1. No category

R. Alzate: T´ecnicas Avanzadas de Control
Bucaramanga, Semestre 2014-II
Contenidos
• Control por modos deslizantes
• Atenuaci´
on de Chattering
• Ejercicio
R. Alzate: T´ecnicas Avanzadas de Control
Bucaramanga, Semestre 2014-II
Control por modos deslizantes
Es una t´ecnica de control robusto; i.e. que nos permite tolerar imprecisiones en
el modelo. Tales imprecisiones pueden ser debidas a par´ametros desconocidos en
la planta o a representaciones simplificadas de la din´amica.
En t´erminos generales, la t´ecnica de control por modos deslizantes toma ventaja
del hecho que es m´as sencillo controlar sistemas de primer orden, ya sean nolineales o inciertos (imprecisos), que controlar sistemas generales de n−´esimo
orden.
Considere el sistema din´amico con una entrada:
x(n) = f (x) + b(x)u,
donde el escalar x es la salida de inter´es, el escalar u la entrada de control y
x = [x x˙ ... x(n−1)]T es el vector de estados.
191
R. Alzate: T´ecnicas Avanzadas de Control
Bucaramanga, Semestre 2014-II
Control por modos deslizantes
La funci´
on f (x) es en general no-lineal, y no exactamente conocida, pero si
acotada por una funci´
on conocida de x.
An´alogamente, la ganancia de control b(x) tampoco es exactamente conocida,
pero si lo son su signo y las funciones continuas de x que la acotan.
El problema de control ser´a entonces el de hacer seguir a x un estado espec´ıfico
(n−1) T
variante en el tiempo xd = [xd x˙ d ... xd
] en presencia de imprecisiones de
modelo en f (x) y b(x).
˜ = x − xd como el error de seguimiento en x, entonces:
Considerando adem´as x
˜ = x − xd = [˜
x
xx
˜˙ ... x
˜(n−1)]T ,
ser´a el vector de error de seguimiento.
192
R. Alzate: T´ecnicas Avanzadas de Control
Bucaramanga, Semestre 2014-II
Control por modos deslizantes
Se define tambi´en una superficie tiempo variante S(t) en el espacio de estados
on escalar s(x, t) = 0, donde:
Rn a partir de la ecuaci´
s (x, t) =
n−1
d
+λ
x
˜,
dt
siendo λ una constante estrictamente positiva. Por ejemplo, si n = 2:
s(x, t) = x
˜˙ + λ˜
x,
i.e. s es simplemente una suma ponderada de los errores de posici´on y velocidad.
¨
Si n = 3, s = x
˜ + 2λx
˜˙ + λ2x
˜.
193
R. Alzate: T´ecnicas Avanzadas de Control
Bucaramanga, Semestre 2014-II
Control por modos deslizantes
Dada la condici´
on inicial: xd(0) = x(0), el problema de seguimiento x ≡ xd,
equivale al de permanecer en la superficie S(t) ∀ t > 0. De hecho s = 0 representa
una ecuaci´
on diferencial lineal cuya u
´nica soluci´on (dado x(0) = xd(0)) es x
˜ = 0.
Por tanto, el problema de seguimiento para el vector n-dimensional xd es reducido
a aquel de mantener el valor de s en cero.
Las cotas de s pueden ser directamente traducidas en cotas del error de
˜ y as´ı, el escalar s representa (o refleja) una medida v´alida para el
seguimiento x
desempe˜
no del seguimiento.
˜ (0) = 0 se obtiene:
En particular, asumiendo x
(i) i
∀t ≥ 0, |s (t)| ≤ Φ ⇒ ∀t ≥ 0, x
˜ (t) ≤ (2λ) ε; i = 0, 1, ..., (n − 1)
donde ε = Φ/λn−1 .
194
R. Alzate: T´ecnicas Avanzadas de Control
Bucaramanga, Semestre 2014-II
Control por modos deslizantes
Para demostrar este resultado, recu´erdese que a partir de la definici´on de s, el
error de seguimiento x
˜ se obtiene a trav´es de una secuencia de filtros paso-bajo
de primer orden (donde d/dt = p es el operador de Laplace).
Si y1 es la salida del primer filtro, se tiene:
y1 (t) =
Zt
e−λ(t−T )s(T )dT.
0
195
R. Alzate: T´ecnicas Avanzadas de Control
Bucaramanga, Semestre 2014-II
Control por modos deslizantes
Dado que |s| ≤ Φ:
|y1(t)| ≤ Φ
Zt
0
−λ(t−T )
e
Φ
Φ
−λt
dT =
1−e
≤ .
λ
λ
˜),
Aplicando el mismo razonamiento al segundo y restantes filtros (hasta yn−1 = x
se obtiene:
Φ
|˜
x| ≤ n−1 = ε.
λ
Procediendo de manera similar, la salida z1 del (n − 1 − i)-´esimo filtro, cumple
con:
Φ
|z1| ≤ n−1−i ,
λ
196
R. Alzate: T´ecnicas Avanzadas de Control
Bucaramanga, Semestre 2014-II
Control por modos deslizantes
y por tanto:
(i)
x
˜ ≤
Φ
λn−1−i
i
p
p+λ
i
λ
p+λ
i
Φ
= λn−1−i 1 −
(i)
⇒ x
˜ ≤ ε (2λ) .
=
<
Φ
λn−1−i
Φ
λn−1−i
p+λ−λ i
1
p+λ
λ i
+λ
=
Φ
λn−1−i
2i =
Φ
λn−1
λi 2i = ε (2λ)
i
De esta manera un problema de seguimiento de orden n se ha transformado en
uno de estabilizaci´
on de primer orden, a trav´es de la cuantificaci´on de las medidas
de desempe˜
no.
197
R. Alzate: T´ecnicas Avanzadas de Control
Bucaramanga, Semestre 2014-II
Control por modos deslizantes
El problema simplificado de primer orden de mantener el escalar s en cero, puede
ser implementado tras escoger una ley de control u(t) tal que satisfaga la siguiente
relaci´
on fuera de S(t):
1d 2
s ≤ −η |s| ,
2 dt
donde η es una constante estrictamente positiva. Esencialmente, esta u
´ltima
expresi´
on establece que la media cuadr´atica de la distancia a la superficie, decrece
a lo largo de todas las trayectorias del sistema.
Dicha imposici´
on (denominada condici´
on de deslizamiento) implica que las
trayectorias apunten hacia S(t), convirti´endola en una superficie atrayente.
198
R. Alzate: T´ecnicas Avanzadas de Control
Bucaramanga, Semestre 2014-II
Control por modos deslizantes
199
R. Alzate: T´ecnicas Avanzadas de Control
Bucaramanga, Semestre 2014-II
Control por modos deslizantes
Una vez sobre la superficie, las trayectorias del sistema se mantienen en ella. En
otras palabras, satisfacer la condici´on de deslizamiento implica convertir a S(t)
en un conjunto invariante. Bajo este r´egimen de operaci´on, el sistema se dice
en modo de deslizamiento y en consecuencia sus trayectorias (din´amicas) ser´an
definidas por la ecuaci´
on:
n−1
d
x
˜ = 0.
+λ
dt
Dicha condici´
on de deslizamiento, implica tambi´en el tolerar perturbaciones e
incertidumbres en el modelo.
200
R. Alzate: T´ecnicas Avanzadas de Control
Bucaramanga, Semestre 2014-II
Control por modos deslizantes
El comportamiento t´ıpico de un sistema sometido a la condici´on de deslizamiento
para n = 2 implica la evoluci´on sobre una superficie S(t) lineal en el plano de
fase, con pendiente −λ y que adem´as contiene el punto variante en el tiempo
xd = [xd x˙ d]T .
201
R. Alzate: T´ecnicas Avanzadas de Control
Bucaramanga, Semestre 2014-II
Control por modos deslizantes
De esta manera, comenzando de cualquier condici´on inicial, la trayectoria de
estado alcanza la superficie variable en el tiempo en un periodo finito y luego
se desliza a lo largo de ella hacia xd exponencialmente, con una constante de
tiempo 1/λ (por qu´e?).
Recapitulando, la idea del m´etodo es efectuar una selecci´
on conveniente para
la funci´
on del error de seguimiento s y luego seleccionar la ley de control por
realimentaci´
on u, tal que s2 corresponda a una funci´on tipo Lyapunov para el
sistema en lazo cerrado, a pesar de la presencia de imprecisiones en el modelo y
perturbaciones.
El dise˜
no del controlador implica la selecci´on de u para satisfacer la condici´on de
deslizamiento, la cual deber´a ser de naturaleza discontinua (cambio de direcciones)
para compensar las imprecisiones inherentes de implementaci´on dando lugar al
fen´
omeno de chattering.
202
R. Alzate: T´ecnicas Avanzadas de Control
Bucaramanga, Semestre 2014-II
Control por modos deslizantes
Este u
´ltimo es considerado indeseable para muchas aplicaciones y por tanto podr´a
ser atenuado a trav´es de un suavizado de la se˜
nal de control, siendo sin embargo
un factor de reducci´
on de eficiencia para la estrategia en t´erminos de robustez.
203
R. Alzate: T´ecnicas Avanzadas de Control
Bucaramanga, Semestre 2014-II
Control por modos deslizantes
Incluyendo ahora expl´ıcitamente las incertidumbres del modelo, consid´erese el
sistema:
x
¨ = f + u,
donde u es la entrada de control, x la salida escalar de inter´es y la din´amica f
(posiblemente no-lineal y/o tiempo variante) no es exactamente conocida, pero
estimada como fˆ.
A su vez, el error de estimaci´on en f es limitado por una funci´on conocida
F = F (x, x):
˙
ˆ
f − f ≤ F.
Ejemplo.
Dado el sistema:
x
¨ + a(t)x˙ 2 cos(3x) = u,
204
R. Alzate: T´ecnicas Avanzadas de Control
Bucaramanga, Semestre 2014-II
Control por modos deslizantes
donde a(t) es desconocido pero verifica: 1 ≤ a(t) ≤ 2, entonces se obtiene:
fˆ = −1.5x˙ 2 cos (3x) ; F = 0.5x˙ 2 |cos (3x)| .
Por tanto, en favor de ejecutar seguimiento, x(t) ≡ xd(t), se define una
superficie de deslizamiento s = 0 a partir de:
s=
con din´amica:
d
+λ x
˜=x
˜˙ + λ˜
x,
dt
s˙ = x
¨−x
¨d + λx
˜˙ = f + u − x
¨d + λx
˜˙ .
205
R. Alzate: T´ecnicas Avanzadas de Control
Bucaramanga, Semestre 2014-II
Control por modos deslizantes
Luego, la mejor aproximaci´
on u
ˆ para una ley de control continua que garantice
s˙ = 0 ser´a:
u
ˆ = −fˆ + x
¨d − λx
˜˙ .
Sin embargo, para satisfacer la condici´on de deslizamiento es necesario adicionar
un t´ermino que compense la incertidumbre asociada al modelo. Lo anterior
genera:
u=u
ˆ − k sgn(s),
donde:
sgn (s) =
+1, s > 0;
−1, s < 0,
y k = k(x, x)
˙ es una compensaci´on de ganancia seleccionada en tal modo de
satisfacer la condici´
on de deslizamiento.
206
R. Alzate: T´ecnicas Avanzadas de Control
Bucaramanga, Semestre 2014-II
Control por modos deslizantes
As´ı entonces:
Luego,
h
i
1d
2
s
= ss
˙ = f − fˆ − k sgn(s) s = f − fˆ s − k sgn(s)s
2 dt
2 1d
⇒ 2 dt s = f − fˆ s − k |s| .
1d
2
≤ −η |s| ⇒ f − fˆ s − k |s| ≤ −η |s|
2 dt s
⇒ k |s| ≥ η |s| + f − fˆ s.
Por lo tanto, k = F + η implica:
(F + η) |s| ≥ η |s| + f − fˆ s
F |s| + η |s| ≥ η |s| + f − fˆ s
F |s| ≥ f − fˆ s.
207
R. Alzate: T´ecnicas Avanzadas de Control
Bucaramanga, Semestre 2014-II
Control por modos deslizantes
Ejercicio.
Demostrar gr´aficamente la desigualdad anterior a partir de la
definici´
on de F .
De esta manera, el valor de k aumentar´a en la medida que exista un mayor
m´argen de incertidumbre F .
Si adicionamos ahora el efecto de imprecisiones en la ganancia de control; es
decir, considerando:
x
¨ = f + bu,
donde la ganancia de control b (posiblemente variable en el tiempo), es
desconocida pero con l´ımites determinados (tambi´en posiblemente tiempo
variantes) dados por:
0 < bmin ≤ b ≤ bmax.
208
R. Alzate: T´ecnicas Avanzadas de Control
Bucaramanga, Semestre 2014-II
Control por modos deslizantes
La ganancia de control estimada ˆb ser´a considerada como la media geom´etrica
de los l´ımites, es decir:
ˆb = (bminbmax)1/2 ,
de lo cual es posible derivar un intervalo de variaci´on relativo a partir de la
relaci´
on ˆb/b = ˆbb−1, dado por:
β
siendo β =
bmax
bmin
1/2
−1
ˆb
≤ ≤ β,
b
. Luego, para este caso se obtiene:
s˙ = f + bu − x
¨d + λx
˜˙ ,
209
R. Alzate: T´ecnicas Avanzadas de Control
Bucaramanga, Semestre 2014-II
Control por modos deslizantes
y as´ı el estimado de control continuo u
ˆb ser´a:
h
i
u
ˆb = −fˆ + x
¨d − λx
˜˙ ˆb−1 = u
ˆˆb−1.
Nuevamente, se agrega un t´ermino de discontinuidad para compensar la
incertidumbre del modelo:
u=u
ˆb − ˆb−1k sgn(s) = ˆb−1 [ˆ
u − k sgn(s)] .
Ahora, para determinar el valor de k que satisface la condici´on de deslizamiento
se procede de la manera siguiente:
210
R. Alzate: T´ecnicas Avanzadas de Control
Bucaramanga, Semestre 2014-II
Control por modos deslizantes
˙ = f + bˆb−1 [ˆ
s˙ = f + bu −
x
¨
+
λ
x
˜
u −ik sgn(s)] − x
¨d + λx
˜˙
d
h
= f + bˆb−1 −fˆ + x
˜˙ − k sgn(s) − x
¨d + λx
˜˙
¨d − λx
=
f − bˆb−1fˆ + bˆb−1x
¨d − bˆb−1λ
x
˜˙ − bˆb−1
¨d + λx
˜˙
k sgn(s) − x
= f − bˆb−1fˆ + x
¨d bˆb−1 − 1 − λx
˜˙ bˆb−1 − 1 − bˆb−1k sgn(s)
−1 ˆ
−1
ˆ
ˆ
˙
= f − bb f + bb − 1 x
¨d − λx
˜ − bˆb−1k sgn(s).
Ahora, puesto que: ss
˙ ≤ −η|s|,
h
ˆ−1
f − bb
i
−1
fˆ + bˆb − 1 x
¨d − λx
˜˙ s − bˆb−1k |s| ≤ −η |s| .
211
R. Alzate: T´ecnicas Avanzadas de Control
Bucaramanga, Semestre 2014-II
Control por modos deslizantes
Multiplicando ambos lados por b−1ˆb para despejar k se genera:
k|s| ≥
h
i
¨d − λx
f b−1ˆb − fˆ + 1 − b−1ˆb x
˜˙ s + b−1ˆbη |s| .
Luego, recordando que |ab| ≡ |a||b| y tras asumir k > 0:
h
i
|k |s|| = |k| |s| = k |s| ≥ f b−1ˆb − fˆ + 1 − b−1ˆb x
¨d − λx
˜˙ s + b−1ˆbη |s| .
An´alogamente, dado que |a + b| ≤ |a| + |b| :
h
i
−1 −1
−1
−1
−1
−1
b − fˆ + 1 − b ˆ
b x
¨d − λx
˜˙ |s| + b ˆ
bη |s| ≥ f b ˆ
b − fˆ + 1 − b ˆ
b x
¨d − λx
˜˙ s + b ˆ
bη |s| ,
fb ˆ
212
R. Alzate: T´ecnicas Avanzadas de Control
Bucaramanga, Semestre 2014-II
Control por modos deslizantes
y as´ı:
k |s| ≥ f b−1ˆb − fˆ + 1 − b−1ˆb x
¨d − λx
˜˙ |s| + b−1ˆbη |s|
¨d − λx
˜˙ + b−1ˆbη.
⇒ k ≥ f b−1ˆb − fˆ + 1 − b−1ˆb x
Ahora, teniendo en cuenta que: f = fˆ + (f − fˆ) se obtiene:
k
k
k
k
h
i
ˆ
¨d − λx
≥ f + f − fˆ b−1ˆb − fˆ + 1 − b−1ˆb x
˜˙ + b−1ˆbη
ˆ −1ˆ
≥ f b b + f b−1ˆb − fˆb−1ˆb − fˆ + 1 − b−1ˆb x
¨d − λx
˜˙ + b−1ˆbη
h
h
i i
≥ f − fˆ b−1ˆb − fˆ 1 − b−1ˆb + 1 − b−1ˆb x
¨d − λx
˜˙ + b−1ˆbη
h
i
≥ f − fˆ b−1ˆb + 1 − b−1ˆb x
¨d − λx
˜˙ − fˆ + b−1ˆbη.
213
R. Alzate: T´ecnicas Avanzadas de Control
Bucaramanga, Semestre 2014-II
Control por modos deslizantes
Nuevamente:
h
i
−1ˆ −1
−1
−1
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
˙
˙
⇒ f −f b b+ 1−b b
x
¨d − λx
˜ − f ≤ f − f b
b+ 1−b b
x
¨d − λx
˜ −f ,
y as´ı en definitiva, el valor de k que supera todos los l´ımites superiores establecidos
por incertidumbres del modelo ser´a:
k ≥ f − fˆ b−1ˆb + 1 − b−1ˆb x
¨d − λx
˜˙ − fˆ + b−1ˆbη
k ≥ F b−1ˆb + b−1ˆbη + b−1ˆb − 1 fˆ − x
¨d + λx
˜˙ k ≥ (F + η) b−1ˆb + b−1ˆb − 1 fˆ − x
¨d + λx
˜˙ k ≥ β (F + η) + (β − 1) |−ˆ
u| = β (F + η) + (β − 1) |ˆ
u| .
N´
otese que β = 1 verifica el valor de k obtenido en el caso de la ganancia de
control unitaria.
214
R. Alzate: T´ecnicas Avanzadas de Control
Bucaramanga, Semestre 2014-II
Atenuaci´
on de Chattering
Como ya establecido de manera precedente, el chattering es un fen´omeno tolerable
en algunas aplicaciones como el control de motores el´ectricos o aquellas donde
dicha oscilaci´
on ocurre en una banda de frecuencia distinta de aquellas de modos
indeseados o no-modelados en la din´amica del sistema.
Una soluci´
on empleada com´
unmente en la pr´actica para reducir los indeseables
efectos del chattering, corresponde a la determinaci´on de una regi´on (capa de
frontera) alrededor de la superficie de deslizamiento en la cual se reemplaza la
discontinuidad de la se˜
nal de control por una aproximaci´on lineal.
Formalmente, se define una capa de frontera en una vecindad de la superficie
de conmutaci´
on a partir de:
B(t) =
x : |s (x, t)| ≤ Φ
, Φ > 0,
215
R. Alzate: T´ecnicas Avanzadas de Control
Bucaramanga, Semestre 2014-II
Atenuaci´
on de Chattering
donde Φ es el espesor de la capa y ε = Φ/λn−1 corresponde a su ancho.
Por consiguiente, fuera de B(t) se escoge una se˜
nal de control u que satisfaga la
condici´
on de deslizamiento (como ya ilustrado),
216
R. Alzate: T´ecnicas Avanzadas de Control
Bucaramanga, Semestre 2014-II
Atenuaci´
on de Chattering
garantizando que la nueva capa sea atrayente y en consecuencia invariante (todas
las trayectorias que parten de B en t = 0 permanecen en ella para t ≥ 0).
De otro lado, la se˜
nal u al interior de B corresponde a una interpolaci´on que
reemplaza el t´ermino sgn(s) por s/Φ.
217
R. Alzate: T´ecnicas Avanzadas de Control
Bucaramanga, Semestre 2014-II
Atenuaci´
on de Chattering
A partir de los resultados generados en las cotas de error, es claro que esta
redefinici´
on para la se˜
nal de control implicar´a una precisi´on de seguimiento
dependiente de los par´ametros ε y λ:
Ejemplo.
(i) ∀t ≥ 0, x
˜ (t) ≤ (2λ)i ε .
Considerando nuevamente el sistema:
x
¨ + a(t)x˙ 2 cos(3x) = u,
con 1 ≤ a(t) ≤ 2, para una trayectoria deseada xd = sin(πt/2).
Si se escogen como par´ametros de dise˜
no: λ = 20 y η = 0.1, la se˜
nal de control
discontinua generada corresponde a:
218
R. Alzate: T´ecnicas Avanzadas de Control
Bucaramanga, Semestre 2014-II
Atenuaci´
on de Chattering
2
˙
u=u
ˆ−k sgn(s) = 1.5x˙ cos(3x)+¨
xd −20x
˜− 0.5x˙ |cos(3x)| + 0.1 sgn(x
˜˙ +20˜
x).
2
Dicha acci´
on de control genera un seguimiento excelente; pero en contraste
implica niveles altos de chattering.
219
R. Alzate: T´ecnicas Avanzadas de Control
Bucaramanga, Semestre 2014-II
Atenuaci´
on de Chattering
Si por el contrario se interpola la misma entrada de control en una delgada capa
de espesor Φ = 0.1, es decir:
"
#
˙ + 20˜
x
˜
x
s
2
2
= 1.5x˙ cos (3x) + x
¨d − 20x
˜˙ − 0.5x˙ |cos (3x)| + 0.1 sat
,
u=u
ˆ − k sat
Φ
0.1
donde:
sat (y) =
y,
|y| ≤ 1;
sgn (y) , en caso contrario,
entonces el error de seguimiento aunque no tan perfecto como antes, ser´a
a´
un aceptable al tiempo que se observar´a una apreciable reducci´on del efecto
chattering.
220
R. Alzate: T´ecnicas Avanzadas de Control
Bucaramanga, Semestre 2014-II
Atenuaci´
on de Chattering
Es posible asignar un comportamiento din´amico a Φ en favor de aprovechar de
manera m´as eficiente las virtudes del suavizado de la se˜
nal de control conservando
en la misma medida la robustez de la t´ecnica, reflejada en una buena capacidad
de seguimiento ante incertidumbres del modelo.
221
R. Alzate: T´ecnicas Avanzadas de Control
Bucaramanga, Semestre 2014-II
Atenuaci´
on de Chattering
Considere nuevamente el sistema:
x(n) = f (x) + b(x)u,
con b = ˆb = 1.
Para garantizar la capacidad de atracci´on de la capa de frontera bajo la variaci´on
de Φ, se debe garantizar un decrecimiento continuo de la distancia |s − Φ|, i.e:
d
s ≥ Φ,
⇒ dt
[s − Φ] ≤ −η,
d
s ≤ −Φ, ⇒ dt
[s − (−Φ)] ≥ η.
De esta manera, incluyendo este requerimiento en la condici´on de deslizamiento
se obtendr´a una versi´
on modificada dada por:
222
R. Alzate: T´ecnicas Avanzadas de Control
Bucaramanga, Semestre 2014-II
Atenuaci´
on de Chattering
|s| ≥ Φ, ⇒
1d 2
2 dt s
˙ − η |s| .
≤ Φ
Esta u
´ltima implica una mayor restricci´on para Φ˙ < 0 (contracci´on de la capa).
Por tanto, para satisfacer dicha condici´on de deslizamiento modificada, el t´ermino
˙ debe ser agregado a la ganancia de discontinuidad k(x) en la se˜
−Φ
nal de control
(demostrar) o equivalentemente, en su versi´on suavizada, el t´ermino k(x) sgn(s)
(obtenido a trav´es de una se˜
nal de control conmutada) es reemplazado por
¯
k(x)
sat(s/Φ), donde:
˙
k¯ = k(x) − Φ,
y as´ı la se˜
nal de control se convierte en:
¯
u=u
ˆ − k(x)
sat(s/Φ).
223
R. Alzate: T´ecnicas Avanzadas de Control
Bucaramanga, Semestre 2014-II
Atenuaci´
on de Chattering
De otro lado, la din´amica de s al interior de B puede expresarse como:
s=x
˜˙ + λ˜
x;
¨
s˙ = x
˜ + λx
˜˙ ≡ x
¨−x
¨d + λx
˜˙ ;
x
¨ = f + bu ≡ f + u
⇒ s˙ = f + u − x
¨d + λx
˜˙ = f + u
ˆ − k¯ (x) sat
s
Φ
−x
¨d + λx
˜˙ .
Ahora, teniendo en cuenta que al interior de B: sat(s/Φ) ≡ s/Φ ⇒
s˙ = f + u
ˆ − k¯ (x) Φs − x
¨d + λx
˜˙ ;
¨d − λx
˜˙
u
ˆ = −fˆ + x
⇒ s˙ = f + −fˆ + x
¨d − λx
˜˙ − k¯ (x)
s
˙ = −k¯ (x) s + f − fˆ .
−
x
¨
+
λ
x
˜
d
Φ
Φ
224
R. Alzate: T´ecnicas Avanzadas de Control
Bucaramanga, Semestre 2014-II
Atenuaci´
on de Chattering
¯ x)
k(
ˆ
Aplicando Laplace y denotando f − f = ∆f , se obtiene: pS(p)+ Φ S(p) = −∆f
⇒
S(p)
1
=
¯ x) ,
k(
−∆f
p+ Φ
lo cual representa un filtro de primer orden que ejecuta una remoci´on de las
componentes de alta frecuencia en la se˜
nal de incertidumbre −∆f para generar
s (suavizado) y posteriormente, como ya visto, el correspondiente error de
seguimiento x
˜.
225
R. Alzate: T´ecnicas Avanzadas de Control
Bucaramanga, Semestre 2014-II
Atenuaci´
on de Chattering
De esta manera se evidencia el efecto del suavizado reduciendo el fen´omeno de
chattering tras no excitar componentes de alta frecuencia (modeladas o no) del
sistema.
An´alogamente, se observa que la frecuencia de corte del filtro permite considerar
como par´ametro de dise˜
no al t´ermino Φ.
A´
un m´as, para crear uniformidad y reducir la cantidad de variables implicadas en
los procedimientos de c´alculo, puede incluirse la restricci´on:
¯ d)
k(x
= λ,
Φ
donde xd constituye informaci´on conocida y λ (como ya visto) relaciona el ancho
de banda en la cascada de filtrado equivalente entre s y x
˜.
226
R. Alzate: T´ecnicas Avanzadas de Control
Bucaramanga, Semestre 2014-II
Atenuaci´
on de Chattering
A partir de la definici´
on de k(x), la expresi´on anterior genera:
˙ + λΦ = k(xd),
Φ
denominada condici´
on de balance y que refleja la evoluci´on temporal deseada
para el espesor de la capa de frontera.
Recapitulando, la trayectoria de s ´o, variaci´on de s en el tiempo, es un descriptor
compacto de la din´amica del sistema puesto que la actividad de control depende
directamente de s y a trav´es de filtraci´on de esta u
´ltima se genera informaci´on
del error de seguimiento x
˜.
Tambi´en, la trayectoria de s representa una medida din´amica de la validez de las
suposiciones respecto a la incertidumbre del modelo.
227
R. Alzate: T´ecnicas Avanzadas de Control
Bucaramanga, Semestre 2014-II
Atenuaci´
on de Chattering
El espesor Φ de la capa de frontera describe la evoluci´on temporal de la
incertidumbre del modelo. As´ı para efectos de an´alisis ser´a u
´til superponer los
gr´aficos de s(t), Φ(t) y −Φ(t).
228
R. Alzate: T´ecnicas Avanzadas de Control
Bucaramanga, Semestre 2014-II
Atenuaci´
on de Chattering
Ejemplo.
Considerando nuevamente el sistema:
x
¨ + a(t)x˙ 2 cos(3x) = u,
con 1 ≤ a(t) ≤ 2, se obtendr´a como se˜
nal de control:
˙ sat
u=x
¨d − λx
˜˙ + 1.5x˙ cos(3x) − (0.5x˙ | cos(3x)| + η − Φ)
2
2
[x
˜˙ + λ˜
x]
Φ
!
,
˙ = −λΦ + (0.5x˙ 2 | cos(3xd )| + η).
siendo Φ
d
An´alogamente, asignando como par´ametros η = 0.1, λ = 20, x˙ d(0) = 0 y
Φ(0) = η/λ, el seguimiento ante xd = sin(πt/2) implica una reducci´on ostensible
en los valores de error, como consecuencia de la variabilidad asignada al espesor
de la capa.
229
R. Alzate: T´ecnicas Avanzadas de Control
Bucaramanga, Semestre 2014-II
Atenuaci´
on de Chattering
230
R. Alzate: T´ecnicas Avanzadas de Control
Bucaramanga, Semestre 2014-II
Atenuaci´
on de Chattering
En el caso de incertidumbre sobre la ganancia de control, en favor de satisfacer
la condici´
on de deslizamiento modificada se escoge (demostrar):
.
˙
Φ˙ > 0, ⇒ k¯ (x) = k (x) − Φ β ,
˙
Φ˙ < 0, ⇒ k¯ (x) = k (x) − β Φ.
Igualmente se puede derivar la condici´on de balance de la manera siguiente:
s=x
˜˙ + λ˜
x;
s
−1
ˆ
¯
˙
˙
¨
˙
˜ = f + bu + λx
˜ = f + bb
s˙ = x
˜ + λx
˜≡x
¨−x
¨d + λx
u
ˆ − k (x) Φ
s˙ = f + bˆb−1u
ˆ − bˆb−1k¯ (x) Φs ;
u
ˆ = −fˆ + x
¨d − λhx
˜˙
i
−1
⇒ s˙ = f + bˆb
−fˆ + x
¨d − λx
˜˙ − bˆb−1k¯ (x) Φs
h
i
s˙ + bˆb−1k¯ (x) Φs = f + bˆb−1 −fˆ + x
¨d − λx
˜˙ .
231
R. Alzate: T´ecnicas Avanzadas de Control
Bucaramanga, Semestre 2014-II
Atenuaci´
on de Chattering
Aplicando Laplace:
S(p)
1
h
h
ii =
,
−1 k(
ˆ
¯ x)
b
b
−1
L f + bˆb
−fˆ + x
¨d − λx
˜˙
p+
Φ
donde el m´aximo de b/ˆb corresponde con β (demostrar que β −1 ≤ bˆb−1 ≤ β).
Esta u
´ltima aseveraci´
on implica seleccionar el mayor ancho de banda permitido
a partir de la incertidumbre en la ganancia de control (y en general de la
¯
incertidumbre del modelo, ya que fˆ est´a contenida en k(x)).
M´as precisamente, la condici´on de balance derivada corresponde con:
¯ d)
k(x
βd = λ,
Φ
232
R. Alzate: T´ecnicas Avanzadas de Control
Bucaramanga, Semestre 2014-II
Atenuaci´
on de Chattering
¯ d) =
o equivalentemente: k(x
λΦ
βd ,
donde βd = β(xd).
Este u
´ltimo resultado permite escribir:
˙ > 0, ⇒ λΦ = k(xd) − Φ˙ ;
Φ
βd
βd
˙ < 0, ⇒ λΦ = k(xd) − βdΦ,
˙
Φ
β
d
que a la postre genera:
.
˙
Φ
¯
˙ + λΦ = βdk(xd),
k(xd) > λΦ
,
⇒
Φ
k(x)
=
k(x)
−
β
βd
¯
˙ λΦ 2 = k(xd)/ , k(x)
˙
k(xd) ≤ λΦ
= k(x) − β Φ.
βd
βd
βd , ⇒ Φ +
233
R. Alzate: T´ecnicas Avanzadas de Control
Bucaramanga, Semestre 2014-II
Atenuaci´
on de Chattering
Finalmente, a partir de la condici´on de balance se puede extraer una interesante
conclusi´
on:
Φ
ε = n−1 ⇒ Φ = ελn−1 ;
λ
βdk¯ (xd) = λΦ,
⇒ λnε = βdk¯ (xd) ,
o en palabras:
(ancho de banda)n ×(precisi´on de seguimiento) = (incertidumbre param´etrica a lo largo de la trayectoria deseada),
implicando un compromiso entre efectividad de la t´ecnica y escogencia de
par´ametros de dise˜
no para satisfacer especificaciones en una determinada
aplicaci´
on.
234
R. Alzate: T´ecnicas Avanzadas de Control
Bucaramanga, Semestre 2014-II
Ejercicio
1) Dado el sistema din´amico
x
¨ + a(t)x˙ 2 cos(3x) = u,
con 1 ≤ a(t) ≤ 2, verifique a trav´es de simulaci´on los resultados de implementar
un control por modos deslizantes para el sistema, asumiendo:
a. Seguimiento a la referencia xd = sin(πt/2) con una se˜
nal de control discontinua
y empleando como par´ametros de dise˜
no λ = 20 y η = 0.1. Para este caso
grafique las se˜
nales de control y de error de seguimiento.
b. Con los mismos par´ametros del punto anterior, efectuar un suavizado de la
se˜
nal de control empleando Φ = 0.1. Grafique tambi´en para este caso las
se˜
nales de control y de error de seguimiento y compare el rendimiento de la
acci´
on de control.
235
R. Alzate: T´ecnicas Avanzadas de Control
Bucaramanga, Semestre 2014-II
Ejercicio
c. Incluya ahora una din´amica para el espesor de la capa de frontera del tipo:
˙ = −λΦ + k(xd),
Φ
asumiendo Φ(0) = η/λ. Compare sus resultados de se˜
nal de control y de error
de seguimiento. Adicionalmente, verifique la condici´on ∀t ≥ 0, |s| ≤ Φ, para
el sistema controlado.
236