencia. Esto
puede interpretarse como la existencia de estados energéticos accesibles para los electrones por
debajo, pero muy próximos al mínimo de la banda de conducción (Figura 13).
Si en lugar de los átomos del grupo V se introducen en la red átomos del grupo III
(Al,Ga,In,etc.), se observará un fenómeno muy distinto. Estos átomos tienen sólo tres electrones de
valencia que se usan para formar enlaces covalentes con tres átomos vecinos, pero el cuarto posible
enlace carece de electrón. Esto puede interpretarse como que existen estados energéticos accesibles
para los electrones por encima, pero muy próximos al máximo de la banda de valencia (Figura 14).
La proximidad es tan grande que el aporte de una cantidad mínima de energía hace que los
electrones de la banda de valencia pasen a estos estados energéticos, produciéndose un hueco en la
banda de valencia. En este caso no se generan electrones en la banda de conducción.
30
Figura 13. Estados energéticos donadores
Figura 14. Estados energéticos aceptores
En el primer caso, el átomo de impureza que queda se convierte en un ión positivo y fijo.
Esta situación se ilustra en la Figura 15. Estos semiconductores se denominan de tipo n, designados
así porque la
mayoría de los portadores de carga son, a temperaturas normales de
funcionamiento, electrones libres. La componente de conductividad eléctrica que se produce por
los átomos de impureza se llama conductividad de impureza. Los átomos de sustitución del grupo
V se llaman átomos donadores, ya que cada uno de ellos dona un electrón libre adicional al cristal.
31
Figura 15. Electrones y huecos libres procedentes de átomos de impurezas
En el segundo caso, el átomo de impureza que queda se convierte en un ión negativo y fijo.
Esta situación se ilustra también en la Figura 15. Estos semiconductores se denominan de tipo p,
designados así porque la mayoría de los portadores de carga son, a temperaturas normales de
funcionamiento, huecos libres. Los átomos de sustitución del grupo III se llaman átomos
aceptores, ya que cada uno de ellos acepta un electrón de la banda de valencia produciéndose un
hueco adicional en el cristal.
En un semiconductor en equilibrio térmico por cada electrón libre (en la banda de
conducción) hay un hueco si se ha generado térmicamente (transición del electrón desde la BV a la
BC) o una impureza donadora ionizada positivamente si el electrón proviene de la impureza.
Recíprocamente, por cada hueco libre hay un electrón (generación térmica) o una impureza
aceptora ionizada negativamente. Por tanto, todo el cristal debe ser eléctricamente neutro. Esta
condición de neutralidad de cargas puede expresarse igualando la suma algebraica de cargas
positivas y negativas:
Ecuación 8. Ley de neutralidad de cargas
T >T
ui
po + N d + = no + N a − ⎯⎯⎯
→ p o + N d = no + N a
donde po, no, Nd+ y Na- son las concentraciones de huecos, electrones, impurezas donadoras
ionizadas e impurezas aceptoras ionizadas, respectivamente. Como se dijo en un párrafo anterior,
32
para temperaturas superiores a un umbral Tui relativamente bajo (T > Tui , valiendo el umbral en
torno a 60-100K) casi todas la impurezas están ionizadas pudiéndose aproximar Nd+ = Nd y Na- =
Na. Donde Nd y Na son las concentraciones totales de impurezas donadoras y aceptoras,
respectivamente.
La concentración de portadores en las bandas de conducción y valencia se puede encontrar a
partir de las ecuaciones de neutralidad de cargas y acción de masas. Por ejemplo, si despejamos po
o no de la Ecuación 7 y sustituimos en la Ecuación 8 se obtiene:
Ecuación 9. Concentraciones de un SC extrínseco
Nd − Na
(N d − N a )2
+
+ ni 2 ; N d ≥ N a
2
4
N − Nd
(N a − N d )2
po = a
+
+ ni 2 ; N d ≤ N a
2
4
no =
Si no hay impurezas ( N d = N a = 0 ) el semiconductor es intrínseco y las concentraciones de
portadores son iguales a la concentración intrínseca ( no = po = ni ). En caso de que el SC esté dopado
y las concentraciones de impurezas sean iguales ( N d = N a > 0 ), las concentraciones de portadores
continúan siendo iguales a la concentración intrínseca ( no = po = ni ), pero la movilidad12 de los
portadores será menor que la de un semiconductor intrínseco. Si N d > N a hay más electrones que
huecos (SC extrínseco tipo n) y si N d < N a , hay más huecos que electrones (SC extrínseco tipo p).
Para semiconductores fuertemente extrínsecos ( | N d − N a |>> ni ), estas fórmulas se
simplifican considerablemente.
Ecuación 10. Concentraciones de un SC. Fuertemente extrínseco
ni 2
; si
Nd − Na
ni 2
; si
po ≈ N a − N d ; no ≈
Na − Nd
no ≈ N d − N a ;
po ≈
Nd > Na
y
N d − N a >> ni
Na > Nd
y
N a − N d >> ni
33
Las expresiones anteriores parecen indicar que, mientras la concentración de portadores
minoritarios depende fuertemente de la temperatura ( ni ∝ T
3/ 2
−
e
Eg
2 kT
), la de los portadores
mayoritarios no depende de ésta. Esta afirmación es relativamente cierta en un amplio intervalo de
temperaturas. En la Ecuación 10 se ha despreciado la contribución de los portadores intrínsecos
frente a los extrínsecos a la hora de determinar la concentración de portadores mayoritarios. Sin
embargo, tal como se muestra en la Figura 12, esta contribución crece rápidamente con la
temperatura, por lo que cuando ésta es muy elevada, la contribución de portadores intrínsecos se
hace comparable a la de los extrínsecos. Se sugiere al alumno que estime a qué temperatura un
semiconductor, que en principio era extrínseco, pasa a comportarse como uno intrínseco. A
temperaturas muy bajas no todas las impurezas están ionizadas y habría que sustituir Nd por Nd+ y
Na por Na-. Las expresiones de la Ecuación 10 van a utilizarse sistemáticamente a lo largo de los
temas siguientes, por lo que es muy importante ser consciente de las simplificaciones que se han
hecho para llegar a ellas y conocer las condiciones en las que son aproximadamente ciertas.
Las concentraciones de portadores se pueden expresar también en función de la
concentración intrínseca y del valor del nivel intrínseco. Se deja como ejercicio que el alumno
demuestre las siguientes expresiones
Ecuación 11. Concentraciones de portadores
E f − Ei
no = ni ⋅ e
po = ni ⋅ e
kT
Ei − E f
kT
Las expresiones de la Ecuación 11 ponen de manifiesto que en un semiconductor tipo n el
nivel de Fermi es mayor que el nivel intrínseco, y que cuanto más fuertemente extrínseco sea, más
se aproximará al mínimo de la BC. Recíprocamente, en un semiconductor tipo p, el nivel de Fermi
será menor que el nivel intrínseco y a mayor dopado más se aproximará a la BV.
12
Parámetro eléctrico que se definirá en el próximo capítulo.
34
Figura 16. Concentración de electrones en silicio con una concentración de impurezas donadores Nd=1016 cm-3.
En línea discontinua la concentración intrínseca.
En la Figura 16 se representa la variación de la concentración de electrones en un
semiconductor de silicio fuertemente dopado con una concentración de impurezas donadoras
Nd=1016cm-3. En la gráfica se pueden distinguir tres regiones de comportamiento diferente. A
temperatura de 0K no hay ninguna energía térmica para excitar los electrones de las impurezas ni
para romper enlaces covalentes, por tanto el valor de la concentración es cero. Conforme la
temperatura aumenta se van ionizando las impurezas y va aumentando la concentración. A la
región de temperaturas desde 0K a 100K se denomina de ionización. Sin embargo, cuando se
alcanzan una temperatura entorno a 100K casi todas las impurezas ya están ionizadas y la
concentración de mayoritarios permanece constante e igual a no = Nd aún si sigue subiendo la
temperatura. Al intervalo de temperaturas donde la concentración permanece constante se
denomina región extrínseca. En la región extrínseca la concentración de minoritarios crece
proporcionalmente al cuadrado de la intrínseca (ver Ecuación 10).
En la misma figura se ha representado también la concentración intrínseca como referencia
del peso que en el proceso tiene la generación térmica (electrones provenientes de la BV). Cuando
la temperatura es suficientemente alta la contribución de electrones procedentes de la BV no es
35
despreciable, la aproximación no = N d + po ≈ N d no se puede hacer, y ya no permanece constante
no. A muy altas temperaturas, la concentración intrínseca es mucho mayor que la cantidad de
electrones procedentes de las impurezas y el semiconductor adopta el carácter de intrínseco. Nos
encontramos en la región intrínseca y se verifica no = N d + po ≈ po ≈ ni .
36
CAPÍTULO 3
PROCESOS DE TRANSPORTE DE
CARGA
En un semiconductor en equilibrio térmico los portadores de carga, electrones y huecos, se
encuentran en constante movimiento, es decir, aún en ausencia de gradientes de temperatura y en
ausencia de campos externos, se mueven13. En capítulos anteriores se dijo que electrones y huecos
pueden considerarse como partículas libres con una cierta energía cinética. Esta energía es, en
ausencia de perturbaciones exteriores, de origen térmico y hace que se desplacen en el seno del
cristal. La dirección en la que se mueven estos portadores no está, en principio, determinada.
Además, los portadores de carga están intercambiando continuamente cantidad de movimiento
(chocando) con la red cristalina14. Tras pocas colisiones la trayectoria que sigue el portador no
guarda correlación alguna con la trayectoria que seguía en un principio.
A una temperatura dada, el movimiento térmico de los portadores de carga puede verse
como un proceso aleatorio de dispersión de éstos en los nodos de la red cristalina, en los átomos de
impureza y en las imperfecciones del cristal. Dado que la dispersión es un proceso aleatorio, no
existe un movimiento neto de un grupo grande de portadores en ninguna dirección en particular.
Esto no es, evidentemente, cierto para portadores individuales, tal como se observa en la Figura 17.
13
A temperatura ambiente, la velocidad media de los portadores es de unos 100Km/s.
El tiempo medio entre choques, a temperatura ambiente, toma valores comprendidos entre 10-10s y 10-12s,
dependiendo del semiconductor.
14
37
Figura 17. Trayectoria aleatoria de un electrón de la banda de conducción en una red cristalina.
La probabilidad de que un portador vuelva a su punto de partida al cabo de un tiempo t es
infinitesimal. Sin embargo, si se considera un grupo grande de portadores, no existirá ninguna
dirección de desplazamiento preferente para el conjunto y, por tanto, no existirá flujo de corriente.
Si se aplica un campo eléctrico en el semiconductor, cada portador de carga experimenta
una fuerza que tiende a desplazarlo según la dirección y el sentido del campo (huecos) o según la
dirección y sentido contrario al del campo (electrón). La perturbación que sufre en su trayectoria un
portador es pequeña debido a que las velocidades de agitación térmica son muy grandes. Sin
embargo el comportamiento conjunto de los portadores de carga es radicalmente distinto ya que
ahora se produce un desplazamiento medio del colectivo que no es nulo.
La componente de la velocidad de un portador de carga debida a la presencia del campo
eléctrico se denomina velocidad de arrastre y, a menos que el campo eléctrico sea muy intenso, su
módulo es pequeño en comparación con el módulo de la velocidad (media) de agitación térmica.
Sin embargo, esta velocidad tiene la misma dirección y valor medio para todos los portadores
de carga. De ahí que aparezca una corriente dentro del semiconductor.
El movimiento neto de los portadores de carga no es un movimiento acelerado (una
partícula sometida a una fuerza constante adquiere un movimiento uniformemente acelerado) sino
constante. Esto es debido a la dispersión por interacciones con la red cristalina, que tiende a
aleatorizar la velocidad del portador tras el choque con la red. Por tanto, tras el choque de un
portador se ha perdido, en promedio, la componente de arrastre de la velocidad total. Puesto
que la velocidad de agitación térmica suele ser mucho mayor que la velocidad de arrastre, los
mecanismos de dispersión no dependen de esta última.
38
La velocidad media de arrastre (velocidad que, en promedio, alcanza la componente de
arrastre entre dos colisiones sucesivas con la red cristalina) es, en principio, proporcional a la
intensidad del campo eléctrico aplicado. El coeficiente de proporcionalidad recibe el nombre de
movilidad y toma, en general, valores distintos para los electrones y los huecos. Esta relación de
proporcionalidad es válida siempre que la velocidad de arrastre sea pequeña frente a la velocidad de
agitación térmica. Si el campo eléctrico aplicado es suficientemente intenso, el arrastre puede
hacerse comparable a la agitación térmica y la movilidad comienza a decrecer con el campo
eléctrico aplicado.
3.1
MECANISMOS DE DISPERSIÓN DE PORTADORES.
La energía potencial de un electrón en una red cristalina es una función periódica en el
espacio. La justificación de esta afirmación se entiende bien atendiendo a la Figura 18.
Figura 18. Potencial periódico de un electrón en una red cristalina unidimensional. Con línea discontinua el
potencial de un átomo aislado. Con línea continua el potencial total
En esta figura se representa la ubicación espacial de los núcleos atómicos en una red
cristalina unidimensional. Con línea de trazo discontinuo se representa la energía potencial de un
electrón para cada uno de los núcleos, supuestos éstos aislados. Ahora bien, por el principio de
superposición, la energía potencial del electrón en la red cristalina es la suma de la contribución de
todos los núcleos atómicos. Como resultado de la suma (línea de trazo grueso y continuo)
observamos que el potencial resultante es periódico. En la discusión anterior no se ha considerado
la contribución que el resto de electrones de la red tiene sobre el potencial total. No obstante,
considerando que éstos van a estar distribuidos uniformemente en la red cristalina, su efecto no
afectará sobre la periodicidad del potencial.
39
Cualquier irregularidad del cristal que distorsione la periodicidad del potencial de la red,
es un centro de dispersión. Los factores que más alteran esta periodicidad son las vibraciones de los
núcleos de la red alrededor de sus posiciones de equilibrio y la presencia de átomos de impureza.
La amplitud de las vibraciones crece con la temperatura. Una temperatura de 0K significa que todas
las partículas que forman el sólido cristalino ocupan los estados de mínima energía. A medida que
aumenta la temperatura, estas partículas empiezan a ocupar estados energéticos superiores. Los
núcleos de la red cristalina dejan de estar parados y comienzan a vibrar alrededor de sus posiciones
de equilibrio y los electrones de valencia empiezan a ocupar estados energéticos en la banda de
conducción. En cristales relativamente puros y poco dopados la dispersión en iones de impureza es
sólo dominante a temperaturas muy bajas. Esto quiere decir que a temperatura ambiente los
portadores se dispersan como consecuencia de las vibraciones de los núcleos de la red. En
semiconductores muy dopados, la dispersión térmica (producida por vibraciones de los núcleos) de
la red sólo es dominante a temperaturas altas. Esto quiere decir que a temperatura ambiente los
portadores se dispersan en los iones formados por los átomos de las sustancias dopantes.
La descripción de los procesos de dispersión se simplifica mucho si se emplea el concepto
de tiempo de relajación que es igual al tiempo que tiene que transcurrir para que un portador de
carga tenga una velocidad totalmente incorrelada con la velocidad que inicialmente tenía15. Para
poder emplear este concepto hay que admitir que la energía cinética de los portadores cambia poco
(el módulo de la velocidad permanece constante) durante la interacción con el centro de dispersión.
Además, los procesos de dispersión deben producir una distribución aleatoria de velocidades tras la
interacción del portador de carga con el centro de dispersión.
El tiempo medio entre choques depende, en ambos mecanismos dispersivos, de la energía
cinética del portador de carga. Para describir el comportamiento dispersivo del conjunto de
portadores de carga se promedian estos valores, ponderando los tiempos de cada intervalo de
energía por la cantidad de electrones cuya energía está dentro del intervalo considerado. Ambos
mecanismos dependen fuertemente de la temperatura, de ahí que la movilidad dependa también de
ésta.
15
En esta asignatura consideraremos que el tiempo de relajación es igual al tiempo medio entre colisiones
40
Figura 19. Mecanismo de dispersión de portadores por impurezas
En un semiconductor extrínseco cada ión de impureza origina a su alrededor un campo
eléctrico. Bajo la acción de este campo el portador se desvía de su dirección inicial, tal como se
muestra en la Figura 19. El portador se desvía más cuanto menor es su velocidad y más cerca pase
del ión de impureza. Por esta razón el tiempo de relajación asociado a la presencia de impurezas
decrece a medida que disminuye la temperatura, puesto que la velocidad media de agitación
térmica crece con la temperatura. La dispersión de los portadores será también más probable cuanto
mayor sea la concentración de impurezas, por lo que el tiempo de relajación debido a impurezas
será menor cuanto mayor sea el dopado del semiconductor.
Los átomos de la red cristalina experimentan oscilaciones caóticas con respecto a su
posición de equilibrio debido al movimiento térmico. Esto perturba la periodicidad del campo de la
red, lo que da lugar a la dispersión de los portadores de carga. La teoría de las oscilaciones térmicas
de los átomos de un cristal tridimensional es lo suficientemente compleja como para que no se
aborde aquí. Sin embargo resulta evidente que el tiempo medio de relajación debido a este efecto
decrece a medida que aumenta la temperatura, ya que la amplitud de las oscilaciones crece.
3.2
CORRIENTE DE ARRASTRE
En apartados anteriores dijimos que la velocidad media de arrastre va de un portador de
carga era proporcional al campo eléctrico ξ y que al factor de proporcionalidad lo llamábamos
movilidad eléctrica μ. En general, la movilidad de los electrones de un semiconductor no tiene que
ser igual a la movilidad de los huecos, por ello, tendremos que distinguir ambos parámetros
41
añadiendo un subíndice. Así pues, μn y μp serán los valores de movilidad de los electrones y los
huecos, respectivamente. Matemáticamente, esta discusión se puede escribir como
Ecuación 12. Velocidades de arrastre del electrón y del hueco
van = − μ n ⋅ ξ
vap = μ p ⋅ ξ
Puede demostrarse que el valor de la movilidad viene dado por16
Ecuación 13. Expresiones de la movilidad del electrón y del hueco
μn =
q ⋅ trp
q ⋅ trn
; μp =
;
me
mh
donde trn, trp, me y mh son los tiempos de relajación y las masas efectivas de los portadores.
Las expresiones de la Ecuación 13 ponen de manifiesto que al disminuir el tiempo de relajación, es
decir, al ser más frecuentes los procesos de dispersión, disminuye la movilidad y que las partículas
más pesadas (mayor masa) tienen menor valor de movilidad.
El flujo de portares Φ se define como el número de éstos que atraviesa la unidad de
superficie perpendicular al movimiento por unidad de tiempo. Para calcular el flujo de huecos
cuyo movimiento es producido por la presencia de un campo eléctrico externo consideramos un
volumen infinitesimal como el de la Figura 20.
Figura 20. Volumen de control para el cálculo de la densidad de corriente
16
La movilidad se define como un parámetro positivo, de hay que en la Ecuación 12 para el electrón aparezca el signo
menos. Debido a la carga negativa del mismo, éste se mueve en dirección contraria al campo.
42
El número total de huecos contenido en el volumen es ΔN p = p ⋅ A ⋅ Δx . Si la velocidad de
arrastre es vap, en el intervalo temporal Δt = Δx / v ap el número ΔN p de huecos habrá atravesado por
la superficie A. Por tanto
Ecuación 14. Flujo de arrastre de huecos de un semiconductor
Φ ap =
ΔN p
A ⋅ Δt
= p ⋅ vap = p ⋅ μ p ⋅ ξ
Procediendo de igual manera se puede concluir que el flujo de arrastre para los electrones
es dado por
Ecuación 15. Flujo de arrastre de electrones de un semiconductor
Φ an =
ΔN n
= n ⋅ van = −n ⋅ μ n ⋅ ξ
A ⋅ Δt
donde el signo menos aparece por el valor negativo de la carga del electrón (el electrón se mueve
por arrastre en sentido contrario al campo).
Desde el punto de vista eléctrico es más interesante conocer la cantidad de carga, en vez
del número de portadores, que atraviesa la unidad de superficie perpendicular al movimiento
por unidad de tiempo. Esta magnitud eléctrica recibe el nombre de densidad de corriente J y está
relacionada con el flujo por J=q·Φ, donde q es la carga de cualquiera de los portadores. En este
caso:
Ecuación 16. Densidades de corriente por arrastre en un semiconductor.
J an
ΔQ p
= q ⋅ p ⋅ vap = q ⋅ p ⋅ μ p ⋅ ξ = σ p ⋅ ξ
A ⋅ Δt
ΔQn
=
= (−q ) ⋅ n ⋅ van = q ⋅ n ⋅ μ n ⋅ ξ = σ n ⋅ ξ
A ⋅ Δt
J ap =
donde los parámetros σ p = q ⋅ p ⋅ μ p y σ n = q ⋅ n ⋅ μ n son las conductividades eléctricas de los
huecos y electrones, respectivamente. Nótese que para ambos tipos de portadores, la conductividad
se define como un parámetro positivo.
43
Si consideramos un material semiconductor por el que circulan portadores positivos y
negativos, la conductividad total y la densidad de corriente por arrastre se obtendrá mediante las
sumas respectivas
Ecuación 17. Densidad de corriente y conductividad de un SC.
J = σ ⋅ ξ ; σ = σ p + σ n;
Supongamos un paralelepípedo de sección transversal A y de longitud L, formado con
material homogéneo17 de conductividad σ y al que se le aplica una tensión V entre sus extremos
(Figura 21). Debido a que el material es homogéneo el campo eléctrico es constante y de valor V/L.
Por tanto, la corriente eléctrica que circula por el dispositivo es
Ecuación 18. Demostración de la ley de Ohm
I = J ⋅ A = σ ⋅ξ ⋅ A =
σ ⋅A
L
R=
V
L
⋅ A →V
⎯⎯ σ⎯⎯
= R⋅I
De la Ecuación 18 se comprueba que el valor de la resistencia, como cabría esperar, es
proporcional a la longitud e inversamente proporcional a la conductividad y a la sección transversal
del dispositivo.
Figura 21. Resistencia.
17
La conductividad eléctrica es constante en todo el volumen
44
3.3
EFECTO DE LA TEMPERATURA Y EL DOPADO SOBRE LA MOVILIDAD.
EFECTO DE SATURACIÓN EN LA VELOCIDAD DE ARRASTRE.
El otro parámetro que tiene influencia sobre la movilidad de los portadores es el tiempo de
relajación o tiempo medio entre colisiones; éste depende fuertemente de la temperatura y del
dopado del semiconductor (Figura 22).
Figura 22. Representación de la movilidad en función de la temperatura donde se aprecia los comportamientos
asintóticos a bajas y altas temperaturas.
Como se dijo en apartados anteriores, los dos mecanismos principales de dispersión de
portadores de carga son la dispersión por impurezas y la dispersión por vibraciones de la red
cristalina. El mecanismo de dispersión por impurezas es siempre dominante a bajas temperaturas,
debido a que las vibraciones de los átomos de la red decrecen con la temperatura. Por ello, aún
cuando el semiconductor sea muy puro (tenga pocas impurezas que intervengan en los procesos de
dispersión), si se reduce suficientemente la temperatura la dispersión por impurezas llega a hacerse
dominante. La temperatura a partir de la cual la dispersión por vibraciones empieza a ser
importante y, eventualmente, llega a ser dominante, depende de la pureza del semiconductor.
Cuanto más puro sea, más baja será esta temperatura. En cualquier semiconductor existirá un rango
de temperaturas en el que la dispersión por impurezas será dominante (desde 0K hasta una
45
temperatura crítica) y otro (por encima de esta temperatura crítica) en el que la dispersión por
vibraciones dominará.
El tiempo medio entre colisiones por dispersión en impurezas crece con la temperatura
debido a que la velocidad térmica de los portadores de carga también crece. Cuanto más
rápidamente se desplace un portador de carga, menor es la probabilidad de que se vea afectado por
el campo electrostático creado por un ión y, por consiguiente, aumenta el tiempo medio entre
colisiones, aumentando la movilidad. La movilidad, cuando está determinada por las impurezas,
crece proporcionalmente a T 3 / 2 . El tiempo medio entre colisiones debido a la dispersión en los
núcleos de la red disminuye a medida que aumenta la temperatura, disminuyendo la movilidad. La
movilidad, cuando está determinada por la dispersión en los núcleos de la red, decrece
proporcionalmente a T −3 / 2 .
Hasta ahora se ha supuesto que la movilidad no depende del módulo del campo eléctrico.
Sin embargo, si el campo eléctrico es muy intenso (del orden de 103 V/cm), la velocidad de arrastre
(y por consiguiente la densidad de corriente) ya no muestra una dependencia lineal con respecto al
campo eléctrico aplicado, tal como se muestra en la Figura 23.
Ideal
Real
Va (cm/s)
GaAs
107
Si (electrones)
106
Si (huecos)
105
102
103
104
105
ξ (V/cm)
Figura 23. Dependencia de la velocidad de arrastre con el campo eléctrico aplicado.
Esta figura muestra cualitativamente esta dependencia para el Si y el GaAs. Por ser el
campo eléctrico muy intenso, la velocidad de arrastre llega a hacerse comparable a la velocidad de
agitación térmica, con lo que crece la velocidad media de los portadores de carga de una forma
46
significativa. Al crecer la velocidad media de los portadores de carga, el tiempo medio entre
colisiones disminuye, al menos a temperaturas de funcionamiento normales, en las que el
mecanismo dispersivo que predomina es debido a las vibraciones de la red cristalina. Nótese que
un tramo de la curva Va-ξ del GaAs tiene pendiente negativa18. Este hecho permite diseñar
dispositivos con resistencia diferencial negativa ( Rdif =
dV
< 0 ) que se pueden utilizar como
dI
osciladores y amplificadores de microondas (diodo Gunn).
3.4
DIFUSIÓN DE PORTADORES.
Considérese un gas contenido en una caja cerrada. Esta caja está dividida en dos zonas por
una pared que no permite el paso de moléculas de una zona a la otra. En la mitad izquierda la
concentración de moléculas es mayor que en la mitad derecha. En un determinado momento se
suprime la pared que separa las dos cavidades de la caja. Experimentalmente se comprueba que
existe un flujo neto de partículas desde la parte izquierda a la derecha que tiende a equilibrar la
concentración de moléculas en todo el volumen. Las moléculas se difunden desde las zonas de
alta concentración hasta las zonas de baja concentración.
El proceso de difusión es el resultado natural del movimiento aleatorio de las moléculas
individuales. Todas las moléculas sufren movimientos aleatorios de agitación térmica y chocan
unas con otras, de forma que cada molécula se mueve en una dirección aleatoria hasta que choca
con otra, momento en el que comienza a desplazarse en una nueva dirección. Considérese ahora lo
que ocurre en el plano donde estaba situada la pared de separación. Si el movimiento es realmente
aleatorio, una molécula que pertenezca a la zona izquierda tiene la misma probabilidad de
desplazarse hacia la derecha que hacia la izquierda. Por ello, la mitad de las moléculas de la parte
izquierda que están en la zona de separación se desplazarán hacia la derecha y la otra mitad hacia la
izquierda. Existe, pues, un flujo neto de moléculas de izquierda a derecha, debido a que la
concentración de moléculas a la izquierda es mayor que a la derecha. Este proceso continúa hasta
18
El GaAs tiene más de un mínimo en la banda de conducción (BC) y en cada uno de estos los electrones tienen
diferente valor de movilidad. Para valores pequeños de campo todos los electrones se encuentran en el mínimo de la
BC que tiene mayor movilidad. Sin embargo, para campos intensos, parte de los electrones se transfieren al otro
mínimo de menor movilidad produciéndose la pendiente negativa.
47
que las moléculas se distribuyen uniformemente en todo el volumen. En otras palabras, la difusión
existe mientras haya gradientes de concentraciones de moléculas.
En los semiconductores la situación es análoga. Los portadores de carga tienden a
difundirse por la presencia de gradientes de concentración y los mecanismos de choque son la
dispersión en los núcleos de la red y en las impurezas. Así, por ejemplo, un exceso de electrones
inyectados en x=0 y t=0 se irá extendiendo a lo largo del tiempo tal como se muestra en la Figura
24. Inicialmente el exceso de electrones se concentra en x=0. A medida que transcurre el tiempo los
electrones se difunden hacia regiones de baja concentración hasta que la distribución de electrones
se hace constante. Puede probarse que las expresiones de las densidades de corriente de electrones
y de huecos debidas a la difusión son las siguientes:
Ecuación 19. Componentes difusivas de la densidad de corriente en un SC
∂n( x)
∂x
∂p( x)
J dp ( x) = −qD p
∂x
J dn ( x) = qDn
Figura 24. Evolución del exceso de portadores en función del tiempo.
48
Es importante destacar el que tanto electrones como huecos se desplazan en la misma
dirección, es decir, se mueven desde regiones de alta concentración a regiones de baja
concentración. Como electrones y huecos tienen cargas de signo contrario, dan lugar a corrientes
que tienen sentidos distintos.
Los parámetros Dn y Dp reciben el nombre de coeficientes de difusión y puede demostrarse
que están relacionados con las movilidades por medio de las siguientes ecuaciones:
Ecuación 20. Relaciones de Einstein.
Dn
μn
=
Dp
μp
=
kT
q
De las relaciones de Einstein se puede deducir que si un semiconductor conduce bien por
arrastre (tiene una movilidad alta) también lo hará por difusión (coeficiente de difusión grande).
3.5
COMPONENTES DE CORRIENTE EN UN SEMICONDUCTOR.
Si en un semiconductor, además de existir un gradiente de portadores, se aplica un campo
eléctrico, las densidades de corriente debidas a electrones y huecos tendrán una componente de
difusión y otra de arrastre:
Ecuación 21. Densidad de corriente de electrones y huecos
∂n( x)
∂x
∂p( x)
J p ( x) = q ⋅ p ⋅ μ p ⋅ ξ − qD p
∂x
J n ( x) = q ⋅ n ⋅ μ n ⋅ ξ + qDn
y la densidad de corriente total es la suma de las densidades de corriente provocadas por el
flujo de electrones y huecos:
Ecuación 22. Densidad de corriente en un SC
J ( x) = J n ( x) + J p ( x)
49
En la Figura 25 se representan las distintas componentes de la corriente, suponiendo unos
perfiles de las concentraciones de portadores y un campo eléctrico aplicado como los que se
muestran en dicha figura. El sentido creciente del eje x coincide con el sentido en que se aplica el
campo eléctrico. Las derivadas que aparecen en Ecuación 21 son negativas y la difusión de
portadores se hace en el sentido del eje x. Las densidades de corriente asociadas a la difusión de
electrones y huecos (Jn(dif) y Jp(dif)) tienen sentidos distintos ya que los flujos tienen la misma
dirección y sentido pero la carga de los electrones es negativa y la de los huecos es positiva.
Figura 25. Componentes de corriente de un SC.
Los huecos se arrastran en la dirección del campo eléctrico dado que su carga es positiva,
mientras que los electrones son arrastrados en sentido contrario. En ambos casos se produce una
densidad de corriente debida al arrastre que va hacia la derecha. Nótese que las componentes de
difusión y arrastre de la densidad de corriente debidas a los huecos son aditivas cuando el campo
eléctrico se aplica en la dirección y sentido de la disminución de concentración de huecos. Para las
componentes de la densidad de corriente debidas a los electrones ocurre lo contrario.
Un resultado importante que se deriva de la Ecuación 21 es que los portadores minoritarios
pueden contribuir significativamente en la corriente total a través del término difusivo. Las
densidades de corriente debidas al arrastre son proporcionales a la concentración de los portadores
por lo que los portadores minoritarios casi nunca generan una densidad de corriente de arrastre
50
importante. Por el contrario, la difusión es proporcional a la derivada de las concentraciones y por
tanto el término difusivo de los portadores minoritarios puede ser muy importante.
3.6
EFECTOS DEL CAMPO ELÉCTRICO EN LAS BANDAS DE ENERGÍA
Hasta ahora hemos explicado los procesos de transporte usando la imagen de los
portadores como partículas clásicas. En este apartado sólo se estudiará como se ve afectadas las
bandas de energía de un semiconductor por presencia de un campo eléctrico. Intentar explicar estos
procesos considerando que los portadores son partículas cuánticas requeriría utilizar conceptos de
mecánica ondulatoria que el alumno desconoce.
Consideremos un electrón en la banda de conducción. Obviamente, cuanto mayor sea la
velocidad del mismo, mayor será su energía cinética, y por tanto mayor su energía total. Como la
energía mínima que puede tener el electrón es Ec (mínimo de la banda de conducción), ésta puede
ser considerada como la energía potencial.
Figura 26. Curvatura experimentada en los extremos de las bandas por la presencia de un campo eléctrico.
La energía potencial Ep, por definición, está relacionada con la fuerza Fx que se ejerce
sobre la partícula mediante la relación diferencial, Fx = −
∂E p
∂x
. Teniendo en cuenta que por la
presencia de un campo eléctrico ξ sobre el electrón se ejerce la fuerza Fx = − q ⋅ ξ , podemos
relacionar el mínimo de la banda de conducción con el campo
Ecuación 23. Relación entre los extremos de las bandas en un SC. y el campo eléctrico
ξ=
1 ∂Ec 1 ∂Ev
=
q ∂x
q ∂x
51
La segunda igualdad de la Ecuación 23 se justifica atendiendo a que la anchura Eg de la
banda prohibida es constante y que el máximo Ev de la banda de valencia es Ev=Ec-Eg. Las
expresiones de la Ecuación 23 ponen de manifiesto que los extremos de las bandas de un
semiconductor se curvan por presencia de un campo eléctrico, aumentando en la dirección del
campo. Este hecho se representa en la Figura 26. En la misma figura se ilustra también el arrastre de
portadores. El electrón, que se mueve en la dirección contraria al campo, intercambia energía
potencial por cinética hasta que por un proceso de dispersión libera la energía cinética ganada
retornando de nuevo al mínimo de la banda. La energía perdida la gana la red cristalina en forma de
calor (efecto Joule).
52
CAPÍTULO 4
GENERACIÓN Y
RECOMBINACIÓN DE
PORTADORES DE CARGA EN
DESEQUILIBRIO
Examinemos un semiconductor de tipo n que se encuentra en equilibrio térmico. Debido a
la excitación térmica los electrones que ocupaban los estados energéticos donadores pasan a la
banda de conducción. También se tiene que los electrones que ocupan la banda de valencia tienen,
por agitación térmica, una cierta probabilidad (muy pequeña) de pasar a la banda de conducción,
produciéndose un par electrón-hueco. Simultáneamente al proceso de generación tiene lugar el
proceso de recombinación: electrones de la banda de conducción vuelven a estados libres de la
banda de valencia, con lo que desaparece un par electrón-hueco. En condiciones de equilibrio
térmico estos procesos se equilibran totalmente, de forma que el número de pares electrón-hueco
generados es igual al número que desaparece por recombinación. Designaremos por g el número de
pares electrón-hueco generados, y por r, el número de ellos recombinados por unidad de tiempo y
volumen. La tasa de recombinación es proporcional al producto de los portadores libres de carga19:
Ecuación 24. Tasa de recombinación
r = γ r ⋅n⋅ p
19
La tasa de recombinación definida en la Ecuación 24 es válida tanto en equilibrio térmico como en desequilibrio.
53
donde γr es un coeficiente de proporcionalidad llamado coeficiente de recombinación. Para
el estado de equilibrio del semiconductor se cumple la igualdad:
Ecuación 25. Balance de generación y recombinación en eq. térmico
g | Eq.Térmico = g o = ro = r | Eq.Térmico
Además de la generación térmica, existen otros mecanismos que dan lugar a la formación
de portadores de cargas libres. Por ejemplo, pueden formarse al exponer el semiconductor a la luz,
por la rotura de enlaces de valencia en campos eléctricos intensos o a causa de la inyección
mediante la unión p-n. En todos estos casos se crea una concentración de electrones n = no + Δn y
de huecos p = po + Δp libres de desequilibrio. A Δn y Δp se les llama exceso20 de portadores
libres en desequilibrio.
4.1
CUASINIVELES DE FERMI.
Cuando existe algún proceso distinto del térmico que tiende a formar portadores de carga,
el semiconductor se encuentra fuera del equilibrio térmico. Supóngase, por ejemplo, que a partir de
un instante determinado se ilumina un semiconductor con una luz de frecuencia apropiada (f >Eg/h)
de forma que ésta sea absorbida, provocando que electrones que estaban en la banda de valencia
pasen a la banda de conducción (Figura 27). En esta situación se tiene que el término de generación
es g=go+gop es superior al término de recombinación por lo que la concentración de portadores
tiende a aumentar (gop es la tasa de pares e-h generados ópticamente o tasa de generación óptica) .
A medida que crece la concentración de portadores crece también la tasa de recombinación (a
mayor cantidad de portadores mayor recombinación –ver Ecuación 24-), por lo que acaba llegándose
a una situación estacionaria, es decir, independiente del tiempo, en la que se alcanzan unas
concentraciones estacionarias de portadores n = no + Δn y
p = po + Δp para las que se cumple
go + gop = γ ⋅ (no + Δn) ⋅ ( po + Δp ) donde, de nuevo, la generación de pares electrón-hueco está
totalmente compensada por la recombinación.
20
Si son positivas hay un exceso de portadores respecto de la concentración en equilibrio térmico. Si son negativas hay
un defecto.
54
E1
Ev
h· f
Eg
f
Ec
E2
Figura 27. Absorción de un fotón de frecuencia f absorbido en la generación de un par e-h. La energía del fotón
se distribuye en superar la banda prohibida (Eg) y en calentamiento de la red cristalina (E1+E2).
Sin embargo esta situación estacionaria no es una situación de equilibrio térmico, donde
ya no es válida la distribución de Fermi-Dirac para determinar la probabilidad de ocupación de los
estados energéticos accesibles.
Los portadores de carga que aparecen en las bandas de valencia y conducción como
consecuencia de la absorción de luz, pueden tener energías muy superiores a la energía media de
los portadores generados térmicamente (que a temperaturas no muy altas, incluyendo la
temperatura ambiente, están próximos al mínimo de la BC –electrones- o al máximo de la BV –
huecos-). Sin embargo estos portadores ceden rápidamente por colisiones este exceso de energía a
la red cristalina (el tiempo característico de este proceso de relajación es inferior a 100ps), por lo
que rápidamente los electrones por un lado (en la banda de conducción) y los huecos por otro (en la
banda de valencia) llegan a una situación de "equilibrio", es decir, los portadores generados
ópticamente se hacen indistinguibles de los generados térmicamente (en un principio eran distintos
puesto que tenían una energía muy superior). Se tienen, pues, dos poblaciones de portadores de
carga que tiene cada una de ellas una situación de equilibrio. Las dos poblaciones de portadores no
están en equilibrio entre sí puesto que la fuente de luz lo impide. Esta situación puede describirse
utilizando dos funciones de distribución distintas para describir la probabilidad de ocupación de
estados energéticos en las bandas de conducción y valencia. Por tanto, se definen dos cuasiniveles
de Fermi, uno para la banda de conducción y otro para la banda de valencia. La probabilidad de
que un electrón ocupe un nivel de energía E y la concentración en la banda de conducción vienen
dadas por las expresiones:
55
Ecuación 26. Probabilidad de ocupación y concentración de electrones en desequilibrio.
f ( E,T ) =
1
1 + e ( E − Fc ) / kT
; n = no + Δn = U c ⋅ e
−
Ec − Fc
k ⋅T
;
donde Fc es el cuasinivel de Fermi de la banda de conducción. Para llegar a esta expresión
se han hecho las mismas suposiciones que para determinar el número de electrones en condiciones
de equilibrio térmico. La probabilidad de que un hueco ocupe un nivel de energía E
y la
concentración de huecos en la banda de valencia vienen dadas por:
Ecuación 27. Probabilidad de ocupación y concentración de huecos en desequilibrio
fh (E,T ) = 1 − f (E,T ) = 1 −
1
1 + e ( E − Fv ) / kT
;
p = po + Δp = U v ⋅ e
−
Fv − Ev
k ⋅T
;
Para llegar a esta expresión se han hecho las mismas suposiciones que para determinar el
número de huecos en condiciones de equilibrio térmico.
Lo expuesto hasta ahora puede hacer pensar que la posición que ocupe el cuasinivel de
Fermi de la banda de conducción es independiente de la posición que ocupe el de la banda de
valencia. Esto en realidad no es así. Considérese el caso de la generación óptica de portadores en
exceso. Por cada electrón en exceso que pase a la banda de conducción, se produce un hueco
en la banda de valencia. De ahí que se verifique la igualdad Δp = Δn , que junto con
go + gop = γ ⋅ (no + Δn) ⋅ ( po + Δp ) nos permite calcular los portadores en exceso ( Δp y Δn ).
Conocidas las concentraciones de portadores y las expresiones dadas por Ecuación 26 y la Ecuación 27
se puede determinar la posición de los cuasiniveles de Fermi. Nótese que los cuasiniveles de Fermi
se han desplazado en sentidos contrarios con respecto al nivel de Fermi, el de la banda de
conducción ha subido, indicando que hay más electrones que en equilibrio térmico, y el de la banda
de valencia ha bajado, indicando que hay más huecos.
En la Figura 28 se pueden comparar una situación de equilibrio con otra en la que se ha
iluminado el semiconductor. En el primer caso existe un único nivel de Fermi porque ambas bandas
están en equilibrio. En el segundo caso, la luz no permite el equilibrio entre ambas bandas y es
necesario considerar dos cuasiniveles de Fermi.
56
Fc
Ef
Equilibrio térmico: n· p=ni2
Fv
Iluminado: n· p>ni2
Figura 28. Semiconductor en equilibrio térmico e iluminado.
4.2
TIEMPO MEDIO DE EXISTENCIA DE PORTADORES EN DESEQUILIBRIO.
Para definir el término tiempo medio de recombinación de portadores, va a considerarse de
nuevo el caso de un semiconductor iluminado en el que se genera una cierta concentración de
portadores en exceso. Se va a suponer que, repentinamente, se interrumpe el flujo luminoso.
Después de interrumpir la luz excitadora, las concentraciones de huecos y electrones disminuyen a
causa de la recombinación. En este caso, la velocidad de decrecimiento del número de portadores
se determina por la diferencia de las velocidades de recombinación y de generación térmica:
Ecuación 28.
dn dp
=
= g o − γ r ⋅ n ⋅ p = −γ r ⋅ (no ⋅ Δp + po ⋅ Δn + Δn ⋅ Δp)
dt dt
Para llegar a la última igualdad se ha tenido en cuenta que la generación térmica es igual a
la recombinación en equilibrio térmico ( g o = γ r ⋅ no ⋅ po ) y que la concentración de portadores es la
suma de la concentración de equilibrio más el exceso (n=no+Δn y p=po+Δp).
La concentración en exceso de electrones es igual a la concentración en exceso de huecos
(Δn=Δp). Suponiendo ahora baja inyección, es decir, que las concentraciones de los portadores en
exceso son pequeñas con respecto a la suma de las concentraciones de equilibrio (Δn,Δp<<(no+po))
resulta:
57
Ecuación 29. Dinámica de recuperación del equilibrio en inyección débil
dn dΔn
Δn
1
=
=−
; τ=
τ
γ r (no + p o )
dt
dt
⇒ Δn(t ) = Δn(t o ) ⋅ e −(t −to ) / τ
si t ≥ t o
La constante τ, que tiene dimensiones de tiempo, recibe el nombre de tiempo medio de
vida (o recombinación) de los portadores de carga en desequilibrio. De la Ecuación 29 también se
puede definir la constante media de vida como el tiempo que debe transcurrir para que la
cantidad de portadores recombinados sea igual al
63% del valor inicial, es decir,
Δn(t o + τ ) = Δn(t o ) ⋅ e −1 ≈ (1 − 0.63) ⋅ Δn(t o ) . Otra interpretación que se puede hacer de τ es el
tiempo medio que transcurre desde que se genera un electrón hasta que se recombina.
El valor de este tiempo es función del tipo de material semiconductor y del grado de
pureza. Puede variar en un amplio rango (desde 0.01s hasta 10ns) pero, en cualquier caso, es muy
grande en comparación con el tiempo de relajación de los portadores, es decir, un portador sufre
muchas colisiones con la red cristalina antes de recombinarse. Por ello, un portador generado
ópticamente pasa rápidamente (en un intervalo del orden del tiempo de relajación –100ps-) a estar
en equilibrio con el resto de portadores de la banda, situación en la que permanece durante
“mucho” tiempo (τ) antes de recombinarse.
La expresión que se ha obtenido para el tiempo medio de existencia de portadores es, en
principio, sólo válida si el mecanismo dominante de recombinación es entre bandas. Los tipos de
mecanismos de recombinación van a exponerse en la próxima sección.
4.3
TIPOS DE RECOMBINACIÓN.
Según el mecanismo se distinguen tres tipos de recombinación:
1. Recombinación entre bandas.
2. Recombinación en centros de captura (o trampas).
3. Recombinación superficial.
58
4.3.1 Recombinación entre Bandas.
La recombinación entre bandas se produce cuando el electrón libre transita directamente
de la banda de conducción a la banda de valencia, lo que produce la eliminación de un electrón
libre y de un hueco libre. En este proceso tienen que conservarse constantes la energía total y la
cantidad de movimiento total. El diagrama de bandas de un semiconductor relaciona la energía de
los electrones con su cantidad de movimiento. Al pasar un electrón de la banda de conducción a la
banda de valencia, éste pierde una energía igual a la energía de la banda prohibida. Esta energía
perdida por el electrón se traduce en la creación de un quanto de energía electromagnética, es decir,
de un fotón. La energía del fotón es, evidentemente, igual a la energía de la banda prohibida.
Va a analizarse ahora la segunda condición que debe cumplirse para que se produzca una
recombinación entre bandas: la conservación de la cantidad de movimiento. Los fotones poseen una
cantidad de movimiento (o impulso) que es despreciable en comparación con la cantidad de
movimiento del electrón. Por tanto, a menos que intervenga alguna otra partícula en el proceso de
recombinación, ha de cumplirse que la cantidad de movimiento del electrón en la banda de
conducción ha de ser igual a la cantidad de movimiento en la banda de valencia. Esto quiere decir
que el mínimo de la banda de conducción y el máximo de la banda de valencia deben darse para un
r
mismo valor del vector k , es decir, el semiconductor debe ser de transición directa. Si el
semiconductor no es de transición directa, es necesario que intervenga la red cristalina, de forma
que ésta ceda o absorba la diferencia de cantidades de movimiento. En este caso, dado que para que
se produzca una recombinación entre bandas es necesario que intervenga la red cristalina, resulta
que la probabilidad de que ésta se produzca es muy baja. De hecho la recombinación entre bandas
es el proceso dominante en semiconductores de transición directa, mientras que la recombinación
por centro locales de impurezas es dominante en los de transición indirecta.
Existe otro tipo de recombinación entre bandas, la recombinación por choque o
recombinación Auger, en la que la energía liberada se cede a un portador libre de carga. Este
mecanismo de recombinación no va a ser estudiado.
59
4.3.2 Recombinación en Centros de Captura.
La recombinación de pares electrón-hueco puede estar inducida por la presencia de
imperfecciones en la red cristalina, principalmente impurezas que provocan la presencia de estados
energéticos accesibles dentro de la banda prohibida, lejos de las bandas de valencia y conducción.
Este mecanismo de recombinación es dominante en los semiconductores de transición indirecta. La
teoría de Shockley-Read predice unos valores de tiempos medios de recombinación que se ajustan
bastante bien con los medidos experimentalmente. La exposición de esta teoría no va a hacerse en
estos apuntes.
4.3.3 Recombinación superficial
En la superficie del cristal se produce una ruptura abrupta de la red cristalina. Un átomo
próximo a la superficie tiene un entorno completamente diferente que un átomo que se encuentra en
el interior (en el volumen). Esta irregularidad se traduce en la aparición de altas densidades de
estados electrónicos situados en la banda prohibida del semiconductor. Estos estados pueden
atrapar y liberar tanto electrones como huecos. El proceso de recombinación se produce porque el
electrón pasa a uno de estos estados, y de estos a la banda de valencia.
60
CAPÍTULO 5
ECUACIONES DE CONTINUIDAD
En esta lección se va a estudiar el comportamiento de un semiconductor que, por causa de
algún factor externo, se aparta de las condiciones de equilibrio térmico. En este caso las
concentraciones de electrones y huecos libres son funciones de las coordenadas espaciales y del
tiempo, n(x,y,z,t) y p(x,y,z,t). Las ecuaciones de continuidad permiten determinar las expresiones de
estas dos funciones.
Las ecuaciones de continuidad se van a deducir para una muestra homogénea
unidimensional, en la que las concentraciones de electrones y huecos libres dependen,
espacialmente, sólo de la coordenada x, tal como se muestra en la Figura 29. Supóngase que en el
instante t la concentración de electrones es n(x,t); entonces el número de electrones en este volumen
es n(x,t)Adx, donde A es el área de la sección transversal del semiconductor. En el instante t+dt este
número es n(x,t+dt)Adx, y el la variación del número de electrones en el tiempo dt en el volumen
Adx es:
Ecuación 30
[n( x, t + dt ) − n( x, t )]⋅ A ⋅ dx = dn ⋅ A ⋅ dx ⋅ dt
dt
Esta variación del número de electrones (o de huecos) puede ocurrir debido a distintas
causas. En la Figura 29 se indican los distintos fenómenos físicos que pueden hacer que varíe el
número de portadores que hay dentro del volumen rayado: la generación, la recombinación y la
existencia de un flujo de portadores no constante. En lecciones anteriores se vio que los
mecanismos de arrastre y difusión eran los responsables de la existencia de flujos de portadores de
carga.
61
Figura 29. Términos que intervienen en la ecuación de continuidad.
5.1
ECUACIONES DE CONTINUIDAD.
La variación del número de electrones dada por la Ecuación 30 puede ocurrir debido a los
procesos de generación, recombinación, así como a la difusión y arrastre de estos portadores de
carga. Se va a examinar uno a uno cada uno de estos procesos:
1. Generación. Por procesos de generación se sobreentienden todos los mecanismos mediante
los cuales los electrones pueden ser excitados y transferidos a la banda de conducción. Hay
que tener en cuenta tanto la generación de portadores libres por efectos térmicos como por
causas externas (por ejemplo una fuente de luz). Se van a designar las tasas de generación
de estos dos tipos de generación por go y g. Entonces la velocidad de generación será igual a
go+g. Por tanto, el número de portadores generados en el volumen A·dx y durante el
intervalo dt es:
Ecuación 31. Número de electrones generados.
( g + g o )· A·dx·dt
2. Recombinación. El número de portadores de carga en el volumen A·dx varía también a
causa de la recombinación. El número de portadores generados en el volumen A·dx y
durante el intervalo dt es:
62
Ecuación 32. Número de electrones recombinados.
γ r ⋅ n ⋅ p ⋅ A ⋅ dx ⋅ dt
3. Procesos de difusión y deriva. La variación de la cantidad de portadores de carga en el
volumen dx puede deberse, además, a los procesos de difusión y deriva. Recordamos que
φ n ( x, t ) es el flujo de electrones (número de electrones que atraviesa una unidad de
superficie transversal a la dirección x y por unidad de tiempo). Si φ n ( x, t ) es diferente que
φ n ( x + dx, t ) , por la cara lateral derecha del volumen de control de la
Figura 29
salen una
cantidad de electrones diferente a los que entran por la cara izquierda, por tanto varía la
cantidad de electrones interior al volumen. La variación de esta cantidad se puede calcular
restando a los que entran lo que salen:
Ecuación 33. Variación de los electrones debida a los flujos de corriente.
[φ n ( x, t ) − φ n ( x + dx, t )]⋅ A ⋅ dt = − ∂φ n ⋅ A ⋅ dx ⋅ dt
∂x
La variación del número total de portadores que en el tiempo dt se ha producido en el
volumen A·dx viene dada por la Ecuación 30. Esta variación es igual a la suma de términos que
ocurren por diferentes fenómenos físicos, a saber, generación, que se evalúa por medio de la
Ecuación 31,
Ecuación 33.
recombinación, evaluada por la Ecuación 32 y difusión y deriva, representada por la
Esto lo expresamos así:
∂φ
dn
⋅ A ⋅ dx ⋅ dt = ( g + g o ) ⋅ A ⋅ dx ⋅ dt − γ r ⋅ n ⋅ p ⋅ A ⋅ dx ⋅ dt − n ⋅ A ⋅ dx ⋅ dt
dt
∂x
de donde:
Ecuación 34. Ecuación de continuidad de los electrones.
∂φ
dn
= (g + go ) − γ r ⋅ n ⋅ p − n
dt
∂x
Procediendo de una manera similar podemos obtener la expresión recíproca a la Ecuación 34
para los huecos:
63
Ecuación 35. Ecuación de continuidad de los huecos.
∂φ p
dp
= (g + go ) − γ r ⋅ n ⋅ p −
dt
∂x
Si dividimos por la carga eléctrica del portador las expresiones de la densidad de corriente
dadas en la Ecuación 21
Ecuación 36. Flujo de los portadores.
Jn
∂n
= − μ n ⋅ n ⋅ ξ − Dn ⋅
∂x
(−q)
J
∂p
φ p = p = μ p ⋅ p ⋅ξ − Dp ⋅
q
∂x
φn =
Por último, si sustituimos las expresiones de la Ecuación 36 en Ecuación 34 y Ecuación 35
llegamos a las ecuaciones de continuidad
Ecuación 37: Ecuaciones de continuidad de los portadores de un SC.
dn
∂ (n ⋅ ξ )
∂ 2n
= (g + go ) − γ r ⋅ n ⋅ p + μn
+ Dn 2
∂x
dt
∂x
dp
∂( p ⋅ ξ )
∂2 p
= (g + go ) − γ r ⋅ n ⋅ p − μ p
+ Dp 2
∂x
dt
∂x
Estas dos expresiones son las ecuaciones de continuidad de electrones y huecos. Vemos que
en ambas interviene el campo eléctrico. Este campo puede expresarse como la suma del campo
aplicado sobre el semiconductor y un campo interno que se origina por la aparición de regiones del
semiconductor cargadas eléctricamente bajo determinas circunstancias, es decir:
ξ = ξ in + ξ ap
64
Figura 30. Efecto del campo eléctrico interno.
El campo interno se produce porque los coeficientes de difusión de electrones y huecos
pueden ser, y generalmente los son, diferentes. Si los electrones y huecos pudieran moverse de un
modo independiente, las especies de difusión más rápida tenderían a adelantarse a las más lentas,
dejando a éstas atrás. Esto conlleva una separación de cargas positivas y negativas con lo que,
según la ecuación de Gauss, se establece un campo eléctrico interno que tiende a retardar a las
partículas de difusión rápida y a acelerar a las de difusión lenta. Este es el campo ξin de la relación
anterior. Finalmente este campo se hace lo suficientemente fuerte como para contrarrestar cualquier
tendencia de las cargas positivas y negativas a separarse más todavía y, consiguientemente, las
partículas positivas y negativas se difunden juntas. El coeficiente de difusión efectivo es mayor que
el de las especies lentas, pero menor que el de las rápidas. Este fenómeno, denominado difusión
ambipolar, se ilustra en la Figura 30. Por tanto es evidente que las ecuaciones de continuidad
(Ecuación 37) contienen tres variables desconocidas, n, p y ξ, ya que la componente interna del
campo no se conoce. El conjunto de ecuaciones se puede completar escribiendo la ecuación de
Gauss que relaciona el campo eléctrico y la densidad neta de carga:
Ecuación 38. Ecuación de Gauss en un semiconductor
∂ξ ρ q ( p − n + N d − N a )
=
=
εs
∂x ε s
donde εs es la permitividad eléctrica del semiconductor. Debe hacerse notar que el campo
eléctrico aplicado es constante (sus fuentes y sumideros están fuera del semiconductor) y se verifica
que
∂ξ ∂ξ in
para el caso unidimensional. Se ha llegado, pues, a un sistema de tres ecuaciones
=
∂x
∂x
diferenciales con tres incógnitas que, en principio, puede resolverse. Desafortunadamente no parece
65
existir un medio para llegar a una solución analítica directa. Por tanto es necesario hacer
aproximaciones físicas razonables que permitan llegar a una solución que, aunque no sea exacta,
sea adecuada para la mayoría de los casos de importancia práctica.
5.2
HIPÓTESIS SIMPLIFICADORAS.
Las hipótesis simplificadoras que vamos a emplear son las siguientes:
1. Neutralidad de cargas. Es decir, que Δp ≈ Δn .
2. Inyección débil. Esto quiere decir que Δp ≈ Δn << Max{no , po } .
3. Dopado uniforme. Las concentraciones de impurezas son constantes en las regiones del
semiconductor donde aplicamos las hipótesis simplificadoras.
4. Dopado fuerte. Es decir, se cumple que no >> po o que po >> no .
Como se ha explicado en el apartado 5.1 por el proceso de difusión ambipolar los
portadores de carga se difunden a la misma velocidad, aún teniendo diferentes coeficientes de
difusión. Por ello, en las situaciones prácticas de interés en este curso los excesos de portadores
serán siempre iguales (primera hipótesis simplificadora). Por tanto, si somos capaces de determinar
el perfil de concentración de una de las especies de portadores (por ejemplo los minoritarios), el
perfil de concentración de la otra especie (los mayoritarios) es aproximadamente igual al primero.
Como se vio en el apartado 4.2, la hipótesis de inyección débil nos permitirá sustituir
( g + g o ) − γ r ⋅ n ⋅ p por g − Δp / τ , donde τ era la constante de vida de los portadores.
Dopado uniforme quiere decir que las concentraciones de portadores en equilibrio térmico
son constantes en la región del semiconductor bajo estudio. Ello nos permitirá sustituir en las
ecuaciones de continuidad
∂p
∂n
∂Δp ∂Δn
o
por
o
, respectivamente.
∂x
∂x
∂x
∂x
La hipótesis de dopado fuerte tiene unas implicaciones más difíciles de explicar. Hemos
visto que el campo eléctrico interno es el responsable de que se verifique la aproximación de
66
neutralidad de carga. Este campo crea un flujo de arrastre que tiene tendencia a frenar a los
portadores que tienen coeficientes de transporte mayores y a acelerar a los portadores que tienen
coeficientes de transporte más pequeños. Imaginemos una región del semiconductor fuertemente
extrínseca y neutra eléctricamente. Por algún procedimiento separamos instantáneamente los
portadores de manera que aparezca carga neta y campo interno y dejamos que es sistema
evolucione libremente. Por la presencia del campo interno se producen corrientes de arrastre que
tienden a recuperar la neutralidad de carga, acabando el proceso cuando desaparezca de nuevo el
campo. Estas corrientes son debidas principalmente a portadores mayoritarios, apenas a
minoritarios21. Por tanto, podemos concluir diciendo que los portadores minoritarios no son
afectados por el campo interno y que en su ecuación de continuidad podemos anular los
términos donde aparezca éste.
Atendiendo a estas hipótesis, las ecuaciones de continuidad de los portadores minoritarios
quedan:
Ecuación 39. Ecuaciones de continuidad de los portadores minoritarios
dΔn
Δn
=g−
+ μ nξ ap
τ
dt
dΔp
Δp
=g−
− μ pξ ap
τ
dt
5.3
∂Δn
∂ 2 Δn
+ Dn
∂x
∂x 2
∂Δp
∂ 2 Δp
+ Dp
∂x
∂x 2
si
po >> no
si no >> po
ECUACIÓN DE DIFUSIÓN DE LOS PORTADORES.
Un caso de gran importancia es la solución en estado estacionario (
dΔp
= 0 ) de una
dt
muestra semiconductora que se extiende desde x=0 hasta x=+∞. Los portadores en exceso se crean
a través de una fuente uniforme y plana de generación que, para mayor facilidad, se supondrá que
coincide con el plano x=0. En este caso no se tiene campo aplicado alguno ( ξ = 0 ) y sólo
generación térmica (g=0) de portadores en exceso en la muestra. En estas condiciones la densidad
de portadores en exceso variará sólo a lo largo de la dirección x. Se supondrá que la muestra es de
21
Si la concentración de mayoritarios es 1015 y de minoritarios 105, simplificando el razonamiento, por cada portador
minoritario que se mueva para recuperar la neutralidad, se mueven 1010 portadores mayoritarios.
67
tipo n fuertemente extrínseca en la que la densidad de portadores en exceso es en todas partes muy
inferior a la densidad de portadores mayoritarios (baja inyección). En estas condiciones, tal como
se vio en la lección anterior, la ecuación de continuidad se reduce a:
Dp
∂ 2 Δp
∂x 2
−
Δp
τ
=0
Reordenando las constantes esta ecuación queda22:
Ecuación 40. Ecuación de continuidad de los portadores minoritarios
d 2 Δp
dx
2
−
Δp
Lp
2
= 0; L p 2 = D p ⋅ τ
El término Lp recibe el nombre de longitud de difusión de huecos. Téngase en cuenta que
los portadores que se generan en exceso en x=0 empiezan a alejarse por difusión. A medida que
nos alejemos de x=0 la probabilidad de que el hueco no se haya recombinado decrece, ya que ha
trascurrido un tiempo mayor desde que se generó en x=0. Por consiguiente la concentración de
huecos en exceso decrece a medida que x crece.
Las soluciones de Ecuación 40 se pueden expresar de forma general:
Ecuación 41. Solución de la ecuación de minoritarios
Δp ( x) = p ( x) − po = A ⋅ e
x / Lp
+ B⋅e
− x / Lp
donde A y B son constantes arbitrarias. Puesto que se tiene una fuente plana de portadores
en x=0, se crea en esta superficie una concentración de portadores mayor que la de equilibrio
térmico, Δp(0), que supondremos conocida.
Puesto que existe una tasa de recombinación volumétrica diferente de cero, la densidad de
los portadores en exceso deben tender a cero al alejarnos de x=0 (Δp(+∞)=0). Estas condiciones de
contorno requieren que A=0. Además, resulta evidente que B=Δ p(0).
68
Por tanto la solución es
Ecuación 42. Solución particular de minoritarios en exceso.
Δp( x) = Δp (0) ⋅ e
− x / Lp
La concentración de electrones en exceso, de acuerdo con la hipótesis de neutralidad de
cargas, es aproximadamente igual a la concentración de huecos en exceso. En la Figura 31 se
muestran los perfiles de concentración resultantes. La concentración de portadores en exceso se
pierde exponencialmente en ambos lados de la fuente plana, con una distancia característica de
decaimiento de Lp. Por tanto podemos definir la longitud de difusión Lp como la distancia que hay
que recorrer para que la concentración en exceso de minoritarios se recombine en un 63% de
su valor inicial (1-e-1=0.63). También se puede interpretar como la distancia media que recorre
por difusión un portador minoritario sin recombinarse.
n(x)= no+Δn(x)
Δn(x)
no
p(x)= po+Δp(x)
Δp(x)
po
x
Figura 31. Perfiles de concentración de portadores provocados por un proceso de difusión.
22
Por ser la concentración sólo función de de la variable x hemos sustituido las derivadas parciales por derivadas
totales
69
CAPÍTULO 6
EL DIODO DE UNIÓN PN
6.1
LA UNIÓN P-N EN EQUILIBRIO TÉRMICO
El diodo de unión está constituido por un material semiconductor en el que existe una
región extrínseca tipo n y una región extrínseca tipo p separadas por una zona de transición
estrecha. Esta región de transición se denomina unión p-n y su estudio es muy importante, puesto
que los fenómenos físicos que ocurren en ella constituyen la base del funcionamiento de la mayoría
de los dispositivos electrónicos semiconductores. La transición entre las regiones p y n puede ser
abrupta o graduada, tal como se muestra en la Figura 32. Se va a dar mayor énfasis a las uniones
abruptas, puesto que es una buena aproximación de las uniones p-n de la mayoría de los
dispositivos importantes y se simplifica el estudio.
Figura 32: Tipos de uniones p-n.
70
Supóngase que de alguna manera se forma instantáneamente una unión abrupta p-n
poniendo en contacto una muestra uniforme de tipo p con otra de tipo n para formar un único
cristal. En el instante de formación existe una concentración nn0 de electrones y pn0 de huecos en el
lado n, y una concentración uniforme pp0 de huecos y np0 de electrones en el lado p. Puesto que la
concentración de electrones del lado n es mucho mayor que la del lado p, en el instante de
formación existe un gradiente enorme de concentración de electrones en la zona de la unión. Lo
mismo ocurre con respecto a la concentración de huecos. Los gradientes iniciales de concentración
establecen corrientes de difusión que hacen que los electrones de la región n y los huecos de la
región p se desplacen hasta la región opuesta, dejando la zona próxima a la unión vacía de
portadores mayoritarios. No obstante, este flujo de difusión inicial no puede continuar
indefinidamente, ya que las cargas de los iones fijos donadores y aceptores cercanos a la unión ya
no están balanceadas por las cargas de los portadores, de modo que se establece un campo eléctrico.
La dirección de este campo se opone al flujo de los electrones que salen de la región n y al flujo de
los huecos que salen de la región p, contrarrestando la tendencia de los portadores mayoritarios a
difundirse. Entonces se establece una condición de equilibrio dinámico (las corrientes de difusión
cancelan a las de arrastre) en la que la región cercana a la unión queda vacía de portadores
mayoritarios, existiendo un campo eléctrico intenso (Figura 33.).
La presencia de la región de carga espacial hace que se establezca una diferencia de
potencial entre las regiones n y p que denotaremos V0. Por tanto la energía potencial de un electrón
en reposo situado dentro de la región p es superior a la de un electrón en reposo situado dentro de la
región n en una cantidad igual a qV0. Lo mismo puede afirmarse de un hueco en reposo en la zona n
respecto a la zona p. Sin embargo, puesto que el estado del sistema es de equilibrio térmico, el nivel
de Fermi Ef debe ser el mismo en todo el semiconductor. Estas consideraciones permiten describir
las bandas de energía del semiconductor tal como se muestra en la Figura 34. La curvatura del
diagrama de bandas está provocada, precisamente, por la región de carga espacial que hace que la
energía de un electrón situado en el mínimo de la banda de conducción o la de un hueco situado en
el máximo de la banda de valencia, vayan cambiando a medida que se atraviesa esta zona. El salto
energético que hay desde la zona difusiva n hasta la zona difusiva p es qV (x).
71
Figura 33: Región de carga espacial.
RN,p
-
p
A
-
metal
RCE
-
n
K
-
-
V(x)
-
V0
-xp
0
Ef
Evp
qV0
Ef
+
Evn
φmn
+
+
x
qV(x)
Ecn
+ +
+ +
+ +
+
φmp
Ecp
RN,n
-xp
x
xn
xn
Figura 34: (Izquierda) Regiones neutras p y n (R.N. p y R.N. n) y región de carga espacial (RCE), y las
diferentes caídas de tensión en la RCE. (Derecha) Bandas de energía, curvadas en la RCE por efecto del campo
en la misma, y diferencias de energía potencial en las diferentes regiones.
72
El valor del potencial de contacto interno en equilibrio térmico, V0, se determina
fácilmente a partir de las concentraciones de los portadores (electrones o huecos) en equilibrio a
ambos lados de la unión, lejos de la región de carga espacial:
Ecuación 43. Concentraciones de electrones a ambos lados de la unión
nn 0 = U c e
−
n p0 = U c e
−
Ec − E f
n
kT
Ec p − E f
kT
Operando con estas dos expresiones se llega fácilmente a:
Ecuación 44
V0 =
Ec p − Ecn
q
=
kT nn 0
ln
q
np0
Si ahora se tiene en cuenta que np0 · pp0 = ni2 y si suponemos que el semiconductor está
fuertemente dopado (nn0 ≅ Nd y pp0 ≅ Na) se deduce:
Ecuación 45. Potencial de contacto de una unión pn abrupta.
V0 = VT ln
Nd Na
kT
; VT =
2
q
ni
siendo VT el potencial equivalente de temperatura y Nd y Na las concentraciones de
impurezas en el lado n y p, respectivamente. Para el silicio, temperatura ambiente y valores
prácticos de las concentraciones (VT = 0.025V, Nd = Na = 1016cm-3 y ni = 1.5x1010cm-3), el
potencial de contacto toma el valor V0 = 0.67V.
Si la unión pn se conecta al exterior mediante dos terminales metálicos se obtiene un
dispositivo electrónico que recibe el nombre de diodo (Figura 34). El terminal conectado al
semiconductor p recibe el nombre de ánodo (A en la figura) y el terminal en el lado n se llama
cátodo (K en la figura). La unión de un metal y un semiconductor recibe el nombre de contacto
73
óhmico, por su presencia aparecen las caídas de potencial φmp y φmn mostradas en la figura y desde
el punto de vista eléctrico se comportan como dos fuentes de tensión constantes con el tiempo23.
Las características eléctricas del diodo dependen de los fenómenos físicos que ocurren en la RCE y
las regiones adyacentes a ésta. Por ello, en este capítulo estudiaremos exclusivamente estos
fenómenos. Por último, hay que decir que por la ley de las tensiones de Kirchoff se verifica que
φmn + V0 + φmp = 0 .
6.2
LA UNIÓN P-N POLARIZADA
A continuación se va a examinar lo que ocurre cuando se aplica una diferencia de
potencial entre los extremos de la unión (Figura 35). Las regiones de carga espacial, puesto que están
vacías de portadores de carga, tienen una resistividad mucho más alta que el resto del
semiconductor (regiones neutras). Como consecuencia, la tensión aplicada desde el ánodo al cátodo
(VD en la Figura 35) cae, principalmente, en esta región. Si VD es positiva se dice que el diodo está
polarizado en directa. Por efecto de esta tensión la energía potencial de los electrones del lado n
aumenta respecto de los del lado p y la barrera de potencial que separa ambos lados se reduce al
nuevo valor de q (V0 -VD). Si la tensión VD es negativa se dice que el diodo está polarizado en
inversa. En este caso la energía potencial de los electrones del lado n disminuye respecto de la
energía potencial de los electrones del lado p y la barrera potencial aumenta al valor q (V0 +VR).
En la Figura 35 se muestran también los flujos de portadores que atraviesan la RCE. Por
difusión los portadores se mueven desde las regiones donde son mayoritarios a las regiones donde
son minoritarios, esto es, electrones desde n a p y los huecos desde p a n. Por el contrario, el campo
eléctrico de la RCE genera flujos de portadores desde las regiones donde son minoritarios a las
regiones donde son mayoritarios. En equilibrio térmico (VD = 0) el flujo de arrastre de uno de los
portadores se cancela con el flujo de difusión del mismo portador, siendo la corriente neta igual a
cero. En el caso de la polarización directa disminuye la barrera de potencial que retiene a los
23
En un tema posterior se estudiarán las uniones metal-semiconductor y se verá como también pueden presentar
comportamientos eléctricos diferentes a los descritos aquí.
74
portadores mayoritarios en sus respectivas regiones y se produce un aumento muy grande24 de las
corrientes de difusión. En polarización directa la corriente desde el ánodo al cátodo puede ser
muy grande. Por el contrario, en polarización inversa se produce un aumento de la barrera de
potencial y las corrientes de difusión se pueden hacer tan pequeñas que a efectos prácticos pueden
considerarse nulas. Si además consideramos que los flujos son pequeños en equilibrio térmico y
que los flujos de arrastre no dependen25 del valor la tensión VD, en polarización inversa la
corriente neta desde el cátodo al ánodo es producida sólo por los flujos de arrastre, siendo
casi constante y muy pequeña.
En resumen, el comportamiento de la unión es muy distinto dependiendo de que ésta se
polarice en directa o en inversa. Si se polariza directamente, el dispositivo es un excelente
conductor de la electricidad, mientras que si se polariza inversamente su resistencia es muy
elevada.
En la Figura 35 se han representado también los niveles de Fermi. Para el caso de equilibrio
térmico existe un único nivel de Fermi en todo el sistema. Sin embargo, cuando la unión pn se
polariza (VD distinto de cero) hay que distinguir entre los cuasiniveles de Fermi de huecos y
electrones. A lo largo de este capítulo consideraremos las hipótesis de neutralidad de carga
(Δnp(x)=Δpp(x) y Δpn(x)=Δnn(x) ) y de inyección débil. Esta última nos dice que los excesos de
portadores minoritarios son muy pequeños respecto de las concentraciones de portadores
mayoritarios en equilibrio térmico. Por ejemplo, en las regiones neutras se pueden hacer las
siguientes aproximaciones:
De la Ecuación 46 podemos concluir que las concentraciones de mayoritarios son iguales a
las que habría en equilibrio térmico y que los respectivos cuasiniveles de Fermi permanecen a la
misma distancia de los extremos de las bandas, es decir, el cuasinivel de Fermi de los electrones Fn
24
Se comprobará en este capítulo que los flujos difusivos crecen exponencialmente con la tensión aplicada
( φ d ∝ eVD / VT )
25
Aunque el campo eléctrico puede hacerse muy grande en la RCE cuando el dispositivo está en polarización inversa,
el número de portadores por unidad de tiempo que cruza esta región es constante e igual a la tasa de generación de los
portadores minoritarios que se generan térmicamente en la en las regiones adyacentes a la RCE (es decir, en la
regiones neutras más próximas a la RCE que una longitud de difusión). Sin embargo, como se verá posteriormente, la
longitud de la RCE aumenta cuanto más polarizado en inversa esté el dispositivo y el número de portadores generados
75
está a la misma distancia de EC en la región neutra n y el cuasinivel de Fermi de los huecos Fp está
a la misma distancia de EV en la región neutra p. Este hecho se ilustra en la Figura 35. Por el
contrario las concentraciones de los portadores minoritarios y sus respectivos cuasiniveles de Fermi
pueden variar respecto de sus valores de equilibrio térmico. Los cuasiniveles de Fermi de los
portadores minoritarios no se representan en la Figura 35.
Ecuación 46. Concentraciones de mayoritarios en las regiones neutras.
p p ( x) = p p 0 + Δn p ( x) ≈ p p 0
nn ( x) = nn 0 + Δpn ( x) ≈ nn 0
VD=0V
p
VD>0V
n
p
VD= -VR<0V
n
p
n
Ecp
q (V0-VD)
q V0
Fp
q VD
Fn
q (V0+VR)
Fp
Ef
Fn
-xp xn
φdp
φdp
φdp
φap
φap
φap
φdn
φdn
φdn
φan
φan
φan
(a)
(b)
(a)
Figura 35: Bandas de energía y flujos de portadores a través de la RCE en a) equilibrio térmico, b) polarización
directa y c) polarización inversa. Los subíndices de los flujos indican: “d” difusión, “a” arrastre, “p” flujo de
huecos y “n” flujo de electrones.
térmicamente por unidad de tiempo en la RCE aumentará ligeramente. La consecuencia es que la corriente en inversa
aumenta ligeramente con la polarización inversa.
76
En la mayor parte de las ocasiones se puede suponer que la posición de los cuasiniveles de
Fermi varía poco dentro de la región de carga espacial. Esta suposición es razonable puesto que la
región de carga espacial es muy estrecha, por lo que la distribución de energía de los portadores
(definida por la posición de los cuasiniveles de Fermi) no se altera apreciablemente durante su paso
por dicha zona. Esta hipótesis lleva a una condición de contorno en las concentraciones de
portadores que será de gran utilidad más adelante. Remitiéndonos de nuevo a la Figura 35 (en
particular a los niveles de energía en las figuras (a) y (b)) se observa que Fn=qVD+Ef y podemos
desarrollar
Ecuación 47. Concentración de electrones en la interfaz RCE-RN,p
n p (− x p ) = U c ⋅ e
−
Ecp − Fn
kT
Ecp − E f
⎛
−
⎜
= U c ⋅ e kT
⎜
⎝
⎞ V /V
⎟ ⋅ e D T = n ⋅ eVD / VT
p0
⎟
⎠
Siguiendo un razonamiento similar, las concentraciones de huecos a ambos lados están
relacionadas por:
Ecuación 48. Concentración de huecos en la interfaz RCE-RN,n
pn ( xn ) = pn 0 ⋅ eVD / VT
Si bien la Ecuación 47 y la Ecuación 48 han sido calculadas mediante la comparación de los
niveles energéticos de la unión en equilibrio térmico y polarizada en directa, ambos resultados se
pueden aplicar para cualquier estado de polarización del dispositivo.
6.3
CARACTERÍSTICA ESTÁTICA DEL DIODO DE UNIÓN
6.3.1 Procedimiento de cálculo
Como se ha discutido en el apartado anterior, los portadores se mueven tanto por arrastre
como por difusión en la RCE. Sin embargo, el transporte de portadores minoritarios en las regiones
neutras es sólo difusivo, tal y como se explicó en el Capítulo 5. Sin pérdida de generalidad
centraremos nuestra discusión en la región neutra tipo n (RNn) para el caso de polarización directa.
Debido al aumento de los flujos difusivos en la RCE se produce una inyección de huecos en la
77
RNn. Estos portadores se difunden desde la superficie de inyección (interfaz RCE-RNn) hacia el
interior de la RNn. Por tanto, la corriente total producida por la inyección de huecos se puede
calcular evaluando sólo la componente de difusión en la superficie de inyección de huecos de la
RNn (ver Figura 36).
Ecuación 49. Corriente total de huecos que circula por un diodo.
−
−
+
I p ( xn ) = q ⋅ A ⋅ (φdp ( xn ) + φap ( xn )) = q ⋅ A ⋅ φdp ( xn )
donde A es la sección transversal de la unión pn.
Superficie de inyección de electrones
Superficie de inyección de huecos
φdp(xn )
+
-
-φdn(-xp )
RN tipo p
-φdn(-x p-)
-φn(-x p+)
RCE
+
-φap(x n-)
φan(x p+)
φp(x n-)
φdp(x n+)
RN tipo n
x=xn
x=-xp
Figura 36. Inyección de huecos en la región neutra tipo p.
Siguiendo el mismo procedimiento en la superficie de inyección de electrones, esto es, en
la superficie de separación entre la RCE y la región neutra tipo p (RNp) situada en x = -xp, se
obtiene que la corriente total producida por los electrones toma el valor
Ecuación 50. Corriente total de electrones que circula por el diodo.
+
+
−
I n (− x p ) = (− q) ⋅ A ⋅ (φ dn ( x p ) + φ an ( x p )) = (−q ) ⋅ A ⋅ φdn ( x p )
La corriente total que circula por el diodo puede ahora evaluarse sumando ambas
expresiones26
26
En rigor esta expresión es sólo aproximada pues las corrientes totales de electrones y huecos deberían evaluarse en la
misma posición y no en dos puntos –xp y xn diferentes. La aproximación es buena debido a que los procesos de
generación térmica y recombinación en la RCE tienen poca importancia. Dicho de otra manera, todo hueco inyectado
en la RNn a través de la superficie RCE-RNn a atravesado también la superficia RNp-RCE si no hay generación y
recombinación en la RCE.
78
Ecuación 51. Corriente total por el diodo en función de los flujos de minoritarios.
[
+
−
I D = I p ( xn ) + I n (− x p ) = q ⋅ A ⋅ φdp ( xn ) − φdn ( x p )
]
Esta fórmula expresa la densidad de corriente total que atraviesa el dispositivo como suma
de dos densidades de corriente asociadas a dos flujos de portadores minoritarios. Nótese que los
electrones son minoritarios en la región correspondiente a valores de x negativos y que los huecos
son portadores minoritarios en la zona donde x toma valores positivos. El motivo por el que se ha
expresado la densidad de corriente total de esta manera es sencillo: El flujo de los portadores
minoritarios es muy fácil de evaluar siempre que se cumplan las hipótesis de inyección débil y
fuerte dopado. Si se verifican ambas hipótesis el campo interno prácticamente no afecta al flujo de
minoritarios. Además, puesto que prácticamente toda la diferencia de potencial aplicada
externamente cae en la región de carga espacial, se puede suponer que para x > xn+ y para x < -xp–
el campo eléctrico aplicado es prácticamente nulo, por lo que el flujo de los portadores minoritarios
es casi exclusivamente un flujo difusivo. En cambio, el flujo de portadores mayoritarios es muy
difícil de calcular ya que previamente habría que calcular el campo eléctrico interno, puesto que
éste influye de un modo importante sobre ellos.
6.3.2 Característica estática I-V
En la lección anterior se probó que un flujo puramente difusivo de portadores provocaba
un perfil exponencial de portadores en desequilibrio. En la Figura 37 se muestran los perfiles típicos
de los portadores minoritarios y mayoritarios de una unión p-n. Los perfiles de portadores
mayoritarios se obtienen, sencillamente, aplicando la hipótesis de neutralidad de carga. Nótese que
existe una discontinuidad en la concentración de ambos tipos de portadores, es decir, que n(-xp-) y
p(-xp-) no son iguales a n(xn+) y p(xn+), respectivamente. Esto no debe extrañar, puesto que entre los
puntos en los que se evalúan las concentraciones está la región de carga espacial. La dependencia
de la concentración de portadores frente a la coordenada longitudinal dentro de la región de carga
espacial no va a evaluarse puesto que no es necesario para determinar la corriente que atraviesa el
dispositivo.
79
RNp
p(x)=ppo+Δp(x)
n(x)=nno+Δn(x)
ppo=Na
RNn
ppo=Na
p(x)=ppo+Δp(x)
nno=Nd
RNp
nno=Nd
n(x)=nno+Δn(x)
RNn
p(x)=pno+Δp(x)
n(x)=npo+Δn(x)
pno=ni2/Nd
pno=ni2/Nd
2
npo=ni /Na
-xp
2
npo=ni /Na
n(x)=npo+Δn(x)
xn
x
-xp
p(x)=pno+Δp(x)
xn
x
a) polarización inversa
a) polarización directa
Figura 37: Perfiles de las concentraciones de portadores.
Las expresiones analíticas de los portadores minoritarios de carga que se evaluaron en el
Capítulo 5 son:
Ecuación 52. Concentraciones de los excesos de portadores minoritarios
( )
Δp( x ) = Δp (x )e
Δn( x ) = Δn − x p e
−
+
−
x+ x p
Ln
si
x ≤ −xp
si
x ≥ xn
x − xn
Lp
n
Por lo que resulta inmediato evaluar los flujos φ dp (xn+) y φ dn (-xp-):
Ecuación 53. Flujos de portadores que atraviesan la unión
( )
( )
dΔp D p ⋅ Δp xn
= − Dp
=
dx
Lp
(
)
φ p xn
+
φn − x p
−
+
(
D ⋅ Δn − x p
dΔn
= − Dn
=− n
dx
Ln
La corriente total que atraviesa el dispositivo es:
−
)
80
Ecuación 54
( )
(
⎡ D Δp xn + Dn Δn − x p −
ID = q ⋅ A ⋅ ⎢ p
+
Lp
Ln
⎢⎣
)⎤⎥
⎥⎦
Se observa que para evaluar esta corriente basta con calcular el exceso de la concentración
de portadores minoritarios en desequilibrio en ambas orillas de la región de carga espacial. Esto es
fácil de hacer si se recuerda que los excesos de portadores se definieron como Δp(xn+)=p(xn+)-pn0 y
Δn(-xp-)=n(-xp-)-np0, donde np0 y pn0 son las concentraciones de portadores minoritarios en
equilibrio, que son perfectamente conocidas ya que dependen sólo de la concentración intrínseca,
de los dopados de las regiones n y p y de la temperatura. Los valores de las concentraciones p(xn+)
y n(-xp-) ya fueron calculados en la Ecuación 47 y la Ecuación 48. La expresión final de la corriente
total que atraviesa el dispositivo es:
Ecuación 55. Característica estática I/V de un diodo.
⎞
⎛ qVD
⎡ Dp
⎡ D p ni 2 D n ni 2 ⎤
⎤
D
I D = I 0 ⋅ ⎜ e kT − 1⎟; I 0 = q ⋅ A ⋅ ⎢
p n0 + n n p 0 ⎥ = q ⋅ A ⋅ ⎢
+
⎥
⎟
⎜
Ln
Ln N a ⎥⎦
⎢⎣ L p
⎢⎣ L p N d
⎦
⎠
⎝
I0 recibe el nombre de corriente inversa de saturación y no depende de la tensión de
polarización VD, sino que es una función exclusiva de los dopados, del tipo de semiconductor y de
la temperatura.
Figura 38: Curva característica estática del diodo.
81
En la Figura 38 se ha representado la característica estática de un diodo de unión. Se
observa en ella que, cuando el dispositivo se polariza directamente, la corriente que lo atraviesa
crece exponencialmente a medida que sube la tensión de polarización. Si el dispositivo se polariza
inversamente circula una corriente negativa que toma un valor muy pequeño. De la Ecuación 55 se
deduce que con tensiones de polarización negativas pequeñas (del orden de 3 o 4 veces kT), la
corriente es constante y próxima a -I0.
Nótese que la corriente total del diodo puede descomponerse como suma de dos términos.
La corriente generada por la difusión de huecos en la RNn
Ecuación 56. Término de corriente por difusión de huecos en la RNn.
I D( p) = q ⋅ A ⋅
⎞
⎛ qVD
pn 0 ⋅ ⎜ e kT − 1⎟
⎟
⎜
Lp
⎠
⎝
Dp
y la corriente generada por difusión de electrones en la RNp
Ecuación 57. Término de corriente por difusión de huecos en la RNp.
I D (n)
D
= q ⋅ A ⋅ n n p0
Ln
⎞
⎛ qVD
⋅ ⎜ e kT − 1⎟
⎟
⎜
⎠
⎝
6.3.3 Corrientes de generación y recombinación en la RCE
En la obtención de la característica estática I-V del diodo se han ignorado las corrientes de
generación y recombinación en la RCE. Si se genera un par electrón-hueco en la RCE, el campo
eléctrico rápidamente arrastra al electrón hacia la RNn y al hueco hacia la RNp. Por tanto se genera
una corriente equivalente a una carga positiva que atravesara la RCE desde el lado n al lado p. Por
el contrario, si se recombinan en la RCE un electrón inyectado desde n con un hueco inyectado
desde p se generaría una corriente equivalente a una carga positiva que atravesara la RCE desde el
lado p al lado n.
Sabemos que bajo las condiciones de equilibrio térmico la generación térmica de
portadores es igual a la recombinación, es decir, go = γr·no·po. Por tanto, las corrientes de
generación se cancelan con las de recombinación. Sin embargo, si la unión está polarizada en
82
directa a través de la RCE están fluyendo más portadores por difusión que lo harían en equilibrio
térmico. Por ello, el producto de las concentraciones es mayor que en el caso de equilibrio (n·p >
no·po) y las corrientes de recombinación son mayores que las de generación. Puede demostrarse que
la corriente de recombinación en la RCE es proporcional al término n i ·e VD /( 2⋅VT ) a diferencia de las
corrientes por difusión de minoritarios en las regiones neutras, calculadas anteriormente, que son
2
proporcionales al término n i ·e VD / VT . Por el contrario, las corrientes de generación en la RCE son
mayores que las de recombinación en polarización inversa.
Para tener en cuenta estas corrientes, la característica estática dada de la Ecuación 55 se
modifica por la expresión
Ecuación 58. Característica I-V modificada
⎞
⎛ ηV·VD
I D = I 0 ⋅ ⎜ e T − 1⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
donde η recibe el nombre de coeficiente de emisión. Para diodos de silicio η toma el valor
de 2 si la corriente es pequeña (domina la corriente de recombinación de la RCE respecto de las
corrientes de difusión en las regiones neutras) y de 1 si la corriente es grande. Para el germanio
siempre toma el valor de la unidad.
6.3.4 Dependencia de la característica con la temperatura
La corriente inversa de saturación de un diodo depende fuertemente de la temperatura a
través de la concentración intrínseca ( I o ∝ ni ∝ T 3 ⋅ e − EG / kT donde ∝ representa proporcionalidad).
2
De la Ecuación 55 es inmediato comprobar que
1 dI o 3 E g 1
. En la práctica se comprueba que
= +
I o dT T kT T
tanto para el silicio como el germanio la expresión anterior toma el valor de 0.07 K-1 a temperatura
ambiente. Es decir, la corriente inversa de saturación aumenta un 7%
por cada grado de
incremento en la temperatura. Esta última afirmación es equivalente a decir que la corriente inversa
de saturación se duplica si la temperatura aumenta 10 ºC
83
Ecuación 59. Dependencia de Io con T.
I o (T ) = I o (T1 ) ⋅ 2(T −T1 ) / 10
donde T1 es el valor de temperatura escogido de referencia. La corriente de un diodo
también depende de la temperatura por el argumento de la exponencial de la Ecuación 55.
En muchos casos prácticos la corriente del diodo es constante e impuesta por un circuito
externo. Un incremento de la temperatura causa que Io aumente y como la corriente del diodo es
constante se produce una disminución de la tensión que lo polariza. A temperatura ambiente y en
polarización directa el cambio de VD es aproximadamente –2.5mV/ ºC.
6.3.5 Corrientes de portadores en las regiones neutras
La corriente total que circula a través del dispositivo es, en cualquier sección transversal y
en particular en las regiones neutras, la suma de dos componentes distintas: la corriente debida a los
portadores mayoritarios de carga y la debida a los portadores minoritarios. Es decir, ID =Idp(x)+In(x)
en la RNn y ID =Idn(x)+Ip(x) en la RNp, donde In(x) y Ip(x) son las corrientes de portadores
mayoritarios en sus respectivas regiones. Las corrientes de arrastre de minoritarios se pueden
despreciar en las RNs y las corrientes de minoritarios se determinan fácilmente a partir de las
expresiones calculadas en apartados anteriores.
Ecuación 60. Perfiles de las corrientes de minoritarios en las RNs.
−
D ⋅ Δp( x )
D
dΔp
+
I dp ( x) = − q ⋅ A ⋅ Dp ⋅
= q ⋅ A⋅ p
= q ⋅ A ⋅ p ⋅ Δp xn ⋅ e
dx
Lp
Lp
( )
I dn = q ⋅ A ⋅ Dn ⋅
dΔn
D ⋅ Δn( x )
D
−
= q ⋅ A⋅ n
= q ⋅ A ⋅ n ⋅ Δn − x p ⋅ e
dx
Ln
Ln
(
)
x − xn
Lp
si
x ≥ xn
si
x ≤ −xp
x+ x p
Ln
Tanto las corrientes de mayoritarios como las de minoritarios dependen de la coordenada
longitudinal mientras que su suma es independiente de ésta, siendo el valor de esta suma la
cantidad dada por la Ecuación 55. Las componentes debidas al flujo de mayoritarios se pueden
calcular restándole a la corriente total las cantidades de minoritarios dadas en la Ecuación 60. Se deja
como ejercicio al alumno que determine las expresiones analíticas de estas corrientes tanto en la
zona n como en la zona p.
84
ID
ID
ID
Ip(x)= Idp(x)+ Iap(x)
In(x)= Idn(x)+ Ian(x)
Mayoritarios
RNp
RCE
RNn
Minoritarios
Idp(x)
Idn(x)
-xp
xn
x
Figura 39: Componentes de corriente del diodo. Las corrientes de minoritarios están dadas en la Ecuación 60.
La representación gráfica de ellas se muestra en la Figura 39 para el caso de una
polarización directa. Nótese que conocidos los perfiles de los portadores minoritarios en las
regiones neutras (Δn(x) = Δp(x)) es inmediato calcular las corrientes de difusión de los portadores
mayoritarios. Conocidas éstas y la corriente total de mayoritarios, se pueden calcular también las
corrientes de arrastre y el campo eléctrico interno en las regiones neutras. De esta manera el
análisis de las regiones neutras es completo.
Remitiéndonos a la Figura 37 observamos que si nos alejamos varias longitudes de difusión
de la RCE la derivada de los perfiles de los portadores se hace cero. Por tanto, también se anulan
las corrientes de difusión. Por ello, en las regiones neutras, a varias longitudes de difusión de la
RCE, las únicas corrientes existentes son debidas al arrastre de mayoritarios.
6.3.6 Breve ejemplo de polarización
Supongamos que tenemos el circuito de la Figura 40, donde aparece una unión pn
conectada en serie con una resistencia R y una fuente V(t) que, con la referencia que se indica en el
dibujo, tiene un valor de tensión E positivo, constante, y mucho mayor que el potencial de contacto
de la unión V0. En ese caso la fuente de tensión estará elevando el potencial de la zona p de la
unión, de manera que ésta se encontrará polarizada en directa (ver Figura 35). Gracias al elevado
valor de la fuente, la caída de tensión que aparecerá en la unión será despreciable frente a E. Por
85
tanto, se puede afirmar que, de forma aproximada, toda la tensión E de la fuente cae en la
resistencia R. La corriente ID que recorrerá la unión será aproximadamente I D =
E
, positiva tal y
R
como corresponde con una polarización directa.
p+
V(t)
ID
n
E/R
E
R
ID
t
V(t)
Figura 40: Unión pn polarizada en directa.
En el caso de que la fuente V(t) adopte el valor –E (con E > 0), la zona p de la unión estará
disminuyendo su potencial respecto a la n. Tal y como se recoge en la Figura 35, esta situación se
corresponde con una polarización inversa, y en este caso la corriente del diodo ID se puede
aproximar por cero. Toda la tensión de la fuente, -E, la soportará la unión pn mientras que en la
resistencia la caída será cero. La
p+
R
V(t)
ID
n
ID
0
t
-E
V(t)
Figura 41: Unión pn polarizada en inversa.
86
6.4
POTENCIALES Y CAMPOS EN LAS CERCANÍAS DE UNA UNIÓN P-N
En la Figura 42 se muestran las distribuciones de densidad de carga eléctrica, campo y
potenciales eléctricos en una unión pn polarizada en directa.
ξ(x)
V0 -VD
-
p
+
V(x)
-
-
+
+ + +
n
+ + +
ρ
q · Nd
-xp
xn
x
-q · Na
-xp
ξ
xn
x
ξ (x) =
1
x
ε s ∫−x
ρ(u) ⋅ d
p
-ξ o
V(x)
V0 -VD
-xp
xn
V ( x) = − ∫
x
−xp
ξ (u ) ⋅ du
x
Figura 42: Carga, campo y tensión en la RCE en una unión pn directamente polarizada.
La densidad de carga eléctrica en un SC fuertemente extrínseco, tipo n y con todas las
impurezas ionizadas, puede representarse como ρ(x)=q(Nd+p(x)-n(x)). Si en la región del
semiconductor considerada existe un campo eléctrico ξ muy intenso los portadores de carga son
barridos (desalojados), quedando sólo la carga asociada a las impurezas donadoras ionizadas. Por
87
ello ρ(x)≈ q Nd. Esta
aproximación recibe el nombre de aproximación de deserción. Esta
aproximación se puede enunciar en un diodo como: en la RCE las concentraciones de portadores
son tan pequeñas comparadas con las concentraciones de impurezas que se pueden considerar
despreciables. La densidad de carga neta en la RCE del lado n es dada por la expresión anterior.
Procediendo de forma similar para la RCE del lado p concluimos que ρ(x)≈ -q Na.
Conocida ρ(x), mediante la aplicación de las leyes de la electrostática es posible calcular
los perfiles del campo y el potencial eléctrico, ξ(x) y V(x), respectivamente, a lo largo de la región
de carga espacial de la unión. Como el campo se obtiene por integración de la densidad de carga
que es constante, su perfil es triangular, con pendiente negativa en el lado p (carga negativa) y
pendiente positiva en el lado n (carga positiva). Debemos notar que en las regiones neutras el
campo es cero. Para determinar el perfil de la tensión integramos el negado del campo que varía
linealmente con la longitud. Este perfil tiene forma parabólica con las ramas hacia arriba en el lado
p y con las ramas hacia abajo en el lado n.
Para caracterizar completamente la RCE debemos conocer las variables xn, xp y ξo, donde
ξo es el valor máximo del campo eléctrico en la RCE. El valor máximo del campo puede
relacionarse con las otras dos variables teniendo en cuenta que es proporcional al área encerrada
entre ρ(x) y el eje horizontal.
Ecuación 61. Campo eléctrico máximo en la RCE.
ξo =
q ⋅ N d ⋅ xn
εs
=
q ⋅ Na ⋅ xp
εs
donde εs es la permitividad eléctrica del semiconductor. También se puede relacionar la
tensión y el campo teniendo en cuenta que la caída de tensión V0 – VD es igual al área encerrada
entre ξ(x) y el eje horizontal.
Ecuación 62. Potencial y campo en la RCE.
V0 − VD =
1
⋅ ( x p + xn ) ⋅ ξ o
2
88
Resolviendo las tres igualdades de la Ecuación 61 y la Ecuación 62 obtenemos la anchura de la RCE a
ambos lados,
Ecuación 63. Anchura de la RCE a ambos lados.
2ε s
Na
(V0 − V D )
q
N d (N a + N d )
2ε s
Nd
(V0 − V D )
xp =
q
N a (N a + N d )
xn =
la anchura total de la RCE,
Ecuación 64. Anchura total de la RCE.
x0 = xn + x p =
⎛
⎞
2ε s
(V0 − VD )⎜⎜ 1 + 1 ⎟⎟
q
⎝ Nd Na ⎠
y el valor máximo del campo eléctrico
Ecuación 65. Valor máximo del campo eléctrico en el RCE.
ξo =
2(V0 − VD )
x0
Nótese que xn, xp y ξo dependen de los niveles de dopado Na y Nd de modo directo y
también a través de V0 tal y como se ve en las ecuaciones anteriores, aunque la dependencia
logarítmica de V0 es mucho más débil que la directa. De las expresiones anteriores se pueden sacar
las siguientes conclusiones:
•
La capa de carga espacial tiene mayor extensión en las regiones de tipo p o tipo n poco dopadas
que en las que están fuertemente dopadas. Para una unión dada, la región de carga espacial se
extiende más dentro de la región de dopado más débil.
•
El valor máximo del campo eléctrico ξo es muy alto en las uniones donde las regiones n y p
están fuertemente dopadas, y mucho más pequeño si una o ambas regiones están débilmente
dopadas.
89
•
A mayor polarización inversa, la anchura de la RCE se hace más grande. La región de carga
espacial puede hacerse muy grande en el lado (p o n) poco dopado de la unión.
•
Para -VD >> V0 ( una gran polarización inversa), la extensión de las regiones de carga espacial
es proporcional a (-VD)1/2.
•
En condiciones de polarización inversa, el campo máximo ξ0 se hace muy grande; a tensiones
altas de polarización inversa, es proporcional a (-VD)1/2.
Las relaciones que se han obtenido en este apartado son bastante aproximadas para las
condiciones de polarización inversa y a tensiones pequeñas de polarización directa. Sin embargo,
no debe esperarse que describan bien lo que ocurre en el dispositivo a tensiones grandes de
polarización directa. En este último caso, se tienen grandes flujos de corriente (la aproximación de
deserción deja de ser válida) y existen caídas de tensión apreciables en las regiones del
semiconductor situadas fuera de la región de carga espacial.
6.5
MECANISMOS FÍSICOS DE RUPTURA EN LAS UNIONES P-N
Si el voltaje de polarización inversa se incrementa suficientemente, se llega a un punto en
el que la corriente de circulación empieza a crecer de un modo repentino y abrupto, tal como se
muestra en la Figura 43.
Este fenómeno se conoce como ruptura y la tensión a la que se produce se denomina
tensión de ruptura del dispositivo. Si éste funciona mucho más allá del punto de ruptura se generará
internamente una gran cantidad de calor, ya que tanto la tensión como la corriente son grandes, por
lo que puede quemarse en un intervalo de tiempo muy corto. Existen dos mecanismos importantes
que producen la ruptura del cristal: la ruptura por efecto túnel (o Zéner) y la ruptura por avalancha.
90
Figura 43: Zona de ruptura (Zener) en característica estática del diodo.
Figura 44: Mecanismo de ruptura en el diodo.
La ruptura Zener se produce en uniones con concentraciones dopantes muy altas. La RCE
es muy angosta, el campo eléctrico de la unión es muy intenso y la magnitud del mismo puede
incrementarse aún más por la aplicación de un voltaje de polarización inversa, como se muestra en
91
la Figura 44. Si el campo eléctrico aplicado, o lo que es lo mismo, la pendiente del diagrama, es lo
suficientemente grande, se consigue que los electrones de la parte superior de la banda de valencia
de la zona p tengan enfrentados a muy poca distancia una gran cantidad de estados libres en la
banda de conducción de la zona n. Como la RCE es muy estrecha, por efecto túnel se produce el
trasvase de electrones desde la banda de valencia de la RNp a la banda de conducción de la RNn.
La corriente así producida es bastante grande. La ruptura Zener se provoca para tensiones inversas
de polarización pequeñas. A mayor dopado de impurezas, menor será la tensión de ruptura.
En el mecanismo de avalancha, los portadores de carga que atraviesan la región de carga
espacial, debido a que son fuertemente acelerados por el intenso campo eléctrico interno, adquieren
suficiente energía cinética entre dos colisiones sucesivas como para generar un par electrón-hueco
tras el choque con la red cristalina. Los electrones y huecos que se generan de esta manera pueden,
a su vez, adquirir la suficiente energía cinética como para crear otros pares, iniciando un proceso
que lleva a intensidades de circulación inversa que pueden ser muy elevadas. Recordamos que el
campo eléctrico en uniones con dopados ligeros es relativamente pequeño. Para provocar la ruptura
por avalancha es necesario, en tal caso, tensiones inversas de polarización muy altas.
En conclusión, si los dopados son altos el mecanismo dominante es la ruptura Zener y
la tensión de ruptura es baja. Por el contrario, para dopados ligeros, la ruptura se produce por
avalancha para tensiones altas.
6.6
EFECTOS CAPACITIVOS DE LA UNIÓN P-N.
6.6.1 Dinámica de la unión
En secciones anteriores se determinó la curva característica estática del diodo (Ecuación 55),
que relaciona la tensión de polarización con la corriente que circula por el dispositivo. Cuando se
integraron las ecuaciones de difusión de los portadores minoritarios en las regiones n y p, se
supusieron condiciones estacionarias (apartado 5.3) de forma que las derivadas parciales con
respecto al tiempo se anulaban (en la Ecuación 39 se anuló el término
dΔp
dt
). Evidentemente, si se
cambia bruscamente la tensión de polarización del diodo, los perfiles de concentración de los
portadores cambian con el tiempo, ya que han de evolucionar de la forma que tenían inicialmente a
92
la que corresponde a la nueva tensión de polarización (capacidad de difusión). También cambia con
el tiempo la anchura de la región de carga espacial (capacidad de transición). Estos procesos tienen
una cierta dinámica, es decir, transcurre un cierto intervalo de tiempo hasta que se llega a la nueva
situación estacionaria. Mientras tanto, al término de corriente estacionaria hay que sumar otros
términos de corriente de carácter capacitivo. Por tanto, si se modifica la tensión de polarización del
diodo con el tiempo, la característica estática puede no describir las variaciones de la corriente de
circulación con el tiempo. La describirá de una forma bastante aproximada sólo si el tiempo
característico de variación de la tensión de polarización es muy grande comparado con el tiempo
asociado a la dinámica del diodo.
6.6.2 Capacidad de Transición
Los resultados del apartado 6.4 sugieren claramente que la unión p-n se comporta de modo
análogo a un condensador de placas paralelas. Se tienen dos capas de carga espacial que contienen
cantidades iguales y opuestas de carga, y la cantidad de carga aumente conforme se incrementa la
tensión de polarización inversa. La carga almacenada es la siguiente:
Ecuación 66. Carga total neta en cualquiera de los lados de la RCE.
QT = qN d Axn = qN a Ax p = A 2qε s (V0 − VD )
Na Nd
(N a + N d )
Un pequeño incremento del voltaje aplicado ΔVD se ve acompañado por un cambio ΔQ de
la carga almacenada que genera una corriente que se le suma a la calculada para el caso estático
(Ecuación 55). El incremento de corriente toma el valor
Ecuación 67. Corriente de un diodo debida a la capacidad de transición.
iT = −
dQT
dQ dv
dv
= (− T ) ⋅ D = CT ⋅ D
dt
dvD
dt
dt
93
donde CT recibe el nombre de capacidad de transición27,
Ecuación 68. Capacidad de transición de una unión abrupta.
CT =
A
2
2 qε s
NaNd
(V0 − V D ) (N a + N d )
=εs ⋅
A
xo
De acuerdo con esta expresión, se llega a la conclusión de que las uniones en las que tanto
la región n como la p están fuertemente dopadas, tendrán una capacidad muy alta, en tanto que si la
región n o la p, o bien ambas, están poco dopadas, la capacidad será mucho menor. Si las tensiones
de polarización inversa sobrepasan notablemente el potencial de contacto interno, se tiene que CT
varía proporcionalmente con (-VD)-1/2. Esta variación de la capacidad es característica de las
uniones abruptas. Las uniones graduales presentan una capacidad por unidad de área que depende
más lentamente de la tensión inversa aplicada. Nótese que la segunda igualdad de Ecuación 68 nos
recuerda la expresión de la capacidad de un condensador de placas planas si identificamos A con el
área de las placas y xo con el grosor del óxido.
Para rectificadores de unión abrupta, la medida de la capacidad permite medir de una
manera sencilla el potencial de contacto interno V0. Operando con la Ecuación 68 se llega a:
qε s A2 N a N d
V0 − VD =
2
2CT ( N a + N d )
La capacidad CT se puede medir experimentalmente. Si se representa gráficamente 1/CT2
en función del voltaje inverso –VD los puntos medidos deben estar sobre una línea recta. Si
extrapolamos la línea recta a la región de polarización directa, el punto de cruce con el eje de
tensiones es el potencial de contacto V0.
6.6.3 Capacidad de difusión
En presencia de polarización externa aparecen excesos de portadores minoritarios en las
regiones neutras. Estos podrán ser más grandes, incluso superar en varios ordenes de magnitud, a la
27
A diferencia de un condensador ideal, la capacidad de transisción no es constante, sino que depende del valor de la
tensión aplicada en el diodo
94
correspondiente concentración en equilibrio térmico. Conocidas las concentraciones de los excesos
de minoritarios dadas en la Ecuación 52 es posible calcular la suma total de carga en las regiones
neutras debidas a ellos,
Ecuación 69. Cargas de los portadores en exceso en las RNs.
+∞
Q p = q ⋅ A ⋅ ∫ Δp ( x) ⋅ dx = q ⋅ A ⋅ L p ⋅ pno ⋅ (eVD / VT − 1) = τ p ⋅ I D ( p )
xn
−xp
Qn = q ⋅ A ⋅ ∫
−∞
Δn( x) ⋅ dx = q ⋅ A ⋅ Ln ⋅ n po ⋅ (eVD / VT − 1) = τ n ⋅ I D ( n )
donde ID(p) e ID(n) son las corrientes por difusión de minoritarios en sus respectivas RNs
según vienen dadas en la Ecuación 56 y la Ecuación 57, respectivamente. La segunda igualdad de
cualquiera de las ecuaciones de Ecuación 69 tiene un sentido físico muy claro. Por ejemplo, en la
RNn tenemos que la corriente por inyección de huecos ID(p) es igual a la carga total de huecos Qp
que se recombina en promedio cada intervalo temporal de duración τp, es decir, ID(p) = Qp/τp. La
corriente total que circula por el diodo podría escribirse también como ID = (Qp /τp)+(Qn /τn).
La Ecuación 69 pone de manifiesto que los excesos de portadores almacenados en las
regiones neutras dependen de la polarización de la unión. Si la tensión cambia temporalmente, las
cargas Qn y Qp también lo hacen, y a la corriente estática que suministra los portadores minoritarios
que se recombinan en las regiones neutras hay que sumar un término adicional que suministre los
portadores necesarios para los cambios ΔQn y ΔQp. Esta corriente tiene carácter capacitivo y su
valor es
Ecuación 70. Término de corriente debido a la capacidad de difusión.
iDif =
dQn dQ p dQn dvD dQ p dvD
dv
+
=
⋅
+
⋅
= CD ⋅ D
dt
dt
dvD dt
dvD dt
dt
donde CD recibe el nombre de capacidad de difusión y su valor es
Ecuación 71. Capacidad de difusión de una unión pn abrupta.
V
qL n ⎞ D
⎛ qL p
dQn dQ p
CD =
+
= A ⋅ ⎜⎜ p n 0 + n p 0 ⎟⎟ ⋅ e VT
dvD dvD
VT ⎠
⎝ VT
95
6.6.4 Corriente total por un diodo
Si la tensión aplicada entre los terminales de un diodo varía temporalmente, la corriente
que circula por el mismo es la suma de tres componentes: el término estático dado en la Ecuación 55,
el término debido a la capacidad de transición dado en la Ecuación 67 y el término debido a la
capacidad de difusión dado en la Ecuación 70.
Ecuación 72. Corriente no estática del diodo.
iD (t ) = I D + CT ⋅
dv
dvD
+ CD ⋅ D
dt
dt
A diferencia de un condensador ideal las capacidades del diodo dependen de la tensión
aplicada al mismo (Figura 45). La capacidad de transición depende de la inversa de la raíz cuadrada
de la tensión, varía suavemente con la tensión y es dominante en polarización inversa (hay muy
pocos portadores minoritarios en exceso). La capacidad de difusión depende exponencialmente de
la tensión y es mucho más grande que CT en polarización directa (hay muchos portadores
minoritarios en exceso), siendo la primera de ellas dominante. En polarización inversa ocurre lo
contrario, siendo la capacidad de transición mucho mayor que la de difusión.
CD
CT
VD
Figura 45: Capacidades de difusión y transición en función de la tensión de
polarización del diodo.
96
6.7
RESPUESTA EN CONMUTACIÓN Y TIEMPO DE ALMACENAMIENTO
A continuación se estudia cualitativamente el comportamiento dinámico del diodo en una
conmutación. Es decir, cuando el diodo es forzado a cambiar de forma instantánea desde un estado
de conducción a otro de corte y viceversa. La Figura 46 muestra el caso en el que la fuente de
tensión que polariza la unión pn cambia bruscamente desde un valor positivo E a otro negativo –E
en t = 0.
Figura 46: Onda cuadrada sobre una unión p-n.
Cuando el diodo funciona en conmutación, la tensión de polarización cambia de un valor
positivo a uno negativo bruscamente con objeto de hacer pasar al diodo de un estado de conducción
al de corte. Lo que se pretende saber es cómo evoluciona la corriente del diodo con el tiempo. Para
ello hay que conocer qué ocurre con los perfiles de los portadores minoritarios. Se va a suponer que
la región p está mucho más dopada que la n, por lo que, en primera aproximación, sólo hay que
considerar la distribución de huecos en la zona n para determinar la evolución de la corriente con el
tiempo.
Los cambios en la distribución de huecos en la región n se verifican por difusión. Para que
cambie la distribución de huecos correspondiente a una polarización directa a otra en inversa
(Figura 37), el exceso de huecos en desequilibrio junto a la unión debe pasar de un valor positivo a
uno negativo, por lo que existe un paso por cero (Δpn = 0) . Dependiendo de que la concentración
de minoritarios sea mayor o menor que cero el comportamiento dinámico del diodo se puede
dividir en dos fases distintas, I y II, siendo el tiempo de almacenamiento tI el que marca la
transición de una fase a la otra (Figura 47).
97
Durante la fase I domina el término de la capacidad de difusión de la Ecuación 72 y la
concentración de huecos pn en la unión es superior a la concentración de equilibrio térmico pn0, por
lo que la unión está todavía directamente polarizada (aunque la tensión que se aplica al conjunto
resistencia-diodo sea negativa). Por estar la unión directamente polarizada, la caída de tensión en
ella es pequeña, por lo que la corriente inversa que circula está limitada sólo por la resistencia R, es
decir, iD=-Ir=-(E+Vf)/R≈-E/R. Durante la fase II domina el efecto capacitivo de transición de la
Ecuación 72 y la concentración de huecos en la unión es inferior a la de equilibrio térmico, por lo
que la unión está inversamente polarizada. La caída de tensión empieza a decrecer hasta llegar a la
tensión -E, por lo que la corriente empieza a crecer del valor -Ir hasta cero.
Figura 47: Perfiles de portadores, corriente y tensión en un diodo en conmutación.
98
CAPÍTULO 7
EL TRANSISTOR BIPOLAR
Los transistores son dispositivos de tres terminales que se caracterizan por el hecho de que
la corriente que circula a través de dos de esos terminales se puede controlar por medio de
pequeños cambios, bien en la corriente que circula por el tercer terminal, bien en la tensión aplicada
en dicho tercer terminal. Esta característica es la que permite a los transistores amplificar señales
eléctricas, ya que pequeñas variaciones en la tensión o corriente de este tercer terminal se traducen
en variaciones grandes y proporcionales de la corriente que atraviesa los otros dos terminales.
7.1
ESTRUCTURA DEL TRANSISTOR BIPOLAR DE UNIÓN (BJT).
En la Figura 48 se muestra la estructura de un transistor bipolar de unión. Este transistor
consta de dos uniones p-n que, en el caso de la figura, comparten una única y estrecha región de
tipo p. Este dispositivo está compuesto de tres capas superpuestas de semiconductor, en el que la
capa central es de tipo p y las capas laterales son de tipo n. Se trata, pues, de un transistor npn. Los
transistores que tienen dopados complementarios reciben el nombre de transistores pnp.
Tal como hemos dicho, un transistor bipolar está constituido por dos uniones p-n. La
región que es común a ambas uniones recibe el nombre de base, mientras que las otras dos reciben
los nombres de emisor y colector. Para que el transistor funcione correctamente, la base debe ser
99
estrecha
28
y tener un nivel de dopado pequeño en comparación con el del emisor. Éste, a su vez,
también es estrecho frente a la longitud de difusión de los huecos Lp. El colector es muy ancho en
comparación con la longitud de difusión de los portadores minoritarios (huecos) y su dopado es
mucho menor que el del emisor. Resumiendo, las anchuras de la base y el emisor son pequeñas en
comparación con las longitudes de difusión de los portadores minoritarios correspondientes y el
dopado del emisor es grande comparado con el de la base y el colector.
Más adelante justificaremos por qué estas restricciones en cuanto a dimensiones y
concentraciones de impurezas. La unión formada por el emisor y la base recibe el nombre de unión
del emisor (UE), mientras que la formada por base y colector se llama unión del colector (UC).
En un transistor bipolar se producen flujos tanto de electrones como de huecos, y de ahí el
nombre de bipolar. Existen otros transistores en los que las corrientes se producen por el flujo de
un único tipo de portadores. Estos dispositivos se conocen como transistores unipolares y se
estudiarán en temas posteriores.
7.2
DIAGRAMA DE CORRIENTES EN UN BJT
El transistor bipolar (BJT-Bipolar Junction Transistor) opera en diferentes regiones de
funcionamiento. El dispositivo se polariza en región activa cuando el dispositivo se usa como
amplificador. Esta región se caracteriza porque la unión de emisor (UE) está polarizada en directa y
la unión del colector (UC) en inversa. En la Figura 48 se representa el diagrama de corrientes
internas, asociadas a los procesos físicos más relevantes, que circulan por el BJT bajo polarización
de región activa. De entre todas ellas la más importante es la corriente por inyección de
minoritarios en la base (InE) debido a la polarización directa de esta unión. Esta corriente está
formada por portadores provenientes desde el emisor.
Los minoritarios (electrones en un BJT npn) inyectados desde el emisor cruzan la base,
movidos por difusión, hasta alcanzar la región de carga espacial de la unión del colector. Esta unión
está polarizada en inversa y por ello existe en la región de carga espacial un campo eléctrico
28 En un transistor npn la anchura de la base, Wb, debe ser mucho menor que la longitud de difusión de los electrones
Ln
100
intenso que barre los electrones que entran en ella, enviándolos al colector y generando a través de
la región neutra de éste la corriente InC.
Figura 48. Estructura y diagrama de corrientes de un BJT bajo polarización activa.
Nótese que a diferencia de una unión pn ordinaria polarizada en inversa, por la unión del colector
circula una gran corriente de electrones (InC). En un diodo en inversa la corriente a través de la
unión es producida por portadores generados térmicamente que circulan desde las regiones donde
son minoritarios a las regiones donde son mayoritarios, siendo por tanto una corriente muy
pequeña. Sin embargo, en la unión del colector la limitación del número de portadores no estará
impuesta por la generación térmica, sino por los portadores inyectados desde el emisor.
No todos los portadores inyectados desde el emisor alcanzan el colector. Una pequeña
fracción de los mismos se recombinan en la región neutra de la base. Para seguir conservando la
neutralidad de carga es necesario que por cada electrón recombinado entre un hueco a través del
terminal de la base, generándose la corriente InE - InC. Un transistor bien diseñado debe minimizar
101
la fracción de portadores recombinados y esto se consigue haciendo que la longitud metalúrgica de
la base (Wb) sea mucho menor que la longitud de difusión Ln de los electrones29.
Puesto que la unión de emisor está polarizada en directa, también existe inyección de
huecos desde la base al emisor, generando la corriente IpE. No obstante, conviene que esta corriente
sea mucho menor que InE. Por ello el dopado en el emisor es mucho mayor que el dopado en la
base. En polarización directa, en la región de carga espacial de una unión pn hay más portadores
que en equilibrio térmico, predominando los procesos de recombinación sobre los de generación
térmica, produciéndose la corriente de recombinación Ir.
Por último, ICB0 es la corriente que circularía por el terminal del colector (IC), estando la
unión de colector polarizada en inversa y el terminal del emisor abierto (IE=0). Es decir, ICB0 es la
corriente inversa de saturación de la unión de colector.
De la Figura 48, por aplicación de la ley de las corrientes de Kirchhoff, se pueden
establecer las relaciones entre las corrientes que circulan por los terminales del dispositivo y las
corrientes internas.
Ecuación 73. Corrientes internas de un BJT npn
I E = I nE + I pE + I r
I B = I r + I pE + ( I nE − I nC ) − I CBO
I C = I nC + I CBO
Por las leyes de Kirchhoff se puede establecer las relaciones entre las variables externas
del dispositivo,
Ecuación 74. Relación de variables eléctricas externas del BJT
I E = IC + I B
VCE = VCB + V BE
29
Recuérdese que el parámetro Ln se podía interpretar como el valor medio de longitud que debía recorrer un portador
minoritario (electrón en este caso) antes de recombinarse. Por tanto si Wb<<Ln, la probabilidad de que un electrón
inyectado desde el emisor se recombine antes de alcanzar el colector es muy pequeña
102
donde VCE, VCB y VBE son las caídas de tensión entre Colector-Emisor, Colector-Base y
Base-Emisor, respectivamente.
7.3
GANANCIAS DE CORRIENTE CONTINUA DEL TRANSISTOR
La ganancia de corriente continua en base común (α) se define como el cociente de la
componente de corriente de colector debida a los electrones provenientes del emisor y la corriente
de emisor. Es decir,
Ecuación 75. Ganancia α de un BJT
α=
I nC
IE
La ganancia α se puede a su vez definir por el producto de dos nuevos parámetros que son
el rendimiento de inyección (γ), que es el cociente de la componente de la corriente de emisor
producida por la inyección de minoritarios en la base y la corriente total de emisor, y el factor de
transporte (B), que es la relación entre el número de portadores provenientes del emisor que
alcanzan el colector y el número de portadores minoritarios que se inyectan en la base desde el
emisor.
Ecuación 76. Rendimiento de inyección y factor de transporte de un BJT
γ =
I nE
=
IE
1
1+
I pE + I r
; B=
I nC
;
I nE
I nE
Nótese que ambos parámetros son menores que la unidad y por tanto, la ganancia alfa será
a su vez menor que la unidad. De la Ecuación 73 y Ecuación 75 es inmediato obtener
Ecuación 77. Relación IC–IE en activa
I C = α ⋅ I E + I CBO
103
El interés de la ganancia alfa surge del hecho de que es aproximadamente constante. Por
tanto, en región activa la corriente del colector es proporcional a la corriente de emisor y no
depende de la tensión con que se polariza la unión de colector30. Para que el dispositivo sea un buen
amplificador conviene que α se aproxime a la unidad. Si el dopado del emisor es mucho mayor
que el de la base se verifica que InE>>IpE y para valores de corriente IE habituales InE es también
mucho mayor que Ir, tomando el rendimiento de inyección valores próximos a la unidad. Además,
si la longitud de difusión de los portadores minoritarios en la base es mucho mayor que la
longitud de ésta (Ln>>Wb), apenas se recombinan portadores durante el tránsito de estos desde el
emisor al colector y se verifica que InC es ligeramente menor que InE, tomando el factor de
transporte valores próximos a la unidad. En conclusión, en transistores bien diseñados es posible
conseguir valores de ganancia α próximos a la unidad.
En los casos extremos de corrientes de emisor muy altas (inyección de alto nivel) o muy
bajas, el rendimiento de inyección disminuye, disminuyendo consecuentemente la ganancia del
dispositivo. Bajo las condiciones de inyección de alto nivel, el exceso de portadores mayoritarios
en la región neutra de la base crece considerablemente, aumentando por tanto la corriente IpE. A
corrientes muy bajas, la corriente Ir toma valores comparables a la corriente InE. Como se verá en
apartados posteriores, α variará con la temperatura. Valores típicos de la ganancia alfa en
transistores que se utilizan en amplificación de señal pueden variar entre 0.99 y 0.997. En
transistores de potencia la ganancia podrá ser menor ya que lo que interesa de estos son valores
altos de corriente y tensión en vez de valores altos de amplificación. De la Ecuación 74 y la
Ecuación 77 se puede obtener la relación entre las corrientes de colector y base
Ecuación 78. Relación IC–IB en activa
I C = β ⋅ I B + I CEO
α
⎧
⎪ β = 1−α
donde ⎨
I
⎪ I CEO = CBO
1−α
⎩
En activa la unión de colector esta polarizada en inversa (VBC<Vγ, donde Vγ es la tensión umbral de la unión) y por
tanto, el término ICB0 es una corriente inversa de saturación que no depende de VCB.
30
104
El parámetro β recibe el nombre de ganancia de corriente continua en emisor común, o
simplemente beta, e ICE0 se puede definir como la corriente que circula por el colector cuando la
base está abierta. La Ecuación 78 ponen de manifiesto que bajo las condiciones discutidas en
párrafos anteriores en las que α permanecía aproximadamente constante, β será también
aproximadamente constante y la corriente de colector será directamente proporcional a la corriente
de la base e independiente de la tensión que polariza en inversa a la unión de colector. La
dependencia de β con la corriente de colector se representa en la Figura 49 para diferentes valores
de temperatura.
Figura 49. Ganancia de corriente continua en emisor común (β) en función de la
corriente de colector y de la temperatura
En dicha figura se pone de manifiesto como β es aproximadamente constante en un amplio
intervalo de valores medios de la corriente, comenzando a disminuir en los extremos. Un aumento
de la temperatura produce un aumento31 de β. Cabe resaltar que como α es próximo a la unidad, β
será un número grande. Valores típicos en transistores de señal variarán entre 100 y 300. Pudiendo
tomar valores entorno a 50 en transistores de potencia. Nótese que una variación pequeña en α
supondrá una gran variación en β debido a la presencia del término 1-α en el denominador de la
Ecuación 78. Tan susceptible es β a variaciones de los parámetros tecnológicos del transistor y de
31
El tiempo medido de vida de los portadores en un semiconductor de transición indirecta (por ejemplo silicio)
aumenta con la temperatura por reexcitación de los portadores atrapados en los centros de recombinación. Por ello
aumenta la longitud de difusión y disminuye el número de portadores que transitan desde el emisor al colector a través
105
la temperatura que en dispositivos discretos del mismo tipo, β tomará valores que pueden ser
considerablemente diferentes. Por ejemplo, en las hojas de características del transistor npn 2N2222
los valores mínimo y máximo de β son 50 y 300, respectivamente.
En la mayoría de los casos prácticos, β·IB>>ICE0 y se podrá aproximar IC ≈ β·IB. Esta
relación pone de manifiesto que en región activa, al ser β un número grande, pequeñas variaciones
de IB provocarán grandes variaciones de IC. Dicho en otros términos, el BJT es un dispositivo
donde la corriente pequeña de base controla a una gran corriente que circula por el colector.
7.4
MODELOS ESTÁTICOS Y GRAN SEÑAL DEL BJT
7.4.1 Modelo de Ebers-Moll
Hasta ahora se ha estudiado el BJT estando el dispositivo polarizado en la región activa.
Sin embargo, el dispositivo puede funcionar hasta en cuatro regiones diferentes, dependiendo del
estado de sus uniones y que identificamos a continuación:
a) Si ambas uniones están en inversa, el dispositivo estará en región de corte.
b) Si la unión de emisor está en directa y la de colector en inversa, región activa o
activa directa.
c) Si la unión de emisor está en inversa y la de colector en directa, región activa
inversa
d) Si ambas uniones están en directa, región de saturación
Por tanto, los resultados obtenidos en apartados anteriores no son válidos para cualquier
tensión aplicada en los terminales del dispositivo. En este apartado se presenta un modelo eléctrico,
de continua y gran señal, utilizable para cualquier región de funcionamiento.
de la base. Una expresión empírica es dada por β(T)=β(TR)·(T/TR)XTB, donde TR es una temperatura de referencia y XTB
un parámetro llamado exponente de temperatura (un valor típico es 1.7)
106
Figura 50. Proceso de modelado del BJT, (a) diodos con ánodos conectados, (b)
Modelo en activa directa, (c) Modelo en activa inversa y (d) Modelo Ebers-Moll
Desde un punto de vista de la estructura (Figura 48) podría pensarse que el dispositivo npn
se comporta eléctricamente como dos diodo con sus ánodos conectados32 como se muestra en la
Figura 50.(a), cuyas características Tensión-Corriente vendrían dadas por las expresiones
I DE = I ES ⋅ (eVBE / VT − 1) y I DC = I CS ⋅ (eVBC / VT − 1) . Sin embargo, dos diodos conectados en esta
disposición no se comportan igual que un transistor debido a que entre las regiones neutras tipo p
de los diodos existe dos contactos óhmicos y una conexión metálica. Por ejemplo, si la tensión
Colector-Base es positiva, el diodo de la derecha está en inversa y la única corriente que circula por
el colector será la corriente inversa de saturación ICS (esta corriente es la misma que en apartados
anteriores se denotó como ICB0). Sin embargo, como muestra la Ecuación 77, a la corriente ICB0 hay
que sumarle el término α ·IE debido a los electrones que, inyectados en la base desde el emisor,
alcanzan el colector (efecto transistor). Dicho término se puede modelar eléctricamente usando una
32
En un dispositivo pnp serían los cátodos de los diodos los terminales conectados
107
fuente de corriente dependiente de la corriente IE, tal y como se muestra en Figura 50.(b). Este
circuito modela convenientemente al transistor cuando está polarizado en activa.
En región activa inversa es la unión de emisor la que está polarizada en inversa y la unión
de colector la que inyecta los portadores minoritarios que se difunden por la base hasta el emisor.
En tal situación, la funcionalidad del colector y emisor es intercambiada y el modelo de la Figura
50.(c) puede utilizarse, donde ahora la fuente de corriente dependiente de corriente, que modela el
efecto transistor, se le añade al emisor. El parámetro αR es la ganancia de corriente continua en
activa inversa. Si las regiones de colector y emisor fueran exactamente iguales, αR=α, pero como
ya hemos dicho anteriormente, el emisor está mucho más dopado que el colector33 con la finalidad
de maximizar α, y por ello αR es menor que α, tomando valores en el intervalo comprendido entre
0.05 y 0.5 . Debido a esta razón, los transistores nunca se utilizan como amplificadores en activa
inversa.
Estando el transistor polarizado en saturación, ambas uniones están en directa, inyectando
portadores minoritarios que por difusión cruzan la base hasta la unión opuesta. Por tanto, el efecto
transistor se produce en ambas uniones y es necesario añadir la fuente de corriente en ambos
lados34 como se ilustra en Figura 50.(d). Este circuito recibe el nombre de Modelo Ebers-Moll y es
válido para cualquiera de las cuatro regiones de funcionamiento del transistor35. Puesto que en su
presentación se ha utilizado la característica estática Tensión-Corriente del diodo, es un modelo
estático de gran señal. Por aplicación de las leyes de Kirchhoff es inmediato obtener las ecuaciones
IC= α ·IDE-IDC y IE=IDE -αR ·IDC, y si sustituimos las corrientes de los diodos por sus expresiones, el
modelo Ebers-Moll se puede expresar matemáticamente como
En transistores reales, otra diferencia entre ambas uniones que contribuye a maximizar α, es que el área del emisor es
menor que la del colector
34
Desde un punto de vista más formal, esta afirmación se puede justificar por aplicación del principio de superposición
planteado en los siguientes términos: "Las corrientes en los terminales de un transistor polarizado en saturación se
pueden calcular sumando las corrientes de dos transistores iguales al original, estando uno de ellos polarizado en activa
y el otro en activa inversa". La validez de este principio estriba del hecho de que los perfiles de los portadores
minoritarios en la base son aproximadamente lineales.
35
Por ejemplo, si el dispositivo está en región activa, por el diodo que modela la corriente de la unión colector apenas
circula corriente (IDC= ICB0) y la corriente de la fuente αR·IDC es despreciable frente a al termino IDE, siendo los circuitos
de la Figura 48.(b) y Figura 50.(d) equivalentes.
33
108
Ecuación 79. Modelo Ebers-Moll
I C = α ⋅ I ES ⋅ (eVBE / VT − 1) − I CS ⋅ (eVBC / VT − 1)
I E = I ES ⋅ (eVBE / VT − 1) − α R ⋅ I CS ⋅ (eVBC / VT − 1)
I E = IC + I B
Si se realiza un estudio físico del dispositivo se llega a una relación entre los cuatro
parámetros IES, ICS, α y αR, que se conoce como relación de reciprocidad
Ecuación 80. Relación de reciprocidad del modelo Ebers-Moll
α ·I ES = α R ·I CS
Por tanto, el modelo Ebers-Moll se define mediante tres parámetros independientes.
7.4.2 Modelo simplificado
El modelo de Ebers-Moll es interesante por su carácter genérico respecto de las tensiones
de polarización. Sin embargo, por la dependencia exponencial de las corrientes con las tensiones no
permite la obtención de resultados analíticos y es inviable su aplicación a la resolución de
problemas con lápiz y papel. En este apartado presentamos un modelo más simplificado del
transistor cuya principal bondad es su linealidad.
Figura 51. (a) Símbolo del BJT npn, (b) Modelo simplificado del transistor en activa
(c) Modelo simplificado del transistor en saturación
109
Nótese que estando el transistor en activa, la unión de emisor estará polarizada en directa y
por tanto VBE será aproximadamente constante, pudiéndose sustituir la unión por una fuente
independiente de tensión VBE(act) (el valor típico es 0.7V; en este apartado todos los valores que se
dan son para transistores de silicio). De la Ecuación 78, despreciando la corriente ICE0, se observa
que la corriente de colector es directamente proporcional a la corriente de la base, pudiéndose
modelar esta dependencia mediante una fuente de corriente dependiente de corriente. El resultado
de esta transformación se ilustra en la Figura 51.(b). O matemáticamente
Ecuación 81. BJT en activa. Modelo simplificado
IC = β ⋅ I B
VBE = VBE ( act )
si
IB ≥ 0
VCE ≥ VCE ( sat )
Como a priori no se conoce si el dispositivo está en activa, para que los resultados
obtenidos de sustituir el transistor por el circuito de la Figura 51.(b) sean consistentes con la región
activa se ha de comprobar que VCE> VCE(sat) e IB>0. La constante VCE(sat) se define en el siguiente
párrafo. Si no se verifican estas dos condiciones el dispositivo estará funcionando en otra región. Si
el dispositivo es pnp VCE<VCE(act) y la el sentido de la corriente de base se define saliente del
terminal. En la Figura 51.(a) se representa el símbolo que se usa para el transistor bipolar npn.
En caso de estar el dispositivo en saturación ambas uniones están polarizadas en directa y
las tensiones VBE y VBC se pueden considerar constantes. No obstante, como el emisor está más
dopado que el colector, el potencial de contacto de la unión de colector es menor que el de la unión
de emisor. Por ello, la tensión que cae entre colector y emisor es aproximadamente constante,
positiva36 e igual a VCE(sat) =VBE-VBC (0.2V en un dispositivo de silicio). El circuito equivalente del
transistor en saturación se representa en la Figura 51.(c), donde VBE(sat) es ligeramente mayor que
VBE(act), aunque es habitual utilizar el mismo valor por continuidad de las variables eléctricas del
modelo. La condición que debe verificar el transistor para que esté en saturación es IC <β ·IB y
todas las corrientes positivas.
36
En la mayoría de las aplicaciones práctica (y en todas de este curso) el dispositivo no se suele utilizar en activa
inversa y los circuitos de polarización que se estudiarán en temas posteriores no permitirán que VCE puede ser negativa
(positiva en un pnp).
110
Ecuación 82. BJT en saturación. Modelo simplificado.
VCE = VCE ( sat )
VBE = VBE ( sat )
si
β ⋅ I B ≥ IC
IC ≥ 0
Cuando el dispositivo está cortado, ambas uniones están en inversa, circulando corrientes
del orden de la corriente inversa de saturación. En tal caso, se puede suponer que las corrientes por
los terminales son nulas. Las condición del corte es VBE<VBE\γ y VBC<VBC\γ, donde las tensiones
umbrales VBE\γ y VBC\γ en un dispositivo real son aproximadamente 0.5V, si bien es práctica usual
considerar este valor igual a la tensión VBE(act) en activa, es decir, 0.7V.
7.5
CARACTERÍSTICA ESTÁTICA EN EMISOR COMÚN
Hasta ahora se ha supuesto que para una tensión Base-Emisor constante, la corriente de
colector sea a su vez constante e independiente de la tensión VCE si el dispositivo esta en activa.
Este hecho se refleja en la Ecuación 79, donde la exponencial eVBC / VT es mucho menor que la
unidad y despreciable, desapareciendo la dependencia con VBC. Sin embargo, la corriente que
circula por la unión de emisor depende de la tensión en la unión de colector como justificaremos a
continuación.
El perfil del exceso de portadores minoritarios en la base es lineal al verificarse la
condición de que la longitud de la región neutra de ésta es mucho menor que la longitud de difusión
de los minoritarios37. Cuando está polarizado en activa, el exceso de portadores es como el
representado en la Figura 52.(a).
37
La condición Wb<<Ln nos asegura que la probabilidad de recombinación de un electrón en la base es muy
pequeña. Por tanto, si despreciamos el término de recombinación en la ecuación de continuidad,
(
d 2 Δn p
dx 2
+
Δn p
Ln
=0→
d 2 Δn p
dx 2
≈ 0 ) la solución es Δn p = A ⋅ x + B .
111
Figura 52. Perfiles de portadores minoritarios en la base estando el dispositivo
polarizado en región activa: (a) Sin polarización en la unión de colector y (b) fuertemente
polarizada en inversa la unión del colector
El aumento de la tensión VCE produce una mayor polarización de inversa de la unión del
colector (Figura 52.(b)), aumentando la región de carga espacial de colector y disminuyendo la
longitud de la región neutra de la base (W'b). Esta disminución tiene dos efectos:
1. El tiempo de tránsito del electrón (tiempo que tarda el electrón en recorrer la distancia W'b
que separa ambas regiones de carga espacial) disminuye. Al estar menos tiempo en la
región neutra de la base disminuye la probabilidad de recombinación y aumenta InC. Por
tanto, aumenta el factor de transporte.
112
2. La derivada de los portadores minoritarios, que es igual a
n pO ⋅ (eVBE / VT − 1)
w' b
, aumenta. Por
tanto, aumenta la corriente de difusión InE y aumenta el rendimiento de inyección.
El efecto global es el aumento de las ganancias de corriente, α y β, y de la corriente de
colector. Luego, podemos concluir que por efecto Early la corriente de colector depende
ligeramente de la tensión Colector-Base en región activa. Es práctica común modelar el efecto
Early en un transistor polarizado en activa mediante la ecuación
Ecuación 83. Modelado del efecto Early en la región de activa.
iC = β ⋅ i B ⋅ (1 +
v CE
)
Va
donde Va es un parámetro característico del transistor conocido como tensión Early. En la
Ecuación 83 se considera que β depende sólo de la temperatura. La tensión Early es especialmente
útil en la definición de la resistencia de salida en los modelos de pequeña señal, tal y como se verá
en apartados posteriores.
Figura 53. Características estáticas (a) de salida y (b) entrada en emisor común
113
En la Figura 53 se representan las características estáticas de salida y entrada del transistor
bipolar en emisor común. La característica de salida es la familia de curvas que representa la
corriente IC en función de VCE, para diferentes valores de la corriente IB (es decir, IC=f1(VCE,IB),
donde VCE es la variable independiente e IB un parámetro). En la región activa la corriente de
colector es aproximadamente constante (IC ≈ β ·IB). No obstante, al aumentar VCE, aumenta la
polarización en inversa de la unión de colector y por efecto Early aumenta ligeramente IC. Cuando
la tensión VCE<0.2 comienza a polarizarse en directa la unión de colector y el dispositivo cambia de
región activa a región de saturación. Entonces el segundo término de la corriente IC en la Ecuación
79 comienza a aumentar, disminuyendo la corriente de colector, hasta que en VCE=0, ésta se anula.
Figura 54. Característica estática de salida en emisor común donde se ha acentuado
el Efecto Early. La tensión Early Va se define como la intersección con el eje de abcisas de la
extrapolación de las curvas Corriente-Tensión en activa
La característica de salida en emisor común se vuelve a representa en la Figura 54 donde
se ha tomado deliberadamente un valor pequeño de la tensión Va para acentuar el efecto Early en la
región activa de funcionamiento. La figura ilustra gráficamente la definición de Va como el punto
sobre el eje VCE donde se cruzan las rectas extrapoladas de la característica IC -VCE en región activa.
En la Figura 53.(b) se representa la característica de entrada (VBE=f2(IB,VCE), siendo en
este caso la variable independiente IB y el parámetro VCE). Nótese que la forma de cualquier curva
de la familia es igual a la relación Tensión-Corriente de un diodo ordinario. Este hecho se debe a
114
que las componentes IpE e InE-InC de la corriente de la base (Ecuación 73) crecen exponencialmente
con la tensión38. Justifiquemos a continuación por que aumenta VBE con el aumento de VCE.
Supongamos que la corriente de la base es constante, al aumentar la tensión ColectorEmisor disminuye la recombinación en la región neutra de la base por efecto Early. Pero como IB es
constante, debe aumentar la inyección de portadores a través de la unión de emisor, es decir, un
aumento de IpE y de39 (InE-InC). Dicha inyección es proporcional a eVBE / VT , produciéndose un
aumento de VBE.
38
IpE no es más que la componente de corriente en un diodo por inyección de huecos e InE-InC lo hace porque al
aumentar exponencialmente con VBE la cantidad de electrones inyectados en la base (corriente InE) aumenta la
recombinación en la región neutra de la base
39
El aumento de VBE produce un aumento de np(0), aumentando el área comprendida entre el perfil de minoritarios y el
eje x, aumentando la recombinación en la región neutra de la base (InE-InC).
115
CAPÍTULO 8
DISPOSITIVOS FOTÓNICOS
Se entiende por dispositivo fotónico aquel dispositivo electrónico basado en un
semiconductor, capaz de emitir, recibir o transmitir señales luminosas.
A continuación se muestra el espectro de radiación electromagnética. El rango de
longitudes de onda más interesante desde el punto de vista de las comunicaciones ópticas es el
comprendido desde los 600 nm hasta los 1550 nm aproximadamente, es decir, la zona visible e
infrarroja.
InSb
Ge
Si
AsGa
GaP
CdS
SiC
ZnS
Eg (eV)
0
1
7
5 3 2
2
1
3
0.5
4
0.35
λ (μ m)
Figura 55. Espectro de radiación electromagnética.
En este tema se pretende familiarizar al alumno con algunos de los dispositivos más
comunes utilizados en comunicaciones. Un conocimiento más profundo se abordará en la
asignatura de Comunicaciones Ópticas en cursos superiores.
En primer lugar se establecerán los principios básicos de funcionamiento del LED (diodo
emisor de luz), que es el dispositivo emisor más simple y más usado en la actualidad.
Posteriormente, nos centraremos en estudiar el comportamiento del diodo PIN, que con su
116
particular estructura es capaz de detectar señales luminosas y convertir la potencia óptica en
potencia eléctrica. En tercer lugar, se hará un breve repaso de la fibra óptica, que es el medio
transmisor más usado en comunicaciones ópticas.
En la actualidad existen otros dispositivos, que siendo igual de importantes, no se verán
con tanta profundidad ya que su funcionamiento es bastante más complicado, tales como el láser,
diodos APD, y otros.
8.1
EL DIODO EMISOR DE LUZ (LED)
Tras unir dos semiconductores fuertemente dopados, uno de tipo p y otro de tipo n, se
establece un flujo de electrones de la zona n a la p y otro de huecos de la zona p a la n. Este flujo
provoca la ionización de los átomos cercanos a la superficie de unión, con lo que aparece, en lo que
era un semiconductor neutro en toda su extensión, una zona cargada eléctricamente, denominada
zona de carga espacial. Como consecuencia aparece un campo eléctrico que crea un flujo de
arrastre en sentido opuesto al de difusión. El equilibrio se alcanza cuando ambos flujos, el de
difusión y el de arrastre se igualan.
Si aplicamos una diferencia de potencial positiva en el diodo (entre p y n), disminuirá la
barrera energética que limita el flujo de electrones de n a p y de huecos de p a n, lo que facilitará el
flujo por difusión, estableciéndose corrientes netas en el dispositivo que crecen rápidamente con el
potencial aplicado.
Sin embargo, al polarizarlo inversamente, el campo eléctrico aumenta, pero no así las
corrientes de arrastre, ya que éstas están limitadas por la velocidad de generación de minoritarios en
los alrededores de la zona de carga espacial.
117
Pp
Nn
Ppo
Nno
Np
Pn
Npo
Pno
Figura 56. Concentración de portadores en polarización directa.
En la Figura 56 se muestra los perfiles de concentración de portadores minoritarios de carga
(electrones en la zona p y huecos en la zona n) en una unión directamente polarizada. Se puede
observar como éstas son mayores que en el caso de tener equilibrio térmico. Como consecuencia,
los mecanismos de recombinación serán muy importantes
Si el semiconductor es de transición directa (S.T.D.), la mayor parte de las
recombinaciones serán radiativas, es decir, emitirán un fotón de frecuencia f = Eg /h donde Eg es la
energía de la banda prohibida.
En resumen, mediante una señal eléctrica (Id) se genera un flujo difusivo que incrementa la
concentración de portadores por encima del nivel de equilibrio térmico, lo cual incrementa a su vez
la generación de fotones por recombinación de portadores en exceso, generando así una señal
luminosa.
8.1.1 Mecanismos de recombinación de portadores
En capítulos anteriores se ha comentado la existencia de diferentes mecanismos de
recombinación, pudiéndose agrupar en dos: Entre Bandas e implicando Centros de Recombinación.
Otra clasificación de éstas es atendiendo a la posibilidad de emisión de fotones, teniendo
recombinaciones radiativas y no radiativas. Las primeras ceden la energía sobrante en forma de
fotón de luz y las segundas en forma de calor.
118
Q
hf
tipo 1
Q
Q
tipo 2
tipo 3
tipo 4
Figura 57. Varios ejemplos de mecanismos de recombinación.
En la Figura 57 aparecen reflejadas algunas de las múltiples formas de recombinación
existentes. Como se puede observar, la mayoría supone un intercambio energético en forma de
calor con la red. En todos los semiconductores se producen los diferentes tipos de recombinación
señalados. De las cuatro mostradas en la figura, solo la primera genera un fotón de luz (radiativas),
siendo las dos siguientes las principales competidoras.
Cada uno de los diferentes mecanismos de recombinación tiene asociado un tiempo
característico distinto (ti). Los semiconductores donde predominen las recombinaciones radiativas
frente a las no radiativas, (tr<tnr), serán buenos candidatos para construir dispositivos emisores de
luz.
8.1.2 Semiconductores de Transición Directa e Indirecta.
En la Figura 58 se puede observar los diagramas de energía (Energía – Cuasi impulso) de
dos semiconductores diferentes40. El primero corresponde a un semiconductor de Transición
Directa (STD) y el segundo a uno de Transición Indirecta (STI).
El Cuasi-impulso hk se puede asociar al vector Cantidad de Movimiento del portador. De
esta manera, en la primera gráfica se puede observar como los electrones situados en el mínimo de
energía de la Banda de Conducción tienen el mismo valor de hk que los huecos situados en el
119
máximo de la Banda de Valencia. Una recombinación directa entre bandas (proceso radiativo), en
este caso, se produciría sin variar esa cantidad hk.
En un STI se pueden dar dos tipos de transición: directa (o radiativa) e indirecta (o noradiativa). Como en todo proceso físico se han de verificar las leyes de conservación de la energía y
del impulso lineal. Ello supone que en la transición directa, un electrón que pase directamente
desde el mínimo de la BC al máximo de la BV, se libere un fotón de energía próxima a Eg. Sin
embargo, también debe intervenir la red cristalina aportando el incremento de cuasi-impulso Δ(h·k).
Las (pseudo-)partículas de la red cristalina que intervienen en estos procesos reciben el nombre de
fonones. Debido a la necesidad de intervención de tres agentes (electrón, fotón y fonón) estas
transiciones son muy poco probables, y por consiguiente, están caracterizadas por un tiempo medio
de recombinación (tr) muy grande. Por el contrario, las recombinaciones indirectas, es decir,
transiciones a través de centros de recombinación o trampas, son muy probables y están
caracterizadas por tiempos medios de recombinación (tnr) muy pequeños. Como se observa en la
figura, el electrón, tras liberar como calor la energía Q, es atrapado en uno de estos centros. Si el
electrón atrapado no vuelve a regenerarse, el centro suministra el cuasi-impulso necesario para que
tras una segunda transición, liberando a la red cristalina el resto de energía Q’, el electrón llegue al
máximo de la BV (se termina el proceso de recombinación).
Como resumen de este apartado diremos que en términos generales:
a) En todo semiconductor coexisten dos tipos de procesos de recombinación:
ƒ
Aquellos que se dan entre bandas del semiconductor y son ópticamente
activos (procesos radiativos).
ƒ
Aquellos que suceden por medio de trampas y con cesión de la energía
calorífica a la red cristalina (procesos no radiativos).
40
Una partícula libre sólo tiene energía cinética y su energía es función parabólica de la cantidad de movimiento o
impulso lineal, es decir, E=p2/mo= (h·k)2/mo. Los portadores (electrón y hueco) en un semiconductor no son partículas
libres y la sus respectivas funciones E(p) son más complejas que la relación anterior.
120
b) En los S.T.D., el tiempo medio de recombinación radiativa tr será mucho menor que
el tiempo medio de recombinación no radiativa tnr, siempre y cuando existan pocos
defectos en la red cristalina.
c) En los S.T.I., tnr<<tr ocurrirá siempre. Por este motivo, la recombinación no será
entre bandas, sino que suele producirse en centros de captura.
d) Por ello, en la fabricación de dispositivos emisores de luz se usan principalmente
semiconductores de transición directa.
E
E
Ec
Ec
h·f
Eg
h·f
Q
Q’
Ev
Ev
h·k
h·k
Δ(h·k)
SC de T. directa
SC de T. indirecta
Figura 58. Recombinación de portadores. En los SC de transición indirecta es más probable la recombinación
por trampas (emisión de energía térmica Q) que la recombinación radiativa (emisión de energía óptica h·f).
8.1.3 Materiales semiconductores emisores de luz.
La mayoría de los dispositivos utilizados en fotónica son compuestos ternarios o
cuaternarios formados por semiconductores de los grupos III y V de la tabla periódica.
Si se quiere trabajar en el rango de longitudes de onda comprendido entre 650 nm y 880
nm se elige el compuesto ternario Alx Ga1-x As donde x representa el tanto por uno de átomos de Ga
sustituido por átomos de Al. Variando x entre 0 y 0.45 se obtiene una variación continua en la
energía de la banda prohibida del material, manteniéndose éste como semiconductor directo.
121
Para poder trabajar en el rango que va desde los 1.000 nm hasta los 1700 nm se recurre al
In1-x Gax Asy P1-y , donde x e y representan los tantos por uno de átomos de In y P sustituidos por
átomos de Ga y As, respectivamente.
8.1.4 Característica de los dispositivos semiconductores emisores de luz
Los parámetros de interés en el funcionamiento del LED (diodo emisor de luz) son los
siguientes:
Potencia luminosa-corriente inyectada. En el LED, esta dependencia es casi lineal y muy
sensible hasta llegar a intensidades muy grandes en las cuales la curva se empieza a saturar.
Características espectrales. Por un lado, la longitud de onda donde la densidad espectral
de potencia es máxima (λp), y por otro el intervalo espectral de emisión (Δλ). En los LED, el
segundo de los parámetros llega a ser grande, y el cociente entre ambos del orden del 2%.
Distribución espacial de potencia luminosa. Depende de la geometría de la región activa
donde se genera la luz. Los LED se clasifican en dos grandes grupos: los de emisión superficial
(SLED), y los de emisión lateral (ELED). En los primeros la distribución espacial de la intensidad
luminosa es perpendicular a la base cilíndrica que los caracteriza mientras que la región activa
paralelepípeda de los segundos da como resultado una emisión lateral.
8.2
DISPOSITIVOS FOTODETECTORES.
Supongamos que tenemos un semiconductor sobre el cual incide luz de una frecuencia f
(hf>Eg) por una de sus caras. Si denotamos por P0 la potencia total incidente sobre la superficie, se
tendrá que una fracción de ésta, R·P0 , será reflejada por la superficie, donde R es el coeficiente de
reflexión de la interfase aire-semiconductor. Por tanto, se tiene que solo la cantidad (1-R)·P0
penetrará en el interior del volumen. A medida que los fotones de energía hf vayan penetrando en el
semiconductor irán siendo absorbidos de manera que generarán pares electrón-hueco.
122
P0
P0(1-R)
P0(1-R) e-α x
x=0
x
hν
Figura 59. Distribución de fotones en el interior del semiconductor.
La Figura 59 muestra la concentración de fotones en el volumen del semiconductor. Se
puede observar como la caída es exponencial, con una longitud característica (α -1) que da idea del
orden de magnitud de la distancia recorrida por los fotones antes de desaparecer por absorción. Al
índice α se le denomina coeficiente de absorción y en general su valor depende del material y la
longitud de onda de la radiación.
5
-1
10
10
(μ m)
Profundidad de penetración
4
Ge
1
1
10
3
Si
10
10
2
2
10
10
Coeficiente de absorción (cm-1 )
In0.53 Ga 0.47 As
AsGa
3
10
10
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
Longitud de onda (μ m)
Figura 60. Coeficiente de absorción para diferentes semiconductores.
123
En la Figura 60 se muestran los coeficientes de distintos materiales semiconductores en
función de la longitud de onda. Se observa como este coeficiente disminuye al aumentar la longitud
de onda de la radiación. Es decir, al disminuir la energía de los fotones, la probabilidad de que estos
sean absorbidos va disminuyendo. Al mismo tiempo, se muestra como la disminución del
coeficiente conlleva un aumento en la profundidad de penetración de la radiación.
Un fotodetector tiene como objetivo convertir una señal óptica en eléctrica para
posteriormente ser amplificada y procesada. Entre las propiedades que debe exigirse a un buen
fotodetector están las siguientes:
•
Buena sensibilidad a la longitud de onda de trabajo. Es decir, elevada capacidad de
convertir potencia óptica en eléctrica en el rango de longitudes de onda para el que ha
sido diseñado.
•
Velocidad de respuesta elevada. Esto es necesario cuando se están manejando grandes
cantidades de datos en tiempos pequeños, como es el caso de comunicación digital por
fibra óptica.
•
Bajo nivel de ruido. Dada la escasa potencia de la luz incidente, se hace
imprescindible que el fotodetector no introduzca ruido adicional.
En lo sucesivo, se intentará justificar los diferentes tipos de fotodetectores atendiendo a
las características anteriormente mencionadas.
8.2.1 Fotoconductores
El dispositivo detector de luz más sencillo que se puede construir consiste en un simple
trozo de semiconductor escasamente dopado. Como ya es conocido, la conductividad del
semiconductor crece directamente proporcional a la concentración de portadores. Cuando se
ilumina este material con luz de una frecuencia tal que la energía de los fotones hf es superior a la
anchura de la banda prohibida Eg , ésta es absorbida creándose pares electrón-hueco. Como
resultado de esta generación óptica de portadores se puede conseguir un aumento significativo de
esta conductividad. A los dispositivos diseñados para que se comporten de esta forma se le
denominan fotoconductores.
124
Ejemplo:
Consideremos un semiconductor intrínseco al que se le ilumina de forma que la tasa de
generación óptica se puede considerar uniforme y de valor gop= 1021 PEH/s·cm3. Calcularemos la
corriente que resulta si se aplica una tensión externa de Vs = 10V antes y después de iluminar,
siendo μn = 0.15 m2/v·s, μp = 0.06 m2/v·s, ni = 1.5 · 1010 cm-3, γr = 10-7 cm3/s
Antes de iluminar, la conductividad será σi = q · ni · (μn + μp) = 5.04 10-6 (Ω·cm) -1 y la
resistencia, Ri = L / (σi · W · H) = 396.8 kΩ
La corriente de oscuridad (en ausencia de iluminación) será: I OSC =
VS
R
= 25.2μA
Después de iluminar y una vez establecido el régimen permanente, suponiendo hipótesis
de alto nivel de inyección: gop = γr · Δn2 ⇒ Δn = (gop / γr)1/2 = 1014 cm-3
La nueva conductividad será de σi = q · Δn · (μn + μp) = 0.0336 (Ω·cm) –1 mientras que la
resistencia resulta ser Ri = L / (σi · W · H) = 59.52 Ω
Y el valor de la corriente de iluminación será: I OP =
VS
R
= 168mA
Este tipo de dispositivo tan simple presenta un problema de incompatibilidad entre
sensibilidad y bajo tiempo de respuesta. Ya sabemos que bajo iluminación óptica:
g OP =
δn
=> δn = g OP ⋅ τ n
τn
Es decir, el exceso de portadores en condiciones de iluminación es directamente
proporcional a la intensidad luminosa y al tiempo medio de vida de portadores en desequilibrio.
Para una intensidad luminosa dada, si los portadores tienden a desaparecer rápidamente después de
su creación, la concentración siempre será baja. Si esta tendencia es a más largo plazo la
concentración será alta. En el primer caso la conductividad será más cercana a la intrínseca que en
el segundo, por lo que la corriente obtenida será menor (menor sensibilidad).
125
Por otro lado, sabiendo que el tiempo de respuesta del semiconductor ante una variación
de las condiciones de equilibrio depende de τn podemos decir que sí:
τn es grande
=> δn es grande => lentitud en la respuesta y alta sensibilidad.
τn es pequeño => δn es pequeño => rapidez en la respuesta y baja sensibilidad.
8.2.2 El Fotodiodo PIN
Con objeto de mejorar tanto la velocidad de respuesta como la sensibilidad del
fotodetector se utilizan uniones pn polarizadas en inversa.
I=Io (e (qV/KT) – 1)
Figura 61. Característica estática de la unión pn.
En la Figura 61 se muestra la característica estática de una unión pn. En ella podemos
observar como ante una tensión positiva se obtiene una corriente elevada y positiva, debido a la
dependencia exponencial de las corrientes difusivas con respecto a la tensión aplicada. Por el
contrario, si se le aplica una tensión negativa a los extremos de la unión la corriente permanece
limitada a valores muy pequeños y con sentido negativo. Esto es debido a que tras anular las
componentes difusivas, solo permanecerán las corrientes de arrastres en la unión. Esta última está
compuesta tanto por electrones de la zona p y huecos de la zona n, que encontrándose cercanos a la
126
unión experimentan un arrastre producido por el intenso campo eléctrico existente.Cualquier
mecanismo que aumente la velocidad de generación de estos portadores traerá como consecuencia
un aumento en la corriente inversa de saturación. Si iluminamos la unión en inversa con luz tal que
(hf>Eg), se estará favoreciendo la creación pares electrón-hueco mediante la absorción de esta
energía. Como consecuencia aparecerá una corriente de arrastre Iop adicional a la ya existente I0 .
Este hecho se observa en la Figura 62 como un descenso de toda la curva I-V del diodo en una
cantidad constante Iop.
ID=Io (e
(qV/KT)
– 1) - Iop
ID
VD
Iop
Figura 62. Característica estática del diodo de unión pn bajo iluminación.
El diodo PIN resulta de optimizar el diseño con objeto de maximizar la cantidad de
portadores que, una vez generados ópticamente, pasan a formar parte de la corriente de arrastre. Las
siglas corresponden a las tres zonas que se pueden diferenciar en el diodo, zona p+, zona casi
intrínseca y zona n+. En la Figura 63 se representa el esquema de un diodo PIN polarizado en
inversa. Se puede observar como la carga iónica generada en la zona p+ no puede ser compensada
por el escaso dopado de la zona intrínseca, haciendo que la región de carga espacial se extienda
hasta la zona n+. Como consecuencia se tiene que el campo eléctrico actuará sobre una extensión
bastante más ancha que en un diodo pn normal. En principio, solo aquellos portadores generados
dentro de la zona de carga espacial o en las proximidades de ésta podrán ser arrastrado por el
intenso campo eléctrico. Suponiendo que la luz incide por la capa p+ interesa que ésta sea estrecha,
127
ya que es aquí donde se produce el mayor porcentaje de absorción de fotones. Si la zona intrínseca
es lo suficientemente ancha se habrán recogido prácticamente todos los fotones dentro de la zona
con campo eléctrico no nulo. La corriente así generada será bastante elevada.
Por otra parte, si la iluminación desaparece de forma brusca el campo eléctrico será el
encargado de barrer de forma rápida el exceso de portadores existente en la zona intrínseca. El
resultado es una velocidad de respuesta elevada..
R
V
s
hf
+
p
i
n
+
ρ
ε
P
Figura 63. Diodo PIN (estructura P-I-N polarizada en inversa, distribución de carga en RCE, campo eléctrico en
RCE y distribución de potencia luminosa en el interior del dispositivo).
128
8.2.3 El fotodiodo de Avalancha (APD)
Los dispositivos descritos hasta ahora no presentan ganancia interna, es decir, en ellos se
generan un solo par electrón-hueco por cada fotón absorbido. El fotodiodo de avalancha es un
dispositivo cuya estructura permite tener una cierta ganancia interna.
La diferencia con el diodo PIN estriba en la inclusión de una capa intermedia de dopado p+
entre la zona intrínseca y la zona n+. Esta modificación da como resultado un aumento importante
del campo eléctrico de forma localizada. Aplicándole una fuerte polarización en inversa, se
conseguirá que los portadores que aparezcan en la zona intrínseca sean acelerados fuertemente
cuando se acerquen a la interfase p+- n+. Cuando estos portadores colisionan con los átomos de la
red ceden parte de su energía cinética creando nuevos pares eletrón-hueco que a su vez son
acelerados por el campo eléctrico. El resultado es un efecto multiplicativo o de avalancha.
El fotodiodo de avalancha tiene un tiempo de respuesta peor que el diodo PIN y necesita
de tensiones de polarización mayores, pero como contrapartida posee mayor sensibilidad.
8.2.4 El fototransistor
Un fototransistor tien una estructura similar a la de un transistor BJT, pero con la base
inaccesible eléctricamente. Para provocar el efecto transistor, que en un BJT se consigue
polarizando en directa la unión base-emisor, el encapsulado del fototransistor incluye una ventana
que permite la llegada de fotones a la base. La intensidad de fotones recibidos será proporcional a
la cantidad de portadores generados en la base, y por tanto a la corriente provocada por la
recolección de éstos por parte del colector.
8.3
LA FIBRA ÓPTICA
Cuando se quiere transmitir una señal óptica a corta distancia se puede utilizar como
medio transmisor el aire. Sin embargo, si las distancias son significativas hay que acudir a otro
medio que presente mejores características de atenuación: la fibra óptica.
129
n2
ϕ2
ϕ
n1
r
ϕ
1
Figura 64 : Fenómeno de refracción de un rayo luminoso al atravesar una interfase entre dos medios.
Supongamos que tenemos un medio dieléctrico sobre el que se propaga una señal
luminosa. Podemos relacionar la velocidad a la que se transmite esa señal por el medio dieléctrico
(v) con la velocidad de la luz en el vacío (c) a través del índice de refracción del material (ni), de
manera que:
V=
c
ni
La Figura 64 muestra el paso de un rayo de luz de un medio dieléctrico de índice de
refracción n1 a otro medio de índice n2. Se puede demostrar que la relación entre los ángulos
incidentes y transmitido es la siguiente:
n1 · senϕ1 = n2 · senϕ2 (Ley de Snell)
Si n1 > n2 se tiene que ϕ1 < ϕ2. En el caso de que el rayo incida en la superficie de
separación con un ángulo ϕ1 > arcsen (n2/n1) se verificará que ϕ2 > π/2, con lo que el rayo no
escapará del medio 1. Al valor ϕc = arcsen (n2/n1) se le llama ángulo crítico. Este fenómeno,
mostrado en la Figura 65, se denomina reflexión total, y es aprovechado para confinar haces de luz
dentro de la fibra óptica.
130
n2
ϕc
ϕ
n1
ϕ
r
1
Figura 65 : Reflexión total de un rayo luminoso.
Como se observa en la Figura 66, una fibra óptica está compuesta por un núcleo y una
corteza de material dieléctrico, con la particularidad de que el índice de refracción del núcleo es
mayor que el de la corteza (n1>n2). De esta manera se producirá un efecto de guiado óptico por el
núcleo de la fibra. Para que esto ocurra, los rayos de luz deben entrar en la fibra con un ángulo
menor que un determinado valor denominado ángulo máximo de aceptación (αm). En esta misma
figura se muestra el efecto de guiado sobre varios rayos, uno de ellos con un ángulo de entrada
mayor que (αm).
Núcleo
rayo no guiado
αm
ϕc
rayo guiado
Cubierta
n1
n2
Figura 66. Guiado de rayos y distribución de índices de refracción dentro de una fibra óptica.
131
Tabla 3. Magnitudes físicas más comunes.
Magnitud
Simbolo
Valor
Unidades
Carga del electrón
q
1,6 · 10-19
C
Constante de Planck
h
6,625 · 10-34
J ⋅s
4,14 · 10-15
eV ⋅ s
1,38 · 10-23
J/K
8,62 · 10-5
eV / K
c
3 · 108
m/s
m0
9,11 · 10-31
Kg
Constante de Boltzman
Velocidad de la luz
Masa del electrón
k